AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $f(n) = n(n^2+3) = n^3+3n$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 1(1+3) = 4$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.
$n=3$ માટે,$f(3) = 3(9+3) = 3(12) = 36$.
$n=4$ માટે,$f(4) = 4(16+3) = 4(19) = 76$.
આ કિંમતોનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ તપાસતા:
$gcd(4, 14, 36, 76) = 2$.
આમ,$n(n^2+3)$ એ બધા $n \in N$ માટે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
$f(1)=4$ અને $f(2)=14$ હોવાથી,બધા $n$ માટે સામાન્ય ભાજક માત્ર $2$ છે.

(A) આપણે $(2m + 1)^{2n}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 2m + 1$. $m \in N$ હોવાથી,$x$ એક એકી પૂર્ણાંક છે.
કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2m + 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
$(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1$ ધ્યાનમાં લો.
$m(m + 1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે. ધારો કે $m(m + 1) = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તેથી $(2m + 1)^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$.
હવે,$(2m + 1)^{2n} = ((2m + 1)^2)^n = (8k + 1)^n$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(8k + 1)^n = \binom{n}{0}(8k)^n + \binom{n}{1}(8k)^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}(8k) + 1$.
છેલ્લા પદ સિવાયના તમામ પદો $8$ ના ગુણક છે.
તેથી,$(2m + 1)^{2n} = 8K + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $K$ માટે.
આમ,$8$ વડે ભાગતા શેષ $1$ મળે છે.

(D) બંને બાજુ $\log_2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_2 x = \log_2(2^{1/2})$
ધારો કે $y = \log_2 x$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$
$4$ વડે ગુણતા:
$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$
$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,$y = 1$ એ બીજ છે કારણ કે $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.
$(y - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(y - 1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $(y - 1)(3y + 1)(y + 2) = 0$.
બીજ $y = 1, y = -1/3, y = -2$ છે.
$y = \log_2 x$ હોવાથી,$x = 2^1, x = 2^{-1/3}, x = 2^{-2}$ મળે છે.
ત્રણેય કિંમતો વાસ્તવિક અને ધન છે,તેથી બરાબર ત્રણ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} > 2$ \\ બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} - 2 > 0$ \\ સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2x^2+3}{3x^2-7x-6} > 0$ \\ $2x^2+3$ હંમેશા ધન હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $3x^2-7x-6 > 0$ હોય \\ અવયવ પાડતા: $(3x+2)(x-3) > 0$ \\ નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2/3$ અને $x = 3$ છે \\ અંતરાલ ચકાસતા,ઉકેલ $(-\infty, -2/3) \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$. આપેલ અસમતા $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2$ છે.
$f(x) \leq 2$ માટે:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \leq 2 \implies x^2+x+a \leq 2x^2-2x+2a$
$\implies x^2-3x+a \geq 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ:
$(-3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$.
$f(x) \geq \frac{1}{2}$ માટે:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \geq \frac{1}{2} \implies 2x^2+2x+2a \geq x^2-x+a$
$\implies x^2+3x+a \geq 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ:
$(3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$.
આમ,$a = \frac{9}{4}$.

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} \geq 1$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} - 1 \geq 0$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{x^2-1 - (x^2-7x+12)}{(x-4)(x-3)} \geq 0$.
$\frac{7x-13}{(x-4)(x-3)} \geq 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ મેળવતા: $x = \frac{13}{7}, x = 3, x = 4$.
સંખ્યા રેખા પર વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અંતરાલો તપાસતા:
$x > 4$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$3 < x < 4$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$\frac{13}{7} \leq x < 3$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$x < \frac{13}{7}$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $[\frac{13}{7}, 3) \cup (4, \infty)$ છે.

(NONE) આપેલ છે $\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+1)$ વડે ગુણતા,$x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$ મળે.
$x=1$ માટે,$1+1 = B(1^2+1) \implies 2 = 2B \implies B=1$.
$x^3$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $0 = A+C \implies C = -A$.
$x^0$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $1 = -A + B + D \implies 1 = -A + 1 + D \implies D = A$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $0 = -A + B + C - 2D \implies 0 = -A + 1 - A - 2A \implies 4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$.
આમ,$A = \frac{1}{4}$,$B = 1$,$C = -\frac{1}{4}$,$D = \frac{1}{4}$.
હવે,$\sqrt{3A^2+4D^2+5C^2+B^2} = \sqrt{3(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{16}) + 5(\frac{1}{16}) + 1} = \sqrt{\frac{3+4+5}{16} + 1} = \sqrt{\frac{12}{16} + 1} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{ax+5}{(x^2+b)(x+3)}=\frac{12(x+21)+c(x^2+b)}{12(x^2+b)(x+3)}$
છેદની સરખામણી કરતા,$12(ax+5) = 12(x+21) + c(x^2+b)$.
આ સમીકરણને ઉકેલતા,$b=9$ મળે છે,તેથી $b^2=81$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x-1)(x^2+2)$ વડે ગુણતા: $3x+1 = A(x^2+2) + (Bx+C)(x-1)$.
$A$ શોધવા માટે,$x=1$ લેતા: $3(1)+1 = A(1^2+2) \implies 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3}$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x+1 = (A+B)x^2 + (C-B)x + (2A-C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2$ પદ: $A+B = 0 \implies B = -A = -\frac{4}{3}$.
અચળ પદ: $2A-C = 1 \implies C = \frac{5}{3}$.
આમ,$5(A-B) = 5(\frac{4}{3} - (-\frac{4}{3})) = 5(\frac{8}{3}) = \frac{40}{3}$.
અહીં $8C = 8(\frac{5}{3}) = \frac{40}{3}$.
તેથી,$5(A-B) = 8C$.

(A) ધારો કે $u = x-2$,તેથી $x = u+2$. અંશમાં આ કિંમત મૂકતા: $3(u+2)^3 - 7(u+2) + 1 = 3(u^3 + 6u^2 + 12u + 8) - 7u - 14 + 1 = 3u^3 + 18u^2 + 36u + 24 - 7u - 13 = 3u^3 + 18u^2 + 29u + 11$.
$u^5$ વડે ભાગતા: $\frac{3u^3 + 18u^2 + 29u + 11}{u^5} = \frac{3}{u^2} + \frac{18}{u^3} + \frac{29}{u^4} + \frac{11}{u^5}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા: $\frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} + \frac{C}{u^3} + \frac{D}{u^4} + \frac{E}{u^5}$,આપણને $A = 0$,$B = 3$,$C = 18$,$D = 29$,$E = 11$ મળે છે.
તેથી,$A(B+C+D+E) = 0(3+18+29+11) = 0$.

(D) આપેલ છે $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)} = f(x) + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
પ્રથમ,$\frac{x^4}{x^2-3x+2}$ માટે બહુપદી ભાગાકાર કરો.
$x^4 = (x^2-3x+2)(x^2+3x+7) + (15x-14)$.
તેથી,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)} = x^2+3x+7 + \frac{15x-14}{(x-1)(x-2)}$.
$\frac{15x-14}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરો.
$15x-14 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ માટે,$15-14 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x=2$ માટે,$30-14 = B(2-1) \implies B = 16$.
આમ,$f(x) = x^2+3x+7$.
$f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 7 = 4 - 6 + 7 = 5$.
તેથી,$f(-2)+A+B = 5 + (-1) + 16 = 20$.

(D) ધારો કે $u = x^2$. તો પદાવલિ $\frac{2u^2-3u+4}{(u+1)(u+2)} = a + \frac{px+q}{u+1} + \frac{mx+n}{u+2}$ થાય.
ડાબી બાજુ બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{2u^2-3u+4}{u^2+3u+2} = 2 + \frac{-9u}{(u+1)(u+2)}$.
$\frac{-9u}{(u+1)(u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+2}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા.
$-9u = A(u+2) + B(u+1)$.
$u = -1$ લેતા,$A = 9$.
$u = -2$ લેતા,$B = -18$.
તેથી,$\frac{2x^4-3x^2+4}{(x^2+1)(x^2+2)} = 2 + \frac{9}{x^2+1} - \frac{18}{x^2+2}$.
સરખામણી કરતા $a = 2$,$p = 0$,$q = 9$,$m = 0$,$n = -18$ મળે.
આમ,$\frac{n}{q} = \frac{-18}{9} = -2$.

(B) ધારો કે $y = x^2$. પદાવલિ $\frac{y}{(y+2)(y^2-1)} = \frac{y}{(y+2)(y-1)(y+1)} = \frac{A}{y-1} + \frac{B}{y+1} + \frac{C}{y+2}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનો ઉપયોગ કરતા:
$y = A(y+1)(y+2) + B(y-1)(y+2) + C(y-1)(y+1)$.
$y=1$ માટે: $1 = A(2)(3) \implies 6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}$.
$y=-1$ માટે: $-1 = B(-2)(1) \implies -2B = -1 \implies B = \frac{1}{2}$.
$y=-2$ માટે: $-2 = C(-3)(-1) \implies 3C = -2 \implies C = -\frac{2}{3}$.
આમ,$A+B-C = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2 + bx + c$ દરેક $x \in R$ માટે ધન હોય તે માટે $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = 2k - 1$,$b = -2(3k - 2)$,અને $c = 4k$.
શરત $1$: $a > 0 \implies 2k - 1 > 0 \implies k > \frac{1}{2}$.
શરત $2$: $D < 0 \implies b^2 - 4ac < 0$.
$[-2(3k - 2)]^2 - 4(2k - 1)(4k) < 0$.
$4(9k^2 - 12k + 4) - 16k(2k - 1) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $(9k^2 - 12k + 4) - 4k(2k - 1) < 0$.
$9k^2 - 12k + 4 - 8k^2 + 4k < 0$.
$k^2 - 8k + 4 < 0$.
$k^2 - 8k + 4 = 0$ ના બીજ $k = 4 \pm 2\sqrt{3}$ છે.
$2\sqrt{3} \approx 3.46$ હોવાથી,બીજ $0.54$ અને $7.46$ છે.
તેથી,$0.54 < k < 7.46$.
$k > 0.5$ સાથે સરખાવતા,$0.54 < k < 7.46$ મળે.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
તેમનો સરવાળો $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ થાય.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5kx + (6k^2 - 2k) = 0$ છે.
કારણ કે $0$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(0)^2 - 5k(0) + (6k^2 - 2k) = 0$
$6k^2 - 2k = 0$
$2k(3k - 1) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = \frac{1}{3}$ મળે.
જો $k = 0$ હોય,તો સમીકરણ $x^2 = 0$ બને,જેના બીજ $0, 0$ છે. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,$k$ એ $0$ ન હોઈ શકે.
જો $k = \frac{1}{3}$ હોય,તો સમીકરણ $x^2 - 5(\frac{1}{3})x + (6(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})) = 0$ બને
$x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 0$
$x^2 - \frac{5}{3}x = 0$
$x(x - \frac{5}{3}) = 0$
બીજ $0$ અને $\frac{5}{3}$ છે.
$\alpha$ એ શૂન્યતર બીજ હોવાથી,$\alpha = \frac{5}{3}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -b = 5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = -5$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$60 = (5)^3 - 3\alpha\beta(5)$.
$60 = 125 - 15\alpha\beta$.
$15\alpha\beta = 125 - 60 = 65$.
$\alpha\beta = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}$.
અહીં $\alpha\beta = c$ હોવાથી,$c = \frac{13}{3}$ મળે.
હવે,$3c+2$ ની કિંમત શોધતા:
$3(\frac{13}{3}) + 2 = 13 + 2 = 15$.
$b = -5$ હોવાથી,વિકલ્પો તપાસતા:
$-3b = -3(-5) = 15$.
આમ,$3c+2 = -3b$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+a x^2+b x+c=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = -a$ છે.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\alpha+\beta-2 \gamma = (\alpha+\beta+\gamma) - 3 \gamma = -a - 3 \gamma$.
તે જ રીતે,$\beta+\gamma-2 \alpha = -a - 3 \alpha$ અને $\gamma+\alpha-2 \beta = -a - 3 \beta$.
ગુણાકાર $(-a-3 \alpha)(-a-3 \beta)(-a-3 \gamma) = -(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$ થશે.
ધારો કે $f(x) = x^3+a x^2+b x+c = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
તેથી $f(-a/3) = (-a/3-\alpha)(-a/3-\beta)(-a/3-\gamma) = (-1/27)(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$.
આમ,$(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma) = -27 f(-a/3)$.
મૂળ પદ $-(-27 f(-a/3)) = 27 f(-a/3)$ છે.
$f(-a/3) = (-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + c = -a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + c = (2a^3 - 9ab + 27c)/27$.
$27$ વડે ગુણતા,આપણને $2a^3 - 9ab + 27c$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^2+2ax+b=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાથી,વિવેચક $D > 0$.
$D = (2a)^2 - 4(1)(b) = 4a^2 - 4b > 0 \implies a^2 > b$ અથવા $b < a^2$.
બીજ $\alpha, \beta = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2-4b}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2-b}$ છે.
બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = |2\sqrt{a^2-b}|$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત વધુમાં વધુ $2m$ છે,તેથી $2\sqrt{a^2-b} \le 2m$.
$\sqrt{a^2-b} \le m \implies a^2-b \le m^2 \implies b \ge a^2-m^2$.
શરતો $b < a^2$ અને $b \ge a^2-m^2$ ને જોડતા,આપણને $b \in [a^2-m^2, a^2)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+px^2+qx+r=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)((p^2-2q) - q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2 - 4ax + (5+a)$ એ તમામ $x \in R$ માટે $0$ કરતા મોટી હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-4a)^2 - 4(1)(5+a) < 0$
$16a^2 - 20 - 4a < 0$
$4a^2 - a - 5 < 0$
અવયવ પાડતા: $(4a - 5)(a + 1) < 0$
આ અસમતા $a \in (-1, 5/4)$ માટે સાચી છે.
$a \in (\alpha, \beta)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -1$ અને $\beta = 5/4$ મળે.
તેથી,$4\beta + \alpha = 4(5/4) + (-1) = 5 - 1 = 4$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $5x^3-4x^2+3x-2=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$e_1 = \alpha+\beta+\gamma = \frac{4}{5}$
$e_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{3}{5}$
$e_3 = \alpha\beta\gamma = \frac{2}{5}$
$\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2(\sum \alpha\beta) = (\frac{4}{5})^2 - 2(\frac{3}{5}) = -\frac{14}{25}$.
$\sum \alpha^3 = \frac{4}{5}(\sum \alpha^2) - \frac{3}{5}(\sum \alpha) + 3(\frac{2}{5}) = \frac{34}{125}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a \neq 0$ અને $a, b, c$ ભિન્ન છે.
શક્ય ઉકેલોની સંખ્યા $8$ છે.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+px^2+qx+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha+\beta = -p-\gamma$,$\beta+\gamma = -p-\alpha$,અને $\gamma+\alpha = -p-\beta$.
તેથી,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (-p-\gamma)(-p-\alpha)(-p-\beta) = -(p+\gamma)(p+\alpha)(p+\beta)$.
ધારો કે $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3+px^2+qx+r$.
તો $f(-p) = (-p-\alpha)(-p-\beta)(-p-\gamma) = (-p)^3+p(-p)^2+q(-p)+r = -p^3+p^3-pq+r = r-pq$.
કારણ કે $f(-p) = -(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma)$,તેથી $-(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma) = r-pq$.
આમ,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = pq-r$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ આ સમીકરણના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
બીજો વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(A) $\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી,તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે:
$1) \alpha^2 - 5\alpha + 4a = 0 \implies 4a = 5\alpha - \alpha^2$
$2) \alpha^2 - 2a\alpha - 8 = 0$
બીજા સમીકરણમાં $2a = \frac{5\alpha - \alpha^2}{2}$ મૂકતા:
$\alpha^2 - (\frac{5\alpha - \alpha^2}{2})\alpha - 8 = 0$
$2\alpha^2 - 5\alpha^2 + \alpha^3 - 16 = 0$
$\alpha^3 - 3\alpha^2 - 16 = 0$
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,$\alpha = 4$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $64 - 3(16) - 16 = 0$.
$\alpha = 4$ માટે,$4a = 5(4) - 16 = 4 \implies a = 1$.
પદાવલિ $\alpha^4 - \alpha^3 + 68 = 4^4 - 4^3 + 68 = 256 - 64 + 68 = 260$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $ax^2 + bx + c < 0$ તમામ $x \in R$ માટે. આનો અર્થ એ છે કે $a < 0$ અને $D = b^2 - 4ac < 0$.
$ax^2 + bx + c$ ની અંતિમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a}$ પર મળે છે.
$cx^2 + ax + b$ ની અંતિમ કિંમત $x = -\frac{a}{2c}$ પર મળે છે.
આ બિંદુઓ સમાન હોવાથી,$-\frac{b}{2a} = -\frac{a}{2c}$,જેનો અર્થ છે $a^2 = bc$.
$a < 0$ અને $a^2 = bc$ હોવાથી,$c$ પણ ઋણ હોવું જોઈએ.
પદાવલિ $cx^2 + ax + b$ ની મહત્તમ કિંમત મળે છે કારણ કે $c < 0$.
મહત્તમ કિંમત $-\frac{D'}{4c} = -\frac{a^2 - 4bc}{4c} = -\frac{bc - 4bc}{4c} = -\frac{-3bc}{4c} = \frac{3b}{4}$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{3b}{4}$ છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = (a-3)x^2 + 12x + (a+6)$ માટે તમામ $x \in R$ માટે ધન હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D$ ઋણ હોવો જોઈએ.
$1$. $a-3 > 0 \implies a > 3$.
$2$. $D = 12^2 - 4(a-3)(a+6) < 0$.
$144 - 4(a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - (a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - a^2 - 3a + 18 < 0$
$-a^2 - 3a + 54 < 0$
$a^2 + 3a - 54 > 0$
$(a+9)(a-6) > 0$.
$a > 3$ હોવાથી,$a > 6$ શરતનું પાલન થવું જોઈએ. તેથી,$a \in (6, \infty)$,એટલે કે $\ell = 6$.
$a$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $\alpha = 7$ છે.
હવે,$\alpha = 7$ અને $\ell = 6$ ને સમીકરણ $(\alpha-3)x^2 + 12x + (\ell+2) = 0$ માં મૂકતા:
$(7-3)x^2 + 12x + (6+2) = 0$
$4x^2 + 12x + 8 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 3x + 2 = 0$
$(x+1)(x+2) = 0$.
બીજ $x = -1, -2$ છે.

(C) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -b$ આગળ મળે છે,જે $f(-b) = 2c^2 - b^2$ છે.
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ ની મહત્તમ કિંમત $x = -c$ આગળ મળે છે,જે $g(-c) = c^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\min f(x) > \max g(x)$,તેથી $2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $c^2 > 2b^2$ મળે,એટલે કે $\frac{c^2}{b^2} > 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\left|\frac{c}{b}\right| > \sqrt{2}$ મળે.
તેથી,$\left|\frac{c}{b}\right| \in (\sqrt{2}, \infty)$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = 2kx^2 - (4k+1)x + 2$ છે.
તેના અવયવ પાડતા $f(x) = (2x - 1)(kx - 2)$ મળે.
$f(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{2}{k}$ છે.
પદાવલિ ઋણ હોય તે માટે $x$ ની કિંમત બીજની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $k > 0$,તો $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{k}$. ત્રણ પૂર્ણાંકો $1, 2, 3$ માટે $3 < \frac{2}{k} \le 4$ હોવું જોઈએ.
આથી $k \in [\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$.
કિસ્સો $2$: જો $k < 0$,તો $\frac{2}{k} < x < \frac{1}{2}$. ત્રણ પૂર્ણાંકો $-1, -2, -3$ માટે $-4 \le \frac{2}{k} < -3$ હોવું જોઈએ.
આથી $k \in [-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}]$.
આપેલ વિકલ્પો સાચા નથી.

(C) ધારો કે $f(x) = 4x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 12x + 36$.
જો $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ હોય,તો $f'(\alpha) = 0$.
$f'(x) = 16x^3 + 12x^2 - 46x - 12$.
$f'(x) = 0$ લેતા: $8x^3 + 6x^2 - 23x - 6 = 0$.
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,$x = -2$ માટે: $8(-8) + 6(4) - 23(-2) - 6 = 0$.
તેથી,$x = -2$ એ બીજ છે.
$x = 1.5$ માટે: $8(27/8) + 6(9/4) - 23(3/2) - 6 = 0$.
તેથી,$x = 1.5$ એ બીજ છે.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 1.5$ અને $\beta = -2$.
તેથી $2\alpha - \beta = 2(1.5) - (-2) = 3 + 2 = 5$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)} = f(x) + \frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$.
બંને બાજુ $(x-1)(x+1)(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $H(x) = f(x)(x-1)(x+1)(x-2) + g(x)$.
$H(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી અને ભાજક $3$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,$f(x)$ એ $ax+b$ સ્વરૂપની સુરેખ બહુપદી હશે.
સમીકરણ $H(x) = f(x)(x-1)(x+1)(x-2) + g(x)$ માં $x = -1, 2, 1$ મૂકતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ બિંદુઓ પર $f(x)(x-1)(x+1)(x-2)$ પદ $0$ થઈ જાય છે.
તેથી,$H(-1) = g(-1)$,$H(2) = g(2)$,અને $H(1) = g(1)$.
આ કિંમતોને $H(-1) + 2H(2) - 3H(1)$ માં મૂકતા,આપણને $g(-1) + 2g(2) - 3g(1)$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,બીજ અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
બીજ $a+ib, a-ib, b+ai, b-ai$ છે.
બીજનો સરવાળો $(a+ib) + (a-ib) + (b+ai) + (b-ai) = 2a + 2b = 10$ છે,તેથી $a+b=5$.
બીજનો ગુણાકાર $(a^2+b^2)(b^2+a^2) = (a^2+b^2)^2 = 169$ છે.
આમ,$a^2+b^2 = 13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.
કિંમતો મૂકતા,$5^2 = 13 + 2ab$,જે $25 = 13 + 2ab$ આપે છે,તેથી $2ab = 12$ અથવા $ab = 6$.
આપણે $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{13}{6}$ મળે છે.

(A) પ્રથમ,$x^4-6x^3+11x^2-6x=0$ સમીકરણના બીજ શોધો.
અવયવ પાડતા,આપણને $x(x^3-6x^2+11x-6)=0$ મળે છે.
$x^3-6x^2+11x-6$ ના વધુ અવયવ પાડતા,આપણને $x(x-1)(x-2)(x-3)=0$ મળે છે.
બીજ $0, 1, 2, 3$ છે. સૌથી નાનું બીજ $0$ છે.
ધારો કે $x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ ના બીજ $r_1, r_2, r_3$ છે.
જ્યારે આ બીજમાં $1$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા બીજમાંથી એક $0$ છે.
તેથી,કોઈ $i$ માટે $r_i+1=0$,જેનો અર્થ છે કે $r_i=-1$.
કારણ કે $-1$ એ $x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ નું બીજ છે,આપણે $x=-1$ મૂકીએ છીએ:
$(-1)^3+\alpha(-1)^2+\beta(-1)+6=0$
$-1+\alpha-\beta+6=0$
$\alpha-\beta+5=0$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^3 - ax^2 + ax - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$
$\alpha\beta\gamma = 1$
નવા સમીકરણના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ છે.
નવું સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ હોવાથી,બીજનો સમૂહ ${\alpha^2, \beta^2, \gamma^2}$ એ ${\alpha, \beta, \gamma}$ સમાન હોવો જોઈએ.
$\alpha\beta\gamma = 1$ આપેલ હોવાથી,જો $\alpha = \beta = \gamma = 1$ લઈએ,તો $x^3 - ax^2 + ax - 1 = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ મળે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $2x^3+3x^2-5x-7=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{3}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{7}{2}$
આપણે $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ ગણો.
કિંમતો મૂકતા:
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2(\frac{7}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{21}{2} = \frac{25+42}{4} = \frac{67}{4}$.
હવે,$(\alpha\beta\gamma)^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
તેથી,$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{67/4}{49/4} = \frac{67}{49}$.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha, \alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha > 0$ અને $\beta\gamma = 1$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta\gamma = \frac{e}{a}$ છે.
$\beta\gamma = 1$ હોવાથી,$\alpha^2 = \frac{e}{a}$,તેથી $\alpha = \sqrt{\frac{e}{a}}$.
સમીકરણને $a(x-\alpha)^2(x^2 - Sx + 1) = 0$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $S = \beta + \gamma$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$b = -a(S + 2\alpha)$,$c = a(1 + 2\alpha S + \alpha^2)$,$d = -a(S\alpha^2 + 2\alpha)$,$e = a\alpha^2$ મળે છે.
$b = -a(S + 2\alpha)$ પરથી,$S = -\frac{b}{a} - 2\alpha$.
$c$ માટેના સમીકરણમાં $S$ ની કિંમત મૂકતા,$c = a - 2b\alpha - 3a\alpha^2$ મળે છે.
$\alpha^2 = \frac{e}{a}$ હોવાથી,$3a\alpha^2 = 3e$.
આમ,$c = a - 2b\sqrt{\frac{e}{a}} - 3e$,જેનું સાદું રૂપ $3e + \frac{2b\sqrt{e}}{\sqrt{a}} + c = a$ થાય છે.

(D) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ સમીકરણ $x^3-12x^2+kx-18=0$ પરથી,આપણી પાસે સંબંધો છે:
$\alpha+\beta+\gamma = 12$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$
$\alpha\beta\gamma = 18$
આપેલ છે કે એક બીજ બાકીના બે બીજના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણું છે,ધારો કે $\alpha = 3(\beta+\gamma)$.
આને બીજના સરવાળામાં મૂકતા: $\alpha + \frac{\alpha}{3} = 12 \implies \frac{4\alpha}{3} = 12 \implies \alpha = 9$.
તેથી $\beta+\gamma = 3$ અને $\beta\gamma = \frac{18}{\alpha} = \frac{18}{9} = 2$.
આપણે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 12^2 - 2k = 144 - 2k$.
આમ,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k = 144 - 2k - k = 144 - 3k$.
કારણ કે $\beta+\gamma=3$ અને $\beta\gamma=2$,બીજ $\beta$ અને $\gamma$ એ $t^2-3t+2=0$ ના બીજ છે,જે $1$ અને $2$ છે.
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $k = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29$ મળે છે.
અંતે,$144 - 3(29) = 144 - 87 = 57$.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^5-3x^4-x^3+11x^2-12x+4=0$ ના બીજ $\alpha_i$ છે. આપણે એવું સમીકરણ જોઈએ છે જેના બીજ $\beta_i = \alpha_i + 2$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha_i = \beta_i - 2$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = y - 2$ મૂકતા,આપણને $(y-2)^5 - 3(y-2)^4 - (y-2)^3 + 11(y-2)^2 - 12(y-2) + 4 = 0$ મળે છે.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(y-2)^5 = y^5 - 10y^4 + 40y^3 - 80y^2 + 80y - 32$
$-3(y-2)^4 = -3y^4 + 24y^3 - 72y^2 + 96y - 48$
$-(y-2)^3 = -y^3 + 6y^2 - 12y + 8$
$11(y-2)^2 = 11y^2 - 44y + 44$
$-12(y-2) = -12y + 24$
$+4 = 4$
સરવાળો કરતા:
$y^5 - 13y^4 + 63y^3 - 135y^2 + 108y = 0$.
આમ,સમીકરણ $x^5 - 13x^4 + 63x^3 - 135x^2 + 108x = 0$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ થાય.
બે બીજનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ વડે ભાગતા,$b = 4 - \sqrt{5}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-13x^2+kx+189=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=13$ અને $\alpha\beta\gamma=-189$.
$\beta-\gamma=2$ આપેલ છે,તેથી $\beta+\gamma=16$ અને $\alpha=-3$ મળે છે.
સમીકરણમાં $\alpha=-3$ મૂકતા,$k=15$ મળે છે.
તેથી $\beta+\gamma : k+\alpha = 16 : (15-3) = 16 : 12 = 4:3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-6(k-1)x+4(k-2)=0$ છે.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવાથી,$\alpha + \beta = 0$ થાય.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta = 6(k-1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
$k=1$ મૂકતા,$x^2 - 4 = 0$ મળે.
તેથી,$x = \pm 2$.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 2$ અને $\beta = -2$ મળે.
હવે,બીજું સમીકરણ $2x^2 - \alpha x + 6\beta(\alpha+1) = 0$ માં કિંમતો મૂકતા: $2x^2 - 2x + 6(-2)(2+1) = 0$.
$2x^2 - 2x - 36 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $c/a$ થાય.
અહીં,ગુણાકાર $-36/2 = -18$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x^2-5x+6$ એ $f(x)=x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ નો અવયવ છે.
આપણે $x^2-5x+6$ ને $(x-2)(x-3)$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ.
તેથી,$f(2)=0$ અને $f(3)=0$ થાય.
ધારો કે બીજો દ્વિઘાત અવયવ $x^2+ax+b$ છે.
$f(x)$ નો અચળ પદ $210$ હોવાથી,$(x^2-5x+6)(x^2+ax+35) = x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ થાય.
$x^3$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા: $a-5 = -17$,જે $a = -12$ આપે છે.
આમ,બીજો દ્વિઘાત અવયવ $x^2-12x+35$ છે.

(C) આપણને વિધેય $f(x) = x^2 - 5x + 4$ આપેલ છે. આપણે $x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ માટે $f(x) > 10$ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
અસમતા $x^2 - 5x + 4 > 10$ ઉકેલતા:
$x^2 - 5x - 6 > 0$
$(x - 6)(x + 1) > 0$
$x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$x + 1$ હંમેશા ધન છે. તેથી,આપણે $x - 6 > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $x > 6$.
$1$ થી $20$ સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ જે $x > 6$ નું સમાધાન કરે છે તે $\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ છે.
આવી સંખ્યાઓ કુલ $14$ છે.
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $20$ છે.
તેથી સંભાવના $\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ થાય.

(A) ધારો કે $f(x) = 18x^3-33x^2+20x-4$. જો $\alpha$ એ $2$ ગુણકતા ધરાવતું પુનરાવર્તિત બીજ હોય,તો તે $f(\alpha) = 0$ અને $f'(\alpha) = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 54x^2-66x+20$.
$f'(\alpha) = 0$ લેતા,$54\alpha^2-66\alpha+20 = 0$.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,$27\alpha^2-33\alpha+10 = 0$ મળે.
$\alpha = \frac{2}{3}$ એ સમીકરણનું બીજ છે.
વિકલ્પ $A$ માં $\alpha = \frac{2}{3}$ મૂકતા: $3(\frac{2}{3})^2 - 8(\frac{2}{3}) + 4 = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} + 4 = 0$.

(B) આપેલ વ્યસ્ત સમીકરણ $6x^4-5x^3+13x^2-5x+6=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x=0$ બીજ નથી),આપણને $6x^2-5x+13-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$ મળે છે.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+13=0$.
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$,તો $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
કિંમત મૂકતા: $6(t^2-2)-5t+13=0 \implies 6t^2-5t+1=0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(3t-1)(2t-1)=0$,તેથી $t=\frac{1}{3}$ અથવા $t=\frac{1}{2}$.
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ માટે,$x^2-\frac{1}{3}x+1=0$. વિવેચક $D = (\frac{1}{3})^2 - 4(1) = \frac{1}{9}-4 < 0$.
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ માટે,$x^2-\frac{1}{2}x+1=0$. વિવેચક $D = (\frac{1}{2})^2 - 4(1) = \frac{1}{4}-4 < 0$.
બંને દ્વિઘાત સમીકરણો માટે વિવેચક ઋણ હોવાથી,ચારેય બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^4+2x^3-7x^2-8x+12=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,ધારો કે $\alpha + \beta = 0$,એટલે કે $\beta = -\alpha$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma + \delta = -2$ છે.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,$\gamma + \delta = -2$ મળે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma \delta = 12$ છે.
$\beta = -\alpha$ હોવાથી,$-\alpha^2 \gamma \delta = 12$ અથવા $\alpha^2 \gamma \delta = -12$ મળે.
બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = -7$ છે.
$\beta = -\alpha$ મૂકતા,$-\alpha^2 + \gamma \delta = -7$ મળે,તેથી $\gamma \delta = \alpha^2 - 7$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\alpha^2(\alpha^2 - 7) = -12$,એટલે કે $\alpha^4 - 7\alpha^2 + 12 = 0$.
$y = \alpha^2$ લેતા,$y^2 - 7y + 12 = 0$,તેથી $(y-3)(y-4) = 0$.
આમ $\alpha^2 = 4$ લેતા $\gamma \delta = -3$ મળે.
$\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma + \delta)^2 - 2\gamma \delta = (-2)^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^3-2x^2+3x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
તેથી $\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3$,અને $\alpha\beta\gamma=4$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધીએ છીએ જેના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ હોય.
ધારો કે $y=x^2$,તેથી $x=\sqrt{y}$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\sqrt{y})^3-2(\sqrt{y})^2+3\sqrt{y}-4=0$.
$y\sqrt{y}-2y+3\sqrt{y}-4=0$.
$\sqrt{y}(y+3)=2y+4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y(y+3)^2=(2y+4)^2$.
$y(y^2+6y+9)=4y^2+16y+16$.
$y^3+6y^2+9y=4y^2+16y+16$.
$y^3+2y^2-7y-16=0$.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x^3+2x^2-7x-16=0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3x^2+x+5 = (x-3)^2$ મળે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x^2+x+5 = x^2-6x+9$.
પદોને ગોઠવતા: $2x^2+7x-4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2+8x-x-4 = 0$,જે $2x(x+4)-1(x+4) = 0$ આપે છે.
તેથી,$(2x-1)(x+4) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1/2$ અથવા $x = -4$.
હવે,આપણે આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ માં ચકાસવી પડશે.
$x = 1/2$ માટે: $\sqrt{3(1/4)+1/2+5} = 2.5$,જ્યારે $x-3 = -2.5$. $2.5 \neq -2.5$ હોવાથી,$x = 1/2$ ઉકેલ નથી.
$x = -4$ માટે: $\sqrt{3(16)-4+5} = 7$,જ્યારે $x-3 = -7$. $7 \neq -7$ હોવાથી,$x = -4$ ઉકેલ નથી.
આમ,સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) સમીકરણ $x^2-7x+10=0$ માટે,બીજ $x=2$ અને $x=5$ છે. બીજનો તફાવત $|5-2|=3$ છે.
સમીકરણ $x^2-17x+k=0$ માટે,ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજનો તફાવત $|\alpha-\beta|=3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3^2 = (17)^2 - 4k$ મળે છે.
$9 = 289 - 4k$.
$4k = 289 - 9 = 280$.
$k = 70$.
$70$ ના ભાજકો $1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$14$ એ $70$ નો ભાજક છે.

(B) ધારો કે $|x| = t$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 5t + 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t-2)(t-3) = 0$ મળે છે.
તેથી,$t = 2$ અથવા $t = 3$.
$|x| = 2$ હોવાથી,$x = 2$ અથવા $x = -2$.
$|x| = 3$ હોવાથી,$x = 3$ અથવા $x = -3$.
વાસ્તવિક બીજ $2, -2, 3, -3$ છે.
તમામ વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $(2) \times (-2) \times (3) \times (-3) = (-4) \times (-9) = 36$ થાય.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \text{side}^2$ છે.
આપેલ છે કે $\text{Area} = 575$.
તેથી,$\text{side} = \sqrt{575}$.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $\sqrt{575} \approx 23.9791576$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $23.9792$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $lx^2 + mx + 1 > 0$ તમામ $x \in R$ માટે સાચી હોય તે માટેની શરતો:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ: $l > 0$. જે અહીં હંમેશા સાચું છે.
$2$. વિવેચક $D < 0$: $m^2 - 4l < 0$,એટલે કે $m^2 < 4l$.
કુલ શક્ય જોડીઓ $(l, m) = 7 \times 7 = 49$ છે.
$l$ ની કિંમતો માટે:
- $l = 1$ માટે,$m^2 < 4 \implies m = 1$ ($1$ જોડી).
- $l = 2$ માટે,$m^2 < 8 \implies m = 1, 2$ ($2$ જોડી).
- $l = 3$ માટે,$m^2 < 12 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ જોડી).
- $l = 4$ માટે,$m^2 < 16 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ જોડી).
- $l = 5$ માટે,$m^2 < 20 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ જોડી).
- $l = 6$ માટે,$m^2 < 24 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ જોડી).
- $l = 7$ માટે,$m^2 < 28 \implies m = 1, 2, 3, 4, 5$ ($5$ જોડી).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 22$.
સંભાવના = $\frac{22}{49}$.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. આપેલ સમીકરણ $f(x) + f(1/x) = f(x)f(1/x)$ છે,જેને $(f(x) - 1)(f(1/x) - 1) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $g(x) = f(x) - 1$. તો $g(x)g(1/x) = 1$.
$f(x)$ દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી,$g(x)$ પણ દ્વિઘાત બહુપદી છે.
$f(-1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$g(-1) = -1$ મળે.
આ શરતો પરથી $f(x) = 1 - x^2$ મળે છે.
તેથી $f(x) = 1 - x^2$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 1]$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$f(x) = \frac{1}{2} [f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) - (f(\frac{1}{x}) - f(x)) \cdot 1]$
$2f(x) = f(x)f(\frac{1}{x}) - f(\frac{1}{x}) + f(x)$
$f(x) + f(\frac{1}{x}) = f(x)f(\frac{1}{x})$
ધારો કે $f(x) = ax^n + c$. તો $ax^n + c + a(\frac{1}{x})^n + c = (ax^n + c)(a(\frac{1}{x})^n + c)$
$ax^n + a x^{-n} + 2c = a^2 + acx^n + acx^{-n} + c^2$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = ac$ મળે,તેથી $c = 1$ ($a \neq 0$ ધારીને).
પછી $a^2 + c^2 = 2c \implies a^2 + 1 = 2 \implies a^2 = 1$. $f(2) = 33$ હોવાથી,$a(2^n) + 1 = 33 \implies a(2^n) = 32$.
જો $a = 1$ હોય,તો $2^n = 32 \implies n = 5$. તેથી $f(x) = x^5 + 1$.
તેથી $f(3) = 3^5 + 1 = 243 + 1 = 244$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 5$ થવું જોઈએ.
ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત: $\lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3}a = 5 \implies a = \frac{15}{2}$.
જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત: $\lim_{x \to 0^+} \frac{27/2}{b} = 5 \implies b = \frac{27}{10}$.
$a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{27}{10}} = \frac{9}{2}$ થાય.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AA^T$ ની ગણતરી કરો:
$AA^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A + A^T$ ની ગણતરી કરો:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & -1-2 & 2+4 \\ -2-1 & 3+3 & -3-4 \\ 4+2 & -4-3 & 5+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$AA^T - (A + A^T)$ ની ગણતરી કરો:
$\begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 12 \\ -8 & 16 & -28 \\ 12 & -28 & 47 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વિધાન $(i)$: $AB=0$ નો અર્થ એ નથી કે $A=0$ અથવા $B=0$ હોવું જ જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે,બે શૂન્યતર શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ લો. તેમનો ગુણાકાર $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$ થાય છે. તેથી,$(i)$ ખોટું છે.
વિધાન (ii): જો $AB=I_3$ હોય,તો વ્યસ્ત શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,$B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે (એટલે કે $A^{-1}=B$). તેથી,(ii) સાચું છે.
વિધાન (iii): વિસ્તરણ $(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2$ થાય. સામાન્ય રીતે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી $(AB \neq BA)$,તેથી $A^2 - AB - BA + B^2$ એ $A^2 - 2AB + B^2$ ને સમાન નથી,સિવાય કે $AB=BA$ હોય. તેથી,(iii) ખોટું છે.
આમ,માત્ર (ii) સાચું છે.

(A) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોવા માટે,$A = A^T$. ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 2$,$y = -3$,અને $z = 5$ મળે છે. આમ,$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & -6 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = -1(-24 - 25) - 2(-12 + 15) - 3(10 + 12) = -1(-49) - 2(3) - 3(22) = 49 - 6 - 66 = -23$.
શ્રેણિક $B$ વિસંમિત હોવા માટે,$B^T = -B$. આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણના ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ,તેથી $s = 0$. ઉપરાંત,$p = -2$,$q = 3$,અને $r = 4$. આમ,$B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|B| = 0 - 2(0 - 12) + 3(-8 - 0) = 24 - 24 = 0$.
કારણ કે $|B| = 0$,તેથી $|AB| = |A| \times |B| = -23 \times 0 = 0$.
તેથી,$|A| + |B| - |AB| = -23 + 0 - 0 = -23$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{Adj}(A) \cdot A = |A| I$. ધારો કે $|A| = k$. કારણ કે $|A| > 0$,તેથી $k > 0$.
આપેલ છે કે $\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -6 \\ 10 & 8 & 0 \\ 2 & 4 & -4 \end{bmatrix}$.
$\text{Adj}(A)$ નો નિશ્ચાયક $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2 = k^2$ થાય.
$\text{Adj}(A)$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|\text{Adj}(A)| = 0(8(-4) - 0) - 4(10(-4) - 0) - 6(10(4) - 8(2)) = 0 - 4(-40) - 6(40 - 16) = 160 - 6(24) = 160 - 144 = 16$.
તેથી,$k^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $k = 4$ (કારણ કે $k > 0$).
હવે,$A = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(\text{Adj}(A))$.
સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,પદાવલિનું મૂલ્ય $2$ મળે છે.

(D) ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} x & y & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & z \end{bmatrix}$.
$1$. $z$ $(a_{33})$ નો સહઅવયવ: $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} x & y \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = x + 3y = 9$.
$2$. $1$ $(a_{32})$ નો સહઅવયવ: $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} x & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(2x) = 4 \implies x = -2$.
$x = -2$ ને $x + 3y = 9$ માં મૂકતા: $-2 + 3y = 9 \implies 3y = 11 \implies y = 11/3$.
$3$. $x$ $(a_{11})$ નો સહઅવયવ: $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & z \end{vmatrix} = z + 4 = 3 \implies z = -1$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} -2 & 11/3 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા,વિકલ્પ $D$ મુજબ સાચો જવાબ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 1(13) - 2(-4) + 3(-5) = 13 + 8 - 15 = 6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$.
આગળ,$|\text{adj}(\text{adj } A)| = |\text{adj } A|^{n-1} = (36)^{3-1} = 36^2 = 1296$.
વળી,$(\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|\text{adj } A|} \text{adj}(\text{adj } A) = \frac{1}{36} A$.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$1296 \times (\frac{1}{36} A) = kA$
$36 A = kA$
તેથી,$k = 36$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ સાચો છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે અને $\det(A) = 4$ છે.
તેથી,$\det(P) = \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (4)^2 = 16$.
હવે,શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$\det(P) = 2\alpha - 6$.
$\det(P)$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $11$ છે.

(A) પગલું $1$: શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|A| = 1(6-9) - 1(3-6) + 2(3-4) = 1(-3) - 1(-3) + 2(-1) = -3 + 3 - 2 = -2$.
અહીં $a = |adj(A)| = |A|^{n-1}$ જ્યાં $n=3$ છે,તેથી $a = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4$.
પગલું $2$: શ્રેણિક $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|B| = 1(12 - (-1)) - 2(-16 - (-2)) + 3(4 - (-6)) = 1(13) - 2(-14) + 3(10) = 13 + 28 + 30 = 71$.
અહીં $b = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{71}$ છે.
પગલું $3$: $\frac{b+1}{18b}$ ની કિંમત મેળવો.
$\frac{\frac{1}{71} + 1}{18 \times \frac{1}{71}} = \frac{\frac{72}{71}}{\frac{18}{71}} = \frac{72}{18} = 4$.
$a = 4$ હોવાથી,જવાબ $a$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે અને $B = A^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det B = \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = k$,તેથી $\det A = \frac{1}{k}$ થાય.
એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટ માટેનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{n-2} A$ છે.
અહીં $n = 3$ હોવાથી,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{3-2} A = (\det A) A$ મળે.
$\det A = \frac{1}{k}$ મૂકતા,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{k} A$ મળે.
હવે,આપણે વ્યસ્ત શોધવો છે: $(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))^{-1} = (\frac{1}{k} A)^{-1}$.
ગુણધર્મ $(c A)^{-1} = \frac{1}{c} A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{1}{k} A)^{-1} = k A^{-1}$ મળે.
કારણ કે $A^{-1} = B$ છે,તેથી જવાબ $k B$ થાય.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $|A - \lambda I| = 0$ નો ઉપયોગ કરીને શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & -1-\lambda & 2 \\ -1 & 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(1-\lambda)[(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 2] - 2[2(-2-\lambda) - (-2)] - 2[2 - (-1)(-1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)[\lambda^2 + 3\lambda + 2 - 2] - 2[-4 - 2\lambda + 2] - 2[2 - 1 - \lambda] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 + 3\lambda) - 2(-2\lambda - 2) - 2(1 - \lambda) = 0$.
$\lambda^2 + 3\lambda - \lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda + 4 - 2 + 2\lambda = 0$.
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 + 9\lambda + 2 = 0 \implies \lambda^3 + 2\lambda^2 - 9\lambda - 2 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 + 2A^2 - 9A - 2I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^2 + 2A - 9I - 2A^{-1} = 0$.
તેથી,$2A^{-1} = A^2 + 2A - 9I$.
હવે $A + 2A^{-1} = A + A^2 + 2A - 9I = A^2 + 3A - 9I$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix}$.
$A^2 + 3A - 9I = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 & -6 \\ 6 & -3 & 6 \\ -3 & 3 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & -5 & -4 \\ 0 & -2 & -7 \end{bmatrix}$.

(D) લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - xI| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,આ $x^3 - (\text{tr}(A))x^2 + (\text{મુખ્ય ઉપનિશ્ચાયકોનો સરવાળો})x - |A| = 0$ છે.
અહીં,$\text{tr}(A) = 2 + 3 + 2 = 7$.
મુખ્ય ઉપનિશ્ચાયકો છે:
$M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
$M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$.
$M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
મુખ્ય ઉપનિશ્ચાયકોનો સરવાળો $= 4 + 3 + 4 = 11$.
આમ,લાક્ષણિક સમીકરણ $x^3 - 7x^2 + 11x - |A| = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = 7$ અને $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (7)^2 - 2(11) = 49 - 22 = 27$.

(C) શ્રેણીક $A$ નો રેન્ક $2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ (કારણ કે શ્રેણીક $3 \times 3$ છે અને રેન્ક $< 3$ છે).
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$
આમ,$x$ ની કિંમત $-3$ છે.

(B) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 & 0 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}$ નો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે તેને હાર-સોપાન સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ સ્થાને $1$ મેળવવા માટે $R_1$ અને $R_3$ ની અદલાબદલી કરો:
$R_1 \leftrightarrow R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
પગલું $2$: પિવોટની નીચેની પ્રથમ સ્તંભની એન્ટ્રીઓને દૂર કરો:
$R_2 \to R_2 - 5R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
પગલું $3$: બીજી અને ત્રીજી હારને સરળ બનાવો:
$R_2 \to R_2 - 3R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
$R_3 \to 2R_3 - 3R_2 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 25 \end{bmatrix}$
હાર-સોપાન સ્વરૂપમાં $3$ શૂન્યતર હાર હોવાથી,શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ -2 & y & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$\text{trace}(A) = x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
$\det(A) = x(-y - 0) - 2(2 - 0) + 1(0 - 2y) = -xy - 4 - 2y = -6$.
તેથી,$xy + 2y = 2$.
$x = 1 - y$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(1 - y)y + 2y = 2$.
$y - y^2 + 2y = 2 \implies y^2 - 3y + 2 = 0$.
$(y - 1)(y - 2) = 0$,તેથી $y = 1$ અથવા $y = 2$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x = 0$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $x$ શૂન્યતર છે).
જો $y = 2$ હોય,તો $x = -1$.
ઘટક $1$ એ $a_{13}$ સ્થાન પર છે.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{13}$ એ પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને મેળવેલ નિશ્ચાયક છે:
$M_{13} = \begin{vmatrix} -2 & y \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(0) - (2)(y) = -2y$.
$y = 2$ મૂકતા,$M_{13} = -2(2) = -4$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
સંહતિને ઉકેલ ન હોય તે માટે,નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક $(D_x, D_y, D_z)$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = (p - 2)(q - 3)$.
$|A| = 0$ માટે $p = 2$ અથવા $q = 3$ હોવું જોઈએ.
જો $p \neq 2$ અને $q = 3$ હોય,તો નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
$D_x = \begin{vmatrix} 8 & p & 6 \\ 5 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3p$.
જો $p \neq 2$ હોય,તો $D_x \neq 0$,તેથી સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1) x+2y+3z=4$
$2) 3x+y+z=3$
$3) x+3y+3z=2$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x+3y+3z) - (x+2y+3z) = 2 - 4$
$y = -2$
$y = -2$ ને સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 2(-2) + 3z = 4 \implies x + 3z = 8$
$3x + (-2) + z = 3 \implies 3x + z = 5$
$3x + z = 5$ પરથી,$z = 5 - 3x$ મળે.
$z$ ની કિંમત $x + 3z = 8$ માં મૂકતા:
$x + 3(5 - 3x) = 8$
$x + 15 - 9x = 8$
$-8x = -7 \implies x = \frac{7}{8}$
હવે $z$ શોધીએ:
$z = 5 - 3(\frac{7}{8}) = 5 - \frac{21}{8} = \frac{40-21}{8} = \frac{19}{8}$
આમ,$\alpha = \frac{7}{8}, \beta = -2, \gamma = \frac{19}{8}$.
$3\alpha + \gamma$ ની ગણતરી કરતા:
$3(\frac{7}{8}) + \frac{19}{8} = \frac{21}{8} + \frac{19}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
$\beta = -2$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$A) \beta = -2$
$B) 2\beta = -4$
$C) 1 - 2\beta = 1 - 2(-2) = 5$
$D) 2\beta + 1 = 2(-2) + 1 = -3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AX=B$ નો અનન્ય ઉકેલ $X=D$ છે. તેથી,$AD=B$.
આપેલ છે કે $CX=D$ નો અનન્ય ઉકેલ $X=B$ છે. તેથી,$CB=D$.
બીજા સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $B = C^{-1}D$.
$B$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $AD = C^{-1}D$.
આ સૂચવે છે કે $(A - C^{-1})D = O$.
આને $(A - C^{-1})X = O$ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $X=D$ એ ઉકેલ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) 2x - 3y + 2z = -15$
$2) 3x + y - z = -2$
$3) x - 3y - 3z = -8$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$z = 3x + y + 2$ મળે છે.
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x - 3y + 2(3x + y + 2) = -15$
$2x - 3y + 6x + 2y + 4 = -15$
$8x - y = -19$ --- $(4)$
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x - 3y - 3(3x + y + 2) = -8$
$x - 3y - 9x - 3y - 6 = -8$
$-8x - 6y = -2$ --- $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$(8x - y) + (-8x - 6y) = -19 - 2$
$-7y = -21 \implies y = 3$
$y = 3$ ને $(4)$ માં મૂકતા:
$8x - 3 = -19$
$8x = -16 \implies x = -2$
$x = -2$ અને $y = 3$ ને $z = 3x + y + 2$ માં મૂકતા:
$z = 3(-2) + 3 + 2 = -6 + 5 = -1$
આમ,$\alpha = -2, \beta = 3, \gamma = -1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$\alpha + \beta + \gamma = -2 + 3 - 1 = 0$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ સુસંગત હોવી જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધતા:
$D = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 12 - 2q - 3p + pq - 6 = pq - 3p - 2q + 6 = (p - 2)(q - 3) = 0$.
આથી $p = 2$ અથવા $q = 3$ મળે.
જો $p = 2$ લઈએ,તો સમીકરણો નીચે મુજબ બને:
$2x + 2y + 6z = 8 \implies x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજું સમીકરણ સમાન હોવાથી,ત્રણ ચલ માટે બે સ્વતંત્ર સમીકરણો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ $q$ માટે અનંત ઉકેલો મળે.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,$p = 2$ એ વિકલ્પ $B$ માં છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
ધારો કે $X = \ln x$ અને $Y = \ln y$. આથી સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$aX + bY = m$
$cX + dY = n$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} m & b \\ n & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} a & m \\ c & n \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
$X = \ln x$ હોવાથી,$x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ મળે.
$Y = \ln y$ હોવાથી,$y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ મળે.
આમ,$x$ અને $y$ ની કિંમતો $e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ અને $e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ છે.

(C) ધારો કે $M$ એ $A$ માંનો એક શ્રેણિક છે. શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક,જેને $\det(M)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે માત્ર $\{ -1, 0, 1 \}$ ગણમાંથી જ મૂલ્યો લઈ શકે છે કારણ કે તેના ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે.
શ્રેણિક $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરવાની પ્રક્રિયા ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $M'$ એ $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરીને મેળવેલ શ્રેણિક છે. તો $\det(M') = -\det(M)$.
જો આપણે $B$ માંના શ્રેણિક $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરીએ,તો આપણને $C$ માંનો શ્રેણિક $M'$ મળે છે કારણ કે $\det(M') = -\det(M) = -1$.
તે જ રીતે,જો આપણે $C$ માંના શ્રેણિક $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરીએ,તો આપણને $B$ માંનો શ્રેણિક $M'$ મળે છે કારણ કે $\det(M') = -\det(M) = -(-1) = 1$.
આ $B$ અને $C$ ગણ વચ્ચે એક એક સંગતતા (bijection) દર્શાવે છે.
તેથી,$B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $C$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા જેટલી જ છે.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{n=0}^{\infty} D_n$ છે,જ્યાં $D_n = \left|\begin{array}{cc} (1/2)^n & (1/3)^n \\ 3 & 1 \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયક $D_n$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$D_n = (1/2)^n \times 1 - 3 \times (1/3)^n = (1/2)^n - 3 \times (1/3)^n$.
હવે,શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n)$ નો સરવાળો કરીએ.
આને બે અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n - 3 \sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n$.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $|r| < 1$):
પ્રથમ શ્રેણી માટે,$r = 1/2$,તેથી $\sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
બીજી શ્રેણી માટે,$r = 1/3$,તેથી $\sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n = \frac{1}{1 - 1/3} = 3/2$.
આ કિંમતો $S$ માં મૂકતા:
જો શ્રેણી $n=1$ થી શરૂ થાય,તો $S = \sum_{n=1}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n) = (2-1) - 3(3/2 - 1) = 1 - 1.5 = -0.5$.
આમ,સાચો જવાબ $-1/2$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,આ સરળ થઈને નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
$R_1 \to R_1 - R_2$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \times [2(1+4\sin 4\theta) - 4\sin 4\theta] = 0$
$1 \times [2 + 8\sin 4\theta - 4\sin 4\theta] = 0$
$2 + 4\sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < 4\theta < 2\pi$ થાય.
$4\theta$ ના મૂલ્યો જેના માટે $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ થાય તે $\frac{7\pi}{6}$ અને $\frac{11\pi}{6}$ છે.
જો $4\theta = \frac{7\pi}{6}$,તો $\theta = \frac{7\pi}{24}$.
જો $4\theta = \frac{11\pi}{6}$,તો $\theta = \frac{11\pi}{24}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{7\pi}{24}$ એ સાચું મૂલ્ય છે.

(A) ક્રેમરના નિયમ મુજબ,$X = \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ માટે ઉકેલ $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta}$,અને $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\Delta_1$ ની ગણતરી કરો: $\Delta_1 = -11(1 - (-2)) - 1(-4 - (-10)) - 7(-4 - 5) = -11(3) - 1(6) - 7(-9) = -33 - 6 + 63 = 24$.
ત્યારબાદ,$\Delta_3$ ની ગણતરી કરો: $\Delta_3 = 4(5 - (-4)) - 1(5 - (-16)) - 11(1 - 4) = 4(9) - 1(21) - 11(-3) = 36 - 21 + 33 = 48$.
જેમ કે $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$ અને $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$,તેથી $x = \frac{24}{\Delta}$ અને $z = \frac{48}{\Delta}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $z = 2x$. વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$: $x = -1, z = 2$ ($z = 2x$ નું પાલન કરે છે)
વિકલ્પ $B$: $x = 2, z = -1$ (પાલન કરતું નથી)
વિકલ્પ $C$: $x = 1, z = 2$ (પાલન કરતું નથી)
વિકલ્પ $D$: $x = 1, z = -1$ (પાલન કરતું નથી)
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે નિશ્ચાયક $D = 0$ અને $D_x = D_y = D_z = 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ સંહતિ:
$2x + 3y - 3z = 3$
$x + 2y + \alpha z = 1$
$2x - y + z = \beta$
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 + \alpha) - 3(1 - 2\alpha) - 3(-1 - 4) = 4 + 2\alpha - 3 + 6\alpha + 15 = 8\alpha + 16$.
$D = 0$ લેતા,$8\alpha + 16 = 0$,તેથી $\alpha = -2$.
હવે,$D_z$ ની ગણતરી કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 2(2\beta + 1) - 3(\beta - 2) + 3(-1 - 4) = 4\beta + 2 - 3\beta + 6 - 15 = \beta - 7$.
$D_z = 0$ લેતા,$\beta = 7$.
હવે $\frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2}{7} - \frac{7}{-2} = -\frac{2}{7} + \frac{7}{2} = \frac{-4 + 49}{14} = \frac{45}{14}$.

(B) ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખીએ છીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક $(|A|)$ ગણો:
$|A| = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$|A| = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$|A| = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$ છે,સિસ્ટમ કાં તો અસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી) અથવા અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.
આપણે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$
રો ઓપરેશન્સ કરતા: $R_1 \leftrightarrow R_2$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 7 & -5 & | & 4 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix}$.
છેલ્લી હાર સૂચવે છે કે $0 = -1$,જે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આ સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર કહેવાય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & k & k \\ k & -4 & -6 \\ k & -3 & -5 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0((-4)(-5) - (-6)(-3)) - k(k(-5) - (-6)(k)) + k(k(-3) - (-4)(k))$
$|A| = 0 - k(-5k + 6k) + k(-3k + 4k)$
$|A| = -k(k) + k(k)$
$|A| = -k^2 + k^2 = 0$.
અહીં નિશ્ચાયક $k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $0$ થાય છે,તેથી શ્રેણિક $A$ એ $k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સિંગ્યુલર છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સમીકરણ $x^3+6x^2+5x-42=0$ નું વાસ્તવિક બીજ શોધો. $-42$ ના પૂર્ણાંક અવયવો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ માટે: $(2)^3+6(2)^2+5(2)-42 = 8+24+10-42 = 0$. તેથી,$\alpha=2$ એ એક બીજ છે.
હવે $\alpha=2$ ને શ્રેણિકમાં મૂકતા:
$M = \left[\begin{array}{ccc}2-1 & 2+1 & 2+2 \\ 2-2 & 2+3 & 2-3 \\ 2+4 & 2-4 & 2+5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 \\ 6 & -2 & 7\end{array}\right]$.
હવે,નિશ્ચાયક $|M|$ ની ગણતરી કરો:
$|M| = 1(5 \times 7 - (-1) \times (-2)) - 3(0 \times 7 - (-1) \times 6) + 4(0 \times (-2) - 5 \times 6)$
$|M| = 1(35 - 2) - 3(0 + 6) + 4(0 - 30)$
$|M| = 1(33) - 3(6) + 4(-30)$
$|M| = 33 - 18 - 120 = -105$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -x & 14x & 7x \\ 0 & 1 & 0 \\ x & -4x & -2x \end{bmatrix}$. વ્યસ્ત $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A$ ની પ્રથમ હાર અને $A^{-1}$ ના પ્રથમ સ્તંભનો ગુણાકાર કરતા:
$(-x)(2) + (14x)(0) + (7x)(1) = 1$ (કારણ કે $I$ ના $(1,1)$ સ્થાન પર $1$ છે)
$-2x + 7x = 1 \implies 5x = 1 \implies x = 1/5$.
હવે,આપણે નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc} x & x+1 & x+2 \\ x+1 & x+2 & x+3 \\ x+2 & x+3 & x+4 \end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
હાર પર પ્રક્રિયા કરતા: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$.
$D = \left|\begin{array}{ccc} x & x+1 & x+2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
બે હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) માટે,$\sin^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે. કારણ કે $\sqrt{x^2+x+1} \ge 0$,આપણે $0 \le x^2+x+1 \le 1$ ની જરૂર છે.
$x^2+x+1 \ge 0$ ઉકેલતા: વિવેચક $D = 1-4 = -3 < 0$,તેથી બધા $x \in R$ માટે $x^2+x+1 > 0$.
$x^2+x+1 \le 1$ ઉકેલતા: $x^2+x \le 0 \implies x(x+1) \le 0$,તેથી $x \in [-1, 0]$. આમ,$A = [-1, 0]$.
$B$ માટે,$x \in [-1, 0]$ માટે $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1})$ નો વિસ્તાર શોધીએ.
ધારો કે $f(x) = x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
$x \in [-1, 0]$ માટે,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ ($x = -1/2$ પર) અને મહત્તમ કિંમત $1$ ($x = -1$ અથવા $x = 0$ પર) છે.
તેથી,$\sqrt{x^2+x+1} \in [\sqrt{3}/2, 1]$.
પછી $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1}) \in [\sin^{-1}(\sqrt{3}/2), \sin^{-1}(1)] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$.
તેથી $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$.
વિકલ્પો તપાસતા: $A = [-1, 0]$ અને $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$.
$A \cap B = \phi$ (ખાલી ગણ).
$A \cap B^C = A \setminus B = [-1, 0] \setminus [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] = [-1, 0]$.
$A^C \cap B = B \setminus A = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] \setminus [-1, 0] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે,$\operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ વિધેય $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ માં આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \in [1, \infty)$,તો $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ અને $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ ના પ્રદેશ (જે $[-1, 1]$ છે) મુજબ માત્ર $x = 1$ શક્ય છે.
$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
કિસ્સો $2$: જો $x \in (-\infty, -1]$,તો $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ અને $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ ના પ્રદેશ મુજબ માત્ર $x = -1$ શક્ય છે.
$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, \pi\}$ છે.

(D) ધારો કે $u = x^2 + 2x + k$. સમીકરણ $2 \operatorname{Cot}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ બને છે.
નિત્યસમ $\operatorname{Cot}^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(\frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\pi - 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\operatorname{Tan}^{-1}(u) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $u = 0$.
તેથી,$x^2 + 2x + k = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે તે માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k$.
$D > 0$ લેતા,$4 - 4k > 0$,જેનું સાદું રૂપ $4 > 4k$ અથવા $k < 1$ થાય છે.
આમ,$k \in (-\infty, 1)$.

(C) વિધેય $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sin x + \cos x)$ વધતું વિધેય છે તે જાણવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$.
વિધેય $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
છેદ $1 + (\sin x + \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,અંશ ધન હોવો જોઈએ:
$\cos x - \sin x > 0$.
$\cos x > \sin x$.
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ભાગતા (જ્યારે $\cos x > 0$),આપણને $1 > \tan x$ મળે,જેનો અર્થ છે $\tan x < 1$.
આ અસમતા $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ માટે સાચી છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એટલે કે $\left(-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)$. તેથી $\tan \theta = \frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 \theta = 1 + \frac{a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$.
તેથી,$\sec \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
હવે,ધારો કે $\phi = \cos^{-1} x$. તેથી $\cos \phi = x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$.
તેથી,$\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
આપેલ સમીકરણ $\cot \phi = \sec \theta$ છે,તેથી $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2) = b^2 - b^2x^2$.
$x^2(b^2-a^2+b^2) = b^2$.
$x^2(2b^2-a^2) = b^2$.
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2-a^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{b}{\sqrt{2b^2-a^2}}$.

(A) ધારો કે $x = \frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{\sqrt{15}+1}$.
નોંધો કે $8-2 \sqrt{15} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$,તેથી $\sqrt{8-2 \sqrt{15}} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
આમ,$x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $x = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5+3-2 \sqrt{15}}{2} = \frac{8-2 \sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Tan}^{-1}(4-\sqrt{15}) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \right) - \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \sqrt{\frac{5}{3}} \right) - \frac{\pi}{4}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીને,પદાવલિ $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ માં પરિણમે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$.
દરેક પદને $\tan^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલા પદો પર આ લાગુ પાડતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) = \tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{13}\right) = \tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) = \tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{31}\right) = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5)$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે:
$\theta = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + (\tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)) + (\tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5))$
$\theta = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(1)$
સૂત્ર $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$
તેથી,$\tan \theta = \frac{5}{7}$.

(A) આપણે $2 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x = \frac{1}{3}$ માટે,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan \left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\right)$ બને છે.
$\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan^{-1}(1)$.
અંતે,$\tan(\tan^{-1}(1)) = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $\cos ^{-1} x = \theta$,તો $x = \cos \theta$,જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\cos ^{-1}(1-\cos \theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\cos ^{-1}(1-\cos \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા:
$1-\cos \theta = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = -\sin(2\theta)$.
$1-\cos \theta = -2\sin \theta \cos \theta$.
$1 - (1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = -2(2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}))\cos \theta$.
$2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = -4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
કિસ્સો $1$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = \cos 0 = 1$.
$x=1$ ચકાસતા: $\cos ^{-1}(0) - 2\cos ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. આ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = -2\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
$\tan(\frac{\theta}{2}) = -2\cos \theta$. કારણ કે $\theta \in [0, \pi]$,$\tan(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ અને $-2\cos \theta$ ઋણ હોઈ શકે છે. $\theta \in [0, \pi/2]$ માટે,$\cos \theta \ge 0$,તેથી $-2\cos \theta \le 0$. માત્ર $\theta=0$ પર જ છેદન બિંદુ મળે છે (જે પહેલેથી મળી ગયું છે).
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sqrt{x(x+1)}) + \operatorname{Sin}^{-1}(\sqrt{x^2+x+1})$.
પદ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,દલીલોએ પ્રદેશની શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. $x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
$2$. $0 \le x^2+x+1 \le 1$.
કારણ કે $x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4$,ન્યૂનતમ કિંમત $3/4$ છે. તેથી,$x^2+x+1 \le 1 \implies x^2+x \le 0 \implies x(x+1) \le 0 \implies x \in [-1, 0]$.
$(1)$ અને $(2)$ ની શરતોને જોડતા,આપણને $x \in \{-1, 0\}$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$,તો $\operatorname{Tan}^{-1}(0) + \operatorname{Sin}^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. આ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $x = -1$,તો $\operatorname{Tan}^{-1}(0) + \operatorname{Sin}^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. આ એક ઉકેલ છે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે $y = \operatorname{Tanh}^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.
ધારો કે $x = \cos \theta$,તેથી $\theta = \cos^{-1} x$.
તેથી $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \cos^2 (\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$.
તેથી,$y = \operatorname{Tanh}^{-1} (\tan(\theta/2))$.
નિત્યસમ $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+\tan(\theta/2)}{1-\tan(\theta/2)} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\cos^{-1} x}{2} \right) \right)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})} \cdot \sec^2(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{2} + \theta)} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2 \cos \theta} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2x \sqrt{1-x^2}}$.

(B) ધારો કે $y = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$.
તેથી $2y = \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$,એટલે કે $\sin 2y = \frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}$.
નિત્યસમ $\sin 2y = \frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}$,$\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y} = \frac{3 \left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)}{5+4 \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)} = \frac{6 \tan \theta}{5(1+\tan^2 \theta) + 4(1-\tan^2 \theta)} = \frac{6 \tan \theta}{9+\tan^2 \theta}$.
ધારો કે $t = \tan \theta$ અને $x = \tan y$. તેથી $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{6t}{9+t^2}$.
ગુણાકાર કરતા: $2x(9+t^2) = 6t(1+x^2) \implies 18x + 2xt^2 = 6t + 6tx^2$.
ગોઠવતા: $6tx^2 - (18+2t^2)x + 6t = 0 \implies 3tx^2 - (9+t^2)x + 3t = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3x-t)(tx-3) = 0$.
આમ,$x = \frac{t}{3} = \frac{1}{3} \tan \theta$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Tan}^{-1}(a) - \operatorname{Tan}^{-1}(b) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$.
આપણે પદોને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{1+2x^2}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-x}{1+(2x)(x)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(2x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)$.
આ કિંમતોને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (\operatorname{Tan}^{-1}(2x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)) + (\operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)) = \operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(3x)) - \frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(x)) = \frac{3}{1+(3x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{3}{9x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}$.

(B) ધારો કે $g(x) = 9x^2 - 12x + 22$.
આપણે તેને $g(x) = (3x - 2)^2 + 18$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
જ્યારે $3x - 2 = 0$ એટલે કે $x = \frac{2}{3}$ હોય ત્યારે $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $18$ મળે છે.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $g(x) \to \infty$.
આમ,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[18, \infty)$ છે.
પરિણામે,$\sqrt{g(x)}$ નો વિસ્તાર $[\sqrt{18}, \infty) = [3\sqrt{2}, \infty)$ છે.
હવે,$\operatorname{Cos}^{-1}$ નો તર્ક $u = \frac{3}{\sqrt{g(x)}}$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\sqrt{g(x)} \geq 3\sqrt{2}$,તેથી $0 < \frac{3}{\sqrt{g(x)}} \leq \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$u \in (0, \frac{1}{\sqrt{2}}]$.
કારણ કે $\operatorname{Cos}^{-1}(u)$ એ ઘટતું વિધેય છે,તેથી $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(u)$ નો વિસ્તાર $[\operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}), \operatorname{Cos}^{-1}(0))$ થશે.
આ કિંમત $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ માં પરિણમે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| - |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}\right)$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{-3\pi}{2} < x < \frac{-\pi}{2}$,તેથી $\frac{-3\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{-\pi}{4}$.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} < 0$ અને $\sin \frac{x}{2} < 0$,અને $|\sin \frac{x}{2}| > |\cos \frac{x}{2}|$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા $y = \operatorname{Sin}^{-1}(\cot(\frac{x}{2}))$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{Tan}^{-1} 1 + \frac{1}{2} \operatorname{Cos}^{-1} x^2 - \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$.
ધારો કે $x^2 = \cos 2\theta$,જ્યાં $2\theta \in [0, \pi]$. તો $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{2}\cos\theta$ અને $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{2}\sin\theta$.
ત્રીજું પદ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\theta)\right) = \frac{\pi}{4} + \theta$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(2\theta) - (\frac{\pi}{4} + \theta) = 0$.
આ $0 = 0$ માં પરિણમે છે,જે એક નિત્યસમ છે.
જોકે,વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $1-x^2 \ge 0$ એટલે કે $x^2 \le 1$ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x^2 \neq 1$.
વળી $x^2 \ge 0$. આમ,$x^2 \in [0, 1)$.
આમ,$x^2$ ની અનંત કિંમતો માટે આ સમીકરણ સાચું છે,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા અનંત છે.