AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(3, -1), (1, 3)$ અને $(2, 4)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $C = (\frac{3+1+2}{3}, \frac{-1+3+4}{3}) = (2, 2).$
રેખાઓ $x + 3y - 1 = 0$ અને $3x - y + 1 = 0$ નું છેદબિંદુ $P = (-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).$
$C(2, 2)$ અને $P(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $8x - 11y + 6 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $(-9, -6)$ બિંદુ મૂકતા: $8(-9) - 11(-6) + 6 = -72 + 66 + 6 = 0.$
તેથી,રેખા $(-9, -6)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) પ્રથમ,$6$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ પુરુષો $(6-1)! = 5!$ રીતે બેસી શકે છે.
આ $6$ પુરુષોની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $5$ સ્ત્રીઓને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે બેસાડવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$6$ જગ્યાઓમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times 6!$ છે.

(C) ધારો કે $p(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ માટે,$p(1) = 2 \cdot 4^3 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$209 = 11 \times 19$ હોવાથી,$p(1)$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $p(k) = 2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1}$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
હવે,$p(k+1) = 2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 16 \cdot (2 \cdot 4^{2k+1}) + 27 \cdot 3^{3k+1}$.
$p(k+1) = 16 \cdot (2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1}) + 11 \cdot 3^{3k+1}$.
અહીં $p(k)$ અને $11 \cdot 3^{3k+1}$ બંને $11$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $p(k+1)$ પણ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપણે $m \in \mathbb{N}$ શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $(x+y)$ એ $(x^m+y^m)$ ને ભાગી શકે.
ધારો કે $P(m)$ એ વિધાન છે કે $(x+y) \mid (x^m+y^m)$.
$m=1$ માટે: $x^1+y^1 = x+y$,જે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
$m=2$ માટે: $x^2+y^2$ એ સામાન્ય રીતે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય નથી. તેથી,$P(2)$ અસત્ય છે.
$m=3$ માટે: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$,જે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(3)$ સત્ય છે.
સામાન્ય રીતે,$x^m+y^m$ એ $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો $m$ એ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય.
તેથી,આ વિભાજ્યતા બધી એકી સંખ્યાઓ $m \in \mathbb{N}$ માટે સાચી છે.

(B) ધારો કે $A$ એ $1$ થી $1000$ સુધીની $2$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,અને $B$ એ $1$ થી $1000$ સુધીની $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
આપણે $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ શોધવાનું છે.
$|A| = \lfloor \frac{1000}{2} \rfloor = 500$.
$|B| = \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333$.
$|A \cap B|$ એ $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,એટલે કે $\text{lcm}(2, 3) = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$|A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{6} \rfloor = 166$.
તેથી,$|A \cup B| = 500 + 333 - 166 = 667$.

(D) પદાવલિ $(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ એ $4$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં,$k = 4$ છે,તેથી ગુણાકાર $4!$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,આ પદાવલિ હંમેશા $24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) સમીકરણ $(x^2+5x+5)^{x+5}=1$ નીચેના કિસ્સાઓમાં સાચું છે:
કિસ્સો $1$: ઘાતાંક $0$ હોય અને આધાર શૂન્ય ન હોય.
$x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
આધાર તપાસતા: $(-5)^2+5(-5)+5 = 5 \neq 0$. તેથી,$x=-5$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: આધાર $1$ હોય.
$x^2+5x+5=1$ $\Rightarrow x^2+5x+4=0$ $\Rightarrow (x+1)(x+4)=0$.
તેથી,$x=-1$ અને $x=-4$ ઉકેલો છે.
કિસ્સો $3$: આધાર $-1$ હોય અને ઘાતાંક બેકી પૂર્ણાંક હોય.
$x^2+5x+5=-1$ $\Rightarrow x^2+5x+6=0$ $\Rightarrow (x+2)(x+3)=0$.
તેથી,$x=-2$ અથવા $x=-3$.
$x=-2$ માટે,ઘાતાંક $x+5 = 3$ (એકી) છે,તેથી આ ઉકેલ નથી.
$x=-3$ માટે,ઘાતાંક $x+5 = 2$ (બેકી) છે,તેથી $x=-3$ એક ઉકેલ છે.
પૂર્ણાંક ઉકેલોનો ગણ $\{-5, -1, -4, -3\}$ છે.
તેથી,સમીકરણનું સમાધાન કરતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ અસમતા $8n + 16 \leq 2^n$ છે.
આપણે પદને $2^3(n + 2) \leq 2^n$ તરીકે લખી શકીએ.
ચાલો વિકલ્પો ચકાસીએ:
$n = 5$ માટે: $8(5) + 16 = 40 + 16 = 56$ અને $2^5 = 32$. $56 \not\leq 32$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$n = 6$ માટે: $8(6) + 16 = 48 + 16 = 64$ અને $2^6 = 64$. $64 \leq 64$ સત્ય હોવાથી,આ વિધાન $n = 6$ માટે સાચું છે.

(A) આપેલ છે,$mn=3$ અને $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{4}{3}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{m+n}{mn}=\frac{4}{3}$.
$mn=3$ મૂકતા,આપણને $\frac{m+n}{3}=\frac{4}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m+n=4$.
આપણી પાસે $m+n=4$ અને $mn=3$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-4x+3=0$ ના ઉકેલ $m$ અને $n$ છે.
$(x-1)(x-3)=0$,તેથી $m=1, n=3$ અથવા $m=3, n=1$.
હવે,$0.1+0.1^{\frac{1}{m}}+0.1^{\frac{1}{n}}$ પદની કિંમત શોધો.
$m=1$ અને $n=3$ મૂકતા,આપણને $0.1+0.1^1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.1+0.1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.2+0.1^{\frac{1}{3}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $a = \frac{x}{y-z}$,$b = \frac{y}{z-x}$,$c = \frac{z}{x-y}$.
ધારો કે $x=1, y=2, z=4$ લેતા.
$a = \frac{1}{2-4} = -\frac{1}{2}$
$b = \frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$
$c = \frac{4}{1-2} = -4$
હવે $ab + bc + ca + abc$ ની ગણતરી કરતા:
$ab = -\frac{1}{3}$,$bc = -\frac{8}{3}$,$ca = 2$,$abc = \frac{4}{3}$.
સરવાળો $= -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} + 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $11 x^2 + 12 x - 13 = 0$ છે।
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{12}{11}$ અને $\alpha \beta = -\frac{13}{11}$ મળે.
આપણે $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(-\frac{12}{11})^2 - 2(-\frac{13}{11})}{(-\frac{13}{11})^2}$.
$= \frac{\frac{144}{121} + \frac{26}{11}}{\frac{169}{121}} = \frac{\frac{144 + 286}{121}}{\frac{169}{121}} = \frac{430}{169}$.
$\frac{430}{169} \approx 2.544$.
આમ,કિંમત આશરે $2.54$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $7x^2 - 13x + a = 0$ છે.
બીજ સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-13)^2 - 4(7)(a) = 169 - 28a$.
$D$ પૂર્ણવર્ગ હોવા માટે,$169 - 28a = k^2$ થવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
જો $a = 5$,$D = 169 - 140 = 29$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
જો $a = 6$,$D = 169 - 168 = 1 = 1^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
તેથી,$a$ ની શક્ય ન્યૂનતમ કિંમત $6$ છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $p=a-3d, q=a-d, r=a+d, s=a+3d$ છે.
$p$ અને $q$ એ $x^2-2x+A=0$ ના બીજ હોવાથી,$p+q=2$ અને $pq=A$ મળે.
$r$ અને $s$ એ $x^2-18x+B=0$ ના બીજ હોવાથી,$r+s=18$ અને $rs=B$ મળે.
બીજનો સરવાળો કરતા: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d) = 4a = 2+18 = 20$,તેથી $a=5$.
$p+q=2$ પરથી,$(a-3d)+(a-d) = 2a-4d = 2$ મળે.
$a=5$ મૂકતા,$10-4d=2$ મળે,તેથી $4d=8$,એટલે કે $d=2$.
બીજ $p=5-3(2)=-1$,$q=5-2=3$,$r=5+2=7$,અને $s=5+3(2)=11$ છે.
આમ,$A = pq = (-1)(3) = -3$ અને $B = rs = (7)(11) = 77$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $i x^2 - 2(i + 1) x + (2 - i) = 0$.
ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપણને એક બીજ $\alpha = 2 - i$ આપેલ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$a = i$ અને $c = 2 - i$ છે.
તેથી,$(2 - i) \times \beta = \frac{2 - i}{i}$.
બંને બાજુ $(2 - i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\beta = \frac{1}{i}$ મળે.
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા,$\beta = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$ મળે.
આમ,બીજું બીજ $-i$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n$.
$2$ અને $3$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી,$f(2) = 0$ અને $f(3) = 0$ થાય.
$f(2) = 0$ માટે: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$ $\Rightarrow 16 + 4m - 26 + n = 0$ $\Rightarrow 4m + n = 10 \dots (i)$.
$f(3) = 0$ માટે: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$ $\Rightarrow 54 + 9m - 39 + n = 0$ $\Rightarrow 9m + n = -15 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$ $\Rightarrow 5m = -25$ $\Rightarrow m = -5$.
$m = -5$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા: $4(-5) + n = 10$ $\Rightarrow -20 + n = 10$ $\Rightarrow n = 30$.
આમ,$m = -5$ અને $n = 30$ મળે છે.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ: $9x^3 + 112x^2 - 120x + a = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = 12$ આપેલ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
અહીં,$A = 9$ અને $D = a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{a}{9} = 12$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા: $-a = 12 \times 9 = 108$.
તેથી,$a = -108$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંમેય સહગુણકો ધરાવતા ત્રિઘાત સમીકરણમાં જો એક અસંમેય બીજ $\alpha+\sqrt{\beta}$ હોય,તો તેનું અનુબદ્ધ બીજ $\alpha-\sqrt{\beta}$ પણ હોય.
તેથી,બીજ $1, 2+\sqrt{5}$ અને $2-\sqrt{5}$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર: $x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-(\alpha\beta\gamma)=0$.
અહીં $\alpha=1, \beta=2+\sqrt{5}, \gamma=2-\sqrt{5}$.
બીજનો સરવાળો: $1+2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} = 5$.
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $1(2+\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})+1(2-\sqrt{5}) = 2+\sqrt{5}+4-5+2-\sqrt{5} = 3$.
બીજનો ગુણાકાર: $1(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 1(4-5) = -1$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^3-5x^2+3x+1=0$ છે.

(NONE) સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
આપણે $\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 + 3\alpha\beta\gamma$.
તેથી,$\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$.
કિંમતો મૂકતા:
$= (6)(11) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+4x-19=0$ ના બીજ છે.
કારણ કે $\alpha$ એ બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$\alpha^3 + 4\alpha - 19 = 0$
$\Rightarrow \alpha^3 = 19 - 4\alpha$
બંને બાજુ $(19 - 4\alpha)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha^3}{19 - 4\alpha} = 1$
તે જ રીતે,$\beta$ અને $\gamma$ પણ સમાન સમીકરણના બીજ હોવાથી:
$\frac{\beta^3}{19 - 4\beta} = 1$
$\frac{\gamma^3}{19 - 4\gamma} = 1$
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\alpha^3}{19-4\alpha} + \frac{\beta^3}{19-4\beta} + \frac{\gamma^3}{19-4\gamma} = 1 + 1 + 1 = 3$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2-bx}{ax-c} = \frac{m-1}{m+1}$
ગુણાકાર કરતા: $(x^2-bx)(m+1) = (m-1)(ax-c)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2(m+1) - bx(m+1) = ax(m-1) - c(m-1)$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2(m+1) - x(b(m+1) + a(m-1)) + c(m-1) = 0$
ધારો કે બીજ $p$ અને $-p$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A}$ થાય છે.
બીજનો સરવાળો $p + (-p) = 0$ હોવાથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$b(m+1) + a(m-1) = 0$
$bm + b + am - a = 0$
$m(a+b) = a-b$
તેથી,$m = \frac{a-b}{a+b}$

(B) આપેલ બહુપદી સમીકરણ: $x^4-3x^2+6x-12=0$ ... $(i)$
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=0, c=-3, d=6, e=-12$ મળે છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = -\delta$,$\alpha+\delta+\gamma = -\beta$,$\alpha+\beta+\delta = -\gamma$,અને $\delta+\beta+\gamma = -\alpha$.
વળી,$\Sigma \alpha\beta\gamma = -6$ અને $\alpha\beta\gamma\delta = -12$.
આ કિંમતો મૂકતા: $-(\frac{1}{\delta} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\alpha}) = -(\frac{\Sigma \alpha\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma\delta}) = -(\frac{-6}{-12}) = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+px+q=0$ છે ... $(i)$
$ax^2+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=p, c=q$ મળે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\alpha = \beta^2$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -p \Rightarrow \beta^2 + \beta = -p$ ... (ii)
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = q$ $\Rightarrow \beta^2 \cdot \beta = q$ $\Rightarrow \beta^3 = q$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) ની બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(\beta^2 + \beta)^3 = (-p)^3$
$\beta^6 + \beta^3 + 3\beta^2 \cdot \beta(\beta^2 + \beta) = -p^3$
$\beta^3 = q$ અને $\beta^2 + \beta = -p$ મુકતા:
$(q)^2 + q + 3q(-p) = -p^3$
$q^2 + q - 3pq = -p^3$
$p^3 - 3pq = -q^2 - q$
$p(p^2 - 3q) = -q(q+1)$
$p(3q - p^2) = q(q+1)$

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2-5|x|-14=0$.
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$|x|^2-5|x|-14=0$.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. સમીકરણ $t^2-5t-14=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t-7)(t+2)=0$.
આથી $t=7$ અથવા $t=-2$ મળે છે.
કારણ કે $t = |x| \geq 0$,આપણે $t=-2$ ને સ્વીકારી શકતા નથી.
તેથી,$|x|=7$,જેનો અર્થ છે કે $x=7$ અથવા $x=-7$.
બંને બીજ વાસ્તવિક છે. તેથી,કુલ બે વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$\alpha, \beta$ અને $\gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-3x^2+x+5=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -5$
હવે,$y = \Sigma \alpha^2 + \alpha \beta \gamma = (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) + \alpha \beta \gamma$.
નિત્યસમ $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = (3)^2 - 2(1) + (-5) = 9 - 2 - 5 = 2$.
$y=2$ હોવાથી,આપણે ચકાસીએ કે કયું સમીકરણ $y=2$ દ્વારા સંતોષાય છે:
વિકલ્પ $B$ માટે: $y^3-y^2-y-2 = (2)^3 - (2)^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
આમ,$y=2$ એ સમીકરણ $y^3-y^2-y-2=0$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$ છે.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 4bx + 4c = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A=1, B=4b, C=4c$:
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{(4b)^2 - 4(1)(4c)}}{2(1)}$
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{16b^2 - 16c}}{2}$
$x = \frac{-4b \pm 4\sqrt{b^2 - c}}{2}$
$x = -2b \pm 2\sqrt{b^2 - c}$.
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$b$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $b^2 - c$ એ કોઈ પૂર્ણાંકનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+mx+n=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = m^2 - 4n \geq 0$,જેનો અર્થ છે $m^2 \geq 4n$.
આપેલ છે કે $0 \leq m, n \leq 10$,આપણે $n \leq \frac{m^2}{4}$ નું પાલન કરતી જોડીઓ $(m, n)$ ગણીએ:
- જો $m=10$,$n \leq 25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=9$,$n \leq 20.25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=8$,$n \leq 16$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=7$,$n \leq 12.25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=6$,$n \leq 9$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ($10$ કિંમતો).
- જો $m=5$,$n \leq 6.25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 6\}$ ($7$ કિંમતો).
- જો $m=4$,$n \leq 4$,તેથી $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ કિંમતો).
- જો $m=3$,$n \leq 2.25$,તેથી $n \in \{0, 1, 2\}$ ($3$ કિંમતો).
- જો $m=2$,$n \leq 1$,તેથી $n \in \{0, 1\}$ ($2$ કિંમતો).
- જો $m=1$,$n \leq 0.25$,તેથી $n \in \{0\}$ ($1$ કિંમત).
- જો $m=0$,$n \leq 0$,તેથી $n \in \{0\}$ ($1$ કિંમત).
કુલ જોડીઓની સંખ્યા $= 11+11+11+11+10+7+5+3+2+1+1 = 73$.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. તો આપણી પાસે છે:
$1) \alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$
$2) \alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$
સમીકરણ $(1)$ ને $\alpha$ વડે ગુણતા:
$\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$
આ પરિણામમાંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) = 0$
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
કારણ કે $\alpha = 1$ એ સામાન્ય બીજ છે,તે પ્રથમ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(1)^3 + a(1) + 1 = 0$
$1 + a + 1 = 0$
$a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$

(A) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2+ax+b=0$ અને $x^2+bx+a=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2+a\alpha+b=0$ અને $\alpha^2+b\alpha+a=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2+a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha+a) = 0$
$a\alpha - b\alpha + b - a = 0$
$\alpha(a-b) - (a-b) = 0$
$(a-b)(\alpha-1) = 0$.
$a \neq b$ હોવાથી,$\alpha-1=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha=1$.
$\alpha=1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2-ax+b=0$ અને $x^2+bx-a=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2-a\alpha+b=0$ અને $\alpha^2+b\alpha-a=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2-a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha-a) = 0$
$-a\alpha-b\alpha+b+a = 0$
$-(a+b)\alpha + (a+b) = 0$
$(a+b)(1-\alpha) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a+b=0$ અથવા $\alpha=1$.
જો $\alpha=1$ એ બીજ હોય,તો $1^2-a(1)+b=0$,જે $1-a+b=0$ આપે છે,એટલે કે $a-b=1$.
આમ,સામાન્ય બીજ માટેની શરત $a+b=0$ અથવા $a-b=1$ છે.

(B) ધારો કે $x = e^t$,જેનો અર્થ છે કે $t = \log_e x$.
આથી,આપેલ સમીકરણ $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 22x + 4 = 0$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ એ આ ચતુર્થઘાત સમીકરણના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{4}{1} = 4$ થાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log_e(x_1 x_2 x_3 x_4) = \log_e 4$.
ગુણધર્મ $\log(ab) = \log a + \log b$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_e x_1 + \log_e x_2 + \log_e x_3 + \log_e x_4 = \log_e(2^2) = 2 \log_e 2$.
અહીં $t_i = \log_e x_i$ એ $t$ માં આપેલ મૂળ સમીકરણના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 2 \log_e 2$ થાય.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^3-4x^2+5x-2=0$ છે,જેના બીજ $x = 2, 1, 1$ છે.
બીજું સમીકરણ $f\left(x+\frac{1}{3}\right) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
જો $x_0$ એ $f(x) = 0$ નું બીજ હોય,તો નવા સમીકરણ માટે $x+\frac{1}{3} = x_0$ થવું જોઈએ.
તેથી,$x = x_0 - \frac{1}{3}$.
આ સંબંધમાં બીજ $x_0 = 2, 1, 1$ મૂકતા:
$x_1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
$x_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$x_3 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
આમ,નવા સમીકરણના બીજ $\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+3}$.
બંને બાજુ $(x+1)^2(x+3)$ વડે ગુણતા: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $3x-2 = A(x^2+4x+3) + B(x+3) + C(x^2+2x+1)$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.
$x$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $4A + B + 2C = 3$.
અચળ પદો સરખાવતા: $3A + 3B + C = -2$.
$C = -A$ ને અન્ય સમીકરણોમાં મૂકતા:
$4A + B - 2A = 3$ $\Rightarrow 2A + B = 3$ $\Rightarrow B = 3 - 2A$.
$3A + 3(3 - 2A) - A = -2$ $\Rightarrow 3A + 9 - 6A - A = -2$ $\Rightarrow -4A = -11$ $\Rightarrow A = \frac{11}{4}$.
તેથી $C = -\frac{11}{4}$ અને $B = 3 - 2(\frac{11}{4}) = 3 - \frac{11}{2} = -\frac{5}{2}$.
આપણે $4A + 2B + 4C = 4(\frac{11}{4}) + 2(-\frac{5}{2}) + 4(-\frac{11}{4}) = 11 - 5 - 11 = -5$ મેળવીએ છીએ.

(C) $2x^4-x^3+3x^2-x+4$ ને $x^2-3x+2$ વડે ભાગતા:
ભાગફળ $f(x) = 2x^2+5x+14$ મળે છે.
શેષ $31x-28$ મળે છે.
આમ,$\frac{2x^4-x^3+3x^2-x+4}{x^2-3x+2} = 2x^2+5x+14 + \frac{31x-28}{(x-1)(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{31x-28}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
$31x-28 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ લેતા: $3 = -A \Rightarrow A = -3$.
$x=2$ લેતા: $34 = B \Rightarrow B = 34$.
$A+B = -3+34 = 31$.
તેથી,$f(x) = 2x^2+5x+14$ અને $A+B = 31$.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$f(1) = 5$ અને $f(-1) = 19$.
$f(1) = 5$ માટે:
$1 - 2 + 3 - a + b = 5 \implies 2 - a + b = 5 \implies b - a = 3$ (સમીકરણ $i$).
$f(-1) = 19$ માટે:
$1 + 2 + 3 + a + b = 19 \implies 6 + a + b = 19 \implies a + b = 13$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા:
$(b - a) + (a + b) = 3 + 13 \implies 2b = 16 \implies b = 8$.
$b = 8$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$a + 8 = 13 \implies a = 5$.
આમ,$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 8$.
$f(x)$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે $f(2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(2) = (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 8$
$f(2) = 16 - 16 + 12 - 10 + 8 = 10$.
તેથી,શેષ $10$ છે.

(C) $Q(x)$ એ $n$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
આપેલ છે $Q(1)=1$ અને $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0 \dots (i)$.
સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$\frac{Q(0)}{Q(1)}+\frac{56}{7}-8=0$.
$Q(1)=1$ હોવાથી,$Q(0)+8-8=0$,તેથી $Q(0)=0$.
સમીકરણ $(i)$ ને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{Q(2x)}{Q(x+1)} = 8 - \frac{56}{x+7} = \frac{8x+56-56}{x+7} = \frac{8x}{x+7} \dots (ii)$.
$Q(0)=0$ હોવાથી,$x$ એ $Q(x)$ નો અવયવ છે. ધારો કે $Q(x) = x P(x)$.
$(ii)$ માં મૂકતા,$\frac{2x P(2x)}{(x+1) P(x+1)} = \frac{8x}{x+7} \implies \frac{P(2x)}{P(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7}$.
$x=-1$ માટે,$P(-2)=0$,તેથી $(x+2)$ એ $P(x)$ નો અવયવ છે. ધારો કે $P(x) = (x+2) R(x)$.
તેથી $\frac{(2x+2) R(2x)}{(x+3) R(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7} \implies \frac{R(2x)}{R(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7}$.
$x=-3$ માટે,$R(-6)=0$,તેથી $(x+6)$ એ $R(x)$ નો અવયવ છે. ધારો કે $R(x) = (x+6) S(x)$.
તેથી $\frac{(2x+6) S(2x)}{(x+7) S(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7} \implies \frac{S(2x)}{S(x+1)} = 1$.
આમ $S(x)$ અચળ છે.
તેથી $Q(x) = c \cdot x(x+2)(x+6)$.
$Q(1)=1$ હોવાથી,$c(1)(3)(7)=1 \implies c = \frac{1}{21}$.
ઘાત $n=3$.
${}^nC_0+{}^nC_1+\ldots+{}^nC_n$ ની કિંમત $2^n = 2^3 = 8$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
ધારો કે નવા બીજ $y_1 = \frac{1}{3\alpha-1}$ અને $y_2 = \frac{1}{3\beta-1}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $S = \frac{1}{3\alpha-1} + \frac{1}{3\beta-1} = \frac{3\beta-1+3\alpha-1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{3(\alpha+\beta)-2}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1}$.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{3(-\frac{b}{a})-2}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{-3b-2a}{9c+3b+a} = -\frac{3b+2a}{a+3b+9c}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $P = \frac{1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{1}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1} = \frac{1}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{a}{a+3b+9c}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે,જે $x^2 - (-\frac{3b+2a}{a+3b+9c})x + \frac{a}{a+3b+9c} = 0$ આપે છે.
$(a+3b+9c)$ વડે ગુણતા,આપણને $(a+3b+9c)x^2 + (3b+2a)x + a = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^3 - x^2 - 22x - 24 = 0$.
ધારો કે બીજ $3k, 4k, \gamma$ છે.
બીજનો સરવાળો: $3k + 4k + \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{1}{2} - 7k$.
બીજનો ગુણાકાર: $(3k)(4k)(\gamma) = 12$ $\Rightarrow 12k^2 \gamma = 12$ $\Rightarrow k^2 \gamma = 1$.
કિંમત મુકતા: $k^2(\frac{1}{2} - 7k) = 1 \Rightarrow 14k^3 - k^2 + 2 = 0$.
$k = -1/2$ લેતા,સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી બીજ $\frac{-3}{2}, -2, 4$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ ના બીજ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $HP$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ એ $AP$ માં છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ નો હાર્મોનિક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$HM = \frac{3}{\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}} = \frac{3(\alpha\beta\gamma)}{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha} = \frac{3c}{b}$.

(C) આપેલ છે કે $x^2+p x+1$ એ $a x^3+b x+c$ નો અવયવ છે.
ધારો કે $a x^3+b x+c = (x^2+p x+1)(a x+\alpha)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a x^3+b x+c = a x^3 + (p a+\alpha) x^2 + (p \alpha+a) x + \alpha$.
$x^2, x^1$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ p a + \alpha = 0 \implies p = -\frac{\alpha}{a}$
$2) \ p \alpha + a = b$
$3) \ \alpha = c$
પ્રથમ સમીકરણમાં $\alpha = c$ મૂકતા:
$p = -\frac{c}{a}$.
હવે,$p = -\frac{c}{a}$ અને $\alpha = c$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-\frac{c}{a})(c) + a = b$
$-\frac{c^2}{a} + a = b$
$-c^2 + a^2 = a b$
$a^2 - c^2 = a b$.

(B) આપેલ ઘાત સમીકરણ: $x^3+3x^2-7x+5=0$.
ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -7$
$\alpha\beta\gamma = -5$
આપણે $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}$.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3 - p x^2 + q x - r = 0$ ... $(i)$.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = p$ ... $(ii)$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$ ... $(iii)$
$\alpha \beta \gamma = r$ ... $(iv)$
આપેલ છે કે બે બીજ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે,ધારો કે $\alpha = -\beta$.
$\alpha = -\beta$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-\beta + \beta + \gamma = p \implies \gamma = p$.
$\gamma = p$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$\alpha \beta (p) = r \implies -\beta^2 p = r \implies \beta^2 = -\frac{r}{p}$.
$\alpha = -\beta$ અને $\gamma = p$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$-\beta^2 + \beta p - \beta p = q \implies -\beta^2 = q$.
$\beta^2$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$-\frac{r}{p} = -q \implies r = pq$.

(A) આપેલ છે કે,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m=1$.
પ્રથમ,આધારનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+i^2+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
તેથી,સમીકરણ $i^m = 1$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^n = 1$ ત્યારે જ થાય જો $n$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1934 \div 4 = 483.5$ ($4$ નો ગુણક નથી).
$2024 \div 4 = 506$ ($4$ નો ગુણક છે).
$2172 \div 4 = 543$ ($4$ નો ગુણક છે).
$10^{100} = (2 \times 5)^{100} = 2^{100} \times 5^{100}$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે $2^{100}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$m$ એ $1934$ હોઈ શકે નહીં.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+x+1=0$ માટે,બીજ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
તેથી,$\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે $\alpha^{2021}$ અને $\beta^{2021}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^{2021} = \omega^{2021} = (\omega^3)^{673} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
તે જ રીતે,$\beta^{2021} = (\omega^2)^{2021} = \omega^{4042} = (\omega^3)^{1347} \cdot \omega = \omega$.
નવા બીજ $\omega^2$ અને $\omega$ છે.
$\omega$ અને $\omega^2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\omega + \omega^2)x + \omega \cdot \omega^2 = 0$ છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $i^4 = 1$. તેથી,$i^{2020} = (i^4)^{505} = 1^{505} = 1$.
તે જ રીતે,$i^{2021} = i^{2020} \times i = i$,$i^{2022} = i^{2020} \times i^2 = -1$,અને $i^{2023} = i^{2020} \times i^3 = -i$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left|\frac{1}{1} + \frac{2}{i} + \frac{3}{-1} + \frac{4}{-i}\right|$
$= \left|1 - 2i - 3 + 4i\right|$
$= \left|-2 + 2i\right|$
$= \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે,$\alpha - i\beta = \left(\frac{3-4ix}{3+4ix}\right)$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|\alpha - i\beta| = \left|\frac{3-4ix}{3+4ix}\right|$.
ભાગાકારનો માનાંક એ માનાંકનો ભાગાકાર હોવાથી:
$|\alpha - i\beta| = \frac{|3-4ix|}{|3+4ix|}$.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z = a + ib$ માટે,$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.
તેથી,$\sqrt{\alpha^2 + (-\beta)^2} = \frac{\sqrt{3^2 + (-4x)^2}}{\sqrt{3^2 + (4x)^2}}$.
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \frac{\sqrt{9 + 16x^2}}{\sqrt{9 + 16x^2}}$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,$9 + 16x^2 \neq 0$,તેથી ગુણોત્તર $1$ મળે.
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\alpha^2 + \beta^2 = 1$ મળે.

(D) આપેલ શરત $(a+bi)^3 = a-bi$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3 = a-bi$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) a^3 - 3ab^2 = a \Rightarrow a(a^2 - 3b^2 - 1) = 0$.
$2) 3a^2b - b^3 = -b \Rightarrow b(3a^2 - b^2 + 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $a=0$ હોય,તો $b(1-b^2) = 0$,તેથી $b=0, 1, -1$. જોડીઓ: $(0,0), (0,1), (0,-1)$.
કિસ્સો $2$: જો $b=0$ હોય,તો $a(a^2 - 1) = 0$,તેથી $a=0, 1, -1$. જોડીઓ: $(0,0), (1,0), (-1,0)$.
કિસ્સો $3$: જો $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ હોય,તો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ મળતો નથી.
કુલ અલગ જોડીઓ $(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)$ છે.
આમ,કુલ $5$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$z^2+z+1=0$.
$z^2+z+1=0$ હોવાથી,$z^2+1=-z$ થાય.
$z$ વડે ભાગતા,$z+\frac{1}{z}=-1$ મળે.
તેથી,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3 = (-1)^3 = -1$.
વળી,$z^3=1$ (કારણ કે $z$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે).
તેથી $z^4 = z^3 \cdot z = z$ થાય.
આમ,$z^4+\frac{1}{z^4} = z+\frac{1}{z} = -1$.
તેથી,$\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3 = (-1)^3 = -1$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3 = -1 + (-1) = -2$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે.
તેના બીજ $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ અને $-\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -\omega$ અને $\beta = -\omega^2$.
આપણે $\alpha^{2009} + \beta^{2009} = (-\omega)^{2009} + (-\omega^2)^{2009}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આનું સાદું રૂપ $-(\omega^{2009} + \omega^{4018})$ થાય છે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{2009} = \omega^2$ અને $\omega^{4018} = \omega$ મળે.
તેથી,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\omega^2 + \omega)$.
નિત્યસમ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega^2 + \omega = -1$ મળે.
આમ,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$,$i^4 = 1$.
પ્રથમ,$i^{22}$ ની ગણતરી કરો: $i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = 1^5 \times (-1) = -1$.
ત્યારબાદ,$(\frac{1}{i})^{35}$ ની ગણતરી કરો: $\frac{1}{i} = -i$.
તેથી,$(-i)^{35} = -(i^{35}) = -(i^{32} \times i^3) = -(1 \times -i) = i$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો: $\{i^{22} - (\frac{1}{i})^{35}\}^2 = \{-1 - i\}^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરો: $(-1 - i)^2 = (-1)^2 + (-i)^2 + 2(-1)(-i) = 1 + i^2 + 2i$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $1 - 1 + 2i = 2i$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\log_{\cos^2 \theta} |z - a| > \log_{\cos^2 \theta} |z - ai|$.
અહીં $\cos^2 \theta$ એ લઘુગણકનો આધાર હોવાથી,$\cos^2 \theta \in (0, 1)$ હોવું જોઈએ.
આધાર $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$|z - a| < |z - ai|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy - a| < |x + iy - ai|$
$|(x - a) + iy| < |x + i(y - a)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - a)^2 + y^2 < x^2 + (y - a)^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 < x^2 + y^2 - 2ay + a^2$.
બંને બાજુથી $x^2 + y^2 + a^2$ બાદ કરતા:
$-2ax < -2ay$.
$a > 0$ હોવાથી,$-2a$ વડે ભાગતા અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$x > y$.

(B) આપેલ છે કે $f(10-x) = 3x^2 + 4x - 5$ અને $f(x) = px^2 + qx + r$.
આપણે $p+q+r$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $p+q+r = f(1)$.
$f(1)$ શોધવા માટે,આપણે $10-x = 1$ લઈએ,જે $x = 9$ આપે છે.
આપેલ સમીકરણમાં $x = 9$ મૂકતા:
$f(10-9) = 3(9)^2 + 4(9) - 5$
$f(1) = 3(81) + 36 - 5$
$f(1) = 243 + 36 - 5$
$f(1) = 279 - 5 = 274$.
તેથી,$p+q+r = 274$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}$
અહીં વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $y$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $y^2 = x + y$
પદોને ગોઠવતા: $y^2 - y = x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(x)$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = 1$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $D_1 - D_2 = 0$ છે.
પ્રથમ નિશ્ચાયક $D_1$ નું બીજી હારની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D_1 = -1 \times \left|\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 2 & 0 & x-1 \end{array}\right| = -1 \times [x(x(x-1) - 0)] = -x^2(x-1) = -x^3 + x^2$.
બીજા નિશ્ચાયક $D_2$ નું પ્રથમ હારની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D_2 = -x \times \left|\begin{array}{cc} 0 & x-1 \\ 2 & 0 \end{array}\right| = -x(0 - 2(x-1)) = -x(-2x + 2) = 2x^2 - 2x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-x^3 + x^2) - (2x^2 - 2x) = 0$
$-x^3 - x^2 + 2x = 0$
$x^3 + x^2 - 2x = 0$
$x(x^2 + x - 2) = 0$
$x(x+2)(x-1) = 0$
બીજો $x = 0, -2, 1$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 0 + (-2) + 1 = -1$.

(D) આપેલ છે $z=x+iy$,જ્યાં $x, y \in R$.
ગણ $A=\{z:|z| \leq 2\}$ એ કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $2$ ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ અને પરિઘ દર્શાવે છે,એટલે કે $x^2+y^2 \leq 4$.
ગણ $B=\{z:(z+2y)+\bar{z} \geq 4\}$. $z=x+iy$ અને $\bar{z}=x-iy$ મૂકતા:
$(x+iy+2y)+(x-iy) \geq 4$
$2x+2y \geq 4 \Rightarrow x+y \geq 2$.
આ રેખા $x+y=2$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $x^2+y^2=4$ અને રેખા $x+y=2$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
છેદબિંદુઓ $x^2+(2-x)^2=4$ ઉકેલીને મળે છે:
$x^2+4-4x+x^2=4$ $\Rightarrow 2x^2-4x=0$ $\Rightarrow 2x(x-2)=0$.
તેથી,$x=0$ (જે $y=2$ આપે છે) અને $x=2$ (જે $y=0$ આપે છે).
ક્ષેત્રફળ $\int_0^2 (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}}) dx = \int_0^2 (\sqrt{4-x^2} - (2-x)) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - 2x + \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= (0 + 2\sin^{-1}(1) - 4 + 2) - (0 + 0 - 0 + 0) = 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi-2$.

(C) વિધેય $f(x) = \sin (x)$ છે.
આપેલ અંતરાલ $[-\pi / 2, \pi / 2]$ માં,સાઈન વિધેય સતત વધતું વિધેય છે.
નિમ્ન સીમા પરનું મૂલ્ય $f(-\pi / 2) = \sin(-\pi / 2) = -1$ છે.
ઉચ્ચ સીમા પરનું મૂલ્ય $f(\pi / 2) = \sin(\pi / 2) = 1$ છે.
તેથી,અંતરાલ $[-\pi / 2, \pi / 2]$ માં વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 1)$ અને $C(3, 1, 2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{6}$.
આમ,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $(H)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$,પરિકેન્દ્ર $(S)$ અને અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ એક જ બિંદુ પર હોય છે.
તેથી,$H = G = S = I = \left(\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}\right) = (2, 2, 2)$.
તેથી,$H+G+S+I = (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) = (8, 8, 8)$.

(B) વક્રનું સમીકરણ $y = \sqrt{x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ મળે છે.
ધારો કે $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા $y = k$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 0$ છે.
વક્ર અને રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2\sqrt{x_1}} - 0}{1 + (\frac{1}{2\sqrt{x_1}})(0)} \right|$
$1 = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$
$2\sqrt{x_1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x_1} = \frac{1}{2}$.
$y_1 = \sqrt{x_1}$ હોવાથી,$y_1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
રેખા $y = k$ હોવાથી અને તે $y = \frac{1}{2}$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)}{\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)}$.
$x \rightarrow 0^{+}$ હોવાથી,આપણે નીચેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$2 \tan ^{-1} x = \sin ^{-1} \left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
$3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)$
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cdot (2 \tan ^{-1} x)}{(2 \tan ^{-1} x) \cdot (3 \tan ^{-1} x)} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{3 \tan ^{-1} x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{-1} x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{3 \left(\frac{\tan ^{-1} x}{x}\right)} = \frac{1}{3 \times 1} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે,$|A| = m$ અને $|B| = n$.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!} = 2520$ છે.
$2520$ ને $n$ થી શરૂ કરીને $(n-m+1)$ સુધીના ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવતા:
$2520 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$.
આ $^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ ને સમાન છે.
$^nP_m$ ની સરખામણી $^7P_5$ સાથે કરતા,આપણને $n = 7$ અને $m = 5$ મળે છે.
આમ,$m = 5$.

(C) ચોરસ શ્રેણિક એટલે એવો શ્રેણિક જેમાં હારની સંખ્યા અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન હોય $(m = n)$.
$(a)$ $[1]$ એ $1 \times 1$ શ્રેણિક છે,જે ચોરસ શ્રેણિક છે.
$(b)$ $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,જે ચોરસ શ્રેણિક છે.
$(c)$ $\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ એ $1 \times 3$ શ્રેણિક છે. અહીં હારની સંખ્યા $(1)$ એ સ્તંભની સંખ્યા $(3)$ જેટલી નથી,તેથી તે ચોરસ શ્રેણિક નથી.
$(d)$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જે ચોરસ શ્રેણિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ $n \times n$ કક્ષાના બે લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર શ્રેણિકો છે.
શ્રેણિક લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર ત્યારે કહેવાય જ્યારે મુખ્ય વિકર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય,એટલે કે $i < j$ માટે $a_{ij} = 0$.
ધારો કે $C = A + B$. $C$ ના ઘટકો $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ દ્વારા મળે છે.
કોઈપણ $i < j$ માટે,$A$ અને $B$ લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર હોવાથી,$a_{ij} = 0$ અને $b_{ij} = 0$ થાય.
તેથી,તમામ $i < j$ માટે $c_{ij} = 0 + 0 = 0$ થાય.
આ દર્શાવે છે કે સરવાળો $C = A + B$ પણ એક લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર શ્રેણિક જ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ અને $ab = 5/2 \quad \dots (i)$
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી $AA^T = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$ મળે.
આપેલ છે કે $AA^T = 20I = \begin{bmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 20 \end{bmatrix}$,તેથી $a^2 + b^2 = 20$ થાય.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a+b)^2 = 20 + 2(5/2) = 20 + 5 = 25$ મળે.
આમ,$a+b = \pm 5$ થાય.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 \mp 5x + 5/2 = 0$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2x^2 \mp 10x + 5 = 0$ મળે.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $3\begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+t & 3 \end{bmatrix}$
પ્રથમ શ્રેણિકમાં અદિશ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+t & 2t+3 \end{bmatrix}$
બે શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ:
$1) \ 3x = x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$2) \ 3t = 2t + 3 \implies t = 3$
$3) \ 3z = -1 + z + t \implies 2z = -1 + 3 \implies 2z = 2 \implies z = 1$
$4) \ 3y = 6 + x + y \implies 2y = 6 + 2 \implies 2y = 8 \implies y = 4$
આમ,કિંમતો $(x, y, z, t) = (2, 4, 1, 3)$ છે.

(D) આપેલ છે: $C^T = DAB$,$D^T = ABC$,અને $S = ABCD$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ શ્રેણિક $M$ માટે,$(M^T)^T = M$ થાય છે.
$S$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$S^T = (ABCD)^T = D^T C^T B^T A^T$.
$D^T = ABC$ અને $C^T = DAB$ મૂકતા:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T = ABCDAB B^T A^T$.
વૈકલ્પિક રીતે,$S^2 = (ABCD)(ABCD)$ ધ્યાનમાં લો.
નોંધો કે $S^T = D^T C^T B^T A^T$.
$C^T = DAB$ અને $D^T = ABC$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T$.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મો તપાસતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $(S^T)^2 = (S^2)^T$ એ આ શ્રેણિકો માટે સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે $z_1 = 2 + 3 \ i$ અને $z_2 = 3 + 2 \ i$.
તેથી $\bar{z}_1 = 2 - 3 \ i$ અને $\bar{z}_2 = 3 - 2 \ i$.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \bar{z}_1 & -z_2 \\ \bar{z}_2 & z_1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} z_1 \bar{z}_1 + z_2 \bar{z}_2 & -z_1 z_2 + z_1 z_2 \\ -\bar{z}_2 \bar{z}_1 + \bar{z}_1 \bar{z}_2 & \bar{z}_2 z_2 + \bar{z}_1 z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |z_1|^2 + |z_2|^2 & 0 \\ 0 & |z_1|^2 + |z_2|^2 \end{bmatrix}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$|z_1|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
$|z_2|^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.
આમ,$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 13 + 13 = 26$.
તેથી,$AB = \begin{bmatrix} 26 & 0 \\ 0 & 26 \end{bmatrix} = 26 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 26 \ I$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$ અને $B = \left[\begin{array}{cc} 2022 & 2024 \\ 2021 & 2023 \end{array}\right]$.
ઘાતાંક એ નિશ્ચાયક $|B| = (2022 \times 2023) - (2024 \times 2021)$ છે.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|B| = (2022 \times 2023) - ((2022+2) \times (2022-1)) = 2022 \times 2023 - (2022^2 + 2022 - 2) = 2022(2023 - 2022 - 1) + 2 = 2$.
તેથી,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$A^2 = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} (1-2+9) & (2+2+0) & (3+4+6) \\ (-1-1+6) & (-2+1+0) & (-3+2+4) \\ (3+0+6) & (6+0+0) & (9+0+4) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 13 \\ 4 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & 13 \end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$. તેથી,$f(A) = A^3 - 2A^2 - 5I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-15 & -10-5 \\ 6+3 & -15+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -22-45 & -30+70 \\ -33+9 & -45-14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને $f(A)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -22 & -30 \\ 18 & -28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 - (-22) - 5 & 40 - (-30) - 0 \\ -24 - 18 - 0 & -59 - (-28) - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -50 & 70 \\ -42 & -36 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Y = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી $XY = YX$ થાય.
$XY$ ની ગણતરી કરતા:
$XY = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{bmatrix}$.
$YX$ ની ગણતરી કરતા:
$YX = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{bmatrix}$.
$XY = YX$ સરખાવતા:
$a-c = a+b \implies c = -b$.
$b-d = -a+b \implies d = a$.
આમ,$Y$ એ $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
$Y$ નો નિશ્ચાયક $\det(Y) = a^2 - (-b^2) = a^2 + b^2$ છે.
કારણ કે $a, b \in \mathbb{R}$,$a^2 + b^2$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $0$ છે (જ્યારે $a=0$ અને $b=0$ હોય).
તેથી,$\det(Y)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $0$ છે.

(B) $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = \omega I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{50} = (\omega I)^{50} = \omega^{50} I^{50}$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $I^n = I$ હોવાથી,$A^{50} = \omega^{50} I$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$. તેથી,$\omega^{50} = (\omega^3)^{16} \cdot \omega^2 = (1)^{16} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આમ,$A^{50} = \omega^2 I = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A = \omega I$,તેથી $I = \frac{1}{\omega} A = \omega^2 A$ (કારણ કે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$).
તેથી,$A^{50} = \omega^2 (\omega^2 A) = \omega^4 A = \omega A$ (કારણ કે $\omega^3 = 1$).
આમ,$A^{50} = \omega A$.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધીએ:
$A^T = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right]$.
હવે,આપણે ગુણાકાર $A^T B$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^T B = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}(1)(4)+(0)(-1) & (1)(0)+(0)(-2) & (1)(-3)+(0)(-3) \\ (-1)(4)+(3)(-1) & (-1)(0)+(3)(-2) & (-1)(-3)+(3)(-3) \\ (2)(4)+(4)(-1) & (2)(0)+(4)(-2) & (2)(-3)+(4)(-3)\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4+0 & 0+0 & -3+0 \\ -4-3 & 0-6 & 3-9 \\ 8-4 & 0-8 & -6-12\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -7 & -6 & -6 \\ 4 & -8 & -18\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. આપણે તમામ $n \in N$ માટે વિધાન $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ ની સત્યતા ચકાસીએ.
$n = 1$ માટે: $A^1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,જે સૂત્ર $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે મેળ ખાય છે.
$n = 2$ માટે: $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 1(1)+1(1) & 1(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$. આ $n = 2$ માટેના સૂત્ર સાથે મેળ ખાય છે.
$n = 3$ માટે: $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 2(1)+1(1) & 2(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$. આ $n = 3$ માટેના સૂત્ર સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,આ વિધાન $n = 3$ માટે સાચું છે.

(C) શ્રેણિક $A$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો $a^2, b^2, c^2$ છે અને શ્રેણિક $B$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો $2a, 2b, 2c-3$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$A$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો સરવાળો એ $B$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોના સરવાળા જેટલો છે:
$a^2+b^2+c^2 = 2a+2b+2c-3$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(a^2-2a+1) + (b^2-2b+1) + (c^2-2c+1) = 0$
$(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 = 0$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય,તેથી:
$a-1=0, b-1=0, c-1=0$
આમ,$a=1, b=1, c=1$.
$B$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર $(2a)(2b)(2c-3)$ છે.
$a=1, b=1, c=1$ કિંમતો મૂકતા:
$= (2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1 - 3)$
$= 2 \times 2 \times (-1) = -4$.

(A) ચોરસ શ્રેણિકનો ટ્રેસ તેના મુખ્ય વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 7 \\ 0 & 7 & 9 \\ 11 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
વિકર્ણ ઘટકો $a_{11} = 1$,$a_{22} = 7$,અને $a_{33} = 9$ છે.
ટ્રેસ $tr(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$ થાય.
$tr(A) = 1 + 7 + 9 = 17$.
તેથી,શ્રેણિકનો ટ્રેસ $17$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = I$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(I) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\operatorname{det}(A^2) = (\operatorname{det}(A))^2$,તેથી $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{det}(A) = 1$ અથવા $\operatorname{det}(A) = -1$.
જો $\operatorname{det}(A) = 1$ હોય,તો $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે અને $A^2 = I$ નો અર્થ છે કે $A = A^{-1}$. $2 \times 2$ શ્રેણિક માટે,જો $\operatorname{det}(A) = 1$ અને $A^2 = I$ હોય,તો $A$ એ $I$ અથવા $-I$ હોવો જોઈએ.
આમ,જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\operatorname{det}(A) = -1$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
હવે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. અહીં $A^2 = I$,$A \neq I$,અને $A \neq -I$ છે.
ટ્રેસ $\operatorname{Tr}(A) = 0 + 0 = 0$ છે.
આમ,આપણને એક એવો કિસ્સો મળ્યો છે જ્યાં $\operatorname{Tr}(A) = 0$ છે જ્યારે $A \neq \pm I$,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે,$\left(A^T-\frac{1}{2} I\right)\left(A-\frac{1}{2} I\right) = \left(A^T+\frac{1}{2} I\right)\left(A+\frac{1}{2} I\right) = I$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$A^T A - \frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I = A^T A + \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I$.
બંને બાજુથી $A^T A + \frac{1}{4} I$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A$.
પદોને ગોઠવતા:
$0 = A^T + A$.
તેથી,$A^T = -A$.
આ વિસંમિત શ્રેણિક માટેની શરત છે. તેથી,$A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $A \cdot A^T = A^T \cdot A$ અને $B = A^{-1} A^T$.
આપણે $B \cdot B^T$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$B \cdot B^T = (A^{-1} A^T) (A^{-1} A^T)^T$.
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T ((A^T)^T (A^{-1})^T)$.
કારણ કે $(A^T)^T = A$ અને $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$,તેથી:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T A (A^T)^{-1}$.
કારણ કે $A^T A = A A^T$,આપણે મૂકીએ:
$B \cdot B^T = A^{-1} (A A^T) (A^T)^{-1}$.
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot B^T = (A^{-1} A) A^T (A^T)^{-1}$.
$B \cdot B^T = I \cdot (A^T (A^T)^{-1}) = I \cdot I = I$.
આમ,$B \cdot B^T = I$.

(B) ધારો કે $A$ એ $n \times n$ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે,જ્યાં $i > j$ માટે $a_{ij} = 0$ છે.
શ્રેણિક $A$ નો સહ-અવયવજ (adjoint),જેને $adj(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સહ-અવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
ઉપરના ત્રિકોણીય શ્રેણિક માટે,જો $i > j$ હોય તો સહ-અવયવ $C_{ij}$ શૂન્ય થાય છે.
ખાસ કરીને,સહ-અવયવ શ્રેણિક $C$ એ નીચલો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હશે કારણ કે વિકર્ણની ઉપરના ઘટકો એવા ઉપ-શ્રેણિકોના નિશ્ચાયક છે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક હાર અથવા સ્તંભ શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે $adj(A) = C^T$,નીચલા ત્રિકોણીય શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોય છે.
તેથી,$adj(A)$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
આગળ,આપણે $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (cofactor matrix) $C$ શોધીએ:
$C_{11} = (1 - (-3)) = 4, C_{12} = -(2 - (-3)) = -5, C_{13} = (2 - 1) = 1$
$C_{21} = -(-1 - 1) = 2, C_{22} = (1 - 1) = 0, C_{23} = -(1 - (-1)) = -2$
$C_{31} = (3 - 1) = 2, C_{32} = -(-3 - 2) = 5, C_{33} = (1 - (-2)) = 3$.
તેથી,$Adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)$,તેથી $10 B = Adj(A)$.
$10 B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ અને $Adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \theta \\ -\tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$|A| = (1)(1) - (\tan \theta)(-\tan \theta) = 1 + \tan^2 \theta$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ ની કિંમત મૂકતા: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતા: $\frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 \theta & -2 \tan \theta \\ 2 \tan \theta & 1 - \tan^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
આનું સાદું રૂપ: $\begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{-2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \\ \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = \cos 2 \theta$ અને $b = \sin 2 \theta$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ શ્રેણિક $M$ માટે $\operatorname{det}(kM) = k^n \operatorname{det}(M)$ અને $\operatorname{det}(XY) = \operatorname{det}(X) \operatorname{det}(Y)$ થાય.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - 0) - 1(-3 - 0) + 3(-1 - 8) = 12 + 3 - 27 = -12$.
આપેલ છે $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$|B| = 3(0 - 3) - 2(0 - 9) + 1(1 - 6) = -9 + 18 - 5 = 4$.
આપણે $\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1})$ શોધવાનું છે.
$A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 2^3 \operatorname{det}(B^{-1}) \operatorname{det}(A^{-1})$ થાય.
$\operatorname{det}(M^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(M)}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 8 \times \frac{1}{\operatorname{det}(B)} \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= 8 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{-12} = 2 \times \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{6}$.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો ક્રમ $1$ હોવા માટે,બધી હાર એકબીજાના પ્રમાણમાં હોવી જોઈએ.
હાર $R_1$ અને $R_3$ ની સરખામણી કરતા:
$R_3 = c R_1 \Rightarrow 6 = 4c \Rightarrow c = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
બીજા ઘટકની ચકાસણી: $3 = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ (આ સાચું છે).
ત્રીજા ઘટકની ચકાસણી: $1+x = (1-x) \times \frac{3}{2}$.
$2(1+x) = 3(1-x) \Rightarrow 2 + 2x = 3 - 3x \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
હવે,હાર $R_1$ અને $R_2$ ની સરખામણી કરતા:
$R_2 = d R_1 \Rightarrow 5 = 4d \Rightarrow d = \frac{5}{4}$.
બીજા ઘટકની ચકાસણી: $k = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$.
ત્રીજા ઘટકની ચકાસણી: $1 = (1-x) \times \frac{5}{4}$.
$x = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $1 = (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{5}{4} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{4} = 1$ (આ સાચું છે).
આમ,જ્યારે $k = \frac{5}{2}$ અને $x = \frac{1}{5}$ હોય ત્યારે શ્રેણિકનો ક્રમ $1$ થાય છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{4040} & \sqrt{4042} & \sqrt{4044} & \sqrt{4046} \\ \sqrt{6060} & \sqrt{6063} & \sqrt{6066} & \sqrt{6069} \\ \sqrt{8080} & \sqrt{8084} & \sqrt{8088} & \sqrt{8092} \end{bmatrix}$ છે.
આપણે હારને પ્રથમ હારના ગુણાંક તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$R_2 = \sqrt{2} R_1$,$R_3 = \sqrt{3} R_1$,અને $R_4 = 2 R_1$.
આ કિંમતો શ્રેણિકમાં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{2}\sqrt{2020} & \sqrt{2}\sqrt{2021} & \sqrt{2}\sqrt{2022} & \sqrt{2}\sqrt{2023} \\ \sqrt{3}\sqrt{2020} & \sqrt{3}\sqrt{2021} & \sqrt{3}\sqrt{2022} & \sqrt{3}\sqrt{2023} \\ 2\sqrt{2020} & 2\sqrt{2021} & 2\sqrt{2022} & 2\sqrt{2023} \end{bmatrix}$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - \sqrt{2}R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - \sqrt{3}R_1$,અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$A \sim \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં માત્ર એક જ શૂન્યતર હાર હોવાથી,$A$ નો ક્રમ (rank) $1$ છે.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (Rank) શોધવા માટે,આપણે હાર સંક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને તેને હાર સોપાન સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
શ્રેણિકના હાર સોપાન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $1$ છે.

(C) $3 \times 3$ શ્રેણિકનો ક્રમાંક શોધવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક શોધીએ છીએ. જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,તો ક્રમાંક $3$ છે.
વિકલ્પ $(A)$: ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right]$. હાર સમાંતર શ્રેણીમાં છે. $R_2 - R_1 = [1, 1, 1]$ અને $R_3 - R_2 = [1, 1, 1]$. તેથી,$\det(A) = 0$ અને $\text{rank}(A) < 3$.
વિકલ્પ $(B)$: ધારો કે $B = \left[\begin{array}{ccc}0 & -51 & 101 \\ 51 & 0 & -581 \\ -101 & 581 & 0\end{array}\right]$. આ એક વિષમ-સંમિત શ્રેણિક છે. એકી કક્ષાના વિષમ-સંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે. તેથી,$\text{rank}(B) < 3$.
વિકલ્પ $(C)$: ધારો કે $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 5 \\ -2 & 7 & 0\end{array}\right]$. નિશ્ચાયક ગણતા: $\det(C) = 0(0 - 35) - 1(0 - (-10)) + 2(-7 - 0) = 0 - 10 - 14 = -24$. $\det(C) \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $C$ નો ક્રમાંક $3$ છે.
વિકલ્પ $(D)$: ધારો કે $D = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right]$. અહીં,$R_2 = 2R_1$ અને $R_3 = 3R_1$. તેથી,$\det(D) = 0$ અને $\text{rank}(D) = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 3x & x^2\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(6x^2 - 12x) - (-3)(x^2 - 4) + 1(3x - 6) = 0$
$6x^2 - 12x + 3(x^2 - 4) + 3x - 6 = 0$
$6x^2 - 12x + 3x^2 - 12 + 3x - 6 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$9x^2 - 9x - 18 = 0$
આખા સમીકરણને $9$ વડે ભાગતા:
$x^2 - x - 2 = 0$
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2 - x - 2 = 0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_9$ એ $G.P.$ માં છે.
ધારો કે $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે,તેથી $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ દરેક $n$ માટે.
ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9 \end{vmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 - \log a_1 & \log a_3 - \log a_2 \\ \log a_4 & \log a_5 - \log a_4 & \log a_6 - \log a_5 \\ \log a_7 & \log a_8 - \log a_7 & \log a_9 - \log a_8 \end{vmatrix}$.
ગુણધર્મ $\log m - \log n = \log(\frac{m}{n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log(\frac{a_2}{a_1}) & \log(\frac{a_3}{a_2}) \\ \log a_4 & \log(\frac{a_5}{a_4}) & \log(\frac{a_6}{a_5}) \\ \log a_7 & \log(\frac{a_8}{a_7}) & \log(\frac{a_9}{a_8}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log r & \log r \\ \log a_4 & \log r & \log r \\ \log a_7 & \log r & \log r \end{vmatrix}$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix}$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લેતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2(a+b+c) & a & a \\ 2(a+b+c) & c+a & b \\ 2(a+b+c) & c & a+b \end{vmatrix}$.
$C_1$ માંથી $2(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & c+a & b \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 0 & c & b-a \\ 0 & c-a & b \end{vmatrix}$.
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2(a+b+c) [1(c(b) - (b-a)(c-a))]$.
$\Delta = 2(a+b+c) [bc - (bc - ab - ac + a^2)]$.
$\Delta = 2(a+b+c) [ab + ac - a^2]$.
$\Delta = 2a(a+b+c) (b+c-a)$.

(B) ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$
$R_3 \to R_3 + R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = a(-bc - (-a^2)) - b(-b^2 - (-ac)) + c(-ab - (-c^2))$
$\Delta = a(a^2 - bc) - b(ac - b^2) + c(c^2 - ab)$
$\Delta = a^3 - abc - abc + b^3 + c^3 - abc$
$\Delta = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(C) આપેલ છે કે $\det A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = K$.
આપણને $\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + 2a_1 & b_2 + 2b_1 & c_2 + 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - 2R_1$ લાગુ કરીએ છીએ.
આ પ્રક્રિયા નિશ્ચાયકના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર કરતી નથી.
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ (a_2 + 2a_1) - 2a_1 & (b_2 + 2b_1) - 2b_1 & (c_2 + 2c_1) - 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
પરિણામી નિશ્ચાયક $\det A$ સમાન હોવાથી,આપણને $\det B = K$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3 \end{vmatrix} = 0$
બીજા નિશ્ચાયકની હારમાંથી $x, y, z$ સામાન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0$
બીજા નિશ્ચાયકના સ્તંભોને પ્રથમ નિશ્ચાયક સાથે મેળવવા માટે ગોઠવતા:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(1 + xyz) \begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix}$ એ વેન્ડરમોન્ડ પ્રકારનો નિશ્ચાયક છે જે $(x-y)(y-z)(z-x)$ બરાબર થાય છે.
કારણ કે $x, y, z$ ભિન્ન છે,તેથી $(x-y)(y-z)(z-x) \neq 0$.
તેથી,$1 + xyz = 0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz = -1$.

(B) આપેલ છે કે $\omega$ એ $x+\frac{1}{x}+1=0$ નું બીજ છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2+x+1=0$.
આ સમીકરણના બીજ $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2=0$ અને $\omega^3=1$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ છે.
$1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરીને,ત્રીજી સ્તંભનું સાદુંરૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
સ્તંભ $3$: $C_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 5+4\omega+3\omega^2 \\ 11+9\omega+6\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3(1+\omega+\omega^2)+2+\omega \\ 6(1+\omega+\omega^2)+5+3\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2+\omega \\ 5+3\omega \end{bmatrix}$.
તેથી,$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+\omega & 0 \\ 3 & 4+3\omega & 2+\omega \\ 6 & 9+6\omega & 5+3\omega \end{array}\right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1[(4+3\omega)(5+3\omega) - (2+\omega)(9+6\omega)] - (1+\omega)[3(5+3\omega) - 6(2+\omega)]$.
$D = [20 + 12\omega + 15\omega + 9\omega^2 - (18 + 12\omega + 9\omega + 6\omega^2)] - (1+\omega)[15 + 9\omega - 12 - 6\omega]$.
$D = [20 + 27\omega + 9\omega^2 - 18 - 21\omega - 6\omega^2] - (1+\omega)[3 + 3\omega]$.
$D = [2 + 6\omega + 3\omega^2] - 3(1+\omega)^2$.
$D = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3(1 + 2\omega + \omega^2) = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3 - 6\omega - 3\omega^2 = -1$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & a+2b & a+3b \\ a+2b & a+3b & a+4b \\ a+4b & a+5b & a+6b\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1 = (a+2b)-(a+b) = b$,$(a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+5b)-(a+4b) = b$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2 = (a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+4b)-(a+3b) = b$,$(a+6b)-(a+5b) = b$.
આમ,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & b & b \\ a+2b & b & b \\ a+4b & b & b\end{array}\right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $P(x) = \left|\begin{array}{cc}x^3+2 x^2+3 x-2 & x^2+2 x+4 \\ x^3-x^2-2 x-1 & 3 x^3-2 x^2+4 x-2\end{array}\right| = a x^6+b x^5+c x^4+d x^3+e x^2+f x+g$.
$a+b+c+d+e+f$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $P(1) = a+b+c+d+e+f+g$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયકમાં $x=1$ મૂકીને $P(1)$ ની ગણતરી કરો:
$P(1) = \left|\begin{array}{cc}1+2+3-2 & 1+2+4 \\ 1-1-2-1 & 3-2+4-2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}4 & 7 \\ -3 & 3\end{array}\right| = (4)(3) - (7)(-3) = 12 + 21 = 33$.
ત્યારબાદ,નિશ્ચાયકમાં $x=0$ મૂકીને $g$ ની કિંમત શોધો:
$g = P(0) = \left|\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (-2)(-2) - (4)(-1) = 4 + 4 = 8$.
કારણ કે $P(1) = a+b+c+d+e+f+g$,તેથી $33 = (a+b+c+d+e+f) + 8$.
આમ,$a+b+c+d+e+f = 33 - 8 = 25$.

(C) આપેલ છે કે $A(\theta)=\begin{bmatrix} i \sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & i \sin \theta \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $\operatorname{det} A(\theta) = (i \sin \theta)(i \sin \theta) - (\cos \theta)(\cos \theta) = i^2 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $\operatorname{det} A(\theta) = -\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = -1$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\theta$ થી સ્વતંત્ર અને $-1$ હોવાથી,$\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$,$\operatorname{det} A(-\theta) = -1$,અને $\operatorname{det} A(\theta) = -1$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$ અને $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$. તેથી,$-1 = -1$ (સત્ય).
વિકલ્પ $B$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ અને $\operatorname{det} A(\theta) = -1$. તેથી,$-1 = -1$ (સત્ય).
વિકલ્પ $C$: $\operatorname{det}[A(\theta)]^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} A(\theta)} = \frac{1}{-1} = -1$. વિધાનમાં $1$ આપેલ છે,જે અસત્ય છે.
વિકલ્પ $D$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ (સત્ય).
તેથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $C$ છે.

(D) આપણી પાસે છે,$\det(A) = \begin{vmatrix} a & a & a-y \\ a & a+x & a \\ a & a & a \end{vmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ લાગુ કરતા:
$\det(A) = \begin{vmatrix} y & a & a-y \\ 0 & a+x & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = y \cdot \begin{vmatrix} a+x & a \\ a & a \end{vmatrix} - 0 + 0$.
$\det(A) = y(a(a+x) - a^2) = y(a^2 + ax - a^2) = axy$.
આપેલ છે કે $\det(A) = 16$,તેથી $axy = 16$,જેનો અર્થ થાય છે $xy = \frac{16}{a}$.
અહીં $a$ એ શૂન્યતર અચળાંક હોવાથી,આ સમીકરણ $xy = k$ સ્વરૂપનું છે,જે લંબ અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta_k = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & k-1 \\ 0 & k-1 & k \end{array}\right|$.
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_k = 1 \cdot (k \cdot k - (k-1) \cdot (k-1)) - 0 + 0$
$\Delta_k = k^2 - (k-1)^2$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta_k = (k - (k-1))(k + (k-1)) = 1 \cdot (2k-1) = 2k-1$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{20} \Delta_k = \sum_{k=1}^{20} (2k-1)$ શોધવાનો છે.
આ પ્રથમ $20$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $n^2$ દ્વારા મળે છે જ્યાં $n=20$.
$S = 20^2 = 400$.
વૈકલ્પિક રીતે,ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta_k = k^2 - (k-1)^2$
$\sum_{k=1}^{20} \Delta_k = (1^2 - 0^2) + (2^2 - 1^2) + (3^2 - 2^2) + \ldots + (20^2 - 19^2) = 20^2 - 0^2 = 400$.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}-x & x & 2 \\ 2 & x & -x \\ x & -2 & -2\end{array}\right]$.
શ્રેણિક $A$ અસામાન્ય (non-singular) ત્યારે જ કહેવાય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = -x \begin{vmatrix} x & -x \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & -x \\ x & -2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & x \\ x & -2 \end{vmatrix}$
$|A| = -x(-2x - 2x) - x(-4 + x^2) + 2(-4 - x^2)$
$|A| = -x(-4x) + 4x - x^3 - 8 - 2x^2$
$|A| = 4x^2 + 4x - x^3 - 8 - 2x^2$
$|A| = -x^3 + 2x^2 + 4x - 8$
શ્રેણિક અસામાન્ય હોવા માટે,$|A| \neq 0$ હોવું જોઈએ:
$-x^3 + 2x^2 + 4x - 8 \neq 0$
$-(x^3 - 2x^2 - 4x + 8) \neq 0$
$-(x^2(x - 2) - 4(x - 2)) \neq 0$
$-(x^2 - 4)(x - 2) \neq 0$
$-(x - 2)(x + 2)(x - 2) \neq 0$
$-(x - 2)^2(x + 2) \neq 0$
તેથી,$x \neq 2$ અને $x \neq -2$.
આમ,$2$ અને $-2$ સિવાયના તમામ $x$ માટે શ્રેણિક અસામાન્ય છે.

(D) આપેલ અસમતા $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \leq 0$ છે.
$2$ વડે ગુણતા અને ગોઠવતા,આપણને $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \leq 0$ મળે છે.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $a-b=0$,$b-c=0$,અને $c-a=0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $a=b=c$.
નિશ્ચાયકમાં $a=b=c$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} (a-a+1)^5 & a^7-a^7 & a^9-a^9 \\ a^{11}-a^{11} & (a-a+2)^3 & a^{13}-a^{13} \\ a^{15}-a^{15} & a^{17}-a^{17} & (a-a+3)^1 \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^3 & 0 \\ 0 & 0 & 3^1 \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right| = 1 \times 8 \times 3 = 24$.

(C) ધારો કે $P$ એ $n$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
આપણે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ કે $|kP| = k^n |P|$,જ્યાં $k$ એ અચળ સંખ્યા છે.
આ પ્રશ્નમાં,નિશ્ચાયકની કક્ષા $n = 3$ છે અને અચળ ગુણક $k = 3$ છે.
આપેલ છે કે મૂળ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $|P| = A$ છે.
તેથી,નવા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $|3P| = 3^3 |P|$ થશે.
$|3P| = 27 \times A = 27A$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\cos 2x & \sin^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos 2x & \cos^2 x \\ \cos 2x & \cos^2 x & \cos 2x\end{array}\right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ અને $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2\cos^2 x - 1 & 1 - \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 \\ 1 - \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 & \cos^2 x \\ 2\cos^2 x - 1 & \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 \end{array}\right|$.
ધારો કે $u = \cos^2 x$. તો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2u-1 & 1-u & 2u-1 \\ 1-u & 2u-1 & u \\ 2u-1 & u & 2u-1 \end{array}\right|$.
$C_1$ માંથી $C_3$ બાદ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1-u & 2u-1 \\ 1-2u & 2u-1 & u \\ 0 & u & 2u-1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1-u & 2u-1 \\ 1-2u & 2u-1 & u \\ 0 & u & 2u-1 \end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(1-2u) \left[ (1-u)(2u-1) - u(2u-1) \right] = -(1-2u)(2u-1)(1-u-u) = (2u-1)^2(1-2u) = -(2u-1)^3$.
$u = \cos^2 x$ મૂકતા:
$\Delta = -(2\cos^2 x - 1)^3 = -(8\cos^6 x - 12\cos^4 x + 6\cos^2 x - 1) = -8\cos^6 x + 12\cos^4 x - 6\cos^2 x + 1$.
અચળ પદ એ $\cos x$ થી સ્વતંત્ર પદ છે,જે $1$ છે.