AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પદાવલિ $(2-3x)^{-1/3} = 2^{-1/3} (1 - \frac{3x}{2})^{-1/3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}z^4 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 1/3$ અને $z = \frac{3x}{2}$ છે.
$5^{\text{th}}$ પદ $T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!} z^4$ છે.
$n = 1/3$ મૂકતા:
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{(1/3)(4/3)(7/3)(10/3)}{24} \times (\frac{3x}{2})^4$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{280/81}{24} \times \frac{81x^4}{16} = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} x^4$.
$x = 1/2$ આપેલ હોવાથી,$x^4 = 1/16$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} \times \frac{1}{16} = \frac{35}{768 \times 2^{1/3}} = \frac{35}{768(\sqrt[3]{2})}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{4}{15} + \frac{4 \times 10}{15 \times 30} + \frac{4 \times 10 \times 16}{15 \times 30 \times 45} + \ldots \infty$ છે.
આ શ્રેણી $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \ldots$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$nx = \frac{4}{15}$ અને $\frac{n(n+1)}{2} x^2 = \frac{4}{45}$ મળે છે.
ઉકેલતા,$x = \frac{2}{5}$ અને $n = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$S = (1 - 2/5)^{-2/3} = (3/5)^{-2/3} = (5/3)^{2/3}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ મળે.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ મળે.
$n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મેળવતા,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1 + y)^2 = 8$,તેથી $y^2 + 2y - 7 = 0$.

(D) $(1+x)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = \frac{27}{5} = 5.4$.
$x > 0$ હોવાથી,જો $x^r$ નો સહગુણક ઋણ હોય તો પદ ઋણ થશે.
સામાન્ય પદ $t_{r+1} = \binom{n}{r} x^r = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ છે.
આપણે સહગુણકોની નિશાની તપાસીએ:
$r=6$ માટે સહગુણક ધન છે,પરંતુ $r=7$ માટે સહગુણક ઋણ થાય છે.
તેથી,પ્રથમ ઋણ પદ $t_{7+1} = t_8$ છે.
આમ,$k=8$.

(D) ધારો કે $u = x^{-2}$. $x > \sqrt{3}$ હોવાથી,$x^2 > 3$,તેથી $u = \frac{1}{x^2} < \frac{1}{3}$.
પદાવલિને $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}$ તરીકે લખીએ.
અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{-2} + x^{-4}}{(1 + 2x^{-2})(1 + 3x^{-2})} = (u + u^2)(1 + 2u)^{-1}(1 + 3u)^{-1}$ મળે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+2u)^{-1} = 1 - 2u + 4u^2 - 8u^3 + \dots$
$(1+3u)^{-1} = 1 - 3u + 9u^2 - 27u^3 + \dots$
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $(1+2u)^{-1}(1+3u)^{-1} = 1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots$
હવે,$(u + u^2)(1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots) = u - 4u^2 + 14u^3 - 46u^4 + \dots$
$x^{-8}$ પદ $u^4$ ને અનુરૂપ છે. તેથી સહગુણક $-46$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)}$ છે.
પ્રથમ,બહુપદી ભાગાકાર અથવા બીજગણિતીય સાદુરૂપ આપો.
નોંધો કે $x^4+1 = (x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$.
તેથી,$\frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{(x^2+1)(x-1)} = (x+1) + \frac{2}{(x^2+1)(x-1)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{x-1} = -(1+x+x^2+x^3+...)$ અને $\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+...$.
આમ,$\frac{2}{(x^2+1)(x-1)} = 2(1-x^2+x^4-...) \times -(1+x+x^2+x^3+...)$.
$= -2(1+x+0x^2+0x^3+...)$.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $0$ છે.

(A) $1$. ઉપવલય માટે,નાભિ $(x_1, y_1)$ થી નિયામિકા $ax + by + c = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. અહીં,નાભિ $(1, -2)$ છે અને નિયામિકા $3x + 4y - 15 = 0$ છે.
$3$. $d = \frac{|3(1) + 4(-2) - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 15|}{5} = \frac{|-20|}{5} = 4$.
$4$. નાભિથી નિયામિકાના અંતરનું સૂત્ર $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e}$ છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
$5$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,તેથી $b^2 = 2a$.
$6$. આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $2a = a^2(1 - e^2) \implies 2 = a(1 - e^2)$.
$7$. સ્ટેપ $3$ અને $4$ પરથી,$\frac{a(1 - e^2)}{e} = 4$. $a(1 - e^2) = 2$ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{e} = 4 \implies e = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$8$. વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ માં $e$ મેળવવા માટે વપરાયેલ સાચું સૂત્ર આપે છે,તેથી $(A)$ અને $(R)$ સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + y^2 = 1$ છે. જીવાનું સમીકરણ $x - y + 1 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે $y = x + 1$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y = x + 1$ મૂકતા: $2x^2 + (x + 1)^2 = 1$.
$2x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1 \implies 3x^2 + 2x = 0$.
$x(3x + 2) = 0$,તેથી $x_1 = 0$ અને $x_2 = -\frac{2}{3}$.
અનુરૂપ $y$ કિંમતો: $y_1 = 0 + 1 = 1$ અને $y_2 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $A(0, 1)$ અને $B(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
$OA$ અને $OB$ ના ઢાળ $m_1 = \infty$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0)$ લો. સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ અને $B = (0, \frac{1}{y_0})$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ અંતઃખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{1}{x_0}$ અને $k = \frac{1}{2y_0}$,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = \frac{1}{h}$ અને $y_0 = \frac{1}{2k}$.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ થાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \frac{25}{4}$ છે,તેથી $r^2 = \frac{25}{4}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
રેખા $y = mx + c$ વર્તુળનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2) = \frac{25}{4}(1 + m^2)$ છે.
તે જ રેખા ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 4$ છે.
$c^2$ માટે બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{25}{4}(1 + m^2) = 9m^2 + 4$
$25 + 25m^2 = 36m^2 + 16$
$11m^2 = 9$
$m^2 = \frac{9}{11}$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉપવલયના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
તેથી,$x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$.
બિંદુ $(-3, 2)$ માટે,$(-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$ થાય છે.
આમ,બિંદુ $(-3, 2)$ નિયામક વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2 + 4y^2 = 72$. $72$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{18} = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{9(2)x}{72} + \frac{4(3)y}{72} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ થાય છે. $X$-અંતઃખંડ $x = 4$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{2}{3}$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 3y = -5$ થાય છે.
$y = 0$ મૂકતા,અભિલંબનો $X$-અંતઃખંડ $x = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
$X$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો: $|4 - (-\frac{5}{2})| = \frac{13}{2}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{2} \times 3 = \frac{39}{4}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં $m = \frac{1}{3}$ લેતા,સ્પર્શક $y = \frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2}$ થાય,જે $x - 3y \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ નો અભિલંબ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે.
અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $(-1, -1)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 - 3(-1) \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0 \implies 2 \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$.
આથી $3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 2 \implies \frac{a^2}{9} + b^2 = \frac{4}{9} \implies a^2 + 9b^2 = 4$.
$a > b > 0$ હોવાથી $b^2 = \frac{4 - a^2}{9} > 0 \implies a^2 < 4$ અને $a^2 > b^2 \implies a^2 > \frac{4 - a^2}{9} \implies a^2 > \frac{2}{5}$.
તેથી $a^2 \in \left(\frac{2}{5}, 4\right)$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 36$. તેથી $a=4$ અને $b=6$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(4 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ છે,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{6} = 1$ છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x_0 = \frac{4}{\cos \theta}$ અને $y_0 = \frac{6}{\sin \theta}$ છે.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_0 y_0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\cos \theta} \cdot \frac{6}{\sin \theta} = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin(2\theta)}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\sin(2\theta)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ. $\sin(2\theta)$ ની મહત્તમ કિંમત $2\theta = \pi/2$ એટલે કે $\theta = \pi/4$ પર $1$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $S = \frac{24}{1} = 24$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2-2x+8y+5=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-1)^2 + 2(y+2)^2 = 4$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1$ મળે છે.
બિંદુ $P(\sqrt{2}+1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y' = -\frac{x-1}{2(y+2)}$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ $y' = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \sqrt{2}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $y+1 = \sqrt{2}(x - (\sqrt{2}+1))$ એટલે કે $\sqrt{2}x-y=3+\sqrt{2}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે. બિંદુ $P$ ના યામ $(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $2x - y = \frac{3}{\sqrt{2}}$ મળે છે. આ રેખા અને ઉપવલયનું છેદબિંદુ શોધતા $\alpha = \frac{-23}{17\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2+9y^2-16x+54y+61=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$4(x-2)^2 + 9(y+3)^2 = 36$ મળે.
જેને $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉપવલયના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 + b^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર $(2, -3)$ હોવાથી,$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9 + 4 = 13$.
સાદુરૂપ આપતા $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi ab$ છે.
ધારો કે નાભિ $S(ae, 0)$ અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$SP$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ એ $h = \frac{a \cos \theta + ae}{2}$ અને $k = \frac{b \sin \theta}{2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{2h - ae}{a}$ અને $\sin \theta = \frac{2k}{b}$ મળે.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(2h - ae)^2}{a^2} + \frac{4k^2}{b^2} = 1$ મળે.
આને $\frac{(h - ae/2)^2}{(a/2)^2} + \frac{k^2}{(b/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક ઉપવલય છે જેની અર્ધ-ધરીઓ $a' = a/2$ અને $b' = b/2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi a' b' = \frac{\pi ab}{4}$ છે.
તેથી,$A_1 : A_2 = \pi ab : \frac{\pi ab}{4} = 4 : 1$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, b^2/a)$ અને $(ae, -b^2/a)$ છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $(0,0)$ આગળ નાભિલંબ દ્વારા બનતો ખૂણો $2\theta$ છે. તેથી $\tan \theta = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.
આપેલ છે કે $2\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{b^2}{a^2e} = \frac{3}{2}$.
$b^2 = 36$ આપેલ હોવાથી,$\frac{36}{a^2e} = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a^2e = 24$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,તેથી $36 = a^2e^2 - a^2$. $a^2e = 24$ હોવાથી,$a^2 = \frac{24}{e}$.
$a^2$ ની કિંમત મૂકતા,$36 = (\frac{24}{e})e^2 - \frac{24}{e} \implies 36 = 24e - \frac{24}{e}$.
$12$ વડે ભાગતા,$3 = 2e - \frac{2}{e} \implies 2e^2 - 3e - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(2e+1)(e-2) = 0$. $e > 1$ હોવાથી,$e = 2$.
તેથી $a^2 = \frac{24}{2} = 12$.
અંતે,$\sqrt{a^2 + e^2} = \sqrt{12 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

(C) નાભિઓ $F_1(8,3)$ અને $F_2(0,3)$ છે. અતિવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{8+0}{2}, \frac{3+3}{2}) = (4,3)$. તેથી,$\alpha = 4$ અને $\beta = 3$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8 - 0 = 8$ છે. $e = \frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી,$2a(\frac{4}{3}) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 3^2((\frac{4}{3})^2 - 1) = 9(\frac{16}{9} - 1) = 9(\frac{7}{9}) = 7$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} - \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ માં,$p = a^2 = 9$ અને $q = b^2 = 7$ મળે છે.
તેથી,$p+q = 9+7 = 16$.
અહીં $\alpha = 4$ અને $\beta = 3$ હોવાથી,$\alpha^2 = 16$. આમ,$p+q = \alpha^2$.

(A) ધારો કે અતિવલય $H$ એ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 26$ છે,તેથી $ae = 13$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = \frac{50}{13}$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{25}{13}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{25e}{13}$.
$a$ ની કિંમત $ae = 13$ માં મૂકતા: $(\frac{25e}{13})e = 13 \implies e^2 = \frac{169}{25} \implies e = \frac{13}{5}$.
હવે,$a = \frac{25}{13} \times \frac{13}{5} = 5$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$b^2 = 25(\frac{169}{25} - 1) = 169 - 25 = 144$,તેથી $b = 12$.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ છે.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ માટે $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$.
તેથી,$e' = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$.

(C) ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ આપેલ છે. છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$e = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ મળે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ પર નાભિલંબ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ થાય.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{a^2(e^2-1)}{a^2e} = \frac{e^2-1}{e}$ મળે.
$e = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ આપેલ હોવાથી,$e^2 = \frac{7+3+2\sqrt{21}}{4} = \frac{10+2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$.
તેથી,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{\frac{5+\sqrt{21}}{2} - 1}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}} = \frac{3+\sqrt{21}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
આમ,$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 120^{\circ}$.
તેથી,$\sin \theta = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$ છે.
રેખા $x - 2y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ઢાળ $m$ એ $m \times \frac{1}{2} = -1$ નું પાલન કરે છે,જે $m = -2$ આપે છે.
$m$ ઢાળવાળા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
$m = -2, a^2 = 3, b^2 = 2$ મૂકતા,આપણને $y = -2x \pm \sqrt{3(-2)^2 - 2} = -2x \pm \sqrt{10}$ મળે છે.
તેથી,બે સ્પર્શકો $2x + y - \sqrt{10} = 0$ અને $2x + y + \sqrt{10} = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|\sqrt{10} - (-\sqrt{10})|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 9y^2 - 20x - 18y - 34 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $5(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = 45$,એટલે કે $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{5} = 1$.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ મુજબ: $y + 1 = 1(x - 2) \pm \sqrt{9 - 5}$.
$y + 1 = x - 2 \pm 2$.
કિસ્સો $1$: $x - y - 1 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$.
કિસ્સો $2$: $x - y - 5 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 26$.
તેથી,$b^2 + c^2 = 2$ અથવા $26$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $3 \sqrt{2} x - 4 y = 12$ ને $y = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x - 3$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$m = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ અને અચળ પદ $-3$ છે,તેથી $\sqrt{a^2 m^2 - b^2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 m^2 - b^2 = 9$.
$m^2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$ મૂકતા,આપણને $\frac{9}{8} a^2 - b^2 = 9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$ આપેલ હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{25}{16} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,જે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{9}{16}$ અથવા $b^2 = \frac{9}{16} a^2$ આપે છે.
સ્પર્શકની શરતમાં $b^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{9}{8} a^2 - \frac{9}{16} a^2 = 9$.
$16$ વડે ગુણતા: $18 a^2 - 9 a^2 = 144$,તેથી $9 a^2 = 144$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 16$.
ત્યારબાદ $b^2 = \frac{9}{16} \times 16 = 9$.
અંતે,$a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 5$ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \frac{3}{2}$ છે.
નાભિ $(ae, 0) = (3, 0)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(3, \frac{5}{2})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ મળે છે.
$A$ બિંદુ માટે $y=0$ લેતા,$x = \frac{4}{3}$,તેથી $(OA)^2 = \frac{16}{9}$.
$B$ બિંદુ માટે $x=0$ લેતા,$y = -2$,તેથી $(OB)^2 = 4$.
આમ,$(OA)^2 - (OB)^2 = \frac{16}{9} - 4 = -\frac{20}{9}$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે,તેથી $ae = 2$.
વળી,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = 4 - a^2$.
અતિવલય $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$.
ધારો કે $u = a^2$. તો $\frac{2}{u} - \frac{3}{4 - u} = 1 \implies 2(4 - u) - 3u = u(4 - u) \implies u^2 - 9u + 8 = 0$.
ઉકેલતા,$(u - 8)(u - 1) = 0$. $a^2 < 4$ હોવાથી,$a^2 = 1$.
તેથી $b^2 = 3$. સમીકરણ $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શક $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,$x = 2\sqrt{2}$ અને $y = 3\sqrt{3}$ મૂકતા,$\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$.
આમ,બિંદુ $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ સ્પર્શક પર છે.

(C) આપેલ અતિવલય $5x^2 - 9y^2 = 90$ છે,જેને $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{10} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 10$ છે.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{18m^2 - 10}$ છે.
જો આ સ્પર્શક $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $(k - mh)^2 = 18m^2 - 10$.
આને સાદું રૂપ આપતા $m^2(h^2 - 18) - 2mhk + (k^2 + 10) = 0$ મળે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
$\alpha + \beta = 90^\circ$ હોવાથી,$m_1 m_2 = 1$.
સમીકરણ પરથી,$m_1 m_2 = \frac{k^2 + 10}{h^2 - 18} = 1$.
તેથી $h^2 - k^2 = 28$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 - y^2 = 28$ છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $a = 2$. તેથી,$y = mx + \frac{2}{m}$.
આ રેખા અતિવલય $xy = -1$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેને $y = -\frac{1}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + \frac{2}{m}$ ને $xy = -1$ માં મૂકતા,આપણને $x(mx + \frac{2}{m}) = -1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $mx^2 + \frac{2}{m}x + 1 = 0$ થાય.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = (\frac{2}{m})^2 - 4(m)(1) = 0$.
$\frac{4}{m^2} - 4m = 0 \implies 4 = 4m^3 \implies m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 2$ અથવા $x - y + 2 = 0$ મળે છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 5$ અને $b^2 = 4$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતા,$1 = m \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ મળે.
તેથી $(1 - m)^2 = 5m^2 - 4$,જેનું સાદુરૂપ $4m^2 + 2m - 5 = 0$ થાય છે.
ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ માટે,$m_1 + m_2 = -\frac{1}{2}$ અને $m_1m_2 = -\frac{5}{4}$.
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = 2\sqrt{21}$ મળે છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{a^2} = 3$,અથવા $b^2 = 3a^2$.
અતિવલય $(4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1$.
$b^2 = 3a^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2} = 1$ થાય છે,તેથી $\frac{4}{a^2} = 1$,એટલે કે $a^2 = 4$.
તેથી $b^2 = 3(4) = 12$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x - \frac{y}{2} = 1$ થાય છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x - y = 2$,અથવા $2x - y - 2 = 0$ મળે છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે।
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે।
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ છે।
આપેલ સમીકરણ $3x + 2\sqrt{2}y = -k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = \sqrt{2}$ મળે છે।
તેથી,$k = -13\sqrt{2}$।

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $xy = 16$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ છે. $(8, 2)$ આગળ,ઢાળ $m = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m} = 4$ છે.
$(8, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = 4(x - 8)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 4x - 30$ થાય છે.
અતિવલય સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = 4x - 30$ ને $xy = 16$ માં મૂકતા:
$x(4x - 30) = 16 \implies 4x^2 - 30x - 16 = 0 \implies 2x^2 - 15x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x + 1)(x - 8) = 0$.
બીજ $x = 8$ (મૂળ બિંદુ) અને $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
$x = \alpha = -\frac{1}{2}$ માટે,$\beta = \frac{16}{\alpha} = \frac{16}{-1/2} = -32$ મળે છે.
આપણે $|\beta| + \frac{1}{|\alpha|} = |-32| + \frac{1}{|-1/2|} = 32 + 2 = 34$ ની ગણતરી કરવાની છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
તેથી,બીજો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $7x^2 - 9y^2 = 63$ છે.
$63$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 7$,તેથી $a = 3$ અને $b = \sqrt{7}$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે,એટલે કે $y = \frac{\sqrt{7}}{3}x$ અને $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x$.
ઢાળ $m_1 = \frac{\sqrt{7}}{3}$ અને $m_2 = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ હોય,તો $\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
તેથી $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 7/9}{1 + 7/9} = \frac{2/9}{16/9} = \frac{1}{8}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{8}$.

(A) અનંતસ્પર્શકો $L_1 = 0$ અને $L_2 = 0$ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $L_1 L_2 = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ અનંતસ્પર્શકો $L_1: 3x - 4y - 1 = 0$ અને $L_2: 4x - 3y - 6 = 0$ છે.
અતિવલયની અક્ષો એ અનંતસ્પર્શકોના ખૂણાના દ્વિભાજક છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{3x - 4y - 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{4x - 3y - 6}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
છેદ સમાન હોવાથી,$3x - 4y - 1 = \pm (4x - 3y - 6)$.
કિસ્સો $1$: $3x - 4y - 1 = 4x - 3y - 6 \implies x + y - 5 = 0$.
કિસ્સો $2$: $3x - 4y - 1 = -(4x - 3y - 6) \implies 3x - 4y - 1 = -4x + 3y + 6 \implies 7x - 7y - 7 = 0 \implies x - y - 1 = 0$.
આમ,અક્ષો $x + y - 5 = 0$ અને $x - y - 1 = 0$ છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. તેથી $\tan \theta = \frac{b}{a}$.
આપેલ છે કે અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{2}{3}$,એટલે કે $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે $b = \frac{2}{3}a$.
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ ને આપેલ સમીકરણ $a^2 - b^2 = 45$ માં મૂકતા:
$a^2 - \frac{4}{9}a^2 = 45$
$\frac{5}{9}a^2 = 45$
$a^2 = 45 \times \frac{9}{5} = 81$,તેથી $a = 9$.
ત્યારબાદ $b^2 = \frac{4}{9}(81) = 36$,તેથી $b = 6$.
તેથી,$ab = 9 \times 6 = 54$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+3)(2x-y+1) + \lambda = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1,-2)$ અતિવલય પર હોવાથી,$x=1$ અને $y=-2$ મૂકતા:
$(1-2+3)(2(1)-(-2)+1) + \lambda = 0$
$(2)(5) + \lambda = 0 \implies \lambda = -10$.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+3)(2x-y+1) - 10 = 0$ છે.
સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+3)(2x-y+1) + 10 = 0$ થશે.
વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 3 + 10 = 0$,એટલે કે $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 13 = 0$.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x+[x])}{2-\{x\}}=\theta$ છે.
$x \rightarrow 0^{-}$ માટે,આપણી પાસે $[x] = -1$ અને $\{x\} = x - [x] = x - (-1) = x+1$ છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\theta = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x-1)}{2-(x+1)} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x-1)}{1-x}$.
જેમ $x \rightarrow 0^{-}$,પદાવલિ $\frac{\sin ^{-1}(-1)}{1-0} = \frac{-\pi/2}{1} = -\pi/2$ ને અભિસરણ પામે છે.
આમ,$\theta = -\pi/2$.
હવે,આપણે $\sin \theta + \cos \theta = \sin(-\pi/2) + \cos(-\pi/2) = -1 + 0 = -1$ ગણીએ છીએ.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos [x]-\cos (k x-[x])}{x^2}=5$ છે.
જ્યારે $x \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $[x] = 0$ થાય.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos(0) - \cos(kx - 0)}{x^2} = 5$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{x^2} = 5$
લક્ષના સૂત્ર $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{(kx)^2} \cdot k^2 = 5$
$\frac{1}{2} \cdot k^2 = 5$
$k^2 = 10$
$k = \sqrt{10}$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{15+\cos 2x}-4}$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2(x/2)$ અને $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos(x/2)}{\sqrt{14+2\cos^2 x}-4}$.
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1-\cos(x/2))}{\sqrt{14+2\cos^2 x}-4} \times \frac{1+\cos(x/2)}{1+\cos(x/2)} \times \frac{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}\sin^2(x/2)}{1+\cos(x/2)} \times \frac{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}{14+2\cos^2 x - 16}$.
કારણ કે $14+2\cos^2 x - 16 = 2\cos^2 x - 2 = -2\sin^2 x = -8\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)$:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}\sin^2(x/2)}{1+\cos(x/2)} \times \frac{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}{-8\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}$.
$L = \frac{\sqrt{2}}{1+1} \times \frac{\sqrt{14+2}+4}{-8(1)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{8}{-8} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપણી પાસે પદાવલિ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2 x-2 x \tan x}{(1-\cos 3 x)(\operatorname{cosec} x-\cot x)^2}$ છે.
પ્રથમ,છેદના પદ $(\operatorname{cosec} x-\cot x) = \frac{1-\cos x}{\sin x} = \tan(x/2)$ ને સરળ બનાવો.
તેથી,$(\operatorname{cosec} x-\cot x)^2 = \tan^2(x/2) \approx \frac{x^2}{4}$ જ્યારે $x \rightarrow 0$.
વળી,$1-\cos 3x = 2 \sin^2(\frac{3x}{2}) \approx \frac{9x^2}{2}$.
છેદ $\frac{9x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{9x^4}{8}$ બને છે.
હવે,અંશને સરળ બનાવો: $x \tan 2x - 2x \tan x = 2x^4$.
આમ,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{9x^4/8} = \frac{16}{9}$.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^3-x^2 \sin 5 x}{x \cos 4 x+7|x|^3-4|x|+3}$ છે.
જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $x < 0$ થાય,તેથી $|x| = -x$ અને $|x|^3 = -x^3$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^3-x^2 \sin 5 x}{x \cos 4 x + 7(-x^3) - 4(-x) + 3} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^3-x^2 \sin 5 x}{x \cos 4 x - 7x^3 + 4x + 3}$.
અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 - \frac{\sin 5 x}{x}}{\frac{\cos 4 x}{x^2} - 7 + \frac{4}{x^2} + \frac{3}{x^3}}$.
જેમ $x \rightarrow -\infty$,તેમ $\frac{\sin 5 x}{x} \rightarrow 0$,$\frac{\cos 4 x}{x^2} \rightarrow 0$,$\frac{4}{x^2} \rightarrow 0$,અને $\frac{3}{x^3} \rightarrow 0$.
તેથી,$L = \frac{5 - 0}{0 - 7 + 0 + 0} = -\frac{5}{7}$.

(D) $k$ માટે લક્ષની કિંમત શોધો:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x - \cos 4x}{1 - \cos 2x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - 2\sin^2 x) - (1 - 8\sin^2 x \cos^2 x)}{2\sin^2 x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8\sin^2 x \cos^2 x - 2\sin^2 x}{2\sin^2 x} = \lim _{x \rightarrow 0} (4\cos^2 x - 1) = 4(1)^2 - 1 = 3$.
તેથી,$k = 3$.
હવે,$k = 3$ સાથે બીજા લક્ષની કિંમત શોધો:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3 - 27}{x^4 - 81} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2 + 3x + 9}{(x + 3)(x^2 + 9)} = \frac{9 + 9 + 9}{(3 + 3)(9 + 9)} = \frac{27}{6 \times 18} = \frac{27}{108} = \frac{1}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^3(1 + \frac{1}{n})(2 + \frac{1}{n})}{6n^3} x$
$= \frac{1 \times 2}{6} x = \frac{2}{6} x = \frac{x}{3}$.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x+4 \cos ^2 x}{\sqrt{x^2-5 \sin ^2 x}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગીએ છીએ (કારણ કે $x \rightarrow \infty$,$x > 0$,તેથી $\sqrt{x^2} = x$):
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{4 \cos ^2 x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{5 \sin ^2 x}{x^2}}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{4 \cos ^2 x}{x}}{\sqrt{1 - \frac{5 \sin ^2 x}{x^2}}}$
જેમ $x \rightarrow \infty$,પદો $\frac{4 \cos ^2 x}{x} \rightarrow 0$ (કારણ કે $\cos ^2 x$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે સીમિત છે) અને $\frac{5 \sin ^2 x}{x^2} \rightarrow 0$ (કારણ કે $\sin ^2 x$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે સીમિત છે).
આમ,લક્ષ $\frac{3 + 0}{\sqrt{1 - 0}} = \frac{3}{1} = 3$ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$ અને $1 - \cos(ax) = 2 \sin^2(\frac{ax}{2})$.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin ^2(3 x)+\sin ^4(6 x)}{(1-\cos 3 x)^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(3x) = 2 \sin^2(\frac{3x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(2 \sin^2(\frac{3x}{2}))^2 = 4 \sin^4(\frac{3x}{2})$ થશે.
હવે,અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા:
અંશ: $\frac{x^2 \sin^2(3x)}{x^4} + \frac{\sin^4(6x)}{x^4} = \frac{\sin^2(3x)}{x^2} + \frac{\sin^4(6x)}{x^4}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\frac{\sin^2(3x)}{x^2} \rightarrow (3)^2 = 9$ અને $\frac{\sin^4(6x)}{x^4} \rightarrow (6)^4 = 1296$.
છેદ: $\frac{4 \sin^4(\frac{3x}{2})}{x^4} = 4 \cdot (\frac{\sin(\frac{3x}{2})}{\frac{3x}{2}})^4 \cdot (\frac{3}{2})^4 = 4 \cdot 1 \cdot \frac{81}{16} = \frac{81}{4}$.
આમ,લક્ષ $\frac{9 + 1296}{81/4} = \frac{1305 \times 4}{81} = \frac{145 \times 4}{9} = \frac{580}{9}$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} x - \cot x = \frac{1-\cos x}{\sin x} = \tan(x/2)$.
વળી,$e^x - e^{-x} \approx 2x$ જ્યારે $x \to 0$.
તેથી,અંશ $\tan(x/2) \cdot (e^x - e^{-x}) \approx (x/2) \cdot (2x) = x^2$ થાય.
છેદ માટે,$\sqrt{3} - \sqrt{2+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sqrt{3} + \sqrt{2+\cos x}} \approx \frac{x^2/2}{2\sqrt{3}} = \frac{x^2}{4\sqrt{3}}$.
આમ,લક્ષની કિંમત $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 / (4\sqrt{3})} = 4\sqrt{3}$ મળે.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{(1 - \cos 2x)^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(2 \sin^2 x)^2 = 4 \sin^4 x$ થાય છે.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{4 \sin^4 x}$.
$\tan \theta \approx \theta + \frac{\theta^3}{3}$ અને $\sin \theta \approx \theta$ માટે ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2x \approx 2x + \frac{(2x)^3}{3} = 2x + \frac{8x^3}{3}$.
$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$.
$\sin x \approx x$,તેથી $\sin^4 x \approx x^4$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2x + \frac{8x^3}{3}) - 2x(x + \frac{x^3}{3})}{4x^4}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^2 + \frac{8x^4}{3} - 2x^2 - \frac{2x^4}{3}}{4x^4}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{6x^4}{3}}{4x^4} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{4x^4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x) = x+2 \sin x+3 \tan x-\tan ^3 x$ અને $g(x) = \sqrt{x^2+2 \sin x+\tan x+3}-\sqrt{\sin ^2 x-2 \tan x-x+3}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,$f(0) = 0$ અને $g(0) = 0$. આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
અંશ અને છેદનું વિકલન કરતા ($L$'Hopital's rule):
અંશનું વિકલન: $f'(x) = 1+2 \cos x+3 \sec ^2 x-3 \tan ^2 x \sec ^2 x$.
$x=0$ આગળ,$f'(0) = 6$.
છેદનું વિકલન: $g'(x) = \frac{2x+2 \cos x+\sec ^2 x}{2 \sqrt{x^2+2 \sin x+\tan x+3}} - \frac{2 \sin x \cos x-2 \sec ^2 x-1}{2 \sqrt{\sin ^2 x-2 \tan x-x+3}}$.
$x=0$ આગળ,$g'(0) = \sqrt{3}$.
લક્ષનું મૂલ્ય $\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$ થાય.

(C) ધારો કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ના યામ $(\frac{-1+\lambda}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{2+\mu}{2}) = (\frac{\lambda-1}{2}, 4, \frac{\mu+2}{2})$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ રેખાખંડ $AM$ છે. $AM$ ના દિકગુણોત્તર $(\frac{\lambda-1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu+2}{2} - 5) = (\frac{\lambda-5}{2}, 1, \frac{\mu-8}{2})$ છે.
મધ્યગા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,દિકગુણોત્તર સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\frac{\lambda-5}{2} = 1 = \frac{\mu-8}{2}$.
$\frac{\lambda-5}{2} = 1$ પરથી,$\lambda - 5 = 2$,તેથી $\lambda = 7$.
$\frac{\mu-8}{2} = 1$ પરથી,$\mu - 8 = 2$,તેથી $\mu = 10$.
હવે વિકલ્પો તપાસતા,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ મૂકતા:
વિકલ્પ $C: 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$.
આમ,$10 \lambda - 7 \mu = 0$ એ સાચો સંબંધ છે.

(NONE) સમતલ $3x - 2y + z = 8$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = \langle 3, -2, 1 \rangle$ છે.
સમતલ $x + y + z = 6$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \langle 1, 1, 1 \rangle$ છે.
માંગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = \langle -3, -2, 5 \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$-3x - 2y + 5z = 11$ મળે છે.
$11$ વડે ભાગતા,$-\frac{3}{11}x - \frac{2}{11}y + \frac{5}{11}z = 1$ મળે.
$lx + my + nz = 1$ સાથે સરખાવતા,$l = -3/11$,$m = -2/11$,અને $n = 5/11$ મળે છે.
હવે,$4m + 2n - 31 = 4(-2/11) + 2(5/11) - 31 = -8/11 + 10/11 - 31 = 2/11 - 31 = -339/11$.

(A) ધારો કે સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 3) = 0$ છે,જ્યાં $\vec{n} = (a, b, c)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
સમતલ $B(6, 4, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$a(6 - 1) + b(4 + 2) + c(5 - 3) = 0$,જે $5a + 6b + 2c = 0$ માં પરિણમે છે.
સમતલ $\pi$ એ સમતલ $3x - y + z = 2$ ને લંબ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (3, -1, 1)$ છે.
તેથી,અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $3a - b + c = 0$.
સમીકરણો $5a + 6b + 2c = 0$ અને $3a - b + c = 0$ ને ઉકેલતા:
બીજા સમીકરણ પરથી,$b = 3a + c$. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $5a + 6(3a + c) + 2c = 0 \implies 23a + 8c = 0$.
ધારો કે $a = 8$,તો $c = -23$. તેથી $b = 3(8) - 23 = 24 - 23 = 1$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (8, 1, -23)$ છે.
સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $8(x - 1) + 1(y + 2) - 23(z - 3) = 0$ છે,જે $8x + y - 23z + 63 = 0$ માં પરિણમે છે.
$(0, 0, 0)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|8(0) + 1(0) - 23(0) + 63|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + (-23)^2}} = \frac{63}{\sqrt{64 + 1 + 529}} = \frac{63}{\sqrt{594}}$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz = d_0$ નું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d_0|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
અહીં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-1, p, -3)$ અને સમતલ $2x - 3y + 6z - 7 = 0$ છે.
અંતર $6$ એકમ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:
$6 = \frac{|2(-1) - 3(p) + 6(-3) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$6 = \frac{|-2 - 3p - 18 - 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$6 = \frac{|-3p - 27|}{7}$
$42 = |-3p - 27|$
આના બે કિસ્સા મળે:
કિસ્સો $1$: $-3p - 27 = 42 \implies -3p = 69 \implies p = -23$ ($p$ ધન હોવાથી આ શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $-3p - 27 = -42 \implies -3p = -15 \implies p = 5$.
તેથી,$p = 5$.

(D) સમતલ $\pi: ax + by + 11z + d = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ એ $2x - 3y + z = 4$ અને $3x + y - z = 5$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{n}$ એ $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 11\hat{k}$.
આને $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને $b = 5$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 5y + 11z + d = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $\frac{|d|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 11^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{150}} = \frac{|d|}{5\sqrt{6}}$ છે.
આ અંતર $\sqrt{6}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|d|}{5\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 30$.
અંતઃખંડો ધન હોવાથી,$d = -30$ મળે.
અહીં $ab = 10$ છે,તેથી $d = -3ab$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $(2, -1, 3)$ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ થશે,જે $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z = D$ સ્વરૂપનું થશે.
બિંદુ $(2, -1, 3)$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 14 = 0$ છે.

(D) બે સમતલો $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ અને $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ છે.
આપેલ સમતલો $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 = 0$ અને $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5 = 0$ છે.
માગેલ સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$ થશે.
આ સમતલ બિંદુ $\overline{a} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં $\overline{r} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ મૂકતા:
$((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(1 - 6 - 3) + \lambda(4 + 3 - 5) = 0$
$-8 + \lambda(2) = 0 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
$\lambda = 4$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 + 4(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} - 2 \overline{k} + 4 \overline{k}) = 3 + 20$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 23$.

(B) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-10) - \hat{j}(-6-25) + \hat{k}(4+15) = -1\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$.
બિંદુ $(3,2,5)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$ વાળા સમતલનું સમીકરણ $-1(x-3) + 31(y-2) + 19(z-5) = 0$ છે.
$-x + 3 + 31y - 62 + 19z - 95 = 0 \implies -x + 31y + 19z - 154 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$x - 31y - 19z + 154 = 0$ મળે.
$x + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$b = -31$,$c = -19$,અને $d = 154$ મળે.
તેથી,$2b + 3c + d = 2(-31) + 3(-19) + 154 = -62 - 57 + 154 = -119 + 154 = 35$.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $B(\alpha, \beta, \gamma)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 1, 1)$ અને સમતલ $4x + 2y + 4z + 1 = 0$ છે.
પદાવલિની કિંમત શોધો:
$ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 4(1) + 2(1) + 4(1) + 1 = 4 + 2 + 4 + 1 = 11$
$a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 16 = 36$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\alpha - 1}{4} = \frac{\beta - 1}{2} = \frac{\gamma - 1}{4} = -2 \times \frac{11}{36} = -\frac{11}{18}$
હવે,$\alpha, \beta, \gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \alpha = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
$\beta - 1 = 2 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{11}{9} \implies \beta = 1 - \frac{11}{9} = -\frac{2}{9}$
$\gamma - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \gamma = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
અંતે,સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma$ શોધો:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{13}{9} - \frac{2}{9} - \frac{13}{9} = -\frac{28}{9}$

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz=0$ છે.
આ સમતલ,સમતલો $x+2y-z=1$ અને $3x-4y+z=5$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ અને $\vec{n_2} = (3, -4, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(-4-6) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, 5)$ લઈ શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 2(y-0) + 5(z-0) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x+2y+5z=0$ મળે છે.

(B) $1$. ફલક $OAB$ માટે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો. સદિશો $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ એ ફલક $OAB$ પર આવેલા છે.
$2$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$3$. ધાર $BC$ દર્શાવતો સદિશ $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -3\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$ છે.
$4$. રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
$5$. $\vec{v} \cdot \vec{n} = -12$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{10}$,$|\vec{n}| = \sqrt{35}$.
$6$. $\sin \theta = \frac{12}{\sqrt{350}} = \frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$.
$7$. તેથી,$\theta = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}\right)$.

(A) બિંદુ $\bar{a} = \bar{i}-2 \bar{j}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\bar{v} = 2 \bar{i}+\bar{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = (\bar{i}-2 \bar{j}) + t(2 \bar{i}+\bar{k}) = (1+2t)\bar{i} - 2\bar{j} + t\bar{k}$ છે.
સમતલ બિંદુ $\bar{b} = \bar{i}+2 \bar{j}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\bar{u}_1 = 2 \bar{j}-\bar{k}$ અને $\bar{u}_2 = \bar{i}+2 \bar{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = \bar{u}_1 \times \bar{u}_2 = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\bar{r} - \bar{b}) \cdot \bar{n} = 0$ છે,એટલે કે $(\bar{r} - (\bar{i}+2 \bar{j})) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$.
રેખાના સમીકરણને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$((1+2t-1)\bar{i} + (-2-2)\bar{j} + t\bar{k}) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$
$8t + 4 - 2t = 0 \implies 6t = -4 \implies t = -\frac{2}{3}$.
$t = -\frac{2}{3}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\bar{r} = (1+2(-\frac{2}{3}))\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}(\bar{i} + 6\bar{j} + 2\bar{k})$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ અને $D(6, k, 2)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$ અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = -5\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (k-2)\hat{j} - 2\hat{k}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} -5 & 1 & 1 \\ -5 & -4 & -1 \\ 0 & k-2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-5[8 + k - 2] - 1[10] + 1[-5k + 10] = 0$
$-5[k + 6] - 10 - 5k + 10 = 0$
$-5k - 30 - 5k = 0$
$-10k = 30$
$k = -3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 0)$ અને $B(0, 1, -2)$ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\overline{r} = (1 - t)(\overline{i} + 2\overline{j}) + t(\overline{j} - 2\overline{k}) = (1 - t)\overline{i} + (2 - t)\overline{j} - 2t\overline{k}$ છે.
ધારો કે સમતલ પરના બિંદુઓ $P(2, -1, 0)$,$Q(0, 2, 3)$ અને $R(-2, 0, 1)$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overline{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (-2\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}) \times (-4\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -10\overline{j} + 10\overline{k}$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\overline{n} = \overline{j} - \overline{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} - (2\overline{i} - \overline{j})) \cdot (\overline{j} - \overline{k}) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - z = -1$ થાય છે.
રેખાના યામ $(1-t, 2-t, -2t)$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2-t) - (-2t) = -1 \implies 2 + t = -1 \implies t = -3$.
છેદબિંદુ $\overline{r} = (1 - (-3))\overline{i} + (2 - (-3))\overline{j} - 2(-3)\overline{k} = 4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}$ મળે છે.
અંતે,$\overline{r} \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = (4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}) \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = 4 + 5 + 6 = 15$.

(C) રેખા $L_1$ એ $A(1, 1, 0)$ અને $B(-1, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. $L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = B - A = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (1-2s, 1-s, s)$ છે.
રેખા $L_2$ એ $C(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
$L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (t, 1+t, 2+t)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$(1-2s, 1-s, s) = (t, 1+t, 2+t)$.
યામ સરખાવતા: $1-2s = t$,$1-s = 1+t$,$s = 2+t$.
$1-s = 1+t$ પરથી,$s = -t$ મળે છે.
$s = -t$ ને $s = 2+t$ માં મૂકતા: $-t = 2+t \implies 2t = -2 \implies t = -1$.
તેથી $s = 1$.
છેદબિંદુ: $x = -1$,$y = 0$,$z = 1$.
આમ,$(y-x) = 0 - (-1) = 1$.
$z = 1$ હોવાથી,$(y-x) = z$.

(B) સિક્કાને $8$ વખત ઉછાળતા કુલ શક્ય પરિણામો $2^8 = 256$ છે.
ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો છે.
આપણે એવા પરિણામો જોઈએ છે જેમાં $H$ સતત ઓછામાં ઓછી $5$ વખત આવે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10$ છે.
સંભાવના $= \frac{10}{256} = \frac{5}{128}$.

(D) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $m$ અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $w$ છે. આપેલ છે કે $m + w = 8$.
પરિવારમાંથી $2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E) = \frac{\binom{m}{2} \binom{w}{2}}{\binom{8}{4}}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ઘટના બની છે. આપણે $m = w = 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
જો $m = 4$ અને $w = 4$ હોય,તો $2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|m=4, w=4) = \frac{\binom{4}{2} \binom{4}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{6 \times 6}{70} = \frac{36}{70}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,જરૂરી સંભાવના $\frac{36}{126} = \frac{2}{7}$ મળે છે.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકતા કુલ પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
ઘટના $A$ એટલે સરવાળો $S > 14$,એટલે કે $S \in \{15, 16, 17, 18\}$.
આ સરવાળા મેળવવાના કુલ પરિણામો $20$ છે.
ઘટના $B$ એટલે સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $S \in \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$.
$A \cap B$ માં $S=15$ અને $S=18$ નો સમાવેશ થાય છે,તેથી $n(A \cap B) = 11$.
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{20-11}{216} = \frac{9}{216}$.
$n(B) = 72$ હોવાથી,$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{72-11}{216} = \frac{61}{216}$.
તેથી,$P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{9+61}{216} = \frac{70}{216} = \frac{35}{108}$.

(C) ધારો કે $P(A) = x$, $P(B) = y$, $P(C) = z$, $P(A \cap B) = p$, $P(B \cap C) = q$, $P(C \cap A) = r$, અને $P(A \cap B \cap C) = k = \frac{1}{16}$.
આપેલ છે કે $P(\text{exactly one of } A \text{ or } B) = x + y - 2p = \frac{1}{4}$.
તે જ રીતે, $y + z - 2q = \frac{1}{4}$ અને $z + x - 2r = \frac{1}{4}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(x + y + z) - 2(p + q + r) = \frac{3}{4} \implies x + y + z - (p + q + r) = \frac{3}{8}$.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A \cup B \cup C) = (x + y + z) - (p + q + r) + k$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$.

(D) $52$ પત્તાના પેકમાં $26$ કાળા પત્તા હોય છે. $26$ માંથી $2$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_2 = \frac{26 \times 25}{2} = 325$ છે.
$26$ કાળા પત્તામાં $6$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા (કાળી અને ફુલ્લીના રાજા,રાણી અને ગુલામ) હોય છે.
$2$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો જેમાં એક પણ મુખમુદ્રાવાળું ન હોય તે $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
$2$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો જેમાં ઓછામાં ઓછું એક મુખમુદ્રાવાળું હોય તે $325 - 190 = 135$ છે.
માટે જરૂરી સંભાવના $\frac{135}{325} = \frac{27}{65}$ થાય.

(A) જ્યારે પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$ એ પ્રથમ ફેંકમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની છે. પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ${2, 3, 5}$ છે. તેથી,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ઘટના $B$ એ બીજી ફેંકમાં બેકી સંખ્યા મેળવવાની છે. પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ ${2, 4, 6}$ છે. તેથી,$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ઘટના $\overline{B}$ એ $B$ ની પૂરક ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી ફેંકમાં એકી સંખ્યા મેળવવી. એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે. તેથી,$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
બે ફેંક સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$A$ ની ઘટના $\overline{B}$ ની ઘટના પર આધારિત નથી.
તેથી,$P(A / \overline{B}) = P(A) = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ ટોપલી છે અને $B_2$ એ બીજી ટોપલી છે.
$B_1$ માં,કુલ ફળો = $5 + 7 = 12$.
$B_1$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(A_1) = \frac{5}{12}$.
$B_1$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(O_1) = \frac{7}{12}$.
$B_2$ માં,કુલ ફળો = $4 + 8 = 12$.
$B_2$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(A_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$B_2$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(O_2) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
આપણે એક સફરજન અને એક નારંગી મેળવવા માંગીએ છીએ. આ બે પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $B_1$ માંથી સફરજન અને $B_2$ માંથી નારંગી: $P(A_1) \times P(O_2) = \frac{5}{12} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{36}$.
$2$. $B_1$ માંથી નારંગી અને $B_2$ માંથી સફરજન: $P(O_1) \times P(A_2) = \frac{7}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{36}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{10}{36} + \frac{7}{36} = \frac{17}{36}$.

(C) $52$ પત્તાના પેકમાં $12$ ફેસ કાર્ડ હોય છે. કાળા રંગના $6$ ફેસ કાર્ડ હોય છે.
પ્રથમ પત્તું રાણી છે. કુલ $4$ રાણીઓ છે.
જો પ્રથમ પત્તું કાળી રાણી હોય (સંભાવના $2/4 = 1/2$),તો બાકી રહેલા $51$ પત્તામાં $5$ કાળા ફેસ કાર્ડ બાકી રહે.
જો પ્રથમ પત્તું લાલ રાણી હોય (સંભાવના $2/4 = 1/2$),તો બાકી રહેલા $51$ પત્તામાં $6$ કાળા ફેસ કાર્ડ બાકી રહે.
કુલ સંભાવના $= (1/2 \times 5/51) + (1/2 \times 6/51) = 11/102$.

(A) આપેલ છે: $P(\overline{A}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
કારણ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$,તેથી $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,એટલે કે $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે $P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})}$ શોધવાનું છે.
અંશ: $P(B \cap (A \cup \overline{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
છેદ: $P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
તેથી,$P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = xy = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1-x)(1-y) = \frac{1}{3}$.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - x - y + xy = \frac{1}{3}$.
$xy = \frac{1}{6}$ મુકતા: $1 - (x+y) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$x+y = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આમ,$x+y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.
$(2t-1)(3t-1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
$P(A) > P(B)$ હોવાથી,$P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,$B$ ઉદ્ભવવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે પાત્રો $U_1, U_2, U_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પાત્ર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $B$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. આપણે કાળો દડો ન મળે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(B^c) = 1 - P(B)$ છે.
દરેક પાત્રમાંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના:
$P(B|E_1) = \frac{2}{5+3+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_2) = \frac{2}{4+4+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_3) = \frac{3}{3+4+3} = \frac{3}{10}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{4+3}{30} = \frac{7}{30}$.
તેથી,કાળો દડો ન મળે તેની સંભાવના $P(B^c) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ છે.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,મધ્યક $\lambda$ એ વિચરણ જેટલો હોય છે. આપેલ છે કે વિચરણ $= 2$,તેથી $\lambda = 2$.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
સરવાળો $= e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$.

(C) ધારો કે $W_A, B_A$ એ $A$ માંથી સફેદ અથવા કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. $P(W_A) = \frac{4}{5}, P(B_A) = \frac{1}{5}$.
$A$ માંથી $B$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,પાત્ર $B$ માં $6$ દડા છે.
કિસ્સો $1$: જો $W_A$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $B$ માં $4$ સફેદ,$2$ કાળા દડા રહે. $P(W_{B|W_A}) = \frac{4}{6}, P(B_{B|W_A}) = \frac{2}{6}$.
કિસ્સો $2$: જો $B_A$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $B$ માં $3$ સફેદ,$3$ કાળા દડા રહે. $P(W_{B|B_A}) = \frac{3}{6}, P(B_{B|B_A}) = \frac{3}{6}$.
પાત્ર $C$ માં શરૂઆતમાં $2$ સફેદ,$3$ કાળા દડા છે. $B$ માંથી સ્થાનાંતર પછી,તેમાં $6$ દડા થાય છે.
જો $W_B$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $C$ માં $3$ સફેદ,$3$ કાળા દડા રહે. $P(B_C|W_B) = \frac{3}{6}$.
જો $B_B$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $C$ માં $2$ સફેદ,$4$ કાળા દડા રહે. $P(B_C|B_B) = \frac{4}{6}$.
કુલ સંભાવના $P(B_C) = P(B_C|W_B)P(W_B) + P(B_C|B_B)P(B_B)$.
$P(W_B) = P(W_B|W_A)P(W_A) + P(W_B|B_A)P(B_A) = (\frac{4}{6} \times \frac{4}{5}) + (\frac{3}{6} \times \frac{1}{5}) = \frac{16+3}{30} = \frac{19}{30}$.
$P(B_B) = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}$.
$P(B_C) = (\frac{3}{6} \times \frac{19}{30}) + (\frac{4}{6} \times \frac{11}{30}) = \frac{57 + 44}{180} = \frac{101}{180}$.

(C) અકસ્માતોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણ (Poisson distribution) ને અનુસરે છે,જ્યાં પેરામીટર $\lambda = 5$ છે.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક અકસ્માત થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$x = 0$ માટે,$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = \frac{e^{-5} \times 1}{1} = e^{-5}$.
$x = 1$ માટે,$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = \frac{e^{-5} \times 5}{1} = 5e^{-5}$.
તેથી,$P(X \le 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5} = \frac{6}{e^5}$.

(D) ધારો કે $R_P$ એ થેલી $P$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_P$ એ થેલી $P$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. તેવી જ રીતે,$R_Q$ અને $B_Q$ એ થેલી $Q$ માટેની ઘટનાઓ છે.
થેલી $P$ માં $4$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે (કુલ $9$).
થેલી $Q$ માં $3$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે (કુલ $9$).
આપણે $P$ માંથી $1$ દડો અને $Q$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરીએ છીએ.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $\binom{9}{1} \times \binom{9}{2} = 9 \times 36 = 324$ છે.
આપણે $2$ કાળા અને $1$ લાલ દડો જોઈએ છે. આ બે રીતે શક્ય છે:
કિસ્સો $1$: $P$ માંથી $1$ લાલ અને $Q$ માંથી $2$ કાળા દડા.
સંભાવના $= P(R_P) \times P(2B_Q) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$.
કિસ્સો $2$: $P$ માંથી $1$ કાળો અને $Q$ માંથી $1$ લાલ,$1$ કાળો દડો.
સંભાવના $= P(B_P) \times P(1R_Q, 1B_Q) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પર છ આવે છે,અને $E^c$ એ ઘટના છે કે પાસા પર છ આવતો નથી.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ અહેવાલ આપે છે કે તે છ છે.
આપણને આપેલ છે:
$P(E) = \frac{1}{6}$
$P(E^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
સાચું બોલવાની સંભાવના $P(T) = \frac{3}{4}$,તેથી જૂઠું બોલવાની સંભાવના $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
જો પાસા પર છ આવે,તો વ્યક્તિ સાચું બોલે તો જ તે છ હોવાનો અહેવાલ આપે છે: $P(A|E) = \frac{3}{4}$.
જો પાસા પર છ ન આવે,તો વ્યક્તિ જૂઠું બોલે તો જ તે છ હોવાનો અહેવાલ આપે છે: $P(A|E^c) = \frac{1}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેણે છ હોવાનો અહેવાલ આપ્યો હોય ત્યારે તે ખરેખર છ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$.

(C) ધારો કે $M$ એ ઘટના છે કે કર્મચારી પુરુષ છે અને $W$ એ ઘટના છે કે કર્મચારી સ્ત્રી છે. ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે કર્મચારી ટેકનિકલ આસિસ્ટન્ટ છે.
આપેલ છે:
$P(M) = 0.70$
$P(W) = 1 - 0.70 = 0.30$
$P(T|M) = 0.30$
$P(T|W) = 0.15$
આપણે $P(M|T)$ શોધવાની જરૂર છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|T) = \frac{P(M) \times P(T|M)}{P(M) \times P(T|M) + P(W) \times P(T|W)}$
$P(M|T) = \frac{0.70 \times 0.30}{(0.70 \times 0.30) + (0.30 \times 0.15)}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.21 + 0.045}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.255}$
$P(M|T) = \frac{210}{255} = \frac{14}{17}$

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બલ્બ અનુક્રમે $A, B, C$ એકમો દ્વારા ઉત્પાદિત થાય છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે બલ્બ ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.05, P(D|E_2) = 0.04, P(D|E_3) = 0.02$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના છે:
$P(D) = P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)$
$P(D) = (0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02)$
$P(D) = 0.0125 + 0.0140 + 0.0080 = 0.0345$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત બલ્બ એકમ $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના છે:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(D)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.04}{0.0345} = \frac{0.0140}{0.0345} = \frac{140}{345}$
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(E_2|D) = \frac{28}{69}$

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે $F_1, F_2, F_3$ પરિવારો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પરિવાર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $G$ એ પસંદ કરેલ બાળક છોકરી હોવાની ઘટના છે.
દરેક પરિવારમાંથી છોકરી પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(G|E_1) = \frac{1}{3}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{1}{2}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છોકરી $F_2$ માંથી હોય તેની સંભાવના $P(E_2|G) = \frac{P(E_2)P(G|E_2)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(E_2|G) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{2+4+3}{18}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{9}{18}} = \frac{2}{9} \times 2 = \frac{4}{9}$.

(C) ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે થેલીમાં $i$ લાલ દડા છે,જ્યાં $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
દરેક કિસ્સા માટે સમાન તકો હોવાથી,$P(E_i) = \frac{1}{6}$ થાય.
ધારો કે $R$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ છે.
જો $i$ લાલ દડા હોય,તો લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|E_i) = \frac{i}{5}$ છે.
નોંધો કે $P(R|E_0) = 0$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ હોય ત્યારે થેલીમાં માત્ર $1$ લાલ દડો હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|R) = \frac{P(R|E_1)P(E_1)}{\sum_{i=0}^{5} P(R|E_i)P(E_i)}$
$P(E_1|R) = \frac{(\frac{1}{5})(\frac{1}{6})}{(\frac{0}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{2}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{3}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{4}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{5}{5})(\frac{1}{6})}$
$P(E_1|R) = \frac{1}{0+1+2+3+4+5} = \frac{1}{15}$.

(C) ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ ખામીયુક્ત છે અને $ND$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ ખામીયુક્ત નથી.
આપેલ છે કે $P(D) = 0.3$,તેથી $P(ND) = 1 - 0.3 = 0.7$.
ધારો કે $R_D$ એ ઘટના છે કે ઉપકરણ વસ્તુને ખામીયુક્ત તરીકે દર્શાવે છે અને $R_{ND}$ એ ઘટના છે કે ઉપકરણ વસ્તુને ખામીયુક્ત નથી તેમ દર્શાવે છે.
ઉપકરણ $80\%$ સમય સચોટ છે,તેથી $P(R_D|D) = 0.8$ અને $P(R_{ND}|ND) = 0.8$.
પરિણામે,$P(R_{ND}|D) = 1 - 0.8 = 0.2$ અને $P(R_D|ND) = 1 - 0.8 = 0.2$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વસ્તુ ખામીયુક્ત છે જો ઉપકરણ તેને ખામીયુક્ત નથી તેમ દર્શાવે છે,એટલે કે $P(D|R_{ND})$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(D|R_{ND}) = \frac{P(R_{ND}|D) \times P(D)}{P(R_{ND}|D) \times P(D) + P(R_{ND}|ND) \times P(ND)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.2 \times 0.3}{(0.2 \times 0.3) + (0.8 \times 0.7)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.06}{0.06 + 0.56} = \frac{0.06}{0.62} = \frac{6}{62} = \frac{3}{31}$.

(D) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે વિભાગ $A, B$ અને $C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. ધારો કે $G$ એ છોકરી પસંદ કરવાની ઘટના છે.
વિભાગો પસંદ કરવાની આપેલી સંભાવનાઓ $P(E_1) = 0.2, P(E_2) = 0.3, P(E_3) = 0.5$ છે.
દરેક વિભાગમાંથી છોકરી પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(G|E_1) = \frac{20}{20+30} = \frac{20}{50} = 0.4$
$P(G|E_2) = \frac{40}{40+20} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{10}{10+30} = \frac{10}{40} = 0.25$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છોકરી વિભાગ $A$ ની હોય તેની સંભાવના $P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ છે.
$P(E_1|G) = \frac{0.2 \times 0.4}{(0.2 \times 0.4) + (0.3 \times \frac{2}{3}) + (0.5 \times 0.25)}$
$P(E_1|G) = \frac{0.08}{0.08 + 0.2 + 0.125} = \frac{0.08}{0.405} = \frac{80}{405} = \frac{16}{81}$.

(B) ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી ટીવી જુએ છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી પુસ્તક વાંચે છે. ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી ઊંઘી જાય છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(T) = \frac{4}{5}$
$P(B) = 1 - P(T) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$P(S|T) = \frac{3}{4}$
$P(S|B) = \frac{1}{4}$
આપણે $P(T|S)$ શોધવાની જરૂર છે,એટલે કે તે ઊંઘતો હોય ત્યારે તેણે ટીવી જોયું હોય તેની સંભાવના.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(T|S) = \frac{P(T) \times P(S|T)}{P(T) \times P(S|T) + P(B) \times P(S|B)}$
$P(T|S) = \frac{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4})}{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4}) + (\frac{1}{5}) \times (\frac{1}{4})}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{12}{20} + \frac{1}{20}}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{13}{20}} = \frac{12}{13}$

(D) ધારો કે $n = 5$ એ કસોટીઓની સંખ્યા છે અને $p = \frac{2}{3}$ એ ડિસ્ટિંક્શન મેળવવાની સંભાવના છે. તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઓછામાં ઓછી $3$ કસોટીમાં ડિસ્ટિંક્શન મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 3) = \frac{80 + 80 + 32}{243} = \frac{192}{243}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{64}{81}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $p$ એ $A$ એક રમત જીતે તેની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.6 = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $n = 3$ એ રમાયેલી રમતોની સંખ્યા છે.
આપણે $A$ ઓછામાં ઓછી બે રમતો જીતે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3)$ છે,જ્યાં $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના માસ ફંક્શન $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
$k = 2$ માટે: $P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.6)^2 (0.4)^1 = 3 \times 0.36 \times 0.4 = 0.432$.
$k = 3$ માટે: $P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.6)^3 (0.4)^0 = 1 \times 0.216 \times 1 = 0.216$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 2) = 0.432 + 0.216 = 0.648$.
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $0.648 = \frac{648}{1000} = \frac{81}{125}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
અહીં $n=9$ આપેલ છે,તેથી $P(X=3)=P(X=6)$ પરથી:
$\binom{9}{3} p^3 (1-p)^{6} = \binom{9}{6} p^6 (1-p)^{3}$
$\binom{9}{3} = \binom{9}{6}$ હોવાથી,બંને બાજુથી તેને દૂર કરતા:
$p^3 (1-p)^6 = p^6 (1-p)^3$
બંને બાજુ $p^3 (1-p)^3$ વડે ભાગતા:
$(1-p)^3 = p^3 \implies 1-p = p \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}$.
હવે,$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધતા:
$P(X=0) = \binom{9}{0} (\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.
$P(X=1) = \binom{9}{1} (\frac{1}{2})^9 = \frac{9}{512}$.
$P(X=2) = \binom{9}{2} (\frac{1}{2})^9 = \frac{36}{512}$.
$P(X < 3) = \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512} = \frac{23}{256}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = \frac{16}{5}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = \frac{48}{25}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{48/25}{16/5} = \frac{48}{25} \times \frac{5}{16} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ મળે.
$np = \frac{16}{5}$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{5} = \frac{16}{5}$,તેથી $n = 8$ મળે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{8}{k} (\frac{2}{5})^k (\frac{3}{5})^{8-k}$ છે.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^8 = \frac{3^8}{5^8}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^7 = 8 \times \frac{2}{5} \times \frac{3^7}{5^7} = \frac{16 \times 3^7}{5^8} = \frac{48 \times 3^6}{5^8}$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5})^6 = 28 \times \frac{4}{25} \times \frac{3^6}{5^6} = \frac{112 \times 3^6}{5^8}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = \frac{3^8 + 48 \times 3^6 + 112 \times 3^6}{5^8} = \frac{9 \times 3^6 + 160 \times 3^6}{5^8} = \frac{169 \times 3^6}{5^8}$.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ આવવાની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટો આવવાની સંભાવના $q = 1/2$ છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, 1/2)$ ને અનુસરે છે.
$P(X=k) = \binom{n}{k} (1/2)^n$.
આપેલ છે કે $P(X=4)$,$P(X=5)$ અને $P(X=6)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2P(X=5) = P(X=4) + P(X=6)$.
દ્વિપદી સંભાવનાઓ મૂકતા: $2 \binom{n}{5} (1/2)^n = \binom{n}{4} (1/2)^n + \binom{n}{6} (1/2)^n$.
$(1/2)^n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2 \binom{n}{5} = \binom{n}{4} + \binom{n}{6}$.
સૂત્ર $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$.
$n!$ વડે ભાગતા અને $6!(n-4)!$ વડે ગુણતા: $2 \times 6(n-4) = 6 \times 5 + (n-4)(n-5)$.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-7)(n-14) = 0$.
આમ,$n = 7$ અથવા $n = 14$. તેથી $n$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $n = 6$ અને $\mu - \sigma^2 = \frac{27}{8}$.
સૂત્રો મૂકતા: $np - npq = \frac{27}{8} \implies np(1 - q) = \frac{27}{8}$.
$1 - q = p$ હોવાથી,$np^2 = \frac{27}{8}$ મળે.
$n = 6$ મૂકતા: $6p^2 = \frac{27}{8} \implies p^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.
તેથી,$p = \frac{3}{4}$ અને $q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$X$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = \binom{6}{0} (\frac{3}{4})^0 (\frac{1}{4})^6 = \frac{1}{4^6}$.
$P(X = 1) = \binom{6}{1} (\frac{3}{4})^1 (\frac{1}{4})^5 = \frac{18}{4^6}$.
$P(X = 2) = \binom{6}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^4 = \frac{135}{4^6}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = \frac{1 + 18 + 135}{4^6} = \frac{154}{4^6}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $\mu = 2\sigma^2$,તેથી $np = 2npq$,જેનો અર્થ છે કે $1 = 2q$,તેથી $q = \frac{1}{2}$ અને $p = 1 - q = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $\mu + \sigma^2 = 3$,$\mu = 2\sigma^2$ મૂકતા $3\sigma^2 = 3$ મળે,તેથી $\sigma^2 = 1$.
કારણ કે $\sigma^2 = npq = n(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{n}{4} = 1$,તેથી $n = 4$.
આમ,$X \sim B(4, \frac{1}{2})$.
આપણે $P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^4 \times 1 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(B) ધારો કે $n = 4$ એ સ્કેનની સંખ્યા છે અને $p = 0.1$ એ એક જ સ્કેનમાં વિમાન શોધવાની સંભાવના છે. વિમાન ન શોધવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરીને,$n$ સ્કેનમાં $X$ વાર વિમાન શોધવાની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે વાર વિમાન શોધવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.1)^0 (0.9)^4 = 1 \times 1 \times 0.6561 = 0.6561$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.1)^1 (0.9)^3 = 4 \times 0.1 \times 0.729 = 0.2916$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - (0.6561 + 0.2916) = 1 - 0.9477 = 0.0523$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
ધારો કે $n = 2x+1$. જેમ $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી જાય છે,તેમ $n$ એ એકી કિંમતો $1, 3, 5, \ldots$ લે છે.
તેથી,$k \sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = 1$.
$\sinh(z)$ માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{z^n}{n!} = \sinh(z)$ છે.
અહીં,$z = 2$ છે,તેથી $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sinh(2)$.
આમ,$k \sinh(2) = 1$.
$k = \frac{1}{\sinh(2)} = \text{cosech } 2$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $\mu - \sigma^2 = 1$,તેથી $np - npq = 1$,જે $np(1-q) = 1$ એટલે કે $np^2 = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,આપણે સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$.
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$.
$(n-1) p = 3q = 3(1-p)$.
$np - p = 3 - 3p \implies np + 2p = 3$.
કારણ કે $np^2 = 1$,તેથી $n = \frac{1}{p^2}$.
$n$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \implies \frac{1}{p} + 2p = 3$.
$1 + 2p^2 = 3p \implies 2p^2 - 3p + 1 = 0$.
$(2p-1)(p-1) = 0$. કારણ કે $p < 1$,તેથી $p = \frac{1}{2}$.
તેથી $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$.
આપણે $n^2 P(X>1) = 16(1 - P(X=0) - P(X=1))$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = (1/2)^4 = 1/16$.
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \cdot (1/16) = 4/16$.
$P(X>1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 11/16$.
$n^2 P(X>1) = 16 \cdot (11/16) = 11$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\alpha + \alpha + \alpha + \beta + \beta + 0.3 = 1 \implies 3\alpha + 2\beta = 0.7$ (સમીકરણ $1$).
મધ્યક $\mu = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ આપેલ છે:
$1(\alpha) + 2(\alpha) + 3(\alpha) + 4(\beta) + 5(\beta) + 6(0.3) = 4.2$
$6\alpha + 9\beta + 1.8 = 4.2 \implies 6\alpha + 9\beta = 2.4 \implies 2\alpha + 3\beta = 0.8$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6\alpha + 4\beta = 1.4$.
સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા: $6\alpha + 9\beta = 2.4$.
બાદબાકી કરતા: $5\beta = 1.0 \implies \beta = 0.2$.
$\beta = 0.2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $3\alpha + 2(0.2) = 0.7 \implies 3\alpha = 0.3 \implies \alpha = 0.1$.
આપણે $\sigma^2 + \mu^2$ શોધવાનું છે. કારણ કે $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,તેથી $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(0.1) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.2) + 5^2(0.2) + 6^2(0.3)$
$E(X^2) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 3.2 + 5.0 + 10.8 = 20.4$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_i) = 3K + 5K + 3k^2 + (4k^2 + k) + 3k^2 = 1$
$10k^2 + 9K - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $P(X = x_i) \geq 0$,તેથી $k > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $k = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X \leq 2) = 3K + 5K + 3k^2 = 8K + 3k^2$.
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(X \leq 2) = 8(\frac{1}{10}) + 3(\frac{1}{10})^2 = \frac{8}{10} + \frac{3}{100} = \frac{80 + 3}{100} = \frac{83}{100}$.