AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2+3xy-2y^2-17x+6y+8=0$ છે.
ઉગમબિંદુને $(\alpha, \beta)$ પર ખસેડીને રેખીય પદો દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષ આંશિક વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$f_x = 4x+3y-17 = 0$
$f_y = 3x-4y+6 = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x = 2$ અને $y = 3$ મળે છે.
તેથી,નવું ઉગમબિંદુ $(\alpha, \beta) = (2, 3)$ છે.
રૂપાંતરિત સમીકરણમાં અચળ પદ $c = f(\alpha, \beta) = 0$ છે.
તેથી,$3\alpha+c = 3(2)+0 = 6$.
અહીં $2\beta = 2(3) = 6$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $2\beta$ છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
$(2p-3)x^2 + 2pxy - y^2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 2p-3$,$h = p$,$b = -1$,$g = 0$,$f = 0$,અને $c = 0$ મળે છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા,$0 = 0$ મળે છે,જે કોઈપણ $p \in R$ માટે સત્ય છે.
રેખાઓ ભિન્ન હોય તે માટેની શરત $h^2 - ab > 0$ છે.
અહીં,$h^2 - ab = p^2 - (2p-3)(-1) = p^2 + 2p - 3$.
આપણે $p^2 + 2p - 3 > 0$ ની જરૂર છે.
અવયવ પાડતા: $(p+3)(p-1) > 0$.
આ અસમતા $p < -3$ અથવા $p > 1$ માટે સાચી છે.
આમ,રેખાઓ $p \in R - [-3, 1]$ માટે ભિન્ન છે.

(C) આપેલ બે બાજુઓનું સમીકરણ $3x^2-5xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x-2y)(x-y)=0$ મળે છે.
તેથી,બે બાજુઓ $L_1: 3x-2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે,જે ત્રિકોણનું એક શિરોબિંદુ છે.
ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ $ax+by+c=0$ ધારો.
લંબકેન્દ્ર $H(2,1)$ એ વેધનું છેદબિંદુ છે.
ગણતરી કરતા,ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ $8x+4y-17=0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy-2ay^2+3x+15y-9=0$ છે.
રેખાઓ $(1,1)$ પર છેદતી હોવાથી,આંશિક વિકલન $f_x$ અને $f_y$ બિંદુ $(1,1)$ પર શૂન્ય થાય.
$f_x = 2ax+2hy+3 = 0 \implies 2a+2h+3=0$
$f_y = 2hx-4ay+15 = 0 \implies 2h-4a+15=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a=2$ અને $h=-3.5$ મળે છે.
તેથી,$ah = 2 \times (-3.5) = -7$.

(B) સમીકરણ $4x^2-y^2=0$ ને $(2x-y)(2x+y)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: 2x-y=0$ અને $L_2: 2x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: lx+my+n=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x_1 = -n/(l+2m), y_1 = -2n/(l+2m)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x_2 = -n/(l-2m), y_2 = 2n/(l-2m)$.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+0}{3}, \frac{y_1+y_2+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, 0\right)$ છે.
$y$-યામ પરથી: $m=0$ મળે છે.
$x$-યામ પરથી: $l=-n$ મળે છે.
તેથી,$l+m+n = -n+0+n = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$ છે.
સમઘાત ભાગના અવયવ પાડતા $2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$.
ધારો કે રેખાઓ $(2x - y + c_1)(x + y + c_2) = 0$ છે. આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને રેખાઓ $(2x - y + 1) = 0$ અને $(x + y - 1) = 0$ મળે છે.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને આ રેખાઓને લંબ રેખાઓ:
$2x - y + 1 = 0$ ને લંબ રેખા $L_1$ એ $x + 2y + k_1 = 0$ છે. તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$1 + 2(1) + k_1 = 0 \implies k_1 = -3$. તેથી,$x + 2y - 3 = 0$.
$x + y - 1 = 0$ ને લંબ રેખા $L_2$ એ $x - y + k_2 = 0$ છે. તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$1 - 1 + k_2 = 0 \implies k_2 = 0$. તેથી,$x - y = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y - 3)(x - y) = 0$ છે.
$x^2 - xy + 2xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0 \implies x^2 + xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$.
$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 3y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, 2h = 1, b = -2, 2g = -3$ મળે છે.
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 2hxy + 2y^2 - x + y - 1 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2h'xy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$h' = h$,$b = 2$,$g = -1/2$,$f = 1/2$,અને $c = -1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ છે.
$\tan \theta = 3/4$ આપેલ છે,તેથી $3/4 = |\frac{2\sqrt{h^2 - 4}}{2 + 2}| = \frac{\sqrt{h^2 - 4}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9/16 = (h^2 - 4)/4$,તેથી $h^2 = 25/4$,એટલે કે $h = 5/2$.
છેદબિંદુ $(x, y)$ શોધવા માટે $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ઉકેલો.
$4x + 5y - 1 = 0$ અને $5x + 4y + 1 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $x = -1$ અને $y = 1$ મળે છે.
તેથી છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x + 2fy - 3 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, h = \frac{3}{2}, b = -2, g = -\frac{5}{2}, f = f, c = -3$.
શરત $\Delta = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(2)(-2)(-3) + 2(f)(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2}) - 2(f)^2 - (-2)(-\frac{5}{2})^2 - (-3)(\frac{3}{2})^2 = 0$
$12 - \frac{15f}{2} - 2f^2 + 12.5 + 6.75 = 0$
$-2f^2 - 7.5f + 31.25 = 0$
સાદુરૂપ આપતા $8f^2 + 30f - 125 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $f = \frac{5}{2}$ અથવા $f = -\frac{25}{4}$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{5}{2}$ એ વિકલ્પ $D$ માં છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ છે. $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = 6$ અને $xy$ નો સહગુણક $2h$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{6} = -\frac{h}{3}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$.
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(m_1 - m_2)^2 = \frac{h^2}{9} - \frac{2}{3} = \frac{h^2 - 6}{9}$.
તેથી $|m_1 - m_2| = \frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{1}{7} \implies \frac{2\sqrt{h^2 - 6}}{7} = \frac{1}{7}$.
આથી $2\sqrt{h^2 - 6} = 1 \implies 4h^2 - 24 = 1 \implies h^2 = \frac{25}{4} \implies h = \pm \frac{5}{2}$.
ઢાળ ધન હોવાથી,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{3} > 0$,તેથી $h$ ઋણ હોવો જોઈએ. આમ,$h = -\frac{5}{2}$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ છે. ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તેથી $m_1 + m_2 = -\frac{h}{3}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$ છે.
આનાથી $|m_1 - m_2| = \frac{1}{6}$ મળે છે.
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$h = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
રેખાઓ $x - 2y = 0$ અને $x - 3y = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ થી લંબ અંતરનો ગુણાકાર $\frac{\sqrt{2}}{5}$ થાય છે.

(A) રેખા $x+2y+\lambda=0$ અને વક્ર $2x^2-2xy+3y^2+2x-y-1=0$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(\frac{x+2y}{-\lambda}) - (\frac{x+2y}{-\lambda})^2 = 0$.
$\lambda^2$ વડે ગુણતા:
$\lambda^2(2x^2-2xy+3y^2) - \lambda(2x-y)(x+2y) - (x+2y)^2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2$ નો સહગુણક $2\lambda^2 - 2\lambda - 1$ અને $y^2$ નો સહગુણક $3\lambda^2 + 2\lambda - 4$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2\lambda^2 - 2\lambda - 1) + (3\lambda^2 + 2\lambda - 4) = 0$.
$5\lambda^2 - 5 = 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $1$ છે.

(C) ધારો કે પરિભ્રમણનો ખૂણો $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$ છે. તેથી $\tan \theta = 2$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ અને $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $3x^2 - 4xy = r^2$ માં મૂકતા:
$3 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right)^2 - 4 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{2X + Y}{\sqrt{5}} \right) = r^2$.
ગણતરી કરતા,આપણને $4Y^2 - X^2 = r^2$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે અને રેખા $x+y-2=0$ છે.
રેખાના સમીકરણને $\frac{x+y}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$.
$1 = \frac{x+y}{2}$ મૂકતા:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{2})-4y(\frac{x+y}{2})+2(\frac{x+y}{2})^2=0$.
સાદુરૂપ આપતા $x^2-4xy-y^2=0$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2 + axy - 2y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3 + a(\frac{y}{x}) - 2(\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $2m^2 - am - 3 = 0$.
એક રેખા $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં $m = \sqrt{3}$ મૂકતા:
$2(\sqrt{3})^2 - a(\sqrt{3}) - 3 = 0$
$2(3) - a\sqrt{3} - 3 = 0$
$6 - 3 = a\sqrt{3}$
$3 = a\sqrt{3}$
$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2+xy-2y^2=0$ અને $3y^2-5xy-2x^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x+2y)(x-y)=0$. રેખાઓ $L_1: x+2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3y+x)(y-2x)=0$. રેખાઓ $L_3: x+3y=0$ અને $L_4: 2x-y=0$ છે.
લંબતા તપાસતા: $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1/2$ અને $L_4$ નો ઢાળ $m_4 = 2$ છે. $m_1 \times m_4 = -1$ હોવાથી,$L_1$ અને $L_4$ લંબ છે.
બાકી રહેલી રેખાઓ $L_2: x-y=0$ અને $L_3: x+3y=0$ છે.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+3y)=0 \implies x^2+2xy-3y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, 2h=2, b=-3$ મળે.
તેથી,$a+2h+b = 1+2-3 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2+xy-6y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(2x-3y)(x+2y)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 2x-3y=0$ અને $L_2: x+2y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y-1=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(3/5, 2/5)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(2, -1)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$OA = \frac{\sqrt{13}}{5}$,$OB = \sqrt{5}$,$AB = \frac{7\sqrt{2}}{5}$.
બધી બાજુઓ અલગ હોવાથી,ત્રિકોણ વિષમબાજુ છે.

(A) બીજી રેખાઓની જોડી $2x^2+xy-6y^2=0$ છે. તેના અવયવો પાડતા,$(2x-3y)(x+2y)=0$ મળે છે. રેખાઓ $2x-3y=0$ અને $x+2y=0$ છે.
પ્રથમ જોડી $ax^2-7xy-3y^2=0$ માં એક રેખા સામાન્ય હોવાથી,$2x-3y=0$ અથવા $x+2y=0$ એ $ax^2-7xy-3y^2=0$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
જો $2x-3y=0$ અવયવ હોય,તો $y = \frac{2}{3}x$ લેતા,$a=6$ મળે છે.
જો $x+2y=0$ અવયવ હોય,તો $a = -\frac{11}{4}$ મળે છે જે પૂર્ણાંક નથી.
તેથી $a=6$. સમીકરણ $6x^2-7xy-3y^2=0$ છે.
દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{A-C} = \frac{xy}{B/2}$ સૂત્ર દ્વારા મેળવતા,$7x^2+18xy-7y^2=0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=1$ છે.
અક્ષોના પરિભ્રમણ હેઠળ અચળાંકો $A+B$ અને $AB-H^2$ સમાન રહે છે.
અહીં $A+B = 2$ અને $AB-H^2 = -3$ છે.
નવા સમીકરણ માટે $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 2$ અને $-\frac{1}{a^2b^2} = -3$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $a^2 = 1/3$ અને $b^2 = 1$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+3} = 2$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ છે. આ રેખાઓને લંબ અને $(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $5(x-a)^2 + 4(x-a)(y-b) + 3(y-b)^2 = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $5(x^2 - 2ax + a^2) + 4(xy - bx - ay + ab) + 3(y^2 - 2by + b^2) = 0$.
$5x^2 + 4xy + 3y^2 - (10a + 4b)x - (4a + 6b)y + (5a^2 + 4ab + 3b^2) = 0$.
$lx^2 + 2hxy + my^2 - 32x - 26y + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$l=5, 2h=4 \implies h=2, m=3$.
$10a + 4b = 32 \implies 5a + 2b = 16$.
$4a + 6b = 26 \implies 2a + 3b = 13$.
ઉકેલતા,$a=2, b=3$.
તેથી $c = 5(2)^2 + 4(2)(3) + 3(3)^2 = 20 + 24 + 27 = 71$.
અંતે,$\frac{a+b+c}{l+h+m} = \frac{2+3+71}{5+2+3} = \frac{76}{10} = \frac{38}{5}$.

(C) $PQ$ નો ઢાળ $m$ ધારો. $PQ \perp PR$ હોવાથી અને $PQR$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$PR$ નો ઢાળ $-1/m$ છે. $PQ$ અને $QR$ ($2x + y = 3$,ઢાળ $-2$) વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે. $\tan 45^\circ = |(m - (-2)) / (1 + m(-2))| = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|(m + 2) / (1 - 2m)| = 1$ મળે છે. ઉકેલતા $m = -1/3$ અને $m = 3$ મળે છે. $P(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $(3x - y - 5) = 0$ અને $(x + 3y - 5) = 0$ છે. તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - y - 5)(x + 3y - 5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - k^2} = 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^2 - k^2 = 16$,તેથી $r^2 = k^2 + 16$.
$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - h^2} = 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^2 - h^2 = 9$,તેથી $r^2 = h^2 + 9$.
$r^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $k^2 + 16 = h^2 + 9$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $h^2 - k^2 = 7$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 - y^2 = 7$,અથવા $x^2 - y^2 - 7 = 0$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ બને છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ રેખા $x=2$ ને છેદે છે,તેથી $2^2 + y^2 + 2g(2) + 2fy = 0$,એટલે કે $y^2 + 2fy + (4 + 4g) = 0$.
ધારો કે આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. અંતઃખંડની લંબાઈ $|y_1 - y_2| = 4$ છે.
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 = \sqrt{(-2f)^2 - 4(4+4g)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 = 4f^2 - 16 - 16g$,જે $32 = 4f^2 - 16g$ અથવા $8 = f^2 - 4g$ માં પરિણમે છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-g, -f)$ હોવાથી,$g = -h$ અને $f = -k$ મળે.
આ કિંમતો $8 = f^2 - 4g$ માં મૂકતા,$8 = (-k)^2 - 4(-h)$,એટલે કે $k^2 + 4h = 8$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $y^2 + 4x = 8$ મળે છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ માટે કેન્દ્ર $O(1, -2)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 2)$ અને પ્રતિ બિંદુ $P'(\frac{1}{10}, \frac{-1}{5})$ છે.
સૂત્ર $OP \cdot OP' = r^2$ મુજબ,જ્યાં $r^2 = 5 - c$.
$OP = (-2, 4)$ અને $OP' = (-\frac{9}{10}, \frac{9}{5})$.
$OP \cdot OP' = (-2)(-\frac{9}{10}) + (4)(\frac{9}{5}) = 1.8 + 7.2 = 9$.
તેથી,$5 - c = 9$,જેનો અર્થ છે કે $c = -4$.

(A) $P$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ લો. $P$ અને $Q$ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ થશે.
રેખા $x+y-1=0$ છે.
$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$ થી લંબ અંતર $s = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) - 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
$Q(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ થી લંબ અંતર $t = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
$u = a(\cos \theta + \sin \theta)$ લેતા,ગુણાકાર $st = \frac{|u^2-1|}{2}$ થાય.
મહત્તમ કિંમત માટે $u^2 = 2a^2$ લેતા,$s$ અને $t$ ની કિંમતો $a \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
તેથી મોટી કિંમત $a + \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) ચાર વર્તુળોના કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ આ ચારેય વર્તુળોને સ્પર્શે છે.
ઉગમબિંદુથી કોઈપણ વર્તુળના કેન્દ્રનું અંતર $\sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ છે.
બાહ્ય રીતે સ્પર્શતા વર્તુળ માટે,$R + r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}-1)$.
આંતરિક રીતે સ્પર્શતા વર્તુળ માટે,$R - r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}+1)$.
આમ,$r_1 = r(\sqrt{2}-1)$ અને $r_2 = r(\sqrt{2}+1)$.
તેથી,$r_1 + r_2 = r(\sqrt{2}-1 + \sqrt{2}+1) = 2r\sqrt{2}$.
માટે,$\frac{r_1+r_2}{r} = 2\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $A(-2g, 0)$ માં અને $y$-અક્ષને $B(0, -2f)$ માં છેદે છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{-2g} + \frac{y}{-2f} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{g} + \frac{y}{f} = -2$ થાય છે.
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{x_1}{g} + \frac{y_1}{f} = -2$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $x = -g$ અને $y = -f$,જેનો અર્થ છે $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x_1}{-x} + \frac{y_1}{-y} = -2$ મળે.
$-1$ વડે ગુણતા,$\frac{x_1}{x} + \frac{y_1}{y} = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $A(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ અને $B(-2\cos\theta, -2\sin\theta)$ છે.
રેખા $x+y+1=0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|x_1+y_1+1|}{\sqrt{2}}$ છે.
ગુણાકાર $P = d_1 d_2 = \frac{|1-4(\cos\theta+\sin\theta)^2|}{2} = \frac{3+4\sin(2\theta)}{2}$ મળે છે.
$P$ મહત્તમ થાય તે માટે $\sin(2\theta) = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમત મૂકતા,અંત્યબિંદુઓ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અને $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $S^{\prime}$ નું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+6y+2=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C^{\prime}(3, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r^{\prime} = \sqrt{3^2+(-3)^2-2} = 4$ છે.
$S$ એ એકમ વર્તુળ હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ધારો કે $S$ નું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. $S$ અને $S^{\prime}$ બિંદુ $P(-1, -3)$ આગળ બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $CC^{\prime}$ રેખાખંડનું $r:r^{\prime} = 1:4$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-1 = \frac{4h + 3}{5} \implies h = -2$ અને $-3 = \frac{4k - 3}{5} \implies k = -3$.
તેથી $S$ નું કેન્દ્ર $C(-2, -3)$ છે.
$S$ નું સમીકરણ $(x+2)^2+(y+3)^2 = 1$ એટલે કે $x^2+y^2+4x+6y+12 = 0$ થાય.
સરખામણી કરતા $g=2, f=3, c=12$ મળે.
તેથી $g+f+c = 2+3+12 = 17$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25 - k}$ છે.
સ્પર્શકનું અંતર કેન્દ્રથી ત્રિજ્યા જેટલું હોય,તેથી $r = 10$ અને $k = -75$.
બિંદુ $Q$ એ $CP$ ને $-1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $CQ = r$ થાય.
કોઈપણ બિંદુ $Q$ માટે પાવર $CQ^2 - r^2$ થાય છે,જે $r^2 - r^2 = 0$ થશે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{4}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 3}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,$3\alpha + 4\beta = 1$ મળે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ રેખા $4\alpha - 3\beta + 7 = 0$ પર છે.
સમીકરણો ઉકેલતા $\alpha = -1$ અને $\beta = 1$ મળે.
તેથી,$\alpha + 2\beta = -1 + 2(1) = 1$.

(C) ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = m(x - 3)$ છે,જે $mx - y + (4 - 3m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$) ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$3 = \frac{|m(0) - 1(0) + 4 - 3m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$3\sqrt{m^2 + 1} = |4 - 3m|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9(m^2 + 1) = (4 - 3m)^2$.
$9m^2 + 9 = 16 - 24m + 9m^2$.
$9 = 16 - 24m$.
$24m = 7$.
$m = \frac{7}{24}$.

(C) ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{16}\right)$ છે.
તેથી $\cos(2\theta) = \frac{7}{16}$.
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2\theta - 1 = \frac{7}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $2\cos^2\theta = \frac{23}{16}$,તેથી $\cos^2\theta = \frac{23}{32}$.
આમ,$\sin^2\theta = 1 - \frac{23}{32} = \frac{9}{32}$,અને $\tan^2\theta = \frac{9/32}{23/32} = \frac{9}{23}$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x + 4y + c = 0$ માટે,કેન્દ્ર $O(-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{8 - c}$ છે.
બિંદુ $P(2, 2)$ થી કેન્દ્ર $O(-2, -2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{32}$ છે.
કાટ.
$\tan^2\theta = \frac{r^2}{d^2 - r^2} = \frac{8 - c}{24 + c}$.
$\frac{8 - c}{24 + c} = \frac{9}{23}$ ને ઉકેલતા $c = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$P, A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ $PC$ છે.
$PC$ નું મધ્યબિંદુ નવા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે: $M = \left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{0 + 3}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$.
વ્યાસ $PC$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 4)(x - 2) + (y - 0)(y - 3) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + 2x - 3y - 8 = 0$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$2g = 2 \implies g = 1$ અને $2f = -3 \implies f = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$(g, f) = \left(1, -\frac{3}{2}\right)$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{13 - c}$ છે.
બિંદુ $P(-1, -1)$ થી કેન્દ્ર $C$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2\alpha$ છે,જ્યાં $\sin \alpha = \frac{r}{d}$.
$\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \alpha$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{7}{25} = 1 - 2\sin^2 \alpha \implies \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \implies \sin \alpha = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\frac{r}{5} = \frac{4}{5}$,એટલે કે $r = 4$.

(A) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $4x+3y-6=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|7r-6|}{5} = r$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $r = 3$ અથવા $r = 1/2$.
જો $r = 3$ હોય,તો સમીકરણ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ મળે છે.
જો $r = 1/2$ હોય,તો સમીકરણ $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ મળે છે.
રેખા $4x+3y-6=0$ ની નીચે રહેલા કેન્દ્ર માટે,$4x+3y-6 < 0$ હોવું જોઈએ,જે $r = 1/2$ માટે સાચું છે.
તેથી,સાચો જવાબ $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ અને $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ છે.
$L_2$ ને $3x - 4y - 3.5 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$.
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વ્યાસ $D = 1.5 = \frac{3}{2}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{4}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1)$ અને કેન્દ્ર $C(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q$ હંમેશા કેન્દ્ર અને આપેલ બિંદુને જોડતી રેખા પર હોય છે.
તેથી,$Q$ બિંદુ $x+y=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ માટે,$g = -1$,$f = 2$ અને $c = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - 1(x + x_1) + 2(y + y_1) + 3 = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$x(x_1 - 1) + y(y_1 + 2) - x_1 + 2y_1 + 3 = 0$ મળે.
આપેલ સમીકરણ $2x - 3y + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 + 2}{-3} = \frac{-x_1 + 2y_1 + 3}{1} = k$ (ધારો).
પ્રથમ બે ગુણોત્તર પરથી,$x_1 = 2k + 1$ અને $y_1 = -3k - 2$.
ત્રીજા ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા: $- (2k + 1) + 2(-3k - 2) + 3 = k$.
$-8k - 2 = k \implies 9k = -2 \implies k = -2/9$.
તેથી,$x_1 = 5/9$ અને $y_1 = -4/3$.
અંતે,$3x_1 - y_1 = 3(5/9) - (-4/3) = 5/3 + 4/3 = 3$.

(A) વર્તુળો $S: x^2+y^2+2kx+4y-3=0$ અને $S': x^2+y^2-4x+2ky+9=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (-k, -2)$ અને $C_2 = (2, -k)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{k^2+7}$ અને $r_2 = \sqrt{k^2-5}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = 2k^2+8$ છે.
$\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2} = \frac{3}{8}$ લેતા,$k^2=9$ મળે છે.
$S'=0$ નું કેન્દ્ર $(2, -k)$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $k=-3$ મળે છે.
રેડિકલ ધરી $S-S'=0$ છે,જેનું સમીકરણ $(2k+4)x + (4-2k)y - 12 = 0$ થાય છે.
$k=-3$ મૂકતા,$x-5y+6=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2-4x+4y-1=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-4y+1=0$
વર્તુળોના સામાન્ય બિંદુઓ રેડિકલ અક્ષ પર આવેલા હોય છે,જે $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+4y-1) - (x^2+y^2+2x-4y+1) = 0$
$-6x + 8y - 2 = 0$
$3x - 4y + 1 = 0 \implies x = \frac{4y-1}{3}$
$x$ ની કિંમત $S_2=0$ માં મૂકતા:
$(\frac{4y-1}{3})^2 + y^2 + 2(\frac{4y-1}{3}) - 4y + 1 = 0$
$25y^2 - 20y + 4 = 0$
$(5y-2)^2 = 0 \implies y = 2/5$
તેથી $x = 1/5$
આમ,$(a, b) = (1/5, 2/5)$.
$a^2+b^2 = (1/5)^2 + (2/5)^2 = 1/25 + 4/25 = 5/25 = 1/5$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2hy+c=0$ છે।
તે $(3,5), (5,5)$ અને $(3,-3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$9+25+6g+10h+c=0 \implies 6g+10h+c=-34$
$25+25+10g+10h+c=0 \implies 10g+10h+c=-50$
$9+9+6g-6h+c=0 \implies 6g-6h+c=-18$
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $4g=-16 \implies g=-4$.
ત્રીજા સમીકરણને પ્રથમમાંથી બાદ કરતા: $16h=-16 \implies h=-1$.
$g$ અને $h$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $6(-4)+10(-1)+c=-34 \implies -24-10+c=-34 \implies c=0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-2y=0$ છે।
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય જો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ હોય।
અહીં, $g_1=-4, f_1=-1, c_1=0$ અને $g_2=1, f_2=f, c_2=0$.
$2(-4)(1)+2(-1)(f)=0+0 \implies -8-2f=0 \implies 2f=-8 \implies f=-4$.

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(1, -2)$ અને $C_2(2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 2$ અને $r_2 = 1$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-mx-c=0$ લેતા.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે:
$\frac{|-2-m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ અને $\frac{|1-2m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
સીધા સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$\frac{-2-m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ અને $\frac{1-2m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
બાદબાકી કરતા: $\frac{-3+m}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m^2-6m+9 = 1+m^2$,તેથી $6m = 8$,એટલે કે $m = \frac{4}{3}$.

(C) વર્તુળ $C_1: x^2+y^2-4x+12y-216=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ $(2, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = 16$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2+y^2+6x-12y+36=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ $(-3, 6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 13$ છે.
અહીં $r_1 - r_2 = d$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંતઃસ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના ઢાળને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_{C_1C_2} = -\frac{12}{5}$ છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5}{12}$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=3$ અને $C_2: x^2+y^2-2x+4y+4=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3}$.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1^2+(-2)^2-4} = \sqrt{1+4-4} = 1$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર એ કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
ધારો કે બાહ્ય કેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = \left( \frac{r_1 x_2 - r_2 x_1}{r_1 - r_2}, \frac{r_1 y_2 - r_2 y_1}{r_1 - r_2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{\sqrt{3}(1) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ અને $\beta = \frac{\sqrt{3}(-2) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \div \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = -2$.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની સામાન્ય જીવાની સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+5kx+2y+k=0$ અને $S_2: x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $(x^2+y^2+5kx+2y+k) - (x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}) = 0$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $4kx + \frac{1}{2}y + k + \frac{1}{2} = 0$ મળે છે,જે $8kx + y + 2k + 1 = 0$ છે.
આપણને આપેલ છે કે રેખા $4x+5y-k=0$ એ સામાન્ય જીવા છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$.
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5}$ પરથી,આપણને $2k = \frac{1}{5}$ મળે છે,તેથી $k = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$ પરથી,આપણને $-k = 10k+5$ મળે છે,તેથી $11k = -5$,જેનો અર્થ છે $k = -\frac{5}{11}$.
$k$ ની કિંમતો સુસંગત ન હોવાથી,$k$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે આપેલ રેખા સામાન્ય જીવા હોય.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^2+y^2+2x-y-20) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $-x-2y+10=0$ અથવા $x+2y-10=0$ થાય છે.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
$(x^2+y^2+x-3y-10) + \lambda(x+2y-10) = 0$.
$x^2+y^2+(1+\lambda)x+(-3+2\lambda)y+(-10-10\lambda) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{1+\lambda}{2}, \frac{3-2\lambda}{2})$ છે.
સામાન્ય જીવા $x+2y-10=0$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર તેના પર હોવું જોઈએ:
$-\frac{1+\lambda}{2} + 2(\frac{3-2\lambda}{2}) - 10 = 0$.
$-1-\lambda + 6-4\lambda - 20 = 0 \implies -5\lambda - 15 = 0 \implies \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2+(1-3)x+(-3-6)y+(-10+30) = 0$.
$x^2+y^2-2x-9y+20=0$.
$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=-2, \beta=-9, \gamma=20$ મળે છે.
આમ,$\alpha+2\beta+\gamma = -2 + 2(-9) + 20 = -2 - 18 + 20 = 0$.

(C) રેખા $L: 2x + y - 10 = 0$ ને $(3, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + \lambda(2x + y - 10) = 0$ છે.
વર્તુળ $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$(1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2 + \lambda(2(1) + (-2) - 10) = 0$
$4 + 36 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
સમીકરણ: $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 15 = 0$.
વિકલ્પ $(-5, 4)$ ચકાસતા: $(-5)^2 + 4^2 + 2(-5) - 4(4) - 15 = 25 + 16 - 10 - 16 - 15 = 0$.
તેથી,બિંદુ $(-5, 4)$ વર્તુળ પર છે.

(D) વર્તુળ $S: x^2+y^2-a^2=0$ અને રેખા $L: x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ છે.
આને $x^2+\lambda x \cos \alpha+y^2+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ છે.
વર્તુળ અને રેખાના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતું સૌથી નાનું વર્તુળ એ છે જેનો છેદતી જીવા વ્યાસ તરીકે હોય છે.
રેખા $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ એ છેદતી જીવા છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha = p$.
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$.
$-\frac{\lambda}{2} = p$.
$\lambda = -2p$.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પોલરનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ માટે,$g=-2, f=-3, c=-12$ છે.
બિંદુ $(\alpha, -1)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x(\alpha)+y(-1)-2(x+\alpha)-3(y-1)-12=0$.
સાદુરૂપ આપતા: $\alpha x - y - 2x - 2\alpha - 3y + 3 - 12 = 0$.
$(\alpha-2)x - 4y - 2\alpha - 9 = 0$.
આપેલ છે કે આ સમીકરણ $y=\beta$ છે,એટલે કે $0x + y - \beta = 0$.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x$ માટે: $\alpha-2 = 0 \implies \alpha = 2$.
$y$ માટે: $\frac{-4}{1} = \frac{-2\alpha-9}{-\beta}$.
$-4 = \frac{-2(2)-9}{-\beta} \implies -4 = \frac{-13}{-\beta} \implies -4 = \frac{13}{\beta}$.
$\beta = -\frac{13}{4}$.
હવે,$4(\alpha+\beta) = 4(2 - \frac{13}{4}) = 4(\frac{8-13}{4}) = 4(-\frac{5}{4}) = -5$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^2 x^8 \left(\frac{4}{x^2} - 1\right)^{5/2} dx$.
$x = 2 \sin \theta$ લેતા,$dx = 2 \cos \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
પદ $\frac{4}{x^2} - 1 = \cot^2 \theta$ થશે.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin \theta)^8 (\cot^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta$
$I = 2^9 \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cos^6 \theta d\theta$
$u = \cos \theta$ લેતા,$du = -\sin \theta d\theta$.
$I = 2^9 \int_0^1 (1-u^2) u^6 du = 512 [\frac{u^7}{7} - \frac{u^9}{9}]_0^1 = 512 (\frac{2}{63}) = \frac{1024}{63} = \frac{2^{10}}{63}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{1+\cos(\pi/2 - x)+\sin(\pi/2 - x)} dx = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$.
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(1+\sin x+\cos x) - 1}{1+\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{1+\sin x+\cos x}) dx$.
$2I = [x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+2\sin(x/2)\cos(x/2)+2\cos^2(x/2)-1} dx$.
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{2\cos^2(x/2)(\tan(x/2)+1)} dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2)}{\tan(x/2)+1} dx$.
ધારો કે $u = \tan(x/2)$,તેથી $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$.
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{1}{u+1} du = \frac{\pi}{2} - [\log|u+1|]_0^1 = \frac{\pi}{2} - \log 2$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \log |\tan x + \cot x| \, dx$.
કારણ કે $\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
તેથી,$I = \int_0^{\pi / 2} \log |\frac{2}{\sin 2x}| \, dx = \int_0^{\pi / 2} (\log 2 - \log |\sin 2x|) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 2} \log 2 \, dx - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$.
$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$.
ધારો કે $2x = t$,તો $2 \, dx = dt$,તેથી $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.
$\int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log |\sin t| \, dt = \frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt$.
ગુણધર્મ $\int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - (-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2 + \frac{\pi}{2} \log 2 = \pi \log 2$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^5 x \cos^6 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx$
$\sin^5 x \cos^6 x$ એ $x = \pi/2$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$\int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx$.
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 3 \cdot 1)}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 15}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 15} = \frac{8}{693}$.
આમ,$2I = \pi \cdot 2 \cdot \frac{8}{693} = \frac{16\pi}{693}$.
$I = \frac{8\pi}{693}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 (3 \pi / 2 - x)}{\cos ^3 (3 \pi / 2 - x) + \sin ^3 (3 \pi / 2 - x)} d x$.
કારણ કે $\cos(3 \pi / 2 - x) = -\sin x$ અને $\sin(3 \pi / 2 - x) = -\cos x$,તેથી:
$I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{(-\sin x)^3}{(-\sin x)^3 + (-\cos x)^3} d x = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{-\sin ^3 x}{-\sin ^3 x - \cos ^3 x} d x = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\sin ^3 x + \cos ^3 x} d x$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\cos ^3 x + \sin ^3 x} d x = \int_0^{3 \pi / 2} 1 d x$.
$2I = [x]_0^{3 \pi / 2} = \frac{3 \pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x$.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચી શકીએ: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.
ધારો કે $f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$. કારણ કે $f(-x) = -f(x)$,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x = 0$.
હવે $g(x) = \sin ^2 x \cos ^3 x$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $g(-x) = g(x)$,$g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.
$u = \sin x$ લેતા,$du = \cos x dx$. જ્યારે $x=0, u=0$; જ્યારે $x=\pi/2, u=1$.
$I = 2 \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_{0}^{1} = 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2 (\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
તેથી,$\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$.
સંકલન $I = \int_0^{400 \pi} \sqrt{2} |\sin x| \, dx$ બને છે.
કારણ કે $|\sin x|$ એ $\pi$ આવર્તકાળ ધરાવતું વિધેય છે,તેથી $I = \sqrt{2} \times 400 \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx$ લખી શકાય.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,$\sin x \ge 0$ હોવાથી,$|\sin x| = \sin x$ થાય.
આમ,$I = 400 \sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$.
અંતે,$I = 400 \sqrt{2} \times 2 = 800 \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$.
$f(x) = \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$.
ધારો કે $2x = t$,તેથી $2 dx = dt$,એટલે કે $dx = \frac{1}{2} dt$.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = 2 \pi, t = 4 \pi$.
$I = 2 \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) \frac{1}{2} dt = \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{n T} f(t) dt = n \int_{0}^{T} f(t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $T = \pi$:
$I = 4 \int_{0}^{\pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 4 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$.
વોલિસના સૂત્ર $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m(x) \cos^n(x) dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 8 \times \frac{(3 \times 1) \times (5 \times 3 \times 1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times \frac{45 \pi}{7680} = \frac{3 \pi}{64}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x-[x]) \, dx$.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ અને $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર સંકલનનું વિભાજન કરીશું.
પૂર્ણાંક બિંદુઓ $-1, 0, 1$ છે.
$I = \int_{-\pi/2}^{-1} \sin(x+2) \, dx + \int_{-1}^{0} \sin(x+1) \, dx + \int_{0}^{1} \sin(x) \, dx + \int_{1}^{\pi/2} \sin(x-1) \, dx$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$1$. $[-\cos(x+2)]_{-\pi/2}^{-1} = -\cos 1 + \sin 2$.
$2$. $[-\cos(x+1)]_{-1}^{0} = 1 - \cos 1$.
$3$. $[-\cos x]_{0}^{1} = 1 - \cos 1$.
$4$. $[-\cos(x-1)]_{1}^{\pi/2} = 1 - \sin 1$.
સરવાળો કરતા: $I = 3 - 3\cos 1 + \sin 2 - \sin 1$.

(A) આપણે $I = \int_{-1}^1 (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^1 f(x) \, dx - \int_{-1}^1 g(x) \, dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$f(x) = \operatorname{Max}\{x^3-4, x^4-4\}$ ધ્યાનમાં લો. $x \in [-1, 0]$ માટે $x^4 \ge x^3$ અને $x \in [0, 1]$ માટે $x^4 \le x^3$ હોવાથી,$f(x) = x^4-4$ ($x \in [-1, 0]$ માટે) અને $f(x) = x^3-4$ ($x \in [0, 1]$ માટે) થાય.
$\int_{-1}^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^0 (x^4-4) \, dx + \int_0^1 (x^3-4) \, dx = [\frac{x^5}{5} - 4x]_{-1}^0 + [\frac{x^4}{4} - 4x]_0^1 = -\frac{19}{5} - \frac{15}{4} = -\frac{151}{20}$.
હવે,$g(x) = \operatorname{Min}\{x^2, x^3\}$ માટે,$x \in [-1, 0]$ માટે $g(x) = x^3$ અને $x \in [0, 1]$ માટે $g(x) = x^2$ થાય.
$\int_{-1}^1 g(x) \, dx = \int_{-1}^0 x^3 \, dx + \int_0^1 x^2 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_0^1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
અંતે,$I = -\frac{151}{20} - \frac{1}{12} = -\frac{229}{30}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi (\sin^5 x \cos^3 x + \sin^4 x \cos^4 x + \sin^3 x \cos^4 x) dx$.
આપણે ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$f_1(x) = \sin^5 x \cos^3 x$ માટે,$f_1(\pi-x) = \sin^5 x (-\cos x)^3 = -\sin^5 x \cos^3 x$. તેથી,$\int_0^\pi \sin^5 x \cos^3 x dx = 0$.
$f_3(x) = \sin^3 x \cos^4 x$ માટે,$f_3(\pi-x) = \sin^3 x (-\cos x)^4 = \sin^3 x \cos^4 x$.
$\int_0^\pi f(x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^\pi \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \cdot \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(9/2)} = \frac{4}{35}$.
$f_2(x) = \sin^4 x \cos^4 x = (\frac{1}{2} \sin 2x)^4 = \frac{1}{16} \sin^4 2x$ માટે.
$\int_0^\pi \frac{1}{16} \sin^4 2x dx = \frac{3\pi}{128}$.
સરવાળો કરતા,$I = 0 + \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35} = \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35}$.

(A) સંકલન $I = \int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદને $x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ.
વધુ અસરકારક રીત એ છે કે અંશ અને છેદને વિભાજિત કરીએ.
આપણે $x^4+1 = (x^4-x^2+1) + x^2$ લખી શકીએ.
તેથી $I = \int_0^1 \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1} dx + \int_0^1 \frac{x^2}{x^6+1} dx$.
$I = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx + \int_0^1 \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = [\tan^{-1}(x)]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^3$,તો $du = 3x^2 dx$,તેથી $x^2 dx = \frac{du}{3}$.
જ્યારે $x=0, u=0$ અને જ્યારે $x=1, u=1$.
તેથી,$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{u^2+1} du = \frac{1}{3} [\tan^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા,$I = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi + \pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ સંકલન બીટા વિધેયના સ્વરૂપમાં છે,$B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} \, dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$.
અહીં,$m-1 = 5/2 \implies m = 7/2$ અને $n-1 = 3/2 \implies n = 5/2$.
તેથી,સંકલન $B(7/2, 5/2) = \frac{\Gamma(7/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(7/2 + 5/2)} = \frac{\Gamma(7/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(6)}$ છે.
$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ અને $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\Gamma(7/2) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{15\sqrt{\pi}}{8}$.
$\Gamma(5/2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$.
$\Gamma(6) = 5! = 120$.
આ કિંમતો મૂકતા:
સંકલન $= \frac{(\frac{15\sqrt{\pi}}{8}) \cdot (\frac{3\sqrt{\pi}}{4})}{120} = \frac{45\pi}{32 \cdot 120} = \frac{45\pi}{3840} = \frac{3\pi}{256}$.

(C) આપેલ લક્ષને આ રીતે લખી શકાય:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2n} \frac{n+r}{n^2+r^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2n} \frac{n(1+r/n)}{n^2(1+(r/n)^2)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2n} \frac{1+r/n}{1+(r/n)^2}$
આ $\int_{0}^{2} \frac{1+x}{1+x^2} dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{0}^{2} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{2} \frac{x}{1+x^2} dx$
$= [\operatorname{Tan}^{-1} x]_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\log(1+x^2)]_{0}^{2}$
$= (\operatorname{Tan}^{-1} 2 - 0) + \frac{1}{2} (\log 5 - \log 1)$
$= \operatorname{Tan}^{-1} 2 + \frac{1}{2} \log 5$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1+\cos^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x dx$.
જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}$.
$2I = \pi [\tan^{-1}(u)]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{(x+\sqrt{1-x^2})(1-x^2)} dx$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \cos \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $\theta = \pi/6$. જ્યારે $x = 1/\sqrt{2}$,ત્યારે $\theta = \pi/4$.
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\cos \theta d\theta}{(\sin \theta + \cos \theta) \cos^2 \theta} = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{d\theta}{(\sin \theta + \cos \theta) \cos \theta}$.
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\tan \theta + 1}$.
$u = \tan \theta$ લેતા,$du = \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $\theta = \pi/6$,ત્યારે $u = 1/\sqrt{3}$. જ્યારે $\theta = \pi/4$,ત્યારે $u = 1$.
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{du}{u+1} = [\log |u+1|]_{1/\sqrt{3}}^{1} = \log(2) - \log(1 + 1/\sqrt{3}) = \log \left( \frac{2}{1 + 1/\sqrt{3}} \right) = \log \left( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \right)$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = 3-\sqrt{3}$.
આમ,$I = \log(3-\sqrt{3})$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 3}\left|\tan \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right| d x$.
ધારો કે $u = x - \frac{\pi}{6}$,તેથી $du = dx$.
જ્યારે $x = -\frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = -\frac{5\pi}{12}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $u = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \int_{-5\pi/12}^{\pi/6} |\tan u| du = \int_{-5\pi/12}^{0} -\tan u du + \int_{0}^{\pi/6} \tan u du$.
$I = [\log |\cos u|]_{-5\pi/12}^{0} + [-\log |\cos u|]_{0}^{\pi/6}$.
$I = -\log |\cos(5\pi/12)| - \log |\cos(\pi/6)|$.
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ અને $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$I = \log \left( \frac{8}{3\sqrt{2}-\sqrt{6}} \right) = \log(2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1))$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{\sin^2(\pi - x) + 2 \cos^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ હોવાથી,છેદ $1 - \cos^2 x + 2 \cos^2 x = 1 + \cos^2 x$ થાય છે.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1 + u^2} = \pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1$.
$2I = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(B) આપેલ પદને સરવાળા સ્વરૂપે લખી શકાય:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{r^2+n^2}$
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n^2}{(r/n)^2+1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n}{(r/n)^2+1}$
આ રીમાન સરવાળો $\int_{0}^{1} f(x) dx$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = r/n$ અને $dx = 1/n$:
$S = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx$
ધારો કે $u = x^2+1$,તેથી $du = 2x dx$,એટલે કે $x dx = du/2$:
$S = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_{1}^{2}$
$S = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n+r}$ છે.
આને $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{m n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{m} f(x) dx$.
અહીં,$m = k-1$ અને $f(x) = \frac{1}{1+x}$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{k-1} \frac{1}{1+x} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $L = [\log(1+x)]_{0}^{k-1}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા,$L = \log(1 + k - 1) - \log(1 + 0) = \log(k) - \log(1) = \log(k)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin 2x + \cos 2x| dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x \right) = \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})$.
તેથી,$I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})| dx = \sqrt{2} \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin(2x + \frac{\pi}{4})| dx$.
ધારો કે $2x + \frac{\pi}{4} = t$,તો $2 dx = dt$,એટલે કે $dx = \frac{dt}{2}$.
જ્યારે $x = 5\pi$,ત્યારે $t = 10\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{41\pi}{4}$.
જ્યારે $x = 25\pi$,ત્યારે $t = 50\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{201\pi}{4}$.
$I = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{41\pi/4}^{201\pi/4} |\sin t| dt$.
$|\sin t|$ નો આવર્તકાળ $\pi$ છે. અંતરાલની લંબાઈ $\frac{201\pi}{4} - \frac{41\pi}{4} = \frac{160\pi}{4} = 40\pi$ છે.
કારણ કે $|\sin t|$ નું એક આવર્તકાળ $[0, \pi]$ પર સંકલન $\int_0^{\pi} \sin t dt = 2$ છે,તેથી $40$ આવર્તકાળ પર સંકલન $40 \times 2 = 80$ થશે.
આમ,$I = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 80 = 40\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(t) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
આપણે $f(t+\pi) = \int_0^{t+\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{t+\pi} = \int_0^t + \int_t^{t+\pi}$.
તેથી,$f(t+\pi) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx + \int_t^{t+\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
કારણ કે $\tan x$ નું આવર્તમાન $\pi$ છે,તેથી $\int_t^{t+\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx = \int_0^{\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
આમ,$f(t+\pi) = f(t) + \int_0^{\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
જેহেতু $f(\pi) = \int_0^{\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$,તેથી $f(t+\pi) = f(t) + f(\pi)$.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\pi}{2 n} \sin \left( r \cdot \frac{\pi}{2 n} \right)$.
ધારો કે $x = \frac{r \pi}{2 n}$,તો $dx = \frac{\pi}{2 n}$.
જ્યારે $r=1$,ત્યારે $x \rightarrow 0$ અને જ્યારે $r=n$,ત્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$.
સંકલન આ મુજબ બનશે:
$\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} = -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = -0 + 1 = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \sec^2 \left(\frac{k^2}{n^4}\right)$ છે.
આને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \sec^2 \left(\left(\frac{k}{n^2}\right)^2\right)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $x = \frac{k}{n^2}$ અને $dx = \frac{1}{n^2}$.
જ્યારે $k=1$,$x \rightarrow 0$ અને જ્યારે $k=n$,$x \rightarrow \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \rightarrow 0$ એવું નથી,પણ અહીં $n^2$ હોવાથી આ રીમાન સરવાળો $\int_{0}^{1} x \sec^2(x^2) dx$ બને છે.
ધારો કે $u = x^2$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x=0, u=0$ અને જ્યારે $x=1, u=1$.
આમ,$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \sec^2(u) du = \frac{1}{2} [\tan(u)]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \tan(1)$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-1}^{1} | |x| - [x] | dx$ દ્વારા મળે છે.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ: $\int_{-1}^{0} | |x| - [x] | dx + \int_{0}^{1} | |x| - [x] | dx$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$|x| = -x$ અને $[x] = -1$ થાય. તેથી,$| |x| - [x] | = | -x - (-1) | = | 1 - x | = 1 - x$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$|x| = x$ અને $[x] = 0$ થાય. તેથી,$| |x| - [x] | = | x - 0 | = x$.
$x=1$ આગળ,$|x|=1$ અને $[x]=1$ હોવાથી તફાવત $0$ થાય છે.
આમ,$A = \int_{-1}^{0} (1 - x) dx + \int_{0}^{1} x dx$.
$A = [x - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}$.
$A = (0 - (-1 - \frac{1}{2})) + (\frac{1}{2} - 0) = (0 - (-\frac{3}{2})) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} |y| dx = \int_{0}^{2} |x^2-5x+4| dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$x^2-5x+4=0$ ના બીજ શોધો,જે $(x-1)(x-4)=0$ છે,તેથી $x=1$ અને $x=4$ મળે છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x^2-5x+4 \geq 0$ છે.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$x^2-5x+4 \leq 0$ છે.
તેથી,$A = \int_{0}^{1} (x^2-5x+4) dx + \int_{1}^{2} -(x^2-5x+4) dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2-15+24}{6} = \frac{11}{6}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $-[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{1}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 10 + 8) - (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{11}{6})] = -[\frac{4-11}{6}] = -[-\frac{7}{6}] = \frac{7}{6}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{4-x^2}$ (જે $y \ge 0$ માટે $x^2 + y^2 = 4$ છે) અને $y^2 = 3x$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{3}$ ને $x^2 + y^2 = 4$ માં મૂકતા:
$(\frac{y^2}{3})^2 + y^2 = 4 \implies \frac{y^4}{9} + y^2 - 4 = 0$.
ધારો કે $u = y^2$,તો $u^2 + 9u - 36 = 0 \implies (u+12)(u-3) = 0$.
$u = y^2 \ge 0$ હોવાથી,$y^2 = 3$,તેથી $y = \sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
$y = \sqrt{3}$ પર,$x = \frac{3}{3} = 1$.
વક્રો અને $Y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\sqrt{3}} (x_{circle} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-y^2} - \frac{y^2}{3}) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= [\frac{y}{2}\sqrt{4-y^2} + 2\sin^{-1}(\frac{y}{2}) - \frac{y^3}{9}]_{0}^{\sqrt{3}}$.
$= (\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1} + 2(\frac{\pi}{3}) - \frac{3\sqrt{3}}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=\frac{\pi}{2}$ સુધીના બે વિધેયો વચ્ચેના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
વક્રો $\sin x$ અને $\cos x$ અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં $x=\frac{\pi}{4}$ પર છેદે છે.
$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos x \ge \sin x$ છે. $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x \ge \cos x$ છે.
તેથી,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ ચોરસ એકમ.

(C) $y=x^2$ અને $y=8-x^2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$x^2 = 8-x^2$ લઈને.
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
વક્રો $x = -2$ અને $x = 2$ પર છેદે છે.
$[-2, 2]$ અંતરાલમાં,વક્ર $y=8-x^2$ એ $y=x^2$ ની ઉપર છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-2}^{2} ((8-x^2) - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} (8-2x^2) \, dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{2} (8-2x^2) \, dx$.
$A = 2 [8x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 [8(2) - \frac{2(8)}{3}] = 2 [16 - \frac{16}{3}] = 2 [\frac{48-16}{3}] = 2 [\frac{32}{3}] = \frac{64}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રો વર્તુળ $x^2+y^2=16$ (કેન્દ્ર $(0,0)$,ત્રિજ્યા $r=4$) અને પરવલય $y^2=6x$ (શિરોબિંદુ $(0,0)$) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=6x$ ને $x^2+y^2=16$ માં મૂકતા:
$x^2+6x-16=0 \implies (x+8)(x-2)=0$.
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2$ મળે.
તેથી $y^2=12 \implies y = \pm 2\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{6x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{16-x^2} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ: $2 \sqrt{6} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.
બીજો ભાગ: $2 [\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2} + 8 \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{2}^{4} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{16\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} = \frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $x = \frac{y^2}{2}$ અને રેખા $x = y + 4$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે।
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ લો।
$y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, તેથી $y = 4$ અને $y = -2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy$ દ્વારા મળે છે।
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) \, dy$.
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$.
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ ચોરસ એકમ।

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ $y=ax+\frac{1}{a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx}=a$ મળે છે.
$a=\frac{dy}{dx}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,$y=x\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા,$y\left(\frac{dy}{dx}\right)=x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1$ મળે,જે $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\left(\frac{dy}{dx}\right)+1=0$ છે.
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $m=1$ અને ઘાત $r=2$ છે.
તેથી,$r+m = 2+1 = 3$.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x|+C$ મળે,જેનો અર્થ $y^2=kx$ થાય છે.
શરત $y(1)=\sqrt{r+m}=\sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\sqrt{3})^2=k(1)$ મળે,તેથી $k=3$.
આમ,ઉકેલ $y^2=3x$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{-1/2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે ઋણ ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે. બંને બાજુ $\left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2}$ વડે ગુણતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2} = 1$.
હવે,અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right) = 1$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 + x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^4 = 1$ મળે છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $k = 2$.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $4$ છે,તેથી ઘાત $l = 4$.
આપણે તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $k = 2$ અને $l = 4$ હોય.
સમીકરણ $(x - 2)(x - 4) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 6x + 8 = 0$ છે.

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ અને $x=1$ સંમિતિની અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x-1)^2 = 4a(y-k)$ છે,જ્યાં $a$ અને $k$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને $y = A(x-1)^2 + B$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $A$ અને $B$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વખત વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2A(x-1)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$A = \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતને બીજા વિકલનમાં મૂકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x-1} \frac{dy}{dx}$.
તેને ગોઠવતા: $(x-1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ મળે છે.
$a = x + y \frac{dy}{dx}$ ની કિંમત $x^2 + y^2 = 2ax$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 = 2xy \frac{dy}{dx}$ મળે છે,જેને $(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$y \frac{dy}{dx} = 2a$
તેથી,$a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = At^2 + Bt^{-1}$ છે.
પ્રથમ વિકલન: $y' = 2At - Bt^{-2}$.
દ્વિતીય વિકલન: $y'' = 2A + 2Bt^{-3}$.
$y, y', y''$ ને વિકલ સમીકરણ $f(t) y'' + g(t) y' + h(t) y = 0$ માં મૂકતા:
$f(t)(2A + 2Bt^{-3}) + g(t)(2At - Bt^{-2}) + h(t)(At^2 + Bt^{-1}) = 0$.
$A$ અને $B$ વાળા પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$A[2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t)] + B[2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t)] = 0$.
આ સમીકરણ કોઈપણ $A$ અને $B$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(1)$
$2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t) = 0 \implies 2f(t) - t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $3t g(t) = 0 \implies g(t) = 0$.
$g(t) = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2f(t) + t^2 h(t) = 0$.

(B) આપેલ વક્રોની સંહતિ $y = \tan(ax + b)$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \sec^2(ax + b) \cdot a$
કારણ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,તેથી $y_1 = a(1 + y^2)$.
આમ,$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$.
હવે,$y_1 = a(1 + y^2)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 = a(2y y_1)$.
$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$ ની કિંમત $y_2 = 2ay y_1$ માં મૂકતા:
$y_2 = 2 \left( \frac{y_1}{1 + y^2} \right) y y_1$
$y_2 = \frac{2y y_1^2}{1 + y^2}$
તેથી,$(1 + y^2) y_2 - 2y y_1^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^3+Bxy=4$ છે.
$y$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે $Bxy = 4-Ax^3$,તેથી $y = \frac{4}{Bx} - \frac{Ax^2}{B}$.
ધારો કે $C_1 = \frac{4}{B}$ અને $C_2 = -\frac{A}{B}$. તો $y = C_1 x^{-1} + C_2 x^2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -C_1 x^{-2} + 2C_2 x$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2C_1 x^{-3} + 2C_2$.
આ કિંમતોને વિકલ સમીકરણ $F(x) \frac{d^2y}{dx^2} + G(x) \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ માં મૂકતા:
$F(x)(2C_1 x^{-3} + 2C_2) + G(x)(-C_1 x^{-2} + 2C_2 x) - 2(C_1 x^{-1} + C_2 x^2) = 0$.
$C_1$ અને $C_2$ ના પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$C_1(2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1}) + C_2(2F(x) + 2xG(x) - 2x^2) = 0$.
સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $C_1, C_2$ માટે આ શરત સાચી ઠરવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1} = 0 \implies 2F(x) - xG(x) - 2x^2 = 0$.
$2F(x) + 2xG(x) - 2x^2 = 0 \implies F(x) + xG(x) - x^2 = 0$.
$x=1$ આગળ:
$2F(1) - G(1) - 2 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$F(1) + G(1) - 1 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $3F(1) - 3 = 0 \implies F(1) = 1$.
$F(1)=1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $1 + G(1) - 1 = 0 \implies G(1) = 0$.
તેથી,$F(1) + G(1) = 1 + 0 = 1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec(x-y+1) dy = dx$.
ધારો કે $v = x-y+1$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણને $\frac{dy}{dx} = \cos(x-y+1)$ તરીકે લખી શકાય.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $1 - \frac{dv}{dx} = \cos(v)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dv}{dx} = 1 - \cos(v)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{1 - \cos(v)} = dx$.
નિત્યસમ $1 - \cos(v) = 2\sin^2(\frac{v}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{dv}{2\sin^2(\frac{v}{2})} = dx$ મળે છે.
આને $\frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = dx$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = \int dx$.
$-\cot(\frac{v}{2}) = x + c$.
$v = x-y+1$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $-\cot(\frac{x-y+1}{2}) = x + c$,જેને $x + \cot(\frac{x-y+1}{2}) = c'$ (જ્યાં $c' = -c$) તરીકે લખી શકાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ છે.
$y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = y^2 \cos y$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = y^2 \cos y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (y^2 \cos y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int y \cos y dy + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
તેથી,$\frac{x}{y} = y \sin y + \cos y + C$.
$x = y^2 \sin y + y \cos y + Cy$.
વક્ર $(0, \pi)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = \pi^2 \sin \pi + \pi \cos \pi + C\pi$.
$0 = 0 - \pi + C\pi \implies C\pi = \pi \implies C = 1$.
આમ,$x = y^2 \sin y + y \cos y + y = y^2 \sin y + y(1 + \cos y) = y^2 \sin y + y(2 \cos^2 \frac{y}{2})$.
તેથી,$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2(y+1) \frac{dy}{dx} + y^2(x+1)^2 = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{y+1}{y^2} dy = -\frac{(x+1)^2}{x^2} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}) dy = -\int (\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2}) dx$.
$\int (\frac{1}{y} + y^{-2}) dy = -\int (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$.
$\log |y| - \frac{1}{y} = -(x + 2 \log |x| - \frac{1}{x}) + C$.
$\log |y| - \frac{1}{y} = -x - 2 \log |x| + \frac{1}{x} + C$.
$\log |y| + 2 \log |x| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + C$.
$\log |x^2 y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + C$.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા: $\log |1^2 \times 2| = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - 1 + C$.
$\log 2 = 1 + 0.5 - 1 + C \implies \log 2 = 0.5 + C \implies C = \log 2 - 0.5$.
$C$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\log |x^2 y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + \log 2 - 0.5$.
$\log |x^2 y| - \log 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x - 0.5$.
$\log |\frac{x^2 y}{2}| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x - 0.5$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $xy(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{x} + \frac{y(y+2)}{y^3-1} dy = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{y^2+2y}{y^3-1} dy = c$.
$\frac{y^2+2y}{(y-1)(y^2+y+1)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{A}{y-1} + \frac{By+C}{y^2+y+1}$ મળે છે.
અચળાંકો શોધતા,$A = 1$,$B = 0$,$C = 1$ મળે છે.
તેથી,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{1}{y-1} dy + \int \frac{1}{y^2+y+1} dy = c$.
$\log |x| + \log |y-1| + \int \frac{1}{(y+1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} dy = c$.
$\log |x(y-1)| + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} \right) = c$.
$y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1)$ હોવાથી,ઉકેલ $\log |x| + \frac{1}{3} \log |y^3-1| + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} \right) = c$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos(x+y) dy = dx$.
ધારો કે $v = x+y$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x+y)} = \sec(x+y)$.
$v$ અને $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sec(v)$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sec(v) = 1 + \frac{1}{\cos(v)} = \frac{\cos(v)+1}{\cos(v)}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{\cos(v)}{\cos(v)+1} dv = dx$.
નિત્યસમ $\cos(v) = 2\cos^2(v/2) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2\cos^2(v/2)-1}{2\cos^2(v/2)} dv = dx$.
$(1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = \int dx$.
$v - \tan(v/2) = x + c$.
$v = x+y$ મૂકતા: $(x+y) - \tan(\frac{x+y}{2}) = x + c$.
$y - \tan(\frac{x+y}{2}) = c$,એટલે કે $y = \tan(\frac{x+y}{2}) + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$-\cos v = -\log |x| + C$.
ગોઠવતા આપણને મળે: $\log |x| - \cos v = C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે: $\log |x| - \cos \frac{y}{x} = C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$: $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.
$x = y^3 + cy$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y+1}{x-3y+5}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આપણે $h, k$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $h+k+1 = 0$ અને $h-3k+5 = 0$ થાય.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $h = -2$ અને $k = 1$ મળે છે. તેથી,$x = X-2$ અને $y = Y+1$.
સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = -\frac{X+Y}{X-3Y}$ બને છે.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $Y = vX$,તો $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = -\frac{1+v}{1-3v} = \frac{1+v}{3v-1}$.
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{3v-1} - v = \frac{1+v-3v^2+v}{3v-1} = \frac{-3v^2+2v+1}{3v-1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{3v-1}{-3v^2+2v+1} dv = \int \frac{1}{X} dX$.
સંકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{2} \ln| -3v^2+2v+1 | = \ln|X| + C$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-3v^2+2v+1 = \frac{c}{X^2}$ થાય છે.
$v = \frac{Y}{X} = \frac{y-1}{x+2}$ મૂકતા:
$-3(\frac{y-1}{x+2})^2 + 2(\frac{y-1}{x+2}) + 1 = \frac{c}{(x+2)^2}$.
$-3(y-1)^2 + 2(y-1)(x+2) + (x+2)^2 = c$.
ગોઠવતા $3(y-1)^2 - 2(x+2)(y-1) - (x+2)^2 = c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ છે. આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + \log|x| + C = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) + C$.
તેથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(c\sqrt{x^2+y^2}\right)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x - (x+y) \log(x+y)) dx + x dy = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy = ((x+y) \log(x+y) - x) dx$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) \log(x+y) - x}{x}$.
ધારો કે $v = x+y$,તેથી $dv = dx + dy$,એટલે કે $dy = dv - dx$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v \log v - x}{x} = \frac{v \log v}{x} - 1$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v \log v}{x}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $u = \log v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$.
$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \implies \log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$u = cx \implies \log v = cx$.
$v = x+y$ પાછું મૂકતા: $\log(x+y) = cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.
આપણે $2h+k-3=0$ અને $-h+2k+3=0$ સમીકરણો ઉકેલીએ.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $-2h+4k+6=0$. પ્રથમ સમીકરણ સાથે સરવાળો કરતા: $5k+3=0 \implies k = -3/5$. તેથી $2h = 3 - (-3/5) = 18/5 \implies h = 9/5$.
સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{2X+Y}{2Y-X}$ બને છે.
ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{2v-1} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v-2v^2+v}{2v-1} = \frac{-2v^2+2v+2}{2v-1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{2v-1}{-2v^2+2v+2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
ધારો કે $u = -2v^2+2v+2$,તેથી $du = (-4v+2) dv = -2(2v-1) dv$.
તેથી,$-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \ln|X| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|-2v^2+2v+2| = \ln|X| + C$.
$\ln|-2(Y/X)^2+2(Y/X)+2| = -2\ln|X| + C' \implies -2Y^2+2YX+2X^2 = C''$.
$X=x-9/5$ અને $Y=y+3/5$ મૂકતા,સાદું રૂપ આપતા $x^2-xy-y^2+3x+3y+c=0$ મળે છે.