AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણે $5^{99} \pmod{13}$ શોધવાની જરૂર છે.
ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(5, 13) = 1$ હોવાથી,$5^{13-1} \equiv 1 \pmod{13}$ થાય,એટલે કે $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
આપણે $99 = 12 \times 8 + 3$ લખી શકીએ.
તેથી,$5^{99} = 5^{12 \times 8 + 3} = (5^{12})^8 \times 5^3$.
કોન્ગ્રુઅન્સ મૂકતા,$5^{99} \equiv (1)^8 \times 5^3 \pmod{13}$ મળે.
$5^3 = 125$.
હવે,$125$ ને $13$ વડે ભાગતા: $125 = 13 \times 9 + 8$.
આમ,$125 \equiv 8 \pmod{13}$.
શેષ $8$ છે.

(A) ધારો કે $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
$2432$ ને $64$ વડે ભાગતા $38$ મળે છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$49^n = (1 + 48)^n = 1 + 48n + \frac{n(n-1)}{2}(48^2) + \dots = 1 + 48n + 1152n(n-1) + \dots$
તેથી,$f(n) = 64n + 1152n(n-1) + \dots$
આમ,તમામ પદો $64$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી જવાબ $64$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{x-1}{3x+4} - \frac{x-3}{3x-2} < 0$
લસાઅ લેતા:
$\frac{(x-1)(3x-2) - (x-3)(3x+4)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(3x^2 - 2x - 3x + 2) - (3x^2 + 4x - 9x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(3x^2 - 5x + 2) - (3x^2 - 5x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
$\frac{14}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
અહીં અંશ $14$ ધન હોવાથી,પદાવલિ ત્યારે જ ઋણ થાય જ્યારે છેદ ઋણ હોય:
$(3x+4)(3x-2) < 0$
છેદના શૂન્યો $x = -\frac{4}{3}$ અને $x = \frac{2}{3}$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ મુજબ,$(3x+4)(3x-2)$ એ બંને શૂન્યોની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
તેથી,$x \in \left(-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ છે. અંશની ઘાત છેદ કરતા મોટી હોવાથી બહુપદી ભાગાકાર કરો.
$(x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
$x^4$ ને $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ વડે ભાગતા $x+6$ મળે અને શેષ $25x^2 - 60x + 36$ મળે.
તેથી,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+6 + \frac{25x^2 - 60x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{25x^2 - 60x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} + \frac{D}{x-3}$.
$x=1$ માટે: $B = \frac{1}{2}$.
$x=2$ માટે: $C = -16$.
$x=3$ માટે: $D = 40.5$.
સરખામણી કરતા $A=1, E=6, B=0.5, C=-16, D=40.5$.
સરવાળો $A+B+C+D+E = 1 + 0.5 - 16 + 40.5 + 6 = 32$.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{5x^2+2}{x(x^2+1)} = \frac{A_1}{x} + \frac{A_2x+A_3}{x^2+1}$
બંને બાજુ $x(x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$5x^2+2 = A_1(x^2+1) + (A_2x+A_3)x$
$5x^2+2 = A_1x^2 + A_1 + A_2x^2 + A_3x$
$5x^2+2 = (A_1+A_2)x^2 + A_3x + A_1$
બંને બાજુ $x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
અચળ પદ: $A_1 = 2$
$x$ નો સહગુણક: $A_3 = 0$
$x^2$ નો સહગુણક: $A_1 + A_2 = 5$ $\Rightarrow 2 + A_2 = 5$ $\Rightarrow A_2 = 3$
આમ,$(A_1, A_2, A_3) = (2, 3, 0)$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2-3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-1)(x-2)}+\frac{C}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા:
$x^2-3x+1 = A(x-1)(x-2) + B(x-3) + C$
$x^2-3x+1 = A(x^2-3x+2) + Bx - 3B + C$
$x^2-3x+1 = Ax^2 + (B-3A)x + (2A-3B+C)$
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A = 1$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $B-3A = -3$.
$A=1$ મૂકતા: $B-3(1) = -3 \implies B = 0$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-2x+4=0$ છે।
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ મળે છે।
ધારો કે $\alpha = 1+i\sqrt{3}$ અને $\beta = 1-i\sqrt{3}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા, $\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{-i\pi/3}$.
તેથી $\alpha^n + \beta^n = (2e^{i\pi/3})^n + (2e^{-i\pi/3})^n = 2^n(e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, $\alpha^n + \beta^n = 2^n(2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$ મળે છે।
આને આપેલ પદ $k \cos \frac{n\pi}{3}$ સાથે સરખાવતા, $k = 2^{n+1}$ મળે છે।

(A) ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$. તેથી $t^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$,એટલે કે $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$.
$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2t - 5)(t - 1) = 0$.
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = \frac{5}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x - 1)(x - 2) = 0$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = 2$.
પ્રશ્નમાં પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા પૂછી છે,તેથી $x = 2$ (જે પૂર્ણાંક છે) અને $x = \frac{1}{2}$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
આમ,માત્ર $1$ પૂર્ણાંક ઉકેલ છે,જે $x = 2$ છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha, \alpha r, \alpha r^2, \alpha r^3$ છે જ્યાં $r > 1$.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2-3x+a=0$ પરથી,$\alpha + \alpha r = 3$ અને $\alpha(\alpha r) = a$ મળે.
બીજા સમીકરણ $x^2-12x+b=0$ પરથી,$\alpha r^2 + \alpha r^3 = 12$ અને $(\alpha r^2)(\alpha r^3) = b$ મળે.
$\alpha(1+r) = 3$ અને $\alpha r^2(1+r) = 12$ નો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\alpha r^2(1+r)}{\alpha(1+r)} = \frac{12}{3}$,જે $r^2 = 4$ આપે છે.
$r > 1$ હોવાથી,$r = 2$ મળે.
$r=2$ ને $\alpha(1+r) = 3$ માં મૂકતા,$\alpha(3) = 3$,તેથી $\alpha = 1$ મળે.
બીજ $1, 2, 4, 8$ છે.
આમ,$a = \alpha(\alpha r) = 1 \times 2 = 2$ અને $b = (\alpha r^2)(\alpha r^3) = 4 \times 8 = 32$.
તેથી,$a+b = 2+32 = 34$.

(A) આપેલ છે કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ હરાત્મક શ્રેણી $(HP)$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}, \frac{1}{x_4}$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ધારો કે આ પદો $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ છે.
$A x^2 - 4 x + 1 = 0$ પરથી,$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_3} = 4$ અને $\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_3} = A$.
$AP$ ના પદો મૂકતા: $(a-3d) + (a+d) = 4 \implies a-d=2$.
તેમજ,$(a-3d)(a+d) = A$.
$B x^2 - 6 x + 1 = 0$ પરથી,$\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_4} = 6$ અને $\frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_4} = B$.
$AP$ ના પદો મૂકતા: $(a-d) + (a+3d) = 6 \implies a+d=3$.
સમીકરણો ઉકેલતા $a=2.5$ અને $d=0.5$ મળે છે.
તેથી $A = (2.5-1.5)(3) = 3$ અને $B = (2)(4) = 8$.
પરિણામે,$\frac{B+A}{B-A} = \frac{8+3}{8-3} = \frac{11}{5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
સમીકરણ $ax^2-bx(x-1)+c(x-1)^2=0$ ને $(x-1)^2$ વડે ભાગતા:
$a(\frac{x}{x-1})^2 - b(\frac{x}{x-1}) + c = 0$.
ધારો કે $y = \frac{x}{x-1}$,તો $ay^2 - by + c = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $y = \alpha$ અને $y = \beta$ મળે.
તેથી,$\frac{x}{x-1} = \alpha \implies x = \frac{\alpha}{\alpha-1}$ અને $\frac{x}{x-1} = \beta \implies x = \frac{\beta}{\beta-1}$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે,ભૌમિતિક મધ્યક ($G$.$M$.) $= \sqrt{ab} = 2$,તેથી $ab = 4$ (સમીકરણ $i$).
હાર્મોનિક મધ્યક ($H$.$M$.) $= \frac{2ab}{a+b} = -\frac{8}{5}$.
$H$.$M$. ના સૂત્રમાં $ab = 4$ મૂકતા:
$\frac{2(4)}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies \frac{8}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies a+b = -5$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $2a$ અને $2b$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 2a + 2b = 2(a+b) = 2(-5) = -10$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2a)(2b) = 4ab = 4(4) = 16$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x^2 - (-10)x + 16 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 10x + 16 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ $x^2+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ અને $\tan \alpha \tan \beta = q$.
ધારો કે $E = \sin^2(\alpha+\beta) + p\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\beta) + q\cos^2(\alpha+\beta)$.
પદાવલિને $\cos^2(\alpha+\beta)$ વડે ભાગતા,$E = \cos^2(\alpha+\beta) [\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1-q} = \frac{p}{q-1}$.
આ કિંમત કૌંસમાં મૂકતા: $\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q = \frac{p^2}{(q-1)^2} + p(\frac{p}{q-1}) + q = \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2}$.
હવે,$\cos^2(\alpha+\beta) = \frac{1}{1+\tan^2(\alpha+\beta)} = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2}$.
તેથી,$E = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2} \times \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2} = q$.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-7x^2+0x+36=0$ ના બીજ $\alpha, 2\alpha,$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 2\alpha + \beta = 7 \implies 3\alpha + \beta = 7 \implies \beta = 7 - 3\alpha$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha(2\alpha) + 2\alpha\beta + \beta\alpha = 0 \implies 2\alpha^2 + 3\alpha\beta = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha$ વડે ભાગતા: $2\alpha + 3\beta = 0$.
$\beta = 7 - 3\alpha$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2\alpha + 3(7 - 3\alpha) = 0$.
$2\alpha + 21 - 9\alpha = 0 \implies -7\alpha = -21 \implies \alpha = 3$.
તેથી બીજ $\alpha = 3$ અને $2\alpha = 6$ મળે.
આ બે બીજનો સરવાળો $3 + 6 = 9$ થાય.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + k$. સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $[0, 1]$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક બીજ મળે તે માટેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમતોનો ગુણાકાર શૂન્ય અથવા શૂન્યથી ઓછો હોવો જોઈએ: $f(0) \cdot f(1) \le 0$.
$f(0) = 0^2 - 3(0) + k = k$.
$f(1) = 1^2 - 3(1) + k = k - 2$.
તેથી,$k(k - 2) \le 0$,જેનો અર્થ છે કે $0 \le k \le 2$.
$2$. પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = 3/2$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં નથી.
$3$. પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી જો શિરોબિંદુ અંતરાલની બહાર હોય,તો $[0, 1]$ માં બીજ હોવા માટે અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની નિશાની બદલાવી જોઈએ.
આમ,$k$ માટે જરૂરી વિસ્તાર $0 \le k \le 2$ છે.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટેની શરતો $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ છે.
અહીં,$a = 1$,જે $> 0$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$.
$D = [-2(4k - 1)]^2 - 4(1)(15k^2 - 2k - 7) < 0$.
$4(16k^2 - 8k + 1) - 4(15k^2 - 2k - 7) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $16k^2 - 8k + 1 - 15k^2 + 2k + 7 < 0$ મળે છે.
$k^2 - 6k + 8 < 0$.
$(k - 2)(k - 4) < 0$.
આ અસમતા $2 < k < 4$ માટે સાચી છે.
આ અંતરાલમાં $k$ ની એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત $k = 3$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 + 2kx + k < 0$ તમામ $x \in [1, 2]$ માટે.
$x^2$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)$ અંતરાલ $[1, 2]$ પર ઋણ રહે તે માટે,$[1, 2]$ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $0$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલતો હોવાથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુઓ $x=1$ અથવા $x=2$ પર મળે છે.
$f(1) = 1 + 3k < 0 \implies k < -1/3$.
$f(2) = 4 + 5k < 0 \implies k < -4/5$.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે $k < -4/5$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$k$ નો અંતરાલ $(-\infty, -4/5)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ છે.
તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,આપણે $-3 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3$ લખી શકીએ.
કિસ્સો $1$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3 \implies 2x^2+(3-k)x+2 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_1 < 0$: $(3-k)^2 - 16 < 0 \implies -1 < k < 7$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > -3 \implies 4x^2+(k+3)x+4 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_2 < 0$: $(k+3)^2 - 64 < 0 \implies -11 < k < 5$.
બંને કિસ્સાઓનો છેદ લેતા,આપણને $-1 < k < 5$ મળે છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^3+x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{Cx+D}{x^2+3}$.
બંને બાજુ $(x^2+2)(x^2+3)$ વડે ગુણતા: $x^3+x^2+1 = (Ax+B)(x^2+3) + (Cx+D)(x^2+2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^3+x^2+1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (3A+2C)x + (3B+2D)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C = 1$,$B+D = 1$,$3A+2C = 0$,$3B+2D = 1$.
ઉકેલતા,$A=-2, B=-1, C=3, D=2$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C+D = -2 - 1 + 3 + 2 = 2$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+1}{2x^2-x+1}$.
તેથી $y(2x^2-x+1) = x^2+x+1$.
$(2y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(2y-1)(y-1) \ge 0$.
$-7y^2+14y-3 \ge 0$.
$7y^2-14y+3 \le 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{7 \pm 2\sqrt{7}}{7}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{7+2\sqrt{7}}{7}$ છે.

(B) અસમતા $x^2 - 4x - 21 \leq 0$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે પ્રથમ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 4x - 21 = 0$ ના બીજ શોધીએ છીએ.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -4, c = -21$ છે:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}$
તેથી,$x_1 = \frac{14}{2} = 7$ અને $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ મળે છે.
અસમતાને $(x - 7)(x + 3) \leq 0$ તરીકે લખી શકાય.
ગુણાકાર શૂન્ય અથવા તેનાથી ઓછો હોય તે માટે,$x$ એ બંને બીજની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
આમ,$x \in [-3, 7]$.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{8x^2+16x-51}{(2x-3)(x+4)} > 3$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $\frac{8x^2+16x-51 - 3(2x^2+5x-12)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $8x^2+16x-51 - 6x^2-15x+36 = 2x^2+x-15$
અંશના અવયવ પાડતા: $2x^2+6x-5x-15 = 2x(x+3)-5(x+3) = (2x-5)(x+3)$
તેથી,અસમતા આ મુજબ બને છે: $\frac{(2x-5)(x+3)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -4, -3, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $(-\infty, -4) \cup (-3, \frac{3}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ અંતરાલોમાં ધન છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c$ (જ્યાં $a > 0$) ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4ac - b^2}{4a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$i) x^2 + 4x + 6$: અહીં $a=1, b=4, c=6$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(6) - (4)^2}{4(1)} = \frac{24 - 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$. તેથી,$i \rightarrow b$.
$ii) x^2 - 2x + 5$: અહીં $a=1, b=-2, c=5$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(5) - (-2)^2}{4(1)} = \frac{20 - 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$. તેથી,$ii \rightarrow c$.
$iii) x^2 + 6x + 18$: અહીં $a=1, b=6, c=18$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(18) - (6)^2}{4(1)} = \frac{72 - 36}{4} = \frac{36}{4} = 9$. તેથી,$iii \rightarrow d$.
$iv) x^2 - 4x + 5$: અહીં $a=1, b=-4, c=5$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(5) - (-4)^2}{4(1)} = \frac{20 - 16}{4} = \frac{4}{4} = 1$. તેથી,$iv \rightarrow a$.
આમ,સાચી જોડ $i$ $\rightarrow b, ii$ $\rightarrow c, iii$ $\rightarrow d, iv$ $\rightarrow a$ છે.

(A) ધારો કે $3^x = y$. કારણ કે $x \in R^{+}$,તેથી $y > 1$.
આપેલ અસમતા $y + \frac{3}{y} - 4 < 0$ છે.
$y$ વડે ગુણતા ($y > 0$ હોવાથી),આપણને $y^2 - 4y + 3 < 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(y - 1)(y - 3) < 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < y < 3$.
$y = 3^x$ પાછું મૂકતા,$1 < 3^x < 3$ મળે.
બધી બાજુ $\log_3$ લેતા,$\log_3(1) < x < \log_3(3)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $0 < x < 1$ થાય છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(0, 1)$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12$.
બીજ શોધવા માટે,આપણે નાની પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસીએ.
$f(1) = 1-3-5+27-32+12 = 0$,તેથી $(x-1)$ એક અવયવ છે.
$f'(x) = 5x^4-12x^3-15x^2+54x-32$.
$f'(1) = 5-12-15+54-32 = 0$,તેથી $(x-1)^2$ એક અવયવ છે.
$f''(x) = 20x^3-36x^2-30x+54$.
$f''(1) = 20-36-30+54 = 8 \neq 0$. આમ,$x=1$ એ $2$ ની ગુણકતા ધરાવતું બીજ છે.
$f(x)$ ને $(x-1)^2 = x^2-2x+1$ વડે ભાગતા,આપણને $x^3-x^2-6x+12$ મળે છે.
$f'(x)$ માં $x=2$ મૂકતા $f'(2) = 0$ મળે છે.
તેથી $x=2$ એ $f(x)$ અને $f'(x)$ નું બીજ છે,જેનો અર્થ છે કે $(x-2)^2$ એક અવયવ છે.
$f(x)$ ને $(x-1)^2(x-2)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x+3)$ મળે છે.
બીજ $1, 1, 2, 2, -3$ છે.
પુનરાવર્તિત ન હોય તેવું બીજ $-3$ છે.
$-3$ ને ભાગતી અવિભાજ્ય સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^5-5x^4+9x^3-9x^2+5x-1=0$ છે.
આને $(x-1)(x^4-4x^3+5x^2-4x+1)=0$ તરીકે લખી શકાય.
$x^2$ વડે ભાગતા,$(x^2+1/x^2) - 4(x+1/x) + 5 = 0$ મળે.
$t = x+1/x$ લેતા,$t^2-4t+3=0$ મળે,જેના ઉકેલ $t=3$ અથવા $t=1$ છે.
$t=3$ માટે,$x^2-3x+1=0$ ના બીજ $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
તેમનો તફાવત $\sqrt{5}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $k \sqrt{-1} = ki$ એ સમીકરણ $x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80=0$ નું બીજ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $-ki$ પણ બીજ હોવી જોઈએ.
આમ,$(x-ki)(x+ki) = x^2+k^2$ એ બહુપદીનો અવયવ છે.
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80$ ને $x^2+k^2$ વડે ભાગતા:
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80 = (x^2+k^2)(x^2+6x-(16+k^2)) + (24-6k^2)x + (k^2(16+k^2)-80)$.
$x^2+k^2$ અવયવ હોવા માટે,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$x$ નો સહગુણક શૂન્ય લેતા: $24-6k^2 = 0 \implies 6k^2 = 24 \implies k^2 = 4$.
અચળ પદ તપાસતા: $k^2(16+k^2)-80 = 4(16+4)-80 = 4(20)-80 = 0$.
આમ,$k^2 = 4$ એ સાચી કિંમત છે.

(C) ધારો કે સમીકરણના બીજ $a/r^2, a/r, a, ar, ar^2$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $a^5 = S$ થાય છે.
બીજના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{a/r^2} + \frac{1}{a/r} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = \frac{r^2+r+1+1/r+1/r^2}{a} = 10$ છે.
વળી,બીજનો સરવાળો $a/r^2 + a/r + a + ar + ar^2 = 40$ છે.
$a$ સામાન્ય લેતા,$a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2) = 40$ મળે.
બીજના સરવાળાને વ્યસ્તના સરવાળા વડે ભાગતા: $\frac{a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)}{(1/a)(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)} = \frac{40}{10} = 4$.
આથી $a^2 = 4$,એટલે કે $a = 2$ અથવા $a = -2$.
$a^5 = S$ હોવાથી,$S = 2^5 = 32$ અથવા $S = (-2)^5 = -32$ મળે.
તેથી,$|S| = 32$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3-7x^2+14x-8=0$ છે. ધારો કે બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
બીજનો સરવાળો: $\frac{a}{r} + a + ar = 7$. $a=2$ મૂકતા:
$\frac{2}{r} + 2 + 2r = 7$ $\Rightarrow \frac{2}{r} + 2r = 5$ $\Rightarrow 2 + 2r^2 = 5r$ $\Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $2r^2 - 4r - r + 2 = 0$ $\Rightarrow 2r(r-2) - 1(r-2) = 0$ $\Rightarrow (2r-1)(r-2) = 0$.
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r=2$ હોય,તો બીજ $\frac{2}{2}, 2, 2(2)$ એટલે કે $1, 2, 4$ મળે.
જો $r=\frac{1}{2}$ હોય,તો બીજ $\frac{2}{1/2}, 2, 2(1/2)$ એટલે કે $4, 2, 1$ મળે.
બંને કિસ્સામાં બીજ $1, 2, 4$ છે.
સૌથી મોટું બીજ $4$ અને સૌથી નાનું બીજ $1$ છે.
તફાવત $4 - 1 = 3$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^7=1$ નું અવાસ્તવિક બીજ છે,તેથી $\alpha^7=1$ અને $\alpha \neq 1$ થાય.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(1+\alpha)(1+\alpha^2+\alpha^4) = \alpha(1+\alpha^2+\alpha^4+\alpha+\alpha^3+\alpha^5)$
$= \alpha + \alpha^3 + \alpha^5 + \alpha^2 + \alpha^4 + \alpha^6$
$= \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$= \frac{\alpha(1-\alpha^6)}{1-\alpha} = \frac{\alpha-\alpha^7}{1-\alpha}$
$\alpha^7=1$ હોવાથી:
$= \frac{\alpha-1}{1-\alpha} = -1$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ છે।
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = -r$ $(iii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = |(1+i\alpha)(1+i\beta)(1+i\gamma)|^2$.
ધારો કે $f(x) = x^3+px^2+qx+r = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
તેથી $f(i) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) = i^3+pi^2+qi+r = -i-p+qi+r = (r-p) + i(q-1)$.
તેમજ $f(-i) = (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = -i^3+pi^2-qi+r = i-p-qi+r = (r-p) - i(q-1)$.
આમ,$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) \times (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = f(i) \times f(-i)$.
$= ((r-p) + i(q-1))((r-p) - i(q-1)) = (r-p)^2 + (q-1)^2$.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+3px^2+3qx-8=0$ ના બીજ $a-d$,$a$,અને $a+d$ છે કારણ કે તે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $(a-d) + a + (a+d) = -3p \implies 3a = -3p \implies a = -p$.
$a$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(-p)^3 + 3p(-p)^2 + 3q(-p) - 8 = 0$.
$-p^3 + 3p^3 - 3pq - 8 = 0$.
$2p^3 - 3pq = 8$.

(B) સંકર સંખ્યાને સરળ બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1+i$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{1}{2}$ (ઋણ) છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{3}{2}$ (ધન) છે.
ઋણ વાસ્તવિક ભાગ અને ધન કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંકર સંખ્યા દ્વિતીય ચરણમાં આવે છે.

(D) આપેલ છે $(x+iy)^{\frac{1}{3}} = 5+3i$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે $x+iy = (5+3i)^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x+iy = 5^3 + 3(5^2)(3i) + 3(5)(3i)^2 + (3i)^3$.
$x+iy = 125 + 225i + 135(-1) + 27(-i)$.
$x+iy = -10 + 198i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$x = -10$ અને $y = 198$.
હવે,$3x+5y = 3(-10) + 5(198) = -30 + 990 = 960$.

(D) ધારો કે $\omega = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
તેથી આપેલ પદાવલિ $z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5$ થાય.
$z = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
નિત્યસમ $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $z = 2\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ મળે.
કારણ કે $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, તેથી $z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$.
$z = -\sqrt{3} + 0i$ હોવાથી, કાલ્પનિક ભાગ $\operatorname{Im}(z) = 0$ થાય.

(D) ધારો કે $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
$z$ ને શુદ્ધ કાલ્પનિક બનાવવા માટે,$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1+2i \sin \theta$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)} = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta + 7i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$ છે.
વાસ્તવિક ભાગને $0$ લેતા: $2 - 6 \sin^2 \theta = 0 \implies 6 \sin^2 \theta = 2 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $z_1$ અને $z_2$ એ $Z^2+pZ+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $z_1+z_2 = -p$ અને $z_1z_2 = q$.
$OA=OB$ હોવાથી,$|z_1| = |z_2|$.
ધારો કે $z_1 = re^{i\theta_1}$ અને $z_2 = re^{i\theta_2}$.
$\angle AOB = \alpha$ આપેલ હોવાથી,$|\theta_1 - \theta_2| = \alpha$.
તેથી $z_1/z_2 = e^{i(\theta_1-\theta_2)} = e^{\pm i\alpha}$.
$z_1+z_2 = -p$ પરથી,$p^2 = (z_1+z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$.
વળી $p^2 - 4q = (z_1-z_2)^2$.
આમ $p^2 = 4q + (z_1-z_2)^2 = 4q + z_2^2(z_1/z_2 - 1)^2$.
$z_1/z_2 = e^{i\alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા,$p^2 = 4q + z_2^2(e^{i\alpha}-1)^2 = 4q + z_2^2 e^{i\alpha}(e^{i\alpha/2} - e^{-i\alpha/2})^2$.
$z_1z_2 = q$ હોવાથી,$z_2^2 e^{i\alpha} = z_1z_2 = q$.
તેથી $p^2 = 4q + q(2i \sin(\alpha/2))^2 = 4q - 4q \sin^2(\alpha/2) = 4q \cos^2(\alpha/2)$.

(A) આર્ગેન્ડ સમતલમાં રેખાનું સમીકરણ $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $z_0$ થી રેખા $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|a \bar{z_0} + \bar{a} z_0 + b|}{2|a|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $z_0 = c$ મૂકતા,આપણને અંતર $d = \frac{|a \bar{c} + \bar{a} c + b|}{2|a|}$ મળે છે.

(B) દરેક પદને અલગથી સાદું રૂપ આપો:
$1$. $\frac{5+2i}{2-5i} = \frac{(5+2i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{10 + 25i + 4i + 10i^2}{4 + 25} = \frac{10 + 29i - 10}{29} = \frac{29i}{29} = i$
$2$. $\frac{3-4i}{4+3i} = \frac{(3-4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{12 - 9i - 16i + 12i^2}{16 + 9} = \frac{12 - 25i - 12}{25} = \frac{-25i}{25} = -i$
$3$. $\frac{1}{i} = \frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{-1} = -i$
$z$ માટેના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$z = (i) - (-i) - (-i) = i + i + i = 3i$
સંકર સંખ્યા $z = 0 + 3i$ છે.
આમ,$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 4$,એટલે કે $x^2 + y^2 = 16$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = z$,$B = iz$ અને $C = z + iz$ છે.
અહીં $z$ અને $iz$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
બંને બાજુઓની લંબાઈ $|z| = 4$ અને $|iz| = 4$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ.

(B) વિધાન $I$ માટે: $\sqrt{-a} \times \sqrt{-b} = (i\sqrt{a}) \times (i\sqrt{b}) = i^2 \sqrt{ab} = -\sqrt{ab}$. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: ધારો કે $z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$. છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1+i\sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1+i\sqrt{3})^2}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 3 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં છે. તેનો કોણાંક $\pi - \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપણને $|z| \geq 5$ આપેલ છે.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z + w| \geq ||z| - |w||$.
તેથી,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq ||z| - \frac{2}{|z|}||$.
ધારો કે $f(t) = t - \frac{2}{t}$ જ્યાં $t = |z| \geq 5$.
$f(t)$ એ $t > 0$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t = 5$ પર મળે છે.
આમ,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq 5 - \frac{2}{5} = \frac{23}{5}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{23}{5}$ છે.

(B) આપેલ શરત $Z_1 \bar{Z}_2 + \bar{Z}_1 Z_2 = 0$ છે.
$Z_2 \bar{Z}_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{Z_1}{Z_2} + \frac{\bar{Z}_1}{\bar{Z}_2} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(\frac{Z_1}{Z_2}) = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{Z_1}{Z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
તેથી,$\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ થાય.
આમ,$\sin \theta = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.

(C) આપેલ છે $z_1 = -\sqrt{3} + i$ અને $z_2 = -\sqrt{3} - i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ભાગાકારનો કોણાંક $\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2)$ દ્વારા મળે છે.
$z_1 = -\sqrt{3} + i$ માટે,બિંદુ બીજા ચરણમાં છે. $\text{arg}(z_1) = \pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$z_2 = -\sqrt{3} - i$ માટે,બિંદુ ત્રીજા ચરણમાં છે. $\text{arg}(z_2) = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6}$.
તેથી,$\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \frac{5\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.
મુખ્ય કોણાંક $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,તેથી $2\pi$ બાદ કરતા: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$.
આમ,મુખ્ય કોણાંક $-\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે.
$z^2$ વડે ભાગતા ($z \neq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$.
વળી,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,તેથી $z+\frac{1}{z} = \pm 1$.
$z^3+\frac{1}{z^3}$ માટે,આપણે નિત્યસમ $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
જો $z+\frac{1}{z} = 1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$.
પદાવલિ $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ બને છે.
જો $z+\frac{1}{z} = -1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$.
પદાવલિ $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ બને છે.
સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના બીજ $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ છે. આ માટે,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$. તેથી,કિંમત $8$ છે.

(B) સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ માટે,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $r \operatorname{cis} \theta$ છે,જ્યાં $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ અને $\theta = \operatorname{arg}(z)$.
$(i) z = \sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$ ($d$ સાથે જોડાય છે).
$(ii) z = \sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{\pi}{6})$ ($a$ સાથે જોડાય છે).
$(iii) z = -\sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{5\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{5\pi}{6})$ ($b$ સાથે જોડાય છે).
$(iv) z = -\sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{5\pi}{6}$. તેથી,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{5\pi}{6})$ ($c$ સાથે જોડાય છે).
તેથી,સાચી જોડ $(i)-d, (ii)-a, (iii)-b, (iv)-c$ છે.

(C) આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right] = -i \sum_{n=1}^{20} \left[ \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) + i \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right]$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $-i \sum_{n=1}^{20} e^{i(2n\pi/21)}$ બને છે.
ધારો કે $\omega = e^{i(2\pi/21)}$. તો સરવાળો $-i \sum_{n=1}^{20} \omega^n$ થાય.
આ $20$ પદોની ભૌમિતિક શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $\omega$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ છે.
સરવાળો $\omega \frac{1-\omega^{20}}{1-\omega}$ છે.
કારણ કે $\omega^{21} = e^{i(2\pi)} = 1$,તેથી $\omega^{20} = \omega^{-1} = \frac{1}{\omega}$ મળે.
આમ,સરવાળો $-i \left( \frac{\omega - \omega^{21}}{1-\omega} \right) = -i \left( \frac{\omega - 1}{1-\omega} \right) = -i (-1) = i$ થાય.

(A) ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n p_k x^k$ વિસ્તરણમાં $x = 1, \omega, \omega^2$ મૂકતા:
$S_0 = (1+1)^n = 2^n = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \ldots$
$S_1 = (1+\omega)^n = p_0 + p_1 \omega + p_2 \omega^2 + p_3 + \ldots$
$S_2 = (1+\omega^2)^n = p_0 + p_1 \omega^2 + p_2 \omega + p_3 + \ldots$
$p_0 + p_3 + p_6 + \ldots = \frac{1}{3} [S_0 + S_1 + S_2] = \frac{1}{3} [2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n]$.
$(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 2 \cos \frac{n \pi}{3}$ હોવાથી,જવાબ $\frac{1}{3} [2^n + 2 \cos \frac{n \pi}{3}]$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $\frac{1}{\omega} = \omega^2$,$\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
$k=1$ માટે,$(\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=2$ માટે,$(\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=3$ માટે,$(\omega^3 + \frac{1}{\omega^3})^2 = (1 + 1)^2 = 4$.
$k=4$ માટે,$(\omega^4 + \frac{1}{\omega^4})^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=5$ માટે,$(\omega^5 + \frac{1}{\omega^5})^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=6$ માટે,$(\omega^6 + \frac{1}{\omega^6})^2 = (1 + 1)^2 = 4$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

(C) આપેલ સમીકરણ $Z^2 + Z|Z| + |Z|^2 = 0$ છે.
$Z \neq 0$ હોવાથી,$|Z|^2$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{Z}{|Z|}\right)^2 + \left(\frac{Z}{|Z|}\right) + 1 = 0$.
ધારો કે $u = \frac{Z}{|Z|}$. અહીં $|u| = 1$ છે.
સમીકરણ $u^2 + u + 1 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલો $u = \omega$ અને $u = \omega^2$ છે.
તેથી,$\frac{Z}{|Z|} = \omega$ અથવા $\frac{Z}{|Z|} = \omega^2$.
આમ,$Z = |Z|\omega$ અથવા $Z = |Z|\omega^2$ મળે,જ્યાં $|Z| > 0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \pi / 3}$.
અહીં $\alpha^3 = e^{i \pi} = -1$ અને $\alpha^6 = 1$ થાય છે.
નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(1 - \alpha^3) - \alpha(\alpha^2 - \alpha^2) + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 1(1 - (-1)) - 0 + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 2 + \alpha^6 - \alpha^3 = 2 + 1 - (-1) = 4$.

(B) ધારો કે $\theta = 2 \tan^{-1} x$. તેથી $\cot \theta = \cot(2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - x^2}{2x}$.
આપેલ સમીકરણ $\sin(2 \cos^{-1}(\cot \theta)) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos^{-1}(\cot \theta) = n\pi$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\cos^{-1}(\cot \theta) = \frac{n\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
$\cos^{-1}$ ના વિસ્તાર માટે,$0 \le \cos^{-1}(\cot \theta) \le \pi$,તેથી $n = 0, 1, 2$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: $n=0 \implies \cot \theta = 1 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = -1 \pm \sqrt{2}$.
કિસ્સો $2$: $n=1 \implies \cot \theta = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
કિસ્સો $3$: $n=2 \implies \cot \theta = -1 \implies x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$.
આમ,કુલ $6$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = 1/2$ છે.
એક પ્રયત્નમાં $5$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = 6/64 = 3/32$ છે.
અહીં $N = 320$ પ્રયત્નો છે,તેથી સરેરાશ $\lambda = Np' = 320 \times (3/32) = 30$ થાય.
પોઈસન વિતરણ મુજબ,$P(Y=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{30^2 \times e^{-30}}{2}$.

(D) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{\operatorname{Cos}^{-1} x}}{\sqrt{2(1-x)}}$.
$t = \operatorname{Cos}^{-1} x$ લેતા,$x = \cos t$. જ્યારે $x \rightarrow 1^{-}$,ત્યારે $t \rightarrow 0^{+}$.
$1 - x = 1 - \cos t = 2 \sin^2(t/2)$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2(2 \sin^2(t/2))}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2 \sin(t/2)}$.
નાના $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(t/2) \approx t/2$.
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2(t/2)} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{t} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{t}} = \infty$.

(D) $a, b, 8, 5, 10$ નો મધ્યક $6$ આપેલ છે:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6 \implies a+b+23 = 30 \implies a+b = 7$.
વિચરણ $6.80$ છે:
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - (6)^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2 = 25$.
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ પરથી,$49 = 25 + 2ab \implies ab = 12$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{a} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{b} = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{ab-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{7}{12-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{7}{11}$.

(D) આપેલ છે કે $P^2 = P$. આનો અર્થ એ છે કે $P$ એ આઈડેમપોટન્ટ શ્રેણિક છે.
આપણે $(P+I)^4$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $P$ અને $I$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(PI = IP = P)$:
$(P+I)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^k I^{n-k}$.
$n=4$ માટે:
$(P+I)^4 = \binom{4}{0} P^0 I^4 + \binom{4}{1} P^1 I^3 + \binom{4}{2} P^2 I^2 + \binom{4}{3} P^3 I^1 + \binom{4}{4} P^4 I^0$.
કારણ કે $I^n = I$ અને બધા $k \ge 1$ માટે $P^k = P$ (કારણ કે $P^2=P, P^3=P^2 \cdot P = P \cdot P = P$,વગેરે):
$(P+I)^4 = I + 4P + 6P + 4P + P$.
$(P+I)^4 = I + (4+6+4+1)P$.
$(P+I)^4 = I + 15P$.

(D) ધારો કે $S_A = A - A^T$. કારણ કે $S_A^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -S_A$,તેથી $S_A$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.
તે જ રીતે,ધારો કે $S_B = B - B^T$. કારણ કે $S_B^T = (B - B^T)^T = B^T - B = -(B - B^T) = -S_B$,તેથી $S_B$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.
ધારો કે $M = S_A + S_B$. તો $M^T = (S_A + S_B)^T = S_A^T + S_B^T = -S_A - S_B = -(S_A + S_B) = -M$.
આમ,$M$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.
એકી કક્ષા $n$ ધરાવતા વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે,કારણ કે એકી $n$ માટે $|M| = |M^T| = |-M| = (-1)^n |M| = -|M|$,જે સૂચવે છે કે $2|M| = 0$,તેથી $|M| = 0$.
અહીં $n = 3$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$|M| = |(A-A^T)+(B-B^T)| = 0$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
અહીં,$n = 2017$ અને $\theta = \frac{2\pi}{19}$ છે.
તેથી,$n\theta = 2017 \times \frac{2\pi}{19} = \frac{4034\pi}{19}$.
$4034$ ને $19$ વડે ભાગતા: $4034 = 19 \times 212 + 6$.
આમ,$n\theta = (212 \times 19 + 6) \times \frac{2\pi}{19} = 212(2\pi) + \frac{12\pi}{19} = 424\pi + \frac{12\pi}{19}$.
$A^{19} = \begin{bmatrix} \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) \\ -\sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(2\pi) & \sin(2\pi) \\ -\sin(2\pi) & \cos(2\pi) \end{bmatrix} = I$.
તેથી,$A^{2017} = A^{19 \times 106 + 3} = (A^{19})^{106} \times A^3 = I^{106} \times A^3 = A^3$.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A$ એ $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ સ્વરૂપનો પરિભ્રમણ શ્રેણિક છે,જ્યાં $\theta = \frac{2 \pi}{33}$ છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = R(n \theta) = \begin{bmatrix} \cos(n \theta) & \sin(n \theta) \\ -\sin(n \theta) & \cos(n \theta) \end{bmatrix}$ થાય.
આપણે $A^{2017}$ શોધવાનું છે,તેથી $n = 2017$ લેતા.
ખૂણો $n \theta = 2017 \times \frac{2 \pi}{33} = \frac{4034 \pi}{33}$ થશે.
$4034$ ને $33$ વડે ભાગતા: $4034 = 33 \times 122 + 8$ મળે.
તેથી,$\frac{4034 \pi}{33} = 122 \pi + \frac{8 \pi}{33}$ થાય.
$\cos(122 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(122 \pi + \alpha) = \sin \alpha$ હોવાથી,$A^{2017} = \begin{bmatrix} \cos \frac{8 \pi}{33} & \sin \frac{8 \pi}{33} \\ -\sin \frac{8 \pi}{33} & \cos \frac{8 \pi}{33} \end{bmatrix}$ મળે.
અહીં $A^4 = R(4 \times \frac{2 \pi}{33}) = R(\frac{8 \pi}{33})$ છે.
તેથી,$A^{2017} = A^4$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix}$.
શરત $A A^T = 9 I = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
$A A^T$ નો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $1$: $1(1) + 2(2) + 2(2) = 1 + 4 + 4 = 9$.
હાર $2 \times$ સ્તંભ $2$: $2(2) + 1(1) + (-2)(-2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
હાર $3 \times$ સ્તંભ $3$: $a(a) + 2(2) + b(b) = a^2 + 4 + b^2$.
$A A^T = 9 I$ હોવાથી,વિકર્ણ ઘટકો $9$ હોવા જોઈએ. તેથી,$a^2 + 4 + b^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 + b^2 = 5$.
અન્ય ઘટકો તપાસતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $2$: $1(2) + 2(1) + 2(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
હાર $1 \times$ સ્તંભ $3$: $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$.
હાર $2 \times$ સ્તંભ $3$: $2(a) + 1(2) + (-2)(b) = 2a + 2 - 2b = 0 \implies a - b = -1$.
$a + 2b = -4$ અને $a - b = -1$ પરથી,બાદબાકી કરતા $3b = -3 \implies b = -1$. તેથી $a = -2$.
ચકાસણી: $a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(A) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને સંમિત શ્રેણિક $P$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $Q$ ના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$A - A^T = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી,$Q = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(B) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(3 \times 8 - 4 \times 6) - 2(2 \times 8 - 4 \times 5) + 3(2 \times 6 - 3 \times 5) = 1(24 - 24) - 2(16 - 20) + 3(12 - 15) = 0 - 2(-4) + 3(-3) = 8 - 9 = -1$.
ત્યારબાદ,શ્રેણિક $B$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|B| = 3(3 \times 9 - 8 \times 2) - 2(2 \times 9 - 8 \times 7) + 5(2 \times 2 - 3 \times 7) = 3(27 - 16) - 2(18 - 56) + 5(4 - 21) = 3(11) - 2(-38) + 5(-17) = 33 + 76 - 85 = 24$.
ગુણધર્મ $|AB| = |A| \times |B|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|AB| = (-1) \times 24 = -24$ મળે છે.
$n \times n$ કક્ષાના શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ થાય.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
$|\operatorname{Adj}(AB)| = (-24)^2 = 576$.
કારણ કે $576 = 24^2$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2+5x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)(x+2)} + \frac{c}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
બંને બાજુ $(x+1)(x+2)(x+3)$ વડે ગુણતા:
$x^2+5x+1 = a(x+2)(x+3) + b(x+3) + c$.
$x = -1$ માટે: $(-1)^2 + 5(-1) + 1 = a(1)(2) + b(2) + c \implies -3 = 2a+2b+c$.
$x = -2$ માટે: $(-2)^2 + 5(-2) + 1 = b+c \implies -5 = b+c$.
$x = -3$ માટે: $(-3)^2 + 5(-3) + 1 = c \implies c = -5$.
$b+c = -5$ પરથી,$b-5 = -5 \implies b = 0$.
$2a+2b+c = -3$ પરથી,$2a+0-5 = -3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.
શ્રેણિક $M = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ -5 & 1\end{array}\right]$ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M)$.
$\det(M) = 1$.
$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$M^{-1} = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = D$ અસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો રેન્ક એ ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|D]$ ના રેન્ક કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
$\therefore \text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$.
શ્રેણિકનો રેન્ક હંમેશા અન-ઋણ પૂર્ણાંક હોવાથી,અને $\text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\text{Rank}(A)}{\text{Rank}([A|D])}$ એ $1$ કરતા ઓછો થાય.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D(x)$ છે. આપણને $D(x) = xA + B$ આપેલ છે.
$A$ શોધવા માટે,આપણે $D(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને $x=0$ આગળ કિંમત મેળવીએ.
$D'(0) = A$.
નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$D'(x)$ એ ત્રણ નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે જ્યાં દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન થાય છે.
ધારો કે $R_1, R_2, R_3$ એ નિશ્ચાયકની હાર છે.
$D'(x) = \begin{vmatrix} 2x+1 & 1 & 1 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ x^2+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 2x^2+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
$x=0$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$D'(0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ નિશ્ચાયક $0$ છે કારણ કે હાર પ્રમાણસર છે.
$A = 0 + [0(0 - (-3)) - 1(-3 - 9) - 2(-3 - 0)] + [0(0 - (-6)) - 1(-2 - (-6)) - 2(-2 - 0)]$.
$A = [0 + 12 + 6] + [0 - 4 + 4] = 18 + 0 = 18$.
આમ,$|A| = 18$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4\end{array}\right|$ છે.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ મળે છે.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \\ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}\right|$.
$R_2$ માંથી $(b-a)$ અને $R_3$ માંથી $(c-a)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc(b-a)(c-a) \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b+a & b^2+ab+a^2 \\ 0 & c+a & c^2+ac+a^2\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = abc(b-a)(c-a) [(c+a)(b^2+ab+a^2) - (b+a)(c^2+ac+a^2)]$.
કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $(cb^2+abc+a^2c+ab^2+a^2b+a^3) - (bc^2+abc+a^2b+ac^2+a^2c+a^3) = cb^2+ab^2-bc^2-ac^2 = b^2c-bc^2+ab^2-ac^2 = bc(b-c) + a(b-c)(b+c) = (b-c)(bc+ab+ac)$.
આમ,$\Delta = abc(b-a)(c-a)(b-c)(ab+bc+ca) = abc(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
$k(a-b)(b-c)(c-a)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = abc(ab+bc+ca)$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,તેના એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{det} A)^{n-1}$.
અહીં આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે અને તેનો નિશ્ચાયક $\operatorname{det} A = 6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-1}$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^2$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 36$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$1) 3x + 4y - 5z = -6$
$2) 2x + 3y - 4z = -7$
$3) 4x - 2y + z = 9$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$z = 9 - 4x + 2y$ મળે છે.
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x + 4y - 5(9 - 4x + 2y) = -6$
$3x + 4y - 45 + 20x - 10y = -6$
$23x - 6y = 39$ $(4)$
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2x + 3y - 4(9 - 4x + 2y) = -7$
$2x + 3y - 36 + 16x - 8y = -7$
$18x - 5y = 29$ $(5)$
સમીકરણ $(4)$ ને $5$ વડે અને $(5)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$115x - 30y = 195$
$108x - 30y = 174$
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $7x = 21 \implies x = 3$.
$x = 3$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા:
$23(3) - 6y = 39 \implies 69 - 6y = 39 \implies 6y = 30 \implies y = 5$.
$x = 3, y = 5$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$z = 9 - 4(3) + 2(5) = 9 - 12 + 10 = 7$.
આમ,$(\alpha, \beta, \gamma) = (3, 5, 7)$.
$\alpha + 3\beta - 2\gamma = 3 + 3(5) - 2(7) = 3 + 15 - 14 = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x+y+z=5$
$x+2y+az=9$
$x+2y+z=b$
આને આપણે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX=B$ માં લખી શકીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સિસ્ટમ અસંગત હોવા માટે,નિશ્ચાયક $|A|$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
$|A| = 1(2-2a) - 1(1-a) + 1(2-2) = 2-2a-1+a = 1-a$.
$|A|=0$ લેતા,આપણને $1-a=0$ મળે છે,તેથી $a=1$.
હવે,$a=1$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x+y+z=5$
$x+2y+z=9$
$x+2y+z=b$
બીજા અને ત્રીજા સમીકરણની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો $b \neq 9$ હોય,તો સિસ્ટમ બે સમાંતર સમતલો દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી (અસંગત).
તેથી,સિસ્ટમ $a=1$ અને $b \neq 9$ હોય ત્યારે અસંગત છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX=B$ ને અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય, એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$|A| = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1$
$|A| = \lambda - 5$
અનન્ય ઉકેલ માટે, આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $\lambda - 5 \neq 0$, અથવા $\lambda \neq 5$.
$\mu$ ની કિંમત અનન્ય ઉકેલના અસ્તિત્વને અસર કરતી નથી, તેથી $\mu$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(\mu \in R)$.
તેથી, અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $\lambda \neq 5$ અને $\mu \in R$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$(a-1)x - y - z = 0$
$-x + (b-1)y - z = 0$
$-x - y + (c-1)z = 0$
શૂન્યતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a-1 & -1 & -1 \\ -1 & b-1 & -1 \\ -1 & -1 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a-1)((b-1)(c-1) - 1) + 1(-(c-1) - 1) - 1(1 + (b-1)) = 0$
$(a-1)(bc - b - c + 1 - 1) + (-c + 1 - 1) - (1 + b - 1) = 0$
$(a-1)(bc - b - c) - c - b = 0$
$abc - ab - ac - bc + b + c - c - b = 0$
$abc - ab - ac - bc = 0$
તેથી,$ab + bc + ca = abc$.

(C) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+2y+\lambda z=\mu$
સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે તે માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો રેન્ક ચલની સંખ્યા $(3)$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ લખતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & \lambda & | & \mu \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & \lambda-1 & | & \mu-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & | & \mu-10 \end{bmatrix}$
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\lambda-3=0$ અને $\mu-10=0$.
આમ,$\lambda=3$ અને $\mu=10$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ: $2 \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\operatorname{Cos}^{-1} x + (\operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x) = \frac{11 \pi}{6}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\operatorname{Cos}^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi}{6}$.
$\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi - 3 \pi}{6} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4 \pi}{3}$.
જોકે,$\operatorname{Cos}^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
કારણ કે $\frac{4 \pi}{3} > \pi$,તેથી $x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2\operatorname{Tan}^{-1}(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ થાય,જ્યાં $|x| < 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y = 2\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ મળે છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.
વિકલનમાં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{2}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\cot \left(\cos ^{-1} x\right)=\sec \left\{\tan ^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x = \cot ^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ અને $\tan ^{-1} \theta = \sec ^{-1} \left(\sqrt{1+\theta^2}\right)$,તેથી:
$\cot \left(\cot ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \sec \left\{\sec ^{-1} \sqrt{1+\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)^2}\right\}$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2-a^2}} = \sqrt{\frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$
$x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2)$
$x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2 - x^2 b^2$
$2 x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2$
$x^2(2 b^2 - a^2) = b^2$
$x^2 = \frac{b^2}{2 b^2 - a^2}$
$x = \frac{b}{\sqrt{2 b^2 - a^2}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ અને $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
પગલું $1$: $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ની કિંમત શોધો.
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-1/2}}{1/\sqrt{2}}\right) = \ln\left(\frac{1+1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}+1)$.
પગલું $2$: $\operatorname{cosech}^{-1}(-1)$ ની કિંમત શોધો.
$\operatorname{cosech}^{-1}(-1) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+(-1)^2}}{-1}\right) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{2}}{-1}\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right) = \ln((\sqrt{2}+1)^{-1}) = -\ln(\sqrt{2}+1)$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\operatorname{cosech}^{-1}(-1) = \ln(\sqrt{2}+1) - \ln(\sqrt{2}+1) = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\operatorname{Sin}^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x) = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
$2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2} = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $\sin(2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2$.
$-\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 3x - 2$.
$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \operatorname{Sin}^{-1} x$,આપણને $\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 1 - 2x^2$ મળે છે.
તેથી,$-(1 - 2x^2) = 3x - 2$.
$2x^2 - 1 = 3x - 2 \implies 2x^2 - 3x + 1 = 0$.
$(2x - 1)(x - 1) = 0$.
આમ,$x = 1$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
$x = 1$ ચકાસતા: $\operatorname{Sin}^{-1}(1) - \operatorname{Cos}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. જમણી બાજુ: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(1) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$. તેથી $x = 1$ ઉકેલ છે.
$x = \frac{1}{2}$ ચકાસતા: $\operatorname{Sin}^{-1}(\frac{1}{2}) - \operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. જમણી બાજુ: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(\frac{1}{2}) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. તેથી $x = \frac{1}{2}$ ઉકેલ છે.
આપેલ છે કે $\alpha > \beta$,તેથી $\alpha = 1$ અને $\beta = \frac{1}{2}$.
તેથી $3\alpha + 4\beta = 3(1) + 4(\frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $S_a(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a)$ અને $S_b(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
$S_a(x) = S_b(x)$ લેતા,આપણને મળે $\operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
નિત્યસમ $\operatorname{Sec}^{-1}(y) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^{-1}\left(\frac{a}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$.
જો $x = ab$ લઈએ,તો $\cos^{-1}\left(\frac{a}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)$.
આ સમીકરણ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$ માં પરિણમે છે,જે સાચું છે.
તેથી,$x = ab$ એ ઉકેલ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{\sin([x]\pi) + \tan([x]\pi)}{1 + [x]^2 + [x]^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $R$ છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$[x] = n$,જ્યાં $n \in Z$.
આને વિધેયમાં મૂકતા,આપણને $f(x) = \frac{\sin(n\pi) + \tan(n\pi)}{1 + n^2 + n^4}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\sin(n\pi) = 0$ અને $\tan(n\pi) = 0$ થાય છે.
તેથી,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = \frac{0 + 0}{1 + n^2 + n^4} = 0$ થાય છે.
વિધેયનું મૂલ્ય હંમેશા $0$ હોવાથી,વિધેયનો વિસ્તાર સિંગલટન ગણ $\{0\}$ છે.
આમ,પ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $\{0\}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f: A \rightarrow R$ જ્યાં $A = \{-4, -2, -1, 0, 3, 5\}$ અને $f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{જો } x > 3 \\ x^2 + 1 & \text{જો } -3 \leq x \leq 3 \\ 2x - 3 & \text{જો } x < -3 \end{cases}$ છે.
આપણે $A$ ના દરેક ઘટક માટે $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$x = -4$ $(x < -3)$ માટે: $f(-4) = 2(-4) - 3 = -11$.
$x = -2$ $(-3 \leq x \leq 3)$ માટે: $f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$.
$x = -1$ $(-3 \leq x \leq 3)$ માટે: $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$.
$x = 0$ $(-3 \leq x \leq 3)$ માટે: $f(0) = 0^2 + 1 = 1$.
$x = 3$ $(-3 \leq x \leq 3)$ માટે: $f(3) = 3^2 + 1 = 10$.
$x = 5$ $(x > 3)$ માટે: $f(5) = 3(5) - 1 = 14$.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર $\{-11, 5, 2, 1, 10, 14\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$.
$R_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 2(1 + \cos^2 \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$,તેથી $1 \leq 1 + \cos^2 \theta \leq 2$.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \leq 2(1 + \cos^2 \theta) \leq 4$.
તેથી,$\Delta \in [2, 4]$.

(A) આપેલ વિધેયોના વિસ્તાર નીચે મુજબ છે:
$1$. $f(x) = |x|$ માટે,આઉટપુટ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે. આમ,$A-I$ અથવા $A-III$.
$2$. $f(x) = x^2$ માટે,આઉટપુટ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે. આમ,$B-I$ અથવા $B-III$.
$3$. $f(x) = x^3$ માટે,વિધેય તમામ વાસ્તવિક કિંમતો આવરી લે છે,તેથી વિસ્તાર $\mathbb{R}$ છે. આમ,$C-II$.
$4$. $f(x) = \text{sgn}(x)$ માટે,સિગ્નમ વિધેય $x < 0$ માટે $-1$,$x = 0$ માટે $0$,અને $x > 0$ માટે $1$ આપે છે. તેથી,વિસ્તાર $\{-1, 0, 1\}$ છે. આમ,$D-IV$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે,$\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $f(x) = \operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} x$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1} x$ મળે.
$\operatorname{Sin}^{-1} x$ અને $\operatorname{Cos}^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
સીમાબિંદુઓ પર કિંમતો શોધતા:
$x = -1$ માટે,$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
$x = 1$ માટે,$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\operatorname{Tan}^{-1} x$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ છે.

(B) એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $x_1, x_2 \in [0, \infty)$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$ છે.
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{x}{1+x}$.
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$.
$x \in [0, \infty)$ માટે,આપણને $y \in [0, 1)$ મળે છે.
સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ હોવાથી,$y = 2$ જેવી કિંમતો માટે પ્રદેશમાં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{4x_1-3}{x_1-1} = \frac{4x_2-3}{x_2-1}$
$(4x_1-3)(x_2-1) = (4x_2-3)(x_1-1)$
$4x_1x_2 - 4x_1 - 3x_2 + 3 = 4x_1x_2 - 4x_2 - 3x_1 + 3$
$-4x_1 - 3x_2 = -4x_2 - 3x_1$
$x_1 = x_2$.
આમ,વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{4x-3}{x-1}$.
$y(x-1) = 4x-3$
$yx - y = 4x - 3$
$yx - 4x = y - 3$
$x(y-4) = y-3$
$x = \frac{y-3}{y-4}$.
દરેક $y \in R-\{4\}$ માટે,$x = \frac{y-3}{y-4} \in R-\{1\}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આમ,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(D) આપેલ વિધેય $\sigma: N \rightarrow Z$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \\ -\frac{n-1}{2} & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \end{cases}$
કિસ્સો-$I$: જો $n$ બેકી હોય,તો $n = 2k$ લો જ્યાં $k \in N$. તેથી $\sigma(2k) = \frac{2k}{2} = k$. જેમ $k$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots$ લેવામાં આવે છે,તેમ $\sigma(n)$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots$ (બધી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ) મળે છે.
કિસ્સો-$II$: જો $n$ એકી હોય,તો $n = 2k-1$ લો જ્યાં $k \in N$. તેથી $\sigma(2k-1) = -\frac{(2k-1)-1}{2} = -\frac{2k-2}{2} = -(k-1) = 1-k$. જેમ $k$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots$ લેવામાં આવે છે,તેમ $\sigma(n)$ ની કિંમતો $0, -1, -2, \dots$ (બધી અ-ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ) મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$\sigma$ નો વિસ્તાર ${0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots} = Z$ છે.
દરેક અલગ $n \in N$ માટે $Z$ માં અલગ પૂર્ણાંક મળે છે,તેથી વિધેય એક-એક છે.
$\sigma$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $Z$ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$\sigma$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $g \circ f: A \rightarrow C$ એક-એક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ હોય,તો તમામ $x_1, x_2 \in A$ માટે $x_1 = x_2$ થાય.
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ થાય.
જેમ કે $g \circ f$ એક-એક છે,આ સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક હોવું જ જોઈએ.
જોકે,$g$ નું એક-એક હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $A = \{1\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{4\}$,$f(1) = 2$,$g(2) = 4$,$g(3) = 4$ હોય,તો $g \circ f(1) = 4$ એક-એક છે,પરંતુ $g$ એક-એક નથી.
તેથી,$f$ એક-એક છે અને $g$ એક-એક હોવું જરૂરી નથી.

(C) વિધેય બાયજેક્શન ત્યારે જ કહેવાય જો તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.
પ્રદેશ અને સહપ્રદેશ $A = [-1, 1]$ માટે:
$A) f(x) = x|x|$ એ બાયજેક્શન છે કારણ કે તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $[-1, 1]$ ને $[-1, 1]$ પર મેપ કરે છે.
$B) f(x) = x^3$ એ બાયજેક્શન છે કારણ કે તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $[-1, 1]$ ને $[-1, 1]$ પર મેપ કરે છે.
$C) f(x) = x^2$ એ બાયજેક્શન નથી. તે એક-એક નથી કારણ કે $f(1) = f(-1) = 1$. તે વ્યાપ્ત પણ નથી કારણ કે તેનો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે,જે સહપ્રદેશ $[-1, 1]$ જેટલો નથી.
$D) f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ એ બાયજેક્શન છે કારણ કે તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $[-1, 1]$ ને $[-1, 1]$ પર મેપ કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f:(5,10) \rightarrow (7,12)$ એ $f(x) = x + 2\left[\frac{x}{5}\right]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$x \in (5, 10)$ માટે,$\frac{x}{5}$ ની કિંમત $(1, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $\left[\frac{x}{5}\right] = 1$ થાય,તમામ $x \in (5, 10)$ માટે.
વિધેયની વ્યાખ્યામાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x + 2(1) = x + 2$ મળે છે.
કારણ કે $f(x) = x + 2$ એ સુરેખ વિધેય છે,તે ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે અને તેથી તે એક-એક (injective) છે.
તે વ્યાપ્ત (surjective) છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે વિસ્તાર શોધીએ: જેમ $x$ એ $5$ થી $10$ સુધી બદલાય છે,તેમ $f(x)$ એ $5+2=7$ થી $10+2=12$ સુધી બદલાય છે. આમ,વિસ્તાર $(7, 12)$ છે,જે સહપ્રદેશ સાથે મેળ ખાય છે.
$f$ એ બાયજેક્ટિવ (bijective) હોવાથી,$f^{-1}(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ધારો કે $y = x + 2$,તો $x = y - 2$.
આમ,$f^{-1}(x) = x - 2$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
આપણે $f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$f^2(x) = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ ગણો.
ત્યારબાદ,$f^4(x) = (f^2(x))^2 = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})^2 = (x^2)^2 + 2^2 + (\frac{1}{x^2})^2 + 2(x^2)(2) + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + 2(2)(\frac{1}{x^2}) = x^4 + 4 + \frac{1}{x^4} + 4x^2 + 2 + \frac{4}{x^2} = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ ગણો.
હવે,$f(x^4) = x^4 + \frac{1}{x^4}$ ગણો.
વળી,$4f^2(x) = 4(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) = 4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x) = (x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}) - (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2})$.
$= x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4} - x^4 - \frac{1}{x^4} - 4x^2 - 8 - \frac{4}{x^2}$.
$= 6 - 8 = -2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x - f(x) = 19[\frac{x}{19}] - 90[\frac{f(x)}{90}]$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x - 19[\frac{x}{19}] = f(x) - 90[\frac{f(x)}{90}]$ મળે છે.
આ $x \pmod{19} = f(x) \pmod{90}$ ને સમાન છે.
ધારો કે $x = 1990$. તો $1990 = 19 \times 104 + 14$,તેથી $1990 \equiv 14 \pmod{19}$.
આમ,$f(1990) \equiv 14 \pmod{90}$.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $f(1990) = 90k + 14$.
આપણને આપેલ છે કે $1990 < f(1990) < 2100$.
$f(1990) = 90k + 14$ મૂકતા,આપણને $1990 < 90k + 14 < 2100$ મળે છે.
$1976 < 90k < 2086$.
$90$ વડે ભાગતા,આપણને $21.95 < k < 23.17$ મળે છે.
$k$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k = 22$ અથવા $k = 23$.
જો $k = 22$ હોય,તો $f(1990) = 90(22) + 14 = 1980 + 14 = 1994$.
જો $k = 23$ હોય,તો $f(1990) = 90(23) + 14 = 2070 + 14 = 2084$.
બંને કિંમતો શરત $1990 < f(1990) < 2100$ નું પાલન કરે છે.
આમ,$f(1990)$ માટે $2$ શક્ય કિંમતો છે.

(B) $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$. જેમ $x \to \frac{\pi}{2}$,તેમ $h \to 0$.
તેથી $\pi - 2x = \pi - 2(\frac{\pi}{2} + h) = -2h$.
વળી,$\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + h) = \cos h$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{(-2h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{4h^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos h = 2 \sin^2(\frac{h}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{h}{2})}{4h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(h/2)}{h} \right)^2 = \lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(h/2)}{2(h/2)} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
આમ,$k = \frac{1}{8}$.

(B) $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ ની કિંમત શોધવી પડશે.
$x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2}$ આપેલ છે.
લક્ષના સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(\theta)}{x^2} = \frac{\theta^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left[ \frac{1 - \cos(bx)}{x^2} - \frac{1 - \cos(ax)}{x^2} \right]$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left[ \frac{2 \sin^2(bx/2)}{x^2} - \frac{2 \sin^2(ax/2)}{x^2} \right]$
$= 2 \left( \frac{b}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{b^2 - a^2}{2}$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \frac{b^2 - a^2}{2}$ અને $f(0) = \frac{b^2 - a^2}{2}$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(B) ધારો કે $x = n + f$,જ્યાં $n = [x]$ એ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq f < 1$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
તેથી $f(x) = n + \sqrt{f}$ થાય.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$x \to n^+$ લક્ષ તપાસતા,$x = n + h$ જ્યાં $h \to 0^+$,તેથી $[x] = n$ અને $x - [x] = h$. આમ,$\lim_{x \to n^+} f(x) = n + \sqrt{0} = n$.
$x \to n^-$ લક્ષ માટે,$x = n - h$ લો જ્યાં $h \to 0^+$. તેથી $[x] = n - 1$ અને $x - [x] = 1 - h$. આમ,$\lim_{x \to n^-} f(x) = (n - 1) + \sqrt{1 - 0} = n - 1 + 1 = n$.
કારણ કે $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^-} f(x) = f(n) = n$,વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો $n \in Z$ પર સતત છે.
વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર સતત હોવાથી અને કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકો વચ્ચે પણ સતત હોવાથી,વિધેય $f(x)$ તમામ $x \in R$ માટે સતત છે.

(A) $f$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = \frac{1}{2}$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos ax}{x \sin x}$.
નિત્યસમ $1-\cos ax = 2 \sin^{2}(\frac{ax}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}(\frac{ax}{2})}{x \sin x}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{\sin^{2}(ax/2)}{x^{2}}}{\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (\frac{a}{2})^{2} \cdot (\frac{\sin(ax/2)}{ax/2})^{2}}{\frac{\sin x}{x}}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી લક્ષ $\frac{2 \cdot (a^{2}/4)}{1} = \frac{a^{2}}{2}$ થાય છે.
આને $f(0)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{a^{2}}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} = 1$.

(C) વિધેય $f(x)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} x-1, & x \leq 1 \\ 2-x^2, & 1 < x \leq 3 \\ x-10, & 3 < x < 5 \\ 2x, & x \geq 5 \end{cases}$
$f(x)$ એ અંતરાલો $(-\infty, 1), (1, 3), (3, 5)$ અને $(5, \infty)$ માં સતત છે. આપણે $x=1, 3$ અને $5$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ.
$(i)$ $x=1$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1-1 = 0$
$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = 2-(1)^2 = 1$
અહીં $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$,તેથી $f$ એ $x=1$ આગળ અસતત છે.
(ii) $x=3$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = 2-(3)^2 = 2-9 = -7$
$f(3) = 2-(3)^2 = -7$
$\lim_{x \rightarrow 3^+} f(x) = 3-10 = -7$
અહીં $\lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \rightarrow 3^+} f(x)$,તેથી $f$ એ $x=3$ આગળ સતત છે.
(iii) $x=5$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow 5^-} f(x) = 5-10 = -5$
$\lim_{x \rightarrow 5^+} f(x) = 2(5) = 10$
અહીં $\lim_{x \rightarrow 5^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 5^+} f(x)$,તેથી $f$ એ $x=5$ આગળ અસતત છે.
આમ,અસતત બિંદુઓનો ગણ $\{1, 5\}$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = [x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ એ $x$ ની તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો માટે અસતત હોય છે.
વિધેયનો પ્રદેશ $(-7, 7)$ આપેલ છે.
અંતરાલ $(-7, 7)$ માં આવતા પૂર્ણાંકો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
આ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરતા,આપણને કુલ $13$ કિંમતો મળે છે.
તેથી,વિધેય $f(x) = [x]$ ને અંતરાલ $(-7, 7)$ માં $13$ અસતત બિંદુઓ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એવા બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી જ્યાં માનાંકની અંદરની કિંમત શૂન્ય થાય,અથવા જ્યાં વિધેય પોતે અસતત હોય.
$1$. માનાંક વિધેયો $|x - 0.5|$ અને $|x - 1|$ અનુક્રમે $x = 0.5$ અને $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
$2$. વિધેય $\tan x$ એ $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી (અને તેથી વિકલનીય પણ નથી). અંતરાલ $(0, 2)$ માં,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ આવે છે,જે આ અંતરાલમાં છે.
$3$. આ બધાને જોડતા,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0.5, x = 1$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) રોલના પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c \in (1, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime}(c) = 0$ થાય.
કોઈપણ $x \in [1, 3]$ માટે,$f^{\prime}$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા,$x$ અને $c$ ની વચ્ચે એક બિંદુ $d$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime}(x) - f^{\prime}(c) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ થાય.
$f^{\prime}(c) = 0$ હોવાથી,$f^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ મળે.
$|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ આપેલ હોવાથી,$|f^{\prime}(x)| = |f^{\prime \prime}(d)| \cdot |x - c| \leq 2 \cdot |x - c|$ થાય.
$x, c \in [1, 3]$ હોવાથી,$|x - c|$ ની મહત્તમ કિંમત $3 - 1 = 2$ છે.
આમ,$|f^{\prime}(x)| \leq 2 \cdot 2 = 4$,જે સૂચવે છે કે $-4 \leq f^{\prime}(x) \leq 4$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $y = e^{3x} \sin 4x$.
ગુણાકારનો નિયમ $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ વાપરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{3x} \frac{d}{dx}(\sin 4x) + \sin 4x \frac{d}{dx}(e^{3x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{3x} (4 \cos 4x) + \sin 4x (3 e^{3x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{3x} (3 \sin 4x + 4 \cos 4x)$
$3 \sin 4x + 4 \cos 4x$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$\frac{dy}{dx} = 5 e^{3x} \left( \frac{3}{5} \sin 4x + \frac{4}{5} \cos 4x \right)$
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ અને $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,તેથી $\tan \alpha = \frac{4}{3}$,એટલે કે $\alpha = \tan^{-1} \frac{4}{3}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = 5 e^{3x} (\cos \alpha \sin 4x + \sin \alpha \cos 4x)$
નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 5 e^{3x} \sin(4x + \alpha) = 5 e^{3x} \sin \left(4x + \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)$.