AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો પરિકેન્દ્ર $O$ માં છેદે છે.
$x - y + 5 = 0$ અને $x + 2y = 0$ ને ઉકેલતા,પરિકેન્દ્ર $O = (-\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ મળે છે.
બિંદુ $A(1, -2)$ નું રેખા $x - y + 5 = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $B(-7, 6)$ મળે છે.
બિંદુ $A(1, -2)$ નું રેખા $x + 2y = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $C(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ મળે છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $14x + 23y - 40 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $a^2+b^2+c^2=1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ થાય કારણ કે $a, b, c$ ભિન્ન છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$ મળે.
$a^2+b^2+c^2=1$ મૂકતા,$2(1) - 2(ab+bc+ca) > 0$ મળે,એટલે કે $2 > 2(ab+bc+ca)$,અથવા $ab+bc+ca < 1$.
આમ,$ab+bc+ca$ ની કિંમત $1$ કરતા ઓછી છે.

(C) આપેલ છે $\frac{x^4+24 x^2+28}{\left(x^2+1\right)^3} = \frac{A x+B}{x^2+1} + \frac{C x+D}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^3}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)^3$ વડે ગુણતા:
$x^4+24 x^2+28 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1) + (E x+F)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^4+24 x^2+28 = A x^5 + B x^4 + (2A+C) x^3 + (2B+D) x^2 + (A+C+E) x + (B+D+F)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 0, B = 1, C = 0, D = 22, E = 0, F = 5$.
તેથી,$A+B+C+D+E+F = 0+1+0+22+0+5 = 28$.

(C) આપેલ છે:
$\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
જમણી બાજુના પદોને જોડતા:
$\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
છેદ સમાન હોવાથી,અંશને સરખાવતા:
$13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
$13x + 43 = (A+2B)x + (6A+5B)$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોને સરખાવતા:
$A + 2B = 13$ $(i)$
$6A + 5B = 43$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$6A + 12B = 78$ $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$7B = 35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A = 3$
તેથી,$A^2 + B^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2x^2+1}{x^3-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$.
$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ હોવાથી,$2x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2+1 = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા: $2x^2 + 0x + 1 = (A+B)x^2 + (A-B+C)x + (A-C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+B = 2$
$2) A-B+C = 0$
$3) A-C = 1$
$(3)$ પરથી,$C = A-1$. તેને $(2)$ માં મૂકતા: $A-B+(A-1) = 0 \Rightarrow 2A-B = 1$.
આને $(1)$ માં ઉમેરતા: $(2A-B) + (A+B) = 1+2$ $\Rightarrow 3A = 3$ $\Rightarrow A = 1$.
તેથી $B = 2-A = 1$ અને $C = A-1 = 0$.
અંતે,$7A + 2B + C = 7(1) + 2(1) + 0 = 9$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$ છે. અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે પહેલા બહુપદી ભાગાકાર કરીશું.\\ છેદ $(2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3-3x^2-11x+6$ છે.\\ $x^3$ ને $2x^3-3x^2-11x+6$ વડે ભાગતા,ભાગફળ $A = 1/2$ મળે છે.\\ પદાવલિ $\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ બને છે.\\ કિંમતો મૂકતા:\\ $B = -1/50$,$C = -8/25$,$D = 27/25$ મળે છે.\\ આમ,$A+B+C = 1/2 - 1/50 - 8/25 = \frac{25-1-16}{50} = \frac{8}{50} = 4/25$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{(1-2x)^2(1-3x)} = \frac{A}{1-3x} + \frac{B}{1-2x} + \frac{C}{(1-2x)^2}$.
બંને બાજુ $(1-2x)^2(1-3x)$ વડે ગુણતા: $1 = A(1-2x)^2 + B(1-2x)(1-3x) + C(1-3x)$.
$x = \frac{1}{3}$ લેતા: $1 = A(1 - \frac{2}{3})^2 = A(\frac{1}{3})^2 = \frac{A}{9} \implies A = 9$.
$x = \frac{1}{2}$ લેતા: $1 = C(1 - \frac{3}{2}) = C(-\frac{1}{2}) \implies C = -2$.
$x = 0$ લેતા: $1 = A(1)^2 + B(1)(1) + C(1) = A + B + C$.
$A = 9$ અને $C = -2$ મૂકતા: $1 = 9 + B - 2 \implies 1 = 7 + B \implies B = -6$.
આમ,ગણ $\{9, -6, -2\}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $\min \{9, -6, -2\} = -6$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,બહુપદી ભાગાકાર કરતા $A = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બાકી રહેલ પદ માટે: $\frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
$C$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $(x+2)$ વડે ગુણીને $x = -2$ મુકતા:
$C = \left[ \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x-3)} \right]_{x=-2} = \frac{6 - 11 - 3}{(-5)(-5)} = \frac{-8}{25}$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{4 x^3+16 x+7}{\left(x^2+4\right)^2}=\frac{A x+B}{x^2+4}+\frac{C x+D}{\left(x^2+4\right)^2}$
બંને બાજુ $(x^2+4)^2$ વડે ગુણતા: $4 x^3+16 x+7 = (A x+B)(x^2+4) + (C x+D)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $4 x^3+16 x+7 = A x^3 + B x^2 + 4Ax + 4B + Cx + D$
$4 x^3+16 x+7 = A x^3 + B x^2 + (4A+C)x + (4B+D)$
$x$ ના સમાન ઘાતાંકોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3$: $A = 4$
$x^2$: $B = 0$
$x^1$: $4A + C = 16$ $\Rightarrow 4(4) + C = 16$ $\Rightarrow 16 + C = 16$ $\Rightarrow C = 0$
અચળ પદ: $4B + D = 7$ $\Rightarrow 4(0) + D = 7$ $\Rightarrow D = 7$
કિંમતો $A=4, B=0, C=0, D=7$ છે.
શૂન્યતર કિંમતો $A$ અને $D$ છે.
તેથી,શૂન્યતર કિંમતોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $\gamma, \delta$ એ $x^2+bx+a=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = -a, \alpha\beta = b$
$\gamma+\delta = -b, \gamma\delta = a$
આપેલ છે કે બીજ વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે:
$|\alpha-\beta| = |\gamma-\delta|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\alpha-\beta)^2 = (\gamma-\delta)^2$
$(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta$
$(-a)^2 - 4b = (-b)^2 - 4a$
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$
$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$
$(a-b)(a+b) + 4(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b+4) = 0$
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$a-b \neq 0$ થાય.
તેથી,$a+b+4 = 0$.

(A) આપેલ છે $(x+a)(x+1991)+1 = (x+b)(x+c)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + (a+1991)x + 1991a + 1 = x^2 + (b+c)x + bc$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$b+c = a+1991$ અને $bc = 1991a+1$ મળે.
$b$ અને $c$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (b+c)x + bc = 0$ ના બીજ હોવાથી,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,ધારો કે $m^2$.
$D = (b+c)^2 - 4bc = (a+1991)^2 - 4(1991a+1) = m^2$.
$(a-1991)^2 - 4 = m^2$.
$(a-1991)^2 - m^2 = 4$.
$(a-1991-m)(a-1991+m) = 4$.
ધારો કે $X = a-1991-m$ અને $Y = a-1991+m$. તો $XY = 4$.
$Y-X = 2m$ હોવાથી,$X$ અને $Y$ સમાન યુગ્મતા ધરાવે છે. તેમનો ગુણાકાર $4$ (બેકી) હોવાથી,બંને બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
શક્ય જોડીઓ $(X, Y)$ એ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ છે.
કિસ્સો $1$: $a-1991 = 2 \Rightarrow a = 1993$.
કિસ્સો $2$: $a-1991 = -2 \Rightarrow a = 1989$.
આમ,$a \in \{1989, 1993\}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0$ છે.
બીજ ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac > 0$
$[-2(1 + 3m)]^2 - 4(1)(7(3 + 2m)) > 0$
$4(1 + 9m^2 + 6m) - 28(3 + 2m) > 0$
$4 + 36m^2 + 24m - 84 - 56m > 0$
$36m^2 - 32m - 80 > 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$9m^2 - 8m - 20 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(9m + 10)(m - 2) > 0$
સમીકરણ $9m^2 - 8m - 20 = 0$ ના બીજ $m = 2$ અને $m = -\frac{10}{9}$ છે.
આમ,અસમતા $m \in (-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ માટે સાચી છે.
$S$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\mathbb{R}$ ના ગણનો ઉપગણ હોવાથી અને અંતરાલ $(-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ માં અસંખ્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$S$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા અનંત છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-10x-8=0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 - 10\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 - 8 = 10\alpha$
$\beta^2 - 10\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 - 8 = 10\beta$
આપણે $\frac{a_{10}-8a_8}{5a_9}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ મૂકતા:
$\frac{(\alpha^{10}-\beta^{10}) - 8(\alpha^8-\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{(\alpha^{10}-8\alpha^8) - (\beta^{10}-8\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2-8) - \beta^8(\beta^2-8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$\alpha^2-8=10\alpha$ અને $\beta^2-8=10\beta$ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\alpha^8(10\alpha) - \beta^8(10\beta)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10\alpha^9 - 10\beta^9}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10(\alpha^9-\beta^9)}{5(\alpha^9-\beta^9)} = 2$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+(2m+1)x+m=0$ ના બીજ સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D=0$ થવો જોઈએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
અહીં,$a=1$,$b=(2m+1)$,અને $c=m$ છે.
$D=0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(2m+1)^2 - 4(1)(m) = 0$
$4m^2 + 4m + 1 - 4m = 0$
$4m^2 + 1 = 0$
$4m^2 = -1$
$m^2 = -\frac{1}{4}$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $m$ નો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ $(m^2 \ge 0)$ હોવો જોઈએ,તેથી $m$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,$m$ ની વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^n$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
આપણે પદાવલિ $E = (ac^n)^{1/(n+1)} + (a^nc)^{1/(n+1)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$c = a\alpha^{n+1}$ મૂકતા:
$E = (a(a\alpha^{n+1})^n)^{1/(n+1)} + (a^n(a\alpha^{n+1}))^{1/(n+1)}$
$E = (a^{n+1} \alpha^{n(n+1)})^{1/(n+1)} + (a^{n+1} \alpha^{n+1})^{1/(n+1)}$
$E = a\alpha^n + a\alpha$
$E = a(\alpha^n + \alpha)$
$\alpha^n + \alpha = -\frac{b}{a}$ મૂકતા:
$E = a(-\frac{b}{a}) = -b$.

(A) આપેલ છે $\frac{x_1^5+x_2^5}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$.
નિત્યસમ $a^5+b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(x_1^2+x_2^2)(x_1^3+x_2^3) - x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$
$(x_1^2+x_2^2) - \frac{x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)} = \frac{11}{3}$
અહીં $x_1^2+x_2^2 = 5$ હોવાથી,$5 - \frac{x_1^2x_2^2}{5-x_1x_2} = \frac{11}{3}$ મળે.
ધારો કે $x_1x_2 = t$. તો $5 - \frac{t^2}{5-t} = \frac{11}{3}$.
$3(25 - 5t - t^2) = 55 - 11t \Rightarrow 3t^2 + 4t - 20 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = 2$ અથવા $t = -10/3$ મળે.
જો $t = 2$ હોય,તો $(x_1+x_2)^2 = x_1^2+x_2^2 + 2x_1x_2 = 5 + 2(2) = 9$,તેથી $x_1+x_2 = \pm 3$.
જો $t = -10/3$ હોય,તો $(x_1+x_2)^2 = 5 + 2(-10/3) = -5/3 < 0$,જે વાસ્તવિક બીજ માટે શક્ય નથી.
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 \pm 3x + 2 = 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
ધારો કે નવા સમીકરણના બીજ $t = \sqrt{5} \alpha$ અને $t = \sqrt{5} \beta$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{t}{\sqrt{5}}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(\frac{t}{\sqrt{5}})^2 + b(\frac{t}{\sqrt{5}}) + c = 0$
$\frac{a t^2}{5} + \frac{b t}{\sqrt{5}} + c = 0$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા:
$a t^2 + 5 \frac{b t}{\sqrt{5}} + 5 c = 0$
$a t^2 + \sqrt{5} b t + 5 c = 0$
$t$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $a x^2 + \sqrt{5} b x + 5 c = 0$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$ મળે છે.
$a^2+b^2+c^2 = 1$ હોવાથી,$2(1) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $ab+bc+ca \leq 1$.
ઉપરાંત,આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 \geq 0$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ મળે છે.
$a^2+b^2+c^2 = 1$ મૂકતા,આપણને $1 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab+bc+ca \geq -\frac{1}{2}$.
તેથી,$ab+bc+ca$ નો વિસ્તાર $[-\frac{1}{2}, 1]$ છે.
અંતિમ મૂલ્યોનો ગણ $\{\frac{-1}{2}, 1\}$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
આપેલ છે કે $\alpha+\beta=11$ અને $\alpha^2+\beta^2=61$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા: $(11)^2 = 61 + 2\alpha\beta$.
$121 = 61 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = 60$ $\Rightarrow \alpha\beta = 30$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 11x + 30 = 0$.

(D) આપેલ છે કે,$\alpha$ અને $\beta$ એ $2x^2 + 6x + k = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3$ અને $\alpha\beta = \frac{k}{2}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{(-3)^2 - 2(k/2)}{k/2} = \frac{9 - k}{k/2} = \frac{18 - 2k}{k} = \frac{18}{k} - 2$.
$k < 0$ હોવાથી,ધારો કે $f(k) = \frac{18}{k} - 2$.
જેમ $k$ વધુ ઋણ થાય (એટલે કે $k \to -\infty$),તેમ $\frac{18}{k} \to 0$,તેથી $f(k) \to -2$.
$k < 0$ માટે,પદાવલિ $\frac{18}{k} - 2$ હંમેશા $-2$ કરતા નાની હોય છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $\left[\frac{18}{k} - 2\right]$ ની $k < 0$ માટે મહત્તમ કિંમત $-2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan 30^{\circ}$ અને $\tan 15^{\circ}$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
બીજનો સરવાળો: $-a = \tan 30^{\circ} + \tan 15^{\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}$.
તેથી,$a = -\frac{4}{3+\sqrt{3}}$.
બીજનો ગુણાકાર: $b = \tan 30^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}$.
હવે,$1+a-b = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-4-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = 0$.

(A) આપણે $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2}$ પદાવલિ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$.
$(x-1)(x^2+1)^2$ વડે ગુણતા,આપણને $x = A(x^2+1)^2 + (Bx+C)(x-1)(x^2+1) + (Dx+E)(x-1)$ મળે છે.
$x=1$ મૂકતા,$1 = A(2)^2$,તેથી $A = \frac{1}{4}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા અથવા $x$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $B = -\frac{1}{4}$,$C = -\frac{1}{4}$,$D = -\frac{1}{2}$,અને $E = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2} = \frac{1}{4(x-1)} - \frac{x+1}{4(x^2+1)} + \frac{-x/2 + 1/2}{(x^2+1)^2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{4}\left[\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2+1}\right] + \frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{(x^2+1)^2}\right]$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$y = \frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{(x^2+1)^2}\right]$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|x-2|^2+|x-2|-2=0$
ધારો કે $y = |x-2|$. કારણ કે $|x-2| \geq 0$,તેથી $y \geq 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $y^2 + y - 2 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(y+2)(y-1) = 0$.
આથી $y = -2$ અથવા $y = 1$ મળે છે.
$y \geq 0$ હોવાથી,આપણે $y = -2$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$|x-2| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $x-2 = 1$ અથવા $x-2 = -1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 3$ અથવા $x = 1$.
વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો $3 + 1 = 4$ થાય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (x-a)(x-c) + 2(x-b)(x-d)$.
$f(x)$ એ ધન અગ્ર સહગુણક $(3x^2)$ વાળું દ્વિઘાત બહુપદી છે,તેથી જો વિવેચક $D > 0$ હોય તો બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન મળે.
$x=a, b, c, d$ માટે $f(x)$ ની કિંમતો તપાસતા:
$f(a) = 2(a-b)(a-d) > 0$ (કારણ કે $a < b$ અને $a < d$)
$f(b) = (b-a)(b-c) < 0$ (કારણ કે $b > a$ અને $b < c$)
$f(c) = 2(c-b)(c-d) < 0$ (કારણ કે $c > b$ અને $c < d$)
$f(d) = (d-a)(d-c) > 0$ (કારણ કે $d > a$ અને $d > c$)
$f(a) > 0$ અને $f(b) < 0$ હોવાથી,$(a, b)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે.
$f(c) < 0$ અને $f(d) > 0$ હોવાથી,$(c, d)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $3^{x+1}+3^{-x+1}=10$ છે.
આને $3(3^x) + \frac{3}{3^x} = 10$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = 3^x$. તો સમીકરણ $3y + \frac{3}{y} = 10$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને $3y^2 - 10y + 3 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3y^2 - 9y - y + 3 = 0 \Rightarrow 3y(y-3) - 1(y-3) = 0$.
તેથી,$(3y-1)(y-3) = 0$,જે $y = 3$ અથવા $y = \frac{1}{3}$ આપે છે.
$y = 3^x$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$.
કિસ્સો $2$: $3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$.
ધન વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 1$ છે.
તેથી,માત્ર $1$ ધન વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{13}{6}$ છે.
ધારો કે $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. $t$ વ્યાખ્યાયિત અને વાસ્તવિક હોવા માટે,$\frac{x}{1-x} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \in (0, 1)$.
સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$ બને છે.
$6t$ વડે ગુણતા,આપણને $6t^2 - 13t + 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2t - 3)(3t - 2) = 0$,તેથી $t = \frac{3}{2}$ અથવા $t = \frac{2}{3}$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow 4x = 9 - 9x$ $\Rightarrow 13x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{9}{13}$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 13x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{13}$.
બંને કિંમતો $x = \frac{9}{13}$ અને $x = \frac{4}{13}$ એ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે.
આમ,$2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4^{x} - 3^{x - \frac{1}{2}} = 3^{x + \frac{1}{2}} - 2^{2x - 1}$
પદોને ગોઠવતા: $4^{x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + \frac{1}{2}} + 3^{x - \frac{1}{2}}$
કારણ કે $2^{2x - 1} = \frac{4^{x}}{2}$,તેથી: $4^{x} + \frac{4^{x}}{2} = 3^{x} \cdot \sqrt{3} + \frac{3^{x}}{\sqrt{3}}$
$4^{x} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 3^{x} \left(\frac{3 + 1}{\sqrt{3}}\right)$
$4^{x} \left(\frac{3}{2}\right) = 3^{x} \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)$
$\left(\frac{4}{3}\right)^{x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
$\left(\frac{4}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \left(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{2}}$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$x = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4^x - 3^{x - \frac{1}{2}} = 3^{x + \frac{1}{2}} - 2^{2x - 1}$
પદોને ગોઠવતા: $2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + \frac{1}{2}} + 3^{x - \frac{1}{2}}$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $2^{2x}(1 + \frac{1}{2}) = 3^x(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
સાદું રૂપ આપતા: $2^{2x}(\frac{3}{2}) = 3^x(\frac{4}{\sqrt{3}})$
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા: $2^{2x} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 3^x \cdot 8$
ઘાત સ્વરૂપમાં લખતા: $2^{2x} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^x \cdot 2^3$
$2$ ની ઘાત સરખાવતા: $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
$3$ ની ઘાત સરખાવતા: $x = \frac{3}{2}$
આમ,$x = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4-2x^3+x-380=0$ છે.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=5$ એક બીજ છે:
$5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 380-380 = 0$.
આગળ,આપણે $x=-4$ ચકાસીએ:
$(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 384-4-380 = 0$.
$x=5$ અને $x=-4$ બીજ હોવાથી,આપણે બહુપદીને $(x-5)(x+4) = x^2-x-20$ વડે ભાગી શકીએ.
ભાગાકાર કરતા: $(x^4-2x^3+x-380) \div (x^2-x-20) = x^2-x+19$.
બાકીના બીજ $x^2-x+19=0$ ઉકેલીને મળે છે.
વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(19) = 1 - 76 = -75$.
$D < 0$ હોવાથી,$x^2-x+19=0$ ના બીજ સંકર સંખ્યા છે.
આમ,માત્ર વાસ્તવિક બીજ $5$ અને $-4$ છે.
વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો $5 + (-4) = 1$ થાય.

(A) ધારો કે ઘન સમીકરણ $x^3-7x^2+36=0$ ના બીજ $a, 2a$ અને $b$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $a + 2a + b = 7 \Rightarrow 3a + b = 7$ ... $(i)$
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $a(2a) + 2a(b) + b(a) = 0$ (કારણ કે $x$ નો સહગુણક $0$ છે)
$2a^2 + 3ab = 0 \Rightarrow a(2a + 3b) = 0$
$a$ એ $0$ હોઈ શકે નહીં ($36 \neq 0$ હોવાથી),તેથી $2a + 3b = 0 \Rightarrow b = -\frac{2a}{3}$.
$b$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $3a - \frac{2a}{3} = 7$ $\Rightarrow \frac{7a}{3} = 7$ $\Rightarrow a = 3$.
તેથી $b = 7 - 3(3) = -2$.
બીજ $a=3, 2a=6, b=-2$ છે.
આમ,માત્ર $1$ ઋણ બીજ છે.

(B) ધારો કે $y = x^{1/3}$. તો સમીકરણ $y^2 + y - 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 2)(y - 1) = 0$.
આથી $y = 1$ અથવા $y = -2$ મળે છે.
કારણ કે $y = x^{1/3}$,તેથી $x^{1/3} = 1 \Rightarrow x = 1^3 = 1$.
અને $x^{1/3} = -2 \Rightarrow x = (-2)^3 = -8$.
સમીકરણના બીજ $1$ અને $-8$ છે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $(1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$ થાય છે.

(B) શેષ શોધવા માટે,આપણે $2 x^5-3 x^4+5 x^3-3 x^2+7 x-9$ નો $x^2-x-3$ વડે બહુપદી ભાગાકાર કરીશું:
$1$. $2 x^5$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $2 x^3$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $2 x^3$ વડે ગુણતા $2 x^5-2 x^4-6 x^3$ મળે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-x^4+11 x^3-3 x^2+7 x-9$ મળે.
$2$. $-x^4$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $-x^2$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $-x^2$ વડે ગુણતા $-x^4+x^3+3 x^2$ મળે. તેને બાદ કરતા $10 x^3-6 x^2+7 x-9$ મળે.
$3$. $10 x^3$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $10 x$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $10 x$ વડે ગુણતા $10 x^3-10 x^2-30 x$ મળે. તેને બાદ કરતા $4 x^2+37 x-9$ મળે.
$4$. $4 x^2$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $4$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $4$ વડે ગુણતા $4 x^2-4 x-12$ મળે. તેને બાદ કરતા $41 x+3$ મળે.
આમ,શેષ $41 x+3$ છે.

(C) આપેલ છે કે $2, 3, 6$ એ બહુપદી $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યો છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે લખી શકીએ:
$f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 6)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)(x - 6)$
$f(x) = x^3 - 6x^2 - 5x^2 + 30x + 6x - 36$
$f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36$
આને $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -11$,$b = 36$,$c = -36$
હવે,$a - c$ ની ગણતરી કરતા:
$a - c = -11 - (-36) = -11 + 36 = 25$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y^2+z^2=3yz \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=3$ $(i)$
$z^2+x^2=8zx \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=8$ $(ii)$
$x^2+y^2=4xy \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4$ $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) = \frac{x}{z} + \frac{y^2}{xz} + \frac{xz}{y^2} + \frac{z}{x} = 12$
$\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right) + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$(ii)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$8 + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2} = 12 - 8 = 4$

(B) જો $x^2 + px + 1$ એ $ax^3 + bx + c$ નો અવયવ હોય,તો બહુપદી ભાગાકાર કરતા:
$ax^3 + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax - ap) + (b - a + ap^2)x + (ap + c)$
શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$1) \ ap + c = 0 \Rightarrow p = -\frac{c}{a} \dots (i)$
$2) \ b - a + ap^2 = 0$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$b - a + a(-\frac{c}{a})^2 = 0$
$b - a + \frac{c^2}{a} = 0$
$a$ વડે ગુણતા:
$ab - a^2 + c^2 = 0$
$a^2 - c^2 = ab$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y^2+z^2=a y z \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=a$ $(i)$
$z^2+x^2=b z x \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$ $(ii)$
$x^2+y^2=c x y \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=c$ $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) = ac$
$\frac{x}{z} + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} + \frac{z}{x} = ac$
$(ii)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$. આ કિંમત મૂકતા:
$b + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac$
$\frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac-b$

(C) આપેલ છે: $\frac{x^2+1}{x^4+4}=\frac{A x+B}{x^2-2 x+2}+\frac{C x+D}{x^2+2 x+2}$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{x^2+1}{x^4+4} = \frac{(A x+B)(x^2+2 x+2)+(C x+D)(x^2-2 x+2)}{(x^2-2 x+2)(x^2+2 x+2)}$
નોંધો કે $(x^2-2 x+2)(x^2+2 x+2) = x^4+4$.
અંશને સરખાવતા:
$x^2+1 = (A+C)x^3 + (2A+B-2C+D)x^2 + (2A+2B+2C-2D)x + (2B+2D)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C=0 \Rightarrow A=-C$
$2) 2A+B-2C+D=1$
$3) 2A+2B+2C-2D=0 \Rightarrow A+B+C-D=0$
$4) 2B+2D=1$
$(1)$ પરથી,$A+C=0$,તેથી $(3)$ બને છે $B-D=0 \Rightarrow B=D$.
$(4)$ માં $B=D$ મૂકતા,$2B+2B=1 \Rightarrow 4B=1 \Rightarrow B=D=\frac{1}{4}$.
$(2)$ પરથી,$2(A-C)+B+D=1$. $A=-C$ હોવાથી,$2(2A)+2B=1 \Rightarrow 4A+2B=1$.
$B=\frac{1}{4}$ મૂકતા,$4A + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow 4A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{8}$.
આમ $C = -\frac{1}{8}$.
અંતે,$3A+2B+3C = 3(A+C) + 2B = 3(0) + 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} = 2D$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.
આપણે પદોને જૂથબદ્ધ કરીને અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ તરીકે વિચારો.
જો $x \ge 1$ હોય,તો $x^9(x^3 - 1) \ge 0$ અને $x(x^3 - 1) \ge 0$,તેથી $f(x) \ge 1 > 0$.
જો $x \le 0$ હોય,તો $f(x) = x^{12} + x^4 + (-x^9 - x) + 1$. કારણ કે $x \le 0$,$-x^9 \ge 0$ અને $-x \ge 0$,તેથી $f(x) > 0$.
જો $0 < x < 1$ હોય,તો આપણે $f(x) = x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$ લખી શકીએ. કારણ કે $x^5 < 1$ અને $x < 1$,બધા પદો ધન છે,તેથી $f(x) > 0$.
આમ,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) > 0$ હોવાથી,સૌથી મોટો અંતરાલ $(-\infty, \infty)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $|1-i|^x=2^x$ છે.
સૌ પ્રથમ,સંકર સંખ્યા $1-i$ નો માનાંક શોધો:
$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^x$.
$2^{\frac{x}{2}} = 2^x$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{x}{2} = x$.
$x = 2x \Rightarrow x = 0$.
આમ,માત્ર $1$ પૂર્ણાંક ઉકેલ મળે છે,જે $x=0$ છે.

(D) આપેલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{40} i^k = x + iy$ છે.
$i$ ની ચાર ક્રમિક ઘાતનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0$.
અહીં $k=0$ થી $k=40$ સુધી કુલ $41$ પદો છે.
$\sum_{k=0}^{40} i^k = i^0 + (i^1 + i^2 + i^3 + i^4) + \dots + (i^{37} + i^{38} + i^{39} + i^{40}) = 1 + 0 + \dots + 0 = 1$.
તેથી,$x + iy = 1 + 0i$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$ અને $y = 0$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^{100} + x^{99}y + x^{242}y^2 + x^{97}y^3 = (1)^{100} + (1)^{99}(0) + (1)^{242}(0)^2 + (1)^{97}(0)^3 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $i^{18}-3i^7+i^2(1+i^4)(i)^{22}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$,$i^3 = -i$,$i^4 = 1$.
$i^{18} = (i^4)^4 \times i^2 = (1)^4 \times (-1) = -1$
$i^7 = (i^4) \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$
$i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = (1)^5 \times (-1) = -1$
આ કિંમતો મૂકતા:
$-1 - 3(-i) + (-1)(1+1)(-1)$
$= -1 + 3i + (-1)(2)(-1)$
$= -1 + 3i + 2$
$= 1 + 3i$

(A) આપેલ છે $(x-iy)^{1/3} = a-ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$x-iy = (a-ib)^3$
$x-iy = a^3 - (ib)^3 - 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$x-iy = a^3 + ib^3 - 3a^2bi - 3ab^2$
$x-iy = (a^3 - 3ab^2) - i(3a^2b - b^3)$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x = a^3 - 3ab^2 \implies \frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$
$y = 3a^2b - b^3 \implies \frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2)$
$= 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

(C) આપેલ છે $x = -5 + 2 \sqrt{-4} = -5 + 4i$.
$x + 5 = 4i$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x + 5)^2 = (4i)^2$
$x^2 + 10x + 25 = -16$
$x^2 + 10x + 41 = 0$
હવે,બહુપદી $P(x) = x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ને $x^2 + 10x + 41$ વડે ભાગતા:
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$
કારણ કે $x^2 + 10x + 41 = 0$,તેથી:
$P(x) = 0 \cdot (x^2 - x + 4) - 160 = -160$.

(B) આપેલ છે $(x+iy) = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3 - \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3$.
પ્રથમ,પાયાના અપૂર્ણાંકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ અને $\frac{1-i}{1+i} = -i$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x+iy = (i)^3 - (-i)^3 = -i - (i) = -2i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x = 0$ અને $y = -2$.
તેથી,$0 > -2$ હોવાથી $x > y$ થાય.

(A) આપેલ છે: $\frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i} = i$
છેદ $(3+i)(3-i) = 10$ વડે ગુણતા:
$(x-1)(3-i) + (y-1)(3+i) = 10i$
$3x - ix - 3 + i + 3y + iy - 3 - i = 10i$
$(3x + 3y - 6) + i(y - x) = 10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$3x + 3y - 6 = 0 \Rightarrow x + y = 2$
$y - x = 10$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2y = 12 \Rightarrow y = 6$
$x + y = 2$ માં $y = 6$ મૂકતા: $x + 6 = 2 \Rightarrow x = -4$
આમ,$x = -4$ અને $y = 6$.

(B) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = \sin \theta + i \cos \theta$ છે.
$z$ નો ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $\frac{1}{z}$ છે.
$\frac{1}{z} = \frac{1}{\sin \theta + i \cos \theta}$.
અંશ અને છેદને $(\sin \theta - i \cos \theta)$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{(\sin \theta + i \cos \theta)(\sin \theta - i \cos \theta)}$.
નિત્યસમ $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$\frac{1}{z} = \sin \theta - i \cos \theta$.
આમ,ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $(\sin \theta, -\cos \theta)$ છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{(1+i)x-2i}{3+i} + \frac{(2-3i)y}{3-i} = i$
$(3+i)(3-i) = 10$ વડે ગુણતા:
$((1+i)x-2i)(3-i) + (2-3i)y(3+i) = 10i$
$(4x - 2 + 9y) + i(2x - 6 - 7y) = 10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$4x + 9y = 2$
$2x - 7y = 16$
સમીકરણો ઉકેલતા:
$y = -30/23$ અને $x = 79/23$
તેથી,$x+y = 79/23 - 30/23 = 49/23$.

(D) આપેલ છે,$(x-iy)^{1/3} = 2-i\sqrt{3}$
$\Rightarrow x-iy = (2-i\sqrt{3})^3$
નિત્યસમ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x-iy = 2^3 - 3(2^2)(i\sqrt{3}) + 3(2)(i\sqrt{3})^2 - (i\sqrt{3})^3$
$x-iy = 8 - 12i\sqrt{3} - 18 + 3i\sqrt{3}$
$x-iy = -10 - 9i\sqrt{3}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = -10$ અને $y = 9\sqrt{3}$ મળે છે.
બિંદુ $z = (x, y)$ એ રેખા $\frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{3}} = k$ પર આવેલું હોવાથી:
$\frac{-10}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = k$
$-5 + 9 = k$
$k = 4$

(C) આપેલ સમીકરણ: $i z^3+z^2-z+i=0$
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$i z^2(z-i) - 1(z-i) = 0$
$(z-i)(i z^2-1) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $z-i=0 \Rightarrow z=i$. તેથી $|z| = |i| = 1$.
કિસ્સો $2$: $i z^2-1=0 \Rightarrow i z^2=1$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|i z^2| = |1|$
$|i| \cdot |z|^2 = 1$
$1 \cdot |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z| = 1$.
બંને કિસ્સામાં,$|z| = 1$ મળે છે.

(B) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ અનુબદ્ધ હોય જો $a = c$ અને $b = -d$ હોય.
અહીં $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ આપેલ છે.
તેથી,$\sin x = \cos x$ અને $\cos 2x = \sin 2x$ થવું જોઈએ.
$\sin x = \cos x$ પરથી $\tan x = 1$ મળે,એટલે કે $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\cos 2x = \sin 2x$ પરથી $\tan 2x = 1$ મળે,એટલે કે $x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
કોઈપણ $x$ માટે આ બંને શરતો એકસાથે સંતોષાતી નથી,તેથી કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(B) આપેલ વક્ર $xy = 1$ માટે,$y = \frac{1}{x}$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{x^2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે,જે $x^2$ થાય.
રેખા $ax + by + c = 0$ નો ઢાળ $-\frac{a}{b}$ છે.
રેખા એ વક્રનો અભિલંબ હોવાથી,$x^2 = -\frac{a}{b}$ થાય.
વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$-\frac{a}{b} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} < 0$.
આ શરત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોય,એટલે કે $(a > 0, b < 0)$ અથવા $(a < 0, b > 0)$.

(A) આપેલ વક્રો $y=a^x$ અને $y=b^x$ છે.
છેદબિંદુ પર,$a^x = b^x$,જેનો અર્થ છે કે $x=0$.
આમ,વક્રો $(0, 1)$ બિંદુએ છેદે છે.
ધારો કે $y=a^x$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $x=0$ આગળ $m_1$ છે.
$m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \left. a^x \ln a \right|_{x=0} = \ln a$.
ધારો કે $y=b^x$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $x=0$ આગળ $m_2$ છે.
$m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \left. b^x \ln b \right|_{x=0} = \ln b$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \alpha = \frac{\ln a - \ln b}{1 + \ln a \ln b}$ મળે છે.

(D) અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે પહેલા ભાગાકાર કરીશું.
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{x^4}{x^4+4x^2+3} = 1 - \frac{4x^2+3}{(x^2+1)(x^2+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ $1 + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ સ્વરૂપમાં મળે છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x - \sin x$.
તેથી $f'(x) = 1 - \cos x$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $\cos x \leq 1$ હોવાથી,બધા $x$ માટે $f'(x) \geq 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
$f(0) = 0 - \sin(0) = 0$ હોવાથી,બધા $x \geq 0$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય.
આમ,$x - \sin x \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે બધા $x \geq 0$ માટે $\sin x \leq x$ થાય.
$x < 0$ માટે,ધારો કે $x = -t$ જ્યાં $t > 0$. તો $\sin(-t) = -\sin t$.
અસમતા $-\sin t \leq -t$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\sin t \geq t$ થાય છે.
બધા $t > 0$ માટે $\sin t < t$ હોવાથી,અસમતા $\sin t \geq t$ ફક્ત $t = 0$ પર સંતોષાય છે.
તેથી,$x$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે $\sin x \leq x$ થાય તે $[0, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ ને $x \in (0, \pi/2)$ માટે ધ્યાનમાં લો.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ મળે.
ધારો કે $u(x) = x \cos x - \sin x$. તો $u'(x) = \cos x - x \sin x - \cos x = -x \sin x$.
$x \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$u'(x) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $u(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$u(0) = 0$ અને $u(x)$ ઘટતું હોવાથી,$x \in (0, \pi/2)$ માટે $u(x) < 0$ થાય.
આમ,$f'(x) < 0$,એટલે કે $f(x)$ એ $(0, \pi/2)$ પર ઘટતું વિધેય છે.
જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $f(x) \to 1$,અને $x = \pi/2$ પર,$f(\pi/2) = \frac{2}{\pi}$ મળે.
$f(x)$ ઘટતું હોવાથી,$0 < x < \pi/2$ માટે,$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર બધા એક જ બિંદુ પર સંપાતી થાય છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ એ લંબકેન્દ્ર છે,તેથી તે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર પણ છે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \vec{0}$
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$
તેથી,$\vec{a}+\vec{b} = -\vec{c}$.

(A) ચતુષ્કોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સદિશ સંબંધો છે:
$SQ = SP + PQ = (a-b) + a = 2a - b$
$SM = SQ + QM = (2a - b) + \frac{b}{2} = 2a - \frac{b}{2}$
$SM = \frac{1}{2}(4a - b)$
આને $SM = m(4a - b)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $SX = \frac{4}{5}SM$,આપણે $SM$ માટેનું પદ મૂકીએ:
$SX = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(4a - b) = \frac{2}{5}(4a - b)$
આને $SX = n(4a - b)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = \frac{2}{5}$ મળે છે.
તેથી,$m + n = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5+4}{10} = \frac{9}{10}$.

(C) $\triangle PAC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{PA} + \vec{AC} = \vec{PC}$ ...$(i)$
$\triangle PBC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{PB} + \vec{BC} = \vec{PC}$ ...$(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{AC} + \vec{BC} = 2\vec{PC}$
કારણ કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{AC} = -\vec{BC}$,અથવા $\vec{AC} + \vec{BC} = 0$.
તેથી,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{PC}$.

(D) કોઈપણ કિરણ દ્વારા અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma$ માટે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
અહીં $\beta = 2\alpha$ અને $\gamma = 3\alpha$ આપેલ છે,તેથી $\cos^2 \alpha + \cos^2 2\alpha + \cos^2 3\alpha = 1$.
$\alpha = \frac{\pi}{6}$ માટે: $\cos^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 1$.
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ માટે: $\cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{2} + \cos^2 \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$.
આમ,$\alpha$ ના શક્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{4}$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at, \frac{a}{t})$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $xy = a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
બિંદુ $P(at, \frac{a}{t})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{a/t}{at} = -\frac{1}{t^2}$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{a}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - at)$ છે.
$t^2y - at = -x + at$,જેનું સાદું રૂપ $x + t^2y = 2at$ થાય છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા: $x = 2at$. તેથી,$A = (2at, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા: $t^2y = 2at$,તેથી $y = \frac{2a}{t}$. તેથી,$B = (0, \frac{2a}{t})$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABO$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2at) \times (\frac{2a}{t}) = 2a^2$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ સંબંધ $f(x f(y)) = f(x y) + x$ છે.
$f(x) - x = \lambda$ હોવાથી,$f(x) = x + \lambda$ મળે.
આ કિંમત વિધેયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x(y + \lambda)) = (xy + \lambda) + x$
$x(y + \lambda) + \lambda = xy + \lambda + x$
$xy + x\lambda + \lambda = xy + \lambda + x$
પદોની સરખામણી કરતા,$x\lambda = x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 1$.
આમ,$f(x) = x + 1$.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + 1)^{\frac{1}{3}} - 1}{(x + 1)^{\frac{1}{2}} - 1}$
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{u \rightarrow 1} \frac{u^n - 1}{u - 1} = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + x) - 1} \cdot \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

(C) સૌ પ્રથમ,લિમિટની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{1}{y-2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+y-2} \right) = \frac{1}{y-2} \left( \frac{(x+y-2) - x}{x(x+y-2)} \right) = \frac{1}{y-2} \left( \frac{y-2}{x(x+y-2)} \right) = \frac{1}{x(x+y-2)}$.
હવે,$y \to 2$ માટે લિમિટની કિંમત મેળવો: $\lim_{y \to 2} \frac{1}{x(x+y-2)} = \frac{1}{x(x+2-2)} = \frac{1}{x^2}$.
છેલ્લે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} \right) = \frac{d}{dx} (x^{-2}) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^4}{r^5+n^5}$ છે.
સામાન્ય પદના અંશ અને છેદને $n^5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(\frac{r}{n})^4}{(\frac{r}{n})^5+1}$.
આ એક રીમાન સરવાળો છે જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય:
$\int_0^1 \frac{x^4}{1+x^5} dx$.
ધારો કે $u = 1+x^5$,તો $du = 5x^4 dx$,અથવા $x^4 dx = \frac{du}{5}$.
જ્યારે $x=0, u=1$ અને જ્યારે $x=1, u=2$.
સંકલન $\frac{1}{5} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} [\ln |u|]_1^2 = \frac{1}{5} \ln 2$ બને છે.
ગુણધર્મ $a \ln b = \ln b^a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln 2^{1/5} = \ln \sqrt[5]{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.
આપણે સરવાળાને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3(1+(r/n)^3)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^2}{1+(r/n)^3}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$,આપણને મળે છે:
$L = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^3} dx$.
ધારો કે $1+x^3 = t$,તો $3x^2 dx = dt$,અથવા $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=2$.
$L = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{3} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{3} \log 2$.
$a \log b = \log b^a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{3} \log 2 = \log 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$.

(B) આપેલ છે,$p = 0.3, q = 1 - p = 0.7$.
મધ્યક $(\mu) = np = 0.3n$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{npq} = \sqrt{n(0.3)(0.7)} = \sqrt{0.21n}$.
આપેલ છે કે $\mu = 3\sigma$.
કિંમતો મૂકતા,$0.3n = 3\sqrt{0.21n}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,$0.1n = \sqrt{0.21n}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(0.1n)^2 = 0.21n$.
$0.01n^2 = 0.21n$.
$n^2 = 21n$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$n = 21$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(2 A+B)^2+(A-3 B)^2=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $(4 A^2+2 A B+2 B A+B^2)+(A^2-3 A B-3 B A+9 B^2)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $(4 A^2+A^2)+(B^2+9 B^2)+(2 A B-3 A B)+(2 B A-3 B A)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
આનું સાદું રૂપ: $5 A^2+10 B^2-A B-B A=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
બંને બાજુથી $5 A^2+10 B^2$ બાદ કરતા: $-A B-B A=-2 A B$.
બંને બાજુ $A B$ ઉમેરતા: $-B A=-A B$,જે સૂચવે છે કે $A B=B A$.
$A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળતા હોવાથી,$A B A B=A(B A) B=A(A B) B=(A A)(B B)=A^2 B^2$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^2 = I$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
હાર $1$: $(1)(1) + (0)(a) + (0)(b) = 1$,$(1)(0) + (0)(-1) + (0)(c) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$.
હાર $2$: $(a)(1) + (-1)(a) + (0)(b) = 0$,$(a)(0) + (-1)(-1) + (0)(c) = 1$,$(a)(0) + (-1)(0) + (0)(1) = 0$.
હાર $3$: $(b)(1) + (c)(a) + (1)(b) = 2b + ac$,$(b)(0) + (c)(-1) + (1)(c) = 0$,$(b)(0) + (c)(0) + (1)(1) = 1$.
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2b + ac & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આને એકમ શ્રેણિક $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2b + ac = 0$ મળે છે.
તેથી,$b = -\frac{ac}{2}$.

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A^n$ માટેનું સામાન્ય સ્વરૂપ શોધીએ:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right]$
$A^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 6 & 1\end{array}\right]$
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2n & 1\end{array}\right]$. તેથી,$A^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right]$.
હવે,આપણે $B^n$ માટેનું સામાન્ય સ્વરૂપ શોધીએ:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
$B^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 9 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 3n \\ 0 & 1\end{array}\right]$. તેથી,$B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$A^6 + B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 18 \\ 12 & 2\end{array}\right]$.
અંતે,$\operatorname{det}(A^6 + B^6) = (2 \times 2) - (18 \times 12) = 4 - 216 = -212$.

(C) આપેલ છે કે $G(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$x+y=0$ હોવાથી,$y = -x$ મળે.
તેથી,$G(y) = G(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(\cos x)(\cos x) + (-\sin x)(-\sin x) + (0)(0) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
હાર $1$,સ્તંભ $2$: $(\cos x)(\sin x) + (-\sin x)(\cos x) + (0)(0) = 0$.
હાર $2$,સ્તંભ $1$: $(\sin x)(\cos x) + (\cos x)(-\sin x) + (0)(0) = 0$.
હાર $2$,સ્તંભ $2$: $(\sin x)(\sin x) + (\cos x)(\cos x) + (0)(0) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
આમ,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,જે એકમ શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A$ શોધો:
$A^2 = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 + 0 & 0 + 0 \\ x + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A$ શોધો:
$A^3 = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 + 0 & 0 + 0 \\ x(x + 1) + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^3 = B$,તેથી:
$\begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x^3 = 8 \implies x = 2$.
તેમજ,$x^2 + x + 1 = 7 \implies x^2 + x - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 3)(x - 2) = 0$,જે $x = 2$ અથવા $x = -3$ આપે છે.
કારણ કે $x$ એ બંને શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ,તેથી સામાન્ય કિંમત $x = 2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4y \\ 5x & 6y \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4x \\ 5y & 6y \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ માટે,આપણે મેળવીએ છીએ:
$3x = 3x$ (હંમેશા સાચું)
$4y = 4x \Rightarrow x = y$
$5x = 5y \Rightarrow x = y$
$6y = 6y$ (હંમેશા સાચું)
આમ,$AB = BA$ ત્યારે જ થાય જો $x = y$ હોય.
કારણ કે $x, y \in \mathbb{N}$,આપણે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી $x = y = n$. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અનંત હોવાથી,આવા અનંત શ્રેણિકો $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એક સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય,એટલે કે $|A| = 0$.
$|A| = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 4 & x \\ -3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$x(4 \times 2 - 3 \times x) - 1(2 \times 2 - (-3) \times x) + 2(2 \times 3 - (-3) \times 4) = 0$
$x(8 - 3x) - 1(4 + 3x) + 2(6 + 12) = 0$
$8x - 3x^2 - 4 - 3x + 36 = 0$
$-3x^2 + 5x + 32 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$3x^2 - 5x - 32 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = c/a$ થાય.
અહીં,$x_1 + x_2 = -(-5)/3 = 5/3$ અને $x_1 x_2 = -32/3$.
તેથી,$x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 5/3 - 32/3 = -27/3 = -9$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = x(0 - 1) - 2(0 - 2) + 1(2 - 2x)$
$|A| = -x + 4 + 2 - 2x = 6 - 3x$.
આપણને $\det(A^3) = 125$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $|A^n| = |A|^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$|A|^3 = 125$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$|A| = 5$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા: $6 - 3x = 5$.
$3x = 6 - 5 = 1$.
$x = 1/3$.

(B) આપેલ છે કે $A = nI$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી $A^2 = (nI)^2 = n^2 I^2 = n^2 I = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix}$.
આગળ,$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix} = n^2 I$.
વળી,$AB = (nI)B = n(IB) = nB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n^2 \\ 0 & n^2 & 0 \\ n^2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 + B^2 + AB = n^2 I + n^2 I + nB = 2n^2 I + nB$.
$n$ સામાન્ય લેતા,આપણને $n(2nI + B)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}$.
આપણે $\operatorname{Tr}(A^2-A)$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$A-I$ ની ગણતરી કરો:
$A-I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
હવે,$A(A-I)$ ની ગણતરી કરો:
$A^2-A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
પરિણામી શ્રેણિકના વિકર્ણ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$d_{11} = (1)(0) + (1)(1) + (3)(2) = 0 + 1 + 6 = 7$.
$d_{22} = (1)(1) + (7)(6) + (9)(3) = 1 + 42 + 27 = 70$.
$d_{33} = (2)(3) + (3)(9) + (7)(6) = 6 + 27 + 42 = 75$.
ટ્રેસ એ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે:
$\operatorname{Tr}(A^2-A) = 7 + 70 + 75 = 152$.

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,ગુણાકાર $A A^T$ શોધીએ:
$A A^T = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} (9+9+16) & (6+9+16) & (0+3+4) \\ (6+9+16) & (4+9+16) & (0+3+4) \\ (0+3+4) & (0+3+4) & (0+1+1) \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} 34 & 31 & 7 \\ 31 & 29 & 7 \\ 7 & 7 & 2 \end{bmatrix}$.
અહીં $(A A^T)^T = A A^T$ હોવાથી,શ્રેણિક $A A^T$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{T} = A$ અને $B^{T} = B$ થાય.
આપણને $X = AB + BA$ અને $Y = AB - BA$ આપેલ છે.
આપણે $(XY)^{T}$ શોધવાનું છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$X^{T}$ અને $Y^{T}$ શોધીએ:
$X^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = BA + AB = X$.
$Y^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = BA - AB = -(AB - BA) = -Y$.
હવે,$(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$.
$Y^{T}$ અને $X^{T}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(XY)^{T} = (-Y)(X) = -YX$.

(D) આપેલ છે: $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) શોધો: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
હવે,$(A^T)^2$ ની ગણતરી કરો:
$(A^T)^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-4)(-3) & (2)(-4) + (-4)(1) \\ (-3)(2) + (1)(-3) & (-3)(-4) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,$(12A)^T$ ની ગણતરી કરો:
$12A = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} \Rightarrow (12A)^T = \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix}$
અંતે,બંને શ્રેણિકોનો સરવાળો કરો:
$(A^T)^2 + (12A)^T = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 & -60 \\ -45 & 25 \end{bmatrix}$

(C) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint) શોધવા માટે,આપણે પહેલા $A$ ના દરેક ઘટકનો સહઅવયવ (cofactor) શોધીશું.
ધારો કે $C_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ છે.
$C_{11} = +((-6)(4) - (5)(0)) = -24$
$C_{12} = -((2)(4) - (5)(5)) = -(8 - 25) = 17$
$C_{13} = +((2)(0) - (-6)(5)) = 30$
$C_{21} = -((-2)(4) - (2)(0)) = -(-8) = 8$
$C_{22} = +((1)(4) - (2)(5)) = 4 - 10 = -6$
$C_{23} = -((1)(0) - (-2)(5)) = -(0 + 10) = -10$
$C_{31} = +((-2)(5) - (2)(-6)) = -10 + 12 = 2$
$C_{32} = -((1)(5) - (2)(2)) = -(5 - 4) = -1$
$C_{33} = +((1)(-6) - (-2)(2)) = -6 + 4 = -2$
સહઅવયવ શ્રેણિક $C = \begin{bmatrix} -24 & 17 & 30 \\ 8 & -6 & -10 \\ 2 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -24 & 8 & 2 \\ 17 & -6 & -1 \\ 30 & -10 & -2 \end{bmatrix}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1((-1)(1) - (3)(2)) - (-3)((-2)(-1) - (3)(3)) + 2((-2)(2) - (1)(3))$
$|A| = 1(-1 - 6) + 3(2 - 9) + 2(-4 - 3)$
$|A| = 1(-7) + 3(-7) + 2(-7) = -7 - 21 - 14 = -42$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \operatorname{Adj} A = |A| I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી,$A^2 \operatorname{Adj} A = A(A \operatorname{Adj} A) = A(|A| I) = |A| A$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A^2 \operatorname{Adj} A = -42 A$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ તેના કોફેક્ટર (સહ-અવયવ) શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ ના કોફેક્ટર્સ $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = (-1)^{1+1}(3 \times 2 - 1 \times 1) = 5$
$C_{12} = (-1)^{1+2}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{13} = (-1)^{1+3}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{21} = (-1)^{2+1}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{22} = (-1)^{2+2}(1 \times 2 - 3 \times 3) = -7$
$C_{23} = (-1)^{2+3}(1 \times 1 - 3 \times 2) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{32} = (-1)^{3+2}(1 \times 1 - 2 \times 3) = 5$
$C_{33} = (-1)^{3+3}(1 \times 3 - 2 \times 2) = -1$
કોફેક્ટર શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
એડજોઈન્ટ એ આ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$.
આને $\begin{bmatrix} 5 & a & -7 \\ b & -7 & c \\ -7 & d & -1 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -1, b = -1, c = 5, d = 5$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c+d = -1 - 1 + 5 + 5 = 8$.

(B) આપેલ છે કે $A = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $AA^T$ ની ગણતરી કરીને ચકાસીએ કે $A$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે કે નહીં.
$A^T = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
$AA^T = \frac{1}{49} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $1 = (3)(3) + (-2)(-2) + (6)(6) = 9 + 4 + 36 = 49$.
હાર $1 \times$ સ્તંભ $2 = (3)(-6) + (-2)(-3) + (6)(2) = -18 + 6 + 12 = 0$.
હાર $1 \times$ સ્તંભ $3 = (3)(-2) + (-2)(6) + (6)(3) = -6 - 12 + 18 = 0$.
તે જ રીતે,બધા વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો $0$ મળે છે અને વિકર્ણ ઘટકો $49$ મળે છે.
આમ,$AA^T = \frac{1}{49} (49I) = I$.
કારણ કે $AA^T = I$,તેથી $A^{-1} = A^T$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\sin \alpha)(\sin \alpha) - (-\cos \alpha)(\cos \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક) શોધીએ:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$,તેથી:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
હવે,$A + A^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A + A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A + A^{-1} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$2 \sin \alpha = 1 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
આમ,$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $M = A B^{-1}$ શોધો:
$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = (A B^{-1})^{-1}$ શોધો.
નિશ્ચાયક $|M| = (1)(0) - (5)(-2) = 10$.
એડજોઈન્ટ $\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}$.
આને $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 0, b = -\frac{1}{2}, c = \frac{1}{5}, d = \frac{1}{10}$ મળે છે.
અંતે,$2b + 5c + 10d$ ની કિંમત શોધો:
$2(-\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{5}) + 10(\frac{1}{10}) = -1 + 1 + 1 = 1$.

(A) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^3-6A^2+11A-6I=0$ છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,સમગ્ર સમીકરણને $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^3-6A^2+11A-6I) = A^{-1}(0)$
$A^2-6A+11I-6A^{-1} = 0$
$A^{-1}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$6A^{-1} = A^2-6A+11I$
$A^{-1} = \frac{1}{6}(A^2-6A+11I)$

(A) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A$ એ વ્યસ્ત ન હોય તેવો શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$|A| = 1((a+1)(1) - 1(1)) - 1(1(1) - 1(a+1)) + (a+1)(1(1) - (a+1)(a+1)) = 0$
$|A| = 1(a+1-1) - 1(1-a-1) + (a+1)(1-(a+1)^2) = 0$
$|A| = a + a + (a+1)(1 - (a^2 + 2a + 1)) = 0$
$|A| = 2a + (a+1)(-a^2 - 2a) = 0$
$|A| = 2a - a^3 - 2a^2 - a^2 - 2a = 0$
$-a^3 - 3a^2 = 0$
$-a^2(a+3) = 0$
આમ,$a$ ની કિંમતો $a = 0$ અને $a = -3$ મળે છે.
$a$ ની તમામ કિંમતોનો સરવાળો $0 + (-3) = -3$ થાય છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે આપણે હાર પ્રક્રિયાઓ કરીએ છીએ.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$.
$R_2 \rightarrow \frac{1}{4}R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k-1 & k-1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો શ્રેણી $2$ હોવા માટે,ત્રીજી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ. તેથી,$k-1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે $k=1$ એ બીજ છે:
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2+x-2 = (1)^2 + (1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.
આમ,$k=1$ એ $x^2+x-2=0$ નું બીજ છે.

(B) પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ નો ક્રમ શોધીએ.
$A$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|A| = 1(1(-1) - 2(0)) - 0(2(-1) - 2(1)) + 1(2(0) - 1(1)) = 1(-1) - 0 + 1(-1) = -1 - 1 = -2$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A$ નો ક્રમ $(r_1)$ $3$ છે.
હવે,શ્રેણિક $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & -8 \end{bmatrix}$ નો ક્રમ શોધીએ.
આ $2 \times 4$ શ્રેણિક છે. મહત્તમ શક્ય ક્રમ $2$ છે.
આપણે શૂન્યતર $2 \times 2$ માઇનર તપાસીએ. છેલ્લા બે સ્તંભો દ્વારા બનતો માઇનર લઈએ:
$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & -8 \end{vmatrix} = (3)(-8) - (4)(6) = -24 - 24 = -48 \neq 0$.
કારણ કે શૂન્યતર $2 \times 2$ માઇનર અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $B$ નો ક્રમ $(r_2)$ $2$ છે.
અંતે,$r_1 - r_2 = 3 - 2 = 1$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & k-1 \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો રેન્ક એ તેના રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં રહેલી શૂન્યતર હારની સંખ્યા છે.
$A$ નો રેન્ક $2$ થાય તે માટે ત્રીજી હાર શૂન્ય હાર બનવી જોઈએ.
આ માટે ત્રીજી હારના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,એટલે કે $k-1 = 0$ અને $1 = 0$.
અહીં $1 = 0$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી $k$ ની કોઈપણ કિંમત માટે ત્રીજી હાર શૂન્ય હાર બની શકે નહીં.
તેથી,કોઈપણ $k \in R$ (જ્યાં $k \neq 1$) માટે $A$ નો રેન્ક હંમેશા $3$ રહેશે.
જો $k = 1$ લઈએ,તો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ બને છે,જેનો રેન્ક પણ $3$ છે.
આમ,$k$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે $A$ નો રેન્ક $2$ થાય.

(C) શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) શોધવા માટે,આપણે તેને પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
હવે,પ્રથમ સ્તંભમાં શૂન્ય બનાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરો:
$\xrightarrow[R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1]{R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
આગળ,બીજા સ્તંભમાં શૂન્ય બનાવવા માટે હાર પ્રક્રિયા લાગુ કરો:
$\xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક હવે રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં છે. શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $2$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણીક $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ છે.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,$A$ નો શ્રેણીક (rank) $2$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 8 \\ -2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે આપણે પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પગલું $1$: $R_2 \rightarrow R_2 + 4R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ લાગુ કરતા.
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
પગલું $2$: $R_2$ અને $R_3$ ની અદલાબદલી $(R_2 \leftrightarrow R_3)$ કરતા.
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે શ્રેણિક રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં છે. શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $2$ છે.

(B) આપણને આપેલ છે કે $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$ અને $i \neq j$ માટે $a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$.
આનો અર્થ એ છે કે શ્રેણિક $A$ ની હાર (અથવા સ્તંભ) ઓર્થોનોર્મલ સદિશો છે.
ચોક્કસ રીતે,જો આપણે $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ લઈએ,તો $AA^T$ એ $A$ અને તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ગુણાકાર છે.
$AA^T$ ના $i$-મી હાર અને $j$-મી સ્તંભનો ઘટક એ $A$ ની $i$-મી હાર અને $A$ ની $j$-મી હારનો ડોટ પ્રોડક્ટ છે.
આપેલ શરતો મુજબ,$AA^T = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી,$\det(AA^T) = \det(I) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 5 \\ 5 & -\alpha \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $\det(A) = (\alpha^2)(-\alpha) - (5)(5) = -\alpha^3 - 25$ છે.
આપણને $\det(A^{10}) = 1024$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $\det(A^n) = (\det A)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\det A)^{10} = 1024$ મળે.
કારણ કે $1024 = 2^{10}$,તેથી $(\det A)^{10} = 2^{10}$,જેનો અર્થ છે કે $\det A = 2$ અથવા $\det A = -2$.
કિસ્સો $1$: $-\alpha^3 - 25 = 2 \Rightarrow -\alpha^3 = 27 \Rightarrow \alpha^3 = -27 \Rightarrow \alpha = -3$.
કિસ્સો $2$: $-\alpha^3 - 25 = -2 \Rightarrow -\alpha^3 = 23 \Rightarrow \alpha^3 = -23 \Rightarrow \alpha = -\sqrt[3]{23}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\alpha = -3$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = 5((-5)(5) - (1)(1)) - \sin^2 \theta((-\sin^2 \theta)(5) - (1)(\cos^2 \theta)) + \cos^2 \theta((-\sin^2 \theta)(1) - (-5)(\cos^2 \theta))$
$= 5(-26) - \sin^2 \theta(-5\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) + \cos^2 \theta(-\sin^2 \theta + 5\cos^2 \theta)$
$= -130 + 5\sin^4 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 5\cos^4 \theta$
$= -130 + 5(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)$
નિત્યસમ $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\det(A) = -130 + 5(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta) = -130 + 5 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta = -125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$.
કારણ કે $\sin^2 2\theta \in [0, 1]$,પદ $-125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin^2 2\theta = 0$ હોય.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $-125 - 0 = -125$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
પદો $a = A + 4D$,$b = A + 7D$,અને $c = A + 12D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ b & 8 & 1 \\ c & 13 & 1 \end{vmatrix}$ ધ્યાનમાં લો.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ b-a & 8-5 & 1-1 \\ c-a & 13-5 & 1-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ 3D & 3 & 0 \\ 8D & 8 & 0 \end{vmatrix}$.
ત્રીજી સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot [(3D)(8) - (8D)(3)] = 1 \cdot [24D - 24D] = 0$.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} -2 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(A) = -2(-1 - 3) - x(-x - 2) + 1(3x - 2) = 0$ થાય.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $-2(-4) - x(-x - 2) + 3x - 2 = 0$.
$8 + x^2 + 2x + 3x - 2 = 0$.
$x^2 + 5x + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x + 3) = 0$.
તેથી બીજ $l = -2$ અને $m = -3$ મળે છે.
આપણે $l^3 - m^3$ શોધવાનું છે.
જો $l = -2$ અને $m = -3$ લઈએ,તો $l^3 - m^3 = (-2)^3 - (-3)^3 = -8 - (-27) = -8 + 27 = 19$.
તેથી સાચો જવાબ $19$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & b & c \\ b & 2 & 3 \\ c & 3 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & b & c \\ -b & 0 & 2 \\ -c & -2 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સરવાળો $A+B$ શોધીએ:
$A+B = \begin{bmatrix} 1+0 & b+b & c+c \\ b-b & 2+0 & 3+2 \\ c-c & 3-2 & 4+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2b & 2c \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે પરિણામી શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A+B) = \begin{vmatrix} 1 & 2b & 2c \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A+B) = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \times (2 \times 4 - 5 \times 1) = 1 \times (8 - 5) = 3$.

(D) આપેલ છે કે,$a = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$b = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $c = \cot \frac{\pi}{2} = 0$.
આ કિંમતોને શ્રેણિક $A$ માં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/4 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0 - 0 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{16} - \frac{2}{16} \right) = -\frac{3}{64}$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A$ એ સામાન્ય (Non-singular) શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$,અને $2x+y-z=-5$ છે.
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX=D$ માં,જ્યાં $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]$,$X=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,અને $D=\left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો કોફેક્ટર મેટ્રિક્સ $C$ શોધીએ છીએ:
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-5-4) = 9$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5-(-2) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1-1) = 2$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1-2 = -3$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2-(-1) = 3$
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -(2-5) = 3$
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -1-5 = -6$
આમ,$\operatorname{adj}(A) = C^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right]$.
હવે,$(\operatorname{adj} A)D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-6+6-15 \\ 54-9-15 \\ 42+3+30\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-15 \\ 30 \\ 75\end{array}\right]$.