AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે $L$-આકારની પ્લેટને બે લંબચોરસ ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
ભાગ $1$: $x=0$ થી $x=1$ અને $y=0$ થી $y=2$ સુધીનો લંબચોરસ. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 1 \times 2 = 2 \ m^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (0.5, 1)$ પર છે.
ભાગ $2$: $x=1$ થી $x=2$ અને $y=0$ થી $y=1$ સુધીનો લંબચોરસ. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 1 \times 1 = 1 \ m^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (1.5, 0.5)$ પર છે.
પ્લેટ સમાન હોવાથી,દળ તેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = 3 \ m^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $X_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(0.5) + 1(1.5)}{3} = \frac{1 + 1.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $Y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(1) + 1(0.5)}{3} = \frac{2 + 0.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{5}{6} \ m, \frac{5}{6} \ m\right)$ છે.

(D) સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બદલાય નહીં તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દળ $m_A = 10 \ kg$,$m_B = 25 \ kg$,અને $m_C = 15 \ kg$ છે.
ધારો કે સ્થાનાંતર $\Delta x_A$,$\Delta x_B$,અને $\Delta x_C$ છે.
જમણી તરફની દિશાને ધન લેતા:
બ્લોક $A$ ને $B$ તરફ (જમણી બાજુ) $2 \ m$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta x_A = +2 \ m$.
બ્લોક $C$ ને $B$ તરફ (ડાબી બાજુ) $3 \ m$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta x_C = -3 \ m$.
ધારો કે બ્લોક $B$ ને $\Delta x_B$ જેટલું ખસેડવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બદલાય નહીં તે માટેની શરત:
$m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B + m_C \Delta x_C = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$(10 \ kg)(2 \ m) + (25 \ kg)(\Delta x_B) + (15 \ kg)(-3 \ m) = 0$
$20 + 25 \Delta x_B - 45 = 0$
$25 \Delta x_B - 25 = 0$
$25 \Delta x_B = 25$
$\Delta x_B = 1 \ m$
પરિણામ ધન હોવાથી,બ્લોક $B$ ને $1 \ m$ ધન દિશામાં ખસેડવો જોઈએ,જે બ્લોક $C$ તરફ છે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિસ્ફોટ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = M \vec{v} = 10 \ kg \times 5 \hat{i} \ m \ s^{-1} = 50 \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનું દળ $m_1 = 4 \ kg$ છે અને તેનો વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m \ s^{-1}$ છે.
બીજા ટુકડાનું દળ $m_2 = M - m_1 = 10 \ kg - 4 \ kg = 6 \ kg$ છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_2$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4 \times 10 \hat{i} + 6 \times \vec{v}_2 = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$.
$P_i = P_f$ સરખાવતા:
$50 \hat{i} = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$.
$6 \vec{v}_2 = 10 \hat{i}$.
$\vec{v}_2 = \frac{10}{6} \hat{i} = 1.67 \hat{i} \ m \ s^{-1}$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ગોળાનું દળ $m_1$ અને બીજા ગોળાનું દળ $m_2$ છે. બંને સ્ટીલના ગોળા હોવાથી તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે. તેથી,$m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
આમ,$m_1 \propto r_1^3$ અને $m_2 \propto r_2^3$.
એક પરિમાણમાં સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે જ્યાં બીજો પદાર્થ સ્થિર હોય,પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_1'$ એ $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v_1' = \frac{7}{9} v_1$,તેથી $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{7}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9m_1 - 9m_2 = 7m_1 + 7m_2$.
$2m_1 = 16m_2 \implies m_1 = 8m_2$.
$m \propto r^3$ હોવાથી,$r_1^3 = 8r_2^3$.
ઘનમૂળ લેતા: $r_1 = 2r_2$.
$r_1 = 1.2 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$1.2 = 2r_2 \implies r_2 = 0.6 \ cm$.

(C) ધારો કે બંને પદાર્થોનું દળ $m$ છે. પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ અને બીજા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = v/2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$,જ્યાં $v_1$ અને $v_2$ એ અંતિમ વેગ છે.
$v + v/2 = v_1 + v_2 \implies v_1 + v_2 = 1.5v$ --- $(1)$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને $e = (v_2 - v_1) / (u_1 - u_2)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $e = 0.5$,$u_1 = v$,અને $u_2 = v/2$,તેથી $0.5 = (v_2 - v_1) / (v - v/2)$.
$0.5 = (v_2 - v_1) / (0.5v) \implies v_2 - v_1 = 0.25v$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2v_2 = 1.75v \implies v_2 = 0.875v = (7/8)v$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $2v_1 = 1.25v \implies v_1 = 0.625v = (5/8)v$.
વેગનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 = (5/8)v : (7/8)v = 5:7$ થાય છે.

(B) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + (2m)(0) = (m + 2m)v'$,જ્યાં $v'$ એ અંતિમ સામાન્ય વેગ છે.
$mv = 3mv' \implies v' = v/3$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(m + 2m)(v')^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) = \frac{1}{6}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3-1}{6}mv^2 = \frac{2}{6}mv^2 = \frac{1}{3}mv^2$ છે.
ગુમાવેલી ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{1}{3} \times 2 = 2/3$ છે.

(A) ધારો કે પદાર્થ જે પ્રારંભિક ઊંચાઈએથી પડે છે તે $H_0$ છે.
જ્યારે પદાર્થ $H_0$ ઊંચાઈએથી પડે છે,ત્યારે પ્રથમ અથડામણ પહેલાં તેનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gH_0}$ હોય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = e v_0$ થાય છે અને પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_1 = e^2 H_0$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ થાય છે અને પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_2 = e^4 H_0$ થાય છે.
અહીં $e = 0.8 = 4/5$ આપેલ છે.
બીજી અથડામણ પછીની ઊંચાઈ અને પ્રારંભિક ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $H_2 / H_0 = e^4$ છે.
$e^4 = (0.8)^4 = (4/5)^4 = 256 / 625$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,ગુણોત્તર $256: 625$ છે.

(C) દરેક દડાનું દળ $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$ છે.
પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $v_i = 16 \ m \ s^{-1}$ છે.
અથડામણ પછી,દડો વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન ઝડપે પાછો ફરે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v_f = -16 \ m \ s^{-1}$ થાય.
આઘાત (Impulse) એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
કિંમતો મૂકતા: $J = 0.25 \ kg \times (-16 \ m \ s^{-1} - 16 \ m \ s^{-1})$.
$J = 0.25 \ kg \times (-32 \ m \ s^{-1}) = -8 \ kg \ m \ s^{-1}$.
આમ,આપવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = 8 \ kg \ m \ s^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે $M = 0.2 \ kg$ એ તકતીનું દળ છે અને $m = 0.05 \ kg$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે.
ધારો કે $v$ એ દરેક ગોળીની ઝડપ છે.
ગોળીઓ સમાન ઝડપ સાથે પાછી ફેંકાતી હોવાથી,દરેક ગોળીના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v) - m(-v) = 2mv$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફારનો દર (ગોળીઓ દ્વારા તકતી પર લાગતું બળ) $F = n \times \Delta p$ છે,જ્યાં $n = 10 \ s^{-1}$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા છે.
તેથી,$F = 10 \times 2mv = 20mv$.
તકતીને તરતી રાખવા માટે,આ બળ તકતીના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F = Mg$.
$20mv = Mg \implies 20 \times 0.05 \times v = 0.2 \times 10$.
$1 \times v = 2$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.

(B) પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = 24 \ kg \ m \ s^{-1}$.
દળ $m = 8 \ kg$.
પ્રારંભિક વેગ $v_i = \frac{p_i}{m} = \frac{24}{8} = 3 \ m \ s^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36 \ J$.
આઘાત $J = F \times \Delta t = 24 \times 3 = 72 \ N \ s$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = J = p_f - p_i$.
અંતિમ વેગમાન $p_f = p_i + J = 24 + 72 = 96 \ kg \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v_f = \frac{p_f}{m} = \frac{96}{8} = 12 \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (12)^2 = 4 \times 144 = 576 \ J$.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_f - K_i = 576 - 36 = 540 \ J$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 2 \,kg$ છે અને તેનો વેગ $\vec{v}_1 = 20 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ છે.
ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 3 \,kg$ છે અને તેનો વેગ $\vec{v}_2 = 10 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{i}) + 3(10 \hat{j})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{i} + 30 \hat{j}}{5} = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} \,m \,s^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
આપેલ છે: $m_1 = 2 \,kg$,$\vec{v}_1 = 20 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ (ઉત્તર દિશામાં).
$m_2 = 3 \,kg$,$\vec{v}_2 = 10 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ (પૂર્વ દિશામાં).
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{j}) + 3(10 \hat{i})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{j} + 30 \hat{i}}{5} = 6 \hat{i} + 8 \hat{j} \,m \,s^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$ થાય.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય બળ પર આધાર રાખે છે.
આ પ્રશ્નમાં,બે પદાર્થો તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે,જે આંતરિક બળ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,પરિણામી બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો તંત્ર પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a_{cm} = 0)$ હોય છે.
પદાર્થો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm, initial} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,તેનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,કોઈપણ ક્ષણે,જ્યારે પ્રથમ પદાર્થ $v_0$ વેગ પ્રાપ્ત કરે ત્યારે પણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $0$ જ રહેશે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,જ્યાં $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$h = R/2$ ઊંચાઈ પર,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$h = R/2$ મૂકતા,આપણને $g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{(4/9)g}} = \frac{3}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right) = \frac{3}{2}T$ થશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = (\sqrt{2}-1)R$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + (\sqrt{2}-1)R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{R + \sqrt{2}R - R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{\sqrt{2}R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2$
$g' = g \times \frac{1}{2}$
$g' = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થને કારણે કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{Gm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = 1 \ kg$. પદાર્થો $x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \ldots \ m$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
દરેક અંતર $r$ પર બે પદાર્થો હોવાથી (એક $+r$ પર અને એક $-r$ પર),$x=0$ આગળ કુલ સ્થિતિમાન $V_{total}$ નીચે મુજબ થશે:
$V_{total} = \sum -\frac{Gm}{r_i} = -G(1) \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \ldots \right]$
$V_{total} = -G \left[ 2 \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \right) \right]$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=1/2$ છે. તેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ થાય.
તેથી,$V_{total} = -G \times 2 \times 2 = -4G$.
સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય $|V_{total}| = 4G$ થાય.

(D)
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
આપેલ કિંમતો:
$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
$v_e = 3 \times 10^4 \,ms^{-1}$
$G = 6.66 \times 10^{-11} \,N \,m^2 \,kg^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 6.66 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{79.92 \times 10^{13}}{9 \times 10^8}$
$R = 8.88 \times 10^5 \,m$
કિલોમીટરમાં ફેરવતા:
$R = 888 \,km$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2 \,km \,s^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ છે.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી, કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ થશે.
આપણે $v_o$ ને $v_e$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$v_o = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}} = \frac{v_e}{2}$.
$v_e = 11.2 \,km \,s^{-1}$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_o = \frac{11.2}{2} = 5.6 \,km \,s^{-1}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R_e$ ઊંચાઈ પર છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ થશે.
સૂત્રમાં $r = 2R_e$ મૂકતા,આપણને $U = -\frac{GMm}{2R_e}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR_e^2$.
$U$ ના સમીકરણમાં $GM = gR_e^2$ મૂકતા,આપણને $U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -0.5 mgR_e$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પ્રથમ ગ્રહ માટે આપેલ છે: $v_{e1} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 14 \,km \,s^{-1}$.
બીજા ગ્રહ માટે,દળ $M$ છે અને વ્યાસ $8R$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R' = \frac{8R}{2} = 4R$ થાય.
બીજા ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e2} = \sqrt{\frac{2GM}{R'}} = \sqrt{\frac{2GM}{4R}}$ થશે.
આને $v_{e2} = \frac{1}{\sqrt{4}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{2} v_{e1}$ તરીકે લખી શકાય.
$v_{e1}$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{e2} = \frac{14}{2} = 7 \,km \,s^{-1}$.

(D) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$a$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$GM$ ની કિંમત સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{gR^2}} = 2\pi a^{3/2} g^{-1/2} R^{-1}$.
આને આપેલ સમીકરણ $T \propto a^{3/2} g^x R^y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -1/2$ અને $y = -1$ મળે છે.

(A) સ્થિર ઉપગ્રહ માટે,તેનો ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો $T$ એ ગ્રહની તેની ધરી પરની ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળા જેટલો હોવો જોઈએ. ગ્રહની કોણીય ઝડપ $\omega = 2\pi / T$ છે.
જ્યારે કોણીય ઝડપ અડધી થાય છે $(\omega' = \omega / 2)$,ત્યારે નવો સમયગાળો $T' = 2T$ થાય છે કારણ કે $T = 2\pi / \omega$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાનો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
તેથી,$(T'/T)^2 = (r'/r)^3$.
$T' = 2T$ મૂકતા,આપણને $(2)^2 = (r'/r)^3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $4 = (r'/r)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$r'/r = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.
આને $r'/r = 2^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2/3$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = R_E + h$ છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે,ઊંચાઈ $h_A = 1.25 R_E$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_A = R_E + 1.25 R_E = 2.25 R_E$ થાય.
ઉપગ્રહ $B$ માટે,ઊંચાઈ $h_B = 19.25 R_E$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_B = R_E + 19.25 R_E = 20.25 R_E$ થાય.
કક્ષીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{20.25 R_E}{2.25 R_E}} = \sqrt{\frac{2025}{225}} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળાનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ અચળ છે.
તેથી,$M \propto R^3$.
સંપર્કમાં રહેલા બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + R = 2R$ છે.
બે ગોળાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ છે.
$M_1 = M_2 = M$ અને $d = 2R$ મૂકતા,આપણને $F = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ મળે છે.
કારણ કે $M \propto R^3$,તેથી $M^2 \propto (R^3)^2 = R^6$.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \propto \frac{R^6}{R^2} = R^4$.
તેથી,$F \propto R^4$.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ છે.
તેથી,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.
$f$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\gamma - 1 = \frac{2}{f}$.
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $n$ મોલ આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} n R T$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે: $n = 3$,$T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,અને $U = 2250 R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$2250 R = \frac{f}{2} \times 3 \times R \times 300$
$2250 = \frac{f}{2} \times 900$
$2250 = f \times 450$
$f = \frac{2250}{450} = 5$.
તેથી,વાયુની મુક્તિની માત્રા $5$ છે.

(A) આપણને ગુણોત્તર $\frac{R}{C_v} = 0.67$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેયરનો સંબંધ $C_p - C_v = R$ છે,જેને $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
તેથી,$\gamma - 1 = 0.67$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.67$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$ થાય છે.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ થાય છે.
બહુપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma < 1.4$ હોય છે.
અહીં $\gamma = 1.67$ હોવાથી,વાયુ એકપરમાણ્વિક છે.

(D) વાયુમિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની વ્યક્તિગત આંતરિક ઉર્જાઓનો સરવાળો છે.
$n$ મોલ અને $f$ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ધરાવતા વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે. કંપન મોડ્સને અવગણતા,તેના મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે.
ઓક્સિજનની આંતરિક ઉર્જા: $U_1 = n_1 \cdot \frac{f_1}{2} RT = 2 \cdot \frac{5}{2} RT = 5 RT$.
આર્ગોન $(Ar)$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેના મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
આર્ગોનની આંતરિક ઉર્જા: $U_2 = n_2 \cdot \frac{f_2}{2} RT = 4 \cdot \frac{3}{2} RT = 6 RT$.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$.
આપેલ છે:
તાપમાન $T = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \,K$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,J \,K^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K_{avg} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 400$.
$K_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 400 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 1.5 \times 552 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 828 \times 10^{-23} \,J$.
$K_{avg} = 8.28 \times 10^{-21} \,J$.

(B) $f$ મુક્તિની માત્રા ધરાવતા ગેસના અણુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $f = 6$,$T = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,અને $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{6}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 320 = 3 \times 1.38 \times 320 \times 10^{-23} \ J$.
$U = 1324.8 \times 10^{-23} \ J$.
ઉર્જાને જૂલમાંથી $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગો:
$U_{eV} = \frac{1324.8 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 828 \times 10^{-4} \ eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ $5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય).
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,આદર્શ વાયુના $n$ મોલની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$ મોલ અને $f = 5$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$U = 1 \cdot \frac{5}{2} RT = \frac{5}{2} RT$.
આમ,આંતરિક ઉર્જા $\frac{5}{2} RT$ છે.

(C) પાત્રમાં રહેલા કુલ મોલની સંખ્યા $n$ એ દરેક વાયુના મોલનો સરવાળો છે: $n = 2 + 5 + 3 = 10 \ mol$.
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T = 0 \ ^{\circ}C + 273 = 273 \ K$ છે.
પાત્રનું કદ $V = 16.62 \ m^3$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,દબાણ $P$ માટે:
$P = \frac{nRT}{V}$
$P = \frac{10 \times 8.31 \times 273}{16.62}$
$P = \frac{83.1 \times 273}{16.62}$
$P = 5 \times 273 = 1365 \ Pa$.
આમ,પાત્રમાં દબાણ $1365 \ Pa$ છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુની આંતરિક ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{3}{2} nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
આપેલ છે: $n = 4$ મોલ,$T = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \ K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{3}{2} \times 4 \times R \times 350$
$U = 6 \times R \times 350$
$U = 2100 R$.

(C) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2}nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે (કંપન મોડ્સને અવગણતા).
આર્ગોન $(Ar)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{total} = U_{O_2} + U_{Ar}$.
$U_{total} = \frac{f_1}{2}n_1RT + \frac{f_2}{2}n_2RT$.
અહીં $n_1 = 3$ મોલ અને $n_2 = 4$ મોલ આપેલ છે.
$U_{total} = \frac{5}{2}(3)RT + \frac{3}{2}(4)RT$.
$U_{total} = 7.5RT + 6RT = 13.5RT$.

(B) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક $rms$ ઝડપ $v_1$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે. ધારો કે અંતિમ $rms$ ઝડપ $v_2$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2$ છે.
આપેલ છે કે $rms$ ઝડપમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $v_2 = v_1 + 0.25v_1 = 1.25v_1$.
$v \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1.25 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1.25)^2 = \frac{T_2}{T_1}$,જે $1.5625 = \frac{T_2}{T_1}$ આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T_2 = 1.5625 T_1$.
તાપમાનમાં ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વધારો $= (1.5625 - 1) \times 100 \% = 0.5625 \times 100 \% = 56.25 \%$.

(A) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1})$ છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે,અને $M$ એ $kg \ mol^{-1}$ માં મોલર દળ છે.
આપેલ છે: $v_{rms} = 2000 \ m \ s^{-1}$,$T = 322 \ K$.
$M$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.314 \times 322}{(2000)^2} = \frac{8031.324}{4,000,000} \approx 0.0020078 \ kg \ mol^{-1} = 2.0078 \ g \ mol^{-1}$.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ નું મોલર દળ આશરે $2 \ g \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,તે વાયુ હાઇડ્રોજન છે.

(B) ધારો કે તાર $OA$ માં તણાવ $T_{OA}$ છે અને આડા તાર $OB$ માં તણાવ $T_{OB} = 30 \text{ N}$ છે.
બિંદુ $O$ પર,બળો સંતુલનમાં છે.
તણાવ $T_{OA}$ ને આડા અને ઊભા ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
આડો ઘટક: $T_{OA} \sin(30^{\circ}) = T_{OB} = 30 \text{ N}$.
$T_{OA} \times (1/2) = 30 \text{ N} \implies T_{OA} = 60 \text{ N}$.
ઊભો ઘટક: $T_{OA} \cos(30^{\circ}) = W$.
$W = 60 \times (\sqrt{3}/2) = 30 \sqrt{3} \text{ N}$.
આમ,વજન $W$ એ $30 \sqrt{3} \text{ N}$ છે અને તાર $OA$ માં તણાવ $60 \text{ N}$ છે.

(D) બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. લંબબળ $N$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
$4$. ઘર્ષણબળ $f$ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F \cos 60^{\circ} = \frac{F}{2}$
શિરોલંબ ઘટક: $F \sin 60^{\circ} = \frac{F \sqrt{3}}{2}$
શિરોલંબ સંતુલન માટે:
$N = mg + F \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \times 10 + \frac{F \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}$
સીમાંત ઘર્ષણબળ $f_{max} = \mu N = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times (10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}) = 5 + \frac{F}{4}$
બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે,લગાડવામાં આવેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણબળ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \cos 60^{\circ} \le f_{max}$
$\frac{F}{2} \le 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} \le 5$
$\frac{F}{4} \le 5$
$F \le 20 \ N$
આમ,બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે $F$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $20 \ N$ છે.

(C) પદાર્થને ગતિશીલ બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં, પદાર્થ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે, પરંતુ બેલ્ટની સાપેક્ષમાં તેનો વેગ છે. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, બેલ્ટની સાપેક્ષમાં પદાર્થનો પ્રતિપ્રવેગ $a$:
$ma = \mu_k mg$
$a = \mu_k g = 0.2 \times 10 = 2 \,m \,s^{-2}$
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \,m \,s^{-1}$ છે. જ્યારે પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે તે બેલ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (2)^2 - 2(2)s$
$4 = 4s$
$s = 1 \,m$
આમ, બેલ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર થતા પહેલા પદાર્થે કાપેલું અંતર $1 \,m$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,લાગતું બળ $F = 20 \ N$,પ્રવેગ $a = 7 \ m \ s^{-2}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = ma$ છે,જ્યાં $f_k$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે. સમક્ષિતિજ સપાટી પર,$N = mg = 2 \ kg \times 10 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$.
સમીકરણ $F - f_k = ma$ માં કિંમતો મૂકતા:
$20 - f_k = 2 \times 7$
$20 - f_k = 14$
$f_k = 20 - 14 = 6 \ N$.
હવે,$f_k = \mu_k N$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6 = \mu_k \times 20$
$\mu_k = 6 / 20 = 0.3$.
તેથી,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.3$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \ m/s$,અને બળ $\vec{F} = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(\hat{i} + 5 \hat{j})}{5} = (-0.2 \hat{i} - 1 \hat{j}) \ m/s^2$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ દ્વારા મળે છે.
ઘટકોને મૂકતા,વેગનો $y$-ઘટક $v_y = u_y + a_y t$ થાય.
અહીં,$u_y = 40 \ m/s$ અને $a_y = -1 \ m/s^2$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $v_y = 0$ થાય.
$0 = 40 + (-1)t$.
$t = 40 \ s$.

(A) ધારો કે $F_B$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
જ્યારે $m$ દળનો ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $mg - F_B = ma$,જેનો અર્થ છે કે $F_B = m(g - a)$.
ધારો કે દૂર કરવામાં આવતું દળ $m'$ છે,તેથી ફુગ્ગાનું નવું દળ $(m - m')$ થશે.
જ્યારે ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $F_B - (m - m')g = (m - m')a$.
સમીકરણમાં $F_B = m(g - a)$ મૂકતા: $m(g - a) - (m - m')g = (m - m')a$.
$mg - ma - mg + m'g = ma - m'a$.
$m'g + m'a = 2ma$.
$m'(g + a) = 2ma$.
તેથી,$m' = \frac{2ma}{g+a}$.

(B) બ્લોક પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક $A$ માટે: દળ $m_A = 2 \ kg$,બળ $F = 20 \ N$. ઘર્ષણ $f_A = 0.3 \times 2 \times 10 = 6 \ N$. પરિણામી બળ $F_{net,A} = F - f_A = 20 - 6 = 14 \ N$. પ્રવેગ $a_A = F_{net,A} / m_A = 14 / 2 = 7 \ m \ s^{-2}$.
બ્લોક $B$ માટે: દળ $m_B = 4 \ kg$,બળ $F = 20 \ N$. ઘર્ષણ $f_B = 0.3 \times 4 \times 10 = 12 \ N$. પરિણામી બળ $F_{net,B} = F - f_B = 20 - 12 = 8 \ N$. પ્રવેગ $a_B = F_{net,B} / m_B = 8 / 4 = 2 \ m \ s^{-2}$.
પ્રવેગનો ગુણોત્તર $a_A : a_B = 7 : 2$ છે.

(C) ધારો કે વ્યક્તિનું દળ $m$ છે અને દોરડામાં તણાવ $T$ છે.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
જ્યારે વ્યક્તિ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ થાય છે.
સુરક્ષિત રીતે ચઢવા માટે,તણાવ $T$ એ તોડવાની ક્ષમતા $T_{max}$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
તેથી,$T_{max} - mg = ma_{max}$.
સમીકરણમાં $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ મૂકતા:
$\frac{4}{3} mg - mg = ma_{max}$.
$\frac{1}{3} mg = ma_{max}$.
તેથી,$a_{max} = \frac{g}{3}$.

(C) $h$ ઊંચાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L = \frac{h}{\sin \theta}$ છે.
લીસા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = L$:
$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2 \implies \frac{h}{\sin \theta} = \frac{1}{2} g \sin \theta \ t^2$.
આમ,$t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h = 20 \ m$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2 \ s$.
સમતલ $A$ $(\theta_1 = 30^{\circ})$ માટે: $t_1 = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{0.5} \times 2 = 4 \ s$.
સમતલ $B$ $(\theta_2 = 60^{\circ})$ માટે: $t_2 = \frac{1}{\sin 60^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$.
તેથી,$t_1 - t_2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) \ s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \,m \,s^{-1}$, બળ $F = 3 \,N$, સમય $t = 2 \,s$.
બળ પ્રારંભિક વેગને લંબ રૂપે લગાડવામાં આવે છે, તેથી પ્રારંભિક વેગ $x$-અક્ષ પર છે ($u_x = 4 \,m \,s^{-1}$, $u_y = 0$).
બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $a = F/m = 3/2 = 1.5 \,m \,s^{-2}$ છે.
આ પ્રવેગ $y$-દિશામાં કાર્ય કરે છે, તેથી $a_y = 1.5 \,m \,s^{-2}$ અને $a_x = 0$.
$t = 2 \,s$ પછી અંતિમ વેગના ઘટકો:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 0 = 4 \,m \,s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (1.5)(2) = 3 \,m \,s^{-1}$.
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m \,s^{-1}$.

(D) પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટમાં રહેલી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W'$ શોધવાનું સૂત્ર: $W' = m(g + a)$ છે.
આપેલ છે:
છોકરીનું દળ,$m = 30 \ kg$.
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 2 \ m \ s^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W' = 30 \times (10 + 2)$
$W' = 30 \times 12$
$W' = 360 \ N$.
આમ,છોકરીનું આભાસી વજન $360 \ N$ છે.

(D) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $r = 2.5 \ m$,દળ $m = 4 \ kg$,આવૃત્તિ $f = \frac{2}{\pi} \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = 2\pi f$ છે.
$f$ ની કિંમત મૂકતા: $\omega = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \ rad/s$.
તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$T = m \omega^2 r$.
કિંમતો મૂકતા: $T = 4 \times (4)^2 \times 2.5$.
$T = 4 \times 16 \times 2.5$.
$T = 64 \times 2.5 = 160 \ N$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.5 \ kg$,ત્રિજ્યા $r = 2 \ m$,કોણીય ઝડપ $\omega = 40 \ rev/min$.
પ્રથમ,કોણીય ઝડપને $rad/s$ માં ફેરવો:
$\omega = 40 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{4\pi}{3} \ rad/s \approx 4.189 \ rad/s$.
તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T = m \omega^2 r$.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 0.5 \times (4.189)^2 \times 2$.
$T = 1 \times 17.547 \approx 17.5 \ N$.
આમ,તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ આશરે $17.5 \ N$ છે.

(D) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું મહત્તમ પરિણામી મૂલ્ય $R_{max} = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સદિશો $A$ અને $B$ નું ન્યૂનતમ પરિણામી મૂલ્ય $R_{min} = A - B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R_{max} = n \cdot R_{min}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A + B = n(A - B)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $A + B = nA - nB$.
$A$ અને $B$ ના પદોને એકસાથે લાવતા: $A - nA = -nB - B$.
$A(1 - n) = -B(n + 1)$.
બંને બાજુ $B(1 - n)$ વડે ભાગતા: $\frac{A}{B} = \frac{-(n + 1)}{1 - n}$.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા: $\frac{A}{B} = \frac{n + 1}{n - 1}$.

(C) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f'$ આ મુજબ મળે છે: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
આપેલ કિંમતો $K = 16$ અને $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{f_0}{\sqrt{16}} = \frac{f_0}{4}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટના વધુ સારા ટ્યુનિંગ માટે,ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ શક્ય તેટલો ઊંચો હોવો જોઈએ.
ક્વોલિટી ફેક્ટરનું સૂત્ર છે: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
$Q$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણને નાનો અવરોધ $(R)$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ તથા કેપેસિટન્સ $(C)$ નો મોટો ગુણોત્તર જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે $F = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A: F = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1.5}{35 \times 10^{-6}}} \approx 10.35$
$B: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{3.5}{30 \times 10^{-6}}} \approx 22.79$
$C: F = \frac{1}{25} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 9.43$
$D: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 15.71$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ સૌથી વધુ ક્વોલિટી ફેક્ટર આપે છે,જે વધુ સારું ટ્યુનિંગ સૂચવે છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
આપેલ કિંમતો:
અવરોધ $R = 4 \ \Omega$
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 6 \ \Omega$
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 9 \ \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{4^2 + (9 - 6)^2}$
$Z = \sqrt{16 + (3)^2}$
$Z = \sqrt{16 + 9}$
$Z = \sqrt{25}$
$Z = 5 \ \Omega$
તેથી,પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $5 \ \Omega$ છે.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં વિખેરાયેલ પાવર $P = I_{rms}^2 R = \frac{1}{2} I_0^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ પીક કરંટ છે.
અનુનાદ સમયે,વિખેરાયેલ પાવર મહત્તમ હોય છે,જે $P_{max} = \frac{1}{2} I_{max}^2 R$ છે.
આપણે પાવરને મહત્તમ પાવરના અડધા કરવા માંગીએ છીએ: $P = \frac{1}{2} P_{max}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} I^2 R = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I_{max}^2 R)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $I^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{max}$ મળે છે.
આમ,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર તેના મહત્તમ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો હોવો જોઈએ.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega$,અવરોધ $R = 1 \ \Omega$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
$\tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \ \text{રેડિયન}$.
ફેઝ તફાવત $\phi$ અને સમયનો તફાવત $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \omega \Delta t$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f$.
$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ \text{rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{6} = 100\pi \times \Delta t$.
$\Delta t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.
આમ,સમયનો તફાવત $\frac{1}{600} \ s$ છે.

(D) ધારો કે કેપેસિટર,અવરોધક અને ઇન્ડક્ટર પરના વોલ્ટેજ અનુક્રમે $V_C = 2x$,$V_R = 3x$ અને $V_L = 6x$ છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ સંબંધ $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 240 \ V$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$240 = \sqrt{(3x)^2 + (6x - 2x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + (4x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + 16x^2}$
$240 = \sqrt{25x^2}$
$240 = 5x$
$x = \frac{240}{5} = 48 \ V$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 6x = 6 \times 48 = 288 \ V$ છે.

(C) વોલ્ટેજ $V(t) = 50 \sin(50t) \text{ V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 50 \text{ V}$ છે.
પ્રવાહ $I(t) = 50 \sin(50t + \frac{\pi}{4}) \text{ mA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પીક પ્રવાહ $I_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{4}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos(\phi) = \frac{V_0 I_0}{2} \cos(\phi)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{50 \times 0.05}{2} \times \cos(\frac{\pi}{4})$.
$P = \frac{2.5}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.25 \times 0.707 = 0.88375 \text{ W}$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $P \approx 0.884 \text{ W}$ મળે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઘટકો પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ માટેનું સૂત્ર $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 60 \,V$
$V_C = 30 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$.
તેથી, લાગુ પાડવામાં આવેલ $AC$ વોલ્ટેજ $50 \,V$ છે.

(B) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 450 \Omega$,$\cos \phi = 0.6$ અને $f = \frac{75}{\pi} \text{ Hz}$ આપેલ છે.
$\cos \phi = 0.6 = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\frac{R}{Z} = \frac{3}{5}$ થાય.
આથી $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{9}{25}$ મળે.
$25R^2 = 9R^2 + 9X_L^2 \implies 16R^2 = 9X_L^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$4R = 3X_L \implies X_L = \frac{4}{3}R$.
$R = 450 \Omega$ મૂકતા,$X_L = \frac{4}{3} \times 450 = 600 \Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = 2\pi f L$,તેથી $600 = 2\pi \times \frac{75}{\pi} \times L$.
$600 = 150 \times L$.
$L = \frac{600}{150} = 4 \text{ H}$.

(B) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે,લોડ અવરોધ $R_L$ ને ટ્રાન્સફોર્મર દ્વારા સ્ત્રોત અવરોધ $R_s$ સાથે મેચ કરવો આવશ્યક છે.
સ્ત્રોત દ્વારા જોવા મળતો અસરકારક અવરોધ $R' = (N_p/N_s)^2 R_L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_p$ એ પ્રાઈમરી ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે અને $N_s$ એ સેકન્ડરી ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે.
ઈમ્પિડન્સ મેચિંગ માટે,આપણે $R' = R_s$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $R_s = 10^3 \Omega$ અને $R_L = 10 \Omega$,તેથી:
$10^3 = (N_p/N_s)^2 \times 10$
$(N_p/N_s)^2 = 10^3 / 10 = 100$
$N_p/N_s = \sqrt{100} = 10$
તેથી,ગુણોત્તર $N_p : N_s$ એ $10 : 1$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
$1$. પ્રથમ લાયમન રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
$2$. બીજી બામર રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_B = \frac{16}{3R}$.
$3$. તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{16/3R} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ સુધી થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{n_1^2}$,અથવા $\lambda = \frac{n_1^2}{R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $\lambda_{Balmer} = \frac{2^2}{R} = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$,તેથી $\lambda_{Bracket} = \frac{4^2}{R} = \frac{16}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી અને બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{Bracket}}{\lambda_{Balmer}} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4:1$ થાય છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\nu = c \cdot \bar{\nu} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$ છે.
પ્રથમ લાયમન રેખા $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3Rc}{4}$.
દ્વિતીય લાયમન રેખા $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8Rc}{9}$.
આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = \frac{8Rc}{9} - \frac{3Rc}{4}$ છે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $36$ લેતા:
$\Delta \nu = \frac{32Rc - 27Rc}{36} = \frac{5Rc}{36}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $\nu = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,નીચલું ઉર્જા સ્તર $n_1 = 3$ છે.
પ્રથમ પાશ્ચન રેખા $n_2 = 4$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેની આવૃત્તિ $\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7Rc}{144}$ છે.
બીજી પાશ્ચન રેખા $n_2 = 5$ થી $n_1 = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. તેની આવૃત્તિ $\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = \frac{16Rc}{225}$ છે.
આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = Rc \left( \frac{16}{225} - \frac{7}{144} \right) = Rc \left( \frac{256 - 175}{3600} \right) = \frac{81Rc}{3600} = \frac{9Rc}{400}$ થાય.

(D) બોહરનું પરમાણુ મોડેલ ખાસ કરીને હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું,જે એવી પ્રણાલીઓ છે જેમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
આ પ્રણાલીઓમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$,એકવાર આયનીકૃત હિલિયમ $(He^+)$ અને બે વાર આયનીકૃત લિથિયમ $(Li^{2+})$ નો સમાવેશ થાય છે.
બોહરનું મોડેલ એવું માની લે છે કે એક ઇલેક્ટ્રોન $+Ze$ વીજભાર ધરાવતા ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે,તેથી તે ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન આંતરક્રિયાઓને કારણે તટસ્થ હિલિયમ અથવા તટસ્થ લિથિયમ જેવા બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓનું સચોટ વર્ણન કરી શકતું નથી.
તેથી,તે હાઇડ્રોજેનિક પરમાણુઓ માટે લાગુ પડે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n_i$ થી $n_f$ કક્ષામાં થતા સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
$3 \rightarrow 2$ સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$. તેથી,$\lambda_1 = \frac{36}{5R}$.
$2 \rightarrow 1$ સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$. તેથી,$\lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36/5R}{4/3R} = \frac{36}{5R} \times \frac{3R}{4} = \frac{9 \times 3}{5} = \frac{27}{5}$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n_2$ થી $n_1$ ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે ($n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$): $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
બીજા સંક્રમણ માટે ($n_2 = 5$ થી $n_1 = 2$): $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{25 - 4}{100} \right) = 13.6 \times \frac{21}{100} \text{ eV}$.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6 \times (3/4)}{13.6 \times (21/100)} = \frac{3}{4} \times \frac{100}{21} = \frac{25}{7}$ થાય છે.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો સમયગાળો $T$ એ $n^3$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T \propto n^3$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n=1$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=3$ છે,અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=4$ છે.
આપણે બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_1 = 3)$ અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 4)$ માટે સમયગાળાનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
સંબંધ $T_1/T_2 = (n_1/n_2)^3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_1/T_2 = (3/4)^3 = 27/64$.
તેથી,ગુણોત્તર $27: 64$ છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C_{small} = 10 \mu F$,તેથી $4 \pi \epsilon_0 r = 10 \mu F$.
જ્યારે $27$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને એક મોટો ગોળો બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
$V_{big} = 27 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \implies R = 3r$.
મોટા ગોળાનું કેપેસીટન્સ $C_{big} = 4 \pi \epsilon_0 R$ છે.
$R = 3r$ મૂકતા,આપણને $C_{big} = 4 \pi \epsilon_0 (3r) = 3 \times (4 \pi \epsilon_0 r)$ મળે છે.
કારણ કે $4 \pi \epsilon_0 r = 10 \mu F$,તેથી $C_{big} = 3 \times 10 \mu F = 30 \mu F$.

(A) ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ જેની અંદરની ત્રિજ્યા $r$ અને બહારની ત્રિજ્યા $R$ હોય,તેનું સૂત્ર છે:
$C = 4 \pi \epsilon_0 \frac{rR}{R - r}$
અહીં $C = 100 \ pF = 100 \times 10^{-12} \ F$ અને અંતર $d = R - r = 1 \ cm = 0.01 \ m$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,તેથી $4 \pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$100 \times 10^{-12} = \frac{1}{9 \times 10^9} \cdot \frac{r(r + 0.01)}{0.01}$
$r^2 + 0.01r = 100 \times 10^{-12} \times 9 \times 10^9 \times 0.01 = 0.009$
$r^2 + 0.01r - 0.009 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-0.01 + \sqrt{(0.01)^2 - 4(1)(-0.009)}}{2} = \frac{-0.01 + \sqrt{0.0001 + 0.036}}{2} = \frac{-0.01 + 0.19}{2} = 0.09 \ m = 9 \ cm$.

(B) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
કેપેસીટર સ્ત્રોતથી અલગ હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U_i}{K}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $25 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા $U_f = U_i - 0.25 U_i = 0.75 U_i = \frac{3}{4} U_i$ છે.
$U_f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{U_i}{K} = \frac{3}{4} U_i$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = 4/3$ મળે છે.

(A) $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમથી ભરેલા $a$ આંતરિક ત્રિજ્યા અને $b$ બાહ્ય ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{4 \pi \epsilon_0 K ab}{b - a}$
આપેલ છે:
$a = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$
$b = 9 \ cm = 9 \times 10^{-2} \ m$
$K = 5$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{5 \times 8 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^{-2}}{(9 \times 10^{-2} - 8 \times 10^{-2}) \times 9 \times 10^9}$
$C = \frac{360 \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 9 \times 10^9}$
$C = \frac{360 \times 10^{-4}}{9 \times 10^7} = 40 \times 10^{-11} \ F$
$C = 400 \times 10^{-12} \ F = 400 \ pF$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.4 \pi \,m^2$
અંતર $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
સ્લેબની જાડાઈ $t = 0.5 \,mm = d$
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 4.5$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \,F/m$.
કારણ કે સ્લેબ પ્લેટો વચ્ચેની સંપૂર્ણ જગ્યા ભરે છે $(t = d)$, સૂત્ર $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{4.5 \times (1 / (36 \pi \times 10^9)) \times 0.4 \pi}{0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{4.5 \times 0.4 \pi}{36 \pi \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1.8}{18 \times 10^6} = 0.1 \times 10^{-6} \,F = 100 \,nF$.

(D) કેપેસિટન્સ અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $W = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = 2Q$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $W' = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C} = 4W$ છે.
કરવું પડતું વધારાનું કાર્ય એ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,જે $\Delta W = W' - W$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta W = 4W - W = 3W$ મળે છે.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2 = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2)$ છે.
જ્યારે સમાન પ્લેટોને એકસાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ છે.
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)] = \frac{C}{4}(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{C}{4}(V_1 - V_2)^2$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
પોટેન્શિયલ $V = 6 \text{ kV} = 6 \times 10^3 \text{ V}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (10^{-5} \text{ F}) \times (6 \times 10^3 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 36 \times 10^6$
$U = 18 \times 10^1 \text{ J} = 180 \text{ J}$.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $180 \text{ J}$ છે.

(C) $1$. $2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 60 \ V = 120 \mu C$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરીને દૂર કરવામાં આવે છે અને કેપેસિટરને $1 \mu F$ ના અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટર વચ્ચે વહેંચાય છે.
$3$. સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$ થાય છે.
$4$. કેપેસિટર પરનો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{120 \mu C}{3 \mu F} = 40 \ V$ મળે છે.
$5$. કેપેસિટર સમાંતર હોવાથી,$2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $40 \ V$ રહેશે.

(D) ધારો કે કેપેસિટન્સ $C_1 = x, C_2 = 2x, C_3 = 3x, C_4 = 4x$ છે.
પરિપથ પરથી,$C_3$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $C_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે. ધારો કે ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{up}$ છે.
$\frac{1}{C_{up}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} = \frac{2+3+6}{6x} = \frac{11}{6x}$.
તેથી,$C_{up} = \frac{6x}{11}$.
ઉપરની શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{up} = C_{up} V = \frac{6xV}{11}$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ ઉપરની શાખામાં હોવાથી,$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = Q_{up} = \frac{6xV}{11}$ છે.
કેપેસિટર $C_4$ સીધું વોલ્ટેજ સોર્સ $V$ સાથે જોડાયેલું છે,તેથી $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_4 = C_4 V = 4xV$ છે.
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{6xV/11}{4xV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$ થાય.

(A) લાઇન ઓફ સાઇટ કોમ્યુનિકેશનની રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$ છે,જ્યાં $h_t$ એ ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે,$h_r$ એ રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈનો સરવાળો અચળ છે,$h_t + h_r = h$,જેનો અર્થ છે કે $h_t = h - h_r$.
આ કિંમતને રેન્જના સૂત્રમાં મૂકતા: $d = \sqrt{2R(h - h_r)} + \sqrt{2Rh_r}$.
રેન્જ $d$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $d$ નું $h_r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dd}{dh_r} = \sqrt{2R} \left( \frac{1}{2\sqrt{h - h_r}} (-1) + \frac{1}{2\sqrt{h_r}} \right) = 0$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\sqrt{h_r}} = \frac{1}{\sqrt{h - h_r}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h_r = h - h_r$.
તેથી,$2h_r = h$,અથવા $h_r = \frac{h}{2}$.

(C) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ માટે મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\mu = \frac{A_{max} - A_{min}}{A_{max} + A_{min}}$.
અહીં આપેલ છે,$A_{max} = 30 \text{ mV}$ અને $A_{min} = 5 \text{ mV}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{30 - 5}{30 + 5} = \frac{25}{35}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા:
$\mu = \frac{5}{7}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનું મહત્તમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{max} = A_c(1 + \mu)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_c$ એ કેરિયર તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ છે અને $\mu$ એ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ છે.
આપેલ છે: $A_{max} = 14 \ V$ અને $\mu = 0.4$.
કિંમતો મૂકતા: $14 = A_c(1 + 0.4)$.
$14 = A_c(1.4)$.
$A_c = \frac{14}{1.4} = 10 \ V$.
તેથી,કેરિયર તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ $10 \ V$ છે.

(C) સિગ્નલની આવૃત્તિ $f = 1000 \text{ kHz} = 10^6 \text{ Hz}$ છે.
મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^6} = 300 \text{ m}$ છે.
અસરકારક પ્રસારણ માટે, એન્ટેનાની લઘુત્તમ લંબાઈ $\frac{\lambda}{4}$ હોવી જોઈએ.
તેથી, લઘુત્તમ લંબાઈ $L = \frac{300}{4} = 75 \text{ m}$ થાય.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ માટે મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\mu = \frac{A_{max} - A_{min}}{A_{max} + A_{min}}$.
અહીં આપેલ છે,$A_{max} = 25 \ V$ અને $A_{min} = 5 \ V$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{25 - 5}{25 + 5} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\frac{2}{3}$ છે.

(C) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનો મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = A_c + A_m$ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{min} = A_c - A_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_c$ એ કેરિયર કંપવિસ્તાર છે અને $A_m$ એ મેસેજ સિગ્નલનો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{7}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ છે.
ગુણોત્તર પરથી,$3(A_c + A_m) = 7(A_c - A_m)$.
$3A_c + 3A_m = 7A_c - 7A_m$.
$10A_m = 4A_c$.
$\frac{A_m}{A_c} = \frac{4}{10} = 0.4$.
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = 0.4$ છે.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,સાઇડબેન્ડની આવૃત્તિઓ $(f_c + f_m)$ અને $(f_c - f_m)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_c$ એ કેરિયર આવૃત્તિ છે અને $f_m$ એ મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $f_c = 900 \ kHz$ અને $f_m = 5 \ kHz$.
અપર સાઇડબેન્ડ $(USB)$ $= f_c + f_m = 900 \ kHz + 5 \ kHz = 905 \ kHz$.
લોઅર સાઇડબેન્ડ $(LSB)$ $= f_c - f_m = 900 \ kHz - 5 \ kHz = 895 \ kHz$.
તેથી,સાઇડબેન્ડની આવૃત્તિઓ $905 \ kHz$ અને $895 \ kHz$ છે.

(B) આયનોસ્ફિયર એ વાતાવરણનો ઉપરનો ભાગ છે જેમાં આયનો અને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનનું પ્રમાણ વધુ હોય છે.
$3-30 MHz$ ની આવૃત્તિ શ્રેણીના રેડિયો તરંગો (જેને હાઈ ફ્રીક્વન્સી અથવા $HF$ તરંગો કહેવાય છે) આયનોસ્ફિયર દ્વારા પૃથ્વીની સપાટી પર પાછા પરાવર્તિત થાય છે.
આ ઘટના લાંબા અંતરના સંદેશાવ્યવહારને શક્ય બનાવે છે,જેને સ્કાય વેવ પ્રોપેગેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ શ્રેણી કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ શોષાઈ શકે છે,જ્યારે આ શ્રેણી કરતા ઊંચી આવૃત્તિઓ (જેમ કે $VHF$,$UHF$ અને માઇક્રોવેવ્સ) સામાન્ય રીતે આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈને અવકાશમાં જતી રહે છે.

(B) લાઇન-ઓફ-સાઇટ કોમ્યુનિકેશન માટે $h_t$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેના અને $h_r$ ઊંચાઈ ધરાવતા રિસીવિંગ એન્ટેના વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $d_m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d_m = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$.
આપેલ છે: $R = 6.4 \times 10^6 \ m$,$h_t = \frac{R}{20000}$,અને $h_r = \frac{R}{80000}$.
કિંમતો મૂકતા:
$d_m = \sqrt{2R \cdot \frac{R}{20000}} + \sqrt{2R \cdot \frac{R}{80000}}$
$d_m = R \sqrt{\frac{2}{20000}} + R \sqrt{\frac{2}{80000}}$
$d_m = R \sqrt{\frac{1}{10000}} + R \sqrt{\frac{1}{40000}}$
$d_m = R \cdot \frac{1}{100} + R \cdot \frac{1}{200}$
$d_m = R \left( \frac{2+1}{200} \right) = R \cdot \frac{3}{200}$
$d_m = (6.4 \times 10^6) \cdot \frac{3}{200} = 6.4 \times 10^4 \cdot 1.5 = 9.6 \times 10^4 \ m = 96 \ km$.

(A) આયનોસ્ફિયરને વિવિધ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $D$,$E$,$F_1$,અને $F_2$.
$D$ સ્તર એ આયનોસ્ફિયરનું સૌથી નીચું સ્તર છે,જે આશરે $65 \ km$ થી $90 \ km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલું છે.
આ સ્તર ફક્ત દિવસ દરમિયાન જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કારણ કે તે સૌર વિકિરણ દ્વારા આયનીકૃત થાય છે.
જેમ જ સૂર્યાસ્ત થાય છે,આયનીકરણની પ્રક્રિયા બંધ થઈ જાય છે અને આયનો અને ઇલેક્ટ્રોનના પુનઃસંયોજનને કારણે $D$ સ્તર અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
આ સ્તર લો ફ્રીક્વન્સી $(LF)$ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના પરાવર્તન માટે જવાબદાર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $1$. પ્રારંભિક અવરોધ $R_i = 100 \Omega$. જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L^2}{V}$ હોવાથી,$R \propto L^2$.
$2$. નવી લંબાઈ $L' = 1.2 L$. નવો અવરોધ $R' = R_i \times (1.2)^2 = 100 \times 1.44 = 144 \Omega$.
$3$. તારને લંબચોરસમાં વાળવામાં આવે છે જ્યાં લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ નો ગુણોત્તર $3:2$ છે. ધારો કે $l = 3x$ અને $b = 2x$. પરિમિતિ $2(l+b) = 10x$ એ તારની કુલ લંબાઈ દર્શાવે છે.
$4$. બાજુઓનો અવરોધ તેમની લંબાઈના પ્રમાણમાં હશે. $3x$ લંબાઈનો અવરોધ $R_l = \frac{3x}{10x} \times 144 = 43.2 \Omega$. $2x$ લંબાઈનો અવરોધ $R_b = \frac{2x}{10x} \times 144 = 28.8 \Omega$.
$5$. લંબચોરસમાં બે બાજુઓ $43.2 \Omega$ અને બે બાજુઓ $28.8 \Omega$ ની છે. વિકર્ણની આજુબાજુ,આપણી પાસે બે સમાંતર શાખાઓ છે: એક શાખામાં $(43.2 + 28.8) = 72 \Omega$ અને બીજી શાખામાં $(28.8 + 43.2) = 72 \Omega$ અવરોધ છે.
$6$. અસરકારક અવરોધ $R_{eq} = \frac{72 \times 72}{72 + 72} = 36 \Omega$.

(D) તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 18 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તાર ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેક ત્રિકોણની એક બાજુ બનાવે છે.
દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{side} = \frac{18 \Omega}{3} = 6 \Omega$ છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચે અસરકારક અવરોધની ગણતરી કરીએ છીએ,ત્યારે ત્રિકોણની એક બાજુ બાકીની બે બાજુઓ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે,જે શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે બાજુઓનો અવરોધ $R_s = 6 \Omega + 6 \Omega = 12 \Omega$ છે.
હવે,આ $12 \Omega$ નો અવરોધ ત્રીજી $6 \Omega$ ની બાજુ સાથે સમાંતર છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$R_{eq} = 4 \Omega$.

(B) પરિપથમાં $9 \text{ V}$ ની બેટરી અવરોધોના નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી છે.
આકૃતિ જોતા,એમીટરની ડાબી બાજુએ $4$ અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે અને એમીટરની જમણી બાજુએ $5$ અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે.
એમીટર જમણી બાજુના $5$ અવરોધોના સમૂહ સાથે શ્રેણીમાં છે.
બેટરી આખા સમાંતર નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી હોવાથી,જમણી બાજુના $5$ અવરોધો પરનો વોલ્ટેજ $9 \text{ V}$ છે.
દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_r = \frac{9 \text{ V}}{9 \Omega} = 1 \text{ A}$ છે.
જમણી બાજુએ $5$ અવરોધો સમાંતરમાં હોવાથી,એમીટરમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = 5 \times 1 \text{ A} = 5 \text{ A}$ થશે.

(D) કિસ્સો $1$: જ્યારે કી $(K)$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $12 \ V$ નો કોષ અને $40 \ \Omega$ નો એક અવરોધ એમીટર સાથે શ્રેણીમાં હોય છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ પ્રવાહ $i_1 = V / R = 12 / 40 = 0.3 \ A$ મળે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે કી $(K)$ બંધ હોય,ત્યારે બે $40 \ \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (40 \times 40) / (40 + 40) = 1600 / 80 = 20 \ \Omega$ થાય.
હવે પ્રવાહ $i_2 = V / R_{eq} = 12 / 20 = 0.6 \ A$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $i_1: i_2 = 0.3: 0.6 = 1: 2$ થાય.

(C) ચાર્જિંગ દરમિયાન,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$.
અહીં,$V_{supply} = 160 \ V$,$E = 10 \ V$,$R = 24 \ \Omega$,અને $r = 1 \ \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{160 - 10}{24 + 1} = \frac{150}{25} = 6 \ A$.
ચાર્જિંગ દરમિયાન બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = E + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 10 + (6 \times 1) = 10 + 6 = 16 \ V$.

(B) ધારો કે દરેક બેટરીનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r = 1 \Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ $EMF$ $= 2E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $= 2r = 2 \Omega$ થાય.
પ્રવાહ $I_s = \frac{2E}{R + 2}$.
પાવર $P_1 = I_s^2 R = \left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R$.
સમાંતર જોડાણમાં,કુલ $EMF$ $= E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $= \frac{r}{2} = 0.5 \Omega$ થાય.
પ્રવાહ $I_p = \frac{E}{R + 0.5}$.
પાવર $P_2 = I_p^2 R = \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$.
આપેલ છે કે $P_1 = 2.25 P_2$,તેથી $\left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R = 2.25 \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$.
બંને બાજુ $E^2 R$ વડે ભાગતા,$\frac{4}{(R + 2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R + 0.5)^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{R + 2} = \frac{1.5}{R + 0.5}$.
$2(R + 0.5) = 1.5(R + 2) \implies 2R + 1 = 1.5R + 3$.
$0.5R = 2 \implies R = 4 \Omega$.

(D) પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = nAev_d$ છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
$L$ લંબાઈ અને $V = AL$ કદ ધરાવતા વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = nAL$ છે.
પ્રવાહના સૂત્ર પરથી,$nA = I / (ev_d)$.
આ કિંમત $N$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$N = (I / (ev_d)) \times L = IL / (ev_d)$.
ઇલેક્ટ્રોનનું કુલ વેગમાન $P = N \times m_e \times v_d$ છે,જ્યાં $m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
વેગમાનના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા: $P = (IL / (ev_d)) \times m_e \times v_d = (I \times L \times m_e) / e$.
આપેલ છે કે $I = 80 \ A$,$L = 10 \ m$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$P = (80 \times 10 \times 9.1 \times 10^{-31}) / (1.6 \times 10^{-19})$.
$P = (728 \times 10^{-30}) / (1.6 \times 10^{-19}) = 455 \times 10^{-11} \ Ns$.

(A) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ '$I$' એ સમયની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે વિદ્યુતભાર '$Q$' નું સમય '$t$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાથી મળે છે:
$I = \frac{dQ}{dt}$
વિદ્યુતભાર માટેનું આપેલ સમીકરણ: $Q = 3t^2 + t$
'$Q$' નું '$t$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$I = \frac{d}{dt}(3t^2 + t) = 6t + 1$
$t = 3 \ s$ સમયે વિદ્યુતપ્રવાહ શોધવા માટે,'$I$' ના સમીકરણમાં '$t = 3$' મૂકતા:
$I = 6(3) + 1 = 18 + 1 = 19 \ A$
આમ,$t = 3 \ s$ સમયે વાહકમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $19 \ A$ છે.

(D) વિદ્યુત વાહકતા $\sigma$ નું સૂત્ર $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$ છે, જ્યાં $n$ એ વિદ્યુતભાર વાહકની ઘનતા છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે, $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય (અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય) છે, અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે।
$\tau$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે છે $\tau = \frac{\sigma m}{ne^2}$.
આપેલ કિંમતો: $n = 9.1 \times 10^{28} \,m^{-3}$, $\sigma = 6.4 \times 10^7 \,S \,m^{-1}$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{(6.4 \times 10^7) \times (9.1 \times 10^{-31})}{(9.1 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^7 \times 9.1 \times 10^{-31}}{9.1 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^{-24}}{2.56 \times 10^{-10}}$
$\tau = 2.5 \times 10^{-14} \,s$.
આમ, બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $2.5 \times 10^{-14} \,s$ છે.

(C) આકૃતિ પરથી,બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{AC} = 2 \text{ A}$ છે (કારણ કે પ્રવાહ $A$ થી $C$ તરફ $20 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે).
બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = I_{AC} \times R_{AC} = 2 \text{ A} \times 20 \ \Omega = 40 \text{ V}$ છે.
હવે,જંકશન $D$ પર,અંદર આવતો પ્રવાહ $I_{CD} = 5 \text{ A}$ છે અને $F$ થી આવતો પ્રવાહ $I_{FD} = 2 \text{ A}$ છે.
કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,જંકશન $D$ માંથી $E$ તરફ $25 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી બહાર જતો કુલ પ્રવાહ $I_{DE} = I_{CD} + I_{FD} = 5 \text{ A} + 2 \text{ A} = 7 \text{ A}$ છે.
બિંદુઓ $D$ અને $E$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{DE} = I_{DE} \times R_{DE} = 7 \text{ A} \times 25 \ \Omega = 175 \text{ V}$ છે.
પરંતુ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો આપણે $V_{DE} = 75 \text{ V}$ લઈએ,તો ગુણોત્તર $40/75 = 8/15$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 30 \ V$.
મોબિલિટી $\mu = 2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{l} = \frac{30}{0.2} = 150 \ V/m$.
હવે,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \mu E$.
$v_d = (2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}) \times (150 \ V/m) = 300 \times 10^{-6} \ ms^{-1} = 3 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = n A e v_d$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ છે.
આપેલ છે:
$I = 6.4 \,A$
$A = 4 \times 10^{-7} \,m^2$
$n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$v_d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v_d = \frac{I}{n A e}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_d = \frac{6.4}{(8 \times 10^{28}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$
$v_d = \frac{6.4}{32 \times 10^{21} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{6.4}{51.2 \times 10^2} = \frac{6.4}{5120} = 0.00125 \,m/s$
આને $10^{-3} \,m/s$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$v_d = 1.25 \times 10^{-3} \,m/s$.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $1.25$ છે.