AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $P(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot (2^2)^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot 2^{4n+2} + 3^{3n+1} = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n=1$ માટે,$P(1) = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n=2$ માટે,$P(2) = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$209$ અને $4235$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ ($H$.$C$.$F$.) $11$ છે.
તેથી,$P(n)$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) છેદના અવયવ પાડતા: $x^4+2 x^2+9 = (x^4+6 x^2+9) - 4 x^2 = (x^2+3)^2 - (2 x)^2 = (x^2-2 x+3)(x^2+2 x+3)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x^2+3}{(x^2-2 x+3)(x^2+2 x+3)} = \frac{Ax+B}{x^2-2 x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+2 x+3}$.
ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\frac{x^2+3}{x^4+2 x^2+9} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2-2 x+3} + \frac{1}{x^2+2 x+3} \right) = \frac{0x + 1/2}{x^2-2 x+3} + \frac{0x + 1/2}{x^2+2 x+3}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A=0, B=1/2, a=-2, b=3, C=0, D=1/2, c=2$.
$aA+bB+cC+D$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(-2)(0) + (3)(1/2) + (2)(0) + 1/2 = 0 + 3/2 + 0 + 1/2 = 4/2 = 2$.

(D) પ્રથમ આંશિક અપૂર્ણાંક માટે: $\frac{1}{(3x+1)(x-2)} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x-2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન દ્વારા,$1 = A(x-2) + B(3x+1)$.
$x=2$ લેતા,$1 = B(6+1) \Rightarrow B = \frac{1}{7}$.
$x=-\frac{1}{3}$ લેતા,$1 = A(-\frac{1}{3}-2)$ $\Rightarrow 1 = A(-\frac{7}{3})$ $\Rightarrow A = -\frac{3}{7}$.
આમ,$A+3B = -\frac{3}{7} + 3(\frac{1}{7}) = 0$.
બીજા આંશિક અપૂર્ણાંક માટે: $\frac{x+1}{(3x+1)(x-2)} = \frac{C}{3x+1} + \frac{D}{x-2}$.
$x+1 = C(x-2) + D(3x+1)$.
$x=2$ લેતા,$3 = D(7) \Rightarrow D = \frac{3}{7}$.
$x=-\frac{1}{3}$ લેતા,$\frac{2}{3} = C(-\frac{7}{3}) \Rightarrow C = -\frac{2}{7}$.
હવે,$A:C = (-\frac{3}{7}) : (-\frac{2}{7}) = 3:2$ અને $B:D = (\frac{1}{7}) : (\frac{3}{7}) = 1:3$.
તેથી,$A+3B=0, A:C=3:2, B:D=1:3$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-35x+c=0$ ના બીજ $2t$ અને $3t$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 2t + 3t = -(-35)/1 = 35$.
$5t = 35 \Rightarrow t = 7$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2t)(3t) = c/1 = c$.
$6t^2 = c$.
$t = 7$ હોવાથી,$c = 6(7^2) = 6 \times 49$.
આપેલ છે કે $c = 6K$,તેથી $6K = 6 \times 49$.
આમ,$K = 49$.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $x^4-x^3-8 x^2+2 x+12=0$ ના બીજ છે. આપેલ છે કે $\alpha+\beta=0$.
આપણે બહુપદીને $(x^2+a)(x^2-x+b) = x^4-x^3+(a+b)x^2-ax+ab$ તરીકે લખી શકીએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-a=2 \implies a=-2$.
$ab=12 \implies -2b=12 \implies b=-6$.
આમ,$x^4-x^3-8x^2+2x+12 = (x^2-2)(x^2-x-6) = (x^2-2)(x-3)(x+2)$.
બીજ $\pm\sqrt{2}, 3, -2$ છે.
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$\alpha=\sqrt{2}, \beta=-\sqrt{2}$ મળે.
અન્ય બીજ $\gamma=3, \delta=-2$ છે (આપેલ છે કે $\gamma > \delta$).
તેથી,$3\gamma+2\delta = 3(3)+2(-2) = 9-4 = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(3 + \alpha) x^2 + (6 + 2 \alpha) x + (5 + 2 \alpha) = 0$ છે.
બીજ સંકર હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2 \alpha + 6)^2 - 4 (\alpha + 3) (2 \alpha + 5) < 0$.
$4(\alpha + 3)^2 - 4(\alpha + 3)(2 \alpha + 5) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $(\alpha + 3)(\alpha + 3 - 2 \alpha - 5) < 0$.
$(\alpha + 3)(-\alpha - 2) < 0 \Rightarrow (\alpha + 3)(\alpha + 2) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha < -3$ અથવા $\alpha > -2$.
$\alpha > L$ અથવા $\alpha < M$ સાથે સરખાવતા,આપણને $L = -2$ અને $M = -3$ મળે છે.
શરત $L y^2 + M y + r < 0$ એ $-2 y^2 - 3 y + r < 0$ બને છે.
આ તમામ $y \in R$ માટે સાચું હોવા માટે,$y^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ (જે $-2 < 0$ છે) અને $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-3)^2 - 4(-2)(r) < 0$.
$9 + 8 r < 0$ $\Rightarrow 8 r < -9$ $\Rightarrow r < -\frac{9}{8} = -1.125$.
$r$ થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $[r] = [-1.125] = -2$ છે.

(A) ધારો કે $t = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. તો સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2t^2 - 5t + 2 = 0$ મળે છે,જે $t = 2$ અથવા $t = \frac{1}{2}$ આપે છે.
જો $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = 2$ હોય,તો $\frac{1-y}{y} = 4$ $\Rightarrow 1-y = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{1}{5}$.
જો $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\frac{1-y}{y} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4-4y = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$.
આમ,$\alpha = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{4}{5}$ (કારણ કે $\beta > \alpha$).
તેથી $\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha \beta = \frac{4}{25}$.
સમીકરણ $(\alpha+\beta) x^4 - 25 \alpha \beta x^2 + (\gamma + \beta - \alpha) = 0$ એ $x^4 - 4x^2 + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$ બને છે.
ધારો કે $u = x^2$. તો $u^2 - 4u + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$.
વાસ્તવિક બીજ માટે,$u$ અ-ઋણ હોવું જોઈએ. વિવેચક $D = 16 - 4(\gamma + \frac{3}{5}) \ge 0$ $\Rightarrow 4 - \gamma - \frac{3}{5} \ge 0$ $\Rightarrow \gamma \le \frac{17}{5} = 3.4$.
વધુમાં,ઓછામાં ઓછા એક અ-ઋણ બીજ $u$ માટે,બીજનો સરવાળો $4 > 0$ અને ગુણાકાર $\gamma + \frac{3}{5} \ge 0 \Rightarrow \gamma \ge -0.6$ હોવો જોઈએ.
આમ,$\gamma \in [-0.6, 3.4]$. વિકલ્પોમાંથી,$\frac{1}{2} = 0.5$ આ શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $= a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$.
સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોવાથી,$x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\beta = 1$.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha \times \beta = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{x}^2 \text{ નો સહગુણક}} = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$.
તેથી,$\alpha \times 1 = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$.
આમ,બીજ $1$ અને $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ એક બીજ $x_1 = 3+i$ છે,તેથી બીજું બીજ $x_2 = 3-i$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના બીજનો સરવાળો $-a$ થાય છે.
તેથી,$(3+i) + (3-i) = -a$.
$6 = -a$.
$a = -6$.

(B) બીજને $-1$ દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરવા માટે,આપણે $x$ ને $(x+1)$ વડે બદલીએ છીએ.
મૂળ સમીકરણ $f(x) = x^4+5x^3+6x^2+7x+9=0$ માં $x$ ની જગ્યાએ $(x+1)$ મૂકતા:
$f(x+1) = (x+1)^4 + 5(x+1)^3 + 6(x+1)^2 + 7(x+1) + 9 = 0$
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$
$5(x+1)^3 = 5x^3 + 15x^2 + 15x + 5$
$6(x+1)^2 = 6x^2 + 12x + 6$
$7(x+1) = 7x + 7$
બધા પદોનો સરવાળો કરતા:
$x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 38x + 28 = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3ax + a^2 - 2a - 4 = 0$ છે.
બીજ સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (-3a)^2 - 4(1)(a^2 - 2a - 4) = 9a^2 - 4a^2 + 8a + 16 = 5a^2 + 8a + 16$.
કારણ કે $5a^2 + 8a + 16$ એ '$a$' માં દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેનો વિવેચક $D_a = 8^2 - 4(5)(16) = 64 - 320 = -256 < 0$ છે,તેથી $5a^2 + 8a + 16$ હંમેશા ધન રહે છે.
પરંતુ,બીજ સંમેય હોવા માટે $D$ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$5a^2 + 8a + 16$ એ દરેક સંમેય '$a$' માટે પૂર્ણ વર્ગ ન હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે પરંતુ તે હંમેશા સંમેય હોતા નથી.

(C) આપેલ અસમતા $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે છે.
$x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,આપણે અસમતાને બે ભાગમાં વહેંચી શકીએ.
ભાગ $1$: $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} \Rightarrow 3 x^2+(a+1) x+3 > 0$.
દરેક $x$ માટે આ સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$(a+1)^2 - 36 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+7) < 0$ $\Rightarrow a \in (-7, 5) \dots (i)$.
ભાગ $2$: $\frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3 \Rightarrow x^2-(a-3) x+1 > 0$.
દરેક $x$ માટે આ સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$(a-3)^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a-1) < 0$ $\Rightarrow a \in (1, 5) \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા,$a \in (1, 5)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $y$ એ $x^2+5ax+6=0$ અને $x^2+3ax+2=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$y^2+5ay+6=0$ અને $y^2+3ay+2=0$ થાય.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(y^2+5ay+6) - (y^2+3ay+2) = 0$
$2ay + 4 = 0$
$2ay = -4$
$ay = -2$
$ay = -2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y^2 + 3(-2) + 2 = 0$
$y^2 - 6 + 2 = 0$
$y^2 - 4 = 0$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$.

(B) પ્રથમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2+3x-2=0$ ના અવયવ પાડો:
$2x^2+4x-x-2=0$ $\Rightarrow 2x(x+2)-1(x+2)=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x+2)=0$.
આમ,બીજ $x=-2$ અને $x=\frac{1}{2}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x=-2$ સામાન્ય બીજ હોય,તો તેને $3x^2+ax-2=0$ માં મૂકતા:
$3(-2)^2+a(-2)-2=0$ $\Rightarrow 12-2a-2=0$ $\Rightarrow 10=2a$ $\Rightarrow a=5$.
કિસ્સો $2$: જો $x=\frac{1}{2}$ સામાન્ય બીજ હોય,તો તેને $3x^2+ax-2=0$ માં મૂકતા:
$3(\frac{1}{2})^2+a(\frac{1}{2})-2=0$ $\Rightarrow \frac{3}{4}+\frac{a}{2}-2=0$ $\Rightarrow \frac{a}{2} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a=2.5$.
$a$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $5+2.5=7.5$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2-5x+\lambda=0$ અને $x^2-8x-2\lambda=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
બંને સમીકરણોમાં $\alpha$ મૂકતા:
$\alpha^2-5\alpha+\lambda=0$ ... $(i)$
$\alpha^2-8\alpha-2\lambda=0$ ... (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$3\alpha+3\lambda=0 \Rightarrow \alpha=-\lambda$.
$\alpha$ એ $x^2-5x+\lambda=0$ નું બીજ હોવાથી,$\alpha=-\lambda$ મૂકતા:
$(-\lambda)^2-5(-\lambda)+\lambda=0$
$\lambda^2+6\lambda=0$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda=-6$.
તેથી,$\alpha = 6$.
$x^2-5x-6=0$ માટે,બીજ $\alpha=6$ અને $\beta=-1$ છે.
$x^2-8x+12=0$ માટે,બીજ $\alpha=6$ અને $\gamma=2$ છે.
અંતે,$\alpha+\beta+\gamma+\lambda = 6 - 1 + 2 - 6 = 1$.

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} < 2$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} - 2 < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 2(2 x^2+x-6)}{2 x^2+x-6} < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 4 x^2-2 x+12}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
$\Rightarrow \frac{3 x^2-7 x-6}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
અંશના અવયવ પાડતા: $3 x^2-7 x-6 = 3 x^2-9 x+2 x-6 = 3 x(x-3)+2(x-3) = (3 x+2)(x-3)$
તેથી,અસમતા બને છે: $\frac{(3 x+2)(x-3)}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -2, -\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, 3$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતરાલો તપાસીએ છીએ:
$x > 3$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$\frac{3}{2} < x < 3$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$-\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$-2 < x < -\frac{2}{3}$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$x < -2$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
આપણને પદાવલિ $0$ કરતા નાની જોઈએ છે,તેથી ઉકેલ $x \in \left(-2, -\frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, 3 \right)$ છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચી હોય તે માટે,$a > 0$ અને વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = 1 > 0$,જે હંમેશા સાચું છે.
વિવેચક $D = \{-(3k + 1)\}^2 - 4(1)(4k^2 + 3k - 3) < 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(9k^2 + 6k + 1) - (16k^2 + 12k - 12) < 0$ મળે છે.
$-7k^2 - 6k + 13 < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $7k^2 + 6k - 13 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(7k + 13)(k - 1) > 0$.
બીજ $k = -\frac{13}{7}$ અને $k = 1$ છે.
પદાવલિ ધન હોય તે માટે,$k$ એ અંતરાલ $[-\frac{13}{7}, 1]$ ની બહાર હોવું જોઈએ.
આમ,ઉકેલ ગણ $k \in (-\infty, -\frac{13}{7}) \cup (1, \infty)$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+3(a+3)x-9a=0$ ના બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = [3(a+3)]^2 - 4(1)(-9a) = 0$
$9(a^2+6a+9) + 36a = 0$
$9a^2 + 90a + 81 = 0 \Rightarrow a^2 + 10a + 9 = 0$
$(a+9)(a+1) = 0 \Rightarrow a = -9, -1$.
$a = -9$ માટે,$x^2 - 18x + 81 = 0 \Rightarrow x = 9$. તેથી $\alpha = 9$.
$a = -1$ માટે,$x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3$. તેથી $\beta = -3$.
પદાવલિ $f(x) = x^2 + 9x + 3$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(x) = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{69}{4}$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{69}{4}$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
$(11-y) x^2+(12-4 y) x+(6-2 y)=0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$(12-4 y)^2-4(11-y)(6-2 y) \geq 0$.
$(y-3)(y+5) \geq 0$.
આમ,$y \leq -5$ અથવા $y \geq 3$.
આપેલ છે કે $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin (-5, 3]$,તેથી $a = -5$ અને $b = 3$.
આપણે $x$ શોધવાનું છે જેના માટે $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} = 3 - (-5) + 3 = 11$.
$11 x^2+12 x+6 = 11(x^2+4 x+2)$.
$12 x+6 = 44 x+22$.
$32 x = -16$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x+a}{2 x^2-3 x+1}$,જ્યાં $y \in \mathbb{R}$.
જો $y$ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો લેતું હોય,તો સમીકરણ $2 y x^2 - (3 y + 1) x + (y - a) = 0$ ને તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે $x$ ના વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
$y \neq 0$ માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (3 y + 1)^2 - 4(2 y)(y - a) \geq 0$
$y^2 + (8 a + 6) y + 1 \geq 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે અ-ઋણ હોવા માટે,તેનો વિવેચક $0$ કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોવો જોઈએ.
$(8 a + 6)^2 - 4 \leq 0$
$(2 a + 1)(a + 1) \leq 0$
આમ,$-1 \leq a \leq -\frac{1}{2}$.
પરંતુ,જો $y=0$ હોય,તો $x=-a$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $a \neq -1/2$ અને $a \neq -1$.
તેથી,$-1 < a < -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2 - 6ax + (9a^2 - 2a + 2) = 0$.
ધારો કે $f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2$.
બંને બીજ $3$ કરતા મોટા હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1)$ વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (-6a)^2 - 4(1)(9a^2 - 2a + 2) = 8a - 8$.
$8a - 8 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1$.
$2)$ શિરોબિંદુનું સ્થાન: $-\frac{b}{2a} > 3$:
$-\frac{-6a}{2(1)} > 3$ $\Rightarrow 3a > 3$ $\Rightarrow a > 1$.
$3)$ $f(3) > 0$:
$f(3) = 9a^2 - 20a + 11 > 0$
$(9a - 11)(a - 1) > 0$.
$a > 1$ હોવાથી,શરત $(9a - 11)(a - 1) > 0$ નો અર્થ $a > \frac{11}{9}$ થાય છે.
બધી શરતોને જોડતા,આપણને $a > \frac{11}{9}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$ છે અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -c$ છે.
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$ મળે છે.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3-13x^2+Kx-27=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજનો ગુણાકાર લેતા,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -\frac{-27}{1} = 27$.
તેથી,$a^3 = 27$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
$a=3$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $3^3 - 13(3^2) + K(3) - 27 = 0$.
$27 - 117 + 3K - 27 = 0$.
$3K - 117 = 0$.
$3K = 117$.
$K = 39$.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \gamma$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -p$.
$\alpha + \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $2\gamma = -p$ મળે,તેથી $\gamma = -\frac{p}{2}$.
$\gamma$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $(-\frac{p}{2})^3 + p(-\frac{p}{2})^2 + q(-\frac{p}{2}) - 5 = 0$.
$-\frac{p^3}{8} + \frac{p^3}{4} - \frac{pq}{2} - 5 = 0$.
$8$ વડે ગુણતા,આપણને $-p^3 + 2p^3 - 4pq - 40 = 0$ મળે.
$p^3 - 4pq = 40$.
$p(p^2 - 4q) = 40$.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
કિંમતોમાં ભાત જુઓ: $x = 0, 1, 2, 3, 4$ માટે $P(x) = x^2 + 1$ થાય છે.
ધારો કે $Q(x) = P(x) - (x^2 + 1)$.
$P(x)$ એ $5$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,$Q(x)$ એ $0, 1, 2, 3, 4$ શૂન્યો ધરાવતી $5$ ઘાતની બહુપદી છે.
તેથી,$Q(x) = k(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ જ્યાં $k = 1$.
આમ,$P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 1$.
$P(5)$ શોધવા માટે,$x = 5$ મૂકતા:
$P(5) = 5(4)(3)(2)(1) + 25 + 1 = 120 + 26 = 146$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-x^3-6x^2+4x+8=0$ છે.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ એ એક બીજ છે.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(x^3+x^2-4x-4)=0$ મળે છે.
ઘન બહુપદી $x^3+x^2-4x-4$ માં ફરીથી $x=2$ મૂકતા,$8+4-8-4=0$ મળે છે,તેથી $x=2$ ફરીથી બીજ છે.
$(x^3+x^2-4x-4)$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(x^2+3x+2)=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત ભાગનું અવયવીકરણ કરતા: $(x^2+3x+2) = (x+1)(x+2)$.
આમ,બીજ $x=2, 2, -1, -2$ છે.
બે સમાન બીજ $2, 2$ છે.
અન્ય બે બીજ $\alpha = -1$ અને $\beta = -2$ છે.
તેથી,$\alpha^2+\beta^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ સમાંતર શ્રેણીમાં $\alpha-r, \alpha, \alpha+r$ છે.
બીજનો સરવાળો $= \alpha-r+\alpha+\alpha+r = 3\alpha$.
આપેલ સમીકરણ $x^3-b x^2+c x-d=0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $b$ છે.
તેથી,$3\alpha = b \Rightarrow \alpha = \frac{b}{3}$.
કારણ કે $\alpha$ એ સમીકરણનું બીજ છે,તે $x^3-b x^2+c x-d=0$ નું સમાધાન કરશે.
$x = \frac{b}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{b}{3})^3 - b(\frac{b}{3})^2 + c(\frac{b}{3}) - d = 0$
$\frac{b^3}{27} - \frac{b^3}{9} + \frac{bc}{3} - d = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$b^3 - 3b^3 + 9bc - 27d = 0$
$-2b^3 + 9bc - 27d = 0$
$9bc = 2b^3 + 27d$.

(C) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha^2 = 6\alpha + 2$ અને $\beta^2 = 6\beta + 2$ મળે.
$\alpha^8$ વડે ગુણતા,$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^{10} - 2\alpha^8 = 6\alpha^9$.
તે જ રીતે,$\beta$ માટે,$\beta^{10} - 2\beta^8 = 6\beta^9$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8) = 6(\alpha^9 - \beta^9)$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$a_n = \alpha^n - \beta^n$,તેથી $a_{10} - 2a_8 = 6a_9$.
તેથી,$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^5-5x^3+5x^2-1=0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ બીજ છે.
બહુપદીના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x^4+x^3-4x^2+x+1)=0$.
વધુ અવયવ પાડતા: $(x-1)^2(x^3+2x^2-2x-1)=0$.
$(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$.
બીજ $x=1$ (ત્રિ-ઘાતી બીજ) અને $x=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
બે ભિન્ન ઋણ બીજ $\alpha = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ અને $\beta = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ છે.
આપણે $\sqrt{-\alpha}$ અને $\sqrt{-\beta}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ જોઈએ છે.
ધારો કે $y = \sqrt{-\alpha} \Rightarrow y^2 = -\alpha$.
$\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+3x+1=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta = -3$ અને $\alpha\beta = 1$ મળે.
નવા બીજ $y_1 = \sqrt{-\alpha}$ અને $y_2 = \sqrt{-\beta}$ છે.
સમીકરણ $(y^2+\alpha)(y^2+\beta) = 0$ થશે.
$y^4 + (\alpha+\beta)y^2 + \alpha\beta = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $y^4 - 3y^2 + 1 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^9-x^5+x^4-1=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(x^5+1)(x^4-1) = 0$.
$x^4-1=0$ માટે બીજ $x=1, -1, i, -i$ છે.
$x^5+1=0$ માટે બીજ $x=-1, e^{\pm i\pi/5}, e^{\pm 3i\pi/5}$ છે.
વાસ્તવિક બીજ $n=3$ (પુનરાવર્તિત બીજ સાથે),$m=2$,$k=1$.
તેથી,$m \cdot n \cdot k = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

(B) ભાગફળ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 3x^5-4x^4+5x^3-3x^2+6x-8$ ને $t(x) = x^2+x-3$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
ભાગાકારની પ્રક્રિયા કરતા,આપણને ભાગફળ $3x^3-7x^2+21x-45$ અને શેષ $114x-143$ મળે છે.
તેથી,ભાગફળ $3x^3-7x^2+21x-45$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x - 1 = 0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ એક બીજ છે,તેથી $\alpha_1 = 1$.
બહુપદીને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને ઘટાડેલું સમીકરણ મળે છે: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $x + \frac{1}{x} = a$. તો $x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $(a^2 - 2) - 4a + 5 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 4a + 3 = 0$ થાય છે.
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(a - 3)(a - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $a = 1$ અથવા $a = 3$.
$a = 1$ માટે,$x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. બીજ $\alpha_2, \alpha_3$ છે. $x^2 - x + 1 = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{x^2} = x - 1$ મળે. તેથી $\frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} = (\alpha_2 + \alpha_3) - 2 = 1 - 2 = -1$.
$a = 3$ માટે,$x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$. બીજ $\alpha_4, \alpha_5$ છે. $x^2 - 3x + 1 = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{x^2} = 3x - 1$ મળે. તેથી $\frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = 3(\alpha_4 + \alpha_5) - 2 = 3(3) - 2 = 7$.
અંતે,$\frac{1}{\alpha_1^2} + \frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} + \frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = \frac{1}{1^2} + (-1) + 7 = 1 - 1 + 7 = 7$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $12x^3-20x^2+x+3=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{3}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{12}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{4}$
આપણને $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ વાળું સમીકરણ જોઈએ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \frac{376}{144}$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{121}{144}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \frac{9}{144}$.
જરૂરી સમીકરણ $x^3 - (\sum \alpha^2)x^2 + (\sum \alpha^2\beta^2)x - (\alpha^2\beta^2\gamma^2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $144x^3 - 376x^2 + 121x - 9 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+3x^2-10x-24=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = -3$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -10$,અને $\alpha\beta\gamma = 24$.
ધારો કે $S = \alpha+\beta+\gamma = -3$. નવા સમીકરણના બીજ $\alpha(S-\alpha), \beta(S-\beta), \gamma(S-\gamma)$ છે.
$q$ એ બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$q = (\alpha S - \alpha^2)(\beta S - \beta^2) + (\beta S - \beta^2)(\gamma S - \gamma^2) + (\gamma S - \gamma^2)(\alpha S - \alpha^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$q = (-3)^2(-10) - (-3)((-3)(-10) - 3(24)) + ((-10)^2 - 2(24)(-3))$.
$q = -90 + 3(30 - 72) + (100 + 144) = 28$.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ શોધવાનું છે.
લસાઅ લેતા:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(A) આપેલ છે કે $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^k = -i$.
પ્રથમ,આધારનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
તેથી,સમીકરણ $(-i)^k = -i$ બને છે.
$(-i)^k = -i$ માટે,$k$ એ $k \equiv 1 \pmod 4$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક $m = 1$ છે.
મહત્તમ ઋણ પૂર્ણાંક $n = 1 - 4 = -3$ છે.
આમ,$m - n = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$.

(B) ધારો કે $z = 8i = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 8e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2$.
ઘનમૂળ લેતા,$z^{\frac{1}{3}} = 2e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}$.
$k=0$ માટે: $2e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + i$.
$k=1$ માટે: $2e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} + i$.
$k=2$ માટે: $2e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i$.
આમ,કિંમતો $\pm \sqrt{3} + i, -2i$ છે.

(C) ધારો કે $\sqrt{-5-12 i} = x+y i$,જ્યાં $x > 0$.
$-5-12 i = (x+y i)^2 = x^2-y^2+2 x y i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x^2-y^2 = -5$ અને $2 x y = -12$.
$x^2+y^2 = \sqrt{(-5)^2+(-12)^2} = 13$.
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2 x^2 = 8$,તેથી $x = 2$ ($x > 0$ હોવાથી).
તેથી $y = -3$. આમ,$\sqrt{-5-12 i} = 2-3 i$.
તે જ રીતે,$\sqrt{5+12 i} = 3+2 i$ અને $\sqrt{-8-6 i} = -1+3 i$.
હવે,$a+b i = \frac{(2-3 i)+(3+2 i)}{-1+3 i} = \frac{5-i}{-1+3 i}$.
અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{5-i}{-1+3 i} \times \frac{-1-3 i}{-1-3 i} = \frac{-8-14 i}{10} = -0.8-1.4 i$.
તેથી $a = -0.8$ અને $b = -1.4$.
$2 a+b = 2(-0.8)+(-1.4) = -3$.

(A) ધારો કે $Z = x + iy$.
તો $Z - 2 = (x - 2) + iy$.
સંકર સંખ્યા $w = a + ib$ નો કંપવિસ્તાર (argument) $\theta = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ છે.
આપેલ છે કે $\arg(Z - 2) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ અને $y > 0$.
આમ,$Z$ નો બિંદુપથ એ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે જ્યાં $y > 0$.

(D) ધારો કે $Z = \frac{(1-i)^3}{(2-i)(3-2i)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(1-i)^3 = -2 - 2i$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2-i)(3-2i) = 4 - 7i$.
તેથી,$Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા વડે ગુણતા: $Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i} \times \frac{4 + 7i}{4 + 7i} = \frac{6 - 22i}{65}$.
આમ,$Z = \frac{6}{65} - \frac{22}{65}i$.
કાલ્પનિક ભાગ $-\frac{22}{65}$ છે.

(A) ધારો કે $\sqrt{7+24 i} = x+iy$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$7+24 i = (x^2-y^2) + 2xyi$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x^2-y^2 = 7$ અને $2xy = 24$,એટલે કે $xy = 12$ અથવા $y = \frac{12}{x}$.
$y$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 - (\frac{12}{x})^2 = 7 \Rightarrow x^4 - 7x^2 - 144 = 0$.
$u = x^2$ લેતા,$u^2 - 7u - 144 = 0$ મળે. અવયવ પાડતા $(u-16)(u+9) = 0$ મળે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,$x^2 = 16$,તેથી $x = \pm 4$.
જો $x = 4$ હોય,તો $y = 3$. જો $x = -4$ હોય,તો $y = -3$.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(4+3i)$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$|Z-1| \leq 2$ અને $|\omega^2 Z-1-\omega|=a$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$-1-\omega = \omega^2$ થાય.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $|\omega^2 Z + \omega^2| = a$.
$|\omega^2| = 1$ હોવાથી,આ $|Z+1| = a$ માં પરિણમે છે.
આને $|(Z-1)+2| = a$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|Z-1+2| \leq |Z-1| + |2|$.
$|Z-1| \leq 2$ આપેલ હોવાથી,$a = |Z+1| \leq |Z-1| + 2 \leq 2 + 2 = 4$.
વળી,માનાંક $a$ હંમેશા અઋણ હોય,તેથી $a \geq 0$.
આમ,$a$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $0 \leq a \leq 4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^3+\bar{z}=0$ છે,જ્યાં $z=x+iy$ એક સંકર સંખ્યા છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $|z^3| = |-\bar{z}|$.
$|z^3| = |z|^3$ અને $|-\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^3 = |z|$ મળે.
આથી $|z|(|z|^2-1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $|z|=0$,જે ઉકેલ $z=0$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $|z|^2=1$,જેનો અર્થ છે $z\bar{z}=1$,તેથી $\bar{z}=\frac{1}{z}$.
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,જે $z^4+1=0$ માં પરિણમે છે.
સમીકરણ $z^4 = -1$ ના $4$ ભિન્ન બીજ મળે છે.
કિસ્સો $1$ માંથી મળેલ ઉકેલ $z=0$ ને ઉમેરતા,કુલ ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 4 = 5$ થાય છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. શરત મુજબ $\frac{z-2i}{z-2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
ગણતરી કરતા: $(z-2i)(\bar{z}-2) + (\bar{z}+2i)(z-2) = 0$.
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ માં પરિણમે છે.
જે $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
આ વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

(C) ધારો કે $z = \frac{3-2 i \sin \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
છેદના અનુબદ્ધ $(1-2 i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3-2 i \sin \theta)(1-2 i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta - 8 i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા માટે વાસ્તવિક ભાગ $0$ થવો જોઈએ:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
તેથી,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) સૌ પ્રથમ,સંકર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો:
$(4-3i)(2+3i) = 8 + 12i - 6i - 9i^2 = 8 + 6i + 9 = 17 + 6i$.
ત્યારબાદ,$(1+4i)$ વડે ગુણાકાર કરો:
$(17+6i)(1+4i) = 17 + 68i + 6i + 24i^2 = 17 + 74i - 24 = -7 + 74i$.
સંકર સંખ્યા $z = a + bi$ નો સંકર અનુબદ્ધ $\bar{z} = a - bi$ છે.
તેથી,$-7 + 74i$ નો સંકર અનુબદ્ધ $-7 - 74i$ છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i)}{(1-i)(-i)}$
અંશ: $(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i) = -\sqrt{3} - i - 3i - i^2 \sqrt{3} = -\sqrt{3} - 4i + \sqrt{3} = -4i$
છેદ: $(1-i)(-i) = -i + i^2 = -i - 1 = -(1+i)$
તેથી,$z = \frac{-4i}{-(1+i)} = \frac{4i}{1+i}$
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(1-i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{4i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4i - 4i^2}{1 - i^2} = \frac{4i + 4}{1 + 1} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i$
$z = 2+2i$ એ $I^{st}$ ચરણમાં હોવાથી,કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $z=x+iy$ અને $x^2+y^2=1$, તેથી આપણે $z=e^{i\phi}$ લખી શકીએ જ્યાં $\phi = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
$z_1 = ze^{i\theta} = e^{i\phi}e^{i\theta} = e^{i(\phi+\theta)}$.
તેથી $z_1^{2n} = e^{i2n(\phi+\theta)}$.
પદ $\frac{z_1^{2n}-1}{z_1^{2n}+1} = \frac{e^{i2n(\phi+\theta)}-1}{e^{i2n(\phi+\theta)}+1}$ લો.
અંશ અને છેદને $e^{-in(\phi+\theta)}$ વડે ગુણતા:
$= \frac{e^{in(\phi+\theta)} - e^{-in(\phi+\theta)}}{e^{in(\phi+\theta)} + e^{-in(\phi+\theta)}} = \frac{2i \sin(n(\phi+\theta))}{2 \cos(n(\phi+\theta))}$.
$= i \tan(n(\phi+\theta)) = i \tan(n(\theta+\tan^{-1}(\frac{y}{x})))$.

(D) આપેલ છે $Z = \cos \theta + i \sin \theta$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$Z^{2n} = \cos(2n\theta) + i \sin(2n\theta)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 + Z^{2n}}{1 - Z^{2n}} = \frac{1 + \cos(2n\theta) + i \sin(2n\theta)}{1 - \cos(2n\theta) - i \sin(2n\theta)}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 + \cos(2A) = 2 \cos^2 A$ અને $1 - \cos(2A) = 2 \sin^2 A$,તથા $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \cos^2(n\theta) + 2i \sin(n\theta) \cos(n\theta)}{2 \sin^2(n\theta) - 2i \sin(n\theta) \cos(n\theta)} = \frac{2 \cos(n\theta) [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]}{2i \sin(n\theta) [-i \sin(n\theta) + \cos(n\theta)]}$.
$= \frac{\cos(n\theta)}{i \sin(n\theta)} = -i \cot(n\theta)$.

(A) આપેલ છે કે $(r, \theta) = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$.
તેથી,$x = e^{i\alpha}$,$y = e^{i\beta}$,અને $z = e^{i\gamma}$.
આપેલ છે કે $x + y + z = 0$,આપણે જાણીએ છીએ કે સંકર સંખ્યાઓ માટે,જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
$xyz$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} = 3$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\frac{e^{2i\alpha}}{e^{i\beta}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\beta}}{e^{i\alpha}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\gamma}}{e^{i\alpha}e^{i\beta}} = 3$.
$e^{i(2\alpha - \beta - \gamma)} + e^{i(2\beta - \alpha - \gamma)} + e^{i(2\gamma - \alpha - \beta)} = 3$.
બંને બાજુ વાસ્તવિક ભાગ લેતા:
$\cos(2\alpha - \beta - \gamma) + \cos(2\beta - \alpha - \gamma) + \cos(2\gamma - \alpha - \beta) = 3$.

(C) આપેલ છે $x+y=20$. આપણે $f(x, y) = x^3 y$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
$\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, y$ પદો માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + y}{4} \geq \sqrt[4]{\left(\frac{x}{3}\right)^3 y}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$\frac{20}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}} \Rightarrow 5 \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$5^4 \geq \frac{x^3 y}{27} \Rightarrow x^3 y \leq 27 \times 625 = 16875$.
તેથી,$k = 16875$.
મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\frac{x}{3} = y$ હોય.
$x+y=20$ હોવાથી,$3y+y=20$ $\Rightarrow 4y=20$ $\Rightarrow y=5=\beta$ અને $x=15=\alpha$.
હવે,$\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} = \frac{27 \times 625}{15^2 \times 5^2} = 3$.
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{15}{5} = 3$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{\alpha}{\beta}$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય: $\left| \begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & k & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{smallmatrix} \right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(5k - 2) - 3(5 - 8) + 4(1 - 4k) = 0$.
$10k - 4 + 9 + 4 - 16k = 0$.
$-6k + 9 = 0$ $\Rightarrow 6k = 9$ $\Rightarrow k = \frac{3}{2}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha = k = \frac{3}{2}$ અને $\beta = \frac{1}{k} = \frac{2}{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
$x^2 - (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})x + (\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}) = 0$.
$x^2 - (\frac{9+4}{6})x + 1 = 0$.
$x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$.
$6$ વડે ગુણતા,$6x^2 - 13x + 6 = 0$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ $a^2 x^4 + b^2 y^4 = c^6$ છે.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^2 x^4 + b^2 y^4}{2} \geq \sqrt{(a^2 x^4)(b^2 y^4)}$
કિંમત મૂકતા:
$\frac{c^6}{2} \geq ab x^2 y^2$
$x^2 y^2 \leq \frac{c^6}{2ab}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$xy \leq \frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$
તેથી,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \cot x$.
આપેલ છે કે $1^{\prime} = 0.0175$ રેડિયન,તેથી $2^{\prime} = 0.035$ રેડિયન.
વિકલન $f^{\prime}(x) = -\operatorname{cosec}^2 x$ છે.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx \cot(45^{\circ}) + (0.035) \times (-\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}))$.
કારણ કે $\cot(45^{\circ}) = 1$ અને $\operatorname{cosec}(45^{\circ}) = \sqrt{2}$,તેથી $\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}) = 2$.
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx 1 - 0.035 \times 2 = 1 - 0.07 = 0.93$.

(D) આપેલ છે: $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$
બંને બાજુ $\cos$ લેતા:
$\cos(\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x) = \cos(\frac{\pi}{3})$
સૂત્ર $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2x)(3x) - \sqrt{1-(2x)^2} \sqrt{1-(3x)^2} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{1-4x^2} \sqrt{1-9x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
તેથી $4x^2 = 4 \times \frac{3}{28} = \frac{3}{7} = \frac{a}{b}$
આમ,$a = 3$ અને $b = 7$.
$a + b = 3 + 7 = 10$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)=\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)$
સૂત્ર $\sin(2 \tan^{-1} \theta) = \frac{2\theta}{1+\theta^2}$ અને $\cos(2 \tan^{-1} x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$\frac{24}{25} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$24(1+x^2) = 25(1-x^2)$
$24 + 24x^2 = 25 - 25x^2$
$49x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{49}$
$x = \frac{1}{7}$

(C) $\triangle PQR$ માં,$L, M, N$ એ અનુક્રમે $PQ, QR, RP$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\overrightarrow{LM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR}$,$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PQ}$,અને $\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR}$.
વળી,$\overrightarrow{QM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{NL}$,$\overrightarrow{LN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{ML}$,$\overrightarrow{RN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{RP} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{ML}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{QM} + \overrightarrow{LN} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{RN} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
$= \overrightarrow{NL} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
કારણ કે $\overrightarrow{QL} = -\overrightarrow{LQ} = -\overrightarrow{MN}$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $\vec{0}$ થાય છે.

(B) $(0,3)$ અને $(5,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = -1(x - 0)$ છે,જે $x + y - 3 = 0$ અથવા $y = -x + 3$ થાય છે.
રેખા વક્ર $y = \frac{c}{x+1}$ ને સ્પર્શક હોય,તો વક્રનું વિકલન રેખાના ઢાળ જેટલું હોવું જોઈએ: $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2} = -1$.
આથી $c = (x+1)^2$ મળે.
રેખાના સમીકરણમાં $y = \frac{c}{x+1}$ મૂકતા: $\frac{c}{x+1} = -x + 3$.
$c = (x+1)^2$ હોવાથી,$\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x + 3$,એટલે કે $x + 1 = -x + 3$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = 2$,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ ને $c = (x+1)^2$ માં મૂકતા,$c = (1+1)^2 = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખા $A(0, 2, 4)$ અને $B(3, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3-0, 0-2, 1-4) = (3, -2, -3)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-4}{-3} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(3k, -2k+2, -3k+4)$ છે.
$PC$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$PC$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3k+1, -2k+1, -3k+4)$ છે.
$PC$ અને $AB$ ના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3k+1) + (-2)(-2k+1) + (-3)(-3k+4) = 0$
$9k + 3 + 4k - 2 + 9k - 12 = 0$
$22k - 11 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$C$ ના યામ $(\frac{3}{2}, 1, \frac{5}{2})$ છે.
લંબ અંતર $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-1))^2 + (1-1)^2 + (\frac{5}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 0^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(C) વક્રનું સમીકરણ $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ $\dots(i)$ છે.
વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ તરીકે લઈ શકાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x \sin \theta + y \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર $p_1 = \left| \frac{-\frac{a}{2} \sin 2\theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} \right| = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ છે,તેથી $2p_1 = a \sin 2\theta$ $\dots(ii)$.
અભિલંબનો ઢાળ $\cot \theta$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $y - a \sin^3 \theta = \cot \theta (x - a \cos^3 \theta)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$ થાય છે.
ઉગમબિંદુથી અભિલંબનું લંબ અંતર $p_2 = \left| \frac{-a \cos 2\theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} \right| = a \cos 2\theta$ $\dots(iii)$ છે.
$(ii)$ અને $(iii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(2p_1)^2 + p_2^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta = a^2$.
આમ,$4p_1^2 + p_2^2 = a^2$. આને $k_1 p_1^2 + k_2 p_2^2 = a^2$ સાથે સરખાવતા,$k_1 = 4$ અને $k_2 = 1$ મળે છે.
તેથી,$k_1 + k_2 = 4 + 1 = 5$.

(A) રેખા $AB$ નું સમીકરણ: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-2} = \lambda$.
રેખા $CD$ નું સમીકરણ: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+5}{8} = \frac{z-3}{-1} = \mu$.
બંને રેખાઓના છેદબિંદુ માટે $\lambda = -0.2$ અને $\mu = 0.6$ મળે છે.
તેથી છેદબિંદુ $P = (0.8, -0.2, 2.4)$ છે.
$a+b+c = 0.8 - 0.2 + 2.4 = 3$.

(B) ધારો કે $x = \sinh^{-1}(\sqrt{8})$ અને $y = \cosh^{-1}(5)$.
તેથી $\sinh x = \sqrt{8}$,તેથી $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 8} = 3$.
આમ $e^x = \cosh x + \sinh x = 3 + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}$.
$y = \cosh^{-1}(5)$ માટે,$\cosh y = 5$ અને $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
આમ $e^y = \cosh y + \sinh y = 5 + 2\sqrt{6}$.
આપણે $\cosh(x + y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $e^{-x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$ અને $e^{-y} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 5 - 2\sqrt{6}$.
$e^x e^y = (3 + 2\sqrt{2})(5 + 2\sqrt{6}) = 15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$.
$e^{-x} e^{-y} = (3 - 2\sqrt{2})(5 - 2\sqrt{6}) = 15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$.
$\cosh(x + y) = \frac{(15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) + (15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3})}{2} = \frac{30 + 16\sqrt{3}}{2} = 15 + 8\sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $x = \cos \theta$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $\theta \rightarrow 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos \theta}-1}{\theta^2}$
અંશ અને છેદને $(\sqrt{\cos \theta}+1)$ વડે ગુણતા:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \theta - 1}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
નિત્યસમ $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{-2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
$= \lim _{\theta}$ ${\rightarrow 0} -2 \cdot \left(\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2} \cdot 2}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos \theta}+1}$
$= -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+1} = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2} \right) \right]^{\frac{1}{n}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}\right)^2 \right)$.
આ રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય:
$\log y = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1+x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા:
$\log y = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.
$\log y = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx$.
$\log y = \log 2 - 2 [x - \tan^{-1} x]_0^1$.
$\log y = \log 2 - 2 (1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
આમ,$y = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2} - 2}$.
$ae^b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ અને $b = \frac{\pi}{2} - 2$ મળે છે.
તેથી,$a + b = 2 + \frac{\pi}{2} - 2 = \frac{\pi}{2}$.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
લક્ષની કિંમત શોધતા: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)[f(x)-1]}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} f(x) = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1+x}{1-x} - 1 \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1+x - (1-x)}{1-x} \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{2x}{1-x} \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{1-x}}$
$= e^{\frac{2}{1-0}} = e^2$.
તેથી,$f(0) = e^2$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
વિકલ્પ $(A)$: $\left|\begin{array}{ccc}a+1 & b+1 & c+1 \\ a^2+1 & b^2+1 & c^2+1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \Delta + 0 = \Delta$.
વિકલ્પ $(B)$: $C_1 \rightarrow C_1-C_2$ અને $C_2 \rightarrow C_2-C_3$ લેતા,આપણને $\left|\begin{array}{ccc}a-b & b-c & c \\ a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ મળે છે. $R_3$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b) = (a-b)(b-c)(b+c-a-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$ મળે છે,જે $\Delta$ નું મૂલ્ય છે.
વિકલ્પ $(C)$: $\left|\begin{array}{ccc}a(a+1) & b(b+1) & c(c+1) \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$. $R_2$ ને $R_1$ માં ઉમેરતા,આપણને $\left|\begin{array}{ccc}(a+1)^2 & (b+1)^2 & (c+1)^2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$ મળે છે. આનું સાદું રૂપ $\Delta$ થાય છે.
વિકલ્પ $(D)$: નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$ એ $\Delta$ ને સમાન નથી.

(A) શ્રેણિક સિંગ્યુલર હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
બીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & 0 & 1 \\ 1 & x+3 & 2 \\ 2 & 0 & 2x-1 \end{vmatrix} = (x+3) \begin{vmatrix} x-2 & 1 \\ 2 & 2x-1 \end{vmatrix} = 0$
$(x+3) [(x-2)(2x-1) - 2] = 0$
$(x+3) [2x^2 - x - 4x + 2 - 2] = 0$
$(x+3) [2x^2 - 5x] = 0$
$x(x+3)(2x-5) = 0$
ઉકેલો $x = -3, 0, \frac{5}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha < \beta < \gamma$,તેથી $\alpha = -3$,$\beta = 0$,અને $\gamma = \frac{5}{2}$ મળે.
હવે,$2\alpha + 3\beta + 4\gamma$ ની કિંમત શોધીએ:
$2(-3) + 3(0) + 4(\frac{5}{2}) = -6 + 0 + 10 = 4$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 2x+1 & x-1 & 1 \\ x+2 & -1 & 1\end{array}\right|=0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 1-x^2 & -3 & 0 \\ -x^2-x+2 & -x-3 & 0\end{array}\right|=0$
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot [(1-x^2)(-x-3) - (-3)(-x^2-x+2)] = 0$
$(1-x^2)(-x-3) + 3(-x^2-x+2) = 0$
$-x-3+x^3+3x^2-3x^2-3x+6 = 0$
$x^3-4x+3 = 0$
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x^2+x-3) = 0$
બીજો $x=1$ અને $x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ મળે છે.
ધન બીજો $x=1$ અને $x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}$ છે.
ધન બીજોનો સરવાળો $= 1 + \frac{\sqrt{13}-1}{2} = \frac{2+\sqrt{13}-1}{2} = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $3 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$. $A A^{T} = I$ હોવાથી,$(3 A)(3 A)^{T} = 9 I$ થાય.
$(3 A)(3 A)^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,$(1, 3)$ ઘટક $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$ મળે.
$(2, 3)$ ઘટક $2(a) + 1(2) - 2(b) = 2a + 2 - 2b = 0$ મળે.
$2a - 2b = -2$ પરથી,$a - b = -1$,એટલે કે $a = b - 1$ મળે.
$a + 2b = -4$ માં કિંમત મુકતા,$(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$.
તેથી $a = -1 - 1 = -2$.
આમ,$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{-2}{-1} + \frac{-1}{-2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $B = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ હોવાથી,બંને બાજુ શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા.
$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2u & b+2v & c+2w \\ 2x+3a & 2y+3b & 2z+3c \\ 4x+3u & 4y+3v & 4z+3w \end{bmatrix}$.
તે જ રીતે $BA = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y+4z & x+3y & 2x+3z \\ 2b+4c & a+3b & 2a+3c \\ 2v+4w & u+3v & 2u+3w \end{bmatrix}$.
$AB$ અને $BA$ ના ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $B = \begin{bmatrix} 9 & -3 & -6 \\ -6 & -8 & 4 \\ -12 & 4 & -2 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો શ્રેણિક ગુણાકારમાં મૂકતા સાબિત થાય છે કે આ શ્રેણિક માટે $AB = BA$ શરતનું પાલન થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $|A| = K$.
પ્રથમ,શ્રેણિક $(A - A^T)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)$,તેથી શ્રેણિક $(A - A^T)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
કોઈપણ એકી ક્રમ $n$ ના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે. અહીં $n = 3$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$|A - A^T| = 0$ થાય.
હવે,શ્રેણિક $(AA^T)$ ધ્યાનમાં લો.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|XY| = |X||Y|$ અને $|A^T| = |A|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = K \cdot K = K^2$.
તેથી,નિશ્ચાયકોનો સરવાળો $|AA^T| + |A - A^T| = K^2 + 0 = K^2$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $4 \times 4$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 4$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $P = \operatorname{adj}(A)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,તેથી $|P| = |A|^{4-1} = |A|^3$.
આપેલ છે કે $|P| = |\frac{A}{2}|$. કારણ કે $A$ એ $4 \times 4$ શ્રેણિક છે,$|\frac{A}{2}| = \frac{1}{2^4} |A| = \frac{1}{16} |A|$.
બંને પદોને સરખાવતા: $|A|^3 = \frac{1}{16} |A|$.
આનો અર્થ એ છે કે $|A|^3 - \frac{1}{16} |A| = 0$,તેથી $|A|(|A|^2 - \frac{1}{16}) = 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$ ($A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે),તેથી $|A|^2 = \frac{1}{16}$,જે $|A| = \pm \frac{1}{4}$ આપે છે.
અંતે,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\pm 1/4} = \pm 4$.

(C) $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{n-1}$ છે.
આપેલ કારણ $(R)$ માં,એવું જણાવવામાં આવ્યું છે કે $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^n$,જે ખોટું છે કારણ કે ઘાતાંક $n-1$ હોવો જોઈએ.
વિધાન $(A)$ માટે,આપેલ છે કે $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક $(n=3)$ છે અને $|B|=6$,તેથી $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{3-1} = |B|^2 = 6^2 = 36$ થાય.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે,તેથી $|PQ| = |P||Q| = 1$.
$|P| = 9$ હોવાથી,આપણને $|Q| = \frac{1}{9}$ મળે છે.
આપણે $|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))|$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\text{adj}(A)| = |A|^2$.
આમ,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P \cdot \text{adj}(3Q)|^2 = |P|^2 \cdot |\text{adj}(3Q)|^2$.
$|\text{adj}(3Q)| = |3Q|^{3-1} = |3Q|^2 = (3^3 |Q|)^2 = (27 |Q|)^2$ હોવાથી.
$|Q| = \frac{1}{9}$ મૂકતા,આપણને $|\text{adj}(3Q)| = (27 \times \frac{1}{9})^2 = 3^2 = 9$ મળે છે.
હવે,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P|^2 \cdot (9)^2 = 9^2 \cdot 9^2 = 9^4$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$,જ્યાં $C_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ (cofactor) છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -3 & 9 & 5 \\ 1 & -3 & 5 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$C_{11} = 7 \Rightarrow \begin{vmatrix} 2 & b \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \Rightarrow 6 - b = 7 \Rightarrow b = -1$.
$C_{13} = 1 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ c & 1 \end{vmatrix} = 1 \Rightarrow 1 - 2c = 1 \Rightarrow c = 0$.
$C_{33} = 5 \Rightarrow \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \Rightarrow 2a - 1 = 5 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.
આમ,$a^2 + b^2 + c^2 = (3)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 9 + 1 + 0 = 10$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ABCDE = I$ છે.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}(ABCDE) = A^{-1}I \Rightarrow BCDE = A^{-1}$.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $B^{-1}$ વડે ગુણતા: $B^{-1}(BCDE) = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow CDE = B^{-1}A^{-1}$.
બંને બાજુએ જમણી બાજુથી $E^{-1}$ વડે ગુણતા: $(CDE)E^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1} \Rightarrow CD = B^{-1}A^{-1}E^{-1}$.
બંને બાજુએ જમણી બાજુથી $D^{-1}$ વડે ગુણતા: $(CD)D^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1} \Rightarrow C = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1}$.
બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા: $C^{-1} = (B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1})^{-1}$.
ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $C^{-1} = (D^{-1})^{-1}(E^{-1})^{-1}(A^{-1})^{-1}(B^{-1})^{-1} = DEAB$.

(C) આપેલ છે કે $n \geq 2$ અને $a_{ij} = i + j$.
કિસ્સો-$1$: ધારો કે $n = 2$.
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = (2)(4) - (3)(3) = 8 - 9 = -1 \neq 0$.
નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવાથી,$A$ નો ક્રમ $2$ છે.
કિસ્સો-$2$: ધારો કે $n = 3$.
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
અહીં $R_2$ અને $R_3$ સમાન હોવાથી,ક્રમ $2$ છે.
કોઈપણ $n > 2$ માટે,હાર $R_i$ એ $R_i = (i+1, i+2, \dots, i+n)$ સ્વરૂપમાં છે.
નોંધો કે $R_3 - R_2 = R_2 - R_1 = (1, 1, \dots, 1)$.
આમ,$R_3 - 2R_2 + R_1 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $n \geq 3$ માટે હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે.
તેથી,તમામ $n \geq 2$ માટે $A$ નો ક્રમ $2$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ નો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ $(x = 0, y = 0, z = 0)$ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,તો શ્રેણિક અસામાન્ય (non-singular) છે અને તેની કક્ષા (rank) મહત્તમ હોય છે.
અહીં શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો છે અને $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3$ છે.

(C) બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરીએ: $\left|\begin{array}{ccc} 1-x & -2 & 1 \\ -2 & 4-x & -2 \\ 1 & -2 & 1-x \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(1-x)[(4-x)(1-x) - 4] - (-2)[-2(1-x) - (-2)] + 1[4 - (4-x)] = 0$.
$(1-x)[4 - 4x - x + x^2 - 4] + 2[-2 + 2x + 2] + 1[4 - 4 + x] = 0$.
$(1-x)[x^2 - 5x] + 2[2x] + x = 0$.
$x^2 - 5x - x^3 + 5x^2 + 4x + x = 0$.
$-x^3 + 6x^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 - 6x^2 = 0$.
આને ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-6, c=0, d=0$ મળે છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{0}{1} = 0$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a^2-b^2 & b^2 & c^2-b^2 \\ a^3-b^3 & b^3 & c^3-b^3\end{array}\right|$
$C_1$ માંથી $(a-b)$ અને $C_3$ માંથી $(c-b)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c+b \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2+bc+b^2\end{array}\right|$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c-a \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2-a^2+bc-ab\end{array}\right|$
કારણ કે $c^2-a^2+bc-ab = (c-a)(c+a) + b(c-a) = (c-a)(a+b+c)$,તેથી $C_3$ માંથી $(c-a)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & 1 \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & a+b+c\end{array}\right|$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \cdot (-1) \cdot [(a+b)(a+b+c) - (a^2+ab+b^2)]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a) [a^2+ab+ac+ab+b^2+bc - a^2-ab-b^2]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
$C_1$ માંથી $2(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c \end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 2(a+b+c) \cdot (1) \cdot [(a+b+c)(a+b+c) - 0] = 2(a+b+c)^3$.

(A) ધારો કે $B = A - A^{T}$.
$B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^{T} = (A - A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}) = -B$ થાય.
અહીં $B^{T} = -B$ હોવાથી,શ્રેણિક $B = A - A^{T}$ એ વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિક છે.
કોઈપણ $n$ કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિક માટે,જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય છે.
અહીં શ્રેણિકની કક્ષા $n = 3$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,$\det(A - A^{T}) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ.
$A$ નો ટ્રેસ $\text{tr}(A) = 1 + (-5) = -4$ છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (1)(-5) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1$ છે.
આમ,લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - (-4)A + (-1)I = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $A^2 + 4A - I = 0$ અથવા $A^2 + 4A = I$ થાય છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2A^2 + 8A = 2I$ મળે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $\alpha A^2 + \beta A = 2I$ સાથે કરતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$ થાય છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix}$.
હવે,$5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix}$.
અને $6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2 - 5A + 6I$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 - 5A + 6I = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 0 \\ 3 & 8 & 4 \\ 4 & 0 & 14 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે,$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 11 & 1 & 5\end{array}\right|$ અને $X=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ 2 \\ \beta\end{array}\right]$.
ક્રેમરના નિયમ મુજબ,$x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$.
પ્રથમ,$\Delta = 1(-5-2) - 1(10+2) + 1(2-1) = -7 - 12 + 1 = -18$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\Delta_1 = 5(-5-2) - 1(20-22) + 1(4+11) = 5(-7) - 1(-2) + 15 = -35 + 2 + 15 = -18$ મેળવો.
આમ,$\alpha = x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-18}{-18} = 1$.
હવે,સમીકરણ સંહતિ $AX=B$ નો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $X = [\alpha, 2, \beta]^T = [1, 2, \beta]^T$:
$1(1) + 1(2) + 1(\beta) = 5 \Rightarrow 3 + \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a\end{array}\right|$
$D = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6)$
$D = 3a - 25 - 2a + 20 - 3$
$D = a - 8$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,$D = 0$ લેતા,આપણને $a = 8$ મળે છે.
હવે,$a = 8$ માટે ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 12\end{array}\right]$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 2R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3\end{array}\right]$
છેલ્લી હાર $0 = -3$ દર્શાવે છે,જે વિરોધાભાસ છે,તેથી $a = 8$ હોય ત્યારે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y-z=6$ $(1)$
$3x+2y-z=5$ $(2)$
$2x-y-2z=-3$ $(3)$
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ (augmented matrix) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 3 & 2 & -1 & | & 5 \\ 2 & -1 & -2 & | & -3 \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ (row operations) લાગુ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & -3 & 0 & | & -15 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & 0 & -6 & | & 24 \end{bmatrix}$
ત્રીજી હાર પરથી: $-6z = 24 \Rightarrow z = -4 = \gamma$.
બીજી હાર પરથી: $-y + 2z = -13 \Rightarrow -y + 2(-4) = -13 \Rightarrow -y - 8 = -13 \Rightarrow y = 5 = \beta$.
પહેલી હાર પરથી: $x + y - z = 6 \Rightarrow x + 5 - (-4) = 6 \Rightarrow x + 9 = 6 \Rightarrow x = -3 = \alpha$.
તેથી,$\alpha + \beta = -3 + 5 = 2$.

(B) સહગુણક શ્રેણિક $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય: $1(15-12) - 2(12-9) + 3(16-15) = 1(3) - 2(3) + 3(1) = 3 - 6 + 3 = 0$.
અહીં $D=0$ હોવાથી,સંહતિ સુસંગત હોવા માટે ક્રેમરના નિયમ મુજબ $D_3 = 0$ થવું જોઈએ.
$D_3 = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & \lambda\end{array}\right| = 0$.
$1(5\lambda - 20) - 2(4\lambda - 15) + 4(16 - 15) = 0$.
$5\lambda - 20 - 8\lambda + 30 + 4 = 0$.
$-3\lambda + 14 = 0 \Rightarrow 3\lambda = 14$.
આપેલ છે કે $3\lambda = n + 100$,તેથી $3\lambda = 14$ મૂકતા:
$14 = n + 100 \Rightarrow n = 14 - 100 = -86$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $|A| \neq 0$ છે.
$|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) \neq 0$.
$|A| = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 \neq 0$.
$|A| = a - 8 \neq 0$.
તેથી,$a \neq 8$.
કારણ કે $b$ ની કિંમત સહગુણક શ્રેણિકના નિશ્ચાયકને અસર કરતી નથી,તેથી $b$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(b \in R)$.
આમ,શરત $a \neq 8$ અને $b \in R$ છે.

(B) ધારો કે સંહતિ $AX = B$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & -2 \\ 2 & 7 & 7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(21 - (-14)) - 2(21 - (-4)) + 1(21 - 6)$
$|A| = 1(35) - 2(25) + 1(15) = 35 - 50 + 15 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે.
હવે,આપણે એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ ચકાસીએ અને $adj(A)B$ ની ગણતરી કરીએ:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix}$.
$adj(A)B = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -105 + 7 + 28 \\ 75 - 5 - 20 \\ -45 + 3 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -70 \\ 50 \\ -30 \end{bmatrix} \neq 0$.
કારણ કે $adj(A)B \neq 0$,તેથી આ સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક: $\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} > 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) > 0$
$abc - a - c + 1 + 1 - b > 0$
$abc + 2 > a + b + c$ . . . . . . $(i)$
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ:
$\frac{a + b + c}{3} \geq (abc)^{1/3} \Rightarrow a + b + c \geq 3(abc)^{1/3}$ . . . . . . $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$abc + 2 > 3(abc)^{1/3}$
ધારો કે $x = (abc)^{1/3}$,તો $x^3 + 2 > 3x$
$x^3 - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)^2(x + 2) > 0$
કારણ કે $(x - 1)^2$ હંમેશા અ-ઋણ છે,અસમતા સાચી રહે તે માટે $x + 2 > 0$ હોવું જોઈએ
$x > -2 \Rightarrow (abc)^{1/3} > -2$
બંને બાજુ ઘન કરતા: $abc > -8$

(C) આપણે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અહીં $x \times y = 2 \times 3 = 6 > 1$ હોવાથી,સૂત્ર આ મુજબ થશે: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right) = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1}(-1)$.
$\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\theta = \sec^{-1}(\cosh u)$,તેથી $\sec \theta = \cosh u$ થાય.
વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કોસાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$u = \cosh^{-1}(\sec \theta) = \log_e(\sec \theta + \sqrt{\sec^2 \theta - 1})$.
અહીં $\sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta$ હોવાથી,$u = \log_e(\sec \theta + \tan \theta)$ મળે.
આને સાઈન અને કોસાઈનના સ્વરૂપમાં લખતા: $u = \log_e\left(\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \log_e\left(\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 + \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$ અને $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ થાય.
તેથી,$\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$.
આમ,$u = \log_e(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}))$ મળે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8} = k$.
$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^4(\frac{\pi}{2} + \theta) = \sin^4 \theta$ મળે.
તેથી,$\cos^4 \frac{5 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = \sin^4 \frac{\pi}{8}$ અને $\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{3 \pi}{8}) = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$k = (\cos^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{\pi}{8}) + (\cos^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin^4 \frac{3 \pi}{8})$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = [(\cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8}] + [(\cos^2 \frac{3 \pi}{8} + \sin^2 \frac{3 \pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cos^2 \frac{3 \pi}{8}]$.
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \sin^2(2 \theta)$ હોવાથી,$k = [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3 \pi}{4}]$.
$k = 2 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
હવે,$\sin^{-1}(\sqrt{\frac{k}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{k}{3}) = \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3/2}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{3/2}{3}) = \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2})$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) આપણે સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ ગણો.
ત્યારબાદ,$4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = 2 \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left( \frac{2(5/12)}{1-(5/12)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{1-25/144} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{119/144} \right) = \tan ^{-1} \frac{120}{119}$.
હવે,$-\tan ^{-1} \frac{1}{70} + \tan ^{-1} \frac{1}{99} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/99 - 1/70}{1 + (1/99)(1/70)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(70-99)/6930}{(6930+1)/6930} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-29}{6931} \right) = -\tan ^{-1} \frac{1}{239}$.
અંતે,$\tan ^{-1} \frac{120}{119} - \tan ^{-1} \frac{1}{239} = \tan ^{-1} \left( \frac{120/119 - 1/239}{1 + (120/119)(1/239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(28680-119)/(119 \times 239)}{(28441+120)/(119 \times 239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{4}$
નિત્યસમ $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$
$\frac{3x}{1-2x^2} = 1$
$3x = 1 - 2x^2$
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
અહીં $x$ ધન હોવો જોઈએ કારણ કે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ છે,તેથી આપણે ઋણ ઉકેલને અવગણીશું.
આમ,$x = \frac{\sqrt{17}-3}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ જ્યાં $|x| > 1$ છે.
તેથી,$2 \coth^{-1}(4) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log \left(\frac{4+1}{4-1}\right) = \log \left(\frac{5}{3}\right)$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\text{sech}^{-1}(x) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ જ્યાં $0 < x \leq 1$ છે.
$x = \frac{3}{5}$ મૂકતા,$\text{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{1 - (9/25)}}{3/5}\right) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{16/25}}{3/5}\right) = \log \left(\frac{1 + 4/5}{3/5}\right) = \log \left(\frac{9/5}{3/5}\right) = \log 3$.
તેથી,$2 \coth^{-1}(4) + \text{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log \left(\frac{5}{3}\right) + \log 3 = \log \left(\frac{5}{3} \times 3\right) = \log 5$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \sin^{-1} x + \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} \right)$,જ્યાં $0 < x < \frac{1}{2}$.
ધારો કે $x = \sin \theta$. કારણ કે $0 < x < \frac{1}{2}$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$.
તેથી $\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$.
આ કિંમતો $\alpha$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\alpha = \sin^{-1}(\sin \theta) + \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$.
નિત્યસમ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{6} \cos \theta = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$,તેથી $-\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{6} < 0$,એટલે કે $0 < \frac{\pi}{6} - \theta < \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\cos^{-1} \left( \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right) \right) = \cos^{-1} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) \right) = \frac{\pi}{6} - \theta$.
તેથી,$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6} - \theta = \frac{\pi}{6}$.
અંતે,$\tan \alpha + \cot \alpha = \tan \frac{\pi}{6} + \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
આપણે સામાન્ય પદને $\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)} \right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આમ,સરવાળો $\sum_{n=1}^{50} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 50) = \tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 1$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan^{-1} \left( \frac{51-1}{1+51 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{50}{52} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right)$ મળે છે.
અંતે,$\cot \left( \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right) \right) = \cot \left( \cot^{-1} \left( \frac{26}{25} \right) \right) = \frac{26}{25}$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\log_{0.5}(2x - 3)}} + \sqrt{4 - 9x^2}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1. \log_{0.5}(2x - 3) > 0$ $\Rightarrow 2x - 3 < 1$ $\Rightarrow x < 2$.
$2. 2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$.
$3. 4 - 9x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq \frac{4}{9}$ $\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
આ શરતોને જોડતા: $(x < 2) \cap (x > \frac{3}{2}) \cap (-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3})$.
કોઈપણ $x$ એવી કિંમત નથી જે $x > \frac{3}{2}$ અને $x \leq \frac{2}{3}$ બંનેનું પાલન કરે,તેથી પ્રદેશ ખાલી ગણ છે.