જ્યારે (2m + 1)^{2n} (m, n in N) ને 8 વડે ભાગ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે $(2m + 1)^{2n}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે. ધારો કે $x = 2m + 1$. $m \in N$ હોવાથી,$x$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2m

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપણે $(2m + 1)^{2n}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે. ધારો કે $x = 2m + 1$. $m \in N$ હોવાથી,$x$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2m + 1$ તરીકે લખી શકાય છે. $(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1$ ધ્યાનમાં લો. $m(m + 1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે. ધારો કે $m(m + 1) = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી $(2m + 1)^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$. હવે,$(2m + 1)^{2n} = ((2m + 1)^2)^n = (8k + 1)^n$. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(8k + 1)^n = \binom{n}{0}(8k)^n + \binom{n}{1}(8k)^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}(8k) + 1$. છેલ્લા પદ સિવાયના તમામ પદો $8$ ના ગુણક છે. તેથી,$(2m + 1)^{2n} = 8K + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $K$ માટે. આમ,$8$ વડે ભાગતા શેષ $1$ મળે છે.

જ્યારે $(2m + 1)^{2n}$ $(m, n \in N)$ ને $8$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

Similar Questions

જો $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ હોય,તો $\sum_{k=0}^7 a_{2k}$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1+x)^p(1-x)^q$ ના વિસ્તરણમાં $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકો અનુક્રમે $1$ અને $-2$ હોય,તો $p^2+q^2$ ની કિંમત શોધો:

$(\sqrt{3}+2)^5$ થી નાનો અથવા તેના બરાબર સૌથી મોટો પૂર્ણાંક કયો છે?

$(1+x)^{500} + x(1+x)^{499} + x^2(1+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ માં $x^{301}$ નો સહગુણક શું છે?

$(2+x)^9$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x, x^2, \ldots, x^7$ ના સહગુણકોનો મધ્યક $...........$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module