AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $f(n) = n(n^2+3) = n^3+3n$.
$n=1$ के लिए,$f(1) = 1(1+3) = 4$.
$n=2$ के लिए,$f(2) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.
$n=3$ के लिए,$f(3) = 3(9+3) = 3(12) = 36$.
$n=4$ के लिए,$f(4) = 4(16+3) = 4(19) = 76$.
इन मानों का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ ज्ञात करने पर:
$gcd(4, 14, 36, 76) = 2$.
अतः,व्यंजक $n(n^2+3)$ सभी $n \in N$ के लिए $2$ से विभाज्य है।
चूंकि $f(1)=4$ और $f(2)=14$ है,इसलिए सभी $n$ के लिए उभयनिष्ठ भाजक केवल $2$ है।

(A) हमें $(2m + 1)^{2n}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
माना $x = 2m + 1$ है। चूँकि $m \in N$,$x$ एक विषम पूर्णांक है।
किसी भी विषम पूर्णांक को $2m + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1$ पर विचार करें।
चूँकि $m(m + 1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,यह हमेशा सम होता है। माना $m(m + 1) = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
अतः $(2m + 1)^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$।
अब,$(2m + 1)^{2n} = ((2m + 1)^2)^n = (8k + 1)^n$।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(8k + 1)^n = \binom{n}{0}(8k)^n + \binom{n}{1}(8k)^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}(8k) + 1$।
अंतिम पद को छोड़कर सभी पद $8$ के गुणज हैं।
इसलिए,$(2m + 1)^{2n} = 8K + 1$ किसी पूर्णांक $K$ के लिए।
अतः,$8$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(D) दोनों पक्षों में $\log_2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_2 x = \log_2(2^{1/2})$
मान लीजिए $y = \log_2 x$. तब समीकरण बनता है:
$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$
$4$ से गुणा करने पर:
$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$
$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$
मानों की जाँच करने पर,$y = 1$ एक मूल है क्योंकि $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.
$(y - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(y - 1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(y - 1)(3y + 1)(y + 2) = 0$.
मूल $y = 1, y = -1/3, y = -2$ हैं।
चूँकि $y = \log_2 x$,इसलिए $x = 2^1, x = 2^{-1/3}, x = 2^{-2}$ प्राप्त होते हैं।
तीनों मान वास्तविक और धनात्मक हैं,इसलिए ठीक तीन वास्तविक समाधान हैं।

(D) दी गई असमिका: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} > 2$ \\ दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} - 2 > 0$ \\ सरल करने पर: $\frac{2x^2+3}{3x^2-7x-6} > 0$ \\ चूंकि $2x^2+3$ हमेशा धनात्मक है,असमिका तब सत्य होगी जब $3x^2-7x-6 > 0$ हो \\ गुणनखंड करने पर: $(3x+2)(x-3) > 0$ \\ क्रांतिक बिंदु $x = -2/3$ और $x = 3$ हैं \\ अंतराल की जांच करने पर,हल $(-\infty, -2/3) \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$। दी गई असमिका $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2$ है।
$f(x) \leq 2$ के लिए:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \leq 2 \implies x^2+x+a \leq 2x^2-2x+2a$
$\implies x^2-3x+a \geq 0$।
सभी $x$ के लिए इसके सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए:
$(-3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$।
$f(x) \geq \frac{1}{2}$ के लिए:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \geq \frac{1}{2} \implies 2x^2+2x+2a \geq x^2-x+a$
$\implies x^2+3x+a \geq 0$।
सभी $x$ के लिए इसके सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए:
$(3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$।
अतः,$a = \frac{9}{4}$।

(B) दी गई असमिका: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} \geq 1$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} - 1 \geq 0$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{x^2-1 - (x^2-7x+12)}{(x-4)(x-3)} \geq 0$।
$\frac{7x-13}{(x-4)(x-3)} \geq 0$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने पर: $x = \frac{13}{7}, x = 3, x = 4$।
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि का उपयोग करके,अंतरालों की जाँच करने पर:
$x > 4$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$3 < x < 4$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$\frac{13}{7} \leq x < 3$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$x < \frac{13}{7}$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
अतः,हल समुच्चय $[\frac{13}{7}, 3) \cup (4, \infty)$ है।

(NONE) दिया गया है $\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+1)$ से गुणा करने पर,$x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$ प्राप्त होता है।
$x=1$ के लिए,$1+1 = B(1^2+1) \implies 2 = 2B \implies B=1$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A+C \implies C = -A$.
$x^0$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = -A + B + D \implies 1 = -A + 1 + D \implies D = A$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = -A + B + C - 2D \implies 0 = -A + 1 - A - 2A \implies 4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$.
अतः,$A = \frac{1}{4}$,$B = 1$,$C = -\frac{1}{4}$,$D = \frac{1}{4}$.
अब,$\sqrt{3A^2+4D^2+5C^2+B^2} = \sqrt{3(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{16}) + 5(\frac{1}{16}) + 1} = \sqrt{\frac{3+4+5}{16} + 1} = \sqrt{\frac{12}{16} + 1} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{ax+5}{(x^2+b)(x+3)}=\frac{12(x+21)+c(x^2+b)}{12(x^2+b)(x+3)}$
हर की तुलना करने पर,$12(ax+5) = 12(x+21) + c(x^2+b)$.
इस समीकरण को हल करने पर,$b=9$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2=81$।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)(x^2+2)$ से गुणा करने पर: $3x+1 = A(x^2+2) + (Bx+C)(x-1)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर: $3(1)+1 = A(1^2+2) \implies 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3}$.
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $3x+1 = (A+B)x^2 + (C-B)x + (2A-C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ पद: $A+B = 0 \implies B = -A = -\frac{4}{3}$.
अचर पद: $2A-C = 1 \implies C = \frac{5}{3}$.
अतः,$5(A-B) = 5(\frac{4}{3} - (-\frac{4}{3})) = 5(\frac{8}{3}) = \frac{40}{3}$.
यहाँ $8C = 8(\frac{5}{3}) = \frac{40}{3}$.
इसलिए,$5(A-B) = 8C$.

(A) माना $u = x-2$,इसलिए $x = u+2$. अंश में यह मान रखने पर: $3(u+2)^3 - 7(u+2) + 1 = 3(u^3 + 6u^2 + 12u + 8) - 7u - 14 + 1 = 3u^3 + 18u^2 + 36u + 24 - 7u - 13 = 3u^3 + 18u^2 + 29u + 11$.
$u^5$ से भाग देने पर: $\frac{3u^3 + 18u^2 + 29u + 11}{u^5} = \frac{3}{u^2} + \frac{18}{u^3} + \frac{29}{u^4} + \frac{11}{u^5}$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर: $\frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} + \frac{C}{u^3} + \frac{D}{u^4} + \frac{E}{u^5}$,हमें $A = 0$,$B = 3$,$C = 18$,$D = 29$,$E = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(B+C+D+E) = 0(3+18+29+11) = 0$.

(D) दिया गया है $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)} = f(x) + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
सबसे पहले,$\frac{x^4}{x^2-3x+2}$ के लिए बहुपद विभाजन करें।
$x^4 = (x^2-3x+2)(x^2+3x+7) + (15x-14)$.
अतः,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)} = x^2+3x+7 + \frac{15x-14}{(x-1)(x-2)}$.
$\frac{15x-14}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करें।
$15x-14 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ के लिए,$15-14 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x=2$ के लिए,$30-14 = B(2-1) \implies B = 16$.
इस प्रकार,$f(x) = x^2+3x+7$.
$f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 7 = 4 - 6 + 7 = 5$.
इसलिए,$f(-2)+A+B = 5 + (-1) + 16 = 20$.

(D) माना $u = x^2$ है। तब व्यंजक $\frac{2u^2-3u+4}{(u+1)(u+2)} = a + \frac{px+q}{u+1} + \frac{mx+n}{u+2}$ है।
बाईं ओर बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{2u^2-3u+4}{u^2+3u+2} = 2 + \frac{-9u}{(u+1)(u+2)}$.
$\frac{-9u}{(u+1)(u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+2}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर.
$-9u = A(u+2) + B(u+1)$.
$u = -1$ रखने पर,$A = 9$.
$u = -2$ रखने पर,$B = -18$.
अतः,$\frac{2x^4-3x^2+4}{(x^2+1)(x^2+2)} = 2 + \frac{9}{x^2+1} - \frac{18}{x^2+2}$.
तुलना करने पर $a = 2$,$p = 0$,$q = 9$,$m = 0$,$n = -18$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{n}{q} = \frac{-18}{9} = -2$.

(B) माना $y = x^2$ है। व्यंजक $\frac{y}{(y+2)(y^2-1)} = \frac{y}{(y+2)(y-1)(y+1)} = \frac{A}{y-1} + \frac{B}{y+1} + \frac{C}{y+2}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हुए:
$y = A(y+1)(y+2) + B(y-1)(y+2) + C(y-1)(y+1)$.
$y=1$ के लिए: $1 = A(2)(3) \implies 6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}$.
$y=-1$ के लिए: $-1 = B(-2)(1) \implies -2B = -1 \implies B = \frac{1}{2}$.
$y=-2$ के लिए: $-2 = C(-3)(-1) \implies 3C = -2 \implies C = -\frac{2}{3}$.
अतः,$A+B-C = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

(D) द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 2k - 1$,$b = -2(3k - 2)$,और $c = 4k$ है।
शर्त $1$: $a > 0 \implies 2k - 1 > 0 \implies k > \frac{1}{2}$।
शर्त $2$: $D < 0 \implies b^2 - 4ac < 0$।
$[-2(3k - 2)]^2 - 4(2k - 1)(4k) < 0$।
$4(9k^2 - 12k + 4) - 16k(2k - 1) < 0$।
$4$ से भाग देने पर: $(9k^2 - 12k + 4) - 4k(2k - 1) < 0$।
$9k^2 - 12k + 4 - 8k^2 + 4k < 0$।
$k^2 - 8k + 4 < 0$।
$k^2 - 8k + 4 = 0$ के मूल $k = 4 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $2\sqrt{3} \approx 3.46$,मूल $0.54$ और $7.46$ हैं।
अतः,$0.54 < k < 7.46$।
$k > 0.5$ के साथ संयोजित करने पर,$0.54 < k < 7.46$ प्राप्त होता है।
$k$ के पूर्णांक मान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
उनका योग $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 5kx + (6k^2 - 2k) = 0$ है।
चूँकि $0$ समीकरण का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(0)^2 - 5k(0) + (6k^2 - 2k) = 0$
$6k^2 - 2k = 0$
$2k(3k - 1) = 0$
इससे $k = 0$ या $k = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $k = 0$ है,तो समीकरण $x^2 = 0$ हो जाता है,जिसके मूल $0, 0$ हैं। चूँकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $k$ का मान $0$ नहीं हो सकता।
यदि $k = \frac{1}{3}$ है,तो समीकरण $x^2 - 5(\frac{1}{3})x + (6(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})) = 0$ हो जाता है
$x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 0$
$x^2 - \frac{5}{3}x = 0$
$x(x - \frac{5}{3}) = 0$
मूल $0$ और $\frac{5}{3}$ हैं।
चूँकि $\alpha$ अशून्य मूल है,इसलिए $\alpha = \frac{5}{3}$।

(C) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -b = 5$ है,जिसका अर्थ है $b = -5$।
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करते हुए:
$60 = (5)^3 - 3\alpha\beta(5)$।
$60 = 125 - 15\alpha\beta$।
$15\alpha\beta = 125 - 60 = 65$।
$\alpha\beta = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}$।
चूंकि $\alpha\beta = c$,इसलिए $c = \frac{13}{3}$।
अब,$3c+2$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(\frac{13}{3}) + 2 = 13 + 2 = 15$।
चूंकि $b = -5$,विकल्पों की जांच करने पर:
$-3b = -3(-5) = 15$।
अतः,$3c+2 = -3b$।

(C) दिए गए समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = -a$ है।
हम व्यंजक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\alpha+\beta-2 \gamma = (\alpha+\beta+\gamma) - 3 \gamma = -a - 3 \gamma$.
इसी प्रकार,$\beta+\gamma-2 \alpha = -a - 3 \alpha$ और $\gamma+\alpha-2 \beta = -a - 3 \beta$.
गुणनफल $(-a-3 \alpha)(-a-3 \beta)(-a-3 \gamma) = -(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$ होगा।
मान लीजिए $f(x) = x^3+a x^2+b x+c = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
तब $f(-a/3) = (-a/3-\alpha)(-a/3-\beta)(-a/3-\gamma) = (-1/27)(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$.
अतः,$(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma) = -27 f(-a/3)$.
मूल व्यंजक $-(-27 f(-a/3)) = 27 f(-a/3)$ है।
$f(-a/3) = (-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + c = -a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + c = (2a^3 - 9ab + 27c)/27$.
$27$ से गुणा करने पर,हमें $2a^3 - 9ab + 27c$ प्राप्त होता है।

(A) माना समीकरण $x^2+2ax+b=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
चूंकि मूल वास्तविक और भिन्न हैं,इसलिए विविक्तकर $D > 0$ है।
$D = (2a)^2 - 4(1)(b) = 4a^2 - 4b > 0 \implies a^2 > b$ या $b < a^2$।
मूल $\alpha, \beta = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2-4b}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2-b}$ हैं।
मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = |2\sqrt{a^2-b}|$ है।
दिया गया है कि मूलों का अंतर अधिकतम $2m$ है,इसलिए $2\sqrt{a^2-b} \le 2m$।
$\sqrt{a^2-b} \le m \implies a^2-b \le m^2 \implies b \ge a^2-m^2$।
शर्तों $b < a^2$ और $b \ge a^2-m^2$ को मिलाने पर,हमें $b \in [a^2-m^2, a^2)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)((p^2-2q) - q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$।

(B) द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2 - 4ax + (5+a)$ के सभी $x \in R$ के लिए $0$ से बड़ा होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (-4a)^2 - 4(1)(5+a) < 0$
$16a^2 - 20 - 4a < 0$
$4a^2 - a - 5 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(4a - 5)(a + 1) < 0$
यह असमिका $a \in (-1, 5/4)$ के लिए सत्य है।
$a \in (\alpha, \beta)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -1$ और $\beta = 5/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$4\beta + \alpha = 4(5/4) + (-1) = 5 - 1 = 4$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $5x^3-4x^2+3x-2=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$e_1 = \alpha+\beta+\gamma = \frac{4}{5}$
$e_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{3}{5}$
$e_3 = \alpha\beta\gamma = \frac{2}{5}$
$\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2(\sum \alpha\beta) = (\frac{4}{5})^2 - 2(\frac{3}{5}) = -\frac{14}{25}$।
$\sum \alpha^3 = \frac{4}{5}(\sum \alpha^2) - \frac{3}{5}(\sum \alpha) + 3(\frac{2}{5}) = \frac{34}{125}$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a \neq 0$ और $a, b, c$ भिन्न हैं।
कुल संभव समीकरणों की संख्या $8$ है।

(D) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम जानते हैं कि $\alpha+\beta = -p-\gamma$,$\beta+\gamma = -p-\alpha$,और $\gamma+\alpha = -p-\beta$।
अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (-p-\gamma)(-p-\alpha)(-p-\beta) = -(p+\gamma)(p+\alpha)(p+\beta)$।
मान लीजिए $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3+px^2+qx+r$।
तब $f(-p) = (-p-\alpha)(-p-\beta)(-p-\gamma) = (-p)^3+p(-p)^2+q(-p)+r = -p^3+p^3-pq+r = r-pq$।
चूंकि $f(-p) = -(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma)$,इसलिए $-(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma) = r-pq$।
अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = pq-r$।

(D) दिया गया समीकरण $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ है।
मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ इस समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
मूलों के बीच हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(A) चूँकि $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है,यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$1) \alpha^2 - 5\alpha + 4a = 0 \implies 4a = 5\alpha - \alpha^2$
$2) \alpha^2 - 2a\alpha - 8 = 0$
दूसरे समीकरण में $2a = \frac{5\alpha - \alpha^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^2 - (\frac{5\alpha - \alpha^2}{2})\alpha - 8 = 0$
$2\alpha^2 - 5\alpha^2 + \alpha^3 - 16 = 0$
$\alpha^3 - 3\alpha^2 - 16 = 0$
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$\alpha = 4$ समीकरण को संतुष्ट करता है: $64 - 3(16) - 16 = 0$.
$\alpha = 4$ के लिए,$4a = 5(4) - 16 = 4 \implies a = 1$.
व्यंजक $\alpha^4 - \alpha^3 + 68 = 4^4 - 4^3 + 68 = 256 - 64 + 68 = 260$ है।

(D) दिया गया है कि $ax^2 + bx + c < 0$ सभी $x \in R$ के लिए है। इसका अर्थ है $a < 0$ और $D = b^2 - 4ac < 0$।
$ax^2 + bx + c$ का चरम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर प्राप्त होता है।
$cx^2 + ax + b$ का चरम मान $x = -\frac{a}{2c}$ पर प्राप्त होता है।
चूंकि ये बिंदु समान हैं,$-\frac{b}{2a} = -\frac{a}{2c}$,जिसका अर्थ है $a^2 = bc$।
चूंकि $a < 0$ और $a^2 = bc$,इसलिए $c$ भी ऋणात्मक होना चाहिए।
व्यंजक $cx^2 + ax + b$ का अधिकतम मान प्राप्त होता है क्योंकि $c < 0$ है।
अधिकतम मान $-\frac{D'}{4c} = -\frac{a^2 - 4bc}{4c} = -\frac{bc - 4bc}{4c} = -\frac{-3bc}{4c} = \frac{3b}{4}$ है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{3b}{4}$ है।

(C) द्विघात व्यंजक $f(x) = (a-3)x^2 + 12x + (a+6)$ के सभी $x \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु,$x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए और विविक्तकर $D$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$1$. $a-3 > 0 \implies a > 3$.
$2$. $D = 12^2 - 4(a-3)(a+6) < 0$.
$144 - 4(a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - (a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - a^2 - 3a + 18 < 0$
$-a^2 - 3a + 54 < 0$
$a^2 + 3a - 54 > 0$
$(a+9)(a-6) > 0$.
चूंकि $a > 3$ है,इसलिए $a > 6$ की शर्त पूरी होनी चाहिए। अतः,$a \in (6, \infty)$,जिससे $\ell = 6$ प्राप्त होता है।
$a$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $\alpha = 7$ है।
अब,$\alpha = 7$ और $\ell = 6$ को समीकरण $(\alpha-3)x^2 + 12x + (\ell+2) = 0$ में रखने पर:
$(7-3)x^2 + 12x + (6+2) = 0$
$4x^2 + 12x + 8 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $x^2 + 3x + 2 = 0$
$(x+1)(x+2) = 0$.
मूल $x = -1, -2$ हैं।

(C) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ का न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = 2c^2 - b^2$ है।
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ का अधिकतम मान $x = -c$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-c) = c^2 + b^2$ है।
दिया गया है कि $\min f(x) > \max g(x)$,इसलिए $2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$ है।
इसे सरल करने पर $c^2 > 2b^2$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{c^2}{b^2} > 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\left|\frac{c}{b}\right| > \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left|\frac{c}{b}\right| \in (\sqrt{2}, \infty)$।

(A) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = 2kx^2 - (4k+1)x + 2$ है।
इसे $f(x) = (2x - 1)(kx - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$f(x) = 0$ के मूल $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{k}$ हैं।
व्यंजक के ऋणात्मक होने के लिए,$x$ को मूलों के बीच होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $k > 0$,तो $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{k}$। तीन पूर्णांकों $1, 2, 3$ के लिए $3 < \frac{2}{k} \le 4$ होना चाहिए।
अतः $k \in [\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$।
स्थिति $2$: यदि $k < 0$,तो $\frac{2}{k} < x < \frac{1}{2}$। तीन पूर्णांकों $-1, -2, -3$ के लिए $-4 \le \frac{2}{k} < -3$ होना चाहिए।
अतः $k \in [-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}]$।
दिए गए विकल्प सही नहीं हैं।

(C) माना $f(x) = 4x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 12x + 36$ है।
यदि $\alpha$ एक बहुविध मूल है,तो $f'(\alpha) = 0$ होगा।
$f'(x) = 16x^3 + 12x^2 - 46x - 12$।
$f'(x) = 0$ रखने पर: $8x^3 + 6x^2 - 23x - 6 = 0$।
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$x = -2$ के लिए: $8(-8) + 6(4) - 23(-2) - 6 = 0$।
अतः,$x = -2$ एक मूल है।
$x = 1.5$ के लिए: $8(27/8) + 6(9/4) - 23(3/2) - 6 = 0$।
अतः,$x = 1.5$ एक मूल है।
चूँकि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 1.5$ और $\beta = -2$ है।
तब $2\alpha - \beta = 2(1.5) - (-2) = 3 + 2 = 5$।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)} = f(x) + \frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+1)(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $H(x) = f(x)(x-1)(x+1)(x-2) + g(x)$.
चूंकि $H(x)$ $4$ घात का बहुपद है और भाजक $3$ घात का बहुपद है,इसलिए $f(x)$ को $ax+b$ के रूप का एक रैखिक बहुपद होना चाहिए।
समीकरण $H(x) = f(x)(x-1)(x+1)(x-2) + g(x)$ में $x = -1, 2, 1$ रखने पर,हम देखते हैं कि इन बिंदुओं पर $f(x)(x-1)(x+1)(x-2)$ पद $0$ हो जाता है।
अतः,$H(-1) = g(-1)$,$H(2) = g(2)$,और $H(1) = g(1)$.
इन मानों को $H(-1) + 2H(2) - 3H(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(-1) + 2g(2) - 3g(1)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,मूल संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
मूल $a+ib, a-ib, b+ai, b-ai$ हैं।
मूलों का योग $(a+ib) + (a-ib) + (b+ai) + (b-ai) = 2a + 2b = 10$ है,इसलिए $a+b=5$।
मूलों का गुणनफल $(a^2+b^2)(b^2+a^2) = (a^2+b^2)^2 = 169$ है।
अतः,$a^2+b^2 = 13$।
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$।
मान रखने पर,$5^2 = 13 + 2ab$,जिससे $25 = 13 + 2ab$ प्राप्त होता है,इसलिए $2ab = 12$ या $ab = 6$।
हमें $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$\frac{13}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,समीकरण $x^4-6x^3+11x^2-6x=0$ के मूल ज्ञात करें।
गुणनखंड करने पर,हमें $x(x^3-6x^2+11x-6)=0$ प्राप्त होता है।
$x^3-6x^2+11x-6$ का और गुणनखंड करने पर,हमें $x(x-1)(x-2)(x-3)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $0, 1, 2, 3$ हैं। सबसे छोटा मूल $0$ है।
मान लीजिए कि $x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ के मूल $r_1, r_2, r_3$ हैं।
जब इन मूलों में $1$ की वृद्धि की जाती है,तो नए मूलों में से एक $0$ है।
अतः,किसी $i$ के लिए $r_i+1=0$,जिसका अर्थ है कि $r_i=-1$ है।
चूंकि $-1$,$x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ का एक मूल है,हम $x=-1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(-1)^3+\alpha(-1)^2+\beta(-1)+6=0$
$-1+\alpha-\beta+6=0$
$\alpha-\beta+5=0$.

(B) मान लीजिए समीकरण $x^3 - ax^2 + ax - 1 = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$
$\alpha\beta\gamma = 1$
नए समीकरण के मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।
चूंकि नया समीकरण मूल समीकरण के समान है,इसलिए मूलों का समुच्चय ${\alpha^2, \beta^2, \gamma^2}$,${\alpha, \beta, \gamma}$ के समान होना चाहिए।
$\alpha\beta\gamma = 1$ दिया गया है,यदि हम $\alpha = \beta = \gamma = 1$ लेते हैं,तो $x^3 - ax^2 + ax - 1 = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ प्राप्त होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3+3x^2-5x-7=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{3}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{7}{2}$
हमें $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ की गणना करें।
मान रखने पर:
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2(\frac{7}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{21}{2} = \frac{25+42}{4} = \frac{67}{4}$.
अब,$(\alpha\beta\gamma)^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
अतः,$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{67/4}{49/4} = \frac{67}{49}$.

(B) माना मूल $\alpha, \alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया है $\alpha > 0$ और $\beta\gamma = 1$।
विएटा के सूत्रों से,मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta\gamma = \frac{e}{a}$ है।
चूंकि $\beta\gamma = 1$,इसलिए $\alpha^2 = \frac{e}{a}$,अतः $\alpha = \sqrt{\frac{e}{a}}$।
समीकरण को $a(x-\alpha)^2(x^2 - Sx + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $S = \beta + \gamma$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$b = -a(S + 2\alpha)$,$c = a(1 + 2\alpha S + \alpha^2)$,$d = -a(S\alpha^2 + 2\alpha)$,$e = a\alpha^2$ प्राप्त होता है।
$b = -a(S + 2\alpha)$ से,$S = -\frac{b}{a} - 2\alpha$।
$c$ के समीकरण में $S$ का मान रखने पर,$c = a - 2b\alpha - 3a\alpha^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^2 = \frac{e}{a}$,इसलिए $3a\alpha^2 = 3e$।
अतः,$c = a - 2b\sqrt{\frac{e}{a}} - 3e$,जिसे सरल करने पर $3e + \frac{2b\sqrt{e}}{\sqrt{a}} + c = a$ प्राप्त होता है।

(D) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिए गए समीकरण $x^3-12x^2+kx-18=0$ से,हमारे पास संबंध हैं:
$\alpha+\beta+\gamma = 12$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$
$\alpha\beta\gamma = 18$
दिया गया है कि एक मूल अन्य दो मूलों के योग का तीन गुना है,माना $\alpha = 3(\beta+\gamma)$।
इसे मूलों के योग में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha + \frac{\alpha}{3} = 12 \implies \frac{4\alpha}{3} = 12 \implies \alpha = 9$।
तब $\beta+\gamma = 3$ और $\beta\gamma = \frac{18}{\alpha} = \frac{18}{9} = 2$।
हमें $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 12^2 - 2k = 144 - 2k$।
अतः,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k = 144 - 2k - k = 144 - 3k$।
चूंकि $\beta+\gamma=3$ और $\beta\gamma=2$,मूल $\beta$ और $\gamma$ समीकरण $t^2-3t+2=0$ के मूल हैं,जो $1$ और $2$ हैं।
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$ का उपयोग करके,हमें $k = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29$ प्राप्त होता है।
अंत में,$144 - 3(29) = 144 - 87 = 57$।

(C) माना कि दिए गए समीकरण $x^5-3x^4-x^3+11x^2-12x+4=0$ के मूल $\alpha_i$ हैं। हमें वह समीकरण चाहिए जिसके मूल $\beta_i = \alpha_i + 2$ हों।
इसका अर्थ है $\alpha_i = \beta_i - 2$।
मूल समीकरण में $x = y - 2$ रखने पर,हमें $(y-2)^5 - 3(y-2)^4 - (y-2)^3 + 11(y-2)^2 - 12(y-2) + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(y-2)^5 = y^5 - 10y^4 + 40y^3 - 80y^2 + 80y - 32$
$-3(y-2)^4 = -3y^4 + 24y^3 - 72y^2 + 96y - 48$
$-(y-2)^3 = -y^3 + 6y^2 - 12y + 8$
$11(y-2)^2 = 11y^2 - 44y + 44$
$-12(y-2) = -12y + 24$
$+4 = 4$
योग करने पर:
$y^5 - 13y^4 + 63y^3 - 135y^2 + 108y = 0$।
अतः,समीकरण $x^5 - 13x^4 + 63x^3 - 135x^2 + 108x = 0$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ है।
दो मूलों का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ से भाग देने पर,$b = 4 - \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-13x^2+kx+189=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta+\gamma=13$ और $\alpha\beta\gamma=-189$ है।
$\beta-\gamma=2$ दिया गया है,जिससे $\beta+\gamma=16$ और $\alpha=-3$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $\alpha=-3$ रखने पर,$k=15$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta+\gamma : k+\alpha = 16 : (15-3) = 16 : 12 = 4:3$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2-6(k-1)x+4(k-2)=0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,इसलिए $\alpha + \beta = 0$ होगा।
मूलों के योग के सूत्र से,$\alpha + \beta = 6(k-1) = 0$,जिसका अर्थ है $k = 1$।
$k=1$ रखने पर,$x^2 - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \pm 2$।
$\alpha > \beta$ होने के कारण,$\alpha = 2$ और $\beta = -2$ है।
अब,दूसरे समीकरण $2x^2 - \alpha x + 6\beta(\alpha+1) = 0$ में मान रखने पर: $2x^2 - 2x + 6(-2)(2+1) = 0$।
$2x^2 - 2x - 36 = 0$।
द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के लिए मूलों का गुणनफल $c/a$ होता है।
यहाँ,गुणनफल $-36/2 = -18$ है।

(B) दिया गया है कि $x^2-5x+6$,$f(x)=x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ का एक गुणनखंड है।
हम $x^2-5x+6$ को $(x-2)(x-3)$ के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।
अतः,$f(2)=0$ और $f(3)=0$ होगा।
मान लीजिए कि दूसरा द्विघात गुणनखंड $x^2+ax+b$ है।
$f(x)$ का अचर पद $210$ है,इसलिए $(x^2-5x+6)(x^2+ax+35) = x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ होगा।
$x^3$ के गुणांक की तुलना करने पर: $a-5 = -17$,जिससे $a = -12$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा द्विघात गुणनखंड $x^2-12x+35$ है।

(C) हमें फलन $f(x) = x^2 - 5x + 4$ दिया गया है। हमें $x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ के लिए $f(x) > 10$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
असमिका $x^2 - 5x + 4 > 10$ को हल करने पर:
$x^2 - 5x - 6 > 0$
$(x - 6)(x + 1) > 0$
चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है,$x + 1$ हमेशा धनात्मक है। अतः,हमें $x - 6 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x > 6$।
$1$ से $20$ तक की प्राकृतिक संख्याएँ जो $x > 6$ को संतुष्ट करती हैं,वे $\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ हैं।
ऐसी संख्याओं की कुल संख्या $14$ है।
प्राकृतिक संख्याओं की कुल संख्या $20$ है।
अतः प्रायिकता $\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ है।

(A) माना $f(x) = 18x^3-33x^2+20x-4$ है। यदि $\alpha$ का बहुलता $2$ है,तो यह $f(\alpha) = 0$ और $f'(\alpha) = 0$ को संतुष्ट करता है।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 54x^2-66x+20$ है।
$f'(\alpha) = 0$ रखने पर,$54\alpha^2-66\alpha+20 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,$27\alpha^2-33\alpha+10 = 0$ मिलता है।
$\alpha = \frac{2}{3}$ समीकरण का मूल है।
विकल्प $A$ में $\alpha = \frac{2}{3}$ रखने पर: $3(\frac{2}{3})^2 - 8(\frac{2}{3}) + 4 = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} + 4 = 0$।

(B) दिया गया व्युत्क्रम समीकरण $6x^4-5x^3+13x^2-5x+6=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x=0$ मूल नहीं है),हमें $6x^2-5x+13-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$ प्राप्त होता है।
पदों को समूहित करने पर: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+13=0$।
माना $t = x+\frac{1}{x}$,तो $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $6(t^2-2)-5t+13=0 \implies 6t^2-5t+1=0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $(3t-1)(2t-1)=0$,अतः $t=\frac{1}{3}$ या $t=\frac{1}{2}$।
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ के लिए,$x^2-\frac{1}{3}x+1=0$। विविक्तकर $D = (\frac{1}{3})^2 - 4(1) = \frac{1}{9}-4 < 0$।
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ के लिए,$x^2-\frac{1}{2}x+1=0$। विविक्तकर $D = (\frac{1}{2})^2 - 4(1) = \frac{1}{4}-4 < 0$।
चूंकि दोनों द्विघात समीकरणों के विविक्तकर ऋणात्मक हैं,इसलिए चारों मूल सम्मिश्र संख्याएं हैं।

(B) माना समीकरण $x^4+2x^3-7x^2-8x+12=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
दिया है कि दो मूलों का योग शून्य है,माना $\alpha + \beta = 0$,जिसका अर्थ है $\beta = -\alpha$।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma + \delta = -2$ है।
चूंकि $\alpha + \beta = 0$,इसलिए $\gamma + \delta = -2$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma \delta = 12$ है।
$\beta = -\alpha$ रखने पर,$-\alpha^2 \gamma \delta = 12$ या $\alpha^2 \gamma \delta = -12$ प्राप्त होता है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = -7$ है।
$\beta = -\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\alpha^2 + \gamma \delta = -7$ प्राप्त होता है,इसलिए $\gamma \delta = \alpha^2 - 7$।
गुणनफल समीकरण में मान रखने पर: $\alpha^2(\alpha^2 - 7) = -12$,जिससे $\alpha^4 - 7\alpha^2 + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
$y = \alpha^2$ लेने पर,$y^2 - 7y + 12 = 0$,जिससे $(y-3)(y-4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha^2 = 4$ लेने पर $\gamma \delta = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma + \delta)^2 - 2\gamma \delta = (-2)^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$।

(B) माना समीकरण $x^3-2x^2+3x-4=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
तब $\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3$,और $\alpha\beta\gamma=4$ है।
हमें वह समीकरण चाहिए जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हों।
माना $y=x^2$,अतः $x=\sqrt{y}$ है।
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{y})^3-2(\sqrt{y})^2+3\sqrt{y}-4=0$।
$y\sqrt{y}-2y+3\sqrt{y}-4=0$।
$\sqrt{y}(y+3)=2y+4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y(y+3)^2=(2y+4)^2$।
$y(y^2+6y+9)=4y^2+16y+16$।
$y^3+6y^2+9y=4y^2+16y+16$।
$y^3+2y^2-7y-16=0$।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3+2x^2-7x-16=0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3x^2+x+5 = (x-3)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $3x^2+x+5 = x^2-6x+9$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2+7x-4 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2+8x-x-4 = 0$,जो $2x(x+4)-1(x+4) = 0$ देता है।
अतः,$(2x-1)(x+4) = 0$,जिससे $x = 1/2$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
अब,हमें इन मानों को मूल समीकरण $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ में जांचना होगा।
$x = 1/2$ के लिए: $\sqrt{3(1/4)+1/2+5} = 2.5$,जबकि $x-3 = -2.5$। चूँकि $2.5 \neq -2.5$,इसलिए $x = 1/2$ हल नहीं है।
$x = -4$ के लिए: $\sqrt{3(16)-4+5} = 7$,जबकि $x-3 = -7$। चूँकि $7 \neq -7$,इसलिए $x = -4$ हल नहीं है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(A) समीकरण $x^2-7x+10=0$ के लिए,मूल $x=2$ और $x=5$ हैं। मूलों का अंतर $|5-2|=3$ है।
समीकरण $x^2-17x+k=0$ के लिए,मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। मूलों का अंतर $|\alpha-\beta|=3$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ होता है।
मान रखने पर,हमें $3^2 = (17)^2 - 4k$ प्राप्त होता है।
$9 = 289 - 4k$.
$4k = 289 - 9 = 280$.
$k = 70$.
$70$ के भाजक $1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$14$ संख्या $70$ का एक भाजक है।

(B) माना $|x| = t$ है। चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 5t + 6 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t-2)(t-3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 2$ या $t = 3$ है।
$|x| = 2$ होने पर,$x = 2$ या $x = -2$ है।
$|x| = 3$ होने पर,$x = 3$ या $x = -3$ है।
वास्तविक मूल $2, -2, 3, -3$ हैं।
सभी वास्तविक मूलों का गुणनफल $(2) \times (-2) \times (3) \times (-3) = (-4) \times (-9) = 36$ है।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \text{side}^2$ है।
दिया गया है कि $\text{Area} = 575$ है।
अतः,$\text{side} = \sqrt{575}$।
वर्गमूल की गणना करने पर: $\sqrt{575} \approx 23.9791576$।
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $23.9792$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) द्विघात व्यंजक $lx^2 + mx + 1 > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें:
$1$. $x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए: $l > 0$. जो यहाँ हमेशा सत्य है।
$2$. विविक्तकर $D < 0$: $m^2 - 4l < 0$,अर्थात $m^2 < 4l$.
कुल संभावित जोड़े $(l, m) = 7 \times 7 = 49$ हैं।
$l$ के मानों के लिए:
- $l = 1$ के लिए,$m^2 < 4 \implies m = 1$ ($1$ जोड़ा)।
- $l = 2$ के लिए,$m^2 < 8 \implies m = 1, 2$ ($2$ जोड़े)।
- $l = 3$ के लिए,$m^2 < 12 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ जोड़े)।
- $l = 4$ के लिए,$m^2 < 16 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ जोड़े)।
- $l = 5$ के लिए,$m^2 < 20 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ जोड़े)।
- $l = 6$ के लिए,$m^2 < 24 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ जोड़े)।
- $l = 7$ के लिए,$m^2 < 28 \implies m = 1, 2, 3, 4, 5$ ($5$ जोड़े)।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 22$.
प्रायिकता = $\frac{22}{49}$.

(C) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। दिया गया समीकरण $f(x) + f(1/x) = f(x)f(1/x)$ है,जिसे $(f(x) - 1)(f(1/x) - 1) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $g(x) = f(x) - 1$ है। तब $g(x)g(1/x) = 1$ है।
चूंकि $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है,$g(x)$ भी एक द्विघात बहुपद है।
$f(-1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $g(-1) = -1$ प्राप्त होता है।
इन शर्तों से $f(x) = 1 - x^2$ प्राप्त होता है।
अतः $f(x) = 1 - x^2$ का परिसर $(-\infty, 1]$ है।

(C) दिए गए सारणिक समीकरण से:
$f(x) = \frac{1}{2} [f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) - (f(\frac{1}{x}) - f(x)) \cdot 1]$
$2f(x) = f(x)f(\frac{1}{x}) - f(\frac{1}{x}) + f(x)$
$f(x) + f(\frac{1}{x}) = f(x)f(\frac{1}{x})$
माना $f(x) = ax^n + c$ है। तब $ax^n + c + a(\frac{1}{x})^n + c = (ax^n + c)(a(\frac{1}{x})^n + c)$
$ax^n + a x^{-n} + 2c = a^2 + acx^n + acx^{-n} + c^2$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = ac$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 1$ ($a \neq 0$ मानते हुए)।
तब $a^2 + c^2 = 2c \implies a^2 + 1 = 2 \implies a^2 = 1$। चूंकि $f(2) = 33$ है,$a(2^n) + 1 = 33 \implies a(2^n) = 32$।
यदि $a = 1$ है,तो $2^n = 32 \implies n = 5$। अतः $f(x) = x^5 + 1$ है।
इसलिए $f(3) = 3^5 + 1 = 243 + 1 = 244$।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 5$ होना चाहिए।
बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3}a = 5 \implies a = \frac{15}{2}$।
दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} \frac{27/2}{b} = 5 \implies b = \frac{27}{10}$।
$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{27}{10}} = \frac{9}{2}$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$AA^T$ की गणना करें:
$AA^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A + A^T$ की गणना करें:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & -1-2 & 2+4 \\ -2-1 & 3+3 & -3-4 \\ 4+2 & -4-3 & 5+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix}$.
अंत में,$AA^T - (A + A^T)$ की गणना करें:
$\begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 12 \\ -8 & 16 & -28 \\ 12 & -28 & 47 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) कथन $(i)$: $AB=0$ का अर्थ यह नहीं है कि $A=0$ या $B=0$ होना ही चाहिए। उदाहरण के लिए,दो शून्येतर आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ लें। इनका गुणनफल $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$ है। अतः,$(i)$ असत्य है।
कथन (ii): यदि $AB=I_3$ है,तो व्युत्क्रम आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,$B$,$A$ का व्युत्क्रम है (अर्थात $A^{-1}=B$)। अतः,(ii) सत्य है।
कथन (iii): विस्तार $(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2$ होता है। सामान्यतः आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है $(AB \neq BA)$,इसलिए $A^2 - AB - BA + B^2$,$A^2 - 2AB + B^2$ के बराबर नहीं है,जब तक कि $AB=BA$ न हो। अतः,(iii) असत्य है।
अतः,केवल (ii) सत्य है।

(A) आव्यूह $A$ के सममित होने के लिए,$A = A^T$ होना चाहिए। अवयवों की तुलना करने पर,हमें $x = 2$,$y = -3$,और $z = 5$ प्राप्त होता है। अतः,$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & -6 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = -1(-24 - 25) - 2(-12 + 15) - 3(10 + 12) = -1(-49) - 2(3) - 3(22) = 49 - 6 - 66 = -23$।
आव्यूह $B$ के विषम-सममित होने के लिए,$B^T = -B$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि विकर्ण के अवयव $0$ होने चाहिए,इसलिए $s = 0$। साथ ही,$p = -2$,$q = 3$,और $r = 4$। अतः,$B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$। सारणिक $|B| = 0 - 2(0 - 12) + 3(-8 - 0) = 24 - 24 = 0$।
चूंकि $|B| = 0$,इसलिए $|AB| = |A| \times |B| = -23 \times 0 = 0$।
अतः,$|A| + |B| - |AB| = -23 + 0 - 0 = -23$।

(A) हम जानते हैं कि $\text{Adj}(A) \cdot A = |A| I$ होता है। मान लीजिए $|A| = k$ है। चूँकि $|A| > 0$,इसलिए $k > 0$ है।
दिया गया है $\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -6 \\ 10 & 8 & 0 \\ 2 & 4 & -4 \end{bmatrix}$।
$\text{Adj}(A)$ का सारणिक $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2 = k^2$ होता है।
$\text{Adj}(A)$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|\text{Adj}(A)| = 0(8(-4) - 0) - 4(10(-4) - 0) - 6(10(4) - 8(2)) = 0 - 4(-40) - 6(40 - 16) = 160 - 6(24) = 160 - 144 = 16$।
अतः,$k^2 = 16$,जिसका अर्थ है $k = 4$ (चूँकि $k > 0$)।
अब,$A = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(\text{Adj}(A))$।
संबंधों का उपयोग करके गणना करने पर,व्यंजक का मान $2$ प्राप्त होता है।

(D) एक अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & y & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & z \end{bmatrix}$.
$1$. $z$ $(a_{33})$ का सहखंड: $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} x & y \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = x + 3y = 9$.
$2$. $1$ $(a_{32})$ का सहखंड: $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} x & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(2x) = 4 \implies x = -2$.
$x = -2$ को $x + 3y = 9$ में रखने पर: $-2 + 3y = 9 \implies 3y = 11 \implies y = 11/3$.
$3$. $x$ $(a_{11})$ का सहखंड: $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & z \end{vmatrix} = z + 4 = 3 \implies z = -1$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} -2 & 11/3 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$AB$ की गणना करने पर,विकल्प $D$ के अनुसार सही उत्तर प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 1(13) - 2(-4) + 3(-5) = 13 + 8 - 15 = 6$.
हम जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$.
आगे,$|\text{adj}(\text{adj } A)| = |\text{adj } A|^{n-1} = (36)^{3-1} = 36^2 = 1296$.
साथ ही,$(\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|\text{adj } A|} \text{adj}(\text{adj } A) = \frac{1}{36} A$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1296 \times (\frac{1}{36} A) = kA$
$36 A = kA$
अतः,$k = 36$.

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ सत्य है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है और $\det(A) = 4$ है।
अतः,$\det(P) = \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (4)^2 = 16$।
अब,आव्यूह $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$\det(P) = 2\alpha - 6$।
$\det(P)$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$।
अतः,$\alpha$ का मान $11$ है।

(A) चरण $1$: आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।
$|A| = 1(6-9) - 1(3-6) + 2(3-4) = 1(-3) - 1(-3) + 2(-1) = -3 + 3 - 2 = -2$.
चूंकि $a = |adj(A)| = |A|^{n-1}$ जहाँ $n=3$ है,इसलिए $a = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4$.
चरण $2$: आव्यूह $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।
$|B| = 1(12 - (-1)) - 2(-16 - (-2)) + 3(4 - (-6)) = 1(13) - 2(-14) + 3(10) = 13 + 28 + 30 = 71$.
चूंकि $b = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{71}$ है।
चरण $3$: $\frac{b+1}{18b}$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\frac{\frac{1}{71} + 1}{18 \times \frac{1}{71}} = \frac{\frac{72}{71}}{\frac{18}{71}} = \frac{72}{18} = 4$.
चूंकि $a = 4$ है,इसलिए उत्तर $a$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $n = 3$ कोटि का आव्यूह है और $B = A^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि $\det B = \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = k$,इसलिए $\det A = \frac{1}{k}$ है।
एडजॉइंट के एडजॉइंट के लिए गुणधर्म $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{n-2} A$ है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{3-2} A = (\det A) A$ प्राप्त होता है।
$\det A = \frac{1}{k}$ रखने पर,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{k} A$ प्राप्त होता है।
अब,हमें व्युत्क्रम ज्ञात करना है: $(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))^{-1} = (\frac{1}{k} A)^{-1}$।
गुणधर्म $(c A)^{-1} = \frac{1}{c} A^{-1}$ का उपयोग करने पर,$(\frac{1}{k} A)^{-1} = k A^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{-1} = B$ है,इसलिए उत्तर $k B$ है।

(A) सबसे पहले,हम $|A - \lambda I| = 0$ का उपयोग करके आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & -1-\lambda & 2 \\ -1 & 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $(1-\lambda)[(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 2] - 2[2(-2-\lambda) - (-2)] - 2[2 - (-1)(-1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)[\lambda^2 + 3\lambda + 2 - 2] - 2[-4 - 2\lambda + 2] - 2[2 - 1 - \lambda] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 + 3\lambda) - 2(-2\lambda - 2) - 2(1 - \lambda) = 0$.
$\lambda^2 + 3\lambda - \lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda + 4 - 2 + 2\lambda = 0$.
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 + 9\lambda + 2 = 0 \implies \lambda^3 + 2\lambda^2 - 9\lambda - 2 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 + 2A^2 - 9A - 2I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^2 + 2A - 9I - 2A^{-1} = 0$.
अतः,$2A^{-1} = A^2 + 2A - 9I$.
अब $A + 2A^{-1} = A + A^2 + 2A - 9I = A^2 + 3A - 9I$.
$A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix}$.
$A^2 + 3A - 9I = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 & -6 \\ 6 & -3 & 6 \\ -3 & 3 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & -5 & -4 \\ 0 & -2 & -7 \end{bmatrix}$.

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $|A - xI| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,यह $x^3 - (\text{tr}(A))x^2 + (\text{मुख्य उपसारणिकों का योग})x - |A| = 0$ है।
यहाँ,$\text{tr}(A) = 2 + 3 + 2 = 7$ है।
मुख्य उपसारणिक हैं:
$M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
$M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$.
$M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
मुख्य उपसारणिकों का योग $= 4 + 3 + 4 = 11$ है।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $x^3 - 7x^2 + 11x - |A| = 0$ है।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = 7$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (7)^2 - 2(11) = 49 - 22 = 27$।

(C) आव्यूह $A$ की कोटि $2$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ का सारणिक $0$ होना चाहिए (क्योंकि आव्यूह $3 \times 3$ है और कोटि $< 3$ है)।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$
अतः,$x$ का मान $-3$ है।

(B) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 & 0 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}$ की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम इसे पंक्ति-सोपान रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करेंगे।
चरण $1$: पहले स्थान पर $1$ प्राप्त करने के लिए $R_1$ और $R_3$ को आपस में बदलें:
$R_1 \leftrightarrow R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
चरण $2$: पिवट के नीचे पहले स्तंभ की प्रविष्टियों को शून्य करें:
$R_2 \to R_2 - 5R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
चरण $3$: दूसरी और तीसरी पंक्ति को सरल करें:
$R_2 \to R_2 - 3R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
$R_3 \to 2R_3 - 3R_2 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 25 \end{bmatrix}$
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप में $3$ अशून्य पंक्तियाँ हैं,इसलिए आव्यूह की कोटि $3$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ -2 & y & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$\text{trace}(A) = x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
$\det(A) = x(-y - 0) - 2(2 - 0) + 1(0 - 2y) = -xy - 4 - 2y = -6$.
अतः,$xy + 2y = 2$.
$x = 1 - y$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1 - y)y + 2y = 2$.
$y - y^2 + 2y = 2 \implies y^2 - 3y + 2 = 0$.
$(y - 1)(y - 2) = 0$,इसलिए $y = 1$ या $y = 2$.
यदि $y = 1$ है,तो $x = 0$ (जो संभव नहीं है क्योंकि $x$ शून्येतर है)।
यदि $y = 2$ है,तो $x = -1$.
अवयव $1$,$a_{13}$ स्थान पर है।
उपसारणिक $M_{13}$ पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त सारणिक है:
$M_{13} = \begin{vmatrix} -2 & y \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(0) - (2)(y) = -2y$.
$y = 2$ रखने पर,$M_{13} = -2(2) = -4$.

(A) दिया गया समीकरण निकाय:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = (p - 2)(q - 3)$.
$|A| = 0$ के लिए $p = 2$ या $q = 3$ होना चाहिए।
यदि $p \neq 2$ और $q = 3$ है,तो सारणिक $0$ हो जाता है।
$D_x = \begin{vmatrix} 8 & p & 6 \\ 5 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3p$.
यदि $p \neq 2$ है,तो $D_x \neq 0$,अतः निकाय का कोई हल नहीं है।

(C) दिए गए समीकरण:
$1) x+2y+3z=4$
$2) 3x+y+z=3$
$3) x+3y+3z=2$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x+3y+3z) - (x+2y+3z) = 2 - 4$
$y = -2$
$y = -2$ को समीकरण $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$x + 2(-2) + 3z = 4 \implies x + 3z = 8$
$3x + (-2) + z = 3 \implies 3x + z = 5$
$3x + z = 5$ से,हमें $z = 5 - 3x$ प्राप्त होता है।
$z$ का मान $x + 3z = 8$ में रखने पर:
$x + 3(5 - 3x) = 8$
$x + 15 - 9x = 8$
$-8x = -7 \implies x = \frac{7}{8}$
अब $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$z = 5 - 3(\frac{7}{8}) = 5 - \frac{21}{8} = \frac{40-21}{8} = \frac{19}{8}$
अतः,$\alpha = \frac{7}{8}, \beta = -2, \gamma = \frac{19}{8}$.
$3\alpha + \gamma$ की गणना करने पर:
$3(\frac{7}{8}) + \frac{19}{8} = \frac{21}{8} + \frac{19}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
$\beta = -2$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) \beta = -2$
$B) 2\beta = -4$
$C) 1 - 2\beta = 1 - 2(-2) = 5$
$D) 2\beta + 1 = 2(-2) + 1 = -3$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $AX=B$ का अद्वितीय हल $X=D$ है। इसलिए,$AD=B$ है।
दिया गया है कि $CX=D$ का अद्वितीय हल $X=B$ है। इसलिए,$CB=D$ है।
दूसरे समीकरण से,हमें $B = C^{-1}D$ प्राप्त होता है।
$B$ का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AD = C^{-1}D$।
यह दर्शाता है कि $(A - C^{-1})D = O$ है।
इसे समीकरण $(A - C^{-1})X = O$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $X=D$ एक हल है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय:
$1) 2x - 3y + 2z = -15$
$2) 3x + y - z = -2$
$3) x - 3y - 3z = -8$
समीकरण $(2)$ से,$z = 3x + y + 2$ प्राप्त होता है।
$z$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x - 3y + 2(3x + y + 2) = -15$
$2x - 3y + 6x + 2y + 4 = -15$
$8x - y = -19$ --- $(4)$
$z$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x - 3y - 3(3x + y + 2) = -8$
$x - 3y - 9x - 3y - 6 = -8$
$-8x - 6y = -2$ --- $(5)$
$(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$(8x - y) + (-8x - 6y) = -19 - 2$
$-7y = -21 \implies y = 3$
$y = 3$ को $(4)$ में रखने पर:
$8x - 3 = -19$
$8x = -16 \implies x = -2$
$x = -2$ और $y = 3$ को $z = 3x + y + 2$ में रखने पर:
$z = 3(-2) + 3 + 2 = -6 + 5 = -1$
अतः,$\alpha = -2, \beta = 3, \gamma = -1$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = -2 + 3 - 1 = 0$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और निकाय संगत होना चाहिए।
दिए गए समीकरण:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 12 - 2q - 3p + pq - 6 = pq - 3p - 2q + 6 = (p - 2)(q - 3) = 0$.
इससे $p = 2$ या $q = 3$ प्राप्त होता है।
यदि $p = 2$ लिया जाए,तो समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 2y + 6z = 8 \implies x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
चूंकि पहला और तीसरा समीकरण समान हैं,हमारे पास तीन चरों के लिए दो स्वतंत्र समीकरण हैं,जिसका अर्थ है कि किसी भी $q$ के लिए अनंत हल प्राप्त होंगे।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$p = 2$ विकल्प $B$ में है।

(A) दिए गए समीकरणों के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
मान लीजिए $X = \ln x$ और $Y = \ln y$ है। निकाय इस प्रकार हो जाता है:
$aX + bY = m$
$cX + dY = n$
क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} m & b \\ n & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} a & m \\ c & n \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
चूंकि $X = \ln x$,इसलिए $x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ है।
चूंकि $Y = \ln y$,इसलिए $y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ है।
अतः,$x$ और $y$ के मान $e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ और $e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ हैं।

(C) मान लीजिए $M$,$A$ का एक आव्यूह है। आव्यूह $M$ का सारणिक,जिसे $\det(M)$ द्वारा दर्शाया जाता है,केवल $\{ -1, 0, 1 \}$ समुच्चय से ही मान ले सकता है क्योंकि इसके अवयव $0$ या $1$ हैं।
एक आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को आपस में बदलने की प्रक्रिया पर विचार करें। मान लीजिए $M'$,$M$ की दो पंक्तियों को बदलकर प्राप्त आव्यूह है। तो $\det(M') = -\det(M)$ होगा।
यदि हम $B$ के किसी आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को बदलते हैं,तो हमें $C$ का एक आव्यूह $M'$ प्राप्त होता है क्योंकि $\det(M') = -\det(M) = -1$।
इसी प्रकार,यदि हम $C$ के किसी आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को बदलते हैं,तो हमें $B$ का एक आव्यूह $M'$ प्राप्त होता है क्योंकि $\det(M') = -\det(M) = -(-1) = 1$।
यह $B$ और $C$ समुच्चयों के बीच एक एकैकी आच्छादन (bijection) को परिभाषित करता है।
अतः,$B$ में अवयवों की संख्या $C$ में अवयवों की संख्या के बराबर है।

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $S = \sum_{n=0}^{\infty} D_n$ है,जहाँ $D_n = \left|\begin{array}{cc} (1/2)^n & (1/3)^n \\ 3 & 1 \end{array}\right|$.
सारणिक $D_n$ का विस्तार करने पर:
$D_n = (1/2)^n \times 1 - 3 \times (1/3)^n = (1/2)^n - 3 \times (1/3)^n$.
अब,श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n)$ का योग ज्ञात करें।
इसे दो अनंत गुणोत्तर श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n - 3 \sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $|r| < 1$):
पहली श्रेणी के लिए,$r = 1/2$,अतः $\sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
दूसरी श्रेणी के लिए,$r = 1/3$,अतः $\sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n = \frac{1}{1 - 1/3} = 3/2$.
इन मानों को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर:
यदि श्रेणी $n=1$ से शुरू होती है,तो $S = \sum_{n=1}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n) = (2-1) - 3(3/2 - 1) = 1 - 1.5 = -0.5$.
अतः,सही उत्तर $-1/2$ है।

(B) माना दिया गया सारणिक $\Delta$ है। स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
$R_1 \to R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \times [2(1+4\sin 4\theta) - 4\sin 4\theta] = 0$
$1 \times [2 + 8\sin 4\theta - 4\sin 4\theta] = 0$
$2 + 4\sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 4\theta < 2\pi$ है।
$4\theta$ के वे मान जिनके लिए $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ है,वे $\frac{7\pi}{6}$ और $\frac{11\pi}{6}$ हैं।
यदि $4\theta = \frac{7\pi}{6}$,तो $\theta = \frac{7\pi}{24}$।
यदि $4\theta = \frac{11\pi}{6}$,तो $\theta = \frac{11\pi}{24}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{7\pi}{24}$ सही मान है।

(A) क्रेमर के नियम के अनुसार,$X = \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ के लिए हल $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta}$,और $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\Delta_1$ की गणना करें: $\Delta_1 = -11(1 - (-2)) - 1(-4 - (-10)) - 7(-4 - 5) = -11(3) - 1(6) - 7(-9) = -33 - 6 + 63 = 24$.
इसके बाद,$\Delta_3$ की गणना करें: $\Delta_3 = 4(5 - (-4)) - 1(5 - (-16)) - 11(1 - 4) = 4(9) - 1(21) - 11(-3) = 36 - 21 + 33 = 48$.
चूंकि $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$ और $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$,हमारे पास $x = \frac{24}{\Delta}$ और $z = \frac{48}{\Delta}$ है।
इसका अर्थ है कि $z = 2x$। विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$: $x = -1, z = 2$ ($z = 2x$ को संतुष्ट करता है)
विकल्प $B$: $x = 2, z = -1$ (संतुष्ट नहीं करता)
विकल्प $C$: $x = 1, z = 2$ (संतुष्ट नहीं करता)
विकल्प $D$: $x = 1, z = -1$ (संतुष्ट नहीं करता)
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ और $D_x = D_y = D_z = 0$ होना चाहिए।
दिया गया निकाय:
$2x + 3y - 3z = 3$
$x + 2y + \alpha z = 1$
$2x - y + z = \beta$
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 + \alpha) - 3(1 - 2\alpha) - 3(-1 - 4) = 4 + 2\alpha - 3 + 6\alpha + 15 = 8\alpha + 16$.
$D = 0$ रखने पर,$8\alpha + 16 = 0$,अतः $\alpha = -2$.
अब,$D_z$ की गणना करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 2(2\beta + 1) - 3(\beta - 2) + 3(-1 - 4) = 4\beta + 2 - 3\beta + 6 - 15 = \beta - 7$.
$D_z = 0$ रखने पर,$\beta = 7$.
अब $\frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2}{7} - \frac{7}{-2} = -\frac{2}{7} + \frac{7}{2} = \frac{-4 + 49}{14} = \frac{45}{14}$.

(B) हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रणाली को मैट्रिक्स रूप $AX = B$ में लिखते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक $(|A|)$ ज्ञात करें:
$|A| = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$|A| = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$|A| = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
चूँकि $|A| = 0$ है,प्रणाली या तो असंगत है (कोई हल नहीं) या इसके अनंत हल हैं।
हम ऑगमेंटेड मैट्रिक्स $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ करने पर: $R_1 \leftrightarrow R_2$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 7 & -5 & | & 4 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix}$.
अंतिम पंक्ति इंगित करती है कि $0 = -1$,जो एक विरोधाभास है।
इसलिए,इस प्रणाली का कोई हल नहीं है।

(D) एक आव्यूह $A$ सिंगुलर होता है यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & k & k \\ k & -4 & -6 \\ k & -3 & -5 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 0((-4)(-5) - (-6)(-3)) - k(k(-5) - (-6)(k)) + k(k(-3) - (-4)(k))$
$|A| = 0 - k(-5k + 6k) + k(-3k + 4k)$
$|A| = -k(k) + k(k)$
$|A| = -k^2 + k^2 = 0$।
चूंकि सारणिक $k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$,$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए सिंगुलर है।

(C) सबसे पहले,समीकरण $x^3+6x^2+5x-42=0$ का वास्तविक मूल ज्ञात करें। $-42$ के पूर्णांक गुणनखंडों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ के लिए: $(2)^3+6(2)^2+5(2)-42 = 8+24+10-42 = 0$। अतः,$\alpha=2$ एक मूल है।
अब $\alpha=2$ को आव्यूह में प्रतिस्थापित करें:
$M = \left[\begin{array}{ccc}2-1 & 2+1 & 2+2 \\ 2-2 & 2+3 & 2-3 \\ 2+4 & 2-4 & 2+5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 \\ 6 & -2 & 7\end{array}\right]$।
अब,सारणिक $|M|$ की गणना करें:
$|M| = 1(5 \times 7 - (-1) \times (-2)) - 3(0 \times 7 - (-1) \times 6) + 4(0 \times (-2) - 5 \times 6)$
$|M| = 1(35 - 2) - 3(0 + 6) + 4(0 - 30)$
$|M| = 1(33) - 3(6) + 4(-30)$
$|M| = 33 - 18 - 120 = -105$।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} -x & 14x & 7x \\ 0 & 1 & 0 \\ x & -4x & -2x \end{bmatrix}$ है। व्युत्क्रम $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
$A$ की पहली पंक्ति और $A^{-1}$ के पहले स्तंभ का गुणा करने पर:
$(-x)(2) + (14x)(0) + (7x)(1) = 1$ (क्योंकि $I$ के $(1,1)$ स्थान पर $1$ है)
$-2x + 7x = 1 \implies 5x = 1 \implies x = 1/5$.
अब,हमें सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc} x & x+1 & x+2 \\ x+1 & x+2 & x+3 \\ x+2 & x+3 & x+4 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात करना है।
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने पर: $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$.
$D = \left|\begin{array}{ccc} x & x+1 & x+2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
चूंकि दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) के लिए,$\sin^{-1}(u)$ का डोमेन $u \in [-1, 1]$ है। चूंकि $\sqrt{x^2+x+1} \ge 0$,हमें $0 \le x^2+x+1 \le 1$ की आवश्यकता है।
$x^2+x+1 \ge 0$ को हल करने पर: विविक्तकर $D = 1-4 = -3 < 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $x^2+x+1 > 0$ है।
$x^2+x+1 \le 1$ को हल करने पर: $x^2+x \le 0 \implies x(x+1) \le 0$,इसलिए $x \in [-1, 0]$। अतः,$A = [-1, 0]$।
$B$ के लिए,$x \in [-1, 0]$ के लिए $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1})$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
माना $f(x) = x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ ($x = -1/2$ पर) और अधिकतम मान $1$ ($x = -1$ या $x = 0$ पर) है।
अतः,$\sqrt{x^2+x+1} \in [\sqrt{3}/2, 1]$।
तब $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1}) \in [\sin^{-1}(\sqrt{3}/2), \sin^{-1}(1)] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
इसलिए $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
विकल्पों की जाँच करने पर: $A = [-1, 0]$ और $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
$A \cap B = \phi$ (रिक्त समुच्चय)।
$A \cap B^C = A \setminus B = [-1, 0] \setminus [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] = [-1, 0]$।
$A^C \cap B = B \setminus A = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] \setminus [-1, 0] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए,$\operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए फलन $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ में इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \in [1, \infty)$,तो $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ और $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ के प्रांत (जो $[-1, 1]$ है) के अनुसार केवल $x = 1$ संभव है।
$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
स्थिति $2$: यदि $x \in (-\infty, -1]$,तो $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ और $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ के प्रांत के अनुसार केवल $x = -1$ संभव है।
$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
अतः,फलन का परिसर $\{0, \pi\}$ है।

(D) माना $u = x^2 + 2x + k$ है। समीकरण $2 \operatorname{Cot}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\operatorname{Cot}^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर:
$2(\frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\pi - 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\operatorname{Tan}^{-1}(u) = 0$,जिसका अर्थ है $u = 0$ है।
अतः,$x^2 + 2x + k = 0$ है।
इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k$ है।
$D > 0$ रखने पर,$4 - 4k > 0$,जो सरल होकर $4 > 4k$ या $k < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$k \in (-\infty, 1)$ है।

(C) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sin x + \cos x)$ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि हर $1 + (\sin x + \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए अंश को धनात्मक होना चाहिए:
$\cos x - \sin x > 0$.
$\cos x > \sin x$.
$\cos x$ से भाग देने पर (जब $\cos x > 0$),हमें $1 > \tan x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x < 1$.
यह असमिका $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए सत्य है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ यानी $\left(-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ सही उत्तर है।

(A) माना $\theta = \tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)$ है। तब $\tan \theta = \frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$ है।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\sec^2 \theta = 1 + \frac{a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sec \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$ है।
अब,माना $\phi = \cos^{-1} x$ है। तब $\cos \phi = x$ है,जिसका अर्थ है कि $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$ है।
इसलिए,$\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
दिया गया समीकरण $\cot \phi = \sec \theta$ है,इसलिए $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2) = b^2 - b^2x^2$ है।
$x^2(b^2-a^2+b^2) = b^2$ है।
$x^2(2b^2-a^2) = b^2$ है।
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2-a^2}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$x = \frac{b}{\sqrt{2b^2-a^2}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $x = \frac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{\sqrt{15}+1}$.
ध्यान दें कि $8-2 \sqrt{15} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$,इसलिए $\sqrt{8-2 \sqrt{15}} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
अतः,$x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5+3-2 \sqrt{15}}{2} = \frac{8-2 \sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1}(4-\sqrt{15}) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \right) - \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \sqrt{\frac{5}{3}} \right) - \frac{\pi}{4}$.
वैकल्पिक रूप से,$\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ में सरल हो जाता है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$।
प्रत्येक पद को $\tan^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए पदों पर इसे लागू करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) = \tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{13}\right) = \tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) = \tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)$
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{31}\right) = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5)$
इनका योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$\theta = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + (\tan^{-1}(4) - \tan^{-1}(3)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(4)) + (\tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(5))$
$\theta = \tan^{-1}(6) - \tan^{-1}(1)$
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$
अतः,$\tan \theta = \frac{5}{7}$।

(A) हम सूत्र $2 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
अब,व्यंजक $\tan \left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan^{-1}(1)$।
अंत में,$\tan(\tan^{-1}(1)) = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $\cos ^{-1} x = \theta$,तो $x = \cos \theta$,जहाँ $\theta \in [0, \pi]$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\cos ^{-1}(1-\cos \theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\cos ^{-1}(1-\cos \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$1-\cos \theta = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = -\sin(2\theta)$.
$1-\cos \theta = -2\sin \theta \cos \theta$.
$1 - (1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = -2(2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}))\cos \theta$.
$2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = -4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
स्थिति $1$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = \cos 0 = 1$.
$x=1$ की जाँच करने पर: $\cos ^{-1}(0) - 2\cos ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।
स्थिति $2$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = -2\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
$\tan(\frac{\theta}{2}) = -2\cos \theta$. चूँकि $\theta \in [0, \pi]$,$\tan(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ और $-2\cos \theta$ ऋणात्मक हो सकता है। $\theta \in [0, \pi/2]$ के लिए,$\cos \theta \ge 0$,इसलिए $-2\cos \theta \le 0$. केवल $\theta=0$ पर ही प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है (जो पहले ही मिल चुका है)।
अतः,केवल एक ही हल है।

(C) माना $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sqrt{x(x+1)}) + \operatorname{Sin}^{-1}(\sqrt{x^2+x+1})$.
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,तर्कों को डोमेन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
$2$. $0 \le x^2+x+1 \le 1$.
चूंकि $x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4$,न्यूनतम मान $3/4$ है। अतः,$x^2+x+1 \le 1 \implies x^2+x \le 0 \implies x(x+1) \le 0 \implies x \in [-1, 0]$.
$(1)$ और $(2)$ की शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \in \{-1, 0\}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $\operatorname{Tan}^{-1}(0) + \operatorname{Sin}^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. यह एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $x = -1$,तो $\operatorname{Tan}^{-1}(0) + \operatorname{Sin}^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. यह एक हल है।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया है $y = \operatorname{Tanh}^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.
माना $x = \cos \theta$,तब $\theta = \cos^{-1} x$.
तब $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \cos^2 (\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$.
अतः,$y = \operatorname{Tanh}^{-1} (\tan(\theta/2))$.
सर्वसमिका $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+\tan(\theta/2)}{1-\tan(\theta/2)} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\cos^{-1} x}{2} \right) \right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})} \cdot \sec^2(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{2} + \theta)} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2 \cos \theta} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2x \sqrt{1-x^2}}$.

(B) माना $y = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$ है।
तब $2y = \sin^{-1}\left(\frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}\right)$,अतः $\sin 2y = \frac{3 \sin 2\theta}{5+4 \cos 2\theta}$ है।
सर्वसमिका $\sin 2y = \frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y}$ और $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}$,$\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \tan y}{1+\tan^2 y} = \frac{3 \left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)}{5+4 \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)} = \frac{6 \tan \theta}{5(1+\tan^2 \theta) + 4(1-\tan^2 \theta)} = \frac{6 \tan \theta}{9+\tan^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan \theta$ और $x = \tan y$ है। तब $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{6t}{9+t^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $2x(9+t^2) = 6t(1+x^2) \implies 18x + 2xt^2 = 6t + 6tx^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $6tx^2 - (18+2t^2)x + 6t = 0 \implies 3tx^2 - (9+t^2)x + 3t = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x-t)(tx-3) = 0$ है।
अतः,$x = \frac{t}{3} = \frac{1}{3} \tan \theta$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1}(a) - \operatorname{Tan}^{-1}(b) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ होता है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{1+2x^2}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-x}{1+(2x)(x)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(2x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (\operatorname{Tan}^{-1}(2x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)) + (\operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)) = \operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(3x)) - \frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(x)) = \frac{3}{1+(3x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{3}{9x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}$.

(B) माना $g(x) = 9x^2 - 12x + 22$ है।
हम इसे $g(x) = (3x - 2)^2 + 18$ के रूप में लिख सकते हैं।
जब $3x - 2 = 0$ अर्थात $x = \frac{2}{3}$ होता है,तब $g(x)$ का न्यूनतम मान $18$ प्राप्त होता है।
जैसे $x \to \pm \infty$,वैसे ही $g(x) \to \infty$ होता है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $[18, \infty)$ है।
परिणामस्वरूप,$\sqrt{g(x)}$ का परिसर $[\sqrt{18}, \infty) = [3\sqrt{2}, \infty)$ है।
अब,$\operatorname{Cos}^{-1}$ के तर्क $u = \frac{3}{\sqrt{g(x)}}$ पर विचार करें।
चूंकि $\sqrt{g(x)} \geq 3\sqrt{2}$,इसलिए $0 < \frac{3}{\sqrt{g(x)}} \leq \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$u \in (0, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ है।
चूंकि $\operatorname{Cos}^{-1}(u)$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है,इसलिए $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(u)$ का परिसर $[\operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}), \operatorname{Cos}^{-1}(0))$ होगा।
यह $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ के बराबर है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)$.
हम जानते हैं कि $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| - |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}\right)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{-3\pi}{2} < x < \frac{-\pi}{2}$,इसलिए $\frac{-3\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{-\pi}{4}$।
इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} < 0$ और $\sin \frac{x}{2} < 0$,और $|\sin \frac{x}{2}| > |\cos \frac{x}{2}|$ है।
व्यंजक को सरल करने पर $y = \operatorname{Sin}^{-1}(\cot(\frac{x}{2}))$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण: $\operatorname{Tan}^{-1} 1 + \frac{1}{2} \operatorname{Cos}^{-1} x^2 - \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$.
माना $x^2 = \cos 2\theta$,जहाँ $2\theta \in [0, \pi]$. तब $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{2}\cos\theta$ और $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{2}\sin\theta$.
तीसरा पद $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\theta)\right) = \frac{\pi}{4} + \theta$ हो जाता है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(2\theta) - (\frac{\pi}{4} + \theta) = 0$.
यह $0 = 0$ में सरल हो जाता है,जो एक सर्वसमिका है।
हालाँकि,फलन के परिभाषित होने के लिए $1-x^2 \ge 0$ अर्थात $x^2 \le 1$ और हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x^2 \neq 1$.
साथ ही $x^2 \ge 0$. अतः,$x^2 \in [0, 1)$.
चूँकि $x^2$ के अनंत मान इस अंतराल में संभव हैं,इसलिए हलों की संख्या अनंत है।