AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે સમીકરણ $6x^3 + 7x^2 - 4x - 2 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
જો બીજને $h$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે,તો નવા બીજ $\alpha-h, \beta-h, \gamma-h$ થાય.
ધારો કે $y = x - h$,તેથી $x = y + h$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = y + h$ મૂકતા:
$6(y+h)^3 + 7(y+h)^2 - 4(y+h) - 2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$y$ ના સહગુણક માટે $18h^2 + 14h - 4 = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$9h^2 + 7h - 2 = 0$ મળે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે $h$ ના બીજનો ગુણાકાર $c/a = -2/9$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \alpha+\beta = 5\gamma$ અને $\alpha\beta = -6\delta$
$2) \gamma+\delta = 5\alpha$ અને $\gamma\delta = -6\beta$
સરવાળાના સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\alpha+\beta) + (\gamma+\delta) = 5(\gamma+\alpha) \implies \beta+\delta = 4(\alpha+\gamma)$.
સરવાળાના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\beta) - (\gamma+\delta) = 5(\gamma-\alpha) \implies \alpha+\beta-\gamma-\delta = 5\gamma-5\alpha \implies 6\alpha+\beta = 6\gamma+\delta$.
$\alpha\beta = -6\delta$ અને $\gamma\delta = -6\beta$ પરથી,$\alpha\beta\gamma\delta = 36\beta\delta$ મળે. જો $\beta\delta \neq 0$ હોય,તો $\alpha\gamma = 36$.
આ પદ્ધતિ ઉકેલતા $\alpha=\gamma$ અને $\beta=\delta$ મળે છે. મૂળ સમીકરણોમાં મૂકતા: $\alpha+\alpha = 5\alpha \implies 3\alpha=0 \implies \alpha=0$. આમ $\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$.
જોકે,જો આપણે શૂન્યતર બીજ વિચારીએ,તો પણ સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ચાર ક્રમિક ઘાતોનો સરવાળો $i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = i^k(1 + i - 1 - i) = 0$ થાય છે.
પ્રથમ સરવાળા માટે: $\sum_{n=2}^{30} i^n = i^2 + i^3 + \dots + i^{30}$. પદોની સંખ્યા $30 - 2 + 1 = 29$ છે.
$29 = 4 \times 7 + 1$ હોવાથી,સરવાળો $i^2 + (i^3 + i^4 + i^5 + i^6) + \dots + (i^{27} + i^{28} + i^{29} + i^{30}) = -1 + 0 = -1$ થાય.
બીજા સરવાળા માટે: $\sum_{n=30}^{65} i^{n+3} = i^{33} + i^{34} + \dots + i^{68}$. પદોની સંખ્યા $68 - 33 + 1 = 36$ છે.
$36$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,$i$ ની આ $36$ ક્રમિક ઘાતોનો સરવાળો $0$ થાય છે.
આમ,કુલ સરવાળો $-1 + 0 = -1$ થાય.

(A) ધારો કે $z = \frac{\sqrt{21+12 \sqrt{2} i}}{\sqrt{21-12 \sqrt{2} i}}$.
$21+12 \sqrt{2} i$ નું વર્ગમૂળ શોધતા,$(x+iy)^2 = 21+12 \sqrt{2} i$ લેતા.
$x^2-y^2 = 21$ અને $2xy = 12 \sqrt{2} \implies xy = 6 \sqrt{2}$.
$(x^2+y^2)^2 = 21^2 + (12 \sqrt{2})^2 = 729 \implies x^2+y^2 = 27$.
$x^2 = 24 \implies x = 2 \sqrt{6}$ અને $y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$.
તેથી,$\sqrt{21+12 \sqrt{2} i} = 2 \sqrt{6} + i \sqrt{3}$ અને $\sqrt{21-12 \sqrt{2} i} = 2 \sqrt{6} - i \sqrt{3}$.
$z = \frac{2 \sqrt{6} + i \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} - i \sqrt{3}} = \frac{(2 \sqrt{6} + i \sqrt{3})^2}{24 + 3} = \frac{21 + 12 \sqrt{2} i}{27} = \frac{7}{9} + i \frac{4 \sqrt{2}}{9}$.
અહીં $a = \frac{7}{9}$ અને $b = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{4 \sqrt{2}}{7}$.

(D) આપેલ છે $x = 3 - 2\sqrt{3}i$.
ગોઠવતા,$x - 3 = -2\sqrt{3}i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 3)^2 = (-2\sqrt{3}i)^2$.
$x^2 - 6x + 9 = -12$.
$x^2 - 6x + 21 = 0$.
બહુપદી $P(x) = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x - 54$ ને $(x^2 - 6x + 21)$ વડે ભાગતા,
$P(x) = (x^2 - 6x + 21)(x^2 - 6x - 3) + 9$.
તેથી,કિંમત $9$ મળે છે.

(A) આપણને $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ આપેલ છે।
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$z_1 \bar{z_1} + z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2} = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
બંને બાજુથી $|z_1|^2$ અને $|z_2|^2$ બાદ કરતા:
$z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} = 0$.
આને $z_1 \bar{z_2} + \overline{z_1 \bar{z_2}} = 0$ તરીકે લખી શકાય।
$z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$ હોવાથી, $2 \operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$.
$|z_2|^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 0$ મળે છે।

(B) ધારો કે $t = z^4$. સમીકરણ $t^2 - 20t + 64 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(t-16)(t-4) = 0$ મળે છે.
તેથી,$z^4 = 16$ અથવા $z^4 = 4$.
$z^4 = 16$ માટે,બીજો $z = 2, -2, 2i, -2i$ છે.
કાલ્પનિક બીજો $2i$ અને $-2i$ છે.
$z^4 = 4$ માટે,બીજો $z = \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i$ છે.
કાલ્પનિક બીજો $\sqrt{2}i$ અને $-\sqrt{2}i$ છે.
કાલ્પનિક બીજોના વર્ગો $(2i)^2 = -4$,$(-2i)^2 = -4$,$(\sqrt{2}i)^2 = -2$,અને $(-\sqrt{2}i)^2 = -2$ છે.
કાલ્પનિક બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $(-4) + (-4) + (-2) + (-2) = -12$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $|z \omega| = 1$,તેથી $|z| |\omega| = 1$.
વળી,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = r_1 e^{i \theta_1}$ અને $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
તેથી $|z| = r_1$ અને $|\omega| = r_2$,એટલે કે $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ અને $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,તેથી $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
આપણે $\bar{z} \omega$ શોધવાનું છે.
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
કારણ કે $r_1 r_2 = 1$ અને $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

(C) ધારો કે $z = \sqrt{\sqrt{2}+1} + i\sqrt{\sqrt{2}-1}$.
પ્રથમ,$z^2 = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) + 2i\sqrt{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$ ની ગણતરી કરો.
$z^2 = 2 + 2i\sqrt{2-1} = 2 + 2i$.
હવે,$z^8 = (z^2)^4 = (2 + 2i)^4$.
$z^8 = [2(1+i)]^4 = 16(1+i)^4$.
કારણ કે $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$,તેથી $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$.
તેથી,$z^8 = 16 \times (-4) = -64$.

(C) $\theta = \frac{\pi}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{2} = 0$ અને $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ થાય.
પ્રથમ પદમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2024} = (i)^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1$.
બીજા પદ માટે: $\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)} = \frac{1+i}{1+i} = 1$.
આમ,પદાવલિ $1^{2024} + 1^{2025} = 1 + 1 = 2$ બને છે.
$x+iy = 2$ હોવાથી,$x=2$ અને $y=0$ મળે.
તેથી,$x+y = 2+0 = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^6 = (\sqrt{3} - i)^5$ છે.
ધારો કે $z = \sqrt{3} - i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z = 2e^{-i\pi/6}$.
તેથી $z^5 = 2^5 e^{-i5\pi/6}$.
સમીકરણ $x^6 = 2^5 e^{-i5\pi/6}$ છે.
$x^n = A$ પ્રકારના સમીકરણ માટે,બીજનો ગુણાકાર $(-1)^{n-1} A$ થાય છે.
અહીં $n = 6$ અને $A = 2^5 e^{-i5\pi/6}$.
બીજનો ગુણાકાર $= -2^5 e^{-i5\pi/6} = 2^5 e^{i\pi/6} = 16(\sqrt{3} + i) = \frac{2^6}{\sqrt{3} - i}$.

(D) ધારો કે $z_1 = 1+\sqrt{3}i$. આપણે તેને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$ તરીકે લખી શકીએ.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z_1^6 = 2^6(\cos(6 \times \frac{\pi}{3}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{3})) = 64(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 64(1+0) = 64$.
ધારો કે $z_2 = \sqrt{3}+i$. આપણે તેને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z_2 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$ તરીકે લખી શકીએ.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z_2^6 = 2^6(\cos(6 \times \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{6})) = 64(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 64(-1+0) = -64$.
તેથી,$(1+\sqrt{3}i)^6-(\sqrt{3}+i)^6 = 64 - (-64) = 64 + 64 = 128$.

(C) પ્રથમ,પદ $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ નું સાદું રૂપ આપો. અંશ અને છેદને $\sqrt{3}+i$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $(e^{i\pi/3})^n = -1 = e^{i\pi}$,તેથી $n\pi/3 = \pi + 2k\pi$. ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n/3 = 1 \implies n = 3$. આમ,$p = 3$.
હવે,$\frac{1-\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}$ નું સાદું રૂપ આપો. $1-\sqrt{3}i$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{(1-\sqrt{3}i)^2}{1+3} = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i4\pi/3}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $(e^{i4\pi/3})^m = \operatorname{cis}(2\pi/3) = e^{i2\pi/3}$,તેથી $4m\pi/3 = 2\pi/3 + 2k\pi$. $2\pi/3$ વડે ભાગતા,$2m = 1 + 3k$ મળે. $k=1$ માટે,$2m = 4 \implies m = 2$. આમ,$q = 2$.
અંતે,$\sqrt{p^2+q^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(\sqrt{3}-i)^{n}=2^{n}$ છે.
સૌ પ્રથમ,સંકર સંખ્યા $z = \sqrt{3}-i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
માનાંક $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$ છે.
કોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = -\frac{\pi}{6}$ (કારણ કે તે ચોથા ચરણમાં છે).
આમ,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\pi/6}$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2e^{-i\pi/6})^n = 2^n$.
$2^n e^{-in\pi/6} = 2^n$.
$2^n$ વડે ભાગતા,આપણને $e^{-in\pi/6} = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$n = -12k$.
કારણ કે $n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ),$n$ ની સૌથી નાની ધન કિંમત $k = -1$ લેતા મળે છે,જે $n = 12$ છે.

(B) ધારો કે $z = 1+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}$.
આપણે $z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ માં લખી શકીએ.
અહીં,$r = |z| = \sqrt{(1+\sqrt{5})^2 + (10-2\sqrt{5})} = \sqrt{1+5+2\sqrt{5} + 10-2\sqrt{5}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી $z = 4(\frac{1+\sqrt{5}}{4} + i \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4})$.
નોંધો કે $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ અને $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
તેથી,$z = 4(\cos 36^\circ + i \sin 36^\circ) = 4e^{i \pi/5}$.
તેથી $z^5 = (4e^{i \pi/5})^5 = 4^5 e^{i \pi} = 1024(\cos \pi + i \sin \pi) = 1024(-1 + 0) = -1024$.

(A) $z = -8-8 \sqrt{3} i$ લો. ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z = 16(\cos(\frac{4 \pi}{3}) + i \sin(\frac{4 \pi}{3}))$ છે.
$z^{1/4} = 2(\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{k \pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{k \pi}{2}))$ માટે $k = 0, 1, 2, 3$.
$k=0$ માટે: $1 + i \sqrt{3}$.
$k=1$ માટે: $-\sqrt{3} + i$.
$k=2$ માટે: $-1 - i \sqrt{3}$.
$k=3$ માટે: $\sqrt{3} - i$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $z = (1+i)^{3/4}$. પ્રથમ,$1+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $1+i = \sqrt{2} e^{i(\pi/4 + 2k\pi)}$.
તેથી,$z = (\sqrt{2})^{3/4} e^{i \frac{3}{4}(\pi/4 + 2k\pi)} = 2^{3/8} e^{i(\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
આ ચાર મૂલ્યોનો ગુણાકાર $P = \prod_{k=0}^{3} 2^{3/8} e^{i(\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})} = (2^{3/8})^4 e^{i \sum_{k=0}^{3} (\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})}$ છે.
$P = 2^{3/2} e^{i (4 \cdot \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{3(4)}{2})} = 2^{3/2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + 9\pi)} = 2^{3/2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + \pi)} = 2^{3/2} e^{i (7\pi/4)}$.
કારણ કે $e^{i(7\pi/4)} = \cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.
$P = 2^{3/2} \cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}} = 2^1 (1-i) = 2(1-i)$.

(B) ધારો કે $S = 1+3z+5z^2+7z^3+9z^4+11z^5+13z^6$.
$z$ વડે ગુણતા,આપણને $zS = z+3z^2+5z^3+7z^4+9z^5+11z^6+13z^7$ મળે.
$z$ એ $x^7=1$ નું બીજ હોવાથી,$z^7=1$ થાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(1-z)S = 1+2z+2z^2+2z^3+2z^4+2z^5+2z^6-13z^7$.
$z^7=1$ હોવાથી,આ $(1-z)S = 1+2(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)-13$ માં પરિણમે છે.
$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 = -1$ મળે.
આમ,$(1-z)S = 1+2(-1)-13 = 1-2-13 = -14$.
તેથી,$S = \frac{-14}{1-z}$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = n(n+1 + \frac{1}{\omega})(n+1 + \frac{1}{\omega^2})$ છે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ થાય.
તેથી,$T_n = n(n+1 + \omega^2)(n+1 + \omega) = n((n+1)^2 + (n+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\omega + \omega^2 = -1$ મળે.
આમ,$T_n = n((n+1)^2 - (n+1) + 1) = n(n^2 + 2n + 1 - n - 1 + 1) = n(n^2 + n + 1) = n^3 + n^2 + n$.
$10$ પદોનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{10} (n^3 + n^2 + n) = \sum n^3 + \sum n^2 + \sum n$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = (\frac{10 \times 11}{2})^2 = 3025$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
કુલ સરવાળો $= 3025 + 385 + 55 = 3465$.

(A) એકમના $n^{\text{th}}$ મૂળ $z_r = e^{i \frac{2\pi r}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 0, 1, \dots, n-1$.
ધારો કે $z_1 = e^{i \frac{2\pi r_1}{n}}$ અને $z_2 = e^{i \frac{2\pi r_2}{n}}$.
ઉગમબિંદુ પર $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો તેમના કોણાંકનો તફાવત છે: $\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = |\frac{2\pi r_1}{n} - \frac{2\pi r_2}{n}| = \frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2|$.
આ ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,$\frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2| = \frac{\pi}{2}$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\frac{2}{n} |r_1 - r_2| = \frac{1}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4 |r_1 - r_2|$.
અહીં $|r_1 - r_2|$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,ધારો કે $|r_1 - r_2| = k$,જ્યાં $k$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$n$ એ $4k$ સ્વરૂપમાં હશે.

(C) $|z-1|+|z-5|$ પદાવલિ એ સંકર સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z$ નું બિંદુઓ $z_1 = 1$ અને $z_2 = 5$ થી અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બિંદુઓ $z, z_1, z_2$ માટે,આપણી પાસે $|z-z_1| + |z-z_2| \ge |z_1 - z_2|$ છે.
અહીં,$|z_1 - z_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$.
જ્યારે $z$ એ $1$ અને $5$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય ત્યારે ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(D) ધારો કે $z = x+iy$. આપેલ પદ $w = \frac{(x-2) + i(y+1)}{(x+1) + i(y+2)}$ છે.
$w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,$w$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(x+1) - i(y+2)$ વડે ગુણતા.
અંશનો વાસ્તવિક ભાગ $(x-2)(x+1) + (y+1)(y+2) = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - x - 2 + y^2 + 3y + 2 = 0$,જે $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ માં પરિણમે છે.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ છે.
બિંદુ $z = -1-2i$ છેદને શૂન્ય બનાવે છે,તેથી તે બિંદુપથમાંથી બાકાત છે.
કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ એ રેખા $x+y+1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે $z_1 = 3-2i$ અને $z_2 = -2+3i$. આપેલ સમીકરણ $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ એક વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે જે $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા,બિંદુપથ એ એક વર્તુળ છે જેનો વ્યાસ $x+y=12$ રેખા પર આધારિત છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2|z - (2 + 3i)| = 3|z - (2 - i)|$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $z - (2 + 3i) = (x - 2) + i(y - 3)$ અને $z - (2 - i) = (x - 2) + i(y + 1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4|z - (2 + 3i)|^2 = 9|z - (2 - i)|^2$ મળે.
$4((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = 9((x - 2)^2 + (y + 1)^2)$.
$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = 9(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1)$.
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 24y + 36 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 + 18y + 9$.
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા: $5x^2 + 5y^2 - 20x + 42y + 3 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 4x + \frac{42}{5}y + \frac{3}{5} = 0$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
અહીં,$2g = -4 \implies g = -2$ અને $2f = \frac{42}{5} \implies f = \frac{21}{5}$.
તેથી,કેન્દ્ર $(2, -\frac{21}{5})$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2}$.
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $x(x-1) + y(y-1) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $x^2 - x + y^2 - y = 0$ અથવા $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ થાય છે.
વર્તુળના સમીકરણ $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{2}$,$\beta = \frac{1}{2}$,અને $r^2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1/2}{1/2} + \frac{1/2}{1/2} = 1 + 1 = 2$.
ચૂકી $r^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $2 = 4r^2$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $4r^2$ છે.

(B) ધારો કે $a, b, c$ એ બાજુઓ $BC, AC, AB$ ની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $|z_1-z_2| = c = \sqrt{25-12\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $\frac{|z_1-z_3|}{|z_2-z_3|} = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$,તેથી $b = \frac{3}{4}a$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(30^{\circ})$
$25-12\sqrt{3} = a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 - 2a(\frac{3}{4}a)(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$25-12\sqrt{3} = a^2(\frac{25-12\sqrt{3}}{16})$
તેથી,$a^2 = 16$,એટલે કે $a = 4$.
તેથી $b = \frac{3}{4}(4) = 3$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2}ab \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}(4)(3)(\frac{1}{2}) = 3$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ છે કે $|z|=1$,તેથી આપણે $z = x + iy$ લખી શકીએ જ્યાં $x^2 + y^2 = 1$.
તેથી,$\frac{1+z^2}{2iz} = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z} + z\right)$.
$|z|=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z} = \bar{z} = x - iy$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2i} (x - iy + x + iy) = \frac{1}{2i} (2x) = \frac{x}{i} = -ix$.
આમ,$\frac{1+z^2}{2iz} = -ix$.
કાલ્પનિક ભાગ લેતા,$a = \operatorname{Im}(-ix) = -x$.
$x = \operatorname{Re}(z)$ હોવાથી,$a = -\operatorname{Re}(z)$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(3+4i)^{2025} = 5^{2023}(x+iy)$ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|(3+4i)^{2025}| = |5^{2023}(x+iy)|$ મળે.
$|z^n| = |z|^n$ હોવાથી,$|3+4i|^{2025} = 5^{2023} \cdot |x+iy|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$5^{2025} = 5^{2023} \cdot \sqrt{x^2+y^2}$ મળે.
બંને બાજુ $5^{2023}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{5^{2025}}{5^{2023}} = 5^{2025-2023} = 5^2 = 25$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $z = x + iy$ અને $x^2 + y^2 = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$,તેથી $z\bar{z} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
પદાવલિ $E = \frac{1 + x + iy}{1 + x - iy}$ ધ્યાનમાં લો.
$x + iy = z$ અને $x - iy = \bar{z}$ મૂકતા:
$E = \frac{1 + z}{1 + \bar{z}}$.
ચૂકી $\bar{z} = \frac{1}{z}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$E = \frac{1 + z}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{1 + z}{\frac{z + 1}{z}}$.
$E = \frac{(1 + z) \cdot z}{z + 1} = z$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. $|z| = 1$ હોવાથી, $x^2 + y^2 = 1$ મળે.
$z = 1 - \bar{z}$ પરથી, $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$ મળે.
વાસ્તવિક ભાગોની સરખામણી કરતા, $x = 1 - x$, જેનો અર્થ છે કે $2x = 1$, તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x^2 + y^2 = 1$ હોવાથી, $(\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$, તેથી $y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{Im}(z) > 0$ આપેલ હોવાથી, $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
આમ, $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z$ નો કાલ્પનિક ભાગ હોવાથી, વિધાન-$I$ અસત્ય છે.
$z$ નો કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી, વિધાન-$II$ સત્ય છે.

(D) આપેલ છે $|a \omega_1 + b \omega_2| = |a \omega_1 - b \omega_2|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a \omega_1 + b \omega_2|^2 = |a \omega_1 - b \omega_2|^2$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(a \omega_1 + b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 + b \bar{\omega}_2) = (a \omega_1 - b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 - b \bar{\omega}_2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $a^2 |\omega_1|^2 + ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2 = a^2 |\omega_1|^2 - ab \omega_1 \bar{\omega}_2 - ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2$.
સમાન પદો $a^2 |\omega_1|^2$ અને $b^2 |\omega_2|^2$ દૂર કરતા,$2ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + 2ab \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$ મળે.
$a, b \neq 0$ હોવાથી,$\omega_1 \bar{\omega}_2 + \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \overline{\omega_1 \bar{\omega}_2} = 0$.
ધારો કે $z = \frac{\omega_1}{\omega_2}$. તેથી $\omega_1 = z \omega_2$. આ કિંમત મૂકતા,$z \omega_2 \bar{\omega}_2 + \bar{z} \bar{\omega}_2 \omega_2 = 0$.
$\omega_2 \neq 0$ હોવાથી,$|\omega_2|^2 \neq 0$,તેથી $z + \bar{z} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(z) = 0$,તેથી $\text{Re}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) = 0$.
આમ,$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.

(C) $INCONVENIENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે. ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેવા પાંચ અક્ષરોના શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ શબ્દોમાંથી બધા અક્ષરો ભિન્ન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા બાદ કરીશું. ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $3265$ છે.

(B) $PERFECTION$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $P, E, R, F, E, C, T, I, O, N$.
સ્વરો $E, E, I, O$ છે ($4$ સ્વરો).
વ્યંજનો $P, R, F, C, T, N$ છે ($6$ વ્યંજનો).
કોઈપણ બે સ્વરોની વચ્ચે બરાબર બે વ્યંજનો હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 6!$ થાય છે.

(C) $COMBINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે. $C$ અને $N$ ને અંતમાં ગોઠવવાના $2$ પ્રકાર છે. મધ્યમાં સ્વર ન આવે તેવા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $2(8!)$ છે.

(B) ફળોની કુલ સંખ્યા = $3 \times 12 = 36$.
વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $9$.
દરેક વ્યક્તિને સમાન સંખ્યામાં ફળો મળે છે,તેથી દરેકને $\frac{36}{9} = 4$ ફળો મળે.
$36$ અલગ-અલગ ફળોને $9$ જૂથોમાં,દરેક જૂથમાં $4$ ફળો હોય તે રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$\frac{36!}{4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4!} = \frac{36!}{(4!)^9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $LETTER$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $E, E, L, R, T, T$. અક્ષરોની આવૃત્તિ $E: 2, L: 1, R: 1, T: 2$ છે.
શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા,$TETLER$ નો ક્રમ $141$ મળે છે.

(A) ઉપલબ્ધ અંકો ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ છે. $5$-અંકી સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં.
$1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$1, 2, 3, 5$ થી શરૂ થતી કુલ સંખ્યાઓ $120 \times 4 = 480$ છે.
હવે,$7$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો:
$70123, 70125, 70132, 70135, 70152, 70153, 70213, 70215, 70231, 70235, 70251, 70253, 70312, 70315, 70321, 70325, 70351, 70352, 70512, 70513$.
આ ગણતરી કરતા,$70513$ એ $7$ થી શરૂ થતી $20$મી સંખ્યા છે.
ક્રમ $= 480 + 20 = 500$.

(D) આપેલ સમીકરણ ${}^{27}P_{r+7} = 7722 \times {}^{25}P_{r+4}$ છે.
સૂત્ર ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{27!}{(27-(r+7))!} = 7722 \times \frac{25!}{(25-(r+4))!}$
$\frac{27!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)!}$
$\frac{27 \times 26 \times 25!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)(20-r)!}$
$27 \times 26 = \frac{7722}{21-r}$
$702 = \frac{7722}{21-r}$
$21-r = \frac{7722}{702} = 11$
$r = 21 - 11 = 10$.
આમ,$r = 10$.

(D) $ASSIGNMENT$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $A, S, S, I, G, N, M, E, N, T$. ભિન્ન અક્ષરો $\{A, S, I, G, N, M, E, T\}$ ($8$ અક્ષરો) છે અને પુનરાવર્તિત અક્ષરો $S$ (બે વાર) અને $N$ (બે વાર) છે.
કિસ્સો $1$: ચારેય અક્ષરો ભિન્ન હોય.
$8$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{4} = 70$. ગોઠવણીની સંખ્યા $70 \times 4! = 1680$.
કિસ્સો $2$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય.
$S$ અથવા $N$ ની જોડી ($2$ પસંદગી). બાકીના $7$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરો: $\binom{7}{2} = 21$. ગોઠવણી: $2 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 504$.
કિસ્સો $3$: $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી હોય.
જોડીઓ $S$ અને $N$ છે ($1$ પસંદગી). ગોઠવણી: $\frac{4!}{2!2!} = 6$.
કુલ શબ્દો = $1680 + 504 + 6 = 2190$.

(B) પગલું $1$: $8$ માંથી $4$ વિદ્યાર્થીઓને ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે પસંદ કરો. તેમને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ છે.
પગલું $2$: આ $4$ વિદ્યાર્થીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. ગોળાકાર ગોઠવણીઓની સંખ્યા $(4-1)! = 3! = 6$ છે.
પગલું $3$: બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓને એક હરોળમાં ગોઠવો. રેખીય ગોઠવણીઓની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા આ મૂલ્યોનો ગુણાકાર છે: $70 \times 6 \times 24 = 420 \times 24 = 10080$.

(C) ગણ $\{1, 2, 3, 5, 8\}$ માંથી $4$ અલગ-અલગ અંકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર સમાન સંખ્યામાં આવે છે.
અહીં $5$ અંકો છે અને આપણે $4$ પસંદ કરીએ છીએ,તેથી દરેક અંક ચોક્કસ સ્થાન પર $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ વખત આવે છે.
અંકોનો સરવાળો $S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 19$ છે.
કોઈપણ એક સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $24 \times 19 = 456$ થાય છે.
આવી તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો $456 \times (1 + 10 + 100 + 1000) = 456 \times 1111 = 506616$ થાય છે.

(D) '$AGAIN$' શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $A, A, G, I, N$. કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, A, G, I, N$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, G, I, N$ છે. ગોઠવણી = $4! = 24$.
$2$. $G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, A, I, N$ છે. ગોઠવણી = $\frac{4!}{2!} = 12$. કુલ = $24 + 12 = 36$.
$3$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, A, G, N$ છે. ગોઠવણી = $\frac{4!}{2!} = 12$. કુલ = $36 + 12 = 48$.
$4$. $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $NAAIG$ એ $49^{th}$ શબ્દ છે.
- $NAAGI$ એ $50^{th}$ શબ્દ છે.

(C) $10000$ કરતા નાની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધવા માટે જેમાં અંક $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$10000$ કરતા નાની કુલ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $9999$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓની ગણતરી કરીએ છીએ જેમાં અંક $5$ બિલકુલ આવતો નથી.
આ સંખ્યાઓને $d_1 d_2 d_3 d_4$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે જ્યાં દરેક અંક $d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
દરેક સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે (અંક $5$ સિવાય).
$4$-અંકના નિરૂપણ માટે (જેમાં $1000$ કરતા નાની સંખ્યાઓ માટે અગ્રણી શૂન્યોનો સમાવેશ થાય છે),કુલ $9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$ સંયોજનો છે.
આપણે ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધી રહ્યા છીએ,તેથી આપણે એ કિસ્સો બાકાત રાખીએ છીએ જ્યાં બધા અંકો $0$ $(0000)$ હોય,તેથી $6561 - 1 = 6560$ એવી સંખ્યાઓ છે જેમાં અંક $5$ આવતો નથી.
ઓછામાં ઓછો એક $5$ ધરાવતી સંખ્યાઓની સંખ્યા $9999 - 6560 = 3439$ છે.

(C) આપણી પાસે $4$ પરિણીત યુગલો છે,એટલે કે $4$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓ છે. આપણે એવી રીતે $4$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની છે કે જેમાં કોઈ પણ પરિણીત યુગલ ન હોય.
પ્રથમ,આપણે $4$ ઉપલબ્ધ યુગલોમાંથી $4$ યુગલો પસંદ કરીએ છીએ,જે $\binom{4}{4} = 1$ રીતે કરી શકાય છે.
આ $4$ પસંદ કરેલા યુગલોમાંથી,આપણે દરેક યુગલમાંથી $1$ વ્યક્તિ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેથી આપણી પાસે કુલ $4$ વ્યક્તિઓ હોય. દરેક યુગલમાં $2$ વિકલ્પો હોવાથી (પતિ અથવા પત્ની),$4$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $16$ છે.

(D) '$CURVE$' શબ્દમાં $5$ અલગ અક્ષરો છે: $C, U, R, V, E$.
ઓછામાં ઓછા $2$ અક્ષરો લઈને શબ્દો બનાવતા:
$r=2$ માટે: $P(5, 2) = 20$.
$r=3$ માટે: $P(5, 3) = 60$.
$r=4$ માટે: $P(5, 4) = 120$.
$r=5$ માટે: $P(5, 5) = 120$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $20 + 60 + 120 + 120 = 320$.
$3$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $60$ છે.
સંભાવના = $\frac{60}{320} = \frac{3}{16}$.

(B) $6000$ થી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે $4$-અંકની અથવા $5$-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $6000$ થી મોટી $4$-અંકની સંખ્યાઓ.
પ્રથમ અંક $6, 7, 8,$ અથવા $9$ હોઈ શકે ($4$ વિકલ્પો).
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$-અંકની સંખ્યાઓ $= 4 \times 60 = 240$.
કિસ્સો $2$: $5$-અંકની સંખ્યાઓ.
આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $5$-અંકની સંખ્યાઓ $6000$ થી મોટી જ હોય છે.
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાનો માટે $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ $5$-અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 240 + 600 = 840$.

(C) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય, તો તે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય છે। $0$ થી $9$ ના તમામ અંકોનો સરવાળો $45$ છે। આપણે $8$ અંકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે તેમનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય। ધારો કે બાકાત રાખેલા બે અંકો $x$ અને $y$ છે। તો $45 - (x + y)$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $(x + y)$ એ $0, 9$ અથવા $18$ હોવું જોઈએ।
કેસ $1$: બાકાત જોડી $(0, 9)$ હોય, તો બાકીના $8$ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે। ગોઠવણીની રીતો $= 8! = 8 \times 7!$.
કેસ $2$: બાકાત જોડી $(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)$ માંથી એક હોય, તો બાકીના $8$ અંકોમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે। પ્રથમ સ્થાને $0$ ન આવી શકે, તેથી રીતો $= 7 \times 7!$.
કુલ રીતો $= 8 \times 7! + 4 \times (7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(A) "$MATHEMATICS$" શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
અહીં $3$ સમાન અક્ષરોની જોડી છે: $(M, M), (A, A), (T, T)$ અને $5$ અલગ અક્ષરો છે: $H, E, I, C, S$.
$4$ અક્ષરોની શ્રેણી બનાવવા માટે જેમાં બે અક્ષરો સમાન અને બે અલગ હોય:
$1$. $3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરો: $^3C_1 = 3$ રીતે.
$2$. બાકીના $7$ પ્રકારના અક્ષરોમાંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરો: $^7C_2 = 21$ રીતે.
$3$. આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો: $\frac{4!}{2!} = 12$ રીતે.
કુલ રીતો = $3 \times 21 \times 12 = 756$.

(C) ગણ $S = \{1, 2, 3, \dots, 50\}$ માંથી એવી ક્રમિત જોડી $(p, q)$ બનાવવા માટે કે જેથી $p > q$ થાય,આપણે $50$ ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓમાંથી $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
ધારો કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x < y$.
કોઈપણ આવી જોડી માટે,તેમને $p$ અને $q$ ને એવી રીતે સોંપવાની બરાબર એક રીત છે કે જેથી $p > q$ થાય,જે $p = y$ અને $q = x$ છે.
$50$ માંથી $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{n}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 50$ અને $r = 2$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 25 \times 49 = 1225$.

(A) ધારો કે $T$ શિક્ષકોની સંખ્યા છે,$F$ પિતાઓની સંખ્યા છે અને $S$ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. આપણે $7$ સભ્યો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $T \ge 1, F \ge 1, S \ge 1$ અને $T > F+S$ થાય.
$T+F+S = 7$ હોવાથી,$T > F+S$ શરત સૂચવે છે કે $T > 7-T$,એટલે કે $2T > 7$,જેનો અર્થ છે કે $T \ge 4$.
કિસ્સો $1$: $T=4$. તો $F+S=3$. શક્ય $(F, S)$ જોડીઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{4} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} + \binom{5}{2} \times \binom{4}{1}] = 15 \times [5 \times 6 + 10 \times 4] = 15 \times [30 + 40] = 15 \times 70 = 1050$.
કિસ્સો $2$: $T=5$. તો $F+S=2$. શક્ય $(F, S)$ જોડી $(1, 1)$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{5} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{1}] = 6 \times [5 \times 4] = 6 \times 20 = 120$.
કિસ્સો $3$: $T=6$. તો $F+S=1$. આ શક્ય નથી કારણ કે $F \ge 1$ અને $S \ge 1$ હોવાથી $F+S \ge 2$ થવું જોઈએ.
કુલ રીતો = $1050 + 120 = 1170$.

(D) ધારો કે $I = \int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$.
નિત્યસમ $\operatorname{Tan}^{-1} a + \operatorname{Tan}^{-1} b = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(1-x+x^2) + (1-x)}{1 - (1-x+x^2)(1-x)} \right)$
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2-2x+x^2}{1 - (1 - x + x^2 - x + x^2 - x^3)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2-2x+x^2}{x(1-x)^2} \right)$.
આ પદાવલિનું સંકલન કરતા આપણને $x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log(1+x^2) + c$ મળે છે,જે $x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log \sqrt{1+x^2} + c$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \log \sqrt{5}$.
વ્યાખ્યા $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \log \sqrt{5} = \frac{1}{2} \log 5$.
તેથી,$\frac{1+x}{1-x} = 5 \implies 1+x = 5-5x \implies 6x = 4 \implies x = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Coth}^{-1} y = \log \sqrt{5}$.
વ્યાખ્યા $\operatorname{Coth}^{-1} y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{y+1}{y-1} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} \log \left( \frac{y+1}{y-1} \right) = \frac{1}{2} \log 5$.
તેથી,$\frac{y+1}{y-1} = 5 \implies y+1 = 5y-5 \implies 4y = 6 \implies y = \frac{3}{2}$.
હવે,$xy = \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{3}{2} \right) = 1$.
તેથી,$\operatorname{Tan}^{-1}(xy) = \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) $f^{-1}(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,વિધેય $f(x)$ એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = 2 + |\sin^{-1} x|$.
$\sin^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
$x \in [-1, 0]$ માટે,$f(x) = 2 - \sin^{-1} x$,જે ઘટતું વિધેય છે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 2 + \sin^{-1} x$,જે વધતું વિધેય છે.
વિધેય $[-1, 0]$ પર ઘટે છે અને $[0, 1]$ પર વધે છે,તેથી તે $[-1, 1]$ અંતરાલ પર એક-એક નથી.
આમ,$f(x)$ તેના સંપૂર્ણ પ્રદેશ $[-1, 1]$ પર વ્યસ્ત વિધેય ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ છે કે $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
$|x| > 1$ માટે,આપણે $x = \tan \theta$ આદેશ લઈએ છીએ. અહીં $x=2 > 1$ હોવાથી,આપણે નિત્યસમ $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \pi - 2\tan^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$y = \pi - 2\tan^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1+x^2}$ મળે.
ફરીથી વિકલન કરતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = -2 \cdot (-1)(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{4x}{(1+x^2)^2}$.
$x=2$ આગળ,$k = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{x=2} = \frac{4(2)}{(1+2^2)^2} = \frac{8}{25}$.
તેથી,$25k = 25 \cdot \frac{8}{25} = 8$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$8 = (-2)^3$ મળે છે.

(D) ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $f(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{2\cos^2 \theta - 1}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2\theta}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$.
તેથી,$\frac{df}{dx} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
હવે,ધારો કે $x = \tan \phi$. તો $g(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \phi}-1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sec \phi - 1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1-\cos \phi}{\sin \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan \frac{\phi}{2}\right) = \frac{\phi}{2} = \frac{1}{2}\tan^{-1}x$.
તેથી,$\frac{dg}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$.
$g(x)$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું વિકલન $\frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{1/(2(1+x^2))} = -\frac{4(1+x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3)=\alpha$.
બંને બાજુ $\sinh$ લેતા,આપણને મળે $\sinh(\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3))=\sinh \alpha$.
ધારો કે $x=\operatorname{Sinh}^{-1}(2)$ અને $y=\operatorname{Sinh}^{-1}(3)$,તેથી $\sinh x=2$ અને $\sinh y=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,તેથી $\cosh x = \sqrt{1+\sinh^2 x} = \sqrt{1+2^2} = \sqrt{5}$.
તે જ રીતે,$\cosh y = \sqrt{1+\sinh^2 y} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}$.
નિત્યસમ $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$\sinh \alpha = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y = (2)(\sqrt{10}) + (\sqrt{5})(3) = 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5}$.

(B) ધારો કે $u = \sqrt{x^2-1}$. તો $y = \operatorname{Tan}^{-1}(u) + \operatorname{Sinh}^{-1}(u)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\operatorname{Tan}^{-1} u) + \frac{d}{du}(\operatorname{Sinh}^{-1} u) = \frac{1}{1+u^2} + \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$.
$u^2 = x^2-1$ મૂકતા: $\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+(x^2-1)} + \frac{1}{\sqrt{1+(x^2-1)}} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$.
હવે,$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1+x}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right) = \frac{1+x}{x \sqrt{x^2-1}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$.
વિકલનનું સૂત્ર $\frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(f(x))) = \frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
ધારો કે $u = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$,તો $x=0$ આગળ $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) \Big|_{x=0} = \frac{(3 - 3x^2)(1 - 3x^2) - (3x - x^3)(-6x)}{(1 - 3x^2)^2} \Big|_{x=0} = 3$.
ધારો કે $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$,તો $x=0$ આગળ $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right) \Big|_{x=0} = \frac{7(1 - 12x^2) - 7x(-24x)}{(1 - 12x^2)^2} \Big|_{x=0} = 7$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 3 + 7 = 10$.

(D) $f(x)$ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{[x]-1}{[x]^2-[x]-6} \ge 0$.
ધારો કે $n = [x]$. તો $\frac{n-1}{n^2-n-6} \ge 0$,જે $\frac{n-1}{(n-3)(n+2)} \ge 0$ માં પરિણમે છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતા $n \in (-2, 1] \cup (3, \infty)$ માટે સાચી છે.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી $(n = [x])$,$n$ માટે શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 0, 1, 4, 5, 6, \dots\}$ છે.
જો $n = -1$,તો $-1 \le x < 0$.
જો $n = 0$,તો $0 \le x < 1$.
જો $n = 1$,તો $1 \le x < 2$.
આ બધાને જોડતા,આપણને $[-1, 2)$ મળે છે.
જો $n \ge 4$,તો $x \ge 4$.
આમ,પ્રદેશ $[-1, 2) \cup [4, \infty)$ છે.

(C) $f(x) = \log(x^2 - 1) + x \operatorname{coth}^{-1} x$ વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોવો જોઈએ: $x^2 - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે $x^2 > 1$,તેથી $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
$2$. વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કોટેન્જન્ટ વિધેય $\operatorname{coth}^{-1} x$ એ $|x| > 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
બંને શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ મળે છે,જેને $R - [-1, 1]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-2}{|x|-3}}$ સુવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{|x|-2}{|x|-3} \geq 0$ અને $|x|-3 \neq 0$.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ બને છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $t=2$ અને $t=3$ છે.
$t$ માટેના અંતરાલો તપાસતા:
$1$) જો $0 \leq t < 2$,તો $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
$2$) જો $2 \leq t < 3$,તો $\frac{t-2}{t-3} \leq 0$.
$3$) જો $t > 3$,તો $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
આમ,$t$ માટેનો ઉકેલ $0 \leq t \leq 2$ અથવા $t > 3$ છે.
$|x| = t$ પાછું મૂકતા,આપણને $0 \leq |x| \leq 2$ અથવા $|x| > 3$ મળે છે.
$|x| \leq 2 \implies x \in [-2, 2]$.
$|x| > 3 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $3[2x - 2] + 1 = 2[2x - 1] - 1$ છે.
ગુણધર્મ $[t - m] = [t] - m$ નો ઉપયોગ કરતા,$[2x - 2] = [2x] - 2$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3([2x] - 2) + 1 = 2([2x] - 1) - 1$.
$3[2x] - 6 + 1 = 2[2x] - 2 - 1$.
$3[2x] - 5 = 2[2x] - 3$.
$[2x] = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \le 2x < 3$,તેથી $1 \le x < 1.5$.
હવે,$k = 2[2x - 1] - 1 = 2([2x] - 1) - 1 = 2(2 - 1) - 1 = 2(1) - 1 = 1$.
તેથી $f(x) = [k + 5x] = [1 + 5x]$.
$1 \le x < 1.5$ હોવાથી,$5 \le 5x < 7.5$ મળે.
$1$ ઉમેરતા,$6 \le 1 + 5x < 8.5$ મળે.
$[1 + 5x]$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\{6, 7, 8\}$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right)} + \sin^{-1}(x^2-2)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ: $\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right) \ge 0$.
આનો અર્થ છે કે $\frac{1}{(x-2)^2} \ge 1$,તેથી $(x-2)^2 \le 1$,એટલે કે $|x-2| \le 1$,જે $1 \le x \le 3$ આપે છે. $x \neq 2$ હોવાથી,પ્રદેશ $[1, 2) \cup (2, 3]$ છે.
$2$. $\sin^{-1}$ ની અંદરની કિંમત $[-1, 1]$ માં હોવી જોઈએ: $-1 \le x^2-2 \le 1$.
આનો અર્થ છે કે $1 \le x^2 \le 3$,તેથી $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$.
$3$. બંને શરતોનો છેદ લેતા: $[1, 2) \cup (2, 3] \cap ([-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}])$.
પરિણામે $[1, \sqrt{3}]$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{3}{4-x^2} + \log_{10}(x^3-x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $4-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x^3-x > 0$.
અવયવ પાડતા: $x(x^2-1) > 0 \implies x(x-1)(x+1) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -1, 0, 1$ માટે વેવી કર્વ મેથડનો ઉપયોગ કરતા:
અસમતા $x(x-1)(x+1) > 0$ એ $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ માટે સાચી છે.
બંને શરતોને જોડતા: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ અને $x \neq \pm 2$.
$x \neq 2$ અને $x \neq -2$ હોવાથી,આપણે $(1, \infty)$ અંતરાલમાંથી $2$ ને બાદ કરીશું.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \cos x - 3$ છે.
$\cos x$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $R$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \leq \cos x \leq 1$.
બધા ભાગોમાંથી $3$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$.
$-4 \leq f(x) \leq -2$.
આમ,વિસ્તાર $[-4, -2]$ છે.
તેથી,પ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[-4, -2]$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ નો વિસ્તાર $B$ શોધવા માટે,આપણે બે અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $-1 \leq x \leq 1$ માટે,$f(x) = 1-x$. જેમ $x$ એ $-1$ થી $1$ સુધી બદલાય છે,તેમ $f(x)$ એ $1-(-1) = 2$ થી $1-1 = 0$ સુધી બદલાય છે. તેથી,વિસ્તાર $[0, 2]$ છે.
$2$. $1 < x \leq 2$ માટે,$f(x) = x-1$. જેમ $x$ એ $1$ થી $2$ સુધી બદલાય છે,તેમ $f(x)$ એ $1-1 = 0$ થી $2-1 = 1$ સુધી બદલાય છે. તેથી,વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.
આ બંનેને જોડતા,વિધેયનો કુલ વિસ્તાર $[0, 2] \cup (0, 1] = [0, 2]$ મળે છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવાથી,સહપ્રદેશ $B$ એ વિસ્તાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$B = [0, 2]$.

(A) વિધેય $f(x) = -3x - 3$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y$ લઈએ અને $x$ માટે ઉકેલીએ:
$y = -3x - 3$
$y + 3 = -3x$
$x = \frac{y + 3}{-3} = -\frac{y}{3} - 1$.
આપેલ વિસ્તારના મૂલ્યો $y \in \{3, -6, -9, -18\}$ માટે,આપણે અનુરૂપ પ્રદેશના મૂલ્યો $x$ શોધીએ:
$y = 3$ માટે,$x = -\frac{3}{3} - 1 = -2$.
$y = -6$ માટે,$x = -\frac{-6}{3} - 1 = 1$.
$y = -9$ માટે,$x = -\frac{-9}{3} - 1 = 2$.
$y = -18$ માટે,$x = -\frac{-18}{3} - 1 = 5$.
પ્રદેશ $\{-2, 1, 2, 5\}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-1$ એ પ્રદેશમાં નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x - 1$ છે.
આપણે પદને $f(x) = 2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) - 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1$ મળે છે.
કારણ કે $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $2 \times [-1, 1] - 1 = [-2, 1] - 1 = [-3, 1]$ થાય.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,સહપ્રદેશ $A$ એ વિધેયના વિસ્તાર જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$A = [-3, 1]$.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x - 3$ અને $g(x) = 5x^2 - 2$ છે.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધવાનું છે.
$f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$(g \circ f)(x) = g(2x - 3) = 5(2x - 3)^2 - 2$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $(2x - 3)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(2x - 3)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે જ્યારે $2x - 3 = 0$,એટલે કે $x = 3/2$.
તેથી,$(g \circ f)(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5(0) - 2 = -2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + x - [x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\} = x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$g(x) = 1 + \{x\}$.
કારણ કે $0 \le \{x\} < 1$,તેથી $1 \le g(x) < 2$ થાય.
કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$g(x)$ હંમેશા $0$ કરતા મોટું હોય છે.
હવે,વિધેય $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $g(x) > 0$ છે,આપણે $f$ વિધેય માટે $x > 0$ ની શરતનો ઉપયોગ કરીને $f(g(x))$ ની કિંમત શોધીએ છીએ.
તેથી,તમામ $x$ માટે $f(g(x)) = 1$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - (-1)^x$ જ્યાં $x \in Z$.
કિસ્સો $1$: જો $x$ યુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k$ કોઈ $k \in Z$ માટે.
તો $f(2k) = 2k - (-1)^{2k} = 2k - 1$.
કિસ્સો $2$: જો $x$ અયુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k+1$ કોઈ $k \in Z$ માટે.
તો $f(2k+1) = (2k+1) - (-1)^{2k+1} = 2k+1 - (-1) = 2k+2$.
એક-એક માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. જો $x_1$ યુગ્મ અને $x_2$ અયુગ્મ હોય,તો $2k_1 - 1 = 2k_2 + 2 \implies 2(k_1 - k_2) = 3$,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. જો બંને યુગ્મ હોય,તો $2k_1 - 1 = 2k_2 - 1 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$. જો બંને અયુગ્મ હોય,તો $2k_1 + 2 = 2k_2 + 2 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે: વિસ્તારમાં તમામ અયુગ્મ સંખ્યાઓ (યુગ્મ ઇનપુટથી) અને તમામ યુગ્મ સંખ્યાઓ (અયુગ્મ ઇનપુટથી) નો સમાવેશ થાય છે. દરેક પૂર્ણાંક $y \in Z$ કાં તો યુગ્મ અથવા અયુગ્મ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(D) વિધાન-$I$: વિધેય $f: A \rightarrow B$ એક-એક (injective) છે જો $A$ ના ભિન્ન ઘટકોના $B$ માં ભિન્ન પ્રતિબિંબ હોય. આ વ્યાખ્યા $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ ને સમાન છે. આપેલ વિધાન $f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ એ $x = y \Rightarrow f(x) = f(y)$ નું પ્રતિ-વિધાન છે,જે વિધેયની વ્યાખ્યા છે,એક-એક વિધેયની નહીં. તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$: સંબંધ $f: A \rightarrow B$ એ વિધેય છે જો $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય. શરત $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$ એ એક-એક વિધેય સૂચવે છે,વિધેયની સામાન્ય વ્યાખ્યા નથી. વિધેયમાં અલગ-અલગ ઇનપુટના સમાન આઉટપુટ હોઈ શકે છે (અનેક-એક). તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.
આમ,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4-x^2}{4+x^2}$.
$f(x)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,ધારો કે $y = \frac{4-x^2}{4+x^2}$.
$y(4+x^2) = 4-x^2 \implies 4y + yx^2 = 4-x^2 \implies x^2(y+1) = 4-4y$.
$x^2 = \frac{4(1-y)}{1+y}$.
$x^2 \ge 0$ હોવાથી,$\frac{1-y}{1+y} \ge 0$,જે સૂચવે છે કે $y \in (-1, 1]$.
$f$ એ એક-વ્યાપ્ત વિધેય હોવાથી,$B$ એ $f$ નો વિસ્તાર હોવો જોઈએ,તેથી $B = (-1, 1]$.
$-4 \in A$ આપેલ છે,તેથી $f(-4) = \frac{4-(-4)^2}{4+(-4)^2} = \frac{4-16}{4+16} = \frac{-12}{20} = -0.6$.
$f$ એક-વ્યાપ્ત હોવાથી,$A$ એવો પ્રદેશ હોવો જોઈએ કે જેથી વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બને. જો $A = [-4, 0]$ લઈએ,તો $f$ એ $[-4, 0]$ થી $(-1, 1]$ પરનું એક-વ્યાપ્ત વિધેય બને છે.
આમ,$A = [-4, 0]$ અને $B = (-1, 1]$.
$A \cap B = [-4, 0] \cap (-1, 1] = (-1, 0]$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = (x+1)^2 - 1$ જ્યાં $x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો.
તેથી $y+1 = (x+1)^2$. $x \geq -1$ હોવાથી,$x+1 = \sqrt{y+1}$,એટલે કે $x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
સમીકરણ $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન છે કારણ કે $x \geq -1$ માટે $f$ એ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$(x+1)^2 - 1 = x$.
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$.
$x^2 + x = 0$.
$x(x+1) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
બંને કિંમતો $x \geq -1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,માંગેલ ગણ $\{0, -1\}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ છે.
ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $a(x+y)^2 + b(x+y) + c = (ax^2 + bx + c) + (ay^2 + by + c) + xy$.
$a(x^2 + 2xy + y^2) + bx + by + c = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c + xy$.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$2a = 1$,તેથી $a = 1/2$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,$c = 2c$,તેથી $c = 0$.
$f(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$a(1)^2 + b(1) = 2$,તેથી $1/2 + b = 2$,જે $b = 3/2$ આપે છે.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x = \frac{x(x+3)}{2}$.
આપણે $\sum_{k=1}^{10} f(k) = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{2}k^2 + \frac{3}{2}k) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{10} k$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$n=10$ માટે: $\sum k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ અને $\sum k = \frac{10(11)}{2} = 55$.
સરવાળો $= \frac{1}{2}(385) + \frac{3}{2}(55) = 192.5 + 82.5 = 275$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2-5x+7}{x^2-5x-7}$.
ધારો કે $t = x^2-5x$. તો $y = \frac{t+7}{t-7}$.
$x^2-5x = (x-2.5)^2 - 6.25$ હોવાથી,$t$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-6.25$ છે. તેથી $t \in [-6.25, \infty)$.
આપણને મળે છે $y = 1 + \frac{14}{t-7}$.
$t \in [-6.25, \infty)$ માટે,$t-7 \in [-13.25, \infty)$.
જ્યારે $t \to 7$,ત્યારે $y \to \pm \infty$. આ વિધેય $y=1$ સિવાયની તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
$t \in [-6.25, 7)$ માટે,$t-7 \in [-13.25, 0)$,તેથી $y \in (-\infty, -0.056]$.
આ વિસ્તારમાં સૌથી મોટો ઋણ પૂર્ણાંક $-1$ છે.
$t \in (7, \infty)$ માટે,$t-7 \in (0, \infty)$,તેથી $y \in (1, \infty)$.
આ વિસ્તારમાં સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $2$ છે.
સરવાળો $-1 + 2 = 1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\}$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $I$ માટે $[n + I] = [n] + I$ હોવાથી,આપણને મળે છે $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\} = \{x\} + [\frac{x}{1+x^2}] - [\{x\} + [\frac{x}{1+x^2}]] = \{x\}$.
આમ,$f(x) = \{x\} = x - [x]$.
હવે,$f(\sqrt{2}) = \{\sqrt{2}\} = \sqrt{2} - [\sqrt{2}] = 1.414 - 1 = 0.414$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$f(-\sqrt{3}) = \{-\sqrt{3}\} = -\sqrt{3} - [-\sqrt{3}] = -1.732 - (-2) = -1.732 + 2 = 0.268$ ની ગણતરી કરો.
તેથી,$f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{3}) = 0.414 + 0.268 = 0.682$.

(A) વિધેય $x = -3$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow -3} f(x) = f(-3)$ થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(-3) = -\frac{5}{2}$.
હવે,$\lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2+(a+3)x+(a+1)}{x+3} = -\frac{5}{2}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશ $x = -3$ આગળ $0$ થવો જોઈએ:
$(-3)^2 + (a+3)(-3) + (a+1) = 0$
$9 - 3a - 9 + a + 1 = 0$
$-2a + 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ ને અંશમાં મૂકતા: $x^2 + 3.5x + 1.5 = (x+3)(x+0.5)$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow -3} \frac{(x+3)(x+0.5)}{x+3} = \lim_{x \rightarrow -3} (x+0.5) = -3 + 0.5 = -2.5 = -\frac{5}{2}$.
આ સાબિત કરે છે કે $a = \frac{1}{2}$.
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow a} (x^2+x+1) = \lim_{x \rightarrow 1/2} (x^2+x+1) = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$ શોધવાનું છે.

(A) અંતરાલ $(-1, 1)$ માં દરેક વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$. $f(x) = x|x|$. આ $x \ge 0$ માટે $x^2$ અને $x < 0$ માટે $-x^2$ છે. તે દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે,$x=0$ સહિત $(f'(0)=0)$. તેથી,$A-III$.
$B$. $f(x) = \sqrt{|x|}$. આ $x \ge 0$ માટે $\sqrt{x}$ અને $x < 0$ માટે $\sqrt{-x}$ છે. તે $x=0$ પર સતત છે પરંતુ વિકલનીય નથી કારણ કે $x \to 0$ થાય ત્યારે વિકલિત $\infty$ તરફ જાય છે. તે $(-1, 1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે. તેથી,$B-V$.
$C$. $f(x) = x + [x]$. $(-1, 1)$ માં,$x \in [-1, 0)$ માટે $[x] = -1$ અને $x \in [0, 1)$ માટે $[x] = 0$. તેથી $x \in [-1, 0)$ માટે $f(x) = x-1$ અને $x \in [0, 1)$ માટે $f(x) = x$. તે $x=0$ સિવાય દરેક જગ્યાએ સતત છે. તેથી,$C-II$.
$D$. $f(x) = |x-1| + |x+1| + |x|$. $(-1, 1)$ માં,આ $(1-x) + (x+1) + |x| = 2 + |x|$ થાય છે. તે સતત છે પરંતુ $x=0$ પર વિકલનીય નથી. જોકે,તે $(-1, 0) \cup (0, 1)$ માં વિકલનીય છે. તેથી,$D-IV$.
સાચી જોડ: $A-III, B-V, C-II, D-IV$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=a$ આગળ સતત કહેવાય જો $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) = f(a)$ હોય.
આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=p$,$\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=m$,અને $f(a)=k$.
સાતત્ય માટે,આપણી પાસે $p = m = k$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: જો $p-m=0$ હોય,તો $p=m$. જો $p-k=0$ હોય,તો $p=k$. આમ,$p=m=k$,જે $x=a$ આગળ સાતત્યની શરતનું પાલન કરે છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x=0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$.
$1$. $LHL$ ની ગણતરી:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. $RHL$ ની ગણતરી:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 4+4 = 8$.
આમ,$LHL$ = $RHL$ = $8$ હોવાથી,વિધેય સતત રહે તે માટે $a = 8$ હોવું જોઈએ.

(B) વિધેય $f(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત હોવા માટે,તે $x=0$ અને $x=2$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x=0$ આગળ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1+\cos x) = 1+1 = 2$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a-x) = a-0 = a$.
વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$a = 2$.
$x=2$ આગળ:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (a-x) = a-2 = 2-2 = 0$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2-b^2) = 4-b^2$.
વિધેય $x=2$ આગળ સતત હોવાથી,$0 = 4-b^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 4$.
તેથી,$a^2+b^2 = 2^2 + 4 = 4+4 = 8$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય $f(0)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$f(0) = a$.
$LHL$: $\lim_{x \to 0^-} (1+\sin x)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x \to 0^-} (1+\sin x)^{1/\sin x} = e^1 = e$.
કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે,તેથી $a = e$.
$RHL$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{2/x}+e^{3/x}}{a e^{2/x}+b e^{3/x}}$.
અંશ અને છેદને $e^{3/x}$ વડે ભાગતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-1/x}+1}{a e^{-1/x}+b} = \frac{0+1}{a(0)+b} = \frac{1}{b}$.
$RHL$ ને $f(0)$ સાથે સરખાવતા: $\frac{1}{b} = a$.
$a = e$ હોવાથી,$\frac{1}{b} = e$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
તેથી,$ab = e \times e^{-1} = 1$.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ ની ગણતરી કરો:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(e^{ax}-1) \log(1+x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\frac{e^{ax}-1}{ax} \cdot ax) \cdot (\frac{\log(1+x)}{x} \cdot x)}{(\frac{\sin x}{x})^2 \cdot x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax \cdot x}{x^2} = a$.
$f(0) = 2$ હોવાથી,$a = 2$ મળે છે.
ત્યારબાદ,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ ની ગણતરી કરો:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos 4x - \cos bx}{\tan^2 x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(\frac{4x+bx}{2}) \sin(\frac{4x-bx}{2})}{\tan^2 x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 (\frac{4+b}{2}x) (\frac{4-b}{2}x)}{x^2} = -2 \cdot \frac{16-b^2}{4} = \frac{b^2-16}{2}$.
$f(0) = 2$ હોવાથી,$\frac{b^2-16}{2} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 - 16 = 4$,તેથી $b^2 = 20$.
અંતે,$\sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{20 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ હોવું જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} e^{\frac{\sin a(x-[x])}{x-[x]}}$. અહીં $x < 1$ હોવાથી,$[x] = 0$ થાય. તેથી,$\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{\sin ax}{x}} = e^{\sin a}$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2+x-2|}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{|(x-1)(x+2)|}{x-1}$. અહીં $x > 1$ હોવાથી,$(x-1) > 0$ થાય,તેથી $|x-1| = x-1$. આમ,$\lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$.
$3$. $x = 1$ આગળનું મૂલ્ય: $f(1) = b + 1$.
$LHL$,$RHL$ અને $f(1)$ ને સરખાવતા:
$e^{\sin a} = 3 \implies \sin a = \ln 3$.
$b + 1 = 3 \implies b = 2$.
તેથી,$b \sin a = 2 \ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = -1$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય $f(-1)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $x = -1$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધો:
$f(-1) = \sin^{-1}[-1] = \sin^{-1}(-1) = -\pi / 2$.
$2$. $x = -1$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધો:
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \sin^{-1}[x]$.
જ્યારે $x$ એ $-1$ ની જમણી બાજુથી નજીક આવે છે,ત્યારે $-1 < x < 0$ થાય,તેથી $[x] = -1$.
આમ,$\lim_{x \to -1^+} \sin^{-1}(-1) = -\pi / 2$.
$3$. $x = -1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધો:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} k([x] + |x|)$.
જ્યારે $x$ એ $-1$ ની ડાબી બાજુથી નજીક આવે છે,ત્યારે $x < -1$ થાય,તેથી $[x] = -2$ અને $|x| = -x$.
આમ,$\lim_{x \to -1^-} k(-2 - x) = k(-2 - (-1)) = k(-2 + 1) = -k$.
$4$. $LHL$ અને $f(-1)$ ને સરખાવો:
$-k = -\pi / 2 \implies k = \pi / 2$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$.
આમ,$LHL$ = $RHL$ = $8$ હોવાથી,વિધેય સતત રહે તે માટે $a = 8$ હોવું જોઈએ.

(A) લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ $[a, b]$ પર વિધેય $f(x)$ માટે ત્યારે જ લાગુ પડે જો:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય.
$[0, 1]$ પર દરેક વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$I) f(x)$ એ $x = \frac{1}{2}$ પર વિકલનીય નથી.
$II) f(x) = |3x-1|$ એ $x = \frac{1}{3} \in (0, 1)$ પર વિકલનીય નથી.
$III) f(x) = x|x|$ એ $[0, 1]$ પર $x^2$ છે,જે સતત અને વિકલનીય છે.
$IV) f(x) = |x|$ એ $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
તેથી,$III$ અને $IV$ એ યોગ્ય વિકલ્પો છે.

(D) $x > 1$ માટે,$|x| = x$ અને $|x - 1| = x - 1$.
તેથી $f(x) = (x - (x - 1))^2 = (1)^2 = 1$.
$0 < x < 1$ માટે,$|x| = x$ અને $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
તેથી $f(x) = (x - (1 - x))^2 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
$x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $LHD = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(2(1+h) - 1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(2h + 1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{4h^2 + 4h}{h} = 4$.
$x = 1$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલિત $RHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{1 - 1}{h} = 0$.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$x = 1$ આગળ વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એ વિકલિતની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે સાચી છે.
તેથી,$(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે.

(B) $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 1$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (a - \frac{\sin [x-1]}{x-1})$.
$x > 1$ અને $x$ એ $1$ ની ખૂબ નજીક હોય ત્યારે,$0 < x-1 < 1$,તેથી $[x-1] = 0$.
આમ,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - \frac{\sin(0)}{x-1} = a - 0 = a$.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$a = 1$ મળે.
હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (b - [\frac{\sin [x-1] - [x-1]}{([x-1])^3}])$.
$x < 1$ અને $x$ એ $1$ ની ખૂબ નજીક હોય ત્યારે,$-1 < x-1 < 0$,તેથી $[x-1] = -1$.
આમ,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = b - [\frac{\sin(-1) - (-1)}{(-1)^3}] = b - [\frac{-\sin(1) + 1}{-1}] = b - [\sin(1) - 1]$.
$0 < \sin(1) < 1$ હોવાથી,$-1 < \sin(1) - 1 < 0$.
તેથી મહત્તમ પૂર્ણાંક $[\sin(1) - 1] = -1$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = b - (-1) = b + 1$.
આને $f(1) = 1$ સાથે સરખાવતા,$b + 1 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $b = 0$.
તેથી,$a + b = 1 + 0 = 1$.

(D) આપેલ છે $y = |\cos x - \sin x| + |\tan x - \cot x|$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$\cos x = \frac{1}{2}$,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan x = \sqrt{3}$,$\cot x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\frac{\pi}{3}$ ની આસપાસ $\cos x < \sin x$ અને $\tan x > \cot x$ હોવાથી,$y = -(\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x) = \sin x - \cos x + \tan x - \cot x$ થાય.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \cos x + \sin x + \sec^2 x + \csc^2 x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ આગળ,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 + \frac{4}{3} = \frac{35+3\sqrt{3}}{6}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin x = \frac{1}{2}$,$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cot x = \sqrt{3}$.
$\frac{\pi}{6}$ ની આસપાસ $\cos x > \sin x$ અને $\tan x < \cot x$ હોવાથી,$y = (\cos x - \sin x) - (\tan x - \cot x) = \cos x - \sin x - \tan x + \cot x$ થાય.
તેથી $\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos x - \sec^2 x - \csc^2 x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ આગળ,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{3} - 4 = -\frac{35+3\sqrt{3}}{6}$.
બંને કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{35+3\sqrt{3}}{6} - \frac{35+3\sqrt{3}}{6} = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $y = \log(\sec(\tan^{-1} x))$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec(\tan^{-1} x)} \cdot \frac{d}{dx}(\sec(\tan^{-1} x))$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\sec u) = \sec u \tan u \cdot \frac{du}{dx}$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} x$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec(\tan^{-1} x)} \cdot \sec(\tan^{-1} x) \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} = x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}$ મળે.
$x = 1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(1)^2} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\cosh x + y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \cosh x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\cosh x + y)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2y \frac{dy}{dx} = \sinh x + \frac{dy}{dx}$ થાય.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sinh x$ મળે.
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા,$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \sinh x$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sinh x}{2y - 1}$.

(C) ધારો કે $y = u + v$,જ્યાં $u = (\log x)^{1/x}$ અને $v = x^{\log x}$ છે.
$u$ માટે બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = \frac{1}{x} \log(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2 \log x} - \frac{\log(\log x)}{x^2}$.
$x=e$ આગળ,$\log u = \frac{1}{e} \log(\log e) = \frac{1}{e} \log(1) = 0$,તેથી $u = e^0 = 1$.
આમ,$\frac{du}{dx} = u \left[ \frac{1}{e^2 \log e} - \frac{\log(\log e)}{e^2} \right] = 1 \left[ \frac{1}{e^2} - 0 \right] = \frac{1}{e^2}$.
$v = x^{\log x}$ માટે,લોગ લેતા: $\log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^2$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$.
$x=e$ આગળ,$\log v = (\log e)^2 = 1$,તેથી $v = e^1 = e$.
આમ,$\frac{dv}{dx} = v \left[ \frac{2 \log e}{e} \right] = e \left[ \frac{2}{e} \right] = 2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = \frac{1}{e^2} + 2$.

(D) આપેલ છે કે $y = \sqrt{\frac{x^4 \sqrt{3x-5}}{(x^2-3)(2x-3)}}$.
$x = 2$ આગળ,આપણે $y$ ની કિંમત શોધીએ:
$y = \sqrt{\frac{2^4 \sqrt{3(2)-5}}{(2^2-3)(2(2)-3)}} = \sqrt{\frac{16 \sqrt{1}}{(4-3)(4-3)}} = \sqrt{\frac{16}{1 \times 1}} = \sqrt{16} = 4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(y) = \frac{1}{2} [4 \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(3x-5) - \ln(x^2-3) - \ln(2x-3)]$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} [\frac{4}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3x-5} - \frac{2x}{x^2-3} - \frac{2}{2x-3}]$.
$x = 2$ અને $y = 4$ મૂકતા:
$\frac{1}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = \frac{1}{2} [\frac{4}{2} + \frac{3}{2(1)} - \frac{4}{4-3} - \frac{2}{4-3}] = \frac{1}{2} [2 + 1.5 - 4 - 2] = \frac{1}{2} [-2.5] = -1.25$.
તેથી,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 4 \times (-1.25) = -5$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^{\operatorname{Sec}^{-1} x}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\log f(x) = \operatorname{Sec}^{-1} x \cdot \log x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (\operatorname{Sec}^{-1} x) \cdot \log x + \operatorname{Sec}^{-1} x \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$.
વિકલનના સૂત્ર $\frac{d}{dx} \operatorname{Sec}^{-1} x = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{\log x}{x \sqrt{x^2 - 1}} + \frac{\operatorname{Sec}^{-1} x}{x}$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = x^{\operatorname{Sec}^{-1} x} \left( \frac{\log x}{x \sqrt{x^2 - 1}} + \frac{\operatorname{Sec}^{-1} x}{x} \right)$.
$x = 2$ માટે,$\operatorname{Sec}^{-1} 2 = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$f^{\prime}(2) = 2^{\pi / 3} \left( \frac{\log 2}{2 \sqrt{2^2 - 1}} + \frac{\pi / 3}{2} \right) = 2^{\pi / 3} \left( \frac{\log 2}{2 \sqrt{3}} + \frac{\pi}{6} \right)$.
સાદું રૂપ આપતા,$f^{\prime}(2) = 2^{\pi / 3} \left( \frac{\sqrt{3} \log 2}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2^{\pi / 3}}{6} (\pi + \sqrt{3} \log 2)$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત વિધેય તરીકે લખી શકીએ:
જો $x \ge 0$,તો $|x| = x$,તેથી $f(x) = \frac{x}{1+x}$.
જો $x < 0$,તો $|x| = -x$,તેથી $f(x) = \frac{x}{1-x}$.
હવે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$x > 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = 0$ આગળ,આપણે ડાબી બાજુનું વિકલિત અને જમણી બાજુનું વિકલિત ચકાસીએ:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.
કારણ કે $LHD = RHD = 1$,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે અને $f'(0) = 1$.
આમ,વિકલિત તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in (-\infty, \infty)$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $5 f(x) + 3 f\left(\frac{1}{x}\right) = x + 2$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ને બદલે $\frac{1}{x}$ મૂકતા: $5 f\left(\frac{1}{x}\right) + 3 f(x) = \frac{1}{x} + 2$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$25 f(x) + 15 f\left(\frac{1}{x}\right) = 5x + 10$
$9 f(x) + 15 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x} + 6$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $(25 - 9) f(x) = 5x - \frac{3}{x} + 4$
$16 f(x) = 5x - \frac{3}{x} + 4 \implies f(x) = \frac{5x^2 + 4x - 3}{16x}$
આપેલ છે કે $y = x f(x) = \frac{5x^2 + 4x - 3}{16}$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{16} (10x + 4)$
$x = 1$ આગળ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{16} (10(1) + 4) = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin x \sqrt{\cos y} - \cos y \sqrt{\sin x} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sin x \sqrt{\cos y} = \cos y \sqrt{\sin x}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\sin^2 x \cos y = \cos^2 y \sin x$ મળે છે.
ધારો કે $\sin x \neq 0$ અને $\cos y \neq 0$,તો $\sin x \cos y$ વડે ભાગતા $\frac{\sin x}{\cos y} = \frac{\cos y}{\sin x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 x = \cos^2 y$.
આમ,$\sin x = \cos y$ અથવા $\sin x = -\cos y$.
$\sin x = \cos y$ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{d}{dx}(\cos y)$.
આનાથી $\cos x = -\sin y \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin y}$.
ચૂકી $\cos y = \sin x$,તેથી $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\cos x} = -1$.

(A) આપેલ છે કે $x = 2 \cos^3 \theta$ અને $y = 3 \sin^2 \theta$.
$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cdot 3 \cos^2 \theta \cdot (-\sin \theta) = -6 \cos^2 \theta \sin \theta$.
$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \cdot 2 \sin \theta \cdot \cos \theta = 6 \sin \theta \cos \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{6 \sin \theta \cos \theta}{-6 \cos^2 \theta \sin \theta}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\cos \theta} = -\sec \theta$.