AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
બિંદુઓ $(1, a)$ અને $(b, 2)$ ને શરતમાં મૂકતા:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
આપણે $4a + 2b$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $b + 2a = 25$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
તેથી,$4a + 2b = 50$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-4x-6y+4=0$ છે. ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટે ધ્રુવીયનું સમીકરણ $x(x_1-2) + y(y_1-3) - 2x_1 - 3y_1 + 4 = 0$ છે. આપેલ રેખા સાથે સરખાવતા અને $b=1$ મેળવતા,બિંદુ $(1, -1)$ મળે છે. બિંદુ $(1, -1)$ નો ધ્રુવીય $5x+y-6=0$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,વર્તુળોના સમીકરણોને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપમાં પ્રમાણિત કરીએ:
$S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$
$S^{\prime \prime} \equiv x^2+y^2+y=0$
$S$ અને $S^{\prime \prime}$ ની રેડિકલ ધરી $S-S^{\prime \prime}=0$ છે,જે $4x-y+7=0$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
$S^{\prime \prime}$ અને $S^{\prime}$ ની રેડિકલ ધરી $S^{\prime \prime}-S^{\prime}=0$ છે,જે $-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}=0$ અથવા $x+y+3=0$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
$4x-y+7=0$ અને $x+y+3=0$ ને ઉકેલતા:
બંનેનો સરવાળો કરતા: $5x+10=0 \implies x=-2$.
$x=-2$ ને $x+y+3=0$ માં મૂકતા: $-2+y+3=0 \implies y=-1$.
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $P$ એ $(-2, -1)$ છે.
$P(\alpha, \beta)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{\alpha^2+\beta^2+2g\alpha+2f\beta+c}$ છે.
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$ માટે,લંબાઈ $\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+\frac{3}{2}(-2)+\frac{5}{2}(-1)+\frac{9}{2}} = \sqrt{4+1-3-2.5+4.5} = \sqrt{4} = 2$.

(A) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ છે,જેને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ તરીકે લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા રેડિકલ ધરી $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ મળે છે.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રીજું વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ છે,જે $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ છે. તેનું કેન્દ્ર $(-1,-1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
રેખા $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ આ વર્તુળને સ્પર્શે છે જો $(-1,-1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ હોય.
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(-2g+\frac{3}{2}-2f+4)^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
ધારો કે $A = 2g-\frac{3}{2}$ અને $B = 2f-4$. તો $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,જેનો અર્થ છે $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,તેથી $2AB=0$.
આમ,$A=0$ અથવા $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \implies g=\frac{3}{4}$ અથવા $2f-4=0 \implies f=2$.

(D) ધારો કે વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2-6x-6y+14=0$ છે.
$P(h, k)$ એ $S_1$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $h^2+k^2=4$.
$A$ અને $B$ એ $P$ માંથી $S_2$ પરના સ્પર્શકોના સ્પર્શબિંદુઓ છે.
$P, A, B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ $PC$ છે,જ્યાં $C$ એ $S_2$ નું કેન્દ્ર છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C(3, 3)$ છે.
વ્યાસ $PC$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)(x-3) + (y-k)(y-3) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2 - (h+3)x - (k+3)y + 3h+3k = 0$ મળે છે.
$P(h, k)$ એ $x^2+y^2=4$ પર હોવાથી,$h^2+k^2=4$.
આ વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$ છે.
ધારો કે $(x, y) = (\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$,તેથી $h = 2x-3$ અને $k = 2y-3$.
$h^2+k^2=4$ માં કિંમત મૂકતા,$(2x-3)^2 + (2y-3)^2 = 4$.
$4x^2-12x+9 + 4y^2-12y+9 = 4$.
$4x^2+4y^2-12x-12y+14 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$2x^2+2y^2-6x-6y+7 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P = (x, y)$,$A = (5, 4)$,અને $B = (5, -4)$.
આપેલ છે કે $\tan(\angle APB) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$PA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y-4}{x-5}$ અને $PB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{y+4}{x-5}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\frac{\frac{y-4}{x-5} - \frac{y+4}{x-5}}{1 + \frac{(y-4)(y+4)}{(x-5)^2}}| = 1$
$|\frac{-8(x-5)}{(x-5)^2 + y^2 - 16}| = 1$
$| -8x + 40 | = | x^2 + y^2 - 10x + 9 |$
આથી $x^2 + y^2 - 10x + 9 = \pm(-8x + 40)$.
કિસ્સો $1$: $x^2 + y^2 - 2x - 31 = 0$.

(B) વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ એ વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ ના પરિઘને દુભાગે તેની શરત એ છે કે બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા એ જે વર્તુળ દુભાગાય છે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
આપેલ છે $S_1 \equiv x^2+y^2+2gx+4y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-2x-3=0$.
સામાન્ય જીવા $(2g+2)x + 4y + 4 = 0$ છે.
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા: $(2g+2)(1) + 4(0) + 4 = 0$.
$2g + 6 = 0 \implies g = -3$.
વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2-6x+4y+1=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 - 1} = \sqrt{9 + 4 - 1} = \sqrt{12}$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r^2 - (d/2)^2} = 2\sqrt{17}$ પરથી $d = 4\sqrt{2}$ મળે છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin(\theta/2) = \frac{L}{2r} = \frac{\sqrt{17}}{5}$ થાય છે.

(C) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2=16$ નું કેન્દ્ર $C_1(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=4$ છે.
સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોવા માટે,તે વર્તુળ $S$ નો વ્યાસ હોવો જોઈએ. તેથી,સામાન્ય જીવા $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે. જીવા ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y = 0$ છે.
વર્તુળ $S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ એ સામાન્ય જીવાને લંબ રેખા પર હોવું જોઈએ જે $S$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{4}{3}$ છે. રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = 0$ છે.
$C_2$ થી જીવાનું અંતર $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ છે.
$|3h - 4k| = 15$ અને $k = -\frac{4}{3}h$ નો ઉપયોગ કરતા,$|h| = \frac{9}{5}$ મળે છે.
તેથી કેન્દ્ર $\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $S$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2-c}$.
વર્તુળ $S'$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{5}{16} = \frac{7+c}{8\sqrt{2-c}}$.
સાદુરૂપ આપતા $c = -2$ મળે છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2 - (-2)} = 2$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ લો.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{h^2 - r^2} = 4 \implies h^2 - r^2 = 4$.
$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{k^2 - r^2} = 2\sqrt{11} \implies k^2 - r^2 = 11$.
વર્તુળ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(1-h)^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + h^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + (r^2 + 4) + (r^2 + 11) = r^2 \implies r^2 - 2h + 16 = 0$.
ગણતરી કરતા,સાચો જવાબ $5$ મળે છે.

(C) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(c, c)$ અને ત્રિજ્યા $c$ છે,જ્યાં $c > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-c)^2 + (y-c)^2 = c^2$ છે.
રેખા $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેને $4x + 3y - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ આ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(c, c)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $c$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|4c + 3c - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = c$
$\frac{|7c - 12|}{5} = c$
$|7c - 12| = 5c$
કિસ્સો $1$: $7c - 12 = 5c \implies 2c = 12 \implies c = 6$.
કિસ્સો $2$: $7c - 12 = -5c \implies 12c = 12 \implies c = 1$.
આમ,$c = 1$ અથવા $c = 6$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $C_1: x^2+y^2-6x-4y+9=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2x+2y-7=0$ છે.
$C_1$ ને $C_2$ માંથી બાદ કરતા, સ્પર્શબિંદુ આગળ સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ મળે છે:
$(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$
$8x+6y-16=0 \implies 4x+3y=8$.
આથી, $y = \frac{8-4x}{3}$.
આ કિંમત $C_1$ માં મૂકતા: $x^2 + (\frac{8-4x}{3})^2 - 6x - 4(\frac{8-4x}{3}) + 9 = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $9x^2 + (64 - 64x + 16x^2) - 54x - 12(8-4x) + 81 = 0$.
$25x^2 - 70x + 49 = 0 \implies (5x-7)^2 = 0$.
તેથી, $x = \alpha = \frac{7}{5}$.
હવે $y = \beta = \frac{8-4(7/5)}{3} = \frac{4}{5}$.
આપણે $7\beta$ શોધવાનું છે.
$7\beta = 7 \times \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$.
અહીં $4\alpha = 4 \times \frac{7}{5} = \frac{28}{5}$.
તેથી, $7\beta = 4\alpha$.

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબકોણીય હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માં લખો.
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $x^2+y^2-2\lambda x-2y-7=0$,આપણી પાસે $g_1=-\lambda, f_1=-1, c_1=-7$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે: $3(x^2+y^2)-8x+29y=0$,$3$ વડે ભાગતા $x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$ મળે. તેથી,$g_2=-\frac{4}{3}, f_2=\frac{29}{6}, c_2=0$.
શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ લાગુ પાડતા:
$2(-\lambda)(-\frac{4}{3}) + 2(-1)(\frac{29}{6}) = -7 + 0$
$\frac{8\lambda}{3} - \frac{29}{3} = -7$
$3$ વડે ગુણતા: $8\lambda - 29 = -21$
$8\lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ નો પાવર $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 6)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ માટે,પાવર $-16$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$-a = -21$
$a = 21$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2-2\lambda)x + (4-4\lambda)y + (1-4\lambda) = 0$.
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2 + \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}x + \frac{4(1-\lambda)}{1+\lambda}y + \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} = 0$.
આ વર્તુળ $x^2+y^2-6=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
અહીં $g_1 = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}, f_1 = \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}, c_1 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda}$ અને $g_2=0, f_2=0, c_2=-6$.
કિંમતો મૂકતા,$0 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} - 6 \implies 1-4\lambda-6-6\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$.
$\lambda = -1/2$ મૂકતા,$x^2+y^2+6x+12y+6=0$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+6^2-6} = \sqrt{9+36-6} = \sqrt{39}$.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ વ્યાસ $x+2y-2=0$ અને $2x+3y-1=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+2y=2$ $(1)$
$2x+3y=1$ $(2)$
$(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x+4y=4$ $(3)$
$(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(2x+4y)-(2x+3y) = 4-1$,તેથી $y=3$.
$(1)$ માં $y=3$ મૂકતા: $x+2(3)=2 \implies x+6=2 \implies x=-4$.
તેથી,કેન્દ્ર $(-4, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ કેન્દ્ર $(-4, 3)$ અને બિંદુ $(8, 8)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$R^2 = (8 - (-4))^2 + (8 - 3)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$ છે:
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 169$
$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 169$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y - 144 = 0$.
$x^2 + y^2 + px + qy + r = 0$ સાથે સરખાવતા,$p=8, q=-6, r=-144$ મળે છે.
તેથી $p^2 + q^2 + r = 8^2 + (-6)^2 - 144 = 64 + 36 - 144 = 100 - 144 = -44$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ છે.
સામાન્ય જીવા શોધવા માટે,$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરો:
$(x^2+y^2-2x-4y-4) - (x^2+y^2+2x+4y-11) = 0$
$-4x-8y+7 = 0$
$4x+8y-7 = 0$.
રેડિકલ અક્ષ (સામાન્ય જીવા) અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વર્તુળો $4x+8y-7=0$ રેખા પર આવેલા બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x-2|+|y-3|=4$ એ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(6, 3), (-2, 3), (2, 7)$ અને $(2, -1)$ છે.
આ ચોરસનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ $(2, 3)$ થશે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2=(2\sqrt{2})^2$ થાય.
તેથી,$x^2+y^2-4x-6y+5=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1,2)$ અને $B(2,-1)$ છે. જીવા $AB$ ની લંબાઈ $L = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{10}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ હોય,તો પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $L = 2R \sin(\theta)$ મુજબ,$\sqrt{10} = 2R \sin(\frac{\pi}{4}) = R\sqrt{2}$,તેથી $R^2 = 5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 5$ છે. $A$ અને $B$ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,ઉકેલતા $h=3$ અને $k=1$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 5$ એટલે કે $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ થાય છે.

(D) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
આપેલ વર્તુળો છે:
$C_1: x^2+y^2-2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_2: x^2+y^2+2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_3: x^2+y^2+2x+2y+\frac{7}{4}=0$
$C_1$ માટે લંબચ્છેદની શરત લાગુ પાડતા: $2g(-1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies -2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_2$ માટે: $2g(1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_3$ માટે: $2g(1)+2f(1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g+2f=c+\frac{7}{4}$
આને ઉકેલતા,આપણને $g=0, f=0$ અને $c=-\frac{7}{4}$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $x^2+y^2-\frac{7}{4}=0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x^2+4y^2=7$ થાય છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $(2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+4g+c=0$,તેથી $c = -4-4g$.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2-c} = 5$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(g^2-c) = 25$.
$c = -4-4g$ મૂકતા,$4(g^2+4g+4) = 25$,જે $4g^2+16g-9=0$ માં પરિણમે છે.
$g$ માટે ઉકેલતા,$g = -4.5 = -9/2$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$g < 0$ લેતા,$c = 14$.
આમ,સમીકરણ $x^2+y^2-9x-2ky+14=0$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 2px$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 2p$,તેથી $a = \frac{p}{2}$.
પરવલયની નાભિ $S = (\frac{p}{2}, 0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{p}{2}, 0)$ છે અને તે નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = p$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ છે.
$y^2 = 2px$ મૂકતા,$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$ મળે છે.
ઉકેલતા $x = \frac{p}{2}$ મળે છે.
તેથી $y^2 = p^2$,એટલે કે $y = \pm p$.
છેદબિંદુઓ $(\frac{p}{2}, p)$ અને $(\frac{p}{2}, -p)$ છે.

(A) ધારો કે જીવાનો ઢાળ $m = 2$ છે. જીવાનું સમીકરણ $y = 2x + c$ છે.
$y^2 = 4x$ માં કિંમત મૂકતા,$(2x + c)^2 = 4x$,એટલે કે $4x^2 + (4c - 4)x + c^2 = 0$.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$R(h, k)$ બિંદુ માટે $h = \frac{x_2 + 2x_1}{3}$ અને $k = \frac{y_2 + 2y_1}{3}$.
આના પરથી $c = k - 2h$ મળે છે.
સમીકરણ ઉકેલતા,બિંદુપથનું શિરોબિંદુ $\left(\frac{2}{9}, \frac{8}{9}\right)$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x_1, y_1) = (1, 3)$ છે.
બિંદુ $P(1, 3)$ માંથી પરવલય $y^2 = 8x$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3y = 2(2)(x + 1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3y = 4x + 4$ અથવા $4x - 3y + 4 = 0$ થાય છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a = 2$,$x_1 = 1$,અને $y_1 = 3$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{(3^2 - 4(2)(1))^{3/2}}{2(2)} = \frac{(9 - 8)^{3/2}}{4} = \frac{1^{3/2}}{4} = \frac{1}{4}$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે. નાભિ $(a, 0)$ છે અને નિયામિકા $x=-a$ છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે.
આપેલ છે કે $2a = \frac{3}{2}$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
પરવલય પરનું બિંદુ $(4a, -4a) = (4 \times \frac{3}{4}, -4 \times \frac{3}{4}) = (3, -3)$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ પરવલય $y^2=4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ છે.
$x_1=3, y_1=-3$ અને $a=\frac{3}{4}$ મૂકતા:
$y - (-3) = -\frac{-3}{2(3/4)}(x-3)$
$y+3 = \frac{3}{3/2}(x-3)$
$y+3 = 2(x-3)$
$y+3 = 2x-6$
$2x-y=9$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$t$ બિંદુ પરનો સ્પર્શક $ty = x + at^2$ છે. અહીં,$4a = 1$,તેથી $a = 1/4$.
$t_i$ અને $t_j$ પરના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(at_it_j, a(t_i + t_j))$ છે.
આપેલ $t_1 = 2, t_2 = -4, t_3 = 6$ અને $a = 1/4$ માટે:
બિંદુ $L$ ($t_1, t_2$ નું છેદબિંદુ) = $(-2, -0.5)$.
બિંદુ $M$ ($t_2, t_3$ નું છેદબિંદુ) = $(-6, 0.5)$.
બિંદુ $N$ ($t_3, t_1$ નું છેદબિંદુ) = $(3, 2)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |(-2)(0.5 - 2) + (-6)(2 - (-0.5)) + 3(-0.5 - 0.5)| = 7.5$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જે $a = 2$ આપે છે.
પ્રાચલ $t$ આગળ પરવલય પરનું બિંદુ $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ છે.
$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,બિંદુ $(1, 2\sqrt{2})$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
$a = 2$ અને $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,અભિલંબ $L$ નું સમીકરણ $x + \sqrt{2}y = 5$ મળે છે.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
રેખા $Ax + By + C = 0$ પર બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(h, k)$ માટે $\frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = -\frac{Ax_1 + By_1 + C}{A^2 + B^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(3, \sqrt{2})$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
અહીં,$a=1$. તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2m-m^3$ છે.
આ અભિલંબ $(5,2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2=5m-2m-m^3$,જેનું સાદું રૂપ $m^3-3m+2=0$ થાય છે.
આ ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(m-1)^2(m+2)=0$ મળે છે.
તેથી $m=1$ અને $m=-2$ મળે છે.
આપેલ અભિલંબ $x-y-3=0$ નો ઢાળ $m=1$ છે.
તેથી,બીજા અભિલંબનો ઢાળ $m=-2$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે. નાભિ $S$ એ $(a, 0) = (1, 0)$ છે.
પરવલય પર બિંદુ $P = (4, 4)$ હોવાથી,આપણે $x = at_1^2$ અને $y = 2at_1$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P$ માટે પ્રાચલ $t_1$ શોધી શકીએ છીએ. તેથી,$4 = 1 \cdot t_1^2 \implies t_1 = 2$.
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના પ્રાચલો $t_1$ અને $t_2$ એ $t_1 t_2 = -1$ નું પાલન કરે છે. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -\frac{1}{2}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પર પ્રાચલ $t$ વાળા બિંદુનું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાચલ $t_2 = -\frac{1}{2}$ વાળા બિંદુ $Q$ માટે,નાભિ અંતર $SQ = a(1 + t_2^2) = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{2})^2) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $L = 4a \csc^2 \theta$ છે.
અહીં $4a = 16$,તેથી $a = 4$. લંબાઈ $L = 25$ છે.
તેથી,$25 = 16 \csc^2 \theta \implies \csc^2 \theta = \frac{25}{16} \implies \sin^2 \theta = \frac{16}{25} \implies \sin \theta = \pm \frac{4}{5}$.
બે નાભિસ્થ જીવાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. $\sin \theta = \frac{4}{5}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ થાય.
તેથી $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times L_1 \times L_2 \times \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \times 25 \times 25 \times \frac{24}{25} = 300$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 15x$ છે,તેથી $4a = 15$,જે $a = \frac{15}{4}$ આપે છે.
બિંદુ $P = \left(\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}}\right)$ છે. ધારો કે $P = (at^2, 2at)$.
$at^2 = \frac{15}{2} \implies \frac{15}{4}t^2 = \frac{15}{2} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$.
$t$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ પર મળે છે.
શિરોબિંદુ $V(0,0)$ છે. જીવા $PQ$ દ્વારા શિરોબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ એ સદિશો $\vec{VP}$ અને $\vec{VQ}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$P = (\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}})$ અને $Q = (30, -15\sqrt{2})$.
ઢાળ $m_1 = \sqrt{2}$ અને $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = \infty$,તેથી $\theta = 90^\circ$.
$\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ) - \sec(120^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-2) = 3$.

(C) આપેલ પદાવલિ $(x^2+x-2)^5$ છે.
આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2+x-2$ ના અવયવ $(x+2)(x-1)$ તરીકે પાડી શકીએ છીએ.
તેથી,પદાવલિ $((x+2)(x-1))^5 = (x+2)^5(x-1)^5$ બને છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^k 2^{5-k}$ અને $(x-1)^5 = \sum_{j=0}^{5} \binom{5}{j} x^j (-1)^{5-j}$.
આપણે આ બે વિસ્તરણોના ગુણાકારમાં $x^2$ નો સહગુણક શોધવાની જરૂર છે.
ગુણાકાર $(\binom{5}{0}2^5 + \binom{5}{1}2^4 x + \binom{5}{2}2^3 x^2 + \dots) \times (\binom{5}{0}(-1)^5 + \binom{5}{1}(-1)^4 x + \binom{5}{2}(-1)^3 x^2 + \dots)$ છે.
ધારો કે $A = (32 + 80x + 80x^2 + \dots)$ અને $B = (-1 + 5x - 10x^2 + \dots)$.
$x^2$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$(32 \times -10) + (80 \times 5) + (80 \times -1) = -320 + 400 - 80 = 0$.
આમ,$x^2$ નો સહગુણક $0$ છે.

(A) $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{(10-r)/2} y^{r/k}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, 10$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$\frac{10-r}{2}$ અને $\frac{r}{k}$ બંને પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
કુલ $11$ પદોમાંથી $9$ અસંમેય છે,તેથી $2$ પદો સંમેય હોવા જોઈએ.
$r=0$ માટે,$T_1 = x^5$ હંમેશા સંમેય છે.
$r=10$ માટે,$T_{11} = y^{10/k}$ સંમેય છે જો $k$ એ $10$ નો ભાજક હોય.
$k=5$ અને $k=10$ માટે,આપણને બરાબર $2$ સંમેય પદો મળે છે.

(C) $(x+y^2)^{13}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = \binom{13}{k} x^{13-k} y^{2k}$ છે,જ્યાં $0 \le k \le 13$.
અહીં,$r = 13-k$ અને $s = 2k$.
$(x^2+y)^{14}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{j+1} = \binom{14}{j} x^{28-2j} y^j$ છે,જ્યાં $0 \le j \le 14$.
અહીં,$r = 28-2j$ અને $s = j$.
પદો સમાન હોવા માટે,$13-k = 28-2j$ અને $2k = j$ હોવું જોઈએ.
$j = 2k$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $13-k = 28-4k \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
તેથી $j = 10$.
આમ,$\alpha = 1$ પદ મળે છે.
આ પદ માટે,$r = 8$ અને $s = 10$,તેથી $r+s = 18$.
પરિણામે,$\alpha \sum (r+s) = 1 \times 18 = 18$.

(A) આપણે સામાન્ય દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$
$(1+3x)^{-3}$ માટે,$n=3$ અને $z=3x$ છે:
$(1+3x)^{-3} = 1 - 3(3x) + \frac{3(4)}{2}(3x)^2 - \frac{3(4)(5)}{6}(3x)^3 + \dots$
$= 1 - 9x + 54x^2 - 270x^3 + \dots$
હવે,$(1+4x-3x^2)$ વડે ગુણાકાર કરો:
$(1+4x-3x^2)(1-9x+54x^2-270x^3 + \dots)$
$x^3$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$1(-270) + 4(54) - 3(-9) = -270 + 216 + 27 = -27$.

(B) વિસ્તરણ $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(1+\alpha x+\beta x^2) \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k = \sum \binom{11}{k} x^k + \alpha \sum \binom{11}{k} x^{k+1} + \beta \sum \binom{11}{k} x^{k+2}$.
$x^{10}$ માટે,સહગુણક $\binom{11}{10} + \alpha \binom{11}{9} + \beta \binom{11}{8} = 11 + 55\alpha + 165\beta = 396$ છે.
$11$ વડે ભાગતા,$1 + 5\alpha + 15\beta = 36$,તેથી $5\alpha + 15\beta = 35$,અથવા $\alpha + 3\beta = 7$ (સમીકરણ $1$).
$x^{11}$ માટે,સહગુણક $\binom{11}{11} + \alpha \binom{11}{10} + \beta \binom{11}{9} = 1 + 11\alpha + 55\beta = 144$ છે.
તેથી,$11\alpha + 55\beta = 143$,અથવા $\alpha + 5\beta = 13$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(5\beta - 3\beta) = 13 - 7$,તેથી $2\beta = 6$,જેનો અર્થ છે $\beta = 3$.
સમીકરણ $1$ માં $\beta = 3$ મુકતા: $\alpha + 3(3) = 7$,તેથી $\alpha = 7 - 9 = -2$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

(C) વિસ્તરણ $(1 + (x - x^2))^6$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$.
અહીં,$n = 6$ અને $y = (x - x^2)$.
$(1 + x - x^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k (1 - x)^k$.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
$k=2$ માટે: $15$,$k=3$ માટે: $-60$,$k=4$ માટે: $15$.
$x^4$ નો કુલ સહગુણક $= 15 - 60 + 15 = -30$.
$x^6$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
$k=3$ માટે: $-20$,$k=4$ માટે: $90$,$k=5$ માટે: $-30$,$k=6$ માટે: $1$.
$x^6$ નો કુલ સહગુણક $= -20 + 90 - 30 + 1 = 41$.
સહગુણકોનો સરવાળો $= -30 + 41 = 11$.

(B) $(p-q)^{14}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{14}{r} p^{14-r} (-q)^r$ છે.
$7^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=6$: $T_7 = \binom{14}{6} p^8 q^6$.
$8^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=7$: $T_8 = -\binom{14}{7} p^7 q^7$.
$T_7 + T_8 = 0$ આપેલ હોવાથી,$\binom{14}{6} p^8 q^6 = \binom{14}{7} p^7 q^7$.
તેથી,$p = \frac{\binom{14}{7}}{\binom{14}{6}} q = \frac{8}{7} q$.
હવે,$\frac{p+q}{p-q} = \frac{\frac{8}{7}q + q}{\frac{8}{7}q - q} = \frac{15/7}{1/7} = 15$.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(x+3y)^{13}$ છે જ્યાં $x=\frac{1}{2}$ અને $y=\frac{1}{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{1}{2} + 3(\frac{1}{3}))^{13} = (\frac{1}{2} + 1)^{13} = (\frac{3}{2})^{13}$ મળે.
ધારો કે $T_{r+1}$ એ $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં $(r+1)$-મું પદ છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ માટેની શરત $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$ છે.
અહીં,$T_{r+1} = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r} (1)^r = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}$.
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}}{{}^{13}C_{r-1} (\frac{1}{2})^{13-(r-1)}} = \frac{{}^{13}C_r}{{}^{13}C_{r-1}} \times 2 = \frac{14-r}{r} \times 2$.
$\frac{28-2r}{r} \geq 1$ લેતા,$28-2r \geq r$,તેથી $3r \leq 28$,એટલે કે $r \leq 9.33$.
આમ,$r=9$ માટે સૌથી મોટું પદ $T_{10} = {}^{13}C_9 (\frac{1}{2})^4$ મળે છે.

(B) આપણે $k$ ની એવી મહત્તમ કિંમત શોધવાની છે કે જેથી $10^k$ એ $9^{11} + 11^9$ ને ભાગી શકે.
$9^{11} = (10-1)^{11} \equiv 109 \pmod{100}$.
$11^9 = (1+10)^9 \equiv 91 \pmod{100}$.
$9^{11} + 11^9 \equiv 109 + 91 = 200 \equiv 0 \pmod{100}$.
તેથી,$100$ એ સરવાળાનો ભાજક છે,એટલે કે $k \ge 2$.
$1000$ માટે તપાસતા,સરવાળો $800 \pmod{1000}$ મળે છે,જે $1000$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,$k$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(A) $(x + \frac{2}{x} - 5)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય દ્વારા આ રીતે મળે છે: $\frac{12!}{a!b!c!} (x)^a (\frac{2}{x})^b (-5)^c$,જ્યાં $a+b+c = 12$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{12!}{a!b!c!} 2^b (-5)^c x^{a-b}$ થાય છે.
આપણે $x^{10}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $a-b = 10$.
$a = b+10$ ને $a+b+c = 12$ માં મૂકતા,આપણને $(b+10) + b + c = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે $2b + c = 2$.
$(a, b, c)$ માટે શક્ય અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો:
$1$) જો $b=0$,તો $c=2$ અને $a=10$. પદ $\frac{12!}{10!0!2!} (2)^0 (-5)^2 = 66 \times 25 = 1650$ છે.
$2$) જો $b=1$,તો $c=0$ અને $a=11$. પદ $\frac{12!}{11!1!0!} (2)^1 (-5)^0 = 12 \times 2 = 24$ છે.
આનો સરવાળો કરતા,સહગુણક $1650 + 24 = 1674$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i} \binom{20}{m-i}$ છે.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,આ સરવાળો $(1+x)^{10} (1+x)^{20} = (1+x)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^m$ નો સહગુણક દર્શાવે છે.
તેથી,$S = \binom{30}{m}$.
દ્વિપદી સહગુણક $\binom{n}{r}$ મહત્તમ હોય છે જ્યારે $n$ બેકી હોય ત્યારે $r = \frac{n}{2}$ અથવા $n$ એકી હોય ત્યારે $r = \frac{n \pm 1}{2}$.
અહીં,$n = 30$,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $m = \frac{30}{2} = 15$ હોય.

(D) $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ છે.
તેથી,$P_{n} = \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (C_0+C_1)-(C_2+C_3)+(C_4+C_5)-(C_6+C_7)+\ldots$ છે.
આને $S = (C_0-C_2+C_4-C_6+\ldots) + (C_1-C_3+C_5-C_7+\ldots)$ તરીકે લખી શકાય.
$(1+i)^n$ નું વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો: $(1+i)^n = C_0 + C_1 i + C_2 i^2 + C_3 i^3 + C_4 i^4 + C_5 i^5 + C_6 i^6 + C_7 i^7 + \ldots$
$i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, i^6 = -1, i^7 = -i$ હોવાથી,આપણને મળે:
$(1+i)^n = (C_0 - C_2 + C_4 - C_6 + \ldots) + i(C_1 - C_3 + C_5 - C_7 + \ldots)$
ધારો કે $A = (C_0 - C_2 + C_4 - C_6 + \ldots)$ અને $B = (C_1 - C_3 + C_5 - C_7 + \ldots)$.
તેથી $(1+i)^n = A + iB$.
આપેલ પદાવલિ $S = A + B$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$.
તેથી,$(1+i)^n = (\sqrt{2})^n \left(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}\right) = 2^{n/2} \left(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}\right)$.
આમ,$A = 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$ અને $B = 2^{n/2} \sin \frac{n\pi}{4}$.
તેથી,$S = A + B = 2^{n/2} \left(\cos \frac{n\pi}{4} + \sin \frac{n\pi}{4}\right)$.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ છે.
સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $S = \sum_{r=0}^n C_r (n - r + 1)$ થાય છે.
વિસ્તરણ કરતા,$S = (n+1) \sum_{r=0}^n C_r - \sum_{r=0}^n r C_r$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = (n+1) 2^n - n 2^{n-1}$.
$S = 2n 2^{n-1} + 2^n - n 2^{n-1} = n 2^{n-1} + 2^n = (n+2) 2^{n-1}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j = (1+x)^n$.
$n=10$ માટે,$\sum_{j=0}^{10} \binom{10}{j} x^j = (1+x)^{10}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} x^{j-1} = 10(1+x)^9$.
$x=1$ લેતા,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = 10(2^9) = 5 \times 2^{10} = 20 \times 2^8$.
આમ,કારણ $(R)$ માં $S_2$ ની કિંમત ખોટી છે.
$S_1$ માટે,$\sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} x^{j-2} = 10 \times 9(1+x)^8$.
$x=1$ લેતા,$S_1 = 90 \times 2^8$.
$S_3 = \sum j^2 \binom{10}{j} = \sum (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = S_1 + S_2 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 90 \times 2^8 + 20 \times 2^8 = 110 \times 2^8 = 55 \times 2^9$.
વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે $S_2 = 20 \times 2^8$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ છે.
$n=15$ મૂકતા,આપણને $\frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$ મળે છે.
હવે,આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \left( \frac{16-r}{r} \right)$ છે.
$S = \sum_{r=1}^{15} r(16-r) = \sum_{r=1}^{15} (16r - r^2)$.
$S = 16 \sum_{r=1}^{15} r - \sum_{r=1}^{15} r^2$.
$n=15$ માટે સૂત્રો $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=1}^{15} r = 120$.
$\sum_{r=1}^{15} r^2 = 1240$.
$S = 16(120) - 1240 = 1920 - 1240 = 680$.

(C) આપેલ અભિવ્યક્તિ $\frac{1}{81^{n}} \left[ 1 - {}^{2n}C_1(10) + {}^{2n}C_2(10^2) - \dots + (-1)^{2n} {}^{2n}C_{2n}(10^{2n}) \right]$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(a - b)^m = \sum_{k=0}^{m} {}^{m}C_k a^{m-k} (-b)^k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $a = 1$,$b = 10$,અને $m = 2n$ લઈએ છીએ.
કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિ $(1 - 10)^{2n} = (-9)^{2n}$ છે.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $\frac{(-9)^{2n}}{81^{n}} = \frac{((-9)^2)^n}{81^n} = \frac{81^n}{81^n} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \left(\frac{3x-5}{4x^2+3}\right)^{-4/5} = \left(\frac{4x^2+3}{3x-5}\right)^{4/5} = \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1+\frac{3}{4x^2}\right)^{4/5} \left(1-\frac{5}{3x}\right)^{-4/5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n \approx 1+nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+\frac{3}{4x^2})^{4/5} \approx 1 + \frac{3}{5x^2}$.
$(1-\frac{5}{3x})^{-4/5} \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}$.
ગુણાકાર કરતા: $(1 + \frac{3}{5x^2})(1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}) \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}$.
તેથી,$E \approx \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}\right)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $(2x-y)^2 dy = [2(2x-y)^2 + 2] dx$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(2x-y)^2 + 2}{(2x-y)^2} = 2 + \frac{2}{(2x-y)^2}$.
ધારો કે $v = 2x-y$. તો $\frac{dv}{dx} = 2 - \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 - \frac{dv}{dx} = 2 + \frac{2}{v^2}$.
$-\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v^2} \implies -v^2 dv = 2 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int v^2 dv = \int 2 dx$.
$-\frac{v^3}{3} = 2x + c_1$.
$v^3 = -6x + c$ (જ્યાં $c = -3c_1$).
$v = 2x-y$ પાછું મૂકતા: $(2x-y)^3 = -6x + c$,જેનું સાદું રૂપ $(2x-y)^3 + 6x = c$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin (y/x) - x}{x \sin (y/x)}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.
$-\cos v = -\log |x| + C_1$,જેનું સાદું રૂપ $\cos v = \log |x| + c$ થાય છે.
$v = y/x$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\cos (\frac{y}{x}) = \log |x| + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{e^x}{x}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot x = \int \frac{e^x}{x} \cdot x dx + c$
$xy = \int e^x dx + c$
$xy = e^x + c$
$y = \frac{e^x + c}{x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$.
પદોને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4x + 8$.
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4(x + 2)$.
અહીં,$P(x) = x + 2$ અને $Q(x) = 4(x + 2)$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (x + 2) dx} = e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = \int 4(x + 2) e^{\frac{x^2}{2} + 2x} dx + c$.
ધારો કે $u = \frac{x^2}{2} + 2x$,તો $du = (x + 2) dx$.
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = 4 \int e^u du + c = 4e^u + c = 4e^{\frac{x^2}{2} + 2x} + c$.
બંને બાજુ $e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ વડે ભાગતા:
$y = 4 + ce^{-(\frac{x^2}{2} + 2x)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y+\cos x(\frac{dy}{dx})-\cos^2 x=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\cos x(\frac{dy}{dx})+y=\cos^2 x$ મળે.
$\cos x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx}+y\sec x=\cos x$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\sec x$ અને $Q=\cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x+\tan x|} = \sec x+\tan x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y(\sec x+\tan x) = \int \cos x(\sec x+\tan x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = \int (1+\sin x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = x-\cos x+c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sec x}{\cos x + \sin x}$ અને $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \tan x}$ છે.
પ્રથમ,$P(x)$ ને સરળ બનાવતા:
$P(x) = \frac{1}{\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x}$.
હવે,સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx}$ શોધો:
$IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} dx} = e^{\ln|1 + \tan x|} = 1 + \tan x$.
વિકલ સમીકરણને $IF$ વડે ગુણતા:
$(1 + \tan x) \frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \cos x$.
આથી,$\frac{d}{dx} [y(1 + \tan x)] = \cos x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$y(1 + \tan x) = \sin x + c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ છે.
$x \log x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
$y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$.
આપેલ છે કે $y(e) = 0$,તેથી $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,એટલે કે $0 = 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -1$.
આમ,$y \log x = (\log x)^2 - 1$.
$x = e^2$ માટે,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$.
$y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
$2y = 3$,તેથી $y = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$.
બંને બાજુ $dx$ અને $x \log x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x - y}{x \log x} = 1 - \frac{y}{x \log x}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 1$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} \, dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} \, dx$. તેથી,$\int \frac{1}{x \log x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| = \log |\log x|$.
તેથી,$IF = e^{\log |\log x|} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) \, dx + c$ છે.
$y \log x = \int 1 \cdot \log x \, dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \log x \, dx = x \log x - x$.
તેથી,$y \log x = x \log x - x + c$.
ગોઠવતા $(y-x) \log x + x = c$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x(1+\sin^2 x)$ છે.
$(1+\sin^2 x)$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} = \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$ અને $Q = \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx}$.
ધારો કે $u = 1+\sin^2 x$,તો $du = 2 \sin x \cos x dx = \sin 2x dx$.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln u} = u = 1+\sin^2 x$.
ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y(1+\sin^2 x) = \int \cos x (1+\sin^2 x) dx + c$.
ધારો કે $t = \sin x$,તો $dt = \cos x dx$.
$y(1+\sin^2 x) = \int (1+t^2) dt + c = t + \frac{t^3}{3} + c$.
$t = \sin x$ મૂકતા,આપણને $(1+\sin^2 x) y = \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} + c$ મળે છે.

(B) આપેલ સમઘાત વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ છે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2} - v = \frac{v^3 - v^2 - 2v + 2}{1 - v^2} = \frac{(v^2 - 2)(v - 1)}{-(v^2 - 1)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v^2 - 1}{(v^2 - 2)(v - 1)} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{v+1}{v^2-2} = \frac{v}{v^2-2} + \frac{1}{v^2-2}$.
સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \log |v^2 - 2| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -\log |x| + C$.
$2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{2} \log |v^2 - 2| + \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -2\sqrt{2} \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\sqrt{2} \log \left|\frac{y^2 - 2x^2}{x^2}\right| + \log \left|\frac{y - \sqrt{2}x}{y + \sqrt{2}x}\right| + 2\sqrt{2} \log |x| = c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x(y-2) + 1(y-2)}{2y(x-2) + 1(x-2)} = \frac{(2x+1)(y-2)}{(2y+1)(x-2)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{2y+1}{y-2} dy = \frac{2x+1}{x-2} dx$ મળે.
અપૂર્ણાંકોને ફરીથી લખતા: $\frac{2(y-2)+5}{y-2} dy = \frac{2(x-2)+5}{x-2} dx$.
આનું સાદું રૂપ $(2 + \frac{5}{y-2}) dy = (2 + \frac{5}{x-2}) dx$ થાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (2 + \frac{5}{y-2}) dy = \int (2 + \frac{5}{x-2}) dx$.
$2y + 5 \log |y-2| = 2x + 5 \log |x-2| + C$.
પદોને ગોઠવતા: $2(y-x) + 5 \log |y-2| - 5 \log |x-2| = C$.
$2(y-x) + 5 \log \left| \frac{y-2}{x-2} \right| = C$.

(A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x e^{-x}$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx} (y e^{-x}) = x e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $y e^{-x} = \int x e^{-x} dx$ મળે છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + c$.
આમ,$y e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + c$.
$e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y = -x - 1 + ce^x$ મળે છે,જે $y = ce^x - x - 1$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,અને $\vec{c} = -13\hat{i}-11\hat{j}+4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{CB}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c} = 18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k}$.
હવે,$\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ માં $\lambda$ માટે ઉકેલો:
$3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} = \lambda (-18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}) = -6\lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
આમ,$-6\lambda = 1$,જે $\lambda = -\frac{1}{6}$ આપે છે.
આગળ,$\vec{AC} = \mu \vec{CB}$ માં $\mu$ માટે ઉકેલો:
$-15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k} = \mu (18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k})$.
ઘટકોને ભાગતા: $-15 = 18\mu \implies \mu = -\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}$.
અંતે,$\lambda + \mu = -\frac{1}{6} + (-\frac{5}{6}) = -\frac{6}{6} = -1$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
તેથી,$\overline{AB} = \bar{b} - \bar{a}$.
આપેલ છે કે $\overline{AC} = 3 \overline{AB} = 3(\bar{b} - \bar{a})$.
કારણ કે $\overline{AC} = \vec{c} - \vec{a}$,તેથી $\vec{c} - \vec{a} = 3\bar{b} - 3\bar{a}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c} = 3\bar{b} - 2\bar{a}$.
આપેલ છે કે $\overline{BD} = 2 \overline{BA} = 2(\bar{a} - \bar{b})$.
કારણ કે $\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$,તેથી $\vec{d} - \vec{b} = 2\bar{a} - 2\bar{b}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{d} = 2\bar{a} - \bar{b}$.
હવે,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (2\bar{a} - \bar{b}) - (3\bar{b} - 2\bar{a}) = 2\bar{a} - \bar{b} - 3\bar{b} + 2\bar{a} = 4\bar{a} - 4\bar{b}$.

(D) બિંદુ $P$ ના સ્થાન સદિશ $\bar{x}$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$1$) $\bar{x} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{a} \cdot \bar{b} \implies (\bar{x} - \bar{a}) \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{AP}$ એ બાજુ $BC$ ને લંબ છે.
$2$) $\bar{x} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b} \cdot \bar{c} \implies (\bar{x} - \bar{b}) \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{BP}$ એ બાજુ $AC$ ને લંબ છે.
જેহেতু $P$ એવું બિંદુ છે કે $\vec{AP} \perp BC$ અને $\vec{BP} \perp AC$,તેથી $P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના વેધનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,$P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,3,5)$,$B(-1,3,2)$,અને $C(3,5,-2)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = B - A = (-3, 0, -3)$.
$\vec{BC} = C - B = (4, 2, -4)$.
$\vec{CA} = A - C = (-1, -2, 7)$.
માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો:
$|\vec{AB}| = 3\sqrt{2}$,$|\vec{BC}| = 6$,$|\vec{CA}| = 3\sqrt{6}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - |\vec{BC}|^2}{2|\vec{AB}||\vec{AC}|}$.
અહીં $\vec{AC} = (1, 2, -7)$,તેથી $|\vec{AC}| = 3\sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{18 + 54 - 36}{2(3\sqrt{2})(3\sqrt{6})} = \frac{36}{36\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તે જ રીતે,$\cos \beta = \frac{18 + 36 - 54}{2(3\sqrt{2})(6)} = 0$.
તેથી $\beta = 90^\circ$ અને $\sin^2 \beta = 1$.
$\gamma = 90^\circ - \alpha$ હોવાથી,$\sin^2 \gamma = \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
સરવાળો $= \frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 2$.

(B) ધારો કે $\bar{u} = \bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}$ એ આંતરિક દ્વિભાજકની દિશામાં સદિશ છે. તેનું માન $|\bar{u}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ છે.
ધારો કે $\bar{b} = -2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$. તેનું માન $|\bar{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3$ છે.
$\bar{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{-2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}}{3} = -\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}$ છે.
ધારો કે $\hat{a} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ એ $\bar{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
આંતરિક દ્વિભાજક $\hat{a} + \hat{b}$ ની દિશામાં હોય છે. તેથી,$\hat{a} + \hat{b} = k\bar{u}$ કોઈ અદિશ $k > 0$ માટે.
$\hat{a} = k(\bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}) - (-\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}) = (k + \frac{2}{3})\bar{i} + (-7k + \frac{1}{3})\bar{j} + (2k - \frac{2}{3})\bar{k}$.
$|\hat{a}| = 1$ હોવાથી,$(k + \frac{2}{3})^2 + (-7k + \frac{1}{3})^2 + (2k - \frac{2}{3})^2 = 1$.
સાદુરૂપ આપતા $54k^2 - 6k = 0$ મળે,તેથી $k = \frac{1}{9}$ ($k > 0$ હોવાથી).
તેથી $x = k + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ 4 & p & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(4(1) - 1(p)) - (-1)(1(1) - 1(4)) + 3(1(p) - 4(4)) = 0$
$2(4 - p) + 1(1 - 4) + 3(p - 16) = 0$
$8 - 2p - 3 + 3p - 48 = 0$
$p - 43 = 0$
$p = 43$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ સદિશો $\bar{a} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + 5\bar{k}$ અને $\bar{b} = -\bar{i} + 3\bar{j} + 3\bar{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\bar{c} = \bar{a} - \bar{b}$ શોધો:
$\bar{c} = (2 - (-1))\bar{i} + (-3 - 3)\bar{j} + (5 - 3)\bar{k} = 3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}$.
હવે,$\bar{c}$ નું માન શોધો:
$|\bar{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$\bar{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7}$ છે.
$28$ એકમ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $28 \times \hat{c}$ છે:
$28 \times \left( \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7} \right) = 4(3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}) = 12\bar{i} - 24\bar{j} + 8\bar{k}$.

(D) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2 \bar{i} + 4 \bar{j} - 3 \bar{k}$,$\vec{b} = -\bar{i} + 2 \bar{j} + 3 \bar{k}$,અને $\vec{c} = p \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k}$ છે.
શરત $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ નો અર્થ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 2 & 4 & -3 \\ -1 & 2 & 3 \\ p & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(1) - 3(-2)) - 4(-1(1) - 3(p)) - 3(-1(-2) - 2(p)) = 0$
$2(2 + 6) - 4(-1 - 3p) - 3(2 - 2p) = 0$
$16 + 4 + 12p - 6 + 6p = 0$
$14 + 18p = 0 \implies 18p = -14 \implies p = -\frac{7}{9}$.
હવે,$p = -\frac{7}{9}$ ને સદિશ $9p \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$ માં મૂકતા:
$9(-\frac{7}{9}) \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k} = -7 \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = -7 \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$. તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{9}(-7 \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k})$ છે.

(B) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k}$,$\vec{b} = \overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}$,$\vec{c} = 2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k}$,અને $\vec{d} = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે: $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{a}}{2+1} = \frac{2(\overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}) + (\overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k})}{3} = \frac{3\overline{i} - 3\overline{k}}{3} = \overline{i} - \overline{k}$.
બિંદુ $Q$ એ $CD$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે: $\vec{q} = \frac{1\vec{d} - 2\vec{c}}{1-2} = \frac{(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}) - 2(2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k})}{-1} = \frac{-3\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}}{-1} = 3\overline{i} - 3\overline{j} - 3\overline{k}$.
ધારો કે બિંદુ $R$ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}$ છે,તે $PQ$ નું $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી $\vec{r} = \frac{k\vec{q} + 1\vec{p}}{k+1} \implies (k+1)(5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}) = k(3\overline{i}-3\overline{j}-3\overline{k}) + (\overline{i}-\overline{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x$-ઘટક: $5k+5 = 3k+1 \implies 2k = -4 \implies k = -2$.
આમ,ગુણોત્તર $-2:1$ છે.

(B) ધારો કે લંબકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\bar{h}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $P$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{g} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3}$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{g} = \frac{1(\bar{h}) + 2(\bar{p})}{1+2} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$.
$\bar{g}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$.
$\bar{h} + 2\bar{p} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
આપેલ છે કે $\bar{p} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મુકતા:
$\bar{h} + 2\left(\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}\right) = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} + \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} = (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{b}-\bar{c}|^2+|\bar{c}-\bar{a}|^2=15$.
આ $(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (|\bar{c}|^2+|\bar{a}|^2-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$ બને છે.
એકમ સદિશના મૂલ્યો મૂકતા: $(1+1-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (1+1-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$.
$6 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -\frac{9}{2}$.
હવે,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 1 + 1 + 1 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
અગાઉના પગલા પરથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}$.
આ કિંમત મૂકતા: $|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = 3 - 2(-\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 + 9 + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12 + 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
તેથી,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1, |\bar{c}|=1$.
કારણ કે $\bar{a} \perp \bar{b}$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આપેલ છે કે $(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{c} \cdot \bar{b} - |\bar{c}|^2 = 0$.
કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ અને $|\bar{c}|^2 = 1$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
આપેલ છે $\bar{c} = l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})$.
$\bar{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\bar{c} \cdot \bar{a} = l(\bar{a} \cdot \bar{a}) + m(\bar{b} \cdot \bar{a}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a} = l(1) + m(0) + 0 = l$.
$\bar{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\bar{c} \cdot \bar{b} = l(\bar{a} \cdot \bar{b}) + m(\bar{b} \cdot \bar{b}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{b} = l(0) + m(1) + 0 = m$.
આ કિંમતોને $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $l - m = 1$ મળે છે.
વળી,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) \cdot (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) = 1$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}$ પરસ્પર લંબ છે,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}|\sin(90^{\circ}) = 1$.
તેથી,$l^2 + m^2 + n^2(1)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 1 - l^2 - m^2$.

(B) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ઘનને યામ પદ્ધતિમાં એવી રીતે મૂકો કે તેના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ અને $(a,a,a)$ હોય.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી $(a,a,a)$ સુધીના ઘનના વિકર્ણને ધ્યાનમાં લો. આ વિકર્ણ દર્શાવતો સદિશ $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે.
તે જ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી $(a,a,0)$ સુધીના ફલકના વિકર્ણને ધ્યાનમાં લો. આ વિકર્ણ દર્શાવતો સદિશ $\vec{d_2} = a\hat{i} + a\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(a) + (a)(a) + (a)(0) = 2a^2$.
માનની ગણતરી: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ અને $|\vec{d_2}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{2a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી,$\theta = \operatorname{Cos}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.

(D) $\angle BAC$ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો પડશે.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = B - A = (5-0, 0-4, 12-(-3)) = (5, -4, 15)$
$\vec{AC} = C - A = (7-0, 24-4, 0-(-3)) = (7, 20, 3)$
ત્યારબાદ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (5)(7) + (-4)(20) + (15)(3) = 35 - 80 + 45 = 0$
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle BAC = 90^{\circ}$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદને સરળ બનાવો: $(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{a} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{b} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{c}$
$= (\bar{a} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$:
$= (0 + \bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{b} - 0) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
$= \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c}$
$= \bar{b} \times \bar{c} - \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$.
હવે,આને પદાવલિ $E$ માં મૂકો:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) - \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = \bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] - 0 - 0$
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 4$,અને $|\bar{a}+\bar{b}| = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
કિંમતો મૂકતા: $5^2 = 3^2 + 4^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$25 = 9 + 16 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies 25 = 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies \bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકબીજાને લંબ છે.
હવે,આપણે $|\bar{a}-\bar{b}|$ શોધવાનું છે.
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2(0) = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = 4\bar{i} + 3\bar{j}$. $\bar{b}$ એ $XOY$-સમતલમાં $\bar{a}$ ને લંબ હોવાથી,$\bar{b}$ એ $3\bar{i} - 4\bar{j}$ અથવા $-3\bar{i} + 4\bar{j}$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ. ધારો કે $\bar{b} = 3\bar{i} - 4\bar{j}$.
ધારો કે $\bar{c} = x\bar{i} + y\bar{j}$.
$\bar{c}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = 1$ છે,તેથી $\frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$.
$\bar{c}$ નો $\bar{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{c} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|} = 2$ છે,તેથી $\frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા: $16x + 12y = 20$ અને $9x - 12y = 30$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $25x = 50 \implies x = 2$.
$x = 2$ ને $4x + 3y = 5$ માં મુકતા: $8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$.
આમ,$\bar{c} = 2\bar{i} - \bar{j}$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (cx)(x) + (-6)(2) + (3)(2cx) = cx^2 - 12 + 6cx$.
આપણે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $cx^2 + 6cx - 12 < 0$ ની જરૂર છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C < 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $x^2$ નો સહગુણક ઋણ $(A < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક (discriminant) ઋણ $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = c$,$B = 6c$,અને $C = -12$.
શરત $1$: $c < 0$.
શરત $2$: $D = B^2 - 4AC = (6c)^2 - 4(c)(-12) = 36c^2 + 48c < 0$.
$12c(3c + 4) < 0$.
બીજ $c = 0$ અને $c = -4/3$ છે.
અસમતા સાચી રહે તે માટે,$c$ એ બીજની વચ્ચે હોવું જોઈએ: $-4/3 < c < 0$.
આમ,$c$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ $\left(-\frac{4}{3}, 0\right)$ છે.

(C) $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + \hat{j})$ છે.
$Q$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2: \vec{r} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{j} - \hat{k})$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ને છેદતી રેખા $L_3: \vec{r} = \vec{r}_0 + u(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ છે.
$L_3$ એ $L_1$ ને $L$ પર છેદે છે,તેથી $L = (1+s, -1+s, -1) = (x_0+u, y_0-u, z_0+u)$.
$L_3$ એ $L_2$ ને $M$ પર છેદે છે,તેથી $M = (-1, 1+t, 1-t) = (x_0+v, y_0-v, z_0+v)$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $M = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(3, 4, \alpha)$ છે.
$P$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $d_X = \sqrt{4^2 + \alpha^2} = \sqrt{16 + \alpha^2}$ છે.
$P$ નું $Y$-અક્ષથી અંતર $d_Y = \sqrt{3^2 + \alpha^2} = \sqrt{9 + \alpha^2}$ છે.
$P$ નું $Z$-અક્ષથી અંતર $d_Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે $f(\alpha) = \sqrt{16 + \alpha^2} + \sqrt{9 + \alpha^2} + 5$.
$f(\alpha)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ $f'(\alpha) = \frac{\alpha}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{\alpha}{\sqrt{9 + \alpha^2}}$.
$f'(\alpha) = 0$ લેતા,આપણને $\alpha \left( \frac{1}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{1}{\sqrt{9 + \alpha^2}} \right) = 0$ મળે છે.
કૌંસમાં રહેલું પદ હંમેશા ધન હોવાથી,એકમાત્ર ઉકેલ $\alpha = 0$ છે.
તેથી,$\sec \alpha = \sec(0) = 1$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,0,0)$,$B(3,4,0)$,અને $C(0,12,5)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે $a, b, c$ ગણીએ.
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (12-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 64 + 25} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (12-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y, z)$ નો $x$-યામ સૂત્ર $x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(7\sqrt{2})(0) + (13)(3) + (5)(0)}{7\sqrt{2} + 13 + 5} = \frac{0 + 39 + 0}{18 + 7\sqrt{2}} = \frac{39}{18 + 7\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 4\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{B} = 6\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$,અને $\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ છે.
આપણે બાજુઓ $AB$,$BC$,અને $CA$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = |2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$BC = |\vec{C} - \vec{B}| = |-5\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$CA = |\vec{A} - \vec{C}| = |3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}| = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
અહીં $AB = CA = 7$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{\lambda(x_1 + kl) + 1(x_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(y_1 + km) + 1(y_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(z_1 + kn) + 1(z_1)}{\lambda + 1} \right)$.
આને આપેલા $B = (x_1 + 4kl, y_1 + 4km, z_1 + 4kn)$ સાથે સરખાવતા,$x$-યામને સરખાવતા:
$x_1 + 4kl = \frac{\lambda x_1 + \lambda kl + x_1}{\lambda + 1} = \frac{x_1(\lambda + 1) + \lambda kl}{\lambda + 1} = x_1 + \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
બંને બાજુથી $x_1$ બાદ કરતા:
$4kl = \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
$k > 0$ હોવાથી અને $l \neq 0$ લેતા,$kl$ વડે ભાગતા:
$4 = \frac{\lambda}{\lambda + 1}$.
$4(\lambda + 1) = \lambda \implies 4\lambda + 4 = \lambda \implies 3\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $-4:3$ અથવા $4:-3$ છે.
તેથી,બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (1-2)^2 + (-3+1)^2 + (1-3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies BC = 3$.
$AC^2 = (1-0)^2 + (-3-1)^2 + (1-2)^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies AC = 3\sqrt{2}$.
અહીં $AB^2 + BC^2 = 9 + 9 = 18 = AC^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $(H)$ એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે,તેથી $H = B(2,-1,3)$.
પરિકેન્દ્ર $(O)$ એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$O = \left( \frac{0+1}{2}, \frac{1-3}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2} \right)$.
અંતર $OH = \sqrt{(2 - 1/2)^2 + (-1 - (-1))^2 + (3 - 3/2)^2}$.
$OH = \sqrt{(3/2)^2 + 0^2 + (3/2)^2} = \sqrt{9/4 + 9/4} = \sqrt{18/4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે,જ્યાં $A$ એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ છે.
આપેલ છે કે $\vec{A} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$.
કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ $\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}$ એ $\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને આપણે $\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2})}{3} = \frac{\vec{A} + 2\vec{M}}{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{G} = \frac{(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) + 2(6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})}{3}$
$\vec{G} = \frac{-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} + 12\hat{i} + 4\hat{j} + 10\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = \frac{9\hat{i} + 9\hat{j} + 12\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. બિંદુઓ $A(-3, 1, 2)$ અને $B(1, -2, 4)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી સદિશો $\vec{PA}$ અને $\vec{PB}$ લંબ છે.
$\vec{PA} = (-3-x, 1-y, 2-z)$
$\vec{PB} = (1-x, -2-y, 4-z)$
$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ હોવાથી:
$(-3-x)(1-x) + (1-y)(-2-y) + (2-z)(4-z) = 0$
$(x+3)(x-1) + (y-1)(y+2) + (z-2)(z-4) = 0$
$(x^2 + 2x - 3) + (y^2 + y - 2) + (z^2 - 6z + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + (-3 - 2 + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$ છે.

(A) $xy$-સમતલમાં બિંદુ $P(x, y, 0)$ ધારો.
બિંદુ $P$ એ $A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ અને $C(0, 0, 1)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
$PA^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 + (0-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-3)^2 + (0-2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$.
$PC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (0-1)^2 = x^2 + y^2 + 1$.
$PA^2 = PC^2$ લેતા: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -4x = -12 \implies x = 3$.
$PB^2 = PC^2$ લેતા: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -6y = -12 \implies y = 2$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(3, 2, 0)$ છે.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,અને $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
અહીં $\vec{AB} = -\vec{CD}$ અને $\vec{BC} = -\vec{DA}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની છે.
પાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -13 \neq 0$ છે.
તેથી,આ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) રેખાખંડ $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (3, -2, 6)$ આપેલા છે.
પ્રથમ,આપણે દિશા સદિશનું માન શોધીએ: $\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
દિશા કોસાઇન $(l, m, n)$ મેળવવા માટે દિશા ગુણોત્તરને માન વડે ભાગતા: $l = \frac{3}{7}, m = \frac{-2}{7}, n = \frac{6}{7}$.
સદિશ $\vec{PQ}$ ની લંબાઈ $63$ છે,તેથી $\vec{PQ} = 63 \times (l, m, n) = 63 \times (\frac{3}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{6}{7}) = (27, -18, 54)$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે રેખા $X$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે દિશા કોસાઇન $l$ ઋણ હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે સદિશને $-1$ વડે ગુણીએ: $\vec{PQ} = (-27, 18, -54)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $l-2m+n=0$ $(1)$ અને $lm+10mn-2nl=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$l = 2m-n$.
$l$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $(2m-n)m + 10mn - 2n(2m-n) = 0$.
$2m^2 - mn + 10mn - 4mn + 2n^2 = 0$.
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $2(m/n)^2 + 5(m/n) + 2 = 0$.
$(2m/n + 1)(m/n + 2) = 0$.
કિસ્સો $1$: $m/n = -1/2 \implies m = -k, n = 2k$.
$l = 2(-k) - 2k = -4k$.
દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1) = (-4, -1, 2)$.
કિસ્સો $2$: $m/n = -2 \implies m = -2k, n = k$.
$l = 2(-2k) - k = -5k$.
દિકગુણોત્તર $(l_2, m_2, n_2) = (-5, -2, 1)$.
$cos \theta = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$.
$cos \theta = \frac{|(-4)(-5) + (-1)(-2) + (2)(1)|}{\sqrt{16+1+4} \sqrt{25+4+1}} = \frac{|20+2+2|}{\sqrt{21} \sqrt{30}} = \frac{24}{\sqrt{630}} = \frac{24}{3\sqrt{70}} = \frac{8}{\sqrt{70}}$.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(1,2,3), B(2,3,-1), C(3,-1,-2)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$.
$\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB:AC = 3\sqrt{2} : \sqrt{38} = 3 : \sqrt{19}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
દ્વિભાજકની દિશાના ગુણોત્તર શોધવા માટે,$AB$ અને $AC$ ની દિશામાં એકમ સદિશોનો સરવાળો લેતા,આપણને $(1, 4, 1)$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સમતલ $ABC$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો. સદિશો $\vec{AB} = B-A = (-1, -2, 1)$ અને $\vec{AC} = C-A = (-1, 2, 0)$ છે.
$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સમતલ $ACD$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ શોધો. સદિશો $\vec{AC} = (-1, 2, 0)$ અને $\vec{AD} = D-A = (-2, -1, -1)$ છે.
$\vec{n_2} = \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 4 + 1 - 20 = -15$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{21}$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{15}{\sqrt{630}} = \frac{5}{\sqrt{70}}$.
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}$,અને $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
આમ,$\tan^2 \theta = \frac{9/14}{5/14} = \frac{9}{5}$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(A) ધારો કે રેખા $X, Y$ અને $Z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha = \frac{\pi}{4}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos \frac{\pi}{4})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L_1$ ના દિકગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, -2, 2)$ છે અને રેખા $L_2$ ના દિકગુણોત્તરો $\vec{b} = (-2, 3, -6)$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ હોય તેવી રેખાના દિકગુણોત્તરો શોધવા માટે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -6 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-2)(-6) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(-6) - (2)(-2)) + \hat{k}((1)(3) - (-2)(-2))$
$= \hat{i}(12 - 6) - \hat{j}(-6 + 4) + \hat{k}(3 - 4)$
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1)$
$= (6, 2, -1)$.
આમ,$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(6, 2, -1)$ છે.

(D) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે બંને રેખાઓના સમીકરણોને સરખાવીએ:
$(1+t) \overline{i} + (-6+2t) \overline{j} + (2+t) \overline{k} = (2s) \overline{i} + (4+s) \overline{j} + (1+2s) \overline{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$1) 1+t = 2s$
$2) -6+2t = 4+s \implies 2t-s = 10$
$3) 2+t = 1+2s \implies t-2s = -1$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$t = 2s-1$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(2s-1) - s = 10 \implies 4s-2-s = 10 \implies 3s = 12 \implies s = 4$.
હવે,$t$ શોધો: $t = 2(4)-1 = 7$.
સમીકરણ $(3)$ સાથે ચકાસો: $7 - 2(4) = 7-8 = -1$. આ સુસંગત છે.
બીજા રેખાના સમીકરણમાં $s=4$ મૂકતા:
$\overline{r} = (0 \overline{i} + 4 \overline{j} + 1 \overline{k}) + 4(2 \overline{i} + 1 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 8 \overline{i} + 8 \overline{j} + 9 \overline{k}$.

(A) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{d} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા ધન $x$-અક્ષ (દિશા $\hat{i}$) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\cos \alpha = \frac{\vec{d} \cdot \hat{i}}{|\vec{d}| |\hat{i}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\hat{i}| = 1$.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$,$\vec{b} = -\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$,$\vec{c} = \vec{j}+2\vec{k}$,અને $\vec{d} = 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$ છે.
રેખા $AB$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{p} = \vec{b}-\vec{a} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ છે.
રેખા $CD$ એ $C$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{q} = \vec{d}-\vec{c} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{c}-\vec{a} = -\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$ છે.
$\vec{p} \times \vec{q} = 4\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}$ મળે છે.
$|\vec{p} \times \vec{q}| = 6$ થાય છે.
અંશનું મૂલ્ય $|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})| = |(-1)(4) + (0)(4) + (3)(2)| = 2$ થાય છે.
તેથી,$d = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) બે રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ અને $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ સમતલીય હોવાની શરત $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) = 0$ છે. કારણ કે વિધાનમાં જણાવેલ છે કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $0$ નથી,તેથી રેખાઓ વિષમતલીય છે,સમતલીય નથી. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ એ $d = \frac{|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|}{|\bar{b} \times \bar{q}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})| = d \times |\bar{b} \times \bar{q}|$. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.