$3$ અજ્ઞાત ચલોમાં $2$ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX=B$ અને $CX=D$ ધ્યાનમાં લો. જો $AX=B$ નો અનન્ય ઉકેલ $D$ હોય અને $CX=D$ નો અનન્ય ઉકેલ $B$ હોય,તો $(A-C^{-1})X=O$ નો ઉકેલ શું છે?

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=5$,$x+2y+\lambda^2 z=9$,અને $x+3y+\lambda z=\mu$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\lambda, \mu \in R$. તો,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x+2y+3z=\alpha$
$4x+5y+6z=\beta$
$7x+8y+9z=\gamma$
સુસંગત છે. ધારો કે $|M|$ એ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે
$M=\begin{bmatrix} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ધારો કે $P$ એ એવું સમતલ છે જેમાં $(\alpha, \beta, \gamma)$ ના તમામ બિંદુઓ છે જેના માટે ઉપરની સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે,અને $D$ એ બિંદુ $(0,1,0)$ થી સમતલ $P$ ના અંતરનો વર્ગ છે.
$(1)$ $|M|$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $D$ નું મૂલ્ય છે

ધારો કે $\beta$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. જો $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ એક અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક હોય,તો $9\beta$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ સંહતિ $x+2y+3z=6, x+3y+5z=9, 2x+5y+\lambda z=\mu$ માટે $\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમતો તપાસો અને યાદી-$I$ માં આપેલી કિંમતોને યાદી-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(A)$ $\lambda=8, \mu \neq 15$	$1$. અનંત ઉકેલો
$(B)$ $\lambda \neq 8, \mu \in R$	$2$. ઉકેલ નથી
$(C)$ $\lambda=8, \mu=15$	$3$. અનન્ય ઉકેલ

$\alpha$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે સમીકરણ સંહતિ: $x+y+z=\alpha$,$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$,અને $x+3 \alpha y+5 z=4$ અસંગત છે?