AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $P(k) = \frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}$ જ્યાં $k \in N$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$P(k) = \frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} = \frac{3k^5 + 5k^3 - 8k + 15k}{15} = \frac{3(k^5 - k) + 5(k^3 - k) + 15k}{15}$
$P(k) = \frac{1}{5}(k^5 - k) + \frac{1}{3}(k^3 - k) + k$
કારણ કે $(k^5 - k)$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે અને $(k^3 - k)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી આ પદાવલિ હંમેશા એક પૂર્ણાંક સંખ્યા આપે છે.
$k \in N$ હોવાથી,આ સરવાળો હંમેશા એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(B) $10$ થી $95$ સુધીના $5$ ના ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 10$,અંતિમ પદ $l = 95$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $l = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $95 = 10 + (n - 1)5$.
$85 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 17$.
$n = 18$.
આમ,આપેલ શ્રેણીમાં $5$ ના કુલ $18$ ગુણકો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \ge 10$ માટે,$n!$ ના છેલ્લા બે અંક $00$ હોય છે.
તેથી,$10!, 12!, 13!, 15!, 16!, \text{ અને } 17!$ ના છેલ્લા બે અંક $00$ છે.
આમ,આપેલ સરવાળા $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$ નો દશકનો અંક એ $1! + 4! + 7!$ ના દશકના અંક જેટલો જ થાય.
સરવાળો કરતા: $1! + 4! + 7! = 1 + 24 + 5040 = 5065$.
$5065$ માં દશકનો અંક $6$ છે.
કારણ કે $3! = 6$,તેથી દશકનો અંક $3!$ વડે વિભાજ્ય છે.
આથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$
બંને બાજુ $(x-3)^3$ વડે ગુણતા:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$
ધારો કે $u = x-3$,તેથી $x = u+3$.
સમીકરણમાં $x = u+3$ મૂકતા:
$(u+3)^2 + 5(u+3) + 7 = Au^2 + Bu + C$
$(u^2+6u+9) + 5u + 15 + 7 = Au^2 + Bu + C$
$u^2 + 11u + 31 = Au^2 + Bu + C$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 1, B = 11, C = 31$
હવે $9A - 3B + C$ ની ગણતરી કરતા:
$9(1) - 3(11) + 31 = 9 - 33 + 31 = 7$

(B) પદાવલિ $\frac{x^2}{(x-a)(x-b)}$ ધ્યાનમાં લો.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\frac{x^2}{x^2 - (a+b)x + ab}$ મળે છે.
અંશની ઘાત $2$ છે અને છેદની ઘાત પણ $2$ છે.
જો સંમેય વિધેય $\frac{P(x)}{Q(x)}$ માં અંશની ઘાત એ છેદની ઘાત કરતા મોટી અથવા સમાન હોય,તો તેને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.
અહીં બંને ઘાત સમાન હોવાથી,આપેલ અપૂર્ણાંક હંમેશા અયોગ્ય આંશિક અપૂર્ણાંક છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+1}{(2x-1)(3x+1)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{3x+1}$
બંને બાજુ $(2x-1)(3x+1)$ વડે ગુણતા: $x+1=A(3x+1)+B(2x-1)$
$A$ શોધવા માટે,$x=\frac{1}{2}$ મૂકતા: $\frac{1}{2}+1=A(3(\frac{1}{2})+1)+B(0)$ $\Rightarrow \frac{3}{2}=A(\frac{5}{2})$ $\Rightarrow A=\frac{3}{5}$
$B$ શોધવા માટે,$x=-\frac{1}{3}$ મૂકતા: $-\frac{1}{3}+1=A(0)+B(2(-\frac{1}{3})-1)$ $\Rightarrow \frac{2}{3}=B(-\frac{5}{3})$ $\Rightarrow B=-\frac{2}{5}$
હવે,$16A+9B$ ની ગણતરી કરતા: $16(\frac{3}{5})+9(-\frac{2}{5}) = \frac{48}{5}-\frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$
આમ,કિંમત $6$ છે.

(D) આપેલ છે,$|x^2-x-6|=x+2$.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
કિસ્સો $1$: $x^2-x-6 = x+2$
$\Rightarrow x^2-2x-8 = 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$
$\Rightarrow x = 4, -2$.
કિસ્સો $2$: $x^2-x-6 = -(x+2)$
$\Rightarrow x^2-x-6 = -x-2$
$\Rightarrow x^2-4 = 0$
$\Rightarrow x^2 = 4$
$\Rightarrow x = 2, -2$.
બંને કિસ્સાઓના પરિણામોને જોડતા,બીજનો ગણ $\{-2, 2, 4\}$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + ax + c = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{a}{a} = -1$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
બીજનો ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ આપેલ છે.
આપણે $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ શોધવાનું છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-1}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\sqrt{\frac{a}{c}}$.
વિકલ્પો મુજબ ધન કિંમત લેતા,જવાબ $\sqrt{\frac{a}{c}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\alpha+\beta=1$ અને $\alpha^2+\beta^2=13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1^2 = 13 + 2\alpha\beta$.
$1 = 13 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = -12$ $\Rightarrow \alpha\beta = -6$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (1)x + (-6) = 0 \Rightarrow x^2-x-6=0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ છે.
અહીં બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ એકમના કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે,એટલે કે $\omega$ અને $\omega^2$.
તેથી,$\alpha^3 = 1$ અને $\beta^3 = 1$.
સમીકરણ પરથી,$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$.
આપણે $\alpha^4 + \beta^4$ શોધવાનું છે.
$\alpha^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha = \alpha$.
તે જ રીતે,$\beta^4 = \beta^3 \cdot \beta = 1 \cdot \beta = \beta$.
તેથી,$\alpha^4 + \beta^4 = \alpha + \beta$.
$\alpha + \beta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\alpha^4 + \beta^4 = -1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - 2bx + c = 0$ માં કિંમત મૂકતા:
$ax^2 - (a + c)x + c = 0$
$ax^2 - ax - cx + c = 0$
$ax(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(ax - c) = 0$
તેથી,બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{c}{a}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-2x+4=0$ છે।
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x = 2 \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3} \right)$.
ધારો કે $\alpha = 2 e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2 e^{-i\pi/3}$.
તેથી $\alpha^n + \beta^n = (2 e^{i\pi/3})^n + (2 e^{-i\pi/3})^n = 2^n (e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^n + \beta^n = 2^n (2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે।

(C) આપેલ સમીકરણ: $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$.
બીજ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $\Delta \geq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$.
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\cos p - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos p \neq 1$.
બધા $p \neq 2n\pi$ માટે $\cos^2 p \geq 0$ અને $(\cos p - 1) < 0$ હોવાથી,$\Delta \geq 0$ ની શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $\sin p > 0$ હોય.
આમ,$p \in (0, \pi)$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બહુપદી $f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
જેના બીજ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ હોય તેવું સમીકરણ મેળવવા માટે,મૂળ સમીકરણ $f(x) = 0$ માં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકતા.
$\left(\frac{1}{x}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 26\left(\frac{1}{x}\right) - 24 = 0$.
આખા સમીકરણને $-x^3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-1 + 9x - 26x^2 + 24x^3 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $24x^3 - 26x^2 + 9x - 1 = 0$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $p x^2 + q x + r = 0$ ના બીજ છે. $p, q, r$ એ $AP$ માં હોવાથી,$2q = p + r$ થાય.
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ પરથી,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ મળે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ અને $\alpha \beta = \frac{r}{p}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,તેથી $q = -4r$.
$p + r = 2q$ હોવાથી,$p + r = 2(-4r) = -8r$,જેનો અર્થ છે કે $p = -9r$.
હવે,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$.
$q = -4r$ અને $p = -9r$ મૂકતા:
$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8$ નું એક બીજ $2i$ છે. સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેની સંકર અનુબદ્ધ સંખ્યા $-2i$ પણ બીજ હશે.
તેથી,$(z - 2i)(z + 2i) = (z^2 + 4)$ એ $f(z)$ નો અવયવ છે.
$f(z)$ ને $(z^2 + 4)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$f(z) = (z^2 + 4)(z^2 + z - 2)$.
વધુમાં દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા:
$z^2 + z - 2 = (z + 2)(z - 1)$.
આમ,$f(z) = 0$ ના બીજ $2i, -2i, -2$ અને $1$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2$ એ $f(z) = 0$ નું બીજ નથી.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+p x+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -p$ અને $\alpha \beta = q$ મળે.
$\alpha^3+\beta^3$ માટે:
$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha \beta+\beta^2) = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3 \alpha \beta] = (-p)[(-p)^2-3 q] = -p(p^2-3 q) = 3 p q-p^3$.
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4$ માટે:
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - \alpha^2 \beta^2 = [(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta]^2 - (\alpha \beta)^2 = [(-p)^2-2 q]^2 - q^2 = (p^2-2 q)^2 - q^2$.
નિત્યસમ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(p^2-2 q-q)(p^2-2 q+q) = (p^2-3 q)(p^2-q)$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2-5|x|+6=0$
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$|x|^2-5|x|+6=0$
ધારો કે $|x| = t$,તો સમીકરણ $t^2-5t+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t-3)(t-2)=0$.
તેથી,$|x|=3$ અથવા $|x|=2$.
જો $|x|=3$ હોય,તો $x = 3$ અથવા $x = -3$.
જો $|x|=2$ હોય,તો $x = 2$ અથવા $x = -2$.
આમ,ઉકેલો $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ છે.
તેથી,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+3x^3-6x^2+2x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ અને $\frac{1}{\delta}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ મેળવવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકતા:
$(\frac{1}{x})^4 + 3(\frac{1}{x})^3 - 6(\frac{1}{x})^2 + 2(\frac{1}{x}) - 4 = 0$
આખા સમીકરણને $x^4$ વડે ગુણતા:
$1 + 3x - 6x^2 + 2x^3 - 4x^4 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$-4x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 3x - 1 = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ધારો કે $y = x^2$,તેથી $x = \sqrt{y}$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\sqrt{y})^3 - 6(\sqrt{y})^2 + 11\sqrt{y} - 6 = 0$.
$y\sqrt{y} - 6y + 11\sqrt{y} - 6 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{y}(y+11) = 6(y+1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y(y+11)^2 = 36(y+1)^2$.
$y(y^2 + 22y + 121) = 36(y^2 + 2y + 1)$.
$y^3 + 22y^2 + 121y = 36y^2 + 72y + 36$.
$y^3 - 14y^2 + 49y - 36 = 0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $x^3-14x^2+49x-36=0$ મળે છે.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $3x^3 - 9x^2 + 5x - 7 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -9$,$c = 5$ અને $d = -7$ મળે છે.
ઘન સમીકરણ માટે બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-9}{3} = \frac{9}{3} = 3$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) ધારો કે બીજ $a-d, a, a+d$ છે.
બીજ $AP$ માં હોવાથી,તેમનો સરવાળો $x^2$ ના સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$(a-d) + a + (a+d) = p$
$3a = p \implies a = \frac{p}{3}$.
$a$ એ સમીકરણ $x^3-p x^2+q x-r=0$ નું બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(\frac{p}{3})^3 - p(\frac{p}{3})^2 + q(\frac{p}{3}) - r = 0$
$\frac{p^3}{27} - \frac{p^3}{9} + \frac{pq}{3} - r = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$p^3 - 3p^3 + 9pq - 27r = 0$
$-2p^3 + 9pq - 27r = 0$
$2p^3 - 9pq + 27r = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 5x + k = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સંમેય હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 2$,$b = 5$,અને $c = k$.
$D = (5)^2 - 4(2)(k) = 25 - 8k$.
$D$ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે વિકલ્પો તપાસતા:
જો $k = \frac{25}{8}$ હોય,તો $D = 25 - 8(\frac{25}{8}) = 25 - 25 = 0$.
$0$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવાથી $(0^2 = 0)$,બીજ સંમેય છે.
તેથી,$k = \frac{25}{8}$ સાચી કિંમત છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{p}{r}, p, pr$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \frac{p}{r} + p + pr = a \Rightarrow p(\frac{1}{r} + 1 + r) = a$
$2) \frac{p}{r} \cdot p + p \cdot pr + pr \cdot \frac{p}{r} = b \Rightarrow p^2(\frac{1}{r} + r + 1) = b$
$3) \frac{p}{r} \cdot p \cdot pr = p^3 = c$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{p^2(\frac{1}{r} + r + 1)}{p(\frac{1}{r} + r + 1)} = \frac{b}{a} \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$p = \frac{b}{a}$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$(\frac{b}{a})^3 = c \Rightarrow \frac{b^3}{a^3} = c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,જો $2+\sqrt{3}$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ કરણી $2-\sqrt{3}$ પણ બીજ હોય.
ધારો કે ચાર બીજ $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, \alpha, \beta$ છે.
બીજનો સરવાળો: $(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})+\alpha+\beta = -2 \implies 4+\alpha+\beta = -2 \implies \alpha+\beta = -6$.
બીજનો ગુણાકાર: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \alpha \beta = 7 \implies (4-3) \alpha \beta = 7 \implies \alpha \beta = 7$.
$\alpha$ અને $\beta$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ: $t^2+6t+7=0$.
ઉકેલતા: $t = -3 \pm \sqrt{2}$.
આમ,બીજ $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$3-\sqrt{2}$ એ બીજ નથી.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણો $f(x) = x^3+x^2-2x-2=0$ અને $g(x) = x^3-x^2-2x+2=0$ છે.
$f(x)$ ના અવયવ પાડતા:
$x^2(x+1) - 2(x+1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x+1) = 0$.
બીજ $x = -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
$g(x)$ ના અવયવ પાડતા:
$x^2(x-1) - 2(x-1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x-1) = 0$.
બીજ $x = 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય બીજ $x = \sqrt{2}$ અને $x = -\sqrt{2}$ છે.
આમ,સામાન્ય બીજની સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ આપેલા સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે:
$\alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $(i)$
$\alpha^2 - 2a\alpha + 49 = 0$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - 8\alpha + 7) - (\alpha^2 - 2a\alpha + 49) = 0$
$(2a - 8)\alpha - 42 = 0$
$2(a - 4)\alpha = 42$
$\alpha = \frac{21}{a - 4}$
$\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{21}{a - 4})^2 - 8(\frac{21}{a - 4}) + 7 = 0$
$(a - 4)^2$ વડે ગુણતા:
$441 - 168(a - 4) + 7(a - 4)^2 = 0$
$441 - 168a + 672 + 7(a^2 - 8a + 16) = 0$
$7a^2 - 224a + 1225 = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$a^2 - 32a + 175 = 0$
$(a - 7)(a - 25) = 0$
આમ,$a = 7$ અથવા $a = 25$.
તેથી $a$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ અને $3x^2 - 4x + 5 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$2a\alpha^2 - 3b\alpha + 4c = 0$ અને $3\alpha^2 - 4\alpha + 5 = 0$.
સહગુણકોના ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$.
આથી $2a = 3k$,$3b = 4k$,અને $4c = 5k$.
તેથી $a = \frac{3k}{2}$,$b = \frac{4k}{3}$,અને $c = \frac{5k}{4}$.
હવે,$\frac{a+b}{b+c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{4k}{3} + \frac{5k}{4}} = \frac{\frac{17k}{6}}{\frac{31k}{12}} = \frac{34}{31}$.

(B) આપેલ અસમતા: $(8-t)^2 < t^2-3t-10$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $64-16t+t^2 < t^2-3t-10$
બંને બાજુથી $t^2$ બાદ કરતા: $64-16t < -3t-10$
પદોને ગોઠવતા: $64+10 < 16t-3t$
$74 < 13t$
$t > \frac{74}{13}$
આમ,ઉકેલ ગણ $t \in (\frac{74}{13}, \infty)$ છે.

(B) સંમેય પદાવલિ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ને અનુચિત અપૂર્ણાંક કહેવાય છે જો અંશ $P(x)$ ની ઘાત એ છેદ $Q(x)$ ની ઘાત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
અહીં,અંશ $x^4$ ની ઘાત $4$ છે અને છેદ $x^3-3x+2$ ની ઘાત $3$ છે.
કારણ કે $4 \geq 3$,તેથી આ પદાવલિ એક અનુચિત અપૂર્ણાંક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x+1}-|\sqrt{x-1}|=\sqrt{4x-1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x+1 + x-1 - 2\sqrt{(x+1)(x-1)} = 4x-1$ (નોંધ: આ પદ્ધતિમાં $|\sqrt{x-1}|$ ના કારણે સાવચેતી રાખવી જરૂરી છે).
ગણતરી કરતા $x = \frac{5}{4}$ મળે છે.

(A) સંમેય સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી $f(x)$ માટે,જો $a + \sqrt{b}$ સ્વરૂપની અસંમેય સંખ્યા બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $a - \sqrt{b}$ પણ બીજ હોવી જોઈએ.
તમામ બીજ અસંમેય હોવાથી અને તે જોડીમાં આવતા હોવાથી,બીજની કુલ સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
તેથી,$f(x)$ ની ઘાત એક બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-3x^2+3x-9=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$x^2(x-3) + 3(x-3) = 0$.
$(x-3)(x^2+3) = 0$.
તેથી,એક બીજ $x = 3$ છે.
અન્ય બીજ માટે,$x^2+3=0$ ઉકેલતા,$x^2 = -3$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2+\omega+1=0$,તેથી $\omega^2+\omega = -1$.
$x = 1+2\omega$ ચકાસતા: $(1+2\omega)^2 + 3 = 1 + 4\omega + 4\omega^2 + 3 = 4(1+\omega+\omega^2) = 0$.
તે જ રીતે,$x = 1+2\omega^2$ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,બીજ $3, 1+2\omega$ અને $1+2\omega^2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$
બંને બાજુ $(x+1)^2$ વડે ગુણતા:
$x^2+x+1 = A(x+1)^2 + B(x+1) + C$
$x^2+x+1 = A(x^2+2x+1) + Bx + B + C$
$x^2+x+1 = Ax^2 + (2A+B)x + (A+B+C)$
$x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 1$
$2A+B = 1$ $\Rightarrow 2(1)+B = 1$ $\Rightarrow B = -1$
$A+B+C = 1$ $\Rightarrow 1-1+C = 1$ $\Rightarrow C = 1$
હવે,$A-B$ ની ગણતરી કરતા:
$A-B = 1 - (-1) = 2$
કારણ કે $C = 1$,તેથી $2 = 2C$.
આમ,$A-B = 2C$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-x^2-x-2=0$ છે.
$x=2$ મૂકતા,$8-4-2-2=0$ મળે છે,તેથી $(x-2)$ એક અવયવ છે.
$(x-2)$ વડે ભાગતા,$(x-2)(x^2+x+1)=0$ મળે છે.
અવાસ્તવિક બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+x+1=0$ ના બીજ છે.
આ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega^3=1$ અને $1+\omega+\omega^2=0$.
આપણે $\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha=\omega$ અને $\beta=\omega^2$ હોવાથી,$\alpha^{2020}=\omega^{2020}=\omega$ અને $\beta^{2020}=\omega^2$ મળે.
તેથી,$\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020} = \omega + \omega^2 + \omega^3 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.
વિકલ્પો જોતા,$1+\alpha+\beta = 1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ $x^3-x^2+x-4=0$ સમીકરણનું બીજ છે.
જે સમીકરણના બીજ આપેલા સમીકરણના બીજના વિરોધી હોય તે મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકીશું.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકતા:
$(-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 4 = 0$
$-x^3 - x^2 - x - 4 = 0$
આખા સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x^3 + x^2 + x + 4 = 0$
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x^3 + x^2 + x + 4 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + r(x)$.
ભાજક $2$ ઘાતનો હોવાથી,શેષ $r(x)$ ની ઘાત વધુમાં વધુ $1$ હશે. ધારો કે $r(x) = \alpha x + \beta$.
તેથી $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + \alpha x + \beta$.
$x = a$ અને $x = b$ મૂકતા:
$f(a) = \alpha a + \beta$ $(i)$
$f(b) = \alpha b + \beta$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$f(a) - f(b) = \alpha(a - b) \implies \alpha = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
$\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\beta = f(a) - \alpha a = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}$.
આમ,$r(x) = \alpha x + \beta = \frac{(x - a) f(b) - (x - b) f(a)}{b - a}$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ભાગફળ શોધવા માટે,આપણે $x^3-5x^2+2x+7$ નો $(x-1)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પદ $x^3$ ને $x$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ ને $(x-1)$ વડે ગુણતા $x^3-x^2$ મળે છે. તેને મૂળ બહુપદીમાંથી બાદ કરતા $-4x^2+2x+7$ મળે છે.
$3$. $-4x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે છે.
$4$. $-4x$ ને $(x-1)$ વડે ગુણતા $-4x^2+4x$ મળે છે. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા $-2x+7$ મળે છે.
$5$. $-2x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે.
$6$. $-2$ ને $(x-1)$ વડે ગુણતા $-2x+2$ મળે છે. તેને $-2x+7$ માંથી બાદ કરતા શેષ $5$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^2-4x-2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) $f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36 = 0$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે બહુપદીના અવયવો પાડીએ:
$x^3 - 2x^2 - 9x^2 + 18x + 18x - 36 = 0$
$x^2(x - 2) - 9x(x - 2) + 18(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x^2 - 9x + 18) = 0$
$(x - 2)(x - 3)(x - 6) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = 2, 3, 6$ છે.
તેથી,$x = 4$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-2x^2+3x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
આપણે $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(\alpha+\beta) + \beta\gamma(\beta+\gamma) + \gamma\alpha(\gamma+\alpha)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = 2$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 2-\gamma$,$\beta+\gamma = 2-\alpha$,અને $\gamma+\alpha = 2-\beta$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(2-\gamma) + \beta\gamma(2-\alpha) + \gamma\alpha(2-\beta)$
$= 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3(\alpha\beta\gamma)$
$= 2(3) - 3(4)$
$= 6 - 12 = -6$.

(A) ધારો કે $P(x) = x^4-11x^3+44x^2-76x+48$ અને $D(x) = x^2-7x+12$.
પ્રથમ,ભાજકનું અવયવીકરણ કરો: $D(x) = (x-3)(x-4)$.
ભાગાકારના અલ્ગોરિધમ મુજબ,$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$,જ્યાં $R(x) = ax+b$ એ શેષ છે.
તેથી,$P(x) = (x-3)(x-4)Q(x) + ax+b$.
$x=3$ માટે: $P(3) = 3^4 - 11(3^3) + 44(3^2) - 76(3) + 48 = 0$.
તેથી,$3a+b = 0$.
$x=4$ માટે: $P(4) = 4^4 - 11(4^3) + 44(4^2) - 76(4) + 48 = 0$.
તેથી,$4a+b = 0$.
સમીકરણો $3a+b=0$ અને $4a+b=0$ ઉકેલતા $a=0$ અને $b=0$ મળે છે.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(B) ધારો કે $z_1 = -i+\sqrt{3}$ અને $z_2 = -i-\sqrt{3}$.
આપણે $z_1 = -i(1+i\sqrt{3})$ અને $z_2 = i(1-i\sqrt{3})$ લખી શકીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,$z_1 = -2i(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2i e^{i\pi/3}$ નોંધો.
$z_1^{300} = (-2i)^{300} (e^{i\pi/3})^{300} = 2^{300} (i)^{300} e^{i100\pi} = 2^{300} (1) (1) = 2^{300}$.
તે જ રીતે,$z_2 = -2i(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2i e^{-i\pi/3}$.
$z_2^{300} = (-2i)^{300} (e^{-i\pi/3})^{300} = 2^{300} (i)^{300} e^{-i100\pi} = 2^{300} (1) (1) = 2^{300}$.
આમ,$z_1^{300} + z_2^{300} = 2^{300} + 2^{300} = 2 \times 2^{300} = 2^{301}$.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1$ છે.
પ્રથમ,$\frac{1+i}{1-i}$ ને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i$.
તેથી,સમીકરણ $i^n = 1$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^n = 1$ ત્યારે જ થાય જો $n$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
$1 \leq n \leq 2021$ ની વચ્ચે $4$ ના ગુણકોની સંખ્યા શોધવી છે.
ગુણકો $4, 8, 12, \ldots, 2020$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 4$,$d = 4$,અને $l = 2020$.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2020 = 4 + (n-1)4$ $\Rightarrow 2016 = (n-1)4$ $\Rightarrow n-1 = 504$ $\Rightarrow n = 505$.
આમ,આવી $505$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.

(D) આપેલ છે કે $2 \alpha = -1 - i \sqrt{3}$ અને $2 \beta = -1 + i \sqrt{3}$.
અહીં $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$.
આપણે $5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + \frac{7}{\alpha \beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^3 = 1$ અને $\beta^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^4 = \alpha$ અને $\beta^4 = \beta$ થાય.
તેથી,$5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + \frac{7}{\alpha \beta} = 5(\alpha + \beta) + 7 = 5(-1) + 7 = 2$.

(D) આપેલ છે,$a+bi = \frac{i}{1-i}$
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$a+bi = \frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
$a+bi = \frac{i+i^2}{1^2-i^2}$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$a+bi = \frac{i-1}{1-(-1)} = \frac{-1+i}{2}$
$a+bi = \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = \frac{-1}{2}$ અને $b = \frac{1}{2}$ મળે છે
તેથી,$(a, b) = (\frac{-1}{2}, \frac{1}{2})$

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+34x-71}{x^2+2x-7}$.
તેથી,$x^2+34x-71 = y(x^2+2x-7)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2(y-1) + x(2y-34) + (71-7y) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ સંકર સંખ્યા છે,તેથી આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2y-34)^2 - 4(y-1)(71-7y) \leq 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$4(y-17)^2 - 4(-7y^2 + 78y - 71) \leq 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$(y^2 - 34y + 289) + 7y^2 - 78y + 71 \leq 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \leq 0$.
$8$ વડે ભાગતા,$y^2 - 14y + 45 \leq 0$.
અવયવ પાડતા,$(y-5)(y-9) \leq 0$.
આમ,$5 \leq y \leq 9$.
તેથી,$a=5$ અને $b=9$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$z = x+iy = \frac{(3+2i)(4-7i)(12+13i)}{(13-12i)(2-3i)(11+3i)}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z| = |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$.
$|\frac{z_1 z_2 z_3}{z_4 z_5 z_6}| = \frac{|z_1| |z_2| |z_3|}{|z_4| |z_5| |z_6|}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \frac{|3+2i| \cdot |4-7i| \cdot |12+13i|}{|13-12i| \cdot |2-3i| \cdot |11+3i|}$.
અહીં $|3+2i| = |2-3i| = \sqrt{13}$ અને $|12+13i| = |13-12i| = \sqrt{313}$ છે.
તેથી,$|z| = \frac{\sqrt{13} \cdot |4-7i| \cdot \sqrt{313}}{\sqrt{313} \cdot \sqrt{13} \cdot |11+3i|} = \frac{|4-7i|}{|11+3i|}$.
$|z| = \frac{\sqrt{4^2+(-7)^2}}{\sqrt{11^2+3^2}} = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{130}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $x^2+y^2 = \frac{1}{2}$.

(C) જેમ બિંદુ $\alpha$ એ વર્તુળ $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ પર આવેલું છે,તેથી $|\alpha-z_0|^2=r^2$,જ્યાં $z_0=x_0+iy_0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $|\alpha|^2+|z_0|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=r^2 \quad \ldots (i)$
કારણ કે $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ એ વર્તુળ $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=4r^2$ પર આવેલું છે,તેથી $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{|\alpha|^2}+|z_0|^2-(\frac{\alpha\bar{z}_0}{|\alpha|^2}+\frac{\bar{\alpha}z_0}{|\alpha|^2})=4r^2$.
$|\alpha|^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $1+|z_0|^2|\alpha|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=4r^2|\alpha|^2 \quad \ldots (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માંથી બાદ કરતા,આપણને મળે છે $(|\alpha|^2-1)|z_0|^2 - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|\alpha|^2-1)(|z_0|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
આપેલ છે કે $2|z_0|^2=r^2+2$,તેથી $|z_0|^2-1 = \frac{r^2}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$(|\alpha|^2-1)\frac{r^2}{2} = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$r^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{|\alpha|^2-1}{2} = 4|\alpha|^2-1$.
$|\alpha|^2-1 = 8|\alpha|^2-2$.
$7|\alpha|^2=1 \Rightarrow |\alpha|=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\bar{z}z^3+z(\bar{z})^3=700$ છે.
$z=x+iy$ હોવાથી,$\bar{z}=x-iy$ અને $z\bar{z}=x^2+y^2$ થાય.
સમીકરણને $\bar{z}z(z^2+(\bar{z})^2)=700$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા,$(x^2+y^2)(2(x^2-y^2))=700$ મળે.
તેથી $(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$.
$x^2+y^2=25$ અને $x^2-y^2=7$ લેતા,$2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$ અને $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
શિરોબિંદુઓ $(\pm 4, \pm 3)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $8$ અને પહોળાઈ $6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 6 = 48$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $2+4i$ એ $x^2+bx+c=0$ સમીકરણનું એક બીજ છે,જ્યાં $b, c \in R$ છે. સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,બીજું બીજ $2-4i$ થશે.
બીજનો સરવાળો $= -b = (2+4i) + (2-4i) = 4$. તેથી,$b = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= c = (2+4i)(2-4i) = 2^2 - (4i)^2 = 4 + 16 = 20$. તેથી,$c = 20$.
આમ,$(b, c) = (-4, 20)$.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = e^{(y+e)^{(y+e)^{(y+\ldots \infty)}}}$,માં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઘાતાંક એ પ્રથમ $(y+e)$ થી શરૂ થતી પુનરાવર્તિત રચના છે.
આખી અભિવ્યક્તિ $x$ ની બરાબર હોવાથી,આપણે સમીકરણને $x = e^{y+x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $\ln(x) = y + x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{x}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$.
$L$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
$M$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{c} + (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b})}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2}$.
હવે,$\vec{AL} = \vec{l} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$.
અને $\vec{AM} = \vec{m} - \vec{a} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2} - \vec{a} = \frac{2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2}$.
આનો સરવાળો કરતા,$\vec{AL} + \vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2} = \frac{3\vec{c} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AC}$.
આમ,$AL + AM = \frac{3}{2} AC$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^5 - 5x^3 + 5x^2 - 1$.
સમાન બીજ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ અને તેના વિકલિત $f'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 10x$ વચ્ચેના સામાન્ય બીજ તપાસીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$5x(x^3 - 3x + 2) = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ $f'(x)$ નું બીજ છે કારણ કે $1-3+2=0$.
$f(1) = 1 - 5 + 5 - 1 = 0$ તપાસતા.
$f(1) = 0$ અને $f'(1) = 0$ હોવાથી,$x=1$ એ પુનરાવર્તિત બીજ છે.
$f(x)$ ને $(x-1)^2$ વડે ભાગતા:
$f(x) = (x-1)^2(x^3 + 2x^2 - 2x - 1)$.
$g(x) = x^3 + 2x^2 - 2x - 1$ ના વિકલિતને તપાસતા:
$g'(x) = 3x^2 + 4x - 2$.
$g(1) = 1 + 2 - 2 - 1 = 0$.
$g(1) = 0$ અને $g'(1) = 3+4-2 = 5 \neq 0$ હોવાથી,$x=1$ એ $3$ ની ઘાતવાળું બીજ છે.
આમ,સમીકરણને $3$ સમાન બીજ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f^{\prime}(x)=a \sin x+b \cos x$ અને $f^{\prime}(0)=4$.
વિકલનમાં $x=0$ મૂકતા: $f^{\prime}(0)=a \sin(0)+b \cos(0) = b = 4$.
હવે,$f(x)$ શોધવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (a \sin x + 4 \cos x) dx = -a \cos x + 4 \sin x + C$.
$f(0)=3$ નો ઉપયોગ કરતા: $f(0) = -a \cos(0) + 4 \sin(0) + C = -a + C = 3 \Rightarrow C = a+3$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=5$ નો ઉપયોગ કરતા: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 0 + 4(1) + C = 4+C = 5 \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ ને $C=a+3$ માં મૂકતા: $1 = a+3 \Rightarrow a = -2$.
આમ,$f(x) = -(-2) \cos x + 4 \sin x + 1 = 2 \cos x + 4 \sin x + 1$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{1-9^x}} d x$.
છેદને $9^x = (3^x)^2$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{1-(3^x)^2}} d x$.
$t = 3^x$ આદેશ લેતા,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $dt = 3^x \log 3 \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3^x \, dx = \frac{1}{\log 3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{1}{\log 3} dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \sin^{-1}(t) + c$,તેથી $I = \frac{1}{\log 3} \sin^{-1}(t) + c$.
અંતે,$t = 3^x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{\log 3} \sin^{-1}(3^x) + c$ અથવા $\sin^{-1}(3^x) \cdot (\log 3)^{-1} + c$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)+f(y)$,જેનો ઉકેલ $f(x)=cx$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
$f(1)=7$ આપેલ હોવાથી,$c(1)=7$,તેથી $c=7$.
આમ,$f(x)=7x$.
આપણે $\sum_{t=1}^{39} f(t) = \sum_{t=1}^{39} 7t$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $7 \times \sum_{t=1}^{39} t$ બરાબર છે.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{t=1}^{39} t = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.
તેથી,$\sum_{t=1}^{39} f(t) = 7 \times 780 = 5460$.

(C) $a = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$.
$b = 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{2} \Rightarrow 2b = 3^n - 1$.
$c = 1 + 5 + 25 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{5^n - 1}{4} \Rightarrow 4c = 5^n - 1$.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મુકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ હારને અલગ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n & 3^n & 5^n \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right| - \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં હાર $1$ અને હાર $3$ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં હાર $2$ એ હાર $1$ ના $2$ ગણા છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$\Delta = 0 - 0 = 0$.

(C) ધારો કે $P = (x, y, z)$. આપેલ છે કે $A = (2, 3, 4)$ અને $B = (-2, 3, 4)$.
$PA + PB = 4$. અંતર $AB = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-3)^2 + (4-4)^2} = 4$ હોવાથી,$PA + PB = AB$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
રેખાખંડ $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,$y=3$ અને $z=4$ થાય.
આમ,બિંદુપથ $(y-3)^2 + (z-4)^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે $y^2+z^2-6y-8z+25=0$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓની લંબાઈ $x \ cm$ અને $y \ cm$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $p = 2(x + y)$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $y = \frac{p}{2} - x$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x y$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = x(\frac{p}{2} - x) = \frac{px}{2} - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dA}{dx} = \frac{p}{2} - 2x = 0$.
આનાથી $x = \frac{p}{4} \ cm$ મળે છે.
પરિણામે,$y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4} \ cm$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{p}{4} \times \frac{p}{4} = \frac{p^2}{16} \ cm^2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે,$AB=a$,$BC=b$,$AD=b-a$.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BM = \frac{b}{2}$.
$DM$ પરના બિંદુ $N$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $DN = \frac{4}{5} DM$,આપણને $DN:NM = 4:1$ મળે છે.
સદિશ નિરૂપણનો ઉપયોગ કરતા,$N$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{N} = \frac{1 \cdot \vec{D} + 4 \cdot \vec{M}}{5}$ છે.
$5$ વડે ગુણતા,$5\vec{N} = \vec{D} + 4\vec{M}$ મળે.
$\vec{M} = \vec{B} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{B} + \frac{b}{2}$ અને $\vec{D} = \vec{A} + (b-a)$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ છીએ.
$5\vec{AN} = 4\vec{AM} + \vec{AD} = 4(a + \frac{b}{2}) + (b-a) = 4a + 2b + b - a = 3(a+b) = 3AC$.
આમ,$5 AN = 3 AC$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
ધારો કે $P, Q, R, S$ એ બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી $P = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$,$Q = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$,$R = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$,$S = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}$.
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{P+R}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
$SQ$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{S+Q}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
બંને મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,તે બિંદુ $E$ છે.
તેથી $E$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
આથી $4\vec{e} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$.
કોઈપણ બિંદુ $O$ માટે,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OE}$ મળે છે.
તેથી $x = 4$.

(C) બિંદુઓ $(k, 3, 4)$ અને $(4, 7, 8)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(4-k, 4, 4)$ છે.
બિંદુઓ $(-1, -2, 1)$ અને $(1, 2, l)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, 4, l-1)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{4-k}{2} = \frac{4}{4} = \frac{4}{l-1}$.
$\frac{4-k}{2} = 1$ પરથી,$4-k = 2$,તેથી $k = 2$.
$1 = \frac{4}{l-1}$ પરથી,$l-1 = 4$,તેથી $l = 5$.
તેથી,$k + l = 2 + 5 = 7$.

(A) બિંદુઓ $B(4, 7, 1)$ અને $C(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $P(-\lambda+4, -2\lambda+7, 2\lambda+1)$ છે.
$AP$ રેખાને લંબ હોવાથી,$\vec{AP} \cdot \vec{v} = 0$ થાય,જ્યાં $\vec{v} = (-1, -2, 2)$.
ગણતરી કરતા $\lambda = \frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી $P$ ના યામ $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$ મળે છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(-2, 3, 4)$ છે.
અંતર $AB = 4$ છે.
$PA + PB = 4$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
તેથી,$y = 3$ અને $z = 4$ થાય.
આથી,$(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $y^2 + z^2 - 6y - 8z + 25 = 0$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16ax$ છે અને રેખાનું સમીકરણ $y=4mx$ છે.
રેખાના સમીકરણ $y=4mx$ માં $x = \frac{y^2}{16a}$ મૂકતા,આપણને $y = 4m(\frac{y^2}{16a}) = \frac{my^2}{4a}$ મળે છે.
આનાથી $y^2 = \frac{4ay}{m}$ મળે છે,તેથી $y(y - \frac{4a}{m}) = 0$. આમ,છેદબિંદુઓ $y=0$ અને $y=\frac{4a}{m}$ છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\int_0^{\frac{4a}{m}} (\frac{y}{4m} - \frac{y^2}{16a}) dy = \frac{a^2}{12}$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[\frac{y^2}{8m} - \frac{y^3}{48a}]_0^{\frac{4a}{m}} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{(4a/m)^2}{8m} - \frac{(4a/m)^3}{48a} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{16a^2}{8m^3} - \frac{64a^3}{48am^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{m^3} - \frac{4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{6a^2 - 4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2}{3m^3} = \frac{1}{12}$
$m^3 = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
$m = 2$
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $\mu = np = 9$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq} = \frac{3}{2}$ છે.
પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ કરતા,$npq = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ મળે.
$np = 9$ ને $npq = \frac{9}{4}$ માં મૂકતા,$9q = \frac{9}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{4}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે.
હવે,$np = 9 \implies n \times \frac{3}{4} = 9 \implies n = 12$.
તેથી,દ્વિપદી વિતરણ $(p + q)^n = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)^{12}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$a=3, b=4$ અને $A=\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
આપેલ માહિતી પરથી,$\sin A = \frac{3}{4}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{3}{3/4} = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow 4 = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
તેથી,$B = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ માં,ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{u} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\vec{v} = \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ થાય.
તેથી,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{a}}{2} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2}$.

(C) શ્રેણિક $A$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
અહીં $A^2 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક) હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ શૂન્યઘાતી (nilpotent) શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ છે કે $P^{2006} = O$ અને $PQ = P + Q$.
સમીકરણ $PQ = P + Q$ ને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $PQ - P - Q = O$ મળે છે.
બંને બાજુ $I$ ઉમેરતા,$(P - I)(Q - I) = I$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(P - I)$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
કારણ કે $P^{2006} = O$,$P$ એ શૂન્યઘાતી શ્રેણિક છે,તેથી તેના તમામ આઈગન મૂલ્યો $0$ છે.
આમ,$\det(P) = 0$.
સમીકરણ $PQ = P + Q$ પરથી,$Q(P - I) = P$ અથવા $Q = P(P - I)^{-1}$ લખી શકાય.
તેથી,$\det(Q) = \det(P) \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0 \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(0)(1) & (1)(0)+(0)(2) \\ (1)(1)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$2I$ ની ગણતરી કરો:
$2I = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2$ અને $2I$ નો સરવાળો કરો:
$A^2 + 2I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $3A = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $A^2 + 2I = 3A$.

(A) $\lambda$ શોધવા માટે,આપણે ત્રીજી હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરીએ:
$D = -3 \begin{vmatrix} -x & 3x+\lambda \\ 3x & x-4 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & 3x+\lambda \\ 4x+1 & x-4 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & -x \\ 4x+1 & 3x \end{vmatrix}$
$= -3[-x(x-4) - 3x(3x+\lambda)] - 4[(x^3-14x^2)(x-4) - (4x+1)(3x+\lambda)]$
$= -3[-x^2+4x - 9x^2 - 3x\lambda] - 4[x^4-4x^3-14x^3+56x^2 - (12x^2+4x\lambda+3x+\lambda)]$
$= -3[-10x^2+4x-3x\lambda] - 4[x^4-18x^3+44x^2-4x\lambda-3x-\lambda]$
$= 30x^2-12x+9x\lambda - 4x^4+72x^3-176x^2+16x\lambda+12x+4\lambda$
$= -4x^4+72x^3-146x^2+(25\lambda)x+4\lambda$
આને $ax^4+bx^3+cx^2+50x+d$ સાથે સરખાવતા,આપણે $x$ ના સહગુણકોને સરખાવીએ:
$25\lambda = 50$
$\lambda = 2$.

(D) જો $P$ અને $Q$ એવા શૂન્યતર ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $PQ = 0$ થાય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $P$ અથવા $Q$ માંથી કોઈ એક અસામાન્ય (singular) હોવો જ જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
અહીં,$P \neq 0$ અને $Q \neq 0$,પરંતુ $PQ = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
આ કિસ્સામાં,બંને શ્રેણિકો અસામાન્ય છે કારણ કે તેમના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.
જો કે,બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર શૂન્ય હોવો શક્ય છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ વિકલ્પ અનિવાર્યપણે સાચો નથી.

(D) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$.
તો,$MN = \begin{bmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}$ અને $NM = \begin{bmatrix} ap+qc & pb+qd \\ ar+cs & br+ds \end{bmatrix}$.
$MN = NM$ માટે,આપણી પાસે $br = qc$,$aq+bs = pb+qd$,$cp+dr = ar+cs$,અને $cq+ds = br+ds$ હોવું જોઈએ.
આ શરતો બધા શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે સાચી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ હોય,તો $MN = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ જ્યારે $NM = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $MN \neq NM$.
કારણ કે કોઈ પણ ચોક્કસ શરતો $(A)$,$(B)$,અથવા $(C)$ કોઈપણ મનસ્વી શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે $MN = NM$ થવા માટે જરૂરી કે પૂરતી નથી,તેથી સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$M^2 = M \times M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right]$ શોધો.
હવે,પદ $M^{n+1}-M^n = M^n(M-I)$ ધ્યાનમાં લો.
$n=1$ માટે,$M^2-M = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
નોંધો કે $M^2 - M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
કેરેક્ટરિસ્ટિક સમીકરણ $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$ હોવાથી,$M^2 = 2M - I$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $M^2 - M = M - I$.
આમ,તમામ $n \in N$ માટે $M^{n+1}-M^n = M^2-M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$ થાય છે.

(D) ભ્રમણ શ્રેણિક $R_{\theta}$ એ $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણિક $A$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{4}$. તેથી,$A^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{4} & \sin \frac{n\pi}{4} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{4} & \cos \frac{n\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$A^{2020}$ માટે,$n=2020$,તેથી $\frac{2020\pi}{4} = 505\pi$. કારણ કે $\cos(505\pi) = -1$ અને $\sin(505\pi) = 0$,તેથી $A^{2020} \neq I$.
શ્રેણિક $D$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$D^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{2} & \sin \frac{n\pi}{2} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$D^{2019}$ માટે,$n=2019$,$\frac{2019\pi}{2} = 1009.5\pi$,તેથી $D^{2019} \neq I$.
શ્રેણિક $B$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}$. તેથી,$B^n = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \frac{n\pi}{3} & \sin \frac{n\pi}{3} \\ 0 & -\sin \frac{n\pi}{3} & \cos \frac{n\pi}{3}\end{array}\right]$.
$B^{2022}$ માટે,$n=2022$,$\frac{2022\pi}{3} = 674\pi$. કારણ કે $\cos(674\pi) = 1$ અને $\sin(674\pi) = 0$,તેથી $B^{2022} = I$.

(C) ધારો કે $2$ કક્ષાના વાસ્તવિક શ્રેણિકો $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix}$ છે.
$M$ વ્યસ્ત હોવાથી,$M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર કરતા:
$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 d & -n_1 b \\ -n_2 c & n_2 a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} an_1d - bn_2c & -an_1b + bn_2a \\ cn_1d - dn_2c & -cn_1b + dn_2a \end{bmatrix}$.
$M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય તે માટે,વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$ab(n_2 - n_1) = 0$ અને $cd(n_1 - n_2) = 0$.
જો $M$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય,તો $b = 0$ અને $c = 0$ થાય,જે આ સમીકરણોનું પાલન કરે છે.
આમ,બધા વિકર્ણ શ્રેણિકો $M$ માટે $M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રોટેશન મેટ્રિક્સ $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ માટે,$R(\theta)^n = R(n\theta)$ ગુણધર્મ સાચો છે.
તેથી,$A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & \sin 3 \theta \\ -\sin 3 \theta & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$.
આને આપેલ મેટ્રિક્સ $A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & m \\ n & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \sin 3 \theta$ અને $n = -\sin 3 \theta$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિધાન $1$: કોઈપણ એકી ક્રમ $n$ ના વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય છે. અહીં ક્રમ $5 \times 5$ હોવાથી,$|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\text{rank}(A) < 5$. આ વિધાન સત્ય છે.
વિધાન $2$: જો $P$ એ $m \times 1$ શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક હોય અને $Q$ એ $1 \times n$ શૂન્યતર હાર શ્રેણિક હોય,તો $PQ$ એ $m \times n$ શ્રેણિક છે જેનો નિશ્ચાયક $1$ હોય છે. આ વિધાન સત્ય છે.
વિધાન $3$: ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = 1(21-24) - 2(14-20) + 3(12-15) = -3 + 12 - 9 = 0$. કારણ કે ઓછામાં ઓછો એક $2 \times 2$ નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે (દા.ત.,$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$),તેથી નિશ્ચાયક $2$ છે. આ વિધાન સત્ય છે.
વિધાન $4$: જો ત્રણ ભિન્ન રેખાઓ $a_r x + b_r y + c_r = 0$ એક બિંદુએ છેદતી હોય,તો શ્રેણિકની હાર સુરેખ રીતે આધારિત હોય છે,એટલે કે નિશ્ચાયક $0$ થાય છે. તેથી,નિશ્ચાયક $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. નિશ્ચાયક $3$ છે તેવું કહેતું વિધાન અસત્ય છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = -A$.
$A^{2n}$ માટે:
$(A^{2n})^T = (A^T)^{2n} = (-A)^{2n} = (-1)^{2n} A^{2n} = A^{2n}$.
કારણ કે $(A^{2n})^T = A^{2n}$,તેથી $A^{2n}$ એ સંમિત શ્રેણિક છે. આમ,વિધાન $1$ અસત્ય છે.
$A^{2n+1}$ માટે:
$(A^{2n+1})^T = (A^T)^{2n+1} = (-A)^{2n+1} = (-1)^{2n+1} A^{2n+1} = -A^{2n+1}$.
કારણ કે $(A^{2n+1})^T = -A^{2n+1}$,તેથી $A^{2n+1}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. આમ,વિધાન $2$ સત્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $A$ એ $n$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$A^T = -A$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને મળે $|A^T| = |-A|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^T| = |A|$ અને $|-A| = (-1)^n |A|$,તેથી $|A| = (-1)^n |A|$.
એકી ક્રમના શ્રેણિક માટે,$n = 3$,તેથી $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 0$.
તેથી,એકી ક્રમના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \omega^{1+1} & \omega^{1+2} \\ \omega^{2+1} & \omega^{2+2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & \omega^3 \\ \omega^3 & \omega^4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix}$.
$P^2$ ની ગણતરી કરતા: $P^2 = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^4+1 & \omega^2+\omega \\ \omega^2+\omega & 1+\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega+1 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega^2 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = -P$.
તેથી $P^2 = -P$,જેનો અર્થ છે કે $P^3 = P^2 \cdot P = (-P) \cdot P = -P^2 = -(-P) = P$.
આમ,$P^3 = P$. $P^k = P$ માટે,$k$ એ $3$ કે તેથી મોટી એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. વિકલ્પો તપાસતા,$57$ એ એકમાત્ર એકી સંખ્યા છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id) = (a^2+b^2) - (-(c^2+d^2)) = a^2+b^2+c^2+d^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
આને આપેલ $A^{-1} = \begin{bmatrix} a+ib & -c-id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે નિશ્ચાયક $|A|$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $Q = A^{-1}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(1+3) = 4, C_{12} = -(2+3) = -5, C_{13} = +(2-1) = 1$
$C_{21} = -(-1-1) = 2, C_{22} = +(1-1) = 0, C_{23} = -(1+1) = -2$
$C_{31} = +(3-1) = 2, C_{32} = -(-3-2) = 5, C_{33} = +(1+2) = 3$
તેથી,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$ હોવાથી:
$Q = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$10$ વડે ગુણતા,$10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
આપેલ $10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & x \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જ્યારે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$-x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ એક ઉકેલ છે કારણ કે $1^3 + 1 - 2 = 0$.
$x^3 + x - 2$ ને $(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$ મળે છે.
$x^2 + x + 2 = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$x$ ની એકમાત્ર વાસ્તવિક કિંમત $x = 1$ છે.

(C) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક માટે,$A^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 5^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$B = A^3 = \begin{bmatrix} 3^3 & 0 & 0 \\ 0 & 5^3 & 0 \\ 0 & 0 & 4^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 125 & 0 \\ 0 & 0 & 64 \end{bmatrix}$ મળે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $D^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \frac{1}{d_3})$ થાય.
આમ,$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{27} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{125} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{64} \end{bmatrix}$ મળે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપણને શ્રેણિકો $A, B, C$ આપેલા છે. આપણે પદાવલિ $X = \left(\left(\left((A B C)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિકના પરિવર્તિત (transpose) અને વ્યસ્ત (inverse) ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $(P Q)^{-1} = Q^{-1} P^{-1}$,$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$,અને $(P^T)^T = P$.
પ્રથમ,$(A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$.
ત્યારબાદ,$((A B C)^{-1})^T = (C^{-1} B^{-1} A^{-1})^T = (A^{-1})^T (B^{-1})^T (C^{-1})^T = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1}$.
આગળ,$(((A B C)^{-1})^T)^{-1} = ((A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1})^{-1} = ((C^T)^{-1})^{-1} ((B^T)^{-1})^{-1} ((A^T)^{-1})^{-1} = C^T B^T A^T$.
અંતે,$X = (C^T B^T A^T)^T = (A^T)^T (B^T)^T (C^T)^T = A B C$.
હવે,$AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$(AB)C$ ની ગણતરી કરીએ:
$(AB)C = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}64 & 39 & 28 \\ 29 & 16 & 11 \\ 11 & 2 & 5\end{array}\right]$.

(B) $n$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નીચેના વિધાનો સમાન છે:
$1$. $A$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
$2$. એવો શ્રેણિક $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $AB = I_n$.
$3$. એવો શ્રેણિક $C$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $CA = I_n$.
જો $AB = I_3$ હોય,તો જમણી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા $A = I_3 B^{-1}$ મળે,જે સૂચવે છે કે $B = A^{-1}$.
તે જ રીતે,જો $CA = I_3$ હોય,તો $C = A^{-1}$.
આમ,$B = C = A^{-1}$.
ત્રણેય વિધાનો સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$M^2 = M \times M$ ની ગણતરી કરો:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
હવે,$4M = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
અંતે,$M^2 - 4M = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 5I$.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right]$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow 2R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$.
અહીં રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં $2$ શૂન્યતર હાર હોવાથી,$A$ નો ક્રમ (Rank) $2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $a, b \in R-\{0\}$,આપણે બ્લોક શ્રેણિક પર હાર પ્રક્રિયાઓ કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ બ્લોક હારને બીજી બ્લોક હારમાંથી બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$M \sim \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 - a I_2 & b I_2 - b I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) એ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હારની સંખ્યા છે.
અહીં,પ્રથમ બ્લોક હાર $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ છે,જે શૂન્ય નથી કારણ કે $a \neq 0$.
બીજી બ્લોક હાર એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
આમ,શ્રેણિકનો ક્રમ એ $a I_2$ ના ક્રમ જેટલો છે,જે $2$ છે.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક ગણીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(3 \times 2 - 0 \times 1) - 4(2 \times 2 - 0 \times 0) + (-1)(2 \times 1 - 3 \times 0)$
$|A| = 1(6 - 0) - 4(4 - 0) - 1(2 - 0)$
$|A| = 6 - 16 - 2 = -12$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક અસામાન્ય (non-singular) છે.
$n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક માટે,જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,તો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $n$ થાય છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $3$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x-3 & 2(x^2-9) & 3(x^3-27) \\ x-5 & 2(x^2-25) & 4(x^3-125) \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારમાંથી $(x-3)$ અને બીજી હારમાંથી $(x-5)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = (x-3)(x-5) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2(x+3) & 3(x^2+3x+9) \\ 1 & 2(x+5) & 4(x^2+5x+25) \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$.
આ પદાવલિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $f(3) = 0$ અને $f(5) = 0$ થાય છે.
હવે $f(1)f(3) + f(3)f(5) + f(5)f(1)$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$f(1)(0) + (0)(0) + (0)f(1) = 0$.
કારણ કે $f(3) = 0$ છે,તેથી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય $f(3)$ થાય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ k-4 & 2k-9 & 3k-16 \\ k-8 & 2k-27 & 3k-64 \end{array}\right|=0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ -2 & -6 & -12 \\ -6 & -24 & -60 \end{array}\right|=0$.
$R_2$ માંથી $-2$ અને $R_3$ માંથી $-6$ સામાન્ય લેતા:
$(-2) \times (-6) \left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=0$.
$12 \left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(k-2)(30-24) - (2k-3)(10-6) + (3k-4)(4-3) = 0$.
$(k-2)(6) - (2k-3)(4) + (3k-4)(1) = 0$.
$6k - 12 - 8k + 12 + 3k - 4 = 0$.
$k - 4 = 0 \implies k = 4$.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.
પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ કરતા,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
$C_1(1) = (\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 - (\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4(\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(2) = (\cos \theta + \sec \theta)^2 - (\cos \theta - \sec \theta)^2 = 4(\cos \theta)(\sec \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(3) = (\tan \theta + \cot \theta)^2 - (\tan \theta - \cot \theta)^2 = 4(\tan \theta)(\cot \theta) = 4(1) = 4$.
હવે,નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 4 & (\sin \theta-\operatorname{cosec} \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\cos \theta-\sec \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\tan \theta-\cot \theta)^2 & 2020 \end{array}\right|$ છે.
અહીં પ્રથમ સ્તંભ $C_1$ અને ત્રીજો સ્તંભ $C_3$ પ્રમાણસર હોવાથી (ખાસ કરીને,$C_3 = 505 \times C_1$),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = D_1 \times D_2$ છે.
પ્રથમ,$D_1 = \left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right|$ નું સાદું રૂપ આપો.
$\log_a b^n = n \log_a b$ અને $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$D_1 = \left|\begin{array}{cc}6 \log _5 3 & \log _3 5 \\ 3 \log _5 3 & \log _3 5\end{array}\right| = (\log _5 3)(\log _3 5) \left|\begin{array}{cc}6 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| = 1 \times (6 - 3) = 3$.
હવે,$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ નું સાદું રૂપ આપો.
$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \frac{1}{3} \log _3 5 \\ 2 \log _5 3 & 2 \log _5 3\end{array}\right| = (\log _3 5)(\log _5 3) \left|\begin{array}{cc}1 & 1/3 \\ 2 & 2\end{array}\right| = 1 \times (2 - 2/3) = 4/3$.
આમ,$E = 3 \times \frac{4}{3} = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(d)$ એ $(\log _3 5) \times (\log _5 81) = (\log _3 5) \times (4 \log _5 3) = 4 \times 1 = 4$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}bc & b+c & 1 \\ ca & c+a & 1 \\ ab & a+b & 1\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c(a-b) & a-b & 0 \\ b(a-c) & a-c & 0\end{array}\right|$.
$R_2$ માંથી $(a-b)$ અને $R_3$ માંથી $(a-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(a-c) \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c & 1 & 0 \\ b & 1 & 0\end{array}\right|$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a-b)(a-c) \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c & 1 & 0 \\ b-c & 0 & 0\end{array}\right|$.
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a-b)(a-c) \cdot 1 \cdot [0 - (b-c)] = (a-b)(a-c)(-(b-c)) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) - \cos(x+a+b) & \sin(x+b+c) - \sin(x+a+b) & 0 \\ \cos(x+c+a) - \cos(x+a+b) & \sin(x+c+a) - \sin(x+a+b) & 0 \end{array} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 10 \cdot [(\cos(x+b+c) - \cos(x+a+b))(\sin(x+c+a) - \sin(x+a+b)) - (\sin(x+b+c) - \sin(x+a+b))(\cos(x+c+a) - \cos(x+a+b))]$.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,કૌંસની અંદરનું પદ $\sin((x+c+a) - (x+b+c)) = \sin(a-b)$ માં સરળ બને છે.
આમ,$f(x) = 10 \sin(a-b)$,જે $x$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.
કારણ કે $f(x)$ અચળ છે,તેથી $f(2019) = f(2020) = k$.
તેથી,$f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)} = k^k - k^k = 0$.

(A) આપેલ છે $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$M$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$M^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$M^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. તેથી,$M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|N| = (1 \times 2) - (0 \times 0) = 2$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{adj}(N) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$.
હવે,$N M^{10} N^{-1}$ ની ગણતરી કરતા:
$N M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$(N M^{10}) N^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -4 & b & 6 \\ 0 & -3 & -b \end{vmatrix} = 0$
$2(-b^2 + 18) - 5(4b - 0) + 1(12 - 0) = 0$
$-2b^2 + 36 - 20b + 12 = 0$
$-2b^2 - 20b + 48 = 0$
$b^2 + 10b - 24 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(b + 12)(b - 2) = 0$. તેથી $b = -12$ અને $b = 2$ મળે છે.
$b = 2$ માટે તપાસતા: સિસ્ટમ અસંગત બને છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
$b = -12$ માટે તપાસતા: સિસ્ટમ અસંગત બને છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
આ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગુણાકાર $(-12) \times (2) = -24$ થાય છે.