AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે ચોથા ચરણમાં છેદબિંદુ $(\alpha, -\alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$.
આ બિંદુ બંને રેખાઓ $4ax + 2ay + c = 0$ અને $5bx + 2by + d = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
પ્રથમ રેખા માટે: $4a(\alpha) + 2a(-\alpha) + c = 0$ $\Rightarrow 2a\alpha + c = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{c}{2a}$.
બીજી રેખા માટે: $5b(\alpha) + 2b(-\alpha) + d = 0$ $\Rightarrow 3b\alpha + d = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{d}{3b}$.
$\alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{c}{2a} = -\frac{d}{3b}$.
ગુણાકાર કરતા $3bc = 2ad$ મળે,જેને $3bc - 2ad = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(A) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p = 4$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
રેખા $x + y = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $135^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉગમબિંદુથી રેખા $L$ પરનો લંબ $x + y = 0$ સાથે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\alpha = 135^o \pm 60^o$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 135^o - 60^o = 75^o$.
$\cos 75^o = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt 2}$ અને $\sin 75^o = \frac{\sqrt 3 + 1}{2\sqrt 2}$.
સમીકરણ $(\sqrt 3 - 1)x + (\sqrt 3 + 1)y = 8\sqrt 2$ મળે છે.

(D) અમે $\log a + \log b = \log (ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\log (\cosh 3 + \sinh 3) + \log (\cosh 3 - \sinh 3) = \log ((\cosh 3 + \sinh 3)(\cosh 3 - \sinh 3))$
$= \log (\cosh^2 3 - \sinh^2 3)$
હાયપરબોલિક વિધેયો માટે નિત્યસમ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= \log (1)$
$= 0$

(A) આપેલ અસમતા: $16(2^x) > 16^{-1/x}$ \\
$16 = 2^4$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $2^4 \cdot 2^x > (2^4)^{-1/x}$ \\
$2^{x+4} > 2^{-4/x}$ \\
આધાર $2 > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા સાચી છે: $x + 4 > -4/x$ \\
$x + 4 + 4/x > 0$ \\
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x} > 0$ \\
$\frac{(x+2)^2}{x} > 0$ \\
$x \neq -2$ માટે $(x+2)^2 > 0$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી છે જ્યારે $x > 0$ હોય. \\
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{x \in R: x > 0\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $4+11x-3x^2 > 0$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$3x^2 - 11x - 4 < 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 12x + x - 4 < 0$
$3x(x - 4) + 1(x - 4) < 0$
$(3x + 1)(x - 4) < 0$
જ્યાં ગુણાકાર ઋણ હોય તેવો અંતરાલ શોધવા માટે,શૂન્યો શોધીએ: $x = -\frac{1}{3}$ અને $x = 4$.
અંતરાલો તપાસતા:
$x < -\frac{1}{3}$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$-\frac{1}{3} < x < 4$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$x > 4$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in \left(-\frac{1}{3}, 4\right)$ છે.

(B) આપેલ છે $\frac{17x-2}{12x^2-x-20}=\frac{A}{ax+5}+\frac{B}{3x+b} \dots (i)$
છેદનું અવયવીકરણ કરતા: $12x^2-x-20 = (4x+5)(3x-4)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{17x-2}{(4x+5)(3x-4)} = \frac{P}{4x+5} + \frac{Q}{3x-4}$.
$17x-2 = P(3x-4) + Q(4x+5) = x(3P+4Q) + (-4P+5Q)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $3P+4Q = 17$ અને $-4P+5Q = -2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $P=3, Q=2$.
આમ,$\frac{17x-2}{12x^2-x-20} = \frac{3}{4x+5} + \frac{2}{3x-4}$.
$\frac{A}{ax+5} + \frac{B}{3x+b}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=3, a=4, B=2, b=-4$ મળે છે.
તેથી $a \cdot A + b \cdot B = (4)(3) + (-4)(2) = 12 - 8 = 4$.

(A) બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{6 x^3+7 x^2-14 x+11}{6 x^3+x^2-10 x+3} = 1 + \frac{6 x^2-4 x+8}{6 x^3+x^2-10 x+3}$.
છેદના અવયવો પાડતા: $6 x^3+x^2-10 x+3 = (x-1)(3 x-1)(2 x+3)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{6 x^2-4 x+8}{(x-1)(3 x-1)(2 x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{3 x-1} + \frac{C}{2 x+3}$.
અચળાંકો શોધતા: $A=1, B=-3, C=2$.
આમ,પદાવલિ $1 + \frac{1}{x-1} - \frac{3}{3 x-1} + \frac{2}{2 x+3}$ બને છે.
$a+\frac{b}{x+p}+\frac{c}{q x+3}+\frac{d}{3 x+p}$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=1, p=-1, c=2, q=2, d=-3$ મળે છે.
અંતે,$\frac{a+b}{p+q} = \frac{1+1}{-1+2} = \frac{2}{1} = 2$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha+\beta=a$ અને $\alpha\beta=b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2-2b$.
તેમજ,$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) = a(a^2-2b-b) = a(a^2-3b) = a^3-3ab$.
બીજ $p$ અને $q$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બીજ $p = a^2-2b$ અને $q = a^3-3ab$ છે.
અચળ પદ $C$ એ બીજનો ગુણાકાર છે: $C = pq = (a^2-2b)(a^3-3ab)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $C = a^2(a^3) - a^2(3ab) - 2b(a^3) + 2b(3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2$.

(C) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3+bx^2+cx+1=0$ ના બીજ $-1, -1, \alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \times (-1) \times (-1) = -\frac{1}{a}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -\frac{1}{a}$.
બીજનો સરવાળો $(-1) + (-1) + \alpha = -\frac{b}{a}$ થાય.
$\alpha = -\frac{1}{a}$ મૂકતા,આપણને $-2 - \frac{1}{a} = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
$-a$ વડે ગુણતા,$2a + 1 = b$ મળે,તેથી $b = 2a + 1$.
કારણ કે $-1$ એ બીજ છે,$a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-a + b - c + 1 = 0$ થાય છે.
$b = 2a + 1$ મૂકતા,આપણને $-a + (2a + 1) - c + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a + 2 - c = 0$ થાય,તેથી $c = a + 2$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $2x^2-4x+3=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -(\frac{-4}{2}) = 2$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{3}{2}$.
$\alpha^2+\beta^2$ ની ગણતરી:
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2)^2 - 2(\frac{3}{2}) = 4-3 = 1$.
$\alpha^4+\beta^4$ ની ગણતરી:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 = \alpha^4+\beta^4+2\alpha^2\beta^2$.
$1^2 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{3}{2})^2$.
$1 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{9}{4}) = \alpha^4+\beta^4 + \frac{9}{2}$.
$\alpha^4+\beta^4 = 1 - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2(\alpha^4+\beta^4)+3(\alpha^2+\beta^2)}{\alpha+\beta} = \frac{2(-\frac{7}{2}) + 3(1)}{2} = \frac{-7+3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

(C) આપેલ છે: $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
નવા બીજ $S_1 = \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $S_2 = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$ છે.
જરૂરી સમીકરણ $(x-S_1)(x-S_2) = 0$ છે.
$(x - (-\frac{b}{a}))(x - (-\frac{b}{c})) = 0$.
$(x + \frac{b}{a})(x + \frac{b}{c}) = 0$.
$ac$ વડે ગુણતા: $(ax+b)(cx+b) = 0$.
$acx^2 + abx + bcx + b^2 = 0$.
$acx^2 + (ab+bc)x + b^2 = 0$.

(D) આપેલ છે: $\frac{x^4-6 x^3+9 x^2+5 x-20}{x^2-x-2}=f(x)+\frac{a}{x+p}+\frac{b}{x+q}$ ... $(i)$
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{x^4-6 x^3+9 x^2+5 x-20}{x^2-x-2} = (x^2-5x+6) + \frac{x-8}{x^2-x-2}$
અહીં $x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$ છે,તેથી આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા:
$\frac{x-8}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2}$
સરખામણી કરતા,$f(x) = x^2-5x+6$,$a=3$,$b=-2$ મળે.
તેથી $2(a+b) = 2(3-2) = 2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$f(4) = 16-20+6 = 2$.
આમ,$2(a+b) = f(4)$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^2+y+1=0$ છે.
$a$ અને $b$ બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ $a+b = -1$ અને $ab = 1$ થાય.
આપણે $a^4+b^4+a^{-1}b^{-1} = a^4+b^4+\frac{1}{ab}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (-1)^2 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^4+b^4+\frac{1}{ab} = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $x^2+x-6$ એ $P(x) = 2x^3+x^2+ax+b$ નો અવયવ છે.
ભાજકનું અવયવીકરણ કરતા: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
તેથી,$P(-3) = 0$ અને $P(2) = 0$.
$x = -3$ માટે: $2(-3)^3 + (-3)^2 + a(-3) + b = 0$ $\Rightarrow -54 + 9 - 3a + b = 0$ $\Rightarrow -3a + b = 45$ ... $(i)$.
$x = 2$ માટે: $2(2)^3 + (2)^2 + a(2) + b = 0$ $\Rightarrow 16 + 4 + 2a + b = 0$ $\Rightarrow 2a + b = -20$ ... $(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $-5a = 65 \Rightarrow a = -13$.
$a = -13$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $b = 6$.
અંતે,$6a + 13b = 6(-13) + 13(6) = -78 + 78 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $c$ અને $d$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$c+d = -a$ અને $cd = b$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $x^2+(4c+a)x+(b+2ac+4c^2)=0$ ધ્યાનમાં લો.
$a = -(c+d)$ અને $b = cd$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+(4c-(c+d))x+(cd+2c(-(c+d))+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(cd-2c^2-2cd+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(2c^2-cd)=0$
$x^2+(3c-d)x+c(2c-d)=0$
આને અવયવ પાડતા $(x+c)(x+2c-d)=0$ મળે છે.
આમ,બીજ $x = -c$ અને $x = d-2c$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$d-2c$ એ એક બીજ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2^{6x} - 3(2^{3x+2}) + 32 = 0$
કારણ કે $2^{3x+2} = 2^{3x} \times 2^2 = 4 \times 2^{3x}$,તેથી સમીકરણ:
$(2^{3x})^2 - 3(4 \times 2^{3x}) + 32 = 0$
$(2^{3x})^2 - 12(2^{3x}) + 32 = 0$
ધારો કે $y = 2^{3x}$. તો સમીકરણ $y^2 - 12y + 32 = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા: $(y - 4)(y - 8) = 0$.
તેથી,$y = 4$ અથવા $y = 8$.
કિસ્સો $1$: $2^{3x} = 4 = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
કિસ્સો $2$: $2^{3x} = 8 = 2^3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
આપેલ છે કે $\beta < 1$,તેથી $\beta = \frac{2}{3}$ અને $\alpha = 1$.
તેથી,$2\alpha + 3\beta = 2(1) + 3(\frac{2}{3}) = 2 + 2 = 4$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
ધારો કે નવા સમીકરણ $x^3+(2b-a^2)x^2+(b^2-2ac)x-c^2=0$ ના બીજ $\alpha', \beta', \gamma'$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\alpha'+\beta'+\gamma' = -(2b-a^2) = a^2-2b = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2$.
$\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha' = b^2-2ac = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta\gamma) = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$.
$\alpha'\beta'\gamma' = c^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \alpha^2\beta^2\gamma^2$.
આમ,બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \frac{4 + 5i}{2}$ $\Rightarrow 2x = 4 + 5i$ $\Rightarrow 2x - 4 = 5i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2x - 4)^2 = (5i)^2$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 16 = -25$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 41 = 0$.
હવે,બહુપદી $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ ને $4x^2 - 16x + 41$ વડે ભાગતા:
$4x^3 - 4x^2 - 7x + 127 = x(4x^2 - 16x + 41) + 12x^2 - 48x + 127$
$= x(0) + 3(4x^2 - 16x) + 127$
$= 3(-41) + 127$
$= -123 + 127 = 4$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3-6x^2+3x+10=0$ ના બીજો $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ બાકીના બે બીજોની સરેરાશ છે,તેથી $\beta = \frac{\alpha+\gamma}{2} \Rightarrow \alpha+\gamma = 2\beta$.
બીજોના સરવાળા પરથી,$\alpha+\beta+\gamma = 6$.
$\alpha+\gamma = 2\beta$ મૂકતા,આપણને $2\beta+\beta = 6$ $\Rightarrow 3\beta = 6$ $\Rightarrow \beta = 2$ મળે છે.
$\beta=2$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(2)^3 - 6(2)^2 + 3(2) + 10 = 8 - 24 + 6 + 10 = 0$.
હવે,બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા: $(x-2)(x^2-4x-5) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2)(x-5)(x+1) = 0$.
બીજો $2, 5, -1$ છે.
બીજોની ચતુર્થ ઘાતનો સરવાળો $2^4 + 5^4 + (-1)^4 = 16 + 625 + 1 = 642$ થાય છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \left[ \binom{n}{1} x^{n-1} y + \binom{n}{3} x^{n-3} y^3 + \binom{n}{5} x^{n-5} y^5 \right]$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $x=3, y=\sqrt{2}, n=6$.
$(3+\sqrt{2})^6 - (3-\sqrt{2})^6 = 2 \left[ \binom{6}{1} (3)^5 (\sqrt{2}) + \binom{6}{3} (3)^3 (\sqrt{2})^3 + \binom{6}{5} (3)^1 (\sqrt{2})^5 \right]$.
$= 2 \left[ 6 \cdot 243 \cdot \sqrt{2} + 20 \cdot 27 \cdot 2\sqrt{2} + 6 \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \right]$.
$= 2 \left[ 1458\sqrt{2} + 1080\sqrt{2} + 72\sqrt{2} \right]$.
$= 2 \left[ 2610\sqrt{2} \right] = 5220\sqrt{2}$.
$a+b\sqrt{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=0$ અને $b=5220$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 0 + 5220 = 5220$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $cx^2+bx+a=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha = \operatorname{cosec} \theta$ અને $\beta = \cot \theta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{c}$ અને $\alpha \beta = \frac{a}{c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ થાય છે $\alpha^2 - \beta^2 = 1$.
આને $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,તેથી $\alpha - \beta = \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1 = \left(-\frac{b}{c}\right) \left(\pm \sqrt{\frac{b^2}{c^2} - \frac{4a}{c}}\right)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 = \frac{b^2}{c^2} \left(\frac{b^2 - 4ac}{c^2}\right)$.
$1 = \frac{b^2(b^2 - 4ac)}{c^4}$.
તેથી,$b^2(b^2 - 4ac) = c^4$.

(B) ધારો કે $6x^3-11x^2+6x-1=0$ ના બીજ $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ છે. તેઓ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોવાથી,$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
આપેલ સમીકરણમાં $x = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ધ્યાનમાં લો.
$x=1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $(x-1)$ એક અવયવ છે.
$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ મળે છે.
બીજ $1, 2, 3$ છે.
$2-1 = 1$ અને $3-2 = 1$ હોવાથી,બીજ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{k}{kx+3}+\frac{3}{3x-k}=\frac{12x+5}{(kx+3)(3x-k)}$
બંને બાજુ $(kx+3)(3x-k)$ વડે ગુણતા:
$k(3x-k) + 3(kx+3) = 12x+5$
$3kx - k^2 + 3kx + 9 = 12x + 5$
$6kx - k^2 + 9 = 12x + 5$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$6k = 12 \Rightarrow k = 2$
$k=2$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $kx^2-7x+3=0$ માં મૂકતા:
$2x^2-7x+3=0$
$2x^2-6x-x+3=0$
$2x(x-3)-1(x-3)=0$
$(2x-1)(x-3)=0$
આમ,બીજ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = 3$ મળે છે.
બંને $\frac{1}{2}$ અને $3$ સંમેય સંખ્યાઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+7x^3+18x^2+20x+8=0$ છે.
અમે નાના પૂર્ણાંક બીજ ચકાસીને બહુપદીના અવયવો પાડી શકીએ છીએ.
$x = -2$ માટે: $(-2)^4 + 7(-2)^3 + 18(-2)^2 + 20(-2) + 8 = 16 - 56 + 72 - 40 + 8 = 0$.
તેથી,$(x+2)$ એક અવયવ છે.
$x^4+7x^3+18x^2+20x+8$ ને $(x+2)$ વડે ભાગતા $x^3+5x^2+8x+4$ મળે છે.
$x^3+5x^2+8x+4$ માટે ફરીથી $x = -2$ ચકાસતા: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$.
તેથી,$(x+2)$ ફરીથી એક અવયવ છે.
$x^3+5x^2+8x+4$ ને $(x+2)$ વડે ભાગતા $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $(x+2)^3(x+1) = 0$ છે.
પુનરાવર્તિત બીજ $-2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x^3 + 5x^2 - 4x - 12 = 0$
ઘન સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા:
$2x^3 + 4x^2 + x^2 + 2x - 6x - 12 = 0$
$2x^2(x + 2) + x(x + 2) - 6(x + 2) = 0$
$(2x^2 + x - 6)(x + 2) = 0$
$(2x - 3)(x + 2)(x + 2) = 0$
બીજ $x = -2, -2, \frac{3}{2}$ છે.
ભિન્ન બીજ $-2$ અને $\frac{3}{2}$ છે.
આ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ:
$(x + 2)(x - \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
$2x^2 + x - 6 = 0$
અચળ પદ $-6$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3-3x^2+2x-1=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = -(-3)/1 = 3$ થાય.
નવા સમીકરણ $x^3-x-1=0$ ના બીજ $(\alpha-K), (\beta-K), (\gamma-K)$ છે.
સમીકરણ $x^3+0x^2-x-1=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $0$ છે.
તેથી,$(\alpha-K)+(\beta-K)+(\gamma-K) = 0$.
$(\alpha+\beta+\gamma) - 3K = 0$.
બીજનો સરવાળો મૂકતા: $3 - 3K = 0$.
$3K = 3$,જે આપણને $K = 1$ આપે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = y = \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+7}$.
$y(x^2-4x+7) = x^2-2x+3$
$(y-1)x^2 + (2-4y)x + (7y-3) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$:
$(2-4y)^2 - 4(y-1)(7y-3) \geq 0$
$-3y^2 + 6y - 2 \geq 0$
$3y^2 - 6y + 2 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+2x+5}{x^2+4x+10}$.
$x^2+4x+10 = (x+2)^2+6 > 0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$y(x^2+4x+10) = x^2+2x+5$
$(y-1)x^2 + (4y-2)x + (10y-5) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (4y-2)^2 - 4(y-1)(10y-5) \geq 0$
$4(2y-1)^2 - 4(y-1)(5)(2y-1) \geq 0$
$4(2y-1) [ (2y-1) - 5(y-1) ] \geq 0$
$4(2y-1)(4-3y) \geq 0$
$(2y-1)(3y-4) \leq 0$.
આમ,$\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{4}{3}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 4kx + 3 = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac < 0$
$(4k)^2 - 4(3)(3) < 0$
$16k^2 - 36 < 0$
$16k^2 < 36$
$k^2 < 9/4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|k| < 3/2$ મળે.
તેથી,$-3/2 < k < 3/2$.
આમ,$k$ એ $(-3/2, 3/2)$ અંતરાલમાં છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $16x^2-10x+1=0$
અવયવીકરણ કરતા: $16x^2-8x-2x+1=0$
$\Rightarrow 8x(2x-1)-1(2x-1)=0$
$\Rightarrow (8x-1)(2x-1)=0$
બીજ $x_1 = \frac{1}{8}$ અને $x_2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બીજના ચતુર્થ ઘાતનો સરવાળો:
$(\frac{1}{8})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4096} + \frac{1}{16}$
$= \frac{1 + 256}{4096} = \frac{257}{4096}$

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+2(k+2)x+6k+7=0$ ના બીજ સમાન હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = b^2 - 4ac = 0$.
$ax^2+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$b=2(k+2)$,અને $c=6k+7$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$[2(k+2)]^2 - 4(1)(6k+7) = 0$
$4(k^2+4k+4) - 24k - 28 = 0$
$4k^2 + 16k + 16 - 24k - 28 = 0$
$4k^2 - 8k - 12 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$k^2 - 2k - 3 = 0$
$(k-3)(k+1) = 0$
આમ,$k_1 = 3$ અને $k_2 = -1$.
તેથી,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.

(D) આપેલ છે કે $(3+2 \sqrt{2}) \cdot (3-2 \sqrt{2}) = 9-8 = 1$.
તેથી,$(3-2 \sqrt{2}) = \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$.
ધારો કે $y = (3+2 \sqrt{2})^{x^2-4}$.
સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = 6$ બને છે,જે $y^2 - 6y + 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y$ માટે ઉકેલતા,$y = 3 \pm 2 \sqrt{2}$.
કિસ્સો $1$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3+2 \sqrt{2}$ $\Rightarrow x^2-4 = 1$ $\Rightarrow x^2 = 5$.
કિસ્સો $2$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3-2 \sqrt{2} = (3+2 \sqrt{2})^{-1}$ $\Rightarrow x^2-4 = -1$ $\Rightarrow x^2 = 3$.
જો $x^2 = 5$ હોય,તો $x^4+x^2+5 = (5)^2 + 5 + 5 = 35$.
જો $x^2 = 3$ હોય,તો $x^4+x^2+5 = (3)^2 + 3 + 5 = 17$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $35$ હોવાથી,સાચો જવાબ $35$ છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ $\alpha, \alpha, \alpha, \beta$ છે.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$3\alpha + \beta = -a$
$3\alpha^2 + 3\alpha\beta = b$
$\alpha^3 + 3\alpha^2\beta = -c$
આ સમીકરણોને ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{6c-ab}{3a^2-8b}$

(B) આપેલ સમીકરણ $f(x) = ax^3 + ax^2 + bx + c = 0$ છે.
કારણ કે $x = -1$ એ બે વાર પુનરાવર્તિત બીજ છે,તેથી $f(-1) = 0$ અને $f'(-1) = 0$.
પ્રથમ,$f(-1) = a(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -a + a - b + c = 0$,જે સૂચવે છે કે $c = b$.
આગળ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3ax^2 + 2ax + b$.
$f'(-1) = 0$ લેતા: $3a(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3a - 2a + b = a + b = 0$.
આનાથી $a = -b$ મળે છે.
ગુણોત્તરમાં આ કિંમતો મૂકતા: $a:b:c = (-b):b:b = -1:1:1$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^3+bx+c=0$ ના બીજ $2\alpha, \alpha, \beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,બીજનો સરવાળો $2\alpha + \alpha + \beta = 0$ થાય (કારણ કે $x^2$ નો સહગુણક $0$ છે),તેથી $\beta = -3\alpha$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $(2\alpha)(\alpha) + (\alpha)(\beta) + (2\alpha)(\beta) = \frac{b}{a}$ થાય.
$\beta = -3\alpha$ મૂકતા: $2\alpha^2 + \alpha(-3\alpha) + 2\alpha(-3\alpha) = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha^2 - 6\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow -7\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha^2 = -\frac{b}{7a}$.
બીજનો ગુણાકાર $(2\alpha)(\alpha)(\beta) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2(-3\alpha) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow -6\alpha^3 = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow \alpha^3 = \frac{c}{6a}$.
ગુણાકારના સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha^3)^2 = (\frac{c}{6a})^2 \Rightarrow \alpha^6 = \frac{c^2}{36a^2}$.
સરવાળાના સમીકરણની બંને બાજુ ઘન કરતા: $(\alpha^2)^3 = (-\frac{b}{7a})^3 \Rightarrow \alpha^6 = -\frac{b^3}{343a^3}$.
$\alpha^6$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{c^2}{36a^2} = -\frac{b^3}{343a^3}$ $\Rightarrow 343ac^2 = -36b^3$ $\Rightarrow 36b^3 + 343ac^2 = 0$.

(C) ધારો કે $y = \sqrt{x^2-1}$. પદાવલિ $(x+y)^8 + (x-y)^8$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(x+y)^8 + (x-y)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k$.
$y^2 = x^2-1$ મુકતા,પદો આ મુજબ મળે:
$2 [ \binom{8}{0} x^8 + \binom{8}{2} x^6(x^2-1) + \binom{8}{4} x^4(x^2-1)^2 + \binom{8}{6} x^2(x^2-1)^3 + \binom{8}{8} (x^2-1)^4 ]$.
$x$ ની મહત્તમ ઘાત $x^8$ છે.
$x^8$ નો સહગુણક $2 [ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} ]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$.
તેથી,સરવાળો $2 \times 2^{8-1} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256$ થાય.

(C) આપેલ પદ $\frac{3x^3-x^2-2x+17}{x^4+x^2-12}$ છે.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^4+x^2-12 = (x^2-3)(x^2+4)$.
ધારો કે $\frac{3x^3-x^2-2x+17}{(x^2-3)(x^2+4)} = \frac{x+2}{x^2-3} + \frac{Ax+B}{x^2+4}$.
બંને બાજુથી $\frac{x+2}{x^2-3}$ બાદ કરતા:
$\frac{Ax+B}{x^2+4} = \frac{3x^3-x^2-2x+17 - (x+2)(x^2+4)}{(x^2-3)(x^2+4)}$.
અંશની ગણતરી: $3x^3-x^2-2x+17 - (x^3+2x^2+4x+8) = 2x^3-3x^2-6x+9$.
અંશના અવયવ પાડતા: $x^2(2x-3) - 3(2x-3) = (x^2-3)(2x-3)$.
આમ,$\frac{Ax+B}{x^2+4} = \frac{(x^2-3)(2x-3)}{(x^2-3)(x^2+4)} = \frac{2x-3}{x^2+4}$.
તેથી,બીજો આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{2x-3}{x^2+4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-ax^2+bx-c=0$ $(i)$.
ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $(i)$ ના બીજો છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma=a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b$
$\alpha\beta\gamma=c$
આપેલ છે કે બીજોના ઘનનો સરવાળો શૂન્ય છે: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0$.
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0-3c = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$.
$-3c = a(a^2-3b)$.
$-3c = a^3-3ab$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $a^3+3c = 3ab$.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+0x^2+2x+5=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -5$
આપણે $\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોવાથી,$\beta+\gamma = -\alpha$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2} = \sum \frac{-\alpha}{\alpha^2} = \sum -\frac{1}{\alpha} = -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{2}{-5}\right) = \frac{2}{5}$

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
આપણે $\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2}$ શોધવાનું છે.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{\beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2 + \alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2} = \frac{(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)}{(\alpha\beta\gamma)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{b^2 - 2(c)(a)}{c^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ એ $x^3+3x+2=0$ ના બીજ છે.
ન્યુટનના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,ધારો કે $S_n = \alpha_1^n + \alpha_2^n + \alpha_3^n$.
સમીકરણ $x^3 + 0x^2 + 3x + 2 = 0$ છે.
$n=1$ માટે: $S_1 + 0 = 0 \Rightarrow S_1 = 0$.
$n=2$ માટે: $S_2 + 0(S_1) + 3(2) = 0 \Rightarrow S_2 = -6$.
$n=3$ માટે: $S_3 + 0(S_2) + 3(S_1) + 2(3) = 0 \Rightarrow S_3 = -6$.
$n=4$ માટે: $S_4 + 0(S_3) + 3(S_2) + 2(S_1) = 0$ $\Rightarrow S_4 + 3(-6) + 2(0) = 0$ $\Rightarrow S_4 = 18$.
$n=5$ માટે: $S_5 + 0(S_4) + 3(S_3) + 2(S_2) = 0 \Rightarrow S_5 + 3(-6) + 2(-6) = 0$.
$S_5 - 18 - 12 = 0 \Rightarrow S_5 = 30$.

(C) ધારો કે $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3} i$. સહગુણકો પૂર્ણાંક હોવાથી,તેનો અનુબદ્ધ $\bar{\alpha} = \sqrt{2}-\sqrt{3} i$ પણ બીજ હશે. વધુમાં,$\sqrt{2}$ અસંમેય હોવાથી,$-\sqrt{2}+\sqrt{3} i$ અને $-\sqrt{2}-\sqrt{3} i$ પણ બીજ હશે.
બહુપદી નીચે મુજબ મળે:
$(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3} i)) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$((x-\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x-\sqrt{2})+\sqrt{3} i) \times ((x+\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x+\sqrt{2})+\sqrt{3} i) = 0$
$((x-\sqrt{2})^2 + 3)((x+\sqrt{2})^2 + 3) = 0$
$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 5)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 5) = 0$
$(x^2+5)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = 0$
$x^4 + 10x^2 + 25 - 8x^2 = 0$
$x^4 + 2x^2 + 25 = 0$

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+3x^2+4x+5=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -5$
ધારો કે $A=1+4\alpha, B=1+4\beta, C=1+4\gamma$.
બીજનો સરવાળો: $A+B+C = 3+4(\alpha+\beta+\gamma) = 3+4(-3) = -9$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $AB+BC+CA = 3+8(\alpha+\beta+\gamma) + 16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3+8(-3)+16(4) = 43$.
બીજનો ગુણાકાર: $ABC = 1+4(\alpha+\beta+\gamma)+16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+64(\alpha\beta\gamma) = 1-12+64-320 = -267$.
માગેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - (A+B+C)x^2 + (AB+BC+CA)x - ABC = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^3+9x^2+43x+267=0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $z = (1+i \sqrt{3})^{3/4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંકર સંખ્યા $w = z^n$ માટે,જ્યાં $n = p/q$ હોય,ત્યારે $q$ મૂલ્યોનો ગુણાકાર $(-1)^{q-1} (z^p)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $r = |1+i\sqrt{3}| = 2$ છે.
તેથી,$r^3 = 2^3 = 8$ થાય.
ગણતરી કરતા,ચાર મૂલ્યોનો ગુણાકાર $8$ મળે છે.

(C) આપેલ બીજ $z_1 = 2 - 3i$,$z_2 = i$ અને $z_3 = \bar{z}_1 = 2 + 3i$ છે.
ઘાત સમીકરણ $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(z - i)(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = 0$.
છેલ્લા બે અવયવોનો ગુણાકાર કરતા: $(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = z^2 - 4z + 13$.
હવે,$(z - i)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $(z - i)(z^2 - 4z + 13) = z^3 + (-4 - i)z^2 + (13 + 4i)z - 13i = 0$.
$z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$b = -4 - i$,$c = 13 + 4i$,અને $d = -13i$ મળે છે.
તેથી,$b + c + d = 9 - 10i$.

(A) આપેલ છે $z = (1-i)^3(x+i)$.
પ્રથમ,$(1-i)^3$ નું વિસ્તરણ કરો:
$(1-i)^3 = 1^3 - 3(1)^2(i) + 3(1)(i)^2 - i^3 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.
હવે,આને $z$ ના સમીકરણમાં મૂકો:
$z = (-2 - 2i)(x + i) = -2x - 2i - 2ix - 2i^2 = -2x - 2i - 2ix + 2 = (2 - 2x) - i(2 + 2x)$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તે માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2 - 2x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$.
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$-(2 + 2x_2) = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
તેથી,$x_1 x_2 = 1 \times (-1) = -1$.

(A) આપેલ છે: $z_1 = 2 + 5i$,$z_2 = -1 + 4i$,$z_3 = i$.
પ્રથમ,અંશની ગણતરી કરો: $z_1 - z_3 = (2 + 5i) - i = 2 + 4i$.
ત્યારબાદ,છેદની ગણતરી કરો: $z_3 - z_2 = i - (-1 + 4i) = i + 1 - 4i = 1 - 3i$.
હવે,અપૂર્ણાંક લો: $\frac{z_1 - z_3}{z_3 - z_2} = \frac{2 + 4i}{1 - 3i}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 3i)$ વડે ગુણતા:
$\frac{(2 + 4i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{2 + 6i + 4i + 12i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{2 + 10i - 12}{1 + 9} = \frac{-10 + 10i}{10} = -1 + i$.
છેલ્લે,માનાંક શોધો: $\left| -1 + i \right| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(D) ધારો કે $z=x+iy$, તો $z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i(2xy)$.
$C_1$ માટે, $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2=4$ $(i)$.
$C_2$ માટે, $\operatorname{Im}(z^2)=2xy=4 \Rightarrow xy=2$ $(ii)$.
$(ii)$ પરથી, $y=\frac{2}{x}$. $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 4 \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 4$.
ધારો કે $t=x^2$ $(t > 0)$: $t - \frac{4}{t} = 4 \Rightarrow t^2 - 4t - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$t=x^2 > 0$ હોવાથી, $t = 2+2\sqrt{2}$ મળે.
આમ, $x^2 = 2+2\sqrt{2}$, જે $x$ ની બે વાસ્તવિક કિંમતો આપે છે $(x = \pm \sqrt{2+2\sqrt{2}})$.
દરેક $x$ માટે, $y = \frac{2}{x}$ એ $y$ ની એક અનન્ય વાસ્તવિક કિંમત આપે છે.
તેથી, $2$ સામાન્ય બિંદુઓ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x, y) = (x+y)(x \omega + y \omega^2)(x \omega^2 + y \omega)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x \omega + y \omega^2)(x \omega^2 + y \omega) = x^2 \omega^3 + xy \omega^2 + xy \omega^4 + y^2 \omega^3 = x^2 + xy(\omega^2 + \omega) + y^2 = x^2 - xy + y^2$ (કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$).
તેથી,$f(x, y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
$x = 2$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$f(2, 3) = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.

(C) ધારો કે $z$ નો ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $A$ છે.
તેથી $z \cdot A = 1$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{1}{z}$.
અંશ અને છેદને $z$ ના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z}$ વડે ગુણતા:
$A = \frac{1 \cdot \bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
કારણ કે $z \cdot \bar{z} = |z|^2$,તેથી ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અસામાન્ય (singular) છે જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $ad - bc = 0$,જેનો અર્થ છે $ad = bc$.
$a, b, c, d \in \{-1, 1\}$ હોવાથી,$ad$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ અને $-1$ છે.
$ad = 1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે અને $ad = -1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે.
તે જ રીતે,$bc = 1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે અને $bc = -1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે.
$ad = bc$ માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $ad = 1$ અને $bc = 1$. રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 = 4$ છે.
કિસ્સો $2$: $ad = -1$ અને $bc = -1$. રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 = 4$ છે.
અસામાન્ય શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $= 4 + 4 = 8$ છે.

(C) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $56x + 4y + 9z = 2016$ છે.
$2016$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{56x}{2016} + \frac{4y}{2016} + \frac{9z}{2016} = 1$
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$
સમતલ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓના યામ $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ અને $C(0, 0, 224)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(C) ધારો કે $P = (x, y, z)$. આપેલ છે કે $A = (2, 3, 4)$ અને $B = (-2, 3, 4)$.
$PA + PB = 4$. અંતર $AB = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-3)^2 + (4-4)^2} = 4$ હોવાથી,$PA + PB = AB$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
રેખાખંડ $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,$y=3$ અને $z=4$ થાય.
આમ,બિંદુપથ $(y-3)^2 + (z-4)^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે $y^2+z^2-6y-8z+25=0$ છે.

(A) આપેલ મૂળ સમીકરણ: $2x^2 + 3y^2 - z^2 - 8x + 18y + 2z + 9 = 0$. \\ અક્ષોનું બિંદુ $(h, k, l) = (2, -3, 1)$ પર સ્થળાંતર કરવામાં આવે છે. \\ રૂપાંતર સમીકરણો $x = X + 2$,$y = Y - 3$,અને $z = Z + 1$ છે. \\ આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: \\ $2(X + 2)^2 + 3(Y - 3)^2 - (Z + 1)^2 - 8(X + 2) + 18(Y - 3) + 2(Z + 1) + 9 = 0$ \\ પદોનું વિસ્તરણ કરતા: \\ $2(X^2 + 4X + 4) + 3(Y^2 - 6Y + 9) - (Z^2 + 2Z + 1) - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ $2X^2 + 8X + 8 + 3Y^2 - 18Y + 27 - Z^2 - 2Z - 1 - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ સમાન પદોને ભેગા કરતા: \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 + (8X - 8X) + (-18Y + 18Y) + (-2Z + 2Z) + (8 + 27 - 1 - 16 - 54 + 2 + 9) = 0$ \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 - 25 = 0$ \\ તેથી,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 = 25$ છે.

(A) આપેલ છે કે વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\beta=f(\alpha)$.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણ $p\alpha+m\beta+n=0$ માં મૂકતા,બિંદુ $(\alpha, \beta)$ રેખા પર આવેલું છે.
વક્ર $y=f(x)$ નો $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f^{\prime}(\alpha)$ છે.
રેખા $px+my+n=0$ નો ઢાળ $-\frac{p}{m}$ છે ($m \neq 0$ ધારીને).
રેખા સ્પર્શક બને તે માટે,બંને ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ: $f^{\prime}(\alpha) = -\frac{p}{m}$,જેનો અર્થ છે $mf^{\prime}(\alpha) = -p$,અથવા $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$.
તેથી,જ્યારે $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$ હોય,ત્યારે રેખા $(\alpha, \beta)$ આગળ વક્રનો સ્પર્શક બને છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=\frac{1+3x^2}{3+x^2}$ છે.
$y=1$ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે:
$\frac{1+3x^2}{3+x^2} = 1$ $\Rightarrow 1+3x^2 = 3+x^2$ $\Rightarrow 2x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(-1, 1)$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{16x}{(3+x^2)^2}$.
$x=1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 1$. અભિલંબનો ઢાળ $m_1 = -1$ થશે.
$(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y+x = 2$ છે.
$x=-1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = -1$. અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = 1$ થશે.
$(-1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-x = 2$ છે.
$y+x=2$ અને $y-x=2$ ઉકેલતા,$x=0$ અને $y=2$ મળે.
આમ,$(\alpha, \beta) = (0, 2)$.
તેથી,$3\alpha+2\beta = 3(0) + 2(2) = 4$.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(-2, 3, 4)$ છે.
અંતર $AB = 4$ છે.
$PA + PB = 4$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
તેથી,$y = 3$ અને $z = 4$ થાય.
આથી,$(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $y^2 + z^2 - 6y - 8z + 25 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^2+5$ છે.
બિંદુ $A(-2,9)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ:
$y' = 2x$.
$x = -2$ આગળ,ઢાળ $m = 2(-2) = -4$.
$A$ પરનો સ્પર્શક જીવા $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,જીવા $BC$ નો ઢાળ પણ $-4$ થશે.
ધારો કે $C$ ના યામ $(x', y')$ છે,જ્યાં $y' = x'^2 + 5$.
જીવા $BC$ નો ઢાળ $\frac{y' - 6}{x' - 1} = -4$.
$y' - 6 = -4(x' - 1)$ $\Rightarrow y' - 6 = -4x' + 4$ $\Rightarrow y' = -4x' + 10$.
$y' = x'^2 + 5$ મુકતા:
$x'^2 + 5 = -4x' + 10 \Rightarrow x'^2 + 4x' - 5 = 0$.
$(x' + 5)(x' - 1) = 0$.
તેથી,$x' = -5$ અથવા $x' = 1$.
જો $x' = 1$ હોય,તો $C$ એ $(1, 6)$ છે,જે બિંદુ $B$ છે.
જો $x' = -5$ હોય,તો $y' = (-5)^2 + 5 = 30$.
આમ,$C$ ના યામ $(-5, 30)$ છે.

(C) વિકલ્પ $C$ માટે,$f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{|x-1|+2(x-1)^2}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}$
$x > 1$ માટે,$|x-1| = x-1$,તેથી $f(x) = \frac{x-1}{(x-1)+2(x-1)^2} = \frac{1}{1+2(x-1)} = \frac{1}{2x-1}$.
$x < 1$ માટે,$|x-1| = -(x-1)$,તેથી $f(x) = \frac{x-1}{-(x-1)+2(x-1)^2} = \frac{1}{-1+2(x-1)} = \frac{1}{2x-3}$.
હવે,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2x-1} = \frac{1}{2(1)-1} = 1$.
અને $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2x-3} = \frac{1}{2(1)-3} = -1$.
કારણ કે $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)$,તેથી $x=1$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x=1$ આગળ અસતત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 6+x & 36+x^2 \\ 0 & x-3 & 3x^2-27 \\ 0 & 2x-4 & 8x^2-32 \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 1 \cdot [(x-3)(8x^2-32) - (2x-4)(3x^2-27)]$
$f(x) = (8x^3 - 32x - 24x^2 + 96) - (6x^3 - 54x - 12x^2 + 108)$
$f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = 2(x-1)(x-2)(x-3)$.
હવે,$f(-x) = 2(-x-1)(-x-2)(-x-3) = -2(x+1)(x+2)(x+3)$.
લક્ષની કિંમત શોધતા:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{f(-x)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)(x-2)(x-3)}{-2(x+1)(x+2)(x+3)}$.
$x=1$ મૂકતા:
$= \frac{2(1-1)(1-2)(1-3)}{-2(1+1)(1+2)(1+3)} = \frac{0}{-48} = 0$.

(D) $f(x)$ એ $x = -1$ આગળ જમણી બાજુથી સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = f(-1)$ હોવું જોઈએ.
લક્ષ $\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\cos^{-1} x}}{\sqrt{x+1}}$ માટે $L'H\hat{o}pital$ નો નિયમ વાપરતા:
$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1} x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x} \sqrt{1+x}}$
$= \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}(-1)} \sqrt{1-(-1)}} = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.
આપેલ છે કે $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$,તેથી આપણે સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા $2\pi = \lambda \pi$ મળે,તેથી $\lambda = 2$.

(B) આપણે લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આપેલ છે કે $f(0) = 0$,તેથી પદાવલિ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right) - 0}{x}$ બને છે.
$x$ ને રદ કરીને પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા (કારણ કે $x \rightarrow 0$ ત્યારે $x \neq 0$):
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right)$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $x^2 \rightarrow 0^+$,તેથી $\log x^2 \rightarrow -\infty$.
વિધેય $\sin(\log x^2)$ એ $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે.
તેથી,લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(\log x^2)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
પરિણામે,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} e^{-k/n}$ છે.
આ $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n(b-a)} \frac{1}{n} f(a + k/n)$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે.
અહીં,$f(x) = e^{-x}$,$a=0$,અને $b=2$ છે.
તેથી,સંકલન $\int_0^2 e^{-x} dx$ થાય.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_0^2 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^2$.
$= -e^{-2} - (-e^0) = 1 - e^{-2}$.

(C) ધારો કે $m = \frac{1}{n}$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $m \rightarrow 0$.
$f(x) = \lim _{m \rightarrow 0} \frac{1}{m^2} \left(x^m - x^{\frac{m}{m+1}}\right)$
$f(x) = \lim _{m \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{m}{m+1}}}{m^2} \left(x^{m - \frac{m}{m+1}} - 1\right) = \lim _{m \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{m}{m+1}}}{m^2} \left(x^{\frac{m^2}{m+1}} - 1\right)$
$f(x) = \lim _{m \rightarrow 0} x^{\frac{m}{m+1}} \cdot \left(\frac{x^{\frac{m^2}{m+1}} - 1}{\frac{m^2}{m+1}}\right) \cdot \frac{1}{m+1}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{a^t - 1}{t} = \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = x^0 \cdot \log x \cdot \frac{1}{0+1} = \log x$
હવે,$\int x f(x) d x = \int x \log x d x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$.
ધારો કે $u = \log x$ અને $v = x$.
$\int x \log x d x = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} d x$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} d x = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$.

(C) વિધેય $f(x) = |x-3| + |x+5|$ એ $x = 3$ અને $x = -5$ સિવાય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે.
આમ,ગણ $A = \mathbb{R} \setminus \{-5, 3\}$ છે.
આપણે એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ શોધી રહ્યા છીએ કે જે $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ અને $x \notin A$ હોય.
$x \notin A$ નો અર્થ છે કે $x \in \{-5, 3\}$.
અંતરાલો તપાસતા:
$x = -5$ એ $(-\infty, -3)$ માં છે.
$x = 3$ એ $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ માં નથી.
તેથી,માત્ર $-5$ એ એવી સંખ્યા છે જે આપેલ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,આવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જે $A = [a_{ij}]$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
દરેક ઘટક $a_{ij} = \frac{1}{3}|i - 5j|$ ની ગણતરી કરીએ:
$a_{11} = \frac{1}{3}|1 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-4| = \frac{4}{3}$
$a_{12} = \frac{1}{3}|1 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-9| = 3$
$a_{13} = \frac{1}{3}|1 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-14| = \frac{14}{3}$
$a_{21} = \frac{1}{3}|2 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-3| = 1$
$a_{22} = \frac{1}{3}|2 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-8| = \frac{8}{3}$
$a_{23} = \frac{1}{3}|2 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-13| = \frac{13}{3}$
$a_{31} = \frac{1}{3}|3 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-2| = \frac{2}{3}$
$a_{32} = \frac{1}{3}|3 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-7| = \frac{7}{3}$
$a_{33} = \frac{1}{3}|3 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-12| = 4$
તેથી,શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & 3 & \frac{14}{3} \\ 1 & \frac{8}{3} & \frac{13}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & 4\end{array}\right]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ સંમિત હોવાથી,$A^T = A$ થાય.
$A$ અને $A^T$ ના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & y \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & x & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $y = 1$ અને $x = 1$ મળે છે.
હવે,ચકાસો કે શું આ કિંમતો માટે $A$ સિંગ્યુલર છે,એટલે કે $|A| = 0$.
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4 - 1) - 2(4 - 1) + 1(2 - 2) = 1(3) - 2(3) + 0 = 3 - 6 = -3$.
અહીં $|A| = -3 \neq 0$ હોવાથી,એવી કોઈ $(x, y)$ ની કિંમતો નથી જે બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,આવી ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(C) $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(A) \cdot A = \operatorname{det}(A) \cdot I_n$ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A) \cdot A) = \operatorname{det}(\operatorname{det}(A) \cdot I_n)$ મળે છે.
$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n \cdot \operatorname{det}(I_n)$ છે.
$\operatorname{det}(I_n) = 1$ હોવાથી,આ સમીકરણ $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n$ માં ફેરવાય છે.
$n=3$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^3$ થાય.
બંને બાજુ $\operatorname{det}(A)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે,તેથી $\operatorname{det}(A) \neq 0$),આપણને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^2$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2A + 3B - 5C = 0$ છે.
$C$ માટે ગોઠવતા,આપણને $5C = 2A + 3B$ મળે છે.
શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કિંમત મૂકતા:
$5C = 2\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -3\end{array}\right] + 3\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 3\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4 & 2 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 4 & -6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cccc}6 & 3 & 0 & 9 \\ 3 & -3 & 6 & 9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4+6 & 2+3 & 6+0 & -2+9 \\ 2+3 & -4-3 & 4+6 & -6+9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}10 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & -7 & 10 & 3\end{array}\right]$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $C = \left[\begin{array}{cccc}10/5 & 5/5 & 6/5 & 7/5 \\ 5/5 & -7/5 & 10/5 & 3/5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 6/5 & 7/5 \\ 1 & -7/5 & 2 & 3/5\end{array}\right]$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $X^T B^T = A^T$. બંને બાજુ પરિવર્તિત (transpose) લેતા,$(X^T B^T)^T = (A^T)^T$,જેનો અર્થ થાય છે $BX = A$.
પ્રથમ,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|B| = 3(0 - (-8)) - 5(0 - 48) - 7(0 - (-6)) = 3(8) - 5(-48) - 7(6) = 24 + 240 - 42 = 222$.
$B$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$X = B^{-1}A = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix}$.
$X = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 0 - 42 + 264 \\ 0 - 252 - 192 \\ 0 - 198 - 24 \end{bmatrix} = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 222 \\ -444 \\ -222 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$D = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$D^T A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix} = (1)(0) + (-2)(-6) + (-1)(8) = 0 + 12 - 8 = 4$.

(C) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix}$
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
આનાથી અદિશ સમીકરણ મળે છે: $x(2x+4) + 4(x-2) + 4(-1) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 + 4x + 4x - 8 - 4 = 0$
સાદું રૂપ આપતા: $2x^2 + 8x - 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + 4x - 6 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = x \cos \theta - y \sin \theta$ $(i)$
$\beta = x \sin \theta + y \cos \theta$ $(ii)$
$\gamma = z$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (x \cos \theta - y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta + y \cos \theta)^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = x^2 + y^2$
હવે,પદ $\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma}$ ધ્યાનમાં લો.
$x^2+y^2 = \alpha^2+\beta^2$ અને $z = \gamma$ મૂકતા:
$\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\gamma}$
કારણ કે $\gamma = z$,તેથી આ $\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{z}$ બરાબર છે.

(C) આપેલ છે કે $[x \ y \ z] A^{T} = B^{T}$. બંને બાજુ પરિવર્તિત (transpose) લેતા,આપણને મળે $([x \ y \ z] A^{T})^{T} = (B^{T})^{T}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $A [x \ y \ z]^{T} = B$.
શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$.
આનાથી સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$x + 5y + 3z = -1$ ...$(i)$
$2x + 4y = -2 \implies x + 2y = -1 \implies x = -1 - 2y$ ...(ii)
$3x - y - 5z = 4$ ...(iii)
સમીકરણ $(i)$ માં $x = -1 - 2y$ મૂકતા:
$(-1 - 2y) + 5y + 3z = -1 \implies 3y + 3z = 0 \implies y = -z$.
સમીકરણ (iii) માં $x = -1 - 2y$ અને $y = -z$ મૂકતા:
$3(-1 - 2(-z)) - (-z) - 5z = 4$
$3(-1 + 2z) + z - 5z = 4$
$-3 + 6z - 4z = 4 \implies 2z = 7 \implies z = 3.5$.
તેથી $y = -3.5$ અને $x = -1 - 2(-3.5) = -1 + 7 = 6$.
આમ,$x + y + z = 6 - 3.5 + 3.5 = 6$.

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix}$ છે.
બંને શ્રેણિક $A$ અને $B$ નો ક્રમ $2 \times 3$ છે.
તેથી,$A^T$ અને $B^T$ નો ક્રમ $3 \times 2$ થાય.
હવે,$A^T B B^T A$ નો ક્રમ તપાસીએ:
$A^T B B^T A$ નો ક્રમ = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
તે જ રીતે,$B^T A A^T B$ નો ક્રમ = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
આમ,બંને પદ $A^T B B^T A$ અને $B^T A A^T B$ નો ક્રમ $3 \times 3$ હોવાથી,તેમના ક્રમ સમાન છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી તેના વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય છે,એટલે કે $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.
ધારો કે $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$ અને $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3) = 3I$,જ્યાં $I$ એકમ શ્રેણિક છે.
શ્રેણિકનો ટ્રેસ (Trace) એ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે.
કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,વિકર્ણ શ્રેણિક $D$ અને $A$ નો ગુણાકાર $(DA)$ એવો શ્રેણિક આપે છે જેના વિકર્ણ ઘટકો $d_{ii} \times a_{ii}$ થાય. કારણ કે $a_{ii} = 0$,તેથી $DA$ ના વિકર્ણ ઘટકો $0$ થાય છે.
આમ,$\operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,$\operatorname{diag}(D_1 A) = (0, 0, 0)$,અને $\operatorname{diag}(D_2 A) = (0, 0, 0)$.
હવે,ટ્રેસની અંદરની પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $M = D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A$.
$M$ ના વિકર્ણ ઘટકો $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) + \operatorname{diag}(D_1 A) + \operatorname{diag}(D_2 A) + \operatorname{diag}(D_1 D_2 A)$ છે.
કારણ કે $\operatorname{diag}(D_1 A) = \operatorname{diag}(D_2 A) = \operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,તેથી $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) = (3a, 3b, 3c)$.
તેથી,$\operatorname{Tr}(M) = 3a + 3b + 3c$.
આપણે $\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (a+3) + (b+3) + (c+3) = a + b + c + 9$.
અંતે,$\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (3a + 3b + 3c) - (a + b + c + 9) = 2a + 2b + 2c - 9$.

(B) આપેલ છે $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને અનન્ય રીતે $A = P + Q$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંમિત શ્રેણિક $P$ માટે $P^T = P$,અને કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $Q$ માટે $Q^T = -Q$ થાય છે.
તેથી,$P^T - Q^T = P - (-Q) = P + Q = A$.
આમ,$P^T - Q^T = A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $M$ માટે,$M^{-1} = \frac{\operatorname{Adj}(M)}{\operatorname{det}(M)}$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Adj}(M) = \operatorname{det}(M) \cdot M^{-1}$.
આપેલ પદાવલિ $((\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)) B^{-1} A^{-1}$ છે.
કારણ કે $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$,આપણે પદાવલિને $\operatorname{det}(AB) \cdot (B^{-1} A^{-1})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
શ્રેણિકના વ્યસ્તના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
તેથી,પદાવલિ $\operatorname{det}(AB) \cdot (AB)^{-1}$ બને છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,આ $\operatorname{Adj}(AB)$ ની બરાબર છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $S$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધીએ. નિશ્ચાયક $|S| = 0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0) = 1 + 1 = 2$.
$S$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક $\text{adj}(S) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
આમ,$S^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
આગળ,આપણે $SA$ ની ગણતરી કરીએ: $SA = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b+c & c-a & b-a \\ c-b & c+a & a-b \\ b-c & a-c & a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S$.
તેથી,$SAS^{-1} = (SA)S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} I = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ છે.
ઘટકો $3, 7, 6$ એ ત્રીજી સ્તંભ $(C_3)$ માં છે.
ઘટક $3$ $(A_{13})$ નો સહઅવયવ $a$: $a = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (16 - (-2)) = 18$.
ઘટક $7$ $(A_{23})$ નો સહઅવયવ $b$: $b = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -(4 - 4) = 0$.
ઘટક $6$ $(A_{33})$ નો સહઅવયવ $c$: $c = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 8) = -9$.
આપણે $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 18 & 0 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 8 \end{bmatrix}$ બરાબર છે.
$= (18 \times 4) + (0 \times 11) + (-9 \times 8) = 72 + 0 - 72 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $BAC = I$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને $(BAC)^{-1} = I^{-1} = I$ મળે છે.
ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C^{-1}A^{-1}B^{-1} = I$ મળે છે.
ડાબી બાજુ $C$ અને જમણી બાજુ $B$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1} = CB$ મળે છે.
હવે,ગુણાકાર $CB$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (-1)(2)+(0)(1)+(1)(-1) & (-1)(6)+(0)(0)+(1)(1) & (-1)(4)+(0)(1)+(1)(-1) \\ (1)(2)+(1)(1)+(3)(-1) & (1)(6)+(1)(0)+(3)(1) & (1)(4)+(1)(1)+(3)(-1) \\ (2)(2)+(0)(1)+(2)(-1) & (2)(6)+(0)(0)+(2)(1) & (2)(4)+(0)(1)+(2)(-1) \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (-\cot \theta)(-\cot \theta) - (\operatorname{cosec} \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = \cot^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta = -1$ શોધો.
હવે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = -1 \begin{bmatrix} -\cot \theta & -\operatorname{cosec} \theta \\ -\operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix}$ મેળવો.
$A^{-1} = A$ માટે:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\cot \theta = -\cot \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2 \cot \theta = 0$,તેથી $\cot \theta = 0$. આ $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે.
$A^{-1} + A = O$ માટે:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \operatorname{cosec} \theta \\ 2 \operatorname{cosec} \theta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આનો અર્થ છે $2 \operatorname{cosec} \theta = 0$,જેનો અર્થ છે $\operatorname{cosec} \theta = 0$. કારણ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં. તેથી,આવી $\theta_2$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda(1-\lambda) - 1] = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda + \lambda^2 - 1] = 0$
$-\lambda + \lambda^2 - 1 + \lambda^2 - \lambda^3 + \lambda = 0$
$\lambda^3 - 2\lambda^2 + 1 = 0$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$A^3 - 2A^2 + I = 0$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^3 A^{-1} - 2A^2 A^{-1} + I A^{-1} = 0$
$A^2 - 2A + A^{-1} = 0$
$A^{-1} = 2A - A^2$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $\det(A) = 0$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$\det(A) = 1(x - 1) - 1(1 - x) + x(1 - x^2) = 0$
$x - 1 - 1 + x + x - x^3 = 0$
$-x^3 + 3x - 2 = 0$
$x^3 - 3x + 2 = 0$
ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$
$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$
$(x - 1)^2(x + 2) = 0$
$x$ ના મૂલ્યો $1$ અને $-2$ મળે છે.
$x$ ના ભિન્ન મૂલ્યો $1$ અને $-2$ છે.
આ ભિન્ન મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + (-2) = -1$ થાય છે.

(C) શ્રેણિક $P$ નો ક્રમ $m \times n$ છે.
શ્રેણિક $P$ નો શ્રેણીક (rank),જેને $\rho$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેના પરિમાણોના ન્યૂનતમ મૂલ્યથી વધી શકતો નથી.
તેથી,$\rho \leq \min(m, n)$ ...$(i)$
વ્યાખ્યા મુજબ,શ્રેણિકનો શ્રેણીક એ સૌથી મોટા અસામાન્ય (non-singular) ઉપશ્રેણિકનો ક્રમ છે.
કારણ કે $k$ ક્રમનો અસામાન્ય ઉપશ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી શ્રેણીક $\rho$ એ ઓછામાં ઓછો $k$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\rho \geq k$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને જોડતા,આપણને મળે છે:
$k \leq \rho \leq \min(m, n)$.

(A) શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક એ સૌથી મોટા અસામાન્ય ન હોય તેવા (non-singular) ઉપ-શ્રેણિકની કક્ષા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $k$ કક્ષાના તમામ ઉપ-શ્રેણિકો અસામાન્ય (singular) છે,તેથી નિશ્ચાયક $\rho$ એ $k$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ,એટલે કે $\rho < k$ ... $(i)$.
કારણ કે $r$ કક્ષાનો ઓછામાં ઓછો એક અસામાન્ય ન હોય તેવો (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી નિશ્ચાયક $\rho$ એ ઓછામાં ઓછો $r$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \leq \rho$ ... (ii).
અસમતાઓ $(i)$ અને (ii) ને જોડતા,આપણને $r \leq \rho < k$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લેતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$.
$R_2 \rightarrow -\frac{1}{3}R_2$ અને $R_3 \rightarrow -\frac{1}{2}R_3$ લેતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લેતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $2$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8 \end{array}\right]$.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ લેતા:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,$R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$ લેતા:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right]$.
$R_3$ અને $R_4$ ની અદલાબદલી કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $3$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A=\left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$,અને $C=\left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$ છે.
શ્રેણિકોના વર્ગની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & (-i)^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$B^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$C^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
વર્ગોનો સરવાળો:
$A^2+B^2+C^2 = (-I) + (-I) + (-I) = -3I = \left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right]$.
હવે,$3 A^2 B^2 C^2$ ની ગણતરી કરતા:
$3 A^2 B^2 C^2 = 3(-I)(-I)(-I) = 3(-I)^3 = 3(-I) = -3I$.
આમ,$A^2+B^2+C^2 = -3I$ અને $3 A^2 B^2 C^2 = -3I$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $A^2+B^2+C^2 = 3 A^2 B^2 C^2$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 3x^2+x+3 & 2x^2-x+4 & 7x^2+8x+5 \\ 5x^2+3x+2 & 4x^2-2x-1 & 7x^2+5x+8 \\ 3x^2+2x+5 & 4x^2-x-2 & 3x^2+8x+7 \end{bmatrix} = Px^2+Qx+R$.
શ્રેણિક $R$ શોધવા માટે,આપણે આપેલ પદાવલિમાં $x=0$ મૂકીએ:
$R = \begin{bmatrix} 3(0)^2+0+3 & 2(0)^2-0+4 & 7(0)^2+8(0)+5 \\ 5(0)^2+3(0)+2 & 4(0)^2-2(0)-1 & 7(0)^2+5(0)+8 \\ 3(0)^2+2(0)+5 & 4(0)^2-0-2 & 3(0)^2+8(0)+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & -1 & 8 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $R$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det R = 3((-1)(7) - (8)(-2)) - 4((2)(7) - (8)(5)) + 5((2)(-2) - (-1)(5))$
$\det R = 3(-7 + 16) - 4(14 - 40) + 5(-4 + 5)$
$\det R = 3(9) - 4(-26) + 5(1)$
$\det R = 27 + 104 + 5 = 136$.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX=B$ માં આ રીતે લખી શકાય: $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ છે: $\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 3 & -1 & 2 & : & 1 \\ 2 & -2 & 3 & : & 2\end{array}\right]$
રો ઓપરેશન્સ $R_2 \rightarrow R_2-3R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-2R_1$ લાગુ પાડતા:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & -6 & 5 & : & -4\end{array}\right]$
$R_3 \rightarrow 7R_3-6R_2$ લાગુ પાડતા:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & 0 & 5 & : & 20\end{array}\right]$
કારણ કે $\operatorname{Rank}(A:B)=\operatorname{Rank}(A)=3$,સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ છે.
રો-એશેલોન સ્વરૂપ પરથી:
$5z=20 \Rightarrow z=4$
$-7y+5(4)=-8 \Rightarrow -7y=-28 \Rightarrow y=4$
$x+2(4)-4=3 \Rightarrow x+4=3 \Rightarrow x=-1$
તેથી,$\alpha=-1, \beta=4, \gamma=4$.
તેથી $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (-1)^2 + 4^2 + 4^2 = 1 + 16 + 16 = 33$.

(B) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right]$.
લાક્ષણિક સમીકરણ $|A-\lambda I|=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1 & 3 \\ 5 & 2-\lambda & 6 \\ -2 & -1 & -3-\lambda\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda)[(2-\lambda)(-3-\lambda) - (-6)] - 1[5(-3-\lambda) - (-12)] + 3[5(-1) - (-2)(2-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)[\lambda^2+\lambda-6+6] - 1[-15-5\lambda+12] + 3[-5+4-2\lambda] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2+\lambda) - 1(-5\lambda-3) + 3(-2\lambda-1) = 0$
$\lambda^2+\lambda-\lambda^3-\lambda^2 + 5\lambda+3 - 6\lambda-3 = 0$
$-\lambda^3 = 0 \Rightarrow \lambda^3 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી $A^3 = 0$.
કારણ કે $A^3 = 0$,તેથી $A^4 = A^3 \cdot A = 0$ અને $A^5 = A^3 \cdot A^2 = 0$.
તેથી,$A+A^3+A^4+A^5+3I = A + 0 + 0 + 0 + 3I = A + 3I$.
$A+3I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 6 \\ -2 & -1 & 0\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - x$ અને $g(x) = \sin^2 x$.
પ્રથમ,$g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
હવે,આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકો:
$f\left(g\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{1}{4} = \frac{1}{64} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 16}{64} = -\frac{15}{64}$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$. પ્રદેશ $a^2 - x^2 \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,તેથી $x \in [-|a|, |a|]$ ($x=0$ સિવાય).
$x \in (0, |a|]$ માટે,$f(x) = \frac{a}{b} + \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1}$.
ધારો કે $g(x) = \frac{a^2}{x^2} - 1$. જેમ $x$ એ $0$ થી $|a|$ સુધી વધે છે,તેમ $g(x)$ એ $\infty$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
આમ,$f(x)$ તેના પ્રદેશના અંતરાલો પર ચુસ્તપણે એકવિધ વિધેય છે.
વિધેય તેના પ્રદેશ પર ચુસ્તપણે એકવિધ હોવાથી,તે એક-એક છે.
વિસ્તાર માટે,જેમ $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to |a|$,$f(x) = \frac{a^2}{b|a|} = \frac{|a|}{b}$.
વિધેય તેના સહપ્રદેશમાં તમામ વાસ્તવિક કિંમતો આવરી લેતું હોવાથી,તે વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(A) આપેલ છે કે: $f(x) = \frac{2x+1}{3}$ ...$(i)$
વળી,$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$.
વિધેયની વ્યાખ્યામાં $\alpha$ મૂકતા:
$\frac{2\alpha+1}{3} = \frac{1}{\alpha}$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha = 3$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2\alpha^2 + 3\alpha - 2\alpha - 3 = 0$
$\Rightarrow \alpha(2\alpha + 3) - 1(2\alpha + 3) = 0$
$\Rightarrow (\alpha - 1)(2\alpha + 3) = 0$
આમ,$\alpha$ ની શક્ય કિંમતો $\alpha = 1$ અને $\alpha = -\frac{3}{2}$ છે.
$\alpha$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $1 + (-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $2^x+2^y=2$ છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક $y$ માટે $2^y > 0$ હોવાથી,$2-2^x > 0$ થવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $2^x < 2$.
બંને બાજુ $2$ આધારિત લઘુગણક લેતા,આપણને $x < 1$ મળે છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $x \in (-\infty, 1)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 3x-1, & x > 1 \\ x^2+1, & x \leq 1 \end{cases}$ છે.
$1$. પ્રદેશ $A$ એ તમામ શક્ય $x$ ની કિંમતોનો ગણ છે. વિધેય $x > 1$ અને $x \leq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$A = (-\infty, 1] \cup (1, \infty) = (-\infty, \infty) = R$.
$2$. વિસ્તાર $B$ શોધવા માટે,આપણે વિધેયના બે ભાગોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$x > 1$ માટે,$f(x) = 3x - 1$. જેમ $x \to 1^+$,$f(x) \to 2$. તેથી,$f(x) \in (2, \infty)$.
$x \leq 1$ માટે,$f(x) = x^2 + 1$. ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ પર મળે છે,જ્યાં $f(0) = 1$. જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$. તેથી,$f(x) \in [1, \infty)$.
$3$. વિસ્તાર $B$ એ આ અંતરાલોનો યોગગણ છે: $B = (2, \infty) \cup [1, \infty) = [1, \infty)$.
$4$. અંતે,$A - B = R - [1, \infty) = (-\infty, 1)$.

(C) આપેલ છે: $f(x) = x^3 - x$ અને $g(x) = \sin(2x)$.
આપણે $f(g(x)) > 0$ ઉકેલવાની જરૂર છે.
$f(g(x)) = (\sin 2x)^3 - \sin 2x > 0$.
અવયવ પાડતા: $\sin 2x (\sin^2 2x - 1) > 0$.
કારણ કે $\sin^2 2x - 1 = -\cos^2 2x$,તેથી: $-\sin 2x \cos^2 2x > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin 2x \cos^2 2x < 0$.
આ માટે,$\sin 2x < 0$ અને $\cos 2x \neq 0$ હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $x \in (0, 2\pi)$ માં,$2x \in (0, 4\pi)$.
$\sin 2x < 0$ જ્યારે $2x \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$,જેનો અર્થ છે $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
ઉપરાંત,$\cos 2x \neq 0$ એટલે કે $2x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,તેથી $x \neq \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આ બિંદુઓને અંતરાલમાંથી બાકાત રાખતા,આપણને $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ એ ઉકેલ ગણનો એક ભાગ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ છે.
વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ:
$9 - x^2 \geq 0$
$x^2 \leq 9$
$-3 \leq x \leq 3$
અહીં $x^2$ ની કિંમત $0$ થી $9$ ની વચ્ચે છે,તેથી $9 - x^2$ ની કિંમત $9 - 9 = 0$ થી $9 - 0 = 9$ ની વચ્ચે રહેશે.
તેથી,$\sqrt{9 - x^2}$ ની કિંમત $\sqrt{0}$ થી $\sqrt{9}$ એટલે કે $0$ થી $3$ ની વચ્ચે રહેશે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[0, 3]$ છે.

(C) $x > 3$ માટે,$f(x) = 4x - 1$. $x > 3$ હોવાથી,$4x > 12$,તેથી $4x - 1 > 11$. આમ,આ ભાગનો વિસ્તાર $(11, \infty)$ છે.
$-2 \leq x \leq 3$ માટે,$f(x) = x^2 - 2$. ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ આગળ મળે છે,$f(0) = -2$. મહત્તમ કિંમત $x = 3$ આગળ મળે છે,$f(3) = 7$. આમ,આ ભાગનો વિસ્તાર $[-2, 7]$ છે.
$x < -2$ માટે,$f(x) = 3x + 4$. $x < -2$ હોવાથી,$3x < -6$,તેથી $3x + 4 < -2$. આમ,આ ભાગનો વિસ્તાર $(-\infty, -2)$ છે.
આ અંતરાલોને જોડતા: $(-\infty, -2) \cup [-2, 7] \cup (11, \infty) = (-\infty, 7] \cup (11, \infty)$.
જેને $R - (7, 11]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(a) = \log \left| \frac{1-a}{1+a} \right|$.
આપણે $f\left( \frac{2a}{1+a^2} \right) > 0$ ઉકેલવા માંગીએ છીએ.
$x = \frac{2a}{1+a^2}$ મૂકતા,આપણને મળે $\log \left| \frac{1 - \frac{2a}{1+a^2}}{1 + \frac{2a}{1+a^2}} \right| > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\left| \frac{1+a^2-2a}{1+a^2+2a} \right| > 1$,જેનું સાદું રૂપ $\left| \frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} \right| > 1$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} > 1 \Rightarrow (1-a)^2 > (1+a)^2$.
$1 - 2a + a^2 > 1 + 2a + a^2$.
$-2a > 2a \Rightarrow 4a < 0 \Rightarrow a < 0$.
ઉપરાંત,આપણે પ્રદેશની શરતો $a \neq \pm 1$ અને $\frac{2a}{1+a^2} \neq \pm 1$ સંતોષવી જોઈએ.
$a < 0$ માટે,$a \neq -1$ ની શરત બાકાત રાખવી પડે.
આમ,ઉકેલ $a \in (-\infty, 0) - \{-1\}$ છે.