AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हम $L$-आकार की प्लेट को दो आयताकार भागों में विभाजित कर सकते हैं:
भाग $1$: $x=0$ से $x=1$ और $y=0$ से $y=2$ तक का आयत। इसका क्षेत्रफल $A_1 = 1 \times 2 = 2 \ m^2$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (0.5, 1)$ पर है।
भाग $2$: $x=1$ से $x=2$ और $y=0$ से $y=1$ तक का आयत। इसका क्षेत्रफल $A_2 = 1 \times 1 = 1 \ m^2$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (1.5, 0.5)$ पर है।
चूंकि प्लेट एक समान है,द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = 3 \ m^2$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $X_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(0.5) + 1(1.5)}{3} = \frac{1 + 1.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $Y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(1) + 1(0.5)}{3} = \frac{2 + 0.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{5}{6} \ m, \frac{5}{6} \ m\right)$ हैं।

(D) निकाय का द्रव्यमान केंद्र अपरिवर्तित रहने के लिए,द्रव्यमान केंद्र का कुल विस्थापन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए द्रव्यमान $m_A = 10 \ kg$,$m_B = 25 \ kg$,और $m_C = 15 \ kg$ हैं।
मान लीजिए विस्थापन $\Delta x_A$,$\Delta x_B$,और $\Delta x_C$ हैं।
दाहिनी ओर की दिशा को धनात्मक लेने पर:
ब्लॉक $A$ को $B$ की ओर (दाहिनी ओर) $2 \ m$ विस्थापित किया जाता है,इसलिए $\Delta x_A = +2 \ m$.
ब्लॉक $C$ को $B$ की ओर (बाईं ओर) $3 \ m$ विस्थापित किया जाता है,इसलिए $\Delta x_C = -3 \ m$.
मान लीजिए ब्लॉक $B$ को $\Delta x_B$ विस्थापित किया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र के अपरिवर्तित रहने की शर्त है:
$m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B + m_C \Delta x_C = 0$
मान रखने पर:
$(10 \ kg)(2 \ m) + (25 \ kg)(\Delta x_B) + (15 \ kg)(-3 \ m) = 0$
$20 + 25 \Delta x_B - 45 = 0$
$25 \Delta x_B - 25 = 0$
$25 \Delta x_B = 25$
$\Delta x_B = 1 \ m$
चूंकि परिणाम धनात्मक है,ब्लॉक $B$ को धनात्मक दिशा में $1 \ m$ विस्थापित किया जाना चाहिए,जो कि ब्लॉक $C$ की ओर है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग विस्फोट के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = M \vec{v} = 10 \ kg \times 5 \hat{i} \ m \ s^{-1} = 50 \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
माना कि पहले टुकड़े का द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$ है और उसका वेग $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m \ s^{-1}$ है।
दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान $m_2 = M - m_1 = 10 \ kg - 4 \ kg = 6 \ kg$ है।
माना कि दूसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}_2$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4 \times 10 \hat{i} + 6 \times \vec{v}_2 = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$ है।
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर:
$50 \hat{i} = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$.
$6 \vec{v}_2 = 10 \hat{i}$.
$\vec{v}_2 = \frac{10}{6} \hat{i} = 1.67 \hat{i} \ m \ s^{-1}$।

(D) मान लीजिए पहले गोले का द्रव्यमान $m_1$ है और दूसरे का $m_2$ है। चूंकि दोनों स्टील के गोले हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है। अतः,$m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
इसलिए,$m_1 \propto r_1^3$ और $m_2 \propto r_2^3$.
एक विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ दूसरा पिंड स्थिर है,पहले पिंड का अंतिम वेग $v_1'$ सूत्र $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $v_1' = \frac{7}{9} v_1$,अतः $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{7}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $9m_1 - 9m_2 = 7m_1 + 7m_2$.
$2m_1 = 16m_2 \implies m_1 = 8m_2$.
चूंकि $m \propto r^3$,इसलिए $r_1^3 = 8r_2^3$.
घनमूल लेने पर: $r_1 = 2r_2$.
$r_1 = 1.2 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $1.2 = 2r_2 \implies r_2 = 0.6 \ cm$.

(C) मान लीजिए कि दोनों पिंडों का द्रव्यमान $m$ है। पहले पिंड का प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ और दूसरे पिंड का प्रारंभिक वेग $u_2 = v/2$ है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$,जहाँ $v_1$ और $v_2$ अंतिम वेग हैं।
$v + v/2 = v_1 + v_2 \implies v_1 + v_2 = 1.5v$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = (v_2 - v_1) / (u_1 - u_2)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है $e = 0.5$,$u_1 = v$,और $u_2 = v/2$,इसलिए $0.5 = (v_2 - v_1) / (v - v/2)$.
$0.5 = (v_2 - v_1) / (0.5v) \implies v_2 - v_1 = 0.25v$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2v_2 = 1.75v \implies v_2 = 0.875v = (7/8)v$.
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $2v_1 = 1.25v \implies v_1 = 0.625v = (5/8)v$.
वेगों का अनुपात $v_1 : v_2 = (5/8)v : (7/8)v = 5:7$ है।

(B) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान वाले पिंड का प्रारंभिक वेग $v$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv + (2m)(0) = (m + 2m)v'$,जहाँ $v'$ अंतिम सामान्य वेग है।
$mv = 3mv' \implies v' = v/3$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(m + 2m)(v')^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) = \frac{1}{6}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3-1}{6}mv^2 = \frac{2}{6}mv^2 = \frac{1}{3}mv^2$ है।
खोई गई गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{1}{3} \times 2 = 2/3$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक ऊँचाई जहाँ से पिंड गिरता है,वह $H_0$ है।
जब कोई पिंड $H_0$ ऊँचाई से गिरता है,तो पहली टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v_0 = \sqrt{2gH_0}$ होता है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = e v_0$ हो जाता है और प्राप्त ऊँचाई $H_1 = e^2 H_0$ होती है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ हो जाता है और प्राप्त ऊँचाई $H_2 = e^4 H_0$ होती है।
यहाँ $e = 0.8 = 4/5$ दिया गया है।
दूसरी टक्कर के बाद की ऊँचाई और प्रारंभिक ऊँचाई का अनुपात $H_2 / H_0 = e^4$ है।
$e^4 = (0.8)^4 = (4/5)^4 = 256 / 625$ की गणना करने पर।
अतः,अनुपात $256: 625$ है।

(C) प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$ है।
पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $v_i = 16 \ m \ s^{-1}$ है।
टक्कर के बाद,गेंद विपरीत दिशा में समान गति से वापस आती है,इसलिए अंतिम वेग $v_f = -16 \ m \ s^{-1}$ है।
आवेग को संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
मान रखने पर: $J = 0.25 \ kg \times (-16 \ m \ s^{-1} - 16 \ m \ s^{-1})$.
$J = 0.25 \ kg \times (-32 \ m \ s^{-1}) = -8 \ kg \ m \ s^{-1}$.
अतः,लगाए गए आवेग का परिमाण $|J| = 8 \ kg \ m \ s^{-1}$ है।

(A) माना $M = 0.2 \ kg$ डिस्क का द्रव्यमान है और $m = 0.05 \ kg$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है।
माना $v$ प्रत्येक गोली की गति है।
चूंकि गोलियाँ समान गति से वापस उछलती हैं,इसलिए प्रत्येक गोली के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v) - m(-v) = 2mv$ है।
संवेग परिवर्तन की दर (गोलियों द्वारा डिस्क पर लगाया गया बल) $F = n \times \Delta p$ है,जहाँ $n = 10 \ s^{-1}$ प्रति सेकंड गोलियों की संख्या है।
अतः,$F = 10 \times 2mv = 20mv$.
डिस्क को तैरते रहने के लिए,इस बल को डिस्क के वजन को संतुलित करना चाहिए: $F = Mg$.
$20mv = Mg \implies 20 \times 0.05 \times v = 0.2 \times 10$.
$1 \times v = 2$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.

(B) प्रारंभिक संवेग $p_i = 24 \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
द्रव्यमान $m = 8 \ kg$ है।
प्रारंभिक वेग $v_i = \frac{p_i}{m} = \frac{24}{8} = 3 \ m \ s^{-1}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36 \ J$ है।
आवेग $J = F \times \Delta t = 24 \times 3 = 72 \ N \ s$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = J = p_f - p_i$ है।
अंतिम संवेग $p_f = p_i + J = 24 + 72 = 96 \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
अंतिम वेग $v_f = \frac{p_f}{m} = \frac{96}{8} = 12 \ m \ s^{-1}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (12)^2 = 4 \times 144 = 576 \ J$ है।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_f - K_i = 576 - 36 = 540 \ J$ है।

(C) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ है और उसका वेग $\vec{v}_1 = 20 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ है।
माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 3 \,kg$ है और उसका वेग $\vec{v}_2 = 10 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{i}) + 3(10 \hat{j})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{i} + 30 \hat{j}}{5} = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} \,m \,s^{-1}$।
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण है:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$।

(B) द्रव्यमान केंद्र का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
दिया गया है: $m_1 = 2 \,kg$,$\vec{v}_1 = 20 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ (उत्तर की ओर)।
$m_2 = 3 \,kg$,$\vec{v}_2 = 10 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ (पूर्व की ओर)।
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{j}) + 3(10 \hat{i})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{j} + 30 \hat{i}}{5} = 6 \hat{i} + 8 \hat{j} \,m \,s^{-1}$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$ है।

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के अनुसार होती है।
इस समस्या में,दो पिंड अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के कारण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,जो कि एक आंतरिक बल है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाह्य बल $F_{ext} = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य $(a_{cm} = 0)$ होता है।
चूंकि पिंड शुरू में विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm, initial} = 0$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है,इसलिए इसका वेग समय के साथ स्थिर रहता है।
अतः,किसी भी क्षण,जब पहला पिंड $v_0$ वेग प्राप्त कर लेता है,तब भी द्रव्यमान केंद्र का वेग $0$ ही रहेगा।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,जहाँ $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h = R/2$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = R/2$ रखने पर,हमें $g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{(4/9)g}} = \frac{3}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right) = \frac{3}{2}T$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है: $h = (\sqrt{2}-1)R$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + (\sqrt{2}-1)R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{R + \sqrt{2}R - R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{\sqrt{2}R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2$
$g' = g \times \frac{1}{2}$
$g' = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$।

(D) $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कारण किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{Gm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = 1 \ kg$ है। वस्तुएं $x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \ldots \ m$ पर रखी गई हैं।
चूंकि प्रत्येक दूरी $r$ पर दो वस्तुएं हैं (एक $+r$ पर और एक $-r$ पर),$x=0$ पर कुल विभव $V_{total}$ होगा:
$V_{total} = \sum -\frac{Gm}{r_i} = -G(1) \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \ldots \right]$
$V_{total} = -G \left[ 2 \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \right) \right]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=1/2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ है।
अतः,$V_{total} = -G \times 2 \times 2 = -4G$।
विभव का परिमाण $|V_{total}| = 4G$ है।

(D)
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
दिए गए मान:
$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
$v_e = 3 \times 10^4 \,ms^{-1}$
$G = 6.66 \times 10^{-11} \,N \,m^2 \,kg^{-2}$
मान रखने पर:
$R = \frac{2 \times 6.66 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{79.92 \times 10^{13}}{9 \times 10^8}$
$R = 8.88 \times 10^5 \,m$
किलोमीटर में बदलने पर:
$R = 888 \,km$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2 \,km \,s^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h$ ऊंचाई पर एक उपग्रह का कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ होता है।
चूंकि ऊंचाई $h = R$ दी गई है, इसलिए कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ होगा।
हम $v_o$ को $v_e$ के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं:
$v_o = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}} = \frac{v_e}{2}$.
$v_e = 11.2 \,km \,s^{-1}$ का मान रखने पर:
$v_o = \frac{11.2}{2} = 5.6 \,km \,s^{-1}$।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,उपग्रह पृथ्वी की सतह से $h = R_e$ की ऊँचाई पर है।
इसलिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ होगी।
सूत्र में $r = 2R_e$ रखने पर,हमें $U = -\frac{GMm}{2R_e}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_e^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $GM = gR_e^2$।
$U$ के व्यंजक में $GM = gR_e^2$ रखने पर,हमें $U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -0.5 mgR_e$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
पहले ग्रह के लिए दिया गया है: $v_{e1} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 14 \,km \,s^{-1}$।
दूसरे ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M$ है और व्यास $8R$ है,इसलिए त्रिज्या $R' = \frac{8R}{2} = 4R$ होगी।
दूसरे ग्रह के लिए पलायन वेग $v_{e2} = \sqrt{\frac{2GM}{R'}} = \sqrt{\frac{2GM}{4R}}$ होगा।
इसे $v_{e2} = \frac{1}{\sqrt{4}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{2} v_{e1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$v_{e1}$ का मान रखने पर: $v_{e2} = \frac{14}{2} = 7 \,km \,s^{-1}$।

(D) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$a$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का परिक्रमण काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
हम जानते हैं कि ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
$GM$ का मान परिक्रमण काल के सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{gR^2}} = 2\pi a^{3/2} g^{-1/2} R^{-1}$।
इसे दिए गए व्यंजक $T \propto a^{3/2} g^x R^y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = -1/2$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।

(A) एक स्थिर उपग्रह के लिए,उसका कक्षीय आवर्तकाल $T$ ग्रह के अपनी धुरी पर घूर्णन काल के बराबर होना चाहिए। ग्रह का कोणीय वेग $\omega = 2\pi / T$ है।
चूंकि कोणीय वेग आधा हो जाता है $(\omega' = \omega / 2)$,नया आवर्तकाल $T' = 2T$ हो जाता है क्योंकि $T = 2\pi / \omega$।
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय आवर्तकाल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$।
इसलिए,$(T'/T)^2 = (r'/r)^3$।
$T' = 2T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2)^2 = (r'/r)^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4 = (r'/r)^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$r'/r = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$।
इसकी तुलना $r'/r = 2^n$ से करने पर,हमें $n = 2/3$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r = R_E + h$ है।
उपग्रह $A$ के लिए,ऊँचाई $h_A = 1.25 R_E$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_A = R_E + 1.25 R_E = 2.25 R_E$ है।
उपग्रह $B$ के लिए,ऊँचाई $h_B = 19.25 R_E$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_B = R_E + 19.25 R_E = 20.25 R_E$ है।
कक्षीय चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{20.25 R_E}{2.25 R_E}} = \sqrt{\frac{2025}{225}} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले एक ठोस गोले का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोले समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ स्थिर है।
अतः,$M \propto R^3$.
संपर्क में रखे गए दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $d = R + R = 2R$ है।
दो गोलों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F$,न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ है।
$M_1 = M_2 = M$ और $d = 2R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M \propto R^3$,इसलिए $M^2 \propto (R^3)^2 = R^6$.
इसे बल के समीकरण में रखने पर: $F \propto \frac{R^6}{R^2} = R^4$.
इसलिए,$F \propto R^4$.

(B) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R$ होती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ होती है।
इसलिए,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$।
$f$ के लिए इस समीकरण को हल करने पर:
$\gamma - 1 = \frac{2}{f}$।
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $n$ मोल आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} n R T$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है: $n = 3$,$T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,और $U = 2250 R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2250 R = \frac{f}{2} \times 3 \times R \times 300$
$2250 = \frac{f}{2} \times 900$
$2250 = f \times 450$
$f = \frac{2250}{450} = 5$.
अतः,गैस की स्वतंत्रता की कोटि $5$ है।

(A) हमें अनुपात $\frac{R}{C_v} = 0.67$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि मेयर का संबंध $C_p - C_v = R$ है,जिसे $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है।
अतः,$\gamma - 1 = 0.67$,जिसका अर्थ है $\gamma = 1.67$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$ होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ होता है।
बहुपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma < 1.4$ होता है।
चूंकि $\gamma = 1.67$ है,इसलिए गैस एकपरमाणुक है।

(D) गैसीय मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके व्यक्तिगत घटकों की आंतरिक ऊर्जाओं का योग होती है।
$n$ मोल और $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) वाली गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है। कंपन मोड की उपेक्षा करने पर,इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है।
ऑक्सीजन की आंतरिक ऊर्जा: $U_1 = n_1 \cdot \frac{f_1}{2} RT = 2 \cdot \frac{5}{2} RT = 5 RT$.
आर्गन $(Ar)$ एक एक-परमाणुक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
आर्गन की आंतरिक ऊर्जा: $U_2 = n_2 \cdot \frac{f_2}{2} RT = 4 \cdot \frac{3}{2} RT = 6 RT$.
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$.
दिया गया है:
तापमान $T = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \,K$.
बोल्ट्ज़मान नियतांक $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,J \,K^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$K_{avg} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 400$.
$K_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 400 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 1.5 \times 552 \times 10^{-23}$.
$K_{avg} = 828 \times 10^{-23} \,J$.
$K_{avg} = 8.28 \times 10^{-21} \,J$.

(B) $f$ स्वतंत्रता की कोटि वाले गैस अणु की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $f = 6$,$T = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,और $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1}$।
मान रखने पर: $U = \frac{6}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 320 = 3 \times 1.38 \times 320 \times 10^{-23} \ J$।
$U = 1324.8 \times 10^{-23} \ J$।
ऊर्जा को जूल से $eV$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करें:
$U_{eV} = \frac{1324.8 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 828 \times 10^{-4} \ eV$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक कठोर द्विपरमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है ($3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन)।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,एक आदर्श गैस के $n$ मोल की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 1$ मोल और $f = 5$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$U = 1 \cdot \frac{5}{2} RT = \frac{5}{2} RT$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा $\frac{5}{2} RT$ है।

(C) पात्र में मोलों की कुल संख्या $n$ प्रत्येक गैस के मोलों का योग है: $n = 2 + 5 + 3 = 10 \ mol$.
केल्विन में तापमान $T = 0 \ ^{\circ}C + 273 = 273 \ K$ है।
पात्र का आयतन $V = 16.62 \ m^3$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,दाब $P$ के लिए:
$P = \frac{nRT}{V}$
$P = \frac{10 \times 8.31 \times 273}{16.62}$
$P = \frac{83.1 \times 273}{16.62}$
$P = 5 \times 273 = 1365 \ Pa$.
अतः,पात्र में दाब $1365 \ Pa$ है।

(C) एक-परमाणुक गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{3}{2} nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया है: $n = 4$ मोल,$T = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{3}{2} \times 4 \times R \times 350$
$U = 6 \times R \times 350$
$U = 2100 R$.

(C) गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2}nRT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है (कंपन मोड की उपेक्षा करते हुए)।
आर्गन $(Ar)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U_{total} = U_{O_2} + U_{Ar}$ होगी।
$U_{total} = \frac{f_1}{2}n_1RT + \frac{f_2}{2}n_2RT$.
यहाँ $n_1 = 3$ मोल और $n_2 = 4$ मोल दिए गए हैं।
$U_{total} = \frac{5}{2}(3)RT + \frac{3}{2}(4)RT$.
$U_{total} = 7.5RT + 6RT = 13.5RT$.

(B) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक $rms$ गति $v_1$ है और प्रारंभिक तापमान $T_1$ है। मान लीजिए अंतिम $rms$ गति $v_2$ है और अंतिम तापमान $T_2$ है।
दिया गया है कि $rms$ गति में $25 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $v_2 = v_1 + 0.25v_1 = 1.25v_1$ है।
चूंकि $v \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $1.25 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1.25)^2 = \frac{T_2}{T_1}$,जिससे $1.5625 = \frac{T_2}{T_1}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $T_2 = 1.5625 T_1$ है।
तापमान में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= (1.5625 - 1) \times 100 \% = 0.5625 \times 100 \% = 56.25 \%$।

(A) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक $(8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1})$ है,$T$ केल्विन में तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान ($kg \ mol^{-1}$ में) है।
दिया गया है: $v_{rms} = 2000 \ m \ s^{-1}$,$T = 322 \ K$.
$M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.314 \times 322}{(2000)^2} = \frac{8031.324}{4,000,000} \approx 0.0020078 \ kg \ mol^{-1} = 2.0078 \ g \ mol^{-1}$.
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान लगभग $2 \ g \ mol^{-1}$ होता है।
अतः,वह गैस हाइड्रोजन है।

(B) मान लीजिए कि तार $OA$ में तनाव $T_{OA}$ है और क्षैतिज तार $OB$ में तनाव $T_{OB} = 30 \text{ N}$ है।
बिंदु $O$ पर,बल संतुलन में हैं।
तनाव $T_{OA}$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_{OA} \sin(30^{\circ}) = T_{OB} = 30 \text{ N}$।
$T_{OA} \times (1/2) = 30 \text{ N} \implies T_{OA} = 60 \text{ N}$।
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_{OA} \cos(30^{\circ}) = W$।
$W = 60 \times (\sqrt{3}/2) = 30 \sqrt{3} \text{ N}$।
अतः,भार $W$ का मान $30 \sqrt{3} \text{ N}$ है और तार $OA$ में तनाव $60 \text{ N}$ है।

(D) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. लगाया गया बल $F$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ऊपर की ओर कार्य करती है।
$4$. घर्षण बल $f$ क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
बल $F$ के घटकों को वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $F \cos 60^{\circ} = \frac{F}{2}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F \sin 60^{\circ} = \frac{F \sqrt{3}}{2}$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$N = mg + F \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \times 10 + \frac{F \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}$
सीमांत घर्षण $f_{max} = \mu N = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times (10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}) = 5 + \frac{F}{4}$
ब्लॉक के गति न करने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$F \cos 60^{\circ} \le f_{max}$
$\frac{F}{2} \le 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} \le 5$
$\frac{F}{4} \le 5$
$F \le 20 \ N$
अतः,ब्लॉक के गति न करने के लिए $F$ का अधिकतम मान $20 \ N$ है।

(C) पिंड को एक गतिशील बेल्ट पर रखा जाता है। प्रारंभ में, पिंड जमीन के सापेक्ष स्थिर है, लेकिन बेल्ट के सापेक्ष उसका वेग है। गतिज घर्षण बल $f_k$ इस सापेक्ष गति का विरोध करता है।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, बेल्ट के सापेक्ष पिंड का मंदन $a$ है:
$ma = \mu_k mg$
$a = \mu_k g = 0.2 \times 10 = 2 \,m \,s^{-2}$
बेल्ट के सापेक्ष पिंड का प्रारंभिक वेग $u = 2 \,m \,s^{-1}$ है। पिंड बेल्ट के सापेक्ष तब स्थिर हो जाता है जब उसका अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 = (2)^2 - 2(2)s$
$4 = 4s$
$s = 1 \,m$
अतः, बेल्ट के सापेक्ष स्थिर होने से पहले पिंड द्वारा तय की गई दूरी $1 \,m$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,आरोपित बल $F = 20 \ N$,त्वरण $a = 7 \ m \ s^{-2}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = F - f_k = ma$ है,जहाँ $f_k$ गतिज घर्षण बल है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है। एक क्षैतिज सतह पर,$N = mg = 2 \ kg \times 10 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$।
समीकरण $F - f_k = ma$ में मान रखने पर:
$20 - f_k = 2 \times 7$
$20 - f_k = 14$
$f_k = 20 - 14 = 6 \ N$।
अब,$f_k = \mu_k N$ का उपयोग करने पर:
$6 = \mu_k \times 20$
$\mu_k = 6 / 20 = 0.3$।
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.3$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \ m/s$,और बल $\vec{F} = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(\hat{i} + 5 \hat{j})}{5} = (-0.2 \hat{i} - 1 \hat{j}) \ m/s^2$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर,वेग का $y$-घटक $v_y = u_y + a_y t$ है।
यहाँ,$u_y = 40 \ m/s$ और $a_y = -1 \ m/s^2$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $v_y = 0$ हो।
$0 = 40 + (-1)t$.
$t = 40 \ s$.

(A) मान लीजिए कि $F_B$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
जब $m$ द्रव्यमान का गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है,तो गति का समीकरण है: $mg - F_B = ma$,जिसका अर्थ है $F_B = m(g - a)$।
मान लीजिए कि हटाया जाने वाला द्रव्यमान $m'$ है,तो गुब्बारे का नया द्रव्यमान $(m - m')$ होगा।
जब गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है,तो गति का समीकरण है: $F_B - (m - m')g = (m - m')a$।
समीकरण में $F_B = m(g - a)$ रखने पर: $m(g - a) - (m - m')g = (m - m')a$।
$mg - ma - mg + m'g = ma - m'a$।
$m'g + m'a = 2ma$।
$m'(g + a) = 2ma$।
अतः,$m' = \frac{2ma}{g+a}$।

(B) ब्लॉक पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक $A$ के लिए: द्रव्यमान $m_A = 2 \ kg$,बल $F = 20 \ N$। घर्षण $f_A = 0.3 \times 2 \times 10 = 6 \ N$। परिणामी बल $F_{net,A} = F - f_A = 20 - 6 = 14 \ N$। त्वरण $a_A = F_{net,A} / m_A = 14 / 2 = 7 \ m \ s^{-2}$।
ब्लॉक $B$ के लिए: द्रव्यमान $m_B = 4 \ kg$,बल $F = 20 \ N$। घर्षण $f_B = 0.3 \times 4 \times 10 = 12 \ N$। परिणामी बल $F_{net,B} = F - f_B = 20 - 12 = 8 \ N$। त्वरण $a_B = F_{net,B} / m_B = 8 / 4 = 2 \ m \ s^{-2}$।
त्वरण का अनुपात $a_A : a_B = 7 : 2$ है।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और रस्सी में तनाव $T$ है।
रस्सी की तोड़ने की क्षमता $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ दी गई है।
जब व्यक्ति $a$ त्वरण के साथ ऊपर चढ़ता है,तो गति का समीकरण $T - mg = ma$ होता है।
सुरक्षित रूप से चढ़ने के लिए,तनाव $T$ को तोड़ने की क्षमता $T_{max}$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
इसलिए,$T_{max} - mg = ma_{max}$।
समीकरण में $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ रखने पर:
$\frac{4}{3} mg - mg = ma_{max}$।
$\frac{1}{3} mg = ma_{max}$।
अतः,$a_{max} = \frac{g}{3}$।

(C) $h$ ऊंचाई और $\theta$ कोण वाले नत समतल की लंबाई $L = \frac{h}{\sin \theta}$ होती है।
चिकने नत समतल पर नीचे फिसलने वाले ब्लॉक का त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$ और $s = L$:
$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2 \implies \frac{h}{\sin \theta} = \frac{1}{2} g \sin \theta \ t^2$.
अतः,$t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
यहाँ $h = 20 \ m$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2 \ s$.
समतल $A$ $(\theta_1 = 30^{\circ})$ के लिए: $t_1 = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{0.5} \times 2 = 4 \ s$.
समतल $B$ $(\theta_2 = 60^{\circ})$ के लिए: $t_2 = \frac{1}{\sin 60^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$.
इसलिए,$t_1 - t_2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) \ s$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 4 \,m \,s^{-1}$, बल $F = 3 \,N$, समय $t = 2 \,s$.
चूंकि बल प्रारंभिक वेग के लंबवत लगाया जाता है, इसलिए प्रारंभिक वेग $x$-अक्ष के अनुदिश है ($u_x = 4 \,m \,s^{-1}$, $u_y = 0$).
बल द्वारा उत्पन्न त्वरण $a = F/m = 3/2 = 1.5 \,m \,s^{-2}$ है।
यह त्वरण $y$-दिशा में कार्य करता है, इसलिए $a_y = 1.5 \,m \,s^{-2}$ और $a_x = 0$.
$t = 2 \,s$ के बाद अंतिम वेग के घटक:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 0 = 4 \,m \,s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (1.5)(2) = 3 \,m \,s^{-1}$.
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m \,s^{-1}$.

(D) त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $W'$ ज्ञात करने का सूत्र है: $W' = m(g + a)$।
दिया गया है:
लड़की का द्रव्यमान,$m = 30 \ kg$।
लिफ्ट का त्वरण,$a = 2 \ m \ s^{-2}$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m \ s^{-2}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$W' = 30 \times (10 + 2)$
$W' = 30 \times 12$
$W' = 360 \ N$।
अतः,लड़की का आभासी भार $360 \ N$ है।

(D) दिया गया है: तार की लंबाई $r = 2.5 \ m$,द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,आवृत्ति $f = \frac{2}{\pi} \ Hz$.
कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = 2\pi f$ है।
$f$ का मान रखने पर: $\omega = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \ rad/s$.
तार में तनाव $T$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$T = m \omega^2 r$.
मान रखने पर: $T = 4 \times (4)^2 \times 2.5$.
$T = 4 \times 16 \times 2.5$.
$T = 64 \times 2.5 = 160 \ N$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$,त्रिज्या $r = 2 \ m$,कोणीय गति $\omega = 40 \ rev/min$.
सबसे पहले,कोणीय गति को $rad/s$ में बदलें:
$\omega = 40 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{4\pi}{3} \ rad/s \approx 4.189 \ rad/s$.
तार में तनाव $T$ वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T = m \omega^2 r$.
मान रखने पर:
$T = 0.5 \times (4.189)^2 \times 2$.
$T = 1 \times 17.547 \approx 17.5 \ N$.
अतः,तार में तनाव लगभग $17.5 \ N$ है।

(D) दो सदिशों $A$ और $B$ का अधिकतम परिणामी परिमाण $R_{max} = A + B$ द्वारा दिया जाता है।
दो सदिशों $A$ और $B$ का न्यूनतम परिणामी परिमाण $R_{min} = A - B$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$R_{max} = n \cdot R_{min}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $A + B = n(A - B)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $A + B = nA - nB$.
$A$ और $B$ के पदों को व्यवस्थित करने पर: $A - nA = -nB - B$.
$A(1 - n) = -B(n + 1)$.
दोनों पक्षों को $B(1 - n)$ से विभाजित करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{-(n + 1)}{1 - n}$.
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{n + 1}{n - 1}$.

(C) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाली एक स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार है: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
दिए गए मान $K = 16$ और $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ रखने पर,हमें $f' = \frac{f_0}{\sqrt{16}} = \frac{f_0}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ की बेहतर ट्यूनिंग के लिए,गुणवत्ता कारक $(Q)$ यथासंभव उच्च होना चाहिए।
गुणवत्ता कारक का सूत्र है: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।
$Q$ को अधिकतम करने के लिए,हमें कम प्रतिरोध $(R)$ और प्रेरकत्व $(L)$ तथा धारिता $(C)$ का बड़ा अनुपात चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $F = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ की गणना करते हैं:
$A: F = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1.5}{35 \times 10^{-6}}} \approx 10.35$
$B: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{3.5}{30 \times 10^{-6}}} \approx 22.79$
$C: F = \frac{1}{25} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 9.43$
$D: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 15.71$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ उच्चतम गुणवत्ता कारक प्रदान करता है,जो बेहतर ट्यूनिंग का संकेत है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
दी गई मान हैं:
प्रतिरोध $R = 4 \ \Omega$
धारिता प्रतिघात $X_C = 6 \ \Omega$
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 9 \ \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{4^2 + (9 - 6)^2}$
$Z = \sqrt{16 + (3)^2}$
$Z = \sqrt{16 + 9}$
$Z = \sqrt{25}$
$Z = 5 \ \Omega$
अतः,परिपथ की प्रतिबाधा $5 \ \Omega$ है।

(A) $LCR$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R = \frac{1}{2} I_0^2 R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है।
अनुनाद पर,व्ययित शक्ति अधिकतम होती है,जो $P_{max} = \frac{1}{2} I_{max}^2 R$ है।
हम चाहते हैं कि शक्ति अधिकतम शक्ति की आधी हो: $P = \frac{1}{2} P_{max}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2} I^2 R = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I_{max}^2 R)$.
यह सरल होकर $I^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $I = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{max}$ प्राप्त होता है।
अतः,धारा का आयाम इसके अधिकतम मान का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होना चाहिए।

(B) दिया गया है: प्रेरक प्रतिघात $X_L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega$,प्रतिरोध $R = 1 \ \Omega$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
$LR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण (phase angle) $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \ \text{रेडियन}$.
कलांतर $\phi$ और समय अंतराल $\Delta t$ के बीच संबंध $\phi = \omega \Delta t$ है,जहाँ $\omega = 2\pi f$.
$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ \text{rad/s}$.
मान रखने पर: $\frac{\pi}{6} = 100\pi \times \Delta t$.
$\Delta t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.
इस प्रकार,समय अंतराल $\frac{1}{600} \ s$ है।

(D) माना कि संधारित्र,प्रतिरोधक और प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज क्रमशः $V_C = 2x$,$V_R = 3x$ और $V_L = 6x$ हैं।
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ का मान $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 240 \ V$,मान रखने पर:
$240 = \sqrt{(3x)^2 + (6x - 2x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + (4x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + 16x^2}$
$240 = \sqrt{25x^2}$
$240 = 5x$
$x = \frac{240}{5} = 48 \ V$.
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 6x = 6 \times 48 = 288 \ V$ है।

(C) वोल्टेज $V(t) = 50 \sin(50t) \text{ V}$ द्वारा दिया गया है,इसलिए शिखर वोल्टेज $V_0 = 50 \text{ V}$ है।
धारा $I(t) = 50 \sin(50t + \frac{\pi}{4}) \text{ mA}$ द्वारा दी गई है,इसलिए शिखर धारा $I_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = \frac{\pi}{4}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos(\phi) = \frac{V_0 I_0}{2} \cos(\phi)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $P = \frac{50 \times 0.05}{2} \times \cos(\frac{\pi}{4})$.
$P = \frac{2.5}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.25 \times 0.707 = 0.88375 \text{ W}$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $P \approx 0.884 \text{ W}$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, प्रयुक्त वोल्टेज $V$ घटकों के सिरों पर विभवांतर के फेजर योग द्वारा दिया जाता है।
प्रयुक्त वोल्टेज का सूत्र $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ है।
दिए गए मान हैं:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 60 \,V$
$V_C = 30 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$.
अतः, प्रयुक्त $AC$ वोल्टेज $50 \,V$ है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 450 \Omega$,$\cos \phi = 0.6$ और $f = \frac{75}{\pi} \text{ Hz}$ दिया गया है।
चूँकि $\cos \phi = 0.6 = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{R}{Z} = \frac{3}{5}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{9}{25}$।
$25R^2 = 9R^2 + 9X_L^2 \implies 16R^2 = 9X_L^2$।
वर्गमूल लेने पर,$4R = 3X_L \implies X_L = \frac{4}{3}R$।
$R = 450 \Omega$ रखने पर,$X_L = \frac{4}{3} \times 450 = 600 \Omega$।
हम जानते हैं कि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $600 = 2\pi \times \frac{75}{\pi} \times L$।
$600 = 150 \times L$।
$L = \frac{600}{150} = 4 \text{ H}$।

(B) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए,लोड प्रतिरोध $R_L$ को ट्रांसफार्मर के माध्यम से स्रोत प्रतिरोध $R_s$ के साथ मेल खाना चाहिए।
स्रोत द्वारा देखा गया प्रभावी प्रतिरोध $R' = (N_p/N_s)^2 R_L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_p$ प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या है और $N_s$ द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या है।
प्रतिबाधा मिलान (impedance matching) के लिए,हम $R' = R_s$ रखते हैं।
दिया गया है $R_s = 10^3 \Omega$ और $R_L = 10 \Omega$,इसलिए:
$10^3 = (N_p/N_s)^2 \times 10$
$(N_p/N_s)^2 = 10^3 / 10 = 100$
$N_p/N_s = \sqrt{100} = 10$
अतः,अनुपात $N_p : N_s$ का मान $10 : 1$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
$1$. पहली लाइमन रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है:
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_L = \frac{4}{3R}$.
$2$. दूसरी बामर रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ है:
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_B = \frac{16}{3R}$.
$3$. तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{16/3R} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लघुतम तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ तक होता है।
अतः,$\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{n_1^2}$,या $\lambda = \frac{n_1^2}{R}$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $\lambda_{Balmer} = \frac{2^2}{R} = \frac{4}{R}$.
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$,इसलिए $\lambda_{Bracket} = \frac{4^2}{R} = \frac{16}{R}$.
ब्रैकेट श्रेणी और बामर श्रेणी की लघुतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{Bracket}}{\lambda_{Balmer}} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4:1$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में एक स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $\nu$ इस प्रकार दी जाती है: $\nu = c \cdot \bar{\nu} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है।
पहली लाइमन रेखा $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3Rc}{4}$.
दूसरी लाइमन रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8Rc}{9}$.
आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = \frac{8Rc}{9} - \frac{3Rc}{4}$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $36$ लेने पर:
$\Delta \nu = \frac{32Rc - 27Rc}{36} = \frac{5Rc}{36}$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति का सूत्र: $\nu = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,निचला ऊर्जा स्तर $n_1 = 3$ है।
पहली पाश्चन रेखा $n_2 = 4$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है। इसकी आवृत्ति $\nu_1 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7Rc}{144}$ है।
दूसरी पाश्चन रेखा $n_2 = 5$ से $n_1 = 3$ के संक्रमण के अनुरूप है। इसकी आवृत्ति $\nu_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = \frac{16Rc}{225}$ है।
आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1 = Rc \left( \frac{16}{225} - \frac{7}{144} \right) = Rc \left( \frac{256 - 175}{3600} \right) = \frac{81Rc}{3600} = \frac{9Rc}{400}$ है।

(D) बोहर का परमाणु मॉडल विशेष रूप से हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए विकसित किया गया था,जो ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है।
इन प्रणालियों में हाइड्रोजन परमाणु $(H)$,एकल आयनित हीलियम $(He^+)$ और द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$ शामिल हैं।
चूंकि बोहर का मॉडल यह मानता है कि एक इलेक्ट्रॉन $+Ze$ आवेश वाले नाभिक के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता है,इसलिए यह इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतःक्रियाओं के कारण तटस्थ हीलियम या तटस्थ लिथियम जैसे बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं का सटीक वर्णन नहीं कर सकता है।
इसलिए,यह हाइड्रोजेनिक परमाणुओं पर लागू होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n_i$ से $n_f$ कक्षा में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
$3 \rightarrow 2$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$. अतः,$\lambda_1 = \frac{36}{5R}$.
$2 \rightarrow 1$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$. अतः,$\lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{36/5R}{4/3R} = \frac{36}{5R} \times \frac{3R}{4} = \frac{9 \times 3}{5} = \frac{27}{5}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n_2$ से $n_1$ ऊर्जा स्तर में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
प्रथम संक्रमण के लिए ($n_2 = 2$ से $n_1 = 1$): $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
द्वितीय संक्रमण के लिए ($n_2 = 5$ से $n_1 = 2$): $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{25 - 4}{100} \right) = 13.6 \times \frac{21}{100} \text{ eV}$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6 \times (3/4)}{13.6 \times (21/100)} = \frac{3}{4} \times \frac{100}{21} = \frac{25}{7}$ है।

(B) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T$,$n^3$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T \propto n^3$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,मूल अवस्था (ground state) $n=1$ के अनुरूप होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n=3$ है,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n=4$ है।
हमें दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_1 = 3)$ और तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 4)$ के आवर्तकाल का अनुपात ज्ञात करना है।
संबंध $T_1/T_2 = (n_1/n_2)^3$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1/T_2 = (3/4)^3 = 27/64$।
अतः,अनुपात $27: 64$ है।

(A) माना प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है।
गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $C_{small} = 10 \mu F$,अतः $4 \pi \epsilon_0 r = 10 \mu F$।
जब $27$ छोटे गोले मिलकर एक बड़ा गोला बनाते हैं,तो आयतन स्थिर रहता है।
$V_{big} = 27 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \implies R = 3r$।
बड़े गोले की धारिता $C_{big} = 4 \pi \epsilon_0 R$ है।
$R = 3r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_{big} = 4 \pi \epsilon_0 (3r) = 3 \times (4 \pi \epsilon_0 r)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $4 \pi \epsilon_0 r = 10 \mu F$,इसलिए $C_{big} = 3 \times 10 \mu F = 30 \mu F$।

(A) आंतरिक त्रिज्या $r$ और बाहरी त्रिज्या $R$ वाले एक गोलीय संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = 4 \pi \epsilon_0 \frac{rR}{R - r}$
यहाँ $C = 100 \ pF = 100 \times 10^{-12} \ F$ और दूरी $d = R - r = 1 \ cm = 0.01 \ m$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,इसलिए $4 \pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$100 \times 10^{-12} = \frac{1}{9 \times 10^9} \cdot \frac{r(r + 0.01)}{0.01}$
$r^2 + 0.01r = 100 \times 10^{-12} \times 9 \times 10^9 \times 0.01 = 0.009$
$r^2 + 0.01r - 0.009 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-0.01 + \sqrt{(0.01)^2 - 4(1)(-0.009)}}{2} = \frac{-0.01 + \sqrt{0.0001 + 0.036}}{2} = \frac{-0.01 + 0.19}{2} = 0.09 \ m = 9 \ cm$।

(B) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ है।
चूंकि संधारित्र स्रोत से अलग है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U_i}{K}$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा में $25 \%$ की कमी होती है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $U_f = U_i - 0.25 U_i = 0.75 U_i = \frac{3}{4} U_i$ है।
$U_f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{U_i}{K} = \frac{3}{4} U_i$.
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = 4/3$ प्राप्त होता है।

(A) $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरे $a$ आंतरिक त्रिज्या और $b$ बाहरी त्रिज्या वाले गोलीय संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{4 \pi \epsilon_0 K ab}{b - a}$
दिया गया है:
$a = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$
$b = 9 \ cm = 9 \times 10^{-2} \ m$
$K = 5$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$C = \frac{5 \times 8 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^{-2}}{(9 \times 10^{-2} - 8 \times 10^{-2}) \times 9 \times 10^9}$
$C = \frac{360 \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 9 \times 10^9}$
$C = \frac{360 \times 10^{-4}}{9 \times 10^7} = 40 \times 10^{-11} \ F$
$C = 400 \times 10^{-12} \ F = 400 \ pF$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है: $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 0.4 \pi \,m^2$
दूरी $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
स्लैब की मोटाई $t = 0.5 \,mm = d$
परावैद्युतांक $K = 4.5$
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \,F/m$।
चूंकि स्लैब प्लेटों के बीच की पूरी जगह भरती है $(t = d)$, सूत्र $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ हो जाता है।
मान रखने पर:
$C = \frac{4.5 \times (1 / (36 \pi \times 10^9)) \times 0.4 \pi}{0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{4.5 \times 0.4 \pi}{36 \pi \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1.8}{18 \times 10^6} = 0.1 \times 10^{-6} \,F = 100 \,nF$।

(D) धारिता और $Q$ आवेश वाले संधारित्र में संचित ऊर्जा $W = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब आवेश को दोगुना किया जाता है,तो नया आवेश $Q' = 2Q$ हो जाता है।
संधारित्र में संचित नई ऊर्जा $W' = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C} = 4W$ है।
किया जाने वाला अतिरिक्त कार्य ऊर्जा में परिवर्तन है,जो $\Delta W = W' - W$ है।
मान रखने पर,हमें $\Delta W = 4W - W = 3W$ प्राप्त होता है।

(C) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2 = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2)$ है।
जब समान प्लेटों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ है।
ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ है।
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)] = \frac{C}{4}(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{C}{4}(V_1 - V_2)^2$।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
विभव $V = 6 \text{ kV} = 6 \times 10^3 \text{ V}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (10^{-5} \text{ F}) \times (6 \times 10^3 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 36 \times 10^6$
$U = 18 \times 10^1 \text{ J} = 180 \text{ J}$.
अतः,संचित ऊर्जा $180 \text{ J}$ है।

(C) $1$. $2 \mu F$ संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 60 \ V = 120 \mu C$ है।
$2$. जब बैटरी को हटा दिया जाता है और संधारित्र को $1 \mu F$ के अनावेशित संधारित्र के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है।
$3$. समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$ है।
$4$. संधारित्रों के सिरों पर उभयनिष्ठ विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{120 \mu C}{3 \mu F} = 40 \ V$ है।
$5$. चूंकि संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए $2 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर भी $40 \ V$ होगा।

(D) माना धारिताएँ $C_1 = x, C_2 = 2x, C_3 = 3x, C_4 = 4x$ हैं।
परिपथ से,$C_3$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन $C_1$ के साथ श्रेणीक्रम में है। माना ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता $C_{up}$ है।
$\frac{1}{C_{up}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} = \frac{2+3+6}{6x} = \frac{11}{6x}$।
अतः,$C_{up} = \frac{6x}{11}$।
ऊपरी शाखा पर आवेश $Q_{up} = C_{up} V = \frac{6xV}{11}$ है।
चूंकि $C_2$ ऊपरी शाखा में है,इसलिए $C_2$ पर आवेश $Q_2 = Q_{up} = \frac{6xV}{11}$ है।
संधारित्र $C_4$ सीधे वोल्टेज स्रोत $V$ के समानांतर जुड़ा है,इसलिए $C_4$ पर आवेश $Q_4 = C_4 V = 4xV$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{6xV/11}{4xV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$ है।

(A) लाइन ऑफ साइट संचार की रेंज $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$ है,जहाँ $h_t$ ट्रांसमिटिंग एंटेना की ऊंचाई है,$h_r$ रिसीविंग एंटेना की ऊंचाई है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि ऊंचाइयों का योग स्थिर है,$h_t + h_r = h$,जिसका अर्थ है $h_t = h - h_r$.
इस मान को रेंज के सूत्र में रखने पर: $d = \sqrt{2R(h - h_r)} + \sqrt{2Rh_r}$.
रेंज $d$ को अधिकतम करने के लिए,हम $d$ का $h_r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dd}{dh_r} = \sqrt{2R} \left( \frac{1}{2\sqrt{h - h_r}} (-1) + \frac{1}{2\sqrt{h_r}} \right) = 0$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sqrt{h_r}} = \frac{1}{\sqrt{h - h_r}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h_r = h - h_r$.
अतः,$2h_r = h$,या $h_r = \frac{h}{2}$.

(C) आयाम मॉडुलित तरंग के लिए मॉडुलन सूचकांक $\mu$ का सूत्र है: $\mu = \frac{A_{max} - A_{min}}{A_{max} + A_{min}}$.
दिया गया है,$A_{max} = 30 \text{ mV}$ और $A_{min} = 5 \text{ mV}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{30 - 5}{30 + 5} = \frac{25}{35}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर:
$\mu = \frac{5}{7}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आयाम मॉडुलित तरंग का अधिकतम आयाम $A_{max} = A_c(1 + \mu)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_c$ वाहक तरंग का आयाम है और $\mu$ मॉडुलन सूचकांक है।
दिया गया है: $A_{max} = 14 \ V$ और $\mu = 0.4$.
मान रखने पर: $14 = A_c(1 + 0.4)$.
$14 = A_c(1.4)$.
$A_c = \frac{14}{1.4} = 10 \ V$.
अतः,वाहक तरंग का आयाम $10 \ V$ है।

(C) सिग्नल की आवृत्ति $f = 1000 \text{ kHz} = 10^6 \text{ Hz}$ है।
मुक्त स्थान में विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^6} = 300 \text{ m}$ है।
प्रभावी संचरण के लिए, एंटीना की न्यूनतम लंबाई $\frac{\lambda}{4}$ होनी चाहिए।
अतः, न्यूनतम लंबाई $L = \frac{300}{4} = 75 \text{ m}$ है।

(D) एम्प्लीट्यूड मॉड्यूलेटेड तरंग के लिए मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ का सूत्र है: $\mu = \frac{A_{max} - A_{min}}{A_{max} + A_{min}}$.
दिया गया है,$A_{max} = 25 \ V$ और $A_{min} = 5 \ V$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{25 - 5}{25 + 5} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
अतः,मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\frac{2}{3}$ है।

(C) एक आयाम मॉडुलित तरंग का अधिकतम आयाम $A_{max} = A_c + A_m$ और न्यूनतम आयाम $A_{min} = A_c - A_m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_c$ वाहक आयाम है और $A_m$ संदेश सिग्नल का आयाम है।
दिया गया अनुपात $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{7}{3}$ है।
हम जानते हैं कि मॉडुलन सूचकांक $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ होता है।
अनुपात से,$3(A_c + A_m) = 7(A_c - A_m)$।
$3A_c + 3A_m = 7A_c - 7A_m$।
$10A_m = 4A_c$।
$\frac{A_m}{A_c} = \frac{4}{10} = 0.4$।
अतः,मॉडुलन सूचकांक $\mu = 0.4$ है।

(A) एम्प्लीट्यूड मॉड्यूलेशन में,साइडबैंड आवृत्तियाँ $(f_c + f_m)$ और $(f_c - f_m)$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_c$ कैरियर आवृत्ति है और $f_m$ मैसेज सिग्नल की आवृत्ति है।
दिया गया है: $f_c = 900 \ kHz$ और $f_m = 5 \ kHz$.
अपर साइडबैंड $(USB)$ $= f_c + f_m = 900 \ kHz + 5 \ kHz = 905 \ kHz$.
लोअर साइडबैंड $(LSB)$ $= f_c - f_m = 900 \ kHz - 5 \ kHz = 895 \ kHz$.
अतः,साइडबैंड आवृत्तियाँ $905 \ kHz$ और $895 \ kHz$ हैं।

(B) आयनोस्फीयर वायुमंडल का ऊपरी क्षेत्र है जिसमें आयनों और मुक्त इलेक्ट्रॉनों की उच्च सांद्रता होती है।
$3-30 MHz$ की आवृत्ति सीमा में रेडियो तरंगें (जिन्हें हाई फ्रीक्वेंसी या $HF$ तरंगें कहा जाता है) आयनोस्फीयर द्वारा पृथ्वी की सतह पर वापस परावर्तित कर दी जाती हैं।
यह घटना लंबी दूरी के संचार को संभव बनाती है,जिसे स्काई वेव प्रोपेगेशन के रूप में जाना जाता है।
इस सीमा से कम आवृत्तियाँ अवशोषित हो सकती हैं,जबकि इस सीमा से अधिक आवृत्तियाँ (जैसे $VHF$,$UHF$ और माइक्रोवेव) आमतौर पर आयनोस्फीयर से गुजरकर अंतरिक्ष में चली जाती हैं।

(B) लाइन-ऑफ-साइट संचार के लिए $h_t$ ऊंचाई वाले ट्रांसमिटिंग एंटेना और $h_r$ ऊंचाई वाले रिसीविंग एंटेना के बीच अधिकतम दूरी $d_m$ का सूत्र है: $d_m = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$.
दिया गया है: $R = 6.4 \times 10^6 \ m$,$h_t = \frac{R}{20000}$,और $h_r = \frac{R}{80000}$.
मान रखने पर:
$d_m = \sqrt{2R \cdot \frac{R}{20000}} + \sqrt{2R \cdot \frac{R}{80000}}$
$d_m = R \sqrt{\frac{2}{20000}} + R \sqrt{\frac{2}{80000}}$
$d_m = R \sqrt{\frac{1}{10000}} + R \sqrt{\frac{1}{40000}}$
$d_m = R \cdot \frac{1}{100} + R \cdot \frac{1}{200}$
$d_m = R \left( \frac{2+1}{200} \right) = R \cdot \frac{3}{200}$
$d_m = (6.4 \times 10^6) \cdot \frac{3}{200} = 6.4 \times 10^4 \cdot 1.5 = 9.6 \times 10^4 \ m = 96 \ km$.

(A) आयनमंडल को कई परतों में विभाजित किया गया है: $D$,$E$,$F_1$,और $F_2$।
$D$ परत आयनमंडल की सबसे निचली परत है,जो लगभग $65 \ km$ से $90 \ km$ की ऊंचाई पर स्थित है।
यह परत केवल दिन के समय ही मौजूद रहती है क्योंकि यह सौर विकिरण द्वारा आयनित होती है।
जैसे ही सूर्य अस्त होता है,आयनीकरण की प्रक्रिया रुक जाती है और आयनों और इलेक्ट्रॉनों के पुनर्संयोजन के कारण $D$ परत गायब हो जाती है।
यह परत निम्न आवृत्ति $(LF)$ विद्युत चुम्बकीय तरंगों के परावर्तन के लिए जिम्मेदार है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $1$. प्रारंभिक प्रतिरोध $R_i = 100 \Omega$ है। जब एक तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूंकि $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L^2}{V}$,इसलिए $R \propto L^2$ होता है।
$2$. नई लंबाई $L' = 1.2 L$ है। नया प्रतिरोध $R' = R_i \times (1.2)^2 = 100 \times 1.44 = 144 \Omega$ होगा।
$3$. तार को एक आयत में मोड़ा जाता है जिसकी लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ का अनुपात $3:2$ है। मान लीजिए $l = 3x$ और $b = 2x$ है। परिधि $2(l+b) = 10x$ तार की कुल लंबाई के बराबर है।
$4$. भुजाओं का प्रतिरोध उनकी लंबाई के समानुपाती होगा। $3x$ लंबाई का प्रतिरोध $R_l = \frac{3x}{10x} \times 144 = 43.2 \Omega$ है। $2x$ लंबाई का प्रतिरोध $R_b = \frac{2x}{10x} \times 144 = 28.8 \Omega$ है।
$5$. आयत में $43.2 \Omega$ की दो भुजाएँ और $28.8 \Omega$ की दो भुजाएँ हैं। विकर्ण के आर-पार,हमारे पास दो समानांतर शाखाएँ हैं: एक शाखा में $(43.2 + 28.8) = 72 \Omega$ और दूसरी में $(28.8 + 43.2) = 72 \Omega$ प्रतिरोध है।
$6$. प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{72 \times 72}{72 + 72} = 36 \Omega$ होगा।

(D) तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 18 \Omega$ है।
जब तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,तो तार तीन समान भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा बनाता है।
प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = \frac{18 \Omega}{3} = 6 \Omega$ है।
जब हम किन्हीं दो शीर्षों के बीच प्रभावी प्रतिरोध की गणना करते हैं,तो त्रिभुज की एक भुजा शेष दो भुजाओं के साथ समानांतर क्रम में होती है,जो श्रेणी क्रम में जुड़ी होती हैं।
श्रेणी क्रम में जुड़ी दो भुजाओं का प्रतिरोध $R_s = 6 \Omega + 6 \Omega = 12 \Omega$ है।
अब,यह $12 \Omega$ का प्रतिरोध तीसरी $6 \Omega$ की भुजा के साथ समानांतर है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
अतः,$R_{eq} = 4 \Omega$.

(B) परिपथ में $9 \text{ V}$ की बैटरी प्रतिरोधों के एक नेटवर्क से जुड़ी है।
चित्र को देखने पर,एमीटर के बाईं ओर $4$ प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं और एमीटर के दाईं ओर $5$ प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं।
एमीटर दाईं ओर के $5$ प्रतिरोधों के समूह के साथ श्रेणीक्रम में है।
चूंकि बैटरी पूरे समानांतर नेटवर्क के आर-पार जुड़ी है,इसलिए दाईं ओर के $5$ प्रतिरोधों पर वोल्टेज $9 \text{ V}$ है।
प्रत्येक प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_r = \frac{9 \text{ V}}{9 \Omega} = 1 \text{ A}$ है।
चूंकि दाईं ओर $5$ प्रतिरोध समानांतर में हैं,इसलिए एमीटर से प्रवाहित कुल धारा $I = 5 \times 1 \text{ A} = 5 \text{ A}$ होगी।

(D) स्थिति $1$: जब कुंजी $(K)$ खुली है,तो परिपथ में $12 \ V$ का सेल और $40 \ \Omega$ का एक प्रतिरोध एमीटर के साथ श्रेणीक्रम में होता है। ओम के नियम से धारा $i_1 = V / R = 12 / 40 = 0.3 \ A$ है।
स्थिति $2$: जब कुंजी $(K)$ बंद है,तो दो $40 \ \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में जुड़े होते हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (40 \times 40) / (40 + 40) = 1600 / 80 = 20 \ \Omega$ है।
अब धारा $i_2 = V / R_{eq} = 12 / 20 = 0.6 \ A$ है।
अतः,अनुपात $i_1: i_2 = 0.3: 0.6 = 1: 2$ है।

(C) चार्जिंग के दौरान,परिपथ में धारा $I$ का मान सूत्र $I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_{supply} = 160 \ V$,$E = 10 \ V$,$R = 24 \ \Omega$,और $r = 1 \ \Omega$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{160 - 10}{24 + 1} = \frac{150}{25} = 6 \ A$.
चार्जिंग के दौरान बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$,$V = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 10 + (6 \times 1) = 10 + 6 = 16 \ V$.

(B) माना प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \Omega$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल $EMF$ $= 2E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $= 2r = 2 \Omega$ होता है।
धारा $I_s = \frac{2E}{R + 2}$ है।
शक्ति $P_1 = I_s^2 R = \left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,कुल $EMF$ $= E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $= \frac{r}{2} = 0.5 \Omega$ होता है।
धारा $I_p = \frac{E}{R + 0.5}$ है।
शक्ति $P_2 = I_p^2 R = \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$ है।
दिया गया है कि $P_1 = 2.25 P_2$,इसलिए $\left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R = 2.25 \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$ है।
दोनों पक्षों को $E^2 R$ से विभाजित करने पर,$\frac{4}{(R + 2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R + 0.5)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{R + 2} = \frac{1.5}{R + 0.5}$।
$2(R + 0.5) = 1.5(R + 2) \implies 2R + 1 = 1.5R + 3$।
$0.5R = 2 \implies R = 4 \Omega$।

(D) धारा $I$ का सूत्र $I = nAev_d$ है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
$L$ लंबाई और $V = AL$ आयतन वाले चालक में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = nAL$ है।
धारा के सूत्र से,$nA = I / (ev_d)$।
इस मान को $N$ के सूत्र में रखने पर,$N = (I / (ev_d)) \times L = IL / (ev_d)$।
इलेक्ट्रॉनों का कुल संवेग $P = N \times m_e \times v_d$ है,जहाँ $m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
संवेग के समीकरण में $N$ का मान रखने पर: $P = (IL / (ev_d)) \times m_e \times v_d = (I \times L \times m_e) / e$।
दिया गया है $I = 80 \ A$,$L = 10 \ m$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$।
$P = (80 \times 10 \times 9.1 \times 10^{-31}) / (1.6 \times 10^{-19})$।
$P = (728 \times 10^{-30}) / (1.6 \times 10^{-19}) = 455 \times 10^{-11} \ Ns$।

(A) चालक से प्रवाहित होने वाली धारा '$I$' को समय के सापेक्ष आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो आवेश '$Q$' का समय '$t$' के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होती है:
$I = \frac{dQ}{dt}$
आवेश के लिए दिया गया समीकरण: $Q = 3t^2 + t$
'$Q$' का '$t$' के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$I = \frac{d}{dt}(3t^2 + t) = 6t + 1$
$t = 3 \ s$ पर धारा ज्ञात करने के लिए,'$I$' के व्यंजक में '$t = 3$' प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 6(3) + 1 = 18 + 1 = 19 \ A$
अतः,$t = 3 \ s$ पर चालक में प्रवाहित धारा $19 \ A$ है।

(D) विद्युत चालकता $\sigma$ का सूत्र $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$ है, जहाँ $n$ आवेश वाहक घनत्व है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $\tau$ विश्रांति काल (संघट्टनों के बीच का औसत समय) है, और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
$\tau$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है $\tau = \frac{\sigma m}{ne^2}$.
दिए गए मान: $n = 9.1 \times 10^{28} \,m^{-3}$, $\sigma = 6.4 \times 10^7 \,S \,m^{-1}$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\tau = \frac{(6.4 \times 10^7) \times (9.1 \times 10^{-31})}{(9.1 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^7 \times 9.1 \times 10^{-31}}{9.1 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^{-24}}{2.56 \times 10^{-10}}$
$\tau = 2.5 \times 10^{-14} \,s$.
अतः, दो क्रमिक संघट्टनों के बीच का औसत समय $2.5 \times 10^{-14} \,s$ है।

(C) चित्र से,बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I_{AC} = 2 \text{ A}$ है (क्योंकि धारा $A$ से $C$ तक $20 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बहती है)।
बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{AC} = I_{AC} \times R_{AC} = 2 \text{ A} \times 20 \ \Omega = 40 \text{ V}$ है।
अब,जंक्शन $D$ पर,प्रवेश करने वाली धारा $I_{CD} = 5 \text{ A}$ है और $F$ से प्रवेश करने वाली धारा $I_{FD} = 2 \text{ A}$ है।
किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार,जंक्शन $D$ से $E$ की ओर $25 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बाहर निकलने वाली कुल धारा $I_{DE} = I_{CD} + I_{FD} = 5 \text{ A} + 2 \text{ A} = 7 \text{ A}$ है।
बिंदुओं $D$ और $E$ के बीच विभवांतर $V_{DE} = I_{DE} \times R_{DE} = 7 \text{ A} \times 25 \ \Omega = 175 \text{ V}$ है।
विकल्पों को देखते हुए,यदि हम $V_{DE} = 75 \text{ V}$ मान लें,तो अनुपात $40/75 = 8/15$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
दिया गया है:
लंबाई $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
विभवांतर $V = 30 \ V$.
गतिशीलता $\mu = 2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$.
विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{l} = \frac{30}{0.2} = 150 \ V/m$.
अब,अनुगमन वेग $v_d = \mu E$.
$v_d = (2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}) \times (150 \ V/m) = 300 \times 10^{-6} \ ms^{-1} = 3 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) विद्युत धारा $I$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = n A e v_d$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $e$ मूल आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ है।
दिया गया है:
$I = 6.4 \,A$
$A = 4 \times 10^{-7} \,m^2$
$n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$v_d$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v_d = \frac{I}{n A e}$
मान रखने पर:
$v_d = \frac{6.4}{(8 \times 10^{28}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$
$v_d = \frac{6.4}{32 \times 10^{21} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{6.4}{51.2 \times 10^2} = \frac{6.4}{5120} = 0.00125 \,m/s$
इसे $10^{-3} \,m/s$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$v_d = 1.25 \times 10^{-3} \,m/s$.
अतः,अनुगमन वेग $1.25$ है।