lim _{n rightarrow infty} sum_{k=1}^n frac{n^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આ સરવાળાને રીમાન સંકલન તરીકે દર્શાવતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+(k/n)^2)(1+3(k/n)^2)}$.ધારો કે $x = k/n$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8(2 \sqrt{3}+3)}$

Vedclass · Answer

(D) આ સરવાળાને રીમાન સંકલન તરીકે દર્શાવતા: $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+(k/n)^2)(1+3(k/n)^2)}$.ધારો કે $x = k/n$,તો પદ $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)(1+3x^2)}$ બને છે.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1+x^2)(1+3x^2)} = \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2}$.સંકલન કરતા: $\int_0^1 \left( \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2} ight) dx = \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+(\sqrt{3}x)^2} - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$.$= \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3}x) ight]_0^1 - \frac{1}{2} [	an^{-1}x]_0^1$.$= \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi(2\sqrt{3}-3)}{24}$.આ કિંમત $\frac{\pi}{8(2\sqrt{3}+3)}$ ને સમાન છે.તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^3}{(n^2+k^2)(n^2+3k^2)}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+1}{n^2+1^2}+\frac{n+2}{n^2+2^2}+\frac{n+3}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{n+2 n}{n^2+(2n)^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3+1^3}+\frac{2^2}{n^3+2^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=$

નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું સરવાળાના લક્ષ તરીકે મૂલ્ય શોધો: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{a}^{b} x \, dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module