ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે,અને $M$ અને $N$ એ રેખાઓ $\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$ અને $\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$ પરના બિંદુઓ છે,જેથી $MN$ એ આપેલી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. તો $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $Q(0,1,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-2}$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $M$ અને $N$ એ બિંદુ $P(a, a, a)$ માંથી રેખાઓ $L_1: x-y=0, z=1$ અને $L_2: x+y=0, z=-1$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદ છે. જો $\angle MPN=90^{\circ}$ હોય,તો $a^2=$

બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $\vec{OP} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{OQ} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાંની એક રેખા બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ ની દિશામાંની બીજી રેખા બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થાય છે. જો સદિશ $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ની દિશામાંની એક રેખા સદિશ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વાળી બંને રેખાઓને અનુક્રમે $L$ અને $M$ બિંદુએ છેદે,તો $\vec{PM} =$

જેના કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે તે રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

રેખાઓ $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 8}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ અને $\frac{x + 3}{-3} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 6}{4}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.