જો વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right) + (\log_e(3-x))^{-1}$ નો પ્રદેશ $[-\alpha, \beta) \setminus \{\gamma\}$ હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x) = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$ ને તમામ વાસ્તવિક $x \neq 3$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરો. $f(x)$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધો.

ધારો કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ દર્શાવે છે,જ્યાં $x \in \mathbb{R}$. જો વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3}}$ નો પ્રદેશ $(-\infty, a) \cup [b, c) \cup [4, \infty)$ હોય,જ્યાં $a < b < c$,તો $a+b+c$ નું મૂલ્ય શોધો.

ગણ $\{x \in R : \frac{\sqrt{|x|^2-2|x|-8}}{\log(2-x-x^2)} \text{ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે}\}$ શોધો.

$\alpha$ ના મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો જેથી $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ જ્યાં $f(x) = \tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ વ્યાપ્ત (onto) વિધેય બને.

$f(x) = \frac{\sin \pi[x]}{1+[x]} + \frac{x}{2+3x}$ માટે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો $R$ માં પ્રદેશ અને વિસ્તાર અનુક્રમે શું છે?