ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,અને $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ હોય,તો $|a+b+c|$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - t^4} \, dt$ એવું છે કે

ધારો કે $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે અને $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ બધા $x \in (1, \infty)$ માટે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$(B)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $g$ એ $(1,2)$ પર વધતું અને $(2, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(D)$ $g$ એ $(1,2)$ પર ઘટતું અને $(2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$2.$ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$P$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2f(x)+1=2x(1+x)$
તો
$(A)$ $P$ અને $Q$ બંને સાચા છે
$(B)$ $P$ સાચું છે અને $Q$ ખોટું છે
$(C)$ $P$ ખોટું છે અને $Q$ સાચું છે
$(D)$ $P$ અને $Q$ બંને ખોટા છે
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

સમીકરણ $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ હોય,તો અચળાંકો $A$ અને $B$ અનુક્રમે શોધો.