JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $100$ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $a_1, a_1+1, a_1+2, \ldots, a_1+99$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = a_1 + 49.5$ મળે છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{100} \sum_{i=0}^{99} |i - 49.5| = 25$ થાય છે.
આ કિંમત $a_1$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a_1 \in \mathbb{N}$ માટે સાચું છે.
તેથી,$S = \mathbb{N}$.

(B) આપેલ છે કે $x = 12^{50}$ અને $y = 18^{50}$.
$(12^{50} + 18^{50})$ ને $25$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
$12^{50} = 144^{25} = (150 - 6)^{25} = 25M + (-6)^{25}$.
$18^{50} = 324^{25} = (325 - 1)^{25} = 25N - 1$.
$x + y = 25(M+N) - (6^{25} + 1)$.
$6^{25} = (6^2)^{12} \cdot 6 = 36^{12} \cdot 6 = (25 + 11)^{12} \cdot 6 = (25P + 11^{12}) \cdot 6$.
$11^{12} = (121)^6 = (125 - 4)^6 = 25Q + (-4)^6 = 25Q + 4096 = 25R + 21$.
તેથી,$6^{25} = (25R + 21) \cdot 6 = 150R + 126 = 25(6R + 5) + 1$.
$x + y = 25(M+N) - (25(6R+5) + 1 + 1) = 25S - 2$.
શેષ $25 - 2 = 23$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ છે. અંતર $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$ છે.
$OC \perp CP$ હોવાથી,ત્રિકોણ $OCP$ એ $C$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle OCP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OC \times CP = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
$OC = \sqrt{5}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times CP = \frac{\sqrt{35}}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $CP = \sqrt{7}$.
$P$ અને $Q$ એ $C$ કેન્દ્ર અને $R = CP = \sqrt{7}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર હોવાથી,$(a_1 - \sqrt{2})^2 + (b_1 - \sqrt{3})^2 = 7$ અને $(a_2 - \sqrt{2})^2 + (b_2 - \sqrt{3})^2 = 7$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$a_1^2 + b_1^2 - 2\sqrt{2}a_1 - 2\sqrt{3}b_1 + 5 = 7 \implies a_1^2 + b_1^2 = 2 + 2\sqrt{2}a_1 + 2\sqrt{3}b_1$.
તે જ રીતે,$a_2^2 + b_2^2 = 2 + 2\sqrt{2}a_2 + 2\sqrt{3}b_2$.
$OC \perp CP$ અને $OC \perp CQ$ હોવાથી,સદિશો $\vec{CP}$ અને $\vec{CQ}$ એ $\vec{OC} = (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ને લંબ છે.
તેથી,$\sqrt{2}(a_1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3}(b_1 - \sqrt{3}) = 0 \implies \sqrt{2}a_1 + \sqrt{3}b_1 = 5$.
તે જ રીતે,$\sqrt{2}a_2 + \sqrt{3}b_2 = 5$.
તેથી $a_1^2 + b_1^2 = 2 + 2(5) = 12$ અને $a_2^2 + b_2^2 = 12$.
આમ,$a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 12 + 12 = 24$.

(B) શ્રેણી $S_1$ એ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. તેનું સામાન્ય પદ $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ છે.
શ્રેણી $S_2$ એ $a_2 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 5$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. તેનું સામાન્ય પદ $T_m = 1 + (m-1)5 = 5m - 4$ છે.
સામાન્ય પદ માટે,$4n - 1 = 5m - 4$,જેનો અર્થ છે $4n + 3 = 5m$.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે ($n=3, m=3$ માટે).
સામાન્ય પદો દ્વારા બનતી નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત એ $d_1$ અને $d_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે,જે $\text{lcm}(4, 5) = 20$ છે.
$k^{\text{th}}$ સામાન્ય પદ $T_k = 11 + (k-1)20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k=8$ માટે,$T_8 = 11 + (8-1) \times 20 = 11 + 7 \times 20 = 11 + 140 = 151$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 - 5ax + 1 = 0$ અને $x^2 - ax - 5 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી $\alpha^2 - 5a\alpha + 1 = 0$ અને $\alpha^2 - a\alpha - 5 = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 - 5a\alpha + 1) - (\alpha^2 - a\alpha - 5) = 0$.
$-4a\alpha + 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{6}{4a} = \frac{3}{2a}$.
$\alpha = \frac{3}{2a}$ ને $x^2 - ax - 5 = 0$ માં મૂકતા:
$(\frac{3}{2a})^2 - a(\frac{3}{2a}) - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} - \frac{3}{2} - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} = \frac{13}{2}$.
$a^2 = \frac{9 \times 2}{4 \times 13} = \frac{9}{26}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{3}{\sqrt{26}}$.
આપેલ છે કે $a = \frac{3}{\sqrt{2\beta}}$,તેથી $\sqrt{2\beta} = \sqrt{26}$,એટલે કે $2\beta = 26$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 13$.

(B) આપેલા અંકો $1, 2, 2, 2, 3, 3, 5$ છે. કુલ અંકો $= 7$.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,એકમનો અંક $1, 3,$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $5$ હોય.
બાકી રહેલા અંકો $1, 2, 2, 2, 3, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ છે.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $3$ હોય.
બાકી રહેલા અંકો $1, 2, 2, 2, 3, 5$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ છે.
કિસ્સો $3$: એકમનો અંક $1$ હોય.
બાકી રહેલા અંકો $2, 2, 2, 3, 3, 5$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ છે.
કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 60 + 120 + 60 = 240$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $2x \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = 4 - b^2$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|4 - b^2|}{\sqrt{4 \sec^2 \theta + b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta}}$ છે.
$d$ ને મહત્તમ કરવા માટે,છેદને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $(2 + b)^2$ મળે છે.
તેથી,$d_{max} = \frac{4 - b^2}{2 + b} = 2 - b$.
આપેલ છે કે $d_{max} = 1$,તેથી $2 - b = 1 \Rightarrow b = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) ધારો કે $z = 4e^{i\theta}$. તો $w = z + \frac{1}{z} = 4e^{i\theta} + \frac{1}{4}e^{-i\theta}$.
$w = 4(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{4}(\cos \theta - i \sin \theta) = \left(4 + \frac{1}{4}\right) \cos \theta + i \left(4 - \frac{1}{4}\right) \sin \theta$.
$w = \frac{17}{4} \cos \theta + i \frac{15}{4} \sin \theta$.
ધારો કે $w = x + iy$. તો $x = \frac{17}{4} \cos \theta$ અને $y = \frac{15}{4} \sin \theta$.
$w$ નો બિંદુપથ ઉપવલય $\frac{x^2}{(17/4)^2} + \frac{y^2}{(15/4)^2} = 1$ છે.
વક્ર $C_1$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ છે.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 17/4 = 4.25 > 4$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 15/4 = 3.75 < 4$ હોવાથી,ઉપવલય વર્તુળને $4$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) પરવલયની નાભિ $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ અને નિયામિકા $y = -\frac{1}{2}$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$(x, y)$ થી નાભિનું અંતર એ નિયામિકાથી અંતર જેટલું થાય:
$\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = \left|y + \frac{1}{2}\right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = y^2 + y + \frac{1}{4}$
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = y + \frac{1}{4} \Rightarrow y = x^2 + x = f(x)$.
આપણને $\tan^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\right) + \sin^{-1}\left(\sqrt{f(x)+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ આપેલ છે.
ધારો કે $u = \sqrt{f(x)}$. તો $\tan^{-1}(u) + \sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(u) = \cot^{-1}(u) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\right)$.
તેથી,$\sqrt{u^2+1} = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ $\Rightarrow u^2+1 = 1$ $\Rightarrow u^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) = 0$.
$f(x) = x^2+x$ હોવાથી,$x^2+x = 0$,જે $x(x+1) = 0$ આપે છે.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = -1$.
ગણ $S = \{0, -1\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના ચાર ધન ક્રમિક પદો $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ છે,જ્યાં સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^2$ છે.
આપેલ ગુણાકાર: $\frac{a}{r^3} \times \frac{a}{r} \times ar \times ar^3 = a^4 = 1296 \implies a = 6$.
આપેલ સરવાળો: $\frac{a}{r^3} + \frac{a}{r} + ar + ar^3 = 126$.
$a=6$ મૂકતા: $\frac{6}{r^3} + \frac{6}{r} + 6r + 6r^3 = 126 \implies (r^3 + \frac{1}{r^3}) + (r + \frac{1}{r}) = 21$.
ધારો કે $x = r + \frac{1}{r}$. તો $r^3 + \frac{1}{r^3} = x^3 - 3x$.
તેથી,$(x^3 - 3x) + x = 21 \implies x^3 - 2x - 21 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=3$ એ બીજ છે: $27 - 6 - 21 = 0$.
આમ,$r + \frac{1}{r} = 3 \implies r^2 - 3r + 1 = 0$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^2$ છે. $r^2 - 3r + 1 = 0$ પરથી,$r^2 + 1 = 3r$.
$r$ વડે ભાગતા,$r + \frac{1}{r} = 3$. વર્ગ કરતા $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 = 9 \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = 7$.
બે શક્ય સામાન્ય ગુણોત્તરો $t^2 - 7t + 1 = 0$ ના બીજ છે (કારણ કે $R + \frac{1}{R} = 7$).
સામાન્ય ગુણોત્તરોનો સરવાળો $7$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{(x-1)(x-3)} + \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{(x-3)(4x-2)}$ છે.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{x-3} = 0 \implies x = 3$.
પ્રદેશ તપાસતા: $\sqrt{x^2-9}$ માટે,$x^2-9 \ge 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x \ge 3$ અથવા $x \le -3$. $x=3$ માટે,$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$,જે સત્ય છે. આમ,$x=3$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{x-3} \neq 0$. $\sqrt{x-3}$ વડે ભાગતા ($x > 3$ ધારતા):
$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{4x-2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4x-2$.
$2x + 2 + 2\sqrt{x^2+2x-3} = 4x-2$.
$2\sqrt{x^2+2x-3} = 2x-4$.
$\sqrt{x^2+2x-3} = x-2$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$x^2+2x-3 = x^2-4x+4$.
$6x = 7 \implies x = 7/6$.
કારણ કે $x=7/6$ એ $x \ge 3$ નું પાલન કરતું નથી,તેથી તે અસ્વીકાર્ય છે.
તેથી,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(2,3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+3^2-11} = \sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $(3,2)$ આગળ સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $(3-2)(x-2)+(2-3)(y-3)=2$,એટલે કે $x-y-1=0$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m=1$ છે. સ્પર્શકની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ છે.
વર્તુળને સ્પર્શક પર $4$ એકમ ગબડાવતા કેન્દ્ર $C(2,3)$ માં $4 \times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ નો ફેરફાર થાય છે.
તેથી,$C_1$ નું કેન્દ્ર $A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ મળે.
$C_2$ એ $T$ માં $C_1$ નું પ્રતિબિંબ છે. કેન્દ્ર $B$ એ $A$ નું $x-y-1=0$ રેખામાં પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્ર મુજબ,$\frac{x_B-x_A}{1} = \frac{y_B-y_A}{-1} = -2 \frac{x_A-y_A-1}{1^2+(-1)^2} = 2$.
તેથી,$x_B = 2+2\sqrt{2}+2 = 4+2\sqrt{2}$ અને $y_B = 3+2\sqrt{2}-2 = 1+2\sqrt{2}$.
$A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ અને $B = (4+2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2})$.
$M$ અને $N$ ના યામ $(2+2\sqrt{2}, 0)$ અને $(4+2\sqrt{2}, 0)$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $AMNB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (AM+BN) \times MN = \frac{1}{2} \times (3+2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}) \times 2 = 4+4\sqrt{2} = 4(1+\sqrt{2})$.

(D) $(S1)$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $(p \Rightarrow q) \vee (p \wedge (\sim q))$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.
છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $T$ હોવાથી,$(S1)$ એ નિત્યસત્ય છે.
$(S2)$ વિરોધાભાસ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $((\sim p) \Rightarrow (\sim q)) \wedge ((\sim p) \vee q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.
છેલ્લી કોલમમાં $T$ અને $F$ બંને હોવાથી,તે એક આકસ્મિક ઘટના છે,વિરોધાભાસ નથી.
તેથી,માત્ર $(S1)$ સાચું છે.

(A) ઉપલબ્ધ અંકો $S = \{0, 2, 3, 4, 7, 9\}$ છે. કુલ અંકોની સંખ્યા $6$ છે.
સંખ્યાઓ $5$ અંકની હોવાથી,પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં. શક્ય પ્રથમ અંકો $\{2, 3, 4, 7, 9\}$ છે.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$.
$3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$.
$40$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
$420$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$422$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$423$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$424$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$427$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$.
$4290$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 6 = 6$.
હવે,$4292$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ ગણીએ:
$42920$ એ $1$લી સંખ્યા છે.
$42922$ એ $2$જી સંખ્યા છે.
$42923$ એ $3$જી સંખ્યા છે.
કુલ અનુક્રમ નંબર = $1296 + 1296 + 216 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 6 + 3 = 2997$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $a_5 = 2a_3 \implies a_1 + 4d = 2(a_1 + 2d) \implies a_1 = 0$ (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા $a_1 = -72$ અને $d = 9$ મળે છે).
$a_{10} = a_1 + 9d = 9$ અને $a_{18} = a_1 + 17d = 81$.
સરવાળો $S = \frac{12}{d} (\sqrt{a_{18}} - \sqrt{a_{10}}) = \frac{12}{9} (\sqrt{81} - \sqrt{9}) = \frac{12}{9} (9 - 3) = 8$.

(A) $(x^{2/3} + 2x^{-3})^{30}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ:
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} (x^{2/3})^{30-r} (2x^{-3})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{(60-11r)/3}$
અહીં પદ $\beta x^{-\alpha}$ છે,તેથી $-\alpha = \frac{60-11r}{3}$,એટલે કે $\alpha = \frac{11r-60}{3}$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$11r > 60$,એટલે કે $r > 5.45$.
$r$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$r$ ની સૌથી નાની કિંમત $6$ છે.
$r = 6$ માટે,$\alpha = \frac{11(6)-60}{3} = 2$.
આમ,$\alpha$ ની સૌથી નાની કિંમત $2$ છે.

(A) ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(5, 11) = 1$ હોવાથી,$5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ થાય.
$5^{99} = 5^{90} \cdot 5^9 = (5^{10})^9 \cdot 5^9$.
$5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ હોવાથી,$(5^{10})^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{11}$ થાય.
હવે,$5^9 \pmod{11}$ ની ગણતરી કરીએ:
$5^2 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$.
$5^4 = (5^2)^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv -2 \pmod{11}$.
$5^8 = (5^4)^2 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{11}$.
$5^9 = 5^8 \cdot 5^1 \equiv 4 \cdot 5 = 20 \equiv 9 \pmod{11}$.
તેથી,$5^{99} \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{11}$.
શેષ $9$ છે.

(A) ધારો કે $A = 5$. આપણે $d_i = x_i - A$ અને જરૂરી સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ)
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 45 + \alpha$.
સરવાળો $\sum f_i d_i = 0$.
સરવાળો $\sum f_i d_i^2 = 150$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2 = 3$.
$\frac{150}{45 + \alpha} - 0 = 3$.
$150 = 3(45 + \alpha) \Rightarrow 150 = 135 + 3\alpha$.
$3\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = 5$.

(A) આપણે $1000 \le x \le 2800$ ની વચ્ચે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે $3$ અથવા $11$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $(A)$: $1002$ થી $2799$ સુધી,$n = 600$.
$11$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $(B)$: $1000$ થી $2800$ સુધી,$254 - 90 = 164$.
$33$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $(A \cap B)$: $1000$ થી $2800$ સુધી,$84 - 30 = 54$.
કુલ સંખ્યા = $600 + 164 - 54 = 710$.

(A) આપેલ છે કે $a_7 = a + 6d = 3$,તેથી $a = 3 - 6d$.
ગુણાકાર $P = a_1 a_4 = a(a + 3d) = (3 - 6d)(3 - 3d) = 18d^2 - 27d + 9$.
ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે,આપણે $P$ નું $d$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dP}{dd} = 36d - 27 = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{4}$.
$d = \frac{3}{4}$ ને $a = 3 - 6d$ માં મૂકતા,આપણને $a = 3 - 6(\frac{3}{4}) = 3 - \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 0$ છે.
$n \neq 0$ હોવાથી,$2(-\frac{3}{2}) + (n - 1)(\frac{3}{4}) = 0 \Rightarrow -3 + \frac{3(n - 1)}{4} = 0 \Rightarrow \frac{3(n - 1)}{4} = 3 \Rightarrow n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$.
આપણે $n! - 4 a_{n(n+2)} = 5! - 4 a_{5(7)} = 120 - 4 a_{35}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a_{35} = a + 34d = -\frac{3}{2} + 34(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{2} + \frac{51}{2} = \frac{48}{2} = 24$.
આમ,$120 - 4(24) = 120 - 96 = 24$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - \frac{1+a}{2}x - \frac{1-a}{2}y = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C\left(\frac{1+a}{4}, \frac{1-a}{4}\right) = (h, k)$ છે.
બિંદુ $P = (2h, 2k)$ છે.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(t, -t)$ રેખા $x+y=0$ પર છે.
$CM$ એ જીવાને લંબ હોવાથી,$CM$ નો ઢાળ $1$ થાય.
ગણતરી કરતા $a^2 > 8$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0$
ધારો કે $e^x = t$. $x \in R$ હોવાથી,$t > 0$.
સમીકરણ $t^4 + 8t^3 + 13t^2 - 8t + 1 = 0$ બને છે.
$t^2$ વડે ભાગતા $(t \neq 0)$:
$t^2 + 8t + 13 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 8(t - \frac{1}{t}) + 13 = 0$
ધારો કે $z = t - \frac{1}{t}$. તો $z^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$,તેથી $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 + 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$(z^2 + 2) + 8z + 13 = 0$
$z^2 + 8z + 15 = 0$
$(z + 3)(z + 5) = 0$
તેથી,$z = -3$ અથવા $z = -5$.
કિસ્સો $1$: $t - \frac{1}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 1 = 0$. ઉકેલ $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. $t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$.
કિસ્સો $2$: $t - \frac{1}{t} = -5 \implies t^2 + 5t - 1 = 0$. ઉકેલ $t = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$. $t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$.
બંને કિસ્સામાં $t < 1$ હોવાથી,$x = \ln(t) < 0$.
આમ,બે ઉકેલો છે અને બંને ઋણ છે.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = ((p \wedge q)$ $\Rightarrow (r \vee q)) \wedge ((p \wedge r)$ $\Rightarrow q)$ છે.
નિત્યસમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\sim(p \wedge q) \vee (r \vee q)) \wedge (\sim(p \wedge r) \vee q)$
$S = (\sim p \vee \sim q \vee r \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q)$
અહીં $\sim q \vee q = T$ હોવાથી,પ્રથમ ભાગ $\sim p \vee r \vee T = T$ થાય.
આમ,$S = T \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q) = \sim p \vee \sim r \vee q$.
$S$ નિત્યસત્ય બને તે માટે $\sim p \vee \sim r \vee q$ હંમેશા સત્ય હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $r = p$. તો $\sim p \vee \sim p \vee q = \sim p \vee q$,જે નિત્યસત્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $r = q$. તો $\sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$. (માન્ય)
કિસ્સો $3$: $r = \sim p$. તો $\sim p \vee \sim(\sim p) \vee q = \sim p \vee p \vee q = T \vee q = T$. (માન્ય)
કિસ્સો $4$: $r = \sim q$. તો $\sim p \vee \sim(\sim q) \vee q = \sim p \vee q \vee q = \sim p \vee q$,જે નિત્યસત્ય નથી.
આમ,$r$ ની $2$ કિંમતો માટે પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{3 x+1}+\sqrt{3 x-1})^6+(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1})^6}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^6+\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^6} x^3$ છે.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે આપણે કૌંસની અંદરના પદોમાંથી $x$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
અંશ: $(\sqrt{3x+1} \pm \sqrt{3x-1})^6 = x^3 (\sqrt{3+1/x} \pm \sqrt{3-1/x})^6$.
છેદ: $(x \pm \sqrt{x^2-1})^6 = x^6 (1 \pm \sqrt{1-1/x^2})^6$.
આ કિંમતોને સીમામાં મૂકતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x^3 \cdot \frac{x^3 [(\sqrt{3+1/x} + \sqrt{3-1/x})^6 + (\sqrt{3+1/x} - \sqrt{3-1/x})^6]}{x^6 [(1 + \sqrt{1-1/x^2})^6 + (1 - \sqrt{1-1/x^2})^6]}$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,$1/x \rightarrow 0$ અને $1/x^2 \rightarrow 0$ થાય છે.
$L = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{3})^6 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^6}{(1 + 1)^6 + (1 - 1)^6} = \frac{(2\sqrt{3})^6 + 0}{2^6 + 0} = \frac{64 \cdot 27}{64} = 27$.

(A) વર્ગ $A$ માટે: $n_1 = 100, \overline{x}_1 = 40, \sigma_1 = \alpha$. વિચરણ $\sigma_1^2 = \alpha^2$.
વર્ગ $B$ માટે: $n_2 = n, \overline{x}_2 = 55, \sigma_2 = 30-\alpha$. વિચરણ $\sigma_2^2 = (30-\alpha)^2$.
સંયુક્ત મધ્યક $\overline{x} = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1+n_2} = 50$.
$\frac{100(40) + n(55)}{100+n} = 50 \implies 4000 + 55n = 5000 + 50n \implies 5n = 1000 \implies n = 200$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1+n_2}$,જ્યાં $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x} = -10$ અને $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x} = 5$.
$350 = \frac{100(\alpha^2 + 100) + 200((30-\alpha)^2 + 25)}{300}$.
$1050 = \alpha^2 + 100 + 2(925 - 60\alpha + \alpha^2) = 3\alpha^2 - 120\alpha + 1950$.
$3\alpha^2 - 120\alpha + 900 = 0 \implies \alpha^2 - 40\alpha + 300 = 0$.
$\alpha = 10$ અથવા $\alpha = 30$. $\alpha = 10$ લેતા,$\sigma_1^2 + \sigma_2^2 = 100 + 400 = 500$.

(A) નાભિઓ $(h \pm ae, k) = (1 \pm \sqrt{2}, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરખામણી કરતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 0)$ અને $ae = \sqrt{2}$ મળે છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{2}$ હોવાથી,$a(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 1^2((\sqrt{2})^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1$.
આમ,$b = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{1} = 2$ છે.

(A) આપેલ છે $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,છેદ $e^{i\pi/3}$ છે.
તેથી,$z = (i-1) e^{-i\pi/3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i-1 = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4}$.
તેથી,$z = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4} \cdot e^{-i\pi/3} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4 - \pi/3)} = \sqrt{2} e^{i(9\pi/12 - 4\pi/12)} = \sqrt{2} e^{i 5\pi/12}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,આ $\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$ છે.

(D) $\left(\frac{4x}{5} + \frac{5}{2x^2}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^9C_r \left(\frac{4x}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2x^2}\right)^r$
$= {}^9C_r \left(\frac{4}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2}\right)^r x^{9-3r}$
$x^{-6}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $-6$ લઈએ:
$9 - 3r = -6$
$3r = 15 \Rightarrow r = 5$
$r = 5$ મૂકતા,સહગુણક:
સહગુણક $= {}^9C_5 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{5}{2}\right)^5$
$= 126 \times \frac{256}{625} \times \frac{3125}{32} = 5040$

(D) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{{}^{2n+1}P_{n-1}}{{}^{2n-1}P_n} = \frac{11}{21}$
સૂત્ર ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \times \frac{(n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{11}{21}$
ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(2n+1)(2n)}{(n+2)(n+1)n} = \frac{11}{21}$
$\frac{2(2n+1)}{(n+2)(n+1)} = \frac{11}{21}$
$84n + 42 = 11n^2 + 33n + 22$
$11n^2 - 51n - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $n = 5$ મળે છે.
$n^2 + n + 15$ ની કિંમત:
$5^2 + 5 + 15 = 45$.

(D) $\left(\frac{x^{5/2}}{2} - \frac{4}{x^{\ell}}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left(\frac{x^{5/2}}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{4}{x^{\ell}}\right)^r$ છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ: $\frac{45-5r}{2} - r\ell = 0 \implies r(5+2\ell) = 45$.
અચળ પદ $-84$ આપેલ છે,તેથી $(-1)^r \binom{9}{r} 2^{3r-9} = -84$. $r=3$ લેતા,$\binom{9}{3} = 84$,જે શરત સંતોષે છે.
$r=3$ મૂકતા,$3(5+2\ell) = 45 \implies \ell = 5$.
$x^{-3\ell} = x^{-15}$ ના સહગુણક માટે,$\frac{45-5r}{2} - 5r = -15 \implies r=5$.
સહગુણક $(-1)^5 \binom{9}{5} \frac{4^5}{2^4} = -126 \times 2^6 = -63 \times 2^7$ મળે છે.
તેથી $\alpha = 7$ અને $\beta = -63$.
$|\alpha\ell - \beta| = |7(5) - (-63)| = 98$.

(D) બિંદુ $P(b, c)$ એ પરવલય $y^2 = 2ax$ પર હોવાથી,$c^2 = 2ab$ મળે.
પરવલય $y^2 = 2ax$ ના બિંદુ $(b, c)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yc = a(x + b)$ છે.
$x$-અક્ષ $(y = 0)$ સાથેના છેદબિંદુ માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા $x = -b$ મળે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(b, c)$,$(b, 0)$ અને $(-b, 0)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2b) \times c = bc = 16$.
$b, c \in \mathbb{N}$ હોવાથી,શક્ય જોડીઓ $(b, c) = (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1)$ છે.
$a = \frac{c^2}{2b}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(b, c) = (1, 16)$ માટે $a = 128$,
$(b, c) = (2, 8)$ માટે $a = 16$,
$(b, c) = (4, 4)$ માટે $a = 2$.
અન્ય કિંમતો માટે $a$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
તેથી,$S = \{128, 16, 2\}$ અને તેમનો સરવાળો $128 + 16 + 2 = 146$ થાય.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{8} (-1)^{n-1} n (2n-1)^2$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S = 1 \cdot 1^2 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 5^2 - 4 \cdot 7^2 + 5 \cdot 9^2 - 6 \cdot 11^2 + 7 \cdot 13^2 - 8 \cdot 15^2 + 9 \cdot 17^2 - 10 \cdot 19^2 + 11 \cdot 21^2 - 12 \cdot 23^2 + 13 \cdot 25^2 - 14 \cdot 27^2 + 15 \cdot 29^2$.
ધન અને ઋણ પદોને જૂથમાં લેતા:
$S = (1 \cdot 1^2 + 3 \cdot 5^2 + 5 \cdot 9^2 + 7 \cdot 13^2 + 9 \cdot 17^2 + 11 \cdot 21^2 + 13 \cdot 25^2 + 15 \cdot 29^2) - (2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 7^2 + 6 \cdot 11^2 + 8 \cdot 15^2 + 10 \cdot 19^2 + 12 \cdot 23^2 + 14 \cdot 27^2)$.
ધન પદોનો સરવાળો: $1 + 75 + 405 + 1183 + 2601 + 4851 + 8125 + 12615 = 29856$.
ઋણ પદોનો સરવાળો: $18 + 196 + 726 + 1800 + 3610 + 6348 + 10206 = 22904$.
$S = 29856 - 22904 = 6952$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $0 \le x, y \le 60$. નમૂના અવકાશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $60 \times 60 = 3600$ છે.
શરત છે $|x - y| \le a$,જેનો અર્થ છે $-a \le x - y \le a$.
$|x - y| > a$ હોય તેવા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $(60 - a)$ બાજુવાળા બે કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$|x - y| > a$ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}(60 - a)^2 + \frac{1}{2}(60 - a)^2 = (60 - a)^2$.
તેથી,$|x - y| \le a$ હોય તેવા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $3600 - (60 - a)^2$ છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{3600 - (60 - a)^2}{3600} = \frac{11}{36}$.
$3600$ વડે ગુણતા,આપણને $3600 - (60 - a)^2 = 1100$ મળે છે.
$(60 - a)^2 = 3600 - 1100 = 2500$.
$60 - a = 50 \Rightarrow a = 10$.

(A) આપણે પદાવલિ $q \vee ((\sim q) \wedge p)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ધારો કે $E = q \vee ((\sim q) \wedge p)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge \sim((\sim q) \wedge p)$
ફરીથી ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge (q \vee \sim p)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$:
$\sim E = (\sim q \wedge q) \vee (\sim q \wedge \sim p)$
કારણ કે $(\sim q \wedge q)$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે:
$\sim E = F \vee (\sim q \wedge \sim p)$
કારણ કે $F \vee X = X$:
$\sim E = (\sim q \wedge \sim p)$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \frac{r}{1+r^2+r^4}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+r^2+r^4 = (1+r^2)^2 - r^2 = (1+r^2-r)(1+r^2+r)$.
તેથી,$T_r = \frac{r}{(r^2-r+1)(r^2+r+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right]$.
ધારો કે $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$. તો $T_r = \frac{1}{2} [f(r) - f(r+1)]$.
$10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)]$.
$f(1) = \frac{1}{1^2-1+1} = 1$.
$f(11) = \frac{1}{11^2-11+1} = \frac{1}{121-11+1} = \frac{1}{111}$.
તેથી,$S_{10} = \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{111}] = \frac{1}{2} [\frac{110}{111}] = \frac{55}{111}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{26} \frac{1}{(2r-1)! (51-(2r-1))!}$ છે.
$51!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} \frac{51!}{(2r-1)! (52-2r)!} = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} {}^{51}C_{2r-1}$.
આ સરવાળો $(1+x)^{51}$ ના એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો દર્શાવે છે:
$S = \frac{1}{51!} ({}^{51}C_1 + {}^{51}C_3 + \dots + {}^{51}C_{51})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^{n-1}$ થાય છે. અહીં $n=51$ છે,તેથી સરવાળો $2^{51-1} = 2^{50}$ થશે.
તેથી,$S = \frac{2^{50}}{51!}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,2), B(2,3)$ અને $C(3,1)$ છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(\alpha, \beta)$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{1-2}{3-1} = -\frac{1}{2}$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $m_{BH} = 2$ થાય. તેથી,$\frac{\beta-3}{\alpha-2} = 2$ $\Rightarrow \beta-3 = 2\alpha-4$ $\Rightarrow \beta = 2\alpha-1$.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ છે.
$CH \perp AB$ હોવાથી,$CH$ નો ઢાળ $m_{CH} = -1$ થાય. તેથી,$\frac{\beta-1}{\alpha-3} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -\alpha+3$ $\Rightarrow \beta = -\alpha+4$.
$\beta$ માટેના બંને સમીકરણો સરખાવતા: $2\alpha-1 = -\alpha+4$ $\Rightarrow 3\alpha = 5$ $\Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$.
તેથી $\beta = 2(\frac{5}{3})-1 = \frac{7}{3}$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $p = \alpha+4\beta = \frac{5}{3} + \frac{28}{3} = 11$ અને $q = 4\alpha+\beta = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(x-p)(x-q) = 0$ $\Rightarrow (x-11)(x-9) = 0$ $\Rightarrow x^2-20x+99 = 0$ થાય.

(D) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ નું મૂલ્ય ત્યારે ન્યૂનતમ થાય જ્યારે $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોય,એટલે કે $A = B = C = 60^{\circ}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = 3$ આપેલ છે. સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$,તેથી $a = 6\sqrt{3}$.
પરિમિતિ $= 3a = 18\sqrt{3}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 27\sqrt{3}$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -2r^2 = -18$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).

(D) સમઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$
$2x^2+xy-3y^2=0$ ને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2$,$2h=1 \implies h=1/2$,અને $b=-3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^2-y^2}{2-(-3)} = \frac{xy}{1/2}$
$\frac{x^2-y^2}{5} = 2xy$
$x^2-y^2 = 10xy$
$x^2-y^2-10xy=0$

(B) ધારો કે $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x^2 - 4}$.
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ હોવાથી,$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
તેથી,સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = 10$ બને છે.
$t^2 - 10t + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
$5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ અને $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$.
કિસ્સો $1$: $x^2 - 4 = 2 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$.
કિસ્સો $2$: $x^2 - 4 = -2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
આમ,$S = \{ \sqrt{6}, -\sqrt{6}, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \}$.
તેથી $n(S) = 4$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $\left|\frac{x+iy-2}{x+iy-3}\right|=2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(x-2)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}=4$.
$(x-2)^2+y^2 = 4((x-3)^2+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4x^2-24x+36+4y^2$.
$3x^2+3y^2-20x+32=0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2-\frac{20}{3}x+\frac{32}{3}=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-\frac{10}{3}$ અને $f=0$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (-g, -f) = \left(\frac{10}{3}, 0\right)$.
ત્રિજ્યા $\gamma = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3(\alpha+\beta+\gamma) = 3\left(\frac{10}{3} + 0 + \frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{12}{3}\right) = 12$.

(A) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $1, 3, 5, a, b$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 5$ હોવાથી,$\frac{1+3+5+a+b}{5} = 5$.
$9 + a + b = 25 \implies a + b = 16$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 8$ હોવાથી,$\frac{1^2+3^2+5^2+a^2+b^2}{5} - (5)^2 = 8$.
$\frac{1+9+25+a^2+b^2}{5} = 33$.
$35 + a^2 + b^2 = 165 \implies a^2 + b^2 = 130$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ હોવાથી,$16^2 = 130 + 2ab$.
$256 = 130 + 2ab \implies 2ab = 126 \implies ab = 63$.
$a$ અને $b$ એ $x^2 - 16x + 63 = 0$ ના બીજ છે.
$(x-7)(x-9) = 0$,તેથી બાકીના અવલોકનો $7$ અને $9$ છે.
ઘનનો સરવાળો $7^3 + 9^3 = 343 + 729 = 1072$ થાય.

(C) પ્રથમ પદ $a_1 = 8$ અને પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = 50$ આપેલ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$S_4 = \frac{4}{2}(2a_1 + 3d) = 50$.
$2(16 + 3d) = 50$ $\Rightarrow 16 + 3d = 25$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3$.
હવે,છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $a_{n-3} + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = 170$ છે.
આને $(a_1 + (n-4)d) + (a_1 + (n-3)d) + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d) = 170$ તરીકે લખી શકાય.
$4a_1 + (4n - 10)d = 170$.
$4(8) + (4n - 10)(3) = 170 \Rightarrow 32 + 12n - 30 = 170$.
$12n + 2 = 170$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14$.
$n=14$ વાળી $A.P.$ ના મધ્યના બે પદો $a_7$ અને $a_8$ છે.
$a_7 = a_1 + 6d = 8 + 6(3) = 8 + 18 = 26$.
$a_8 = a_1 + 7d = 8 + 7(3) = 8 + 21 = 29$.
મધ્યના બે પદોનો ગુણાકાર $a_7 \times a_8 = 26 \times 29 = 754$ થાય.

(C) ધારો કે $S$ એ $3$-અંકની સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|S| = 900$.
$A$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|A| = 450$.
$B$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|B| = 300$.
$C$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,$|C| = 128$.
$|A \cap B| = 150$,$|A \cap C| = 64$,$|B \cap C| = 43$,$|A \cap B \cap C| = 21$.
આપણે $|(A \cup B) \setminus C|$ શોધવાનું છે.
$|A \cup B| = 450 + 300 - 150 = 600$.
$|(A \cup B) \cap C| = 64 + 43 - 21 = 86$.
પરિણામ $= 600 - 86 = 514$.

(C) જ્યારે $19^{200} + 23^{200}$ ને $49$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $29$ મળે છે.

(C) $ASSASSINATION$ શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
સ્વરો: $A, A, A, I, I, O$ (કુલ $6$ સ્વરો).
વ્યંજનો: $S, S, S, S, N, N, T$ (કુલ $7$ વ્યંજનો).
$6$ સ્વરોને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ એકમ = $8$ વસ્તુઓ છે.
આ $8$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (જ્યાં $S$ ચાર વાર અને $N$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) = $\frac{8!}{4!2!} = 840$.
હવે,એકમની અંદર $6$ સ્વરોની ગોઠવણી (જ્યાં $A$ ત્રણ વાર અને $I$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) = $\frac{6!}{3!2!} = 60$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $840 \times 60 = 50400$.

(B) અહીં $S = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+3n+4}{(2n)!}$ છે.
અંશને $2n(2n-1)$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$2n^2+3n+4 = \frac{1}{2}(2n)(2n-1) + 2(2n) + 4$.
તેથી,$S = \frac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + 2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} + 4 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2}(\frac{e+e^{-1}}{2}) + 2(\frac{e-e^{-1}}{2}) + 4(\frac{e+e^{-1}-2}{2})$
$S = \frac{13}{4}e + \frac{5}{4e} - 4$.

(A) ધારો કે બે પાસાઓના પરિણામો $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$: $x < y$. પરિણામોની સંખ્યા $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ છે.
ઘટના $B$: $x \in \{2, 4, 6\}$ અને $y \in \{1, 3, 5\}$. પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
ઘટના $C$: $x \in \{1, 3, 5\}$ અને $y \in \{2, 4, 6\}$. પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
હવે,$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
$B \cap C$: $x$ બેકી અને એકી બંને હોય,જે અશક્ય છે,તેથી $B \cap C = \emptyset$.
$A \cap C$: $x < y$ અને $x \in \{1, 3, 5\}, y \in \{2, 4, 6\}$.
જો $x=1$,$y \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ કિસ્સાઓ).
જો $x=3$,$y \in \{4, 6\}$ ($2$ કિસ્સાઓ).
જો $x=5$,$y \in \{6\}$ ($1$ કિસ્સો).
$A \cap C$ માટે કુલ કિસ્સાઓ $3 + 2 + 1 = 6$ છે.
આમ,$(A \cup B) \cap C$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 + 0 = 6$ છે.

(B) જો કોઈ વિધાનના તમામ ઘટકોના સત્યાર્થ મૂલ્યો માટે તેનું પરિણામ હંમેશા સત્ય (True) મળે,તો તેને નિત્યસત્ય (Tautology) કહેવાય.
$(B)$ વિકલ્પ $(p \land q)$ $\rightarrow (\sim p$ $\rightarrow q)$ માટે:
$\sim(p \land q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor p) \lor (\sim q \lor q) \equiv T \lor T \equiv T$.
આથી,તે નિત્યસત્ય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 2x^2 - 8x + k$.
એક બીજ $(1,2)$ માં અને બીજું $(2,3)$ માં હોય તે માટે,$x=2$ આગળ દ્વિઘાતનું મૂલ્ય ઋણ હોવું જોઈએ અને $x=1$ તથા $x=3$ આગળ મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ.
$f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(3) = 2(3)^2 - 8(3) + k = 18 - 24 + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + k = 8 - 16 + k = k - 8 < 0 \implies k < 8$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $6 < k < 8$ મળે છે.
આ અંતરાલમાં $k$ નું એકમાત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્ય $k = 7$ છે.

(C) રેખા $l_1$ એ બિંદુ $A(2, 6, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $2x + y - 2z = 10$ ને લંબ છે. સમતલનો દિશા સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે. તેથી,રેખા $l_1$ નું સમીકરણ $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 6}{1} = \frac{z - 2}{-2}$ થાય.
બીજી રેખા $l_2: \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 4}{-3} = \frac{z}{2}$ છે,જે બિંદુ $B(-1, -4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{b_2} - \vec{b_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
$\vec{b_2} - \vec{b_1} = (-1 - 2)\hat{i} + (-4 - 6)\hat{j} + (0 - 2)\hat{k} = -3\hat{i} - 10\hat{j} - 2\hat{k}$ થાય.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(4 - (-4)) + \hat{k}(-6 - 2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} - 8\hat{k}$ થાય.
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12$ થાય.
$d = \left| \frac{(-3\hat{i} - 10\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - 8\hat{j} - 8\hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{12 + 80 + 16}{12} \right| = \frac{108}{12} = 9$.

(B) પાસાની બાજુઓ $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે. ગુણાકાર ધન ત્યારે જ થાય જો કોઈ પણ પરિણામ $0$ ન હોય અને ઋણ પરિણામોની સંખ્યા બેકી હોય.
$P(\text{ધન}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(\text{ઋણ}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,$P(0) = \frac{1}{6}$.
કેસ $1$: $0$ ઋણ,$5$ ધન: $\binom{5}{0} (\frac{1}{2})^5 = \frac{81}{2592}$.
કેસ $2$: $2$ ઋણ,$3$ ધન: $\binom{5}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{360}{2592}$.
કેસ $3$: $4$ ઋણ,$1$ ધન: $\binom{5}{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{1}{2})^1 = \frac{80}{2592}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{81 + 360 + 80}{2592} = \frac{521}{2592}$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & k \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & 2\end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1(3 \times 2 - (-1) \times 4) - 1(2 \times 2 - (-1) \times 3) + k(2 \times 4 - 3 \times 3) = 0$
$1(6 + 4) - 1(4 + 3) + k(8 - 9) = 0$
$10 - 7 - k = 0$
$3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$
હવે,$k = 3$ ને બીજી સમીકરણ સંહતિમાં મૂકતા:
$(3+1)x + (2 \times 3 - 1)y = 7 \Rightarrow 4x + 5y = 7 \dots (1)$
$(2 \times 3 + 1)x + (3+5)y = 10 \Rightarrow 7x + 8y = 10 \dots (2)$
ઉકેલના પ્રકારને ચકાસવા માટે,આ સંહતિના સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધો:
$D = \left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 7 & 8\end{array}\right| = 32 - 35 = -3 \neq 0$
$D \neq 0$ હોવાથી,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$(2) - (1) \Rightarrow (7x + 8y) - (4x + 5y) = 10 - 7$
$3x + 3y = 3 \Rightarrow x + y = 1$
આમ,સંહતિને $x+y=1$ નું પાલન કરતો અનન્ય ઉકેલ છે.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ છે.
$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$5f(0) = f(0)^2$ મળે. સહપ્રદેશ $(0, \infty)$ હોવાથી,$f(0) \neq 0$,તેથી $f(0) = 5$.
$y = 1$ લેતા,$5f(x + 1) = f(x) \cdot f(1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = \frac{f(1)}{5}$.
આ દર્શાવે છે કે $f(n)$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{f(1)}{5}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(3) = f(0) \cdot r^3 = 5 \cdot r^3 = 320$.
તેથી,$r^3 = 64$,જે આપણને $r = 4$ આપે છે.
તેથી,$f(n) = f(0) \cdot r^n = 5 \cdot 4^n$.
સરવાળો $\sum_{n=0}^5 f(n) = \sum_{n=0}^5 5 \cdot 4^n = 5(1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5)$ થશે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1} = 5 \cdot \frac{4096 - 1}{3} = 5 \cdot \frac{4095}{3} = 5 \cdot 1365 = 6825$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $\hat{n} \perp \vec{c}$,તેથી $\hat{n} \cdot \vec{c} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (\alpha \vec{b} - \hat{n}) \cdot \vec{c} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\hat{n} \cdot \vec{c}) = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - 0 = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$.
$\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$ અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$ મૂકતા:
$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) (\alpha \vec{b} - \hat{n}) - (\alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})) \vec{b}$.
$= \alpha(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n} - \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$= -(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}$.
માન મેળવતા:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}| = |\vec{c} \cdot \vec{b}| |\hat{n}|$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 12$ અને $|\hat{n}| = 1$ હોવાથી:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |12| \times 1 = 12$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x+90y+2=0$ છે,જેને $y=-\frac{1}{90}x-\frac{2}{90}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m=-\frac{1}{90}$ છે.
અભિલંબ રેખા આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $(m_N)$ $-\frac{1}{90}$ હોવો જોઈએ.
સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_T)$ એ અભિલંબના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે,તેથી $m_T = -\frac{1}{m_N} = -\frac{1}{-1/90} = 90$.
વક્ર $y=54x^5-135x^4-70x^3+180x^2+210x$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210$.
વિકલનને સ્પર્શકના ઢાળ $(90)$ સાથે સરખાવતા:
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210 = 90$
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 120 = 0$
$30$ વડે ભાગતા:
$9x^4 - 18x^3 - 7x^2 + 12x + 4 = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $x=1, x=2, x=-\frac{2}{3}, x=-\frac{1}{3}$ મળે છે.
આમ,$x$ ની $4$ અલગ કિંમતો હોવાથી,વક્ર પર આવા $4$ બિંદુઓ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.
ધારો કે $t = x^3$,તો $dt = 3x^2 dx$. સંકલન $\int -\frac{t \tan^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ બને છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\tan^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ મળે છે.
તેથી,$I.F. = \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right)$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right) \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) dx + C$.
$y \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$.
$x = 1$ માટે,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - \tan^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} \right) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} \right) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$.

(A) બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ અને $C(1, 5, 7)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $(x-1)(4-3) - (y-2)(4-0) + (z-3)(3-0) = 0$
$\Rightarrow (x-1) - 4(y-2) + 3(z-3) = 0$
$\Rightarrow x - 4y + 3z = 2$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 1, -4, 3 \rangle$ છે. એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\langle 1, -4, 3 \rangle}{\sqrt{26}}$ છે.
$\hat{OP}$ એ સમતલને લંબ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{OP} = \pm \langle \frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{-4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
દિગ્કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે. $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ આપેલ હોવાથી,$\cos \beta > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos \beta = \frac{4}{\sqrt{26}}$. આનો અર્થ એ છે કે $\hat{OP} = \langle -\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, -\frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
આમ,$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ અને $\cos \gamma = -\frac{3}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \gamma \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ છે. $1 \leq x \leq 2$ માટે,$[x] = 1$ થાય.
તેથી,$I = \int \limits_1^2 x^2 e^{1+[x^3]} dx = e \int \limits_1^2 x^2 e^{[x^3]} dx$.
ધારો કે $x^3 = t$,તો $3x^2 dx = dt$,એટલે કે $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x=1, t=1$ અને જ્યારે $x=2, t=8$.
તેથી,$I = \frac{e}{3} \int \limits_1^8 e^{[t]} dt$.
સંકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $I = \frac{e}{3} \left( \int \limits_1^2 e^1 dt + \int \limits_2^3 e^2 dt + \dots + \int \limits_7^8 e^7 dt \right)$.
$I = \frac{e}{3} (e^1 + e^2 + e^3 + e^4 + e^5 + e^6 + e^7) = \frac{e^2(e^7-1)}{3(e-1)}$.
આપેલ પદ $\frac{3(e-1)}{e} \cdot I = \frac{3(e-1)}{e} \cdot \frac{e^2(e^7-1)}{3(e-1)} = e(e^7-1) = e^8-e$.

(B) આપેલ છે $R = \{(a, b), (b, c)\}$ ગણ $A = \{a, b, c\}$ પર.
સંબંધ $R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ.
સંમિતતા માટે ઉમેરવા પડતા ઘટકો:
$(a, b) \in R$ હોવાથી,આપણે $(b, a)$ ઉમેરવું પડશે.
$(b, c) \in R$ હોવાથી,આપણે $(c, b)$ ઉમેરવું પડશે.
હવે $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)\}$.
સંબંધ $R$ પરંપરિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ.
$(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(a, c)$ ઉમેરવું પડશે.
$(a, c) \in R$ હોવાથી,સંમિતતા માટે આપણે $(c, a)$ ઉમેરવું પડશે.
હવે $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)\}$.
ફરીથી પરંપરિતતા તપાસતા:
$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R \Rightarrow (a, a) \in R$.
$(b, c) \in R$ અને $(c, b) \in R \Rightarrow (b, b) \in R$.
$(a, c) \in R$ અને $(c, a) \in R \Rightarrow (c, c) \in R$.
આ ઘટકો ઉમેરતા,$R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)\}$.
ઉમેરવામાં આવેલા ઘટકો $(b, a), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)$ છે.
કુલ ઉમેરેલા ઘટકોની સંખ્યા $= 7$.

(D) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. આપણે એવા એક-એક વિધેયો $f: S \rightarrow P(S)$ ની સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $f(1) \subset f(2) \subset f(3) \subset f(4) \subset f(5) \subset f(6)$ થાય.
આ $S$ ના $6$ ભિન્ન ઉપગણોની સાંકળ પસંદ કરવા સમાન છે,જ્યાં $A_i = f(i)$.
$S$ માં $6$ ઘટકો હોવાથી,$6$ ભિન્ન ઉપગણોની સાંકળ મેળવવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે ઉપગણોનું કદ $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ હોય.
આપણે $7$ શક્ય કદમાંથી $6$ કદ પસંદ કરવાના છે. શક્ય કદના ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(0, 1, 2, 3, 4, 5)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 720$ રીતો.
$2$. $(0, 1, 2, 3, 4, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 360$ રીતો.
$3$. $(0, 1, 2, 3, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$4$. $(0, 1, 2, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$5$. $(0, 1, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$6$. $(0, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$7$. $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 720$ રીતો.
કુલ $= 720 + 360 + 360 + 360 + 360 + 360 + 720 = 3240$.

(D) વક્રો $y^2 = 8x$ અને $y = x$ છે. છેદબિંદુઓ $y = x$ ને $y^2 = 8x$ માં મૂકતા મળે છે,જે $x^2 = 8x$ આપે છે,તેથી $x(x - 8) = 0$. આમ,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(8, 8)$ છે.
આપણે પ્રથમ ચરણમાં $y^2 = 8x$,$y = x$ અને રેખા $x = 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
$x = 2$ આગળ,વક્ર $y^2 = 8x$ એ $y = \sqrt{16} = 4$ આપે છે (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે),અને રેખા $y = x$ એ $y = 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ $x = 2$ થી $x = 8$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$\alpha = \int_{2}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx$
$\alpha = \int_{2}^{8} (2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - x) \, dx$
$\alpha = \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (2)^{3/2} - \frac{2^2}{2} \right)$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - 2 \right)$
$\alpha = \left( \frac{128}{3} - 32 \right) - \left( \frac{16}{3} - 2 \right)$
$\alpha = \frac{128}{3} - 32 - \frac{16}{3} + 2 = \frac{112}{3} - 30 = \frac{112 - 90}{3} = \frac{22}{3}$
તેથી,$3\alpha = 3 \cdot \frac{22}{3} = 22$.

(D) સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
આપેલ ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$,તેથી $\sin \theta = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
આમ,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{|3\lambda - 8|}{\sqrt{35} \sqrt{\lambda^2 + 10}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{25} = \frac{(3\lambda - 8)^2}{35(\lambda^2 + 10)} \Rightarrow 38\lambda^2 - 240\lambda + 250 = 0 \Rightarrow 19\lambda^2 - 120\lambda + 125 = 0$.
$(19\lambda - 25)(\lambda - 5) = 0$,તેથી $\lambda_1 = \frac{25}{19}$ અને $\lambda_2 = 5$.
બિંદુ $(38 \times \frac{25}{19}, 10 \times 5, 2) = (50, 50, 2)$ છે.
સમતલ $P_1$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|3(50) - 5(50) + 1(2) - 7|}{\sqrt{35}} = \frac{105}{\sqrt{35}}$.
અંતરનો વર્ગ $\left(\frac{105}{\sqrt{35}}\right)^2 = \frac{11025}{35} = 315$.

(D) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ છે.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^4)}$.
$\text{Leibniz}$ ના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} \int _{0}^{x} f(t) dt = f(x)$:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{x^6+1}}{4x^3}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4x^3(x^6+1)} = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{4(x^6+1)}$.
$x \rightarrow 0$ લેતા લક્ષની કિંમત:
$L = \frac{48}{4(0^6+1)} = \frac{48}{4} = 12$.

(D) સમતલ એ $x - 3y + 2z - 1 = 0$ અને $4x - y + z = 0$ સમતલોની છેદરેખાને લંબ છે. આ રેખાનો દિશા સદિશ બે સમતલોના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\vec{n}_1 = (1, -3, 2)$ અને $\vec{n}_2 = (4, -1, 1)$.
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 + 2) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-1 + 12) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 11\hat{k}$.
આમ,જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-1, 7, 11)$ છે.
બિંદુ $(1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(-1, 7, 11)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-1(x - 1) + 7(y - 1) + 11(z - 2) = 0$
$-x + 1 + 7y - 7 + 11z - 22 = 0$
$-x + 7y + 11z = 28$.
$Ax + By + Cz = 1$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $28$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{28}x + \frac{7}{28}y + \frac{11}{28}z = 1$.
$Ax + By + Cz = 1$ સાથે સરખાવતા,$A = -\frac{1}{28}$,$B = \frac{7}{28}$,અને $C = \frac{11}{28}$ મળે છે.
હવે,$140(C - B + A)$ ની ગણતરી કરતા:
$140 \left( \frac{11}{28} - \frac{7}{28} - \frac{1}{28} \right) = 140 \left( \frac{3}{28} \right) = 5 \times 3 = 15$.

(D) આપેલ છે $f^1(x) = \frac{3x + 2}{2x + 3}$.
$f^2(x) = f^1(f^1(x)) = \frac{3(\frac{3x+2}{2x+3}) + 2}{2(\frac{3x+2}{2x+3}) + 3} = \frac{13x + 12}{12x + 13}$ શોધો.
$f^3(x) = f^1(f^2(x)) = \frac{63x + 62}{62x + 63}$ શોધો.
અહીં પેટર્ન અવલોકન કરો: $f^n(x) = \frac{A_n x + B_n}{B_n x + A_n}$ સ્વરૂપમાં છે.
પુનરાવર્તન સંબંધ $A_n = 3A_{n-1} + 2B_{n-1}$ અને $B_n = 2A_{n-1} + 3B_{n-1}$ છે.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $A_n + B_n = 5(A_{n-1} + B_{n-1})$.
$A_1 + B_1 = 3 + 2 = 5$ હોવાથી,$A_n + B_n = 5^n$ મળે.
તેથી,$n=5$ માટે,$A_5 + B_5 = 5^5 = 3125$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + \frac{5}{4}p = 0$ ના બીજ સંમેય હોય તે માટે વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = (-p)^2 - 4(1)(\frac{5}{4}p) = p^2 - 5p$.
અહીં $p \in [0, 10]$ અને $p$ પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $p^2 - 5p = k^2$,જ્યાં $k$ કોઈ અઋણ પૂર્ણાંક છે.
$[0, 10]$ માં $p$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો ચકાસતા:
જો $p=0, D=0$ (પૂર્ણવર્ગ).
જો $p=5, D=0$ (પૂર્ણવર્ગ).
જો $p=9, D=81 - 45 = 36 = 6^2$ (પૂર્ણવર્ગ).
આમ,$p$ નું મહત્તમ પૂર્ણાંક મૂલ્ય $q = 9$ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{9} (x - 9)^2 dx$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = x - 9$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=-9$; જ્યારે $x=9, u=0$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-9}^{0} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-9}^{0} = 0 - (\frac{-729}{3}) = 243$.

(D) વિધેયને અંતિમ બિંદુ હોવા માટે,તે બિંદુએ તેનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$f'(x) = x^2 + ax + 2b$
$g'(x) = x^2 + 2bx + a$
ધારો કે $x_0$ એ સામાન્ય અંતિમ બિંદુ છે. તેથી $f'(x_0) = 0$ અને $g'(x_0) = 0$.
$x_0^2 + ax_0 + 2b = 0$ ---$(1)$
$x_0^2 + 2bx_0 + a = 0$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(a - 2b)x_0 + (2b - a) = 0$
$(a - 2b)x_0 - (a - 2b) = 0$
$(a - 2b)(x_0 - 1) = 0$
કારણ કે $a \neq 2b$,તેથી $x_0 - 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = 1$.
$x_0 = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1^2 + a(1) + 2b = 0$
$1 + a + 2b = 0$
$a + 2b = -1$
આપણે $a + 2b + 7$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a + 2b = -1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$-1 + 7 = 6$.

(A) ધારો કે $y = \sqrt{3-x} + \sqrt{2+x}$. પ્રદેશ $-2 \le x \le 3$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = 5 + 2\sqrt{6+x-x^2}$ મળે.
$g(x) = 6+x-x^2$ નો મહત્તમ મૂલ્ય $x = 1/2$ આગળ $25/4$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$5 \le y^2 \le 10$.
આમ,વિસ્તાર $[\sqrt{5}, \sqrt{10}]$ છે.

(C) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}$ છે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
$v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2} - v = -\frac{1+3v^2+3v+v^3}{3+v^2} = -\frac{(v+1)^3}{3+v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} = \frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}$.
સંકલન કરતા: $\int \left(\frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}\right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln|v+1| + \frac{2}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} = -\ln|x| + C$.
$\ln|x(v+1)| + \frac{2v}{(v+1)^2} = C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = C$.
$y(1)=0$ આપેલ હોવાથી,$\ln|1+0| + 0 = C \implies C=0$.
તેથી,ઉકેલ $\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = 0$ છે.

(C) ધારો કે એકમ સદિશ $\hat{v} = \cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ છે.
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ હોવાથી,$\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \gamma = 1$ મળે.
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\gamma$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ છે.
$(\sqrt{2}, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y + 1) + \frac{1}{2}(z - 1) = 0$ થાય.
$2$ વડે ગુણતા,$(x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(y + 1) + (z - 1) = 0$ મળે.
$\Rightarrow x - \sqrt{2} + \sqrt{2} y + \sqrt{2} + z - 1 = 0$.
$\Rightarrow x + \sqrt{2} y + z = 1$.
બિંદુ $(a, b, c)$ સમતલ પર હોવાથી,$a + \sqrt{2} b + c = 1$ મળે.

(A) આપણે $\lim_{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$ શોધવાનું છે. ધારો કે $t = x-1$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $t \rightarrow 0$. તેથી,આપણે $\lim_{t \rightarrow 0} g(h(t))$ ની ગણતરી કરીશું.
$h(t) = 2[t] - f(t)$.
$t \rightarrow 0^-$ માટે,$[t] = -1$ અને $f(t) = \frac{t}{|t|} = -1$. તેથી,$h(t) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$.
તેથી,$\lim_{t \rightarrow 0^-} g(h(t)) = g(-1) = 1$.
$t \rightarrow 0^+$ માટે,$[t] = 0$ અને $f(t) = \frac{t}{|t|} = 1$. તેથી,$h(t) = 2(0) - 1 = -1$.
તેથી,$\lim_{t \rightarrow 0^+} g(h(t)) = g(-1) = 1$.
ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવાથી,લક્ષનું મૂલ્ય $1$ છે.

(D) આપેલ છે $P^{T} = aP + (a - 1)I$.
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$(P^{T})^{T} = (aP + (a - 1)I)^{T}$.
$P = aP^{T} + (a - 1)I$.
સમીકરણમાં $P^{T} = aP + (a - 1)I$ મૂકતા:
$P = a(aP + (a - 1)I) + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + a(a - 1)I + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - a + a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - 1)I$.
$(1 - a^{2})P = (a^{2} - 1)I$.
કારણ કે $a > 1$,$a^{2} - 1 \neq 0$,તેથી $-(a^{2} - 1)P = (a^{2} - 1)I$.
$P = -I$.
હવે,$|P| = |-I| = (-1)^{3} |I| = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} P| = |P|^{n-1}$,જ્યાં $n = 3$.
$|\operatorname{Adj} P| = (-1)^{3-1} = (-1)^{2} = 1$.

(A) આપેલ પદ $((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના નિયમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$,અને $\vec{w} = \vec{a} - \vec{b}$.
અહીં $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = (\lambda^2 + 4 + 9) - (1 + \lambda^2 + 4) = 8$ થાય છે,તેથી પદ $8(\vec{a} \times \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ માં ફેરવાય છે.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \lambda & 2 & -3 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{vmatrix} = (4 - 3\lambda)\hat{i} - (2\lambda + 3)\hat{j} + (-\lambda^2 - 2)\hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
સરખામણી કરતા: $4 - 3\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1$. ચકાસણી: $-(2(1) + 3) = -5$ અને $-(1^2 + 2) = -3$. જે સાચું છે.
$\lambda = 1$ માટે,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી $\vec{a} + \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{a} - \vec{b} = 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{vmatrix} = (-5 + 3)\hat{i} - (-10 - 0)\hat{j} + (6 - 0)\hat{k} = -2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\lambda = 1$ હોવાથી,આપણે $|1(-2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k})|^2 = (-2)^2 + 10^2 + 6^2 = 4 + 100 + 36 = 140$ મેળવીએ છીએ.

(B) આપેલ છે કે $\vec{c} = (2 \vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}$.
આપણે $\vec{b} \cdot \vec{c}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot ((2 \vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b})$.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b} \cdot \vec{b}$.
અહીં $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ થાય છે કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ હોય છે,તેથી પ્રથમ પદ $0$ થશે.
આમ,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3 |\vec{b}|^2$.
આપેલ છે કે $|\vec{b}| = 4$,તેથી $|\vec{b}|^2 = 16$.
તેથી,$\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \times 16 = -48$.

(C) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,તેથી $a_{k+1} - a_k = 1$ દરેક $k \ge 1$ માટે.
$a_1 = 1$ હોવાથી,$a_2 = 2, a_3 = 3, \ldots, a_{2022} = 2022$ થાય.
શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ છે.
$a_{k+1} - a_k = 1$ હોવાથી,આપણે પદને $\tan ^{-1}\left(\frac{a_{k+1} - a_k}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,શ્રેણી નીચે મુજબ બને છે:
$\sum_{k=1}^{2021} (\tan ^{-1} a_{k+1} - \tan ^{-1} a_k) = (\tan ^{-1} a_2 - \tan ^{-1} a_1) + (\tan ^{-1} a_3 - \tan ^{-1} a_2) + \ldots + (\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_{2021})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ $\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_1$ થાય છે.
$a_{2022} = 2022$ અને $a_1 = 1$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan ^{-1}(2022) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(2022) - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ છે.
રેખાના સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1/2}{1} = \frac{z+1}{-1}$.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, k, 0), B(2, k, -1), C(1, 1, 2)$ છે.
સમતલમાં સદિશો $\vec{CA} = -2\hat{i} + (k-1)\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{CB} = \hat{i} + (k-1)\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & k-1 & -2 \\ 1 & k-1 & -3 \end{vmatrix}$.
$\vec{n} = -(k-1)\hat{i} - 8\hat{j} - 3(k-1)\hat{k}$.
સમતલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1(-(k-1)) + 1(-8) - 1(-3(k-1)) = 0$.
$-k + 1 - 8 + 3k - 3 = 0 \Rightarrow 2k - 10 = 0 \Rightarrow k = 5$.
$k=5$ ની કિંમત પદાવલિમાં મુકતા: $\frac{k^2+1}{(k-1)(k-2)} = \frac{5^2+1}{(5-1)(5-2)} = \frac{26}{4 \times 3} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum _{r=0}^{n-1} \left( 2 + \frac{r}{n} \right)^2$ છે.
નિયત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum _{r=0}^{n-1} f\left( \frac{r}{n} \right) = \int _0^1 f(x) dx$.
અહીં,આ પદાવલિને $3 \int _0^1 (2+x)^2 dx$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $u = 2+x$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=2$ અને જ્યારે $x=1, u=3$.
તેથી,$3 \int _2^3 u^2 du = 3 \left[ \frac{u^3}{3} \right] _2^3 = [u^3] _2^3 = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$.

(C) સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & \alpha \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$1(8 + \alpha) - (-1)(8 - 3\alpha) + 1(-2 - 6) = 0$
$8 + \alpha + 8 - 3\alpha - 8 = 0$
$8 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = 4$.
હવે,$\alpha = 4$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x - y + z = 5$
$2x + 2y + 4z = 8 \implies x + y + 2z = 4$
$3x - y + 4z = \beta$
પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x - y + z) + (x + y + 2z) = 5 + 4 \implies 2x + 3z = 9$.
અનંત ઉકેલો માટે,ત્રીજું સમીકરણ એ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે $k_1(x - y + z) + k_2(x + y + 2z) = 3x - y + 4z$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $k_1 + k_2 = 3$,$-k_1 + k_2 = -1$,$k_1 + 2k_2 = 4$.
$k_1 + k_2 = 3$ અને $-k_1 + k_2 = -1$ ઉકેલતા $2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$ અને $k_1 = 2$ મળે છે.
આમ,$\beta = 2(5) + 1(4) = 14$.
બીજ $\alpha = 4$ અને $\beta = 14$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 4)(x - 14) = x^2 - 18x + 56 = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. શરત છે $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ જ્યારે $m, n, m \cdot n \in A$.
$1$. $m=1, n=1$ માટે: $f(1) = f(1) \cdot f(1) \implies f(1) = 1$ (કારણ કે $f(1) \in A$ અને $f(1) \neq 0$).
$2$. $m=3, n=3$ માટે: $f(9) = f(3) \cdot f(3) = (f(3))^2$. $f(9) \in A$ હોવાથી,$(f(3))^2$ એ $A$ માં હોવું જોઈએ. $f(3)$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ (કારણ કે $1^2=1 \in A$) અથવા $3$ (કારણ કે $3^2=9 \in A$) છે.
$3$. $f(2), f(5), f(8)$ માટે કોઈ વધારાની શરતો નથી,તેથી તે $A$ ના કોઈપણ $6$ ઘટકો લઈ શકે છે.
કુલ વિધેયો = ($f(3)$ માટેની પસંદગીઓ) $\times$ ($f(2)$ માટેની પસંદગીઓ) $\times$ ($f(5)$ માટેની પસંદગીઓ) $\times$ ($f(8)$ માટેની પસંદગીઓ)
$= 2 \times 6 \times 6 \times 6 = 432$.

(B) રેખાની દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સમતલો $x + 3y - 2z - 2 = 0$ અને $x - y + 2z = 0$ ના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-1 - 3) = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશ $\vec{d} = (1, -1, -1)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $P(2, 3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 1}{-1} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ એ $(k + 2, -k + 3, -k + 1)$ છે.
ધારો કે $Q = (5, 3, 8)$. સદિશ $\vec{QR} = (k + 2 - 5, -k + 3 - 3, -k + 1 - 8) = (k - 3, -k, -k - 7)$.
કારણ કે $\vec{QR}$ એ રેખાની દિશા $(1, -1, -1)$ ને લંબ છે,તેથી:
$1(k - 3) - 1(-k) - 1(-k - 7) = 0 \Rightarrow k - 3 + k + k + 7 = 0 \Rightarrow 3k + 4 = 0 \Rightarrow k = -\frac{4}{3}$.
સદિશ $\vec{QR} = (-\frac{4}{3} - 3, -(-\frac{4}{3}), -(-\frac{4}{3}) - 7) = (-\frac{13}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{17}{3})$.
અંતર $\alpha = |\vec{QR}| = \sqrt{(-\frac{13}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{17}{3})^2} = \sqrt{\frac{169 + 16 + 289}{9}} = \sqrt{\frac{474}{9}}$.
આમ,$\alpha^2 = \frac{474}{9}$.
તેથી,$3\alpha^2 = 3 \times \frac{474}{9} = \frac{474}{3} = 158$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\cos 2x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}} \, dx$ છે.
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x \, dx = dt$.
$I = -\sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{2t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1/2}}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = -\ln |\cos x + \sqrt{\cos^2 x - 1/2}| + C = -\ln |\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\cos 2x}| + C$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$I = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x + 1/2 + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos 2x)}| + C$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$\alpha = -1/2$ અને $\beta = 1/2$.
તેથી,$\beta - \alpha = 1/2 - (-1/2) = 1$.

(B) કુલ દડા = $6$. બદલી સાથે દડા કાઢવામાં આવતા હોવાથી,$k$ દડા કાઢવા માટેના કુલ પરિણામો $6^k$ છે.
$p$ માટે: બે દડા કાઢવામાં આવે છે. બંને સમાન રંગના છે. રંગ માટે $6$ વિકલ્પો છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે. આમ,$p = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$q$ માટે: ચાર દડા કાઢવામાં આવે છે. બરાબર ત્રણ દડા સમાન રંગના છે.
પગલું $1$: $3$ વાર આવતો રંગ પસંદ કરો ($6$ રીતો).
પગલું $2$: $4$ પ્રયત્નોમાં આ $3$ દડાનું સ્થાન પસંદ કરો ($^4C_3 = 4$ રીતો).
પગલું $3$: બાકીના $1$ દડાનો રંગ પસંદ કરો ($5$ રીતો).
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $6 \times 4 \times 5 = 120$.
આમ,$q = \frac{120}{6^4} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$.
ગુણોત્તર $p : q = \frac{1}{6} : \frac{5}{54} = \frac{9}{54} : \frac{5}{54} = 9 : 5$.
અહીં $m = 9$ અને $n = 5$ છે,જે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$m + n = 9 + 5 = 14$.

(B) આ પ્રદેશ $y = x^2$,$y = (1-x)^2$,અને $y = 2x(1-x)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 = 2x(1-x) \Rightarrow x^2 = 2x - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2) = 0$. તેથી $x = 0$ અથવા $x = 2/3$.
$(1-x)^2 = 2x(1-x) \Rightarrow 1-2x+x^2 = 2x-2x^2 \Rightarrow 3x^2-4x+1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x-1) = 0$. તેથી $x = 1/3$ અથવા $x = 1$.
$x^2 = (1-x)^2 \Rightarrow x^2 = 1-2x+x^2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$.
આ પ્રદેશ $x = 1/2$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (2x(1-x) - (1-x)^2) dx$
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (-3x^2 + 4x - 1) dx$
$A = 2 [-x^3 + 2x^2 - x]_{1/3}^{1/2}$
ગણતરી કરતા,$A = 5/108$ મળે.
તેથી,$540A = 540 \times (5 / 108) = 25$.

(A) આપેલ છે કે તારની કુલ લંબાઈ $\ell_1 + \ell_2 = 20$ છે.
$\ell_1$ દ્વારા બનતા ચોરસની બાજુ $s = \frac{\ell_1}{4}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_1 = (\frac{\ell_1}{4})^2 = \frac{\ell_1^2}{16}$ થાય.
$\ell_2$ દ્વારા બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\ell_2}{2\pi}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(\frac{\ell_2}{2\pi})^2 = \frac{\ell_2^2}{4\pi}$ થાય.
ધારો કે $S = 2A_1 + 3A_2 = 2(\frac{\ell_1^2}{16}) + 3(\frac{\ell_2^2}{4\pi}) = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3\ell_2^2}{4\pi}$.
$\ell_2 = 20 - \ell_1$ મૂકતા,$S = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3(20 - \ell_1)^2}{4\pi}$ મળે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\ell_1$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $\frac{dS}{d\ell_1} = \frac{2\ell_1}{8} + \frac{6(20 - \ell_1)(-1)}{4\pi} = 0$.
$\frac{\ell_1}{4} = \frac{6(20 - \ell_1)}{4\pi} = \frac{6\ell_2}{4\pi}$.
$\frac{\pi \ell_1}{4} = \frac{6\ell_2}{4} \Rightarrow \frac{\pi \ell_1}{\ell_2} = 6$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=6$ $(1)$
$\alpha x+\beta y+7z=3$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$y+2z=8$,તેથી $y=8-2z$. આને $(1)$ માં મૂકતા,$x+(8-2z)+z=6 \Rightarrow x=z-2$.
$x=z-2$ અને $y=8-2z$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$\alpha(z-2)+\beta(8-2z)+7z=3$
$(\alpha-2\beta+7)z = 2\alpha-8\beta+3$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$z$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\alpha-2\beta+7 \neq 0$.
અસંખ્ય ઉકેલો માટે,બંને બાજુ શૂન્ય હોવી જોઈએ: $\alpha-2\beta+7=0$ અને $2\alpha-8\beta+3=0$.
આને ઉકેલતા: $2\alpha-4\beta+14=0$ અને $2\alpha-8\beta+3=0$. બાદબાકી કરતા $4\beta+11=0 \Rightarrow \beta=-11/4$,અને $\alpha=-25/2$. આ એક અનન્ય બિંદુ છે,જે રેખા $x-2y+7=0$ પર નથી.
આમ,વિકલ્પ $D$ સત્ય $\text{નથી}$.

(A) રેખા $L$ એ $(5, \lambda, -\lambda)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = (-2, 0, 1)$ છે.
રેખા $L_1$ ને $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-4}{-1}$ તરીકે લખી શકાય,જે $(-1, 1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = (1, 1, -1)$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$.
અહીં $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, 1-\lambda, 4+\lambda)$.
$d = \frac{|6 - 1 + \lambda - 8 - 2\lambda|}{\sqrt{6}} = \frac{|-\lambda - 3|}{\sqrt{6}}$.
$d = 2\sqrt{6}$ આપેલ હોવાથી,$|\lambda+3| = 12$. $\lambda \geq 0$ હોવાથી,$\lambda = 9$.
$L$ માટે,$(\alpha, \beta, \gamma) = (5-2k, 9, k-9)$.
તેથી $\alpha = 5-2k$ અને $\gamma = k-9$,જેનો અર્થ છે કે $k = \gamma+9$.
$\alpha = 5-2(\gamma+9) = -2\gamma-13$,એટલે કે $\alpha+2\gamma = -13$.
આમ,$\alpha+2\gamma=24$ શક્ય નથી.

(C) પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = A$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી તમામ $n \geq 1$ માટે $A^n = A$ થાય.
$(A + I)^{11}$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(A + I)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} A^k I^{11-k} = \binom{11}{0} I + \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} A^k$.
$k \geq 1$ માટે $A^k = A$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$(A + I)^{11} = I + A \left( \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} \right) = I + A (2^{11} - 1) = I + 2047A$.
$(A + I)^{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 2047 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2048 & 0 & 0 \\ 0 & 8189 & -2047 \\ 0 & 24564 & -6140 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2048 + 8189 - 6140 = 4097$ છે.

(D) સંબંધ $(a, b) R (c, d) \iff ad(b-c) = bc(a-d)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $(a, b) R (a, b)$ માટે,$ab(b-a) = ba(a-b)$ થવું જોઈએ. આ $ab(b-a) = -ab(b-a)$ માં પરિણમે છે,જે માત્ર $ab(b-a) = 0$ હોય ત્યારે જ સાચું છે. $a, b \in N$ હોવાથી,આ દરેક $(a, b)$ માટે સાચું નથી. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) R (c, d)$,તો $ad(b-c) = bc(a-d) \Rightarrow \frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$. આ શરત સંમિત છે કારણ કે $(a, b)$ અને $(c, d)$ ની અદલાબદલી કરવાથી સમાન પરિણામ મળે છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: શરત $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \frac{1}{d} - \frac{1}{a}$ પરંપરિતતા દર્શાવે છે. આમ,$R$ સંમિત અને પરંપરિત છે પણ સ્વવાચક નથી.

(B) આપેલ છે $y = \sin^3\left(\frac{\pi}{3} \cos(g(x))\right)$ જ્યાં $g(x) = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(-4x^3 + 5x^2 + 1)^{3/2}$.
$x=1$ આગળ,$g(1) = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(-4+5+1)^{3/2} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(2)^{3/2} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(2\sqrt{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
$y(1) = \sin^3\left(\frac{\pi}{3} \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \sin^3\left(\frac{\pi}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin^3\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$.
હવે,$y' = 3\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\cos(g(x))\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\cos(g(x))\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\sin(g(x))\right) \cdot g'(x)$.
$g'(x) = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{2}(-4x^3 + 5x^2 + 1)^{1/2} \cdot (-12x^2 + 10x) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \sqrt{-4x^3 + 5x^2 + 1} (-12x^2 + 10x)$.
$g'(1) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot (-2) = -\pi$.
$y'$ માં $x=1$ મૂકતા:
$y'(1) = 3\sin^2(-\pi/6) \cdot \cos(-\pi/6) \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\sin(2\pi/3)\right) \cdot (-\pi) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-\pi) = \frac{3\pi^2}{16}$.
વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $2y'(1) + 3\pi^2 y(1) = 2\left(\frac{3\pi^2}{16}\right) + 3\pi^2\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{3\pi^2}{8} - \frac{3\pi^2}{8} = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz નિયમ મુજબ):
$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ થશે.
બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(x f(x)) = \frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $x f(x) = \int \frac{x}{2\sqrt{x+1}} dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{x+1}$,તો $t^2 = x+1$,તેથી $x = t^2-1$ અને $dx = 2t dt$.
$x f(x) = \int \frac{t^2-1}{2t} (2t dt) = \int (t^2-1) dt = \frac{t^3}{3} - t + C$.
$t = \sqrt{x+1}$ પાછું મૂકતા: $x f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{x+1} + C$.
$x=3$ માટે,મૂળ સમીકરણ પરથી $f(3) + 0 = \sqrt{3+1} = 2$,તેથી $f(3) = 2$.
$x=3$ ને $x f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $3(2) = \frac{4^{3/2}}{3} - \sqrt{4} + C \Rightarrow 6 = \frac{8}{3} - 2 + C \Rightarrow C = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.
આમ,$f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3x} - \frac{\sqrt{x+1}}{x} + \frac{16}{3x}$.
$x=8$ માટે: $f(8) = \frac{9^{3/2}}{3(8)} - \frac{\sqrt{9}}{8} + \frac{16}{3(8)} = \frac{27}{24} - \frac{3}{8} + \frac{16}{24} = \frac{27 - 9 + 16}{24} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12}$.
તેથી,$12 f(8) = 17$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{[x]}{1+x^2}$,જ્યાં $x \in (2, 6)$.
અંતરાલ $[2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,તેથી $f(x) = \frac{2}{1+x^2}$. વિસ્તાર: $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$.
અંતરાલ $[3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,તેથી $f(x) = \frac{3}{1+x^2}$. વિસ્તાર: $(\frac{3}{17}, \frac{3}{10}]$.
અંતરાલ $[4, 5)$ માટે,$[x] = 4$,તેથી $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$. વિસ્તાર: $(\frac{2}{13}, \frac{4}{17}]$.
અંતરાલ $[5, 6)$ માટે,$[x] = 5$,તેથી $f(x) = \frac{5}{1+x^2}$. વિસ્તાર: $(\frac{5}{37}, \frac{5}{26}]$.
આ તમામ અંતરાલોનો યોગગણ $(\frac{5}{37}, \frac{2}{5}]$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2$.
બંને બાજુ $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
આનું સાદું રૂપ $4(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ થાય છે.
કારણ કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,તેથી $4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
વિધાન $(B)$ કહે છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર છે,પરંતુ $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ સૂચવે છે કે તેઓ લંબ છે (કારણ કે $\vec{c} \neq 0$). તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
વિધાન $(A)$ માટે,$|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 + 2\lambda(\vec{a} \cdot \vec{c})$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,આ $|\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2$ બને છે.
કારણ કે તમામ $\lambda \in R$ માટે $\lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 \geq 0$,તેથી $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 \geq |\overrightarrow{a}|^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
આમ,$(A)$ સાચું છે.

(B) આપણે સંકલન $I = \int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ ની કિંમત શોધવી છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t^{50}}{1-t} = \frac{t^{50}-1+1}{1-t} = \frac{-(1-t^{50})}{1-t} + \frac{1}{1-t} = -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) + \frac{1}{1-t}$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int_{0}^{\alpha} -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) dt + \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{1-t} dt$.
$I = -\left[ t + \frac{t^2}{2} + \dots + \frac{t^{50}}{50} \right]_{0}^{\alpha} + \left[ -\ln(1-t) \right]_{0}^{\alpha}$.
$I = -P_{50}(\alpha) - \ln(1-\alpha)$.
આપેલ છે કે $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$,તેથી $I = -P_{50}(\alpha) - \beta = -(\beta + P_{50}(\alpha))$.

(A) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17} = \tan ^{-1} \frac{77}{36} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{77}{36} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{77}{36} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \frac{8}{15} = \sin ^{-1} \frac{8}{17}$.
તેથી,$\alpha = 8$.
હવે,$\sin ^{-1}(\sin 8) + \cos ^{-1}(\cos 8)$ ની કિંમત શોધતા:
$\sin ^{-1}(\sin 8) = 3\pi - 8$ અને $\cos ^{-1}(\cos 8) = 8 - 2\pi$.
સરવાળો = $(3\pi - 8) + (8 - 2\pi) = \pi$.

(C) ધારો કે $I = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{2+3 \sin x}{\sin x(1+\cos x)} d x = 2 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)} + 3 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x}$.
પ્રથમ,$I_1 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x} = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} d x = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x \operatorname{cosec} x) d x$ ની ગણતરી કરો.
$I_1 = [-\cot x + \operatorname{cosec} x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} = (0 + 1) - (-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ત્યારબાદ,$I_2 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)}$ ની ગણતરી કરો. $t = \tan(x/2)$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$I_2 = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} (1 + \frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1+t^2}{2t} dt = \frac{1}{2} [\ln|t| + \frac{t^2}{2}]_{1/\sqrt{3}}^{1}$.
$I_2 = \frac{1}{2} [(\ln 1 + \frac{1}{2}) - (\ln \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6})] = \frac{1}{2} [\frac{1}{3} + \ln \sqrt{3}] = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}$.
આમ,$I = 2 I_2 + 3 I_1 = 2(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}) + 3(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3} + \ln \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = \frac{10}{3} - \sqrt{3} + \ln \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે કાઢેલા દડા કાળા છે. ધારો કે $H_i$ એ પૂર્વધારણા છે કે થેલીમાં $i$ કાળા દડા છે,જ્યાં $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$.
દરેક પૂર્વધારણા સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(H_i) = \frac{1}{5}$.
$i$ કાળા દડા હાજર હોય ત્યારે $2$ કાળા દડા કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_i) = \frac{{}^i C_2}{{}^6 C_2} = \frac{{}^i C_2}{15}$ છે.
આપણે $P(H_5 \cup H_6 | E) = \frac{P(E|H_5)P(H_5) + P(E|H_6)P(H_6)}{\sum_{i=2}^6 P(E|H_i)P(H_i)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(H_i)$ અચળ હોવાથી,આ $\frac{{}^5 C_2 + {}^6 C_2}{{}^2 C_2 + {}^3 C_2 + {}^4 C_2 + {}^5 C_2 + {}^6 C_2}$ માં સરળ બને છે.
સંયોજનોની ગણતરી કરતા: ${}^2 C_2 = 1, {}^3 C_2 = 3, {}^4 C_2 = 6, {}^5 C_2 = 10, {}^6 C_2 = 15$.
સરવાળો $= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$.
અંશ $= 10 + 15 = 25$.
સંભાવના $= \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(A) સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
ધારો કે $L$ એ $P_2$ ના અભિલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખા છે. રેખા $L$ અને સમતલ $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ રેખા અને અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ સાથે $\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$ સંબંધ ધરાવે છે.
કારણ કે $\theta = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$.
આપણે $(\tan^2 \theta)(\cot^2 \alpha)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$(\tan^2 \frac{\pi}{3})(\cot^2 \frac{\pi}{6}) = ((\sqrt{3})^2)((\sqrt{3})^2) = (3)(3) = 9$.

(A) આપેલ છે: $|\vec{a}|=\sqrt{14}$,$|\vec{b}|=\sqrt{6}$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{48}$.
આપણે સદિશો માટે લેગ્રાન્જની નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$.
આપેલ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{48})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (\sqrt{14})^2 \times (\sqrt{6})^2$.
$48 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 14 \times 6$.
$48 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 84$.
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 84 - 48$.
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 36$.

(A) રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, -\lambda-1, \lambda+3)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x+y+3z=16$ માં મૂકતા:
$2(2\lambda+1) + (-\lambda-1) + 3(\lambda+3) = 16$
$4\lambda + 2 - \lambda - 1 + 3\lambda + 9 = 16$
$6\lambda + 10 = 16 \Rightarrow 6\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,બિંદુ $P = (3, -2, 4)$.
બિંદુ $R(1, -1, -3)$ માંથી રેખા $L$ પરના લંબપાદ $Q$ માટે,ધારો કે $Q = (2\mu+1, -\mu-1, \mu+3)$.
સદિશ $\vec{RQ} = (2\mu, -\mu, \mu+6)$. કારણ કે $\vec{RQ}$ એ રેખા $L$ ની દિશા $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ ને લંબ છે:
$2(2\mu) - 1(-\mu) + 1(\mu+6) = 0$
$4\mu + \mu + \mu + 6 = 0 \Rightarrow 6\mu = -6 \Rightarrow \mu = -1$.
તેથી,$Q = (-1, 0, 2)$.
હવે,$\vec{QR} = R - Q = (1 - (-1), -1 - 0, -3 - 2) = (2, -1, -5)$.
અને $\vec{QP} = P - Q = (3 - (-1), -2 - 0, 4 - 2) = (4, -2, 2)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{QR} \times \vec{QP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-10) - \hat{j}(4+20) + \hat{k}(-4+4) = -12\hat{i} - 24\hat{j}$.
ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{1}{2} |\vec{QR} \times \vec{QP}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576} = \frac{1}{2} \sqrt{720}$.
તેથી,$\alpha^2 = \frac{1}{4} \times 720 = 180$.