JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $AB = x$. આકૃતિ પરથી,$AC = x \tan \theta_1$ અને $CD = x$. તેમજ,$BD = AC = x \tan \theta_1$ અને $DE = CD \tan \theta_2 = x \tan \theta_2$.
આપેલ છે કે $\sqrt{3}(BE) = 4(AB)$,તેથી $\sqrt{3}(BD + DE) = 4x$.
$\sqrt{3}(x \tan \theta_1 + x \tan \theta_2) = 4x \implies \sqrt{3}(\tan \theta_1 + \cot \theta_1) = 4$ (કારણ કે $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}, \tan \theta_2 = \cot \theta_1$).
$\sqrt{3}(\tan \theta_1 + \frac{1}{\tan \theta_1}) = 4 \implies 3 \tan^2 \theta_1 - 4\sqrt{3} \tan \theta_1 + 3 = 0$.
$\tan \theta_1$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\tan \theta_1 = \sqrt{3}$ અથવા $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
જો $\tan \theta_1 = \sqrt{3}$,તો $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ અને $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$. તેથી $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{1}{2}$.
જો $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તો $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$. તેથી $\frac{\theta_2}{\theta_1} = 2$.
જેમ કે $\frac{\theta_2}{\theta_1}$ મહત્તમ છે,આપણે $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ લઈએ છીએ.
$\triangle CAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times x \times (x \tan \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} x^2 \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2 = 2\sqrt{3}(2\sqrt{3}-3) = 12 - 6\sqrt{3} = (3-\sqrt{3})^2 \implies x = 3-\sqrt{3}$.
$\triangle CED$ ની પરિમિતિ $= CD + DE + CE = x + x \tan \theta_2 + \sqrt{x^2 + (x \tan \theta_2)^2} = x(1 + \tan \frac{\pi}{3} + \sec \frac{\pi}{3}) = x(1 + \sqrt{3} + 2) = x(3+\sqrt{3})$.
પરિમિતિ $= (3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9 - 3 = 6$.

(B) લંબચોરસ $R$ નું ક્ષેત્રફળ $2 \times 5 = 10$ ચોરસ એકમ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ લંબચોરસમાંથી ત્રિકોણ $OAB$ કાપે છે,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \alpha \times \beta = \frac{\alpha \beta}{2}$ છે.
રેખાખંડ $AB$ લંબચોરસને $4:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણ $OAB$ એ નાનો ભાગ હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{5}$ ભાગનું હોવું જોઈએ.
$\frac{\text{Area}(OAB)}{\text{Area}(R)} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta / 2}{10} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta}{20} = \frac{1}{5} \implies \alpha \beta = 4$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\alpha}{2}$ અને $k = \frac{\beta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2h$ અને $\beta = 2k$.
આ કિંમતો $\alpha \beta = 4$ માં મૂકતા,આપણને $(2h)(2k) = 4 \implies 4hk = 4 \implies hk = 1$ મળે છે.
મધ્યબિંદુ $M(x, y)$ નો બિંદુપથ $xy = 1$ છે,જે અતિવલય દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$ અને $B = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\}$.
આપેલ છે,$\overline{A} = 5 \implies \sum a_i = 25$ અને $\overline{B} = 8 \implies \sum b_i = 40$.
વિચરણ $\sigma_A^2 = 12 \implies \frac{\sum a_i^2}{5} - 5^2 = 12 \implies \sum a_i^2 = 5(37) = 185$.
વિચરણ $\sigma_B^2 = 20 \implies \frac{\sum b_i^2}{5} - 8^2 = 20 \implies \sum b_i^2 = 5(84) = 420$.
ગણ $C$ માં $i=1$ થી $5$ માટે $a_i - 3$ અને $b_i + 2$ ઘટકો છે.
$C$ નો મધ્યક,$\overline{C} = \frac{\sum (a_i - 3) + \sum (b_i + 2)}{10} = \frac{(25 - 15) + (40 + 10)}{10} = \frac{60}{10} = 6$.
$C$ નું વિચરણ,$\sigma_C^2 = \frac{\sum (a_i - 3)^2 + \sum (b_i + 2)^2}{10} - (\overline{C})^2$.
$\sum (a_i - 3)^2 = \sum a_i^2 - 6\sum a_i + 45 = 185 - 6(25) + 45 = 80$.
$\sum (b_i + 2)^2 = \sum b_i^2 + 4\sum b_i + 20 = 420 + 4(40) + 20 = 600$.
$\sigma_C^2 = \frac{80 + 600}{10} - 6^2 = 68 - 36 = 32$.
મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો $= 6 + 32 = 38$.

(B) $x+y+z=15$ ના કુલ અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2} = 136$ છે.
ધારો કે $x, y, z$ માંથી ઓછામાં ઓછા બે સમાન હોય તેવા ઉકેલો શોધીએ.
જો $x=y$ હોય,તો $2x+z=15$. અહીં $x$ ની શક્ય કિંમતો $0$ થી $7$ છે,એટલે કે $8$ ઉકેલો.
આ જ રીતે $y=z$ અને $x=z$ માટે પણ $8-8$ ઉકેલો મળે.
કુલ ઉકેલો જેમાં ઓછામાં ઓછા બે સમાન હોય = $8+8+8 - 2(1) = 22$ (કારણ કે $(5,5,5)$ ત્રણેયમાં ગણાય છે).
ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા = $136 - 22 = 114$.

(D) સંકર સંખ્યા $z$ ને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $90^{\circ}$ $(+\pi/2)$ ફેરવવી એટલે $i$ વડે ગુણવા.
$w_1 = z_1 \times i = (5+4i)i = 5i + 4i^2 = -4+5i$.
સંકર સંખ્યા $z$ ને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $90^{\circ}$ $(-\pi/2)$ ફેરવવી એટલે $-i$ વડે ગુણવા.
$w_2 = z_2 \times (-i) = (3+5i)(-i) = -3i - 5i^2 = 5-3i$.
હવે,$w_1 - w_2 = (-4+5i) - (5-3i) = -9+8i$.
સંકર સંખ્યા $z = -9+8i$ બીજા ચરણમાં છે.
બીજા ચરણમાં $z = x+iy$ નો મુખ્ય કોણાંક $\pi - \tan^{-1}|y/x|$ છે.
$\text{Arg}(w_1-w_2) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{8}{-9}\right| = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(C) ધારો કે $|A|=48$,$|B|=25$,અને $|C|=18$.
ઓછામાં ઓછો એક મેડલ મેળવનાર પુરુષોની કુલ સંખ્યા $|A \cup B \cup C|=60$ છે.
ત્રણેય ઇવેન્ટમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોની સંખ્યા $|A \cap B \cap C|=5$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$|A \cup B \cup C| = (|A| |B| |C|) - (|A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|) |A \cap B \cap C|$.
$S_1 = |A| |B| |C| = 48 25 18 = 91$.
$S_2 = |A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|$.
$60 = 91 - S_2 5$.
$S_2 = 91 5 - 60 = 36$.
બરાબર બે ઇવેન્ટમાં મેડલ મેળવનાર પુરુષોની સંખ્યા:
$N({\text{બરાબર બે}}) = S_2 - 3|A \cap B \cap C|$.
$N({\text{બરાબર બે}}) = 36 - 3(5) = 36 - 15 = 21$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અક્ષો પરના અંતિમ બિંદુઓ $(\pm 1/\sqrt{k}, 0)$ અને $(0, \pm 1/k)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $(1/\sqrt{k}, 0)$ અને $(0, 1/k)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{1/\sqrt{k}} + \frac{y}{1/k} = 1$ છે,જે $\sqrt{k}x + ky = 1$ માં સરળ બને છે.
વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા $r_{k}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર છે:
$r_{k} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{(\sqrt{k})^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{k + k^{2}}}$.
તેથી,$\frac{1}{r_{k}^{2}} = k + k^{2}$.
આપણે $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{20} (k + k^{2}) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} k^{2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n=20$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
$\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
આમ,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = 210 + 2870 = 3080$.

(A) આપેલ અસમતા $\log _{x+\frac{7}{2}}\left(\frac{x-7}{2 x-3}\right)^2 \geq 0$ છે.
શક્ય વિસ્તાર:
$1) \ x+\frac{7}{2} > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{2}$
$2) \ x+\frac{7}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2}$
$3) \ \frac{x-7}{2x-3} \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$
$4) \ 2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$
છેદગણ: $x \in \left(-\frac{7}{2}, \infty\right) \setminus \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 7\right\}$.
કિસ્સો $I$: $x+\frac{7}{2} > 1$ અને $\left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 \geq 1$
$x > -\frac{5}{2}$ અને $(2x-3)^2 - (x-7)^2 \leq 0$
$(x+4)(3x-10) \leq 0 \Rightarrow x \in [-4, \frac{10}{3}]$
$x > -\frac{5}{2}$ સાથે છેદગણ લેતા $x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]$ મળે.
કિસ્સો $II$: $0 < x+\frac{7}{2} < 1$ અને $0 < \left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 < 1$
આ કિસ્સામાં કોઈ સામાન્ય ઉકેલ મળતો નથી.
આમ,$x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right] \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$.
પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
કુલ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $6$ છે.

(NONE) આપેલ સમીકરણ: $3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 = 0$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2(1 - \cos^2 \theta) + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 + 2 \cos^2 \theta + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$
$3 \cos^2 \theta (\cos^2 \theta - 1) = 0$
$3 \cos^2 \theta (-\sin^2 \theta) = 0$
$-3 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 0$
આનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = 0$ અથવા $\sin^2 \theta = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos^2 \theta = 0 \implies \cos \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
કિસ્સો $2$: $\sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ માં,$\theta = 0, \pi, 2\pi$.
ગણ $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}$.
ઘટકોની સંખ્યા $5$ છે.

(C) $100$ પદોનો મધ્યક $200$ હોવાથી,સરવાળો $S_{100} = 100 \times 200 = 20000$ થાય.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{100}{2}(2(2) + 99d) = 20000$.
$50(4 + 99d) = 20000$ $\Rightarrow 4 + 99d = 400$ $\Rightarrow 99d = 396$ $\Rightarrow d = 4$.
$i$-મું પદ $x_i = a + (i-1)d = 2 + (i-1)4 = 4i - 2$ છે.
$y_i = i(x_i - i) = i(4i - 2 - i) = i(3i - 2) = 3i^2 - 2i$.
$y_i$ નો મધ્યક $\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} (3i^2 - 2i)$ છે.
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \sum_{i=1}^{100} i^2 - 2 \sum_{i=1}^{100} i \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \frac{100(101)(201)}{6} - 2 \frac{100(101)}{2} \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ \frac{100(101)(201)}{2} - 100(101) \right] = \frac{101(201)}{2} - 101 = 101(100.5 - 1) = 101 \times 99.5 = 10049.50$.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(2+x)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} \cdot x^r$ છે.
$x^r$ નો સહગુણક $T_r = {^9C_r} \cdot 2^{9-r}$ છે.
આપણે $x, x^2, \ldots, x^7$ ના સહગુણકોનો મધ્યક શોધવાનો છે,જે $S = \frac{1}{7} \sum_{r=1}^{7} {^9C_r} \cdot 2^{9-r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{9} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} = (2+1)^9 = 3^9 = 19683$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{7} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} = 3^9 - ({^9C_0} \cdot 2^9 + {^9C_8} \cdot 2^1 + {^9C_9} \cdot 2^0)$.
પદોની ગણતરી: ${^9C_0} \cdot 2^9 = 512$,${^9C_8} \cdot 2^1 = 18$,અને ${^9C_9} \cdot 2^0 = 1$.
સરવાળો $= 19683 - (512 + 18 + 1) = 19683 - 531 = 19152$.
મધ્યક $= \frac{19152}{7} = 2736$.

(B) આપેલ છે $S = 109 + \frac{108}{5} + \frac{107}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}$.
$\frac{1}{5}$ વડે ગુણતા: $\frac{S}{5} = \frac{109}{5} + \frac{108}{5^2} + \ldots + \frac{2}{5^{108}} + \frac{1}{5^{109}}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{4S}{5} = 109 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$\frac{4S}{5} = 109 - \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$S = \frac{5}{4} [109 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^{108}} - \frac{1}{5^{109}}]$.
$16S = 2180 - 5 + \frac{1}{5^{108}}$.
$(25)^{-54} = \frac{1}{5^{108}}$ હોવાથી,
$16S - (25)^{-54} = 2175$.

(B) $n$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈ પણ પોતાની ફાળવેલી બેઠક પર ન બેસે તેવા પ્રકારોની સંખ્યા ડેરન્જમેન્ટ સૂત્ર $D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right)$
$D_5 = 120 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 120 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 60 - 20 + 5 - 1$
$D_5 = 44$.

(B) $(3^{1/2} + 5^{1/4})^{680}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{680}C_r (3^{1/2})^{680-r} (5^{1/4})^r$ છે.
આ પદ $T_{r+1} = {}^{680}C_r \cdot 3^{(680-r)/2} \cdot 5^{r/4}$ તરીકે સરળ બને છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,બંને ઘાતાંકો પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$1$) $r/4$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,તેથી $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. આમ,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$.
$2$) $(680-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $680-r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. $680$ બેકી હોવાથી,$r$ પણ બેકી હોવો જોઈએ.
બધા $4$ ના ગુણકો બેકી સંખ્યા હોવાથી,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$ બંને શરતોનું પાલન કરે છે.
આવા પદોની સંખ્યા $0, 4, 8, \dots, 680$ શ્રેણીમાં રહેલા પદોની સંખ્યા જેટલી છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોની સંખ્યા શોધવાના સૂત્ર મુજબ,$n = \frac{680 - 0}{4} + 1 = 170 + 1 = 171$.

(B) વિધાન $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ સત્ય હોય તેવી ક્રમિક ત્રિપુટીઓ $(p, q, r)$ ની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \vee q$ | $p \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ | $q \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
જે પંક્તિઓમાં છેલ્લી કોલમ $T$ છે,તેની ગણતરી કરતા આપણને $7$ કિસ્સાઓ મળે છે.
આમ,ક્રમિક ત્રિપુટીઓની કુલ સંખ્યા $7$ છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $H_{n} \Rightarrow \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3+n}{1+n}} = \sqrt{\frac{2n+4}{n+1}}$ છે.
$e$ સંમેય સંખ્યા હોવા માટે,$\frac{2n+4}{n+1}$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો વર્ગ હોવો જોઈએ.
$n=48$ લેતા,$e = \sqrt{\frac{2(48)+4}{48+1}} = \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{10}{7}$,જે સંમેય છે.
આમ,$k = 48$. નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(48+3)}{\sqrt{48+1}} = \frac{102}{7}$ છે.
તેથી,$21l = 21 \times \frac{102}{7} = 306$.

(B) ધારો કે $S_n = a^n + b^n$. $a$ અને $b$ એ $x^2-7x-1=0$ ના બીજ હોવાથી,ન્યૂટનના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$S_{n+2} - 7S_{n+1} - S_n = 0$,એટલે કે $S_{n+2} = 7S_{n+1} + S_n$.
આપણે $\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}}$ ની કિંમત શોધવી છે.
પુનરાવર્તિત સંબંધ મુજબ,$S_{21} = 7S_{20} + S_{19}$.
વળી,$S_{19} = 7S_{18} + S_{17}$,જેનો અર્થ છે કે $S_{17} = S_{19} - 7S_{18}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + S_{19} + S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + 2S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}}$.
કારણ કે $S_{20} = 7S_{19} + S_{18}$,તેથી $S_{20} - S_{18} = 7S_{19}$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{7(S_{20} - S_{18}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{7(7S_{19}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{49S_{19} + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{51S_{19}}{S_{19}} = 51$.

(C) શરૂઆતથી $1011$ મું પદ $T_{1011} = {}^{2022}C_{1010} (\frac{4x}{5})^{1012} (-\frac{5}{2x})^{1010}$ છે.
અંતથી $1011$ મું પદ એ શરૂઆતથી $1012$ મું પદ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$|x| = \frac{5}{16}$ મળે છે.

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $Q \Rightarrow P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ વિધાન $((\sim p) \wedge q) \Rightarrow r$ છે,જ્યાં $P = ((\sim p) \wedge q)$ અને $Q = r$ છે.
તેથી,તેનું પ્રતિ-વિધાન $Q \Rightarrow P$ એટલે કે $r \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ થાય.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 5 \text{ m}$ છે. ટાવરનો પાયો $O$ છે. પ્રથમ વ્યક્તિનું સ્થાન $A$ (દક્ષિણ) અને બીજા વ્યક્તિનું સ્થાન $B$ (પશ્ચિમ) છે.
$\triangle POA$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{PO}{OA} \implies 1 = \frac{5}{OA} \implies OA = 5 \text{ m}$.
$\triangle POB$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{PO}{OB} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{OB} \implies OB = 5\sqrt{3} \text{ m}$.
દક્ષિણ અને પશ્ચિમ દિશાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\triangle AOB$ એ $O$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
બંને વ્યક્તિઓ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$ થાય.

(A) ભારિત સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા ($AM$-$GM$) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5(\frac{a}{5}) + 3(\frac{b}{3}) + 2(\frac{c}{2}) + 1(d)}{11} \geq ((\frac{a}{5})^5 (\frac{b}{3})^3 (\frac{c}{2})^2 (d)^1)^{1/11}$
$a+b+c+d = 11$ હોવાથી:
$1 \geq (\frac{a^5 b^3 c^2 d}{5^5 3^3 2^2})^{1/11}$
$a^5 b^3 c^2 d$ ની મહત્તમ કિંમત $5^5 \times 3^3 \times 2^2 = 337500$ થાય.
$3750 \beta = 337500$ લેતા,$\beta = 90$ મળે છે.

(C) કેન્દ્ર $(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = r^2$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 36$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = \frac{36-x^2}{4}$.
$y^2$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2)^2 + \frac{36-x^2}{4} = r^2$
$4(x^2 - 4x + 4) + 36 - x^2 = 4r^2$
$4x^2 - 16x + 16 + 36 - x^2 = 4r^2$
$3x^2 - 16x + 52 - 4r^2 = 0$.
વર્તુળ અંતર્ગત હોવા માટે,સ્પર્શકતા માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (-16)^2 - 4(3)(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 12(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 624 + 48r^2 = 0$
$48r^2 = 368$
$12r^2 = \frac{368}{4} = 92$.

(D) આપેલ અવલોકનો $1, 2, 4, 5, x, y$ છે. મધ્યક $\overline{x} = 5$ છે.
$\frac{1+2+4+5+x+y}{6} = 5 \implies 12+x+y = 30 \implies x+y = 18$ $(i)$.
વિચરણ $\sigma^2 = 10 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2$.
$10 = \frac{1^2+2^2+4^2+5^2+x^2+y^2}{6} - 25$.
$35 = \frac{1+4+16+25+x^2+y^2}{6} \implies 210 = 46 + x^2+y^2 \implies x^2+y^2 = 164$ (ii).
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ પરથી,$18^2 = 164 + 2xy \implies 324 - 164 = 2xy \implies 2xy = 160 \implies xy = 80$.
$x+y=18$ અને $xy=80$ ઉકેલતા,$x=8, y=10$ મળે છે.
અવલોકનો $1, 2, 4, 5, 8, 10$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\text{M.D.}(\overline{x}) = \frac{\sum |x_i - 5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{|1-5| + |2-5| + |4-5| + |5-5| + |8-5| + |10-5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{4+3+1+0+3+5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો $^{n+2}C_{r-1}$,$^{n+2}C_{r}$,અને $^{n+2}C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^{n+2}C_{r-1} : ^{n+2}C_{r} : ^{n+2}C_{r+1} = 1 : 3 : 5$ છે.
$\frac{^{n+2}C_{r-1}}{^{n+2}C_{r}} = \frac{1}{3}$ પરથી,$\frac{r}{n-r+3} = \frac{1}{3} \implies n = 4r-3$ $(i)$.
$\frac{^{n+2}C_{r}}{^{n+2}C_{r+1}} = \frac{3}{5}$ પરથી,$\frac{r+1}{n-r+2} = \frac{3}{5} \implies 3n = 8r-1$ $(ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $3(4r-3) = 8r-1 \implies r = 2$ અને $n = 5$.
સહગુણકો $^{7}C_{1}, ^{7}C_{2}, ^{7}C_{3}$ એટલે કે $7, 21, 35$ છે.
સરવાળો $7 + 21 + 35 = 63$ થાય.

(A) $MATHS$ શબ્દના અક્ષરો $A, H, M, S, T$ છે. કુલ અક્ષરો $= 5$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$T$ થી શરૂ થતા શબ્દો પહેલાના કુલ શબ્દો $24 \times 4 = 96$.
હવે,$T$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$TA...$: $3! = 6$.
$THAMS$:
$THA...$: $2! = 2$.
$THAM...$: $1! = 1$.
$THAMS$: $1$.
ક્રમ $= 96 + 6 + 1 = 103$.

(B) ધારો કે $a = x_1 + i y_1$ અને $z = x + i y$, જ્યાં $x, y, x_1, y_1 \in \mathbb{R}$.
ગણ $A$ માટે, શરત $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) > \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ છે.
$\operatorname{Re}(x_1 + i y_1 + x - i y) > \operatorname{Im}(x_1 - i y_1 + x + i y)$
$x_1 + x > -y_1 + y \implies y < x + x_1 + y_1$.
જો $z$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો $y = 0$. શરત $0 < x + x_1 + y_1$ બને છે, જેનો અર્થ છે કે $x > -(x_1 + y_1)$. આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય નથી (દા.ત., $x$ ની ખૂબ નાની કિંમત લો). આમ, $(S1)$ અસત્ય છે.
ગણ $B$ માટે, શરત $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ છે.
$x_1 + x < -y_1 + y \implies y > x + x_1 + y_1$.
જો $z$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો $y = 0$. શરત $0 > x + x_1 + y_1$ બને છે, જેનો અર્થ છે કે $x < -(x_1 + y_1)$. આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય નથી (દા.ત., $x$ ની ખૂબ મોટી કિંમત લો). આમ, $(S2)$ અસત્ય છે.
તેથી, બંને વિધાનો અસત્ય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(z) = \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R}$ છે.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $f(z) = 1 + \frac{11iz - 13}{z^2 - 3iz - 2}$.
$f(z)$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,પદાવલિનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $z = \alpha - \frac{13}{11}i$. અહીં $x = \alpha$ અને $y = -\frac{13}{11}$ છે.
છેદ $D = z^2 - 3iz - 2 = (x^2 - y^2 + 3y - 2) + i(2xy - 3x)$ છે.
અંશ $N = 11iz - 13 = (-11y - 13) + i(11x)$ છે.
$\frac{N}{D} \in \mathbb{R}$ માટે,$\text{Re}(N)\text{Im}(D) = \text{Im}(N)\text{Re}(D)$ થવું જોઈએ.
$y = -\frac{13}{11}$ હોવાથી,$\text{Re}(N) = 0$ થાય છે.
તેથી,$\text{Re}(D) = x^2 - y^2 + 3y - 2 = 0$ લેતા:
$\alpha^2 = y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$.
$y = -\frac{13}{11}$ મૂકતા:
$\alpha^2 = (-\frac{24}{11})(-\frac{35}{11}) = \frac{840}{121}$.
તેથી,$242\alpha^2 = 242 \times \frac{840}{121} = 1680$.

(A) ધારો કે $S = 1 + \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 10$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$\frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
ધારો કે $S_1 = \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
તેથી $\frac{S_1}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{8}{k^3} + \frac{13}{k^4} + \ldots$.
આ બાદબાકી કરતા: $S_1(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots = 9(1 - \frac{1}{k})$.
ધારો કે $S_2 = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots$.
તેથી $\frac{S_2}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{4}{k^3} + \frac{5}{k^4} + \ldots$.
આ બાદબાકી કરતા: $S_2(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^3} + \frac{1}{k^4} + \ldots = \frac{4}{k} + \frac{1/k^3}{1 - 1/k} = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$S_2 = 9(1 - \frac{1}{k})$ મૂકતા,$9(1 - \frac{1}{k})^2 = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$9(\frac{k-1}{k})^2 = \frac{4k(k-1) + 1}{k^2(k-1)}$.
$9(k-1)^3 = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2$.
$k=2$ ચકાસતા: $9(2-1)^3 = 9(1) = 9$,અને $(2(2)-1)^2 = 3^2 = 9$.
આમ,$k=2$ એ ઉકેલ છે.

(A) બિંદુ $P(3, \alpha)$ એ પરવલય $y^2=12x$ પર હોવાથી,$\alpha^2 = 12(3) = 36$,તેથી $\alpha = \pm 6$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$ છે. $(3, \alpha)$ આગળ ઢાળ $m_1 = \frac{6}{\alpha}$ છે.
રેખા $2x+2y=3$ નો ઢાળ $m_2 = -1$ છે. સ્પર્શક લંબ હોવાથી $m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\alpha = 6$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ થાય.
બિંદુ $Q$ એ $(5, 8)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{9x}{5} + \frac{36y}{8} = 45$ એટલે કે $2x + 5y - 50 = 0$ મળે.
બિંદુ $(6, -4)$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{|2(6) + 5(-4) - 50|}{\sqrt{29}} = \frac{58}{\sqrt{29}}$ છે.
અંતરનો વર્ગ $d^2 = \frac{3364}{29} = 116$ થાય.

(A) રેખા $l_1: 3y - 2x = 3$ અને $l_2: x - y + 1 = 0$ નું છેદબિંદુ $P(0, 1)$ છે.
આ બિંદુ $l_3: \alpha x + \beta y + 17 = 0$ પર હોવાથી,$\beta = -17$ મળે છે.
રેખા $l_2$ પરનું બિંદુ $Q(-1, 0)$ લો. રેખા $l_1$ ની સાપેક્ષે $Q$ નું પ્રતિબિંબ $Q'(-\frac{17}{13}, \frac{6}{13})$ મળે છે.
આ બિંદુ $l_3$ પર હોવાથી,$\alpha(-\frac{17}{13}) - 17(\frac{6}{13}) + 17 = 0$ પરથી $\alpha = 7$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha - \beta = 7^2 + (-17)^2 - 7 - (-17) = 49 + 289 - 7 + 17 = 348$.

(A) પાંચ અંકની સંખ્યા $40000$ થી મોટી હોય જો તેનો પ્રથમ અંક $5, 7$ અથવા $9$ હોય.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $5$ છે. છેલ્લો અંક $0$ હોવો જોઈએ. બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $4$ અંકો $(1, 3, 7, 9)$ વડે $^4P_3 = 24$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $7$ છે. છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે.
- જો છેલ્લો અંક $0$ હોય,તો રીતો $= 24$.
- જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો રીતો $= 24$.
કુલ રીતો $= 24 + 24 = 48$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ અંક $9$ છે. છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે.
- જો છેલ્લો અંક $0$ હોય,તો રીતો $= 24$.
- જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો રીતો $= 24$.
કુલ રીતો $= 24 + 24 = 48$.
કુલ સંખ્યા $= 24 + 48 + 48 = 120$.

(C) સમીકરણ $x^2+\sqrt{6}x+3=0$ ના બીજ $\alpha, \beta = \sqrt{3} e^{\pm i \frac{3\pi}{4}}$ છે.
$\alpha^n + \beta^n = 2(\sqrt{3})^n \cos\left(\frac{3n\pi}{4}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
અંશ અને છેદની કિંમતો મેળવતા,અંતિમ જવાબ $81$ મળે છે.

(B) ધારો કે $S_n = \frac{n^2+3n}{(n+1)(n+2)}$.
$n=1$ માટે,$a_1 = S_1 = \frac{2}{3}$.
$n > 1$ માટે,$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{4}{n(n+1)(n+2)}$.
તેથી,$\frac{1}{a_k} = \frac{k(k+1)(k+2)}{4}$.
હવે,$28 \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = 28 \sum_{k=1}^{10} \frac{k(k+1)(k+2)}{4} = 7 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)(k+2)$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7 \times \frac{10 \times 11 \times 12 \times 13}{4} = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13$.
આ પ્રથમ $6$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$m = 6$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
$PQ$ અને $RS$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી જીવાઓ હોવાથી,$O$ એ $PQ$ અને $RS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$PQ = 2OP$ અને $RS = 2OR$.
$\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{1}{4(OP)^2} + \frac{1}{4(OR)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(OP)^2} + \frac{1}{(OR)^2} \right)$.
$P = (2 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ અને $R = (2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ લો.
$OP \perp OR$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય: $\left( \frac{3 \sin \alpha}{2 \cos \alpha} \right) \left( \frac{3 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right) = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha \tan \theta = -\frac{4}{9}$.
$P = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}} \right)$ આપેલ છે,તેથી $\tan \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી $\tan \theta = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}$.
$(OP)^2 = \frac{48}{7}$ અને $(OR)^2 = \frac{144}{31}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} \left( \frac{7}{48} + \frac{31}{144} \right) = \frac{13}{144}$.
આમ $p=13, q=144$,તેથી $p+q = 157$.

(D) $(S1): (p \Rightarrow q) \wedge (q \wedge (\sim q))$ માટે
કારણ કે $(q \wedge (\sim q))$ હંમેશા અસત્ય $(F)$ છે,તેથી આખું પદ $(p \Rightarrow q) \wedge F$ હંમેશા અસત્ય છે. આમ,$(S1)$ એ વિરોધાભાસ છે.
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ માટે
આપણે વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$= [q \wedge (p \vee (\sim p))] \vee [(\sim q) \wedge (p \vee (\sim p))]$
$= [q \wedge T] \vee [(\sim q) \wedge T]$
$= q \vee (\sim q) = T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય $(T)$ હોવાથી,$(S2)$ એ નિત્યસત્ય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{100} = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + C_{100}x^{100}$ છે.
ધારો કે $S = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots - C_{49}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{100}$ માં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $(1-1)^{100} = 0$ થાય છે.
તેથી,$(C_0 - C_1 + C_2 - \dots + C_{50} - \dots + C_{100}) = 0$.
ગુણધર્મ $C_r = C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$C_{100} = C_0, C_{99} = C_1, \dots, C_{51} = C_{49}$ મળે.
તેથી,$2(C_0 - C_1 + C_2 - \dots - C_{49}) + C_{50} = 0$.
$2S + C_{50} = 0 \implies S = -\frac{1}{2} C_{50}$.
$S = -\frac{1}{2} \binom{100}{50} = -\frac{1}{2} \times \frac{100}{50} \binom{99}{49} = -\binom{99}{49}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{1023}{10}$ છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^{n} {}^{n+1}C_{r+1}$.
ધારો કે $k = r+1$,તો સરવાળો $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k}$ થાય.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1}$,તેથી $\sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1} - {}^{n+1}C_{0} = 2^{n+1} - 1$.
આમ,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
છેદની સરખામણી કરતા,$n+1 = 10$,તેથી $n = 9$ મળે છે.
અંશ ચકાસતા: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$. જે આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ છે $z_0 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$ અને $z_1 = 1 + i$.
$|z_1 - z_0| = |(1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{3}{2})i| = |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો.
આપેલ છે $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} |z_2 - z_0| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z_2 - z_0| = \sqrt{2}$.
$z_0, z_1, z_2$ સમરેખ હોવાથી,$z_2$ એ $z_0$ અને $z_1$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે. આ રેખાની દિશા ખૂણા $\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં $\tan \theta = \frac{-1/2}{1/2} = -1$,તેથી $\theta = 135^{\circ}$ અથવા $315^{\circ}$.
આમ,$z_2 = z_0 + \sqrt{2} e^{i \theta} = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i) + \sqrt{2} (\cos \theta + i \sin \theta)$.
$\theta = 135^{\circ}$ માટે,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{2} - 1) + i(\frac{3}{2} + 1) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.
તેથી $|z_2|^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$.
$\theta = 315^{\circ}$ માટે,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = (\frac{1}{2} + 1) + i(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.
તેથી $|z_2|^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$|z_2|^2$ ની નાની કિંમત $\frac{5}{2}$ છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \sin \theta = 7$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $x = \frac{7}{\cos \theta}$ છે,તેથી બિંદુ $A = \left(\frac{7}{\cos \theta}, 0\right)$.
$y$-અંતઃખંડ $y = \frac{7}{\sin \theta}$ છે,તેથી બિંદુ $B = \left(0, \frac{7}{\sin \theta}\right)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$h = \frac{7}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{7}{2 \sin \theta}$.
બિંદુ $\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)$ વક્ર પર છે,તેથી $k = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$.
$\frac{7}{2 \sin \theta} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\alpha = \frac{7}{2 \cos(\pi/3)} = \frac{7}{2(1/2)} = 7$.

(B) ધારો કે $X = \alpha - \beta$. $X$ ની શક્ય કિંમતો $-5$ થી $5$ સુધીની છે.
$\alpha$ અને $\beta$ એ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ પર સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત અસતત સમાન ચલ હોવાથી,$\alpha$ નું વિચરણ $\text{Var}(\alpha) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{36 - 1}{12} = \frac{35}{12}$ થાય.
તે જ રીતે,$\text{Var}(\beta) = \frac{35}{12}$ થાય.
$\alpha$ અને $\beta$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$\text{Var}(\alpha - \beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(-\beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(\beta)$ થાય.
$\text{Var}(\alpha - \beta) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$ થાય.
અહીં,$p = 35$ અને $q = 6$ છે. $35$ અને $6$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p = 35$ મળે.
$p$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $35 = 5^1 \times 7^1$ છે.
$p$ ના ધન ભાજકોનો સરવાળો $(5^0 + 5^1)(7^0 + 7^1) = (1 + 5)(1 + 7) = 6 \times 8 = 48$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\cos A + \cos C = 2(1 - \cos B)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
કારણ કે $\cos \frac{A+C}{2} = \sin \frac{B}{2}$,તેથી $2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$,જેનું સાદું રૂપ $\cos \frac{A-C}{2} = 2 \sin \frac{B}{2}$ થાય છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin A + \sin C = 2 \sin B$,જે સૂચવે છે કે $a + c = 2b$.
$a = 3$ અને $c = 7$ આપેલ હોવાથી,$3 + 7 = 2b$,તેથી $b = 5$.
હવે,$\cos A - \cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A - \cos C = \frac{25 + 49 - 9}{2(5)(7)} - \frac{9 + 25 - 49}{2(3)(5)}$.
$= \frac{65}{70} - \frac{-15}{30} = \frac{13}{14} + \frac{1}{2} = \frac{13 + 7}{14} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$.

(D) અંકો $a, a, a, b, b, b, c, c, c$ ની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{9!}{3!3!3!} = 1680$ છે.
આપણે એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધવી છે જ્યાં ઓછામાં ઓછી એક ક્રમિક ત્રિપુટી $A.P.$ બનાવે.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $A.P.$ માં શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ અને $(c, b, a)$ છે.
આવી નવ-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $1260$ છે.

(D) પદોને $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ તરીકે લો.
મધ્યક $\frac{31}{10}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 5 \times \frac{31}{10} = \frac{31}{2}$.
વ્યસ્તનો મધ્યક $\frac{31}{40}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 5 \times \frac{31}{40} = \frac{31}{8}$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજા વડે ભાગતા,$a^2 = 4$ મળે,તેથી $a = 2$.
$a=2$ મૂકતા,$r=2$ મળે છે. પદો $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{186}{25}$ મળે છે.
તેથી $m=186, n=25$ અને $m+n = 211$.

(D) વર્તુળો પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો $(r, r)$ છે અને તેમના સમીકરણો $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ મળે છે.
રેખા $x+y-2=0$ દ્વારા કપાતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $x+y-2=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
આમ,$\sqrt{r^2 - d^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 - d^2 = 1$.
અંતર $d = \frac{|r+r-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2r-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}|r-1|$.
$d^2 = 2(r-1)^2$ ને $r^2 - d^2 = 1$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $r^2 - 2(r-1)^2 = 1$ મળે છે.
$r^2 - 2(r^2 - 2r + 1) = 1$ $\Rightarrow r^2 - 2r^2 + 4r - 2 = 1$ $\Rightarrow -r^2 + 4r - 3 = 0$.
તેથી,$r^2 - 4r + 3 = 0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $r_1$ અને $r_2$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$r_1 + r_2 = 4$ અને $r_1 r_2 = 3$.
આપણે $r_1^2 + r_2^2 - r_1 r_2 = (r_1 + r_2)^2 - 3r_1 r_2$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $4^2 - 3(3) = 16 - 9 = 7$ મળે છે.

(A) ધારો કે $p = (( A \wedge ( B \vee C ))$ $\Rightarrow ( A \vee B ))$ $\Rightarrow A$.
ગર્ભિત વિધાનના નિયમ $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \vee Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \equiv \sim (( A \wedge ( B \vee C )) \Rightarrow ( A \vee B )) \vee A$.
નિષેધના નિયમ $\sim (X \Rightarrow Y) \equiv X \wedge \sim Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge \sim ( A \vee B )) \vee A$.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim ( A \vee B ) \equiv \sim A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge ( \sim A \wedge \sim B )) \vee A$.
ચૂકતા $( A \wedge \sim A ) \equiv F$ (અસત્ય) હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$p \equiv ( F \wedge ( B \vee C ) \wedge \sim B ) \vee A \equiv F \vee A \equiv A$.
તેથી,વિધાનનો નિષેધ $\sim p \equiv \sim A$ થાય.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે. બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(3 \sqrt{3})}{36} + \frac{y(1)}{4} = 1$ એટલે કે $\frac{x \sqrt{3}}{12} + \frac{y}{4} = 1$ છે.
$y$-અક્ષ માટે $x=0$ લેતા,$y=4$ મળે. તેથી $A=(0, 4)$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-1 = \sqrt{3}(x-3 \sqrt{3})$ એટલે કે $y = x \sqrt{3} - 8$ છે.
$y$-અક્ષ માટે $x=0$ લેતા,$y=-8$ મળે. તેથી $B=(0, -8)$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, -2)$ અને ત્રિજ્યા $6$ છે. સમીકરણ $x^2 + (y+2)^2 = 36$ છે.
$x = 2 \sqrt{5}$ મુકતા,$y^2 + 4y - 12 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $y=2$ અને $y=-6$ છે.
સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(\alpha, \beta)$ માટે,$\alpha = \frac{18}{\sqrt{5}}$ અને $\beta = -2$ મળે.
તેથી $\alpha^2 - \beta^2 = \frac{324}{5} - 4 = \frac{304}{5}$.

(A) પરવલય $y^2=4ax$ માટે,અહીં $4a=36$,તેથી $a=9$. પેરામીટર $t$ વાળી નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $a(t+1/t)^2 = 100$ છે.
$9(t+1/t)^2 = 100 \implies (t+1/t)^2 = 100/9 \implies t+1/t = 10/3$ (કારણ કે ખૂણો લઘુકોણ છે,$t>0$).
$3t^2 - 10t + 3 = 0$ ઉકેલતા,$(3t-1)(t-3)=0$ મળે,તેથી $t=3$ અથવા $t=1/3$.
$P$ નો કોટિ ધન હોવાથી,$P$ એ $t=3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $P = (81, 54)$.
તેથી $Q$ એ $t=1/3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $Q = (1, 6)$.
બિંદુ $M$ એ $PQ$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $M = (21, 18)$.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = 3/5$ છે.
$PQ$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_{\perp} = -5/3$ છે.
$M(21, 18)$ માંથી પસાર થતી અને $-5/3$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $5x+3y = 159$ છે.

(B) આપણે $\frac{4^{2022}}{15}$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ શોધવો છે.
નોંધો કે $4^{2022} = (4^2)^{1011} = 16^{1011}$.
આપણે $16$ ને $(15 + 1)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$16^{1011} = (15 + 1)^{1011}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(15 + 1)^{1011} = 15K + 1$,જ્યાં $K$ એક પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\frac{4^{2022}}{15} = \frac{15K + 1}{15} = K + \frac{1}{15}$.
આમ,અપૂર્ણાંક ભાગ $\frac{1}{15}$ છે.

(D) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$k$-મી સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_k = k$ અને સામાન્ય તફાવત $d_k = 2k - 1$ છે.
અહીં $n = 12$ આપેલ છે,તેથી $s_k$:
$s_k = \frac{12}{2} [2(k) + (12-1)(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 11(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 22k - 11] = 6 [24k - 11] = 144k - 66$.
હવે,$\sum_{i=1}^{10} s_i$ ની ગણતરી કરીએ:
$\sum_{i=1}^{10} (144i - 66) = 144 \sum_{i=1}^{10} i - \sum_{i=1}^{10} 66$
$= 144 \times \frac{10 \times 11}{2} - 660$
$= 144 \times 55 - 660$
$= 7920 - 660 = 7260$.

(C) સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} (x^{1/2})^{n-k} (-6 x^{-3/2})^k = {^nC_k} (-6)^k x^{(n-4k)/2}$ છે.
અચળ પદ માટે,$n-4k = 0$,તેથી $n = 4k$. $n \leq 15$ હોવાથી,$k$ ની કિંમત $1, 2, 3$ હોઈ શકે.
બધા સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ મૂકવાથી મળે,જે $(1-6)^n = (-5)^n$ છે.
બાકીના પદોનો સરવાળો $(-5)^n - \alpha = 649$ છે.
જો $k=1, n=4$ લઈએ: $(-5)^4 - {^4C_1}(-6)^1 = 625 + 24 = 649$. આ સાચું છે.
તેથી,$n=4$ અને $\alpha = {^4C_1}(-6)^1 = -24$.
$x^{-n} = x^{-4}$ નો સહગુણક ત્યારે મળે જ્યારે $(n-4k)/2 = -4$,એટલે કે $4-4k = -8$,$4k = 12$,$k=3$.
સહગુણક ${^4C_3}(-6)^3 = 4 \times (-216) = -864$ છે.
આમ,$-864 = \lambda(-24)$,તેથી $\lambda = \frac{-864}{-24} = 36$.

(D) કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - xI| = 0$ નું પાલન કરે છે.
$|A - xI| = \begin{vmatrix} 1 - x & 5 \\ \lambda & 10 - x \end{vmatrix} = (1 - x)(10 - x) - 5\lambda = x^2 - 11x + 10 - 5\lambda = 0$.
આમ,$A^2 - 11A + (10 - 5\lambda)I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A - 11I + (10 - 5\lambda)A^{-1} = 0$.
$(10 - 5\lambda)A^{-1} = -A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{-1}{10 - 5\lambda}A + \frac{11}{10 - 5\lambda}I$.
આને $A^{-1} = \alpha A + \beta I$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{-1}{10 - 5\lambda}$ અને $\beta = \frac{11}{10 - 5\lambda}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -2$,તેથી $\frac{-1 + 11}{10 - 5\lambda} = -2 \Rightarrow \frac{10}{10 - 5\lambda} = -2$.
$10 = -20 + 10\lambda \Rightarrow 10\lambda = 30 \Rightarrow \lambda = 3$.
તેથી $\alpha = \frac{-1}{10 - 15} = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{11}{10 - 15} = -\frac{11}{5}$.
અંતે,$4\alpha^2 + \beta^2 + \lambda^2 = 4(\frac{1}{25}) + (\frac{121}{25}) + 3^2 = \frac{125}{25} + 9 = 5 + 9 = 14$.

(D) આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ અને $R = \{(x, y) \in A \times A : x + y = 7\}$.
$R$ ના ઘટકો લખતા: $R = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$.
$1$. સ્વવાચક: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 6) \in R$ અને $(6, 1) \in R$ છે,$(2, 5) \in R$ અને $(5, 2) \in R$ છે,વગેરે,તેથી $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 6) \in R$ અને $(6, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 1) \notin R$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ સંમિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત નથી.

(A) આપણે $\int_0^{2.4} [x^2] dx$ સંકલનનું મૂલ્ય $[x^2]$ ની કિંમતોના આધારે અંતરાલને વિભાજિત કરીને મેળવીએ છીએ.
$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx + \int_2^{\sqrt{5}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} [x^2] dx$
$= \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx + \int_2^{\sqrt{5}} 4 dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} 5 dx$
$= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3}) + 4(\sqrt{5} - 2) + 5(2.4 - \sqrt{5})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - 8 + 12 - 5\sqrt{5}$
$= ( -1 + 6 - 8 + 12 ) + (1 - 2)\sqrt{2} + (2 - 3)\sqrt{3} + (4 - 5)\sqrt{5}$
$= 9 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}$
આને $\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 9$,$\beta = -1$,$\gamma = -1$,અને $\delta = -1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 9 - 1 - 1 - 1 = 6$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વિકલનીય હોવાથી,તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
તેથી,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$.
$3(1)^2 + k\sqrt{1+1} = m(1)^2 + k^2 \implies 3 + k\sqrt{2} = m + k^2 \quad \dots(1)$
વળી,$f'(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ,તેથી $f'_-(1) = f'_+(1)$.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) = 6x + \frac{k}{2\sqrt{x+1}}$.
$x > 1$ માટે,$f'(x) = 2mx$.
$x = 1$ આગળ,$6(1) + \frac{k}{2\sqrt{2}} = 2m(1) \implies 2m = 6 + \frac{k}{2\sqrt{2}} \implies m = 3 + \frac{k}{4\sqrt{2}} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$3 + k\sqrt{2} = (3 + \frac{k}{4\sqrt{2}}) + k^2$
$k^2 + k(\frac{1}{4\sqrt{2}} - \sqrt{2}) = 0$
$k^2 - \frac{7k}{4\sqrt{2}} = 0$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = \frac{7}{4\sqrt{2}}$.
તેથી $m = 3 + \frac{7/4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 3 + \frac{7}{32} = \frac{103}{32}$.
હવે,$f'(8) = 2m(8) = 16m = 16(\frac{103}{32}) = \frac{103}{2}$.
અને $f'(\frac{1}{8}) = 6(\frac{1}{8}) + \frac{k}{2\sqrt{1/8+1}} = \frac{3}{4} + \frac{7/4\sqrt{2}}{2(3/2\sqrt{2})} = \frac{3}{4} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\frac{8f'(8)}{f'(1/8)} = \frac{8(103/2)}{4/3} = 309$.

(A) વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,બંને ભાગો માન્ય હોવા જોઈએ.
$1$. $\log_e\left(\frac{6x^2+5x+1}{2x-1}\right)$ માટે,$\frac{6x^2+5x+1}{2x-1} > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\frac{(3x+1)(2x+1)}{2x-1} > 0$.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -1/2, -1/3, 1/2$ છે.
અસમતા $x \in (-1/2, -1/3) \cup (1/2, \infty) \dots (A)$ માટે સાચી છે.
$2$. $\cos^{-1}\left(\frac{2x^2-3x+4}{3x-5}\right)$ માટે,$-1 \le \frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \le 1$ અને $3x-5 \neq 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \le 1$ ઉકેલતા $\implies \frac{2x^2-6x+9}{3x-5} \le 0$. $2x^2-6x+9$ માટે $D < 0$ હોવાથી,તે હંમેશા ધન છે. તેથી,$3x-5 < 0 \implies x < 5/3 \dots (B)$.
$\frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \ge -1$ ઉકેલતા $\implies \frac{2x^2-1}{3x-5} \ge 0$.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 5/3$ છે.
અસમતા $x \in [-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] \cup (5/3, \infty) \dots (C)$ માટે સાચી છે.
છેદગણ $A \cap B \cap C = (-1/2, -1/3) \cup (1/2, 1/\sqrt{2}]$.
અહીં $\alpha = -1/2, \beta = -1/3, \gamma = 1/2, \delta = 1/\sqrt{2}$.
$18(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2) = 18(1/4 + 1/9 + 1/4 + 1/2) = 18(1/2 + 1/9 + 1/2) = 18(1 + 1/9) = 18 + 2 = 20$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3x \ln(\cos y)) \sin y}{(\ln(\cos y))^2 \cos y} = \tan y \left( \frac{3x}{\ln(\cos y)} + \frac{1}{(\ln(\cos y))^2} \right)$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{3 \tan y}{\ln(\cos y)}$ અને $Q(y) = \frac{\tan y}{(\ln(\cos y))^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{3 \tan y}{\ln(\cos y)} dy}$.
ધારો કે $t = \ln(\cos y)$,તો $dt = -\tan y dy$. તેથી,$IF = e^{\int \frac{3}{t} dt} = e^{3 \ln t} = t^3 = (\ln(\cos y))^3$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x (\ln(\cos y))^3 = \int \frac{\tan y}{(\ln(\cos y))^2} \cdot (\ln(\cos y))^3 dy + C = \int \tan y \ln(\cos y) dy + C$.
$t = \ln(\cos y)$ લેતા,$\int t (-dt) = -\frac{t^2}{2} + C$.
તેથી,$x (\ln(\cos y))^3 = -\frac{(\ln(\cos y))^2}{2} + C$.
$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \ln 2}$ આપેલ છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\ln(\cos(\frac{\pi}{3})) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$.
કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2 \ln 2} (-\ln 2)^3 = -\frac{(-\ln 2)^2}{2} + C \implies -\frac{(\ln 2)^2}{2} = -\frac{(\ln 2)^2}{2} + C \implies C = 0$.
આમ,$x = -\frac{1}{2 \ln(\cos y)}$.
$y = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $x = -\frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = -\frac{1}{2 (\frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2)} = \frac{1}{\ln 4 - \ln 3} = \frac{1}{\ln(\frac{4}{3})}$.
$\frac{1}{\ln m - \ln n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=4, n=3$ મળે છે. $4$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$mn = 12$.

(A) બિંદુઓ $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,અને $(5, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P_2$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-1 \\ -3 & -1 & -2 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \implies x-y-z = 3$.
સમતલ $P_1: 3x - y - 7z = 11$ અને $P_2: x - y - z = 3$ ની છેદરેખાના દિશા-ગુણોત્તર તેમના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -7 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$,જે $(3, 2, 1)$ તરીકે લઈ શકાય.
રેખા પરનું બિંદુ $(4, 1, 0)$ છે. તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} = r$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $(3r+4, 2r+1, r)$ છે.
બિંદુ $(7, 4, -1)$ થી આ બિંદુ સુધીનો સદિશ $(3r-3, 2r-3, r+1)$ છે.
આ સદિશ રેખાની દિશા $(3, 2, 1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3r-3) + 2(2r-3) + 1(r+1) = 0 \implies 14r - 14 = 0 \implies r=1$.
લંબપાદ $(7, 3, 1)$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 7+3+1 = 11$.

(A) $n=5$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m=4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $m! \times S_2(n, m)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $S_2(n, m)$ એ બીજા પ્રકારની સ્ટર્લિંગ સંખ્યા છે.
કુલ વ્યાપ્ત વિધેયો = $4! \times S_2(5, 4) = 24 \times \binom{5}{2} = 24 \times 10 = 240$.
હવે,આપણે $f(a) = 1$ હોય તેવા વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધીએ. જો $f(a) = 1$ હોય,તો બાકીના $4$ ઘટકો ${b, c, d, e}$ એ ${1, 2, 3, 4}$ પર એવી રીતે વિધેય બનાવે કે જેથી તે વ્યાપ્ત રહે.
કિસ્સો $1$: $f(a)=1$ અને વિસ્તાર ${1, 2, 3, 4}$ હોય. બાકીના $4$ ઘટકો ${1, 2, 3, 4}$ પર વ્યાપ્ત વિધેય બનાવે તેની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
કિસ્સો $2$: $f(a)=1$ અને વિસ્તાર ${2, 3, 4}$ હોય. બાકીના $4$ ઘટકો ${2, 3, 4}$ પર વ્યાપ્ત વિધેય બનાવે તેની સંખ્યા $3! \times S_2(4, 3) = 6 \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$ છે.
$f(a) = 1$ હોય તેવા કુલ વિધેયો $24 + 36 = 60$ છે.
તેથી,$f(a) \neq 1$ હોય તેવા વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $240 - 60 = 180$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1 + [x]\right\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$0 \leq x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1\right\}$.
$x^2 + \frac{3}{4} = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$.
આમ,$0 \leq x < \frac{1}{2}$ માટે $f(x) = x^2 + \frac{3}{4}$ અને $\frac{1}{2} \leq x < 1$ માટે $f(x) = 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0, y=0, x+y=2$ અને $f(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$A = \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{3}{4}) dx + \int_{1/2}^1 (1) dx + \int_1^2 (2-x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x}{4} \right]_0^{1/2} + [x]_{1/2}^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$.
$A = (\frac{1}{24} + \frac{3}{8}) + (1 - \frac{1}{2}) + ((4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}))$.
$A = \frac{10}{24} + \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{5}{12} + \frac{6}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12}$.
તેથી,$12A = 17$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{OP} = -\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\overline{AB} = \overline{OB} - \overline{OA} = (2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = 4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$.
$\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA} = (-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = -2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
$\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{n} = \overline{AB} \times \overline{AC}$ છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(8+2) + \hat{k}(4+6) = 5\hat{i}-10\hat{j}+10\hat{k}$.
$\vec{n}$ પર $\overline{OP}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\overline{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\overline{OP} \cdot \vec{n} = (-1)(5) + (-2)(-10) + (3)(10) = -5 + 20 + 30 = 45$.
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15$.
પ્રક્ષેપ $= \frac{|45|}{15} = 3$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{Ax + B}{Cx - A}$,જ્યાં $A = \tan 1^{\circ}$,$B = \log_{e}(123)$,અને $C = \log_{e}(1234)$.
પ્રથમ,આપણે $f(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(f(x)) = \frac{A(\frac{Ax + B}{Cx - A}) + B}{C(\frac{Ax + B}{Cx - A}) - A} = \frac{A(Ax + B) + B(Cx - A)}{C(Ax + B) - A(Cx - A)} = \frac{A^2x + AB + BCx - AB}{ACx + BC - ACx + A^2} = \frac{x(A^2 + BC)}{A^2 + BC} = x$.
કારણ કે $f(f(x)) = x$ પ્રદેશના તમામ $x$ માટે છે,તેથી $f(f(x)) = x$ અને $f(f(4/x)) = 4/x$ મળે.
તેથી,$f(f(x)) + f(f(4/x)) = x + \frac{4}{x}$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x > 0$ માટે:
$x + \frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2 \sqrt{4} = 4$.
ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(C) ધારો કે દરેક ખૂણેથી કાપેલા ચોરસની બાજુ $x\,cm$ છે.
પરિણામી બોક્સના પરિમાણો લંબાઈ $= (30-2x)\,cm$,પહોળાઈ $= (30-2x)\,cm$ અને ઊંચાઈ $= x\,cm$ થશે.
બોક્સનું ઘનફળ $V = x(30-2x)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$V = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 240x + 900$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dV}{dx} = 0$ લેતા:
$12(x^2 - 20x + 75) = 0$
$12(x-5)(x-15) = 0$.
આમ,$x = 5$ અથવા $x = 15$. કારણ કે $x=15$ લેવાથી બાજુની લંબાઈ $0$ થઈ જશે,તેથી આપણે $x = 5\,cm$ લઈએ છીએ.
ખુલ્લા બોક્સનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ મૂળ ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ચાર કાપેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે:
$S = (30)^2 - 4x^2 = 900 - 4(5)^2 = 900 - 100 = 800\,cm^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x f(x) + x^2 f'(x) - 1 = 4x f(x)$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 f'(x) - 2x f(x) = 1$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = \frac{1}{x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$f(x) = -\frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = \frac{2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
આમ,$f(x) = x^2 - \frac{1}{3x}$.
$18 f(3)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(3) = (3)^2 - \frac{1}{3(3)} = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$.
$18 f(3) = 18 \times \frac{80}{9} = 2 \times 80 = 160$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$ અને $|A|=2$.
પ્રથમ,$|3A|$ ની ગણતરી કરો. $A$ એ $3 \times 3$ હોવાથી,$|3A| = 3^3 |A| = 27 \times 2 = 54$.
હવે,આપણે $|3 \operatorname{adj}(|3A|A^2)| = |3 \operatorname{adj}(54A^2)|$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક $M$ માટે $|kM| = k^n |M|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|3 \operatorname{adj}(54A^2)| = 3^3 |\operatorname{adj}(54A^2)| = 27 |\operatorname{adj}(54A^2)|$.
$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $27 |54A^2|^{3-1} = 27 |54A^2|^2$.
કારણ કે $|54A^2| = 54^3 |A^2| = 54^3 |A|^2 = 54^3 \times 2^2 = 54^3 \times 4$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $27 \times (54^3 \times 4)^2 = 27 \times 54^6 \times 16 = (3^3) \times (2 \times 3^3)^6 \times 2^4 = 3^3 \times 2^6 \times 3^{18} \times 2^4 = 3^{21} \times 2^{10} = 3^{11} \times 3^{10} \times 2^{10} = 3^{11} \times (3 \times 2)^{10} = 3^{11} \times 6^{10}$.

(B) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ મળે.
ધારો કે $y = tx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = t + x\frac{dt}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $t + x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$.
$x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t} - t = \frac{1-t^2}{2t}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2t}{1-t^2} dt = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$,જેનો અર્થ છે $\ln|1-t^2|^{-1} = \ln|cx|$.
તેથી,$\frac{1}{1-t^2} = cx$,અથવા $1-t^2 = \frac{1}{cx}$.
$t = y/x$ મૂકતા: $1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{x}{c}$.
આપેલ છે કે $y(2) = 0$,તેથી $2^2 - 0^2 = \frac{2}{c} \Rightarrow 4 = \frac{2}{c} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $x^2 - y^2 = 2x$ બને છે.
$x = 8$ માટે: $8^2 - y^2 = 2(8) \Rightarrow 64 - y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 48$.
આમ,$y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 7(\alpha + 5)$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \neq -5$. તેથી,જ્યારે $\alpha \neq -5$ હોય ત્યારે કોઈપણ $\beta$ માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ હોય છે.
અનંત ઉકેલો માટે,આપણે $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ ની જરૂર છે.
$\Delta = 0$ લેતા $\alpha = -5$ મળે છે.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & \beta \end{vmatrix} = 7(\beta - 9)$ ગણતા.
$\Delta_3 = 0$ લેતા $\beta = 9$ મળે છે.
જ્યારે $\alpha = -5$ અને $\beta = 9$ હોય,ત્યારે $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ થાય છે,તેથી સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
વિકલ્પ $C$ જણાવે છે કે $\alpha = -6$ અને $\beta = 9$ માટે સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે,જે ખોટું છે કારણ કે $\alpha = -6$ માટે $\Delta \neq 0$ થાય છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{-2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(3\lambda - 3, \lambda - 2, 1 - 2\lambda)$ સ્વરૂપમાં છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $x + y + z = 2$ પર હોવાથી,યામો મૂકતા:
$(3\lambda - 3) + (\lambda - 2) + (1 - 2\lambda) = 2$.
$2\lambda - 4 = 2 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
આમ,$P$ ના યામ $(6, 1, -5)$ મળે છે.
બિંદુ $P(6, 1, -5)$ નું સમતલ $3x - 4y + 12z - 32 = 0$ થી અંતર $q$ નીચે મુજબ છે:
$q = \left| \frac{3(6) - 4(1) + 12(-5) - 32}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{18 - 4 - 60 - 32}{\sqrt{9 + 16 + 144}} \right| = \left| \frac{-78}{13} \right| = 6$.
તેથી,$q = 6$ અને $2q = 12$.
$6$ અને $12$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 6)(x - 12) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 18x + 72 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,4,6)$,$B(0,-2,-5)$ અને $C(x,y,z)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G(2,1,-1)$ આપેલ છે,તેથી મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર મુજબ: $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$.
$\frac{2+0+x}{3} = 2 \Rightarrow 2+x = 6 \Rightarrow x = 4$.
$\frac{4-2+y}{3} = 1 \Rightarrow 2+y = 3 \Rightarrow y = 1$.
$\frac{6-5+z}{3} = -1 \Rightarrow 1+z = -3 \Rightarrow z = -4$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(4,1,-4)$ છે.
હવે,સમતલ $x+2y+4z-11=0$ માં બિંદુ $C(4,1,-4)$ નું પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ શોધો.
સમતલ $ax+by+cz+d=0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ ના પ્રતિબિંબનું સૂત્ર $\frac{\alpha-x_0}{a} = \frac{\beta-y_0}{b} = \frac{\gamma-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\alpha-4}{1} = \frac{\beta-1}{2} = \frac{\gamma+4}{4} = -2 \frac{4+2(1)+4(-4)-11}{1^2+2^2+4^2} = -2 \frac{4+2-16-11}{1+4+16} = -2 \frac{-21}{21} = 2$.
આમ,$\alpha-4 = 2 \Rightarrow \alpha = 6$; $\beta-1 = 4 \Rightarrow \beta = 5$; $\gamma+4 = 8 \Rightarrow \gamma = 4$.
પ્રતિબિંબ $(6,5,4)$ છે.
અંતે,$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = (6)(5) + (5)(4) + (4)(6) = 30 + 20 + 24 = 74$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x+2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-5}{2}$ અને $L_2: \frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{0}$ છે.
$L_1$ પરથી,બિંદુ $P_1 = (-2, 0, 5)$ અને દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ મળે છે.
$L_2$ પરથી,બિંદુ $P_2 = (4, 1, -3)$ અને દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ મળે છે.
સદિશ $\vec{P_1P_2} = (4 - (-2))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-3 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 8\hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6$ થાય છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|-24 + 2 - 32|}{6} = \frac{54}{6} = 9$.

(C) આપેલ છે કે $I(x) = \int e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x) dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I(x) = \int e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos^2 x - \sin x) dx$.
અહીં,$\frac{d}{dx} (e^{\sin^2 x} \cos x) = e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos x) \cos x + e^{\sin^2 x} (-\sin x) = e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos^2 x - \sin x) = e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x)$ થાય છે.
તેથી,$I(x) = e^{\sin^2 x} \cos x + C$.
$I(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = e^{\sin^2 0} \cos 0 + C \Rightarrow 1 = 1 \cdot 1 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$I(x) = e^{\sin^2 x} \cos x$.
તેથી $I\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{\sin^2(\pi/3)} \cos(\pi/3) = e^{3/4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{4}}$.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. તેથી $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{OQ}| = r$.
કારણ કે $\angle POQ = 90^{\circ}$ અને $R$ એ ચાપ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\angle POR = \angle ROQ = 45^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\vec{OQ} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$.
$\vec{u}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{u} \cdot \vec{OQ} = \alpha |\vec{u}|^2 + \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$
$\angle POQ = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\vec{u} \cdot \vec{OQ} = 0$. વળી $\vec{u} \cdot \vec{v} = r^2 \cos 45^{\circ} = \frac{r^2}{\sqrt{2}}$.
$0 = \alpha r^2 + \beta \frac{r^2}{\sqrt{2}} \implies \alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}} \implies \alpha^2 = \frac{\beta^2}{2}$.
હવે,$|\vec{OQ}|^2 = r^2 = |\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}|^2 = \alpha^2 r^2 + \beta^2 r^2 + 2\alpha \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$.
$1 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha \beta \frac{1}{\sqrt{2}} = \alpha^2 + \beta^2 + \sqrt{2} \alpha \beta$.
$\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$1 = \frac{\beta^2}{2} + \beta^2 + \sqrt{2} (-\frac{\beta}{\sqrt{2}}) \beta = \frac{3\beta^2}{2} - \beta^2 = \frac{\beta^2}{2} \implies \beta^2 = 2$.
તેથી $\alpha^2 = \frac{2}{2} = 1$,એટલે કે $\alpha = -1$ (કારણ કે $\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ અને $\beta = \sqrt{2}$).
બીજ $\alpha = -1$ અને $\beta^2 = 2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - (-1))(x - 2) = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2 = 0$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$-2 < x < -1$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $f(x) = -2x$.
$-1 \leq x < 0$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $f(x) = -x$.
$0 \leq x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = 0$.
$1 \leq x < 2$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = x-1$.
હવે $g(x) = |f(x)|$ ધ્યાનમાં લો:
$g(x) = \begin{cases} |-2x| = -2x & , -2 < x < -1 \\ |-x| = -x & , -1 \leq x < 0 \\ |0| = 0 & , 0 \leq x < 1 \\ |x-1| = x-1 & , 1 \leq x < 2 \end{cases}$.
સાતત્ય તપાસતા:
$x = -1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to -1^-} (-2x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to -1^+} (-x) = 1$. $x = -1$ આગળ અસતત છે.
$x = 0$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = f(0) = 0$. $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (0) = 0$,$RHL = f(1) = 1-1 = 0$. $x = 1$ આગળ સતત છે.
આમ,$m = 1$ (અસતત બિંદુ $x = -1$ છે).
વિકલનીયતા તપાસતા:
$x = -1$ આગળ: અસતત હોવાથી,વિકલનીય નથી.
$x = 0$ આગળ: $LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$,$RHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$. વિકલનીય નથી.
$x = 1$ આગળ: $LHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$,$RHD = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$. વિકલનીય નથી.
આમ,$n = 3$ (અવિકલનીય બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ છે).
તેથી,$m + n = 1 + 3 = 4$.

(D) પરવલય $y=p(x)$ એ $(-1,0), (0,1), (1,0)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે $p(x) = ax^2+bx+c$.
બિંદુઓ મૂકતા: $c=1$,$a-b+1=0$,$a+b+1=0$. ઉકેલતા $a=-1, b=0, c=1$ મળે. તેથી,$p(x) = 1-x^2$.
પ્રદેશ $(x+1)^2+(y-1)^2 \leq 1$ (કેન્દ્ર $(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ) અને $y \leq 1-x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$X = x+1$ લેતા,$x = X-1$. પરવલય $y = 1-(X-1)^2 = 2X-X^2$ બને છે.
વર્તુળ $X^2+(y-1)^2 = 1$ છે,તેથી $y = 1 \pm \sqrt{1-X^2}$.
છેદબિંદુઓ શોધતા $X=0$ અને $X=1$ મળે છે.
ગણતરી કરતા ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$12(\pi - 4A) = 12(\pi - 4(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3})) = 12(\pi - \pi + \frac{4}{3}) = 16$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dt} \left( \int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} t^3 \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $(f(t^2) + (t^2)^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = 4t^2$.
$(f(t^2) + t^4) \cdot 2t = 4t^2$.
$t > 0$ હોવાથી,$2t$ વડે ભાગતા:
$f(t^2) + t^4 = 2t$.
$f(t^2) = 2t - t^4$.
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ શોધવા માટે,$t^2 = \frac{\pi^2}{4}$ લેતા,જેનો અર્થ છે $t = \frac{\pi}{2}$ ($t > 0$ હોવાથી).
$t = \frac{\pi}{2}$ ને $f(t^2)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^4$.
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi - \frac{\pi^4}{16}$.
$\pi$ સામાન્ય કાઢતા:
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$.

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ છે.
નોંધો કે $\left( \frac{x}{e} \right)^{2x} = e^{2x \ln(x/e)} = e^{2x(\ln x - 1)} = e^{2(x \ln x - x)}$.
તે જ રીતે,$\left( \frac{e}{x} \right)^{2x} = e^{-2(x \ln x - x)}$.
ધારો કે $t = x \ln x - x$. તો $dt = (\ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1) \, dx = \ln x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int (e^{2t} + e^{-2t}) \, dt$ મળે છે.
સંકલન કરતા,$I = \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{-2t}}{2} + C$ મળે છે.
$t = x \ln x - x$ પાછું મૂકતા,$I = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} + C$ મળે છે.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 2, \beta = 2, \gamma = 2, \delta = 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta + 3\gamma - 4\delta = 2 + 2(2) + 3(2) - 4(2) = 2 + 4 + 6 - 8 = 4$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (0, 2, 1)$ અને $\vec{AC} = (-1, 3, 1)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ: $-1(x-1) - 1(y-2) + 2(z-0) = 0$,એટલે કે $x + y - 2z - 3 = 0$.
બિંદુ $P(1, 2, 6)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = \frac{\gamma - 6}{-2} = -2 \frac{1(1) + 1(2) - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 4$.
તેથી,$\alpha = 5$,$\beta = 6$,$\gamma = -2$.
અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 25 + 36 + 4 = 65$.

(A) અહીં $A = \{2, 3, 4\}$ અને $B = \{8, 9, 12\}$ આપેલ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ ની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેમાં $a_1$ એ $b_2$ ને ભાગે છે અને $a_2$ એ $b_1$ ને ભાગે છે,જ્યાં $a_1, a_2 \in A$ અને $b_1, b_2 \in B$.
ધારો કે $S$ એ $A \times B$ ની એવી જોડીઓ $(a, b)$ નો ગણ છે જેમાં $a$ એ $b$ ને ભાગે છે.
$a = 2$ માટે,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ જોડીઓ: $(2, 8), (2, 12)$).
$a = 3$ માટે,$b \in \{9, 12\}$ ($2$ જોડીઓ: $(3, 9), (3, 12)$).
$a = 4$ માટે,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ જોડીઓ: $(4, 8), (4, 12)$).
આમ,$S$ માં કુલ $2 + 2 + 2 = 6$ જોડીઓ છે.
સંબંધ $R$ એ એવી જોડીઓ $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ નો ગણ છે કે જેમાં $(a_1, b_2) \in S$ અને $(a_2, b_1) \in S$.
જોડી $(a_1, b_2)$ માટે $6$ વિકલ્પો છે અને જોડી $(a_2, b_1)$ માટે પણ $6$ વિકલ્પો છે,તેથી $R$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય.

(D) આપેલ છે $A = \frac{1}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 5! & 6! & 7! \\ 6! & 7! & 8! \\ 7! & 8! & 9! \end{bmatrix}$.
દરેક હારમાંથી $5!, 6!, 7!$ સામાન્ય લેતા:
$A = \frac{5! 6! 7!}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 1 & 6 & 6 \times 7 \\ 1 & 7 & 7 \times 8 \\ 1 & 8 & 8 \times 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 42 \\ 1 & 7 & 56 \\ 1 & 8 & 72 \end{bmatrix}$.
$|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(7 \times 72 - 8 \times 56) - 6(1 \times 72 - 1 \times 56) + 42(1 \times 8 - 1 \times 7)$
$|A| = 1(504 - 448) - 6(16) + 42(1) = 56 - 96 + 42 = 2$.
આપણે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))| = |M|^{(n-1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = |2A|^{(3-1)^2} = |2A|^4$.
કારણ કે $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 2 = 16 = 2^4$:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = (2^4)^4 = 2^{16}$.

(D) ધારો કે એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $P(\text{એકી } 7 \text{ વખત}) = P(\text{એકી } 9 \text{ વખત})$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^7 (\frac{1}{2})^{n-7} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^9 (\frac{1}{2})^{n-9}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
તેથી $n = 7+9 = 16$.
હવે,$16$ વખત પાસો ઉછાળતા બેકી સંખ્યા બે વાર મળવાની સંભાવના:
$P(\text{બેકી } 2 \text{ વખત}) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}} = \frac{60}{2^{15}}$.
તેથી $k = 60$.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = f(x) + f(1-x)$.
વિકલન કરતા,$g'(x) = f'(x) - f'(1-x)$.
$g$ એ $(0, \alpha)$ માં ઘટતું અને $(\alpha, 1)$ માં વધતું હોવાથી,$x = \alpha$ આગળ $g'(x) = 0$ થાય.
તેથી,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$.
$f''(x) > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$ નો અર્થ છે કે $\alpha = 1-\alpha$,જે આપણને $\alpha = \frac{1}{2}$ આપે છે.
હવે,$\alpha = \frac{1}{2}$ માટે $\tan^{-1}(2\alpha) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\alpha}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)$ ની કિંમત શોધીએ.
$\alpha = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\tan^{-1}(2 \cdot \frac{1}{2}) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{1/2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1/2+1}{1/2}\right)$
$= \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$ માટે,$2 \cdot 3 > 1$ હોવાથી,સૂત્ર $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
આમ,કુલ સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+7 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{k}$,અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$.
$\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ હોવાથી,$\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 7 & -1 \\ 3 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k}$.
તેથી,$\vec{d} = \lambda(35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k})$.
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 12$ હોવાથી,$\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) \cdot (35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k}) = 12$.
$\lambda(35 + 13 - 42) = 12 \implies 6\lambda = 12 \implies \lambda = 2$.
આમ,$\vec{d} = 70\hat{i} - 26\hat{j} - 42\hat{k}$.
હવે,$(-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 70 & -26 & -42 \end{vmatrix} = 44$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $P$ પર છે. તો $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ છે,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
લંબકેન્દ્ર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $P$ એ ઉગમબિંદુ છે,તેથી $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \vec{0}$ છે.
આપણે $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$ શોધવાનું છે.
આ $(\vec{a} - \vec{p}) + (\vec{b} - \vec{p}) + (\vec{c} - \vec{p}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{p}$ બરાબર છે.
કારણ કે $\vec{p} = \vec{0}$,તેથી આ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ માં પરિણમે છે.
કારણ કે $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ અને $\vec{p} = \vec{0}$,તેથી આપણી પાસે $\vec{q} - \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ છે.
આમ,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ}$ થાય.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-6}{-2} = \frac{z+8}{5} = \lambda$
$L_2: \frac{x-5}{4} = \frac{y-7}{3} = \frac{z+2}{1} = \mu$
$L_3: \frac{x+3}{6} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z-6}{1} = \gamma$
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુ $A$ માટે:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (4\mu+5, 3\mu+7, \mu-2)$
આને ઉકેલતા,આપણને $\lambda=1$ અને $\mu=-1$ મળે છે. તેથી,$A = (1, 4, -3)$.
$L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુ $B$ માટે:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (6\gamma-3, -3\gamma+3, \gamma+6)$
આને ઉકેલતા,આપણને $\lambda=3$ અને $\gamma=1$ મળે છે. તેથી,$B = (3, 0, 7)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{1+3}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{-3+7}{2}) = (2, 2, 2)$ છે.
$M(2, 2, 2)$ નું સમતલ $2x-2y+z-14=0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(2) - 2(2) + 1(2) - 14|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 4 + 2 - 14|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-12|}{3} = 4$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 6 \lambda & -3 & 3 \\ 2 & 6 \lambda & 4 \\ 3 & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરો.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 6 \lambda (18 \lambda^2 - 8) + 3 (6 \lambda - 12) + 3 (4 - 18 \lambda) = 0$
$108 \lambda^3 - 48 \lambda + 18 \lambda - 36 + 12 - 54 \lambda = 0$
$108 \lambda^3 - 84 \lambda - 24 = 0$
$12$ વડે ભાગતા: $9 \lambda^3 - 7 \lambda - 2 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$\lambda = 1$ એ એક બીજ છે. સિન્થેટિક ડિવિઝનનો ઉપયોગ કરતા,$( \lambda - 1 )( 9 \lambda^2 + 9 \lambda + 2 ) = 0$.
$( \lambda - 1 )( 3 \lambda + 1 )( 3 \lambda + 2 ) = 0$.
તેથી,$\lambda \in \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
આ મૂલ્યો માટે,આપણે ચકાસીએ કે $\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 \lambda^2 & -3 & 3 \\ 1 & 6 \lambda & 4 \\ \lambda & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} \neq 0$.
$\lambda = 1$ માટે,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 3 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4(18-8) + 3(3-4) + 3(2-6) = 40 - 3 - 12 = 25 \neq 0$.
$\lambda = -1/3$ અને $\lambda = -2/3$ માટે પણ $\Delta_1 \neq 0$ મળે છે.
આમ,$S = \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
$12 \sum_{\lambda \in S} |\lambda| = 12 ( |1| + |-1/3| + |-2/3| ) = 12 ( 1 + 1/3 + 2/3 ) = 12 ( 2 ) = 24$.

(C) બિંદુ $A(4, 3, 1)$ થી સમતલ $x - y + 2z + 3 = 0$ પરના લંબ $AN$ ની લંબાઈ $AN = \frac{|4 - 3 + 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ છે.
$N$ ના યામ $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-1}{2} = -\frac{4-3+2+3}{6} = -1$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$x=3, y=4, z=-1$,એટલે કે $N(3, 4, -1)$.
બિંદુ $B(5, \alpha, \beta)$ સમતલ $x - y + 2z + 3 = 0$ પર હોવાથી,$5 - \alpha + 2\beta + 3 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2\beta + 8$.
$\Delta ABN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AN \times BN = 3\sqrt{2}$. $AN = \sqrt{6}$ મૂકતા,$\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times BN = 3\sqrt{2}$,તેથી $BN = 2\sqrt{3}$.
$BN^2 = (5-3)^2 + (\alpha-4)^2 + (\beta+1)^2 = 4 + (2\beta+4)^2 + (\beta+1)^2 = 12$.
$4 + 4\beta^2 + 16\beta + 16 + \beta^2 + 2\beta + 1 = 12 \implies 5\beta^2 + 18\beta + 9 = 0$.
અવયવ પાડતા $(5\beta + 3)(\beta + 3) = 0$ મળે. $\beta \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$\beta = -3$. તેથી $\alpha = 2(-3) + 8 = 2$.
અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = (2)^2 + (-3)^2 + (2)(-3) = 4 + 9 - 6 = 7$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત વક્ર $f(x) = A(x+1)(x-k)$ છે. તે $(1, 1)$ આગળ $y=x$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $f(1)=1$ અને $f'(1)=1$.
$f(1) = A(2)(1-k) = 1 \Rightarrow 2A(1-k) = 1$.
$f'(x) = A(x-k) + A(x+1) = A(2x+1-k)$.
$f'(1) = A(2+1-k) = A(3-k) = 1$.
$2A(1-k) = 1$ અને $A(3-k) = 1$ પરથી,$2A(1-k) = A(3-k) \Rightarrow 2-2k = 3-k \Rightarrow k = -1$.
તેથી $A(3 - (-1)) = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2$.
આપેલ છે કે બિંદુ $(\alpha, \alpha+1)$ વક્ર પર છે: $\alpha+1 = \frac{1}{4}(\alpha+1)^2$.
$\alpha > -1$ હોવાથી,$\alpha+1 = 4 \Rightarrow \alpha = 3$.
બિંદુ $(3, 4)$ છે.
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)$,તેથી $f'(3) = \frac{1}{2}(3+1) = 2$.
$(3, 4)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -1/2$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 3)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ માટે,$y=0$ લેતા: $-4 = -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow 8 = x - 3 \Rightarrow x = 11$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\alpha, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \beta)$ માં છેદે છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
$A$ માટે,$Y = 0 \implies -y = \frac{dy}{dx}(\alpha - x) \implies \alpha = x - y \frac{dx}{dy}$.
$B$ માટે,$X = 0 \implies Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
આપેલ છે કે $PA: PB = 1: k$,વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$x = \frac{k \cdot \alpha + 1 \cdot 0}{k + 1} = \frac{k \alpha}{k + 1} \implies \alpha = \frac{k + 1}{k} x$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{k + 1}{k} x = x - y \frac{dx}{dy} \implies \frac{x}{k} = -y \frac{dx}{dy} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{ky}{x}$.
સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = -k \int \frac{dx}{x} \implies \ln y = -k \ln x + C \implies y x^k = C$.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતા $C = 1$. $(\frac{1}{10}, 100)$ માંથી પસાર થતા $100 \cdot (\frac{1}{10})^k = 1 \implies 10^2 \cdot 10^{-k} = 10^0 \implies 2 - k = 0 \implies k = 2$.
વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1 \implies \frac{dy}{dx} = \ln(2x + 1)$ છે.
સંકલન કરતા: $y = \int \ln(2x + 1) dx = \frac{1}{2} (2x + 1) \ln(2x + 1) - x + C$.
$y(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 = \frac{1}{2}(1)(0) - 0 + C \implies C = 2$.
તેથી,$y(x) = \frac{2x + 1}{2} \ln(2x + 1) - x + 2$.
$y(1) = \frac{3}{2} \ln 3 - 1 + 2 = \frac{3}{2} \ln 3 + 1$.
$4y(1) - 5 \ln 3 = 4(\frac{3}{2} \ln 3 + 1) - 5 \ln 3 = 6 \ln 3 + 4 - 5 \ln 3 = \ln 3 + 4$.

(C) વિધેય $f(x) = \sec^{-1}\left(\frac{2x}{5x+3}\right)$ ત્યારે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $\left|\frac{2x}{5x+3}\right| \geq 1$ અને $5x+3 \neq 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\left|\frac{2x}{5x+3}\right| \geq 1$,જેનો અર્થ થાય છે $(2x)^2 \geq (5x+3)^2$.
$(2x)^2 - (5x+3)^2 \geq 0$
$(2x - 5x - 3)(2x + 5x + 3) \geq 0$
$(-3x - 3)(7x + 3) \geq 0$
$-(3x + 3)(7x + 3) \geq 0 \Rightarrow (x + 1)(7x + 3) \leq 0$.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x \in [-1, -3/7]$ છે.
વધુમાં,છેદ $5x+3 \neq 0$ હોવાથી $x \neq -3/5$ મળે.
આમ,પ્રદેશ $[-1, -3/5) \cup (-3/5, -3/7]$ છે.
આને $[\alpha, \beta) \cup (\gamma, \delta]$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -1, \beta = -3/5, \gamma = -3/5, \delta = -3/7$ મળે.
હવે,$|3\alpha + 10(\beta + \gamma) + 21\delta| = |3(-1) + 10(-3/5 - 3/5) + 21(-3/7)|$ ની ગણતરી કરતા.
$= |-3 + 10(-6/5) + 3(-3)| = |-3 - 12 - 9| = |-24| = 24$.

(C) પ્રદેશ $|x^2-2| \leq y \leq x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,$y = x^2-2$ અને $y = x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો: $x^2-x-2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$,તેથી $x=2$ અથવા $x=-1$.
વધુમાં,$y = |x^2-2|$ એ $y=x$ ને છેદે છે જ્યારે $x^2-2 = x$ ($x^2 \geq 2$ માટે,એટલે કે $x \geq \sqrt{2}$) અથવા $2-x^2 = x$ ($x^2 < 2$ માટે,એટલે કે $x < \sqrt{2}$).
$x^2 < 2$ માટે,$x^2+x-2=0 \implies (x+2)(x-1)=0$,તેથી $x=1$ ($x>0$ હોવાથી).
$x^2 \geq 2$ માટે,$x^2-x-2=0 \implies x=2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x - (2-x^2)) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x - (x^2-2)) dx$
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2+x-2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (-x^2+x+2) dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{1}^{\sqrt{2}} + [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{\sqrt{2}}^{2}$
$A = ((\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 - 2\sqrt{2}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)) + ((-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 + 2\sqrt{2}))$
$A = (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1 + \frac{5}{6}) + (\frac{10}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1)$
$A = (-\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{6}) + (\frac{7}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{13}{6} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$
તેથી $6A = 13 - 16\sqrt{2}$.
આમ,$6A + 16\sqrt{2} = 13 + 14 = 27$.

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$.
$e^x = t$ લેતા,$e^x dx = dt$ મળે. જ્યારે $x = -\ln 2$,ત્યારે $t = 1/2$ અને જ્યારે $x = \ln 2$,ત્યારે $t = 2$.
$I = \int \limits_{1/2}^{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$. $u = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$ અને $dv = dt$ લેતા.
$du = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ મળે.
$I = [t \ln(t+\sqrt{1+t^2})]_{1/2}^{2} - \int \limits_{1/2}^{2} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
$I = [2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})] - [\sqrt{1+t^2}]_{1/2}^{2}$.
$I = 2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - (\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2})$.
$I = \ln \left( \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(D) બિંદુ $(-2, 3, 5)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x + 4y + 5z = 8$ અને $3x - 2y + 3z = 5$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 4, 5)$ અને $\vec{n_2} = (3, -2, 3)$ ને લંબ હોય.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ ના સદિશ ગુણાકારના પ્રમાણમાં છે:
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-10)) - \hat{j}(6 - 15) + \hat{k}(-4 - 12) = 22\hat{i} + 9\hat{j} - 16\hat{k}$.
આમ,$a = 22, b = 9, c = -16$.
સમતલનું સમીકરણ $22(x + 2) + 9(y - 3) - 16(z - 5) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$22x + 44 + 9y - 27 - 16z + 80 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $22x + 9y - 16z + 97 = 0$ મળે છે.
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 97 = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 22, \beta = 9, \gamma = -16$ મળે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 22 + 9 - 16 = 15$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = [x^2 - x] + |-x + [x]|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-x + [x] = -\{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
તેથી,$f(x) = [x^2 - x] + |-\{x\}| = [x^2 - x] + \{x\}$.
$x = 0$ પર સાતત્ય તપાસતા:
$f(0) = [0^2 - 0] + \{0\} = 0 + 0 = 0$.
$f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} [h^2 - h] + \{h\} = [-0.0001] + 0 = -1 + 0 = -1$.
$f(0) \neq f(0^+)$ હોવાથી,$f$ એ $x = 0$ પર અસતત છે.
$x = 1$ પર સાતત્ય તપાસતા:
$f(1) = [1^2 - 1] + \{1\} = 0 + 0 = 0$.
$f(1^+) = \lim_{h \to 0^+} [(1+h)^2 - (1+h)] + \{1+h\} = [1 + 2h + h^2 - 1 - h] + h = [h + h^2] + h = 0 + 0 = 0$.
$f(1^-) = \lim_{h \to 0^+} [(1-h)^2 - (1-h)] + \{1-h\} = [1 - 2h + h^2 - 1 + h] + (1-h) = [-h + h^2] + 1 - h = -1 + 1 - 0 = 0$.
$f(1) = f(1^+) = f(1^-) = 0$ હોવાથી,$f$ એ $x = 1$ પર સતત છે.
તેથી,$f$ એ $x = 1$ પર સતત છે પરંતુ $x = 0$ પર સતત નથી.

(D) સામાન્યતા ગુમાવ્યા વગર,ધારો કે $|a_1| \leq |a_2| \leq |a_3|$.
વિધાન $(A)$ માટે:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \geq |a_3|^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{a}| \geq |a_3| = \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
આમ,$(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ માટે:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \leq |a_3|^2 + |a_3|^2 + |a_3|^2 = 3|a_3|^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{a}| \leq \sqrt{3} |a_3| = \sqrt{3} \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
કારણ કે $\sqrt{3} < 3$,તેથી $|\vec{a}| \leq 3 \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$ સાચું છે.
આમ,$(B)$ પણ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1, 2\}$.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $n(S) = 3^4 = 81$ છે.
$M$ વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો $\det(M) = ad - bc \neq 0$ હોય.
અહીં $P(A) = \frac{50}{81}$ મળે છે.

(D) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (કેન્દ્ર $(0, 2)$,ત્રિજ્યા $2$) અને પરવલય $x^2 = 2y$ (શિરોબિંદુ $(0, 0)$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = 2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2y + (y-2)^2 = 4$
$2y + y^2 - 4y + 4 = 4$
$y^2 - 2y = 0 \implies y(y-2) = 0$
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = 2$.
$y = 2$ માટે,$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. છેદબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $x = -2$ થી $x = 2$ ની વચ્ચે ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{2} [(\sqrt{4 - x^2} + 2) - \frac{x^2}{2}] dx$
$= 2 \int_{0}^{2} (\sqrt{2^2 - x^2} + 2 - \frac{x^2}{2}) dx$
$= 2 [(\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2})) + 2x - \frac{x^3}{6}]_0^2$
$= 2 [(0 + 2\sin^{-1}(1)) + 4 - \frac{8}{6}]$
$= 2 [2(\frac{\pi}{2}) + 4 - \frac{4}{3}]$
$= 2 [\pi + \frac{8}{3}] = 2\pi + \frac{16}{3}$.

(C) આપેલ અસમતા: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$.
આને $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$. તો $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$.
આમ,$g(x)$ એ $[2,4]$ પર વધતું વિધેય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો:
$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$.
$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$.
$g(x)$ વધતું હોવાથી,$g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ માટે $x \in [2,4]$.
$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$.
$x$ ઉમેરીને $x \ln x$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$.
$x \in [2,4]$ માટે,ઉપલી સીમા $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} < 1$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$x \in [2,4]$ માટે,નીચલી સીમા $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y dx + x dy$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dx = \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+xy}{1-xy} \right| + C$ મળે.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા $1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2}{1-2} \right| + C$,તેથી $1 = \frac{1}{2} \ln 3 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1 - \frac{1}{2} \ln 3$.
હવે,$x=2$ અને $y=\alpha$ માટે,$2 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right| + 1 - \frac{1}{2} \ln 3$.
$1 + \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$,જેનું સાદું રૂપ $2 + \ln 3 = \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$ થાય છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$3e^2 = \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = 3e^2 \implies 1+2\alpha = 3e^2 - 6e^2\alpha \implies \alpha(2+6e^2) = 3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2-1}{2(3e^2+1)}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = -3e^2 \implies 1+2\alpha = -3e^2 + 6e^2\alpha \implies \alpha(2-6e^2) = -3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2+1}{2(3e^2-1)}$.

(C) આપેલ છે $A^{T} = \alpha A + I$. બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$A = \alpha A^{T} + I$.
બીજા સમીકરણમાં $A^{T}$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \alpha(\alpha A + I) + I = \alpha^2 A + (\alpha + 1)I$.
ગોઠવતા $A(1 - \alpha^2) = (\alpha + 1)I$ મળે.
$\alpha \neq -1$ હોવાથી,$(1 + \alpha)$ વડે ભાગતા $A(1 - \alpha) = I$ મળે,તેથી $A = \frac{1}{1 - \alpha}I$.
તેથી $\det(A) = \frac{1}{(1 - \alpha)^2}$.
વળી,$A - I = \frac{1}{1 - \alpha}I - I = \frac{1 - (1 - \alpha)}{1 - \alpha}I = \frac{\alpha}{1 - \alpha}I$.
તેથી $\det(A - I) = \left(\frac{\alpha}{1 - \alpha}\right)^2$.
આપેલ છે $\det(A^2 - A) = \det(A)\det(A - I) = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{(1 - \alpha)^2} \cdot \frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^2} = 4$.
$\frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^4} = 4 \Rightarrow \left(\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2}\right)^2 = 2^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = 2$ અથવા $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = -2$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 5\alpha + 2 = 0$. ઉકેલ $\alpha = 2$ અને $\alpha = 1/2$ છે.
કિસ્સો $2$: $\alpha = -2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0$. વિવેચક $D = 9 - 16 = -7 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
$\alpha$ ના શક્ય મૂલ્યો $2$ અને $1/2$ છે.
સરવાળો $2 + 1/2 = 5/2$ થાય.

(A) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2} \right)$
અહીં બિંદુ $P(2, 3, 5)$ અને સમતલ $2x + y - 3z - 6 = 0$ આપેલ છે,તેથી $a=2, b=1, c=-3, d=-6$:
$\frac{\alpha - 2}{2} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{\gamma - 5}{-3} = -2 \left( \frac{2(2) + 1(3) - 3(5) - 6}{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \right)$
કૌંસની અંદરની કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\frac{4 + 3 - 15 - 6}{4 + 1 + 9} = \frac{-14}{14} = -1$
તેથી,ગુણોત્તર $-2(-1) = 2$ મળે છે:
$\frac{\alpha - 2}{2} = 2 \implies \alpha - 2 = 4 \implies \alpha = 6$
$\frac{\beta - 3}{1} = 2 \implies \beta - 3 = 2 \implies \beta = 5$
$\frac{\gamma - 5}{-3} = 2 \implies \gamma - 5 = -6 \implies \gamma = -1$
આમ,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 5 - 1 = 10$.

(D) બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ એ છેદતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,$\vec{a} = \lambda(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)$.
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી,$\vec{a} = \lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$,જ્યાં $\vec{b} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
$\lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = \lambda(0 + 4 + 2) = 6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
આમ,$\vec{a} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.
નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (8)(9) - 6^2 = 72 - 36 = 36$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 6$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(\frac{\pi}{4}, 6)$ છે.