જો lambda_1

Question

(D) સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k

Vedclass · Accepted Answer

$315$

Vedclass · Answer

(D) સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.આપેલ ખૂણો $	heta = \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}ight)$,તેથી $\sin 	heta = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.આમ,$\cos 	heta = \sqrt{1 - \sin^2 	heta} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$.બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\cos 	heta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{35}$.$|\vec{n}_2| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 10}$.$\frac{1}{5} = \frac{|3\lambda - 8|}{\sqrt{35} \sqrt{\lambda^2 + 10}}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{25} = \frac{(3\lambda - 8)^2}{35(\lambda^2 + 10)} \Rightarrow 38\lambda^2 - 240\lambda + 250 = 0 \Rightarrow 19\lambda^2 - 120\lambda + 125 = 0$.$(19\lambda - 25)(\lambda - 5) = 0$,તેથી $\lambda_1 = \frac{25}{19}$ અને $\lambda_2 = 5$.બિંદુ $(38 	imes \frac{25}{19}, 10 	imes 5, 2) = (50, 50, 2)$ છે.સમતલ $P_1$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|3(50) - 5(50) + 1(2) - 7|}{\sqrt{35}} = \frac{105}{\sqrt{35}}$.અંતરનો વર્ગ $\left(\frac{105}{\sqrt{35}}ight)^2 = \frac{11025}{35} = 315$.

Similar Questions

રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{4}$ માંથી પસાર થતા અને સમતલ $x+2y+z=12$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz+4=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તો:

બિંદુ $(-1, 9, -16)$ નું સમતલ $2x + 3y - z = 5$ થી રેખા $\frac{x+4}{3} = \frac{2-y}{4} = \frac{z-3}{12}$ ને સમાંતર માપેલું અંતર $......$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module