JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PQR = 90^\circ$ થાય. તેથી,$PQ$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
$m_{QR} = \frac{4-10}{\alpha-9} = \frac{-6}{\alpha-9}$.
$m_{PQ} \cdot m_{QR} = -1$ હોવાથી,$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-6}{\alpha-9}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{-4}{\alpha-9} = -1$ $\Rightarrow \alpha-9 = 4$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
તેથી,$R = (13, 4)$. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,$O = \left(\frac{-3+13}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (5, 3)$.
$Q(9, 10)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OQ$ ને લંબ છે. $m_{OQ} = \frac{10-3}{9-5} = \frac{7}{4}$.
સ્પર્શક $QS$ નો ઢાળ $= -\frac{4}{7}$.
$QS$ નું સમીકરણ: $y-10 = -\frac{4}{7}(x-9)$ $\Rightarrow 7y - 70 = -4x + 36$ $\Rightarrow 4x + 7y = 106 \quad (1)$.
$R(13, 4)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OR$ ને લંબ છે. $m_{OR} = \frac{4-3}{13-5} = \frac{1}{8}$.
સ્પર્શક $RS$ નો ઢાળ $= -8$.
$RS$ નું સમીકરણ: $y-4 = -8(x-13)$ $\Rightarrow y-4 = -8x + 104$ $\Rightarrow 8x + y = 108 \quad (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(2)$ પરથી,$y = 108 - 8x$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$4x + 7(108 - 8x) = 106$ $\Rightarrow 4x + 756 - 56x = 106$ $\Rightarrow 52x = 650$ $\Rightarrow x = \frac{650}{52} = 12.5 = \frac{25}{2}$.
$y = 108 - 8(\frac{25}{2}) = 108 - 100 = 8$.
$S = (12.5, 8)$. $S$ એ $2x - ky = 1$ પર હોવાથી:
$2(12.5) - k(8) = 1$ $\Rightarrow 25 - 8k = 1$ $\Rightarrow 8k = 24$ $\Rightarrow k = 3$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+60^{\frac{1}{4}} x+a=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -60^{\frac{1}{4}}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = a$ છે.
આપણને $\alpha^4+\beta^4 = -30$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 - 2a^2 = -30$.
અહીં $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-60^{\frac{1}{4}})^2 - 2a = 60^{\frac{1}{2}} - 2a$ હોવાથી:
$(60^{\frac{1}{2}} - 2a)^2 - 2a^2 = -30$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$60 + 4a^2 - 4a(60^{\frac{1}{2}}) - 2a^2 = -30$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2a^2 - 4\sqrt{60}a + 90 = 0$.
આ $a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. બીજનો ગુણાકાર $a_1 a_2 = \frac{90}{2} = 45$ થાય.

(A) આપણી પાસે $7$ લાલ સફરજન $(RA)$,$5$ સફેદ સફરજન $(WA)$ અને $8$ નારંગી $(O)$ છે. આપણે $5$ ફળો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ નારંગી,ઓછામાં ઓછું $1$ લાલ સફરજન અને ઓછામાં ઓછું $1$ સફેદ સફરજન હોય.
શક્ય સંયોજનો $(O, RA, WA)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (2, 1, 2) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 28 \times 7 \times 10 = 1960$
$2. (2, 2, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 21 \times 5 = 2940$
$3. (3, 1, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{3} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{1} = 56 \times 7 \times 5 = 1960$
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1960 + 2940 + 1960 = 6860$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = 2 \cos \frac{9 \theta}{2} \cos 3 \theta$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{5 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2}$.
$\cos \frac{15 \theta}{2} = \cos \frac{5 \theta}{2}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $\frac{15 \theta}{2} = 2 k \pi \pm \frac{5 \theta}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{15 \theta}{2} - \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 5 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{2 k \pi}{5}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{15 \theta}{2} + \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 10 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{k \pi}{5}$.
બંનેને જોડતા,$\theta = \frac{k \pi}{5}$ જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
$[-\pi, \pi]$ માં,$\theta \in \{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}, 0, \frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$.
ધન કિંમતો $(m)$: $\{\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$,તેથી $m = 5$.
ઋણ કિંમતો $(n)$: $\{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}\}$,તેથી $n = 5$.
તેથી,$mn = 5 \times 5 = 25$.

(A) આપણે $(2023)^{2023}$ ને $35$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$2023 = 35 \times 57 + 28$,તેથી $2023 \equiv 28 \equiv -7 \pmod{35}$.
આમ,$(2023)^{2023} \equiv (-7)^{2023} \pmod{35}$.
આપણે $(-7)^{2023} = -7 \times 7^{2022} = -7 \times (7^2)^{1011} = -7 \times (49)^{1011}$ લખી શકીએ.
$49 \equiv 14 \pmod{35}$ હોવાથી,$7^{2022} = (49)^{1011} \equiv 14^{1011} \pmod{35}$.
$14^1 \equiv 14$,$14^2 \equiv 21$,$14^3 \equiv 14 \pmod{35}$ હોવાથી,એકી ઘાત માટે $14^n \equiv 14 \pmod{35}$.
તેથી,$7^{2022} \equiv 14 \pmod{35}$.
તેથી,$(2023)^{2023} \equiv -7 \times 14 = -98 \pmod{35}$.
$-98 = -3 \times 35 + 7$ હોવાથી,$-98 \equiv 7 \pmod{35}$.
શેષ $7$ છે.

(A) ત્રિકોણ $x > 0$,$y > 0$ અને $3x + 4y < 60$ દ્વારા સીમિત છે. $b$ એ $a$ નો ગુણક હોવાથી,ધારો કે $b = ka$ જ્યાં $k \ge 1$ પૂર્ણાંક છે.
નિશ્ચિત $x = a$ માટે,$3a + 4y < 60$,તેથી $y < 15 - 0.75a$.
$y = ka$ હોવાથી,$ka < 15 - 0.75a$,જેનો અર્થ છે કે $k < \frac{15}{a} - 0.75$.
$a=1$ માટે: $k < 14.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 14\}$ ($14$ બિંદુઓ).
$a=2$ માટે: $k < 6.75 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$a=3$ માટે: $k < 4.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ બિંદુઓ).
$a=4$ માટે: $k < 3 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ બિંદુઓ).
$a=5$ માટે: $k < 2.25 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ બિંદુઓ).
$a=6$ માટે: $k < 1.75 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ બિંદુ).
$a=7$ માટે: $k < 1.39 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ બિંદુ).
$a=8$ માટે: $k < 1.125 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ બિંદુ).
$a \ge 9$ માટે: $k < 0.91$,કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ શક્ય નથી.
કુલ બિંદુઓ $= 14 + 6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 31$.

(B) ધારો કે $z_1 = x_1 + i y_1$ અને $z_2 = x_2 + i y_2$, જ્યાં $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = x_1 + x_2 = 0$, જેનો અર્થ છે કે $x_2 = -x_1$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(z_1 z_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $x_2 = -x_1$ મૂકતા, આપણને $x_1(-x_1) - y_1 y_2 = 0$ મળે છે, જેનું સાદુંરૂપ $-x_1^2 - y_1 y_2 = 0$ અથવા $y_1 y_2 = -x_1^2$ થાય છે.
કારણ કે $z_1, z_2$ શૂન્યતર છે, જો $x_1 = 0$ હોય, તો $x_2 = 0$ થાય. પરિણામે, $y_1 y_2 = 0$ થાય. પરંતુ $z_1, z_2 \neq 0$ હોવાથી, આનો અર્થ એ થાય કે $y_1 \neq 0$ અને $y_2 \neq 0$, જે $y_1 y_2 = 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી, $x_1 \neq 0$, એટલે કે $x_1^2 > 0$.
તેથી, $y_1 y_2 = -x_1^2 < 0$.
આ દર્શાવે છે કે $y_1$ અને $y_2$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આમ, $\operatorname{Im}(z_1)$ અને $\operatorname{Im}(z_2)$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ છે, જે કિસ્સાઓ $(B)$ અને $(C)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) સમીકરણ $14 x^2-31 x+3 \lambda=0$ માટે,$\alpha+\beta=\frac{31}{14}$ અને $\alpha \beta=\frac{3 \lambda}{14}$ છે.
સમીકરણ $35 x^2-53 x+4 \lambda=0$ માટે,$\alpha+\gamma=\frac{53}{35}$ અને $\alpha \gamma=\frac{4 \lambda}{35}$ છે.
$\alpha$ માટેના બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\beta)-(\alpha+\gamma) = \frac{31}{14}-\frac{53}{35} \Rightarrow \beta-\gamma = \frac{7}{10}$.
$\alpha \beta = \frac{3 \lambda}{14}$ અને $\alpha \gamma = \frac{4 \lambda}{35}$ પરથી,$\frac{\beta}{\gamma} = \frac{15}{8}$,તેથી $\beta = \frac{15}{8} \gamma$.
$\beta-\gamma = \frac{7}{10}$ માં $\beta$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{7}{8} \gamma = \frac{7}{10} \Rightarrow \gamma = \frac{4}{5}$.
તેથી $\beta = \frac{3}{2}$ અને $\alpha = \frac{5}{7}$ મળે.
હવે,$\lambda = 5$.
જરૂરી સમીકરણના બીજ $x_1 = \frac{10}{7}$ અને $x_2 = \frac{25}{7}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1+x_2 = 5$.
બીજનો ગુણાકાર: $x_1 x_2 = \frac{250}{49}$.
માટે,જરૂરી સમીકરણ $49 x^2 - 245 x + 250 = 0$ છે.

(B) આપાત કિરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે.
રેખા $x + y = 1$ સાથેનું છેદબિંદુ $P$ મેળવવા માટે $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ને $x + y = 1$ માં મૂકતા:
$x + \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$.
તેથી,$P = \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}, \frac{1}{\sqrt{3} + 1}\right)$.
પરાવર્તિત કિરણનો ઢાળ $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1})$ છે.
$y = 0$ મૂકતા,$x$-અંતઃખંડ $Q$ માટે:
$\sqrt{3}x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \Rightarrow x = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $B$ ના યામ $(-t, t)$ અને $C$ ના યામ $(t, -t)$ છે કારણ કે તે $y+x=0$ પર આવેલા છે અને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
બાજુ $BC$ ની લંબાઈ $a = \sqrt{(t - (-t))^2 + (-t - t)^2} = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2} = \sqrt{8t^2} = 2\sqrt{2}|t|$ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $y+x=0$ ને લંબ રેખા $y=x$ પર આવેલો છે.
બિંદુ $A$ એ $y=x$ અને $y-2x=2$ નું છેદબિંદુ છે. $y=x$ ને $y-2x=2$ માં મૂકતા $x-2x=2$ મળે,તેથી $x=-2$ અને $y=-2$. આમ,$A = (-2, -2)$.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ એ $A(-2, -2)$ થી રેખા $x+y=0$ નું અંતર છે,જે $h = \frac{|-2 + (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$,તેથી $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x + 10y - 15 = 0$ છે.
બિંદુ $A(4, -11)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x - 12y - 152 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $B(8, -5)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x = 8$ મળે છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $C = (8, -\frac{28}{3})$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $3x - 2y - 34 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C$ થી રેખા $AB$ નું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ છે:
$r = \frac{|3(8) - 2(-\frac{28}{3}) - 34|}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$.

(C) શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
ધારો કે $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ અને $B = ((\sim q) \vee r)$.
આપણે એવો કિસ્સો શોધવો છે જ્યાં $A = T$ અને $B = F$ હોય.
$B = ((\sim q) \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$(\sim q)$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $q = T$ અને $r = F$.
હવે,$q = T$ અને $r = F$ ને $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ માં મૂકતા:
$A = (p \vee T) \wedge ((\sim p) \vee F)$
$A = T \wedge (\sim p)$
$A$ સત્ય હોવા માટે,$(\sim p)$ સત્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $p = F$.
આમ,સંયોજન $p = F, q = T, r = F$ પદાવલિને અસત્ય બનાવે છે.

(C) ધારો કે $GP$ $a, ar, ar^2, \ldots$ છે.
આપેલ છે કે $a_4 \cdot a_6 = 9$,તેથી $(ar^3)(ar^5) = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 r^8 = 9$,એટલે કે $a_5^2 = 9$. પદો ધન હોવાથી,$a_5 = 3$.
આપેલ છે કે $a_5 + a_7 = 24$,તેથી $a_5 + a_5 r^2 = 24$.
$a_5 = 3$ મૂકતા,આપણને $3(1 + r^2) = 24$ મળે છે,તેથી $1 + r^2 = 8$,જે $r^2 = 7$ આપે છે.
$a_5 = ar^4 = 3$ હોવાથી,$a(7^2) = 3$,એટલે કે $a = \frac{3}{49}$.
હવે,$a_1 a_9 + a_2 a_4 a_9 + a_5 + a_7$ ની કિંમત શોધો:
$a_1 a_9 = a(ar^8) = a^2 r^8 = (ar^4)^2 = a_5^2 = 3^2 = 9$.
$a_2 a_4 a_9 = (ar)(ar^3)(ar^8) = a^3 r^{12} = (ar^4)^3 = a_5^3 = 3^3 = 27$.
$a_5 + a_7 = 24$.
આમ,$9 + 27 + 24 = 60$.

(C) આપણે છ-અંકની એવી સંખ્યાઓ $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $1 \le x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 \le 9$ થાય. આવી કુલ સંખ્યાઓ $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84$ છે.
$72^{\text{th}}$ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ચોક્કસ અંકોથી શરૂ થતી સંખ્યાઓ ગણીએ:
- $1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $\binom{8}{5} = 56$ સંખ્યાઓ.
- $23$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $\binom{6}{4} = 15$ સંખ્યાઓ.
અત્યાર સુધી ગણાયેલી કુલ સંખ્યાઓ: $56 + 15 = 71$.
$71^{\text{st}}$ સંખ્યા એ $23$ થી શરૂ થતી છેલ્લી સંખ્યા છે,જે $235678$ છે.
$72^{\text{nd}}$ સંખ્યા એ $24$ થી શરૂ થતી પ્રથમ સંખ્યા છે,જે $245678$ છે.
અંકોનો સરવાળો $2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 32$ થાય છે.

(C) પ્રથમ પદાવલિ $(\alpha x^3 + \frac{1}{\beta x})^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r \alpha^{11-r} \beta^{-r} x^{33-4r}$ છે.
$x^9$ માટે $33-4r = 9 \Rightarrow r = 6$. સહગુણક ${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6}$ છે.
બીજી પદાવલિ $(\alpha x - \frac{1}{\beta x^3})^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{11}C_k \alpha^{11-k} (-1)^k \beta^{-k} x^{11-4k}$ છે.
$x^{-9}$ માટે $11-4k = -9 \Rightarrow k = 5$. સહગુણક $-{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$ છે.
બંને સહગુણકો સમાન હોવાથી,${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6} = -{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$.
આથી $\alpha \beta = -1$ મળે,તેથી $(\alpha \beta)^2 = 1$.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ છે. તેમના સહગુણકો $^nC_{r-1} 2^{r-1}, ^nC_r 2^r, ^nC_{r+1} 2^{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $^nC_{r-1} 2^{r-1} : ^nC_r 2^r : ^nC_{r+1} 2^{r+1} = 2 : 5 : 8$ છે.
$\frac{^nC_{r-1} 2^{r-1}}{^nC_r 2^r} = \frac{2}{5}$ પરથી,$\frac{r}{n-r+1} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow 5r = 4n - 4r + 4$ $\Rightarrow 9r - 4n = 4$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{^nC_r 2^r}{^nC_{r+1} 2^{r+1}} = \frac{5}{8}$ પરથી,$\frac{r+1}{n-r} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$ $\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4r + 4 = 5n - 5r$ $\Rightarrow 9r - 5n = -4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(9r - 4n) - (9r - 5n) = 4 - (-4) \Rightarrow n = 8$.
$n=8$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $9r - 32 = 4$ $\Rightarrow 9r = 36$ $\Rightarrow r = 4$.
વચ્ચેના પદનો સહગુણક $^nC_r 2^r = ^8C_4 2^4 = 70 \times 16 = 1120$ થાય.

(C) $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનાવી શકાતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5^5 = 3125$ છે.
સંખ્યાઓ ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલી હોવાથી,સંખ્યા $N$ નો ક્રમ નંબર $(N$ કરતા મોટી કુલ સંખ્યાઓ$) + 1$ દ્વારા મળે છે.
$7$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^4 = 625$.
$5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^4 = 625$.
$37$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^3 = 125$.
$357$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^2 = 25$.
$355$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^2 = 25$.
$3537$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^1 = 5$.
$3535$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5^1 = 5$.
$35337$ થી શરૂ થતી સંખ્યા: $1$ (સંખ્યા પોતે).
$35337$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી કુલ સંખ્યાઓ $625 + 625 + 125 + 25 + 25 + 5 + 5 + 1 = 1436$ છે.
આમ,$35337$ નો ક્રમ નંબર $1436$ છે.

(C) આપેલ વિધાન $B \Rightarrow ((\sim A) \vee B)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતા $P \Rightarrow Q \equiv (\sim P) \vee Q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \Rightarrow ((\sim A) \vee B) \equiv (\sim B) \vee ((\sim A) \vee B)$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$(\sim B) \vee B \vee (\sim A) \equiv T \vee (\sim A) \equiv T$
આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (tautology) હોવાથી,આપણે વિકલ્પો તપાસીએ.
વિકલ્પ $C$ એ $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$ છે.
આમ,આ વિધાન $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$ ને સમકક્ષ છે.

(C) $(1+x)^{99}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના એકી ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $K = 2^{99-1} = 2^{98}$ છે.
$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $a$ એ $101$ મું પદ છે:
$a = {}^{200}C_{100} (2)^{100} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{100} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{100} \cdot 2^{-50} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}$.
હવે,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{{}^{200}C_{99} \cdot 2^{98}}{{}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}}$ લો.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = \frac{n-r+1}{r} {}^{n}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{{}^{200}C_{99}}{{}^{200}C_{100}} = \frac{100}{101}$ મળે છે.
આમ,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{100}{101} \cdot 2^{48} = \frac{25 \cdot 2^2 \cdot 2^{48}}{101} = \frac{2^{50} \cdot 25}{101}$.
$\frac{2^{\ell} m}{n}$ સાથે સરખાવતા,$\ell = 50$,$m = 25$,અને $n = 101$ મળે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(\ell, n) = (50, 101)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\lambda = \cos ^2 2x - 2 \sin ^4 x - 2 \cos ^2 x$
બધા પદોને $\cos x$ માં ફેરવો:
$\lambda = (2 \cos ^2 x - 1)^2 - 2(1 - \cos ^2 x)^2 - 2 \cos ^2 x$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda = (4 \cos ^4 x - 4 \cos ^2 x + 1) - 2(1 - 2 \cos ^2 x + \cos ^4 x) - 2 \cos ^2 x$
સાદુરૂપ આપતા:
$\lambda = 2 \cos ^4 x - 2 \cos ^2 x - 1$
ધારો કે $t = \cos ^2 x$,જ્યાં $t \in [0, 1]$:
$f(t) = 2t^2 - 2t - 1$
$t \in [0, 1]$ માટે $f(t)$ નો વિસ્તાર શોધો:
$f'(t) = 4t - 2$. $f'(t) = 0$ લેતા $t = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$f(0) = -1$
$f(1) = -1$
$f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
તેથી,$\lambda$ નો વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, -1]$ છે.

(A) $OUGHT$ શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $G, H, O, T, U$ છે.
$G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$O$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$TG$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$TH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$TO G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$TO H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$TO U G H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$
કુલ ક્રમ $= 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89$.

(D) પરવલય $y^2=3x$ માટે,$P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $2y \frac{dy}{dx} = 3$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$.
સ્પર્શક રેખા $x+2y=1$ (ઢાળ $= -1/2$) ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{3}{2y_1} = -1/2$,જે $y_1 = -3$ આપે છે. $y^2=3x$ માં કિંમત મૂકતા,$x_1 = 3$ મળે. આમ,$P = (3, -3)$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ માટે,$(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$ છે.
$Q$ અને $R$ આગળના સ્પર્શકો રેખા $x-y=2$ (ઢાળ $= 1$) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ઢાળ $-1$ છે. આમ,$-\frac{x}{4y} = -1$,જે $x = 4y$ સૂચવે છે.
$x=4y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(4y)^2}{4} + y^2 = 1 \Rightarrow 4y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 5y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી $x = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$. આમ $Q = (\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ અને $R = (-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_P(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_P) + x_R(y_P - y_Q)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{1}{\sqrt{5}})) + \frac{4}{\sqrt{5}}(-\frac{1}{\sqrt{5}} - (-3)) + (-\frac{4}{\sqrt{5}})(-3 - \frac{1}{\sqrt{5}})| = 3\sqrt{5}$.

(B) $3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $900$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= 300$.
$4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= 225$.
$3$ અને $4$ બંને વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $12$ વડે વિભાજ્ય) સંખ્યાઓ $= 75$.
$3$ અથવા $4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= 300 + 225 - 75 = 450$.
હવે,$48$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ બાદ કરવી પડે,જેની સંખ્યા $18$ છે.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $= 450 - 18 = 432$.

(A) ધારો કે $N$ એ $4$-અંકી સંખ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $\gcd(N, 54) = 2$.
$54 = 2 \times 3^3$ હોવાથી,$\gcd(N, 54) = 2$ નો અર્થ એ છે કે $N$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ પરંતુ $3$ વડે નહીં.
$4$-અંકી કુલ સંખ્યાઓ $1000$ થી $9999$ સુધીની છે,એટલે કે કુલ $9000$ સંખ્યાઓ છે.
$2$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $\lfloor \frac{9999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{999}{2} \rfloor = 4500$ છે.
$6$ વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય) $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $\lfloor \frac{9999}{6} \rfloor - \lfloor \frac{999}{6} \rfloor = 1500$ છે.
તેથી,$2$ વડે વિભાજ્ય હોય પણ $3$ વડે નહીં તેવી $4$-અંકી સંખ્યાઓ $4500 - 1500 = 3000$ છે.

(A) વક્રો $S_1: y^2=2x$ અને $S_2: x^2+y^2=4x$ છે.
બિંદુ $P(2,2)$ બંને વક્રો પર છે.
$S_1$ ને $P(2,2)$ આગળ સ્પર્શક $T_1: y(2) = x+2$ એટલે કે $x-2y+2=0$ છે.
$S_2$ ને $P(2,2)$ આગળ સ્પર્શક $T_2: x(2)+y(2) = 2(x+2)$ એટલે કે $y=2$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y+2=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$T_1$ અને $T_2$ નું છેદબિંદુ: $P(2,2)$.
$T_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $Q(-2,0)$.
$T_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $R(-4,2)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{20}$,$QR = \sqrt{8}$,$RP = 6$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 6$.
પરિવૃતની ત્રિજ્યા $r = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{8} \cdot 6}{24} = \sqrt{10}$.
તેથી,$r^2 = 10$.

(A) $(2, 3)$ કેન્દ્ર અને $r = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ છે.
રેખા $x + y = 3$ એ બિંદુ $S(\alpha, \beta)$ માટે વર્તુળની સ્પર્શકની જીવા (chord of contact) છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માટે સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ: $x\alpha + y\beta - 2(x + \alpha) - 3(y + \beta) - 3 = 0$.
પદો ગોઠવતા: $(\alpha - 2)x + (\beta - 3)y - (2\alpha + 3\beta + 3) = 0$.
આને આપેલ રેખા $x + y - 3 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{2\alpha + 3\beta + 3}{3}$.
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1}$ પરથી $\beta = \alpha + 1$ મળે.
$\beta = \alpha + 1$ ને $\alpha - 2 = \frac{2\alpha + 3(\alpha + 1) + 3}{3}$ માં મૂકતા:
$3(\alpha - 2) = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow 3\alpha - 6 = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow -2\alpha = 12$ $\Rightarrow \alpha = -6$.
તેથી $\beta = -5$.
આમ,$4\alpha - 7\beta = 4(-6) - 7(-5) = -24 + 35 = 11$.

(A) આપેલ છે કે $a_1=b_1=1$,$a_n-a_{n-1}=n-1$ અને $b_n-b_{n-1}=a_{n-1}$.
પ્રથમ,$a_n$ શોધો: $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2-n+2}{2}$.
$n=9$ માટે,$a_9 = \frac{81-9+2}{2} = 37$.
ત્યારબાદ,$b_n$ શોધો: $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^2-k+2}{2} = 1 + \frac{1}{2} [\frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)]$.
$n=10$ માટે,$b_{10} = 1 + \sum_{k=1}^{9} a_k = 1 + (1+2+4+7+11+16+22+29+37) = 1 + 129 = 130$.
આપેલ છે કે $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ અને $T = \sum_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$.
$S$ માટે તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે મેળવીએ છીએ $2S = 2(a_1+b_1) - \frac{b_{10}+2a_9}{2^9} + T$.
આમ,$2S - T = 2(1+1) - \frac{130+2(37)}{512} = 4 - \frac{204}{512}$.
$2^7 = 128$ વડે ગુણતા: $128(4 - \frac{204}{512}) = 512 - \frac{204}{4} = 512 - 51 = 461$.

(A) આપેલ છે કે $c_k = a_k + b_k$.
$a_k$ અને $b_k$ એ $a_1 = b_1 = 4$ સાથેના $G$.$P$. હોવાથી,$a_k = 4r_1^{k-1}$ અને $b_k = 4r_2^{k-1}$ થાય.
$c_2 = a_2 + b_2 = 4r_1 + 4r_2 = 5 \Rightarrow r_1 + r_2 = 5/4$.
$c_3 = a_3 + b_3 = 4r_1^2 + 4r_2^2 = 13/4 \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 = 13/16$.
$(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(5/4)^2 = 13/16 + 2r_1r_2$ $\Rightarrow 25/16 - 13/16 = 2r_1r_2$ $\Rightarrow r_1r_2 = 3/8$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (5/4)t + 3/8 = 0$ ઉકેલતા $r_1 = 1/2$ અને $r_2 = 3/4$ મળે ($r_1 < r_2$ હોવાથી).
હવે,$\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k = \frac{4}{1-1/2} + \frac{4}{1-3/4} = 8 + 16 = 24$.
વળી,$12a_6 + 8b_4 = 12(4(1/2)^5) + 8(4(3/4)^3) = 48/32 + 32(27/64) = 15$.
આમ,માંગેલ કિંમત $24 - 15 = 9$ છે.

(A) સમૂહ $X$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{11+41}{2} = 26$ (સભ્યોની સંખ્યા $n_1 = 31$).
સમૂહ $Y$ નો મધ્યક $\bar{y} = \frac{61+91}{2} = 76$ (સભ્યોની સંખ્યા $n_2 = 31$).
સંયુક્ત મધ્યક $\mu = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{31(26) + 31(76)}{62} = \frac{26+76}{2} = 51$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n_1+n_2} \left( \sum_{i=1}^{31} (x_i - \mu)^2 + \sum_{j=1}^{31} (y_j - \mu)^2 \right)$.
સમૂહ $X$ માટે,$\sum (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=11}^{41} (i - 51)^2 = 21855$.
તે જ રીતે,સમૂહ $Y$ માટે,$\sum (y_j - \mu)^2 = 21855$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{21855 + 21855}{62} = 705$.
અંતે,$|\bar{x} + \bar{y} - \sigma^2| = |26 + 76 - 705| = 603$.

(A) આપેલ છે $\alpha = 8 - 14i$. ધારો કે $z = x + iy$. તો $\bar{z} = x - iy$.
ગણ $A$ માટેનું સમીકરણ $\frac{\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z}}{z^2 - \bar{z}^2 - 112i} = 1$ છે.
અંશ: $\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z} = (8 - 14i)(x + iy) - (8 + 14i)(x - iy) = (8x + 14y + i(-14x + 8y)) - (8x + 14y + i(14x - 8y)) = 2i(-14x + 8y)$.
છેદ: $z^2 - \bar{z}^2 = (z - \bar{z})(z + \bar{z}) = (2iy)(2x) = 4ixy$.
તેથી,$\frac{2i(-14x + 8y)}{4ixy - 112i} = 1 \implies \frac{2(-14x + 8y)}{4xy - 112} = 1 \implies -28x + 16y = 4xy - 112$.
ગોઠવતા: $4xy + 28x - 16y - 112 = 0 \implies 4x(y + 7) - 16(y + 7) = 0 \implies (4x - 16)(y + 7) = 0$.
આમ,$x = 4$ અથવા $y = -7$.
ગણ $B$ માટે,$|z + 3i| = 4 \implies x^2 + (y + 3)^2 = 16$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 4$,તો $16 + (y + 3)^2 = 16 \implies y = -3$. તેથી $z_1 = 4 - 3i$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -7$,તો $x^2 + (-7 + 3)^2 = 16 \implies x^2 + 16 = 16 \implies x = 0$. તેથી $z_2 = 0 - 7i$.
$A \cap B = \{4 - 3i, -7i\}$.
સરવાળો: $(\operatorname{Re}(z_1) - \operatorname{Im}(z_1)) + (\operatorname{Re}(z_2) - \operatorname{Im}(z_2)) = (4 - (-3)) + (0 - (-7)) = 7 + 7 = 14$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ છે.
$x$ સામાન્ય લેતા,$x(x^6+3x^4-13x^2-15)=0$ મળે.
ધારો કે $t = x^2$. સમીકરણ $t^3+3t^2-13t-15=0$ બને છે.
કિંમતો ચકાસતા,$t=-1$ એ બીજ છે: $(-1)^3+3(-1)^2-13(-1)-15 = 0$.
$(t+1)$ વડે ભાગતા,$(t+1)(t^2+2t-15)=0$ મળે,જેનું અવયવીકરણ $(t+1)(t+5)(t-3)=0$ થાય છે.
આમ,$x^2 = -1, -5, 3$.
બીજ $x = 0, \pm i, \pm i\sqrt{5}, \pm \sqrt{3}$ છે.
માનાંક $|0|=0, |\pm i|=1, |\pm i\sqrt{5}|=\sqrt{5}, |\pm \sqrt{3}|=\sqrt{3}$ છે.
માનાંક મુજબ ક્રમમાં ગોઠવતા: $|\alpha_1| = |\alpha_2| = \sqrt{5}$,$|\alpha_3| = |\alpha_4| = \sqrt{3}$,$|\alpha_5| = |\alpha_6| = 1$,$|\alpha_7| = 0$.
ધારો કે $\alpha_1 = i\sqrt{5}, \alpha_2 = -i\sqrt{5}, \alpha_3 = \sqrt{3}, \alpha_4 = -\sqrt{3}, \alpha_5 = i, \alpha_6 = -i$.
તો $\alpha_1 \alpha_2 - \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_5 \alpha_6 = (i\sqrt{5})(-i\sqrt{5}) - (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (i)(-i) = 5 + 3 + 1 = 9$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\tan 15^{\circ} + \cot 75^{\circ} + \cot 105^{\circ} + \tan 195^{\circ} = 2a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 75^{\circ} = \tan(90^{\circ}-75^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 105^{\circ} = \cot(180^{\circ}-75^{\circ}) = -\cot 75^{\circ} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.
$\tan 195^{\circ} = \tan(180^{\circ}+15^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2-\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-2) + (2-\sqrt{3}) = 2a$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$2-\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} + \sqrt{3}-2 + 2-\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} = 2a$.
તેથી,$a = 2-\sqrt{3}$.
હવે,$a + \frac{1}{a}$ ની કિંમત શોધો:
$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$.
તેથી,$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.

(C) આપેલ છે $a_n = \frac{-2}{4n^2 - 16n + 15}$.
છેદના અવયવો પાડતા: $4n^2 - 16n + 15 = (2n - 3)(2n - 5)$.
તેથી,$a_n = \frac{-2}{(2n - 3)(2n - 5)} = \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n - 5}$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે.
સરવાળો $S_{25} = \sum_{n=1}^{25} \left( \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n - 5} \right) = \frac{1}{47} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{47} + \frac{1}{3} = \frac{50}{141}$.

(B) $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^3)^{15-r} (b^{-1}x^{-1/3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} b^{-r} x^{45-3r-r/3}$ છે.
$x$ નો ઘાતાંક $15$ લેતા: $45 - \frac{10r}{3} = 15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 30$ $\Rightarrow r = 9$.
સહગુણક ${}^{15}C_9 a^6 b^{-9}$ છે.
$(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^{1/3})^{15-r} (-b^{-1}x^{-3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} (-1)^r b^{-r} x^{5-r/3-3r}$ છે.
$x$ નો ઘાતાંક $-15$ લેતા: $5 - \frac{10r}{3} = -15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 20$ $\Rightarrow r = 6$.
સહગુણક ${}^{15}C_6 a^9 (-1)^6 b^{-6} = {}^{15}C_6 a^9 b^{-6}$ છે.
${}^{15}C_9 = {}^{15}C_6$ હોવાથી,સહગુણકોને સરખાવતા: $a^6 b^{-9} = a^9 b^{-6}$.
બંને બાજુ $a^6 b^{-6}$ વડે ભાગતા,આપણને $b^{-3} = a^3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^3 b^3 = 1$,તેથી $ab = 1$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x-y+2=0$,$L_2: 3x-4y+6=0$,અને $L_3: 4x-3y+1=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ આ ત્રણેય સ્પર્શક રેખાઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી તે રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
$L_2$ અને $L_3$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક $\frac{3x-4y+6}{5} = \pm \frac{4x-3y+1}{5}$ દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: $3x-4y+6 = 4x-3y+1 \Rightarrow x+y=5$.
કિસ્સો $2$: $3x-4y+6 = -(4x-3y+1)$ $\Rightarrow 7x-7y+7=0$ $\Rightarrow x-y+1=0$.
વર્તુળ ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર છે. સમીકરણ ઉકેલતા,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $x+y=5$ રેખા પર આવે છે.
તેથી,$h+k=5$.

(D) પરવલય $x = 4y^2$ છે,જેને $y^2 = \frac{1}{4}x$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $4a = \frac{1}{4}$,તેથી $a = \frac{1}{16}$.
પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{16}, \frac{t}{8})$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અભિલંબ $Q(0, 33)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$33 = \frac{2t}{16} + \frac{t^3}{16}$.
$528 = 2t + t^3 \Rightarrow t^3 + 2t - 528 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$t = 8$ એ ઉકેલ છે: $512 + 16 - 528 = 0$.
તેથી,$P = (\frac{8^2}{16}, \frac{8}{8}) = (4, 1)$.
બીજો પરવલય $y^2 - 4y = 4x \Rightarrow (y - 2)^2 = 4(x + 1)$ છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $(-1, 2)$ છે અને $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $X = -a$ છે,જ્યાં $X = x + 1$.
$x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$.
રેખા $x = -2$ થી બિંદુ $P(4, 1)$ નું અંતર $|4 - (-2)| = 6$ છે.

(A) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ ઉગમબિંદુથી દોરેલા લંબનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
અહીં લંબ $y$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તે $x$-અક્ષ સાથે $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવશે.
તેથી,સમીકરણ $x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = p$ થશે,જે $\frac{x}{2} + \frac{y \sqrt{3}}{2} = p$ અથવા $\frac{x}{2p} + \frac{y}{2p/\sqrt{3}} = 1$ માં પરિણમે છે.
સરખામણી કરતા,$a = 2p$ અને $b = \frac{2p}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} ab = \frac{98}{3} \sqrt{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} (2p) \left( \frac{2p}{\sqrt{3}} \right) = \frac{98}{3} \sqrt{3} \implies \frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{98\sqrt{3}}{3} \implies 2p^2 = 98 \implies p^2 = 49$.
હવે,$a^2 - b^2 = 4p^2 - \frac{4p^2}{3} = \frac{8p^2}{3}$.
$p^2 = 49$ મૂકતા: $a^2 - b^2 = \frac{8 \cdot 49}{3} = \frac{392}{3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1+x)^{500}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 501$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = a \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{500} \left[ \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{501}}{1 - \frac{x}{1+x}} \right]$ થાય.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$S = (1+x)^{500} \left[ \frac{\frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} \right] = (1+x)^{500} \cdot \frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}} \cdot (1+x) = (1+x)^{501} - x^{501}$.
આપણે $(1+x)^{501} - x^{501}$ માં $x^{301}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1+x)^{501}$ માં $x^{301}$ નો સહગુણક $^{501}C_{301}$ છે.
ગુણધર્મ $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{501}C_{301} = ^{501}C_{501-301} = ^{501}C_{200}$ મળે.

(B) કોઈ વિધાન નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે આપણે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$(S1)$ માટે: જો $p=F, q=T, r=F$ લઈએ,તો $(p \vee q) \Rightarrow r$ એ $F$ મળે છે,જ્યારે $p \Rightarrow r$ એ $T$ મળે છે. તેથી,આ નિત્યસત્ય નથી.
$(S2)$ માટે: તાર્કિક સમતુલ્યતાનો ઉપયોગ કરતા,$(p \vee q)$ $\Rightarrow r \equiv (p$ $\Rightarrow r) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$.
આ $(p$ $\Rightarrow r) \vee (q$ $\Rightarrow r)$ ને સમતુલ્ય નથી,તેથી $(S2)$ પણ નિત્યસત્ય નથી.
આમ,$(S1)$ કે $(S2)$ માંથી કોઈ પણ નિત્યસત્ય નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} \tan x=1$
ધારો કે $a = \ln \sin x$ અને $b = \ln \cos x$. તો સમીકરણ $\frac{b-a}{b} + 4\frac{a-b}{a} = 1$ બને છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $t + \frac{4}{t} = 4$ મળે છે,જ્યાં $t = \frac{a}{b}$.
તેથી $(t-2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$.
આથી $\ln \sin x = 2 \ln \cos x \Rightarrow \sin x = \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
સરખામણી કરતા $\alpha = -1$ અને $\beta = 5$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + 5 = 4$.

(D) આપેલ છે $z = 1 + i$,તેથી $\overline{z} = 1 - i$ અને $\frac{1}{z} = \frac{1 - i}{2}$.
$z_1$ ના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$z_1 = \frac{1 + i(1 - i)}{(1 - i)(1 - (1 + i)) + \frac{1 - i}{2}}$
$z_1 = \frac{2 + i}{-i - 1 + \frac{1 - i}{2}} = \frac{2(2 + i)}{-1 - 3i} = -1 + i$.
હવે,$z_1 = -1 + i$ માટે $\arg(z_1)$ શોધતા:
$z_1$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\arg(z_1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
છેલ્લે,$\frac{12}{\pi} \arg(z_1) = \frac{12}{\pi} \times \frac{3\pi}{4} = 9$.

(D) ધારો કે $7$ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_7$ છે. આપેલ છે કે $\bar{x} = 8$ અને $\sigma^2 = 16$.
$\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i}{7} = 8 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i = 56$.
જો એક અવલોકન $14$ ને દૂર કરવામાં આવે,તો બાકીના $6$ અવલોકનોનો સરવાળો $56 - 14 = 42$ થાય.
તેથી,નવો મધ્યક $a = \frac{42}{6} = 7$.
આપેલ છે કે $\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i^2}{7} - (8)^2 = 16 \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
તેથી,$\sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 80 \times 7 = 560$.
બાકીના $6$ અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $560 - (14)^2 = 560 - 196 = 364$ થાય.
નવું વિચરણ $b = \frac{\sum_{i=1}^{6} x_i^2}{6} - a^2 = \frac{364}{6} - (7)^2 = \frac{364}{6} - 49 = \frac{364 - 294}{6} = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}$.
હવે,$a + 3b - 5 = 7 + 3 \times (\frac{35}{3}) - 5 = 7 + 35 - 5 = 37$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.
તેથી,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.
બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
$e$ અને $e^{-1}$ ની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ અને $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
અહીં $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
તેથી,સરવાળો $5e + \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e + e^{-1}}{2} = 5e - e^{-1}$ થાય.
$ae + be^{-1} + c$ સાથે સરખાવતા,$a=5, b=-1, c=0$ મળે.
તેથી,$a^2 - b + c = 5^2 - (-1) + 0 = 25 + 1 = 26$.

(D) કોઈ સંખ્યા $15$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તે $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી છેલ્લો અંક $5$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $4$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 5$ છે.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના અંકોનો સરવાળો $(d_1 + d_2 + d_3 + 5)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(d_1 + d_2 + d_3 + 5) \equiv 0 \pmod{3}$,અથવા $(d_1 + d_2 + d_3) \equiv 1 \pmod{3}$.
અંકો ${1, 2, 3, 5}$ નો ઉપયોગ કરીને $(d_1, d_2, d_3)$ ના શક્ય સંયોજનો જેનો સરવાળો $1 \pmod{3}$ હોય તે નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 2, 1) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$2. (2, 2, 3) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$3. (3, 3, 1) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$4. (1, 1, 5) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$5. (2, 3, 5) \rightarrow 6$ ક્રમચયો
$6. (3, 5, 5) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
કુલ સંખ્યાઓ $= 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3 = 21$.

(A) ધારો કે વિધાનો છે:
$P$: મને તાવ છે
$Q$: હું દવા લઈશ
$R$: હું આરામ કરીશ
આપેલ વિધાન છે: "જો મને તાવ હોય,તો હું દવા નહીં લઉં અને હું આરામ કરીશ".
આને $P \rightarrow (\sim Q \wedge R)$ તરીકે લખી શકાય.
તાર્કિક સમકક્ષતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P \rightarrow (\sim Q \wedge R) \equiv \sim P \vee (\sim Q \wedge R)$.
વિભાજનના નિયમ $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv (\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee R)$.

(D) પરવલય $y^2 = 16x$ $(a=4)$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{4}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 8$ (ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$) નો પણ સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{4}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|4/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{2} \implies \frac{16}{m^2(m^2+1)} = 8 \implies m^2(m^2+1) = 2$.
$m^2 = t$ લેતા,$t^2 + t - 2 = 0 \implies (t+2)(t-1) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 1$,તેથી $m = \pm 1$.
$m = 1$ લેતા,સ્પર્શક $y = x + 4$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 16x$ પર સ્પર્શબિંદુ $R$ એ $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}) = (4, 8)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 8$ પર સ્પર્શબિંદુ $Q$ એ ઉગમબિંદુથી રેખા $x - y + 4 = 0$ પરના લંબનો લંબપાદ છે,જે $(-2, 2)$ છે.
તેથી $(QR)^2 = (4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.

(D) ધારો કે $x = (8 \sqrt{3} + 13)^{13}$ અને $x' = (8 \sqrt{3} - 13)^{13}$. કારણ કે $0 < 8 \sqrt{3} - 13 < 1$,તેથી $0 < x' < 1$.
$x + x' = (8 \sqrt{3} + 13)^{13} + (8 \sqrt{3} - 13)^{13} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots}^{12} \binom{13}{k} (8 \sqrt{3})^{13-k} (13)^k$.
આ એક બેકી પૂર્ણાંક છે. કારણ કે $x + x' = I$ (એક બેકી પૂર્ણાંક) અને $0 < x' < 1$,તેથી $x = I - x'$,જેનો અર્થ છે કે $[x] = I - 1$. $I$ બેકી હોવાથી,$I - 1$ એકી છે. આમ,$[x]$ એકી છે.
હવે,ધારો કે $y = (7 \sqrt{2} + 9)^9$ અને $y' = (7 \sqrt{2} - 9)^9$. કારણ કે $0 < 7 \sqrt{2} - 9 < 1$,તેથી $0 < y' < 1$.
$y + y' = (7 \sqrt{2} + 9)^9 + (7 \sqrt{2} - 9)^9 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots}^{8} \binom{9}{k} (7 \sqrt{2})^{9-k} (9)^k$.
આ એક બેકી પૂર્ણાંક છે. કારણ કે $y + y' = J$ (એક બેકી પૂર્ણાંક) અને $0 < y' < 1$,તેથી $y = J - y'$,જેનો અર્થ છે કે $[y] = J - 1$. $J$ બેકી હોવાથી,$J - 1$ એકી છે. આમ,$[y]$ એકી છે.
તેથી,$[x]$ અને $[y]$ બંને એકી છે.

(C) આપેલ છે કે $a \in \{2, 4, \ldots, 100\}$ અને $b \in \{1, 3, \ldots, 99\}$.
ધારો કે $a = 2m$ જ્યાં $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ અને $b = 2n-1$ જ્યાં $n \in \{1, 2, \ldots, 50\}$.
તેથી $a+b = 2m + 2n - 1 = 2(m+n) - 1$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $a+b \equiv 2 \pmod{23}$,તેથી $2(m+n) - 1 = 23k + 2$,જેનો અર્થ છે $2(m+n) = 23k + 3$.
$2(m+n)$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$23k+3$ પણ બેકી હોવી જોઈએ,તેથી $k$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. ધારો કે $k = 2j-1$.
તેથી $2(m+n) = 23(2j-1) + 3 = 46j - 23 + 3 = 46j - 20$.
તેથી $m+n = 23j - 10$.
$1 \le m, n \le 50$ હોવાથી,$2 \le m+n \le 100$ મળે.
$j$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5$ છે:
જો $j=1$,$m+n = 13$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $12$ છે.
જો $j=2$,$m+n = 36$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $35$ છે.
જો $j=3$,$m+n = 59$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $42$ છે.
જો $j=4$,$m+n = 82$. જોડી $(m, n)$ ની સંખ્યા $19$ છે.
કુલ રીતો $= 12 + 35 + 42 + 19 = 108$.

(C) આપેલ પરવલયો $ax^2 + 2bx + cy = 0$ અને $dx^2 + 2ex + fy = 0$ રેખા $y = 1$ પર છેદે છે.
$y = 1$ માટે,સમીકરણો $ax^2 + 2bx + c = 0$ અને $dx^2 + 2ex + f = 0$ બને છે.
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$,એટલે કે $b = \sqrt{ac}$.
પ્રથમ સમીકરણ $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ બને છે,જે $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ છે.
તેથી,$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$.
આ $x$ ની કિંમત બીજા સમીકરણ $dx^2 + 2ex + f = 0$ માં મૂકતા:
$d(\frac{c}{a}) + 2e(-\sqrt{\frac{c}{a}}) + f = 0$.
$c$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2e\frac{1}{\sqrt{ac}}$ મળે છે.
$b = \sqrt{ac}$ હોવાથી,આ $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ માં પરિણમે છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $a^3, b^3, c^3$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a^3 + c^3 = 2b^3$ $(1)$.
આપેલ છે કે $\log_a b, \log_c a, \log_b c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(\log_c a)^2 = (\log_a b)(\log_b c)$.
આધાર બદલવાના નિયમ મુજબ,$(\frac{\ln a}{\ln c})^2 = (\frac{\ln b}{\ln a})(\frac{\ln c}{\ln b}) = \frac{\ln c}{\ln a}$.
તેથી,$(\ln a)^3 = (\ln c)^3$,જેનો અર્થ છે કે $a = c$.
$a = c$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $2a^3 = 2b^3$ મળે છે,તેથી $a = b = c$.
$A.P.$ નું પ્રથમ પદ $T_1 = \frac{a+4a+a}{3} = 2a$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{a-8a+a}{10} = \frac{-6a}{10} = -\frac{3}{5}a$ છે.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2} [2(2a) + (20-1)(-\frac{3}{5}a)] = -444$ છે.
$10 [4a - \frac{57}{5}a] = -444$.
$10 [\frac{20a - 57a}{5}] = -444$.
$2(-37a) = -444$ $\Rightarrow -74a = -444$ $\Rightarrow a = 6$.
કારણ કે $a = b = c = 6$,તેથી $abc = 6^3 = 216$.

(A) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{c} = -2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$,અને $\vec{d} = 5\hat{i} - 2\alpha\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{b}-\vec{a} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (4-2\alpha)\hat{j} + 2\hat{k}$
સમતલીયતા માટેની શરત એ છે કે આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} -2 & 6 & -3 \\ -5 & 3 & 1 \\ 2 & 4-2\alpha & 2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-2(6 - (4-2\alpha)) - 6(-10 - 2) - 3(-5(4-2\alpha) - 6) = 0$
$-2(2 + 2\alpha) + 72 - 3(-20 + 10\alpha - 6) = 0$
$-4 - 4\alpha + 72 - 30\alpha + 78 = 0$
$-34\alpha + 146 = 0$
$\alpha = \frac{146}{34} = \frac{73}{17}$

(D) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે $A$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે,જેનો અર્થ છે કે $AA^{T} = A^{T}A = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આગળ,$B$ ની ઘાતની ગણતરી કરો:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B^3 = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & -ni \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $M = A^{T}BA$,તેથી $M^{n} = (A^{T}BA)(A^{T}BA)...(A^{T}BA) = A^{T}B^{n}A$.
આમ,$M^{2023} = A^{T}B^{2023}A$.
હવે,$AM^{2023}A^{T}$ ની ગણતરી કરો:
$AM^{2023}A^{T} = A(A^{T}B^{2023}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2023}(AA^{T}) = I \cdot B^{2023} \cdot I = B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$B^{2023}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & 2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(D) સંબંધ $f(n) + \frac{1}{n} f(n+1) = 1$ આપેલ છે,તેથી $f(n+1) = n(1 - f(n))$ લખી શકાય.
$n=3$ માટે: $f(4) = 3(1 - f(3))$. $f(4) \in \mathbb{Z}$ અને $|f(4)| \leq 8$ હોવાથી,$f(4)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $f(4)$ માટે શક્ય કિંમતો $\{-6, -3, 0, 3, 6\}$ છે.
$n=2$ માટે: $f(3) = 2(1 - f(2))$. તેથી $f(3)$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ જેથી $|f(3)| \leq 8$. $f(3)$ માટે શક્ય કિંમતો $\{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ છે.
$n=1$ માટે: $f(2) = 1(1 - f(1)) = 1 - f(1)$. તેથી $f(2)$ કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે જેથી $|f(2)| \leq 8$.
શરતો તપાસતા:
$1$. $f(4) = 3(1 - f(3)) \implies f(3) = 1 - \frac{f(4)}{3}$. $f(3)$ બેકી પૂર્ણાંક હોવા માટે,$\frac{f(4)}{3}$ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. તેથી $f(4) \in \{-3, 3\}$.
$2$. જો $f(4) = -3$,તો $f(3) = 1 - (-1) = 2$. પછી $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 1 = 0$. પછી $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 0 = 1$. બધી કિંમતો $[-8, 8]$ ની રેન્જમાં છે.
$3$. જો $f(4) = 3$,તો $f(3) = 1 - 1 = 0$. પછી $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 0 = 1$. પછી $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 1 = 0$. બધી કિંમતો $[-8, 8]$ ની રેન્જમાં છે.
આમ,આવા $2$ વિધેયો શક્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $-\sqrt{2} \leq \sin x - \cos x \leq \sqrt{2}$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $-2 \leq \sqrt{2}(\sin x - \cos x) \leq 2$ મળે છે.
ધારો કે $k = \sqrt{2}(\sin x - \cos x)$,તેથી $-2 \leq k \leq 2$.
વિધેય $f(x) = \log_{\sqrt{m}}(k + m - 2)$ છે.
આપેલ છે કે $f$ નો વિસ્તાર $[0, 2]$ છે,તેથી $0 \leq \log_{\sqrt{m}}(k + m - 2) \leq 2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(\sqrt{m})^0 \leq k + m - 2 \leq (\sqrt{m})^2$,જેનું સાદું રૂપ $1 \leq k + m - 2 \leq m$ થાય છે.
$k$ માટે ઉકેલતા,આપણને $3 - m \leq k \leq 2$ મળે છે.
આને $-2 \leq k \leq 2$ સાથે સરખાવતા,આપણે નીચલી સીમાઓને સરખાવીએ: $3 - m = -2$.
આમ,$m = 5$.

(A) આપેલ છે,$A^T = A$,$B^T = -B$,$C^T = -C$.
$(S1)$ માટે,ધારો કે $M = A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}$.
તેથી,$M^T = (A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13})^T = (B^{26})^T (A^{13})^T - (A^{13})^T (B^{26})^T$.
કારણ કે $B^T = -B$,$(B^T)^{26} = (-B)^{26} = B^{26}$.
તેથી,$M^T = B^{26} A^{13} - A^{13} B^{26} = -(A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}) = -M$.
આમ,$M$ વિસંમિત છે. $(S1)$ ખોટું છે.
$(S2)$ માટે,ધારો કે $N = A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26}$.
તેથી,$N^T = (A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26})^T = (C^{13})^T (A^{26})^T - (A^{26})^T (C^{13})^T$.
કારણ કે $C^T = -C$,$(C^T)^{13} = (-C)^{13} = -C^{13}$.
તેથી,$N^T = (-C^{13}) A^{26} - A^{26} (-C^{13}) = -C^{13} A^{26} + A^{26} C^{13} = N$.
આમ,$N$ સંમિત છે. $(S2)$ સાચું છે.
તેથી,માત્ર $S2$ સાચું છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(t) = \alpha$ અને $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \alpha dt} = e^{\alpha t}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{\alpha t} = \int \gamma e^{-\beta t} \cdot e^{\alpha t} dt + C = \gamma \int e^{(\alpha - \beta)t} dt + C$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha \neq \beta$ હોય,તો $y e^{\alpha t} = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{(\alpha - \beta)t} + C$,જેનો અર્થ છે કે $y(t) = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + C e^{-\alpha t}$.
અહીં $\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ હોવાથી,જ્યારે $t \rightarrow \infty$,ત્યારે $e^{-\beta t} \rightarrow 0$ અને $e^{-\alpha t} \rightarrow 0$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0 + 0 = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha = \beta$ હોય,તો $y e^{\alpha t} = \int \gamma dt + C = \gamma t + C$,જેનો અર્થ છે કે $y(t) = \gamma t e^{-\alpha t} + C e^{-\alpha t}$.
$L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\gamma t}{e^{\alpha t}} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\gamma}{\alpha e^{\alpha t}} = 0$.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0$ થાય છે.

(A) પ્રથમ,રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં દર્શાવો.
પ્રથમ રેખા માટે: $x+1 = 2y = -12z \Rightarrow \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$. બિંદુ $A = (-1, 0, 0)$,દિશા સદિશ $\vec{p} = (1, 1/2, -1/12)$.
બીજી રેખા માટે: $x = y+2 = 6z-6 \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$. બિંદુ $B = (0, -2, 1)$,દિશા સદિશ $\vec{q} = (1, 1, 1/6)$.
સદિશ $\vec{B}-\vec{A} = (0-(-1), -2-0, 1-0) = (1, -2, 1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{6}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
સદિશ $\vec{p} \times \vec{q}$ ને $12$ વડે ગુણતા,આપણને $2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
લઘુત્તમ અંતર $\left| \frac{(\vec{B}-\vec{A}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1, -2, 1) \cdot (2, -3, 6)}{7} \right| = \left| \frac{2 + 6 + 6}{7} \right| = \frac{14}{7} = 2$.

(D) ધારો કે $I = 16 \int \limits_1^2 \frac{dx}{x^3(x^2+2)^2}$.
અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ગુણતા: $I = 16 \int \limits_1^2 \frac{dx}{x^7(1 + \frac{2}{x^2})^2}$.
ધારો કે $t = 1 + \frac{2}{x^2}$,તેથી $dt = -\frac{4}{x^3} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^3} = -\frac{dt}{4}$.
વળી,$x^2 = \frac{2}{t-1}$,તેથી $x^4 = \frac{4}{(t-1)^2}$.
જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=3$. જ્યારે $x=2$,ત્યારે $t=1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 16 \int \limits_3^{3/2} \frac{1}{x^4(1 + \frac{2}{x^2})^2} \cdot \frac{dx}{x^3} = 16 \int \limits_3^{3/2} \frac{(t-1)^2}{4} \cdot \frac{1}{t^2} \cdot (-\frac{dt}{4}) = -\int \limits_3^{3/2} \frac{(t-1)^2}{t^2} dt$.
$I = \int \limits_{3/2}^3 (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) dt = [t - 2 \ln|t| - \frac{1}{t}]_{3/2}^3$.
$I = (3 - 2 \ln 3 - \frac{1}{3}) - (\frac{3}{2} - 2 \ln \frac{3}{2} - \frac{2}{3}) = (\frac{8}{3} - 2 \ln 3) - (\frac{5}{6} - 2 \ln \frac{3}{2})$.
$I = \frac{16-5}{6} - 2 \ln(\frac{3}{3/2}) = \frac{11}{6} - 2 \ln 2 = \frac{11}{6} - \ln 4$.

(B) સૌ પ્રથમ,અતિવલયના સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
$16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - 64 - (y-2)^2 + 4 + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - (y-2)^2 = 16$
$\frac{(x+2)^2}{1} - \frac{(y-2)^2}{16} = 1$
અહીં પ્રસ્થાન અક્ષ $T$ એ રેખા $y = 2$ છે અને સંયુગ્મી અક્ષ $C$ એ રેખા $x = -2$ છે.
પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 - 4$ છે.
આ પ્રદેશ $y = 2$ (ઉપર),$y = x^2 - 4$ (નીચે),અને $x = -2$ (ડાબી બાજુ) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y = 2$ અને $y = x^2 - 4$ ના છેદબિંદુ માટે,$x^2 - 4 = 2$ લેતા,$x^2 = 6$,તેથી $x = \sqrt{6}$ (કારણ કે આપણે $x = -2$ ની જમણી બાજુએ છીએ).
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (2 - (x^2 - 4)) dx$
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (6 - x^2) dx$
$A = [6x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{\sqrt{6}}$
$A = (6\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) - (-12 - \frac{-8}{3})$
$A = (6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) - (-12 + \frac{8}{3})$
$A = 4\sqrt{6} - (-\frac{28}{3}) = 4\sqrt{6} + \frac{28}{3}$

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,અને $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$ નો $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\hat{i} - \hat{j})$
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર મુજબ:
$(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{a} = 3$ છે:
$1(\vec{a}) - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
હવે,$3\vec{b} = \vec{a} - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$6\vec{b} = -4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
અંતે,$\vec{a} - 6\vec{b} = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(C) ધારો કે રેખા $L: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda - 1, 5\lambda + 1, -\lambda - 1)$ છે.
કારણ કે $P$ એ બિંદુ $A(2, 0, 5)$ થી રેખા પરનો લંબપાદ છે,સદિશ $\vec{AP}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{AP} = (2\lambda - 3)\hat{i} + (5\lambda + 1)\hat{j} + (-\lambda - 6)\hat{k}$.
$\vec{AP} \cdot \vec{b} = 0$ હોવાથી:
$2(2\lambda - 3) + 5(5\lambda + 1) - 1(-\lambda - 6) = 0$
$30\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{6}$.
$P$ ના યામોમાં $\lambda = -\frac{1}{6}$ મૂકતા:
$\alpha = -\frac{4}{3}, \beta = \frac{1}{6}, \gamma = -\frac{5}{6}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) \frac{\alpha \beta}{\gamma} = \frac{4}{15}$ (સાચું)
$B) \frac{\alpha}{\beta} = -8$ (સાચું)
$C) \frac{\beta}{\gamma} = -\frac{1}{5}$ (ખોટું,કારણ કે $-5$ આપેલ છે)
$D) \frac{\gamma}{\alpha} = \frac{5}{8}$ (સાચું)
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચું નથી.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ ની ગણતરી કરીએ. કારણ કે $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ માટે $\log_e x < 0$ અને $x \in [1, 3]$ માટે $\log_e x \ge 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$
સૂત્ર $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$
$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$
$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$
$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$
$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$
$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.
આને $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = 3$ મળે છે.
આ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.

(A) બિંદુઓ $(1, 2, 3)$ અને $(2, 3, 4)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{p} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે. આ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
બીજી રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k})$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{q} = 2\hat{i} - \hat{j}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
સદિશ $\vec{b} - \vec{a} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -3\hat{j} - \hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $\alpha = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(0\hat{i} - 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (1\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})}{\sqrt{14}} \right| = \left| \frac{0 - 6 + 3}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
આમ,$28\alpha^2 = 28 \times \left( \frac{3}{\sqrt{14}} \right)^2 = 28 \times \frac{9}{14} = 2 \times 9 = 18$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર નથી.
આપેલ છે કે $P(E_1) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર હોવાનું નિદાન થયું છે.
ધારો કે $p$ એ ધૂમ્રપાન ન કરનાર વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર થવાની સંભાવના છે. તો ધૂમ્રપાન કરનાર વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર થવાની સંભાવના $27p$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર હોય તો તે ધૂમ્રપાન કરનાર હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{4} \times 27p}{\frac{1}{4} \times 27p + \frac{3}{4} \times p} = \frac{27p}{27p + 3p} = \frac{27p}{30p} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10}$.
આપેલ છે કે $P(E_1|E) = \frac{k}{10}$,તેથી $\frac{k}{10} = \frac{9}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 9$.

(B) $f(x) = \frac{\log_{(x+1)}(x-2)}{x^2 - 2x - 3}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન અને $1$ ન હોવો જોઈએ: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$ અને $x + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $x^2 - 2x - 3 \neq 0$.
છેદના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 1) \neq 0$,જેનો અર્થ છે $x \neq 3$ અને $x \neq -1$.
બધી શરતોને જોડતા: $x > 2$ અને $x \neq 3$.
આમ,પ્રદેશ $(2, \infty) - \{3\}$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) + 2x}{x^2+1} = 1 + \frac{2x}{x^2+1}$.
એક-એક કે અનેક-એક ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x}{x^2+1} \right) = \frac{(x^2+1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
$x \in (1, \infty)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે અને આમ $[1, \infty)$ માં એક-એક છે.
$x \in (-1, 1)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું છે.
$x \in (-\infty, -1)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે.
વિધેય $(-\infty, -1)$ અને $(1, \infty)$ માં ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવાથી અને $(-1, 1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી,તે આ અંતરાલોમાં એક-એક છે. જોકે,તે $(-\infty, \infty)$ માં એક-એક નથી કારણ કે $f(x)$ અલગ અલગ બિંદુઓ પર સમાન કિંમતો લે છે (દા.ત.,$f(0) = 1$ અને $f(\infty) = 1$).
આમ,$f(x)$ એ $[1, \infty)$ માં એક-એક છે પરંતુ $(-\infty, \infty)$ માં નથી.

(B) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & 1 \\ 2\alpha & 3 & 1 \\ 3 & \alpha & 2 \end{vmatrix} = \alpha^2 - 2\alpha - 3 = (\alpha - 3)(\alpha + 1)$ છે.
$D = 0$ માટે,$\alpha = 3$ અથવા $\alpha = -1$ મળે.
જો $\alpha = -1$ હોય,તો સમીકરણો $-x + 2y + z = 1$,$-2x + 3y + z = 1$,$3x - y + 2z = \beta$ બને છે. ઉકેલતા,જો $\beta \neq 2$ હોય તો કોઈ ઉકેલ નથી અને જો $\beta = 2$ હોય તો અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $\alpha = 3$ હોય,તો સમીકરણો $3x + 2y + z = 1$,$6x + 3y + z = 1$,$3x + 3y + 2z = \beta$ બને છે. ઉકેલતા,જો $\beta \neq 2$ હોય તો કોઈ ઉકેલ નથી.
વિકલ્પ $B$ કહે છે કે $\alpha = -1$ અને તમામ $\beta \in \mathbb{R}$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી,જે ખોટું છે કારણ કે $\beta = 2$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A^2 = 3A + \alpha I$.
$A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3 = 3A^2 + \alpha A$ મળે છે.
$A^3$ ના સમીકરણમાં $A^2 = 3A + \alpha I$ મૂકતા:
$A^3 = 3(3A + \alpha I) + \alpha A = 9A + 3\alpha I + \alpha A = (9 + \alpha)A + 3\alpha I$.
હવે,$A^4$ શોધવા માટે ફરીથી $A$ વડે ગુણતા:
$A^4 = (9 + \alpha)A^2 + 3\alpha A$.
ફરીથી $A^2 = 3A + \alpha I$ મૂકતા:
$A^4 = (9 + \alpha)(3A + \alpha I) + 3\alpha A$.
$A^4 = (27 + 3\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I + 3\alpha A$.
$A^4 = (27 + 6\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I$.
આને $A^4 = 21A + \beta I$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$27 + 6\alpha = 21 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
અને $\beta = 9\alpha + \alpha^2 = 9(-1) + (-1)^2 = -9 + 1 = -8$.
આમ,$\alpha = -1$ અને $\beta = -8$.

(C) આપેલ છે કે $x=2$ એ $x^2+px+q=0$ નું બીજ છે,તેથી $4+2p+q=0$,એટલે કે $q = -2p-4$.
કોસાઈનની અંદરના પદમાં $q$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2-4px+q^2+8q+16 = x^2-4px+(-2p-4)^2+8(-2p-4)+16 = x^2-4px+4p^2+16p+16-16p-32+16 = x^2-4px+4p^2 = (x-2p)^2$.
આમ,$x \neq 2p$ માટે $f(x) = \frac{1-\cos((x-2p)^2)}{(x-2p)^4}$ થાય.
લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lim_{x \to 2p} f(x) = \lim_{x \to 2p} \frac{1-\cos((x-2p)^2)}{((x-2p)^2)^2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\lim_{x \to 2p^+} f(x) = \frac{1}{2}$,તેથી $2p$ ની નજીક $x$ માટે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[f(x)]$ (જ્યાં $0 < f(x) < 1$) નું મૂલ્ય $[f(x)] = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=x+\sin x \int \limits_0^{\pi / 2} \cos y f(y) d y + \cos x \int \limits_0^{\pi / 2} \sin y f(y) d y$.
આને $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{a}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \cos y d y$ અને $\frac{b}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \sin y d y$.
ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) (\sin y + \cos y) d y = \frac{a+b}{\pi^2-4}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a g(y) dy = \int_0^a g(a-y) dy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\sin(\frac{\pi}{2}-y) + \cos(\frac{\pi}{2}-y)) dy = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\cos y + \sin y) dy$.
$f(x) = x + I(\sin x + \cos x)$ હોવાથી,$f(\frac{\pi}{2}-y) = \frac{\pi}{2} - y + I(\cos y + \sin y)$.
આને $I$ માં મૂકતા:
$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y + I(\sin y + \cos y))(\sin y + \cos y) dy$.
$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy + I \int_0^{\pi/2} (\sin y + \cos y)^2 dy$.
સંકલન કરતા:
$\int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy = \frac{\pi}{2}$.
$\int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin y \cos y) dy = \frac{\pi}{2} + 1$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2} + I(\frac{\pi}{2} + 1) \Rightarrow I = -1$.
આમ,$a+b = -(\pi^2-4) = 4-\pi^2$. વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $-2\pi(\pi+2)$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ગણ $A$ માટે,પ્રદેશ $y = 2x$ અને વર્તુળના ઉપરના ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. $y = 2x$ અને $(x-1)^2 + y^2 = 4$ નું છેદબિંદુ $y=2x$ મૂકતા મળે છે: $(x-1)^2 + 4x^2 = 4 \implies 5x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (5x+3)(x-1) = 0$. $y \geq 0$ હોવાથી,આપણે $x=1$ લઈએ છીએ,જે $y=2$ આપે છે. છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે.
$A$ નું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વર્તુળાકાર ચાપ નીચેનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ $(0,0), (1,0), (1,2)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-1)^2} dx - \text{Area}(\triangle OAB) = \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) - \frac{1}{2}(1)(2) = \pi - 1$.
ગણ $B$ માટે,પ્રદેશ $x \in [0, 1]$ માટે $y = 2x$ અને $x > 1$ માટે વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ એ $(0,0), (1,0), (1,2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $x=1$ થી $x=3$ સુધીના વર્તુળાકાર ચાપ નીચેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$B$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}(1)(2) + \int_{1}^{3} \sqrt{4-(x-1)^2} dx = 1 + \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) = 1 + \pi$.
$A$ અને $B$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi-1}{\pi+1}$ છે.

(D) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 21$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ દ્વારા $x \geq 1$ માટે ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો: $x^2 + 4x - 21 = 0 \implies (x+7)(x-3) = 0$. $x \geq 1$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta$ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\Delta = 2 \int_1^3 2\sqrt{x} \, dx + 2 \int_3^{\sqrt{21}} \sqrt{21-x^2} \, dx$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^3 = \frac{8}{3} (3\sqrt{3} - 1) = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{21-x^2} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{21}} \right) \right]_3^{\sqrt{21}}$
$= 2 \left[ (0 + \frac{21}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{3}{2} \sqrt{12} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right)) \right]$
$= 21 \left( \frac{\pi}{2} \right) - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right) = \frac{21\pi}{2} - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right)$.
$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$.
આમ,$\frac{1}{2} \left( \Delta - 21 \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$.

(A) આપણે $I = \int_0^2 \max \{x^2, 1 + [x]\} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$.
$x \in [1, \sqrt{2})$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 2\} = 2$ (કારણ કે $x < \sqrt{2}$ માટે $x^2 < 2$ છે).
$x \in [\sqrt{2}, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 2\} = x^2$ (કારણ કે $x \geq \sqrt{2}$ માટે $x^2 \geq 2$ છે).
$x=2$ આગળ,$f(2) = \max \{4, 1+2\} = 4$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^1 1 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 x^2 dx$
$I = [x]_0^1 + [2x]_1^{\sqrt{2}} + [\frac{x^3}{3}]_{\sqrt{2}}^2$
$I = (1 - 0) + (2\sqrt{2} - 2) + (\frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = 1 + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$I = (1 - 2 + \frac{8}{3}) + (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3}$.

(C) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\begin{vmatrix} \lambda & \mu & 4 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $\lambda(4+6) - \mu(2+4) + 4(6-8) = 0 \Rightarrow 10\lambda - 6\mu - 8 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 3\mu = 4$.
સદિશ $\vec{b}$ પર $\vec{a}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \sqrt{54}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+16+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\lambda + 4\mu - 8$.
તેથી,$\frac{2\lambda + 4\mu - 8}{2\sqrt{6}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \Rightarrow 2\lambda + 4\mu - 8 = 36 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 44 \Rightarrow \lambda + 2\mu = 22$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$\lambda+\mu$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $24$ મળે છે.

(D) $15$ ખેલાડીઓને $15$ ટી-શર્ટ વહેંચવાની કુલ રીતો $15!$ છે.
ધારો કે $X$ એ સાચી ટી-શર્ટ પસંદ કરતા ખેલાડીઓની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \ge 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(X=k)$ એ સંભાવના છે કે બરાબર $k$ ખેલાડીઓ સાચી ટી-શર્ટ પસંદ કરે,જે $\frac{\binom{15}{k} D_{15-k}}{15!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D_n$ એ $n$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે.
$D_n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}$.
મોટા $n$ માટે,$P(X=k) \approx \frac{e^{-1}}{k!}$.
આમ,$P(X \ge 3) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \frac{e^{-1}}{k!} = 1 - e^{-1} (1 + 1 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{2.5}{e} \approx 1 - \frac{2.5}{2.718} \approx 0.08$.

(B) આપેલ છે કે $f(\theta)=3\left(\cos ^4 \theta+\sin ^4 \theta\right)-2 \cos ^2 2 \theta$.
$\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta = 1-2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$f(\theta)=3\left(1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 \theta\right)-2 \cos ^2 2 \theta = 3-\frac{3}{2} \sin ^2 2 \theta-2 \cos ^2 2 \theta$.
$\sin ^2 2 \theta = 1-\cos ^2 2 \theta$ હોવાથી:
$f(\theta)=3-\frac{3}{2}(1-\cos ^2 2 \theta)-2 \cos ^2 2 \theta = \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \cos ^2 2 \theta$.
$\cos ^2 2 \theta = \frac{1+\cos 4 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos 4 \theta}{2}\right) = \frac{5}{4}-\frac{\cos 4 \theta}{4}$.
હવે,$f^{\prime}(\theta) = \frac{d}{d \theta} \left(\frac{5}{4}-\frac{\cos 4 \theta}{4}\right) = \sin 4 \theta$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\sin 4 \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,$4 \theta \in [0, 4 \pi]$.
$\sin 4 \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ના ઉકેલો $4 \theta = \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}$ છે.
તેથી,$\theta \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{12}\right\}$.
$S$ માં રહેલા $\theta$ નો સરવાળો $4 \beta = \frac{\pi}{3}+\frac{5 \pi}{12}+\frac{5 \pi}{6}+\frac{11 \pi}{12} = \frac{4 \pi+5 \pi+10 \pi+11 \pi}{12} = \frac{30 \pi}{12} = \frac{5 \pi}{2}$.
તેથી $\beta = \frac{5 \pi}{8}$.
$f(\beta) = \frac{5}{4}-\frac{\cos(4 \cdot \frac{5 \pi}{8})}{4} = \frac{5}{4}-\frac{\cos(5 \pi / 2)}{4} = \frac{5}{4}-0 = \frac{5}{4}$.

(A) કુલ સફરજન = $3 + 7 = 10$. ચાર સફરજન બદલ્યા વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $P(X)$ | $XP(X)$ | $X^2P(X)$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1/6$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1/2$ | $1/2$ | $1/2$ |
| $2$ | $3/10$ | $6/10$ | $12/10$ |
| $3$ | $1/30$ | $3/10$ | $9/30$ |
$E(X^2) = \sum x^2P(x) = 0 + 1/2 + 12/10 + 9/30 = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,તેથી $\mu^2 + \sigma^2 = E(X^2)$.
તેથી,$10(\mu^2 + \sigma^2) = 10 \times E(X^2) = 10 \times 2 = 20$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(x+1) dx = x^2 dy$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{x+1}{x^2} dx = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{dy}{y}$.
આથી: $\ln|x| - \frac{1}{x} = \ln|y| + C$.
શરત $y(1)=e$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=e$ મૂકતા: $\ln(1) - \frac{1}{1} = \ln(e) + C$.
$0 - 1 = 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -2$.
તેથી,ઉકેલ $\ln|y| = \ln|x| - \frac{1}{x} + 2$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $y = e^{\ln x - \frac{1}{x} + 2} = x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$. જ્યારે $x \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $t \rightarrow \infty$.
લક્ષ $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t+2}}{t} = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^2}{t e^t} = 0$ થાય છે.

(C) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 21$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાયો $BC = 2\sqrt{21}$ આપેલ છે,તેથી વેધ $h$ (બિંદુ $A$ થી રેખાનું લંબ અંતર) $\frac{2 \times 21}{2\sqrt{21}} = \sqrt{21}$ થાય.
રેખા $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ છે. દિશા સદિશ $\vec{v} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખા પરનું એક બિંદુ $P(-\alpha, 1, -4)$ છે. સદિશ $\vec{AP} = -\alpha\hat{i} - \hat{j} - (\alpha + 4)\hat{k}$ છે.
લંબ અંતર $h = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ છે.
$\vec{AP} \times \vec{v} = (2\alpha + 5)\hat{i} - (2\alpha + 20)\hat{j} + (5 - 2\alpha)\hat{k}$ મળે છે.
$|\vec{AP} \times \vec{v}|^2 = 12\alpha^2 + 80\alpha + 450$ થાય.
$h^2 = 21$ અને $|\vec{v}|^2 = 38$ હોવાથી,$\frac{12\alpha^2 + 80\alpha + 450}{38} = 21$ મળે.
$12\alpha^2 + 80\alpha - 348 = 0 \Rightarrow 3\alpha^2 + 20\alpha - 87 = 0$ મળે.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,$\alpha = 3$ મળે,તેથી $\alpha^2 = 9$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+10}{1} = \frac{y-8}{-2} = \frac{z}{1}$ છે. રેખા પરનું બિંદુ $(-10, 8, 0)$ છે અને દિશાના ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ છે.
સમતલ $ax + by + 3z = 2(a+b)$ બિંદુ $(-10, 8, 0)$ ને સમાવે છે,તેથી $a(-10) + b(8) + 3(0) = 2a + 2b$,જેનું સાદું રૂપ $-10a + 8b = 2a + 2b$ એટલે કે $6b = 12a$ અથવા $b = 2a$ થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ $(a, b, 3)$ એ રેખાની દિશા $(1, -2, 1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $a(1) + b(-2) + 3(1) = 0$,તેથી $a - 2b + 3 = 0$.
$b = 2a$ ને $a - 2b + 3 = 0$ માં મૂકતા,$a - 2(2a) + 3 = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y + 3z = 6$ અથવા $x + 2y + 3z - 6 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 27, 7)$ થી સમતલનું અંતર $c = \frac{|1(1) + 2(27) + 3(7) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 54 + 21 - 6|}{\sqrt{14}} = \frac{70}{\sqrt{14}} = 5\sqrt{14}$ છે.
તેથી,$c^2 = 25 \times 14 = 350$.
અંતે,$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 + 350 = 1 + 4 + 350 = 355$.

(C) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x) + f(y)$,જે $\mathbb{N}$ પર કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(n) = cn$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1) = \frac{1}{5}$ હોવાથી,$c(1) = \frac{1}{5}$,તેથી $f(n) = \frac{n}{5}$.
હવે,સરવાળામાં $f(n) = \frac{n}{5}$ મૂકતા:
$\sum_{n=1}^m \frac{n/5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$.
તેથી,સરવાળો $\frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$ બને છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\frac{1}{5} \left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}) \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m+2} \right)$.
સરવાળો $\frac{1}{12}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{5} \left( \frac{m+2-2}{2(m+2)} \right) = \frac{1}{12} \implies \frac{m}{10(m+2)} = \frac{1}{12}$.
$12m = 10m + 20 \implies 2m = 20 \implies m = 10$.

(C) સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ આપેલા છે:
$\vec{OA} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{OB} = \lambda \vec{a} - 3 \vec{b} + 4 \vec{c}$
$\vec{OC} = -\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}$
$\vec{OD} = 2 \vec{a} - 4 \vec{b} + 6 \vec{c}$
હવે,સદિશો $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{AD}$ શોધો:
$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\lambda - 1)\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{a} - 3\vec{b} + 5\vec{c}$
કારણ કે $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{AD}$ સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda - 1)(15 - 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$(\lambda - 1)(3) + 2(-6) + 3(3) = 0$
$3\lambda - 3 - 12 + 9 = 0$
$3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y) - 1$ છે.
$f(0)$ શોધવા માટે,$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા:
$f(0 + 0) = f(0) + f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 2f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 1$.
હવે,વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
આપેલ સંબંધ $f(x + h) = f(x) + f(h) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) - 1 - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - 1}{h}$.
કારણ કે $f(0) = 1$,આપણે $1 = f(0)$ લખી શકીએ:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0)$.
આપેલ છે કે $f'(0) = 2$,તેથી $f'(x) = 2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = 2x + C$.
$f(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2(0) + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$f(x) = 2x + 1$.
હવે,$f(-2)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
તેથી,$|f(-2)| = |-3| = 3$.

(B) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+8}{-7}=\frac{z-4}{5}$ અને $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{-3}$ છે.
પ્રથમ રેખા માટે, બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}$ અને દિશા સદિશ $\vec{p} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
બીજી રેખા માટે, બિંદુ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ અને દિશા સદિશ $\vec{q} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{p} \times \vec{q}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = 16\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16\sqrt{3}$ છે.
સદિશ $(\vec{a} - \vec{b}) = (1-1)\hat{i} + (-8-2)\hat{j} + (4-6)\hat{k} = -10\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \left| \frac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right|$ છે.
$d = \left| \frac{(-10\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{16\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{16(0 - 10 - 2)}{16\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-12}{\sqrt{3}} \right| = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$.
આને $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$.
આથી $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,તેથી $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,તેથી $(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (7)(1) + (-3)(0) + (4)(2) = 7 + 0 + 8 = 15$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(2) = 1 + 0 + 2 = 3$.
આમ,$15 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -5$.
હવે,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} - 5\overrightarrow{b} = (7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 8\hat{j} - \hat{k}$.
અંતે,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{c} = (2\hat{i} - 8\hat{j} - \hat{k}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) = (2)(7) + (-8)(-3) + (-1)(4) = 14 + 24 - 4 = 34$.

(B) ધારો કે $P(w_1) = \lambda$. તો $P(w_2) = \frac{\lambda}{2}, P(w_3) = \frac{\lambda}{4}, \ldots, P(w_n) = \frac{\lambda}{2^{n-1}}$.
કારણ કે $\sum_{k=1}^{\infty} P(w_k) = 1$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda}{2^{k-1}} = 1$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\frac{\lambda}{1 - 1/2} = 1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1/2$.
આમ,$P(w_n) = \frac{1}{2^n}$.
ગણ $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$. $k, \ell \geq 1$ હોવાથી,સૌથી નાની કિંમતો:
$k=1, \ell=1$ માટે $n=5$.
$k=2, \ell=1$ માટે $n=7$.
$k=1, \ell=2$ માટે $n=8$.
$k=3, \ell=1$ માટે $n=9$.
$k=2, \ell=2$ માટે $n=10$.
તે સાબિત કરી શકાય છે કે $A = \mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3, 4, 6\}$.
તેથી,$P(B) = 1 - [P(w_1) + P(w_2) + P(w_3) + P(w_4) + P(w_6)]$.
$P(B) = 1 - [\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6}] = 1 - [\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}]$.
$P(B) = 1 - [\frac{32 + 16 + 8 + 4 + 1}{64}] = 1 - \frac{61}{64} = \frac{3}{64}$.

(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^2}{(t^2+1)(t^4-t^2+1)} = \frac{1}{t^2+1} + \frac{t^2}{t^6+1}$.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int \limits_1^2 \frac{1}{t^2+1} dt + \int \limits_1^2 \frac{t^2}{(t^3)^2+1} dt$.
બીજા સંકલન માટે,$u = t^3$ લેતા,$du = 3t^2 dt$,તેથી $t^2 dt = \frac{1}{3} du$.
$I = [\tan^{-1}(t)]_1^2 + \frac{1}{3} [\tan^{-1}(t^3)]_1^2$.
સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$I = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + \frac{1}{3} (\tan^{-1}(8) - \tan^{-1}(1))$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$:
$I = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{4\pi}{12}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x) - g^{\prime \prime}(x) = 6x$. એકવાર સંકલન કરતા,આપણને મળે $f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) = 3x^2 + C_1$.
$x=1$ માટે,$f^{\prime}(1) - g^{\prime}(1) = 4 - 3 = 1$. તેથી,$3(1)^2 + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = -2$.
તેથી,$f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) = 3x^2 - 2$.
ફરીથી સંકલન કરતા,$f(x) - g(x) = x^3 - 2x + C_2$.
$x=2$ માટે,$f(2) - g(2) = 12 - 4 = 8$. તેથી,$(2)^3 - 2(2) + C_2 = 8 \Rightarrow 8 - 4 + C_2 = 8 \Rightarrow C_2 = 4$.
તેથી,$f(x) - g(x) = x^3 - 2x + 4$.
વિકલ્પ $A$ તપાસો: $g(-2) - f(-2) = -((-2)^3 - 2(-2) + 4) = -(-8 + 4 + 4) = 0$. આમ,$g(-2)-f(-2)=20$ એ ખોટું વિધાન છે.

(D) શ્રેણિક વ્યસ્ત ત્યારે જ હોય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય. ધારો કે $A$ એ આપેલ શ્રેણિક છે.
$|A| = \left|\begin{array}{ccc}e^t & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) & e^{-t}(-2 \sin t-\cos t) \\ e^t & e^{-t}(2 \sin t+\cos t) & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) \\ e^t & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ માંથી $e^t$ અને $C_2, C_3$ માંથી $e^{-t}$ સામાન્ય લેતા:
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin t - 3\cos t & -3\sin t - 2\cos t \\ 0 & 2\sin t & -2\cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = e^{-t} \cdot 1 \cdot [(-\sin t - 3\cos t)(-2\cos t) - (2\sin t)(-3\sin t - 2\cos t)]$
$|A| = e^{-t} [2\sin t \cos t + 6\cos^2 t + 6\sin^2 t + 4\sin t \cos t] = 6e^{-t}$.
આમ,$6e^{-t} \neq 0$ દરેક $t \in R$ માટે,તેથી શ્રેણિક દરેક $t \in R$ માટે વ્યસ્ત છે.

(D) આપેલ પ્રદેશ $|\cos x - \sin x| \leq y \leq \sin x$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.
પ્રથમ,$\cos x - \sin x = \sin x$ નો છેદબિંદુ શોધો:
$\Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $\psi = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$. તેથી $\tan \psi = \frac{1}{2}$,$\sin \psi = \frac{1}{\sqrt{5}}$,અને $\cos \psi = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
ક્ષેત્રફળ $\int_{\psi}^{\pi/2} (\sin x - |\cos x - \sin x|) dx$ દ્વારા મળે છે.
આપણે સંકલનને $x = \frac{\pi}{4}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$Area = \int_{\psi}^{\pi/4} (\sin x - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - (\sin x - \cos x)) dx$
$= \int_{\psi}^{\pi/4} (2\sin x - \cos x) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx$
$= [-2\cos x - \sin x]_{\psi}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$= (-2\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-2\cos \psi - \sin \psi) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$= -\frac{3}{\sqrt{2}} + 2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{5} - 2\sqrt{2} + 1$.

(A) આપેલ બિંદુઓ $A(a, -2, 4)$ અને $B(2, b, -3)$ છે.
બિંદુ $C$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ:
$C = \left( \frac{2(2) + 1(a)}{2+1}, \frac{2(b) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-3) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{a+4}{3}, \frac{2b-2}{3}, \frac{-2}{3} \right)$.
બિંદુ $C$ એ સમતલ $2x - y + z = 4$ પર આવેલું હોવાથી:
$2\left( \frac{a+4}{3} \right) - \left( \frac{2b-2}{3} \right) + \left( \frac{-2}{3} \right) = 4$
$2a + 8 - 2b + 2 - 2 = 12 \Rightarrow 2a - 2b = 4 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = b + 2$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $OC = \sqrt{5}$ હોવાથી,$OC^2 = 5$:
$\left( \frac{a+4}{3} \right)^2 + \left( \frac{2b-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{-2}{3} \right)^2 = 5$
$(b+2+4)^2 + (2b-2)^2 + 4 = 45$
$(b+6)^2 + (2b-2)^2 = 41$
$5b^2 + 4b - 1 = 0 \Rightarrow (5b - 1)(b + 1) = 0$.
તેથી,$b = -1$ અથવા $b = 1/5$. જો $ab < 0$ હોય,તો $b = -1$ લેતા $a = 1$ મળે,જે શરત સંતોષે છે. $b = 1/5$ લેતા $ab > 0$ મળે છે.
આમ,$a = 1, b = -1$.
$C = \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
$P = (1 - (-1), -1, 2(-1) - 1) = (2, -1, -3)$.
$CP^2 = \left( 2 - \frac{5}{3} \right)^2 + \left( -1 - (-\frac{4}{3}) \right)^2 + \left( -3 - (-\frac{2}{3}) \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{49}{9} = \frac{51}{9} = \frac{17}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-0) - \hat{j}(20-0) + \hat{k}(-16-9) = 15 \hat{i} - 20 \hat{j} - 25 \hat{k}$ ગણો.
ધારો કે $\vec{c} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + 25 = 0$ પરથી,આપણને $15x - 20y - 25z = -25$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 4y - 5z = -5$ થાય છે.
$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ પરથી,આપણને $x + y + z = 4$ મળે છે.
$\vec{c}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $1$ હોવાથી,$\frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 1 \Rightarrow \frac{4x + 3y}{5} = 1 \Rightarrow 4x + 3y = 5$.
સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલતા:
$1) 3x - 4y - 5z = -5$
$2) x + y + z = 4 \Rightarrow 5x + 5y + 5z = 20$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $8x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - 8x$.
$4x + 3y = 5$ માં કિંમત મૂકતા: $4x + 3(15 - 8x) = 5 \Rightarrow 4x + 45 - 24x = 5 \Rightarrow -20x = -40 \Rightarrow x = 2$.
તેથી $y = 15 - 8(2) = -1$,અને $z = 4 - 2 - (-1) = 3$.
આમ,$\vec{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$.
$\vec{c}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2)(3) + (-1)(-4) + (3)(5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{6 + 4 + 15}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{25}{\sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ પરનું બિંદુ $(\lambda+1, 2\lambda+2, \lambda-3)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $L_2$ પરનું બિંદુ $(2\mu+a, 3\mu-2, \mu+3)$ છે.
રેખાઓ બિંદુ $P$ પર છેદતી હોવાથી,તેમના યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$1) \lambda+1 = 2\mu+a$
$2) 2\lambda+2 = 3\mu-2 \Rightarrow 2\lambda = 3\mu-4$
$3) \lambda-3 = \mu+3 \Rightarrow \lambda = \mu+6$
બીજા સમીકરણમાં $\lambda = \mu+6$ મુકતા:
$2(\mu+6) = 3\mu-4 \Rightarrow 2\mu+12 = 3\mu-4 \Rightarrow \mu = 16$.
તેથી $\lambda = 16+6 = 22$.
હવે પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $a$ શોધો:
$22+1 = 2(16)+a \Rightarrow 23 = 32+a \Rightarrow a = -9$.
બિંદુ $P$ એ $(23, 46, 19)$ છે.
બિંદુ $P(23, 46, 19)$ નું સમતલ $z = -9$ થી અંતર $|z_P - (-9)| = |19 + 9| = 28$ થાય.

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{t}$ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.
જ્યારે $x = 1/2, t = 2$ અને જ્યારે $x = 2, t = 1/2$.
$I = \int \limits_2^{1 / 2} \frac{\tan ^{-1}(1/t)}{1/t} \cdot (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1}(1/t)}{t} dt$.
કારણ કે $t > 0$ માટે $\tan^{-1}(1/t) = \cot^{-1} t$,તેથી $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} t}{t} dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{x} dx$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{x} dx = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\pi / 2}{x} dx$.
$2I = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2}^2 = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - \ln(1/2)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - (-\ln 2)) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2) = \pi \ln 2$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \ln 2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ છે.
$x \ln x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \ln x = \int x \ln x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
તેથી,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
$y(2) = 2$ આપેલ હોવાથી,$2 \ln 2 = \frac{4}{2} \ln 2 - \frac{4}{4} + C \Rightarrow 2 \ln 2 = 2 \ln 2 - 1 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 1$.
$x = e$ માટે,$y \ln e = \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{e^2}{4} + 1$.
$\ln e = 1$ હોવાથી,$y(e) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2 + 4}{4}$.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in N$ માટે,$2a + 3a = 5a$,જે $5$ નો ગુણક છે. તેથી,દરેક $a \in N$ માટે $a R a$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $a R b$,તો $2a + 3b = 5k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આપણે તપાસવું છે કે શું $b R a$ સત્ય છે,એટલે કે $2b + 3a$ એ $5$ નો ગુણક છે કે નહીં.
નોંધો કે $(2a + 3b) + (2b + 3a) = 5a + 5b = 5(a + b)$.
કારણ કે $2a + 3b = 5k$,તેથી $2b + 3a = 5(a + b) - 5k = 5(a + b - k)$.
કારણ કે $a, b, k$ પૂર્ણાંકો છે,$5(a + b - k)$ એ $5$ નો ગુણક છે. તેથી,$b R a$ સત્ય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $a R b$ અને $b R c$.
તો $2a + 3b = 5k_1$ અને $2b + 3c = 5k_2$ કોઈ પૂર્ણાંકો $k_1, k_2$ માટે.
આપણે તપાસવું છે કે શું $a R c$ સત્ય છે,એટલે કે $2a + 3c$ એ $5$ નો ગુણક છે કે નહીં.
$2a + 3b = 5k_1$ પરથી,$2a = 5k_1 - 3b$.
$2b + 3c = 5k_2$ પરથી,$3c = 5k_2 - 2b$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$2a + 3c = 5k_1 + 5k_2 - 5b = 5(k_1 + k_2 - b)$.
કારણ કે $k_1, k_2, b$ પૂર્ણાંકો છે,$2a + 3c$ એ $5$ નો ગુણક છે. તેથી,$a R c$ સત્ય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(D) $x \geq 2$ માટે આપેલ છે કે,સરવાળો $S_x = \sum_{k=1}^{x} k f(k) = x(x+1) f(x)$.
$x+1$ માટે,$S_{x+1} = S_x + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
સમીકરણમાં $S_x = x(x+1) f(x)$ મૂકતા:
$x(x+1) f(x) + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
$(x+1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \geq 2$):
$x f(x) + f(x+1) = (x+2) f(x+1)$.
$x f(x) = (x+1) f(x+1)$.
આ સૂચવે છે કે $n \geq 2$ માટે $n f(n)$ અચળ છે.
$x=2$ માટે,$f(1) + 2 f(2) = 2(3) f(2) \Rightarrow 1 + 2 f(2) = 6 f(2) \Rightarrow 4 f(2) = 1 \Rightarrow f(2) = \frac{1}{4}$.
આમ,બધા $n \geq 2$ માટે $n f(n) = 2 f(2) = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$n \geq 2$ માટે $f(n) = \frac{1}{2n}$.
તેથી,$f(2022) = \frac{1}{2 \times 2022} = \frac{1}{4044}$ અને $f(2028) = \frac{1}{2 \times 2028} = \frac{1}{4056}$.
અંતે,$\frac{1}{f(2022)} + \frac{1}{f(2028)} = 4044 + 4056 = 8100$.

(A) આપેલ વક્ર $y = \frac{x-a}{(x+b)(x-2)}$ છે.
બિંદુ $(1, -3)$ વક્ર પર હોવાથી,$-3 = \frac{1-a}{(1+b)(1-2)}$.
$-3 = \frac{1-a}{-(1+b)} \implies 3(1+b) = 1-a \implies 1-a = 3+3b \implies a+3b = -2$ $(1)$.
અભિલંબનું સમીકરણ $x - 4y = 13$ છે,જે $y = \frac{1}{4}x - \frac{13}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \frac{1}{4}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{m_n} = -4$ થાય.
હવે,$y = \frac{x-a}{x^2 + (b-2)x - 2b}$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + (b-2)x - 2b)(1) - (x-a)(2x + b-2)}{(x^2 + (b-2)x - 2b)^2}$.
$x=1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = -4 = \frac{(1+b-2-2b) - (1-a)(2+b-2)}{(1+b-2-2b)^2} = \frac{-1-b - (1-a)b}{(-1-b)^2}$.
$1-a = 3(1+b)$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા: $-4 = \frac{-(1+b) - 3(1+b)b}{(1+b)^2} = \frac{-(1+b)(1+3b)}{(1+b)^2} = \frac{-(1+3b)}{1+b}$.
$-4(1+b) = -1-3b \implies -4-4b = -1-3b \implies b = -3$.
$b = -3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $a + 3(-3) = -2 \implies a - 9 = -2 \implies a = 7$.
તેથી,$a+b = 7 + (-3) = 4$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ કારણ કે તે સંમિત શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $|A| = ac - b^2 = 2$.
શ્રેણિક સમીકરણ $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$2a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - 2a$
$2b + c = 2 \Rightarrow c = 2 - 2b = 2 - 2(1 - 2a) = 4a$
$ac - b^2 = 2$ માં $b$ અને $c$ ની કિંમત મૂકતા:
$a(4a) - (1 - 2a)^2 = 2$
$4a^2 - (1 - 4a + 4a^2) = 2$
$4a^2 - 1 + 4a - 4a^2 = 2$
$4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$
તેથી $b = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ અને $c = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\alpha = 3a + \frac{3}{2}b = 3(\frac{3}{4}) + \frac{3}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\beta = 3b + \frac{3}{2}c = 3(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}(3) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} = 3$
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $s = a + c = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$.
અંતે,$\frac{\beta s}{\alpha^2} = \frac{3 \times \frac{15}{4}}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{\frac{45}{4}}{\frac{9}{4}} = 5$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,જ્યાં $d = |A| = mq - np \neq 0$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}$ છે.
આપણને આપેલ છે $|A - d(\operatorname{adj} A)| = 0$.
મેટ્રિક્સ મૂકતા:
$|\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix} - d \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n + nd \\ p + pd & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n(1+d) \\ p(1+d) & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$(m - qd)(q - md) - np(1+d)^2 = 0$
$mq - m^2d - q^2d + mqd^2 - np(1+d)^2 = 0$
$(mq - np) + d^2(mq - np) - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
કારણ કે $d = mq - np$,આપણી પાસે છે:
$d + d^3 - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$d$ વડે ભાગતા (કારણ કે $d \neq 0$):
$1 + d^2 - (m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$1 + d^2 = m^2 + q^2 + 2np$
કારણ કે $(m+q)^2 = m^2 + q^2 + 2mq$,આપણે લખી શકીએ $m^2 + q^2 = (m+q)^2 - 2mq$.
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2mq + 2np$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2(mq - np)$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2d$
$1 + 2d + d^2 = (m+q)^2$
$(1+d)^2 = (m+q)^2$.