ધારો કે વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} - frac{3x^5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x)

Vedclass · Accepted Answer

$\exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.ધારો કે $t = x^3$,તો $dt = 3x^2 dx$. સંકલન $\int -\frac{t 	an^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ બને છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{	an^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ મળે છે.તેથી,$I.F. = \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight) \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) dx + C$.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,તેથી $C = 0$.આમ,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.$x = 1$ માટે,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - 	an^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} ight) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} ight) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} ight)$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x + 3y}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ નો ઉકેલ છે; $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, y(0)=0$. તો,$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત ..... છે.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f^{\prime}(x)+f(x)=\int \limits_0^2 f(t) dt$ થાય. જો $f(0)=e^{-2}$ હોય,તો $2f(0)-f(2)$ ની કિંમત $.........$ થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module