JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,તેથી $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(C) $SHM$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
$SHM$ માં કણની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે $PE = KE$,તેથી:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
આમ,કણનું સ્થાન $\frac{A}{\sqrt{2}}$ હશે.

(B) વિધાન-$I$ નું વિશ્લેષણ: જ્યારે લિફ્ટ સમાન ઝડપ (અચળ વેગ) સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,લિફ્ટ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,કેબલમાં રહેલું તણાવ $T$ એ લિફ્ટના વજન $W$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ $(T = W)$. આ વિધાન સાચું છે.
વિધાન-$II$ નું વિશ્લેષણ: જ્યારે લિફ્ટ વધતી જતી ઝડપ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a$ નીચેની તરફ હોય છે. ધારો કે $W = mg$ એ વ્યક્તિનું વજન છે અને $N$ એ લિફ્ટના તળિયા દ્વારા લાગતું લંબબળ છે. વ્યક્તિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $W - N = ma$. $m = W/g$ મૂકતા,આપણને $W - N = (W/g)a$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $N = W(1 - a/g)$ મળે છે. અહીં $a > 0$ હોવાથી,લંબબળ $N$ એ વજન $W$ કરતા ઓછું છે. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 18 \, N$ છે.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg' = \frac{mg}{(1 + h/R_e)^2}$ થશે.
અહીં $h = 3200 \, km$ અને $R_e = 6400 \, km$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{h}{R_e} = \frac{3200}{6400} = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે.
આ કિંમતો વજનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W' = \frac{18}{(1 + 0.5)^2} = \frac{18}{(1.5)^2} = \frac{18}{2.25} = 8 \, N$.

(D) તારમાં થતા વધારા (elongation) $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ભાર $F = 250\,N$
લંબાઈ $L = 100\,m$
ક્ષેત્રફળ $A = 6.25 \times 10^{-4}\,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 10^{10}\,N/m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta L = \frac{250 \times 100}{6.25 \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\Delta L = \frac{25000}{6.25 \times 10^6}$
$\Delta L = \frac{25000}{6250000} = 0.004\,m$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3}\,m$.

(A) અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 3 \times 10^5\,Pa$ અને $\Delta V = 1600\,cm^3 = 1600 \times 10^{-6}\,m^3 = 1.6 \times 10^{-3}\,m^3$ છે.
તેથી,$W = (3 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-3}) = 480\,J$.
આપેલ છે કે પૂરી પાડવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $(Q)$ ના $10\%$ નો ઉપયોગ આ કાર્ય માટે થાય છે.
તેથી,$0.10 \times Q = 480\,J$,જેનો અર્થ છે કે $Q = 4800\,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
આમ,$\Delta U = \Delta Q - W = 4800\,J - 480\,J = 4320\,J$.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $10\%$ ઉષ્માનો ઉપયોગ કાર્ય માટે થાય છે,તેથી $90\%$ ઉષ્માનો ઉપયોગ આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે થાય છે.
$\Delta U = 0.90 \times 4800\,J = 4320\,J$.

(B) ધારો કે $m_1 = 4 \, kg$ દળ $60^{\circ}$ ના ઢાળ પર છે અને $m_2 = 1 \, kg$ દળ $30^{\circ}$ ના ઢાળ પર છે.
$4 \, kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_1 g \sin 60^{\circ} - T = m_1 a \implies 4 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - T = 4a \implies 20\sqrt{3} - T = 4a \dots (1)$
$1 \, kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - m_2 g \sin 30^{\circ} = m_2 a \implies T - 1 \times 10 \times \frac{1}{2} = 1a \implies T - 5 = a \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$a = T - 5$. આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$20\sqrt{3} - T = 4(T - 5)$
$20\sqrt{3} - T = 4T - 20$
$5T = 20\sqrt{3} + 20$
$T = 4(\sqrt{3} + 1) \, N$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.05 \sin(8x - 4t)$ સાથે સરખાવતા:
આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 8 \; m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \; rad/s$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{4}{8} = 0.5 \; m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $0.5 \; m/s$ છે.

(B) વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ:
વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -73^{\circ} C = 200 K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 527^{\circ} C = 800 K$.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_{rms,2} = 2 v_{rms,1}$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ:
આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ-કદનો ગુણાકાર $PV = nRT$ છે.
આદર્શ વાયુની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $(KE_{trans})$ નું સૂત્ર $KE_{trans} = \frac{3}{2} nRT$ છે.
તેથી,$PV = \frac{2}{3} KE_{trans}$.
આમ,$PV \neq KE_{trans}$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $H_{\max}$ નું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $H_{\max} = 136\,m$,તેથી $\frac{v^2}{2g} = 136\,m$.
આના પરથી $v^2 = 272g$ મળે છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ એ $45^\circ$ ના ખૂણે પ્રાપ્ત થાય છે અને તેનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$ છે.
ઊંચાઈના સમીકરણમાંથી $v^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{\max} = \frac{272g}{g} = 272\,m$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ અને $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$,તેથી $R_{\max} = 2H_{\max}$ થાય.
તેથી,$R_{\max} = 2 \times 136\,m = 272\,m$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 5\,s$,અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K = 10000\,J$.
ગતિઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $K = \frac{1}{2}mv^2$.
કિંમતો મૂકતા: $10000 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$.
$v^2 = 10000$,તેથી $v = 100\,m/s$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$100 = 0 + a \times 5$.
$a = \frac{100}{5} = 20\,m/s^2$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F = 2\,kg \times 20\,m/s^2 = 40\,N$.

(A) આ ગોઠવણીમાં,બ્લોકના સ્થાનાંતરના સંદર્ભમાં બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. જ્યારે બ્લોકને $x$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગ સમાન દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલી બે સ્પ્રિંગ માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $k_1 = k_2 = 20\,N/m$ આપેલ છે,તેથી $k_{eff} = 20 + 20 = 40\,N/m$ થશે.
સિસ્ટમની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\omega = \sqrt{\frac{40}{2}} = \sqrt{20}\,rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{20}} = \frac{2\pi}{2\sqrt{5}} = \frac{\pi}{\sqrt{5}}$.
આને આપેલ સમીકરણ $T = \frac{\pi}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(A) ધારો કે $27^{\circ}C$ તાપમાને પ્રારંભિક વ્યાસ $d_0 = 5\,cm$ છે.
જ્યારે શીટને $177^{\circ}C$ તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 177^{\circ}C - 27^{\circ}C = 150^{\circ}C$ છે.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d$ એ રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta d = d_0 \alpha \Delta T$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta d = 5\,cm \times (1.6 \times 10^{-5} /^{\circ}C) \times 150^{\circ}C$.
$\Delta d = 5 \times 1.6 \times 150 \times 10^{-5}\,cm$.
$\Delta d = 1200 \times 10^{-5}\,cm = 12 \times 10^{-3}\,cm$.
આને $d \times 10^{-3}\,cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $d = 12$ મળે છે.

(A) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{PQ} = I_{cm} + Md^2$ છે,જ્યાં $d = 10 \, cm$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{PQ} = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે $I_{PQ} = Mk^2$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$Mk^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
$M$ વડે ભાગતા,આપણને $k^2 = \frac{2}{5} R^2 + 100$ મળે છે.
$R = 5 \, cm$ મૂકતા,$k^2 = \frac{2}{5} (5)^2 + 100 = \frac{2}{5} (25) + 100 = 10 + 100 = 110$.
આમ,$k = \sqrt{110} \, cm$.
આને $\sqrt{x} \, cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 110$ મળે છે.

(A) બે સદિશો લંબ હોય ત્યારે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
$(a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = 0$
$2a - 3b + 4 = 0 \Rightarrow 2a - 3b = -4$
બીજું સમીકરણ આપેલ છે: $3a + 2b = 7$.
$a$ અને $b$ શોધવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $13a = 13 \Rightarrow a = 1$.
$a = 1$ ને $3a + 2b = 7$ માં મૂકતા: $3(1) + 2b = 7 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2$.
ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે જે દ્રઢ રોટેટર તરીકે વર્તે છે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\gamma_1}{\gamma_2} = \frac{5/3}{7/5} = \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{25}{21}$ થાય.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે:
પૃથ્વી માટે: $T_1 = 1 \, \text{વર્ષ}$,$R_1 = 1.5 \times 10^8 \, \text{km}$.
કાલ્પનિક ગ્રહ માટે: $T_2 = 2.83 \, \text{વર્ષ}$,$R_2 = ?$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{2.83}{1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
કારણ કે $2.83 \approx \sqrt{8}$,તેથી $(2.83)^2 \approx 8$:
$8 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$2 = \frac{R_2}{1.5 \times 10^8}$
$R_2 = 2 \times 1.5 \times 10^8 = 3 \times 10^8 \, \text{km}$.
આમ,અંતર $3 \times 10^8 \, \text{km}$ છે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $h$ વધતા ઘટે છે. સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ તે $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $d$ વધતા ઘટે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે: $h = d$ હોય તેવી ઊંચાઈ $h$ અને ઊંડાઈ $d$ માટે,મૂલ્યો $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ અને $g_d = g(1 - h/R)$ છે. નાના $h$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$g_h \approx g(1 - 2h/R)$,જ્યારે $g_d = g(1 - h/R)$. કારણ કે $(1 - 2h/R) \neq (1 - h/R)$,તેથી મૂલ્યો સમાન નથી.

(A) આવૃત્તિ $(v)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-3}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $(s)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ: $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^{0}L^{0}T^{-1}] = [L]^{a} [ML^{-3}]^{b} [MT^{-2}]^{c}$.
$[M^{0}L^{0}T^{-1}] = M^{b+c} L^{a-3b} T^{-2c}$.
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$T$ માટે: $-2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
$M$ માટે: $b + c = 0 \Rightarrow b = -c = -\frac{1}{2}$.
$L$ માટે: $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
આમ,$a, b$ અને $c$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(D) સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળોનો બીજગણિતીય સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $1$ ($0$ થી $2\,s$): $2 \times 8 = 16\,m$
ક્ષેત્રફળ $2$ ($2$ થી $4\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
ક્ષેત્રફળ $3$ ($4$ થી $8\,s$): $4 \times 4 = 16\,m$
ક્ષેત્રફળ $4$ ($8$ થી $10\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
સ્થાનાંતર $= 16 - 8 + 16 - 8 = 16\,m$
અંતર એ ક્ષેત્રફળોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
અંતર $= |16| + |-8| + |16| + |-8| = 16 + 8 + 16 + 8 = 48\,m$
સ્થાનાંતર અને અંતરનો ગુણોત્તર $= \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$ અથવા $1: 3$.

(C) બાંધકામમાં સ્ટીલનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેમાં ઉચ્ચ તણાવ શક્તિ (tensile strength) અને ઉચ્ચ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા હોય છે.
સ્થિતિસ્થાપકતા એટલે પદાર્થની વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેના મૂળ આકારમાં પાછા આવવાની ક્ષમતા.
સ્ટીલ રબર જેવા અન્ય ઘણા પદાર્થો કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે કારણ કે સમાન વિકૃતિ (strain) ઉત્પન્ન કરવા માટે તેને ખૂબ મોટા બળની જરૂર પડે છે,અને તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા ઊંચી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે કાયમી વિકૃતિ વિના નોંધપાત્ર તણાવ સહન કરી શકે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે બાંધકામમાં સ્ટીલને કેમ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(C) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આપણે માઉન્ટ એવરેસ્ટ (વધારે ઊંચાઈ) પર જઈએ છીએ,તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ હોવાથી,$g$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં વધારો થાય છે.
આવર્તકાળમાં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે ઘડિયાળ એક દોલન પૂર્ણ કરવામાં વધુ સમય લે છે,જેનો અર્થ છે કે ઘડિયાળ ધીમી પડે છે,ઝડપી નહીં.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
ઊંચાઈ $h$ પર $g$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ છે,જે ખરેખર સપાટી પરના $g$ કરતા ઓછું છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P-V$ આલેખ એ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે જે સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ માટે,$V \propto T$.
જો આપણે વક્રો પર એક આડી રેખા (સમદાબી રેખા) દોરીએ,તો જેમ તાપમાન $T$ વધે છે તેમ કદ $V$ વધે છે.
તેથી,આપેલ દબાણ માટે,સૌથી વધુ તાપમાન ધરાવતો વક્ર સૌથી મોટું કદ ધરાવશે.
જેમ કે $T_3 > T_2 > T_1$,$T_3$ ને અનુરૂપ વક્ર ઉદગમબિંદુથી સૌથી દૂર હશે,ત્યારબાદ $T_2$ અને પછી $T_1$ આવશે.
વિકલ્પો જોતા,$214352-a$ માં આપેલો આલેખ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે $T_3$ એ સૌથી બહારનો વક્ર છે અને $T_1$ એ સૌથી અંદરનો વક્ર છે.

(D) બે સદિશો લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{P} = \hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}$ અને $\vec{Q} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$(\hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}) = 0$
$(1)(4) + (2m)(-2) + (m)(m) = 0$
$4 - 4m + m^2 = 0$
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેને $(m - 2)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$m = 2$.

(C) ધારો કે નળાકારના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ છે.
મૂળ નળાકારનું દળ $m_1 = \rho \cdot \pi R^2 L$ છે.
તેની અક્ષને અનુલક્ષીને મૂળ નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} m_1 R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ છે.
કોતરીને કાઢેલા નળાકારનું દળ $m_2 = \rho \cdot \pi (R')^2 L' = \rho \cdot \pi (\frac{R}{2})^2 (\frac{L}{2}) = \rho \cdot \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L$ છે.
કોતરીને કાઢેલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} m_2 (R')^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \rho \pi R^2 L) (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{1}{64} \rho \pi R^4 L$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} \rho \pi R^4 L}{\frac{1}{64} \rho \pi R^4 L} = \frac{64}{2} = 32$ થાય.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$m$ દળ માટે $T = 1\; s$,તેથી $1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
જ્યારે દળમાં $3\; kg$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું દળ $(m + 3)\; kg$ થાય છે અને નવો આવર્તકાળ $T' = 1 + 1 = 2\; s$ થાય છે.
આમ,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m + 3}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T}{T'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{(m+3)/k}} = \frac{1}{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{\frac{m}{m+3}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{m}{m+3} = \frac{1}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $4m = m + 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3m = 3$.
તેથી,$m = 1\; kg$.

(C) આપેલ બળ: $\vec{F} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j} \ N$ અને દળ $m = 1 \ kg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$.
$m = 1 \ kg$ હોવાથી,$\frac{d\vec{v}}{dt} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા ($t=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય લેતા): $\vec{v} = \int (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$P = (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) = \frac{t^3}{2} + 3t^5$.
$t = 2 \ s$ સમયે,$P = \frac{2^3}{2} + 3(2^5) = \frac{8}{2} + 3(32) = 4 + 96 = 100 \ W$.

(C) જ્યારે દડો ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તેના પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સ્નિગ્ધ બળ $F_v$ એ દડાના અસરકારક વજન જેટલું હોય છે.
$F_v = W - F_B = V(\sigma - \rho)g$
જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે,$\sigma$ એ દડાની ઘનતા છે,અને $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (10^{-3} \ m)^3 = \frac{88}{21} \times 10^{-9} \ m^3$.
ઘનતાનો તફાવત $(\sigma - \rho) = (10.5 - 1.5) \ g/cc = 9 \ g/cc = 9000 \ kg/m^3$.
$F_v = \left( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 10^{-9} \right) \times 9000 \times 9.8 = 36960 \times 10^{-9} = 3696 \times 10^{-8} \ N$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$x=7$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) સિસ્ટમ રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ પોઈન્ટ $C$ ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે કેબલ $AB$ માં તણાવ $T$ છે. તણાવનો ઉભો ઘટક $T \sin(30^\circ)$ છે.
સળિયો સમાન છે,તેથી તેનું વજન $(2\,kg \times 10\,m/s^2 = 20\,N)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે $C$ થી $50\,cm$ ના અંતરે છે.
લટકાવેલ પદાર્થનું વજન $(8\,kg \times 10\,m/s^2 = 80\,N)$ છેડા $D$ પર કાર્ય કરે છે,જે $C$ થી $100\,cm$ ના અંતરે છે.
કેબલ બિંદુ $B$ પર જોડાયેલ છે,જે $C$ થી $60\,cm$ ના અંતરે છે.
$C$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$\sum \tau_C = 0$
$(T \sin(30^\circ)) \times 60\,cm = (20\,N \times 50\,cm) + (80\,N \times 100\,cm)$
$T \times 0.5 \times 60 = 1000 + 8000$
$30T = 9000$
$T = 300\,N$

(B) શરૂઆતમાં,કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 50\,\% = 0.5$ છે. સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 600\,K$ છે.
કાર્નો કાર્યક્ષમતાના સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{600}$
$\frac{T_2}{600} = 0.5$
$T_2 = 300\,K$ (આ સિંકનું તાપમાન છે).
હવે,કાર્યક્ષમતા વધારીને $\eta_2 = 70\,\% = 0.7$ કરવામાં આવે છે,જ્યારે સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300\,K$ અચળ રહે છે. ધારો કે સ્ત્રોતનું નવું તાપમાન $T_1'$ છે.
ફરીથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'}$
$\frac{300}{T_1'} = 1 - 0.7 = 0.3$
$T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000\,K$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ છે.
$h = R$ મૂકતા,આપણને $g' = \frac{g}{(1 + R/R)^2} = \frac{g}{(2)^2} = \frac{g}{4}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2T$ થાય છે.
આપેલ છે કે નવો આવર્તકાળ $xT$ છે,તેથી $xT = 2T$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(B) જ્યારે કોઈ કણ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે હોય, ત્યારે તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને તે $F = -\frac{GMm}{R^3}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = ma$ હોવાથી, પ્રવેગ $a = -\frac{GM}{R^3}x$ થાય.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગને $a = -\frac{g}{R}x$ તરીકે લખી શકીએ.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega^2 = \frac{g}{R}$ મળે, એટલે કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = 6400 \, km = 6400 \times 10^3 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$.
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{640000} = 2 \times 3.14 \times 800 \, s$.
$T = 5024 \, s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $T = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{મિનિટ}$, જે આશરે $1$ કલાક અને $24$ મિનિટ થાય છે.

(D) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
કુલ અંતર = $x + x = 2x$.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_1 = \frac{x}{v_1}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_2 = \frac{x}{v_2}$.
કુલ સમય = $t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2x}{x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(C) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{RMS}$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$V_{RMS} \propto \sqrt{T}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

$(A)$ $\text{પૃષ્ઠતાણ}$ $= \frac{F}{l} = \frac{MLT^{-2}}{L} = MT^{-2} = kg s^{-2}$ $(IV)$.
$(B)$ $\text{દબાણ}$ $= \frac{F}{A} = \frac{MLT^{-2}}{L^2} = ML^{-1}T^{-2} = kg m^{-1} s^{-2}$ $(III)$.
$(C)$ $\text{સ્નિગ્ધતા}$ $= \frac{F}{A(\frac{dv}{dz})} = \frac{MLT^{-2}}{L^2(\frac{LT^{-1}}{L})} = ML^{-1}T^{-1} = kg m^{-1} s^{-1}$ $(I)$.
$(D)$ $\text{આઘાત}$ $= F \times \Delta t = MLT^{-2} \times T = MLT^{-1} = kg m s^{-1}$ $(II)$.
તેથી, સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(II)$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -K(T - T_0)$.
તાપમાનમાં નાના ફેરફારો માટે,આપણે સરેરાશ તાપમાનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{T_1 - T_2}{\Delta t} = K(T_{avg} - T_0)$.
કિસ્સો $1$: $\frac{98 - 86}{2} = K\left(\frac{98 + 86}{2} - 22\right) \implies 6 = K(92 - 22) \implies 6 = K(70) \implies K = \frac{6}{70}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{75 - 69}{\Delta t} = K\left(\frac{75 + 69}{2} - 22\right) \implies \frac{6}{\Delta t} = K(72 - 22) \implies \frac{6}{\Delta t} = K(50)$.
બીજા સમીકરણમાં $K = \frac{6}{70}$ મૂકતા: $\frac{6}{\Delta t} = \frac{6}{70} \times 50$.
$\frac{1}{\Delta t} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \implies \Delta t = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ મિનિટ}$.

(C) કારના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં,બોબ પર આડી દિશામાં બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ લાગે છે.
ધારો કે $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. આડી દિશામાં લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $\frac{mv^2}{R}$.
કારની ફ્રેમમાં સંતુલન માટે:
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ સંતુલન)
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (આડું સંતુલન)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
આપેલ કિંમતો $v = 20\,m/s$,$R = 40\,m$,અને $g = 10\,m/s^2$ મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{20^2}{40 \times 10} = \frac{400}{400} = 1$
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(D) આલેખ પરથી,વિસ્તરણ-ભાર વક્રનો ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta L}{F} = 1\,m/N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta L$ વિસ્તરણ છે.
ગોઠવતા,$Y = \frac{L}{A} \times \frac{F}{\Delta L} = \frac{L}{A} \times \frac{1}{1} = \frac{L}{A}$.
અહીં $L = 62.8\,cm = 0.628\,m$ અને વ્યાસ $d = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$ આપેલ છે.
ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3}\,m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6}\,m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{0.628}{12.56 \times 10^{-6}} = \frac{628000}{12.56} = 50000 = 5 \times 10^4\,N/m^2$.
આને $x \times 10^4\,N/m^2$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.

(D) બળ $F$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
$F \cos \theta = ma$
કારણ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી:
$F \cos \theta = m v \frac{dv}{dx}$
$2 \cos (kx) = m v \frac{dv}{dx}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $x$ અને $v$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^v m v \, dv = \int_0^x 2 \cos (kx) \, dx$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{2}{k} [\sin (kx)]_0^x$
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ અને $\theta = kx$ હોવાથી:
$K.E. = \frac{2}{k} \sin \theta$
આને આપેલા સમીકરણ $E = \frac{n}{k} \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ છે,જ્યાં $d$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં,$d = \frac{2}{3}R$ છે.
તેથી,$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2}{3}R\right)^2$.
$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4}{9}R^2\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right)MR^2 = \left(\frac{9+8}{18}\right)MR^2 = \frac{17}{18}MR^2$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I_{AB}}{I_{CM}} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$.
આપેલ ગુણોત્તર $x:9$ હોવાથી,$x = 17$ મળે છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
અહીં $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન અને $\Delta x = 6.0\,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 6$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 2 \times 6 \times 3 = 36\,m$.
તરંગનો વેગ $V = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આવૃત્તિ $f = 500\,Hz$ આપેલ હોવાથી,$V = 500\,Hz \times 36\,m = 18000\,m/s$.
તેને $km/s$ માં ફેરવતા: $V = \frac{18000}{1000}\,km/s = 18\,km/s$.

(D) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}$ શોધો:
$\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & \sqrt{3} & 2.5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(\sqrt{3} \times 2.5 - 2 \times \sqrt{3}) - \hat{j}(3 \times 2.5 - 2 \times 4) + \hat{k}(3 \times \sqrt{3} - 4 \times \sqrt{3})$
$= 0.5\sqrt{3}\hat{i} + 0.5\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.
એકમ સદિશ = $\frac{\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}}{|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}|} = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}) = \frac{1}{4}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j} - 2\sqrt{3}\hat{k})$.
આમ,$x = 4$ મળે છે.

(B) $1$. યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{[MLT^{-2}]/[L^2]}{[1]} = [ML^{-1}T^{-2}]$. તેથી,$(A)-(III)$.
$2$. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$F = 6\pi\eta rv$,તેથી $\eta = \frac{F}{6\pi rv} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી,$h = \frac{E}{\nu} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$. તેથી,$(C)-(II)$.
$4$. વર્ક ફંક્શન $(\phi)$: તે ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે,તેથી $[\phi] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી,$(D)-(IV)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(IV)$ છે.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુઓ પાસે $3$ સ્થાનાંતરિત (translational) મુક્તિના અંશો અને $2$ ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિના અંશો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે અણુ પાસે એક વધારાનો કંપનનો પ્રકાર (vibrational mode) છે.
દરેક કંપનનો પ્રકાર $2$ મુક્તિના અંશોમાં ફાળો આપે છે (એક ગતિ ઉર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઉર્જા માટે).
તેથી, કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3$ (translational) $+ 2$ (rotational) $+ 2$ (vibrational) $= 7$ થાય.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{fR}{2}$ છે.
$f = 7$ મૂકતા, આપણને $C_V = \frac{7R}{2}$ મળે છે.

(B) બે તાપમાનના માપક્રમ વચ્ચે રૂપાંતરણ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\text{માપક્રમ પરનું અવલોકન} - \text{અધઃ નિશ્ચિત બિંદુ}}{\text{ઉર્ધ્વ નિશ્ચિત બિંદુ} - \text{અધઃ નિશ્ચિત બિંદુ}} = \text{અચળ}$
આલેખ પરથી,માપક્રમ $P$ માટે,અધઃ નિશ્ચિત બિંદુ $30$ છે અને ઉર્ધ્વ નિશ્ચિત બિંદુ $180$ છે (કારણ કે $180 - 30 = 150$ વિભાગો).
માપક્રમ $Q$ માટે,અધઃ નિશ્ચિત બિંદુ $0$ છે અને ઉર્ધ્વ નિશ્ચિત બિંદુ $100$ છે (કારણ કે $100 - 0 = 100$ વિભાગો).
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{t_P - 30}{180 - 30} = \frac{t_Q - 0}{100 - 0}$
પદને સરળ બનાવતા:
$\frac{t_P - 30}{150} = \frac{t_Q}{100}$

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ઘર્ષણાંક $\mu$ છે.
કિસ્સો $1$: બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ધકેલવા માટે જરૂરી બળ $F_1$.
ઢળતા સમતલની દિશામાં લાગતા બળો $F_1$ (ઉપરની તરફ),$mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) છે.
$F_1 = mg \sin 45^{\circ} + \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu)$
કિસ્સો $2$: બ્લોકને નીચે સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_2$.
ઢળતા સમતલની દિશામાં લાગતા બળો $F_2$ (ઉપરની તરફ),$mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (ઉપરની તરફ) છે.
$F_2 = mg \sin 45^{\circ} - \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$
આપેલ છે કે $F_1 = 2 F_2$,તેથી:
$\frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu) = 2 \left[ \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \right]$
$1 + \mu = 2(1 - \mu)$
$1 + \mu = 2 - 2\mu$
$3\mu = 1$
$\mu = \frac{1}{3} \approx 0.33$

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $x = 0$ થી $x = A/2$ સુધી $t_1 = 2 \, s$ સમયમાં જાય છે:
$A/2 = A \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = 1/2 \implies \omega t_1 = \pi/6$.
આમ,$\omega(2) = \pi/6 \implies \omega = \pi/12 \, rad/s$.
કણ $x = A/2$ થી $x = A$ સુધી $t_2$ સમયમાં જાય છે:
$x = A/2$ પર,કળા $\phi_1 = \pi/6$ છે.
$x = A$ પર,કળા $\phi_2 = \pi/2$ છે.
કળાનો તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \pi/2 - \pi/6 = \pi/3$ છે.
કારણ કે $\Delta \phi = \omega t_2$,તેથી $\pi/3 = (\pi/12) t_2$.
$t_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_2 = (\pi/3) \times (12/\pi) = 4 \, s$ મળે છે.

(B) આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અચળ રહે છે, તેથી $\Delta T = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 0$. આમ, $A \longrightarrow II$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, તેથી $\Delta U = -\Delta W$. જો વાયુ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે, તો $\Delta W > 0$, તેથી $\Delta U < 0$, એટલે કે આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે. આમ, $B \longrightarrow I$.
સમકદ પ્રક્રિયા માટે, કદ $V$ અચળ રહે છે, તેથી $\Delta V = 0$. કાર્ય $\Delta W = P \Delta V$ હોવાથી, વાયુ પર કે વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી. આમ, $C \longrightarrow IV$.
સમદાબ પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અચળ રહે છે. શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ વધારવા અને કાર્ય $\Delta W = P \Delta V$ કરવા માટે વપરાય છે. આમ, $D \longrightarrow III$.
તેથી, સાચી જોડી $A-II, B-I, C-IV, D-III$ છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GM_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R_e)$ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ છે.
$h = 2R_e$ ઊંચાઈ પર $(r = R_e + h = 3R_e)$ અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GM_e m}{3R_e}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{GM_e m}{3R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e}) = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GM_e m}{R_e}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,તેથી $GM_e = gR_e^2$.
આ કિંમત મૂકતા: $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR_e^2)m}{R_e} = \frac{2}{3} mgR_e$.

(A) કણનું સ્થાન $x = 4t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t$.
હવે,આપેલ સમય $t = 5 \, s$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = 8 \times 5 = 40 \, ms^{-1}$.
તેથી,$t = 5 \, s$ સમયે કણનો વેગ $40 \, ms^{-1}$ છે.

(A) $i_1$ અને $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા $L$ લંબાઈના બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું ચુંબકીય બળ $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2 L}{2 \pi d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે: $F_1 = \frac{\mu_0 (10)(10) L}{2 \pi (5)}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $i_1' = 20\,A$,$i_2' = 20\,A$,$d' = 2.5\,cm$,અને $L$ એ $10\,cm$ જ રહે છે.
$F_2 = \frac{\mu_0 (20)(20) L}{2 \pi (2.5)}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{(20 \times 20) / 2.5}{(10 \times 10) / 5} = \frac{400 / 2.5}{100 / 5} = \frac{160}{20} = 8$.
તેથી,$F_2 = 8 F_1$ થાય.

$(A)$ ખોટું. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ ($\nu$) અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન ($\Phi$) બંને પર આધાર રાખે છે, જે $eV_0 = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(B)$ સાચું. સેચ્યુરેશન કરંટ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે કારણ કે તીવ્રતા ફોટોનની સંખ્યા નક્કી કરે છે, અને તેથી પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા નક્કી કરે છે.
$(C)$ ખોટું. ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે; તે પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
$(D)$ ખોટું. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરને પ્રકાશના તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી; ત્વરિત ઉત્સર્જન અને આવૃત્તિ પરની નિર્ભરતા સમજાવવા માટે આઈન્સ્ટાઈનના કણવાદ (ફોટોન મોડેલ) ની જરૂર પડે છે.

(D) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના કંપવિસ્તાર $(A_m)$ અને કેરિયર તરંગના કંપવિસ્તાર $(A_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,મોડ્યુલેટિંગ સ્ક્વેર વેવ સિગ્નલનો કંપવિસ્તાર $A_m = 1 \text{ V}$ છે.
કેરિયર તરંગ $c(t) = 2 \sin(8 \pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $c(t) = A_c \sin(\omega_c t)$ ના સ્વરૂપમાં છે. તેથી,કેરિયર તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_c = 2 \text{ V}$ છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે: ફોટોડાયોડને રિવર્સ બાયસમાં કામ કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે. રિવર્સ બાયસમાં,રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ ખૂબ જ ઓછો હોય છે અને તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પ્રત્યે અત્યંત સંવેદનશીલ હોય છે. આનાથી પ્રકાશની તીવ્રતામાં થતા નાના ફેરફારોને શોધવાનું સરળ બને છે.
કારણ $R$ સાચું છે: $p-n$ જંકશન ડાયોડ માટે,ફોરવર્ડ બાયસ પ્રવાહ રિવર્સ બાયસ પ્રવાહ કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે હોય છે કારણ કે ફોરવર્ડ બાયસમાં બેરિયરની ઊંચાઈ ઘટે છે,જેનાથી મેજોરિટી કેરિયર્સ સરળતાથી વહી શકે છે.
જોકે,કારણ $R$ એ વિધાન $A$ માટે સાચી સમજૂતી નથી. ફોટોડાયોડને રિવર્સ બાયસમાં ચલાવવાનું કારણ એ છે કે આપાત પ્રકાશને કારણે રિવર્સ કરંટમાં થતો આંશિક ફેરફાર ફોરવર્ડ કરંટની સરખામણીમાં માપવા માટે વધુ સરળ અને મોટો હોય છે,માત્ર એટલા માટે નહીં કે ફોરવર્ડ કરંટ રિવર્સ કરંટ કરતા વધારે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને પ્રસરણ સદિશ $\vec{K}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{K} \times \vec{E})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,સદિશો $\vec{E}$,$\vec{B}$ અને $\vec{K}$ એક જમણા હાથની પદ્ધતિ (right-handed system) બનાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{\omega}{K}$ હોવાથી,આપણને $B = \frac{E}{\omega/K} = \frac{K}{\omega} E$ મળે છે.
દિશા અને મૂલ્યને જોડતા,આપણને $\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{K} \times \vec{E})$ મળે છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
કેન્દ્ર પર,$x = 0$ લેતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + 0)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2r^3} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
અક્ષ પર $x = r$ અંતરે:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$
કેન્દ્ર પરના અને $r$ અંતરે આવેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.

(D) $1$. સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$R_{12} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\Omega$
$R_{45} = \frac{R_4 \times R_5}{R_4 + R_5} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4\,\Omega$
$2$. પરિપથનો કુલ અવરોધ શ્રેણી જોડાણના ઘટકોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{12} + R_3 + R_{45} + R_6 + r = 1 + 2 + 4 + 2 + 3 = 12\,\Omega$
$3$. પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24}{12} = 2\,A$
$4$. $R_4$ અને $R_5$ ધરાવતી સમાંતર શાખા માટે કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_4 = I \times \frac{R_5}{R_4 + R_5} = 2 \times \frac{5}{20 + 5} = 2 \times \frac{5}{25} = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\,A$
$I_5 = I - I_4 = 2 - \frac{2}{5} = \frac{10 - 2}{5} = \frac{8}{5}\,A$

(A) બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે કે $\tan \theta_B = \frac{\mu_2}{\mu_1}$,જ્યાં $\mu_1$ એ આપાત માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2$ એ વક્રીભવન પામતા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
હવા $(\mu_a = 1)$ થી કાચ $(\mu_g = \mu)$ માં ગતિ કરતા પ્રકાશ માટે,$\tan \theta_B = \frac{\mu}{1} = \mu$.
કાચ $(\mu_g = \mu)$ થી હવા $(\mu_a = 1)$ માં ગતિ કરતા પ્રકાશ માટે,ધારો કે બ્રુસ્ટર કોણ $\theta'_B$ છે. તો $\tan \theta'_B = \frac{\mu_a}{\mu_g} = \frac{1}{\mu} = \cot \theta_B = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta_B)$.
આમ,$\theta'_B = \frac{\pi}{2} - \theta_B$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
કાચ થી હવામાં ગતિ કરતા પ્રકાશ માટે,$\tan \theta'_B = \frac{1}{\mu_g}$ થાય. વિધાન $II$ માં તેને $\tan^{-1}(\mu_g)$ કહેવામાં આવ્યું છે,જે ખોટું છે. તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
હવામાં સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચે $d'$ સમતુલ્ય અંતરે લાગતું બળ: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$.
બળો સમાન હોવાથી $(F = F_{\text{air}})$,આપણે પદોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{K d^2} = \frac{1}{d'^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$d'^2 = K d^2 \implies d' = d \sqrt{K}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયાનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિશ્લેષણ નીચે મુજબ છે:
$1$. ${ }_{84}^{218} A \xrightarrow{\alpha} { }_{82}^{214} A_1$ (આલ્ફા ક્ષય: દળ ક્રમાંક $4$ ઘટે છે,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ ઘટે છે)
$2$. ${ }_{82}^{214} A_1 \xrightarrow{\beta^{-}} { }_{83}^{214} A_2$ (બીટા-માઈનસ ક્ષય: દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ વધે છે)
$3$. ${ }_{83}^{214} A_2 \xrightarrow{\gamma} { }_{83}^{214} A_3$ (ગામા ક્ષય: દળ કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી)
$4$. ${ }_{83}^{214} A_3 \xrightarrow{\alpha} { }_{81}^{210} A_4$ (આલ્ફા ક્ષય: દળ ક્રમાંક $4$ ઘટે છે,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ ઘટે છે)
$5$. ${ }_{81}^{210} A_4 \xrightarrow{\beta^{+}} { }_{80}^{210} A_5$ (બીટા-પ્લસ ક્ષય: દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ ઘટે છે)
$6$. ${ }_{80}^{210} A_5 \xrightarrow{\gamma} { }_{80}^{210} A_6$ (ગામા ક્ષય: દળ કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી)
આમ,અંતિમ ન્યુક્લિયસ $A_6$ નો દળ ક્રમાંક $210$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $80$ છે.

(B) લૂપની ત્રિજ્યા $r = \frac{10}{\sqrt{\pi}}\,cm = \frac{0.1}{\sqrt{\pi}}\,m$ છે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{0.1}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{0.01}{\pi} \right) = 0.01\,m^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_i = 0.5\,T$ થી બદલાઈને $B_f = 0\,T$ થાય છે,જે માટે લાગતો સમય $\Delta t = 0.5\,s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = \frac{0.5 - 0}{0.5} = 1\,T/s$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$|\varepsilon| = (0.01\,m^2) \times (1\,T/s) = 0.01\,V$ મળે છે.
મિલીવોલ્ટમાં ફેરવતા,$|\varepsilon| = 0.01 \times 1000\,mV = 10\,mV$ થાય છે.

(B) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$(A)$ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી,$h = E / \nu$ મળે. ઉર્જા $E$ નું પરિમાણ $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે અને આવૃત્તિ $\nu$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે. તેથી,$[h] = [M^1 L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M^1 L^2 T^{-1}]$. જે $III$ સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$: $E = qV$ પરથી,$V = E / q$ મળે. ઉર્જા $E$ નું પરિમાણ $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે અને વિદ્યુતભાર $q$ નું પરિમાણ $[A^1 T^1]$ છે. તેથી,$[V_s] = [M^1 L^2 T^{-2}] / [A^1 T^1] = [M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}]$. જે $IV$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ વર્ક ફંક્શન $(\phi)$: વર્ક ફંક્શન એ ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે. તેથી,$[\phi] = [M^1 L^2 T^{-2}]$. જે $I$ સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ વેગમાન $(p)$: વેગમાન $p = mv$. તેનું પરિમાણ $[M^1] \times [L^1 T^{-1}] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ છે. જે $II$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 10 \, \Omega$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 3.0 \, \text{H}$, કેપેસિટન્સ $C = 27 \, \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \, \text{F}$.
રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{3 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{9} \, \text{rad/s}$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \, \text{rad/s}$ છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{1000/9}{10/3} = \frac{1000}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{100}{3}$ છે.
આપણે ક્વોલિટી ફેક્ટર અને બેન્ડવિડ્થનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે: $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = \frac{100}{10} = 10 \, \text{s}$.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા, $\ell$ એ લંબાઈ અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
પોલા નળાકાર માટે, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(R_{outer}^2 - R_{inner}^2)$ થાય।
આપેલ છે: $\ell = 3.14 \, m$, $\rho = 2.4 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$, બાહ્ય વ્યાસ $D_{out} = 8 \, mm \implies R_{outer} = 4 \times 10^{-3} \, m$, અને આંતરિક વ્યાસ $D_{in} = 4 \, mm \implies R_{inner} = 2 \times 10^{-3} \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi((4 \times 10^{-3})^2 - (2 \times 10^{-3})^2) = \pi(16 - 4) \times 10^{-6} = 12\pi \times 10^{-6} \, m^2$.
અવરોધના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2.4 \times 10^{-8} \times 3.14}{12 \times 3.14 \times 10^{-6}}$
$R = \frac{2.4}{12} \times 10^{-2} = 0.2 \times 10^{-2} = 2 \times 10^{-3} \, \Omega$.
આને $n \times 10^{-3} \, \Omega$ સાથે સરખાવતા, $n = 2$ મળે છે।

(A) સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ $(L_1)$ માટે:
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left( -\frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( -\frac{1}{30} \right) = 0.75 \times \left( -\frac{1}{30} \right) = -\frac{0.75}{30} = -\frac{1}{40}$.
તેથી, $f_1 = -40\,cm$.
વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી, $L_1$ પર આપાત થતા કિરણો સમાંતર છે. $L_1$ માંથી પસાર થયા પછી, તેઓ $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $40\,cm$ ના અંતરેથી અપસરણ પામતા હોય તેવું લાગે છે।
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ $(L_2)$ માટે:
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 40\,cm$ છે।
$L_1$ દ્વારા રચાતું આભાસી પ્રતિબિંબ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે।
$L_2$ થી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u_2 = -(40 + 40) = -80\,cm$ છે।
$L_2$ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{30} \right) = \frac{0.75}{30} = \frac{1}{40}$.
તેથી, $f_2 = 40\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{80} = \frac{2-1}{80} = \frac{1}{80}$.
તેથી, $v_2 = 80\,cm$ ($L_2$ ની જમણી બાજુએ)।
અંતર્ગોળ લેન્સ $(L_1)$ થી અંતિમ પ્રતિબિંબ સુધીનું અંતર $x = d + v_2 = 40 + 80 = 120\,cm$ છે।

(A) ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \times (1.6 \times 10^{-27} \ kg)$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5 \times 10^{-15} A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5)^3 \times 10^{-45} A \ m^3$ છે.
ન્યુક્લિયર ઘનતાની ગણતરી કરતા: $\rho = \frac{1.6 \times 10^{-27} A}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times 3.375 \times 10^{-45} A} = \frac{1.6 \times 10^{-27}}{14.137 \times 10^{-45}} \approx 0.11317 \times 10^{18} \ kg/m^3 = 1.1317 \times 10^{17} \ kg/m^3$.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 10^3 \ kg/m^3$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\rho}{\rho_w} = \frac{1.1317 \times 10^{17}}{10^3} = 1.1317 \times 10^{14} = 11.317 \times 10^{13}$ છે.
આને $n \times 10^{13}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n \approx 11$ મળે છે.

(A) $y$-દિશામાં વીજભારિત કણોનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = (2 \times 10^{11} \text{ C/kg}) \times (1.8 \times 10^3 \text{ V/m}) = 3.6 \times 10^{14} \text{ m/s}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ લંબાઈના વિસ્તારને પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_0} = \frac{0.1}{3 \times 10^7} \text{ s}$ છે.
$y$-દિશામાં વિચલન $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.1}{3 \times 10^7}\right)^2$ છે.
$y = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.01}{9 \times 10^{14}}\right) = 0.5 \times 0.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.002 \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા અર્ધ-વલય માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda \times (\pi R)$ થાય.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ અર્ધ-વલયને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_1}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા અર્ધ-વલયને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_2}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ છે.
કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{2 \lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \epsilon_0}$ થાય.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
અહીં આપેલી ત્રણેય કણો માટે ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો સંબંધ $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ છે.
તેથી,તેમની તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$ થશે.

(A) કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ માટેની પ્રમાણિત આવૃત્તિ શ્રેણી નીચે મુજબ છે:
$1$. $AM$ બ્રોડકાસ્ટ: $540-1600\,kHz$
$2$. $FM$ બ્રોડકાસ્ટ: $88-108\,MHz$
$3$. ટેલિવિઝન: $54-890\,MHz$
$4$. સેટેલાઇટ કોમ્યુનિકેશન: $3.7-4.2\,GHz$
આ યાદીઓને જોડતા:
$A$ ($AM$ બ્રોડકાસ્ટ) એ $II$ $(540-1600\,kHz)$ સાથે જોડાય છે.
$B$ ($FM$ બ્રોડકાસ્ટ) એ $I$ $(88-108\,MHz)$ સાથે જોડાય છે.
$C$ (ટેલિવિઝન) એ $IV$ $(54-890\,MHz)$ સાથે જોડાય છે.
$D$ (સેટેલાઇટ કોમ્યુનિકેશન) એ $III$ $(3.7-4.2\,GHz)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-I, C-IV, D-III$ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચો $A_1$ અને $B_1$ સમાંતર રીતે જોડાયેલ છે. આઉટપુટ $Y$ ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ અવરોધ પર લેવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્વીચો $A_1$ અને $B_1$ ખુલ્લી હોય (લોજિક $0$),ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $+5 \text{V}$ (લોજિક $1$) સાથે જોડાયેલ હોય છે.
જ્યારે $A_1$ અથવા $B_1$ માંથી કોઈ એક બંધ હોય (લોજિક $1$),ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $+5 \text{V}$ (લોજિક $1$) પર જ રહે છે.
જ્યારે બંને સ્વીચો $A_1$ અને $B_1$ બંધ હોય (લોજિક $1$),ત્યારે સર્કિટ ગ્રાઉન્ડ સાથે શોર્ટ થાય છે અને આઉટપુટ $Y$ એ $0 \text{V}$ (લોજિક $0$) બની જાય છે.
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| $A_1$ | $B_1$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
આ સત્યતા કોષ્ટક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં $Y = \overline{A_1 \cdot B_1}$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$n = 70\,turns/cm = 70 \times 10^2\,turns/m = 7000\,turns/m$
$I = 2.0\,A$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,TmA^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (2.0)$
$B = 56000\pi \times 10^{-7}\,T$
$B = 56\pi \times 10^{-4}\,T$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$B \approx 56 \times 3.14159 \times 10^{-4}\,T$
$B \approx 175.928 \times 10^{-4}\,T \approx 176 \times 10^{-4}\,T$.

(C) ભ્રમણની અક્ષથી '$x$' અંતરે '$dx$' લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનો રેખીય વેગ '$v = \omega x$' છે.
આ નાના ઘટકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf '$d\varepsilon = Bv dx = B(\omega x) dx$' દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ પ્રેરિત emf શોધવા માટે,આપણે આ પદનું '$x = 0$' થી '$x = L$' સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\varepsilon = \int_0^L B \omega x dx$
$\varepsilon = B \omega \int_0^L x dx$
$\varepsilon = B \omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L$
$\varepsilon = \frac{1}{2} BL^2 \omega$

(B) લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે,જે કોશીના સમીકરણ (Cauchy's equation) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સફેદ પ્રકાશ વિવિધ રંગો (તરંગલંબાઈઓ) નો બનેલો હોવાથી,લેન્સમાંથી પસાર થતી વખતે દરેક રંગ અલગ-અલગ વક્રીભવનાંક અનુભવે છે.
પરિણામે,દરેક રંગ મુખ્ય અક્ષ પર અલગ-અલગ બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય છે.
આ ઘટના,જેમાં લેન્સ બધા રંગોને એક જ બિંદુ પર કેન્દ્રિત કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે,તેને વર્ણવિપથન (Chromatic aberration) કહેવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1 = 100\,\Omega$ અને $R_2 = 100\,\Omega$ છે. વોલ્ટમીટર $R_1$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
$R_1$ અને વોલ્ટમીટર $(R_v = 400\,\Omega)$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{R_1 \times R_v}{R_1 + R_v} = \frac{100 \times 400}{100 + 400} = \frac{40000}{500} = 80\,\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + R_2 = 80 + 100 = 180\,\Omega$ છે.
કોષમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{90}{180} = 0.5\,A$.
વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણ $R_p$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે,જે:
$V_{reading} = I \times R_p = 0.5 \times 80 = 40\,V$.

(A) શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,તરંગની ઝડપ $c$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ સાથે $c = \frac{\omega}{k}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
વધુમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{E_0}{B_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$c$ માટેના આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\omega B_0 = k E_0$ અથવા $k E_0 = \omega B_0$ મળે છે.

(A) ઉર્જા સ્તરો $n_i$ અને $n_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે,$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{15}{16} = 12.75 \, eV$.
ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h = 4 \times 10^{-15} \, eV \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$,તેથી $hc = 12 \times 10^{-7} \, eV \cdot m = 1200 \, eV \cdot nm$.
આમ,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1200 \, eV \cdot nm}{12.75 \, eV} \approx 94.11 \, nm$.
તેથી,તરંગલંબાઇ આશરે $94.1 \, nm$ છે.

(C) ${}^{240}X$ ના મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{120 \ g}{240 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ છે.
$0.5 \ mol$ માં પરમાણુઓની (ન્યુક્લિયસની) સંખ્યા $N = n \times N_A = 0.5 \times 6 \times 10^{23} = 3 \times 10^{23} \ \text{પરમાણુઓ}$ છે.
દરેક વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $E_{fission} = 200 \ MeV$ છે.
કુલ મુક્ત થતી ઉર્જા $E_{total} = N \times E_{fission} = (3 \times 10^{23}) \times (200 \ MeV) = 600 \times 10^{23} \ MeV = 6 \times 10^{25} \ MeV$ છે.
આમ,જવાબ $6$ છે.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 15 \, pF$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $d' = 2d$ થાય છે.
જ્યારે જગ્યામાં $K = 3.5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'} = \frac{K \epsilon_0 A}{2d}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $C = \frac{3.5}{2} \times C_0 = \frac{3.5}{2} \times 15 \, pF$ મળે છે.
$C = \frac{3.5 \times 15}{2} \, pF = \frac{52.5}{2} \, pF = \frac{105}{4} \, pF$.
આને $\frac{x}{4} \, pF$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 105$ મળે છે.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે ત્યારે કદ $V = A \times L$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $A = \frac{V}{L}$ છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
જો લંબાઈમાં $20 \% $ નો વધારો થાય,તો નવી લંબાઈ $L' = L + 0.20L = 1.2L$ થાય.
નવો અવરોધ $R' \propto (1.2L)^2 = 1.44L^2$ થાય.
તેથી,$R' = 1.44R$ મળે.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{R' - R}{R} \times 100 = \frac{1.44R - R}{R} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ છે.

(C) પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અથવા મૂલ્યમાં,$F = ILB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ લંબાઈ સદિશ $\vec{L}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$5\,cm$ બાજુ માટે,લંબાઈ $L = 5 \times 10^{-2}\,m$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.75\,T = \frac{3}{4}\,T$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$5\,cm$ બાજુ અને $13\,cm$ બાજુ (જે $\vec{B}$ ને સમાંતર છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{5}{13}$ અને $\sin \theta = \frac{12}{13}$ મળે છે.
આ કિંમતોને બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (2\,A) \times (5 \times 10^{-2}\,m) \times (0.75\,T) \times \sin \theta$
$F = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13}$
$F = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{3}{40} \times \frac{12}{13} = \frac{3 \times 3}{10 \times 13} = \frac{9}{130}\,N$.
આને $\frac{x}{130}\,N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(C) લાંબા સમય પછી,$DC$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતો તાર) તરીકે વર્તે છે.
આપેલ સર્કિટમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે:
$1$. ઉપરની શાખામાં એક ઇન્ડક્ટર $L$ અને એક અવરોધ $R$ છે. ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તતું હોવાથી,આ શાખાનો અસરકારક અવરોધ $R = 12\,\Omega$ છે.
$2$. મધ્ય શાખામાં માત્ર એક અવરોધ $R = 12\,\Omega$ છે.
$3$. નીચેની શાખામાં એક અવરોધ $R$ અને એક ઇન્ડક્ટર $L$ છે. તેવી જ રીતે,આ શાખાનો અસરકારક અવરોધ $R = 12\,\Omega$ છે.
ત્રણેય શાખાઓ સમાંતર હોવાથી અને દરેકનો અસરકારક અવરોધ $12\,\Omega$ હોવાથી,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_{eq} = \frac{R}{3} = \frac{12\,\Omega}{3} = 4\,\Omega$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12\,V}{4\,\Omega} = 3\,A$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં,$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
આપેલ છે કે $f_a = 18 \, cm$,તેથી $\frac{1}{18} = \frac{1}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $R = 18 \, cm$.
જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે,$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{2}{18} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{1}{9} \right) = (1.125 - 1) \left( \frac{1}{9} \right) = 0.125 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$.
આમ,$f_w = 72 \, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta f = f_w - f_a = 72 - 18 = 54 \, cm$ છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_1 = 20\,kV$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \lambda_0$ છે.
નવો વોલ્ટેજ $V_2 = 40\,kV$ છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{20}{40}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$ થશે.

(C) આ સિસ્ટમને શ્રેણી જોડાણમાં બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક $t = 1\,mm$ જાડાઈના ડાયલેક્ટ્રિક સાથે અને બીજું $(d - t) = 1\,mm$ જાડાઈની હવા સાથે.
શ્રેણી જોડાણમાં કેપેસિટર માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
જ્યાં $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t}$ અને $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A = 40\,cm^2 = 40 \times 10^{-4}\,m^2$
$d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$
$t = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$
$K = 5$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t}{K \varepsilon_0 A} + \frac{d - t}{\varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 \times 10^{-3}}{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}} + \frac{1 \times 10^{-3}}{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
તેથી,$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0\,F$.

(A) $LC$ ઓસિલેટર સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 2L$ અને નવું કેપેસીટન્સ $C' = 8C$ છે.
નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{16LC}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\omega = \frac{1}{4\sqrt{LC}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,તેથી $\omega = \frac{\omega_0}{4}$ થાય.
$\omega = x\omega_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(C) ન્યુક્લિયર ઘનતા એ ન્યુક્લિયસના દળ અને તેના કદનો ગુણોત્તર છે.
ધારો કે $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \cdot u$ છે,જ્યાં $u$ એ પરમાણ્વીય દળ એકમ છે.
તેથી,ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot u}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3u}{4 \pi R_0^3}$ થાય.
ન્યુક્લિયર ઘનતાનું સૂત્ર માત્ર અચળાંકો ($u$ અને $R_0$) પર આધારિત હોવાથી,તે દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,તમામ ન્યુક્લિયસની ઘનતા સમાન હોય છે.
તેથી,ઓક્સિજન ન્યુક્લિયસ અને હિલિયમ ન્યુક્લિયસની ઘનતાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) આપેલ છે:
મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_m = 5\,kHz$.
કેરિયર તરંગની આવૃત્તિ $f_c = 2\,MHz = 2000\,kHz$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,બેન્ડવિડ્થને અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ અને લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બેન્ડવિડ્થ $= (f_c + f_m) - (f_c - f_m) = 2f_m$.
કિંમતો મૂકતા:
બેન્ડવિડ્થ $= 2 \times 5\,kHz = 10\,kHz$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ઉર્જા પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\overrightarrow{S} = \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ઉર્જાનું વહન ઋણ $z$ દિશામાં છે,તેથી પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા $-\hat{k}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ની દિશા ધન $y$ દિશા એટલે કે $+\hat{j}$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{S} \propto \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$.
જ્ઞાત દિશાઓ મૂકતા: $(-\hat{k}) = (+\hat{j}) \times \overrightarrow{B}$.
એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ: $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશા ધન $x$ દિશા $(+\hat{i})$ હોવી જોઈએ.

(A) આપેલ છે:
સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર,$D = 1\,m$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 600\,nm = 600 \times 10^{-9}\,m$.
$n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન,$y_n = 5\,cm = 5 \times 10^{-2}\,m$.
શલાકાનો ક્રમ,$n = 5$.
$n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેનું સૂત્ર:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-2} = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 1}{d}$
$d$ ને કર્તા બનાવતા:
$d = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}}$
$d = 600 \times 10^{-7}\,m = 60 \times 10^{-6}\,m$
કારણ કે $1\,\mu m = 10^{-6}\,m$,તેથી:
$d = 60\,\mu m$.

(C) રૂપરેખાંકન $A$ માટે: $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર વર્તુળાકાર લૂપ અને બે સીધા તારને કારણે છે. સીધા તાર કેન્દ્ર પર $0$ ફાળો આપે છે. લૂપ $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ ફાળો આપે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો અલગ અર્થઘટન સૂચવે છે. આ વિશિષ્ટ ભૂમિતિઓ માટે બાયો-સાવર્ટના નિયમના પ્રમાણભૂત ઉપયોગો પર આધારિત:
$A$ એ $III$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} [\pi - 1]$
$B$ એ $I$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 2]$
$C$ એ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 1]$
$D$ એ $II$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$
આમ,સાચી જોડી $A-III, B-I, C-IV, D-II$ છે.

(C) ફોટોડાયોડ ખાસ કરીને પ્રકાશની તીવ્રતા શોધવા માટે રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં કામ કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે, કારણ કે રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ આપાત પ્રકાશ પ્રત્યે અત્યંત સંવેદનશીલ હોય છે. તેથી, વિધાન $A$ ખોટું છે.
$p-n$ જંકશન ડાયોડ માટે, થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ $V_0$ સુધી પહોંચ્યા પછી ફોરવર્ડ બાયસ કરંટ વોલ્ટેજ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વધે છે, જ્યારે બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી રિવર્સ બાયસ કરંટ ખૂબ જ નાનો રહે છે. આમ, $|V_z| > |V| \geq V_0$ ની શ્રેણી માટે, ફોરવર્ડ બાયસ કરંટ રિવર્સ બાયસ કરંટ કરતા નોંધપાત્ર રીતે મોટો હોય છે. તેથી, કારણ $R$ સાચું છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 1200$
સોલેનોઇડની લંબાઈ $L = 2\,m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2\,A$
સૌ પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ શોધો:
$n = \frac{N}{L} = \frac{1200}{2} = 600\,m^{-1}$
હવે,ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ ની ગણતરી કરો:
$H = nI = 600 \times 2 = 1200\,A m^{-1}$
તેથી,$H = 1.2 \times 10^3\,A m^{-1}$.

(B) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2\,A$,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 3.4\,V$,દળ $m = 8.92 \times 10^{-3}\,kg$,ઘનતા $d = 8.92 \times 10^3\,kg/m^3$,અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot m$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7\,\Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = \rho \frac{l}{A}$,જ્યાં $l$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વળી,કદ $V_{vol} = A \cdot l = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6}\,m^3$.
તેથી,$A = \frac{10^{-6}}{l}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $1.7 = \rho \frac{l}{(10^{-6}/l)} = \rho \frac{l^2}{10^{-6}}$.
$l^2 = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
તેથી,$l = \sqrt{100} = 10\,m$.

(D) કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $c$ એ $\sin c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$c = 45^{\circ}$.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = c = 45^{\circ}$.
પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin r \implies \sin r = \frac{1}{2}$.
તેથી,$r = 30^{\circ}$.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $x$ નું સૂત્ર: $x = t \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$.
$x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot \frac{0.26}{\sqrt{3}/2} = 0.26 \cdot 2 = 0.52 \, cm$.
તેથી,$x = 52 \times 10^{-2} \, cm$.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બે $4\,\Omega$ ના અવરોધો શોર્ટ-સર્કિટિંગ વાયર સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ આ અવરોધોમાંથી પસાર થશે નહીં,તેથી તેઓ પરિપથમાંથી અસરકારક રીતે દૂર થઈ જશે.
શોર્ટ થયેલા અવરોધોને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને ત્યારબાદ $2\,\Omega$ ના બે અવરોધોના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં અને અંતે $6\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં સરળ બને છે.
$2\,\Omega$ ના બે સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1\,\Omega$
હવે,ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ શ્રેણીમાં રહેલા ઘટકોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = 3\,\Omega + R_p + 6\,\Omega$
$R_{eq} = 3\,\Omega + 1\,\Omega + 6\,\Omega = 10\,\Omega$

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,સંક્રમણની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$.
$\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \ldots (i)$
કિસ્સો $2$: ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ થી બીજી કક્ષા $(n_f = 2)$.
$\frac{hc}{\lambda'} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) \ldots (ii)$
આપેલ છે કે $\lambda' = \frac{20}{x} \lambda_0$,તેથી સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{13.6 \left( \frac{5}{36} \right)}{13.6 \left( \frac{3}{16} \right)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{20}{27}$ ની સરખામણી $\frac{20}{x}$ સાથે કરતા,આપણને $x = 27$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10\,N/C$
ગતિઊર્જા $K = 0.5\,eV = 0.5 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J$
પ્લેટની લંબાઈ $L = 10\,cm = 0.1\,m$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv_x^2 = 0.5\,eV$
$v_x = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5 \times e}{m}} = \sqrt{\frac{e}{m}}$
ક્ષેત્ર પાર કરવા માટે લાગતો સમય: $t = \frac{L}{v_x}$
પ્રાપ્ત કરેલ શિરોલંબ વેગ: $v_y = a_y t = \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{L}{v_x}\right)$
વિચલનનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eE L}{m v_x^2}$
કારણ કે $K = \frac{1}{2}mv_x^2$,તેથી $mv_x^2 = 2K = 2(0.5\,eV) = 1\,eV = e\,J$
$\tan \theta = \frac{eEL}{e} = EL$
$\tan \theta = 10\,N/C \times 0.1\,m = 1$
$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે: $f = 2.0 \, kHz = 2000 \, Hz$,$C = 62.5 \, nF = 62.5 \times 10^{-9} \, F$,અને $\pi^2 = 10$.
$L$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $L = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 C}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{1}{4 \times 10 \times (2000)^2 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{40 \times 4 \times 10^6 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{160 \times 62.5 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10000 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10} = 0.1 \, H$.
$mH$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \, H = 100 \, mH$.

(A) સમતલ અરીસો હંમેશા આભાસી,ચત્તું,વસ્તુના કદ જેવડું જ અને પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમિત (laterally inverted) પ્રતિબિંબ રચે છે.
પ્રતિબિંબ આભાસી હોવાથી તે વાસ્તવિક નથી.
પ્રતિબિંબ ચત્તું હોવાથી તે શરત $B$ સંતોષે છે.
પ્રતિબિંબ સમાન કદનું હોવાથી તે શરત $C$ સંતોષતું નથી.
પ્રતિબિંબ પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમિત હોવાથી તે શરત $D$ સંતોષે છે.
તેથી,સાચી લાક્ષણિકતાઓ $B$ (ચત્તું) અને $D$ (પાર્શ્વ વ્યુત્ક્રમિત) છે.