JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है $t_r = n t_s$,इसलिए $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(C) $SHM$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
$SHM$ में एक कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
दिया गया है कि $PE = KE$,इसलिए:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
अतः,कण की स्थिति $\frac{A}{\sqrt{2}}$ होगी।

(B) कथन-$I$ का विश्लेषण: जब लिफ्ट एकसमान गति (नियत वेग) से चलती है,तो उसका त्वरण शून्य होता है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,लिफ्ट पर कुल बल शून्य होना चाहिए। इसलिए,केबल में तनाव $T$ को लिफ्ट के वजन $W$ को संतुलित करना चाहिए $(T = W)$। यह कथन सही है।
कथन-$II$ का विश्लेषण: जब लिफ्ट बढ़ती गति के साथ नीचे की ओर जाती है,तो इसमें नीचे की ओर त्वरण $a$ होता है। मान लीजिए $W = mg$ व्यक्ति का वजन है और $N$ फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है। व्यक्ति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $W - N = ma$। $m = W/g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W - N = (W/g)a$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $N = W(1 - a/g)$ मिलता है। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए अभिलंब बल $N$ वजन $W$ से कम है। अतः,कथन-$II$ गलत है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$ होता है।
पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 18 \, N$ है।
$h$ ऊँचाई पर पिंड का भार $W' = mg' = \frac{mg}{(1 + h/R_e)^2}$ होगा।
यहाँ $h = 3200 \, km$ और $R_e = 6400 \, km$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{h}{R_e} = \frac{3200}{6400} = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को भार के सूत्र में रखने पर:
$W' = \frac{18}{(1 + 0.5)^2} = \frac{18}{(1.5)^2} = \frac{18}{2.25} = 8 \, N$.

(D) तार में विस्तार (elongation) $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है।
दी गई मान हैं:
भार $F = 250\,N$
लंबाई $L = 100\,m$
क्षेत्रफल $A = 6.25 \times 10^{-4}\,m^2$
यंग मापांक $Y = 10^{10}\,N/m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta L = \frac{250 \times 100}{6.25 \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\Delta L = \frac{25000}{6.25 \times 10^6}$
$\Delta L = \frac{25000}{6250000} = 0.004\,m$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3}\,m$.

(A) अवस्था परिवर्तन के दौरान किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $P = 3 \times 10^5\,Pa$ और $\Delta V = 1600\,cm^3 = 1600 \times 10^{-6}\,m^3 = 1.6 \times 10^{-3}\,m^3$ है।
अतः,$W = (3 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-3}) = 480\,J$ है।
यह दिया गया है कि कुल दी गई ऊष्मा $(Q)$ का $10\%$ इस कार्य के लिए उपयोग किया जाता है।
इसलिए,$0.10 \times Q = 480\,J$,जिसका अर्थ है कि $Q = 4800\,J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
इस प्रकार,$\Delta U = \Delta Q - W = 4800\,J - 480\,J = 4320\,J$ है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $10\%$ ऊष्मा का उपयोग कार्य के लिए किया जाता है,इसलिए $90\%$ ऊष्मा का उपयोग आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए किया जाता है।
$\Delta U = 0.90 \times 4800\,J = 4320\,J$।

(B) माना द्रव्यमान $m_1 = 4 \, kg$,$60^{\circ}$ के ढलान पर है और $m_2 = 1 \, kg$,$30^{\circ}$ के ढलान पर है।
$4 \, kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $m_1 g \sin 60^{\circ} - T = m_1 a \implies 4 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - T = 4a \implies 20\sqrt{3} - T = 4a \dots (1)$
$1 \, kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - m_2 g \sin 30^{\circ} = m_2 a \implies T - 1 \times 10 \times \frac{1}{2} = 1a \implies T - 5 = a \dots (2)$
समीकरण $(2)$ से,$a = T - 5$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$20\sqrt{3} - T = 4(T - 5)$
$20\sqrt{3} - T = 4T - 20$
$5T = 20\sqrt{3} + 20$
$T = 4(\sqrt{3} + 1) \, N$.

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 0.05 \sin(8x - 4t)$ के साथ तुलना करने पर:
हमें तरंग संख्या $k = 8 \; m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \; rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{4}{8} = 0.5 \; m/s$।
अतः,तरंग का वेग $0.5 \; m/s$ है।

(B) कथन $I$ का विश्लेषण:
गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = -73^{\circ} C = 200 K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 527^{\circ} C = 800 K$.
चालों का अनुपात $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_{rms,2} = 2 v_{rms,1}$। इसलिए कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ का विश्लेषण:
आदर्श गैस के लिए,दाब-आयतन गुणनफल $PV = nRT$ होता है।
आदर्श गैस की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_{trans})$ का सूत्र $KE_{trans} = \frac{3}{2} nRT$ होता है।
इसलिए,$PV = \frac{2}{3} KE_{trans}$।
चूंकि $PV \neq KE_{trans}$,इसलिए कथन $II$ असत्य है।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H_{\max}$ का सूत्र $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है $H_{\max} = 136\,m$,इसलिए $\frac{v^2}{2g} = 136\,m$ है।
इससे $v^2 = 272g$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ $45^\circ$ के कोण पर प्राप्त होता है और इसका सूत्र $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$ है।
ऊँचाई के समीकरण से $v^2$ का मान रखने पर,हमें $R_{\max} = \frac{272g}{g} = 272\,m$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,चूँकि $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ और $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$,इसलिए $R_{\max} = 2H_{\max}$ होता है।
अतः,$R_{\max} = 2 \times 136\,m = 272\,m$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 5\,s$,और अंतिम गतिज ऊर्जा $K = 10000\,J$.
गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करने पर: $K = \frac{1}{2}mv^2$.
मान रखने पर: $10000 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$.
$v^2 = 10000$,जिससे $v = 100\,m/s$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$100 = 0 + a \times 5$.
$a = \frac{100}{5} = 20\,m/s^2$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करने पर:
$F = 2\,kg \times 20\,m/s^2 = 40\,N$.

(A) इस विन्यास में,ब्लॉक के विस्थापन के संबंध में दोनों स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं। जब ब्लॉक को $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो दोनों स्प्रिंग एक ही दिशा में प्रत्यानयन बल लगाती हैं।
समानांतर क्रम में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $k_1 = k_2 = 20\,N/m$ दिया गया है,इसलिए $k_{eff} = 20 + 20 = 40\,N/m$ होगा।
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का मान $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ होता है।
मान रखने पर,$\omega = \sqrt{\frac{40}{2}} = \sqrt{20}\,rad/s$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{20}} = \frac{2\pi}{2\sqrt{5}} = \frac{\pi}{\sqrt{5}}$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $T = \frac{\pi}{\sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $27^{\circ}C$ तापमान पर प्रारंभिक व्यास $d_0 = 5\,cm$ है।
जब शीट को $177^{\circ}C$ तापमान तक गर्म किया जाता है,तो तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 177^{\circ}C - 27^{\circ}C = 150^{\circ}C$ होता है।
व्यास में परिवर्तन $\Delta d$ को रेखीय प्रसार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta d = d_0 \alpha \Delta T$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta d = 5\,cm \times (1.6 \times 10^{-5} /^{\circ}C) \times 150^{\circ}C$.
$\Delta d = 5 \times 1.6 \times 150 \times 10^{-5}\,cm$.
$\Delta d = 1200 \times 10^{-5}\,cm = 12 \times 10^{-3}\,cm$.
इसकी तुलना $d \times 10^{-3}\,cm$ से करने पर,हमें $d = 12$ प्राप्त होता है।

(A) एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष $PQ$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{PQ} = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $d = 10 \, cm$ अक्षों के बीच की दूरी है।
$I_{PQ} = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $k$,जड़त्व आघूर्ण से $I_{PQ} = Mk^2$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$Mk^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
$M$ से विभाजित करने पर,हमें $k^2 = \frac{2}{5} R^2 + 100$ प्राप्त होता है।
$R = 5 \, cm$ रखने पर,$k^2 = \frac{2}{5} (5)^2 + 100 = \frac{2}{5} (25) + 100 = 10 + 100 = 110$.
इस प्रकार,$k = \sqrt{110} \, cm$.
इसकी तुलना $\sqrt{x} \, cm$ से करने पर,हमें $x = 110$ प्राप्त होता है।

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
$(a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = 0$
$2a - 3b + 4 = 0 \Rightarrow 2a - 3b = -4$
हमें दूसरा समीकरण दिया गया है: $3a + 2b = 7$।
$a$ और $b$ का मान निकालने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करें:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
दोनों को जोड़ने पर: $13a = 13 \Rightarrow a = 1$।
$a = 1$ को $3a + 2b = 7$ में रखने पर: $3(1) + 2b = 7 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2$।
अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है $x = 1$।

(C) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए जो एक दृढ़ रोटेटर के रूप में कार्य करती है,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) होती है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\gamma_1}{\gamma_2} = \frac{5/3}{7/5} = \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{25}{21}$ होगा।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$।
दिया गया है:
पृथ्वी के लिए: $T_1 = 1 \, \text{वर्ष}$,$R_1 = 1.5 \times 10^8 \, \text{km}$।
काल्पनिक ग्रह के लिए: $T_2 = 2.83 \, \text{वर्ष}$,$R_2 = ?$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
मान रखने पर:
$\left(\frac{2.83}{1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
चूंकि $2.83 \approx \sqrt{8}$,इसलिए $(2.83)^2 \approx 8$:
$8 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$2 = \frac{R_2}{1.5 \times 10^8}$
$R_2 = 2 \times 1.5 \times 10^8 = 3 \times 10^8 \, \text{km}$।
अतः,दूरी $3 \times 10^8 \, \text{km}$ है।

(C) कथन $I$ सही है: सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ द्वारा दिया जाता है,जो $h$ बढ़ने पर घटता है। सतह से $d$ गहराई पर यह $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है,जो $d$ बढ़ने पर घटता है।
कथन $II$ गलत है: ऊँचाई $h$ और गहराई $d$ जहाँ $h = d$ है,के लिए मान $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ और $g_d = g(1 - h/R)$ हैं। छोटे $h$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर,$g_h \approx g(1 - 2h/R)$,जबकि $g_d = g(1 - h/R)$। चूँकि $(1 - 2h/R) \neq (1 - h/R)$,इसलिए मान समान नहीं हैं।

(A) आवृत्ति $(v)$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ है।
त्रिज्या $(r)$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र $[ML^{-3}]$ है।
पृष्ठ तनाव $(s)$ का विमीय सूत्र $[MT^{-2}]$ है।
दिया गया संबंध: $v = r^{a} \rho^{b} s^{c}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M^{0}L^{0}T^{-1}] = [L]^{a} [ML^{-3}]^{b} [MT^{-2}]^{c}$.
$[M^{0}L^{0}T^{-1}] = M^{b+c} L^{a-3b} T^{-2c}$.
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-2c = -1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.
$M$ के लिए: $b + c = 0 \Rightarrow b = -c = -\frac{1}{2}$.
$L$ के लिए: $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b = 3(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
अतः,$a, b$ और $c$ के मान क्रमशः $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं।

(D) विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों का बीजगणितीय योग है।
क्षेत्रफल $1$ ($0$ से $2\,s$): $2 \times 8 = 16\,m$
क्षेत्रफल $2$ ($2$ से $4\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
क्षेत्रफल $3$ ($4$ से $8\,s$): $4 \times 4 = 16\,m$
क्षेत्रफल $4$ ($8$ से $10\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
विस्थापन $= 16 - 8 + 16 - 8 = 16\,m$
दूरी क्षेत्रफलों के परिमाणों का योग है।
दूरी $= |16| + |-8| + |16| + |-8| = 16 + 8 + 16 + 8 = 48\,m$
विस्थापन और दूरी का अनुपात $= \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$ या $1: 3$.

(C) निर्माण में स्टील का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसमें उच्च तन्यता शक्ति (tensile strength) और उच्च प्रत्यास्थता सीमा होती है।
प्रत्यास्थता को विरूपक बल को हटाने के बाद किसी सामग्री की अपने मूल आकार में वापस आने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है।
स्टील रबर जैसी कई अन्य सामग्रियों की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ है क्योंकि समान विकृति (strain) उत्पन्न करने के लिए इसे बहुत अधिक बल की आवश्यकता होती है,और इसकी प्रत्यास्थता सीमा अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि यह स्थायी विरूपण के बिना महत्वपूर्ण तनाव का सामना कर सकता है।
इसलिए,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण यह सही व्याख्या प्रदान करता है कि निर्माण में स्टील को क्यों प्राथमिकता दी जाती है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे हम माउंट एवरेस्ट (अधिक ऊंचाई) पर जाते हैं,$g$ का मान कम हो जाता है।
चूंकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$,इसलिए $g$ में कमी होने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
आवर्तकाल में वृद्धि का अर्थ है कि घड़ी एक दोलन पूरा करने में अधिक समय लेती है,जिसका अर्थ है कि घड़ी धीमी हो जाती है,तेज नहीं।
इसलिए,अभिकथन $A$ गलत है।
ऊंचाई $h$ पर $g$ का मान $g' = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ होता है,जो वास्तव में सतह पर $g$ से कम होता है। अतः,कारण $R$ सही है।
इस प्रकार,$A$ गलत है लेकिन $R$ सही है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P-V$ ग्राफ एक आयताकार हाइपरबोला होता है जो समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर दबाव के लिए,$V \propto T$ होता है।
यदि हम वक्रों पर एक क्षैतिज रेखा (समदाबी रेखा) खींचते हैं,तो जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,आयतन $V$ बढ़ता है।
इसलिए,एक निश्चित दबाव के लिए,सबसे अधिक तापमान वाला वक्र सबसे बड़ा आयतन रखेगा।
चूंकि $T_3 > T_2 > T_1$ है,इसलिए $T_3$ के अनुरूप वक्र मूल बिंदु से सबसे दूर होगा,उसके बाद $T_2$ और फिर $T_1$ होगा।
विकल्पों को देखने पर,$214352-a$ में दिया गया ग्राफ सही ढंग से दर्शाता है कि $T_3$ सबसे बाहरी वक्र है और $T_1$ सबसे आंतरिक वक्र है।

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
दिया गया है $\vec{P} = \hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}$ और $\vec{Q} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}$.
अदिश गुणनफल लेने पर:
$(\hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}) = 0$
$(1)(4) + (2m)(-2) + (m)(m) = 0$
$4 - 4m + m^2 = 0$
यह एक द्विघात समीकरण है जिसे $(m - 2)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$m = 2$.

(C) मान लीजिए कि बेलन के पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
मूल बेलन का द्रव्यमान $m_1 = \rho \cdot \pi R^2 L$ है।
अपने अक्ष के परितः मूल बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} m_1 R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ है।
काटे गए बेलन का द्रव्यमान $m_2 = \rho \cdot \pi (R')^2 L' = \rho \cdot \pi (\frac{R}{2})^2 (\frac{L}{2}) = \rho \cdot \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L$ है।
अपने अक्ष के परितः काटे गए बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} m_2 (R')^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \rho \pi R^2 L) (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{1}{64} \rho \pi R^4 L$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} \rho \pi R^4 L}{\frac{1}{64} \rho \pi R^4 L} = \frac{64}{2} = 32$ है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,द्रव्यमान $m$ के लिए $T = 1\; s$,इसलिए $1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
जब द्रव्यमान को $3\; kg$ बढ़ाया जाता है,तो नया द्रव्यमान $(m + 3)\; kg$ हो जाता है और नया आवर्तकाल $T' = 1 + 1 = 2\; s$ हो जाता है।
अतः,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m + 3}{k}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T}{T'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{(m+3)/k}} = \frac{1}{2}$.
इसे सरल करने पर $\sqrt{\frac{m}{m+3}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{m}{m+3} = \frac{1}{4}$.
तिर्यक गुणा करने पर $4m = m + 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3m = 3$.
अतः,$m = 1\; kg$.

(C) दिया गया बल: $\vec{F} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j} \ N$ और द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$।
चूँकि $m = 1 \ kg$ है,$\frac{d\vec{v}}{dt} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर ($t=0$ पर प्रारंभिक वेग शून्य मानते हुए): $\vec{v} = \int (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$।
शक्ति $P$,बल और वेग का अदिश गुणनफल है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
$P = (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) = \frac{t^3}{2} + 3t^5$।
$t = 2 \ s$ पर,$P = \frac{2^3}{2} + 3(2^5) = \frac{8}{2} + 3(32) = 4 + 96 = 100 \ W$।

(C) जब गेंद टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है,तो उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
अतः,श्यान बल $F_v$ गेंद के प्रभावी भार के बराबर होता है।
$F_v = W - F_B = V(\sigma - \rho)g$
जहाँ $V$ गोले का आयतन है,$\sigma$ गेंद का घनत्व है,और $\rho$ द्रव का घनत्व है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (10^{-3} \ m)^3 = \frac{88}{21} \times 10^{-9} \ m^3$.
घनत्व का अंतर $(\sigma - \rho) = (10.5 - 1.5) \ g/cc = 9 \ g/cc = 9000 \ kg/m^3$.
$F_v = \left( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 10^{-9} \right) \times 9000 \times 9.8 = 36960 \times 10^{-9} = 3696 \times 10^{-8} \ N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x=7$ सही उत्तर है।

(C) निकाय के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी बिंदु $C$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि केबल $AB$ में तनाव $T$ है। तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \sin(30^\circ)$ है।
छड़ एक समान है,इसलिए इसका भार $(2\,kg \times 10\,m/s^2 = 20\,N)$ इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $C$ से $50\,cm$ की दूरी पर है।
लटकी हुई वस्तु का भार $(8\,kg \times 10\,m/s^2 = 80\,N)$ सिरे $D$ पर कार्य करता है,जो $C$ से $100\,cm$ की दूरी पर है।
केबल बिंदु $B$ पर जुड़ी हुई है,जो $C$ से $60\,cm$ की दूरी पर है।
$C$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\sum \tau_C = 0$
$(T \sin(30^\circ)) \times 60\,cm = (20\,N \times 50\,cm) + (80\,N \times 100\,cm)$
$T \times 0.5 \times 60 = 1000 + 8000$
$30T = 9000$
$T = 300\,N$

(B) प्रारंभ में,दक्षता $\eta_1 = 50\,\% = 0.5$ है। स्रोत का तापमान $T_1 = 600\,K$ है।
कार्नो दक्षता सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{600}$
$\frac{T_2}{600} = 0.5$
$T_2 = 300\,K$ (यह सिंक का तापमान है)।
अब,दक्षता को बढ़ाकर $\eta_2 = 70\,\% = 0.7$ कर दिया जाता है,जबकि सिंक का तापमान $T_2 = 300\,K$ समान रहता है। मान लीजिए कि स्रोत का नया तापमान $T_1'$ है।
पुनः सूत्र का उपयोग करने पर:
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'}$
$\frac{300}{T_1'} = 1 - 0.7 = 0.3$
$T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000\,K$.

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ है।
$h = R$ रखने पर,हमें $g' = \frac{g}{(1 + R/R)^2} = \frac{g}{(2)^2} = \frac{g}{4}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ है $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2T$।
यह दिया गया है कि नया आवर्तकाल $xT$ है,इसलिए $xT = 2T$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(B) जब कोई कण पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर होता है, तो उस पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे $F = -\frac{GMm}{R^3}x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F = ma$, त्वरण $a = -\frac{GM}{R^3}x$ द्वारा दिया जाता है।
संबंध $g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करके, हम त्वरण को $a = -\frac{g}{R}x$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = \frac{g}{R}$ प्राप्त होता है, या $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = 6400 \, km = 6400 \times 10^3 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$।
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{640000} = 2 \times 3.14 \times 800 \, s$।
$T = 5024 \, s$।
मिनटों में बदलने पर: $T = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{मिनट}$, जो लगभग $1$ घंटा और $24$ मिनट है।

(D) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी = $x + x = 2x$.
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_1 = \frac{x}{v_1}$.
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_2 = \frac{x}{v_2}$.
कुल समय = $t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2x}{x \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right)} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_{RMS}$ परम ताप के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होता है:
$V_{RMS} \propto \sqrt{T}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

$(A)$ $\text{पृष्ठ तनाव}$ $= \frac{F}{l} = \frac{MLT^{-2}}{L} = MT^{-2} = kg s^{-2}$ $(IV)$.
$(B)$ $\text{दाब}$ $= \frac{F}{A} = \frac{MLT^{-2}}{L^2} = ML^{-1}T^{-2} = kg m^{-1} s^{-2}$ $(III)$.
$(C)$ $\text{श्यानता}$ $= \frac{F}{A(\frac{dv}{dz})} = \frac{MLT^{-2}}{L^2(\frac{LT^{-1}}{L})} = ML^{-1}T^{-1} = kg m^{-1} s^{-1}$ $(I)$.
$(D)$ $\text{आवेग}$ $= F \times \Delta t = MLT^{-2} \times T = MLT^{-1} = kg m s^{-1}$ $(II)$.
अतः, सही मिलान $(A)-(IV), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(II)$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -K(T - T_0)$.
तापमान में छोटे परिवर्तनों के लिए,हम औसत तापमान का उपयोग करते हैं: $\frac{T_1 - T_2}{\Delta t} = K(T_{avg} - T_0)$.
स्थिति $1$: $\frac{98 - 86}{2} = K\left(\frac{98 + 86}{2} - 22\right) \implies 6 = K(92 - 22) \implies 6 = K(70) \implies K = \frac{6}{70}$.
स्थिति $2$: $\frac{75 - 69}{\Delta t} = K\left(\frac{75 + 69}{2} - 22\right) \implies \frac{6}{\Delta t} = K(72 - 22) \implies \frac{6}{\Delta t} = K(50)$.
दूसरे समीकरण में $K = \frac{6}{70}$ रखने पर: $\frac{6}{\Delta t} = \frac{6}{70} \times 50$.
$\frac{1}{\Delta t} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \implies \Delta t = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ मिनट}$.

(C) कार के अजड़त्वीय फ्रेम में,बॉब पर क्षैतिज रूप से बाहर की ओर एक अपकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ कार्य करता है।
मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी के अनुदिश तनाव $T$ ।
$2$. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ ।
$3$. क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला अपकेंद्री बल $\frac{mv^2}{R}$ ।
कार के फ्रेम में संतुलन के लिए:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर संतुलन)
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (क्षैतिज संतुलन)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
दिए गए मान $v = 20\,m/s$,$R = 40\,m$,और $g = 10\,m/s^2$ रखने पर:
$\tan \theta = \frac{20^2}{40 \times 10} = \frac{400}{400} = 1$
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(D) ग्राफ से,विस्तार-भार वक्र की ढाल (slope) $\tan(45^{\circ}) = 1$ है।
अतः,$\frac{\Delta L}{F} = 1\,m/N$ है।
यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\Delta L$ विस्तार है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$Y = \frac{L}{A} \times \frac{F}{\Delta L} = \frac{L}{A} \times \frac{1}{1} = \frac{L}{A}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 62.8\,cm = 0.628\,m$ और व्यास $d = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$ है।
त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3}\,m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6}\,m^2$ है।
मान रखने पर: $Y = \frac{0.628}{12.56 \times 10^{-6}} = \frac{628000}{12.56} = 50000 = 5 \times 10^4\,N/m^2$ है।
इसे $x \times 10^4\,N/m^2$ के साथ तुलना करने पर,$x = 5$ प्राप्त होता है।

(D) बल $F$ का क्षैतिज घटक वस्तु में त्वरण उत्पन्न करता है।
$F \cos \theta = ma$
चूंकि $a = v \frac{dv}{dx}$,इसलिए:
$F \cos \theta = m v \frac{dv}{dx}$
$2 \cos (kx) = m v \frac{dv}{dx}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $x$ तक और $v$ के सापेक्ष $0$ से $v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^v m v \, dv = \int_0^x 2 \cos (kx) \, dx$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{2}{k} [\sin (kx)]_0^x$
चूंकि गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ और $\theta = kx$ है:
$K.E. = \frac{2}{k} \sin \theta$
इसे दिए गए व्यंजक $E = \frac{n}{k} \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ होता है,जहाँ $d$ अक्षों के बीच की दूरी है।
यहाँ,$d = \frac{2}{3}R$ है।
अतः,$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2}{3}R\right)^2$.
$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4}{9}R^2\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right)MR^2 = \left(\frac{9+8}{18}\right)MR^2 = \frac{17}{18}MR^2$.
अब,अनुपात $\frac{I_{AB}}{I_{CM}} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$.
चूंकि अनुपात $x:9$ दिया गया है,इसलिए $x = 17$ है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
यहाँ $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन और $\Delta x = 6.0\,m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 6$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 2 \times 6 \times 3 = 36\,m$.
तरंग का वेग $V = f \lambda$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f = 500\,Hz$ दी गई है,इसलिए $V = 500\,Hz \times 36\,m = 18000\,m/s$.
इसे $km/s$ में बदलने पर: $V = \frac{18000}{1000}\,km/s = 18\,km/s$.

(D) सबसे पहले,सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & \sqrt{3} & 2.5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(\sqrt{3} \times 2.5 - 2 \times \sqrt{3}) - \hat{j}(3 \times 2.5 - 2 \times 4) + \hat{k}(3 \times \sqrt{3} - 4 \times \sqrt{3})$
$= 0.5\sqrt{3}\hat{i} + 0.5\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3} = \sqrt{4} = 2$ है।
इकाई सदिश = $\frac{\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}}{|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}|} = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}) = \frac{1}{4}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j} - 2\sqrt{3}\hat{k})$।
इसकी तुलना करने पर,$x = 4$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. यंग मापांक $(Y) = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{[MLT^{-2}]/[L^2]}{[1]} = [ML^{-1}T^{-2}]$। अतः,$(A)-(III)$।
$2$. श्यानता गुणांक $(\eta)$: स्टोक्स के नियम से,$F = 6\pi\eta rv$,इसलिए $\eta = \frac{F}{6\pi rv} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$। अतः,$(B)-(I)$।
$3$. प्लांक नियतांक $(h)$: $E = h\nu$ से,$h = \frac{E}{\nu} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$। अतः,$(C)-(II)$।
$4$. कार्य फलन $(\phi)$: यह ऊर्जा का एक रूप है,इसलिए $[\phi] = [ML^2T^{-2}]$। अतः,$(D)-(IV)$।
अतः,सही मिलान $(A)-(III), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(IV)$ है।

(D) द्विपरमाणुक गैस के अणुओं में $3$ स्थानांतरण (translational) स्वतंत्रता की कोटि और $2$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि होती है।
यह दिया गया है कि अणु में एक अतिरिक्त कंपन विधा (vibrational mode) है।
प्रत्येक कंपन विधा $2$ स्वतंत्रता की कोटि का योगदान देती है (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए)।
अतः, स्वतंत्रता की कुल कोटि $f = 3$ (translational) $+ 2$ (rotational) $+ 2$ (vibrational) $= 7$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{fR}{2}$ है।
$f = 7$ रखने पर, हमें $C_V = \frac{7R}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दो तापमान पैमानों के बीच रूपांतरण के लिए सामान्य सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\text{पैमाने पर रीडिंग} - \text{निचला निश्चित बिंदु}}{\text{ऊपरी निश्चित बिंदु} - \text{निचला निश्चित बिंदु}} = \text{स्थिरांक}$
ग्राफ से,पैमाने $P$ के लिए,निचला निश्चित बिंदु $30$ है और ऊपरी निश्चित बिंदु $180$ है (क्योंकि $180 - 30 = 150$ भाग)।
पैमाने $Q$ के लिए,निचला निश्चित बिंदु $0$ है और ऊपरी निश्चित बिंदु $100$ है (क्योंकि $100 - 0 = 100$ भाग)।
सूत्र लागू करने पर:
$\frac{t_P - 30}{180 - 30} = \frac{t_Q - 0}{100 - 0}$
व्यंजक को सरल बनाने पर:
$\frac{t_P - 30}{150} = \frac{t_Q}{100}$

(A) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और घर्षण गुणांक $\mu$ है।
स्थिति $1$: ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1$ है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_1$ (ऊपर की ओर),$mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) हैं।
$F_1 = mg \sin 45^{\circ} + \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu)$
स्थिति $2$: ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2$ है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_2$ (ऊपर की ओर),$mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (ऊपर की ओर) हैं।
$F_2 = mg \sin 45^{\circ} - \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$
दिया गया है कि $F_1 = 2 F_2$,इसलिए:
$\frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu) = 2 \left[ \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \right]$
$1 + \mu = 2(1 - \mu)$
$1 + \mu = 2 - 2\mu$
$3\mu = 1$
$\mu = \frac{1}{3} \approx 0.33$

(D) सरल आवर्त गति में कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण को $x = 0$ से $x = A/2$ तक जाने में लगा समय $t_1 = 2 \, s$ है:
$A/2 = A \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = 1/2 \implies \omega t_1 = \pi/6$.
अतः,$\omega(2) = \pi/6 \implies \omega = \pi/12 \, rad/s$.
कण को $x = A/2$ से $x = A$ तक जाने में लगा समय $t_2$ है:
$x = A/2$ पर,कला $\phi_1 = \pi/6$ है।
$x = A$ पर,कला $\phi_2 = \pi/2$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \pi/2 - \pi/6 = \pi/3$ है।
चूंकि $\Delta \phi = \omega t_2$,इसलिए $\pi/3 = (\pi/12) t_2$.
$t_2$ के लिए हल करने पर,हमें $t_2 = (\pi/3) \times (12/\pi) = 4 \, s$ प्राप्त होता है।

(B) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
समतापीय प्रक्रम के लिए, तापमान $T$ स्थिर रहता है, इसलिए $\Delta T = 0$, जिसका अर्थ है $\Delta U = 0$। अतः, $A \longrightarrow II$।
रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए, ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, इसलिए $\Delta U = -\Delta W$। यदि गैस द्वारा कार्य किया जाता है, तो $\Delta W > 0$, इसलिए $\Delta U < 0$, जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा कम हो जाती है। अतः, $B \longrightarrow I$।
समआयतनिक प्रक्रम के लिए, आयतन $V$ स्थिर रहता है, इसलिए $\Delta V = 0$। चूंकि कार्य $\Delta W = P \Delta V$ होता है, इसलिए गैस पर या गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः, $C \longrightarrow IV$।
समदाबी प्रक्रम के लिए, दबाव $P$ स्थिर रहता है। अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ का उपयोग आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ को बढ़ाने और कार्य $\Delta W = P \Delta V$ करने के लिए किया जाता है। अतः, $D \longrightarrow III$।
इसलिए, सही मिलान $A-II, B-I, C-IV, D-III$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान के पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GM_e m}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर $(r = R_e)$ प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ है।
$h = 2R_e$ ऊँचाई पर $(r = R_e + h = 3R_e)$ अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GM_e m}{3R_e}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{GM_e m}{3R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e}) = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GM_e m}{R_e}$.
चूँकि $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,इसलिए $GM_e = gR_e^2$ है।
इस मान को रखने पर: $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR_e^2)m}{R_e} = \frac{2}{3} mgR_e$.

(A) कण की स्थिति $x = 4t^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन (differentiation) करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t$.
अब,दिए गए समय $t = 5 \, s$ को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = 8 \times 5 = 40 \, ms^{-1}$.
अतः,$t = 5 \, s$ पर कण का वेग $40 \, ms^{-1}$ है।

(A) $i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित $L$ लंबाई के दो समानांतर तारों के बीच चुंबकीय बल $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2 L}{2 \pi d}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $F_1 = \frac{\mu_0 (10)(10) L}{2 \pi (5)}$.
दूसरी स्थिति के लिए: $i_1' = 20\,A$,$i_2' = 20\,A$,$d' = 2.5\,cm$,और $L$ का मान $10\,cm$ ही रहता है।
$F_2 = \frac{\mu_0 (20)(20) L}{2 \pi (2.5)}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{(20 \times 20) / 2.5}{(10 \times 10) / 5} = \frac{400 / 2.5}{100 / 5} = \frac{160}{20} = 8$.
अतः,$F_2 = 8 F_1$ होगा।

$(A)$ गलत। निरोधी विभव $(V_0)$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति ($\nu$) और धातु के कार्य फलन ($\Phi$) दोनों पर निर्भर करता है, जो $eV_0 = h\nu - \Phi$ द्वारा दिया जाता है।
$(B)$ सही। संतृप्ति धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है क्योंकि तीव्रता फोटॉनों की संख्या निर्धारित करती है, और इस प्रकार प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या निर्धारित करती है।
$(C)$ गलत। फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है; यह प्रकाश की तीव्रता से स्वतंत्र है।
$(D)$ गलत। प्रकाशवैद्युत प्रभाव को प्रकाश के तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है; तात्कालिक उत्सर्जन और आवृत्ति पर निर्भरता को समझाने के लिए आइंस्टीन के कण सिद्धांत (फोटॉन मॉडल) की आवश्यकता होती है।

(D) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के आयाम $(A_m)$ और वाहक तरंग के आयाम $(A_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए चित्र से,मॉड्यूलेटिंग स्क्वायर वेव सिग्नल का आयाम $A_m = 1 \text{ V}$ है।
वाहक तरंग $c(t) = 2 \sin(8 \pi t)$ द्वारा दी गई है,जो $c(t) = A_c \sin(\omega_c t)$ के रूप में है। अतः,वाहक तरंग का आयाम $A_c = 2 \text{ V}$ है।
मॉड्यूलेशन इंडेक्स की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) अभिकथन $A$ सही है: फोटोडायोड को रिवर्स बायस में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। रिवर्स बायस में,रिवर्स सैचुरेशन करंट बहुत कम होता है और यह आपतित प्रकाश की तीव्रता के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होता है। इससे प्रकाश की तीव्रता में छोटे बदलावों का पता लगाना आसान हो जाता है।
कारण $R$ सही है: $p-n$ जंक्शन डायोड के लिए,फॉरवर्ड बायस धारा रिवर्स बायस धारा से काफी अधिक होती है क्योंकि फॉरवर्ड बायस में बैरियर की ऊंचाई कम हो जाती है,जिससे बहुसंख्यक वाहक (majority carriers) आसानी से प्रवाहित हो सकते हैं।
हालाँकि,कारण $R$,अभिकथन $A$ की सही व्याख्या नहीं है। फोटोडायोड को रिवर्स बायस में संचालित करने का कारण यह है कि आपतित प्रकाश के कारण रिवर्स करंट में होने वाला आंशिक परिवर्तन,फॉरवर्ड करंट की तुलना में मापने के लिए बहुत अधिक और आसान होता है,न कि केवल इसलिए कि फॉरवर्ड करंट रिवर्स करंट से अधिक होता है।

(A) विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,चुम्बकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और संचरण सदिश $\vec{K}$ के बीच का संबंध $\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{K} \times \vec{E})$ द्वारा दिया जाता है।
एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में,सदिश $\vec{E}$,$\vec{B}$ और $\vec{K}$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं।
चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण विद्युत क्षेत्र से $B = \frac{E}{c}$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि प्रकाश की गति $c = \frac{\omega}{K}$ है,इसलिए हमें $B = \frac{E}{\omega/K} = \frac{K}{\omega} E$ प्राप्त होता है।
दिशा और परिमाण को संयोजित करने पर,हमें $\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{K} \times \vec{E})$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र:
$B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
केंद्र पर,$x = 0$ रखने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + 0)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2r^3} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
अक्ष पर $x = r$ दूरी पर:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$
केंद्र पर और $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(D) $1$. सबसे पहले,समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{12} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\Omega$
$R_{45} = \frac{R_4 \times R_5}{R_4 + R_5} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4\,\Omega$
$2$. परिपथ का कुल प्रतिरोध श्रेणी घटकों का योग है:
$R_{eq} = R_{12} + R_3 + R_{45} + R_6 + r = 1 + 2 + 4 + 2 + 3 = 12\,\Omega$
$3$. परिपथ से बहने वाली कुल धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24}{12} = 2\,A$
$4$. $R_4$ और $R_5$ वाली समानांतर शाखा के लिए धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए:
$I_4 = I \times \frac{R_5}{R_4 + R_5} = 2 \times \frac{5}{20 + 5} = 2 \times \frac{5}{25} = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\,A$
$I_5 = I - I_4 = 2 - \frac{2}{5} = \frac{10 - 2}{5} = \frac{8}{5}\,A$

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि $\tan \theta_B = \frac{\mu_2}{\mu_1}$,जहाँ $\mu_1$ आपतित माध्यम का अपवर्तनांक है और $\mu_2$ अपवर्तक माध्यम का अपवर्तनांक है।
हवा $(\mu_a = 1)$ से कांच $(\mu_g = \mu)$ में गमन करने वाले प्रकाश के लिए,$\tan \theta_B = \frac{\mu}{1} = \mu$.
कांच $(\mu_g = \mu)$ से हवा $(\mu_a = 1)$ में गमन करने वाले प्रकाश के लिए,मान लीजिए ब्रूस्टर कोण $\theta'_B$ है। तब $\tan \theta'_B = \frac{\mu_a}{\mu_g} = \frac{1}{\mu} = \cot \theta_B = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta_B)$.
अतः,$\theta'_B = \frac{\pi}{2} - \theta_B$. इसलिए कथन $I$ सत्य है।
कांच से हवा में गमन करने वाले प्रकाश के लिए,$\tan \theta'_B = \frac{1}{\mu_g}$ होता है। कथन $II$ में इसे $\tan^{-1}(\mu_g)$ कहा गया है,जो गलत है। इसलिए कथन $II$ असत्य है।

(A) $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में दो आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ है।
हवा में समान आवेशों के बीच $d'$ समतुल्य दूरी पर बल: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$ है।
चूंकि बल समान हैं $(F = F_{\text{air}})$,हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$।
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{K d^2} = \frac{1}{d'^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$d'^2 = K d^2 \implies d' = d \sqrt{K}$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया का चरण-दर-चरण विश्लेषण इस प्रकार है:
$1$. ${ }_{84}^{218} A \xrightarrow{\alpha} { }_{82}^{214} A_1$ (अल्फा क्षय: द्रव्यमान संख्या $4$ कम हो जाती है,परमाणु संख्या $2$ कम हो जाती है)
$2$. ${ }_{82}^{214} A_1 \xrightarrow{\beta^{-}} { }_{83}^{214} A_2$ (बीटा-माइनस क्षय: द्रव्यमान संख्या समान रहती है,परमाणु संख्या $1$ बढ़ जाती है)
$3$. ${ }_{83}^{214} A_2 \xrightarrow{\gamma} { }_{83}^{214} A_3$ (गामा क्षय: द्रव्यमान या परमाणु संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता)
$4$. ${ }_{83}^{214} A_3 \xrightarrow{\alpha} { }_{81}^{210} A_4$ (अल्फा क्षय: द्रव्यमान संख्या $4$ कम हो जाती है,परमाणु संख्या $2$ कम हो जाती है)
$5$. ${ }_{81}^{210} A_4 \xrightarrow{\beta^{+}} { }_{80}^{210} A_5$ (बीटा-प्लस क्षय: द्रव्यमान संख्या समान रहती है,परमाणु संख्या $1$ कम हो जाती है)
$6$. ${ }_{80}^{210} A_5 \xrightarrow{\gamma} { }_{80}^{210} A_6$ (गामा क्षय: द्रव्यमान या परमाणु संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता)
इस प्रकार,अंतिम नाभिक $A_6$ की द्रव्यमान संख्या $210$ और परमाणु संख्या $80$ है।

(B) लूप की त्रिज्या $r = \frac{10}{\sqrt{\pi}}\,cm = \frac{0.1}{\sqrt{\pi}}\,m$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{0.1}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{0.01}{\pi} \right) = 0.01\,m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B_i = 0.5\,T$ से बदलकर $B_f = 0\,T$ हो जाता है,जिसके लिए समय $\Delta t = 0.5\,s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = \frac{0.5 - 0}{0.5} = 1\,T/s$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ है।
मान रखने पर,$|\varepsilon| = (0.01\,m^2) \times (1\,T/s) = 0.01\,V$ प्राप्त होता है।
मिलीवोल्ट में बदलने पर,$|\varepsilon| = 0.01 \times 1000\,mV = 10\,mV$ होता है।

(B) विमीय सूत्र इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:
$(A)$ प्लांक नियतांक $(h)$: $E = h\nu$ से,$h = E / \nu$ प्राप्त होता है। ऊर्जा $E$ की विमा $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है और आवृत्ति $\nu$ की विमा $[T^{-1}]$ है। अतः,$[h] = [M^1 L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M^1 L^2 T^{-1}]$। यह $III$ से मेल खाता है।
$(B)$ निरोधी विभव $(V_s)$: $E = qV$ से,$V = E / q$ प्राप्त होता है। ऊर्जा $E$ की विमा $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है और आवेश $q$ की विमा $[A^1 T^1]$ है। अतः,$[V_s] = [M^1 L^2 T^{-2}] / [A^1 T^1] = [M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}]$। यह $IV$ से मेल खाता है।
$(C)$ कार्य फलन $(\phi)$: कार्य फलन ऊर्जा का ही एक रूप है। अतः,$[\phi] = [M^1 L^2 T^{-2}]$। यह $I$ से मेल खाता है।
$(D)$ संवेग $(p)$: संवेग $p = mv$ होता है। इसकी विमा $[M^1] \times [L^1 T^{-1}] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ है। यह $II$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$, प्रेरकत्व $L = 3.0 \, \text{H}$, धारिता $C = 27 \, \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \, \text{F}$।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{3 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{9} \, \text{rad/s}$ है।
बैंडविड्थ $\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \, \text{rad/s}$ है।
गुणवत्ता कारक $Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{1000/9}{10/3} = \frac{1000}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{100}{3}$ है।
हमें गुणवत्ता कारक और बैंडविड्थ का अनुपात ज्ञात करना है: $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = \frac{100}{10} = 10 \, \text{s}$।

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने का सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $\ell$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
खोखले बेलन के लिए, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi(R_{outer}^2 - R_{inner}^2)$ होता है।
दिया गया है: $\ell = 3.14 \, m$, $\rho = 2.4 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$, बाहरी व्यास $D_{out} = 8 \, mm \implies R_{outer} = 4 \times 10^{-3} \, m$, और आंतरिक व्यास $D_{in} = 4 \, mm \implies R_{inner} = 2 \times 10^{-3} \, m$.
क्षेत्रफल $A = \pi((4 \times 10^{-3})^2 - (2 \times 10^{-3})^2) = \pi(16 - 4) \times 10^{-6} = 12\pi \times 10^{-6} \, m^2$.
प्रतिरोध के सूत्र में मान रखने पर:
$R = \frac{2.4 \times 10^{-8} \times 3.14}{12 \times 3.14 \times 10^{-6}}$
$R = \frac{2.4}{12} \times 10^{-2} = 0.2 \times 10^{-2} = 2 \times 10^{-3} \, \Omega$.
इसे $n \times 10^{-3} \, \Omega$ के साथ तुलना करने पर, $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) समतल-अवतल लेंस $(L_1)$ के लिए:
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left( -\frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( -\frac{1}{30} \right) = 0.75 \times \left( -\frac{1}{30} \right) = -\frac{0.75}{30} = -\frac{1}{40}$.
अतः, $f_1 = -40\,cm$.
चूंकि वस्तु अनंत पर है, $L_1$ पर आपतित किरणें समानांतर हैं। $L_1$ से गुजरने के बाद, वे $L_1$ के बाईं ओर $40\,cm$ की दूरी से अपसरित होती हुई प्रतीत होती हैं।
समतल-उत्तल लेंस $(L_2)$ के लिए:
लेंसों के बीच की दूरी $d = 40\,cm$ है।
$L_1$ द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब $L_2$ के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$L_2$ से इस आभासी वस्तु की दूरी $u_2 = -(40 + 40) = -80\,cm$ है।
$L_2$ के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{30} \right) = \frac{0.75}{30} = \frac{1}{40}$.
अतः, $f_2 = 40\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{80} = \frac{2-1}{80} = \frac{1}{80}$.
अतः, $v_2 = 80\,cm$ ($L_2$ के दाईं ओर)।
अवतल लेंस $(L_1)$ से अंतिम प्रतिबिंब की दूरी $x = d + v_2 = 40 + 80 = 120\,cm$ है।

(A) नाभिक का घनत्व $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक का द्रव्यमान $M = A \times (1.6 \times 10^{-27} \ kg)$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5 \times 10^{-15} A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5)^3 \times 10^{-45} A \ m^3$ है।
नाभिकीय घनत्व की गणना करने पर: $\rho = \frac{1.6 \times 10^{-27} A}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times 3.375 \times 10^{-45} A} = \frac{1.6 \times 10^{-27}}{14.137 \times 10^{-45}} \approx 0.11317 \times 10^{18} \ kg/m^3 = 1.1317 \times 10^{17} \ kg/m^3$ है।
जल का घनत्व $\rho_w = 10^3 \ kg/m^3$ है।
अनुपात $\frac{\rho}{\rho_w} = \frac{1.1317 \times 10^{17}}{10^3} = 1.1317 \times 10^{14} = 11.317 \times 10^{13}$ है।
इसे $n \times 10^{13}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n \approx 11$ प्राप्त होता है।

(A) $y$-दिशा में आवेशित कणों का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = (2 \times 10^{11} \text{ C/kg}) \times (1.8 \times 10^3 \text{ V/m}) = 3.6 \times 10^{14} \text{ m/s}^2$ द्वारा दिया जाता है।
$d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ लंबाई के क्षेत्र को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_0} = \frac{0.1}{3 \times 10^7} \text{ s}$ है।
$y$-दिशा में विक्षेपण $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.1}{3 \times 10^7}\right)^2$ है।
$y = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.01}{9 \times 10^{14}}\right) = 0.5 \times 0.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.002 \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(B) $r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या और रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाले अर्ध-वलय के लिए,कुल आवेश $q = \lambda \times (\pi R)$ होता है।
$R_1$ त्रिज्या वाले पहले अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_1}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ है।
$R_2$ त्रिज्या वाले दूसरे अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_2}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ है।
केंद्र पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{2 \lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \epsilon_0}$ होगा।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
हम जानते हैं कि कणों के द्रव्यमान का संबंध $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ है।
इसलिए,उनकी तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$ होगा।

(A) संचार प्रणालियों के लिए मानक आवृत्ति रेंज इस प्रकार हैं:
$1$. $AM$ प्रसारण: $540-1600\,kHz$
$2$. $FM$ प्रसारण: $88-108\,MHz$
$3$. टेलीविजन: $54-890\,MHz$
$4$. उपग्रह संचार: $3.7-4.2\,GHz$
दी गई सूचियों के साथ मिलान करने पर:
$A$ ($AM$ प्रसारण) का मिलान $II$ $(540-1600\,kHz)$ से होता है।
$B$ ($FM$ प्रसारण) का मिलान $I$ $(88-108\,MHz)$ से होता है।
$C$ (टेलीविजन) का मिलान $IV$ $(54-890\,MHz)$ से होता है।
$D$ (उपग्रह संचार) का मिलान $III$ $(3.7-4.2\,GHz)$ से होता है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-I, C-IV, D-III$ है।

(B) दिए गए परिपथ में,स्विच $A_1$ और $B_1$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। आउटपुट $Y$ को ग्राउंड से जुड़े प्रतिरोधक के सिरों पर लिया जाता है।
जब दोनों स्विच $A_1$ और $B_1$ खुले होते हैं (लॉजिक $0$),तो आउटपुट $Y$ $+5 \text{V}$ (लॉजिक $1$) से जुड़ा होता है।
जब $A_1$ या $B_1$ में से कोई एक बंद होता है (लॉजिक $1$),तो आउटपुट $Y$ $+5 \text{V}$ (लॉजिक $1$) पर ही रहता है।
जब दोनों स्विच $A_1$ और $B_1$ बंद होते हैं (लॉजिक $1$),तो परिपथ ग्राउंड के साथ शॉर्ट हो जाता है और आउटपुट $Y$ $0 \text{V}$ (लॉजिक $0$) हो जाता है।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A_1$ | $B_1$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
यह सत्यता सारणी $NAND$ गेट के अनुरूप है,जहाँ $Y = \overline{A_1 \cdot B_1}$।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
$n = 70\,turns/cm = 70 \times 10^2\,turns/m = 7000\,turns/m$
$I = 2.0\,A$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,TmA^{-1}$
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (2.0)$
$B = 56000\pi \times 10^{-7}\,T$
$B = 56\pi \times 10^{-4}\,T$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$B \approx 56 \times 3.14159 \times 10^{-4}\,T$
$B \approx 175.928 \times 10^{-4}\,T \approx 176 \times 10^{-4}\,T$.

(C) घूर्णन अक्ष से '$x$' दूरी पर '$dx$' लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का रैखिक वेग '$v = \omega x$' है।
इस छोटे अवयव में प्रेरित गतिकीय emf '$d\varepsilon = Bv dx = B(\omega x) dx$' द्वारा दिया जाता है।
कुल प्रेरित emf ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का '$x = 0$' से '$x = L$' तक समाकलन करते हैं:
$\varepsilon = \int_0^L B \omega x dx$
$\varepsilon = B \omega \int_0^L x dx$
$\varepsilon = B \omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L$
$\varepsilon = \frac{1}{2} BL^2 \omega$

(B) लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है,जैसा कि कॉची के समीकरण (Cauchy's equation) द्वारा दिया गया है।
चूंकि सफेद प्रकाश विभिन्न रंगों (तरंग दैर्ध्य) से बना होता है,इसलिए लेंस से गुजरते समय प्रत्येक रंग एक अलग अपवर्तनांक का अनुभव करता है।
परिणामस्वरूप,प्रत्येक रंग मुख्य अक्ष पर एक अलग बिंदु पर केंद्रित होता है।
यह घटना,जिसमें एक लेंस सभी रंगों को एक बिंदु पर केंद्रित करने में विफल रहता है,वर्ण विपथन (Chromatic aberration) कहलाती है।

(A) मान लीजिए कि दो प्रतिरोधक $R_1 = 100\,\Omega$ और $R_2 = 100\,\Omega$ हैं। वोल्टमीटर $R_1$ के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है।
$R_1$ और वोल्टमीटर $(R_v = 400\,\Omega)$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध:
$R_p = \frac{R_1 \times R_v}{R_1 + R_v} = \frac{100 \times 400}{100 + 400} = \frac{40000}{500} = 80\,\Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + R_2 = 80 + 100 = 180\,\Omega$ है।
सेल से प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{90}{180} = 0.5\,A$ है।
वोल्टमीटर समानांतर संयोजन $R_p$ के सिरों के बीच विभवांतर मापता है,जो है:
$V_{reading} = I \times R_p = 0.5 \times 80 = 40\,V$.

(A) निर्वात में गति करने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,तरंग की चाल $c$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ से $c = \frac{\omega}{k}$ समीकरण द्वारा संबंधित होती है।
साथ ही,विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध $c = \frac{E_0}{B_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$c$ के लिए इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\omega B_0 = k E_0$ या $k E_0 = \omega B_0$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए,$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{15}{16} = 12.75 \, eV$.
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा भी दी जाती है।
दिया है कि $h = 4 \times 10^{-15} \, eV \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$,इसलिए $hc = 12 \times 10^{-7} \, eV \cdot m = 1200 \, eV \cdot nm$.
अतः,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1200 \, eV \cdot nm}{12.75 \, eV} \approx 94.11 \, nm$.
इसलिए,तरंगदैर्ध्य लगभग $94.1 \, nm$ है।

(C) ${}^{240}X$ के मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{120 \ g}{240 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ है।
$0.5 \ mol$ में परमाणुओं (नाभिकों) की संख्या $N = n \times N_A = 0.5 \times 6 \times 10^{23} = 3 \times 10^{23} \ \text{परमाणु}$ है।
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E_{fission} = 200 \ MeV$ है।
कुल मुक्त ऊर्जा $E_{total} = N \times E_{fission} = (3 \times 10^{23}) \times (200 \ MeV) = 600 \times 10^{23} \ MeV = 6 \times 10^{25} \ MeV$ है।
अतः,मान $6$ है।

(C) हवा वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 15 \, pF$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना किया जाता है,तो नई दूरी $d' = 2d$ हो जाती है।
जब स्थान को $K = 3.5$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरा जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'} = \frac{K \epsilon_0 A}{2d}$ होती है।
मान रखने पर,हमें $C = \frac{3.5}{2} \times C_0 = \frac{3.5}{2} \times 15 \, pF$ प्राप्त होता है।
$C = \frac{3.5 \times 15}{2} \, pF = \frac{52.5}{2} \, pF = \frac{105}{4} \, pF$ है।
इसकी तुलना $\frac{x}{4} \, pF$ से करने पर,हमें $x = 105$ प्राप्त होता है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहता है,इसलिए हमारे पास $A = \frac{V}{L}$ है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$ है।
यदि लंबाई में $20 \% $ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L' = L + 0.20L = 1.2L$ होगी।
नया प्रतिरोध $R' \propto (1.2L)^2 = 1.44L^2$ होगा।
अतः,$R' = 1.44R$ है।
प्रतिरोध में प्रतिशत वृद्धि $\frac{R' - R}{R} \times 100 = \frac{1.44R - R}{R} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ है।

(C) धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,या परिमाण में,$F = ILB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ लंबाई सदिश $\vec{L}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
$5\,cm$ भुजा के लिए,लंबाई $L = 5 \times 10^{-2}\,m$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.75\,T = \frac{3}{4}\,T$ है।
समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से,$5\,cm$ भुजा और $13\,cm$ भुजा (जो $\vec{B}$ के समानांतर है) के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{5}{13}$ और $\sin \theta = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को बल के सूत्र में रखने पर:
$F = (2\,A) \times (5 \times 10^{-2}\,m) \times (0.75\,T) \times \sin \theta$
$F = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13}$
$F = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{3}{40} \times \frac{12}{13} = \frac{3 \times 3}{10 \times 13} = \frac{9}{130}\,N$.
इसकी तुलना $\frac{x}{130}\,N$ से करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(C) काफी समय बाद,$DC$ परिपथ में एक प्रेरक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध वाला तार) की तरह व्यवहार करता है।
दिए गए परिपथ में तीन समानांतर शाखाएँ हैं:
$1$. ऊपरी शाखा में एक प्रेरक $L$ और एक प्रतिरोध $R$ है। चूंकि प्रेरक शॉर्ट सर्किट की तरह व्यवहार करता है,इसलिए इस शाखा का प्रभावी प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$ है।
$2$. मध्य शाखा में केवल एक प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$ है।
$3$. निचली शाखा में एक प्रतिरोध $R$ और एक प्रेरक $L$ है। इसी प्रकार,इस शाखा का प्रभावी प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$ है।
चूंकि तीनों शाखाएँ समानांतर में हैं और प्रत्येक का प्रभावी प्रतिरोध $12\,\Omega$ है,इसलिए परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_{eq} = \frac{R}{3} = \frac{12\,\Omega}{3} = 4\,\Omega$
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12\,V}{4\,\Omega} = 3\,A$.

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
हवा में,$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
दिया गया है $f_a = 18 \, cm$,इसलिए $\frac{1}{18} = \frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है $R = 18 \, cm$.
जब पानी में डुबोया जाता है,तो $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{2}{18} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{1}{9} \right) = (1.125 - 1) \left( \frac{1}{9} \right) = 0.125 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$.
अतः,$f_w = 72 \, cm$.
फोकस दूरी में परिवर्तन $\Delta f = f_w - f_a = 72 - 18 = 54 \, cm$ है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
प्रारंभिक वोल्टेज $V_1 = 20\,kV$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda_0$ दी गई है।
नया वोल्टेज $V_2 = 40\,kV$ है।
समानुपातिकता $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{20}{40}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$ होगी।

(C) इस निकाय को श्रेणी क्रम में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक $t = 1\,mm$ मोटाई के परावैद्युत के साथ और दूसरा $(d - t) = 1\,mm$ मोटाई की हवा के साथ।
श्रेणी क्रम में संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
जहाँ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t}$ और $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t}$ है।
मान रखने पर:
$A = 40\,cm^2 = 40 \times 10^{-4}\,m^2$
$d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$
$t = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$
$K = 5$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t}{K \varepsilon_0 A} + \frac{d - t}{\varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 \times 10^{-3}}{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}} + \frac{1 \times 10^{-3}}{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
अतः,$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0\,F$।

(A) $LC$ ऑसिलेटर परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि नया प्रेरकत्व $L' = 2L$ और नई धारिता $C' = 8C$ है।
नई अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{16LC}}$ होगी।
इसे सरल करने पर,$\omega = \frac{1}{4\sqrt{LC}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,इसलिए हम इसे $\omega$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जिससे $\omega = \frac{\omega_0}{4}$ प्राप्त होता है।
इसे $\omega = x\omega_0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) नाभिकीय घनत्व,नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन का अनुपात होता है।
माना $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R$ नाभिक की त्रिज्या है।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक नियतांक है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \cdot u$ होता है,जहाँ $u$ परमाणु द्रव्यमान इकाई है।
इसलिए,नाभिकीय घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot u}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3u}{4 \pi R_0^3}$ होता है।
चूंकि नाभिकीय घनत्व का व्यंजक केवल नियतांकों ($u$ और $R_0$) पर निर्भर करता है,इसलिए यह द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अतः,सभी नाभिकों का घनत्व समान होता है।
इसलिए,ऑक्सीजन नाभिक और हीलियम नाभिक के घनत्व का अनुपात $1:1$ है।

(C) दिया गया है:
संदेश सिग्नल की आवृत्ति $f_m = 5\,kHz$ है।
वाहक तरंग की आवृत्ति $f_c = 2\,MHz = 2000\,kHz$ है।
आयाम मॉड्युलेशन में,बैंडविड्थ को ऊपरी साइडबैंड आवृत्ति और निचली साइडबैंड आवृत्ति के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
बैंडविड्थ $= (f_c + f_m) - (f_c - f_m) = 2f_m$ है।
मान रखने पर:
बैंडविड्थ $= 2 \times 5\,kHz = 10\,kHz$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग के ऊर्जा संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश $\overrightarrow{S} = \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ ऊर्जा का परिवहन ऋणात्मक $z$ दिशा में है,इसलिए पॉइंटिंग सदिश की दिशा $-\hat{k}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ की दिशा धनात्मक $y$ दिशा यानी $+\hat{j}$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{S} \propto \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$.
ज्ञात दिशाओं को रखने पर: $(-\hat{k}) = (+\hat{j}) \times \overrightarrow{B}$.
इकाई सदिशों के क्रॉस गुणन के गुणों के अनुसार: $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ की दिशा धनात्मक $x$ दिशा $(+\hat{i})$ होनी चाहिए।

(A) दिया गया है:
झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी,$D = 1\,m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 600\,nm = 600 \times 10^{-9}\,m$.
$n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति,$y_n = 5\,cm = 5 \times 10^{-2}\,m$.
फ्रिंज का क्रम,$n = 5$.
$n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \times 10^{-2} = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 1}{d}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}}$
$d = 600 \times 10^{-7}\,m = 60 \times 10^{-6}\,m$
चूंकि $1\,\mu m = 10^{-6}\,m$,इसलिए:
$d = 60\,\mu m$.

(C) विन्यास $A$ के लिए: $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक वृत्ताकार लूप और दो सीधे तारों के कारण है। सीधे तार केंद्र पर $0$ योगदान देते हैं। लूप $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ का योगदान देता है। हालाँकि,दिए गए विकल्प एक अलग व्याख्या का सुझाव देते हैं। इन विशिष्ट ज्यामितियों के लिए बायो-सावर्ट के नियम के मानक अनुप्रयोगों के आधार पर:
$A$ का मिलान $III$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} [\pi - 1]$
$B$ का मिलान $I$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 2]$
$C$ का मिलान $IV$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 1]$
$D$ का मिलान $II$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।

(C) फोटोडायोड को विशेष रूप से प्रकाश की तीव्रता का पता लगाने के लिए रिवर्स बायस स्थितियों में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, क्योंकि रिवर्स सैचुरेशन करंट आपतित प्रकाश के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होता है। इसलिए, अभिकथन $A$ असत्य है।
एक $p-n$ जंक्शन डायोड के लिए, थ्रेशोल्ड वोल्टेज $V_0$ तक पहुंचने के बाद फॉरवर्ड बायस करंट वोल्टेज के साथ तेजी से बढ़ता है, जबकि ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z$ तक पहुंचने तक रिवर्स बायस करंट बहुत छोटा रहता है। इस प्रकार, $|V_z| > |V| \geq V_0$ की सीमा के लिए, फॉरवर्ड बायस करंट रिवर्स बायस करंट से काफी बड़ा होता है। इसलिए, कारण $R$ सत्य है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा है।
दिया गया है:
कुल फेरों की संख्या $N = 1200$
परिनालिका की लंबाई $L = 2\,m$
धारा $I = 2\,A$
सबसे पहले,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{N}{L} = \frac{1200}{2} = 600\,m^{-1}$
अब,चुंबकीय तीव्रता $H$ की गणना करें:
$H = nI = 600 \times 2 = 1200\,A m^{-1}$
अतः,$H = 1.2 \times 10^3\,A m^{-1}$।

(B) दिया गया है: धारा $I = 2\,A$,विभवांतर $V = 3.4\,V$,द्रव्यमान $m = 8.92 \times 10^{-3}\,kg$,घनत्व $d = 8.92 \times 10^3\,kg/m^3$,प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot m$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7\,\Omega$.
हम जानते हैं कि $R = \rho \frac{l}{A}$,जहाँ $l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
साथ ही,आयतन $V_{vol} = A \cdot l = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6}\,m^3$.
अतः,$A = \frac{10^{-6}}{l}$.
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $1.7 = \rho \frac{l}{(10^{-6}/l)} = \rho \frac{l^2}{10^{-6}}$.
$l^2 = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
इसलिए,$l = \sqrt{100} = 10\,m$.

(D) कांच-हवा इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण $c$ का मान $\sin c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$c = 45^{\circ}$।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = c = 45^{\circ}$ है।
पहले इंटरफेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin r \implies \sin r = \frac{1}{2}$।
अतः,$r = 30^{\circ}$।
पार्श्व विस्थापन $x$ का सूत्र: $x = t \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$ है।
मान रखने पर: $x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$।
$x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot \frac{0.26}{\sqrt{3}/2} = 0.26 \cdot 2 = 0.52 \, cm$।
अतः,$x = 52 \times 10^{-2} \, cm$।

(D) दिए गए परिपथ में,दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक एक शॉर्ट-सर्किटिंग तार के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। इसका मतलब है कि विद्युत धारा इन प्रतिरोधकों से होकर नहीं बहेगी,जिससे वे प्रभावी रूप से परिपथ से हट जाएंगे।
शॉर्ट हुए प्रतिरोधकों को हटाने के बाद,परिपथ $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में,फिर $2\,\Omega$ के दो प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में,और अंत में $6\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में सरल हो जाता है।
$2\,\Omega$ के दो समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध:
$R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1\,\Omega$
अब,टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ श्रेणीक्रम में जुड़े घटकों का योग है:
$R_{eq} = 3\,\Omega + R_p + 6\,\Omega$
$R_{eq} = 3\,\Omega + 1\,\Omega + 6\,\Omega = 10\,\Omega$

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,संक्रमण की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ तक।
$\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \ldots (i)$
स्थिति $2$: तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी कक्षा $(n_f = 2)$ तक।
$\frac{hc}{\lambda'} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) \ldots (ii)$
दिया गया है कि $\lambda' = \frac{20}{x} \lambda_0$,इसलिए समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{13.6 \left( \frac{5}{36} \right)}{13.6 \left( \frac{3}{16} \right)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{20}{27}$ की तुलना $\frac{20}{x}$ से करने पर,हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
विद्युत क्षेत्र $E = 10\,N/C$
गतिज ऊर्जा $K = 0.5\,eV = 0.5 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J$
प्लेटों की लंबाई $L = 10\,cm = 0.1\,m$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv_x^2 = 0.5\,eV$
$v_x = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5 \times e}{m}} = \sqrt{\frac{e}{m}}$
क्षेत्र को पार करने में लगा समय: $t = \frac{L}{v_x}$
प्राप्त ऊर्ध्वाधर वेग: $v_y = a_y t = \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{L}{v_x}\right)$
विचलन का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eE L}{m v_x^2}$
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv_x^2$,इसलिए $mv_x^2 = 2K = 2(0.5\,eV) = 1\,eV = e\,J$
$\tan \theta = \frac{eEL}{e} = EL$
$\tan \theta = 10\,N/C \times 0.1\,m = 1$
$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा का आयाम अधिकतम होने के लिए,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारिता प्रतिघात के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$.
अनुनादी आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है: $f = 2.0 \, kHz = 2000 \, Hz$,$C = 62.5 \, nF = 62.5 \times 10^{-9} \, F$,और $\pi^2 = 10$.
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 C}$.
मान रखने पर: $L = \frac{1}{4 \times 10 \times (2000)^2 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{40 \times 4 \times 10^6 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{160 \times 62.5 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10000 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10} = 0.1 \, H$.
$mH$ में बदलने पर: $0.1 \, H = 100 \, mH$.

(A) समतल दर्पण हमेशा आभासी,सीधा,वस्तु के आकार के बराबर और पार्श्व रूप से उल्टा (laterally inverted) प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी है,इसलिए यह वास्तविक नहीं है।
चूंकि प्रतिबिंब सीधा है,यह स्थिति $B$ को संतुष्ट करता है।
चूंकि प्रतिबिंब समान आकार का है,यह स्थिति $C$ को संतुष्ट नहीं करता है।
चूंकि प्रतिबिंब पार्श्व रूप से उल्टा है,यह स्थिति $D$ को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विशेषताएँ $B$ (सीधा) और $D$ (पार्श्व रूप से उल्टा) हैं।