JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $\omega = z \bar{z} + k_1 z + k_2 i z + \lambda(1 + i)$. ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $\omega = (x^2 + y^2) + k_1(x + iy) + k_2 i(x + iy) + \lambda + i\lambda = (x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda) + i(k_1 y + k_2 x + \lambda)$.
$\operatorname{Re}(\omega) = x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$.
વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા $1$ છે,તે પ્રથમ ચરણમાં $y = 1$ અને $y$-અક્ષ $(x = 0)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.
$x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$ ની સરખામણી $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$ સાથે કરતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ મળે છે.
આમ $k_1 = -2, k_2 = 2, \lambda = 1$.
$\operatorname{Im}(\omega) = k_1 y + k_2 x + \lambda = -2y + 2x + 1 = 0$,અથવા $2x - 2y + 1 = 0$.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ થી રેખા $2x - 2y + 1 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(1) - 2(1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1^2 - \frac{1}{8}} = 2\sqrt{\frac{7}{8}} = 2\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ છે.
$(AB)^2 = \frac{7}{2} = 3.5$.
$30(AB)^2 = 30 \times 3.5 = 105$.

(C) આપેલ શ્રેણી $2^2-3^2+4^2-5^2+6^2-\ldots$ ના $20$ પદો છે.
આને બે શ્રેણીઓના સરવાળા તરીકે લખી શકાય: $S = (2^2+4^2+6^2+\ldots \text{ } 10 \text{ પદો સુધી}) - (3^2+5^2+7^2+\ldots \text{ } 10 \text{ પદો સુધી})$.
$S = \sum_{n=1}^{10} (2n)^2 - \sum_{n=1}^{10} (2n+1)^2$.
$S = \sum_{n=1}^{10} [ (2n)^2 - (2n+1)^2 ]$.
નિત્યસમ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{n=1}^{10} (2n - 2n - 1)(2n + 2n + 1) = \sum_{n=1}^{10} (-1)(4n+1)$.
$S = -[ 4 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 1 ]$.
$S = -[ 4 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 ]$.
$S = -[ 220 + 10 ] = -230$.

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે,જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ છે.
આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 12$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 1$,જ્યાં $y_i \in \{0, 1, 2, 3\}$ છે.
$x_i = y_i + 1$ મૂકતા,આપણને $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + \dots + (y_7 + 1) = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 5$ થાય છે.
આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+7-1}{7-1} = \binom{11}{6} = 462$ છે.
જોકે,આપણે $x_i \le 4$ ની શરતનું પાલન કરવું પડે,જેનો અર્થ છે કે $y_i \le 3$.
આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીને એવા કિસ્સાઓ બાદ કરીશું જ્યાં ઓછામાં ઓછો એક $y_i \ge 4$ હોય.
જો એક $y_i \ge 4$ હોય,તો $y_i = z_i + 4$ લો. તેથી $z_i + 4 + \sum_{j \neq i} y_j = 5$,એટલે કે $z_i + \sum_{j \neq i} y_j = 1$.
નિશ્ચિત $i$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+7-1}{7-1} = \binom{7}{6} = 7$ છે.
$i$ માટે $7$ વિકલ્પો હોવાથી,આપણે $7 \times 7 = 49$ બાદ કરીશું.
આમ,કુલ માન્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $462 - 49 = 413$ છે.

(C) અતિવલય $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{25 - 16m^2}$ છે.
બિંદુ $P(4, 1)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શક માટે,$1 = 4m \pm \sqrt{25 - 16m^2}$.
આને ઉકેલતા,$4m^2 - m - 3 = 0$ મળે છે,જેના ઉકેલ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -3/4$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે ઢાળ $|m_1| = 1$ અને $|m_2| = 3/4$ છે.
ધન $x$-અંતઃખંડ માટે સ્પર્શકો $y = x - 3$ અને $y = \frac{3}{4}x - 4$ મળે છે,જ્યાં $\alpha = 16/3$ અને $\beta = 3$ છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $Q(-4, -7)$ છે.
$PQ^2 = (4 - (-4))^2 + (1 - (-7))^2 = 128$.
તેથી,$\frac{PQ^2}{\alpha \beta} = \frac{128}{16} = 8$.

(C) આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 5$. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 4 + 24 + 28 + \alpha + 8 = 64 + \alpha$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{1(4) + 3(24) + 5(28) + 7(\alpha) + 9(8)}{64 + \alpha} = 5$.
$\frac{4 + 72 + 140 + 7\alpha + 72}{64 + \alpha} = 5 \Rightarrow 288 + 7\alpha = 320 + 5\alpha \Rightarrow 2\alpha = 32 \Rightarrow \alpha = 16$.
કુલ આવૃત્તિ $N = 64 + 16 = 80$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{4|1-5| + 24|3-5| + 28|5-5| + 16|7-5| + 8|9-5|}{80} = \frac{128}{80} = 1.6$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{4(1-5)^2 + 24(3-5)^2 + 28(5-5)^2 + 16(7-5)^2 + 8(9-5)^2}{80} = \frac{352}{80} = 4.4$.
તેથી,$\frac{3\alpha}{m + \sigma^2} = \frac{3(16)}{1.6 + 4.4} = \frac{48}{6} = 8$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-\sqrt{2} x+2=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-8}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{6}}{2}$ મળે.
બીજને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $\alpha = \sqrt{2} e^{i\pi/3}$ અને $\beta = \sqrt{2} e^{-i\pi/3}$.
હવે,$\alpha^{14} + \beta^{14}$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha^{14} = 128 e^{i2\pi/3}$ અને $\beta^{14} = 128 e^{-i2\pi/3}$.
$\alpha^{14} + \beta^{14} = 128 (e^{i2\pi/3} + e^{-i2\pi/3}) = 256 \cos(2\pi/3)$.
$\cos(2\pi/3) = -1/2$ હોવાથી,$\alpha^{14} + \beta^{14} = 256 \times (-1/2) = -128$.

(D) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, \ldots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
આપેલ છે કે $a_6 + a_8 = 2 \implies ar^5 + ar^7 = 2 \implies ar^5(1 + r^2) = 2$.
આપેલ છે કે $a_3 \times a_5 = \frac{1}{9} \implies (ar^2)(ar^4) = \frac{1}{9} \implies a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies ar^3 = \frac{1}{3}$ (કારણ કે $a, r > 0$).
પ્રથમ સમીકરણને બીજા વડે ભાગતા: $\frac{ar^5(1 + r^2)}{ar^3} = \frac{2}{1/3} \implies r^2(1 + r^2) = 6 \implies r^4 + r^2 - 6 = 0$.
ધારો કે $x = r^2$,તો $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0$. $r^2 > 0$ હોવાથી,$r^2 = 2$.
તેથી $a(2)^{3/2} = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$.
આપણે $6(a_2 + a_4)(a_4 + a_6) = 6(ar + ar^3)(ar^3 + ar^5) = 6(ar(1 + r^2))(ar^3(1 + r^2)) = 6a^2r^4(1 + r^2)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies a^2r^4 = \frac{1}{9r^2} = \frac{1}{18}$ મૂકતા.
અભિવ્યક્તિ $= 6 \times \frac{1}{18} \times (1 + 2)^2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$.

(B) પગલું $1$: રેખાઓની જોડી ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધો.
$15x - y = 82$ અને $6x - 5y = -4$ ઉકેલતા: $A = (6, 8)$.
$6x - 5y = -4$ અને $9x + 4y = 17$ ઉકેલતા: $B = (1, 2)$.
$15x - y = 82$ અને $9x + 4y = 17$ ઉકેલતા: $C = (5, -7)$.
પગલું $2$: મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ શોધો.
$\alpha = \frac{6 + 1 + 5}{3} = 4$
$\beta = \frac{8 + 2 - 7}{3} = 1$
પગલું $3$: દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ શોધો.
બીજ $\alpha + 2\beta = 6$ અને $2\alpha - \beta = 7$ છે.
પગલું $4$: સમીકરણ બનાવો.
સમીકરણ $(x - 6)(x - 7) = 0$ એટલે કે $x^2 - 13x + 42 = 0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a x}-\cos (b x)-\frac{c x e^{-c x}}{2}}{1-\cos (2 x)}=17$.
$x \to 0$ માટે $e^{ax}$,$\cos(bx)$,$e^{-cx}$ અને $1 - \cos(2x)$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + ax + \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2}) - \frac{cx}{2}(1 - cx)}{2x^2} = 17$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a - \frac{c}{2})x + x^2(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2})}{2x^2} = 17$
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$a - \frac{c}{2} = 0 \implies c = 2a$
$c = 2a$ ને લક્ષમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{(2a)^2}{2}}{2} = 17$
$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2}{4} = 17$
$5a^2 + b^2 = 68$

(A) કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ એ અભિલંબ રેખા $4x + 3y = 1$ પર આવેલું છે,તેથી $4\alpha + 3\beta = 1$,જે આપે છે $\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ થી બે સ્પર્શકો $3x + 4y - 24 = 0$ અને $3x - 4y - 32 = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$r = \left| \frac{3\alpha + 4\beta - 24}{5} \right| = \left| \frac{3\alpha - 4\beta - 32}{5} \right|$.
$\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$ મૂકતા:
$r = \left| \frac{3\alpha + 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 24}{5} \right| = \left| \frac{-7\alpha - 68}{15} \right|$.
$r = \left| \frac{3\alpha - 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 32}{5} \right| = \left| \frac{25\alpha - 100}{15} \right| = \left| \frac{5(\alpha - 4)}{3} \right|$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$|-7\alpha - 68| = |25\alpha - 100|$.
કિસ્સો $1$: $-7\alpha - 68 = 25\alpha - 100$ $\Rightarrow 32 = 32\alpha$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
ત્યારે $\beta = -1$. ત્રિજ્યા $r = 5$. $r < 8$ હોવાથી,આ માન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $-7\alpha - 68 = -(25\alpha - 100) \Rightarrow \alpha = \frac{28}{3}$.
ત્યારે $r = \frac{80}{9} \approx 8.88$. $r > 8$ હોવાથી,આ અસ્વીકાર્ય છે.
આમ,$\alpha = 1, \beta = -1, r = 5$.
$\alpha - \beta + r = 1 - (-1) + 5 = 7$.

(A) $MONDAY$ શબ્દના અક્ષરો $A, D, M, N, O, Y$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, D, M, N, O, Y$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$MA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$MD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$MN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$MOA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$MOD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$MONA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
ત્યારબાદ $MONDAY$ શબ્દ આવે છે: $1$.
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 327$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$
$(\sim p)$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (q \vee (\sim q)))$
કારણ કે $(q \vee (\sim q)) = t$ (નિરર્થકતા):
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge t)$
$(p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા $(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C))$:
$((\sim p) \vee p) \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
કારણ કે $((\sim p) \vee p) = t$:
$t \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
$= (\sim p) \vee (\sim q)$

(B) ધારો કે $z = x + iy$, જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\bar{z} = x - iy$ અને $\operatorname{Re}(\bar{z}) = x$.
આપેલ સમીકરણ: $x - iy = i(x^2 - y^2 + 2ixy + x) = i(x^2 - y^2 + x) - 2xy$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy \implies x(1 + 2y) = 0$
$-y = x^2 - y^2 + x$
કિસ્સો $1$: $x = 0$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-y = -y^2 \implies y^2 - y = 0 \implies y(y - 1) = 0$. તેથી $y = 0$ અથવા $y = 1$.
ઉકેલો: $z_1 = 0 + 0i = 0$, $z_2 = 0 + i = i$.
કિસ્સો $2$: $y = -\frac{1}{2}$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} = x^2 - \frac{1}{4} + x \implies x^2 + x - \frac{3}{4} = 0 \implies 4x^2 + 4x - 3 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(2x - 1)(2x + 3) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{3}{2}$.
ઉકેલો: $z_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$, $z_4 = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$.
દરેક માટે $|z|^2$ ની ગણતરી કરતા:
$|z_1|^2 = 0$, $|z_2|^2 = 1^2 = 1$, $|z_3|^2 = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$, $|z_4|^2 = (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
સરવાળો $= 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 1 + 3 = 4$.

(B) આપેલ છે $n = 10$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 12$.
ગુણનો સરવાળો $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 50 = 500$.
સાચો સરવાળો $\sum x_{i, \text{correct}} = 500 - 45 - 50 + 20 + 25 = 450$.
સાચો મધ્યક $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{450}{10} = 45$.
વિચરણ $\sigma^2 = 144$,તેથી $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 144$.
$\sum x_i^2 = 10 \times (144 + 50^2) = 10 \times (144 + 2500) = 26440$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 26440 - 45^2 - 50^2 + 20^2 + 25^2 = 26440 - 2025 - 2500 + 400 + 625 = 22940$.
સાચું વિચરણ $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{22940}{10} - (45)^2 = 2294 - 2025 = 269$.

(B) એક સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય છે જો તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય.
સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી એકમનો અંક $2$ અથવા $4$ હોવો જોઈએ.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી તેના અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $2$ છે. પ્રથમ બે અંકોનો સરવાળો $3k - 2$ હોવો જોઈએ.
એકમનો અંક $2$ હોય તેવી સંખ્યાઓ: $132, 312, 222, 252, 522, 342, 432, 552$. (કુલ $8$ સંખ્યાઓ).
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $4$ છે. પ્રથમ બે અંકોનો સરવાળો $3k - 4$ હોવો જોઈએ.
એકમનો અંક $4$ હોય તેવી સંખ્યાઓ: $114, 144, 414, 234, 324, 444, 534, 354$. (કુલ $8$ સંખ્યાઓ).
કુલ સંખ્યાઓ = $8 + 8 = 16$.

(B) આપણે $S = \sum_{n=1}^{120} [\sqrt{n}]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે,$[\sqrt{n}] = k$ ત્યારે થાય જ્યારે $k^2 \leq n < (k+1)^2$.
આવા પૂર્ણાંકો $n$ ની સંખ્યા $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$ છે.
અહીં $k=1, 2, \ldots, 10$ માટે,$n$ ની કિંમતો $1$ થી $120$ સુધી છે કારણ કે $10^2 = 100$ અને $11^2 = 121$.
$k=1, 2, \ldots, 9$ માટે,પદોની સંખ્યા $2k+1$ છે.
$k=10$ માટે,વિસ્તાર $100 \leq n \leq 120$ છે,જે $120 - 100 + 1 = 21$ પદો આપે છે.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{9} k(2k+1) + 10(21)$.
$S = \sum_{k=1}^{9} (2k^2 + k) + 210$.
$S = 2 \times \frac{9(10)(19)}{6} + \frac{9(10)}{2} + 210$.
$S = 570 + 45 + 210 = 825$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$,તેથી $ae = 2$. $e = \frac{3}{2}$ હોવાથી,$a = \frac{4}{3}$ મળે.
$B^2 = A^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$B^2 = \frac{16}{9}(\frac{9}{4} - 1) = \frac{16}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{9}$.
રેખા $2x + 3y = 6$ નો ઢાળ $-\frac{2}{3}$ છે. આ રેખાને લંબ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{3}{2}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{A^2m^2 - B^2}$ છે.
$y = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{4} - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{4 - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \frac{4}{3}$.
બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,આપણે અંતઃખંડ માટે ઋણ ચિહ્ન પસંદ કરીએ છીએ: $y = \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}$.
$x$-અંતઃખંડ $a$ માટે,$y=0$ લેતા: $0 = \frac{3}{2}a - \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{8}{9}$.
$y$-અંતઃખંડ $b$ માટે,$x=0$ લેતા: $b = -\frac{4}{3}$.
તેથી,$|6a| + |5b| = |6(\frac{8}{9})| + |5(-\frac{4}{3})| = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12$.

(B) આપણે $7^{103} \pmod{17}$ ની શેષ શોધવાની છે.
ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,જો $p$ અવિભાજ્ય હોય અને $p \nmid a$ હોય,તો $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
અહીં,$p=17$ અને $a=7$ છે,તેથી $7^{16} \equiv 1 \pmod{17}$.
હવે,$103 = 16 \times 6 + 7$.
તેથી,$7^{103} = (7^{16})^6 \times 7^7 \equiv 1^6 \times 7^7 \pmod{17}$.
$7^2 = 49 \equiv 15 \equiv -2 \pmod{17}$.
$7^4 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{17}$.
$7^6 \equiv 4 \times (-2) = -8 \equiv 9 \pmod{17}$.
$7^7 = 7^6 \times 7 \equiv 9 \times 7 = 63 \pmod{17}$.
$63 = 17 \times 3 + 12$ હોવાથી,$63 \equiv 12 \pmod{17}$.
આમ,શેષ $12$ છે.

(A) ત્રણ અંકની સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
અંકો $d_1, d_2, d_3 \in \{1, 3, 5, 8\}$ લો.
સરવાળો $S = d_1 + d_2 + d_3$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
અંકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ: $1 \equiv 1, 3 \equiv 0, 5 \equiv 2, 8 \equiv 2$.
આમ,આવી કુલ $22$ સંખ્યાઓ શક્ય છે.

(B) આપેલ છે $n = 10$,$\text{મધ્યક} (\bar{x}) = 20$,અને $\text{પ્રમાણિત વિચલન} (\sigma) = 2$.
પ્રથમ,અવલોકનોનો સરવાળો શોધો: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 20 = 200$.
સુધારેલ અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{new}} = 200 - 50 + 40 = 190$.
સુધારેલ મધ્યક: $\bar{x}_{\text{new}} = \frac{190}{10} = 19$.
વિચરણના સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 20^2 \implies 4 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 400 \implies \sum x_i^2 = 4040$.
સુધારેલ વર્ગોનો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{new}}^2 = 4040 - 50^2 + 40^2 = 4040 - 2500 + 1600 = 3140$.
સુધારેલ વિચરણ: $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{new}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{new}})^2 = \frac{3140}{10} - 19^2 = 314 - 361 = 13$ (ગણતરી મુજબ).

(B) આપણે $x$ ના વિવિધ અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને સમીકરણ $x|x| - 5|x + 2| + 6 = 0$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $x \ge 0$.
સમીકરણ $x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ બને છે,જે $x^2 - 5x - 4 = 0$ માં પરિણમે છે.
ઉકેલો $x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$ છે.
$x \ge 0$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$ સ્વીકારીએ છીએ. ($1$ ઉકેલ)
કિસ્સો $2$: $-2 \le x < 0$.
સમીકરણ $-x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ બને છે,જે $x^2 + 5x + 4 = 0$ માં પરિણમે છે.
અવયવો પાડતા $(x + 1)(x + 4) = 0$ મળે છે,તેથી $x = -1$ અથવા $x = -4$.
$-2 \le x < 0$ હોવાથી,આપણે $x = -1$ સ્વીકારીએ છીએ. ($1$ ઉકેલ)
કિસ્સો $3$: $x < -2$.
સમીકરણ $-x^2 - 5(-(x + 2)) + 6 = 0$ બને છે,જે $x^2 - 5x - 16 = 0$ માં પરિણમે છે.
ઉકેલો $x = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}$ છે.
$x < -2$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$ સ્વીકારીએ છીએ. ($1$ ઉકેલ)
કુલ વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 1 + 1 = 3$ છે.

(B) આપેલ છે $(a + bx + cx^2)^{10} = \sum_{i=0}^{20} p_i x^i$.
$x^1$ નો સહગુણક $p_1 = 10 \times a^9 \times b = 20$ છે.
તેથી,$a^9 b = 2$. $a, b \in N$ હોવાથી,$a = 1$ અને $b = 2$ મળે.
$x^2$ નો સહગુણક $p_2 = \binom{10}{1} a^9 c + \binom{10}{2} a^8 b^2 = 210$ છે.
$a = 1$ અને $b = 2$ મૂકતા:
$10(1)^9 c + 45(1)^8 (2)^2 = 210$.
$10c + 45(4) = 210$.
$10c + 180 = 210$.
$10c = 30$,તેથી $c = 3$.
અંતે,$2(a + b + c) = 2(1 + 2 + 3) = 2(6) = 12$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$A_1, A_2$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના અંકગણિત મધ્યકો છે,તેથી $a, A_1, A_2, b$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{b-a}{3}$.
$A_1 = \frac{2a+b}{3}$ અને $A_2 = \frac{a+2b}{3}$.
તેથી,$A_1 + A_2 = a + b$.
$G_1, G_2, G_3$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના ભૌમિતિક મધ્યકો છે,તેથી $a, G_1, G_2, G_3, b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (b/a)^{1/4}$.
$G_1^4 = a^3b$,$G_2^4 = a^2b^2$,$G_3^4 = ab^3$.
$G_1^2 G_3^2 = a^2b^2$.
સરવાળો $= a^3b + a^2b^2 + ab^3 + a^2b^2 = ab(a+b)^2$.
$G_1 G_3 = ab$ હોવાથી,અભિવ્યક્તિ $(A_1 + A_2)^2 G_1 G_3$ થાય છે.

(D) ધારો કે $z = 3 + iy$,તો $\bar{z} = 3 - iy$.
આપેલ પદાવલિમાં $z$ અને $\bar{z}$ ની કિંમત મૂકતા:
$z - \bar{z} + z\bar{z} = (3 + iy) - (3 - iy) + (3 + iy)(3 - iy) = 2iy + (9 + y^2)$.
છેદ: $2 - 3(3 + iy) + 5(3 - iy) = 2 - 9 - 3iy + 15 - 5iy = 8 - 8iy = 8(1 - iy)$.
ધારો કે $w = \frac{9 + y^2 + 2iy}{8(1 - iy)}$.
$\operatorname{Re}(w)$ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને $(1 + iy)$ વડે ગુણતા:
$w = \frac{(9 + y^2 + 2iy)(1 + iy)}{8(1 - iy)(1 + iy)} = \frac{9 + y^2 + i(9y + y^3) + 2iy - 2y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{9 - y^2 + i(11y + y^3)}{8(1 + y^2)}$.
$\operatorname{Re}(w) = \frac{9 - y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{1}{8} \left( \frac{10 - (1 + y^2)}{1 + y^2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{10}{1 + y^2} - 1 \right)$.
કારણ કે $1 + y^2 \in [1, \infty)$,તેથી $\frac{1}{1 + y^2} \in (0, 1]$.
આમ,$\frac{10}{1 + y^2} \in (0, 10]$,અને $\frac{10}{1 + y^2} - 1 \in (-1, 9]$.
તેથી,$\operatorname{Re}(w) \in \left( -\frac{1}{8}, \frac{9}{8} \right]$.
અહીં $\alpha = -\frac{1}{8}$ અને $\beta = \frac{9}{8}$.
$24(\beta - \alpha) = 24 \left( \frac{9}{8} - (-\frac{1}{8}) \right) = 24 \left( \frac{10}{8} \right) = 30$.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-18x-15y+131=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (9, 7.5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{9^2 + 7.5^2 - 131} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x-6y-7=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - (-7)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(9-3)^2 + (7.5-3)^2} = \sqrt{6^2 + 4.5^2} = \sqrt{56.25} = 7.5 = \frac{15}{2}$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 2.5 + 5 = 7.5$ હોવાથી,$d = r_1 + r_2$ થાય છે.
આમ,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપણે વિધાન $S = p \wedge (q \wedge \sim(p \wedge q))$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim S = \sim p \vee (\sim q \vee (p \wedge q))$.
વિતરણના નિયમ મુજબ,$\sim q \vee (p \wedge q) = (\sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee q) = \sim q \vee p$.
તેથી,$\sim S = \sim p \vee \sim q \vee p = T$ (નિત્યસત્ય).
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $D$ સૌથી નજીકનો તાર્કિક જવાબ છે.

(B) ધારો કે $A = (3, -7)$,$B = (-1, 2)$,અને $C = (4, 5)$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{5 - 2}{4 - (-1)} = \frac{3}{5}$.
$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $BC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{5}{3}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - (-7) = -\frac{5}{3}(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y + 6 = 0$ થાય છે.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{5 - (-7)}{4 - 3} = 12$.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $AC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{1}{12}$ છે.
$B$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{12}(x - (-1))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 12y = 23$ થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\alpha = -\frac{47}{19}$ અને $\beta = \frac{121}{57}$ મળે છે.
$9\alpha - 6\beta + 60 = 9(-\frac{47}{19}) - 6(\frac{121}{57}) + 60 = -35 + 60 = 25$.

(C) ધારો કે $X$ એ પાસા પર મળતી સંખ્યા છે. $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,દરેકની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
જો $X=k$ હોય,તો $6$ સફેદ દડામાંથી $k$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{k}$ છે,અને $10$ દડામાંથી $k$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{10}{k}$ છે.
$X=k$ આપેલ હોય ત્યારે $k$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|X=k) = \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$ છે.
કુલ સંભાવના $P(W) = \sum_{k=1}^{6} P(X=k) \times P(W|X=k) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$.
ગણતરી કરતા: $\frac{1}{6} \left( \frac{6}{10} + \frac{15}{45} + \frac{20}{120} + \frac{15}{210} + \frac{6}{252} + \frac{1}{210} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{126+70+35+15+5+1}{210} \right) = \frac{1}{6} \times \frac{252}{210} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.

(A) આપેલ શ્રેણીનો સરવાળો $P = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અહીં $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી $\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ મળે.
$\alpha + 3\beta = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$.

(A) ધારો કે $4-$અંકનો કોડ $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે. બધા અંકો ભિન્ન છે,$d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$,અને $\max(d_i) = 7$. ઉપરાંત,$d_1 + d_2 = d_3 + d_4 = \alpha$.
અમે સરવાળા $\alpha$ ના આધારે કિસ્સાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $I$: $\alpha = 7$. અંકો $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ નો ઉપયોગ કરીને $7$ સરવાળો આપતી જોડીઓ $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4)$ છે.
કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $24 + 16 + 16 + 8 + 8 = 72$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $4b^2 = a$ (સમીકરણ $1$).
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(1, b)$ અને $(1, -b)$ છે,અને નાભિઓ $(1 \pm ae, 0)$ છે. ગૌણ અક્ષ દ્વારા નાભિ આગળ આંતરેલો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
નાભિ $(1+ae, 0)$ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(1, b)$ અને $(1, -b)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,નાભિ આગળનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી અડધો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
આમ,$\tan(30^{\circ}) = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $ae = b\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 3b^2$. કારણ કે $a^2e^2 = a^2 - b^2$,તેથી $a^2 - b^2 = 3b^2$,એટલે કે $a^2 = 4b^2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$b^2 = \frac{a}{4}$. આને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા,$a^2 = 4(\frac{a}{4}) = a$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 1$ મળે. તેથી $b^2 = \frac{1}{4}$,એટલે કે $b = \frac{1}{2}$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(1) = 2$ છે,અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$ છે.
લંબાઈના સરવાળાનો વર્ગ $(2a + 2b)^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$ થાય.

(A) આપણે $n \in \mathbb{N}$ શોધવાનું છે જેથી $10 \leq n \leq 100$ અને $3^n - 3 \equiv 0 \pmod{7}$ થાય.
આ $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ ને સમાન છે.
$n=1$ માટે,$3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$.
$n=2$ માટે,$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$.
$n=3$ માટે,$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$.
$n=4$ માટે,$3^4 = 81 \equiv 4 \pmod{7}$.
$n=5$ માટે,$3^5 = 243 \equiv 5 \pmod{7}$.
$n=6$ માટે,$3^6 = 729 \equiv 1 \pmod{7}$.
$3 \pmod{7}$ ની ઘાત $6$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $(3, 2, 6, 4, 5, 1)$.
આપણને $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ જોઈએ છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $n \equiv 1 \pmod{6}$ હોય.
તેથી,$n$ એ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $6k + 1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
આપણી પાસે $10 \leq 6k + 1 \leq 100$ છે.
$9 \leq 6k \leq 99$.
$1.5 \leq k \leq 16.5$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k \in \{2, 3, 4, \dots, 16\}$.
કિંમતોની સંખ્યા $16 - 2 + 1 = 15$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,1)$,$B(0,0)$ અને $C(t,4)$ છે,જ્યાં $t \in [0,4]$. પરિમિતિ $P(t) = AB + BC + AC$. $AB = \sqrt{5}$ અચળ હોવાથી,આપણે $f(t) = BC + AC = \sqrt{t^2 + 16} + \sqrt{(t-2)^2 + 9}$ નું મહત્તમ/ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું પડશે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$B(0,0)$ નું $y=4$ રેખાની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $B'(0,8)$ લો. ન્યૂનતમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $A, C, B'$ સમરેખ હોય. $AB'$ રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{7}{2}x + 8$ છે. $y=4$ મૂકતા,$t = \frac{8}{7}$ મળે. તેથી,$\beta = \frac{8}{7}$.
મહત્તમ મૂલ્ય માટે,અંતરાલ $[0,4]$ ના અંત્યબિંદુઓ તપાસતા,$f(4)$ પર મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે. તેથી,$\alpha = 4$.
આમ,$6\alpha + 21\beta = 6(4) + 21(\frac{8}{7}) = 24 + 24 = 48$.

(C) $\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^5 C_r (2 x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3 x^2})^r$ છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $T_{r+1} = { }^5 C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$.
$x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$15 - 5r = 5$ લેતા,$r = 2$ મળે છે.
$r = 2$ મૂકતા,સહગુણક $= { }^5 C_2 (2)^3 (-\frac{1}{3})^2 = 10 \times 8 \times \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha(m, n) = \int_0^2 t^m(1+3t)^n dt$.
આપણે $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલન $I = \int_0^2 t^{10}(1+3t)^6 dt$ ધ્યાનમાં લો.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1+3t)^6$ અને $dv = t^{10} dt$ લો.
તેથી $du = 6(1+3t)^5 \cdot 3 dt = 18(1+3t)^5 dt$ અને $v = \frac{t^{11}}{11}$ મળે.
તેથી,$\alpha(10, 6) = \left[ \frac{t^{11}}{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - \int_0^2 \frac{t^{11}}{11} \cdot 18(1+3t)^5 dt$.
બંને બાજુ $11$ વડે ગુણતા:
$11\alpha(10, 6) = \left[ t^{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - 18 \int_0^2 t^{11}(1+3t)^5 dt$.
$11\alpha(10, 6) = 2^{11}(1+3(2))^6 - 0 - 18\alpha(11, 5)$.
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^{11}(7)^6$.
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 7^6 = 32 \cdot (2 \cdot 7)^6 = 32(14)^6$.
આને $p(14)^6$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 32$ મળે છે.

(B) રેખા $l$ નો દિશા સદિશ $l_1$ અને $l_2$ ના દિશા સદિશોને લંબ છે. ધારો કે $\vec{v}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$. $l$ ની દિશા $\vec{v} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ છે. રેખા $l$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\vec{r} = \gamma(-4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k})$ છે.
બિંદુ $P$ ($l$ અને $l_1$ નું છેદબિંદુ) માટે: $-4\gamma = 1 + \lambda$,$5\gamma = -11 + 2\lambda$,$-2\gamma = -7 + 3\lambda$. આ સમીકરણો ઉકેલતા $\gamma = -1$ મળે,તેથી $P = (4, -5, 2)$.
રેખા $l_2$ પરના બિંદુ $Q$ માટે,$Q = (-1 + 2\mu, 2\mu, 1 + \mu)$. સદિશ $\vec{PQ} = (-5 + 2\mu, 5 + 2\mu, -1 + \mu)$. $\vec{PQ} \perp \vec{v}_2$ હોવાથી,$\vec{PQ} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$,જે આપણને $2(-5 + 2\mu) + 2(5 + 2\mu) + 1(-1 + \mu) = 0 \implies 9\mu = 1 \implies \mu = 1/9$ આપે છે.
આમ,$Q = (-7/9, 2/9, 10/9)$.
તેથી $9(\alpha + \beta + \gamma) = 9(-7/9 + 2/9 + 10/9) = 9(5/9) = 5$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A$ સરખાવતા,$(1,1)$ ઘટક માટે: $2ac + 3 = 0 \implies ac = -\frac{3}{2}$.
$(1,2)$ ઘટક માટે: $a + 2 + 3c = 1 \implies a + 3c = -1$.
$c = -\frac{3}{2a}$ ને $a + 3c = -1$ માં મુકતા:
$a + 3(-\frac{3}{2a}) = -1 \implies a - \frac{9}{2a} = -1 \implies 2a^2 + 2a - 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{2}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{\sqrt{19} - 1}{2}$.
$4 < \sqrt{19} < 5$ હોવાથી,$3 < \sqrt{19} - 1 < 4$,તેથી $1.5 < a < 2$.
આમ,$a \in (1, 2]$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$.
આ સમીકરણ દરેક $x$ માટે સાચું હોવાથી,આપણે $x=0$ મૂકીને તેને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103(0)+81)$
વિકર્ણ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધતા:
$1 \times \lambda \times \lambda^2 = \frac{9}{8} \times 81$
$\lambda^3 = \frac{9^3}{2^3}$
$\lambda = \frac{9}{2}$.
હવે,બીજું બીજ શોધીએ:
$\frac{\lambda}{3} = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha = \frac{9}{2}$ અને $\beta = \frac{3}{2}$ છે.
સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 - (\frac{9}{2} + \frac{3}{2})x + (\frac{9}{2} \times \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 - (\frac{12}{2})x + \frac{27}{4} = 0$
$x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા: $4x^2 - 24x + 27 = 0$.

(D) બિંદુઓ $P(2, -1, 2)$ અને $Q(5, 3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 2\lambda + 2)$ છે.
$R$ એ સમતલ $x - y + z = 4$ પર હોવાથી,$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (2\lambda + 2) = 4$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda + 5 = 4 \implies \lambda = -1$.
તેથી,$R = (-1, -5, 0)$.
આપણે બિંદુ $R(-1, -5, 0)$ નું સમતલ $x + 2y + 3z + 2 = 0$ થી રેખા $\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{1}$ ને સમાંતર અંતર શોધવાનું છે.
$R$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખા $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 0}{1} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $T(2k - 1, 2k - 5, k)$ છે.
$T$ એ સમતલ $x + 2y + 3z + 2 = 0$ પર હોવાથી,$(2k - 1) + 2(2k - 5) + 3(k) + 2 = 0$.
$2k - 1 + 4k - 10 + 3k + 2 = 0 \implies 9k - 9 = 0 \implies k = 1$.
તેથી,$T = (1, -3, 1)$.
અંતર $RT = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - (-5))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(C) $x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ છે,તેથી $x - [x] = x$ થાય. $x \in [0, 1]$ માટે $x^2 \le x$ હોવાથી,$\min \{x^2, x\} = x^2$ થાય. તેથી $f(x) = e^{x^2}$.
$x \in [1, 2]$ માટે,$x - \log_e x$ ધ્યાનમાં લો. $x \ge 1$ હોવાથી,$\log_e x \ge 0$ છે. $x \in [1, 2]$ માટે,$1 \le x - \log_e x < 2 - \log_e 2 \approx 1.307$ થાય. તેથી $[x - \log_e x] = 1$. આમ $f(x) = e^1 = e$.
હવે,સંકલન $\int_0^2 x f(x) dx = \int_0^1 x e^{x^2} dx + \int_1^2 x e dx$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = x^2$ લેતા,$du = 2x dx$ મળે,તેથી $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$.
બીજા ભાગ માટે,$\int_1^2 x e dx = e [\frac{x^2}{2}]_1^2 = e(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3e}{2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2}(e - 1) + \frac{3e}{2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3e}{2} = 2e - \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ અને $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}{x^7}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{5}{x(x^5+1)} dx}$ દ્વારા મળે છે.
સંકલન ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદને $x^{-6}$ વડે ગુણો:
$I.F. = e^{\int \frac{5x^{-6}}{x^{-5}+1} dx}$.
ધારો કે $t = x^{-5}+1$,તો $dt = -5x^{-6} dx$,તેથી $-dt = 5x^{-6} dx$.
$I.F. = e^{\int \frac{-dt}{t}} = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{t} = \frac{1}{x^{-5}+1} = \frac{x^5}{x^5+1}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \int \frac{(x^5+1)^2}{x^7} \cdot \frac{x^5}{x^5+1} dx + C = \int \frac{x^5+1}{x^2} dx + C = \int (x^3 + x^{-2}) dx + C$.
$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = 2$,તેથી $2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{4} - 1 + C \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4} + C \Rightarrow C = \frac{7}{4}$.
આમ,$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + \frac{7}{4}$.
$x=2$ માટે,$y \cdot \frac{32}{33} = \frac{16}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = 4 - 0.5 + 1.75 = 5.25 = \frac{21}{4}$.
$y = \frac{21}{4} \cdot \frac{33}{32} = \frac{693}{128}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે,તેથી સદિશો $(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}),$ અને $(\vec{d}-\vec{a})$ સમતલીય છે.
તેથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}, \vec{d}-\vec{a}] = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$ મળે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આનું વિસ્તરણ $[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] - [\vec{b} \vec{a} \vec{d}] - [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = 0$ થાય.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{d} \vec{a} \vec{c}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{a}]$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$.
પ્રથમ સંકલનને $\frac{\pi}{4}$ પર વિભાજિત કરો:
$I = \int \limits_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \int \limits_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$.
પ્રથમ સંકલનમાં,ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરો:
$\int_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \sin(\frac{\pi}{4}-x) \, dx$.
બીજા સંકલનમાં $x = \frac{\pi}{4} + t$ આદેશ લેતા:
$\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2t) \sin(\frac{\pi}{4}+t) \, dt$.
આ બંનેને જોડતા:
$\int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) [\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) + \alpha \cos x] \, dx = 0$.
$\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) = \sqrt{2} \cos x$.
તેથી,$(\sqrt{2} + \alpha) \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$.
આમ,$\alpha = -\sqrt{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(i) 7x + 11y + \alpha z = 13$
$(ii) 5x + 4y + 7z = \beta$
$(iii) 175x + 194y + 57z = 361$
સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,ત્રીજું સમીકરણ એ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે $(iii) = k_1(i) + k_2(ii)$.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$7k_1 + 5k_2 = 175$
$11k_1 + 4k_2 = 194$
આ સમીકરણો ઉકેલતા: પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા:
$28k_1 + 20k_2 = 700$
$55k_1 + 20k_2 = 970$
બાદબાકી કરતા $27k_1 = 270$,તેથી $k_1 = 10$.
$k_1 = 10$ ને $7(10) + 5k_2 = 175$ માં મૂકતા,$5k_2 = 105$,તેથી $k_2 = 21$.
હવે,$z$ અને અચળ પદ માટે:
$10\alpha + 21(7) = 57 \implies 10\alpha + 147 = 57 \implies 10\alpha = -90 \implies \alpha = -9$.
$10(13) + 21\beta = 361 \implies 130 + 21\beta = 361 \implies 21\beta = 231 \implies \beta = 11$.
તેથી,$\alpha + \beta + 2 = -9 + 11 + 2 = 4$.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - 3[x] - 10}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ:
$[x]^2 - 3[x] - 10 > 0$
ધારો કે $t = [x]$. તેથી $t^2 - 3t - 10 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(t - 5)(t + 2) > 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $t < -2$ અથવા $t > 5$ હોય.
કારણ કે $t = [x]$,તેથી $[x] < -2$ અથવા $[x] > 5$.
જો $[x] < -2$ હોય,તો $[x] \leq -3$,જેનો અર્થ છે કે $x < -2$.
જો $[x] > 5$ હોય,તો $[x] \geq 6$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 6$.
આમ,પ્રદેશ $(-\infty, -2) \cup [6, \infty)$ છે.

(B) સમતલ $P$ એ બિંદુઓ $Q(5,3,0)$,$R(13,3,-2)$,અને $S(1,6,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલમાં સદિશો $\vec{QR} = (8, 0, -2)$ અને $\vec{QS} = (-4, 3, 2)$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{QR} \times \vec{QS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & 0 & -2 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 24\hat{k}$.
તેને $2$ વડે ભાગતા,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$ મળે.
સમતલનું સમીકરણ $3x - 4y + 12z = 3$ છે.
બિંદુ $A(3,4,\alpha)$ નું સમતલથી અંતર $\frac{|3(3) - 4(4) + 12(\alpha) - 3|}{13} = 2$ છે.
$|12\alpha - 10| = 26 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$ ($\alpha \in N$ હોવાથી).
હવે,બિંદુ $B(2,3,a)$ નું સમતલથી અંતર $\frac{|3(2) - 4(3) + 12(a) - 3|}{13} = 3$ છે.
$|12a - 9| = 39 \implies 12a - 9 = 39 \implies 12a = 48 \implies a = 4$.

(B) સંબંધ $R$ એ ગણ $A \times B$ પર વ્યાખ્યાયિત છે. $A \times B$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $|A| \times |B| = 5 \times 5 = 25$ છે.
$R$ નો એક ઘટક એ $A \times B$ માંથી લીધેલ ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ છે,જેમ કે $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$,જેથી $a_1 \leq b_2$ અને $b_1 \leq a_2$ થાય.
ધારો કે $S_1 = \{(a_1, b_2) \in A \times B : a_1 \leq b_2\}$.
$a_1 = 1$ માટે,$b_2 \in \{2, 4, 5, 8, 10\}$ ($5$ વિકલ્પો).
$a_1 = 3$ માટે,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ વિકલ્પો).
$a_1 = 4$ માટે,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ વિકલ્પો).
$a_1 = 6$ માટે,$b_2 \in \{8, 10\}$ ($2$ વિકલ્પો).
$a_1 = 9$ માટે,$b_2 \in \{10\}$ ($1$ વિકલ્પ).
$a_1 \leq b_2$ માટે કુલ રીતો $5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 16$ છે.
ધારો કે $S_2 = \{(b_1, a_2) \in B \times A : b_1 \leq a_2\}$.
$b_1 = 2$ માટે,$a_2 \in \{3, 4, 6, 9\}$ ($4$ વિકલ્પો).
$b_1 = 4$ માટે,$a_2 \in \{4, 6, 9\}$ ($3$ વિકલ્પો).
$b_1 = 5$ માટે,$a_2 \in \{6, 9\}$ ($2$ વિકલ્પો).
$b_1 = 8$ માટે,$a_2 \in \{9\}$ ($1$ વિકલ્પ).
$b_1 = 10$ માટે,$a_2 \in \emptyset$ ($0$ વિકલ્પો).
$b_1 \leq a_2$ માટે કુલ રીતો $4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$ છે.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા એ દરેક શરતને સંતોષતી રીતોનો ગુણાકાર છે: $16 \times 10 = 160$.

(B) પ્રથમ, આપણે $f(x)$ ને $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 1-x, & 0 \leq x < 1 \\ x-1, & x \geq 1 \end{cases}$ તરીકે સરળ બનાવીએ છીએ.
હવે, આપણે $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધીએ છીએ.
જો $f(x) < 0$ હોય, તો $x+1 < 0 \implies x < -1$. આ કિસ્સામાં, $g(f(x)) = f(x) + 1 = (x+1) + 1 = x+2$.
જો $f(x) \geq 0$ હોય, તો $x \geq -1$. આ કિસ્સામાં, $g(f(x)) = 1$.
આમ, $(g \circ f)(x) = \begin{cases} x+2, & x < -1 \\ 1, & x \geq -1 \end{cases}$.
$x = -1$ આગળ સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to -1^-} (x+2) = 1$ અને $\lim_{x \to -1^+} (1) = 1$. લક્ષની કિંમત $g(f(-1)) = 1$ જેટલી હોવાથી, વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત છે.
$x = -1$ આગળ વિકલનીયતા તપાસતા: ડાબી બાજુનું વિકલન $\frac{d}{dx}(x+2) = 1$ છે, અને જમણી બાજુનું વિકલન $\frac{d}{dx}(1) = 0$ છે. $1 \neq 0$ હોવાથી, તે $x = -1$ આગળ વિકલનીય નથી.

(A) વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1 = 0$.
ધારો કે $t = e^{2x}$. $x \in R$ હોવાથી,$t > 0$ થશે.
સમીકરણ $t^4 - t^3 - 3t^2 - t + 1 = 0$ બને છે.
$t^2$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ હોવાથી):
$t^2 - t - 3 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$.
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) - (t + \frac{1}{t}) - 3 = 0$.
ધારો કે $u = t + \frac{1}{t}$. તો $u^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$,તેથી $t^2 + \frac{1}{t^2} = u^2 - 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(u^2 - 2) - u - 3 = 0 \Rightarrow u^2 - u - 5 = 0$.
ઉકેલ $u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$ મળે છે.
$t > 0$ હોવાથી,$u = t + \frac{1}{t} \geq 2$ થાય.
આપણે $u$ ની કિંમતો તપાસીએ:
$u_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \approx 2.79 > 2$.
$u_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \approx -1.79 < 2$.
$u_1 = t + \frac{1}{t}$ માટે,સમીકરણ $t^2 - u_1 t + 1 = 0$ નો વિવેચક $D = u_1^2 - 4 > 0$ છે,જે $t$ ની બે ભિન્ન ધન કિંમતો આપે છે.
$u_2 = t + \frac{1}{t}$ માટે,સમીકરણ $t^2 - u_2 t + 1 = 0$ નો વિવેચક $D = u_2^2 - 4 < 0$ છે,જે $t$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આપતું નથી.
$t = e^{2x}$ હોવાથી,દરેક ધન $t$ માટે $x$ ની એક વાસ્તવિક કિંમત મળે છે.
આમ,વક્ર $x$-અક્ષને $2$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ છે.
સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (5N)^2 - 4(64)(1) < 0$
$25N^2 - 256 < 0$
$N^2 < \frac{256}{25} \Rightarrow N < \frac{16}{5} = 3.2$.
$N$ એ ઉછાળની સંખ્યા હોવાથી,$N$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $N \in \{1, 2, 3\}$.
છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{4}$ અને કાંટો (tail) મળવાની સંભાવના $P(T) = \frac{3}{4}$ છે.
$N$-મા ઉછાળે પ્રથમ છાપ મળે તેની સંભાવના $P(N) = (\frac{3}{4})^{N-1} \times \frac{1}{4}$ છે.
$N=1$ માટે: $P(1) = \frac{1}{4}$.
$N=2$ માટે: $P(2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.
$N=3$ માટે: $P(3) = (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$.
કુલ સંભાવના $P(N \in \{1, 2, 3\}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} = \frac{16 + 12 + 9}{64} = \frac{37}{64}$.
અહીં,$p = 37$ અને $q = 64$.
તેથી,$q - p = 64 - 37 = 27$.

(A) આપેલ છે $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 1 + 2 - 3 = 0$,તેથી $\vec{a} \perp \vec{b}$.
વળી,$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 27$. આ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = 27$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ મુજબ $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
આપેલ છે $\vec{b} \cdot \vec{c} = -\sqrt{3}|\vec{b}| = -\sqrt{3}(\sqrt{3}) = -3$.
તેથી,$\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = -3\vec{a}$.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\vec{b}| |\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta = |-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{a} \times \vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$.
તેથી,$\sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta = 3\sqrt{14}$.
વળી,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = |\vec{b}| |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = 27$.
$\sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = 27 \implies |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $(|\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta)^2 + (|\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta)^2 = (\frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{3}})^2 + (9\sqrt{3})^2$.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = 3(14) + 81(3) = 42 + 243 = 285$.

(A) આપેલ શરત $f(1) + f(2) = f(4) - 1$ ને $f(1) + f(2) + 1 = f(4)$ તરીકે લખી શકાય.
સહપ્રદેશ $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ હોવાથી,$f(4)$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે.
તેથી,$f(1) + f(2) + 1 \leq 6$,જેનો અર્થ છે કે $f(1) + f(2) \leq 5$.
આપણે $f(1)$ અને $f(2)$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસીએ જ્યાં $f(1), f(2) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$:
કિસ્સો $(i)$: જો $f(1) = 1$,તો $f(2) \in \{1, 2, 3, 4\}$,કુલ $4$ જોડી.
કિસ્સો $(ii)$: જો $f(1) = 2$,તો $f(2) \in \{1, 2, 3\}$,કુલ $3$ જોડી.
કિસ્સો $(iii)$: જો $f(1) = 3$,તો $f(2) \in \{1, 2\}$,કુલ $2$ જોડી.
કિસ્સો $(iv)$: જો $f(1) = 4$,તો $f(2) = 1$,કુલ $1$ જોડી.
$(f(1), f(2))$ માટે કુલ જોડીઓ $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ છે.
દરેક જોડી માટે,$f(4)$ એ $f(1) + f(2) + 1$ તરીકે અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે.
$f(3)$ અને $f(5)$ એ $B$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે ($6$ ઘટકો),તેથી $f(3)$ અને $f(5)$ પસંદ કરવાની $6 \times 6 = 36$ રીતો છે.
વિધેયોની કુલ સંખ્યા $= 10 \times 6 \times 6 = 360$.

(A) રેખા $\ell$ ને $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $\ell$ ના દિકગુણોત્તર $(1, 2, \lambda)$ છે.
સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ના અભિલંબ સદિશના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{v} = (1, 2, \lambda)$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|1(1) + 2(2) + 3(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow |5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2) \Rightarrow 25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2 \Rightarrow 30\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(t, 2t + 1, \frac{2}{3}t + 3)$ છે. તે સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ પર હોવાથી:
$t + 2(2t + 1) + 3(\frac{2}{3}t + 3) = 4 \Rightarrow t + 4t + 2 + 2t + 9 = 4 \Rightarrow 7t = -7 \Rightarrow t = -1$.
બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma) = (-1, -1, \frac{7}{3})$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta + 6\gamma = -1 + 2(-1) + 6(\frac{7}{3}) = -1 - 2 + 14 = 11$.

(A) વક્ર $y = 2x^2 + 1$ છે. બિંદુ $(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 4x$. $x = 1$ આગળ ઢાળ $4$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = 4(x - 1)$ એટલે કે $y = 4x - 1$ છે.
સ્પર્શક $y = 4x - 1$ અને રેખા $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ મેળવવા માટે $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x + (4x - 1) = 1 \implies 5x = 2 \implies x = 2/5$. તેથી $y = 3/5$. છેદબિંદુ $S$ એ $(2/5, 3/5)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્ર $y = 2x^2 + 1$,સ્પર્શક $y = 4x - 1$ અને રેખા $y = 1 - x$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. આ પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = 1$ ની વચ્ચે છે.
$A = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + 1 - (1 - x)) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 + 1 - (4x - 1)) dx = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + x) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 - 4x + 2) dx$.
$= [\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2}]_{0}^{2/5} + [\frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 2x]_{2/5}^{1} = \frac{4}{15}$.
$60A = 60 \times \frac{4}{15} = 16$.

(C) રેખા $l_2$ એ બે સમતલોના છેદથી બને છે: $3x+2y+z-2=0$ અને $x-3y+2z-13=0$. $l_2$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$ છે.
રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ સમતલીય હોવાથી,તેમના પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય. $\alpha$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 7$ મળે છે.
હવે,$l_1$ એ $\frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$ છે. તેથી,$l_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda-5, \lambda-4, -2\lambda+7)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3\lambda-5 - (-4), \lambda-4 - (-3), -2\lambda+7 - 2) = (3\lambda-1, \lambda-1, -2\lambda+5)$ છે.
$PQ \perp l_1$ હોવાથી,$\vec{PQ}$ અને $l_1$ ના દિશા સદિશ $(3, 1, -2)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda-1) + 1(\lambda-1) - 2(-2\lambda+5) = 0 \Rightarrow 9\lambda - 3 + \lambda - 1 + 4\lambda - 10 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda=1$ મૂકતા,આપણને $P(-2, -3, 5)$ મળે છે.
તેથી,$|a|+|b|+|c| = |-2| + |-3| + |5| = 2+3+5 = 10$.

(A) સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c\end{array}\right|=0$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{lll}a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) + (1-a)(1-b) = 0$
આખા સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા (નોંધો કે $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$
કારણ કે $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
તેથી,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(C) ધારો કે $y=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = \sin^2 x \cdot \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) + \sin^2 x \cdot \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{2} \cdot (-\csc x \cot x)$.
વિકલનને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cos x \left[ 2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) - 1 \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\ln \left(\frac{3 e}{4 \sin^2 x}\right) = 1$.
તેથી,$\frac{3 e}{4 \sin^2 x} = e$,એટલે કે $\sin^2 x = \frac{3}{4}$.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(x) = \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{3/4} = (\sqrt{e})^{3/4} = e^{3/8}$.
આપેલ છે કે $e^{3/8} = \frac{k}{e}$,તેથી $k = e^{1 + 3/8} = e^{11/8}$.
તેથી $k^8 = (e^{11/8})^8 = e^{11}$.
આ કિંમતો મુકતા: $\left(\frac{k}{e}\right)^8 + \frac{k^8}{e^5} + k^8 = (e^{3/8})^8 + \frac{e^{11}}{e^5} + e^{11} = e^3 + e^6 + e^{11}$.

(B) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\sin^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ માં હોવો જોઈએ અને લઘુગણકનો આધાર ધન અને $1$ ન હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\frac{6+2 \log_3 x}{-5x} > 0$ અને $x > 0, x \neq \frac{1}{3}$. $x > 0$ હોવાથી,$6+2 \log_3 x < 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\log_3 x < -3$,જેનો અર્થ છે $x < 3^{-3} = \frac{1}{27}$. આમ,$x \in (0, \frac{1}{27})$.
આગળ,$-1 \leq \log_{3x} \left(\frac{6+2 \log_3 x}{-5x}\right) \leq 1$. $x < \frac{1}{27}$ હોવાથી,$3x < \frac{1}{9} < 1$,તેથી લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાઈ જશે: $(3x)^1 \leq \frac{6+2 \log_3 x}{-5x} \leq (3x)^{-1}$.
$15x^2 + 6 + 2 \log_3 x \geq 0$ અને $6 + 2 \log_3 x + \frac{5}{3} \geq 0$ ઉકેલતા $x \in [3^{-23/6}, \frac{1}{27})$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $D = [3^{-23/6}, \frac{1}{27})$.
$3^{-23/6} < x < \frac{1}{27}$ હોવાથી,$[x] = 0$,તેથી $g(x) = x$. વિસ્તાર $(\alpha, \beta) = (3^{-23/6}, \frac{1}{27})$ છે.
તેથી $\alpha = 3^{-23/6}$ અને $\beta = \frac{1}{27}$.
$\alpha^2 + \frac{5}{\beta} = (3^{-23/6})^2 + 5(27) = 3^{-23/3} + 135$. $3^{-23/3}$ ખૂબ નાની કિંમત હોવાથી,જવાબ આશરે $135$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.
$(1+x^2) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}{1+x^2}y^2$.
આ બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = -\frac{1}{1+x^2}y^2$.
$y^2$ વડે ભાગતા: $y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y^{-1} = -\frac{1}{1+x^2}$.
ધારો કે $t = y^{-1}$,તો $\frac{dt}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{dt}{dx} - \frac{x}{1+x^2}t = -\frac{1}{1+x^2} \implies \frac{dt}{dx} + \frac{x}{1+x^2}t = \frac{1}{1+x^2}$.
આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{x}{1+x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.
ઉકેલ $t \cdot \sqrt{1+x^2} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.
$t = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.
$y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\sqrt{1}}{1} = \ln(0+1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C=1$.
તેથી,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + 1 = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \ln e = \ln(e(x + \sqrt{1+x^2}))$.
$x = 2\sqrt{2}$ માટે,$y = \beta$: $\frac{\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}}{\beta} = \ln(e(2\sqrt{2} + \sqrt{1+8})) = \ln(e(2\sqrt{2} + 3))$.
$\frac{3}{\beta} = \ln(e(3+2\sqrt{2})) \implies e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$.

(B) આપેલ છે કે $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,આ સમીકરણ $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ માં પરિણમે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c}$ એ $(\vec{a} + \vec{b})$ ને સમાંતર છે. ધારો કે $\vec{c} = \alpha(\vec{a} + \vec{b})$ કોઈ અદિશ $\alpha$ માટે.
$\vec{a} + \vec{b} = (\lambda + 3)\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.
તેથી,$\vec{c} = \alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = -20 \Rightarrow (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -20$.
$3\alpha(\lambda + 3) + 2\alpha = -20 \Rightarrow \alpha(3\lambda + 11) = -20$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = -17 \Rightarrow (\lambda\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -17$.
$\alpha\lambda(\lambda + 3) - \alpha = -17 \Rightarrow \alpha(\lambda^2 + 3\lambda - 1) = -17$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{3\lambda + 11}{\lambda^2 + 3\lambda - 1} = \frac{20}{17}$.
$17(3\lambda + 11) = 20(\lambda^2 + 3\lambda - 1) \Rightarrow 51\lambda + 187 = 20\lambda^2 + 60\lambda - 20$.
$20\lambda^2 + 9\lambda - 207 = 0$. $\lambda \in \mathbb{Z}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 3$ મળે છે.
$\lambda = 3$ ને $\alpha(3(3) + 11) = -20$ માં મૂકતા,$20\alpha = -20 \Rightarrow \alpha = -1$.
આમ,$\vec{c} = -1(6\hat{i} + \hat{k}) = -6\hat{i} - \hat{k}$.
આપણે $|\vec{c} \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|^2$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{c} \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-6\hat{i} - \hat{k}) \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$.
$|\vec{v}|^2 = 1^2 + 3^2 + (-6)^2 = 1 + 9 + 36 = 46$.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3$ છે. વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ છે.
બિંદુ $(-1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 3(-1)^2 = 3$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-1) = 3(x - (-1))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x + 2$ થાય છે.
વક્ર $y = x^3$ અને સ્પર્શક $y = 3x + 2$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x^3 = 3x + 2$ લેતા,$x^3 - 3x - 2 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(x + 1)^2(x - 2) = 0$ મળે છે,તેથી છેદબિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{2} ((3x + 2) - x^3) dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = [\frac{3x^2}{2} + 2x - \frac{x^4}{4}]_{-1}^{2}$.
$A = (\frac{3(4)}{2} + 2(2) - \frac{16}{4}) - (\frac{3(1)}{2} + 2(-1) - \frac{1}{4})$.
$A = (6 + 4 - 4) - (\frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{4}) = 6 - (\frac{6 - 8 - 1}{4}) = 6 - (-\frac{3}{4}) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

(A) ધારો કે $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ અને $D = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
અહીં $CD = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$B = CAD$ હોવાથી,$B^n = (CAD)(CAD)...(CAD) = CA^n D$.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ $A^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$B^n = C A^n D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$B^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} + 2 \\ -1 & -\frac{n}{51} - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{n}{51} + 1 & \frac{n}{51} \\ -\frac{n}{51} & 1 - \frac{n}{51} \end{bmatrix}$.
$n=1$ થી $50$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{50} (\frac{n}{51} + 1) & \sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} \\ \sum_{n=1}^{50} (-\frac{n}{51}) & \sum_{n=1}^{50} (1 - \frac{n}{51}) \end{bmatrix}$.
$\sum_{n=1}^{50} n = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} = \frac{1275}{51} = 25$ મળે.
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} 25 + 50 & 25 \\ -25 & 50 - 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 75 & 25 \\ -25 & 25 \end{bmatrix}$.
તમામ ઘટકોનો સરવાળો $75 + 25 - 25 + 25 = 100$ થાય.

(D) સમતલ $P_1: 4x - y + z - 10 = 0$ અને $P_2: x + y - z - 4 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(4x - y + z - 10) + \lambda(x + y - z - 4) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(4 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (1 - \lambda)z - (10 + 4\lambda) = 0$ થાય છે.
મૂળ સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = (4, -1, 1)$ છે અને નવા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = (4 + \lambda, -1 + \lambda, 1 - \lambda)$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$4(4 + \lambda) - 1(-1 + \lambda) + 1(1 - \lambda) = 0 \Rightarrow 16 + 4\lambda + 1 - \lambda + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + 18 = 0 \Rightarrow \lambda = -9$.
$\lambda = -9$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા: $(4 - 9)x + (-1 - 9)y + (1 - (-9))z - (10 + 4(-9)) = 0 \Rightarrow -5x - 10y + 10z + 26 = 0$,અથવા $5x + 10y - 10z - 26 = 0$.
બિંદુ $(2, 3, -4)$ નું આ સમતલથી અંતર $\alpha = \frac{|5(2) + 10(3) - 10(-4) - 26|}{\sqrt{5^2 + 10^2 + (-10)^2}} = \frac{|10 + 30 + 40 - 26|}{\sqrt{25 + 100 + 100}} = \frac{54}{\sqrt{225}} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}$ છે.
આમ,$35\alpha = 35 \times \frac{18}{5} = 7 \times 18 = 126$.

(D) ધારો કે $X$ એ જરૂરી ઉછાળની સંખ્યા છે. એક ઉછાળમાં $n$ કરતા નાની સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{n-1}{n}$ છે.
એક ઉછાળમાં સંખ્યા $n$ મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{n}$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ એ ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{n-1}{n}$ છે.
ભૌમિતિક વિતરણનો મધ્યક $E[X] = \frac{1}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\frac{n}{9}$ છે,તેથી $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$.
$p = \frac{n-1}{n}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{(n-1)/n} = \frac{n}{9}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ થાય છે.
$n > 1$ હોવાથી,બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
તેથી,$n - 1 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.

(D) વિધેય $f(x) = |[x]| + \sqrt{x - [x]}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
અંતરાલ $(-2, 1)$ માં અસતતતાના બિંદુઓ તપાસીએ. $[x]$ વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે. આપેલ અંતરાલમાં પૂર્ણાંકો $-1$ અને $0$ છે.
કિસ્સો $1$: $x = -1$ આગળ:
$f(-1) = |[-1]| + \sqrt{-1 - [-1]} = |-1| + \sqrt{0} = 1$.
$f(-1^+) = \lim_{h \to 0^+} (|[ -1 + h ]| + \sqrt{-1 + h - [-1 + h]}) = |-1| + \sqrt{0} = 1$.
$f(-1^-) = \lim_{h \to 0^+} (|[ -1 - h ]| + \sqrt{-1 - h - [-1 - h]}) = |-2| + \sqrt{-1 - h - (-2)} = 2 + \sqrt{1 - h} = 2 + 1 = 3$.
$f(-1^+) \neq f(-1^-)$ હોવાથી,વિધેય $x = -1$ આગળ અસતત છે.
કિસ્સો $2$: $x = 0$ આગળ:
$f(0) = |[0]| + \sqrt{0 - [0]} = 0 + 0 = 0$.
$f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} (|[ 0 + h ]| + \sqrt{0 + h - [0 + h]}) = |0| + \sqrt{0} = 0$.
$f(0^-) = \lim_{h \to 0^+} (|[ 0 - h ]| + \sqrt{0 - h - [0 - h]}) = |-1| + \sqrt{-h - (-1)} = 1 + \sqrt{1 - h} = 1 + 1 = 2$.
$f(0^+) \neq f(0^-)$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ અસતત છે.
આમ,વિધેય $x = -1$ અને $x = 0$ આગળ અસતત છે. કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(D) સમતલનું સમીકરણ $x+3y-2z+6=0$ છે. બે યામ શૂન્ય લેતા,આપણને અંતઃખંડો મળે છે:
$A(-6, 0, 0)$,$B(0, -2, 0)$,$C(0, 0, 3)$.
ધારો કે $H(\alpha, \beta, \frac{6}{7})$ એ લંબકેન્દ્ર છે.
કારણ કે $H$ એ સમતલ $ABC$ પર આવેલું છે,$\alpha + 3\beta - 2(\frac{6}{7}) + 6 = 0 \implies \alpha + 3\beta = -6 + \frac{12}{7} = -\frac{30}{7}$.
વળી,$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
$\overrightarrow{AH} = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7}-0) = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7})$.
$\overrightarrow{BC} = (0, 2, 3)$.
$(\alpha+6)(0) + \beta(2) + \frac{6}{7}(3) = 0 \implies 2\beta + \frac{18}{7} = 0 \implies \beta = -\frac{9}{7}$.
$\beta$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha + 3(-\frac{9}{7}) = -\frac{30}{7} \implies \alpha - \frac{27}{7} = -\frac{30}{7} \implies \alpha = -\frac{3}{7}$.
હવે,$98(\alpha+\beta)^2 = 98(-\frac{3}{7} - \frac{9}{7})^2 = 98(-\frac{12}{7})^2 = 98 \times \frac{144}{49} = 2 \times 144 = 288$.

(D) ધારો કે $I(x) = \int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \, dx$.
$x = t^2$ આદેશ લેતા,$dx = 2t \, dt$ મળે.
સંકલન $\int \sqrt{\frac{t^2+7}{t^2}} \cdot 2t \, dt = 2 \int \sqrt{t^2+7} \, dt$ બને છે.
સૂત્ર $\int \sqrt{t^2+a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I(t) = 2 \left[ \frac{t}{2} \sqrt{t^2+7} + \frac{7}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+7}| \right] + C = t \sqrt{t^2+7} + 7 \ln|t + \sqrt{t^2+7}| + C$.
$t = \sqrt{x}$ મૂકતા,$I(x) = \sqrt{x} \sqrt{x+7} + 7 \ln|\sqrt{x} + \sqrt{x+7}| + C$ મળે.
આપેલ છે કે $I(9) = 12 + 7 \ln 7$.
$I(9) = \sqrt{9} \sqrt{9+7} + 7 \ln|\sqrt{9} + \sqrt{9+7}| + C = 3 \cdot 4 + 7 \ln(3+4) + C = 12 + 7 \ln 7 + C$.
સરખાવતા,$C = 0$ મળે.
તેથી,$I(x) = \sqrt{x(x+7)} + 7 \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+7})$.
હવે,$I(1) = \sqrt{1(1+7)} + 7 \ln(\sqrt{1} + \sqrt{1+7}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + \sqrt{8}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$.
આપેલ છે કે $I(1) = \alpha + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$,તેથી $\alpha = \sqrt{8}$.
આમ,$\alpha^4 = (\sqrt{8})^4 = 8^2 = 64$.

(D) આપેલ છે કે $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$.
આપણને $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ આપેલ છે. સરવાળો ફક્ત પ્રથમ હારને અસર કરે છે,તેથી:
$\sum_{k=1}^{n} D_{k} = \begin{vmatrix} \sum_{k=1}^{n} 1 & \sum_{k=1}^{n} 2k & \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$,$\sum_{k=1}^{n} 2k = n^2+n$,અને $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & n+2 \end{vmatrix} = 96$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$n \cdot [2(n+2) - 0] = 96 \Rightarrow 2n(n+2) = 96 \Rightarrow n(n+2) = 48$.
$n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 6$ મળે છે.

(B) ધારો કે ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે.
સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,તેમાં $(1,1), (2,2), (3,3)$ હોવા આવશ્યક છે.
આપેલ છે કે $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R$,તેથી $R$ પરંપરિત હોવા માટે,તેમાં $(1,3)$ હોવું જોઈએ કારણ કે $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R \implies (1,3) \in R$.
આમ,આ ઘટકો ધરાવતો ન્યૂનતમ સંબંધ $R_0 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)\}$ છે.
આ સંબંધ $R_0$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે. તે સંમિત નથી કારણ કે $(1,2) \in R_0$ પરંતુ $(2,1) \notin R_0$.
જો આપણે $R_0$ માં અન્ય કોઈ ઘટક ઉમેરીએ,જેમ કે $(2,1)$,તો સંબંધ $(1,2)$ અને $(2,1)$ ના સંદર્ભમાં સંમિત બની જાય છે. જો આપણે $(3,2)$ ઉમેરીએ,તો તે $(2,3)$ અને $(3,2)$ ના સંદર્ભમાં સંમિત બની જાય છે.
તેથી,આવા માત્ર $1$ જ સંબંધ શક્ય છે,જે પોતે $R_0$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = |100x^2 - 1|$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-0.15}^{0.15} |100x^2 - 1| dx = 2 \int_{0}^{0.15} |100x^2 - 1| dx$ થાય.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ $100x^2 - 1 = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{100}$,તેથી $x = 0.1$ (જે અંતરાલ $[0, 0.15]$ માં છે).
તેથી,$I = 2 \left[ \int_{0}^{0.1} (1 - 100x^2) dx + \int_{0.1}^{0.15} (100x^2 - 1) dx \right]$.
સંકલન કરતા:
$I = 2 \left[ x - \frac{100x^3}{3} \right]_0^{0.1} + 2 \left[ \frac{100x^3}{3} - x \right]_{0.1}^{0.15}$.
$I = 2 \left( 0.1 - \frac{0.1}{3} \right) + 2 \left( 0.1125 - 0.15 - \frac{0.1}{3} + 0.1 \right)$.
$I = 2 \left( \frac{0.2}{3} \right) + 2 \left( 0.0625 - \frac{0.1}{3} \right) = \frac{0.2}{3} + 0.125$.
$I = \frac{0.575}{3} = \frac{575}{3000}$.
$\frac{k}{3000}$ સાથે સરખાવતા,$k = 575$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\infty} \frac{6}{(e^x+1)(e^x+2)(e^x+3)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{6}{(e^x+1)(e^x+2)(e^x+3)} = \frac{3}{e^x+1} - \frac{6}{e^x+2} + \frac{3}{e^x+3}$.
$u = e^x$ લેતા,$du = e^x dx$,તેથી $dx = \frac{du}{u}$.
$I = \int_1^{\infty} \frac{6}{u(u+1)(u+2)(u+3)} du$.
સંકલિત માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{6}{u(u+1)(u+2)(u+3)} = \frac{1}{u} - \frac{3}{u+1} + \frac{3}{u+2} - \frac{1}{u+3}$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \left[ \ln|u| - 3\ln|u+1| + 3\ln|u+2| - \ln|u+3| \right]_1^{\infty}$.
$I = \left[ \ln \left| \frac{u(u+2)^3}{(u+1)^3(u+3)} \right| \right]_1^{\infty}$.
જેમ $u \to \infty$,લઘુગણકનો તર્ક $\ln(1) = 0$ ની નજીક પહોંચે છે.
$u = 1$ પર,કિંમત $\ln \left( \frac{1(3)^3}{(2)^3(4)} \right) = \ln \left( \frac{27}{32} \right)$ છે.
તેથી,$I = 0 - \ln \left( \frac{27}{32} \right) = \ln \left( \frac{32}{27} \right)$.

(A) ધારો કે $f(x) = x - 2 \sin x \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x = x - \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 1 - 2 \cos 2x + \cos 3x$.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - 2(2 \cos^2 x - 1) + (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 0$
$4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 3 \cos x + 3 = 0$
$(4 \cos^2 x - 3)(\cos x - 1) = 0$.
આથી $\cos x = 1$ અથવા $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi$.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(0) = 0$.
$f(\pi) = \pi$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi + 2 - 3\sqrt{3}}{6}$.
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi + 3\sqrt{3} + 2}{6}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $\frac{5\pi + 2 + 3\sqrt{3}}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x|x-1| + |x+2|$. સમીકરણ $f(x) = -a$ છે.
અમે અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને $f(x)$ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $x < -2$ માટે,$f(x) = -x^2 - 2$. જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$. $x = -2$ પર,$f(-2) = -6$.
કિસ્સો $2$: $-2 \le x < 1$ માટે,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$. $x = -2$ પર,$f(-2) = -6$. $x = 1$ પર,$f(1) = 3$.
કિસ્સો $3$: $x \ge 1$ માટે,$f(x) = x^2 + 2$. $x = 1$ પર,$f(1) = 3$. જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$.
વિધેય $f(x)$ તેના પ્રદેશ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે. $f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે.
સમીકરણ $f(x) = -a$ ને બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ મળે તે માટે,$-a$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત હોઈ શકે છે. તેથી,$a \in (-\infty, \infty)$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ છે.
લઘુત્તમ અંતરની રેખાની દિશાનો સદિશ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશોના ક્રોસ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = (2\hat{i} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
બિંદુ $P(-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{n}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{-2} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r-1, 2-r, 3-2r)$ છે.
સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(r-1) - 2(2-r) + 3(3-2r) = 10$
$r - 1 - 4 + 2r + 9 - 6r = 10$
$-3r + 4 = 10 \Rightarrow -3r = 6 \Rightarrow r = -2$.
છેદબિંદુ $Q$ એ $(-3, 4, 7)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે કે છાપની સંભાવના $P(H) = 3P(T)$. $P(H) + P(T) = 1$ હોવાથી,$4P(T) = 1$,તેથી $P(T) = \frac{1}{4}$ અને $P(H) = \frac{3}{4}$ મળે.
સિક્કાને છાપ આવે અથવા ત્રણ કાંટા આવે ત્યાં સુધી ઉછાળવામાં આવે છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3$ છે.
$X=1$ માટે: પરિણામ $H$ છે. $P(X=1) = P(H) = \frac{3}{4}$.
$X=2$ માટે: પરિણામ $TH$ છે. $P(X=2) = P(T) \times P(H) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$.
$X=3$ માટે: પરિણામો $TTH$ અથવા $TTT$ છે. $P(X=3) = P(T)^2 \times P(H) + P(T)^3 = (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} + (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4} + \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} + \frac{9}{16} = \frac{21}{16}$.

(A) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2a \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = 2(4 + 15) - 4(2 - 6) + 2a(-5 - 4) = 2(19) - 4(-4) + 2a(-9) = 38 + 16 - 18a = 54 - 18a = 18(3 - a)$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $\Delta \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $18(3 - a) \neq 0$,તેથી $a \neq 3$.
જો $a \neq 3$ હોય,તો $b$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
આમ,વિકલ્પો $B$ અને $C$ સાચા છે કારણ કે $a=6 \neq 3$ અને $a=8 \neq 3$.
અનંત ઉકેલો માટે,આપણે $\Delta = 0$ અને $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ ની જરૂર છે.
$\Delta = 0$ લેતા $a = 3$ મળે છે.
હવે,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 2a \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$a = 3$ માટે,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix} = b(4 + 15) - 4(8 - 24) + 6(-20 - 16) = 19b - 4(-16) + 6(-36) = 19b + 64 - 216 = 19b - 152$.
$\Delta_x = 0$ માટે,$19b = 152$,જે $b = 8$ આપે છે.
તેથી,જો $a = 3$ અને $b = 8$ હોય તો સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
આ વિકલ્પ $D$ ને સાચો બનાવે છે.
પરિણામે,વિકલ્પ $A$ સાચો નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3 f(x) + 2 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - 10$ (સમીકરણ $1$)
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) + 2 f(x) = x - 10$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x} - 30$
$4 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x - 20$
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$5 f(x) = \frac{3}{x} - 2x - 10$
$f(x) = \frac{3}{5x} - \frac{2x}{5} - 2$
હવે,$f(3)$ શોધો:
$f(3) = \frac{3}{5(3)} - \frac{2(3)}{5} - 2 = \frac{1}{5} - \frac{6}{5} - 2 = -1 - 2 = -3$
$f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = -\frac{3}{5x^2} - \frac{2}{5}$
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{5(1/16)} - \frac{2}{5} = -\frac{48}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{50}{5} = -10$
છેલ્લે,$\left|f(3) + f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)\right|$ ની ગણતરી કરો:
$|-3 + (-10)| = |-13| = 13$

(A) વિધેય $f(x) = \max \{\sin x, \cos x\}$ છે,જ્યાં $x \in [-\pi, \pi]$.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $\sin x = \cos x$ ક્યાં થાય છે તે જોઈએ,જે $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = -\frac{3\pi}{4}$ પર થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનને મહત્તમ મૂલ્યના આધારે વિભાજિત કરતા:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય:
$1. \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2. \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx = \sqrt{2}$.
$3. \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ: $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{2} + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.

(D) $3 \times 3$ ક્રમનો સંમિત શ્રેણિક $A$ એ $A = A^T$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,તે આ સ્વરૂપમાં હોય છે:
$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix}$
અહીં,સ્વતંત્ર ઘટકો $a, b, c, d, e,$ અને $f$ છે.
શ્રેણિકમાં $6$ સ્વતંત્ર સ્થાનો છે જેને ભરી શકાય છે.
આ દરેક $6$ સ્થાનોને $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ગણમાંથી કોઈપણ $10$ અંકો વડે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવા સંમિત શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6$ થાય.

(A) $(S1)$ માટે: પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $2(1+2+3+\ldots+n) = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ થાય છે.
આમ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{n^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+n}{n^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ માટે: આપણે સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}} \sum_{r=1}^{n} r^{15} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^{15} = \int_{0}^{1} x^{15} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_{0}^{1} x^{15} dx = [\frac{x^{16}}{16}]_{0}^{1} = \frac{1}{16}$. તેથી,$(S2)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
આપણને $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x + 3 - \sqrt{x}$ આપેલ છે.
ધારો કે $u = g(x) = \sqrt{x} + 1$.
તેથી $\sqrt{x} = u - 1$.
આ કિંમતને $(f \circ g)(x)$ ના પદમાં મૂકતા:
$f(u) = (u - 1)^2 + 3 - (u - 1)$.
$f(u) = (u^2 - 2u + 1) + 3 - u + 1$.
$f(u) = u^2 - 3u + 5$.
આમ,$f(x) = x^2 - 3x + 5$.
$f(0)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = (0)^2 - 3(0) + 5 = 5$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{d} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{d} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$.
તેથી,$\vec{d} - \vec{c} = \lambda \vec{b}$,અથવા $\vec{d} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $\vec{d} \cdot \vec{a} = 24$,આ સમીકરણમાં $\vec{d} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ મૂકતા:
$(\vec{c} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 24 \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 24$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (4)(-1) + (2)(4) = 2 - 4 + 8 = 6$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (4)(-2) + (2)(7) = 3 - 8 + 14 = 9$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + \lambda(9) = 24 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,$\vec{d} = \vec{c} + 2\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + 2(3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = (2+6)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (4+14)\hat{k} = 8\hat{i} - 5\hat{j} + 18\hat{k}$.
અંતે,$|\vec{d}|^2 = 8^2 + (-5)^2 + 18^2 = 64 + 25 + 324 = 413$.

(C) આપેલ છે કે $B = \text{adj}(A)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $|B| = |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$. અહીં $n=3$ અને $|A|=2$ છે,તેથી $|B| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$.
$B$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|B| = 1(8 - 3\alpha) - 3(4 - 3\alpha) + \alpha(\alpha - 2\alpha) = 4$
$8 - 3\alpha - 12 + 9\alpha - \alpha^2 = 4$
$-\alpha^2 + 6\alpha - 4 = 4$
$\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$
$(\alpha - 2)(\alpha - 4) = 0$
$\alpha > 2$ હોવાથી,$\alpha = 4$ મળે.
હવે,$\alpha = 4$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix}$
પદાવલિ $X^T B X$ છે જ્યાં $X = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$.
$X^T B X = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 12 & 12 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix} = 48 - 96 - 32 = -80$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = 7$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = 7$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot e^{-x} = \int 7 e^{-x} dx + C = -7e^{-x} + C$ છે.
તેથી,$y = Ce^x - 7$.
$y_1(0) = 0$ માટે: $0 = C_1(1) - 7 \Rightarrow C_1 = 7$. તેથી,$y_1(x) = 7e^x - 7$.
$y_2(0) = 1$ માટે: $1 = C_2(1) - 7 \Rightarrow C_2 = 8$. તેથી,$y_2(x) = 8e^x - 7$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y_1(x) = y_2(x)$ લો:
$7e^x - 7 = 8e^x - 7$.
$7e^x = 8e^x \Rightarrow e^x = 0$.
કારણ કે $e^x$ ની કિંમત કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $0$ થતી નથી,તેથી કોઈ છેદબિંદુ મળશે નહીં.