JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\left|\frac{1+ai}{b+i}\right| = 1$,તેથી $|1+ai| = |b+i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1+a^2 = b^2+1$,જે સૂચવે છે કે $a^2 = b^2$,તેથી $a = \pm b$.
$ab < 0$ હોવાથી,$b = -a$ મળે.
$a+ib$ એ $|z-1| = |2z|$ પર આવેલું હોવાથી,$|(a-1)+ib| = 2|a+ib|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a-1)^2 + b^2 = 4(a^2 + b^2)$.
$b^2 = a^2$ મુકતા,$(a-1)^2 + a^2 = 8a^2$.
$a^2 - 2a + 1 + a^2 = 8a^2 \Rightarrow 6a^2 + 2a - 1 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{6}$.
જો $a = \frac{\sqrt{7}-1}{6} \approx 0.27$ હોય,તો $[a] = 0$ અને $b = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$.
તેથી $\frac{1+[a]}{4b} = -\frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
જો $a = \frac{-1-\sqrt{7}}{6} \approx -0.607$ હોય,તો $[a] = -1$ અને $b = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$.
તેથી $\frac{1+[a]}{4b} = 0$.

(B) પદો $x_1, x_2, \ldots, x_7$ એ $A.P.$ માં છે જ્યાં $x_1 = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d > 0$ છે.
આ પદોને $9, 9+d, 9+2d, \ldots, 9+6d$ તરીકે લખી શકાય.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{1}{7} \sum_{i=0}^{6} (9+id) = 9 + 3d$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 4$ હોવાથી,વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
$A.P.$ માટે વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = d^2 \frac{n^2-1}{12}$ છે.
અહીં $n=7$ હોવાથી,$\sigma^2 = d^2 \frac{49-1}{12} = 4d^2$.
$4d^2 = 16$ પરથી $d^2 = 4$,એટલે કે $d = 2$.
હવે,$\overline{x} = 9 + 3(2) = 15$.
$x_6 = 9 + 5(2) = 19$.
તેથી,$\overline{x} + x_6 = 15 + 19 = 34$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ રેખા $3x + 2y = 1$ ના ઢાળ $(m = -\frac{3}{2})$ જેટલો હોવો જોઈએ.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{3x_0}{4y_0} = -\frac{3}{2} \implies x_0 = -2y_0$.
અતિવલયના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,$3(-2y_0)^2 - 4y_0^2 = 36 \implies 8y_0^2 = 36 \implies y_0 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$y_0 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ લેતા,$x_0 = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sqrt{2}(y_0 - x_0) = \sqrt{2}(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{2}}) = -9$.

(B) સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
અંકો $4, 5, 9$ હોવાથી,એકમનો અંક $4$ હોવો જોઈએ.
અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
ગણતરી કરતા કુલ સંખ્યા $81$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y+z=21$ છે,જ્યાં $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ છે.
ધારો કે $x' = x-1, y' = y-3, z' = z-4$,જ્યાં $x', y', z' \geq 0$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(x'+1) + (y'+3) + (z'+4) = 21$.
$x' + y' + z' + 8 = 21$.
$x' + y' + z' = 13$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n=13$ અને $r=3$ છે.
ઉકેલોની સંખ્યા = $\binom{13+3-1}{3-1} = \binom{15}{2}$.
$\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$.

(B) આપેલ નિયામિકા $x = \frac{a}{e} = 8$ અને નાભિ $(ae, 0) = (2, 0)$ છે.
આથી,$ae = 2$ અને $\frac{a}{e} = 8$.
ગુણાકાર કરતા $a^2 = 16$,તેથી $a = 4$. પછી $e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,તેથી $b = 2\sqrt{3}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
બિંદુ $P(4\cos\theta, 2\sqrt{3}\sin\theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{4} + \frac{y\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$ છે.
તે $(0, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0}{4} + \frac{4\sqrt{3}\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$,જે $2\sin\theta = 1$ આપે છે,એટલે કે $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 30^\circ$. બિંદુ $P$ એ $(4\cos 30^\circ, 2\sqrt{3}\sin 30^\circ) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\sqrt{3}}{8} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$ છે.
$Q$ માટે,$y = 0$ લેતા: $\frac{x\sqrt{3}}{8} = 1 \Rightarrow x = \frac{8}{\sqrt{3}}$. તેથી $Q = (\frac{8}{\sqrt{3}}, 0)$.
$PQ^2 = (2\sqrt{3} - \frac{8}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 = (\frac{6-8}{\sqrt{3}})^2 + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$.
$(3PQ)^2 = 9 \times PQ^2 = 9 \times \frac{13}{3} = 39$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x + 4y + 4$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - 2)^2 = 8(x + 1)$.
અહીં $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને નાભિ $(1, 2)$ મળે છે.
નાભિસ્થ જીવા $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે ઢાળ $m$ છે,તો રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ થાય.
$x$-અંતઃખંડ $3$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 0)$ રેખા પર છે.
કિંમત મૂકતા: $0 - 2 = m(3 - 1) \implies m = -1$.
નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $4a(1 + \frac{1}{m^2}) = 4(2)(1 + 1) = 16$ થાય.

(B) વિસ્તરણ $\left((10-3^x)^{1/2} + (3^{x-2})^{1/5}\right)^m$ છે. સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^mC_r} (10-3^x)^{(m-r)/2} (3^{x-2})^{r/5}$ છે.
$T_6 = 21$ આપેલ છે,તેથી $r=5$: ${^mC_5} (10-3^x)^{(m-5)/2} (3^{x-2}) = 21$.
${^mC_1}, {^mC_2}, {^mC_3}$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2({^mC_2}) = {^mC_1} + {^mC_3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m=7$ મળે છે.
$m=7$ ને $T_6$ માં મૂકતા: ${^7C_5} (10-3^x)^{(7-5)/2} (3^{x-2}) = 21 \implies 21 (10-3^x) \cdot \frac{3^x}{9} = 21$.
$(10-3^x) \cdot 3^x = 9 \implies (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.
$3^x=9$ અથવા $3^x=1 \implies x=2$ અથવા $x=0$.
કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો $0^2 + 2^2 = 4$ થાય.

(B) $(x^{\frac{2}{3}} + \alpha x^{-3})^{22}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot (x^{\frac{2}{3}})^{22-r} \cdot (\alpha x^{-3})^r$
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot \alpha^r \cdot x^{\frac{44-2r}{3} - 3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{44-2r}{3} - 3r = 0$
$44 - 2r - 9r = 0$
$11r = 44 \implies r = 4$
આપેલ છે કે સ્વતંત્ર પદ $7315$ છે:
${}^{22}C_4 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\frac{22 \times 21 \times 20 \times 19}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \cdot \alpha^4 = 7315$
$7315 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\alpha^4 = 1 \implies |\alpha| = 1$

(B) ધારો કે ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ $A_1, A_2, A_3$ છે.
$A_1: 3, 7, 11, 15, \ldots, 399$ સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ સાથે.
$A_2: 2, 5, 8, 11, \ldots, 359$ સામાન્ય તફાવત $d_2 = 3$ સાથે.
$A_3: 2, 7, 12, 17, \ldots, 197$ સામાન્ય તફાવત $d_3 = 5$ સાથે.
સામાન્ય પદોની શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $L = \operatorname{LCM}(4, 3, 5) = 60$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $47$ મળે છે.
સામાન્ય પદો $47, 107, 167$ છે.
સરવાળો $= 47 + 107 + 167 = 321$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{{}^{2n}C_3}{{}^{n}C_3} = 10$.
સૂત્ર ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1}} = 10$
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{2(2n-1) \cdot 2(n-1)}{(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{4(2n-1)}{n-2} = 10$
$8n - 4 = 10n - 20$
$2n = 16 \Rightarrow n = 8$.
હવે,$n = 8$ ને ગુણોત્તર $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ માં મૂકતા:
$n^2 + 3n = 8^2 + 3(8) = 64 + 24 = 88$
$n^2 - 3n + 4 = 8^2 - 3(8) + 4 = 64 - 24 + 4 = 44$
ગુણોત્તર $= 88 : 44 = 2 : 1$.

(B) શરૂઆતથી $5$-મું પદ $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4 = {^nC_4} 2^{(n-4)/4} 3^{-1}$ છે.
અંતથી $5$-મું પદ એ શરૂઆતથી $(n-3)$-મું પદ છે,જે $T_{n-3} = {^nC_4} 2^1 3^{-(n-4)/4}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $6^{(n-4)/4 - 1} = 6^{1/2}$.
તેથી,$\frac{n-4}{4} - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 10$.
શરૂઆતથી ત્રીજું પદ $T_3 = {^{10}C_2} (2^{1/4})^8 (3^{-1/4})^2 = 45 \cdot 4 \cdot 3^{-1/2} = 60 \sqrt{3}$.

(C) રેખા $L$ એ $9x + 5y = 45$ છે. તેના અંતઃખંડો $(5, 0)$ અને $(0, 9)$ છે.
રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(5, 0)$ તથા $(0, 9)$ વચ્ચેના રેખાખંડનું ત્રિભાગ કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ત્રિભાગ બિંદુઓ છે:
$P_1 = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{3}, \frac{2(9) + 1(0)}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, 6 \right)$
$P_2 = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{3}, \frac{1(9) + 2(0)}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, 3 \right)$
ઢાળ $m_1 = \frac{6}{5/3} = \frac{18}{5}$ અને $m_2 = \frac{3}{10/3} = \frac{9}{10}$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = \frac{18}{5} + \frac{9}{10} = \frac{36+9}{10} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$ છે.
રેખા $y = \frac{9}{2}x$ છે,અથવા $9x - 2y = 0$.
$L: 9x + 5y = 45$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(9x + 5y) - (9x - 2y) = 45 - 0 \implies 7y = 45 \implies y = \frac{45}{7}$.
તેથી $9x = 2y = \frac{90}{7} \implies x = \frac{10}{7}$.
બિંદુ $(\frac{10}{7}, \frac{45}{7})$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$C: \frac{45}{7} - \frac{10}{7} = \frac{35}{7} = 5$. આ સાચું છે.
આમ,બિંદુ $y - x = 5$ પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે $AB = 30 \ m$ અને $BQ = x$. $\triangle ABQ$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BQ} = \frac{30}{x}$.
તેથી,$x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \ m$. આમ,$BQ = 10\sqrt{3} \ m$.
$BCPQ$ લંબચોરસ હોવાથી,$CP = BQ = 10\sqrt{3} \ m$ અને $PQ = BC$.
$\triangle ACP$ માં,$P$ નો અવસેધકોણ $15^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 15^{\circ} = \frac{AC}{CP} = \frac{AC}{10\sqrt{3}}$.
$\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$ હોવાથી,$AC = 10\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 20\sqrt{3} - 30$.
તેથી $BC = AB - AC = 30 - (20\sqrt{3} - 30) = 60 - 20\sqrt{3}$.
લંબચોરસ $BCPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= BQ \times BC = (10\sqrt{3})(60 - 20\sqrt{3}) = 600\sqrt{3} - 600 = 600(\sqrt{3} - 1) \ m^2$.

(D) આપેલ શ્રેણી $5, 11, 19, 29, 41, \ldots$ છે.
ધારો કે $n$-મું પદ $T_n = an^2 + bn + c$ છે.
$n=1$ માટે,$T_1 = a + b + c = 5$.
$n=2$ માટે,$T_2 = 4a + 2b + c = 11$.
$n=3$ માટે,$T_3 = 9a + 3b + c = 19$.
સમીકરણો બાદ કરતા: $(T_2 - T_1) = 3a + b = 6$ અને $(T_3 - T_2) = 5a + b = 8$.
આ ઉકેલતા,$2a = 2 \implies a = 1$,$b = 3$,અને $c = 1$ મળે છે.
તેથી,$T_n = n^2 + 3n + 1$.
સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (n^2 + 3n + 1) = \sum_{n=1}^{20} n^2 + 3 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 1$.
સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_{20} = \frac{20(21)(41)}{6} + 3 \times \frac{20(21)}{2} + 20 = 2870 + 630 + 20 = 3520$.

(D) ધારો કે બે સમૂહ $S_1$ અને $S_2$ છે જ્યાં $n_1 = 15, n_2 = 15$ છે.
આપેલ છે: $\bar{x}_1 = 12, \sigma_1^2 = 14$ અને $\bar{x}_2 = 14, \sigma_2^2 = \sigma^2$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2_{comb}$ નું સૂત્ર:
$\sigma^2_{comb} = \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2 (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2}{(n_1 + n_2)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$13 = \frac{15(14) + 15(\sigma^2)}{30} + \frac{15 \times 15 (12 - 14)^2}{30^2}$
$13 = \frac{14 + \sigma^2}{2} + 1$
$12 = \frac{14 + \sigma^2}{2}$
$24 = 14 + \sigma^2$
$\sigma^2 = 10$

(A) આપેલ પદાવલિ: $(P$ $\Rightarrow Q) \wedge (R$ $\Rightarrow Q)$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરણ $P \Rightarrow Q$ એ $\sim P \vee Q$ ને સમકક્ષ છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sim P \vee Q) \wedge (\sim R \vee Q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $Q$ ને સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$(\sim P \wedge \sim R) \vee Q$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim P \wedge \sim R$ એ $\sim(P \vee R)$ ને સમકક્ષ છે:
$\sim(P \vee R) \vee Q$
પ્રેરણના નિયમ $\sim A \vee B \equiv A \Rightarrow B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(P \vee R) \Rightarrow Q$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x^2-8x+15|-2x+7=0$ છે.
કિસ્સો $1$: $x^2-8x+15 \geq 0$,જેનો અર્થ છે $x \leq 3$ અથવા $x \geq 5$.
સમીકરણ $x^2-8x+15-2x+7=0$ બને છે,તેથી $x^2-10x+22=0$.
બીજ $x = \frac{10 \pm \sqrt{100-88}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}$ છે.
$5+\sqrt{3} \geq 5$ અને $5-\sqrt{3} \approx 3.268$ (જે $x \leq 3$ અથવા $x \geq 5$ માં નથી),તેથી માત્ર $x = 5+\sqrt{3}$ માન્ય બીજ છે.
કિસ્સો $2$: $x^2-8x+15 < 0$,જેનો અર્થ છે $3 < x < 5$.
સમીકરણ $-(x^2-8x+15)-2x+7=0$ બને છે,તેથી $-x^2+8x-15-2x+7=0$,જે $-x^2+6x-8=0$ અથવા $x^2-6x+8=0$ માં પરિણમે છે.
અવયવ પાડતા $(x-2)(x-4)=0$ મળે છે,તેથી $x=2$ અથવા $x=4$.
$3 < x < 5$ હોવાથી,માત્ર $x=4$ માન્ય બીજ છે.
તમામ બીજનો સરવાળો $(5+\sqrt{3}) + 4 = 9+\sqrt{3}$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$ છે.
દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.
આમ,$S_n = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$.
લક્ષ $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{d}{n}} \cdot \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}}$ બને છે.
કારણ કે $a_n = a_1 + (n-1)d$,જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $a_n \approx nd$.
તેથી,લક્ષ $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{nd} - \sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{\sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}} \right) = 1$ છે.

(B) ગણ $A$ માટે: $[x + 3] + [x + 4] \leq 3 \implies [x] + 3 + [x] + 4 \leq 3$.
$2[x] + 7 \leq 3 \implies 2[x] \leq -4 \implies [x] \leq -2$.
કારણ કે $[x] \leq -2$,તેથી $x < -1$,એટલે કે $A = (-\infty, -1)$.
ગણ $B$ માટે: સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^n} = 3 \left( \frac{1/10}{1 - 1/10} \right) = 3 \left( \frac{1/10}{9/10} \right) = 3 \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{3} = 3^{-1}$.
અસમતા $3^x (3^{-1})^{x-3} < 3^{-3x}$ બને છે.
$3^x \cdot 3^{-x+3} < 3^{-3x} \implies 3^3 < 3^{-3x}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $3 < -3x \implies x < -1$.
આમ,$B = (-\infty, -1)$.
તેથી,$A = B$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
વર્તુળ બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(\alpha-a)^2 + (\beta-a)^2 = a^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2 - 2\alpha a + a^2 + \beta^2 - 2\beta a + a^2 = a^2$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) + a^2 = 0$ મળે છે.
અક્ષો સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, a)$ છે. રેખા $AB$ નું સમીકરણ $x + y = a$ અથવા $x + y - a = 0$ છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ થી રેખા $x + y - a = 0$ પરના લંબ $PQ$ ની લંબાઈ $PQ = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ છે કે $PQ = 11$,તેથી $\frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}} = 11$,એટલે કે $|\alpha + \beta - a| = 11\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\alpha + \beta - a)^2 = 242$.
વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2 + \beta^2 + a^2 + 2\alpha\beta - 2a(\alpha + \beta) = 242$.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) = -a^2$.
આ કિંમતને વર્ગ કરેલા સમીકરણમાં મૂકતા: $-a^2 + a^2 + 2\alpha\beta = 242$.
આમ,$2\alpha\beta = 242$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha\beta = 121$.

(A) $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને $k$ અલગ-અલગ જૂથોમાં એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી કોઈ જૂથ ખાલી ન રહે,આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 20$ અને $k = 3$ છે.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વિના $20$ અલગ-અલગ નારંગીને $3$ બાળકોમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $3^{20}$ છે.
ધારો કે $S$ એ તમામ વિતરણોનો સમૂહ છે,અને $A_i$ એ એવી સ્થિતિ છે કે બાળક $i$ ને કોઈ નારંગી મળતી નથી.
આપણે એવી રીતોની સંખ્યા શોધવી છે જ્યાં કોઈ બાળકને શૂન્ય નારંગી ન મળે,જે $|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'Principle of Inclusion-Exclusion' મુજબ,આ $3^{20} - \binom{3}{1} 2^{20} + \binom{3}{2} 1^{20} - \binom{3}{3} 0^{20}$ છે.
$= 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3 \times 1 - 0 = 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3$.

(D) પ્રદેશ $E$ એ $y \geq 3-x$ અને $y \leq \sqrt{9-x^2}$ દ્વારા $0 \leq x \leq 3$ માટે મર્યાદિત છે.
બિંદુ $(p, p+1)$ એ રેખા $y = x+1$ પર આવેલું છે.
$p$ ની રેન્જ શોધવા માટે,આપણે $y = x+1$ નું $E$ ની સીમાઓ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ.
$1$. $y = 3-x$ સાથે છેદબિંદુ:
$x+1 = 3-x \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
તેથી,$p = 1$ (આ $a$ છે).
$2$. $y = \sqrt{9-x^2}$ સાથે છેદબિંદુ:
$x+1 = \sqrt{9-x^2} \implies (x+1)^2 = 9-x^2 \implies x^2+2x+1 = 9-x^2 \implies 2x^2+2x-8 = 0 \implies x^2+x-4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x \geq 0$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ લઈએ છીએ.
તેથી,$p = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ (આ $b$ છે).
આમ,$p \in \left(1, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$,જ્યાં $a = 1$ અને $b = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.
આપણે $b^2+b-a^2$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$b^2+b-4 = 0$ હોવાથી,$b^2+b = 4$ થાય.
તેથી,$b^2+b-a^2 = 4 - (1)^2 = 4-1 = 3$.

(D) $(x^4-\frac{1}{x^3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-\frac{1}{x^3})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r}$ થાય છે.
$x^{18}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંક $60-7r = 18$ લઈએ છીએ.
$7r = 60 - 18 = 42$,જે આપણને $r = 6$ આપે છે.
સહગુણક ${}^{15}C_6 (-1)^6 = {}^{15}C_6 = 5005$ છે.

(D) ધારો કે $x = a - b$. શરત $2x^2 + 3x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $2x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(2x + 3) = 0$. $a, b \in \{1, \ldots, 10\}$ હોવાથી,$x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. તેથી,$x = 0$.
જો $x = 0$ હોય,તો $a - b = 0 \Rightarrow a = b$. આવી $10$ જોડ મળે: $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$.
કિસ્સો $2$: $2x^2 + 3x = 1 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$. $x$ માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: $2x^2 + 3x = 2 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 2 = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x + 2) = 0$. પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = -2$ મળે.
જો $x = -2$ હોય,તો $a - b = -2 \Rightarrow b = a + 2$. શક્ય જોડ: $(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (6,8), (7,9), (8,10)$. આવી $8$ જોડ મળે.
કિસ્સો $4$: $2x^2 + 3x = 3 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 3 = 0$. કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $5$: $2x^2 + 3x = 4 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 4 = 0$. કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કુલ ઘટકોની સંખ્યા $= 10 + 8 = 18$.

(D) વક્રનું સમીકરણ $x^2+2x-4y+9=0$ છે. $P(1,3)$ આગળનો સ્પર્શક $x-y+2=0$ છે.
$y$-અક્ષ માટે $x=0$ લેતા,$y=2$ મળે,તેથી $A = (0,2)$.
$P(1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $x-3y=6$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x-3y+8=0$ છે.
આ રેખા $y^2=4x$ ને છેદે છે,તેથી $y^2-12y+32=0$ મળે,જેના ઉકેલ $y=4$ અને $y=8$ છે.
બિંદુઓ $(4,4)$ અને $(16,8)$ મળે છે.
શરત $2x-3y=8$ ચકાસતા,$B = (16,8)$ મળે છે.
તેથી,$(AB)^2 = (16-0)^2 + (8-2)^2 = 256 + 36 = 292$.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ત્રણેય પાસા પર અલગ-અલગ સંખ્યાઓ મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
અલગ-અલગ સંખ્યાઓ મળવાની સંભાવના $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{p}{q} = \frac{5}{9}$ જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $p = 5$ અને $q = 9$ મળે.
તેથી,$q - p = 9 - 5 = 4$.

(C) $(S1)$ માટે: ધારો કે $a = 2023$ અને $b = 1999$. નોંધો કે $a \equiv 7 \pmod{8}$ અને $b \equiv 7 \pmod{8}$.
તેથી $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ અને $b^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$.
કારણ કે $7 \equiv -1 \pmod{8}$,$7^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$.
આમ,$2023^{2022} - 1999^{2022} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ માટે: ધારો કે $f(n) = 13(13^{n}) - 11n - 13 = 13^{n+1} - 11n - 13$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$13^{n+1} = (1 + 12)^{n+1} = 1 + (n+1)12 + \binom{n+1}{2}12^2 + \dots = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
તેથી,$f(n) = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots - 11n - 13 = n + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
$f(n)$ એ $144$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,$n$ એ $144$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. આવા અસંખ્ય $n \in N$ હોવાથી,$(S2)$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $L_n = \prod_{k=1}^{n} \left(2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}}\right)$.
દરેક $k \ge 1$ માટે,$2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}} > 0$ છે.
વળી,$2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}} < 2^{\frac{1}{2}} - 2^0 = \sqrt{2} - 1 < 1$ છે.
આમ,$0 < L_n < (\sqrt{2} - 1)^n$ થાય.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે $(\sqrt{2} - 1)^n \rightarrow 0$ થાય કારણ કે $|\sqrt{2} - 1| < 1$.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,$\lim_{n \rightarrow \infty} L_n = 0$.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ અને $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ થાય.
શરત $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ પરથી $a(x^2 - y^2) + bx = a$ $(1)$ મળે.
શરત $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$ પરથી $b(x^2 - y^2) + ax = b$ $(2)$ મળે.
સમીકરણ $(1)$ ને $b$ વડે અને $(2)$ ને $a$ વડે ગુણતા:
$ab(x^2 - y^2) + b^2x = ab$ $(3)$
$ab(x^2 - y^2) + a^2x = ab$ $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને $(3)$ માંથી બાદ કરતા:
$(b^2 - a^2)x = 0$ મળે.
અહીં $a \neq b$ હોવાથી, જો $a \neq -b$ હોય, તો $b^2 - a^2 \neq 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા $a(-y^2) = a$ મળે. $a \neq 0$ હોવાથી, $y^2 = -1$ મળે, જેનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ, $a \neq \pm b$ માટે, કોઈ ઉકેલ મળતો નથી, તેથી ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) $PUBLIC$ શબ્દના અક્ષરો $B, C, I, L, P, U$ છે.
શબ્દકોશ મુજબ ગણતરી કરતા,$PUBLIC$ શબ્દનો ક્રમ $582$ મળે છે.

(B) વિસ્તરણ $\left(ax^2+\frac{1}{2bx}\right)^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax^2)^{11-r} (\frac{1}{2bx})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (\frac{1}{2b})^r x^{22-3r}$ છે.
$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$. સહગુણક ${}^{11}C_5 a^6 (\frac{1}{2b})^5 = \frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5}$ છે.
વિસ્તરણ $\left(ax-\frac{1}{3bx^2}\right)^{11}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{3bx^2})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (-\frac{1}{3b})^r x^{11-3r}$ છે.
$11-3r = -7$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$. સહગુણક ${}^{11}C_6 a^5 (-\frac{1}{3b})^6 = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: $\frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5} = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$.
કારણ કે ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$,તેથી $\frac{a^6}{32b^5} = \frac{a^5}{729b^6}$.
$a^5$ વડે ભાગતા અને $b^6$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{ab}{32} = \frac{1}{729}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $729ab = 32$.

(A) વિધાનો સત્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક માટે સત્યતા કોષ્ટક (truth table) બનાવીએ.
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ માટે:
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $\sim p \wedge q$ | $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
છેલ્લી કોલમમાં $F$ હોવાથી,$(S1)$ એ નિત્યસત્ય નથી. તેથી,$(S1)$ અસત્ય છે.
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ માટે:
| $p$ | $q$ | $q \Rightarrow p$ | $\sim p \wedge q$ | $(q \Rightarrow p) \Rightarrow (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
છેલ્લી કોલમમાં $T$ અને $F$ બંને હોવાથી,$(S2)$ એ નિત્યસત્ય પણ નથી અને વિરોધાભાસ પણ નથી. તેથી,$(S2)$ અસત્ય છે.
આમ,$(S1)$ કે $(S2)$ બંનેમાંથી એક પણ સત્ય નથી.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (1, -\frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{2}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{S_1} = \frac{5}{4}$ છે.
કેન્દ્ર $C$ થી બિંદુ $R$ નું અંતર $d = \frac{5\sqrt{5}}{4}$ છે.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{r L^3}{r^2 + L^2} = \frac{(\frac{5}{2}) \cdot (\frac{5}{4})^3}{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{4})^2} = \frac{5}{8}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ છે.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + \ldots + (2021 - 2022)(2021 + 2022) + 2023^2$.
$S = -1(1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 2022) + 2023^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય,તેથી:
$S = -\frac{2022 \times 2023}{2} + 2023^2$.
$S = -1011 \times 2023 + 2023^2$.
$S = 2023(2023 - 1011) = 2023 \times 1012$.
આપેલ છે કે $1012 m^2 n = 2023 \times 1012$,તેથી $m^2 n = 2023$.
$2023 = 17^2 \times 7$ હોવાથી,$m = 17$ અને $n = 7$ મળે.
તેથી,$m^2 - n^2 = 17^2 - 7^2 = 289 - 49 = 240$.

(C) ધારો કે $p$ એ બંને ભાષા બોલતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
$\alpha + p = 75$ (માત્ર અંગ્રેજી)
$\beta + p = 40$ (માત્ર હિન્દી)
$\alpha + \beta + p = 100$ (કુલ વ્યક્તિઓ)
પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\alpha + \beta + 2p = 115$.
ત્રીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $p = 115 - 100 = 15$.
તેથી,$\alpha = 75 - 15 = 60$ અને $\beta = 40 - 15 = 25$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ છે.
$25 \alpha^2 \beta^2$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = \frac{1}{25}$.
આ $\frac{x^2}{(\alpha/5)^2} + \frac{y^2}{(\beta/5)^2} = 1$ છે.
અહીં,$a = \frac{60}{5} = 12$ અને $b = \frac{25}{5} = 5$.
$a > b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = \tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \tan 63^{\circ} + \tan 81^{\circ}$
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ અને $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ મળે.
તેથી,$E = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
$E = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1} = 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - \sqrt{5} + 1}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(C) ધારો કે $S = (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19}$.
$(20)^{19}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $k = 1 + 2(\frac{21}{20}) + 3(\frac{21}{20})^2 + \ldots + 20(\frac{21}{20})^{19}$.
ધારો કે $x = \frac{21}{20}$. તેથી $k = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + 20x^{19}$.
$x$ વડે ગુણતા,$kx = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 20x^{20}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{19} - 20x^{20}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા: $k(1 - x) = \frac{1 - x^{20}}{1 - x} - 20x^{20}$.
અહીં $1 - x = 1 - \frac{21}{20} = -\frac{1}{20}$,તેથી $k(-\frac{1}{20}) = \frac{1 - x^{20}}{-1/20} - 20x^{20} = -20(1 - x^{20}) - 20x^{20}$.
$k(-\frac{1}{20}) = -20 + 20x^{20} - 20x^{20} = -20$.
તેથી,$k = (-20) \times (-20) = 400$.

(C) $UNIVERSE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, E$.
ભિન્ન અક્ષરો $U, N, I, V, E, R, S$ છે.
અહીં $3$ સ્વર $\{U, I, E\}$ અને $4$ વ્યંજન $\{N, V, R, S\}$ છે.
$3$ માંથી $2$ સ્વર અને $4$ માંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો = $\binom{3}{2} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18$.
દરેક પસંદગીમાં $4$ ભિન્ન અક્ષરો હોય છે,જેને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $18 \times 24 = 432$.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ છે.
નિત્યસમ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2 = 2\lambda$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$ મળે છે.
આ વર્તુળ $|z - z_0|^2 = R^2$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $R^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$.
આપેલ ત્રિજ્યા $R = \sqrt{\lambda - 1}$ છે,તેથી $R^2 = \lambda - 1$.
$R^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = \lambda - 1$.
$-\frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = -1$.
$|\alpha - \beta|^2 = 4$.
$|\alpha - \beta| = 2$.

(C) અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ માટે,તેને $\frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 1/2$ અને $b^2 = 1/2$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_E$ એ $e_H$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ઉપવલય અને અતિવલય લંબકોણીય રીતે છેદતા હોવાથી,તેઓ સહનાભિ (confocal) છે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
ઉપવલય માટે,$ae_E = 1$. $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$a \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$,તેથી $a = \sqrt{2}$.
$e_E^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{2} = \frac{1}{2}$,તેથી $b^2 = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ $(\sqrt{2})^2 = 2$ થાય.

(C) આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક માટે,કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 4 + 4 + \alpha + 15 + 8 + \beta + 4 + 5 = 40 + \alpha + \beta$.
સરવાળો $\sum f_i x_i = (2 \times 4) + (4 \times 4) + (6 \times \alpha) + (8 \times 15) + (10 \times 8) + (12 \times \beta) + (14 \times 4) + (16 \times 5) = 360 + 6\alpha + 12\beta$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 9$ $\Rightarrow 360 + 6\alpha + 12\beta = 9(40 + \alpha + \beta)$ $\Rightarrow 3\beta = 3\alpha$ $\Rightarrow \alpha = \beta$.
$N = 40 + 2\alpha$ મળે.
સરવાળો $\sum f_i x_i^2 = 3904 + 180\alpha$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 15.08$ $\Rightarrow \frac{3904 + 180\alpha}{40 + 2\alpha} - 81 = 15.08$ $\Rightarrow \alpha = 5$.
તેથી $\beta = 5$.
$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 5^2 + 5^2 - (5 \times 5) = 25$.

(A) પરવલય $y^2=20x$ છે,તેથી નાભિ $R$ એ $(5, 0)$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ એ રેખા $y=mx+c$ અને પરવલયના છેદબિંદુઓ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં $x = (y-c)/m$ મૂકતા: $y^2 = 20(y-c)/m \Rightarrow my^2 - 20y + 20c = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$y_1+y_2 = 20/m$.
ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(10, 10)$ હોવાથી $(y_1+y_2+y_R)/3 = 10$. અહીં $y_R = 0$ હોવાથી,$(y_1+y_2)/3 = 10 \Rightarrow y_1+y_2 = 30$.
તેથી,$20/m = 30 \Rightarrow m = 2/3$.
$c-m=6$ આપેલ હોવાથી,$c = 6 + 2/3 = 20/3$.
$y$ માટેનું દ્વિઘાત સમીકરણ $y^2 - 30y + 200 = 0 \Rightarrow (y-10)(y-20) = 0$ થાય.
તેથી $y_1=10$ અને $y_2=20$. અનુરૂપ $x$ ની કિંમતો $x_1 = 5$ અને $x_2 = 20$ મળે.
આમ $P(5, 10)$ અને $Q(20, 20)$ મળે.
$(PQ)^2 = (20-5)^2 + (20-10)^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે રેખાઓના સમીકરણો ઉકેલો:
$1$. $4x + 3y = 69$ અને $4y - 3x = 17$ નો છેદબિંદુ $A(9, 11)$ છે.
$2$. $4x + 3y = 69$ અને $x + 7y = 61$ નો છેદબિંદુ $B(12, 7)$ છે.
$3$. $4y - 3x = 17$ અને $x + 7y = 61$ નો છેદબિંદુ $C(5, 8)$ છે.
અહીં $4x + 3y = 69$ અને $4y - 3x = 17$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે. કર્ણના અંત્યબિંદુઓ $(12, 7)$ અને $(5, 8)$ છે.
પરિકેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = \left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)$.
તેથી,$(\alpha - \beta)^2 + \alpha + \beta = (1)^2 + 16 = 17$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ,$\alpha = -1$ અને $\beta \gamma = 1$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(-1)^3 + b(-1) + c = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $-1 - b + c = 0$ અથવા $c - b = 1$ થાય છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -c$.
$\alpha = -1$ અને $\beta \gamma = 1$ મૂકતા,આપણને $(-1)(1) = -c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
$c = 1$ ને $c - b = 1$ માં મૂકતા,આપણને $1 - b = 1$ મળે છે,તેથી $b = 0$.
સમીકરણ $x^3 + 1 = 0$ બને છે.
$x^3 = -1$ ના બીજ $-1, -\omega, -\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -1, \beta = -\omega, \gamma = -\omega^2$.
આપણે $b^3 + 2c^3 - 3\alpha^3 - 6\beta^3 - 8\gamma^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $0^3 + 2(1)^3 - 3(-1)^3 - 6(-\omega)^3 - 8(-\omega^2)^3$.
$= 0 + 2 - 3(-1) - 6(-\omega^3) - 8(-\omega^6)$.
$= 2 + 3 + 6(1) + 8(1) = 2 + 3 + 6 + 8 = 19$.

(A) પ્રથમ,$7$ છોકરાઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવો. $7$ છોકરાઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(7-1)! = 6!$ છે.
વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં છોકરાઓ વચ્ચે $7$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે.
આપણે $5$ છોકરીઓને આ $7$ જગ્યાઓમાંથી એવી રીતે બેસાડવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે. $7$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^7C_5$ છે.
પસંદ કરેલી $5$ જગ્યાઓમાં $5$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $6! \times ^7C_5 \times 5!$.
$= 720 \times 21 \times 120 = 1,814,400$.
વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પદની ગણતરી: $126 \times (120)^2 = 1,814,400$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
સ્વરો $I, E, E, E, E$ છે (કુલ $5$ સ્વરો).
વ્યંજનો $N, N, N, D, D, P, C$ છે (કુલ $7$ વ્યંજનો).
બધા સ્વરો સાથે હોવાથી,આપણે $(IEEEE)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ સ્વર જૂથ = $8$ એકમો છે.
આ $8$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો,જેમાં $N$ ત્રણ વાર અને $D$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{8!}{3!2!}$ છે.
સ્વર જૂથ $(IEEEE)$ માં,$4$ $E$ સમાન છે. સ્વરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{4!} = 5$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓ = $\frac{8!}{3!2!} \times \frac{5!}{4!} = 16800$.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો ${}^nC_{r-1}, {}^nC_r, {}^nC_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^nC_{r-1} : {}^nC_r : {}^nC_{r+1} = 1 : 5 : 20$ છે.
$\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{5}{1}$ પરથી,$\frac{n-r+1}{r} = 5 \implies n = 6r-1 \dots(1)$.
$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{20}{5} = 4$ પરથી,$\frac{n-r}{r+1} = 4 \implies n = 5r+4 \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,$6r-1 = 5r+4 \implies r = 5$.
$r=5$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$n = 6(5)-1 = 29$.
ચોથા પદનો સહગુણક ${}^nC_3 = {}^{29}C_3$ છે.
${}^{29}C_3 = \frac{29 \times 28 \times 27}{3 \times 2 \times 1} = 3654$.

(A) આપેલ છે $S_{k} = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
તેથી $S_{j}^2 = \frac{(j+1)^2}{4} = \frac{j^2 + 2j + 1}{4}$.
$j=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{j=1}^n j^2 + 2 \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n 1 \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} + n \right]$
$= \frac{n}{4} \left[ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1) + 1 \right]$
$= \frac{n}{24} \left[ (2n^2 + 3n + 1) + 6n + 6 + 6 \right]$
$= \frac{n}{24} [2n^2 + 9n + 13]$.
$\frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$ સાથે સરખાવતા,$A=24, B=2, C=9, D=13$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A+B = 26$,$D=13$,$26$ એ $13$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $S = (p$ $\Rightarrow q)$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$.
$A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p$ $\Rightarrow q) \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$S \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee (\sim q \vee p)$
$S \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim q \vee p)$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$S \equiv (p \vee \sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim q \vee p)$
$S \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$.
હવે,$S$ નું નિષેધ $\sim (p \vee \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ અથવા $q \wedge (\sim p)$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x+|x|}{2} = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$.
આપેલ છે કે $g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x, & x < 0 \end{cases}$.
તેથી $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ 0, & g(x) < 0 \end{cases}$.
$x \geq 0$ માટે,$g(x) = x^2 \geq 0$,તેથી $f(g(x)) = x^2$.
$x < 0$ માટે,$g(x) = x < 0$,તેથી $f(g(x)) = 0$.
આમ,$y = (f \circ g)(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$.
રેખા $2y - x = 15$ છે,અથવા $y = \frac{x+15}{2}$.
$x \geq 0$ માટે $y = x^2$ અને $y = \frac{x+15}{2}$ નું છેદબિંદુ:
$x^2 = \frac{x+15}{2} \implies 2x^2 - x - 15 = 0 \implies (2x+5)(x-3) = 0$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x = 3$.
ક્ષેત્રફળ $y = 0$,$y = \frac{x+15}{2}$,અને $y = x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ = $\int_{-15}^{0} \frac{x+15}{2} dx + \int_{0}^{3} (\frac{x+15}{2} - x^2) dx$.
ક્ષેત્રફળ = $[\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2}]_{-15}^{0} + [\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$.
ક્ષેત્રફળ = $(0 - (\frac{225}{4} - \frac{225}{2})) + ((\frac{9}{4} + \frac{45}{2} - 9) - 0)$.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{225}{4} + \frac{9+90-36}{4} = \frac{225+63}{4} = \frac{288}{4} = 72$.

(C) આપેલ છે કે $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$.
બંને બાજુ $\sqrt{x}$ વડે ગુણતા,$\sqrt{x} \phi(x) = \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$ મળે.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} \phi(x) + \sqrt{x} \phi^{\prime}(x) = 4 \sqrt{2} \sin x - 3 \phi^{\prime}(x)$.
પદોને ગોઠવતા:
$\phi^{\prime}(x) (3 + \sqrt{x}) = 4 \sqrt{2} \sin x - \frac{\phi(x)}{2\sqrt{x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ લેતા,$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ અને $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{8}{6+\sqrt{\pi}}$ મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $(\alpha \ \beta \ \gamma)\begin{bmatrix} 2 & 10 & 8 \\ 9 & 3 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \end{bmatrix} = (0 \ 0 \ 0)$ પરથી,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$2\alpha + 9\beta + 8\gamma = 0 \quad (1)$
$10\alpha + 3\beta + 4\gamma = 0 \quad (2)$
$8\alpha + 8\beta + 8\gamma = 0 \quad (3)$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$\alpha + \beta + \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = -\alpha - \beta$.
$\gamma$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2\alpha + 9\beta + 8(-\alpha - \beta) = 0 \implies -6\alpha + \beta = 0 \implies \beta = 6\alpha$.
હવે,$\alpha$ ના પદમાં $\gamma$ શોધો:
$\gamma = -\alpha - 6\alpha = -7\alpha$.
બિંદુ $P(\alpha, 6\alpha, -7\alpha)$ એ સમતલ $2x + 4y + 3z = 5$ પર આવેલું છે:
$2(\alpha) + 4(6\alpha) + 3(-7\alpha) = 5$
$2\alpha + 24\alpha - 21\alpha = 5$
$5\alpha = 5 \implies \alpha = 1$.
આમ,$\alpha = 1, \beta = 6, \gamma = -7$.
આપણે $6\alpha + 9\beta + 7\gamma$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$6(1) + 9(6) + 7(-7) = 6 + 54 - 49 = 11$.

(D) આપેલ છે $\sin^{-1}(\sin \theta) - \cos^{-1}(\sin \theta) > 0$.
$\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin^{-1}(\sin \theta) - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin \theta)) > 0$.
$2 \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{4}$.
આનો અર્થ છે $\sin \theta > \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in (0, 2\pi)$ માટે,$\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ એ $\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ માટે સાચું છે.
તેથી,$(a, b) = (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$,એટલે કે $b - a = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
આપેલ છે $\alpha - \beta = b - a = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\beta = \alpha - \frac{\pi}{2}$.
સમીકરણ $\alpha x^2 + \beta x + \sin^{-1}((x-3)^2 + 1) + \cos^{-1}((x-3)^2 + 1) = 0$ છે.
$\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$y = (x-3)^2 + 1$ માટે,$(x-3)^2 + 1 = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x = 3$.
$x = 3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha(3)^2 + \beta(3) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$9\alpha + 3(\alpha - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$12\alpha - \pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{12}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y(5x^2-3y^2)}{2x(x^2-y^2)}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y=mx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = m + x\frac{dm}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $m + x\frac{dm}{dx} = \frac{m(5-3m^2)}{2(1-m^2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $x\frac{dm}{dx} = \frac{m(3-m^2)}{2(1-m^2)}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{2(1-m^2)}{m(3-m^2)} dm$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{dx}{x} = (\frac{2}{3m} + \frac{4m}{3(m^2-3)}) dm$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|x| = \frac{2}{3}\ln|m| + \frac{2}{3}\ln|m^2-3| + C$.
$y(1)=1$ માટે $m=1$ અને $x=1$ લેતા,$C = -\frac{2}{3}\ln(2)$ મળે.
તેથી,$x^{3/2} = \frac{1}{2} |m(m^2-3)|$ મળે.
$x=2$ માટે ગણતરી કરતા,અંતિમ જવાબ $|y^3-12y| = 32\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) સંબંધ $T = \{(a, b) : a^2 - b^2 \in Z\}$ માટે:
જો $(a, b) \in T$ હોય,તો $a^2 - b^2 = k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k \in Z$ માટે.
તો $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -k$,જે પણ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$(b, a) \in T$,તેથી $T$ સંમિત છે.
સંબંધ $S = \{(a, b) : a, b \in R - \{0\}, 2 + \frac{a}{b} > 0\}$ માટે:
જો $(a, b) \in S$ હોય,તો $2 + \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > -2$.
સંમિતતા માટે,$(b, a) \in S$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $2 + \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} > -2$.
જો આપણે $a = 1, b = -0.4$ લઈએ,તો $2 + \frac{1}{-0.4} = 2 - 2.5 = -0.5 < 0$,તેથી $(1, -0.4) \notin S$.
આમ,$S$ સંમિત નથી.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2-8x+12}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$y(x^2-8x+12) = x^2+2x+1$
$x^2(y-1) - x(8y+2) + (12y-1) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $y \neq 1$,તો $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (-(8y+2))^2 - 4(y-1)(12y-1) \geq 0$
$16y^2 + 84y \geq 0$
$4y(4y + 21) \geq 0$.
આથી $y \in (-\infty, -\frac{21}{4}] \cup [0, \infty)$.
કિસ્સો $2$: જો $y = 1$,તો $x^2+2x+1 = x^2-8x+12$,જે $10x = 11$ એટલે કે $x = \frac{11}{10}$ આપે છે.
આ કિંમત પ્રદેશમાં હોવાથી,$y=1$ વિસ્તારમાં આવશે.
તેથી,વિસ્તાર $(-\infty, -\frac{21}{4}] \cup [0, \infty)$ છે.

(C) $(4, 1, -3)$ અને $(2, 4, 3)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{n} = (2-4, 4-1, 3-(-3)) = (-2, 3, 6)$ છે.
સમતલ $P$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ થશે.
$(1, -1, -5)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x - 1) + 3(y + 1) + 6(z + 5) = 0$
$-2x + 2 + 3y + 3 + 6z + 30 = 0$
$-2x + 3y + 6z + 35 = 0$ અથવા $2x - 3y - 6z = 35$.
બિંદુ $(3, -2, 2)$ થી સમતલ $2x - 3y - 6z - 35 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|2(3) - 3(-2) - 6(2) - 35|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|6 + 6 - 12 - 35|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$d = \frac{|-35|}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5$.

(A) ધારો કે $g(x) = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
$x \in [-1, 2]$ માટે,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{3}{4}, 3]$ છે.
$g(x) \ge \frac{3}{4}$ હોવાથી,$|g(x)| = g(x)$ થાય.
તેથી,$f(x) = g(x) + [g(x)]$.
$f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $[\frac{3}{4}, 3]$ વિસ્તારમાં $g(x)$ ના મૂલ્યો વિચારીએ.
જો $\frac{3}{4} \le g(x) < 1$ હોય,તો $[g(x)] = 0$,તેથી $f(x) = g(x) + 0 = g(x)$. આ ઉપ-અંતરાલમાં ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{3}{4}$ છે.
જો $1 \le g(x) < 2$ હોય,તો $[g(x)] = 1$,તેથી $f(x) = g(x) + 1$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1 + 1 = 2$ છે.
જો $2 \le g(x) \le 3$ હોય,તો $[g(x)] = 2$,તેથી $f(x) = g(x) + 2$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2 + 2 = 4$ છે.
આમ,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{3}{4}$ છે.

(A) આપેલ સમતલ $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ અને રેખા $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ છે.
સમતલ $P$ એ રેખા $L$ ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ રેખાના દિશા સદિશને લંબ હોય.
તેથી,$8(2) + \alpha_1(3) + \alpha_2(5) = 0 \Rightarrow 3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$.
સમતલ $P$ નો $y$-અંતઃખંડ $1$ આપેલ છે,તેથી સમતલના સમીકરણમાં $x=0$ અને $z=0$ મૂકતા: $\alpha_1(1) + 12 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = -12$.
$\alpha_1 = -12$ ને $3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$ માં મૂકતા,આપણને મળે: $3(-12) + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow -36 + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow 5\alpha_2 = 20 \Rightarrow \alpha_2 = 4$.
સમતલ $P$ નું સમીકરણ $8x - 12y + 4z + 12 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 3y + z + 3 = 0$ થાય છે.
રેખા $L$ પરના બિંદુ $(-2, 3, -4)$ થી સમતલ $P$ નું અંતર $d = \frac{|2(-2) - 3(3) + 1(-4) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-4 - 9 - 4 + 3|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$.

(C) ધારો કે સમતલ $P$ નું સમીકરણ $2x + ay + 4z = k$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબપાદના યામ $(2, a, 4)$ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2(x - 2) + a(y - a) + 4(z - 4) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $2x + ay + 4z = 20 + a^2$ મળે છે.
અંતઃખંડો $A = (\frac{20 + a^2}{2}, 0, 0)$,$B = (0, \frac{20 + a^2}{a}, 0)$,અને $C = (0, 0, \frac{20 + a^2}{4})$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \cdot \frac{(20 + a^2)^3}{8a} = 144$ છે.
$(20 + a^2)^3 = 144 \times 48 \times a = 6912a$.
$a = 2$ લેતા: $(20 + 4)^3 = 24^3 = 13824$ અને $6912 \times 2 = 13824$. તેથી,$a = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 2y + 4z = 24$ અથવા $x + y + 2z = 12$ મળે છે.
બિંદુઓની ચકાસણી:
$A(2, 2, 4) \Rightarrow 2 + 2 + 2(4) = 12$ (સમતલ પર છે).
$B(0, 4, 4) \Rightarrow 0 + 4 + 2(4) = 12$ (સમતલ પર છે).
$C(3, 0, 4) \Rightarrow 3 + 0 + 2(4) = 11 \neq 12$ (સમતલ પર નથી).
$D(0, 6, 3) \Rightarrow 0 + 6 + 2(3) = 12$ (સમતલ પર છે).
આમ,બિંદુ $(3, 0, 4)$ સમતલ પર નથી.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\overrightarrow{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}$ પરથી,$(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b} = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,તેથી $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,તેથી $(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (5)(1) + (-3)(2) + (3)(3) = 5 - 6 + 9 = 8$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (2)(3) = 1 - 2 + 6 = 5$.
તેથી,$8 + 5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{8}{5}$.
હવે,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} - \frac{8}{5}\overrightarrow{b} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}) - \frac{8}{5}(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{5}(25\hat{i} - 15\hat{j} + 15\hat{k} - 8\hat{i} + 8\hat{j} - 16\hat{k}) = \frac{1}{5}(17\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k})$.
$|\overrightarrow{r}|^2 = \frac{1}{25}(17^2 + (-7)^2 + (-1)^2) = \frac{1}{25}(289 + 49 + 1) = \frac{339}{25}$.
તેથી,$25|\overrightarrow{r}|^2 = 339$.

(A) સંકલિતના છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{x}{\sqrt{x+\alpha}-\sqrt{x}} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{(x+\alpha)-x} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}(x(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2})$
આપણે $x(x+\alpha)^{1/2}$ ને $((x+\alpha)-\alpha)(x+\alpha)^{1/2} = (x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\frac{1}{\alpha} \int_0^{\alpha} ((x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2}) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{2}{5}(x+\alpha)^{5/2} - \alpha \cdot \frac{2}{3}(x+\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^{\alpha}$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \left( \frac{2}{5}(2\alpha)^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}(2\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} \right) - \left( \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}\alpha^{3/2} + 0 \right) \right)$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} \alpha^{5/2} - \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \alpha^{5/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2}{5}\alpha^{5/2} + \frac{2}{3}\alpha^{5/2} \right)$
$= \alpha^{3/2} \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 10}{15} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{4\sqrt{2} + 10}{15} \right)$
આપેલ છે કે $\alpha^{3/2} \left( \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{16 + 20\sqrt{2}}{15}$.
પદોની સરખામણી કરતા,જો $\alpha = 2$ હોય,તો $\alpha^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
$2\sqrt{2} \cdot \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 8(2)}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 16}{15}$.
આમ,$\alpha = 2$.

(D) પ્રદેશ $0 \leq x \leq 1$ માટે $|2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$0 \leq x \leq 1$ માટે $|x^2 - x| = x - x^2$ હોવાથી,અસમતા $2|x - 1/2| \leq y \leq x - x^2$ થાય છે.
વક્રો $y = |2x - 1|$ અને $y = x - x^2$ જ્યાં છેદે છે ત્યાં $x - x^2 = |2x - 1|$ થાય.
$x \in [0, 1/2]$ માટે,$x - x^2 = 1 - 2x \implies x^2 - 3x + 1 = 0$,જેનો ઉકેલ $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
$x = 1/2$ ની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} ((x - x^2) - (1 - 2x)) dx$ થાય.
$A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} (-x^2 + 3x - 1) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x \right]_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $A = \frac{5\sqrt{5} - 11}{6}$ મળે છે.
આમ,$6A + 11 = 5\sqrt{5}$.
તેથી,$(6A + 11)^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125$.

(D) આપેલ છે કે $2(\vec{a} \times \vec{b}) = 3(\vec{c} \times \vec{a})$.
આને $\vec{a} \times (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} = \lambda(2\vec{b} + 3\vec{c})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{31}$,$|\vec{b}| = 1/2$,અને $|\vec{c}| = 2$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(2\pi/3) = (1/2)(2)(-1/2) = -1/2$.
હવે,$|\vec{a}|^2 = \lambda^2 |2\vec{b} + 3\vec{c}|^2 = \lambda^2 (4|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 + 12\vec{b} \cdot \vec{c})$.
$31 = \lambda^2 (4(1/4) + 9(4) + 12(-1/2)) = \lambda^2 (1 + 36 - 6) = 31\lambda^2$.
આમ,$\lambda^2 = 1$,તેથી $\lambda = \pm 1$.
તેથી $\vec{a} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c})$.
આપણે $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{|\vec{a} \times \vec{c}|^2}{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \times \vec{c}|^2 = |2(\vec{b} \times \vec{c})|^2 = 4|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 4(|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{c})^2) = 4(1/4 \cdot 4 - (-1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 3$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \cdot \vec{b} = \pm(2|\vec{b}|^2 + 3\vec{b} \cdot \vec{c}) = \pm(2(1/4) + 3(-1/2)) = \pm(1/2 - 3/2) = \pm(-1) = \mp 1$.
તેથી,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 1$.
તેથી,$\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{3}{1} = 3$.

(D) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
આપણે $a+b+c+d = S$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જ્યાં $S \in \{3, 5, 7, 11\}$.
એક ઘટક માટેનું જનરેટિંગ ફંક્શન $(1+x+x^2+x^3+x^4) = \frac{1-x^5}{1-x}$ છે.
ચાર ઘટકો માટે,જનરેટિંગ ફંક્શન $(1-x^5)^4(1-x)^{-4}$ છે.
$S=3$ માટે: $x^3$ નો સહગુણક $\binom{6}{3} = 20$ છે.
$S=5$ માટે: $x^5$ નો સહગુણક $\binom{8}{5} - 4 = 52$ છે.
$S=7$ માટે: $x^7$ નો સહગુણક $\binom{10}{7} - 4\binom{5}{2} = 80$ છે.
$S=11$ માટે: $x^{11}$ નો સહગુણક $\binom{14}{11} - 4\binom{9}{6} + 6\binom{4}{1} = 52$ છે.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $= 20 + 52 + 80 + 52 = 204$.

(D) આપેલ છે કે $|A|=2$ અને $|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = 2^{84}$.
ગુણધર્મ $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = |2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1})|^{n-1} = (2^n |\operatorname{Adj}(2A^{-1})|)^{n-1}$.
અહીં $|\operatorname{Adj}(2A^{-1})| = |2A^{-1}|^{n-1} = (2^n |A|^{-1})^{n-1} = (2^n \cdot 2^{-1})^{n-1} = (2^{n-1})^{n-1} = 2^{(n-1)^2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = (2^n \cdot 2^{(n-1)^2})^{n-1} = (2^{n + n^2 - 2n + 1})^{n-1} = (2^{n^2 - n + 1})^{n-1} = 2^{(n-1)(n^2 - n + 1)}$.
આપેલ છે કે $2^{(n-1)(n^2 - n + 1)} = 2^{84}$,તેથી $(n-1)(n^2 - n + 1) = 84$.
જો $n=5$ લઈએ,તો $(5-1)(25-5+1) = 4 \times 21 = 84$.
આમ,$n=5$ મળે છે.

(B) આપેલ લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n+r}$ છે.
આપણે તેને $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{r}{n})}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \frac{1}{1+x}$ છે.
તેથી,પદાવલિ $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $[\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો $5$ છે: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$.
આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણનો ગુણાકાર $6$ છે: $np \cdot npq = 6 \Rightarrow n^2p^2q = 6$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$np = \frac{5}{1+q}$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{5}{1+q})^2 \cdot q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2$.
$25q = 6(1 + 2q + q^2) \Rightarrow 6q^2 + 12q + 6 = 25q$.
$6q^2 - 13q + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0$.
$(3q-2)(2q-3) = 0$. કારણ કે $q < 1$,તેથી $q = \frac{2}{3}$.
તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$np(1+q) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા: $n(\frac{1}{3})(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{1}{3})(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{5}{9}) = 5 \Rightarrow n = 9$.
અંતે,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{a_2}=\frac{z-z_1}{a_3}$ અને $\frac{x-x_2}{b_1}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{b_3}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$
અહીં, $\vec{r_1} = (5, 2, 4)$, $\vec{r_2} = (-3, -5, 1)$, $\vec{b_1} = (1, 2, -3)$, અને $\vec{b_2} = (1, 4, -5)$ છે.
પ્રથમ, $\vec{r_2} - \vec{r_1} = (-3-5, -5-2, 1-4) = (-8, -7, -3)$ ગણો.
ત્યારબાદ, સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+3) + \hat{k}(4-2) = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-8)(2) + (-7)(2) + (-3)(2) = -16 - 14 - 6 = -36$ થાય.
આમ, $d = \frac{|-36|}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $D = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$ ગણતા.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -2$ મળે છે.
જો $\lambda = 1$ હોય,તો સિસ્ટમ $x + y + z = 1$ બને છે,જે અનંત ઉકેલો આપે છે (સુસંગત).
જો $\lambda = -2$ હોય,તો સિસ્ટમ $-2x + y + z = 1$,$x - 2y + z = 1$,અને $x + y - 2z = 1$ બને છે. આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $0 = 3$ મળે છે,જે વિરોધાભાસ છે,તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે.
આમ,$S = \{-2\}$.
સરવાળો $\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|) = (|-2|^2 + |-2|) = 4 + 2 = 6$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1}(2 x)-2 \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}=\pi$.
$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ હોવાથી,ધારો કે $x = \sin \theta$,જ્યાં $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
તેથી $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$. $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ હોવાથી,$\cos \theta \geq 0$,તેથી $\cos^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \cos^{-1}(\cos \theta) = |\theta|$.
કિસ્સો $1$: $x \geq 0 \implies \theta \in [0, \frac{\pi}{6}]$. સમીકરણ $\cos^{-1}(2x) - 2\theta = \pi$ બને છે,જે શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $x < 0 \implies \theta \in [-\frac{\pi}{6}, 0)$. સમીકરણ ઉકેલતા $x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x^2 - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$2\sin^{-1}(x^2-1) = 2\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = x \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \sec x = \int (x \sec x) \cdot \sec x dx = \int x \sec^2 x dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sec^2 x dx = x \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - \ln|\sec x| + C$.
તેથી,$y \sec x = x \tan x - \ln|\sec x| + C$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot \sec(0) = 0 \cdot \tan(0) - \ln|\sec(0)| + C \Rightarrow 1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$y \sec x = x \tan x - \ln|\sec x| + 1$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 1$.
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 1 \right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$1 = \ln e$ હોવાથી,$y = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{e\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}\right)$.

(A) સ્વવાચકતા માટે ચકાસણી:
કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$3a - 3a + \sqrt{7} = \sqrt{7}$. કારણ કે $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે ચકાસણી:
ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$,જ્યાં $I_1$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
સંમિતતા માટે,આપણે $(b, a) \in R$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $3b - 3a + \sqrt{7}$ અસંમેય હોવું જોઈએ.
નોંધો કે $3b - 3a + \sqrt{7} = -(3a - 3b - \sqrt{7}) = -(I_1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - I_1$.
જો આપણે $a = \frac{\sqrt{7}}{3}$ અને $b = 0$ લઈએ,તો $3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(0) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ (અસંમેય),તેથી $(a, b) \in R$.
જો કે,$(b, a)$ માટે,આપણી પાસે $3(0) - 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = 0$ છે,જે સંમેય છે. તેથી,$(b, a) \notin R$. $R$ સંમિત નથી.
પરંપરિતતા માટે ચકાસણી:
ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$ અને $3b - 3c + \sqrt{7} = I_2$,જ્યાં $I_1, I_2$ અસંમેય છે.
પરંપરિતતા માટે,$(a, c) \in R$ નો અર્થ છે કે $3a - 3c + \sqrt{7}$ અસંમેય હોવું જોઈએ.
બંને સંબંધોનો સરવાળો કરતા: $(3a - 3b + \sqrt{7}) + (3b - 3c + \sqrt{7}) = 3a - 3c + 2\sqrt{7} = I_1 + I_2$.
તેથી,$3a - 3c + \sqrt{7} = I_1 + I_2 - \sqrt{7}$.
જો આપણે $a = \frac{\sqrt{7}}{3}, b = 1, c = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ લઈએ,તો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$,પરંતુ $3a - 3c + \sqrt{7} = 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(\frac{2\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$,જે સંમેય છે. તેથી,$(a, c) \notin R$. $R$ પરંપરિત નથી.

(D) બિંદુ $P(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $x + 2y - z = 0$ ને લંબ રેખા $PM$ નું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda + 2, 2\lambda - 1, -\lambda + 3)$ સ્વરૂપનું હોય.
લંબપાદ $M$ માટે,આ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે: $(\lambda + 2) + 2(2\lambda - 1) - (-\lambda + 3) = 0$.
$\lambda + 2 + 4\lambda - 2 + \lambda - 3 = 0 \implies 6\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$M$ ના યામ $(\frac{1}{2} + 2, 2(\frac{1}{2}) - 1, -\frac{1}{2} + 3) = (\frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2})$ મળે.
ધારો કે $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $P$ નું પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha + 2}{2} = \frac{5}{2}$,$\frac{\beta - 1}{2} = 0$,અને $\frac{\gamma + 3}{2} = \frac{5}{2}$ થાય.
આ ઉકેલતા,$\alpha = 3, \beta = 1, \gamma = 2$ મળે. તેથી,$Q = (3, 1, 2)$.
બિંદુ $Q(3, 1, 2)$ થી સમતલ $3x + 2y + z + 29 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|3(3) + 2(1) + 1(2) + 29|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}}$ દ્વારા મળે.
$d = \frac{|9 + 2 + 2 + 29|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{42}{\sqrt{14}} = 3 \sqrt{14}$.

(A) આપેલ છે $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ લેતા,આપણને મળે:
$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}2+\sin 2x & \cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$C_1$ માંથી $(2+\sin 2x)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લેતા:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 2+\sin 2x$.
$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ માટે,$2x \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.
તેથી,$\sin 2x \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$.
આમ,$f(x) \in \left[2+\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right]$.
તેથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = 2+\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4+\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ અને $g(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} + x)$ જ્યાં $x \in [0, 3]$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = 2 + \frac{1}{1+x^2}$
$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x \in [0, 3]$ માટે:
$f'(x) \in [2 + \frac{1}{1+3^2}, 2 + \frac{1}{1+0^2}] = [2.1, 3]$.
$g'(x) \in [\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+0^2}}] = [\frac{1}{\sqrt{10}}, 1] \approx [0.316, 1]$.
કારણ કે $f'(x) > g'(x)$ તમામ $x \in [0, 3]$ માટે,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$f(x)$ અને $g(x)$ બંને $[0, 3]$ પર વધતા વિધેયો છે.
તેથી,$\max f(x) = f(3) = 6 + \tan^{-1} 3$ અને $\max g(x) = g(3) = \ln(3 + \sqrt{10})$.
$6 + \tan^{-1} 3 > 6$ અને $\ln(3 + \sqrt{10}) \approx \ln(6.16) < 2$ હોવાથી,સ્પષ્ટ છે કે $f(3) > g(3)$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,જે $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^2}{2} + k$ આપે છે.
આનું સાદું રૂપ $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 2k$ થાય છે. ક્ષેત્રફળ $4\pi$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 2$ છે,તેથી $2k = 4$,એટલે કે $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 4$.
$y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1+a)^2 + (0-2)^2 = 4$,તેથી $(1+a)^2 = 0$,જે $a = -1$ આપે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x=0$ લેતા: $(0-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 3 \implies y = 2 \pm \sqrt{3}$.
તેથી $P = (0, 2+\sqrt{3})$ અને $Q = (0, 2-\sqrt{3})$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે. $P$ સુધીની ત્રિજ્યાનો ઢાળ $\frac{(2+\sqrt{3})-2}{0-1} = -\sqrt{3}$ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ ત્રિજ્યાના ઢાળ જેટલો જ હોય છે,જે $-\sqrt{3}$ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (2+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}(x-0) \implies y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}$ છે.
$R$ માટે $y=0$ લેતા,$0 = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3} \implies x_R = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તે જ રીતે,$Q$ માટે,ત્રિજ્યાનો ઢાળ $\frac{(2-\sqrt{3})-2}{0-1} = \sqrt{3}$ છે.
$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(x-0) \implies y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$ છે.
$S$ માટે $y=0$ લેતા,$0 = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3} \implies x_S = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$.
લંબાઈ $RS = |x_R - x_S| = |(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) - (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})| = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(C) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 18$ દ્વારા મળે છે,તેથી $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 36$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $A(2,6,2), B(-4,0,\lambda), C(2,3,-1), D(4,5,0)$.
સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{BD}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} = (2-2)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (4-(-4))\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (0-\lambda)\hat{k} = 8\hat{i} + 5\hat{j} - \lambda\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -3 \\ 8 & 5 & -\lambda \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 15) - \hat{j}(0 - (-24)) + \hat{k}(0 - (-24)) = (3\lambda + 15)\hat{i} - 24\hat{j} + 24\hat{k}$.
તેનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(3\lambda + 15)^2 + (-24)^2 + (24)^2} = 36$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3\lambda + 15)^2 + 576 + 576 = 1296$.
$(3\lambda + 15)^2 = 1296 - 1152 = 144$.
$3\lambda + 15 = \pm 12$.
કિસ્સો $1$: $3\lambda + 15 = 12 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$.
કિસ્સો $2$: $3\lambda + 15 = -12 \Rightarrow 3\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -9$.
$|\lambda| \leq 5$ હોવાથી,આપણે $\lambda = -1$ લઈશું.
અંતે,$5 - 6\lambda = 5 - 6(-1) = 5 + 6 = 11$.

(C) ધારો કે $I = \int \limits_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx$.
$t = 2x^{21} + 3x^{14} + 6x^7$ લેતા,
$dt = (42x^{20} + 42x^{13} + 42x^6) dx = 42x^6(x^{14} + x^7 + 1) dx$.
તેથી,$\int_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx = \frac{1}{42} \int_0^{11} t^{1/7} dt = \frac{1}{42} [\frac{7}{8} t^{8/7}]_0^{11} = \frac{1}{48} (11)^{8/7}$.
અહીં $l = 48, m = 8, n = 7$. $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$l+m+n = 48+8+7 = 63$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$.
તેથી $f^{\prime}(x)=2 x+g^{\prime}(1)$ અને $f^{\prime \prime}(x)=2$.
આપેલ છે કે $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$.
$f^{\prime}(x)$ અને $f^{\prime \prime}(x)$ ની કિંમતો $g(x)$ માં મૂકતા:
$g(x)=f(1) x^2+x(2 x+g^{\prime}(1))+2 = (f(1)+2) x^2+g^{\prime}(1) x+2$.
હવે,$g^{\prime}(x)=2(f(1)+2) x+g^{\prime}(1)$ અને $g^{\prime \prime}(x)=2(f(1)+2)$.
$f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ પરથી,$f(1)=1+g^{\prime}(1)+g^{\prime \prime}(2)$.
કારણ કે $g^{\prime \prime}(x)$ અચળ છે,$g^{\prime \prime}(2)=g^{\prime \prime}(x)=2(f(1)+2)$.
તેથી,$f(1)=1+g^{\prime}(1)+2(f(1)+2) \implies f(1)=1+g^{\prime}(1)+2 f(1)+4 \implies f(1)+g^{\prime}(1)=-5$.
વળી,$g^{\prime}(1)=2(f(1)+2)(1)+g^{\prime}(1) \implies 0=2 f(1)+4 \implies f(1)=-2$.
$f(1)=-2$ ને $f(1)+g^{\prime}(1)=-5$ માં મૂકતા,આપણને $-2+g^{\prime}(1)=-5 \implies g^{\prime}(1)=-3$ મળે છે.
હવે,$g^{\prime \prime}(2)=2(-2+2)=0$.
આમ,$f(x)=x^2-3 x+0=x^2-3 x$.
અને $g(x)=(-2+2) x^2-3 x+2=-3 x+2$.
અંતે,$f(4)-g(4)=(4^2-3(4))-(-3(4)+2) = (16-12)-(-12+2) = 4-(-10) = 14$.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ન્યૂનતમ કિંમત $-|\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| = -\alpha \sqrt{3401}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{u}| = \alpha$,તેથી $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{3401}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{w}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -3 \\ 2\alpha & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 3) - \hat{j}(-\alpha + 6\alpha) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha) = \hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k}$.
હવે,$|\vec{v} \times \vec{w}|^2 = 1^2 + (-5\alpha)^2 + (-3\alpha)^2 = 1 + 25\alpha^2 + 9\alpha^2 = 1 + 34\alpha^2$.
તેને $3401$ સાથે સરખાવતા: $1 + 34\alpha^2 = 3401 \implies 34\alpha^2 = 3400 \implies \alpha^2 = 100 \implies \alpha = 10$.
ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $\vec{u}$ એ $\vec{v} \times \vec{w}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,તેથી $\vec{u} = -k(\hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k})$ જ્યાં $k > 0$.
$|\vec{u}| = k \sqrt{1 + 34\alpha^2} = k \sqrt{3401} = \alpha = 10 \implies k = \frac{10}{\sqrt{3401}}$.
તેથી $\vec{u} = -\frac{10}{\sqrt{3401}}(\hat{i} - 50\hat{j} - 30\hat{k})$.
$|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2 = |-\frac{10}{\sqrt{3401}}|^2 = \frac{100}{3401}$.
આમ $m = 100$ અને $n = 3401$. $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$m + n = 100 + 3401 = 3501$.

(C) વિધેય $y = x|x-3|$ છે. અંતરાલ $[-1, 2]$ માટે,$x-3$ હંમેશા ઋણ છે,તેથી $|x-3| = 3-x$.
આમ,$y = x(3-x) = 3x - x^2$.
$x \in [-1, 0]$ માટે $3x - x^2$ ઋણ છે અને $x \in [0, 2]$ માટે ધન છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{-1}^{0} -(3x - x^2) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (x^2 - 3x) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = [x^3/3 - 3x^2/2]_{-1}^{0} + [3x^2/2 - x^3/3]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-1/3 - 3/2)) + (6 - 8/3 - 0) = (11/6) + (10/3) = 31/6$.
તેથી,$12A = 12 \times (31/6) = 62$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ છે,જ્યાં $k = \int_0^2 f(t) dt$ એક અચળાંક છે.
રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = k$ નો ઉકેલ સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int 1 dx} = e^x$ દ્વારા મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા: $e^x f(x) = \int k e^x dx = k e^x + c$.
તેથી,$f(x) = k + c e^{-x}$.
શરત $f(0) = e^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{-2} = k + c$ મળે છે,તેથી $c = e^{-2} - k$.
$c$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $f(x) = k + (e^{-2} - k)e^{-x}$.
હવે,$k = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (k + (e^{-2} - k)e^{-t}) dt$ ની ગણતરી કરીએ.
$k = [kt - (e^{-2} - k)e^{-t}]_0^2 = (2k - (e^{-2} - k)e^{-2}) - (0 - (e^{-2} - k)) = 2k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} - k$.
$k = k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} \implies (e^{-2} - k)e^{-2} = e^{-2}$.
$e^{-2}$ વડે ભાગતા (કારણ કે $e^{-2} \neq 0$): $e^{-2} - k = 1$,તેથી $k = e^{-2} - 1$.
તેથી $f(x) = (e^{-2} - 1) + 1 \cdot e^{-x} = e^{-2} - 1 + e^{-x}$.
$f(0) = e^{-2} - 1 + 1 = e^{-2}$.
$f(2) = e^{-2} - 1 + e^{-2} = 2e^{-2} - 1$.
$2f(0) - f(2) = 2(e^{-2}) - (2e^{-2} - 1) = 1$.

(C) આપેલ શરત $0 < x < 1$ છે.
સમીકરણ $2 \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ છે.
ધારો કે $x = \tan \theta$. કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ મળે.
સમીકરણમાં $x = \tan \theta$ મૂકતા:
$2 \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$.
નિત્યસમ $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ અને $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta)) = \cos^{-1}(\cos 2\theta)$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \frac{\pi}{4} - \theta < \frac{\pi}{4}$ અને $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ મળે.
તેથી,$2(\frac{\pi}{4} - \theta) = 2\theta$.
$\frac{\pi}{2} - 2\theta = 2\theta \implies 4\theta = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{8}$.
તેથી $x = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$.
કારણ કે $0.414 < 0.5$,તેથી $n(S) = 1$ અને ઘટક $\frac{1}{2}$ કરતા નાનો છે.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{k}$,અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
શરત $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ પરથી,$(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda\overrightarrow{a}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,તેથી $(\overrightarrow{c} + \lambda\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(0) + (-3)(1) = 1 - 3 = -2$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(1) + (-7)(0) + (5)(1) = 2 + 5 = 7$.
આ કિંમતો મૂકતા: $-2 + 7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{7}$.
હવે,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \frac{2}{7}\overrightarrow{a} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + \frac{2}{7}(2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}) = \frac{11}{7}\hat{i} - \frac{11}{7}\hat{k}$.
છેલ્લે,$|\overrightarrow{r}| = \sqrt{(\frac{11}{7})^2 + 0^2 + (-\frac{11}{7})^2} = \frac{11}{7}\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos 60^{\circ} & \sin 60^{\circ} \\ -\sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{bmatrix}$.
ધારો કે $\alpha = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.
તેથી $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & \sin(n\alpha) \\ -\sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$.
$A^{30}$ માટે,$n = 30$,તેથી $n\alpha = 30 \times \frac{\pi}{3} = 10\pi$.
$A^{30} = \begin{bmatrix} \cos(10\pi) & \sin(10\pi) \\ -\sin(10\pi) & \cos(10\pi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^{25}$ માટે,$n = 25$,તેથી $n\alpha = 25 \times \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$.
$A^{25} = \begin{bmatrix} \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) \\ -\sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & \sin(\frac{\pi}{3}) \\ -\sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = A$.
આમ,$A^{30} = I$ અને $A^{25} = A$.
વિકલ્પો તપાસતા: $A^{30} + A^{25} - A = I + A - A = I$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1 + x$ $(1)$
$(1)$ માં $x = 2$ મૂકતા:
$f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = 1 + 2$
$f(2) + f(-1) = 3$ $(2)$
$(1)$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = 1 + (-1)$
$f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ $(3)$
$(1)$ માં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-1/2}\right) = 1 + \frac{1}{2}$
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = \frac{3}{2}$ $(4)$
હવે,$(2) + (4) - (3)$ કરતા:
$(f(2) + f(-1)) + (f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2)) - (f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right)) = 3 + \frac{3}{2} - 0$
$2f(2) = \frac{9}{2}$
$f(2) = \frac{9}{4}$

(A) સમતલ $P_1: 2x + 3y - z - 2 = 0$ અને $P_2: x + 2y + 3z - 6 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલ $P$ નું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x + 3y - z - 2) + \lambda(x + 2y + 3z - 6) = 0$
$(2 + \lambda)x + (3 + 2\lambda)y + (3\lambda - 1)z - (2 + 6\lambda) = 0$.
સમતલ $P$ એ સમતલ $2x + y - z + 1 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2 + \lambda) + 1(3 + 2\lambda) - 1(3\lambda - 1) = 0$
$4 + 2\lambda + 3 + 2\lambda - 3\lambda + 1 = 0$
$\lambda + 8 = 0 \implies \lambda = -8$.
$\lambda = -8$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - 8)x + (3 - 16)y + (-24 - 1)z - (2 - 48) = 0$
$-6x - 13y - 25z + 46 = 0 \implies 6x + 13y + 25z - 46 = 0$.
બિંદુ $(-7, 1, 1)$ થી સમતલ $6x + 13y + 25z - 46 = 0$ નું અંતર $d$:
$d = \frac{|6(-7) + 13(1) + 25(1) - 46|}{\sqrt{6^2 + 13^2 + 25^2}} = \frac{|-42 + 13 + 25 - 46|}{\sqrt{36 + 169 + 625}} = \frac{|-50|}{\sqrt{830}} = \frac{50}{\sqrt{830}}$.
તેથી,$d^2 = \frac{50^2}{830} = \frac{2500}{830} = \frac{250}{83}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = |x^2 - 5x + 6| - 3x + 2$. $x^2 - 5x + 6 = 0$ ના બીજ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
$x \in [-1, 2]$ માટે,$x^2 - 5x + 6 \ge 0$,તેથી $f(x) = x^2 - 5x + 6 - 3x + 2 = x^2 - 8x + 8$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$x^2 - 5x + 6 \le 0$,તેથી $f(x) = -(x^2 - 5x + 6) - 3x + 2 = -x^2 + 2x - 4$.
હવે,નિર્ણાયક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ તપાસો:
$1$. $x \in [-1, 2]$ માટે,$f'(x) = 2x - 8$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 4$ મળે છે,જે અંતરાલની બહાર છે. તેથી,અંતિમ બિંદુઓ તપાસો: $f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 8 = 1 + 8 + 8 = 17$ અને $f(2) = 2^2 - 8(2) + 8 = 4 - 16 + 8 = -4$.
$2$. $x \in [2, 3]$ માટે,$f'(x) = -2x + 2$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 1$ મળે છે,જે અંતરાલની બહાર છે. તેથી,અંતિમ બિંદુઓ તપાસો: $f(2) = -4$ અને $f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 4 = -9 + 6 - 4 = -7$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $17$ છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $-7$ છે.
નિરપેક્ષ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $17 + (-7) = 10$ થાય છે.

(A) સંબંધ $R_1$ માટે: શરત $(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) = \varnothing$ એ સંમિત તફાવત $A \Delta B = \varnothing$ ની વ્યાખ્યા છે,જેનો અર્થ છે $A = B$. કારણ કે $A = B$ એ સામ્ય સંબંધ છે (સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત),તેથી $R_1$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
સંબંધ $R_2$ માટે: શરત $A \cup B^c = B \cup A^c$ ને ગણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
$A \cup B^c = B \cup A^c \iff (A \cup B^c) \cap (A \cap B) = (B \cup A^c) \cap (A \cap B) \iff A = B$.
વેન આકૃતિના પ્રદેશોનો ઉપયોગ કરીને જ્યાં $a, b, c, d$ અલગ પ્રદેશો દર્શાવે છે: $A = a \cup c$ અને $B = b \cup c$.
$A \cup B^c = (a \cup c) \cup (a \cup d) = a \cup c \cup d$.
$B \cup A^c = (b \cup c) \cup (b \cup d) = b \cup c \cup d$.
આને સરખાવતા $a \cup c \cup d = b \cup c \cup d$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = b$. કારણ કે $a$ અને $b$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ માટે અનન્ય પ્રદેશો છે,$a = b = \varnothing$ નો અર્થ છે $A = B$. આમ,$R_2$ પણ સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,$R_1$ અને $R_2$ બંને સામ્ય સંબંધો છે.

(B) આ પ્રદેશ $y = 1$,$y = x^2$,અને $xy = 8$ (અથવા $y = 8/x$) દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
સૌ પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 = 1 \implies x = 1$ ($x > 0$ માટે).
$x^2 = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.
$8/x = 1 \implies x = 8$.
ક્ષેત્રફળ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx + \int \limits_2^8 (8/x - 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 + \left[ 8 \ln|x| - x \right]_2^8$
$= \left( (8/3 - 2) - (1/3 - 1) \right) + \left( (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) \right)$
$= (2/3 - (-2/3)) + (8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2)$
$= 4/3 + 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6$
$= 16 \ln 2 + 4/3 - 6$
$= 16 \ln 2 - 14/3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.
ધારો કે $y^2 = t$. તેથી $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 \frac{dt}{dx} + xt = 1$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dt}{dx} + \frac{1}{x} t = \frac{1}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
ઉકેલ $t \cdot x = \int \frac{1}{x^2} \cdot x dx + C = \int \frac{1}{x} dx + C = \ln x + C$ છે.
$t = y^2$ મૂકતા,$xy^2 = \ln x + C$ મળે.
આપેલ છે કે $y(2) = \sqrt{\ln 2}$,તેથી $y^2(2) = \ln 2$. $x=2$ અને $y^2=\ln 2$ મૂકતા: $2(\ln 2) = \ln 2 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \ln 2$.
આમ,$xy^2 = \ln x + \ln 2 = \ln(2x)$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $e^{xy^2} = 2x$,અથવા $2x = \exp(x^1 y^2)$.
આને $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$,$\beta = 1$,અને $\gamma = 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta - \gamma = 2 + 1 - 2 = 1$.

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = 0$,આપણે $x$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ:
$I = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2(-x)} d x = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(x+\frac{\pi}{4}) + (-x+\frac{\pi}{4})}{2-\cos 2 x} d x = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{2}}{2-\cos 2 x} d x$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$2I = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x = \pi \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} dx$
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x dx$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=1$:
$I = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^1 \frac{dt}{1+3t^2} = \frac{\pi}{2 \cdot 3} \int \limits_0^1 \frac{dt}{\frac{1}{3}+t^2} = \frac{\pi}{6} \cdot \sqrt{3} [\tan^{-1}(\sqrt{3}t)]_0^1 = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$

(A) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2-1) - 1(a-1) + 1(1-a) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)$ છે.
જ્યારે $a=1$ હોય,ત્યારે સમીકરણો $x+y+z=1$,$x+y+z=1$,$x+y+z=\beta$ બને છે. જો $\beta=1$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
જ્યારે $a=-2$ હોય,ત્યારે $D=0$ થાય છે. $\beta=1$ માટે ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ છે. હારનો સરવાળો કરતા $0=3$ મળે છે,જે અશક્ય છે. તેથી,કોઈ ઉકેલ નથી. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
જ્યારે $a=2$ અને $\beta=1$ હોય,ત્યારે $D = (2-1)^2(2+2) = 4 \neq 0$ થાય છે. આ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ છે. ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$x=y=z = \frac{1}{4}$ મળે છે. તેથી $x+y+z = \frac{3}{4}$ થાય છે. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
જ્યારે $a=2$ અને $\beta=-1$ હોય,ત્યારે $D=4 \neq 0$ હોવાથી,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે,અનંત ઉકેલો નહીં. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.

(D) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે.
ડોટ ગુણાકાર: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(1) + (-1)(3) + (-3)(5) = 5 - 3 - 15 = -13$.
$\vec{b}$ નું માન: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
તેથી,અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{-13}{\sqrt{35}}$ થાય.
અદિશ પ્રક્ષેપ ઋણ હોવાથી,પ્રક્ષેપ સદિશની દિશા $\vec{b}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $y(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln y = x \ln x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} y^{\prime} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
તેથી,$y^{\prime} = y(1 + \ln x) = x^x(1 + \ln x)$.
હવે,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y^{\prime}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}[x^x] \cdot (1 + \ln x) + x^x \cdot \frac{d}{dx}[1 + \ln x]$
$y^{\prime \prime} = x^x(1 + \ln x)(1 + \ln x) + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \ln x)^2 + x^{x-1}$.
$x = 2$ માટે:
$y^{\prime}(2) = 2^2(1 + \ln 2) = 4(1 + \ln 2)$.
$y^{\prime \prime}(2) = 2^2(1 + \ln 2)^2 + 2^{2-1} = 4(1 + \ln 2)^2 + 2$.
હવે $y^{\prime \prime}(2) - 2y^{\prime}(2)$ ની ગણતરી કરતા:
$= 4(1 + \ln 2)^2 + 2 - 2[4(1 + \ln 2)]$
$= 4(1 + 2\ln 2 + (\ln 2)^2) + 2 - 8 - 8\ln 2$
$= 4 + 8\ln 2 + 4(\ln 2)^2 + 2 - 8 - 8\ln 2$
$= 4(\ln 2)^2 - 2$.

(B) ધારો કે $I = \int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x)}{1+5^{\cos x}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $I = \int \limits_0^\pi \frac{5^{-\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x)}{1+5^{-\cos x}} dx$.
અંશ અને છેદને $5^{\cos x}$ વડે ગુણતા,$I = \int \limits_0^\pi \frac{1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x}{1+5^{\cos x}} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int \limits_0^\pi (1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx$.
વિધેય $x = \pi/2$ ની આસપાસ સંમિત હોવાથી,$2I = 2 \int \limits_0^{\pi/2} (1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx$.
$I = \int \limits_0^{\pi/2} (1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{13\pi}{16}$ મળે છે.
આમ,$k = 13$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$k=26$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $(1, 2, 3)$ અને $(-2, 3, 5)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ છે.
$\vec{n} = (-2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(3, -2, 5)$ અને અભિલંબ સદિશ $(-3, 1, 2)$ મૂકતા:
$-3(x-3) + 1(y+2) + 2(z-5) = 0$.
$-3x + 9 + y + 2 + 2z - 10 = 0$.
$-3x + y + 2z = -1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$3x - y - 2z = 1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$,$\beta = -1$,અને $\gamma = -2$ મળે છે.
ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = (3)(-1)(-2) = 6$.

(B) બિંદુઓ $A(-3,-6,1)$ અને $B(2,4,-3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = (2 - (-3), 4 - (-6), -3 - 1) = (5, 10, -4)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{5} = \frac{y-4}{10} = \frac{z+3}{-4} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(5\lambda+2, 10\lambda+4, -4\lambda-3)$ છે.
$C$ એ સમતલ $8x+y+2z=0$ પર હોવાથી,$8(5\lambda+2) + (10\lambda+4) + 2(-4\lambda-3) = 0$.
$40\lambda + 16 + 10\lambda + 4 - 8\lambda - 6 = 0 \implies 42\lambda + 14 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ મૂકતા,$C = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$ મળે.
રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3} = \mu$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(-\mu+1, 2\mu-4, 3\mu-2)$ છે.
સદિશ $\vec{CD} = (-\mu+\frac{2}{3}, 2\mu-\frac{14}{3}, 3\mu-\frac{1}{3})$ છે.
$CD \perp L$ હોવાથી,$\vec{CD}$ અને $L$ ના દિક સદિશ $(-1, 2, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય.
$-1(-\mu+\frac{2}{3}) + 2(2\mu-\frac{14}{3}) + 3(3\mu-\frac{1}{3}) = 0$.
$\mu - \frac{2}{3} + 4\mu - \frac{28}{3} + 9\mu - 1 = 0 \implies 14\mu = 11 \implies \mu = \frac{11}{14}$.
$\mu = \frac{11}{14}$ મૂકતા,$\vec{CD} = (-\frac{5}{42}, -\frac{70}{42}, \frac{85}{42})$ મળે.
દિકગુણોત્તર $(1, 14, -17)$ મળે છે. $|a+b+c| = |1 + 14 - 17| = 2$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $10$ છે.