JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $L = \lim _{t}$ ${\rightarrow 0}\left(1^{\operatorname{cosec}^2 t}+2^{\operatorname{cosec}^2 t}+\ldots +n^{\operatorname{cosec}^2 t}\right)^{\sin ^2 t}$ है।
कोष्ठक से सबसे बड़ा पद $n^{\operatorname{cosec}^2 t}$ बाहर लेने पर:
$L = \lim _{t}$ ${\rightarrow 0} \left[ n^{\operatorname{cosec}^2 t} \left( \left(\frac{1}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \left(\frac{2}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \ldots + 1 \right) \right]^{\sin ^2 t}$.
$L = \lim _{t}$ ${\rightarrow 0} \left( n^{\operatorname{cosec}^2 t} \right)^{\sin ^2 t} \cdot \left( \left(\frac{1}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \left(\frac{2}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \ldots + 1 \right)^{\sin ^2 t}$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^2 t \cdot \sin ^2 t = 1$,पहला भाग $n^1 = n$ हो जाता है।
दूसरे भाग के लिए,जैसे $t \rightarrow 0$,$\operatorname{cosec}^2 t \rightarrow \infty$ होता है। इसलिए,$k < n$ के लिए,$\left(\frac{k}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} \rightarrow 0$ होगा।
अतः,व्यंजक $n \cdot (0 + 0 + \ldots + 1)^0 = n \cdot 1^0 = n$ हो जाता है।

(A) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ होता है।
दूसरे पद पर इसे लागू करने पर,हमें ${}^{23}C_{r} = {}^{23}C_{23-r}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\sum \limits_{r=0}^{22} {}^{22}C_{r} \cdot {}^{23}C_{23-r}$ हो जाता है।
Vandermonde की सर्वसमिका के अनुसार,$\sum \limits_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$ होता है।
यहाँ,$m=22$,$n=23$,और $r=23$ है।
इसलिए,योग ${}^{22+23}C_{23} = {}^{45}C_{23}$ के बराबर है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है,इसलिए $4a = 24$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
इस परवलय की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{6}{m}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए जीवा $AB$ का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
अतिपरवलय $xy = 2$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जो $xh + yk = 2hk$ है।
रेखा $AB$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें बिंदु पथ $x^2 = -3y$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $4x = 3$ है।

(A) माना $x^{pq p^2} = y^{qr} = z^{p^2 r} = k$ है। तब $pq p^2 = \log_x k$,$qr = \log_y k$,और $p^2 r = \log_z k$ है।
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$\log_y x = \frac{p^3}{r}$,$\log_z y = \frac{q}{p^2}$,और $\log_x z = \frac{r}{pq}$ है।
श्रेणी $3, 3 \log_y x, 3 \log_z y, 7 \log_x z$ समांतर श्रेणी में है।
$3 \log_y x - 3 = \frac{1}{2} \implies \log_y x = \frac{7}{6}$ है।
$p=2, q=3, r=7$ हल करने पर,$r - p - q = 7 - 2 - 3 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{199}(p + iq)$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर: $1-\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{-\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi}{3}))$.
अतः,$(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{200}(\cos(\frac{-200\pi}{3}) + i\sin(\frac{-200\pi}{3}))$.
चूँकि $\frac{-200\pi}{3} = -66\pi - \frac{2\pi}{3}$,इसलिए $\cos(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $\sin(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$2^{200}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{199}(p + iq)$.
$p + iq = -1 - i\sqrt{3}$,जिससे $p = -1$ और $q = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = p + q + q^2 = -1 - \sqrt{3} + 3 = 2 - \sqrt{3}$.
माना $\beta = p - q + q^2 = -1 + \sqrt{3} + 3 = 2 + \sqrt{3}$.
मूलों का योग $\alpha + \beta = 4$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1$.
समीकरण $x^2 - 4x + 1 = 0$ है।

(B) माना दिया गया कथन $r \Rightarrow s$ है,जहाँ $r = (\sim(P \wedge Q)) \vee ((\sim P) \wedge Q)$ और $s = ((\sim P) \wedge (\sim Q))$ है।
सत्यता सारणी के अनुसार,$r \Rightarrow s$ का मान $P \Leftrightarrow Q$ के समान है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^2-4x+[x]+3=x[x]$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2-4x+3=x[x]-[x]$
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x-3)=[x](x-1)$
यह इंगित करता है: $(x-1)(x-3-[x]) = 0$
अतः,$x=1$ या $x-3=[x]$
$x-3=[x]$ के लिए,हमें $x-[x]=3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि भिन्नात्मक भाग $\{x\}=3$ है।
चूँकि भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ को $0 \le \{x\} < 1$ को संतुष्ट करना चाहिए,समीकरण $\{x\}=3$ का कोई हल नहीं है।
अतः,एकमात्र हल $x=1$ है।

(C) प्रायिकता सिद्धांत में,प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ और घटना $A \subseteq \Omega$ के लिए:
$1$. यदि $P(A) = 0$ है,तो इसका अर्थ है कि घटना $A$ एक असंभव घटना है,जिसका अर्थ है $A = \phi$। अतः,$(S1)$ सत्य है।
$2$. यदि $P(A) = 1$ है,तो इसका अर्थ है कि घटना $A$ एक निश्चित घटना है,जिसका अर्थ है $A = \Omega$। अतः,$(S2)$ सत्य है।
इसलिए,दोनों कथन $(S1)$ और $(S2)$ सत्य हैं।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ के किसी भी बिंदु $P(6 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $3x \sec \theta - 2y \operatorname{cosec} \theta = 20$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्त का केंद्र $(2,0)$ है और यह दीर्घवृत्त के अंतर्गत स्थित है,इसलिए संपर्क बिंदु $P$ पर अभिलंब को वृत्त के केंद्र $(2,0)$ से होकर गुजरना चाहिए।
अभिलंब समीकरण में $(2,0)$ प्रतिस्थापित करने पर: $3(2) \sec \theta - 2(0) \operatorname{cosec} \theta = 20 \implies 6 \sec \theta = 20 \implies \cos \theta = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
तब $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{100} = \frac{91}{100}$,अर्थात $\sin \theta = \frac{\sqrt{91}}{10}$.
संपर्क बिंदु $P = (6 \cdot \frac{3}{10}, 4 \cdot \frac{\sqrt{91}}{10}) = (1.8, 0.4\sqrt{91})$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,$(2,0)$ और $P$ के बीच की दूरी है:
$r^2 = (1.8 - 2)^2 + (0.4\sqrt{91} - 0)^2 = (-0.2)^2 + 0.16(91) = 0.04 + 14.56 = 14.6$.
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 14.6$ है।
यदि $(1, \alpha)$ वृत्त पर स्थित है: $(1-2)^2 + \alpha^2 = 14.6 \implies 1 + \alpha^2 = 14.6 \implies \alpha^2 = 13.6$.
अतः,$10 \alpha^2 = 10(13.6) = 136$.

(A) हम द्विपद गुणांकों के लिए मानक सर्वसमिका जानते हैं: $\sum_{r=0}^{n} r \cdot ^{n}C_r = n \cdot 2^{n-1}$।
दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r$ के लिए,हम सर्वसमिका में $n = 2023$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \cdot 2^{2023-1} = 2023 \cdot 2^{2022}$।
इस परिणाम की तुलना दी गई अभिव्यक्ति $2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2023 \cdot 2^{2022} = 2023 \cdot \alpha \cdot 2^{2022}$।
दोनों पक्षों को $2023 \cdot 2^{2022}$ से विभाजित करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई संख्या $123412341$ है। अंक ${1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}$ हैं।
यहाँ $5$ विषम अंक ${1, 1, 1, 3, 3}$ और $4$ सम अंक ${2, 2, 4, 4}$ हैं।
$9$ अंकों की संख्या में $9$ स्थान होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं (कुल $5$ स्थान)।
शर्त के अनुसार,$4$ सम अंकों को $4$ सम स्थानों पर होना चाहिए।
$4$ सम अंकों ${2, 2, 4, 4}$ को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
$5$ विषम अंकों ${1, 1, 1, 3, 3}$ को $5$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{3!2!} = 10$ हैं।
कुल संख्या $= 6 \times 10 = 60$।

(C) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 2|x| + |\lambda - 3| = 0$ है।
इसे $(|x| - 1)^2 = 1 - |\lambda - 3|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के वास्तविक हल होने के लिए,$1 - |\lambda - 3| \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2 \le \lambda \le 4$।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,$(|x| - 1)^2$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,यानी $0$ या $1$।
स्थिति $1$: $(|x| - 1)^2 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$। तो $1 - |\lambda - 3| = 0 \implies |\lambda - 3| = 1 \implies \lambda = 4$ या $\lambda = 2$।
यदि $\lambda = 4, x = 1, -1$,तो $x + \lambda$ का मान $5$ या $3$ हो सकता है।
यदि $\lambda = 2, x = 1, -1$,तो $x + \lambda$ का मान $3$ या $1$ हो सकता है।
स्थिति $2$: $(|x| - 1)^2 = 1 \implies |x| = 2$ या $0 \implies x = \pm 2, 0$। तो $1 - |\lambda - 3| = 1 \implies |\lambda - 3| = 0 \implies \lambda = 3$।
यदि $\lambda = 3, x = 2, -2, 0$,तो $x + \lambda$ का मान $5, 1, 3$ हो सकता है।
समुच्चय $S = \{5, 3, 1\}$ है। सबसे बड़ा तत्व $5$ है।

(C) कुल पाठ्यक्रम = $12$,भाषा पाठ्यक्रम = $5$,अन्य पाठ्यक्रम = $7$.
हमें $5$ पाठ्यक्रम इस प्रकार चुनने हैं कि अधिकतम $2$ भाषा पाठ्यक्रम हों।
स्थिति $1$: $0$ भाषा पाठ्यक्रम और $5$ अन्य पाठ्यक्रम:
$^{5}C_{0} \times ^{7}C_{5} = 1 \times 21 = 21$.
स्थिति $2$: $1$ भाषा पाठ्यक्रम और $4$ अन्य पाठ्यक्रम:
$^{5}C_{1} \times ^{7}C_{4} = 5 \times 35 = 175$.
स्थिति $3$: $2$ भाषा पाठ्यक्रम और $3$ अन्य पाठ्यक्रम:
$^{5}C_{2} \times ^{7}C_{3} = 10 \times 35 = 350$.
कुल तरीके = $21 + 175 + 350 = 546$.

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P$ को $(4 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{3} = 1$ है।
$A$ (जहाँ $y=0$) के निर्देशांक $(4 \sec \theta, 0)$ और $B$ (जहाँ $x=0$) के निर्देशांक $(0, 3 \operatorname{cosec} \theta)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ की लंबाई $L$ के लिए $L^2 = 16 \sec^2 \theta + 9 \operatorname{cosec}^2 \theta$ है।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$L^2 = 16(1 + \tan^2 \theta) + 9(1 + \cot^2 \theta) = 25 + 16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{16 \tan^2 \theta \cdot 9 \cot^2 \theta} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ है।
अतः,$L^2 \geq 25 + 24 = 49$,जिसका अर्थ है कि $L \geq 7$ है।
रेखाखंड $AB$ की न्यूनतम लंबाई $7$ है।

(C) दिया गया है $T_4 = ar^3 = 500$,जहाँ $r = \frac{1}{m}$ है।
अतः,$a(\frac{1}{m})^3 = 500 \implies a = 500m^3$.
दिया गया है $S_6 > S_5 + 1 \implies S_6 - S_5 > 1 \implies T_6 > 1$.
$ar^5 > 1 \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^5 > 1 \implies \frac{500}{m^2} > 1 \implies m^2 < 500$.
दिया गया है $S_7 < S_6 + \frac{1}{2} \implies S_7 - S_6 < \frac{1}{2} \implies T_7 < \frac{1}{2}$.
$ar^6 < \frac{1}{2} \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^6 < \frac{1}{2} \implies \frac{500}{m^3} < \frac{1}{2} \implies m^3 > 1000 \implies m > 10$.
$m^2 < 500$ और $m > 10$ को मिलाने पर,हमें $10 < m < \sqrt{500} \approx 22.36$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m \in N$ है,$m \in \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22\}$ है।
$m$ के संभावित मानों की संख्या $12$ है।

(B) मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं।
$a_1 + a_3 = a_1 + (a_1 + 2d) = 2a_1 + 2d = 10 \Rightarrow a_1 + d = 5$.
छह संख्याओं का माध्य $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = \frac{19}{2}$ है।
संख्याओं का योग $= 6 \times \frac{19}{2} = 57$.
$A.P.$ के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 3(2a_1 + 5d) = 57 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 19$.
$a_1 + d = 5$ और $2a_1 + 5d = 19$ को हल करने पर,हमें $d = 3$ और $a_1 = 2$ प्राप्त होता है।
संख्याएँ $2, 5, 8, 11, 14, 17$ हैं।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 + 14^2 + 17^2}{6} - (\frac{19}{2})^2$.
$\sigma^2 = \frac{4 + 25 + 64 + 121 + 196 + 289}{6} - \frac{361}{4} = \frac{699}{6} - \frac{361}{4} = 116.5 - 90.25 = 26.25 = \frac{105}{4}$.
अतः,$8 \sigma^2 = 8 \times \frac{105}{4} = 210$.

(C) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ सभी $x, y \in \mathbb{N}$ के लिए और $f(1)=3$ है।
हम अनुक्रम के पदों को ज्ञात कर सकते हैं:
$f(1)=3$
$f(2)=f(1+1)=f(1) \cdot f(1)=3^2=9$
$f(3)=f(2+1)=f(2) \cdot f(1)=3^2 \cdot 3=3^3=27$
सामान्यतः,$f(k)=3^k$ है।
योग $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} 3^k = 3279$ दिया गया है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=3$,सार्व अनुपात $r=3$ और $n$ पद हैं।
योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{3(3^n-1)}{3-1} = 3279$
$\frac{3(3^n-1)}{2} = 3279$
$3(3^n-1) = 6558$
$3^n-1 = 2186$
$3^n = 2187$
चूंकि $3^7 = 2187$,इसलिए $n=7$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$
माना $t = x + \frac{1}{x}$. तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
समीकरण में मान रखने पर: $3(t^2 - 2) - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 6 - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0$
$(3t + 1)(t - 1) = 0$,अतः $t = 1$ या $t = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3x^2 + x + 3 = 0$. विविक्तकर $D = (1)^2 - 4(3)(3) = 1 - 36 = -35 < 0$. कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,वास्तविक हलों की संख्या $0$ है।

(B) $3, 5, 6, 7, 8$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $7000$ से बड़ी संख्या बनाने के लिए,हम या तो $4$-अंकीय या $5$-अंकीय संख्याएँ बना सकते हैं।
$1$. $4$-अंकीय संख्याओं के लिए:
पहला अंक (हजार का स्थान) $7$ या $8$ होना चाहिए (क्योंकि संख्या $> 7000$ होनी चाहिए)।
यदि पहला अंक $7$ या $8$ ($2$ विकल्प) है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 2 \times 24 = 48$।
$2$. $5$-अंकीय संख्याओं के लिए:
इन $5$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली सभी $5$-अंकीय संख्याएँ $7000$ से बड़ी होती हैं,इसलिए ऐसी संख्याओं की कुल संख्या $5! = 120$ है।
कुल संख्याएँ $= 48 + 120 = 168$।

(C) माना $z = \sin \frac{2 \pi}{9} + i \cos \frac{2 \pi}{9}$.
चूंकि $|z|^2 = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ है।
व्यंजक $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^3 = \left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}\right)^3 = z^3$ हो जाता है।
अब,$z = i(\cos \frac{2 \pi}{9} - i \sin \frac{2 \pi}{9}) = i e^{-i \frac{2 \pi}{9}}$.
अतः $z^3 = (i e^{-i \frac{2 \pi}{9}})^3 = i^3 e^{-i \frac{6 \pi}{9}} = -i e^{-i \frac{2 \pi}{3}}$.
$z^3 = -i (\cos \frac{2 \pi}{3} - i \sin \frac{2 \pi}{3}) = -i (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3}-i)$.

(B) भुजाओं के समीकरण $AB: (\lambda+1)x + \lambda y = 4$ और $AC: \lambda x + (1-\lambda)y + \lambda = 0$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A$,$y$-अक्ष पर स्थित है,हम $A$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों में $x=0$ रखते हैं।
$AB$ के लिए,$y = 4/\lambda$. $AC$ के लिए,$y = \lambda/(\lambda-1)$.
इन्हें बराबर करने पर,$4/\lambda = \lambda/(\lambda-1)$ $\Rightarrow 4\lambda - 4 = \lambda^2$ $\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow (\lambda-2)^2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda=2$ प्रतिस्थापित करने पर,$AB: 3x + 2y = 4$ और $AC: 2x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$A(0,2)$ है।
माना $C(\alpha, 2\alpha+2)$ है (क्योंकि $C$,$AC$ पर स्थित है)।
लंबकेंद्र $H(1,2)$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $C$ से शीर्षलंब $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $-3/2$ है,इसलिए $C$ से शीर्षलंब की ढाल $2/3$ है।
$H(1,2)$ और $C(\alpha, 2\alpha+2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $(2\alpha+2-2)/(\alpha-1) = 2\alpha/(\alpha-1)$ है।
$2\alpha/(\alpha-1) = 2/3$ $\Rightarrow 6\alpha = 2\alpha - 2$ $\Rightarrow 4\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -1/2$ रखने पर।
अतः,$C(-1/2, 1)$ है।
परवलय $y^2 = 6x$ है,इसलिए $4a = 6 \Rightarrow a = 3/2$. स्पर्श रेखा $y = mx + a/m = mx + 3/(2m)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $C(-1/2, 1)$ से गुजरती है,$1 = m(-1/2) + 3/(2m)$ $\Rightarrow 2 = -m + 3/m$ $\Rightarrow m^2 + 2m - 3 = 0$.
$m$ के लिए हल करने पर,$(m+3)(m-1) = 0 \Rightarrow m = 1$ या $m = -3$.
प्रथम चतुर्थांश के लिए,स्पर्श बिंदु $T(a/m^2, 2a/m) = (3/(2m^2), 3/m)$ है।
$m=1$ के लिए,$T = (3/2, 3)$. दूरी $CT = \sqrt{(3/2 - (-1/2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(D) हमें $\lim_{x \rightarrow a}(\lfloor x-5 \rfloor - \lfloor 2x+2 \rfloor) = 0$ दिया गया है।
यह $\lim_{x \rightarrow a}(\lfloor x \rfloor - \lfloor 2x \rfloor) = 7$ में सरल हो जाता है।
माना $a = I + f$,जहाँ $I$ एक पूर्णांक है और $f \in [0, 1)$ है।
यदि $f \in [0, 0.5)$ है,तो $\lfloor a \rfloor = I$ और $\lfloor 2a \rfloor = 2I$ होगा। अतः $I - 2I = 7 \Rightarrow I = -7$। इस प्रकार $a \in [-7, -6.5)$।
यदि $f \in [0.5, 1)$ है,तो $\lfloor a \rfloor = I$ और $\lfloor 2a \rfloor = 2I + 1$ होगा। अतः $I - (2I + 1) = 7 \Rightarrow I = -8$। इस प्रकार $a \in [-7.5, -7)$।
दोनों को मिलाने पर,$a \in [-7.5, -6.5)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _k\right)^2$.
गुणधर्म ${ }^{n} C _k = { }^{n} C _{n-k}$ का उपयोग करने पर,$S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _{30-k}\right)^2$.
$j = 30-k$ लेने पर,$S = \sum_{j=0}^{29} (30-j) \left({ }^{30} C _j\right)^2$.
अतः,$2S = 30 \sum_{k=0}^{30} \left({ }^{30} C _k\right)^2 = 30 \times { }^{60} C _{30}$.
$S = 15 \times { }^{60} C _{30} = 15 \times \frac{60!}{(30!)^2}$.
इसलिए,$\alpha = 15$.

(D) माना $C(4, 5)$ त्रिज्या $R = 2$ वाले वृत्त का केंद्र है। माना $P(h, k)$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है जो केंद्र $C$ पर $\theta$ कोण अंतरित करती है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CPB$ में,$CP = R \cos(\frac{\theta}{2}) = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ है।
दूरी $CP$ केंद्र $(4, 5)$ से बिंदु $P(h, k)$ तक की दूरी है,इसलिए $CP^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$ है।
अतः,$(h-4)^2 + (k-5)^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ है।
यह $r = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
दिया है $r_i = 2 \cos(\frac{\theta_i}{2})$,इसलिए $r_i^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_i}{2})$ है।
$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$r_1^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{6}) = 4 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3$ है।
$\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$r_3^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 4 \times (\frac{1}{2})^2 = 1$ है।
चूंकि $r_1^2 = r_2^2 + r_3^2$ है,इसलिए $3 = r_2^2 + 1$,जिसका अर्थ है $r_2^2 = 2$ है।
$r_2^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{2}$ है।
इसका अर्थ है $\cos(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\theta_2}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें व्यंजक $\sim(p \wedge (p \rightarrow \sim q))$ दिया गया है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)) \equiv \sim p \vee \sim(p$ $\rightarrow \sim q)$.
चूंकि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,इसलिए $p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\equiv \sim p \vee \sim(\sim p \vee \sim q)$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$\equiv \sim p \vee (p \wedge q)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$:
$\equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$.
चूंकि $\sim p \vee p \equiv t$ (तर्कवाक्य):
$\equiv t \wedge (\sim p \vee q)$.
$\equiv \sim p \vee q$.

(D) अंश का योग $\sum_{r=1}^n r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ है।
हर $\sum_{r=1}^n r(2r+1) = \sum_{r=1}^n (2r^2+r) = 2\sum r^2 + \sum r$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$।
दिया गया अनुपात: $\frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}} = \frac{9}{5}$।
सरल करने पर: $\frac{3n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{9}{5}$।
$\frac{n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5n^2 + 5n = 24n + 30$।
$5n^2 - 19n - 30 = 0$।
$(n-5)(5n+6) = 0$।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $n = 5$।

(D) दी गई द्विपद व्यंजक $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार पहले तीन पद हैं:
$T_1 = { }^n C_0 x^n$
$T_2 = -3 { }^n C_1 x^{n-3}$
$T_3 = 9 { }^n C_2 x^{n-6}$
गुणांकों का योग $376$ दिया गया है:
${ }^n C_0 - 3 { }^n C_1 + 9 { }^n C_2 = 376$
$1 - 3n + 9 \frac{n(n-1)}{2} = 376$
$9n^2 - 15n - 750 = 0$
$3n^2 - 5n - 250 = 0$
$(n-10)(3n+25) = 0$
$n = 10$ प्राप्त होता है।
व्यापक पद $T_{r+1} = { }^{10} C_r (-3)^r x^{10-3r}$ है।
$x^4$ के गुणांक के लिए $10-3r = 4$ लेने पर $r = 2$ मिलता है।
अतः गुणांक ${ }^{10} C_2 (-3)^2 = 45 \times 9 = 405$ है।

(D) दिया गया है $\tan (\pi \cos \theta) + \tan (\pi \sin \theta) = 0$.
इसका अर्थ है $\tan (\pi \cos \theta) = -\tan (\pi \sin \theta) = \tan (-\pi \sin \theta)$.
अतः,$\pi \cos \theta = n\pi - \pi \sin \theta$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi$ से भाग देने पर,हमें $\sin \theta + \cos \theta = n$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-\sqrt{2} \leq \sin \theta + \cos \theta \leq \sqrt{2}$,$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
स्थिति $1$: $\sin \theta + \cos \theta = 0 \implies \tan \theta = -1$. $[0, 2\pi)$ में,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\sin \theta + \cos \theta = 1 \implies \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ में,$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$.
स्थिति $3$: $\sin \theta + \cos \theta = -1 \implies \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ में,$\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$.
समुच्चय $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\}$ है।
हमें $\sum_{\theta \in S} \sin^2(\theta + \frac{\pi}{4})$ की गणना करनी है।
$\theta \in \{0, \frac{\pi}{2}\}$ के लिए,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
$\theta \in \{\pi, \frac{3\pi}{2}\}$ के लिए,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
$\theta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ के लिए,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (0)^2 = 0$.
योग $= 4 \times \frac{1}{2} + 2 \times 0 = 2$.

(D) शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
$A$,$2x + y = 0$ और $x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन्हें जोड़ने पर,$3x = 3 \Rightarrow x = 1$. तब $y = -2$. अतः $A = (1, -2)$.
$B$,$2x + y = 0$ और $x + py = 21a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मान लीजिए $B = (\alpha, -2\alpha)$.
$C$,$x - y = 3$ और $x + py = 21a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मान लीजिए $C = (\beta + 3, \beta)$.
केंद्रक $G(2, a) = (\frac{1 + \alpha + \beta + 3}{3}, \frac{-2 - 2\alpha + \beta}{3})$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1 + \alpha + \beta + 3 = 6$ $\Rightarrow \alpha + \beta = 2$ $\Rightarrow \beta = 2 - \alpha$.
$-2 - 2\alpha + \beta = 3a$ $\Rightarrow -2 - 2\alpha + 2 - \alpha = 3a$ $\Rightarrow -3\alpha = 3a$ $\Rightarrow \alpha = -a$.
चूंकि $B$,$x + py = 21a$ पर स्थित है: $\alpha + p(-2\alpha) = 21a$ $\Rightarrow \alpha(1 - 2p) = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 1 - 2p = -21$ $\Rightarrow 2p = 22$ $\Rightarrow p = 11$.
चूंकि $C$,$x + py = 21a$ पर स्थित है: $(\beta + 3) + 11\beta = 21a$ $\Rightarrow 12\beta + 3 = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 4\beta + 1 = -7\alpha$.
$\beta = 2 - \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $4(2 - \alpha) + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 8 - 4\alpha + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 3\alpha = -9$ $\Rightarrow \alpha = -3$.
अतः $\beta = 2 - (-3) = 5$. इस प्रकार $B = (-3, 6)$ और $C = (8, 5)$.
$(BC)^2 = (8 - (-3))^2 + (5 - 6)^2 = 11^2 + (-1)^2 = 121 + 1 = 122$.

(B) दो पूर्णांकों $x$ और $66-x$ का गुणनफल $f(x) = x(66-x)$ है।
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका अधिकतम मान $x = 33$ पर है।
अतः,$M = 33 \times 33 = 1089$.
हमें $x(66-x) \geq \frac{5}{9} \times 1089 = 5 \times 121 = 605$ की आवश्यकता है।
$66x - x^2 \geq 605 \implies x^2 - 66x + 605 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x^2 - 66x + 605 = 0$ को हल करने पर: $x = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 2420}}{2} = \frac{66 \pm 44}{2}$.
अतः,$x_1 = 11$ और $x_2 = 55$.
समुच्चय $S = \{11, 12, \ldots, 55\}$,इसलिए अवयवों की संख्या $n(S) = 55 - 11 + 1 = 45$.
घटना $A$ में $S$ के $3$ के गुणज शामिल हैं: $A = \{12, 15, 18, \ldots, 54\}$.
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 12$,$l = 54$,और $d = 3$ है।
$54 = 12 + (n-1)3 \implies 42 = (n-1)3 \implies n = 15$.
अतः,$n(A) = 15$.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

(C) अंश $n$ पदों का योग है जिसका रूप $(3k-2) + (3k-1) - 3k = 3k-3$ है,जहाँ $k=1$ से $n$ तक है।
योग $= \sum_{k=1}^{n} (3k-3) = 3 \sum_{k=1}^{n} (k-1) = 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2-3n}{2}$.
अब,सीमा पर विचार करें: $\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3n^2-3n}{2}}{\sqrt{2n^4+4n+3}-\sqrt{n^4+5n+4}}$.
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर: $\operatorname{Lim}_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{2} - \frac{3}{2n}}{\sqrt{2+\frac{4}{n^3}+\frac{3}{n^4}}-\sqrt{1+\frac{5}{n^3}+\frac{4}{n^4}}}$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,यह व्यंजक $\frac{3/2}{\sqrt{2}-1}$ की ओर अग्रसर होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{3}{2(\sqrt{2}-1)} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{2(2-1)} = \frac{3}{2}(\sqrt{2}+1)$.

(A) रेखा $ax + by = 0$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है।
चूंकि $A(\alpha, 0)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha^2 - 2\alpha = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 0$ या $\alpha = 2$। यदि $\alpha = 0$ है,तो $A = (0, 0)$ है।
चूंकि $B(1, \beta)$ वृत्त पर स्थित है,$1^2 + \beta^2 - 2(1) = 0$,जिससे $\beta^2 = 1$,अर्थात $\beta = 1$ या $\beta = -1$।
रेखा $ax + by = 0$ बिंदुओं $(0, 0)$ और $(1, \beta)$ से गुजरती है,अतः इसका समीकरण $y = \beta x$ है। $a \neq b$ होने के कारण,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं (जहाँ $\beta=1$)।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$ है,जो $x^2 + y^2 - x - y = 0$ में सरल हो जाता है।
केंद्र $(1/2, 1/2)$ है और त्रिज्या $r = 1/\sqrt{2}$ है।
रेखा $x + y + 2 = 0$ में केंद्र का प्रतिबिंब $(-2.5, -2.5)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 5x + 5y + 12 = 0$ है।

(C) माना छात्रों की संख्या $n$ है। प्रारंभिक माध्य $\bar{x} = 10$ और प्रसरण $\sigma^2 = 4$ है।
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 10 \implies \sum x_i = 10n$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{n} - 100 = 4 \implies \sum x_i^2 = 104n$.
जब एक छात्र के अंक $8$ से बदलकर $12$ हो जाते हैं,तो अंकों का नया योग $\sum x_i' = 10n - 8 + 12 = 10n + 4$ होता है।
नया माध्य $\frac{10n + 4}{n} = 10.2 \implies 10n + 4 = 10.2n \implies 0.2n = 4 \implies n = 20$.
अब,वर्गों का नया योग $\sum x_i'^2 = \sum x_i^2 - 8^2 + 12^2 = 104(20) - 64 + 144 = 2080 + 80 = 2160$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2 = 108 - 104.04 = 3.96$ है।

(A) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $|z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$ और $|z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$ है।
दिया गया है $|z_1 - z_2|^2 = |(2 - 3) + i(3 - 4)|^2 = |-1 - i|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$ है।
समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - ((x - 3)^2 + (y - 4)^2) = 2$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16) = 2$ प्राप्त होता है।
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13) - (x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25) = 2$ है।
$2x + 2y - 12 = 2$ है।
$2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7$ है।
यह एक सीधी रेखा है जिसका $x$-अंतःखंड $7$ और $y$-अंतःखंड $7$ है।
अंतःखंडों का योग $7 + 7 = 14$ है।

(B) परवलय $y^2 = \frac{x}{2}$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{8m}$ है।
वक्र $x = 1 + y^2$ के लिए,स्पर्शरेखा का मान रखने पर $x = 1 + (mx + \frac{1}{8m})^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $m^2x^2 - \frac{3}{4}x + (1 + \frac{1}{64m^2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह स्पर्शरेखा है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ लेने पर $m = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः स्पर्शरेखा का समीकरण $x - 2\sqrt{2}y + 1 = 0$ है।
बिंदु $(6, -2\sqrt{2})$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9}} = 5$ है।

(B) माना दिया गया कथन $S = (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow (p$ $\Rightarrow \sim q)$ है।
निगमन नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (p \Rightarrow \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee \sim (\sim q)) \vee (\sim p \vee \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee \sim q)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim p \vee (q \vee \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q)$ एक पुनरुक्ति $(t)$ है:
$S \equiv \sim p \vee t$
$S \equiv t$
अतः,यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(B) दिया गया है कि $a_r$,$(1+x)^{10}$ में $x^{10-r}$ का गुणांक है,इसलिए $a_r = {}^{10}C_{10-r} = {}^{10}C_r$ है।
अब,अनुपात $\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{10}C_r}{{}^{10}C_{r-1}} = \frac{11-r}{r}$ है।
योग में मान रखने पर,$\sum \limits_{r=1}^{10} r^3 \left(\frac{11-r}{r}\right)^2 = \sum \limits_{r=1}^{10} r(11-r)^2$ प्राप्त होता है।
पद का विस्तार करने पर: $\sum \limits_{r=1}^{10} (121r - 22r^2 + r^3)$।
$n=10$ के लिए योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= 121 \times 55 - 22 \times 385 + 3025 = 6655 - 8470 + 3025 = 1210$।

(A) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 5, 7, 10, 11\}$ है। अवयवों को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर वर्गीकृत करते हैं:
$R_0 = \{3\}$ (संख्या $n_0 = 1$)
$R_1 = \{1, 7, 10\}$ (संख्या $n_1 = 3$)
$R_2 = \{2, 5, 11\}$ (संख्या $n_2 = 3$)
गणना करने पर,$3$ के गुणज योग वाले कुल उपसमुच्चयों की संख्या $43$ प्राप्त होती है।
रिक्त समुच्चय को घटाने पर,अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $43 - 1 = 42$ होगी।

(B) अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm 6, 0)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 6$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( \frac{5}{4} - 1 \right) = 36 \left( \frac{1}{4} \right) = 9$ है।
अतः,अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ होता है।
$a=6, b=3$ रखने पर,समीकरण $\frac{6x}{\sec \theta} + \frac{3y}{\tan \theta} = 36 + 9 = 45$ प्राप्त होता है,जो $6x \cos \theta + 3y \cot \theta = 45$ में सरल हो जाता है।
इस अभिलंब की ढाल $-\frac{6 \cos \theta}{3 \cot \theta} = -2 \sin \theta$ है।
अभिलंब रेखा $\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}$ के समांतर है,जिसकी ढाल $-\sqrt{2}$ है।
अतः,$-2 \sin \theta = -\sqrt{2} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$ है।
अभिलंब के समीकरण में $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $6x \cos(\frac{\pi}{4}) + 3y \cot(\frac{\pi}{4}) = 45 \Rightarrow 6x(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3y(1) = 45 \Rightarrow 3\sqrt{2}x + 3y = 45 \Rightarrow \sqrt{2}x + y = 15$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय पर बिंदु $P$,$(6 \sec(\frac{\pi}{4}), 3 \tan(\frac{\pi}{4})) = (6\sqrt{2}, 3)$ है।
अभिलंब का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $K(0, 15)$ है।
लंबाई $d$,$P(6\sqrt{2}, 3)$ और $K(0, 15)$ के बीच की दूरी है।
$d^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (3 - 15)^2 = (6\sqrt{2})^2 + (-12)^2 = 72 + 144 = 216$।

(B) दिया गया है $\log_2(9^{2\alpha-4} + 13) - \log_2(\frac{5}{2} \cdot 3^{2\alpha-4} + 1) = 2$।
मान लीजिए $y = 3^{2\alpha-4}$। तब $9^{2\alpha-4} = y^2$।
समीकरण $\log_2(\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1}) = 2$ बन जाता है।
$\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1} = 4 \implies y^2 + 13 = 10y + 4$।
$y^2 - 10y + 9 = 0 \implies (y-1)(y-9) = 0$।
अतः $y = 1$ या $y = 9$।
यदि $3^{2\alpha-4} = 1$,तो $2\alpha-4 = 0 \implies \alpha = 2$।
यदि $3^{2\alpha-4} = 9$,तो $2\alpha-4 = 2 \implies \alpha = 3$।
इस प्रकार,$S = \{2, 3\}$।
$\sum_{\alpha \in S} \alpha = 2 + 3 = 5$।
$\sum_{\alpha \in S} (\alpha+1)^2 = (2+1)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$।
द्विघात समीकरण $x^2 - 2(5)^2 x + 25\beta = 0$ है,जो $x^2 - 50x + 25\beta = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$।
$D = (-50)^2 - 4(1)(25\beta) = 2500 - 100\beta \geq 0$।
$100\beta \leq 2500 \implies \beta \leq 25$।
$\beta$ का अधिकतम मान $25$ है।

(B) मल्टीनोमियल विस्तार में सामान्य पद $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} (2x)^{n_1} (x^{-7})^{n_2} (3x^2)^{n_3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ है।
यह $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} 2^{n_1} 3^{n_3} x^{n_1 - 7n_2 + 2n_3}$ में सरल हो जाता है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $n_1 - 7n_2 + 2n_3 = 0$ है।
चूंकि $n_1 + n_2 + n_3 = 5$,हम $n_1 = 5 - n_2 - n_3$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(5 - n_2 - n_3) - 7n_2 + 2n_3 = 0$ $\Rightarrow 5 - 8n_2 + n_3 = 0$ $\Rightarrow n_3 = 8n_2 - 5$।
यदि $n_2 = 1$ है,तो $n_3 = 3$,जिसका अर्थ है कि $n_1 = 5 - 1 - 3 = 1$ है।
इन मानों को गुणांक के सूत्र में रखने पर:
$\frac{5!}{1! 1! 3!} (2)^1 (3)^3 = \frac{120}{6} \times 2 \times 27 = 20 \times 54 = 1080$।

(B) मान लीजिए $S = \{1, 2, \dots, 25\}$ है। हम ऐसे युग्म $(x, y)$ ज्ञात करना चाहते हैं कि $x, y \in S$,$x \neq y$,और $x + y \equiv 0 \pmod{5}$ हो।
सबसे पहले,$S$ को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर विभाजित करें:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25\}$ (आकार $5$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21\}$ (आकार $5$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22\}$ (आकार $5$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23\}$ (आकार $5$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24\}$ (आकार $5$)
$x+y$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए,शेषफल के संभावित युग्म $(r_x, r_y)$ इस प्रकार हैं:
$1$. $(0, 0)$: $x, y \in R_0$. तरीकों की संख्या = $5 \times 4 = 20$.
$2$. $(1, 4)$: $x \in R_1, y \in R_4$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
$3$. $(4, 1)$: $x \in R_4, y \in R_1$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
$4$. $(2, 3)$: $x \in R_2, y \in R_3$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
$5$. $(3, 2)$: $x \in R_3, y \in R_2$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
कुल तरीके = $20 + 25 + 25 + 25 + 25 = 120$.

(C) दिया गया है $\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|=2$,इसलिए $|z-2i|^2 = 4|z+i|^2$ है।
मान लीजिए $z = x+iy$ है। तो $|x+i(y-2)|^2 = 4|x+i(y+1)|^2$ होगा।
$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$।
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$।
$3x^2 + 3y^2 + 12y = 0$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x^2 + y^2 + 4y = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + (y+2)^2 = 4$।
यह $2$ त्रिज्या और $(0, -2)$ केंद्र वाला एक वृत्त है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^n + \lambda$ है।
दिए गए मानों का उपयोग करने पर:
$f(4) = 2(4^n) + \lambda = 133$ --- $(1)$
$f(5) = 2(5^n) + \lambda = 255$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$2(5^n - 4^n) = 255 - 133 = 122$
$5^n - 4^n = 61$
$n \in N$ के लिए मानों की जाँच करने पर:
$n = 3$ के लिए,$5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$. अतः,$n = 3$.
$n = 3$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(4^3) + \lambda = 133$
$2(64) + \lambda = 133$
$128 + \lambda = 133 \Rightarrow \lambda = 5$.
अब,$f(3) - f(2)$ की गणना करने पर:
$f(3) = 2(3^3) + 5 = 2(27) + 5 = 59$
$f(2) = 2(2^3) + 5 = 2(8) + 5 = 21$
$f(3) - f(2) = 59 - 21 = 38$.
$38$ के विभाजक $1, 2, 19, 38$ हैं।
इन विभाजकों का योग $1 + 2 + 19 + 38 = 60$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा संयोजन पुनरुक्ति (tautology) है,हम प्रत्येक मामले के लिए सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \wedge (p \vee q)$ है। यदि $p=T, q=F$ है,तो $(T \rightarrow F) \wedge (T \vee F) = F \wedge T = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \vee (p \wedge q)$ है। यदि $p=T, q=F$ है,तो $(T \rightarrow F) \vee (T \wedge F) = F \vee F = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
$3$. $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \vee (p \vee q)$ है।
- यदि $p=T, q=T$: $T \vee T = T$
- यदि $p=T, q=F$: $F \vee T = T$
- यदि $p=F, q=T$: $T \vee T = T$
- यदि $p=F, q=F$: $T \vee F = T$
चूंकि सभी मान $T$ हैं,यह एक पुनरुक्ति है।
$4$. $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge q)$ है। यदि $p=F, q=F$ है,तो $T \wedge F = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,सही विकल्प $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ है।

(D) $5000$ और $10000$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,यह $4$ अंकों की संख्या होनी चाहिए।
पहला अंक (हजार का स्थान) $5$ से बड़ा या $5$ के बराबर होना चाहिए। दिए गए अंकों $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ में से,हजार के स्थान के लिए संभावित विकल्प $5, 7, 9$ ($3$ विकल्प) हैं।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,हमारे पास सैकड़े के स्थान के लिए $4$ शेष अंक,दहाई के स्थान के लिए $3$ शेष अंक और इकाई के स्थान के लिए $2$ शेष अंक हैं।
कुल संख्या $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 6x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 6$,अतः $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 6x$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{3}{2m}$ है।
त्रिभुज रेखाओं $x = 0$,$y = 3$,और $y = mx + \frac{3}{2m}$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$1$. $x = 0$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
$2$. $x = 0$ और $y = mx + \frac{3}{2m}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, \frac{3}{2m})$ है।
$3$. $y = 3$ और $y = mx + \frac{3}{2m}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{6m - 3}{2m^2}, 3)$ है।
माना परिकेंद्र $(h, k)$ है। समकोण त्रिभुज होने के कारण,परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होगा।
अतः,$h = \frac{6m - 3}{4m^2}$ और $k = \frac{6m + 3}{4m}$ है।
$k = \frac{6m + 3}{4m}$ से $m = \frac{3}{2(2k - 3)}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $h$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदुपथ $4y^2 - 18y + 3x + 18 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया योग $S = \sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$S = {}^{51}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{45}C_{3}$ प्राप्त होता है।
इसे आरोही क्रम में लिखने पर,$S = {}^{45}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3}$ प्राप्त होता है।
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3} = {}^{46}C_{4}$ होता है।
अतः,$S = ({}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3}) + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3} - {}^{45}C_{4}$।
इस प्रक्रिया को दोहराने पर,अंततः ${}^{52}C_{4} - {}^{45}C_{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
दिया गया है कि $N - 2, \sqrt{3N}, N + 2$ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग चरम पदों के गुणनफल के बराबर होना चाहिए:
$(\sqrt{3N})^2 = (N - 2)(N + 2)$
$3N = N^2 - 4$
$N^2 - 3N - 4 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(N - 4)(N + 1) = 0$
चूंकि $N$ दो पासों का योग है,$N \geq 2$,इसलिए $N = 4$ ही एकमात्र मान्य हल है।
योग $N = 4$ प्राप्त करने वाले परिणाम: $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।
हमें $P(A) = \frac{k}{48}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{k}{48} = \frac{1}{12}$
$k = \frac{48}{12} = 4$.

(A) दिया गया है कि $a, b, \frac{1}{18}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = a \times \frac{1}{18} \implies a = 18b^2$ $(i)$.
दिया गया है कि $\frac{1}{a}, 10, \frac{1}{b}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \times 10 = 20$.
$\frac{a+b}{ab} = 20 \implies a+b = 20ab$ $(ii)$.
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$18b^2 + b = 20(18b^2)b = 360b^3$.
चूंकि $b > 0$,$b$ से विभाजित करने पर: $18b + 1 = 360b^2 \implies 360b^2 - 18b - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $b = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4(360)(-1)}}{2(360)} = \frac{18 \pm \sqrt{1764}}{720} = \frac{18 \pm 42}{720}$.
चूंकि $b > 0$,$b = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}$.
तब $a = 18 \times (\frac{1}{12})^2 = 18 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{8}$.
अंत में,$16a + 12b = 16(\frac{1}{8}) + 12(\frac{1}{12}) = 2 + 1 = 3$.

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
बिंदुओं $(2, -3, 1)$,$(-1, 1, -2)$ और $(3, -4, 2)$ को रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y+3 & z-1 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-2)(4 - 3) - (y+3)(-3 + 3) + (z-1)(3 - 4) = 0$
$(x-2)(1) - (y+3)(0) + (z-1)(-1) = 0$
$x - 2 - z + 1 = 0$
$x - z - 1 = 0$
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ होती है।
बिंदु $(7, -3, -4)$ और समतल $x - z - 1 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|7 - (-4) - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|7 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{u}=(1, -1, -2)$,$\vec{v}=(2, 1, -1)$,और $\vec{v} \cdot \vec{w}=2$ है।
हमें समीकरण $\vec{v} \times \vec{w} = \vec{u} + \lambda\vec{v} \quad \dots(1)$ दिया गया है।
समीकरण $(1)$ का $\vec{v}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{u} + \lambda(\vec{v} \cdot \vec{v})$.
चूंकि $\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$,इसलिए $0 = (2 - 1 + 2) + \lambda(2^2 + 1^2 + (-1)^2)$.
$0 = 3 + 6\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,समीकरण $(1)$ का $\vec{w}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{w} \cdot \vec{u} + \lambda(\vec{w} \cdot \vec{v})$.
चूंकि $\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$,इसलिए $0 = \vec{u} \cdot \vec{w} + \lambda(2)$.
$\vec{u} \cdot \vec{w} = -2\lambda = -2(-\frac{1}{2}) = 1$.

(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:
$x+y+z=1$
$2x+Ny+2z=2$
$3x+3y+Nz=3$
प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta \neq 0$ हो।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & N & 2 \\ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$
$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$
$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $N \neq 2$ और $N \neq 3$।
चूंकि $N$ एक निष्पक्ष पासे का परिणाम है,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
$N$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$\{1, 4, 5, 6\}$ हैं।
ऐसे $4$ मान हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है,जिससे $k = 4$ प्राप्त होता है।
$k$ और $N$ के उन सभी संभावित मानों का योग जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ है।

(C) माना $x = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)$.
तर्क को सरल करने पर: $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$x = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
माना $y = \sec ^{-1}\left(\sqrt{\frac{8+4 \sqrt{3}}{6+3 \sqrt{3}}}\right)$.
तर्क को सरल करने पर: $\sqrt{\frac{4(2+\sqrt{3})}{3(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$y = \sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$x + y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(B) मान लीजिए शीर्षों $P, Q, R$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ हैं। सरलता के लिए,$\vec{p} = \vec{0}$ लें।
दिया है $\frac{QA}{AR} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $A$ भुजा $QR$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{a} = \frac{2\vec{q} + 1\vec{r}}{3}$।
दिया है $\frac{RB}{BP} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $B$ भुजा $RP$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{b} = \frac{2\vec{r} + 1\vec{p}}{3} = \frac{2\vec{r}}{3}$।
दिया है $\frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $C$ भुजा $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{c} = \frac{2\vec{p} + 1\vec{q}}{3} = \frac{\vec{q}}{3}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta' = \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करने पर: $\vec{b} - \vec{a} = \frac{\vec{r} - 2\vec{q}}{3}$ और $\vec{c} - \vec{a} = \frac{-\vec{q} - \vec{r}}{3}$।
$\Delta' = \frac{1}{2} |\frac{1}{9} (\vec{r} - 2\vec{q}) \times (-\vec{q} - \vec{r})| = \frac{1}{18} |-\vec{r} \times \vec{q} + 2\vec{q} \times \vec{r}| = \frac{1}{18} |\vec{q} \times \vec{r} + 2\vec{q} \times \vec{r}| = \frac{1}{6} |\vec{q} \times \vec{r}|$।
अतः,$\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}|}{\frac{1}{6} |\vec{q} \times \vec{r}|} = 3$।

(D) दिया गया समीकरण: $A^2 + B = A^2 B$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$A^2 = A^2 B - B$
$A^2 = (A^2 - I)B$
वैकल्पिक रूप से,गुणनखंड करने के लिए:
$A^2 B - B = A^2$
$B(A^2 - I) = A^2$
व्यंजक $(A^2 - I)(B - I) = A^2 B - A^2 - B + I$ पर विचार करें।
$A^2 B = A^2 + B$ का मान रखने पर:
$(A^2 - I)(B - I) = (A^2 + B) - A^2 - B + I = I$
चूंकि $(A^2 - I)(B - I) = I$,इसका अर्थ है कि आव्यूह $(A^2 - I)$ और $(B - I)$ क्रमविनिमेय हैं।
अतः,$(A^2 - I)(B - I) = (B - I)(A^2 - I) = I$
$(B - I)(A^2 - I) = I$ का विस्तार करने पर:
$B A^2 - B - A^2 + I = I$
$B A^2 = A^2 + B$
चूंकि $A^2 + B = A^2 B$,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:
$A^2 B = B A^2$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x^2}$ और $Q = \frac{1}{x^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x^2} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$.
मान लीजिए $t = -\frac{1}{x}$,तो $dt = \frac{1}{x^2} dx$ है। साथ ही,$\frac{1}{x} = -t$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^t dt = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$.
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.
$e^{-\frac{1}{x}}$ से भाग देने पर,$y = 1 + \frac{1}{x} + C e^{\frac{1}{x}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$,अतः $3 - e = 1 + \frac{1}{1/2} + C e^{\frac{1}{1/2}} = 1 + 2 + C e^2 = 3 + C e^2$.
इस प्रकार,$3 - e = 3 + C e^2 \implies C e^2 = -e \implies C = -\frac{1}{e} = -e^{-1}$.
अतः,$y(x) = 1 + \frac{1}{x} - e^{-1} e^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x} - 1}$.
$x = 1$ के लिए,$y(1) = 1 + \frac{1}{1} - e^{\frac{1}{1} - 1} = 1 + 1 - e^0 = 2 - 1 = 1$.

(C) दिए गए वक्र $y^2 = -4(x-1)$ और $x = \frac{y-2}{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y-2}{2}$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = -4(\frac{y-2}{2} - 1) = -2(y-2-2) = -2(y-4) = -2y + 8$.
$y^2 + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = -4$ और $y = 2$ पर हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{-4}^{2} [x_{right} - x_{left}] dy = \int_{-4}^{2} [\frac{4-y^2}{4} - \frac{y-2}{2}] dy$.
$A = \int_{-4}^{2} [1 - \frac{y^2}{4} - \frac{y}{2} + 1] dy = \int_{-4}^{2} [2 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}] dy$.
$A = [2y - \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}]_{-4}^{2}$.
$A = (2(2) - \frac{4}{4} - \frac{8}{12}) - (2(-4) - \frac{16}{4} - \frac{-64}{12}) = (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 + \frac{16}{3}) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-36+16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-20}{3}) = \frac{27}{3} = 9$.

(B) चूँकि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है,इसका सारणिक $0$ होगा:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\alpha^2(c-b) - \alpha(c-a) + (b-a) = 0$
यह दिए गए समीकरण $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ के समान है,जहाँ $\alpha=1$ एक मूल है क्योंकि $(a-c) + (b-a) + (c-b) = 0$ है।
मान लीजिए $X = a-c$,$Y = b-a$,और $Z = c-b$ है। यहाँ $X+Y+Z = 0$ है।
व्यंजक $\frac{X^2}{YZ} + \frac{Y^2}{XZ} + \frac{Z^2}{XY} = \frac{X^3 + Y^3 + Z^3}{XYZ}$ है।
चूँकि $X+Y+Z = 0$,सर्वसमिका $X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ का उपयोग करने पर,
अतः,व्यंजक का मान $\frac{3XYZ}{XYZ} = 3$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $P(-1, 9, -16)$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा $\frac{x+4}{3} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{12}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y-9}{-4} = \frac{z+16}{12} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3\lambda - 1, -4\lambda + 9, 12\lambda - 16)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 3y - z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3\lambda - 1) + 3(-4\lambda + 9) - (12\lambda - 16) = 5$.
$6\lambda - 2 - 12\lambda + 27 - 12\lambda + 16 = 5$.
$-18\lambda + 41 = 5$.
$-18\lambda = -36$,इसलिए $\lambda = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(2) - 1, -4(2) + 9, 12(2) - 16) = (5, 1, 8)$ है।
$(-1, 9, -16)$ और $(5, 1, 8)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - 9)^2 + (8 - (-16))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ है।

(D) स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए।
इसके लिए $\operatorname{gcd}(a, a) = |a| = 1$ और $2a \neq a$ होना आवश्यक है। यह सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य नहीं है (जैसे,$a=2$),इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए।
मान लीजिए $a=2, b=1$ है। $\operatorname{gcd}(2, 1) = 1$ और $2(2) = 4 \neq 1$,इसलिए $(2, 1) \in R$ है।
हालाँकि,$(1, 2)$ के लिए,$\operatorname{gcd}(1, 2) = 1$ लेकिन $2(1) = 2 = b$ है। चूँकि शर्त $2a \neq b$ का उल्लंघन होता है,इसलिए $(1, 2) \notin R$ है।
अतः,$R$ सममित नहीं है।
संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए।
मान लीजिए $a=14, b=19, c=21$ है।
$\operatorname{gcd}(14, 19) = 1$ और $2(14) = 28 \neq 19$,इसलिए $(14, 19) \in R$ है।
$\operatorname{gcd}(19, 21) = 1$ और $2(19) = 38 \neq 21$,इसलिए $(19, 21) \in R$ है।
हालाँकि,$\operatorname{gcd}(14, 21) = 7 \neq 1$,इसलिए $(14, 21) \notin R$ है।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ न तो सममित है और न ही संक्रामक है।

(B) $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)$. चूंकि $|\sin(1/x)| \leq 1$,हमारे पास $|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2$ है। स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. अतः,$f(x)$ $x=0$ पर सतत है।
$x=0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता: $f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$. चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = 0$.
$x=0$ पर $f^{\prime}(x)$ की सांतत्यता: $x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \sin(1/x)] = 2x \sin(1/x) + x^2 \cos(1/x) (-1/x^2) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.
जैसे $x \to 0$,$2x \sin(1/x) \to 0$,लेकिन $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि यह दोलन करता है। इसलिए,$\lim_{x \to 0} f^{\prime}(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ $x=0$ पर सतत नहीं है।

(C) माना $I = 12 \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$ है।
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$ अंतराल $[0, 1)$ पर धनात्मक,$(1, 2)$ पर ऋणात्मक और $(2, 3]$ पर धनात्मक है।
अतः,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = 12 \left[ \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx \right]$।
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$।
$[0, 1]$ के लिए: $[\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2] - [0] = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$।
$[1, 2]$ के लिए: $-[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$।
$[2, 3]$ के लिए: $[(9 - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)] = [15 - 13.5 - \frac{2}{3}] = [1.5 - \frac{2}{3}] = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$।
योग करने पर: $I = 12 \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \right) = 12 \left( \frac{11}{6} \right) = 22$।

(C) माना $I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x)^{2023}}{(\cos x)^{2023}+(\sin x)^{2023}} dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{(\cos x)^{2023} + (\sin x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} \right) dx$।
$2I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$।
$2I = \frac{8}{\pi} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{8}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 4$।
अतः,$I = \frac{4}{2} = 2$।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}$ और $L_2: \frac{x-6}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+8}{0}$ हैं।
यहाँ,बिंदु $A(2, -1, 6)$,$L_1$ पर स्थित है और बिंदु $B(6, 1, -8)$,$L_2$ पर स्थित है।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (6-2)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-8-6)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 6) + \hat{k}(-6 - 6) = 4\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(4)(4) + (2)(6) + (-14)(-12)|}{14} = \frac{|16 + 12 + 168|}{14} = \frac{196}{14} = 14$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x} + 2}$ पर विचार करें।
$= \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{2 + 4^x} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
अतः,$f(x) + f(1-x) = 1$.
दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{2022} f\left(\frac{k}{2023}\right)$ है।
यहाँ कुल $2022$ पद हैं,इसलिए हम उन्हें $f\left(\frac{k}{2023}\right) + f\left(1 - \frac{k}{2023}\right) = 1$ के रूप में जोड़ सकते हैं।
ऐसी जोड़ियों की संख्या $\frac{2022}{2} = 1011$ है।
इसलिए,योग $1011 \times 1 = 1011$ होगा।

(C) दिया गया है $f(x)=x^3-x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(3)$.
मान लीजिए $f^{\prime}(1)=a$,$f^{\prime \prime}(2)=b$,और $f^{\prime \prime \prime}(3)=c$.
तब $f(x)=x^3-ax^2+bx-c$.
अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x)=3x^2-2ax+b$
$f^{\prime \prime}(x)=6x-2a$
$f^{\prime \prime \prime}(x)=6$
अब,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime \prime \prime}(3)=6 \implies c=6$.
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-2a=12-2a=b \implies 2a+b=12$.
$f^{\prime}(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=a \implies 3a-b=3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2a+b)+(3a-b)=12+3 \implies 5a=15 \implies a=3$.
$a=3$ को $2a+b=12$ में रखने पर: $2(3)+b=12 \implies b=6$.
अतः,$f(x)=x^3-3x^2+6x-6$.
मान ज्ञात करने पर:
$f(0)=-6$
$f(1)=1-3+6-6=-2$
$f(2)=8-12+12-6=2$
$f(3)=27-27+18-6=12$
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2f(0)-f(1)+f(3) = 2(-6)-(-2)+12 = -12+2+12 = 2 = f(2)$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+2y+3z=3$ ... $(i)$
$4x+3y-4z=4$ ... (ii)
$8x+4y-\lambda z=9+\mu$ ... (iii)
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -4 \\ 8 & 4 & -\lambda \end{vmatrix} = 1(-3\lambda + 16) - 2(-4\lambda + 32) + 3(16 - 24) = 5\lambda - 72$.
अनंत हलों के लिए,$D = 0 \Rightarrow 5\lambda - 72 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{72}{5}$.
अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ पर विचार करें:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 4 & 3 & -4 & | & 4 \\ 8 & 4 & -\frac{72}{5} & | & 9+\mu \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाएँ करने पर: $R_2 \to R_2 - 4R_1$ और $R_3 \to R_3 - 8R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 0 & -5 & -16 & | & -8 \\ 0 & -12 & -\frac{192}{5} & | & \mu-15 \end{bmatrix}$.
अनंत हलों के लिए,तीसरी पंक्ति दूसरी पंक्ति का गुणज होनी चाहिए। गुणांकों का अनुपात $\frac{-12}{-5} = 2.4$ है।
अतः,$\mu - 15 = 2.4 \times (-8) = -19.2 \Rightarrow \mu = 15 - 19.2 = -4.2 = -\frac{21}{5}$.
इसलिए,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{72}{5}, -\frac{21}{5}\right)$.

(D) $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + kP_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + (\lambda+4)y + z - 1) + k(2x + y + z - 2) = 0$ $(1)$
चूंकि समतल $(0, 1, 0)$ से गुजरता है:
$(0 + (\lambda+4)(1) + 0 - 1) + k(0 + 1 + 0 - 2) = 0$
$\lambda + 3 - k = 0 \implies k = \lambda + 3$
चूंकि समतल $(1, 0, 1)$ से गुजरता है:
$(1 + 0 + 1 - 1) + k(2 + 0 + 1 - 2) = 0$
$1 + k = 0 \implies k = -1$
$k$ के मानों की तुलना करने पर:
$\lambda + 3 = -1 \implies \lambda = -4$
अब,बिंदु $(2\lambda, \lambda, -\lambda) = (-8, -4, 4)$ है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ होती है।
समतल $P_2: 2x + y + z - 2 = 0$ और बिंदु $(-8, -4, 4)$ के लिए:
$d = \frac{|2(-8) + 1(-4) + 1(4) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-16 - 4 + 4 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|-18|}{\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$.

(C) मान लीजिए $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha}$ है।
चूंकि $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 + \vec{\beta}_2$ है,इसलिए $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta} - \vec{\beta}_1 = \vec{\beta} - \lambda \vec{\alpha}$ होगा।
सदिशों का मान रखने पर,$\vec{\beta}_2 = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) - \lambda(4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = (1 - 4\lambda)\hat{i} + (2 - 3\lambda)\hat{j} - (4 + 5\lambda)\hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{\beta}_2 \perp \vec{\alpha}$ है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0$।
$4(1 - 4\lambda) + 3(2 - 3\lambda) + 5(-4 - 5\lambda) = 0$।
$4 - 16\lambda + 6 - 9\lambda - 20 - 25\lambda = 0$।
$-50\lambda - 10 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{5}$।
अब,$\vec{\beta}_2 = (1 - 4(-\frac{1}{5}))\hat{i} + (2 - 3(-\frac{1}{5}))\hat{j} - (4 + 5(-\frac{1}{5}))\hat{k} = \frac{9}{5}\hat{i} + \frac{13}{5}\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
अतः,$5\vec{\beta}_2 = 9\hat{i} + 13\hat{j} - 15\hat{k}$ होगा।
अंत में,$5\vec{\beta}_2 \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 9(1) + 13(1) - 15(1) = 9 + 13 - 15 = 7$।

(D) रेखा का दिक अनुपात दोनों समतलों के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-3) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(3-0) = -5\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$(3, 2, 1)$ से गुजरने वाली और दिक सदिश $\vec{v} = \langle -5, 1, 3 \rangle$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{-5} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $M(-5\lambda+3, \lambda+2, 3\lambda+1)$ है।
माना $P = (1, 9, 7)$ है। सदिश $\vec{PM} = \langle -5\lambda+3-1, \lambda+2-9, 3\lambda+1-7 \rangle = \langle -5\lambda+2, \lambda-7, 3\lambda-6 \rangle$ है।
चूंकि $\vec{PM}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PM} \cdot \langle -5, 1, 3 \rangle = 0$ है।
$-5(-5\lambda+2) + 1(\lambda-7) + 3(3\lambda-6) = 0$.
$25\lambda - 10 + \lambda - 7 + 9\lambda - 18 = 0$.
$35\lambda - 35 = 0 \implies \lambda = 1$.
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर,$M = (-5(1)+3, 1+2, 3(1)+1) = (-2, 3, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (-2, 3, 4)$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = -2+3+4 = 5$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-x^2}{3xy} = \frac{y}{x} - \frac{1}{3}\frac{x}{y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y=vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{3v}$।
इसे सरल करने पर $x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{3v}$,या $3vdv = -\frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 3vdv = -\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \frac{3v^2}{2} = -\ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + C$।
चूँकि $y(1)=1$ दिया गया है,$\frac{3(1)^2}{2(1)^2} = -\ln(1) + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$।
अतः,$\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + \frac{3}{2} \Rightarrow 3y^2 = 3x^2 - 2x^2\ln|x|$।
$x=e$ पर,$3y^2(e) = 3e^2 - 2e^2\ln(e) = 3e^2 - 2e^2 = e^2$।
इसलिए,$6y^2(e) = 2(3y^2(e)) = 2e^2$।

(B) $5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह जिसमें प्रत्येक पंक्ति का योग $1$ और प्रत्येक स्तंभ का योग $1$ है और अवयव $\{0, 1\}$ से हैं,एक क्रमचय आव्यूह (permutation matrix) होता है।
पहली पंक्ति में,$1$ रखने के लिए $5$ संभावित स्थान हैं।
दूसरी पंक्ति में,$1$ रखने के लिए $4$ शेष स्थान उपलब्ध हैं (क्योंकि पहली पंक्ति में उपयोग किया गया स्तंभ दोबारा उपयोग नहीं किया जा सकता)।
तीसरी पंक्ति में,$3$ शेष स्थान हैं।
चौथी पंक्ति में,$2$ शेष स्थान हैं।
पांचवीं पंक्ति में,केवल $1$ शेष स्थान है।
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ है।

(D) हमें समाकलन $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,समाकलन को $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{3^2-(2 x)^2}} dx$ के रूप में लिखें।
मानक सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,$u = 2x$ रखने पर,$du = 2dx$ या $dx = \frac{du}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,तब $u = 2(\frac{3\sqrt{2}}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
जब $x = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,तब $u = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$I = \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{48}{\sqrt{3^2-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = 24 \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}/2}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}/2}{3} \right) \right]$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$.
$I = 24 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 24 \left( \frac{4\pi - 3\pi}{12} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2\pi$.

(A) दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))| = 12^4$ है।
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\dots \operatorname{adj} A))|$ ($k$ बार) का मान $|A|^{(n-1)^k}$ होता है।
यहाँ $n = 3$ और $k = 3$ है,इसलिए $|A|^{(3-1)^3} = 12^4$ है।
$|A|^{2^3} = 12^4 \Rightarrow |A|^8 = 12^4$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|A|^4 = 12^2 = 144$।
$|A|^2 = 12 \Rightarrow |A| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
हमें $|A^{-1} \operatorname{adj} A|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|XY| = |X||Y|$ का उपयोग करने पर,हमें $|A^{-1}| |\operatorname{adj} A|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ और $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$ है।
अतः,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = \frac{1}{|A|} \cdot |A|^2 = |A|$।
इसलिए,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = 2\sqrt{3}$।

(D) माना $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है। बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(C|R) = \frac{P(C)P(R|C)}{P(A)P(R|A) + P(B)P(R|B) + P(C)P(R|C)}$
दिया गया है $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$,$P(R|A) = \frac{4}{10}$,$P(R|B) = \frac{5}{10}$,$P(R|C) = \frac{\lambda}{\lambda+4}$ और $P(C|R) = 0.4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{2}{5} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{\lambda}{\lambda+4}}{\frac{1}{3}(\frac{4}{10} + \frac{5}{10} + \frac{\lambda}{\lambda+4})} = \frac{\frac{\lambda}{\lambda+4}}{0.9 + \frac{\lambda}{\lambda+4}}$
$0.36 + 0.4 \frac{\lambda}{\lambda+4} = \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow 0.36 = 0.6 \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow \frac{\lambda}{\lambda+4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
$5\lambda = 3\lambda + 12 \Rightarrow 2\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
परवलय $y^2 = 6x$ है। समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(at_1^2, 2at_1)$,और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं जहाँ $4a = 6 \Rightarrow a = 1.5$.
$x$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,$t_1 = t$ और $t_2 = -t$. भुजा की लंबाई $\ell$ के लिए $\ell^2 = (at^2)^2 + (2at)^2 = a^2t^4 + 4a^2t^2$.
साथ ही,भुजा की ढाल $\tan(30^{\circ}) = \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow t = 2\sqrt{3}$.
$\ell^2 = (1.5)^2(2\sqrt{3})^4 + 4(1.5)^2(2\sqrt{3})^2 = 2.25(144) + 9(12) = 324 + 108 = 432$.

(D) दिए गए वक्र $y^2-2y=-x$ और $x+y=0$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x=-y$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $y^2-2y=-(-y) \Rightarrow y^2-2y=y \Rightarrow y^2-3y=0$।
अतः,$y(y-3)=0$,जिससे $y=0$ और $y=3$ प्राप्त होते हैं।
जब $y=0$,तब $x=0$। जब $y=3$,तब $x=-3$।
क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष वक्रों के बीच के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+2y - (-y)) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+3y) dy$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{3y^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{27}{3} + \frac{3(9)}{2} \right) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5 = \frac{9}{2}$।
इसलिए,$8A = 8 \times \frac{9}{2} = 36$।

(D) दिया गया है कि $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$।
$x=0$ पर,$f(0) + 0 = e$,अतः $f(0) = e$।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) + f(x) \sqrt{1 - (\ln f(x))^2} = 0$।
मान लीजिए $y = f(x)$,तब $\frac{dy}{dx} = -y \sqrt{1 - (\ln y)^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y \sqrt{1 - (\ln y)^2}} = -\int dx$।
मान लीजिए $\ln y = t$,तब $\frac{1}{y} dy = dt$।
$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -x + C$।
$\sin^{-1}(t) = -x + C \Rightarrow \sin^{-1}(\ln f(x)) = -x + C$।
चूंकि $f(0) = e$,$\sin^{-1}(\ln e) = -0 + C \Rightarrow \sin^{-1}(1) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\sin^{-1}(\ln f(x)) = \frac{\pi}{2} - x$।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\sin^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$।
इसलिए,$\ln f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अंत में,$(6 \ln f(\frac{\pi}{6}))^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$।

(D) समुच्चय $A = \{a, b, c, d\}$ पर एक संबंध $R$ को तुल्यता संबंध होने के लिए,इसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: सभी $x \in A$ के लिए,$(x, x) \in R$ होना चाहिए। अतः,हमें $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)$ जोड़ना होगा। ($4$ तत्व)
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। दिए गए $(a, b), (b, c), (b, d) \in R$ के लिए,हमें $(b, a), (c, b), (d, b)$ जोड़ना होगा। ($3$ तत्व)
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए।
$(a, b)$ और $(b, c)$ से,$(a, c)$ जोड़ें।
$(a, b)$ और $(b, d)$ से,$(a, d)$ जोड़ें।
$(c, b)$ और $(b, d)$ से,$(c, d)$ जोड़ें।
$(d, b)$ और $(b, c)$ से,$(d, c)$ जोड़ें।
$(a, c)$ और $(a, d)$ की सममितता के कारण $(c, a)$ और $(d, a)$ जोड़ें। ($2$ तत्व)
पूर्ण संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (c, d), (d, c)\}$ है।
कुल तत्व = $16$. दिए गए तत्व = $3$. जोड़े जाने वाले तत्व = $16 - 3 = 13$.

(D) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$।
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ से,$(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(\vec{a}-\vec{b})$,$\vec{c}$ के समांतर है,अतः $\vec{a}-\vec{b} = \mu \vec{c}$ किसी अदिश $\mu$ के लिए।
$\vec{a}-\vec{b} = (1-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (\lambda - (-\lambda))\hat{k} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,$\mu \vec{c} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$ दिया गया है,इसलिए $\vec{a} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = 7$,जो $-2 + 14 + 2\lambda^2 = 7\mu$ देता है,अर्थात $12 + 2\lambda^2 = 7\mu$।
$2\vec{b} \cdot \vec{c} = -43$ दिया गया है,इसलिए $\vec{b} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = -\frac{43}{2}$,जो $-6 - 35 - 2\lambda^2 = -\frac{43}{2}\mu$ देता है,अर्थात $41 + 2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu$।
समीकरणों $2\lambda^2 = 7\mu - 12$ और $2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu - 41$ को हल करने पर,$7\mu - 12 = 21.5\mu - 41$ प्राप्त होता है,इसलिए $14.5\mu = 29$,जिससे $\mu = 2$ प्राप्त होता है।
तब $2\lambda^2 = 7(2) - 12 = 2$,इसलिए $\lambda^2 = 1$।
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-5) + (\lambda)(-\lambda) = 3 - 10 - \lambda^2 = -7 - 1 = -8$।
अतः,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |-8| = 8$।

(D) रेखाएं $L_1: \frac{x+\sqrt{6}}{2}=\frac{y-\sqrt{6}}{3}=\frac{z-\sqrt{6}}{4}$ और $L_2: \frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2\sqrt{6}}{4}=\frac{z+2\sqrt{6}}{5}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $P_1(-\sqrt{6}, \sqrt{6}, \sqrt{6})$ और $P_2(\lambda, 2\sqrt{6}, -2\sqrt{6})$ हैं।
दिशाह सदिश $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{v_2} = (3, 4, 5)$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{6}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = 6$ है।
$\vec{P_2} - \vec{P_1} = (\lambda + \sqrt{6}, \sqrt{6}, -3\sqrt{6})$ है।
$|(\lambda + \sqrt{6})(-1) + (\sqrt{6})(2) + (-3\sqrt{6})(-1)| = 6\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
$|4\sqrt{6} - \lambda| = 6\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1: 4\sqrt{6} - \lambda = 6\sqrt{6} \Rightarrow \lambda = -2\sqrt{6}$।
स्थिति $2: 4\sqrt{6} - \lambda = -6\sqrt{6} \Rightarrow \lambda = 10\sqrt{6}$।
योग $= 8\sqrt{6}$ और इसका वर्ग $= (8\sqrt{6})^2 = 384$ है।

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करते हुए।
दिया गया है कि $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b} - \vec{c}}{2}$,इसलिए $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2}$ है।
अब,अदिश त्रिक गुणन $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}))$ पर विचार करें।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{d}$ का उपयोग करते हुए।
चूँकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,यह $(\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}$ में सरल हो जाता है।
अतः,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot ((\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})(\vec{a} \cdot \vec{c})$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x)y^3$ प्राप्त होता है।
$y^3$ से भाग देने पर: $y^{-3}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-2} = 1 + \log_e x$.
माना $t = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$. तब $\frac{dt}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$,अतः $y^{-3}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}\frac{dt}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{2}\frac{dt}{dx} - \frac{1}{x}t = 1 + \log_e x$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dx} + \frac{2}{x}t = -2(1 + \log_e x)$ हो जाता है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\log_e x} = x^2$.
हल $t \cdot x^2 = \int -2(1 + \log_e x)x^2 dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x^2(1 + \log_e x) dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \frac{x^3}{9}$.
अतः,$\frac{x^2}{y^2} = -2[\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3}\log_e x - \frac{x^3}{9}] + C = -2[\frac{2x^3}{9} + \frac{x^3}{3}\log_e x] + C = -\frac{4x^3}{9} - \frac{2x^3}{3}\log_e x + C$.
चूँकि $y(1) = 3$ दिया गया है,$\frac{1}{9} = -\frac{4}{9} - 0 + C \Rightarrow C = \frac{5}{9}$.
इस प्रकार,$\frac{x^2}{y^2} = \frac{5 - 4x^3 - 6x^3\log_e x}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + 3\log_e x)}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}{9}$.
अतः,$\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$.

(C) दिया गया है $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$.
$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(x) = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}{1-x} = \frac{1-x^{32}}{1-x}$.
अतः,$y(1-x) = 1-x^{32}$,जिसका अर्थ है $y - xy = 1 - x^{32}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y' - (y + xy') = -32x^{31}$,इसलिए $y'(1-x) - y = -32x^{31}$.
पुनः अवकलन करने पर,$y''(1-x) - y' - y' = -32(31)x^{30}$,इसलिए $y''(1-x) - 2y' = -992x^{30}$.
$x = -1$ पर,$1-x = 2$. प्रथम अवकलज समीकरण में मान रखने पर: $y'(2) - y(-1) = -32(-1)^{31} = 32$. चूंकि $y(-1) = 0$,इसलिए $2y' = 32 \Rightarrow y' = 16$.
द्वितीय अवकलज समीकरण में मान रखने पर: $y''(2) - 2y' = -992(-1)^{30} = -992$. चूंकि $y' = 16$,इसलिए $2y'' - 2(16) = -992 \Rightarrow 2y'' = -992 + 32 = -960 \Rightarrow y'' = -480$.
अतः,$y' - y'' = 16 - (-480) = 496$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$। सदिश $\vec{b}$ को $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है ताकि यह $y$-अक्ष से होकर गुजरे। इसका अर्थ है कि $\vec{b}$,$\vec{a}$ और $\hat{j}$ के तल में है।
अतः,$\vec{b} = \lambda(\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}))$।
त्रिक गुणन की गणना करने पर: $\vec{a} \times \hat{j} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j} = -\hat{k} + \hat{i} = \hat{i} - \hat{k}$।
तब $\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} + 2\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{j} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
चूंकि $|\vec{b}| = |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$,हमारे पास $\sqrt{6} = |\lambda| \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{12} = 2\sqrt{3}|\lambda|$ है।
अतः,$|\lambda| = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\vec{b}$,$y$-अक्ष से होकर गुजरता है,$\vec{b} \cdot \hat{j} > 0$। $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ की जांच करने पर,$\vec{b} = -\sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j} - \sqrt{2}\hat{k}$। यह $\vec{b} \cdot \hat{j} = -\sqrt{2} < 0$ देता है।
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ की जांच करने पर,$\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$। यह $\vec{b} \cdot \hat{j} = \sqrt{2} > 0$ देता है। अतः $\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$।
अब,$3\vec{a} + \sqrt{2}\vec{b} = 3(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \sqrt{2}(\sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = -\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$।
$\vec{c} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ पर प्रक्षेप $\frac{(- \hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{-5 + 32 + 15}{\sqrt{50}} = \frac{42}{5\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{5} = 4.2\sqrt{2}$।

(A) $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{t-x} dt = e^{-x}(e^2-1)$.
$0 < x < 2$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^x e^{x-t} dt + \int \limits_x^2 e^{t-x} dt = (e^x - 1) + (e^{2-x} - 1) = e^x + e^{2-x} - 2$.
$x \geq 2$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{x-t} dt = e^{x-2}(e^2-1)$.
$x \leq 0$ के लिए $f(x)$ ह्रासमान है और $x \geq 2$ के लिए $f(x)$ वर्धमान है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान अंतराल $x \in (0, 2)$ में स्थित है।
अंतराल $(0, 2)$ में,$f(x) = e^x + e^{2-x} - 2$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:
$e^x + e^{2-x} \geq 2 \sqrt{e^x \cdot e^{2-x}} = 2 \sqrt{e^2} = 2e$.
इस प्रकार,$f(x)$ का न्यूनतम मान $2e - 2 = 2(e-1)$ है।

(A) माना $L_1$ पर बिंदु $P = (2\lambda+1, \lambda+3, 2\lambda+2)$ है और $L_2$ पर बिंदु $Q = (\mu+2, 2\mu+2, 3\mu+3)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $((\mu+2)-(2\lambda+1), (2\mu+2)-(\lambda+3), (3\mu+3)-(2\lambda+2)) = (\mu-2\lambda+1, 2\mu-\lambda-1, 3\mu-2\lambda+1)$ हैं।
चूंकि $L_3$ के दिक्-अनुपात $1, -1, -2$ हैं,इसलिए:
$\frac{\mu-2\lambda+1}{1} = \frac{2\mu-\lambda-1}{-1} = \frac{3\mu-2\lambda+1}{-2}$.
पहले दो भागों से: $-\mu+2\lambda-1 = 2\mu-\lambda-1 \Rightarrow 3\lambda = 3\mu \Rightarrow \lambda = \mu$.
$\lambda = \mu$ को $\frac{\mu-2\lambda+1}{1} = \frac{3\mu-2\lambda+1}{-2}$ में रखने पर:
$\frac{-\lambda+1}{1} = \frac{\lambda+1}{-2} \Rightarrow 2\lambda - 2 = \lambda + 1 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः,$\lambda = 3$ और $\mu = 3$ है। बिंदु $P(7, 6, 8)$ और $Q(5, 8, 12)$ हैं।
लंबाई $PQ = \sqrt{(5-7)^2 + (8-6)^2 + (12-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(A) दिया गया है $f(x) = 2x^4 - 18x^2 + 8x + 12$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 8x^3 - 36x + 8$ ज्ञात करें।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $8x^3 - 36x + 8 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x^3 - 9x + 2 = 0$ हो जाता है।
हमें दिया गया है कि $x=2$ एक स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $(x-2)$,$2x^3 - 9x + 2$ का एक गुणनखंड है।
$2x^3 - 9x + 2$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(2x^2 + 4x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x=2$ और $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ हैं।
क्रांतिक बिंदु $x=2$,$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$,और $x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण $f''(x) = 24x^2 - 36$ का उपयोग करते हुए:
$x=2$ के लिए,$f''(2) = 24(4) - 36 = 60 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ के लिए,$f''(x) > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ के लिए,$f''(x) < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,स्थानीय अधिकतम मान $x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हम $M = f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right) = 12\sqrt{6} - \frac{33}{2}$ प्राप्त करते हैं।

(D) समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होता है यदि सारणिक $\Delta \neq 0$ हो।
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ से $a$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ $R_2 \to R_2 - (2a+1)R_1$ और $R_3 \to R_3 - (3a+5)R_1$ करने पर:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 0 & -4a^2+3 & 6a^2+4a+1 \\ 0 & -6a^2-9a+5 & 9a^2+16a+2 \end{vmatrix}$
सारणिक की गणना करने पर,$\Delta = 0$ केवल तब होता है जब $a = 0$ हो। चूँकि $a \in R - \{0\}$,इसलिए दिए गए समुच्चय के लिए $\Delta$ कभी भी $0$ नहीं होता है।
अतः,सभी $a \in R - \{0\}$ के लिए निकाय का हमेशा अद्वितीय हल होता है।
इसलिए,$S_1 = R - \{0\}$ और $S_2 = \Phi$।

(A) माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$ होगा।
समाकलन में मान रखने पर:
$f(x) = \int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}$.
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{2} (\ln|t+1| - \ln|t+3|) + C$.
$t = x^2$ वापस रखने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$.
दिया गया है कि $f(3) = \frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) + C = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6) + C$.
चूंकि $\frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6)$,इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$.
$f(4)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(4) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{4^2+1}{4^2+3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{17}{19} \right) = \frac{1}{2} (\ln 17 - \ln 19)$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.
अतः $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.
$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{1-e^x} + \frac{e^x}{1-e^x} = \frac{1+e^x}{1-e^x}$.
अब,$g'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x) - (1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1-e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1-e^x)^2}$.
चूंकि सभी $x \in (0,1)$ के लिए $e^x > 0$ और $(1-e^x)^2 > 0$ है,इसलिए $g'(x) > 0$ है।
अतः,$g(x)$ अंतराल $(0,1)$ में एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $g(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह $(0,1)$ में एकैकी फलन भी है।
इस प्रकार,दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं।

(D) बिंदु $(-3, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $3, 3, -1$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{3} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $M$,$(3\lambda-3, 3\lambda+2, 3-\lambda)$ है।
सदिश $\vec{PM}$ के दिक-अनुपात $(3\lambda-3-4, 3\lambda+2-6, 3-\lambda-(-2)) = (3\lambda-7, 3\lambda-4, 5-\lambda)$ हैं।
चूंकि $\vec{PM}$ रेखा $(3, 3, -1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$3(3\lambda-7) + 3(3\lambda-4) - 1(5-\lambda) = 0$.
$9\lambda - 21 + 9\lambda - 12 - 5 + \lambda = 0$.
$19\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर,हमें $M(3(2)-3, 3(2)+2, 3-2) = (3, 8, 1)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PM = \sqrt{(3-4)^2 + (8-6)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix}$.
गुणधर्म $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करते हुए,$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 2 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 3 \end{bmatrix}$.
$R_1$ को $\ln x$ से,$R_2$ को $\ln y$ से,और $R_3$ को $\ln z$ से गुणा करने पर:
$|A| = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & 2 \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & 3 \ln z \end{vmatrix}$.
स्तंभों से $\ln x, \ln y, \ln z$ को बाहर निकालने पर:
$|A| = \frac{\ln x \ln y \ln z}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(6-1) - 1(3-1) + 1(1-2) = 5 - 2 - 1 = 2$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)| = |M|^{(n-1)^2}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = |A^2|^{(3-1)^2} = |A^2|^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$.
चूंकि $|A| = 2$,इसलिए $|A|^8 = 2^8$.

(B) मान लीजिए $h(x) = (fog)(x)$ है।
दिया गया है $h^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$।
$h(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$ है। तब $y^3 = \frac{x-7}{2}$,जिसका अर्थ है $x = 2y^3 + 7$। अतः,$h(x) = 2x^3 + 7$ है।
हमारे पास $(fog)(x) = f(g(x)) = a(x^b + c) - 3 = ax^b + ac - 3$ है।
$ax^b + ac - 3 = 2x^3 + 7$ की तुलना करने पर,हमें $a=2$,$b=3$,और $ac-3=7$ प्राप्त होता है,इसलिए $ac=10$ है। चूँकि $a=2$ है,इसलिए $c=5$ है।
अब,$(fog)(ac) = (fog)(10) = 2(10)^3 + 7 = 2000 + 7 = 2007$ है।
आगे,$(gof)(x) = g(f(x)) = g(ax-3) = (ax-3)^b + c = (2x-3)^3 + 5$ है।
इसलिए $(gof)(b) = (gof)(3) = (2(3)-3)^3 + 5 = (3)^3 + 5 = 27 + 5 = 32$ है।
अंत में,$(fog)(ac) + (gof)(b) = 2007 + 32 = 2039$ है।

(B) समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = a_1 + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $A_1, A_2, A_3$ के प्रथम पद $A, A+1, A+2$ हैं और सार्व अंतर $d$ है:
$a = A + 6d$
$b = A + 1 + 8d$
$c = A + 2 + 16d$
चूँकि $a = 29$,इसलिए $A + 6d = 29$।
सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2(A+1+8d) & 17 & 1 \\ A+2+16d & 17 & 1\end{array}\right| + 70 = 0$
तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाने पर:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2A+2+16d & 17 & 1 \\ -A & 0 & 0\end{array}\right| + 70 = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-A) \times (7 - 17) + 70 = 0 \Rightarrow 10A + 70 = 0 \Rightarrow A = -7$।
चूँकि $A + 6d = 29$,इसलिए $-7 + 6d = 29 \Rightarrow 6d = 36 \Rightarrow d = 6$।
अब,$a = 29$,$b = -7 + 1 + 48 = 42$,$c = -7 + 2 + 96 = 91$।
नई समांतर श्रेणी का प्रथम पद $c - a - b = 91 - 29 - 42 = 20$ है।
सार्व अंतर $\frac{d}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$ है।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2} [2(20) + (19)(0.5)] = 10 [40 + 9.5] = 495$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}$.
चूँकि $y > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ होता है,इसलिए $\frac{1-x^2}{2x} > 0$ अर्थात $x(1-x^2) > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ होगा।
स्थिति $I$: $x(1-x^2) > 0$. यह $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ के लिए सत्य है।
यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $\frac{2x}{1-x^2} > 0$,अतः $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$. $x > 0$ के लिए हल करने पर,$x = 2 - \sqrt{3}$.
स्थिति $II$: $x(1-x^2) < 0$. यह $x \in (-1, 0)$ के लिए सत्य है।
तब $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \pi + \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ होगा।
समीकरण $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) + \pi = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{\pi}{3}$.
अतः $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$. $x < 0$ के लिए हल करने पर,$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
हलों का योग $(2 - \sqrt{3}) + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
$\alpha - \frac{4}{\sqrt{3}}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $x-2y-z-5=0$ और $x+y+3z-5=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x-2y-z-5) + \lambda(x+y+3z-5) = 0$ है,जिसे $(1+\lambda)x + (-2+\lambda)y + (-1+3\lambda)z - (5+5\lambda) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $x+y+2z-7=0=2x+3y+z-2$ के दिक्-अनुपात दोनों समतलों के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि समतल इस रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा की दिशा के लंबवत होना चाहिए:
$(1+\lambda)(-5) + (-2+\lambda)(3) + (-1+3\lambda)(1) = 0$
$-5 - 5\lambda - 6 + 3\lambda - 1 + 3\lambda = 0$
$\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 12$.
$\lambda = 12$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$13x + 10y + 35z = 65$.
अतः,$a=13, b=10, c=35$ है। बिंदु $(13, 10, 35)$ है।
बिंदु $(13, 10, 35)$ की समतल $2x+2y-z+16=0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(13) + 2(10) - 1(35) + 16|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|26 + 20 - 35 + 16|}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

(B) परवलय $P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ और $P_2: y = x^2 + 6$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\frac{5x^2}{2} = x^2 + 6$ रखें,जिससे $5x^2 = 2x^2 + 12$ प्राप्त होता है,अतः $3x^2 = 12$,$x^2 = 4$,$x = \pm 2$ है।
$P_1$ और $P_2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A_1$:
$A_1 = \int_{-2}^{2} (x^2 + 6 - \frac{5x^2}{2}) dx = 2 \int_{0}^{2} (6 - \frac{3x^2}{2}) dx = 2 [6x - \frac{x^3}{2}]_{0}^{2} = 2(12 - 4) = 16$.
$P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ और रेखा $y = \alpha x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A_2$ ज्ञात करने के लिए $\frac{5x^2}{2} = \alpha x$ रखें,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{2\alpha}{5}$ प्राप्त होता है।
$A_2 = \int_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} (\alpha x - \frac{5x^2}{2}) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} - \frac{5x^3}{6}]_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} = \frac{\alpha}{2} (\frac{4\alpha^2}{25}) - \frac{5}{6} (\frac{8\alpha^3}{125}) = \frac{2\alpha^3}{25} - \frac{4\alpha^3}{75} = \frac{6\alpha^3 - 4\alpha^3}{75} = \frac{2\alpha^3}{75}$.
चूंकि $A_1 = A_2$ दिया गया है,इसलिए $16 = \frac{2\alpha^3}{75}$,अतः $\alpha^3 = 8 \times 75 = 600$।

(C) दिया गया फलन $f(x)=2 x^3+(2 p-7) x^2+3(2 p-9) x-6$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 6x^2 + 2(2p-7)x + 3(2p-9)$ ज्ञात करें।
फलन के $x < 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और $x > 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ होने के लिए,द्विघात समीकरण $f'(x) = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए,जिनमें से एक ऋणात्मक और एक धनात्मक हो।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं ताकि $\alpha < 0 < \beta$ हो।
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के विपरीत चिह्न होने के लिए,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{c}{a} < 0$।
यहाँ,$a = 6$ और $c = 3(2p-9)$ है।
अतः,$\frac{3(2p-9)}{6} < 0$,जो सरल होकर $\frac{2p-9}{2} < 0$ हो जाता है।
इसका अर्थ है $2p - 9 < 0$,या $p < \frac{9}{2}$।
इसलिए,$p$ के सभी मानों का समुच्चय $\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)$ है।

(D) फलन के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\cot 6x}{\cot 4x}} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\sin 4x \cdot \cos 6x}{\sin 6x \cdot \cos 4x}} = e^{2/3}$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (1+|\cos x|)^{\frac{\lambda}{|\cos x|}} = e^\lambda$.
इन सीमाओं को $f(\frac{\pi}{2}) = \mu$ के बराबर रखने पर:
$e^\lambda = \mu = e^{2/3}$.
अतः,$\lambda = \frac{2}{3}$ और $\mu = e^{2/3}$.
अब,मान रखने पर:
$9\lambda + 6 \log_{e} \mu + \mu^6 - e^{6\lambda} = 9(\frac{2}{3}) + 6 \log_{e} (e^{2/3}) + (e^{2/3})^6 - e^{6(2/3)}$
$= 6 + 6(\frac{2}{3}) + e^4 - e^4 = 6 + 4 = 10$.