JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $n(A) = 5$ અને $n(B) = 2$.
કારતેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 2 = 10$ છે.
આપણે $A \times B$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અને વધુમાં વધુ $6$ ઘટકો હોય.
આ સંચયના સરવાળાની ગણતરી કરવા બરાબર છે: ${}^{10}C_3 + {}^{10}C_4 + {}^{10}C_5 + {}^{10}C_6$.
દરેક પદની ગણતરી:
${}^{10}C_3 = 120$
${}^{10}C_4 = 210$
${}^{10}C_5 = 252$
${}^{10}C_6 = 210$
આ કિંમતોનો સરવાળો: $120 + 210 + 252 + 210 = 792$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1-\cos ^2(3 x)}{\cos ^3(4 x)} \cdot \frac{\sin ^3(4 x)}{(\ln(1+2 x))^5} \right)$.
નિત્યસમ $1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(3x)}{\cos^3(4x)} \cdot \frac{\sin^3(4x)}{(\ln(1+2x))^5}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ અને $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot (3x)^2 \right) \cdot \frac{1}{\cos^3(4x)} \cdot \left( \frac{\sin^3(4x)}{(4x)^3} \cdot (4x)^3 \right) \cdot \left( \frac{2x}{\ln(1+2x)} \right)^5 \cdot \frac{1}{(2x)^5}$.
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( 1^2 \cdot 9x^2 \right) \cdot \frac{1}{1} \cdot \left( 1^3 \cdot 64x^3 \right) \cdot 1^5 \cdot \frac{1}{32x^5}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cdot 64 \cdot x^5}{32 \cdot x^5} = \frac{576}{32} = 18$.

(B) આપેલ છે $|z+2|=z+4(1+i)$,જ્યાં $z=\alpha+i\beta$.
$|\alpha+i\beta+2| = \alpha+i\beta+4+4i$.
$|(\alpha+2)+i\beta| = (\alpha+4)+i(\beta+4)$.
માનાંક વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,જમણી બાજુનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\beta+4=0 \implies \beta=-4$.
હવે,વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2} = \alpha+4$.
$\beta=-4$ મૂકતા:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+(-4)^2} = \alpha+4$.
$(\alpha+2)^2+16 = (\alpha+4)^2$.
$\alpha^2+4\alpha+4+16 = \alpha^2+8\alpha+16$.
$4\alpha = 4 \implies \alpha=1$.
આમ,$\alpha=1$ અને $\beta=-4$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = 1-4 = -3$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = 1(-4) = -4$.
બીજ $S = -3$ અને $P = -4$ હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.
$x^2 - (-3)x + (-4) = 0 \implies x^2+3x-4=0$.

(B) $\left(3x^2 - \frac{1}{2x^5}\right)^7$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^7C_r (3x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{2x^5}\right)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = {}^7C_r \cdot 3^{7-r} \cdot (-1/2)^r \cdot x^{14-7r}$ મળે છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $14 - 7r = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r = 2$.
$r = 2$ મૂકતા,$\alpha = {}^7C_2 \cdot 3^5 \cdot (-1/2)^2 = 21 \cdot 243 \cdot \frac{1}{4} = 1275.75$.
તેથી,$[\alpha] = [1275.75] = 1275$.

(B) $n!$ ને ભાગતી અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ ની સૌથી મોટી ઘાત શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
અહીં,$n = 66$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{3^2} \right] + \left[ \frac{66}{3^3} \right]$
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{9} \right] + \left[ \frac{66}{27} \right]$
$E_3(66!) = 22 + 7 + 2 = 31$.
આમ,સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ એ $31$ છે.

(B) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-2y+5-\alpha=0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{\alpha}$ છે.
પરાવર્તનની રેખા $2x-y+1=0$ છે.
$C_2$ નું કેન્દ્ર $(f, g)$ છે. $(2, 1)$ નું $2x-y+1=0$ માં પ્રતિબિંબ $\frac{f-2}{2} = \frac{g-1}{-1} = \frac{-2(2(2)-1+1)}{5} = -\frac{8}{5}$ છે.
તેથી,$f = -\frac{6}{5}$ અને $g = \frac{13}{5}$.
$C_2$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{f^2+g^2-\frac{36}{5}} = 1$ છે.
પરાવર્તન ત્રિજ્યા જાળવી રાખે છે,તેથી $r = r_1 = \sqrt{\alpha} = 1$,એટલે કે $\alpha = 1$.
તેથી,$\alpha+r = 1+1 = 2$.

(B) $8$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $9$ આપેલ છે:
$\frac{x + y + 52}{8} = 9 \Rightarrow x + y = 20$
વિચરણ $9.25$ આપેલ છે:
$\frac{x^2 + y^2 + 504}{8} - 81 = 9.25 \Rightarrow x^2 + y^2 = 218$
$y = 20 - x$ મુકતા:
$x^2 + (20 - x)^2 = 218 \Rightarrow x^2 - 20x + 91 = 0$
$(x - 13)(x - 7) = 0$
$x > y$ હોવાથી $x = 13$ અને $y = 7$ મળે.
તેથી,$3x - 2y = 3(13) - 2(7) = 25$.

(C) આપેલ છે $n = 12$,$\bar{x} = \frac{9}{2}$,અને $\sigma^2 = 4$.
$\sum x = n \times \bar{x} = 12 \times \frac{9}{2} = 54$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies 4 = \frac{\sum x^2}{12} - (\frac{9}{2})^2$.
$\frac{\sum x^2}{12} = 4 + \frac{81}{4} = \frac{16 + 81}{4} = \frac{97}{4}$.
$\sum x^2 = 12 \times \frac{97}{4} = 3 \times 97 = 291$.
સાચો સરવાળો $\sum x_{\text{new}} = 54 - (9 + 10) + (7 + 14) = 54 - 19 + 21 = 56$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો $\sum x_{\text{new}}^2 = 291 - (9^2 + 10^2) + (7^2 + 14^2) = 291 - (81 + 100) + (49 + 196) = 291 - 181 + 245 = 355$.
સાચું વિચરણ $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{\text{new}}^2}{n} - (\frac{\sum x_{\text{new}}}{n})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{56}{12})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{355}{12} - \frac{196}{9}$.
$\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{355 \times 3 - 196 \times 4}{36} = \frac{1065 - 784}{36} = \frac{281}{36}$.
જેમ કે $m = 281$ અને $n = 36$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $m + n = 281 + 36 = 317$.

(C) શ્રેણી $5, 8, 14, 23, 35, 50, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $d_n = a_{n+1} - a_n$ છે.
તફાવતો $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં $n^{\text{th}}$ તફાવત $3n$ છે.
તેથી,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 5 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 10}{2}$.
$n=40$ માટે,$a_{40} = \frac{3(40)^2 - 3(40) + 10}{2} = 2345$.
હવે,$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2 - 3k + 10}{2} = \frac{3}{2} \sum k^2 - \frac{3}{2} \sum k + 5 \sum 1$.
$S_{30} = \frac{3}{2} \left( \frac{30(31)(61)}{6} \right) - \frac{3}{2} \left( \frac{30(31)}{2} \right) + 5(30) = 13635$.
અંતે,$S_{30} - a_{40} = 13635 - 2345 = 11290$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+2i \sin \theta}{1-i \sin \theta}$.
$z$ ને શુદ્ધ કાલ્પનિક બનાવવા માટે, તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1+2i \sin \theta)(1+i \sin \theta)}{(1-i \sin \theta)(1+i \sin \theta)} = \frac{1 + i \sin \theta + 2i \sin \theta + 2i^2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = \frac{(1 - 2 \sin^2 \theta) + i(3 \sin \theta)}{1 + \sin^2 \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે, $\operatorname{Re}(z) = 0$, તેથી $\frac{1 - 2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = 0$.
આનો અર્થ છે કે $1 - 2 \sin^2 \theta = 0$, અથવા $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$, જેનો અર્થ છે $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં, $\theta$ માટેના ઉકેલો $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
આ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ થાય.

(A) $\left(2x^2+\frac{1}{2x}\right)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{11}C_r (2x^2)^{11-r} \left(\frac{1}{2x}\right)^r = {}^{11}C_r \cdot 2^{11-2r} \cdot x^{22-3r}$
$x^{10}$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 10 \implies r = 4$.
સહગુણક $= {}^{11}C_4 \cdot 2^3 = 330 \cdot 8 = 2640$.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 7 \implies r = 5$.
સહગુણક $= {}^{11}C_5 \cdot 2^1 = 462 \cdot 2 = 924$.
તફાવત $= 2640 - 924 = 1716$.
$12^3 - 12 = 1728 - 12 = 1716$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
કુલ ગોઠવણી = $\frac{11!}{2! 2! 2!} = 4989600$.
$C$ અને $S$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,$(CS)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $10$ એકમો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, (CS)$.
$C$ અને $S$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી = $\frac{10!}{2! 2! 2!} \times 2! = 907200$.
$C$ અને $S$ સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા = $4989600 - 907200 = 4082400$.
આપણને આપેલ છે કે આ સંખ્યા $(6!) k = 720k$ છે.
$720k = 4082400$.
$k = 5670$.

(D) નિત્યસમ $4 \cos^2 \theta - 1 = \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ગુણાકારના દરેક પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$36 \times \left( \frac{\sin 27^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 81^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 243^{\circ}}{\sin 81^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 243^{\circ}} \right)$
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$36 \times \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 9^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 729^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 9^{\circ}) = \sin 9^{\circ}$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$36 \times \frac{\sin 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} = 36$

(A) ધારો કે $E = 25^{190} - 19^{190} - 8^{190} + 2^{190}$.
આપણે તેને $E = (25^{190} - 8^{190}) - (19^{190} - 2^{190})$ તરીકે લખી શકીએ.
કોઈપણ બેકી સંખ્યા $n$ માટે $a^n - b^n$ એ $a - b$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી:
$25^{190} - 8^{190}$ એ $25 - 8 = 17$ વડે વિભાજ્ય છે.
$19^{190} - 2^{190}$ એ $19 - 2 = 17$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$E$ એ $17$ વડે વિભાજ્ય છે.
વળી,$E = (25^{190} - 19^{190}) - (8^{190} - 2^{190})$.
$25^{190} - 19^{190}$ એ $25 - 19 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$8^{190} - 2^{190}$ એ $8 - 2 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$E$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$E$ એ $17$ અને $6$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,અને $\text{gcd}(17, 6) = 1$,$E$ એ $17 \times 2 = 34$ વડે વિભાજ્ય છે.
$14$ માટે તપાસતા: $E \equiv 3 \pmod{7}$,તેથી તે $14$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,તે $34$ વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ $14$ વડે નહીં.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y+8=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3, -2)$ છે.
$OP$ અને $OQ$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,$\angle OPO = 90^\circ$ અને $\angle OQO = 90^\circ$ થાય.
આમ,$OP$ અને $OQ$ ઉગમબિંદુ $O$ અને કેન્દ્ર $C(3, -2)$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે.
$OC$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ એ $\triangle OPQ$ નું પરિવર્તુળ છે.
$O(0, 0)$ અને $C(3, -2)$ ને જોડતા વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-0)(x-3) + (y-0)(y+2) = 0$
$x^2 - 3x + y^2 + 2y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0$
આ વર્તુળ $(\alpha, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\alpha^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3\alpha + 2(\frac{1}{2}) = 0$
$\alpha^2 + \frac{1}{4} - 3\alpha + 1 = 0$
$\alpha^2 - 3\alpha + \frac{5}{4} = 0$
$4\alpha^2 - 12\alpha + 5 = 0$
$(2\alpha - 1)(2\alpha - 5) = 0$
તેથી,$\alpha = \frac{1}{2}$ અથવા $\alpha = \frac{5}{2}$ મળે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = (p \vee (\sim p)) \wedge ((\sim q) \vee (\sim p))$
કારણ કે $(p \vee (\sim p))$ એ નિત્યસત્ય $(T)$ છે,તેથી:
$S = T \wedge ((\sim q) \vee (\sim p)) = (\sim q) \vee (\sim p)$
હવે,આપણે $S$ નું નિષેધ શોધવાનું છે:
$\sim S = \sim ((\sim q) \vee (\sim p))$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim S = (\sim (\sim q)) \wedge (\sim (\sim p))$
$\sim S = q \wedge p = p \wedge q$
આમ,નિષેધ $p \wedge q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ છે કે $ax^2 + bx + 1 = a(x - \alpha)(x - \beta)$,તેથી $\alpha\beta = \frac{1}{a}$.
વળી,$x^2 + bx + a = a(1 - \alpha x)(1 - \beta x)$.
લક્ષની ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે $L = \frac{1}{2\alpha} (\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha})$.
તેથી,$\frac{1}{k} = \frac{1}{2\alpha}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2\alpha$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $A(0,1)$,$B(1,1)$,અને $C(1,0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(0,0)$,$Q(0,2)$,અને $R(2,0)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $PQ = 2$,$QR = 2\sqrt{2}$,અને $RP = 2$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $D = (2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ એ $D$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2-\sqrt{2})^2 = 4a(2-\sqrt{2})$.
આથી $4a = 2-\sqrt{2}$,એટલે કે $a = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}$.
નાભિ $(a, 0) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}, 0)$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = -\frac{1}{4}$.
$\frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{1/2}{1/16} = 8$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$.
આપેલ છે કે $x, \sqrt{2}y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $(\sqrt{2}y)^2 = xz$,જેનો અર્થ છે કે $2y^2 = xz$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $xz = 2y^2$ મૂકતા: $\frac{2}{y} = \frac{x+z}{xz} = \frac{x+z}{2y^2}$,જેનું સાદું રૂપ $x+z = 4y$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $xy + yz + zx = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ ને $y(x+z) + xz = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ તરીકે લખી શકાય.
$x+z = 4y$ અને $xz = 2y^2$ મૂકતા: $y(4y) + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} y(2y^2)$.
$4y^2 + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} (2y^3) \implies 6y^2 = 3\sqrt{2} y^3$.
$y > 0$ હોવાથી,$3y^2$ વડે ભાગતા: $2 = \sqrt{2}y$,તેથી $y = \sqrt{2}$.
પછી $x+z = 4y = 4\sqrt{2}$,તેથી $x+y+z = 5y = 5\sqrt{2}$.
અંતે,$3(x+y+z)^2 = 3(5\sqrt{2})^2 = 3(25 \times 2) = 3(50) = 150$.

(A) પ્રથમ સમીકરણ માટે: $x^2-12x+[x]+31=0$.
કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ મળતો નથી,તેથી $m=0$.
બીજા સમીકરણ માટે: $x^2-5|x+2|-4=0$.
$x \geq -2$ માટે,$x^2-5x-14=0 \implies x=7, -2$.
$x < -2$ માટે,$x^2+5x+6=0 \implies x=-3, -2$.
બીજની સંખ્યા $n=3$ છે.
તેથી $m^2+mn+n^2 = 0^2+0(3)+3^2 = 9$.

(A) પરવલયની નાભિ $(3,0)$ અને નિયામિકા $x = -3$ છે. શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે અને $a = 3$ છે. પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $P(3t_1^2, 6t_1)$ અને $Q(3t_2^2, 6t_2)$ છે.
યામોનો ગુણોત્તર $3:1$ હોવાથી,$6t_1 / 6t_2 = 3/1$,જેનો અર્થ છે કે $t_1 = 3t_2$.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(\alpha, \beta)$ એ $\alpha = at_1t_2 = 9t_2^2$ અને $\beta = a(t_1 + t_2) = 12t_2$ દ્વારા મળે છે.
હવે,$\frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{(12t_2)^2}{9t_2^2} = \frac{144t_2^2}{9t_2^2} = 16$.

(C) ઉપવલય $E : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે. ધન અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $A(3, 0)$ અને $B(0, 1)$ છે.
$E$ ની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે જેની લંબાઈ $2a = 6$ છે. તેથી,મુખ્ય અક્ષને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે. વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ છે.
$A(3, 0)$ અને $B(0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ એટલે કે $x + 3y = 3$ છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 3 - 3y$ મૂકતા:
$(3 - 3y)^2 + y^2 = 9$
$9 - 18y + 9y^2 + y^2 = 9$
$10y^2 - 18y = 0$
$2y(5y - 9) = 0$
તેથી,$y = 0$ (જે બિંદુ $A$ છે) અથવા $y = \frac{9}{5}$.
જો $y = \frac{9}{5}$ હોય,તો $x = 3 - 3(\frac{9}{5}) = 3 - \frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$. આમ,$P = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$.
ત્રિકોણ $OAP$ નું ક્ષેત્રફળ જેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(3, 0)$,અને $P(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ છે,તે $\frac{1}{2} |x_O(y_A - y_P) + x_A(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_A)| = \frac{1}{2} |0 + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$ થાય.
અહીં $m = 27$ અને $n = 10$ છે,જે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે. તેથી,$m - n = 27 - 10 = 17$.

(D) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે. $A$ અને $B$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $\lambda$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર હોવાથી,$x_1^2 + y_1^2 = \lambda^2$ અને $x_2^2 + y_2^2 = \lambda^2$ થાય.
$AB = \lambda$ લંબાઈ આપેલ હોવાથી,અંતર સૂત્ર મુજબ $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = \lambda^2$,જેનું સાદુંરૂપ $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$ થાય.
વર્તુળના સમીકરણો મૂકતા,$2\lambda^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$,તેથી $x_1x_2 + y_1y_2 = \frac{\lambda^2}{2}$ મળે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $AB$ ને $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$h = \frac{2x_2 + 3x_1}{5}$ અને $k = \frac{2y_2 + 3y_1}{5}$ મળે.
તેથી $25(h^2 + k^2) = (2x_2 + 3x_1)^2 + (2y_2 + 3y_1)^2 = 4(x_2^2 + y_2^2) + 9(x_1^2 + y_1^2) + 12(x_1x_2 + y_1y_2)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $25(h^2 + k^2) = 4\lambda^2 + 9\lambda^2 + 12(\frac{\lambda^2}{2}) = 13\lambda^2 + 6\lambda^2 = 19\lambda^2$.
આમ,$h^2 + k^2 = \frac{19}{25}\lambda^2$,જે $\frac{\sqrt{19}}{5}\lambda$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. પદ $\frac{2z - 3i}{2z + i}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
$w = \frac{2(x + iy) - 3i}{2(x + iy) + i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{2x + i(2y + 1)}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $2x - i(2y + 1)$ વડે ગુણતા:
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{4x^2 + (2y - 3)(2y + 1)}{4x^2 + (2y + 1)^2} = 0$ મળે.
આમ,$4x^2 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
આપેલ છે કે $x + y^2 = 0$,તેથી $x = -y^2$.
$x^2 = y^4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4y^4 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
આથી $4(y^4 + y^2 - y) = 3$.
તેથી,$y^4 + y^2 - y = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે $P = 96 \cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2 \pi}{33} \cos \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{8 \pi}{33} \cos \frac{16 \pi}{33}$.
સૂત્ર $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=5$ અને $\theta = \frac{\pi}{33}$.
$P = 96 \times \frac{\sin(2^5 \times \frac{\pi}{33})}{2^5 \sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 96 \times \frac{\sin \frac{32 \pi}{33}}{32 \sin \frac{\pi}{33}}$
કારણ કે $\sin \frac{32 \pi}{33} = \sin(\pi - \frac{\pi}{33}) = \sin \frac{\pi}{33}$,તેથી:
$P = \frac{96}{32} \times \frac{\sin \frac{\pi}{33}}{\sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 3 \times 1 = 3$.

(A) ધારો કે $N$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $N$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, \dots, 12$ છે.
આપણે $2^{N} < N!$ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દરેક $N$ માટે $2^{N} < N!$ શરત તપાસીએ:
$N=2$ માટે: $2^2 = 4, 2! = 2$. $4 < 2$ ખોટું છે.
$N=3$ માટે: $2^3 = 8, 3! = 6$. $8 < 6$ ખોટું છે.
$N=4$ માટે: $2^4 = 16, 4! = 24$. $16 < 24$ સાચું છે.
$N=5$ માટે: $2^5 = 32, 5! = 120$. $32 < 120$ સાચું છે.
$N \geq 4$ માટે,શરત $2^N < N!$ સાચી છે.
તેથી,આપણે $N \geq 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
$P(N \geq 4) = 1 - P(N < 4) = 1 - (P(N=2) + P(N=3))$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$P(N=2) = \frac{1}{36}$ (પરિણામો: $(1,1)$).
$P(N=3) = \frac{2}{36}$ (પરિણામો: $(1,2), (2,1)$).
$P(N < 4) = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
તેથી,$P(N \geq 4) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
અહીં,$m = 11$ અને $n = 12$. $11$ અને $12$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$4m - 3n = 4(11) - 3(12) = 44 - 36 = 8$.

(A) ધારો કે વિધાન $S = (p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))$ છે.
$S$ નો નિષેધ $\sim S = \sim [(p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))]$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim S = \sim (p \vee q) \vee \sim (q \vee (\sim r))$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા,$\sim (p \vee q) = (\sim p \wedge \sim q)$ અને $\sim (q \vee (\sim r)) = (\sim q \wedge r)$:
$\sim S = (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \wedge r)$.

(B) $(ax - \frac{1}{bx^2})^{13}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} (-b^{-1})^r x^{13-3r}$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = 7$ લેતા,$r = 2$ મળે છે.
તેથી,$x^7$ નો સહગુણક ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2}$ છે.
$(ax + \frac{1}{bx^2})^{13}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} b^{-r} x^{13-3r}$ છે.
$x^{-5}$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = -5$ લેતા,$r = 6$ મળે છે.
તેથી,$x^{-5}$ નો સહગુણક ${}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$ છે.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2} = {}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$.
બંને બાજુ $a^7 b^{-6}$ વડે ભાગતા,$a^4 b^4 = \frac{{}^{13}C_6}{{}^{13}C_2}$ મળે છે.
કિંમતો ગણતા: ${}^{13}C_6 = 1716$ અને ${}^{13}C_2 = 78$.
તેથી,$a^4 b^4 = \frac{1716}{78} = 22$.

(A) ગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદો $a, ar, ar^2$ છે.
તેમના વર્ગોનો સરવાળો $33033$ આપેલ છે:
$a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 33033$
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 33033$
$33033$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3 \times 7 \times 11^2 \times 13 = 121 \times 273$ છે.
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 121 \times 273$ ને સરખાવતા,$a^2 = 121 \Rightarrow a = 11$ અને $1 + r^2 + r^4 = 273$ મળે.
$r^4 + r^2 - 272 = 0$
ધારો કે $x = r^2$,તો $x^2 + x - 272 = 0$.
$(x + 17)(x - 16) = 0$.
$r$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$r^2 = 16 \Rightarrow r = 4$.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $a + ar + ar^2 = 11 + 11(4) + 11(4^2) = 11 + 44 + 176 = 231$ થાય.

(A) $(1-x+2x^3)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (-1)^{r_2} (2)^{r_3} x^{r_2+3r_3}$ છે.
અહીં $r_1+r_2+r_3=10$ અને $r_2+3r_3=7$ હોવું જોઈએ.
શક્ય ઉકેલો $(r_1, r_2, r_3)$:
$1$. $r_3=0 \Rightarrow r_2=7, r_1=3$.
$2$. $r_3=1 \Rightarrow r_2=4, r_1=5$.
$3$. $r_3=2 \Rightarrow r_2=1, r_1=7$.
સહગુણકનો સરવાળો:
કેસ $1$: $\frac{10!}{3! 7! 0!} (-1)^7 (2)^0 = -120$.
કેસ $2$: $\frac{10!}{5! 4! 1!} (-1)^4 (2)^1 = 2520$.
કેસ $3$: $\frac{10!}{7! 1! 2!} (-1)^1 (2)^2 = -1440$.
કુલ સરવાળો: $-120 + 2520 - 1440 = 960$.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 8, 13, \ldots, 373$ છે.
અહીં,$a = 3$,$d = 5$. $n$-મું પદ $a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)5 = 373$.
$5(n-1) = 370 \implies n-1 = 74 \implies n = 75$.
કુલ સરવાળો $S_{75} = \frac{75}{2}(3 + 373) = \frac{75}{2}(376) = 75 \times 188 = 14100$.
$3$ વડે વિભાજ્ય પદો $3, 18, 33, \ldots, 363$ છે.
આ શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા $25$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય પદોનો સરવાળો $S' = \frac{25}{2}(3 + 363) = \frac{25}{2}(366) = 25 \times 183 = 4575$.
જરૂરી સરવાળો $= 14100 - 4575 = 9525$.

(D) વર્તુળ $(x-4)^2+y^2=16$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સામાન્ય સમીકરણ $y=m(x-4) \pm 4\sqrt{1+m^2}$ છે.
પરવલય $y^2=4x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સામાન્ય સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ: $\frac{1}{m} = -4m \pm 4\sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{1}{m} + 4m)^2 = 16(1+m^2) \implies \frac{1}{m^2} + 16m^2 + 8 = 16 + 16m^2$.
આથી $\frac{1}{m^2} = 8$,એટલે કે $m^2 = \frac{1}{8}$,જેનો અર્થ છે $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
પરવલય $y^2=4x$ પર સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{m^2}, \frac{2}{m}) = (8, \pm 4\sqrt{2})$ છે.
પરવલય પરના સ્પર્શબિંદુ $P$ અને વર્તુળ પરના સ્પર્શબિંદુ $Q$ વચ્ચેના સ્પર્શક ખંડ $PQ$ ની લંબાઈ એ $P$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ જેટલી થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ અને વર્તુળ $(x-4)^2+y^2-16=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{(x_1-4)^2 + y_1^2 - 16}$ છે.
$P(8, 4\sqrt{2})$ મૂકતા: $PQ = \sqrt{(8-4)^2 + (4\sqrt{2})^2 - 16} = \sqrt{16 + 32 - 16} = \sqrt{32}$.
તેથી,$(PQ)^2 = 32$.

(D) $7$ ભિન્ન અંકોના કુલ ક્રમચયો $7! = 5040$ છે.
ધારો કે $A$ એ $153$ સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોનો ગણ છે. $153$ ને એક બ્લોક તરીકે લેતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ વસ્તુઓ છે: ${153, 2, 4, 6, 7}$. તેથી,$n(A) = 5! = 120$.
ધારો કે $B$ એ $2467$ સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોનો ગણ છે. $2467$ ને એક બ્લોક તરીકે લેતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ વસ્તુઓ છે: ${2467, 1, 3, 5}$. તેથી,$n(B) = 4! = 24$.
ધારો કે $A \cap B$ એ $153$ અને $2467$ બંને સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોનો ગણ છે. આ બે બ્લોકને લેતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $2$ વસ્તુઓ છે: ${153, 2467}$. તેથી,$n(A \cap B) = 2! = 2$.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,ઓછામાં ઓછી એક સ્ટ્રિંગ ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 120 + 24 - 2 = 142$ છે.
કોઈપણ સ્ટ્રિંગ ન ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા $Total - n(A \cup B) = 5040 - 142 = 4898$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ અને $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln a (\ln 2 + \ln a) = \ln b (\ln b + \ln c)$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $\ln 2 \cdot \ln b = \ln c \cdot \ln a \implies \ln c = \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\ln c$ ની કિંમત મૂકતા: $(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 + \ln b \left( \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 \left( \frac{\ln a + \ln 2}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 (\ln a + \ln 2) = (\ln b)^2 (\ln a + \ln 2)$.
$a, b, c$ ભિન્ન હોવાથી,$\ln a + \ln 2 \neq 0$,તેથી $(\ln a)^2 = (\ln b)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\ln a = -\ln b$ ($a \neq b$ હોવાથી).
આમ $b = 1/a$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(1/a)^{\ln 2} = a^{\ln c} \implies a^{-\ln 2} = a^{\ln c} \implies \ln c = -\ln 2 \implies c = 1/2$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $b = 1/a$ અને $c = 1/2$ મૂકતા: $(2a)^{\ln a} = (a/2)^{\ln(1/a)} = (a/2)^{-\ln a} = (2/a)^{\ln a}$.
$(2a)^{\ln a} = (2/a)^{\ln a}$ હોવાથી,$2a = 2/a \implies a^2 = 1$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 1$. જો $a=1$ હોય,તો $b=1$ થાય,જે $a, b, c$ ભિન્ન હોવાની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. પ્રશ્નનું વિધાન ગાણિતિક રીતે અસંગત છે.

(D) વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ અનુક્રમે $5, 15, 25, 35, 45$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 28$ આપેલ છે.
$\frac{2(5) + 3(15) + x(25) + 5(35) + 4(45)}{2 + 3 + x + 5 + 4} = 28$
$\frac{410 + 25x}{14 + x} = 28 \implies 410 + 25x = 392 + 28x \implies 3x = 18 \implies x = 6$.
કુલ આવૃત્તિ $N = 20$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{18700}{20} - 28^2 = 935 - 784 = 151$.

(D) ધારો કે યુગલોની સંખ્યા $n$ છે. વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા $2n$ છે.
મેચ બનાવવા માટે,આપણે $n$ માંથી $2$ યુગલોને ${}^nC_2$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
દરેક પસંદ કરેલા $2$ યુગલોમાંથી,આપણે વિરુદ્ધ જાતિની $1$ વ્યક્તિને $2 \times 2 = 4$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
આમ,મેચોની સંખ્યા ${}^nC_2 \times 4 = 840$ છે.
${}^nC_2 = \frac{840}{4} = 210$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n-1) = 420$.
$21 \times 20 = 420$ હોવાથી,$n = 21$ મળે છે.
કુલ વ્યક્તિઓ $= 2n = 2 \times 21 = 42$.

(D) આપેલ અસમતા $|n^2 - 10n + 19| < 6$ છે.
જે $-6 < n^2 - 10n + 19 < 6$ ને સમાન છે.
કિસ્સો $1$: $n^2 - 10n + 19 < 6 \Rightarrow n^2 - 10n + 13 < 0$.
$n^2 - 10n + 13 = 0$ ના બીજ $n = 5 \pm 2\sqrt{3}$ છે.
$2\sqrt{3} \approx 3.46$ હોવાથી,વિસ્તાર $n \in (1.54, 8.46)$ છે.
કિસ્સો $2$: $n^2 - 10n + 19 > -6 \Rightarrow (n - 5)^2 > 0$.
આ $n = 5$ સિવાયના તમામ $n \in \mathbb{Z}$ માટે સાચું છે.
બંનેને જોડતા,$n \in \{2, 3, 4, 6, 7, 8\}$ મળે.
આવા ઘટકોની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(B) $8$ વ્યક્તિઓને $3$ કારમાં લઈ જવા માટે,જેમાં દરેકની મહત્તમ ક્ષમતા $3$ વ્યક્તિઓની છે,વ્યક્તિઓની વહેંચણી $(3, 3, 2)$ હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $8$ વ્યક્તિઓને $3, 3,$ અને $2$ ના જૂથોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\text{જૂથ બનાવવાની રીતો} = \frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{2!}$
કારણ કે કાર અલગ-અલગ મેક (make) ની છે,તેથી જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો છે,તેથી આપણે $3!$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{કુલ રીતો} = \left( \frac{8!}{3!3!2! \times 2!} \right) \times 3!$
$= \frac{40320}{6 \times 6 \times 2 \times 2} \times 6$
$= \frac{40320}{144} \times 6 = 280 \times 6 = 1680$.

(D) ધારો કે $B = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{3(4 \cos \theta) + 2(1)}{3 + 2} = \frac{12 \cos \theta + 2}{5} \Rightarrow 12 \cos \theta = 5h - 2$
$k = \frac{3(4 \sin \theta) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{12 \sin \theta + 4}{5} \Rightarrow 12 \sin \theta = 5k - 4$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(12 \cos \theta)^2 + (12 \sin \theta)^2 = (5h - 2)^2 + (5k - 4)^2$
$144 = 25(h - \frac{2}{5})^2 + 25(k - \frac{4}{5})^2$
$(h - \frac{2}{5})^2 + (k - \frac{4}{5})^2 = \frac{144}{25} = (\frac{12}{5})^2$
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta) = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ છે.
$AC$ ની લંબાઈ એ $A(1, 2)$ અને $C(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AC = \sqrt{(1 - \frac{2}{5})^2 + (2 - \frac{4}{5})^2} = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{19} + \frac{y^2}{15} = 1$ છે.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{19m^2 + 15}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,0)$ થી તેનું લંબ અંતર $4$ છે.
$\left| \frac{\pm \sqrt{19m^2 + 15}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$19m^2 + 15 = 16m^2 + 16$,એટલે કે $3m^2 = 1$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ $y$-અક્ષ છે,તેથી સ્પર્શક ગૌણ અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(C) શ્રેણી $4, 11, 21, 34, 50, \ldots$ છે. ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $7, 10, 13, 16, \ldots$ છે,જે $3$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ બનાવે છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $T_{n} = an^2 + bn + c$ છે.
$n=1, 2, 3$ માટે:
$a + b + c = 4$
$4a + 2b + c = 11$
$9a + 3b + c = 21$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $a = \frac{3}{2}, b = \frac{5}{2}, c = 0$ મળે છે.
તેથી,$T_{n} = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = \frac{n(3n+5)}{2}$.
$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \frac{n(n+1)(n+3)}{2}$.
હવે,$S_{29} = \frac{29 \times 30 \times 32}{2} = 13920$.
$S_{9} = \frac{9 \times 10 \times 12}{2} = 540$.
$\frac{1}{60}(S_{29} - S_{9}) = \frac{1}{60}(13920 - 540) = \frac{13380}{60} = 223$.

(D) આપેલ વિધાન: $\sim[p \vee (\sim(p \wedge q))]$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim p \wedge \sim(\sim(p \wedge q))$
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim p \wedge (p \wedge q)$
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \wedge p) \wedge q$
કારણ કે $(\sim p \wedge p)$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે,તેથી: $F \wedge q = F$
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $D$ એ $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ છે,જે $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ ને સમકક્ષ છે.
આમ,આ વિધાન $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ ને સમકક્ષ છે.

(A) ધારો કે $9^{\tan^2 x} = P$.
આપેલ સમીકરણ: $\frac{9}{P} + P = 10$.
$P^2 - 10P + 9 = 0$.
$(P - 9)(P - 1) = 0$.
તેથી,$P = 1$ અથવા $P = 9$.
કિસ્સો $1$: $9^{\tan^2 x} = 1 \implies \tan^2 x = 0 \implies x = 0$.
કિસ્સો $2$: $9^{\tan^2 x} = 9 \implies \tan^2 x = 1 \implies x = \pm \frac{\pi}{4}$.
આમ,$S = \{0, \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\}$.
$\beta = \tan^2(0) + \tan^2\left(\frac{\pi}{12}\right) + \tan^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 0 + 2\tan^2(15^{\circ})$.
કારણ કે $\tan(15^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$,તેથી $\tan^2(15^{\circ}) = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$.
$\beta = 2(7 - 4\sqrt{3}) = 14 - 8\sqrt{3}$.
તેથી $\frac{1}{6}(\beta - 14)^2 = \frac{1}{6}(14 - 8\sqrt{3} - 14)^2 = \frac{1}{6}(-8\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6}(64 \times 3) = \frac{192}{6} = 32$.

(A) વિસ્તરણ $(1+x)^p(1-x)^q = (1+px+\frac{p(p-1)}{2}x^2+\dots)(1-qx+\frac{q(q-1)}{2}x^2-\dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ નો સહગુણક $p-q=4$ છે,તેથી $p=q+4$.
$x^2$ નો સહગુણક $\frac{p(p-1)}{2} + \frac{q(q-1)}{2} - pq = -5$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $p^2-p+q^2-q-2pq = -10$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(p-q)^2 - (p+q) = -10$ થાય છે.
$p-q=4$ મૂકતા,આપણને $4^2 - (p+q) = -10$ મળે છે,તેથી $16 - (p+q) = -10$,જે $p+q = 26$ આપે છે.
$p-q=4$ અને $p+q=26$ ને ઉકેલતા,બંનેનો સરવાળો કરતા $2p=30$ મળે છે,તેથી $p=15$.
પછી $q = 26-15 = 11$.
અંતે,$2p+3q = 2(15)+3(11) = 30+33 = 63$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. પદાવલિ $\frac{2(x + iy) - 3i}{4(x + iy) + 2i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{4x + i(4y + 2)}$ છે.
કોઈ સંકર સંખ્યા $\frac{a + ib}{c + id}$ વાસ્તવિક હોય ત્યારે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય.
આથી $2x(4y + 2) - 4x(2y - 3) = 0$ મળે.
જેનું સાદું રૂપ $16x = 0$ એટલે કે $x = 0$ થાય.
છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $4y + 2 \neq 0$ એટલે કે $y \neq -\frac{1}{2}$.
આમ,બિંદુ $(0, -\frac{1}{2})$ ગણ $S$ માં નથી. તેથી વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(B) ધારો કે $N = (22)^{2022} + (2022)^{22}$.
$3$ વડે ભાગાકાર માટે:
$22 \equiv 1 \pmod{3}$,તેથી $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{3}$.
$2022$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(2022)^{22} \equiv 0^{22} \equiv 0 \pmod{3}$.
આમ,$N \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
$7$ વડે ભાગાકાર માટે:
$22 \equiv 1 \pmod{7}$,તેથી $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{7}$.
$2022 = 7 \times 288 + 6$,તેથી $2022 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$.
$(2022)^{22} \equiv (-1)^{22} \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,$N \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(B) આપેલ છે $\sum f_i = 62$.
ગણતરી કરતા $k=4$ મળે છે.
$\mu = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{148}{62}$.
$\sum f_i x_i^2 = 468$.
$\mu^2 + \sigma^2 = E[X^2] = \frac{468}{62} \approx 7.548$.
તેથી,$[\mu^2 + \sigma^2] = 7$.

(C) શિરોબિંદુ $A$ એ $2x - 3y = -23$ અને $3x + 7y = 23$ નું છેદબિંદુ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $A = (-4, 5)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $5x + 4y = 23$ અને $3x + 7y = 23$ નું છેદબિંદુ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $C = (3, 2)$ મળે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-4+3}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી બીજો વિકર્ણ $BD$ એ $M$ માંથી પસાર થાય છે અને અન્ય બે બાજુઓના છેદબિંદુ $B$ ($2x - 3y = -23$ અને $5x + 4y = 23$ નું છેદબિંદુ),જે $B = (-1, 7)$ છે,તેમાંથી પસાર થાય છે.
$BD$ નો ઢાળ $m = \frac{7 - 7/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{7/2}{-1/2} = -7$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નું સમીકરણ $y - 7 = -7(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $7x + y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $A(-4, 5)$ નું રેખા $7x + y = 0$ થી અંતર $d = \frac{|7(-4) + 5|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{|-28 + 5|}{\sqrt{50}} = \frac{23}{\sqrt{50}}$ છે.
તેથી,$50d^2 = 50 \times \left(\frac{23}{\sqrt{50}}\right)^2 = 50 \times \frac{529}{50} = 529$.

(C) અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણીના પદો $(a+nd)r^n$ સ્વરૂપમાં છે. $a=2$ અને $d=1$ લેતા,પદો $\frac{0}{4}, \frac{1}{2}, 2, 6, 16$ મળે છે. તેથી $a_4$ (જે શ્રેણીનું $5$મું પદ છે) $16$ થાય છે.

(C) આપેલ અંકો $1, 2, 2, 3$ છે. કુલ ચાર અંકની સંખ્યાઓ જે બનાવી શકાય તે $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે:
કોઈપણ ચોક્કસ સ્થાન માટે,દરેક અંકની આવૃત્તિ:
- અંક $1$: $3$ વખત.
- અંક $2$: $6$ વખત.
- અંક $3$: $3$ વખત.
કોઈપણ સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 24$.
બધી સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 24 \times 1000 + 24 \times 100 + 24 \times 10 + 24 \times 1 = 24 \times 1111 = 26664$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા:
$5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4 f(x)=x+3$ $(2)$
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$25 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{5}{x}+15$
$16 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+12$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$9 f(x) = \frac{5}{x} - 4x + 3$
$f(x) = \frac{1}{9} \left( \frac{5}{x} - 4x + 3 \right)$
હવે,સંકલન $I = 18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ ની ગણતરી કરતા:
$I = 18 \int \limits_1^2 \frac{1}{9} \left( \frac{5}{x} - 4x + 3 \right) \, dx$
$I = 2 \int \limits_1^2 \left( \frac{5}{x} - 4x + 3 \right) \, dx$
$I = 2 \left[ 5 \ln|x| - 2x^2 + 3x \right]_1^2$
$I = 2 \left[ (5 \ln 2 - 2(4) + 3(2)) - (5 \ln 1 - 2(1) + 3(1)) \right]$
$I = 2 \left[ (5 \ln 2 - 8 + 6) - (0 - 2 + 3) \right]$
$I = 2 \left[ 5 \ln 2 - 2 - 1 \right]$
$I = 2 \left[ 5 \ln 2 - 3 \right] = 10 \ln 2 - 6$

(B) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $5$ મળે તેવા પરિણામો $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ છે,જે $4$ પરિણામો છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 5$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછી } 4 \text{ સફળતા}) = P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \times (\frac{1}{9})^4 \times (\frac{8}{9})^1 = 5 \times \frac{1}{9^4} \times \frac{8}{9} = \frac{40}{9^5} = \frac{40}{3^{10}}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \times (\frac{1}{9})^5 \times (\frac{8}{9})^0 = 1 \times \frac{1}{9^5} = \frac{1}{3^{10}}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{40}{3^{10}} + \frac{1}{3^{10}} = \frac{41}{3^{10}} = \frac{41 \times 3}{3^{11}} = \frac{123}{3^{11}}$.
આને $\frac{k}{3^{11}}$ સાથે સરખાવતા,$k = 123$ મળે છે.

(D) કારણ કે $\vec{d}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{d}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{d} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$.
પ્રથમ,$\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-8)) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(8 - 2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેથી,$\vec{d} = \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 18$:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = 18$
$\lambda(4 - 12 + 24) = 18 \implies 16\lambda = 18 \implies \lambda = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.
આમ,$\vec{d} = \frac{9}{8}(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{9}{4}\hat{i} - \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{27}{4}\hat{k}$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{d} = \vec{a} \times (\lambda(\vec{b} \times \vec{c})) = \lambda(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}))$ ની ગણતરી કરો.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(-1) + (3)(4) + (4)(3) = -2 + 12 + 12 = 22$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (3)(-2) + (4)(-2) = 4 - 6 - 8 = -10$.
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 22(2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) - (-10)(-\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (44\hat{i} - 44\hat{j} - 44\hat{k}) - (10\hat{i} - 40\hat{j} - 30\hat{k}) = 34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{d} = \frac{9}{8}(34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}) = \frac{9}{4}(17\hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k})$.
$|\vec{a} \times \vec{d}|^2 = (\frac{9}{4})^2 (17^2 + (-2)^2 + (-7)^2) = \frac{81}{16} (289 + 4 + 49) = \frac{81}{16} (342) = \frac{81 \times 171}{8} = 1732.875$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,તેથી:
$\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p^2 + qr & pq + qs \\ pr + rs & rq + s^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો પરથી,$q(p + s) = 0$ અને $r(p + s) = 0$. કારણ કે $a_{ij} \neq 0$,તેથી $q \neq 0$ અને $r \neq 0$ હોવા જોઈએ,જે સૂચવે છે કે $p + s = 0$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $a = p + s = 0$.
વળી,$p^2 + qr = 1$ અને $s^2 + qr = 1$. કારણ કે $p + s = 0$,$s = -p$,તેથી $p^2 = s^2$,જે સુસંગત છે.
નિશ્ચાયક $b = |A| = ps - qr$.
કારણ કે $s = -p$,$b = -p^2 - qr = -(p^2 + qr) = -1$.
આપણે $3a^2 + 4b^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a = 0$ અને $b = -1$ મૂકતા:
$3(0)^2 + 4(-1)^2 = 3(0) + 4(1) = 4$.

(C) આપેલ છે $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^2$ અને $dv = \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ લો.
અહીં $(x \tan x + 1)$ નું વિકલન $(x \sec^2 x + \tan x)$ છે.
તેથી,$v = -\frac{1}{x \tan x + 1}$.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ મુજબ:
$I(x) = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$.
$(x \sin x + \cos x)$ નું વિકલન $x \cos x$ હોવાથી,સંકલન $2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$ થશે.
$I(x) = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$.
$I(0) = 0$ હોવાથી,$C = 0$ મળે છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા,$I(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{4(\pi+4)} + \ln \frac{(\pi+4)^2}{32}$.

(A) સમતલો $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ અને $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે: $x(2 + 4\lambda) + y(-1 - 3\lambda) + z(1 + 5\lambda) + (-3 + 9\lambda) = 0$.
આ સમતલ રેખા $(-2, 4, 5)$ ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ રેખાને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,અભિલંબ સદિશ $(2 + 4\lambda, -1 - 3\lambda, 1 + 5\lambda)$ અને દિશા સદિશ $(-2, 4, 5)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$-2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.
$-4 - 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$5\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{5}$.
$\lambda = \frac{3}{5}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y + z - 3) + \frac{3}{5}(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$5(2x - y + z - 3) + 3(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$10x - 5y + 5z - 15 + 12x - 9y + 15z + 27 = 0$.
$22x - 14y + 20z + 12 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $11x - 7y + 10z + 6 = 0$.
$ax + by + cz + 6 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 11, b = -7, c = 10$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 11 - 7 + 10 = 14$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15-4) - 1(6-2) + a(4-5) = 11 - 4 - a = 7 - a$.
$\Delta = 0$ લેતા,$7 - a = 0$,તેથી $a = 7$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે $\Delta_x = 0$ લઈએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 1 & 7 \\ 6 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = b(15-4) - 1(18-6) + 7(12-15) = 11b - 12 - 21 = 11b - 33$.
$\Delta_x = 0$ લેતા,$11b = 33$,તેથી $b = 3$.
અંતે,$2a + 3b$ ની કિંમત શોધીએ:
$2a + 3b = 2(7) + 3(3) = 14 + 9 = 23$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^y + 3y^x = 20$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^y) + \frac{d}{dx}(3y^x) = 0$.
$\frac{d}{dx}(a^b) = a^b \frac{d}{dx}(b \ln a)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2x^y \left(\frac{y}{x} + \ln x \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3y^x \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln y\right) = 0$.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ,$x=2$ અને $y=2$ મુકતા:
$2(2^2) \left(\frac{2}{2} + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3(2^2) \left(\frac{2}{2} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln 2\right) = 0$.
$8(1 + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}) + 12(\frac{dy}{dx} + \ln 2) = 0$.
$8 + 8 \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} + 12 \frac{dy}{dx} + 12 \ln 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx} (12 + 8 \ln 2) = -(8 + 12 \ln 2)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{8 + 12 \ln 2}{12 + 8 \ln 2} = -\frac{2 + 3 \ln 2}{3 + 2 \ln 2}$.
$3 \ln 2 = \ln 8$ અને $2 \ln 2 = \ln 4$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{2 + \log_e 8}{3 + \log_e 4}\right)$.

(D) વિકર્ણ $OP$ એ $(0, 0, 0)$ અને $(3, 4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે. $OP$ નું સમીકરણ $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ છે.
$z$-અક્ષને સમાંતર ધાર જે $O(0, 0, 0)$ કે $P(3, 4, 5)$ માંથી પસાર થતી નથી,તે શિરોબિંદુ $(3, 0, 0)$ અથવા $(0, 4, 0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ. ધારો કે આપણે $(3, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી ધાર લઈએ. તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}_2 = \hat{k} = (0, 0, 1)$ છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = (0, 0, 0)$,$\vec{a}_2 = (3, 0, 0)$,$\vec{b}_1 = (3, 4, 5)$,અને $\vec{b}_2 = (0, 0, 1)$ છે.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (3, 0, 0) \cdot (4, -3, 0) = 12$.
તેથી,$d = \frac{|12|}{5} = \frac{12}{5}$.

(A) બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}$
$\vec{AC} = -7\hat{i} + (\lambda-5)\hat{j} + (4-2\lambda)\hat{k}$
$\vec{AD} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + (6-2\lambda)\hat{k}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} -4 & -3 & 3-2\lambda \\ -7 & \lambda-5 & 4-2\lambda \\ -6 & 0 & 6-2\lambda \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-6[(-3)(4-2\lambda) - (3-2\lambda)(\lambda-5)] + (6-2\lambda)[(-4)(\lambda-5) - (-3)(-7)] = 0$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 2, 3$ એટલે કે $S = \{2, 3\}$.
સરવાળો ગણતા: $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2 = (2+2)^2 + (3+2)^2 = 16 + 25 = 41$.

(D) વિધેય $f(x) = [a + 13 \sin x]$ છે,જ્યાં $x \in (0, \pi)$.
$a$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે $f(x) = a + [13 \sin x]$ લખી શકીએ.
વિધેય $f(x)$ તે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી જ્યાં મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયનો અંદરનો ભાગ,$13 \sin x$,પૂર્ણાંક હોય.
$x \in (0, \pi)$ માટે,$13 \sin x$ નો વિસ્તાર $(0, 13]$ છે.
$13 \sin x$ ની કિંમતો $1, 2, 3, \dots, 13$ હોય ત્યારે તે પૂર્ણાંક બને છે.
દરેક પૂર્ણાંક $k \in \{1, 2, \dots, 12\}$ માટે,$(0, \pi)$ માં $x$ ની $2$ કિંમતો મળે છે જેના માટે $13 \sin x = k$ થાય.
$k = 13$ માટે,$(0, \pi)$ માં $x$ ની માત્ર $1$ કિંમત મળે છે,જે $x = \frac{\pi}{2}$ છે.
આમ,કુલ બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં વિધેય વિકલનીય નથી તે $2 \times 12 + 1 = 25$ છે.

(D) પ્રદેશ $S$ અસમતાઓ $x^2 \leq 2y$,$x^2 \geq 2y - y^2$,અને $x \geq y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,$x^2 \leq 2y$ એ પરવલય $x^2 = 2y$ ની અંદરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
બીજું,$x^2 + y^2 - 2y \geq 0$ એ વર્તુળ $x^2 + (y-1)^2 = 1$ ની બહારનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
ત્રીજું,$x \geq y$ એ રેખા $y = x$ ની નીચેનો પ્રદેશ છે.
$x^2 = 2y$ અને $x = y$ ના છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ વક્રો વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$x^2 = 2y$ અને $y = x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_0^2 (x - \frac{x^2}{2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^2 = 2 - \frac{8}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
જોકે,આપણે પરવલયની અંદર રેખા $x=y$ દ્વારા કપાયેલા વર્તુળાકાર ભાગનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવું પડશે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3} - \frac{\pi}{4}$ છે.
આને $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n-1 = 4 \Rightarrow n = 5$ મળે છે.
પ્રથમ પદ તપાસતા: $\frac{5+2}{5+1} = \frac{7}{6}$.
આમ,$n = 5$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ છે.
$dx$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા,$(x \cos x) \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ મળે.
$x \cos x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{1}{x \cos x}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x \cos x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln x} = x \sec x$.
ઉકેલ $y(x \sec x) = \int (x \sec x) \frac{1}{x \cos x} dx + C = \int \sec^2 x dx + C = \tan x + C$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,તેથી $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,$\frac{3\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \tan(\frac{\pi}{3}) + C \implies 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + C \implies C = \sqrt{3}$.
તેથી,$y = \frac{\tan x + \sqrt{3}}{x \sec x} = \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ આગળ $y'$ અને $y''$ ની ગણતરી કરતા,$|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ ની કિંમત $2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ સમતલ $2x - y + z = 9$ ની સાપેક્ષે $P(1, 2, 3)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં પ્રતિબિંબ શોધવાના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{\alpha - 1}{2} = \frac{\beta - 2}{-1} = \frac{\gamma - 3}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(2) + 1(3) - 9}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{2 - 2 + 3 - 9}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{-6}{6} = 2$.
આમ,$\alpha - 1 = 4 \Rightarrow \alpha = 5$,$\beta - 2 = -2 \Rightarrow \beta = 0$,અને $\gamma - 3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
તેથી,$Q = (5, 0, 5)$.
હવે,સદિશ $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ શોધીએ:
$\vec{PQ} = (5-1, 0-2, 5-3) = (4, -2, 2)$.
$\vec{PR} = (6-1, 10-2, 7-3) = (5, 8, 4)$.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ છે.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -2 & 2 \\ 5 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 16) - \hat{j}(16 - 10) + \hat{k}(32 + 10) = -24\hat{i} - 6\hat{j} + 42\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-24)^2 + (-6)^2 + (42)^2} = \sqrt{576 + 36 + 1764} = \sqrt{2376}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{2376} = \sqrt{\frac{2376}{4}} = \sqrt{594}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $594$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\lceil x \rceil - x}}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ: $\lceil x \rceil - x > 0$,જેનો અર્થ છે $\lceil x \rceil > x$.
આ અસમતા તમામ $x \notin \mathbb{Z}$ માટે સાચી છે. જો $x \in \mathbb{Z}$ હોય,તો $\lceil x \rceil = x$,તેથી $\lceil x \rceil - x = 0$,જે છેદને શૂન્ય બનાવે છે.
આમ,પ્રદેશ $A = \mathbb{R} - \mathbb{Z}$.
$x \notin \mathbb{Z}$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$. તેથી,$\lceil x \rceil - x = \lfloor x \rfloor + 1 - x = 1 - (x - \lfloor x \rfloor) = 1 - \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
કારણ કે $x \notin \mathbb{Z}$,$0 < \{x\} < 1$,જેનો અર્થ છે $0 < 1 - \{x\} < 1$.
પછી,$0 < \sqrt{1 - \{x\}} < 1$,અને પરિણામે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \{x\}}} > 1$.
આમ,વિસ્તાર $B = (1, \infty)$.
હવે,$A \cap B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cap (1, \infty) = (1, \infty) - \mathbb{Z}$. કારણ કે $(1, \infty)$ સાથેનો છેદ માત્ર ધન પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ કરે છે,તેથી $(1, \infty) - \mathbb{Z} = (1, \infty) - \mathbb{N}$. આમ,$(S1)$ સાચું છે.
$A \cup B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cup (1, \infty) = \mathbb{R} - \{0, -1, -2, \dots\}$. આ $(1, \infty)$ ની બરાબર નથી. તેથી,$(S2)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $(S1)$ સાચું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+\ln x) \frac{dx}{dy} - x \ln x = e^y$.
ધારો કે $t = x \ln x$. તો $\frac{dt}{dy} = (1 + \ln x) \frac{dx}{dy}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dt}{dy} - t = e^y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
સમીકરણને $e^{-y}$ વડે ગુણતા: $e^{-y} \frac{dt}{dy} - e^{-y} t = 1$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int \frac{d}{dy}(t e^{-y}) dy = \int 1 dy$.
$t e^{-y} = y + c$.
$t = x \ln x$ મૂકતા: $x \ln x e^{-y} = y + c$,એટલે કે $x \ln x = (y + c) e^y$.
વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 \ln 1 = (0 + c) e^0$,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
આમ,ઉકેલ $x \ln x = y e^y$ છે.
બિંદુ $(\alpha, 2)$ માટે,$\alpha \ln \alpha = 2 e^2$.
આને $\ln(\alpha^\alpha) = 2 e^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\alpha^\alpha = e^{2e^2}$.

(D) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $P, Q, R,$ અને $S$ છે જેના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$\vec{q} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$
$\vec{r} = (\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$
$\vec{s} = 9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$
જો સદિશો $\vec{PQ}, \vec{PR},$ અને $\vec{PS}$ સમતલીય હોય તો બિંદુઓ સમતલીય કહેવાય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \alpha\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = 8\hat{i} + (\alpha-6)\hat{j} + 3\hat{k}$
સમતલીયતા માટે,આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ \alpha & 2 & -1 \\ 8 & \alpha-6 & 3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(6 + \alpha - 6) + 1(3\alpha + 8) + (\alpha^2 - 6\alpha - 16) = 0$
$\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 2) = 0$
આમ,$\alpha$ ના મૂલ્યો $4$ અને $-2$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $4 + (-2) = 2$ થાય.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=6$
$x+2y+\alpha z=10$
$x+3y+5z=\beta$
સહગુણક શ્રેણિક $D$ નો નિશ્ચાયક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(10-3\alpha) - 1(5-\alpha) + 1(3-2) = 6-2\alpha$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\alpha \neq 3$.
જો $\alpha=3$ હોય,તો $D=0$. સિસ્ટમ આ મુજબ બને છે:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+3y+5z=\beta$
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $y+2z=4$.
બીજા સમીકરણને ત્રીજામાંથી બાદ કરતા: $y+2z=\beta-10$.
સિસ્ટમનો ઉકેલ મળે તે માટે $4 = \beta-10$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\beta=14$. જો $\beta=14$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે. જો $\beta \neq 14$ હોય,તો કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
વિકલ્પ $A$ કહે છે કે $\alpha=3$ માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ છે,જે ખોટું છે કારણ કે $\alpha=3$ માટે $D=0$ થાય છે.

(B) વિધેય $y = |x-1| + |x-2|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$y = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x+3, & \text{જો } x < 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & \text{જો } 1 \le x \le 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x-3, & \text{જો } x > 2 \end{cases}$
$y=3$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$x < 1$ માટે: $-2x+3 = 3 \implies x=0$.
$x > 2$ માટે: $2x-3 = 3 \implies x=3$.
આ પ્રદેશ $x=0$ થી $x=3$ વચ્ચેનો સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની ઊંચાઈ $h=3-1=2$ છે (કારણ કે વક્રની ન્યૂનતમ કિંમત $x \in [1, 2]$ માટે $1$ છે).
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} 3 \, dx - \int_{0}^{3} (|x-1| + |x-2|) \, dx = 9 - [\int_{0}^{1} (-2x+3) \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} (2x-3) \, dx] = 9 - [2 + 1 + 2] = 9 - 5 = 4$.

(C) આપેલ છે કે $P^2 = I - P$.
આપણે $P$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$P^3 = P(I - P) = P - P^2 = P - (I - P) = 2P - I$.
$P^4 = P(2P - I) = 2P^2 - P = 2(I - P) - P = 2I - 3P$.
$P^5 = P(2I - 3P) = 2P - 3P^2 = 2P - 3(I - P) = 5P - 3I$.
$P^6 = P(5P - 3I) = 5P^2 - 3P = 5(I - P) - 3P = 5I - 8P$.
$P^7 = P(5I - 8P) = 5P - 8P^2 = 5P - 8(I - P) = 13P - 8I$.
$P^8 = P(13P - 8I) = 13P^2 - 8P = 13(I - P) - 8P = 13I - 21P$.
હવે,$P^8 + P^6 = (13I - 21P) + (5I - 8P) = 18I - 29P$.
$P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29P$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 8, \beta = 6, \gamma = 18$ મળે છે.
તે જ રીતે,$P^8 - P^6 = (13I - 21P) - (5I - 8P) = 8I - 13P$.
$P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13P$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\delta = 8$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma - \delta = 8 + 6 + 18 - 8 = 24$.

(D) ધારો કે રેખા $L$ બિંદુ $A(0,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ ને બિંદુ $B(1+2\lambda, 2+3\lambda, 3+4\lambda)$ પર છેદે છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{AB} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ સમતલ $2x+y-3z=4$ ને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1+2\lambda) + 1(1+3\lambda) - 3(1+4\lambda) = 0$.
$2 + 4\lambda + 1 + 3\lambda - 3 - 12\lambda = 0 \Rightarrow -5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,બિંદુ $B$ એ $(1, 2, 3)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $P(1,-9,2)$ નો રેખા $L$ પરનો પ્રક્ષેપ છે. $Q = (t, 1+t, 2+t)$.
$\vec{PQ} = (t-1)\hat{i} + (10+t)\hat{j} + t\hat{k}$.
$\vec{PQ} \perp \vec{v}$ હોવાથી,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (t-1) + (10+t) + t = 0 \Rightarrow 3t = -9 \Rightarrow t = -3$.
$Q = (-3, -2, -1)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(-3-1)^2 + (-2 - (-9))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}$.

(B) બે આપેલા સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x+y+z-6) + \lambda(2x+3y+4z+5) = 0$ છે.
સમતલ $P$ બિંદુ $(0, 2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(0+2-2-6) + \lambda(2(0)+3(2)+4(-2)+5) = 0$
$-6 + \lambda(6-8+5) = 0$
$-6 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+y+z-6) + 2(2x+3y+4z+5) = 0$
$x+y+z-6 + 4x+6y+8z+10 = 0$
$5x+7y+9z+4 = 0$.
બિંદુ $(12, 12, 18)$ નું સમતલ $5x+7y+9z+4 = 0$ થી અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|5(12) + 7(12) + 9(18) + 4|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2}}$
$d = \frac{|60 + 84 + 162 + 4|}{\sqrt{25 + 49 + 81}}$
$d = \frac{310}{\sqrt{155}}$.
અંતરનો વર્ગ $d^2 = \frac{310^2}{155} = \frac{96100}{155} = 620$ થાય.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin(\pi - x) \, dx$
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin x \, dx$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi} [f(x) + f(\pi - x)] \sin x \, dx$
આપેલ છે કે $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2$,તેથી:
$2I = \int_{0}^{\pi} \pi^2 \sin x \, dx$
$2I = \pi^2 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$
$2I = \pi^2 [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$2I = \pi^2 [-(\cos \pi - \cos 0)]$
$2I = \pi^2 [-(-1 - 1)]$
$2I = \pi^2 [2]$
$2I = 2\pi^2$
$I = \pi^2$

(C) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવા સમાંતરફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ અને $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ છે,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}]$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોના નિશ્ચાયક તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$1(1 \times 3 - 1 \times 2) - 0 + 0 = 1(3 - 2) = 1$.
આમ,ઘનફળ $1 \times V = V$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.
આપણે સંયોજન માટેની પેટર્ન જોઈએ:
$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+(f(x))^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$f^n(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.
આપણે $I = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^{n-2} \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}} dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ધારો કે $t = 1 + nx^n$,તો $dt = n^2 x^{n-1} dx$,તેથી $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n^2}$.
જ્યારે $x \to 0, t \to 1$ અને જ્યારે $x \to 1, t \to 1+n$.
$I = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \int_1^{1+n} t^{-1/n} dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{1-1/n}}{1-1/n} \right]_1^{1+n}$.
$I = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \frac{n}{n-1} ((1+n)^{(n-1)/n} - 1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n-1)} ((1+n)^{1-1/n} - 1)$.
કારણ કે $(1+n)^{1-1/n} \approx n$,તેથી પદ $\frac{n}{n^2}$ જેવું બને છે,જે $n \to \infty$ માટે $0$ તરફ જાય છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{\alpha}$ અને $\frac{x-4}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{\beta}$ છે.
પ્રથમ રેખા પરનું બિંદુ $P_1(1, 2, 3)$ છે અને બીજી રેખા પરનું બિંદુ $P_2(4, 1, 0)$ છે.
આ બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{P_1P_2} = (4-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \beta\hat{k}$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,સદિશો $\vec{P_1P_2}$,$\vec{v_1}$,અને $\vec{v_2}$ સમતલીય હોવા જોઈએ,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & \alpha \\ 5 & 2 & \beta \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(3\beta - 2\alpha) + 1(2\beta - 5\alpha) - 3(4 - 15) = 0$
$9\beta - 6\alpha + 2\beta - 5\alpha + 33 = 0$
$-11\alpha + 11\beta + 33 = 0$
$\alpha - \beta = 3 \Rightarrow \alpha = \beta + 3$.
આપણે $8\alpha\beta = 8(\beta + 3)\beta = 8(\beta^2 + 3\beta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $8(\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 8(\beta + \frac{3}{2})^2 - 18$.
ન્યૂનતમ કિંમત $-18$ છે. ન્યૂનતમ કિંમતનું માન $|-18| = 18$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5-20x^3+50x+2$.
વક્ર $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલન શોધીને સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$f'(x) = 5x^4-60x^2+50 = 5(x^4-12x^2+10)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x^4-12x^2+10 = 0$ મળે છે.
$x^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 = \frac{12 \pm \sqrt{144-40}}{2} = 6 \pm \sqrt{26} \approx 6 \pm 5.1$.
તેથી,$x^2 \approx 11.1$ અથવા $x^2 \approx 0.9$.
આનાથી $x \approx \pm 3.3$ અને $x \approx \pm 0.95$ પર ક્રાંતિક બિંદુઓ મળે છે.
આ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસતા:
$f(-3.3) \approx -100 < 0$
$f(-0.95) \approx -28 < 0$
$f(0.95) \approx 32 > 0$
$f(3.3) \approx 104 > 0$
વધુમાં,$f(-4) < 0$,$f(-2) > 0$,$f(0) = 2$,$f(2) = -14$,$f(4) > 0$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ (Intermediate Value Theorem) મુજબ,વિધેય $(-4, -2)$,$(-2, 0)$,$(0, 2)$,અને $(2, 4)$ ની વચ્ચે ચિહ્ન બદલે છે.
આમ,વક્ર $x$-અક્ષને $5$ બિંદુઓ પર છેદે છે.

(C) $R(b, f(b))$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - f(b) = f'(b)(x - b)$
આ સ્પર્શક $S(0, c)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$c - f(b) = f'(b)(0 - b)$
$c - f(b) = -b f'(b)$
આપેલ છે કે $bc = 3$,તેથી $c = \frac{3}{b}$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{b} - f(b) = -b f'(b)$
$b f'(b) - f(b) = -\frac{3}{b}$
બંને બાજુ $b^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{b f'(b) - f(b)}{b^2} = -\frac{3}{b^3}$
આ $\frac{f(b)}{b}$ નું $b$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\frac{d}{db} \left( \frac{f(b)}{b} \right) = -\frac{3}{b^3}$
બંને બાજુ $b$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$\frac{f(b)}{b} = \int -3b^{-3} db = \frac{3}{2b^2} + \lambda$
$f(b) = \frac{3}{2b} + \lambda b$
વક્ર $P(1, 3/2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2(1)} + \lambda(1) \Rightarrow \lambda = 0$
તેથી,$f(x) = \frac{3}{2x}$.
વક્ર $Q(a, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$f(a) = \frac{3}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 3$
તેથી,$Q$ એ $(3, 1/2)$ છે.
અંતર $PQ$ માટે:
$PQ^2 = (3 - 1)^2 + (1/2 - 3/2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(D) આપેલ છે $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$.
ધારો કે $u = x e^x$,તો $du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I(x) = \int \frac{du}{u(1+u)^2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{u(1+u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u} + \frac{C}{(1+u)^2}$.
$1 = A(1+u)^2 + Bu(1+u) + Cu$.
$u=0$ માટે,$A=1$. $u=-1$ માટે,$C=-1$.
$u^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $A+B=0 \implies B=-1$.
તેથી,$I(x) = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2}) du = \log|u| - \log|1+u| + \frac{1}{1+u} + C$.
$I(x) = \log|\frac{u}{1+u}| + \frac{1}{1+u} + C = \log|\frac{x e^x}{1+x e^x}| + \frac{1}{1+x e^x} + C$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\frac{x e^x}{1+x e^x} \rightarrow 1$,તેથી $\log(1) = 0$ અને $\frac{1}{1+x e^x} \rightarrow 0$.
આમ,$\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0 + 0 + C = 0 \implies C = 0$.
$I(1) = \log(\frac{e}{1+e}) + \frac{1}{1+e} = \log(e) - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = 1 - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = \frac{1+e+1}{1+e} - \log(1+e) = \frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$.

(C) રેખા બે સમતલો $P_1: x+2y+3z-4=0$ અને $P_2: 2x+y-z+5=0$ ના છેદથી બને છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ છે,જ્યાં $\vec{n}_1 = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
બીજું સમતલ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{w}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{u} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{w} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$. આ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_3 = \vec{u} \times \vec{w} = 5\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$.
માગેલ સમતલ રેખાને સમાવે છે અને બીજા સમતલને લંબ છે,તેથી તેનો અભિલંબ $\vec{N} = \vec{v} \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 7 & -3 \\ 5 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -27\hat{i}-30\hat{j}-25\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $27x+30y+25z=4$ મળે છે. તેથી $a=27, b=30, c=25$. આમ,$a-b+c = 27-30+25 = 22$.

(B) આપેલ છે કે $Q = PAP^{T}$.
આપણે $P^{T}Q^{2007}P$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$Q = PAP^{T}$ હોવાથી,$Q^{2007} = (PAP^{T})(PAP^{T})\dots(PAP^{T})$ ($2007$ વખત).
$Q^{2007} = PA(P^{T}P)A(P^{T}P)A\dots A P^{T}$.
$P$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક હોવાથી,$P^{T}P = I$ થાય.
તેથી,$Q^{2007} = PA^{2007}P^{T}$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા,$P^{T}(PA^{2007}P^{T})P = (P^{T}P)A^{2007}(P^{T}P) = I \cdot A^{2007} \cdot I = A^{2007}$ મળે.
$A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ માટે,$A^{n} = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ થાય.
તેથી,$A^{2007} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2007 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$.
આથી $a=1, b=2007, c=0, d=1$ મળે.
હવે $2a+b-3c-4d = 2(1) + 2007 - 3(0) - 4(1) = 2 + 2007 - 4 = 2005$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બોલ્ટ અનુક્રમે મશીન $A, B$ અને $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત થાય છે,અને $D$ એ ઘટના છે કે બોલ્ટ ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = 0.20 = \frac{20}{100}$,$P(E_2) = 0.30 = \frac{30}{100}$,$P(E_3) = 0.50 = \frac{50}{100}$
ખામીયુક્ત બોલ્ટની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(D|E_1) = \frac{3}{100}$,$P(D|E_2) = \frac{4}{100}$,$P(D|E_3) = \frac{2}{100}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત બોલ્ટ મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(E_3|D) = \frac{P(E_3) \times P(D|E_3)}{P(E_1) \times P(D|E_1) + P(E_2) \times P(D|E_2) + P(E_3) \times P(D|E_3)}$
$P(E_3|D) = \frac{\frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}{\frac{20}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{4}{100} + \frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}$
$P(E_3|D) = \frac{100}{60 + 120 + 100} = \frac{100}{280} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{\sin x + \cos x - \sqrt{2}}{\sin x - \cos x}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$f(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x} = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1}{\sin(x - \frac{\pi}{4})}$.
$\sin \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2})$ મળે.
તેથી,$f(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$x = \frac{7\pi}{12}$ માટે,$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
$f(\frac{7\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$f''(\frac{7\pi}{12}) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$.
તેથી,$f(\frac{7\pi}{12}) f''(\frac{7\pi}{12}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{2}{3\sqrt{3}}) = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$,અને $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = (6 - \alpha) \hat{i} + (11 - 10) \hat{j} + (11 - 13) \hat{k} = (6 - \alpha) \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2} - 6) \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} + (-8 - 11) \hat{k} = -\frac{3}{2} \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} - 19 \hat{k}$.
$\vec{AB} = k \vec{BC}$ હોવાથી:
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta - 11} = \frac{-2}{-19} = \frac{2}{19}$.
$\frac{1}{\beta - 11} = \frac{2}{19}$ પરથી,$2(\beta - 11) = 19 \implies 2\beta - 22 = 19 \implies 2\beta = 41$.
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ પરથી,$6 - \alpha = \frac{2}{19} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{19} \implies \alpha = 6 + \frac{3}{19} = \frac{117}{19}$.
હવે,$(19 \alpha - 6 \beta)^2 = (19 \times \frac{117}{19} - 3 \times 2\beta)^2 = (117 - 3 \times 41)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 2(4 - 1) - 1(2 - 0) + 0 = 2(3) - 2 = 4$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,કોઈપણ શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{3-1} = |M|^2$ થાય.
તેથી,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))| = |2A|^{(3-1)^3} = |2A|^{2^3} = |2A|^8$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|kA| = k^n|A|$ હોવાથી,$|2A| = 2^3|A| = 8 \times 4 = 32 = 2^5$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$|2A|^8 = (2^5)^8 = 2^{40}$.
આપણને આપેલ છે કે આ $(16)^n = (2^4)^n = 2^{4n}$ ની બરાબર છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4n = 40 \Rightarrow n = 10$.

(A) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{n}_1$ અને $\vec{r} = \vec{b} + \mu \vec{n}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $S_d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$S_d = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|} \right|$
આપેલ સમીકરણો પરથી:
$\vec{a} = (4, -2, -3)$,$\vec{b} = (1, 3, 4)$
$\vec{n}_1 = (4, 5, 3)$,$\vec{n}_2 = (3, 4, 2)$
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ શોધો:
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-12) - \hat{j}(8-9) + \hat{k}(16-15) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = (-2, 1, 1)$
તેનું માન $|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
હવે,$\vec{b} - \vec{a} = (1-4, 3-(-2), 4-(-3)) = (-3, 5, 7)$
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = (-3, 5, 7) \cdot (-2, 1, 1) = 6 + 5 + 7 = 18$
તેથી,$S_d = \left| \frac{18}{\sqrt{6}} \right| = \frac{18}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

(D) આ પ્રદેશ $y = x^2$,$y = 8 - x^2$,અને $y = 7$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = \pm 2$ પર,$y = 4$ મળે છે.
વળી,$x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7}$ અને $8 - x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{\sqrt{7}} (\text{ઉપરનો વક્ર} - \text{નીચેનો વક્ર}) dx$.
ચોક્કસ રીતે,ઉપરની સીમા $x \in [0, 1]$ માટે $y = 7$ અને $x \in [1, 2]$ માટે $y = 8 - x^2$ છે. નીચેની સીમા $x \in [0, 2]$ માટે $y = x^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} (7 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (8 - 2x^2) dx \right]$
$= 2 \left[ (7x - \frac{x^3}{3})_{0}^{1} + (8x - \frac{2x^3}{3})_{1}^{2} \right]$
$= 2 \left[ (7 - \frac{1}{3}) + ((16 - \frac{16}{3}) - (8 - \frac{2}{3})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{20}{3} + (\frac{32}{3} - \frac{22}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{20}{3} + \frac{10}{3} \right] = 2 \left[ \frac{30}{3} \right] = 20$.

(B) ધારો કે $I = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$.
પ્રથમ,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\operatorname{cosec} x] \, dx$ ધ્યાનમાં લો.
અંતરાલ $[\pi/6, 5\pi/6]$ માં,$\operatorname{cosec} x \in [1, 2]$. ખાસ કરીને,$x \in [\pi/6, 5\pi/6]$ માટે $[\operatorname{cosec} x] = 1$ થાય છે.
તેથી,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} 1 \, dx = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
હવે,$I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\cot x] \, dx$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\cot(\pi-x)] \, dx = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [-\cot x] \, dx$ મળે.
$I_2$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} ([\cot x] + [-\cot x]) \, dx$.
ગુણધર્મ $[t] + [-t] = -1$ (જો $t \notin \mathbb{Z}$) નો ઉપયોગ કરતા,$[\cot x] + [-\cot x] = -1$ મળે છે.
$2I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (-1) \, dx = -(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -\frac{2\pi}{3}$.
તેથી,$I_2 = -\frac{\pi}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2}{\pi} (8 \cdot I_1 - 5 \cdot I_2) = \frac{2}{\pi} (8 \cdot \frac{2\pi}{3} - 5 \cdot (-\frac{\pi}{3})) = \frac{2}{\pi} (\frac{16\pi}{3} + \frac{5\pi}{3}) = \frac{2}{\pi} (\frac{21\pi}{3}) = 14$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$,તેથી $\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{c} - \vec{b})$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\vec{c} - \vec{b} = k \vec{a}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે,અથવા $\vec{c} = \vec{b} + k \vec{a}$.
$\vec{c} = (\alpha + 6k) \hat{i} + (11 + 9k) \hat{j} + (-2 + 12k) \hat{k}$ ને $\vec{a} \cdot \vec{c} = -12$ માં મૂકતા:
$6(\alpha + 6k) + 9(11 + 9k) + 12(-2 + 12k) = -12$.
$6\alpha + 36k + 99 + 81k - 24 + 144k = -12 \Rightarrow 6\alpha + 261k = -87$.
$\vec{c} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\alpha + 6k) - 2(11 + 9k) + (-2 + 12k) = 5$.
$\alpha + 6k - 22 - 18k - 2 + 12k = 5 \Rightarrow \alpha = 29$.
$\alpha = 29$ ને $6(29) + 261k = -87$ માં મૂકતા:
$174 + 261k = -87 \Rightarrow 261k = -261 \Rightarrow k = -1$.
તેથી,$\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (29-6)\hat{i} + (11-9)\hat{j} + (-2-12)\hat{k} = 23\hat{i} + 2\hat{j} - 14\hat{k}$.
અંતે,$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 23 + 2 - 14 = 11$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^3}{x^4+147}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ ગણીએ:
$f'(x) = \frac{(x^4+147)(3x^2) - (x^3)(4x^3)}{(x^4+147)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^6 + 441x^2 - 4x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{441x^2 - x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{x^2(441 - x^4)}{(x^4+147)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x^2 = 0$ અથવા $x^4 = 441$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 = 21$ (કારણ કે $x > 0$),તેથી $x = \sqrt{21} \approx 4.58$.
જેમ કે $f(x)$ એ $x < \sqrt{21}$ માટે વધતું વિધેય છે અને $x > \sqrt{21}$ માટે ઘટતું વિધેય છે,તેથી શ્રેણી $a_n$ નું મહત્તમ પદ $\sqrt{21}$ ની નજીકની $n$ ની કિંમત પર મળશે.
આપણે $a_4$ અને $a_5$ ની સરખામણી કરીએ:
$a_4 = \frac{4^3}{4^4+147} = \frac{64}{256+147} = \frac{64}{403} \approx 0.1588$.
$a_5 = \frac{5^3}{5^4+147} = \frac{125}{625+147} = \frac{125}{772} \approx 0.1619$.
$a_5 > a_4$ હોવાથી,સૌથી મોટું પદ $n = 5$ પર મળે છે.

(B) ગણ $A = \{0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે. એકી સંખ્યાઓ $3$ છે $(\{3, 7, 9\})$ અને બેકી સંખ્યાઓ $5$ છે $(\{0, 4, 6, 8, 10\})$.
સંબંધ $R$ માં એવી જોડીઓ $(x, y)$ છે કે જ્યાં $x - y$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય અથવા $x - y = 2$ હોય.
$1$. $x - y$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય તેવી જોડીઓ: $x - y$ એકી હોવાથી એક સંખ્યા એકી અને બીજી બેકી હોવી જોઈએ. આવી $3 \times 5 = 15$ જોડીઓ છે જ્યાં $x > y$ છે.
$2$. $x - y = 2$ હોય તેવી જોડીઓ: આ જોડીઓ $(6, 4), (8, 6), (10, 8), (9, 7)$ છે. આવી $4$ જોડીઓ છે જ્યાં $x > y$ છે.
$R$ માં $x > y$ હોય તેવી કુલ જોડીઓ $15 + 4 = 19$ છે.
$R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ. હાલમાં તમામ $19$ જોડીઓ $x > y$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી તેમની સંમિત જોડીઓ $(y, x)$ જ્યાં $y < x$ છે,તે હાલમાં $R$ માં નથી.
તેથી,$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે આપણે $19$ ઘટકો ઉમેરવા પડશે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ મળે.
$dx$ અને $(2x \ln x)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{y}{2x \ln x}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{2x \ln x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{2x \ln x} dx}$ છે.
ધારો કે $\ln x = t$,તો $\frac{1}{x} dx = dt$. તેથી,$I$.$F$. $= e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t} = \sqrt{\ln x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx + C$ છે.
$y \sqrt{\ln x} = \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} dx$.
ધારો કે $\ln x = u^2$,તો $\frac{1}{x} dx = 2u du$. સંકલન $\int u \cdot 2u du = 2 \int u^2 du = \frac{2}{3} u^3 + C = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + C$ બને છે.
બિંદુ $(e, \frac{4}{3})$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{4}{3} \sqrt{\ln e} = \frac{2}{3} (\ln e)^{3/2} + C \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$.
તેથી,$y \sqrt{\ln x} = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + \frac{2}{3}$.
બિંદુ $(e^4, \alpha)$ માટે,$\alpha \sqrt{\ln e^4} = \frac{2}{3} (\ln e^4)^{3/2} + \frac{2}{3}$.
$\alpha \sqrt{4} = \frac{2}{3} (4)^{3/2} + \frac{2}{3} \Rightarrow 2\alpha = \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} = \frac{16+2}{3} = 6$.
તેથી,$\alpha = 3$.

(B) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ અને સમતલ $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ માટે:
$d_1 = \frac{|2(\frac{5}{2}) + 3(1) - 6(\lambda) + 7|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|5 + 3 - 6\lambda + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|15 - 6\lambda|}{7}$.
બિંદુ $(-2, 0, 1)$ અને સમતલ $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ માટે:
$d_2 = \frac{|2(-2) + 3(0) - 6(1) + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|-4 - 6 + 7|}{7} = \frac{|-3|}{7} = \frac{3}{7}$.
$d_1 = d_2$ હોવાથી,$\frac{|15 - 6\lambda|}{7} = \frac{3}{7}$,એટલે કે $|15 - 6\lambda| = 3$.
આના બે કિસ્સા મળે:
$15 - 6\lambda = 3 \Rightarrow 6\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 2$.
$15 - 6\lambda = -3 \Rightarrow 6\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda_1 > \lambda_2$ હોવાથી,$\lambda_1 = 3$ અને $\lambda_2 = 2$.
બિંદુ $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1) = (3 - 2, 2, 3) = (1, 2, 3)$ થાય.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ નું રેખા $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ થી અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ છે,જ્યાં $A(5, 1, -7)$ રેખા પરનું બિંદુ છે અને $\vec{v} = (1, 2, 2)$ દિશા સદિશ છે.
$\vec{AP} = (1 - 5, 2 - 1, 3 - (-7)) = (-4, 1, 10)$.
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -18\hat{i} + 18\hat{j} - 9\hat{k}$.
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-18)^2 + 18^2 + (-9)^2} = 27$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
$d = \frac{27}{3} = 9$.

(D) રેખા બિંદુ $A(1, 2, -5)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v} = \langle 1, -3, 7 \rangle$ છે. સમતલ બિંદુ $B(2, 4, -3)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
સદિશ $\vec{AB} = \langle 2-1, 4-2, -3-(-5) \rangle = \langle 1, 2, 2 \rangle$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -20\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 4, -1, -1 \rangle$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $4(x-1) - 1(y-2) - 1(z+5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y - z = 7$ થાય છે.
ધારો કે બિંદુ $Q(-1, 3, 4)$ છે. પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માટે,$\frac{\alpha+1}{4} = \frac{\beta-3}{-1} = \frac{\gamma-4}{-1} = -2 \frac{4(-1)-3-4-7}{16+1+1} = -2 \frac{-18}{18} = 2$.
તેથી,$\alpha+1 = 8 \implies \alpha = 7$,$\beta-3 = -2 \implies \beta = 1$,$\gamma-4 = -2 \implies \gamma = 2$.
$\alpha+\beta+\gamma = 7+1+2 = 10$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે શૂન્યેતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \sqrt{3} \\ -1 & \tan \theta & \sqrt{7} \\ 1 & 1 & \tan \theta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(\tan^2 \theta - \sqrt{7}) - 1(-\tan \theta - \sqrt{7}) + \sqrt{3}(-1 - \tan \theta) = 0$
$\tan^2 \theta - \sqrt{7} + \tan \theta + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan^2 \theta + (1 - \sqrt{3}) \tan \theta - \sqrt{3} = 0$
$(\tan \theta - \sqrt{3})(\tan \theta + 1) = 0$
આમ,$\tan \theta = \sqrt{3}$ અથવા $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ અને $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$.
$\tan \theta = -1$ અને $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે,$\theta = \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}$.
$S$ માંના તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta = \frac{120}{\pi} \times \frac{\pi}{6} = 20$.

(A) બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ: $\sum_{x=0}^{\infty} P(X = x) = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x} = 1$.
ધારો કે $S = 1 + 2(3^{-1}) + 3(3^{-2}) + 4(3^{-3}) + \ldots = \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x}$.
આ એક અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
$kS = 1$ હોવાથી,$k = \frac{4}{9}$.
આપણે $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = k(0 + 1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X = 1) = k(1 + 1)3^{-1} = 2k \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27}) = 1 - (\frac{12 + 8}{27}) = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}$.

(A) ધારો કે $I = \int \left( \left(\frac{x}{2}\right)^x + \left(\frac{2}{x}\right)^x \right) \log_2 x \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$.
ધારો કે $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x$. તો $\ln f(x) = x \ln \left(\frac{x}{2}\right) = x(\ln x - \ln 2)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot (\ln x - \ln 2) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x - \ln 2 + 1$.
તેથી $f'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x (\ln x - \ln 2 + 1)$.
આ સંકલનનો ઉકેલ $\left(\frac{x}{2}\right)^x + C$ મળે છે.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{BD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AC} = C - A = (-2-2, -3-1, 5-1) = (-4, -4, 4) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = D - B = (1-1, -6-2, -7-5) = (0, -8, -12) = 0\hat{i} - 8\hat{j} - 12\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 0 & -8 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-12) - (4)(-8)) - \hat{j}((-4)(-12) - (4)(0)) + \hat{k}((-4)(-8) - (-4)(0))$
$= \hat{i}(48 + 32) - \hat{j}(48 - 0) + \hat{k}(32 - 0)$
$= 80\hat{i} - 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{80^2 + (-48)^2 + 32^2} = \sqrt{6400 + 2304 + 1024} = \sqrt{9728}$.
$\sqrt{9728} = \sqrt{256 \times 38} = 16\sqrt{38}$.
અંતે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{38} = 8\sqrt{38}$ થાય.

(D) સમતલ $P: ax + y - z - b = 0$ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા $l$ ની દિશા $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ થાય.
$\cos \theta = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ થાય.
$\frac{|a - 2|}{\sqrt{3} \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ નું સાદું રૂપ આપતા $5a^2 + 12a + 4 = 0$ મળે,તેથી $a = -2$ ($a \in \mathbb{Z}$ હોવાથી).
બિંદુ $(6, -6, 4)$ થી સમતલનું અંતર $3\sqrt{6}$ છે,તેથી $\frac{|-22 - b|}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$ મળે.
$|-22 - b| = 18$ પરથી $b = -4$ અથવા $b = -40$ મળે.
$|a - b| \leq 10$ શરત મુજબ $b = -4$ યોગ્ય છે.
તેથી $a^4 + b^2 = (-2)^4 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$.

(C) સદિશો $\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{u}_3$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\left[\overrightarrow{u}_1 \overrightarrow{u}_2 \overrightarrow{u}_3\right] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ c & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(b-1) - 1(1-c) + a(1-bc) = 0$
$b - 1 - 1 + c + a - abc = 0 \Rightarrow abc = a + b + c - 2$ $(1)$
સદિશો $\overrightarrow{v}_1, \overrightarrow{v}_2, \overrightarrow{v}_3$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\left[\overrightarrow{v}_1 \overrightarrow{v}_2 \overrightarrow{v}_3\right] = \left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \\ a & b+c & a \\ b & b & c+a \end{array}\right| = 0$
$R_3 \rightarrow R_3 - (R_1 + R_2)$ લેતા:
$\left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \\ a & b+c & a \\ -2a & -2c & 0 \end{array}\right| = 0$
$R_3$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા: $-2a(ac - c(b+c)) + 2c(a(b+c) - ac) = 0$
$-2a(ac - bc - c^2) + 2c(ab + ac - ac) = 0$
$-2a^2c + 2abc + 2ac^2 + 2abc = 0$
$4abc - 2a^2c + 2ac^2 = 0 \Rightarrow 2abc - a^2c + ac^2 = 0$
આ સમીકરણ પરથી $abc = 0$ મળે છે.
$abc = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $0 = a + b + c - 2 \Rightarrow a + b + c = 2$
તેથી,$6(a + b + c) = 6(2) = 12$.