ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણ $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ નું બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}$ અસામાન્ય (singular) છે. તો $\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)} + \frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)} + \frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}$ ની કિંમત શોધો.

જો શ્રેણિક $A = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ અને $B = [b_{ij}]_{3 \times 3}$ હોય,જ્યાં દરેક $i, j$ માટે $a_{ij} + a_{ji} = 0$ અને $b_{ij} - b_{ji} = 0$ હોય,તો $A^4B^3$ એ:

ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $z^5=1$ ના ભિન્ન કાલ્પનિક બીજ છે. તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો: $\left| \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & e^{2\alpha} & e^{3\alpha+1} \\ e^{\beta} & e^{2\beta} & e^{3\beta+1} \\ e^{\gamma} & e^{2\gamma} & e^{3\gamma+1} \end{array} \right|$.

જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો હોય,તો $adj \,(AB)$ કોના બરાબર થાય :-

જો બહુપદી $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} (1+x)^{a} & (2+x)^{b} & 1 \\ 1 & (1+x)^{a} & (2+x)^{b} \\ (2+x)^{b} & 1 & (1+x)^{a} \end{array}\right|$ હોય,તો $f(x)$ નું અચળ પદ શોધો ($a$ અને $b$ ધન પૂર્ણાંકો છે).

ધારો કે સદિશો $x_{1}, x_{2}$ અને $x_{3}$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $Ax = b$ ના ઉકેલો છે,જ્યારે જમણી બાજુનો સદિશ $b$ અનુક્રમે $b_{1}, b_{2}$ અને $b_{3}$ બરાબર હોય. જો $x_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, b_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ અને $b_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક કેટલો થાય?