ધારો કે $f$ એ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x) > 0$ અને $f(x)+\int \limits_0^x f(t) \sqrt{1-\left(\log _e f(t)\right)^2} d t=e, \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. તો $\left(6 \log _{ e } f \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2$ ની કિંમત $.............$ છે.

કોઈ ચોક્કસ પદાર્થના દળના ઘટવાનો દર સમય $t$ પર તે ક્ષણે રહેલા દળના સમપ્રમાણમાં છે. મૂળ દળ $m_{0} \text{ gm}$ થી ઘટીને $m_{1} \text{ gm}$ થવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે? (જ્યાં $K$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.)

એક ઊભી નળાકાર ટાંકીના તળિયે વાલ્વ ખોલીને પાણી બહાર કાઢવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે પાણીના સ્તર ઘટવાનો દર પાણીની ઊંડાઈ $y$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે,જ્યાં પ્રમાણસરતાનો અચળાંક $k > 0$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ અને છિદ્રના ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે. જો $t$ મિનિટમાં માપવામાં આવે અને $k = \frac{1}{15}$ હોય,તો શરૂઆતમાં પાણી $4 \text{ m}$ ઊંડું હોય તો ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય .......... $\text{min}$ છે.

એક વક્રનું સમીકરણ,જેના કોઈપણ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ તેના યામ (ordinate) જેટલો જ હોય અને જે $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તે $2x = k(3 - y^2)$ છે. તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x+a}{y-2} = 0, y(1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવેલ બંધ વક્ર $C$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $4\pi$ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ વક્ર $C$ અને $y$-અક્ષના છેદબિંદુઓ છે. જો વક્ર $C$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબ $x$-અક્ષને અનુક્રમે $R$ અને $S$ બિંદુઓમાં છેદે,તો રેખાખંડ $RS$ ની લંબાઈ શોધો.

એક વસ્તી દર વર્ષે વસ્તીના $10 \%$ ના દરે વધે છે. વસ્તીને બમણી થવામાં કેટલો સમય લાગશે?