જો $f(x) = \frac{2^{2x}}{2^{2x} + 2}$,$x \in R$ હોય,તો $f\left(\frac{1}{2023}\right) + f\left(\frac{2}{2023}\right) + \dots + f\left(\frac{2022}{2023}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f: [\frac{1}{2}, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ને $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદે છે.
$(II)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને $x = \cos \frac{\pi}{12}$ પર છેદે છે.
તો:

ધારો કે $f:[0,2] \rightarrow R$ એ $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. જો $\alpha, \beta \in[0,2]$ એવા હોય કે જેથી $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$ થાય,તો $\beta-\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણો $A$ અને $B$ માટે,$f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in A$. નીચે આપેલી યાદીઓને જોડો:
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)} + \frac{2}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $R$ માં $f(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $f(x) = \sin \log x$ હોય,તો $f(xy) + f\left( \frac{x}{y} \right) - 2f(x) \cos \log y$ ની કિંમત કેટલી થાય?