$\sum \limits_{ r =0}^{22}{ }^{22} C _{ r }{ }^{23} C _{ r }$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

$\sum_{ r =0}^{6}\left({ }^{6} C _{ r }{ }^{-6} C _{6- r }\right)$ ની કિમંત મેળવો.

જો $^{20}{C_1} + \left( {{2^2}} \right){\,^{20}}{C_3} + \left( {{3^2}} \right){\,^{20}}{C_3} + \left( {{2^2}} \right) + ..... + \left( {{{20}^2}} \right){\,^{20}}{C_{20}} = A\left( {{2^\beta }} \right)$ થાય તો $(A, \beta )$ ની કિમત મેળવો. 

ધારો કે $(1+x)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{ r }$ નો દ્વિપદ્દી સહગગણક $C _{ r }$ વડે દર્શાવાય છે. જો $\alpha, \beta \in R$  માટે, $C _{1}+3 \cdot 2 C _{2}+5 \cdot 3 C _{3}+\ldots 10$ પદો સુધી = $\frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1}\left(C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots 10\right.$ પદો સુધી $)$, તો $\alpha+\beta$ ની કિમત ....... છે.

$^n{C_0} - \frac{1}{2}{\,^n}{C_1} + \frac{1}{3}{\,^n}{C_2} - ...... + {( - 1)^n}\frac{{^n{C_n}}}{{n + 1}} = $

જો $C_{x} \equiv^{25} C_{x}$ અને $\mathrm{C}_{0}+5 \cdot \mathrm{C}_{1}+9 \cdot \mathrm{C}_{2}+\ldots .+(101) \cdot \mathrm{C}_{25}=2^{25} \cdot \mathrm{k}$ હોય તો  $\mathrm{k}$ મેળવો.