JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $(e^{2x} - 4)(6e^{2x} - 5e^x + 1) = 0$
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $6e^{2x} - 5e^x + 1 = (3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
अतः समीकरण: $(e^{2x} - 4)(3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
तीन स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) e^{2x} = 4 \Rightarrow x = \ln 2$
$2) e^x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -\ln 3$
$3) e^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\ln 2$
वास्तविक मूलों का योग = $\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 = -\ln 3$.

(D) हमें $x, y > 0$ और $x^{3} y^{2} = 2^{15}$ दिया गया है।
हमें $3x + 2y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{x+x+x+y+y}{5} \geq \sqrt[5]{x^{3} y^{2}}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq (2^{15})^{1/5}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 2^{3}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 8$.
$3x + 2y \geq 40$.
अतः,$3x + 2y$ का न्यूनतम मान $40$ है।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = y'(X - x)$ है।
$x$-अक्ष के लिए,$Y = 0$ रखने पर,$X = x - \frac{y}{y'}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $Q$ $\left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$ है।
$y$-अक्ष रेखाखंड $PQ$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $PQ$ के मध्य बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$\frac{x + (x - \frac{y}{y'})}{2} = 0$ $\Rightarrow 2x - \frac{y}{y'} = 0$ $\Rightarrow y' = \frac{y}{2x}$.
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln(y) = \frac{1}{2} \ln(x) + C$,जो $y^2 = kx$ में बदल जाता है।
चूंकि वक्र $(3, 3)$ से गुजरता है,$3^2 = k(3) \Rightarrow k = 3$।
अतः,वक्र $y^2 = 3x$ है।
$y^2 = 4ax$ के साथ तुलना करने पर,$4a = 3$,इसलिए नाभिलंब की लंबाई $3$ है और नाभि $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ लें,जहाँ $b=2$ है। शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं। एक शीर्ष $(a, 0)$ लें।
अन्य दो शीर्ष $(-a \cos \theta, 2 \sin \theta)$ और $(-a \cos \theta, -2 \sin \theta)$ लें।
त्रिभुज का आधार $4 \sin \theta$ और ऊँचाई $a + a \cos \theta = a(1 + \cos \theta)$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (4 \sin \theta) \times a(1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta (1 + \cos \theta)$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$f(\theta) = \sin \theta (1 + \cos \theta)$ लें।
$f'(\theta) = 2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$।
चूँकि $\theta \neq \pi$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिससे $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$A_{\max} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = 4$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
शीर्षों $A(1, \alpha)$,$B(\alpha, 0)$ और $C(0, \alpha)$ को रखने पर:
$\frac{1}{2} |1(0 - \alpha) + \alpha(\alpha - \alpha) + 0(\alpha - 0)| = 4$
$\frac{1}{2} |-\alpha| = 4 \Rightarrow |\alpha| = 8 \Rightarrow \alpha = \pm 8$.
यदि $\alpha = 8$ है,तो बिंदु $(8, -8)$,$(-8, 8)$ और $(64, \beta)$ हैं।
चूंकि ये बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए।
$(8, -8)$ और $(-8, 8)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{8 - (-8)}{-8 - 8} = \frac{16}{-16} = -1$ है।
रेखा का समीकरण $y - 8 = -1(x + 8) \Rightarrow y = -x$ है।
बिंदु $(64, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\beta = -64$।
यदि $\alpha = -8$ लिया जाए,तो भी वही रेखा $y = -x$ प्राप्त होती है,इसलिए $\beta = -64$।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{4} \cos ^{2} 2 x$.
सर्वसमिका $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$ रखने पर:
$\frac{1}{4} - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$4$ से गुणा करने पर:
$1 - 4 \sin^2 x = \cos^2 2x$.
$1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x$ का उपयोग करने पर,$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ प्राप्त होता है:
$1 - 2(1 - \cos 2x) = \cos^2 2x$.
$1 - 2 + 2 \cos 2x = \cos^2 2x$.
$\cos^2 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0$.
$(\cos 2x - 1)^2 = 0$.
$\cos 2x = 1$.
$2x = 2n\pi \implies x = n\pi$.
$x \in [-3\pi, 3\pi]$ के लिए,$n$ के मान $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
अतः,कुल $7$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) माना कि दिया गया कथन $P \rightarrow B$ है,जहाँ $P = (A \wedge C)$ है।
यह कथन $(A \wedge C) \rightarrow B$ है।
एक निहितार्थ $P \rightarrow Q$ का निषेध $P \wedge (\sim Q)$ होता है।
यहाँ,$P = (A \wedge C)$ और $Q = B$ है।
अतः,निषेध $(A \wedge C) \wedge (\sim B)$ है।

(C) प्रतिबंध $|z-3| \leq 1$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $1$ है और केंद्र $(3, 0)$ है।
प्रतिबंध $z(4+3i) + \bar{z}(4-3i) \leq 24$ को $z = x + iy$ प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है:
$8x - 6y \leq 24 \Rightarrow 4x - 3y \leq 12$.
हमें $S$ क्षेत्र में $(0, 4)$ के सबसे निकट बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करना है।
रेखा $4x - 3y = 12$,$(3, 0)$ और $(0, -4)$ से गुजरती है।
$(0, 4)$ और $(3, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $4x + 3y = 12$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x + 3y = 12$
$(x-3)^2 + y^2 = 1$
हल करने पर $y = \frac{4}{5}$ और $x = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \frac{12}{5}$ और $\beta = \frac{4}{5}$ है।
$25(\alpha + \beta) = 25(\frac{12}{5} + \frac{4}{5}) = 80$।

(C) दिए गए अंक $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$ हैं। अंकों का योग $31$ है।
$7$ अंकों की संख्या $abcdefg$ के लिए,विषम स्थानों के अंकों का योग $O$ और सम स्थानों के अंकों का योग $E$ है,तो $O - E$ को $11$ का गुणज होना चाहिए।
$O + E = 31$ और $O - E = 11k$ लेने पर,$O - E = 11$ या $-11$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $O = 21$ और $E = 10$। $E$ के लिए संभव समुच्चय $\{1, 2, 7\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3, 5\}$ हैं। कुल संख्या $= 3 \times 3! \times 4! = 432$।
स्थिति $2$: $O = 10$ और $E = 21$। $E$ के लिए संभव समुच्चय $\{5, 7, 9\}$ है। कुल संख्या $= 1 \times 3! \times 4! = 144$।
कुल संख्या $= 432 + 144 = 576$।

(B) हमें उन सभी $\alpha \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ का योग ज्ञात करना है जिनके लिए $\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ है।
चूंकि $24 = 2^3 \times 3$,$\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ का अर्थ है कि $\alpha$,$2$ और $3$ से विभाज्य नहीं है।
$1$ से $100$ तक की सभी संख्याओं का योग: $S(100) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.
$2$ के गुणजों का योग: $2550$.
$3$ के गुणजों का योग: $1683$.
$6$ के गुणजों का योग: $816$.
अभीष्ट योग $= 5050 - (2550 + 1683 - 816) = 5050 - 3417 = 1633$.

(B) दिया गया योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$r=3$ और $n=2022$ पद हैं।
योग $S = \frac{1(3^{2022}-1)}{3-1} = \frac{3^{2022}-1}{2}$.
हम $3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011} = (10-1)^{1011}$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(10-1)^{1011} = 100k - 10111$.
अतः,$S = \frac{100k - 10111 - 1}{2} = 50k - 5056$.
$S = 50(k-102) + 4$.
अतः,शेषफल $4$ है।

(D) चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को $(1, 0)$ पर स्पर्श करता है,वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, r)$ है और त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $(1, r)$ से रेखा $x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1 + r|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|r + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा $PQ$ की लंबाई $2$ है,इसलिए आधी लंबाई $1$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$r^{2} = d^{2} + 1^{2}$।
$d$ का मान रखने पर,$r^{2} = \left(\frac{r + 1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + 1$।
$r^{2} = \frac{(r + 1)^{2}}{2} + 1$।
$2r^{2} = r^{2} + 2r + 1 + 2$।
$r^{2} - 2r - 3 = 0$।
$(r - 3)(r + 1) = 0$।
चूंकि $r > 0$,इसलिए $r = 3$।
अतः,$h = 1$,$k = 3$,और $r = 3$।
$h + k + r = 1 + 3 + 3 = 7$।

(A) अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $LR_H = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{a} = \frac{2}{a}$ है।
दीर्घवृत्त $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है। नाभिलंब की लंबाई $LR_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3)}{2} = 3$ है।
दिया गया है कि $LR_H = LR_E$,इसलिए $\frac{2}{a} = 3$,जिसका अर्थ है $a = \frac{2}{3}$।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{(2/3)^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ है। अतः,$e_H^2 = \frac{13}{4}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$e_E^2 = \frac{1}{4}$।
अंत में,$12(e_H^2 + e_E^2) = 12(\frac{13}{4} + \frac{1}{4}) = 12(\frac{14}{4}) = 3 \times 14 = 42$।

(A) परवलय $P_{1}$ का अक्ष शीर्ष $(3,2)$ और नाभि $(4,4)$ से होकर गुजरता है। अक्ष की ढाल $m = \frac{4-2}{4-3} = 2$ है।
चूंकि अक्ष नियता के लंबवत है,इसलिए नियता की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
अतः,नियता का समीकरण $x + 2y = k$ के रूप का है।
शीर्ष $(3,2)$ से नियता की दूरी,शीर्ष से नाभि की दूरी के बराबर होती है,जो $a = \sqrt{(4-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ है।
बिंदु $(3,2)$ से रेखा $x + 2y - k = 0$ तक की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{|3 + 2(2) - k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{5} \implies |7 - k| = 5$.
इससे $7 - k = 5 \implies k = 2$ या $7 - k = -5 \implies k = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि नाभि $(4,4)$ समीकरण $4 + 2(4) = 12$ को संतुष्ट करती है,इसलिए रेखा $x + 2y = 12$ नाभि से होकर गुजरती है और यह नियता नहीं हो सकती। अतः,$P_{1}$ की नियता $x + 2y = 2$ है।
मान लीजिए परावर्तन की रेखा $L: x + 2y = 6$ है। रेखा $x + 2y = 2$ का $x + 2y = 6$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि रेखाएं समानांतर हैं।
यदि रेखा $x + 2y = c$,रेखा $x + 2y = 2$ का $x + 2y = 6$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,तो $6$,$2$ और $c$ का समांतर माध्य है:
$\frac{2 + c}{2} = 6 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10$.
इसलिए,$P_{2}$ की नियता $x + 2y = 10$ है।

(D) समुच्चय $A$ सम्मिश्र तल में $z_0 = 1 + i$ केंद्र और $r_1 = 1$ तथा $r_2 = 2$ त्रिज्या वाला एक वलयाकार क्षेत्र (annulus) दर्शाता है।
समुच्चय $B$ उन बिंदुओं $z$ से बना है जो इस वलयाकार क्षेत्र $A$ के भीतर स्थित हैं और समीकरण $|z - (1 - i)| = 1$ को संतुष्ट करते हैं। यह समीकरण $z_1 = 1 - i$ केंद्र और $r = 1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
केंद्रों $z_0 = 1 + i$ और $z_1 = 1 - i$ के बीच की दूरी:
$|z_0 - z_1| = |(1 + i) - (1 - i)| = |2i| = 2$ है।
$B$ को परिभाषित करने वाले वृत्त की त्रिज्या $1$ है। इस वृत्त पर स्थित बिंदु केंद्र $(1, -1)$ से $1$ की दूरी पर हैं।
बिंदु $z = 1$ पर विचार करें।
$z = 1$ के लिए,$|z - (1 + i)| = |1 - 1 - i| = |-i| = 1$,अतः $z = 1$ क्षेत्र $A$ की आंतरिक सीमा पर है।
साथ ही,$|z - (1 - i)| = |1 - 1 + i| = |i| = 1$,अतः $z = 1$ वृत्त $B$ पर स्थित है।
इस प्रकार,$z = 1$ समुच्चय $B$ में है।
चूंकि वृत्त $|z - (1 - i)| = 1$ का चाप क्षेत्र $A$ के भीतर स्थित है,इसलिए $B$ में अनंत बिंदु हैं।

(D) हमें $3^{2022}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
$3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011}$.
हम $9$ को $(10 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$9^{1011} = (10 - 1)^{1011}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(10 - 1)^{1011} = \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k} 10^{1011-k} (-1)^k$.
इसे $10 \cdot N - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $N$ एक पूर्णांक है।
$10 \cdot N - 1 = 10 \cdot N - 5 + 4 = 5(2N - 1) + 4$.
अतः,$3^{2022}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल $4$ है।

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ बिंदु $(0,6)$ से गुजरता है,अतः $6B+C=-36$ (समीकरण $1$)।
परवलय $y=x^{2}$ के लिए $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4x-y-4=0$ है (समीकरण $2$)।
वृत्त के लिए $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(4+A)x+(8+B)y+(2A+4B+2C)=0$ है (समीकरण $3$)।
चूंकि दोनों स्पर्श रेखाएं समान हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+4B=-36$ (समीकरण $4$) और $3A+4B+2C=-4$ (समीकरण $5$)।
समीकरण $5$ में से समीकरण $4$ घटाने पर:
$2A+2C=32$,अतः $A+C=16$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} + \lambda x - 1 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{\lambda}{3}$ और $\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ है।
मूलों के व्युत्क्रमों के वर्गों का योग $\frac{1}{\alpha^{2}} + \frac{1}{\beta^{2}} = 15$ दिया गया है।
इसे सरल करने पर $\frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^{2}} = 15$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{(-\lambda/3)^{2} - 2(-1/3)}{(-1/3)^{2}} = 15$.
$\frac{\lambda^{2}/9 + 2/3}{1/9} = 15 \implies \lambda^{2} + 6 = 15 \implies \lambda^{2} = 9$.
अब,$6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta) = (-\frac{\lambda}{3})(\frac{\lambda^{2}}{9} + 1)$.
चूँकि $\lambda^{2} = 9$,$\alpha^{3} + \beta^{3} = (-\frac{\lambda}{3})(1 + 1) = -\frac{2\lambda}{3}$.
अतः $6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2} = 6(-\frac{2\lambda}{3})^{2} = 6(\frac{4 \times 9}{9}) = 24$.

(B) समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$d=1$ दिया गया है,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)] = 192$.
$2a_1 + n - 1 = \frac{384}{n} \quad \dots(1)$
पद $a_{2i}$ का अनुक्रम $a_2, a_4, \dots, a_n$ है। यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = a_1 + 1$ और सार्व अंतर $2d = 2$ है।
पदों की संख्या $n/2$ है।
$\sum_{i=1}^{n/2} a_{2i} = \frac{n/2}{2}[2(a_1+1) + (n/2 - 1)2] = 120$.
$\frac{n}{4}[2a_1 + 2 + n - 2] = 120 \Rightarrow \frac{n}{4}[2a_1 + n] = 120$.
$2a_1 + n = \frac{480}{n} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ से $(1)$ को घटाने पर:
$(2a_1 + n) - (2a_1 + n - 1) = \frac{480}{n} - \frac{384}{n}$.
$1 = \frac{96}{n}$.
$n = 96$.

(D) दिया गया अतिपरवलय $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{(b/a)^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{A^{2}} - \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ है।
यहाँ,रेखा $\lambda x - 2y = \mu$ है,जिसे $y = \frac{\lambda}{2}x - \frac{\mu}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = \frac{\lambda}{2}$ और $c = -\frac{\mu}{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ और $B^{2} = b^{2}$ है।
शर्त $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ में मान रखने पर:
$(-\frac{\mu}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}(\frac{\lambda}{2})^{2} - b^{2}$
$\frac{\mu^{2}}{4} = \frac{b^{2}\lambda^{2}}{4a^{2}} - b^{2}$
$\frac{4}{b^{2}}$ से गुणा करने पर:
$\frac{\mu^{2}}{b^{2}} = \frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - \frac{\mu^{2}}{b^{2}} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \theta \tan \theta + \tan \theta = \sin 2 \theta$
$\tan \theta (\sin \theta + 1) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$
स्थिति $1$: $\tan \theta = 0 \implies \theta = 0, \pi, -\pi$ (चूंकि $\theta \in [-\pi, \pi]$).
स्थिति $2$: $\sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta = 2(1 - \sin^2 \theta) = 2(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)$.
यदि $\sin \theta = -1$ है,तो $\theta = -\frac{\pi}{2}$,जिसे हटा दिया गया है।
यदि $\sin \theta \neq -1$ है,तो $1 = 2(1 - \sin \theta) \implies 1 = 2 - 2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
समुच्चय $S = \{0, \pi, -\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \}$,इसलिए $n(S) = 5$.
$T = \sum_{\theta \in S} \cos 2 \theta = \cos(0) + \cos(2\pi) + \cos(-2\pi) + \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{5\pi}{3})$
$T = 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4$.
अतः,$T + n(S) = 4 + 5 = 9$.

(B) माना कथन $S$ है: $(p \Delta q) \Rightarrow ((p \Delta \sim q) \vee ((\sim p) \Delta q))$।
प्रत्येक संकारक (operator) के लिए जाँच करने पर:
$1$. यदि $\Delta = \wedge$ है,तो यह पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. यदि $\Delta = \vee$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow (T) = T$,जो एक पुनरुक्ति है।
$3$. यदि $\Delta = \Rightarrow$ है,तो यह सभी सत्यता मानों के लिए पुनरुक्ति सिद्ध होता है।
$4$. यदि $\Delta = \Leftrightarrow$ है,तो यह पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,कुल $2$ विकल्प संभव हैं: $\vee$ और $\Rightarrow$.

(B) मान लीजिए $x_i$ $i$-वें प्रश्न में प्राप्त अंक हैं,जहाँ $x_i \in \{3, -2, 0\}$ है।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $\sum_{i=1}^{5} x_i = 5$ हो।
मान लीजिए $n_1$ सही उत्तरों की संख्या,$n_2$ गलत उत्तरों की संख्या और $n_3$ अनुत्तरित प्रश्नों की संख्या है।
हमें $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $3n_1 - 2n_2 = 5$ प्राप्त होता है।
$n_1 = 3$ और $n_2 = 2$ लेने पर,$n_3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,छात्र के पास $3$ सही और $2$ गलत उत्तर होने चाहिए।
सही प्रश्नों को चुनने के तरीके $\binom{5}{3} = 10$ हैं।
प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $2$ गलत विकल्प उपलब्ध हैं,इसलिए $2^2 = 4$ तरीके।
कुल तरीकों की संख्या = $10 \times 4 = 40$।

(B) दिया गया है $A = \left(\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$.
$y$-अक्ष में $A$ का प्रतिबिंब $B = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$ है।
$x$-अक्ष में $B$ का प्रतिबिंब $C = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, -\sqrt{a}\right)$ है।
$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल सारणिक विधि से:
$\text{Area} = 3\sqrt{a} |\cos \theta - \sin \theta|$
चौथे चतुर्थांश में $\cos \theta - \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।
अतः,$3\sqrt{a} \cdot \sqrt{2} = 12$.
$\sqrt{2a} = 4 \implies 2a = 16 \implies a = 8$.

(C) बिंदु $(\alpha, \beta)$ दीर्घवृत्त $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ पर स्थित है,अतः $\alpha = \frac{1}{5} \cos \theta$ और $\beta = \frac{1}{2} \sin \theta$ है।
परवलय $y^{2} = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
यह $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,अतः $m^{2}\alpha - m\beta + 1 = 0$ है।
माना ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं जहाँ $m_{1} = 4m_{2}$ है।
समीकरण से $m_{1} + m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{1}{\alpha}$ है।
$m_{1} = 4m_{2}$ रखने पर,$5m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ और $4m_{2}^{2} = \frac{1}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः $4\beta^{2} = 25\alpha$ है। $\alpha$ और $\beta$ का मान रखने पर $\sin^{2} \theta = 5 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$1 - \cos^{2} \theta = 5 \cos \theta \Rightarrow \cos^{2} \theta + 5 \cos \theta - 1 = 0$ है।
$\cos \theta = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$ है।
$10\alpha + 5 = \pm \sqrt{29}$,अतः $(10\alpha + 5)^{2} = 29$ है।
$16\beta^{2} + 50 = \pm 10\sqrt{29}$,अतः $(16\beta^{2} + 50)^{2} = 2900$ है।
कुल योग $29 + 2900 = 2929$ है।

(B) सबसे पहले,समुच्चय $A$ के लिए हल करें: $|x + 1| < 2 \implies -2 < x + 1 < 2 \implies -3 < x < 1$. अतः,$A = (-3, 1)$.
इसके बाद,समुच्चय $B$ के लिए हल करें: $|x - 1| \geq 2 \implies x - 1 \leq -2$ या $x - 1 \geq 2 \implies x \leq -1$ या $x \geq 3$. अतः,$B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$A - B = (-3, 1) - ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-1, 1)$. यह सत्य है।
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) - (-3, 1) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty) = R - (-3, 3)$. कथन $B - A = R - (-3, 1)$ असत्य है।
$A \cap B = (-3, 1) \cap ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-3, -1]$. यह सत्य है।
$A \cup B = (-3, 1) \cup (-\infty, -1] \cup [3, \infty) = (-\infty, 1) \cup [3, \infty) = R - [1, 3)$. यह सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह विकल्प $B$ है।

(B) समीकरण $ax^{2}-2bx+15=0$ के लिए,क्योंकि इसका एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है,इसलिए विविक्तकर शून्य होगा:
$D = (-2b)^{2} - 4(a)(15) = 0 \implies 4b^{2} = 60a \implies b^{2} = 15a$.
साथ ही,मूल $\alpha = -\frac{-2b}{2a} = \frac{b}{a}$ है।
$\alpha = \frac{b}{a}$ में $a = \frac{b^{2}}{15}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha = \frac{b}{b^{2}/15} = \frac{15}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ समीकरण $x^{2}-2bx+21=0$ का एक मूल है,इसलिए:
$(\frac{15}{b})^{2} - 2b(\frac{15}{b}) + 21 = 0$
$\frac{225}{b^{2}} - 30 + 21 = 0 \implies \frac{225}{b^{2}} = 9 \implies b^{2} = 25$.
समीकरण $x^{2}-2bx+21=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = 2b$ और गुणनफल $\alpha\beta = 21$ है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$ ज्ञात करना है।
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (2b)^{2} - 2(21) = 4b^{2} - 42$.
$b^{2} = 25$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = 4(25) - 42 = 100 - 42 = 58$.

(C) दिया गया है $\overline{z}_{1} = i \overline{z}_{2}$। दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$z_{1} = -i z_{2}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\arg \left( \frac{-i z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$।
तर्कों के गुणों का उपयोग करते हुए,$\arg(-i) + \arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$।
हम जानते हैं कि $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$ और $\arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = 2\theta$,जहाँ $\theta = \arg(z_{2})$ है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} + 2\theta = \pi$,जिससे $2\theta = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है,अर्थात $\theta = \frac{3\pi}{4}$।
अब,$z_{1} = -i z_{2} = |z_{2}| e^{i(\theta - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i(3\pi/4 - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i\pi/4}$।
इस प्रकार,$\arg(z_{1}) = \frac{\pi}{4}$।

(A) माना $L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x (\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} - \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2})$.
सीमा के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x \cdot \frac{(2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4) - (\sin^{2} x + 6 \sin x + 2)}{\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} + \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2}}$
$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x \cdot \frac{\sin^{2} x - 3 \sin x + 2}{\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} + \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2}}$
जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$\sin x \rightarrow 1$. हर $\sqrt{2+3+4} + \sqrt{1+6+2} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 6$ की ओर अग्रसर है।
$L = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x (\sin x - 1)(\sin x - 2)$
चूँकि $\sin x - 2 \rightarrow -1$ जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,अतः:
$L = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} (\sin x - 1)(-1) = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2} x (1 - \sin x)}{1 - \sin^{2} x}$
$L = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2} x (1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{12}$.

(A) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (5+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{5+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$S = \frac{(5+x)^{500} \left[ 1 - \left( \frac{x}{5+x} \right)^{501} \right]}{1 - \frac{x}{5+x}} = \frac{(5+x)^{501} - x^{501}}{5}$
हमें $\frac{1}{5} [(5+x)^{501} - x^{501}]$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(5+x)^{501}$ के विस्तार में $x^{101}$ वाला पद $^{501}C_{101} (5)^{400} x^{101}$ है।
अतः,व्यंजक में $x^{101}$ का गुणांक $\frac{1}{5} \times ^{501}C_{101} (5)^{400} = ^{501}C_{101} (5)^{399}$ है।

(B) माना $S = 1 \cdot 3^{0} + 2 \cdot 3^{1} + 3 \cdot 3^{2} + \dots + 10 \cdot 3^{9}$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3S = 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + \dots + 9 \cdot 3^{9} + 10 \cdot 3^{10}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - 3S = 1 \cdot 3^{0} + (2-1) \cdot 3^{1} + (3-2) \cdot 3^{2} + \dots + (10-9) \cdot 3^{9} - 10 \cdot 3^{10}$।
$-2S = (1 + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{9}) - 10 \cdot 3^{10}$।
कोष्ठक में दिया गया योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$r=3$ और $n=10$ पद हैं।
$-2S = \frac{1(3^{10} - 1)}{3 - 1} - 10 \cdot 3^{10}$।
$-2S = \frac{3^{10} - 1}{2} - 10 \cdot 3^{10}$।
$-2S = \frac{3^{10} - 1 - 20 \cdot 3^{10}}{2} = \frac{-19 \cdot 3^{10} - 1}{2}$।
$S = \frac{19 \cdot 3^{10} + 1}{4}$।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष $(x=0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h|$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x+y=0$ को भी स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x+y=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$r = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,$|h| = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^{2} = \frac{(h+k)^{2}}{2}$.
$2h^{2} = h^{2} + k^{2} + 2hk$.
$h^{2} - k^{2} = 2hk$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $x^{2}-y^{2}=2xy$ है।

(D) हमारे पास व्यंजक $2 \sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ})$ है।
सर्वसमिका $\sin(C) - \sin(D) = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \sin(12^{\circ}) + (\sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ}))$
$= \sin(12^{\circ}) - 2 \cos(42^{\circ}) \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$= \sin(12^{\circ}) - \cos(42^{\circ})$
$= \sin(12^{\circ}) - \sin(48^{\circ})$
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos(30^{\circ}) \sin(-18^{\circ}) = -2 \cos(30^{\circ}) \sin(18^{\circ})$
मान रखने पर:
$= -2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{4}$

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $S = ((\sim q) \wedge p) \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S \equiv \sim((\sim q) \wedge p) \vee ((\sim p) \vee q)$.
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim((\sim q) \wedge p) \equiv q \vee (\sim p)$.
अतः,$S \equiv (q \vee \sim p) \vee (\sim p \vee q) \equiv \sim p \vee q$.
हम जानते हैं कि $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$.
इसलिए,व्यंजक का निषेध $\sim(p \Rightarrow q)$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y = x - x^{2}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - 2x$ द्वारा दी जाती है। $x = \alpha$ पर,ढाल $1 - 2\alpha$ है।
रेखा $y = kx + 4$,$A(0, 4)$ और $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ से गुजरती है।
रेखा $AP$ की ढाल $\frac{(\alpha - \alpha^{2}) - 4}{\alpha - 0} = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $1 - 2\alpha = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$.
$\alpha(1 - 2\alpha) = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha - 2\alpha^{2} = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha^{2} = 4 \Rightarrow \alpha = \pm 2$.
चूंकि $k > 0$,ढाल $1 - 2\alpha$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $1 - 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha < \frac{1}{2}$। अतः,$\alpha = -2$ है।
बिंदु $P$ का मान $(-2, -2 - (-2)^{2}) = (-2, -6)$ है।
परवलय $y = -(x^{2} - x) = -(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ का शीर्ष $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ है।
$P(-2, -6)$ और $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $\frac{\frac{1}{4} - (-6)}{\frac{1}{2} - (-2)} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{25}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{2}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ है,जिसे $x^{2}+2y^{2}=4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y=x+1$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^{2}+2(x+1)^{2}=4$
$x^{2}+2(x^{2}+2x+1)=4$
$3x^{2}+4x-2=0$.
माना मूल $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। तब $|x_{1}-x_{2}| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{16 - 4(3)(-2)}}{3} = \frac{\sqrt{40}}{3}$.
जीवा $PQ$ की लंबाई $PQ = |x_{1}-x_{2}| \sqrt{1+m^{2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ रेखा $y=x+1$ की ढाल $m=1$ है।
$PQ = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{1+1^{2}} = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{80}}{3}$.
चूँकि $PQ$ वृत्त का व्यास है,$2r = PQ = \frac{\sqrt{80}}{3}$,इसलिए $r = \frac{\sqrt{80}}{6}$.
अतः,$(3r)^{2} = 9r^{2} = 9 \times \frac{80}{36} = \frac{80}{4} = 20$.

(D) व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r 2^{10-r} 3^r x^{30-4r}$ है।
धनात्मक सम घातों के लिए $30-4r > 0$ और $30-4r$ सम होना चाहिए,अतः $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$।
कुल योग $5^{10}$ में से $r=8, 9, 10$ के पदों को घटाने पर,हमें $\beta \cdot 3^9$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर $\beta = 83$ प्राप्त होता है।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
विषम $n$ के लिए,प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{n^2-1}{4n}$ होता है।
दिया गया है कि माध्य विचलन $\frac{5(n+1)}{n}$ है,इसलिए:
$\frac{n^2-1}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
चूंकि $n^2-1 = (n-1)(n+1)$,इसलिए:
$\frac{(n-1)(n+1)}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
दोनों पक्षों को $\frac{n+1}{n}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n-1}{4} = 5$.
$n-1 = 20$.
$n = 21$.

(C) तीन अंकों की संख्या जिसमें एक अंक ठीक दो बार दोहराया गया हो,उसके लिए स्थितियाँ:
स्थिति $1$: दोहराया गया अंक $0$ हो।
संख्या $x00$ के रूप में होनी चाहिए,जहाँ $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$। अतः,$9$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
स्थिति $2$: दोहराया गया अंक $0$ के अलावा हो $(d \in \{1, 2, \dots, 9\})$।
$d$ के लिए $9$ विकल्प और अन्य अंकों के लिए गणना करने पर कुल $234$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
कुल संख्या $= 9 + 234 = 243$।

(B) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$,इसलिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{25}{16}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{16}$ $\Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$.
बिंदु $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{64}{5a^{2}} - \frac{144}{25b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^{2} = \frac{64}{25}$ और $b^{2} = \frac{36}{25}$ प्राप्त होता है.
$(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ है.
मान रखने पर: $8\sqrt{5}x + 15y = 100$ प्राप्त होता है.
$8\sqrt{5}x + \beta y = \lambda$ से तुलना करने पर,$\beta = 15$ और $\lambda = 100$ प्राप्त होता है.
अतः,$\lambda - \beta = 100 - 15 = 85$.

(C) रेखाएँ $L_{1}: 4x - 3y + K_{1} = 0$ और $L_{2}: 4x - 3y + K_{2} = 0$ हैं।
चूँकि $L_{1}$,$(-1, 2)$ से गुजरती है,$4(-1) - 3(2) + K_{1} = 0 \Rightarrow K_{1} = 10$ है।
चूँकि $L_{2}$,$(3, -6)$ से गुजरती है,$4(3) - 3(-6) + K_{2} = 0 \Rightarrow K_{2} = -30$ है।
समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी व्यास $2r = \frac{|10 - (-30)|}{5} = 8$ है,इसलिए $r = 4$ है।
केंद्र $(-1, 2)$ और $(3, -6)$ का मध्यबिंदु है,जो $(1, -2)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ है।

(A) दिया गया है $\frac{a+b}{7} = \frac{b+c}{8} = \frac{c+a}{9} = \lambda$.
अतः $a+b = 7\lambda$,$b+c = 8\lambda$,और $c+a = 9\lambda$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 24\lambda$,जिससे $a+b+c = 12\lambda$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों से $c = 5\lambda$,$a = 4\lambda$,और $b = 3\lambda$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a^2 + b^2 = (4\lambda)^2 + (3\lambda)^2 = 25\lambda^2 = c^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2} = \frac{5\lambda}{2}$ और अंतःत्रिज्या $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{4\lambda+3\lambda-5\lambda}{2} = \lambda$ होती है।
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{5\lambda/2}{\lambda} = \frac{5}{2}$.

(C) दिया गया है कि कथन $p \rightarrow ((\sim p) \vee q)$ का मान $FALSE$ है।
एक प्रतिबंधन $A \rightarrow B$ केवल तब $FALSE$ होता है जब $A$ $TRUE$ हो और $B$ $FALSE$ हो।
इसलिए,$p$ को $TRUE$ होना चाहिए और $((\sim p) \vee q)$ को $FALSE$ होना चाहिए।
चूंकि $p$ $TRUE$ है,इसलिए $\sim p$ $FALSE$ है।
$(\sim p \vee q)$ को $FALSE$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $FALSE$ होना चाहिए। अतः,$q$ $FALSE$ है।
अब,$p = TRUE, q = FALSE$ के लिए $P_1$ और $P_2$ का मूल्यांकन करें:
$P_1 = \sim(p$ $\rightarrow \sim q) = \sim(T$ $\rightarrow \sim F) = \sim(T$ $\rightarrow T) = \sim(T) = FALSE$.
$P_2 = (p \wedge \sim q) \wedge ((\sim p) \vee q) = (T \wedge \sim F) \wedge ((\sim T) \vee F) = (T \wedge T) \wedge (F \vee F) = T \wedge F = FALSE$.
अतः,$P_1$ और $P_2$ दोनों $FALSE$ हैं।

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{2^n \cdot 3^{11-n}} = \frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$.
दोनों पक्षों को $2^{10} \cdot 3^{10}$ से गुणा करने पर,$K = \sum_{n=1}^{10} 2^{10-n} \cdot 3^{n-1} = 3^0 \cdot 2^9 + 3^1 \cdot 2^8 + \ldots + 3^9 \cdot 2^0$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 2^9$,सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ और पदों की संख्या $n = 10$ है।
$K = \frac{2^9 ((\frac{3}{2})^{10} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3^{10} - 2^{10}$.
अब,$K = 3^{10} - 2^{10} = (3^5 - 2^5)(3^5 + 2^5) = (211)(275)$.
$211 \equiv 1 \pmod{6}$ और $275 \equiv 5 \pmod{6}$.
अतः,$K \equiv 1 \times 5 \equiv 5 \pmod{6}$.
इस प्रकार,शेषफल $5$ है।

(D) दिया गया शांकव $x=2t, y=\frac{t^2}{3}$ है। $x$ का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 4t^2$ प्राप्त होता है। चूँकि $y = \frac{t^2}{3}$,इसलिए $t^2 = 3y$। अतः,$x^2 = 4(3y) = 12y$। यह एक परवलय है जिसकी नाभि $S(0, 3)$ है।
दिया गया है कि $SA \perp BA$,इसलिए $SA$ और $BA$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$SA$ की प्रवणता $= \frac{\frac{t^2}{3} - 3}{2t - 0} = \frac{t^2 - 9}{6t}$।
$BA$ की प्रवणता $= \frac{\frac{t^2}{3} - \alpha}{2t - 0} = \frac{t^2 - 3\alpha}{6t}$।
चूँकि $SA \perp BA$,$\left(\frac{t^2 - 9}{6t}\right) \cdot \left(\frac{t^2 - 3\alpha}{6t}\right) = -1$।
$(t^2 - 9)(t^2 - 3\alpha) = -36t^2$।
$t^4 - 3\alpha t^2 - 9t^2 + 27\alpha = -36t^2$।
$27\alpha - 3\alpha t^2 = -36t^2 - t^4 + 9t^2 = -27t^2 - t^4$।
$3\alpha(9 - t^2) = -(27t^2 + t^4)$।
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$।
$\Delta SAB$ के शीर्ष $S(0, 3)$,$A(2t, \frac{t^2}{3})$,और $B(0, \alpha)$ हैं,इसलिए इसके केंद्रक की कोटि $k = \frac{3 + \frac{t^2}{3} + \alpha}{3} = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{\alpha}{3}$ है।
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\alpha}{3} = \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)}$ प्राप्त होता है।
$k = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9(t^2 - 9) + t^2(t^2 - 9) + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9t^2 - 81 + t^4 - 9t^2 + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{2t^4 + 27t^2 - 81}{9(t^2 - 9)}$।
जैसे ही $t \rightarrow 1$,$k \rightarrow \frac{2(1)^4 + 27(1)^2 - 81}{9(1^2 - 9)} = \frac{2 + 27 - 81}{9(-8)} = \frac{-52}{-72} = \frac{13}{18}$।

(B) बिंदु $A(3, 4)$,$B(4, 3)$ और $C(0, 5)$ हैं।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है।
रेखाखंड $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{3-5}{4-0} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $z(x, y)$ और $z_{1}(3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ होगी।
इस रेखा का समीकरण $y - 4 = 2(x - 3)$ अर्थात $y = 2x - 2$ है।
वृत्त के समीकरण में $y = 2x - 2$ रखने पर:
$x^2 + (2x - 2)^2 = 25$
$5x^2 - 8x - 21 = 0$
$(5x + 7)(x - 3) = 0$.
चूंकि $z \neq z_{1}$,इसलिए $x = -7/5$ प्राप्त होता है।
अतः $y = -24/5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) - \pi$।

(D) $LHS$ श्रेणी का सामान्य पद $(2r-1)r C_{r}$ है।
योग $= \sum_{r=1}^{10} (2r^2-r) C_{r} = 2 \sum_{r=1}^{10} r^2 C_{r} - \sum_{r=1}^{10} r C_{r}$.
$n=10$ के लिए $r C_{r} = n C_{r-1}$ और $r^2 C_{r} = n(n-1) C_{r-2} + n C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$LHS$ $= 2 \sum_{r=1}^{10} (10 \cdot 9 C_{r-2} + 10 C_{r-1}) - \sum_{r=1}^{10} 10 C_{r-1}$.
$= 180 \sum_{r=2}^{10} C_{r-2} + 20 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1} - 10 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1}$.
$= 180(2^8) + 10(2^9) = 51200$.
$RHS$ श्रेणी $\sum_{r=0}^{9} \frac{C_{r}}{r+1} = \frac{1}{11} (2^{10}-1)$ है।
तुलना करने पर,$\alpha=25$ और $\beta=11$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha+\beta = 36$ (नोट: विकल्प संशोधित किए गए हैं)।

(A) माना $3$-$digit$ की संख्या $xyz$ है,जहाँ $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$,$y \in \{0, 1, \dots, 9\}$,और $z \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ है।
हमें $x + y + z = 7k$ चाहिए।
योग $S = x + y + z$ का मान $7, 14, 21$ हो सकता है।
प्रत्येक $z$ के लिए संभव मानों की गणना करने पर,कुल संख्या $63$ प्राप्त होती है।

(D) मान लीजिए बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ हैं।
भुज $x_{1}, x_{2}$ समीकरण $2x^{2}-rx+p=0$ के मूल हैं,इसलिए $x_{1}+x_{2} = \frac{r}{2}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{p}{2}$ है।
कोटियाँ $y_{1}, y_{2}$ समीकरण $y^{2}-sy-q=0$ के मूल हैं,इसलिए $y_{1}+y_{2} = s$ और $y_{1}y_{2} = -q$ है।
$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ होता है।
$x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$.
मान रखने पर: $x^{2} - \frac{r}{2}x + \frac{p}{2} + y^{2} - sy - q = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2(x^{2}+y^{2}) - rx - 2sy + p - 2q = 0$.
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $2(x^{2}+y^{2}) - 11x - 14y - 22 = 0$ से करने पर:
$r = 11$,$2s = 14 \implies s = 7$,और $p-2q = -22$.
हमें $2r+s-2q+p = 2(11) + 7 + (-22) = 22 + 7 - 22 = 7$ का मान ज्ञात करना है।

(B) दी गई संक्रिया $x * y = x^{2} + y^{3}$ है।
सबसे पहले,$(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:
$(x * 1) = x^{2} + 1^{3} = x^{2} + 1$.
अतः,$(x * 1) * 1 = (x^{2} + 1) * 1 = (x^{2} + 1)^{2} + 1^{3} = (x^{2} + 1)^{2} + 1$.
अब,$x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:
$(1 * 1) = 1^{2} + 1^{3} = 2$.
अतः,$x * (1 * 1) = x * 2 = x^{2} + 2^{3} = x^{2} + 8$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$(x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + 2x^{2} + 1 + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$.
माना $t = x^{2}$,तो $t^{2} + t - 6 = 0$,जिसके गुणनखंड $(t + 3)(t - 2) = 0$ हैं।
चूँकि $x^{2} = t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x^{2} = 2$.
अब $x^{2} = 2$ को $2 \sin^{-1}\left(\frac{x^{4} + x^{2} - 2}{x^{4} + x^{2} + 2}\right)$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^{4} = (x^{2})^{2} = 2^{2} = 4$.
व्यंजक $= 2 \sin^{-1}\left(\frac{4 + 2 - 2}{4 + 2 + 2}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{8}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
चूँकि $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए मान $2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(2-0) - 1(6-1) + \alpha(0-1) = 2 - 5 - \alpha = -\alpha - 3$ है।
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,इसलिए $\alpha \neq -3$ है।
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए:
$x^{*} = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{2(2-0) - 1(8-1) + \alpha(0-1)}{-(\alpha+3)} = \frac{4-7-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$y^{*} = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(8-1) - 2(6-1) + \alpha(3-4)}{-(\alpha+3)} = \frac{7-10-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$z^{*} = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(1-0) - 1(3-4) + 2(0-1)}{-(\alpha+3)} = 0$.
अतः,$(x^{*}, y^{*}, z^{*}) = (1, 1, 0)$ है।
बिंदु $(\alpha, 1), (1, \alpha)$ और $(1, -1)$ हैं।
चूंकि वे संरेख हैं,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होगा:
$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha+1) - 1(1-1) + 1(-1-\alpha) = 0$.
$\alpha^2 + \alpha - 1 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
दोनों मान $\alpha \neq -3$ को संतुष्ट करते हैं। निरपेक्ष मानों का योग $|1| + |-1| = 1 + 1 = 2$ है।

(C) $x \in (-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $f(x) = \frac{\sin(x+2)}{x+2}$।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 0$। $x \in [0, 1)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 2x$।
इस प्रकार,$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x+2)}{x+2} & , x \in (-2, -1) \\ 0 & , x \in (-1, 0) \\ 2x & , x \in [0, 1) \\ 1 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$।
सांतत्य की जाँच:
$x = -1$ पर: $f(-1^+) = 0$,$f(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} \frac{\sin(x+2)}{x+2} = \sin(1) \neq 0$। असंतत है।
$x = 0$ पर: $f(0^-) = 0$,$f(0^+) = 0$,$f(0) = 0$। संतत है।
$x = 1$ पर: $f(1^-) = 2(1) = 2$,$f(1^+) = 1$। असंतत है।
अतः,$m = 2$ (बिंदु $x = -1, 1$)।
अवकलनीयता की जाँच:
$x = -1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f'(0^-) = 0$,$f'(0^+) = 2$। अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
अतः,$n = 3$ (बिंदु $x = -1, 0, 1$)।
क्रमित युग्म $(2, 3)$ है।

(D) माना $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{-x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} \right) \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.
चूंकि $\frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} = 1$,इसलिए:
$2I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.
चूंकि फलन सम है,$2I = 2 \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$,अतः $I = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{\sec^6 x dx}{\tan^6 x + 1} = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{(1+\tan^2 x)^2 \sec^2 x dx}{\tan^6 x + 1}$.
माना $\tan x = t$,तो $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1+2t^2+t^4}{t^6+1} dt$.
इस समाकलन का मान $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए व्यंजक को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n \left(1+(\frac{r}{n})^{2}\right)(1+\frac{r}{n})}$.
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^{2})(1+x)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(1+x^{2})(1+x)} = \frac{1}{2(1+x)} - \frac{x-1}{2(1+x^{2})}$.
अतः,समाकलन $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{1+x^{2}} dx$ हो जाता है।
$= \frac{1}{2} [\ln(1+x)]_{0}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) - \tan^{-1} x]_{0}^{1}$.
$= \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \ln 2$.

(D) माना $f(x) = x^{7}-7x$. हमें $f(x) = 2$ के वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करनी है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 7x^{6}-7 = 7(x^{6}-1) = 7(x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = 1^{7}-7(1) = 1-7 = -6$.
$f(-1) = (-1)^{7}-7(-1) = -1+7 = 6$.
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
फलन $(-\infty, -1)$ पर बढ़ता है,$(-1, 1)$ पर घटता है,और $(1, \infty)$ पर बढ़ता है।
चूंकि $f(-1) = 6 > 2$ और $f(1) = -6 < 2$,क्षैतिज रेखा $y = 2$,$f(x)$ के ग्राफ को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटती है।
अतः,$3$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(A) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। अतः,$k + 2k + 4k + 6k + 8k = 1$,जिससे $21k = 1$ या $k = \frac{1}{21}$ प्राप्त होता है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(1 < X < 4 \mid X \leq 2)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करने पर:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P((1 < X < 4) \cap (X \leq 2))}{P(X \leq 2)}$।
सर्वनिष्ठ $(1 < X < 4) \cap (X \leq 2)$ घटना $X = 2$ है।
अतः,$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P(X = 2)}{P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}$।
तालिका से मान रखने पर:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{4k}{k + 2k + 4k} = \frac{4k}{7k} = \frac{4}{7}$।

(A) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = (1, 2, 3)$,$\vec{a}_2 = (2, 4, 5)$,$\vec{b}_1 = (2, 3, \lambda)$,और $\vec{b}_2 = (1, 4, 5)$ है।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15 - 4\lambda + 2\lambda - 20 + 10 = 5 - 2\lambda$ है।
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 25} = \sqrt{225 + 16\lambda^2 - 120\lambda + \lambda^2 - 20\lambda + 100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2 - 140\lambda + 350}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2 - 140\lambda + 350}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3(5-2\lambda)^2 = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350$ प्राप्त होता है।
$3(25 - 20\lambda + 4\lambda^2) = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350 \implies 75 - 60\lambda + 12\lambda^2 = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350$ है।
$5\lambda^2 - 80\lambda + 275 = 0 \implies \lambda^2 - 16\lambda + 55 = 0$ है।
$(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,इसलिए $\lambda = 5$ या $\lambda = 11$ है।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $5 + 11 = 16$ है।

(C) समतल $P$ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक समतल है,जहाँ $A(-4, 2, 1)$ और $B(2, -2, 3)$ हैं।
समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$ सदिश $\vec{AB} = (2 - (-4))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (3 - 1)\hat{k} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
$AB$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (-1, 0, 2)$ है।
समतल $P$ का समीकरण $3(x + 1) - 2(y - 0) + 1(z - 2) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $3x - 2y + z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
दूसरा समतल $P': 2x + y + 3z - 1 = 0$ है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \left| \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिया गया है $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$। चूंकि $(\hat{a}+\hat{b}) \perp (\hat{a} \times \hat{b})$,इसलिए $|\hat{a}+\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = 4$ है।
$|\hat{a}+\hat{b}|^2 = 2+2\cos\theta$ और $|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$2+2\cos\theta + 4(1-\cos^2\theta) = 4$
$2+2\cos\theta + 4 - 4\cos^2\theta = 4$
$4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 2 = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$।
$(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1) = 0$।
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\cos\theta = -\frac{1}{2}$,अतः $\theta = \frac{2\pi}{3}$।
$(S_{1})$ के लिए: $2|\hat{a} \times \hat{b}| = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$।
$|\hat{a}-\hat{b}| = \sqrt{1+1-2\cos(\frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2-2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{3}$। अतः $(S_{1})$ सत्य है।
$(S_{2})$ के लिए: $(\hat{a}+\hat{b})$ पर $\hat{a}$ का प्रक्षेप $\frac{\hat{a} \cdot (\hat{a}+\hat{b})}{|\hat{a}+\hat{b}|} = \frac{1+\cos\theta}{\sqrt{2+2\cos\theta}} = \frac{1-\frac{1}{2}}{\sqrt{2-1}} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$। अतः $(S_{2})$ सत्य है।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}(\sec x^3 - \tan x^3)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \sin x^3}{\cos x^3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x^3)}{\sin(\frac{\pi}{2} - x^3)}\right)$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2})\right)$.
चूंकि $\frac{\pi}{2} < x^3 < \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{x^3}{2} < -\frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{4}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2} < 0$.
अतः,$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^2 = -\frac{3}{2}x^2$.
$y'' = -\frac{3}{2} \cdot 2x = -3x$.
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$ से,हमारे पास $x^3 = \frac{\pi}{2} - 2y$ है।
साथ ही,$x^2 = -\frac{2}{3} y'$.
$y'' = -3x$ में $x^2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 y'' = x^2 (-3x) = -3x^3 = -3(\frac{\pi}{2} - 2y) = -\frac{3\pi}{2} + 6y$.
इसलिए,$x^2 y'' - 6y + \frac{3\pi}{2} = 0$.

(D) अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy} = \frac{x^2}{xy - x^2y^2 - 1}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy = -xy dx + x^2y^2 dx + dx$ प्राप्त होता है।
$x^2 dy + xy dx = (x^2y^2 + 1) dx$.
$x(x dy + y dx) = (x^2y^2 + 1) dx$.
$x d(xy) = (1 + (xy)^2) dx$.
दोनों पक्षों को $x(1 + (xy)^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{d(xy)}{1 + (xy)^2} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\tan^{-1}(xy) = \ln(x) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\tan^{-1}(1) = \ln(1) + C$,जिससे $C = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}(xy) = \ln(x) + \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$xy = \tan\left(\ln(x) + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \tan(\ln x)}{1 - \tan(\ln x)}$।
$x = e$ के लिए,$e \cdot y(e) = \frac{1 + \tan(1)}{1 - \tan(1)}$।

(D) दिया गया है $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.
फलन $f_{\lambda}(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए वर्धमान होने के लिए,$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$f_{\lambda}^{\prime}(x) = 12\lambda x^{2} - 72\lambda x + 36$.
$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ रखने पर,$12(\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3) \geq 0$,अर्थात $\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3 \geq 0$.
इस द्विघात समीकरण के सभी $x$ के लिए अऋणात्मक होने के लिए,$\lambda > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (-6\lambda)^{2} - 4(\lambda)(3) = 36\lambda^{2} - 12\lambda \leq 0$.
$12\lambda(3\lambda - 1) \leq 0$,जिससे $\lambda \in [0, 1/3]$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\lambda > 0$,सबसे बड़ा मान $\lambda^{*} = 1/3$ है।
अब,$f_{\lambda^{*}}(x) = \frac{4}{3}x^{3} - 12x^{2} + 36x + 48$.
$f_{\lambda^{*}}(1) = \frac{4}{3} - 12 + 36 + 48 = \frac{220}{3}$.
$f_{\lambda^{*}}(-1) = -\frac{4}{3} - 12 - 36 + 48 = -\frac{4}{3}$.
$f_{\lambda^{*}}(1) + f_{\lambda^{*}}(-1) = \frac{220}{3} - \frac{4}{3} = \frac{216}{3} = 72$.

(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -a + ab \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$।
सभी $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ के लिए $A^{n(n+1)} = I$ की शर्त को पूरा करने के लिए,हम $A^{n(n+1)} = I$ की जाँच करते हैं।
यदि $b = 1$ है,तो $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n \ge 1$ के लिए $n(n+1)$ हमेशा सम संख्या होती है,इसलिए $A^{n(n+1)} = (A^2)^{\frac{n(n+1)}{2}} = I^{\frac{n(n+1)}{2}} = I$।
अतः,यदि $b = 1$ है,तो $A \in T_n$ सभी $n$ के लिए सत्य है।
यदि $b \neq 1$ है,तो $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a(b-1) \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$।
$A^{n(n+1)} = I$ के लिए,हमें $b^{n(n+1)} = 1$ और ऊपरी दाएँ अवयव को $0$ होने की आवश्यकता है।
चूँकि $b \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ है,$b^{n(n+1)} = 1$ का अर्थ है $b = 1$ (क्योंकि $b > 0$)।
इसलिए,केवल $b = 1$ वाले आव्यूह ही सभी $n$ के लिए इस शर्त को पूरा करते हैं।
$b = 1$ के साथ,$a$ का मान $\{1, 2, \ldots, 100\}$ में से कुछ भी हो सकता है।
ऐसे कुल $100$ अवयव हैं।

(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=2x$ और $x+y=4$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$x=4-y$।
इसे परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y^{2}=2(4-y) \implies y^{2}=8-2y \implies y^{2}+2y-8=0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y+4)(y-2)=0$,अतः $y=-4$ और $y=2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(8, -4)$ और $(2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-4}^{2} [(4-y) - \frac{y^{2}}{2}] dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $\left[ 4y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{6} \right]_{-4}^{2}$।
सीमाओं पर मान रखने पर: $\left( 4(2) - \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{6} \right) - \left( 4(-4) - \frac{(-4)^{2}}{2} - \frac{(-4)^{3}}{6} \right)$।
$= (8 - 2 - \frac{4}{3}) - (-16 - 8 + \frac{32}{3}) = (6 - \frac{4}{3}) - (-24 + \frac{32}{3}) = \frac{14}{3} - (\frac{-72+32}{3}) = \frac{14}{3} + \frac{40}{3} = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाई।

(D) माना $S_1$ उन $4$ प्रश्नों का समूह है जिनकी सफलता की प्रायिकता $p_1 = \frac{3}{4}$ है और $S_2$ उन $6$ प्रश्नों का समूह है जिनकी सफलता की प्रायिकता $p_2 = \frac{1}{4}$ है।
ठीक $8$ प्रश्न सही प्राप्त करने के लिए,हम निम्नलिखित स्थितियों $(x, y)$ पर विचार करते हैं जहाँ $x$,$S_1$ से सही उत्तरों की संख्या है और $y$,$S_2$ से सही उत्तरों की संख्या है,ताकि $x+y=8$ हो:
स्थिति $1$: $x=4, y=4$. प्रायिकता $= \binom{4}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^0 \times \binom{6}{4} (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^2 = \frac{10935}{4^{10}}$.
स्थिति $2$: $x=3, y=5$. प्रायिकता $= \binom{4}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^1 \times \binom{6}{5} (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^1 = \frac{1944}{4^{10}}$.
स्थिति $3$: $x=2, y=6$. प्रायिकता $= \binom{4}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^2 \times \binom{6}{6} (\frac{1}{4})^6 (\frac{3}{4})^0 = \frac{54}{4^{10}}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{10935 + 1944 + 54}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$.
दिया गया है कि $\frac{27k}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$,इसलिए $27k = 12933 \Rightarrow k = 479$.

(A) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल एक स्थिर दर से बढ़ रहा है,इसलिए $\frac{dS}{dt} = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $S = kt + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$S = 4 \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \pi r^2 = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$,इसलिए $4 \pi (3)^2 = k(0) + C \Rightarrow C = 36 \pi$।
$t = 5$ पर,$r = 7$,इसलिए $4 \pi (7)^2 = k(5) + 36 \pi \Rightarrow 196 \pi = 5k + 36 \pi \Rightarrow 5k = 160 \pi \Rightarrow k = 32 \pi$।
अतः,समीकरण $4 \pi r^2 = 32 \pi t + 36 \pi$ बन जाता है।
$4 \pi$ से भाग देने पर,हमें $r^2 = 8t + 9$ प्राप्त होता है।
$t = 9$ के लिए,$r^2 = 8(9) + 9 = 72 + 9 = 81$।
इसलिए,$r = \sqrt{81} = 9$ इकाई।

(C) माना $E_1$ बैग $A$ को चुनने की घटना है और $E_2$ बैग $B$ को चुनने की घटना है।
$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
माना $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंदें $1$ लाल और $1$ काली हैं।
बैग $A$ के लिए (कुल $6$ गेंदें: $2W, 1B, 3R$): $P(A|E_1) = \frac{{}^3C_1 \times {}^1C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{1}{5}$.
बैग $B$ के लिए (कुल $n+5$ गेंदें: $nW, 3B, 2R$): $P(A|E_2) = \frac{{}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^{n+5}C_2} = \frac{6}{\frac{(n+5)(n+4)}{2}} = \frac{12}{(n+5)(n+4)}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{6}{11}$.
$\frac{1/10}{1/10 + 6/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11} \Rightarrow \frac{1}{1 + 60/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11}$.
$11 = 6 + \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow 5 = \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow (n+5)(n+4) = 72$.
$(n+5)(n+4) = 9 \times 8 \Rightarrow n+4 = 8 \Rightarrow n = 4$.

(B) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=\alpha$
$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$
$x+3 \alpha y+5 z=4$
एक रैखिक समीकरण निकाय असंगत होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_1, D_2, D_3)$ में से कम से कम एक शून्य न हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & 2\alpha & 3 \\ 1 & 3\alpha & 5 \end{vmatrix}$
$D = 1(10\alpha - 9\alpha) - 1(5\alpha - 3) + 1(3\alpha^2 - 2\alpha)$
$D = \alpha - 5\alpha + 3 + 3\alpha^2 - 2\alpha = 3\alpha^2 - 6\alpha + 3 = 3(\alpha - 1)^2$
$D = 0$ रखने पर,$3(\alpha - 1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।
अब,$\alpha = 1$ के लिए $D_1$ की जाँच करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
$D_1 = 1(10 - 9) - 1(-5 - 12) + 1(-3 - 8)$
$D_1 = 1(1) - 1(-17) + 1(-11) = 1 + 17 - 11 = 7$
चूंकि $\alpha = 1$ के लिए $D = 0$ और $D_1 \neq 0$ है,इसलिए निकाय असंगत है।
अतः,$\alpha$ का केवल $1$ मान है जिसके लिए निकाय असंगत है।

(A) माना $f(x) = (\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
माना $u = \tan^{-1} x$. तब $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
अब,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$.
चूंकि $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ का परिसर $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ है।
दिया गया है कि $f(x) = k \pi^3$,इसलिए $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$।

(B) समुच्चय $S$ में $1$ से $50$ तक की विषम पूर्णांक संख्याओं के वर्गमूल शामिल हैं। अतः,$S = \{\sqrt{1}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$। $S$ में पदों की संख्या $25$ है।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,सारणिक $|A| = 1(1 - 0) - 0 + a(0 - (-a)) = 1 + a^2$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = (1 + a^2)^2$।
हमें $\sum_{a \in S} (1 + a^2)^2$ की गणना करनी है। चूँकि $a = \sqrt{n}$,इसलिए $a^2 = n$ है। योग $\sum_{n \in \{1, 3, \dots, 49\}} (1 + n)^2$ हो जाता है।
मान लीजिए $n = 2k - 1$ जहाँ $k = 1, 2, \dots, 25$ है। तो $1 + n = 1 + 2k - 1 = 2k$ होगा।
योग $\sum_{k=1}^{25} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{25} k^2$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $4 \times \frac{25(26)(51)}{6} = 4 \times 25 \times 13 \times 17 = 22100$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\sum \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$,इसलिए $22100 = 100 \lambda$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 221$।

(C) दिया गया है $f(x) = 4 \log_{e}(x-1) - 2x^2 + 4x + 5$ जहाँ $x > 1$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{4}{x-1} - 4(x-1)$.
$1 < x < 2$ के लिए,$(x-1) < 1$,इसलिए $\frac{4}{x-1} > 4$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$. अतः,$f$ अंतराल $(1, 2)$ में वर्धमान है।
$x > 2$ के लिए,$(x-1) > 1$,इसलिए $\frac{4}{x-1} < 4$,जिसका अर्थ है $f'(x) < 0$. अतः,$f$ अंतराल $(2, \infty)$ में ह्रासमान है। (विकल्प $A$ सही है)।
चूंकि $f$ अंतराल $(1, 2)$ में बढ़ता है और $x=2$ पर अधिकतम मान $f(2) = 5$ प्राप्त करता है,और $(2, \infty)$ में घटता है,इसलिए $f(x) = -1$ के ठीक दो हल हैं। (विकल्प $B$ सही है)।
$f(e)$ और $f(e+1)$ की जाँच करें:
$f(e) > 0$ और $f(e+1) < 0$ होने के कारण,अंतराल $(e, e+1)$ में एक मूल स्थित है। (विकल्प $D$ सही है)।
$f'(e) - f''(2)$ की गणना करें:
$f'(e) = \frac{4}{e-1} - 4(e-1) \approx -4.54$.
$f''(x) = -\frac{4}{(x-1)^2} - 4$,इसलिए $f''(2) = -8$.
$f'(e) - f''(2) = -4.54 - (-8) = 3.46 > 0$.
अतः,$f'(e) - f''(2) < 0$ गलत है। (विकल्प $C$ गलत है)।

(D) दिया गया वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 6x$ है।
अतः,$(x_{1}, y_{1})$ पर ढाल $m = 3x_{1}^{2} + 6x_{1}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(x - x_{1})$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए:
$0 - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(0 - x_{1})$
$-y_{1} = -3x_{1}^{3} - 6x_{1}^{2} \implies y_{1} = 3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} \quad (1)$.
चूंकि $(x_{1}, y_{1})$ वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ पर स्थित है:
$y_{1} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5 \quad (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5$
$2x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} - 5 = 0$.
यहाँ $x_{1} = 1$ एक हल है।
अतः,$y_{1} = 3(1)^{3} + 6(1)^{2} = 9$.
इस प्रकार,बिंदु $(1, 9)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{1}{3} - (9)^{2} = \frac{1}{3} - 81 \neq 2$.
इसलिए,$(1, 9)$ वक्र $\frac{x}{3} - y^{2} = 2$ पर स्थित नहीं है।

(B) दिया गया है $f(x) = |2x^2 + 3x - 2| + \sin x \cos x = |(2x-1)(x+2)| + \frac{1}{2} \sin(2x)$.
अंतराल $[0, 1]$ में,$2x-1$ का मान $x = 1/2$ पर चिन्ह बदलता है। चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x+2 > 0$ है,हमारे पास है:
$f(x) = \begin{cases} -(2x^2 + 3x - 2) + \frac{1}{2} \sin(2x), & 0 \leq x < 1/2 \\ (2x^2 + 3x - 2) + \frac{1}{2} \sin(2x), & 1/2 \leq x \leq 1 \end{cases}$.
$0 \leq x < 1/2$ के लिए,$f'(x) = -(4x+3) + \cos(2x)$। चूंकि $4x+3 > 3$ और $\cos(2x) \leq 1$ है,इसलिए $f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$1/2 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = 4x+3 + \cos(2x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
इस प्रकार,निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = 1/2$ पर प्राप्त होता है: $f(1/2) = |0| + \frac{1}{2} \sin(1) = \frac{1}{2} \sin(1)$.
निरपेक्ष अधिकतम मान अंत बिंदुओं $x=0$ या $x=1$ पर प्राप्त होता है।
$f(0) = |-2| + 0 = 2$.
$f(1) = |2+3-2| + \frac{1}{2} \sin(2) = 3 + \frac{1}{2} \sin(2)$.
$f(0)=2$ और $f(1)=3 + \frac{1}{2} \sin(2)$ की तुलना करने पर,चूंकि $\sin(2) > 0$,इसलिए $f(1) > f(0)$।
निरपेक्ष अधिकतम मान $3 + \frac{1}{2} \sin(2) = 3 + \sin(1) \cos(1)$ है।
योग = $f(1/2) + f(1) = \frac{1}{2} \sin(1) + 3 + \sin(1) \cos(1) = 3 + \frac{1}{2} \sin(1) (1 + 2 \cos(1))$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ है।
$y$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = y^{2}(y+1)e^{y}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = \frac{1}{y^{2}}$ है।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y^{2}(y+1)e^{y} \cdot \frac{1}{y^{2}} dy = \int (y+1)e^{y} dy$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int (y+1)e^{y} dy = (y+1)e^{y} - \int e^{y} dy = (y+1)e^{y} - e^{y} + C = ye^{y} + C$.
अतः,$\frac{x}{y^{2}} = ye^{y} + C$,जिसका अर्थ है $x = y^{3}e^{y} + Cy^{2}$.
चूँकि $x(1) = 0$ दिया गया है,$0 = (1)^{3}e^{1} + C(1)^{2} \Rightarrow C = -e$.
इस प्रकार,हल $x = y^{3}e^{y} - ey^{2}$ है।
$x(e)$ के लिए,$y = e$ रखने पर: $x(e) = e^{3}e^{e} - ee^{2} = e^{3}e^{e} - e^{3} = e^{3}(e^{e}-1)$.

(C) दिया गया है कि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$ है।
दिया है $\hat{b} = \vec{c} + 2(\vec{c} \times \hat{a})$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\hat{b}|^{2} = |\vec{c} + 2(\vec{c} \times \hat{a})|^{2}$
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c} \times \hat{a}|^{2} + 4\vec{c} \cdot (\vec{c} \times \hat{a})$
चूँकि $\vec{c} \cdot (\vec{c} \times \hat{a}) = 0$ क्योंकि क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{c}$ के लंबवत होता है,इसलिए:
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} |\hat{a}|^{2} \sin^{2}(\frac{\pi}{12})$
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} (1) \sin^{2}(\frac{\pi}{12})$
$\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{2}(\frac{\pi}{12}) = \frac{6+2-2\sqrt{12}}{16} = \frac{8-4\sqrt{3}}{16} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$।
$1 = |\vec{c}|^{2} [1 + 4(\frac{2-\sqrt{3}}{4})] = |\vec{c}|^{2} (1 + 2 - \sqrt{3}) = |\vec{c}|^{2} (3 - \sqrt{3})$।
$|\vec{c}|^{2} = \frac{1}{3-\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{9-3} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}$।
अतः,$|6\vec{c}|^{2} = 36|\vec{c}|^{2} = 36 \times \frac{3+\sqrt{3}}{6} = 6(3+\sqrt{3})$।

(A) दिया गया है $n = 33$,मान लीजिए सफलता की प्रायिकता $p$ है और $q = 1 - p$ है।
दिया गया है $3P(X=0) = P(X=1)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$3 \cdot {}^{33}C_{0} p^{0} q^{33} = {}^{33}C_{1} p^{1} q^{32}$
$3q = 33p \implies q = 11p$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p + 11p = 1 \implies 12p = 1 \implies p = \frac{1}{12}$ और $q = \frac{11}{12}$।
अतः,$\frac{q}{p} = 11$।
अब,व्यंजक $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} - \frac{P(X=16)}{P(X=17)}$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{P(X=k)}{P(X=n-k)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2k}$ का उपयोग करते हुए:
प्रथम पद के लिए: $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{18-15} = \left(\frac{q}{p}\right)^3 = 11^3 = 1331$।
दूसरे पद के लिए: $\frac{P(X=16)}{P(X=17)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{17-16} = \left(\frac{q}{p}\right)^1 = 11$।
अतः,मान $1331 - 11 = 1320$ है।

(D) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए: $-1 \leq \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} \leq 1$.
$\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} - 1 \leq 0$ को हल करने पर $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} - 1 \leq 0 \implies \frac{x-2}{x+3} - 1 \leq 0 \implies \frac{-5}{x+3} \leq 0 \implies x+3 > 0 \implies x > -3$.
$\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} + 1 \geq 0$ को हल करने पर $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} + 1 \geq 0 \implies \frac{x-2}{x+3} + 1 \geq 0 \implies \frac{2x+1}{x+3} \geq 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.
प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $x \in [-\frac{1}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है (जहाँ $x=3$ को छोड़कर).
$2$. $\log_{e}$ का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^{2}-3x+2 > 0 \implies (x-1)(x-2) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log_{e}(x^{2}-3x+2) \neq 0 \implies x^{2}-3x+2 \neq 1 \implies x^{2}-3x+1 \neq 0 \implies x \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in [-\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty) - \{\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\}$.

(B) दिया गया समीकरण $2f(a) + 3f(c) = f(b) - f(d)$ है।
माना $S = \{0, 1, 2, \dots, 10\}$ है। हमें ऐसे एक-एक फलनों $f$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f(b) - f(d) = 2f(a) + 3f(c)$ हो।
चूंकि $f$ एक-एक है,इसलिए $f(a), f(b), f(c), f(d)$ को $S$ के भिन्न अवयव होना चाहिए।
$X = 2f(a) + 3f(c)$ लें। चूंकि $f(a), f(c) \in S$ और $f(a) \neq f(c)$,$X$ के संभावित मानों की गणना करने पर,प्रत्येक युग्म $(f(a), f(c))$ के लिए हमें ऐसे भिन्न $f(b), f(d) \in S \setminus \{f(a), f(c)\}$ खोजने होंगे ताकि $f(b) - f(d) = X$ हो।
इन सभी संभावनाओं का योग करने पर कुल $31$ एक-एक फलन प्राप्त होते हैं।

(D) मान लीजिए पहली रेखा पर बिंदु $A$ $(3\lambda+7, -\lambda+1, \lambda-2)$ है और दूसरी रेखा पर बिंदु $B$ $(2\mu, 3\mu+7, \mu)$ है।
रेखा $AB$ के दिक-अनुपात $(2\mu - (3\lambda+7), 3\mu+7 - (-\lambda+1), \mu - (\lambda-2))$ हैं,जो सरल होकर $(2\mu - 3\lambda - 7, 3\mu + \lambda + 6, \mu - \lambda + 2)$ हो जाते हैं।
चूंकि रेखा $AB$ के दिक-अनुपात $1, -4, 2$ दिए गए हैं,इसलिए:
$\frac{2\mu - 3\lambda - 7}{1} = \frac{3\mu + \lambda + 6}{-4} = \frac{\mu - \lambda + 2}{2} = k$
पहले और दूसरे अनुपात से:
$-8\mu + 12\lambda + 28 = 3\mu + \lambda + 6 \implies 11\lambda - 11\mu = -22 \implies \lambda - \mu = -2 \implies \mu = \lambda + 2$.
दूसरे और तीसरे अनुपात से:
$6\mu + 2\lambda + 12 = -4\mu + 4\lambda - 8 \implies 10\mu - 2\lambda = -20 \implies 5\mu - \lambda = -10$.
$\mu = \lambda + 2$ को $5\mu - \lambda = -10$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(\lambda + 2) - \lambda = -10 \implies 4\lambda + 10 = -10 \implies 4\lambda = -20 \implies \lambda = -5$.
अतः $\mu = -5 + 2 = -3$.
$A$ के निर्देशांक: $(3(-5)+7, -(-5)+1, -5-2) = (-8, 6, -7)$.
$B$ के निर्देशांक: $(2(-3), 3(-3)+7, -3) = (-6, -2, -3)$.
$(AB)^2 = (-6 - (-8))^2 + (-2 - 6)^2 + (-3 - (-7))^2 = (2)^2 + (-8)^2 + (4)^2 = 4 + 64 + 16 = 84$.

(A) असंततता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम संक्रमण बिंदुओं और उन बिंदुओं की जाँच करते हैं जहाँ आंतरिक फलन असंतत हैं।
$1$. $x \leq -1$ के लिए,$f(x) = |2x^2 - 3x - 7|$ एक सतत फलन है।
$x = -1$ पर,$f(-1) = 2$ है।
$2$. $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) = [4x^2 - 1]$। फलन $[u]$ तब असंतत होता है जब $u$ एक पूर्णांक हो। अतः $4x^2 - 1 = k$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$।
$x^2 = \frac{k+1}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{k+1}}{2}$।
$-1 < x < 1$ के लिए,$4x^2 - 1$ का मान $[-1, 3)$ में है। $k$ के संभावित मान $-1, 0, 1, 2$ हैं।
ये बिंदु $0, \pm 1/2, \pm 1/\sqrt{2}, \pm \sqrt{3}/2$ हैं। कुल $7$ बिंदु।
$3$. $x = 1$ पर,$f(1) = 3$ है। बाईं ओर की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ है। अतः $x = 1$ पर असंतत है।
$4$. $x = -1$ पर,$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$ है। $f(-1) = 2$ होने के कारण,$x = -1$ पर असंतत है।
असंततता के कुल बिंदुओं की संख्या $9$ है।

(D) दिया गया है $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$.
इसे हम $f(\theta) = \sin \theta + \sin \theta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt + \cos \theta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt$ और $B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$.
तब $f(\theta) = (A + 1) \sin \theta + B \cos \theta$.
अब,$A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ की गणना करते हैं। चूंकि $\sin t$ एक विषम फलन है,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin t dt = 0$. अतः,$A = B \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos t dt = B [\sin t]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = 2B$.
आगे,$B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ की गणना करते हैं। चूंकि $t \cos t$ एक विषम फलन है,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \cos t dt = 0$. अतः,$B = (A + 1) \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \sin t dt = (A + 1) \cdot 2 \int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \cos t dt = 0 + [\sin t]_{0}^{\pi / 2} = 1$.
अतः,$B = 2(A + 1)$.
$A = 2B$ को $B = 2(2B + 1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = 4B + 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $3B = -2$,इसलिए $B = -2/3$ और $A = -4/3$.
तब $f(\theta) = (-4/3 + 1) \sin \theta - (2/3) \cos \theta = -1/3 \sin \theta - 2/3 \cos \theta$.
अंत में,$\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right| = \left| \int_{0}^{\pi / 2} (-1/3 \sin \theta - 2/3 \cos \theta) d\theta \right| = \left| [-1/3(-\cos \theta) - 2/3 \sin \theta]_{0}^{\pi / 2} \right| = \left| [1/3 \cos \theta - 2/3 \sin \theta]_{0}^{\pi / 2} \right| = \left| (0 - 2/3) - (1/3 - 0) \right| = \left| -2/3 - 1/3 \right| = |-1| = 1$.

(C) माना $f(x) = \frac{9-x^2}{5-x} = 5+x+\frac{16}{x-5}$.
$f'(x) = 1 - \frac{16}{(x-5)^2}$. $f'(x)=0$ रखने पर,$x=1$ प्राप्त होता है जो $[0,2]$ में है।
$f(0) = 9/5$,$f(1) = 2$,$f(2) = 5/3$.
अतः $\alpha = 2$ और $\beta = 5/3$.
समाकलन $I = \int_{-1}^{3} \max\{f(x), x\} dx$ हो जाता है।
$f(x) = x$ के लिए $x=9/5$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{-1}^{9/5} (5+x+\frac{16}{x-5}) dx + \int_{9/5}^{3} x dx$.
गणना करने पर $I = 18 + 16 \ln(8/15)$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha_1 = 18$ और $\alpha_2 = 16$. $\alpha_1 + \alpha_2 = 34$.

(B) क्षेत्र $S$,प्रथम चतुर्थांश में $y=x^{3}$ और $y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
कुल क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है:
$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{3}) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$.
वक्र $y=2x$ (जहाँ $x>0$),$y^{2}=x$ को $4x^{2}=x$ पर काटता है,इसलिए $x=1/4$ (चूंकि $x \neq 0$ है)।
क्षेत्रफल $R_{1}$,$x=0$ से $x=1/4$ तक $y=\sqrt{x}$ और $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है:
$R_{1} = \int_{0}^{1/4} (\sqrt{x} - 2x) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x^{2} \right]_{0}^{1/4} = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{16} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4-3}{48} = \frac{1}{48}$.
चूंकि $S = R_{1} + R_{2}$,इसलिए $R_{2} = S - R_{1} = \frac{5}{12} - \frac{1}{48} = \frac{20-1}{48} = \frac{19}{48}$.
अतः,$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{19/48}{1/48} = 19$.

(B) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{a}_1 = -\hat{i} + 3\hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - a\hat{j}$,$\vec{a}_2 = -\hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -a\hat{i} - \hat{j} + (a-1)\hat{k}$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2a^2 - 2a + 2}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 2 - 2a$.
चूँकि $d = \sqrt{\frac{2}{3}}$,इसलिए $\frac{|2 - 2a|}{\sqrt{2a^2 - 2a + 2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4(1-a)^2}{2(a^2 - a + 1)} = \frac{2}{3} \implies 2a^2 - 5a + 2 = 0$.
$(2a - 1)(a - 2) = 0$,अतः $a = 2$ या $a = 0.5$.
$a$ का पूर्णांक मान $2$ है।

(D) यदि सारणिक $\Delta \neq 0$ हो या $\Delta = 0$ हो और प्रणाली के अनंत हल हों,तो प्रणाली संगत होती है।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} -k & 3 & -14 \\ -15 & 4 & -k \\ -4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -k(12 + k) - 3(-45 - 4k) - 14(-15 + 16) = 121 - k^2$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $121 - k^2 \neq 0$,इसलिए $k \neq \pm 11$.
यदि $k = 11$ है,तो $\Delta = 0$. हम $\Delta_z$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} -11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 26 \neq 0$.
अतः,$k = 11$ के लिए प्रणाली असंगत है।
यदि $k = -11$ है,तो $\Delta = 0$. हम $\Delta_z$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 312 \neq 0$.
अतः,$k = -11$ के लिए प्रणाली असंगत है।
इस प्रकार,प्रणाली $k \in R - \{11, -11\}$ के लिए संगत है।

(A) परवलयों $y^{2}=2x-1$ और $y^{2}=4x-3$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x$ के लिए दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:
$y^{2}=2x-1$ से,$x = \frac{y^{2}+1}{2}$ प्राप्त होता है।
$y^{2}=4x-3$ से,$x = \frac{y^{2}+3}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों को बराबर रखने पर: $\frac{y^{2}+1}{2} = \frac{y^{2}+3}{4} \implies 2y^{2}+2 = y^{2}+3 \implies y^{2}=1 \implies y = \pm 1$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए हम $y \in [0, 1]$ के लिए क्षेत्रफल की गणना करके उसे $2$ से गुणा करेंगे।
आवश्यक क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3}{4} - \frac{y^{2}+1}{2} \right) dy$
$= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3 - 2y^{2}-2}{4} \right) dy$
$= 2 \int_{0}^{1} \frac{1-y^{2}}{4} dy$
$= \frac{1}{2} \left[ y - \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x + 3y - z - 5) + \lambda(2x - y + z - 3) = 0$ है।
चूंकि समतल $(2, 1, -2)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$(2 + 3(1) - (-2) - 5) + \lambda(2(2) - 1 + (-2) - 3) = 0$
$(2 + 3 + 2 - 5) + \lambda(4 - 1 - 2 - 3) = 0$
$2 + \lambda(-2) = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को समीकरण में रखने पर,हमें समतल $P: 3x + 2y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(x, y, z) = 3x + 2y - 8$. हम दिए गए बिंदुओं पर $f$ का मान ज्ञात करते हैं:
$X(1, -2, 4)$ के लिए: $f(1, -2, 4) = 3(1) + 2(-2) - 8 = 3 - 4 - 8 = -9$.
$Y(5, -1, 2)$ के लिए: $f(5, -1, 2) = 3(5) + 2(-1) - 8 = 15 - 2 - 8 = 5$.
चूंकि $f(X) = -9$ और $f(Y) = 5$ के चिह्न विपरीत हैं,इसलिए $X$ और $Y$ समतल $P$ के विपरीत तरफ स्थित हैं।

(C) माना शंकु की त्रिज्या $R = 7 \, cm$ और ऊँचाई $H = 35 \, cm$ है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$,इसलिए $h = 5r$ है।
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (5r) = \frac{5}{3} \pi r^3$ है।
दिया है $\frac{dV}{dt} = 1 \, cm^3/sec$,इसलिए $\frac{d}{dt} (\frac{5}{3} \pi r^3) = 5 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 1$,जिससे $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
गीली शंक्वाकार सतह का क्षेत्रफल $S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + (5r)^2} = \pi r \sqrt{26r^2} = \sqrt{26} \pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r (\frac{1}{5 \pi r^2}) = \frac{2 \sqrt{26}}{5r}$ मिलता है।
जब $h = 10 \, cm$ है,तो $r = \frac{h}{5} = \frac{10}{5} = 2 \, cm$ है।
अतः,$\frac{dS}{dt} = \frac{2 \sqrt{26}}{5(2)} = \frac{\sqrt{26}}{5} \, cm^2/sec$।

(D) अंतर $b_{n+1} - b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2}(n+1)x - \cos^{2}nx}{\sin x} dx$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\cos^{2}A - \cos^{2}B = -\sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$b_{n+1} - b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\sin(2n+1)x \sin x}{\sin x} dx = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2n+1)x dx$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$b_{n+1} - b_{n} = \left[ \frac{\cos(2n+1)x}{2n+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)}{2n+1} = \frac{0 - 1}{2n+1} = -\frac{1}{2n+1}$।
अब,मान लें कि $a_{n} = b_{n+1} - b_{n} = -\frac{1}{2n+1}$।
अतः $\frac{1}{a_{n}} = -(2n+1)$।
$n=2, 3, 4$ के लिए,$\frac{1}{a_{2}} = -5, \frac{1}{a_{3}} = -7, \frac{1}{a_{4}} = -9$ प्राप्त होता है।
ये पद $-2$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं,क्योंकि $-7 - (-5) = -2$ और $-9 - (-7) = -2$।
इस प्रकार,$\frac{1}{b_{3}-b_{2}}, \frac{1}{b_{4}-b_{3}}, \frac{1}{b_{5}-b_{4}}$ एक $A.P.$ में हैं जिनका सार्व अंतर $-2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$.
$2x^{2}$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{3}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{2}$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} - v = -\frac{3}{2} v^{2}$.
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{3}{2} v^{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v^{2}} = -\frac{3}{2} \frac{dx}{x}$.
समाकलन करने पर: $-\frac{1}{v} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
शर्त $y(e) = \frac{e}{3}$ का उपयोग करने पर: $-\frac{e}{e/3} = -\frac{3}{2} \ln(e) + C \implies -3 = -\frac{3}{2} + C \implies C = -\frac{3}{2}$.
अतः,$-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| - \frac{3}{2}$.
$x = 1$ के लिए: $-\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \implies y = \frac{2}{3}$.

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = 12(t + \sin t \cos t)$ और $y = 12(1 + \sin t)^2$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 12(1 + \cos^2 t - \sin^2 t) = 12(1 + \cos 2t) = 12(2 \cos^2 t) = 24 \cos^2 t$.
$\frac{dy}{dt} = 12 \times 2(1 + \sin t) \cos t = 24(1 + \sin t) \cos t$.
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24(1 + \sin t) \cos t}{24 \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\frac{1 + \sin t}{\cos t} = \sqrt{3} \Rightarrow 1 + \sin t = \sqrt{3} \cos t$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2} \sin t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 < t < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{3} < t + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ है।
अतः,$t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$.
अब,$y$ के समीकरण में $t = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$y_{0} = 12(1 + \sin(\frac{\pi}{6}))^2 = 12(1 + \frac{1}{2})^2 = 12(\frac{3}{2})^2 = 12 \times \frac{9}{4} = 27$.

(D) प्रत्येक फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $P(n) = \frac{1}{n}$ द्वारा दी गई है।
$P(2) = \frac{1}{2}, P(4) = \frac{1}{4}, P(8) = \frac{1}{8}, P(16) = \frac{1}{16}, P(32) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$.
हमें तीन बार फेंकने पर योग $48$ प्राप्त करना है। संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1$. $(16, 16, 16)$: प्रायिकता $= P(16) \times P(16) \times P(16) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16^3} = \frac{1}{4096}$.
$2$. $(32, 8, 8)$ किसी भी क्रम में: क्रमचयों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
प्रायिकता $= 3 \times P(32) \times P(8) \times P(8) = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{1024} = \frac{12}{4096}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096} = \frac{13}{2^{12}}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right)-1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)$
चूंकि $\frac{15 \pi}{4} = 4 \pi - \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right) = \cos \left(4 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1}\right) = \tan ^{-1}(1-\sqrt{2})$.
सर्वसमिका $\tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2}-1$.
इसलिए,$\tan \left(-\frac{\pi}{8}\right) = -(\sqrt{2}-1) = 1-\sqrt{2}$.
अतः,$\tan ^{-1}(1-\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{8}$.

(A) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-2 & -4+2 \\ 2-1 & -2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होता है।
अब,$B^2$ की गणना करें:
$B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & -2+4 \\ 1-2 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = B$.
चूंकि $B^2 = B$,इसलिए सभी $m \geq 1$ के लिए $B^m = B$ होता है।
दिया गया समीकरण $nA^n + mB^m = I$ अब $nA + mB = I$ बन जाता है।
आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + m \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$2n - m = 1$
$-2n + 2m = 0 \implies n = m$.
$n = m$ को $2n - m = 1$ में रखने पर,हमें $2n - n = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 1$.
अतः,$n = 1$ और $m = 1$ है।
केवल एक ही युग्म $(n, m) = (1, 1)$ संभव है,इसलिए समुच्चय में $1$ अवयव है।

(A) हमें दिया गया है $f(x) = [2x^2 + 1] = [2x^2] + 1$.
तब $f(g(x)) = [2(g(x))^2] + 1$.
स्थिति $1$: $x < 0$,$g(x) = 2x - 3$.
$f(g(x)) = [2(2x - 3)^2] + 1$.
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$2x - 3 \in (-5, -3)$.
अतः,$(2x - 3)^2 \in (9, 25)$,इसलिए $2(2x - 3)^2 \in (18, 50)$.
फलन $[2(2x - 3)^2] + 1$ तब असतत होता है जब $2(2x - 3)^2$ एक पूर्णांक हो।
अंतराल $(-1, 0)$ में,$2x - 3$ का मान $-5$ से $-3$ के बीच है। $2(2x - 3)^2$ के मान $18$ से $50$ के बीच हैं।
$(18, 50)$ में पूर्णांक $19, 20, \dots, 49$ हैं,जो कुल $49 - 19 + 1 = 31$ बिंदु देते हैं।
स्थिति $2$: $x \geq 0$,$g(x) = 2x + 3$.
$f(g(x)) = [2(2x + 3)^2] + 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$2x + 3 \in [3, 5)$.
अतः,$(2x + 3)^2 \in [9, 25)$,इसलिए $2(2x + 3)^2 \in [18, 50)$.
$[18, 50)$ में पूर्णांक $18, 19, \dots, 49$ हैं,जो कुल $49 - 18 + 1 = 32$ बिंदु देते हैं।
हालाँकि,हमें बिंदु $x = 0$ की जाँच करनी होगी।
$x = 0$ पर,$f(g(0)) = f(3) = [2(3)^2 + 1] = [19] = 19$.
$lim_{x \to 0^-} f(g(x)) = [2(-3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$.
$lim_{x \to 0^+} f(g(x)) = [2(3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$.
चूँकि सीमाएँ समान हैं,$x = 0$ असतत बिंदु नहीं है।
कुल बिंदु = $31 + 31 = 62$.

(A) हम समाकल्य के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{(x^2-1)(x^2-4)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-1})$.
इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $12 \cdot \frac{1}{3} \int_{3}^{b} (\frac{1}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-1}) dx = 4 [\frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| - \frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1}|]_{3}^{b} = \log_e(\frac{49}{40})$.
व्यंजक को सरल करने पर: $[\ln |\frac{x-2}{x+2}| - 2 \ln |\frac{x-1}{x+1}|]_{3}^{b} = \ln \frac{49}{40}$.
$[\ln |\frac{x-2}{x+2}| - \ln |(\frac{x-1}{x+1})^2|]_{3}^{b} = \ln \frac{49}{40}$.
$[\ln |\frac{(x-2)(x+1)^2}{(x+2)(x-1)^2}|]_{3}^{b} = \ln \frac{49}{40}$.
$b$ और $3$ पर मान रखने पर: $\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| - \ln |\frac{(3-2)(3+1)^2}{(3+2)(3-1)^2}| = \ln \frac{49}{40}$.
$\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| - \ln |\frac{1 \cdot 16}{5 \cdot 4}| = \ln \frac{49}{40}$.
$\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| - \ln \frac{4}{5} = \ln \frac{49}{40}$.
$\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| = \ln (\frac{49}{40} \cdot \frac{4}{5}) = \ln \frac{49}{50}$.
पदों की तुलना करने पर,हमें $b = 6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = 13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}$. चूँकि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $(13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}) = 0$.
$13 - 1 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$.
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}$ का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = \hat{i}(-3+4) - \hat{j}(39+4) + \hat{k}(13+1) = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = -21$ और $|\vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 3^2 = 11$,इसलिए $-21 \vec{b} - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
$-21(\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k} \Rightarrow 11 \vec{a} = -22 \hat{i} + 22 \hat{j} - 77 \hat{k} \Rightarrow \vec{a} = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}$.
अब,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ की गणना करें:
$\vec{b}-\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - (-7))\hat{k} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}$.
$\vec{b}+\vec{a} = (1 - 2)\hat{i} + (1 + 2)\hat{j} + (3 - 7)\hat{k} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j}) = (3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}) = 0 + 1 + 10 = 11$.
$(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k}) = (-\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 0 \hat{j} - 1 \hat{k}) = -1 + 0 + 4 = 3$.
योग $= 11 + 3 = 14$.

(C) दिया गया है $f(x) = |(x-1)(x-3)(x+1)| + x - 3$.
अंतराल $(0, 4)$ के लिए,हम $(x-1)(x-3)(x+1)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = -1, 1, 3$ हैं।
$(0, 1)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) < 0$,इसलिए $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 6$.
$(1, 3)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,इसलिए $f(x) = x^3 - 3x^2$.
$(3, 4)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,इसलिए $f(x) = x^3 - 3x^2$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x^2 - 6, & x \in (0, 1] \\ x^3 - 3x^2, & x \in (1, 4) \end{cases}$.
$f'(x) = \begin{cases} -3x^2 + 6x, & x \in (0, 1) \\ 3x^2 - 6x, & x \in (1, 4) \end{cases}$.
$x=1$ पर,$f'(1^-) = 3$ और $f'(1^+) = -3$ है। अतः $x=1$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
$x \in (1, 4)$ के लिए,$f'(x) = 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=2$ है। $x=2$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
इस प्रकार,$m=1$ और $M=1$,अतः $m+M=2$ है। हालाँकि,विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $3$ है।

(B) $xy$-समतल $(z=0)$ में रेखा $l_{1}$ का समीकरण,जिसके $x$ और $y$ अंतःखंड $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ हैं,$\frac{x}{1/8} + \frac{y}{1/(4 \sqrt{2})} = 1$ अर्थात $8x + 4 \sqrt{2}y = 1$ है।
रेखा $l_{1}$ का दिशा सदिश $\vec{v}_{1} = (1, -\sqrt{2}, 0)$ है और यह बिंदु $A = (\frac{1}{8}, 0, 0)$ से गुजरती है।
$zx$-समतल $(y=0)$ में रेखा $l_{2}$ का समीकरण,जिसके $x$ और $z$ अंतःखंड $-\frac{1}{8}$ और $-\frac{1}{6 \sqrt{3}}$ हैं,$-8x - 6 \sqrt{3}z = 1$ है।
रेखा $l_{2}$ का दिशा सदिश $\vec{v}_{2} = (3 \sqrt{3}, 0, -4)$ है और यह बिंदु $B = (-\frac{1}{8}, 0, 0)$ से गुजरती है।
दो विषम तलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{B}-\vec{A}) \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = 4 \sqrt{2} \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \sqrt{6} \hat{k}$ और इसका परिमाण $\sqrt{102}$ है।
$\vec{B}-\vec{A} = (-\frac{1}{4}, 0, 0)$ होने के कारण,दूरी $d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{102}} = \frac{1}{\sqrt{51}}$ प्राप्त होती है।
अतः,$d^{-2} = 51$.