यदि frac{1}{2 cdot 3^{10}}+frac{1}{2^{2} cdot | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{2^n \cdot 3^{11-n}} = \frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$.दोनों पक्षों को $2^{10} \cdot 3

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$5$

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(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{2^n \cdot 3^{11-n}} = \frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$.दोनों पक्षों को $2^{10} \cdot 3^{10}$ से गुणा करने पर,$K = \sum_{n=1}^{10} 2^{10-n} \cdot 3^{n-1} = 3^0 \cdot 2^9 + 3^1 \cdot 2^8 + \ldots + 3^9 \cdot 2^0$ प्राप्त होता है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 2^9$,सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ और पदों की संख्या $n = 10$ है।$K = \frac{2^9 ((\frac{3}{2})^{10} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3^{10} - 2^{10}$.अब,$K = 3^{10} - 2^{10} = (3^5 - 2^5)(3^5 + 2^5) = (211)(275)$.$211 \equiv 1 \pmod{6}$ और $275 \equiv 5 \pmod{6}$.अतः,$K \equiv 1 	imes 5 \equiv 5 \pmod{6}$.इस प्रकार,शेषफल $5$ है।

यदि $\frac{1}{2 \cdot 3^{10}}+\frac{1}{2^{2} \cdot 3^{9}}+\ldots+\frac{1}{2^{10} \cdot 3}=\frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$ है,तो $K$ को $6$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

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