JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) शीर्ष $(2, 0)$ पर है और नाभि $(4, 0)$ पर है।
चूंकि अक्ष $x$-अक्ष है,परवलय का समीकरण $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ होगा।
यहाँ $a = 4 - 2 = 2$ है,इसलिए समीकरण $y^2 = 8(x - 2)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ के लिए: $y^2 = 6^2 = 36$ और $8(8 - 2) = 48$ है।
चूंकि $36 \neq 48$,इसलिए बिंदु $(8, 6)$ परवलय पर स्थित नहीं है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$.
यहाँ,$a^2 = \cos^2 \theta$ और $b^2 = \sin^2 \theta$ है।
उत्केन्द्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ है।
दिया है $e > 2$,अतः $e^2 > 4$,जिसका अर्थ है $\sec^2 \theta > 4$,या $\tan^2 \theta > 3$ है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\tan \theta > \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ है।
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \sin^2 \theta}{\cos \theta} = 2 \tan \theta \sin \theta$ है।
जैसे-जैसे $\theta$,$\frac{\pi}{3}$ से $\frac{\pi}{2}$ की ओर बढ़ता है,$L = 2 \tan \theta \sin \theta > 2(\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3$ होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $(3, \infty)$ अंतराल में स्थित है।

(D) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $r \neq 1$ (क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)।
दिया गया है $a + ar + ar^2 = x(ar)$।
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 + r + r^2 = xr$
$x = \frac{1 + r + r^2}{r} = r + 1 + \frac{1}{r} = (r + \frac{1}{r}) + 1$।
हम जानते हैं कि $r > 0$ के लिए,$r + \frac{1}{r} \geq 2$,इसलिए $x \geq 2 + 1 = 3$।
$r < 0$ के लिए,माना $r = -k$ जहाँ $k > 0$। तब $r + \frac{1}{r} = -(k + \frac{1}{k}) \leq -2$।
इसलिए $x \leq -2 + 1 = -1$।
अतः,$x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$।
चूँकि संख्याएँ भिन्न हैं,$r \neq 1$,इसलिए $x \neq 1 + 1 + 1 = 3$।
इसलिए,$x$ अंतराल $(-1, 3)$ में कोई भी मान नहीं हो सकता है।
दिए गए विकल्पों में से,$2$ अंतराल $(-1, 3)$ में स्थित है,इसलिए $x$ का मान $2$ नहीं हो सकता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a = 1$) की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
इसे $m^2x - my + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 6x = 0$ का केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है,केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $m^2x - my + 1 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|3m^2 + 1|}{\sqrt{m^4 + m^2}} = 3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m^2 + 1)^2 = 9(m^4 + m^2)$
$9m^4 + 6m^2 + 1 = 9m^4 + 9m^2$
$3m^2 = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,समीकरण $\sqrt{3}y = x + 3$ प्राप्त होता है।

(B) हमें $2^{403}$ को $15$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
हम लिख सकते हैं $2^{403} = 2^3 \times 2^{400} = 8 \times (2^4)^{100} = 8 \times (16)^{100}$.
चूंकि $16 = 15 + 1$,इसलिए $2^{403} = 8(15 + 1)^{100}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(15 + 1)^{100} = 1 + 100(15) + \binom{100}{2} 15^2 + \dots + 15^{100}$.
अतः,$2^{403} = 8 + 15 \times [8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)]$.
इसलिए,$\frac{2^{403}}{15} = \frac{8}{15} + 8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)$.
भिन्नात्मक भाग $\frac{8}{15}$ है,जो $\frac{k}{15}$ के रूप में दिया गया है।
अतः,$k = 8$.

(A) रेखा का समीकरण $px + qy + r = 0$ और शर्त $3p + 2q + 4r = 0$ दी गई है।
शर्त से,हम लिख सकते हैं $r = -\frac{3p + 2q}{4}$।
इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$px + qy - \frac{3p + 2q}{4} = 0$
$4px + 4qy - 3p - 2q = 0$
$p$ और $q$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$p(4x - 3) + q(4y - 2) = 0$
सभी $p$ और $q$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$
$4y - 2 = 0 \implies y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,सभी रेखाएँ एक निश्चित बिंदु $\left( \frac{3}{4}, \frac{1}{2} \right)$ से होकर गुजरती हैं,जिसका अर्थ है कि वे इस बिंदु पर संगामी हैं।

(A) माना $u = y^4$. जैसे $y \to 0$,$u \to 0$. व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sqrt {1 + u} } - \sqrt 2 }}{u}$ हो जाता है।
द्विपद प्रसार $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए,$\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2}$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{1 + (1 + \frac{u}{2})} = \sqrt{2 + \frac{u}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{u}{4}}$.
पुनः प्रसार का उपयोग करने पर: $\sqrt{2} (1 + \frac{u}{8}) = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}u}{8}$.
अब,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}u}{8} - \sqrt{2}}}{u} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.

(C) हम $(\oplus, \Theta)$ के लिए संभावित संयोजनों का परीक्षण करते हैं जहाँ $\oplus, \Theta \in \{\wedge, \vee\}$ है।
स्थिति $1$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \vee)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge q)$
$\equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge q) \equiv F \vee (p \wedge q) \equiv p \wedge q$.
यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
स्थिति $2$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \wedge)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p) \wedge q \equiv F \wedge q \equiv F$.
स्थिति $3$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \vee)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee q \equiv F \vee q \equiv q$.
स्थिति $4$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \wedge)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (q \wedge \sim p \wedge q) \equiv F \vee (q \wedge \sim p) \equiv q \wedge \sim p$.
अतः,सही क्रमित युग्म $(\wedge, \vee)$ है।

(C) माना $5$ छात्रों की ऊँचाई $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ है।
दिया गया माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i}{5} = 150 \implies \sum_{i=1}^5 x_i = 750$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 18$.
$\frac{\sum x_i^2}{5} - (150)^2 = 18 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 22500 + 18 = 22518$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 112590$.
अब,$156 \, cm$ ऊँचाई वाला एक नया छात्र $x_6 = 156$ जुड़ता है।
ऊँचाई का नया योग $750 + 156 = 906$ है।
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{906}{6} = 151$.
वर्गों का नया योग $\sum_{i=1}^6 x_i^2 = 112590 + (156)^2 = 112590 + 24336 = 136926$.
नया प्रसरण $\frac{\sum_{i=1}^6 x_i^2}{6} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{136926}{6} - (151)^2$.
$= 22821 - 22801 = 20 \, cm^2$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = 3(\sin \theta - \cos \theta)^4 + 6(\sin \theta + \cos \theta)^2 + 4\sin^6 \theta$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta$ और $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 3(1 - \sin 2\theta)^2 + 6(1 + \sin 2\theta) + 4\sin^6 \theta$
$E = 3(1 - 2\sin 2\theta + \sin^2 2\theta) + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$E = 9 + 3\sin^2 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ रखने पर:
$E = 9 + 12\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4\sin^6 \theta$
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$:
$E = 9 + 12(1 - \cos^2 \theta)\cos^2 \theta + 4(1 - \cos^2 \theta)^3$
$E = 13 - 4\cos^6 \theta$

(A) दिया गया है $S = \sum_{i=1}^{30} {a_i}$ और $T = \sum_{i=1}^{15} {a_{2i-1}}$।
मान लीजिए $A.P.$ को ${a_i} = a + (i-1)d$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$S = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \dots + {a_{30}}$
$T = {a_1} + {a_3} + {a_5} + \dots + {a_{29}}$
तब $2T = 2{a_1} + 2{a_3} + 2{a_5} + \dots + 2{a_{29}}$।
$S - 2T = ({a_2} - {a_1}) + ({a_4} - {a_3}) + ({a_6} - {a_5}) + \dots + ({a_{30}} - {a_{29}})$।
चूंकि ${a_{2k}} - {a_{2k-1}} = d$,इसलिए $S - 2T = 15d$।
दिया गया है $S - 2T = 75$,इसलिए $15d = 75$,जिसका अर्थ है $d = 5$।
दिया गया है ${a_5} = 27$,इसलिए $a + 4d = 27$।
$d = 5$ रखने पर,$a + 4(5) = 27$ $\Rightarrow a + 20 = 27$ $\Rightarrow a = 7$।
हमें ${a_{10}} = a + 9d$ ज्ञात करना है।
${a_{10}} = 7 + 9(5) = 7 + 45 = 52$।

(D) मान लीजिए $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$।
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + 8i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$।
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
दिए गए अंतराल $\theta \in \left( -\frac{\pi}{2}, \pi \right)$ के लिए:
यदि $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,तो $\theta = \frac{\pi}{3}$ या $\theta = \frac{2\pi}{3}$।
यदि $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,तो $\theta = -\frac{\pi}{3}$।
अतः $A = \left\{ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\}$।
अवयवों का योग $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(C) $5$ में से $2$ लड़कियों और $7$ में से $3$ लड़कों को बिना किसी प्रतिबंध के चुनने के कुल तरीके $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ हैं।
यदि दोनों विशिष्ट लड़के $A$ और $B$ टीम में हैं,तो हमें शेष $5$ लड़कों में से $1$ और लड़का और $5$ लड़कियों में से $2$ लड़कियाँ चुननी होंगी। ऐसी टीमों की संख्या $^5C_1 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ है।
अतः,उन टीमों की संख्या जिनमें $A$ और $B$ एक साथ नहीं हैं,$350 - 50 = 300$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2x + 2 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x+1)^2 + 1 = 0$,अतः $(x+1)^2 = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x+1 = \pm i$,जिससे $x = -1 \pm i$ मिलता है।
ध्रुवीय रूप में,$x = \sqrt{2} e^{\pm i(3\pi/4)}$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7} \sqrt{2} \times 2 \cos \left( \frac{45\pi}{4} \right)$।
चूँकि $\cos \left( \frac{45\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,
अतः $\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \sqrt{2} \times \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -256$।

(A) माना तीन वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $b, a, c$ हैं,जहाँ $a$ सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या है जो $b$ और $c$ त्रिज्या वाले दो बड़े वृत्तों के बीच स्थित है।
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई $L = \sqrt{(r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2} = 2\sqrt{r_1r_2}$ द्वारा दी जाती है।
माना वृत्तों के $x$-अक्ष के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $A, B, C$ हैं।
दूरी $AB = 2\sqrt{ab}$ ($b$ और $a$ त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच)।
दूरी $BC = 2\sqrt{ac}$ ($a$ और $c$ त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच)।
दूरी $AC = 2\sqrt{bc}$ ($b$ और $c$ त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच)।
चूंकि सबसे छोटा वृत्त अन्य दो के बीच में है,इसलिए $AC = AB + BC$ है।
$2\sqrt{bc} = 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ac}$.
दोनों पक्षों को $2\sqrt{abc}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$.

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{(3 + (n-1) \times 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{2n + 1}$ है।
$T_n$ का सरलीकरण:
$T_n = \frac{3n \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3 + n^2}{2}$.
$15$ पदों का योग $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} T_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} (n^3 + n^2)$ है।
योग के सूत्रों $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$S_{15} = \frac{1}{2} [(\frac{15 \times 16}{2})^2 + \frac{15 \times 16 \times 31}{6}]$.
$S_{15} = \frac{1}{2} [120^2 + 1240] = \frac{1}{2} [14400 + 1240] = \frac{15640}{2} = 7820$.

(B) हमें सीमा $\lim_{x \to 0^+} \frac{x([x] + |x|) \sin [x]}{|x|}$ का मूल्यांकन करना है।
जैसे ही $x \to 0^+$,हमारे पास $0 < x < 1$ है,जिसका अर्थ है $[x] = 0$.
साथ ही,$x > 0$ के लिए,$|x| = x$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x(0 + x) \sin(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 \cdot 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$(\sin 3x + \sin x) - \sin 2x = 0$
$2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0$
$\sin 2x (2 \cos x - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin 2x = 0$ या $\cos x = \frac{1}{2}$।
$\sin 2x = 0$ के लिए,$2x = n\pi$,अतः $x = \frac{n\pi}{2}$। $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए केवल $x = 0$ हल है।
$\cos x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{3}$ ($0 \le x < \frac{\pi}{2}$ के अंतर्गत)।
$x$ के मान $0$ और $\frac{\pi}{3}$ हैं।
अतः,मानों की संख्या $2$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
दिया है $z = 3 + 6iz_0^{81} - 3iz_0^{93}$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $z_0^{81} = (z_0^3)^{27} = 1^{27} = 1$ और $z_0^{93} = (z_0^3)^{31} = 1^{31} = 1$ होगा।
इन मानों को $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = 3 + 6i(1) - 3i(1) = 3 + 3i$।
$\arg(z)$ ज्ञात करने के लिए,$x > 0$ के लिए $\arg(x + iy) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\arg(z) = \tan^{-1}(\frac{3}{3}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(B) दिया गया व्यंजक $(1-t^6)^3 (1-t)^{-3}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1-t^6)^3$ का विस्तार करने पर,हमें $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18})$ प्राप्त होता है।
हमें $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}) (1-t)^{-3}$ के गुणनफल में $t^4$ का गुणांक ज्ञात करना है।
चूंकि हमें केवल $t^4$ के पद की आवश्यकता है,हम पहले कोष्ठक से अचर पद $1$ लेते हैं और इसे $(1-t)^{-3}$ के विस्तार में $t^4$ के गुणांक से गुणा करते हैं।
$(1-t)^{-n}$ का विस्तार $\sum_{r=0}^{\infty} {^{n+r-1}C_r} t^r$ होता है।
$n=3$ के लिए,$t^4$ का गुणांक $^{3+4-1}C_4 = ^{6}C_4 = ^{6}C_2$ है।
$^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

(A) माना $f(x) = x^2 - mx + 4$ है। मूलों $\alpha, \beta$ के वास्तविक,भिन्न और $[1, 5]$ में स्थित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$(1)$ विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-m)^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16 > 0$
$m^2 > 16 \Rightarrow m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$(2)$ $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 - m + 4 = 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5$
$(3)$ $f(5) > 0$:
$f(5) = 25 - 5m + 4 = 29 - 5m > 0 \Rightarrow m < \frac{29}{5} = 5.8$
$(4)$ शीर्ष की स्थिति $1 < \frac{-b}{2a} < 5$:
$1 < \frac{m}{2} < 5 \Rightarrow 2 < m < 10$
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$m \in (4, \infty) \cap (-\infty, 5) \cap (-\infty, 5.8) \cap (2, 10) = (4, 5)$
अतः,$m \in (4, 5)$। विकल्प $A$ सही है।

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(x,0)$,और $B(0,y)$ हैं,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x| |y| = 50$ द्वारा दिया गया है,जिसका अर्थ है $|xy| = 100$ है।
चूंकि $x$ और $y$ गैर-शून्य पूर्णांक हैं,हमें $(x, y)$ के उन जोड़ों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|x| |y| = 100$ है।
$100 = 2^2 \times 5^2$ के भाजकों की संख्या $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ है।
$100$ के प्रत्येक भाजक $d$ के लिए,हमारे पास $|x| = d$ और $|y| = 100/d$ है। चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं,इसलिए प्रत्येक जोड़े $(|x|, |y|)$ के लिए $4$ संभावित चिह्न संयोजन हैं (जैसे $(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)$)।
अतः,त्रिभुजों की कुल संख्या $4 \times 9 = 36$ है।

(B) मान लीजिए $A.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $d$ है। चूँकि $A.P.$ अचर नहीं है,$d \neq 0$.
दिया गया है कि $a = A + 6d$,$b = A + 10d$,और $c = A + 12d$.
चूँकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ होगा।
मान रखने पर: $(A + 10d)^2 = (A + 6d)(A + 12d)$.
$A^2 + 20Ad + 100d^2 = A^2 + 18Ad + 72d^2$.
$2Ad = -28d^2$.
चूँकि $d \neq 0$,$2d$ से भाग देने पर $A = -14d$,या $\frac{A}{d} = -14$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{a}{c} = \frac{A + 6d}{A + 12d} = \frac{\frac{A}{d} + 6}{\frac{A}{d} + 12}$.
$\frac{A}{d} = -14$ रखने पर: $\frac{-14 + 6}{-14 + 12} = \frac{-8}{-2} = 4$.

(B) दिया गया है: $\sum_{i=1}^n (x_i + 1)^2 = 9n$ $(1)$
$\sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2 = 5n$ $(2)$
दोनों समीकरणों का विस्तार करने पर:
$\sum (x_i^2 + 2x_i + 1) = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i + n = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i = 8n$ $(3)$
$\sum (x_i^2 - 2x_i + 1) = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i + n = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i = 4n$ $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2\sum x_i^2 = 12n \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{n} = 6$
$(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$4\sum x_i = 4n \Rightarrow \frac{\sum x_i}{n} = 1$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = 6 - (1)^2 = 5$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5}$

(B) हमें ${0, 1, 3, 7, 9}$ अंकों का उपयोग करके $7,000$ से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
स्थिति $1$: $1, 2$ या $3$ अंकों वाली संख्याएँ।
$1$ अंक की संख्या के लिए $4$ विकल्प हैं: ${1, 3, 7, 9}$।
$2$ अंकों की संख्या के लिए पहले स्थान पर $4$ और दूसरे पर $5$ विकल्प हैं: $4 \times 5 = 20$।
$3$ अंकों की संख्या के लिए पहले स्थान पर $4$ और बाकी दो स्थानों पर $5$ विकल्प हैं: $4 \times 5 \times 5 = 100$।
कुल $= 4 + 20 + 100 = 124$।
स्थिति $2$: $7,000$ से छोटी $4$ अंकों वाली संख्याएँ।
पहला अंक $1$ या $3$ हो सकता है ($2$ विकल्प)।
बाकी तीन स्थानों के लिए $5$ अंकों में से कोई भी आ सकता है ($5 \times 5 \times 5 = 125$ विकल्प)।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 2 \times 125 = 250$।
कुल संख्या $= 124 + 250 = 374$।

(B) पहला वृत्त $x^2 + y^2 - 16x - 20y + 164 = r^2$ है। मानक रूप में लिखने पर: $(x - 8)^2 + (y - 10)^2 = r^2$। केंद्र $A(8, 10)$ है और त्रिज्या $R_1 = r$ है।
दूसरा वृत्त $(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 36$ है। केंद्र $B(4, 7)$ है और त्रिज्या $R_2 = 6$ है।
केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त $|R_1 - R_2| < AB < R_1 + R_2$ है।
मान रखने पर: $|r - 6| < 5 < r + 6$।
$r + 6 > 5$ से,हमें $r > -1$ मिलता है। चूंकि यह त्रिज्या है,इसलिए $r > 0$।
$|r - 6| < 5$ से,$-5 < r - 6 < 5$,जिसका अर्थ है $1 < r < 11$।
अतः,शर्त $1 < r < 11$ है।

(A) मूल बिंदु पर केंद्र और $x$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ दी गई है,इसलिए $a = 2$ और $a^2 = 4$ है।
समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ हो जाता है।
चूंकि अतिपरवलय $(4, 2)$ बिंदु से होकर गुजरता है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{4^2}{4} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$4 - \frac{4}{b^2} = 1$
$3 = \frac{4}{b^2}$
$b^2 = \frac{4}{3}$.
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
$a^2$ और $b^2$ के मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 + \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है। मान लीजिए बिंदु $C$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं।
शीर्षों $A(4, -4)$,$B(9, 6)$ और $C(t^2, 2t)$ वाले $\Delta ACB$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= \frac{1}{2} |4(6 - 2t) + 9(2t - (-4)) + t^2(-4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 8t + 18t + 36 - 10t^2|$
$= \frac{1}{2} |-10t^2 + 10t + 60| = |-5t^2 + 5t + 30|$
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $f(t) = -5t^2 + 5t + 30$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(t) = -10t + 5 = 0 \implies t = \frac{1}{2}$.
$t = \frac{1}{2}$ को क्षेत्रफल के व्यंजक में रखने पर:
$\text{Area} = |-5(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{2}) + 30| = |-\frac{5}{4} + \frac{10}{4} + \frac{120}{4}| = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4}$ वर्ग इकाइयाँ।

(D) मान लीजिए भुजाएँ $AB: 3x - 2y + 6 = 0$ और $AC: 4x + 5y - 20 = 0$ हैं। शीर्ष $A$,$AB$ और $AC$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $3x - 2y = -6$ और $4x + 5y = 20$ को हल करने पर,हमें $A = (2/23, 78/23)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए लंबकेंद्र $H = (1, 1)$ है।
$B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $H(1, 1)$ से गुजरता है और $AC$ के लंबवत है। $AC$ की ढाल $-4/5$ है,इसलिए लंब की ढाल $5/4$ है। समीकरण $5x - 4y - 1 = 0$ है।
शीर्ष $B$,$AB$ और लंब $5x - 4y - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$B = (-13, -17)$ प्राप्त होता है।
$C$ से $AB$ पर डाला गया लंब $H(1, 1)$ से गुजरता है और $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $3/2$ है,इसलिए लंब की ढाल $-2/3$ है। समीकरण $2x + 3y - 5 = 0$ है।
शीर्ष $C$,$AC$ और लंब $2x + 3y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$C = (35/2, -5)$ प्राप्त होता है।
तीसरी भुजा $BC$,$B(-13, -17)$ और $C(35/2, -5)$ से गुजरती है। गणना करने पर,तीसरी भुजा का समीकरण $26x - 122y - 1675 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$a = 6$,$b = -11$,और $c = \alpha$ है।
$D = (-11)^2 - 4(6)(\alpha) = 121 - 24\alpha$ है।
चूंकि $\alpha$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$121 - 24\alpha \ge 0$,जिसका अर्थ है $24\alpha \le 121$,इसलिए $\alpha \le 5.04$ है। अतः,$\alpha \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
प्रत्येक मान की जाँच करने पर:
यदि $\alpha = 1$,$D = 97$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यदि $\alpha = 2$,$D = 73$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यदि $\alpha = 3$,$D = 49 = 7^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
यदि $\alpha = 4$,$D = 25 = 5^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
यदि $\alpha = 5$,$D = 1 = 1^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
$\alpha$ के संभावित मान $3, 4, 5$ हैं। अतः,ऐसे $3$ मान हैं।

(B) माना कि पाँच प्रेक्षण $1, 3, 8, x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\mu = 5$ है,अतः $\frac{1 + 3 + 8 + x + y}{5} = 5$.
$12 + x + y = 25 \Rightarrow x + y = 13$ (समीकरण $1$)।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 9.20$ है,सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$ का उपयोग करने पर:
$9.2 = \frac{1^2 + 3^2 + 8^2 + x^2 + y^2}{5} - 5^2$.
$9.2 = \frac{1 + 9 + 64 + x^2 + y^2}{5} - 25$.
$34.2 = \frac{74 + x^2 + y^2}{5} \Rightarrow 171 = 74 + x^2 + y^2$.
$x^2 + y^2 = 97$ (समीकरण $2$)।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$,अतः $13^2 = 97 + 2xy$.
$169 - 97 = 2xy$ $\Rightarrow 72 = 2xy$ $\Rightarrow xy = 36$.
$x + y = 13$ और $xy = 36$ को हल करने पर,द्विघात समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $(t - 4)(t - 9) = 0$ हैं।
अतः,दो प्रेक्षण $4$ और $9$ हैं।
इसलिए अनुपात $\frac{4}{9}$ या $\frac{9}{4}$ है।

(C) $5, 5r, 5r^2$ को त्रिभुज की भुजाएं होने के लिए,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
$1) 5 + 5r > 5r^2 \Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$. $r^2 - r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूंकि $r > 0$,इसलिए $0 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$।
$2) 5 + 5r^2 > 5r \Rightarrow r^2 - r + 1 > 0$. यह सभी $r \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
$3) 5r + 5r^2 > 5 \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$. $r^2 + r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूंकि $r > 0$,इसलिए $r > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$।
अतः,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ अर्थात $0.618 < r < 1.618$।
विकल्पों की जांच करने पर,$\frac{7}{4} = 1.75$ इस सीमा से बाहर है।

(D) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.
हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
अतः,योग के अंदर का पद $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ है।
सूत्र ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ का उपयोग करते हुए,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ प्राप्त होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
योग $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} \right)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ हो जाता है।
घनों के योग का सूत्र $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ का उपयोग करते हुए,$n=20$ के लिए:
$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$.
मान रखने पर: $S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
दिया गया है $S = \frac{k}{21}$,अतः $k = 100$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
माना $t = \cos^2 2\theta$. तब $t^2 - t + 1 = \frac{3}{4} \Rightarrow t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$
$(t - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$
अतः,$\cos^2 2\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\cos^2 2\theta - 1 = 0$
सर्वसमिका $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos 4\theta = 0$
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$4\theta \in (0, 2\pi)$।
$\cos 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$
मानों का योग = $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$

(D) मान लीजिए $f(x) = (c - 5)x^2 - 2cx + (c - 4)$ है।
एक मूल $(0, 2)$ में और दूसरा $(2, 3)$ में होने के लिए,$x=2$ पर $f(x)$ का चिह्न बदलना चाहिए।
स्थिति $I$: यदि $c - 5 > 0$ (अर्थात $c > 5$),तो $f(2) < 0$ होगा।
$f(2) = (c - 5)(2)^2 - 2c(2) + (c - 4) = 4c - 20 - 4c + c - 4 = c - 24$ है।
अतः,$c - 24 < 0 \Rightarrow c < 24$ है।
साथ ही,$f(0) > 0$ $\Rightarrow c - 4 > 0$ $\Rightarrow c > 4$ है।
और $f(3) > 0$ $\Rightarrow (c - 5)(9) - 2c(3) + (c - 4) > 0$ $\Rightarrow 9c - 45 - 6c + c - 4 > 0$ $\Rightarrow 4c - 49 > 0$ $\Rightarrow c > 12.25$ है।
इन सबको मिलाने पर,$12.25 < c < 24$ प्राप्त होता है। पूर्णांक ${13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ हैं,जो कुल $11$ मान हैं।
स्थिति $II$: यदि $c - 5 < 0$ (अर्थात $c < 5$),तो $f(2) > 0$ होगा।
$c - 24 > 0 \Rightarrow c > 24$,जो $c < 5$ के साथ विरोधाभास है।
अतः,ऐसे $11$ पूर्णांक मान हैं।

(D) माना $M$,$P$,और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान चुनने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
$n(M) = \lfloor \frac{140}{2} \rfloor = 70$
$n(P) = \lfloor \frac{140}{3} \rfloor = 46$
$n(C) = \lfloor \frac{140}{5} \rfloor = 28$
अब,सर्वनिष्ठ (intersections) ज्ञात करें:
$n(M \cap P) = \lfloor \frac{140}{6} \rfloor = 23$
$n(M \cap C) = \lfloor \frac{140}{10} \rfloor = 14$
$n(P \cap C) = \lfloor \frac{140}{15} \rfloor = 9$
$n(M \cap P \cap C) = \lfloor \frac{140}{30} \rfloor = 4$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए:
$n(M \cup P \cup C) = 70 + 46 + 28 - (23 + 14 + 9) + 4 = 102$
कोई भी विषय न चुनने वाले छात्रों की संख्या $140 - 102 = 38$ है।

(A) $(1 + x^{\log_2 x})^5$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^5C_r (x^{\log_2 x})^r$ है।
तीसरे पद के लिए,$r = 2$,अतः $T_3 = ^5C_2 (x^{\log_2 x})^2$ है।
दिया गया है कि $T_3 = 2560$,इसलिए $10 (x^{\log_2 x})^2 = 2560$ है।
$(x^{\log_2 x})^2 = 256$ है।
दोनों पक्षों में आधार $2$ पर लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$2 \log_2 (x^{\log_2 x}) = \log_2 (256)$ है।
$2 (\log_2 x)(\log_2 x) = 8$ है।
$(\log_2 x)^2 = 4$ है।
$\log_2 x = \pm 2$ है।
यदि $\log_2 x = 2$,तो $x = 2^2 = 4$ है।
यदि $\log_2 x = -2$,तो $x = 2^{-2} = 1/4$ है।
अतः,$x$ का एक संभावित मान $1/4$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4b(x - c)$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = m(x - c) - 2bm - bm^3$ है।
परवलय $y^2 = 8ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 4am - 2am^3$ है।
इन दोनों परवलयों के लिए $m \neq 0$ ढाल वाला एक उभयनिष्ठ अभिलंब होने के लिए,समीकरणों को एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$m^2 = \frac{c}{2a - b} - 2$.
उभयनिष्ठ अभिलंब के अस्तित्व के लिए,$m^2 > 0$ होना आवश्यक है,इसलिए $\frac{c}{2a - b} > 2$।
विकल्प $(B)$ $(a=1, b=1, c=3)$ की जाँच करने पर:
$m^2 = \frac{3}{2(1) - 1} - 2 = 1 > 0$।
अतः,$(1, 1, 3)$ एक मान्य विकल्प है।

(B) हमें $\lim_{x \to 1^+} \frac{(1 - |x| + \sin |1 - x|) \sin (\frac{\pi}{2} [1 - x])}{|1 - x|^2}$ का मान ज्ञात करना है।
जब $x \to 1^+$,तब $x > 1$,इसलिए $|x| = x$ और $|1 - x| = x - 1$ होगा।
साथ ही,$x$ के $1$ से थोड़ा बड़ा होने पर,$1 - x$ का मान $0$ से थोड़ा कम होगा,इसलिए $[1 - x] = -1$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\lim_{x \to 1^+} \frac{(1 - x + \sin(x - 1)) \sin(-\frac{\pi}{2})}{(x - 1)^2}$
चूंकि $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\lim_{x \to 1^+} \frac{-(1 - x + \sin(x - 1))}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1) - \sin(x - 1)}{(x - 1)^2}$
मान लीजिए $h = x - 1$ है। जब $x \to 1^+$,तब $h \to 0^+$। सीमा इस प्रकार होगी:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{h - \sin(h)}{h^2}$
$\sin(h)$ के टेलर श्रेणी विस्तार $\sin(h) = h - \frac{h^3}{6} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{h - (h - \frac{h^3}{6} + \dots)}{h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^3}{6}}{h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{6} = 0$.

(D) दिया गया है $3|z_1| = 4|z_2|$,इसलिए $\left|\frac{3z_1}{2z_2}\right| = \frac{3|z_1|}{2|z_2|} = \frac{4|z_2|}{2|z_2|} = 2$.
माना $w = \frac{3z_1}{2z_2}$। तब $|w| = 2$,इसलिए हम $w = 2(\cos \theta + i \sin \theta)$ लिख सकते हैं।
तब $z = w + \frac{1}{w} = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2(\cos \theta + i \sin \theta)}$.
$z = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2}(\cos \theta - i \sin \theta)$.
$z = (2 + \frac{1}{2}) \cos \theta + i(2 - \frac{1}{2}) \sin \theta = \frac{5}{2} \cos \theta + i \frac{3}{2} \sin \theta$.
चूँकि $\text{Im}(z) = \frac{3}{2} \sin \theta$,यह हर $\theta$ के लिए शून्य होना आवश्यक नहीं है। अतः,$\text{Im}(z) \neq 0$ सामान्यतः सही कथन है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं। चूँकि $P$ रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2\alpha - 3\beta + 4 = 0$ है।
माना $(h, k)$ $\Delta PQR$ का केंद्रक है। केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$h = \frac{\alpha + 1 + 3}{3}$ $\Rightarrow 3h = \alpha + 4$ $\Rightarrow \alpha = 3h - 4$
$k = \frac{\beta + 4 - 2}{3}$ $\Rightarrow 3k = \beta + 2$ $\Rightarrow \beta = 3k - 2$
इन मानों को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(3h - 4) - 3(3k - 2) + 4 = 0$
$6h - 8 - 9k + 6 + 4 = 0$
$6h - 9k + 2 = 0$
केंद्रक $(h, k)$ का बिंदुपथ $6x - 9y + 2 = 0$ है।
ढाल-अंतःखंड रूप में लिखने पर: $9y = 6x + 2$ $\Rightarrow y = \frac{6}{9}x + \frac{2}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{9}$।
इस रेखा की ढाल $\frac{2}{3}$ है।

(B) ,$AC$ का मध्य बिंदु है। $BD$ भुजा $AC$ की माध्यिका है।
माध्यिका की लंबाई के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(AB^2 + BC^2) - AC^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(7^2 + 5^2) - 6^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(49 + 25) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(74) - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{148 - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7} = 2 \sqrt{7} \ m$.
माना $D$ पर लैंप-पोस्ट की ऊँचाई $h$ है। लैंप-पोस्ट $B$ पर $30^o$ का कोण बनाता है,इसलिए लैंप-पोस्ट और रेखाखंड $BD$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan 30^o = \frac{h}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2 \sqrt{7}}$
$h = \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{21}}{3} \ m$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $4x^2 - 5y^2 = 20$ है,जिसे $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 5$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $x - y = 2$ है,जिसे $y = x - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = 1$ है।
ढाल $m$ वाली अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
$m = 1$,$a^2 = 5$,और $b^2 = 4$ रखने पर,$y = 1(x) \pm \sqrt{5(1)^2 - 4} = x \pm \sqrt{5 - 4} = x \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखाएं $y = x + 1$ या $y = x - 1$ हैं,जिन्हें $x - y + 1 = 0$ या $x - y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$x - y + 1 = 0$ सही विकल्प है।

(B) दी गई रेखा $3x + 4y = 24$ है।
$x-$अंतःखंड $(A)$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x = 24 \implies x = 8$. अतः,$A = (8, 0)$.
$y-$अंतःखंड $(B)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $4y = 24 \implies y = 6$. अतः,$B = (0, 6)$.
त्रिभुज $OAB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(8, 0)$ और $B(0, 6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $OA = 8$,$OB = 6$,और $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ है।
अंतःकेंद्र $I(x, y) = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} \right)$.
यहाँ,$x_1=0, y_1=0$ (सामने की भुजा $a=10$),$x_2=8, y_2=0$ (सामने की भुजा $b=6$),$x_3=0, y_3=6$ (सामने की भुजा $c=8$).
$I = \left( \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{10 + 6 + 8}, \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{10 + 6 + 8} \right) = \left( \frac{48}{24}, \frac{48}{24} \right) = (2, 2)$.

(D) $7n + 2$ के रूप वाली दो अंकों की संख्याएँ $16, 23, \dots, 93$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 16$,$l = 93$ और सार्व अंतर $d = 7$ है। पदों की संख्या $n_1 = 12$ है। योग $S_1 = \frac{12}{2}(16 + 93) = 654$ है।
$7n + 5$ के रूप वाली दो अंकों की संख्याएँ $12, 19, \dots, 96$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 12$,$l = 96$ और सार्व अंतर $d = 7$ है। पदों की संख्या $n_2 = 13$ है। योग $S_2 = \frac{13}{2}(12 + 96) = 702$ है।
कुल योग $S_1 + S_2 = 654 + 702 = 1356$ है।

(A) दिया गया कथन $P(n) = n^2 - n + 41$ है।
$n = 3$ के लिए:
$P(3) = 3^2 - 3 + 41 = 9 - 3 + 41 = 47$.
चूंकि $47$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $P(3)$ सत्य है।
$n = 5$ के लिए:
$P(5) = 5^2 - 5 + 41 = 25 - 5 + 41 = 61$.
चूंकि $61$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $P(5)$ सत्य है।
अतः,$P(3)$ और $P(5)$ दोनों सत्य हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + (3 - \lambda)x + (2 - \lambda) = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = - (3 - \lambda) = \lambda - 3$ और $\alpha \beta = 2 - \lambda$ है।
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ है।
मान रखने पर,$S = (\lambda - 3)^2 - 2(2 - \lambda)$ प्राप्त होता है।
$S = \lambda^2 - 6 \lambda + 9 - 4 + 2 \lambda$.
$S = \lambda^2 - 4 \lambda + 5$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $S = (\lambda - 2)^2 + 1$.
$S$ का मान न्यूनतम तब होता है जब $\lambda - 2 = 0$,अर्थात $\lambda = 2$।

(A) माना $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdot \dots \cdot \cos \frac{\pi}{2^{10}}$.
सर्वसमिका $\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\theta = \frac{\pi}{2^{10}}$ और $n = 9$ रखने पर.
अतः $P = \frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})}$.
दिया गया व्यंजक $P \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^2 \left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ है।
$\left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/2})^{10-r} (\lambda x^{-2})^r$ है।
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2}$।
बाहरी $x^2$ से गुणा करने पर,पूर्ण व्यंजक का सामान्य पद ${}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2 + 2}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,घात को $2$ के बराबर रखने पर:
$\frac{10-5r}{2} + 2 = 2$ $\Rightarrow 10-5r = 0$ $\Rightarrow r = 2$।
$r=2$ रखने पर:
${}^{10}C_2 \lambda^2 = 720$।
चूंकि ${}^{10}C_2 = 45$,इसलिए $45 \lambda^2 = 720$।
$\lambda^2 = 16$।
चूंकि $\lambda$ धनात्मक है,इसलिए $\lambda = 4$।

(D) माना दो रेखाएँ $L_1: x + y = 3$ और $L_2: x - y = -3$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समांतर चतुर्भुज का एक शीर्ष $A$ देता है। $x + y = 3$ और $x - y = -3$ को हल करने पर $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ प्राप्त होता है,और $x = 0$ को $x + y = 3$ में रखने पर $y = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (0, 3)$ है।
विकर्ण $(2, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। यदि $A(0, 3)$ एक शीर्ष है,तो सम्मुख शीर्ष $C(x_c, y_c)$ के लिए $\frac{0 + x_c}{2} = 2$ और $\frac{3 + y_c}{2} = 4$ होगा,जिससे $x_c = 4$ और $y_c = 5$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$C = (4, 5)$ है।
चूँकि भुजाएँ दी गई रेखाओं के समांतर हैं,अन्य दो शीर्ष $B$ और $D$,$C(4, 5)$ से गुजरने वाली और $L_1$ तथा $L_2$ के समांतर रेखाओं पर स्थित हैं। $C$ से गुजरने वाली और $x + y = 3$ के समांतर रेखा $x + y = 9$ है। $C$ से गुजरने वाली और $x - y = -3$ के समांतर रेखा $x - y = -1$ है।
शीर्ष $B$,$x + y = 3$ और $x - y = -1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। जोड़ने पर $2x = 2 \Rightarrow x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है। अतः $B = (1, 2)$ है।
शीर्ष $D$,$x + y = 9$ और $x - y = -3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। जोड़ने पर $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ और $y = 6$ प्राप्त होता है। अतः $D = (3, 6)$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(3, 6)$ एक शीर्ष है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह एक समघात अवकल समीकरण है,हम $y = ux$ रखते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$।
$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$।
$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$।
$u = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$।
अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 2x$ है,जिसे $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) माना $I = \int \limits_{0}^{\pi} |\cos x|^3 dx$.
चूंकि अंतराल $[0, \pi]$ में फलन $f(x) = |\cos x|^3$,$x = \frac{\pi}{2}$ के सापेक्ष सममित है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ जहाँ $n$ विषम है:
$I = 2 \times \left( \frac{3-1}{3} \right) = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
अतः,इसका मान $\frac{4}{3}$ है.

(D) माना तिर्यक ऊँचाई $l = 3 \, m$,त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 = r^2 + h^2$,इसलिए $r^2 = l^2 - h^2 = 9 - h^2$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$r^2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V(h) = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (9h - h^3)$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (9 - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$9 - 3h^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = 3$,इसलिए $h = \sqrt{3}$.
अब,अधिकतम आयतन की गणना करने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi (9 - 3) \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi (6) \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\pi \, m^3$.

(D) माना $I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin(x^2-1) - 2 \sin(x^2-1) \cos(x^2-1)}{2 \sin(x^2-1) + 2 \sin(x^2-1) \cos(x^2-1)}} dx$
$I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin(x^2-1) [1 - \cos(x^2-1)]}{2 \sin(x^2-1) [1 + \cos(x^2-1)]}} dx$
$I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin^2(\frac{x^2-1}{2})}{2 \cos^2(\frac{x^2-1}{2})}} dx$
$I = \int x \tan(\frac{x^2-1}{2}) dx$
माना $t = \frac{x^2-1}{2}$,तब $dt = x dx$
$I = \int \tan(t) dt = \ln|\sec(t)| + c$
$I = \ln|\sec(\frac{x^2-1}{2})| + c$

(A) दिए गए फलन ${f_1}(x) = \frac{1}{x}$,${f_2}(x) = 1 - x$,और ${f_3}(x) = \frac{1}{1 - x}$ हैं।
दिया गया समीकरण $(f_2 \circ J \circ f_1)(x) = f_3(x)$ है,जिसे ${f_2}(J(f_1(x))) = f_3(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${f_2}$ और ${f_3}$ के मान रखने पर:
$1 - J(f_1(x)) = \frac{1}{1 - x}$.
$J(f_1(x))$ के लिए हल करने पर:
$J(f_1(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$.
चूंकि ${f_1}(x) = \frac{1}{x}$,मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{t}$.
$J(f_1(x))$ के व्यंजक में $x = \frac{1}{t}$ रखने पर:
$J(t) = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t} - 1} = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1 - t}{t}} = \frac{1}{1 - t}$.
अतः,$J(x) = \frac{1}{1 - x}$,जो ${f_3}(x)$ के बराबर है।

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
समीकरण $\vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} = 0$ से,हमें $\vec{a} \times \vec{c} = -\vec{b}$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{c}$ की गणना करने पर:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}(-z) - \hat{j}(z) + \hat{k}(y + x) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x + y)\hat{k}$.
इसे $-\vec{b} = -(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ के बराबर रखने पर:
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$.
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$ (संगत).
$x + y = -1$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$,इसलिए $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = x - y = 4$.
समीकरणों को हल करने पर:
$x + y = -1$
$x - y = 4$
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
दोनों को घटाने पर: $2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$.
अतः,$\vec{c} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{5}{2}\hat{j} + 1\hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (1)^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 1 = \frac{34}{4} + 1 = \frac{17}{2} + 1 = \frac{19}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\cos^{-1}\left(\frac{2}{3x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{3}{4x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(A) + \cos^{-1}(B) = \cos^{-1}\left(AB - \sqrt{1-A^2}\sqrt{1-B^2}\right)$.
अतः,$\cos^{-1}\left(\frac{2}{3x} \cdot \frac{3}{4x} - \sqrt{1-\frac{4}{9x^2}}\sqrt{1-\frac{9}{16x^2}}\right) = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\frac{6}{12x^2} - \sqrt{\frac{9x^2-4}{9x^2}}\sqrt{\frac{16x^2-9}{16x^2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\frac{1}{2x^2} = \frac{\sqrt{9x^2-4}\sqrt{16x^2-9}}{12x^2}$.
$12x^2$ से गुणा करने पर,हमें $6 = \sqrt{9x^2-4}\sqrt{16x^2-9}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$36 = (9x^2-4)(16x^2-9) = 144x^4 - 81x^2 - 64x^2 + 36$.
$144x^4 - 145x^2 = 0$.
$x^2(144x^2 - 145) = 0$.
चूंकि $x > \frac{3}{4}$,इसलिए $x^2 \neq 0$,अतः $144x^2 = 145$,जिससे $x = \frac{\sqrt{145}}{12}$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + (a^2 - 1)z = a + 1$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & a^2 - 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(3(a^2 - 1) - 6) - 1(2(a^2 - 1) - 4) + 1(6 - 6)$
$D = 3a^2 - 3 - 6 - 2a^2 + 2 + 4$
$D = a^2 - 3$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,इसलिए $a^2 - 3 \neq 0$,जिसका अर्थ है $|a| \neq \sqrt{3}$.
यदि $|a| = \sqrt{3}$ है,तो $a^2 = 3$. समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + 2z = a + 1$
दूसरे और तीसरे समीकरण की तुलना करने पर,हमें $5 = a + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$. हालाँकि,हमने माना है कि $|a| = \sqrt{3}$,इसलिए $a^2 = 3$. चूँकि $4^2 \neq 3$,इसलिए जब $|a| = \sqrt{3}$ होता है तो निकाय असंगत होता है क्योंकि दूसरे और तीसरे समीकरण के बाएँ पक्ष समान हैं,लेकिन अचर पद अलग हैं ($5 \neq a + 1$ जब $a^2 = 3$).
अतः,$|a| = \sqrt{3}$ के लिए निकाय असंगत है।

(C) माना कि अभीष्ट रेखा $L$ बिंदु $P(-4, 1, 3)$ से गुजरती है और इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x + 4}{a} = \frac{y - 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ है।
चूंकि रेखा $L$ समतल $x + 2y - z - 5 = 0$ के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब $(1, 2, -1)$ रेखा $L$ पर लंब है। अतः,$a + 2b - c = 0$ है।
रेखा $L$ दी गई रेखा $L_1: \frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}$ को प्रतिच्छेद करती है। इन शर्तों को हल करने पर हमें दिक्-अनुपात $(3, -1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ है।

(B) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + z - 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + \lambda)z - (1 + 4\lambda) = 0$।
चूंकि समतल $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$।
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - \frac{1}{3})z - (1 + 4(-\frac{1}{3})) = 0$
$\frac{1}{3}x + 0y + \frac{2}{3}z + \frac{1}{3} = 0$
$x + 2z + 1 = 0$।
विकल्पों की जांच करने पर,बिंदु $(-3, 1, 1)$ के लिए: $(-3) + 2(1) + 1 = 0$। अतः,समतल $(-3, 1, 1)$ से गुजरता है।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखें: $10 - x^2 = 2 + x^2$.
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = 2$ के लिए,$y = 2 + (2)^2 = 6$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 6)$ है।
$(2, 6)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y = 10 - x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = -2x$. $x = 2$ पर,$m_1 = -2(2) = -4$.
$y = 2 + x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = 2$ पर,$m_2 = 2(2) = 4$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$|\tan \theta | = |\frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)}| = |\frac{-8}{1 - 16}| = |\frac{-8}{-15}| = \frac{8}{15}$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$।
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(-50\theta) & -\sin(-50\theta) \\ \sin(-50\theta) & \cos(-50\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(50\theta) & \sin(50\theta) \\ -\sin(50\theta) & \cos(50\theta) \end{bmatrix}$।
दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{12}$,इसलिए $50\theta = 50 \times \frac{\pi}{12} = \frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$।
चूंकि $\cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,
अतः $A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & \sin(\frac{\pi}{6}) \\ -\sin(\frac{\pi}{6}) & \cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$।

(A) परवलय का समीकरण $y = x^2 - 1$ है।
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
$x = 2$ पर,ढाल $m = 2(2) = 4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = 4(x - 2)$ है,जिसे $y = 4x - 5$ या $x = \frac{y + 5}{4}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
परवलय को $x = \sqrt{y + 1}$ के रूप में लिखा जा सकता है ($x > 0$ के लिए)।
स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटती है,जहाँ $y = -5$ है।
परवलय,स्पर्श रेखा और $y$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $y = -1$ से $y = 3$ तक के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{3} (x_{\text{tangent}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{-1}^{3} \left( \frac{y + 5}{4} - \sqrt{y + 1} \right) dy$।
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{5y}{4} \right]_{-1}^{3} - \left[ \frac{2}{3}(y + 1)^{3/2} \right]_{-1}^{3}$।
$= \left( (\frac{9}{8} + \frac{15}{4}) - (\frac{1}{8} - \frac{5}{4}) \right) - \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 \right)$।
$= (\frac{39}{8} - (-\frac{9}{8})) - \frac{2}{3}(8) = \frac{48}{8} - \frac{16}{3} = 6 - \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$।

(D) $f(x)$ के सतत होने के लिए,इसे संक्रमण बिंदुओं $x=1, x=3,$ और $x=5$ पर सतत होना चाहिए।
$x=1$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b(1) = a + b$
सांतत्य के लिए,$a + b = 5$ $(i)$
$x=3$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$
$RHL = \lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 5(3) = b + 15$
सांतत्य के लिए,$a + 3b = b + 15 \implies a + 2b = 15$ $(ii)$
$x=5$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 5(5) = b + 25$
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$
सांतत्य के लिए,$b + 25 = 30 \implies b = 5$
$b=5$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2(5) = 15 \implies a + 10 = 15 \implies a = 5$
अब इन मानों की $(i)$ में जाँच करें:
$a + b = 5 + 5 = 10 \neq 5$
चूंकि $a=5$ और $b=5$ मान $x=1$ पर शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं,इसलिए $a$ और $b$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए फलन हर जगह सतत हो।

(D) कुल पत्तों की संख्या $52$ है और इक्कों की संख्या $4$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,एक बार में इक्का निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है और इक्का न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ है।
$P(X = 1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X = 2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
अतः,$P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x)f(y)$ है,जहाँ $x, y \in [0, 1].$
$y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है.
चूँकि $f(0) \ne 0,$ हम $f(0)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $f(x) = 1$ प्राप्त होता है,सभी $x \in [0, 1]$ के लिए.
अब,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x) = 1$ है.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = x + c$ प्राप्त होता है.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 = 0 + c,$ अतः $c = 1.$
इस प्रकार,फलन $y(x) = x + 1$ है.
हमें $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ का मान ज्ञात करना है.
$y\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$
$y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}.$
अतः,$y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} = 3.$

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\sin \theta)$ का मुख्य मान परिसर $[-\pi/2, \pi/2]$ है।
यहाँ $3\pi \approx 9.42$ और $10$ अंतराल $(2\pi, 3\pi)$ में स्थित है,इसलिए हम गुणधर्म $\sin^{-1}(\sin \theta) = 3\pi - \theta$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$x = \sin^{-1}(\sin 10) = 3\pi - 10$.
$y = \cos^{-1}(\cos 10)$ के लिए,मुख्य मान परिसर $[0, \pi]$ है।
चूँकि $3\pi < 10 < 4\pi$ है,हम $\cos^{-1}(\cos \theta) = 4\pi - \theta$ का उपयोग करते हैं।
इसलिए,$y = 4\pi - 10$.
अतः,$y - x = (4\pi - 10) - (3\pi - 10) = \pi$.

(C) दिया गया क्षेत्र $y = x|x| + 1$ और $x$-अक्ष द्वारा $-1 \le x \le 1$ के लिए घिरा हुआ है।
हम $y$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{यदि } -1 \le x < 0 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \end{cases}$
क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx + \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx$
प्रथम समाकलन का मूल्यांकन:
$\int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3}$
द्वितीय समाकलन का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = (\frac{1}{3} + 1) - 0 = \frac{4}{3}$
कुल क्षेत्रफल $= \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x - 4y + 7z = g$ $(1)$
$0x + 3y - 5z = h$ $(2)$
$-2x + 5y - 9z = k$ $(3)$
निकाय के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,या समीकरणों का ऐसा रैखिक संयोजन मौजूद होना चाहिए जो एक संगत परिणाम दे।
मान लीजिए समीकरण $L_1, L_2, L_3$ हैं। हम $c_1 L_1 + c_2 L_2 + c_3 L_3 = 0$ के लिए जाँच करते हैं।
$c_1(x - 4y + 7z) + c_2(3y - 5z) + c_3(-2x + 5y - 9z) = c_1 g + c_2 h + c_3 k$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x: c_1 - 2c_3 = 0 \implies c_1 = 2c_3$
$y: -4c_1 + 3c_2 + 5c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ रखने पर: $-4(2c_3) + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies -8c_3 + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies 3c_2 = 3c_3 \implies c_2 = c_3$
$z: 7c_1 - 5c_2 - 9c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ और $c_2 = c_3$ रखने पर: $7(2c_3) - 5(c_3) - 9c_3 = 14c_3 - 14c_3 = 0$. यह किसी भी $c_3$ के लिए सत्य है।
मान लीजिए $c_3 = 1$,तो $c_1 = 2$ और $c_2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रैखिक संयोजन $2L_1 + L_2 + L_3 = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $2g + h + k = 0$।

(B) माना पहली रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दूसरे समतल में स्थित दो रेखाओं $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_3} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
दूसरे समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को $\vec{v_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब सदिश $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ लेने पर,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ होगा।

(C) यह जांचने के लिए कि क्या $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम इसका सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -(\cos t + \sin t) & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix} = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -\cos t - \sin t & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$|A| = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 0 & -2 \cos t - \sin t & \cos t - 2 \sin t \\ 0 & 2 \sin t - \cos t & -2 \cos t - \sin t \end{vmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = e^{-t} [(-2 \cos t - \sin t)^2 - (\cos t - 2 \sin t)(2 \sin t - \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t - (2 \sin t \cos t - \cos^2 t - 4 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t + \cos^2 t + 4 \sin^2 t - 4 \sin t \cos t] = e^{-t} [5 \cos^2 t + 5 \sin^2 t] = 5e^{-t}$.
चूंकि $5e^{-t} \neq 0$ सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए,इसलिए आव्यूह $A$ सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq y$):
$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.
दोनों पक्षों में $x \to y$ सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{x \to y} 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.
इसका अर्थ है कि $|f'(y)| \le 0$.
चूँकि मापांक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$.
यदि अवकलज शून्य है,तो फलन $f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = 1$,इसलिए अचर फलन $f(x) = 1$ है।
अब,समाकलन की गणना करने पर:
$\int_{0}^{1} f^2(x) dx = \int_{0}^{1} (1)^2 dx = \int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$.

(D) दिया गया है $x = 3 \tan t$ और $y = 3 \sec t.$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t$
$\frac{dy}{dt} = 3 \sec t \tan t$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 \sec t \tan t}{3 \sec^2 t} = \frac{\tan t}{\sec t} = \sin t$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin t) = \cos t \cdot \frac{dt}{dx}$
चूंकि $\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t,$ इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{3 \sec^2 t}.$
यह मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \cos t \cdot \frac{1}{3 \sec^2 t} = \frac{\cos^3 t}{3}$
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1/\sqrt{2})^3}{3} = \frac{1}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}.$

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि पहली निकाली गई गेंद लाल है। तब कलश में एक हरी गेंद डाली जाती है। प्रायिकता $P(E_1) = \frac{5}{7}$ है। एक लाल गेंद निकालने के बाद,कलश में $4$ लाल और $2$ हरी गेंदें बचती हैं। एक हरी गेंद डालने पर,कलश में $4$ लाल और $3$ हरी गेंदें हो जाती हैं। अतः,$E_1$ के दिए होने पर दूसरी बार में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{4}{7}$ है।
माना $E_2$ वह घटना है कि पहली निकाली गई गेंद हरी है। तब कलश में एक लाल गेंद डाली जाती है। प्रायिकता $P(E_2) = \frac{2}{7}$ है। एक हरी गेंद निकालने के बाद,कलश में $5$ लाल और $1$ हरी गेंद बचती है। एक लाल गेंद डालने पर,कलश में $6$ लाल और $1$ हरी गेंद हो जाती है। अतः,$E_2$ के दिए होने पर दूसरी बार में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता $P(E|E_2) = \frac{6}{7}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता:
$P(E) = P(E_1) \times P(E|E_1) + P(E_2) \times P(E|E_2)$
$P(E) = \left(\frac{5}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{6}{7}\right)$
$P(E) = \frac{20}{49} + \frac{12}{49} = \frac{32}{49}$.

(B) पहली रेखा $x = ay + b$ और $z = cy + d$ द्वारा दी गई है।
इसे सममित रूप में $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के दिक अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
दूसरी रेखा $x = a'z + b'$ और $y = c'z + d'$ द्वारा दी गई है।
इसे सममित रूप में $\frac{x - b'}{a'} = \frac{y - d'}{c'} = \frac{z}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के दिक अनुपात $(a', c', 1)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(a)(a') + (1)(c') + (c)(1) = 0$.
अतः,$aa' + c' + c = 0$.

(D) $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right)\vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि यह प्रक्षेप सदिश $\vec{a}$ है,इसलिए $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = 1$,जिसका अर्थ है $\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 1 + 2 = 4$.
अब,$\vec{b} \cdot \vec{a} = (b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = b_{1} + b_{2} + 2$.
दोनों की तुलना करने पर,$b_{1} + b_{2} + 2 = 4$,इसलिए $b_{1} + b_{2} = 2$ .....$(1)$.
यह दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{c}$,इसलिए $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + b_{1})\hat{i} + (1 + b_{2})\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (1 + b_{1})(5) + (1 + b_{2})(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0$.
$5 + 5b_{1} + 1 + b_{2} + 4 = 0 \Rightarrow 5b_{1} + b_{2} = -10$ .....$(2)$.
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4b_{1} = -12 \Rightarrow b_{1} = -3$.
$b_{1} = -3$ को $(1)$ में रखने पर: $-3 + b_{2} = 2 \Rightarrow b_{2} = 5$.
अतः,$\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 25 + 2} = \sqrt{36} = 6$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$,जहाँ $x \in A$ और $A = R \setminus \{1, 2, 3, \dots\}$।
एकैकी (injective) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$।
$\frac{2x_1}{x_1 - 1} = \frac{2x_2}{x_2 - 1}$
$x_1(x_2 - 1) = x_2(x_1 - 1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_2x_1 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$।
अतः,$f$ एकैकी (injective) है।
आच्छादक (surjective) की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{2x}{x - 1}$।
$y(x - 1) = 2x$
$yx - y = 2x$
$x(y - 2) = y$
$x = \frac{y}{y - 2}$।
यदि हम $y = 4$ लेते हैं,तो $x = \frac{4}{4 - 2} = 2$ प्राप्त होता है। चूँकि $2 \notin A$,इसलिए $A$ में ऐसा कोई $x$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 4$ हो।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।

(C) मान लीजिए $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। $P(H) = \frac{1}{2}$ और $P(T) = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि चित आता है,तो दो पासे फेंके जाते हैं। योग $7$ या $8$ हो सकता है। योग $7$ के लिए जोड़े $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ परिणाम) हैं और $8$ के लिए $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम) हैं। कुल परिणाम = $36$।
$P(7 \text{ या } 8 | H) = \frac{6+5}{36} = \frac{11}{36}$।
स्थिति $2$: यदि पट आता है,तो $9$ कार्डों में से एक कार्ड चुना जाता है। अनुकूल संख्याएँ $7$ और $8$ हैं।
$P(7 \text{ या } 8 | T) = \frac{2}{9}$।
कुल प्रायिकता $P(7 \text{ या } 8) = P(H) \times P(7 \text{ या } 8 | H) + P(T) \times P(7 \text{ या } 8 | T)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{11}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9} = \frac{11}{72} + \frac{1}{9} = \frac{11+8}{72} = \frac{19}{72}$।

(A) माना $P(x, y)$ वक्र $y = \sqrt{x}$ पर एक बिंदु है। अतः $P$ को $(t^2, t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $t > 0$ है।
$P(t^2, t)$ और $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ के बीच की दूरी का वर्ग $D^2$ इस प्रकार है:
$f(t) = (t^2 - \frac{3}{2})^2 + (t - 0)^2 = t^4 - 3t^2 + \frac{9}{4} + t^2 = t^4 - 2t^2 + \frac{9}{4}$.
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(t) = 4t^3 - 4t = 4t(t^2 - 1) = 0$.
चूँकि $t > 0$ है,इसलिए $t^2 = 1$,जिसका अर्थ है $t = 1$.
$t = 1$ के लिए,बिंदु $P$ का मान $(1^2, 1) = (1, 1)$ है।
न्यूनतम दूरी $(1, 1)$ और $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{n_1} = (3, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 + 1) = -7\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
$-7$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, -1)$ ले सकते हैं।
बिंदु $(4, -1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $(1, 1, -1)$ वाले समतल का समीकरण $1(x - 4) + 1(y + 1) - 1(z - 2) = 0$ है।
$x - 4 + y + 1 - z + 2 = 0 \Rightarrow x + y - z = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 1, 1)$ के लिए,$1 + 1 - 1 = 1$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (3 \sec^2 x) y = \sec^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3 \sec^2 x$ और $Q(x) = \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3 \sec^2 x dx} = e^{3 \tan x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3 \tan x} dx + C$.
माना $u = 3 \tan x$,तब $du = 3 \sec^2 x dx$,इसलिए $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int e^u \cdot \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3} e^{3 \tan x} + C$.
$e^{3 \tan x}$ से भाग देने पर,$y = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan x}$ प्राप्त होता है।
दिया है $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan(\pi/4)} = \frac{1}{3} + C e^{-3}$.
$1 = C e^{-3} \Rightarrow C = e^3$.
अतः,$y(x) = \frac{1}{3} + e^3 \cdot e^{-3 \tan x} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ के लिए,$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan(-\pi/4)} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3(-1)} = \frac{1}{3} + e^6$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
गुणांक आव्यूह:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = 1(2\alpha - 9) - 1(\alpha - 3) + 1(3 - 2) = \alpha - 5$.
$D = 0$ रखने पर,$\alpha = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$D_3 = 0$ के लिए:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(2\beta - 27) - 1(\beta - 9) + 5(3 - 2) = \beta - 13$.
$D_3 = 0$ रखने पर,$\beta = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta - \alpha = 13 - 5 = 8$.

(A) दिया गया सारणिक $A = \begin{vmatrix} -2 & 4+d & \sin \theta - 2 \\ 1 & \sin \theta + 2 & d \\ 5 & 2\sin \theta - d & -\sin \theta + 2 + 2d \end{vmatrix}$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $\det(A) = (d+2)^2 - \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$\det(A)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta \in [0, 1]$ होता है।
अतः,$\min(\det(A)) = (d+2)^2 - 1$ होगा।
दिया गया है कि $\min(\det(A)) = 8$,इसलिए $(d+2)^2 - 1 = 8 \implies (d+2)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः $d+2 = 3$ या $d+2 = -3$ होगा।
इसलिए $d = 1$ या $d = -5$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $f(x) = x^4 - 2x^2$ है। समाकल $I = \int_a^b f(x) dx$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें उस क्षेत्र पर समाकलन करना होगा जहाँ $f(x)$ ऋणात्मक है।
$f(x) = x^2(x^2 - 2) = x^2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ है।
फलन $f(x)$ अंतराल $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ में ऋणात्मक है।
चूंकि एक ऋणात्मक फलन का उसके पूरे ऋणात्मक क्षेत्र पर समाकलन न्यूनतम संभव मान देता है,इसलिए हम $a = -\sqrt{2}$ और $b = \sqrt{2}$ लेते हैं।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \max \{|x|, x^2\}, & |x| \le 2 \\ 8 - 2|x|, & 2 < |x| \le 4 \end{cases}$.
$|x| \le 2$ के लिए,$f(x) = \begin{cases} x^2, & |x| \le 1 \\ |x|, & 1 < |x| \le 2 \end{cases}$.
इन्हें संयोजित करने पर,$f(x) = \begin{cases} 8+2x, & -4 < x \le -2 \\ -x, & -2 < x \le -1 \\ x^2, & -1 < x \le 1 \\ x, & 1 < x \le 2 \\ 8-2x, & 2 < x < 4 \end{cases}$.
क्रांतिक बिंदुओं पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = -2$ पर: $f(-2) = 4$. बायां अवकलज $-2$ है,दायां अवकलज $-1$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = -1$ पर: $f(-1) = 1$. बायां अवकलज $-1$ है,दायां अवकलज $-2$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f(0) = 0$. बायां अवकलज $0$ है,दायां अवकलज $0$ है। अवकलनीय है।
$x = 1$ पर: $f(1) = 1$. बायां अवकलज $2$ है,दायां अवकलज $1$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 2$ पर: $f(2) = 2$. बायां अवकलज $1$ है,दायां अवकलज $-2$ है। अवकलनीय नहीं है।
अतः,$S = \{-2, -1, 1, 2\}$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$.
मान लीजिए $f'(1) = a$,$f''(2) = b$,और $f'''(3) = c$.
तब $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
अब,अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$
$f''(x) = 6x + 2a$
$f'''(x) = 6$
$a, b, c$ की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए:
$c = f'''(3) = 6$.
$b = f''(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a \Rightarrow 2a - b = -12$.
$a = f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b \Rightarrow a + b = -3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2a - b) + (a + b) = -12 - 3 \Rightarrow 3a = -15 \Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ को $a + b = -3$ में रखने पर: $-5 + b = -3 \Rightarrow b = 2$.
अतः,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$.
$f(2)$ की गणना करने पर: $f(2) = (2)^3 - 5(2)^2 + 2(2) + 6 = 8 - 20 + 4 + 6 = -2$.

(B) दिया गया है कि $\vec{b} = 2\vec{a}$,इसलिए $4\hat{i} + (3 - \lambda_{2})\hat{j} + 6\hat{k} = 2(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\lambda_{1}\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $3 - \lambda_{2} = 2\lambda_{1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda_{2} = 3 - 2\lambda_{1}$ ... $(i)$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{c}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + (\lambda_{3} - 1)\hat{k}) = 0$.
$2(3) + \lambda_{1}(6) + 3(\lambda_{3} - 1) = 0$.
$6 + 6\lambda_{1} + 3\lambda_{3} - 3 = 0$.
$3\lambda_{3} = -3 - 6\lambda_{1} \Rightarrow \lambda_{3} = -1 - 2\lambda_{1}$ ... $(ii)$.
अतः,त्रिक $(\lambda_{1}, 3 - 2\lambda_{1}, -1 - 2\lambda_{1})$ है।
यदि $\lambda_{1} = -\frac{1}{2}$ लें,तो $\lambda_{2} = 3 - 2(-\frac{1}{2}) = 4$ और $\lambda_{3} = -1 - 2(-\frac{1}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,संभावित मान $(-\frac{1}{2}, 4, 0)$ है।

(A) रेखा पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(1 - 3\mu, \mu - 1, 2 + 5\mu)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ को $B - A = (3 - (1 - 3\mu))\hat{i} + (2 - (\mu - 1))\hat{j} + (6 - (2 + 5\mu))\hat{k}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\overrightarrow{AB} = (2 + 3\mu)\hat{i} + (3 - \mu)\hat{j} + (4 - 5\mu)\hat{k}$.
सदिश $\overrightarrow{AB}$ समतल $x - 4y + 3z = 1$ के समानांतर है यदि और केवल यदि $\overrightarrow{AB}$ और समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -4, 3)$ का अदिश गुणनफल शून्य हो।
$(2 + 3\mu)(1) + (3 - \mu)(-4) + (4 - 5\mu)(3) = 0$.
$2 + 3\mu - 12 + 4\mu + 12 - 15\mu = 0$.
$(3 + 4 - 15)\mu + (2 - 12 + 12) = 0$.
$-8\mu + 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(A) माना $I = \int \frac{(\sin^n \theta - \sin \theta)^{\frac{1}{n}} \cos \theta}{\sin^{n+1} \theta} d\theta$.
$\sin \theta = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos \theta d\theta = dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \frac{(t^n - t)^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt$ बन जाता है।
अंश से $t^n$ कॉमन लेने पर: $I = \int \frac{(t^n(1 - t^{1-n}))^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt = \int \frac{t(1 - t^{1-n})^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt = \int \frac{(1 - t^{1-n})^{\frac{1}{n}}}{t^n} dt$.
माना $z = 1 - t^{1-n}$. तो $dz = -(1-n)t^{-n} dt = (n-1)t^{-n} dt$.
अतः,$t^{-n} dt = \frac{dz}{n-1}$.
समाकलन में मान रखने पर: $I = \frac{1}{n-1} \int z^{\frac{1}{n}} dz$.
$z$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = \frac{1}{n-1} \cdot \frac{z^{\frac{1}{n} + 1}}{\frac{1}{n} + 1} + C = \frac{1}{n-1} \cdot \frac{z^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + C = \frac{n}{(n-1)(n+1)} z^{\frac{n+1}{n}} + C$.
$I = \frac{n}{n^2 - 1} (1 - t^{1-n})^{\frac{n+1}{n}} + C$.
$t = \sin \theta$ वापस रखने पर: $I = \frac{n}{n^2 - 1} (1 - \frac{1}{\sin^{n-1} \theta})^{\frac{n+1}{n}} + C$.

(B) दिए गए वक्र $y = kx^2$ और $x = ky^2$ हैं,जहाँ $k > 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = kx^2$ को $x = ky^2$ में प्रतिस्थापित करें:
$x = k(kx^2)^2 = k^3 x^4$
$x(k^3 x^3 - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x^3 = \frac{1}{k^3}$,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{1}{k}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1}{k}, \frac{1}{k})$ हैं।
वक्रों के बीच घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1/k} (\sqrt{\frac{x}{k}} - kx^2) dx = 1$
$A = \left[ \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{kx^3}{3} \right]_{0}^{1/k} = 1$
$A = \left( \frac{2}{3\sqrt{k}} \cdot (\frac{1}{k})^{3/2} - \frac{k}{3} \cdot (\frac{1}{k})^3 \right) = 1$
$A = \frac{2}{3k^2} - \frac{1}{3k^2} = \frac{1}{3k^2} = 1$
$3k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{3}$
चूँकि $k > 0$ है,इसलिए $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \min\{-|x|, -\sqrt{1 - x^2}\}$ के रूप में परिभाषित है।
अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं को खोजने के लिए,हम वक्रों $y = -|x|$ और $y = -\sqrt{1 - x^2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$-|x| = -\sqrt{1 - x^2}$ रखने पर,हमें $|x| = \sqrt{1 - x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 1 - x^2$,जिसका अर्थ है $2x^2 = 1$,इसलिए $x^2 = \frac{1}{2}$,जिससे $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,फलन $f(x) = \min\{0, -1\} = -1$,जो $-|x|$ फलन के लिए एक तीक्ष्ण कोना है और दोनों वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी है।
ग्राफ की जाँच करने पर,फलन $f(x)$ बिंदुओं $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$x = 0$,और $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$3$ ऐसे बिंदु हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है। अतः,$K$ में ठीक तीन अवयव हैं।

(B) दिया गया वक्र $y = xe^{x^2}$ है।
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot e^{x^2} \cdot (2x) + e^{x^2} \cdot 1 = e^{x^2}(2x^2 + 1)$.
बिंदु $(1, e)$ पर ढाल $m$ का मान:
$m = e^{1^2}(2(1)^2 + 1) = e(2 + 1) = 3e$.
बिंदु $(1, e)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - e = 3e(x - 1)$
$y - e = 3ex - 3e$
$y = 3ex - 2e$.
अब,जाँच करते हैं कि कौन सा बिंदु समीकरण $y = 3ex - 2e$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $B$ $(\frac{4}{3}, 2e)$ के लिए:
$y = 3e(\frac{4}{3}) - 2e = 4e - 2e = 2e$.
चूँकि बिंदु $(\frac{4}{3}, 2e)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,अतः स्पर्श रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(8 - 7\cos 2\theta) - 3(-2 - 7\sin 3\theta) + 7(-\cos 2\theta - 4\sin 3\theta) = 0$
$8 - 7\cos 2\theta + 6 + 21\sin 3\theta - 7\cos 2\theta - 28\sin 3\theta = 0$
$14 - 14\cos 2\theta - 7\sin 3\theta = 0$
$2 - 2\cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ और $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 - 2(1 - 2\sin^2 \theta) - (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) = 0$
$4\sin^3 \theta + 4\sin^2 \theta - 3\sin \theta = 0$
$\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\sin \theta > 0$। अतः,$\sin \theta = 1/2$ ही एकमात्र मान्य हल है।
$\sin \theta = 1/2 \implies \theta = \pi/6, 5\pi/6$.
इस प्रकार,कुल $2$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिए गए सदिश $\vec{\alpha} = (\lambda - 2)\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{\beta} = (4\lambda - 2)\vec{a} + 3\vec{b}$ हैं।
चूँकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं,$\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ संरेख होंगे यदि और केवल यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांकों का अनुपात समान हो।
इसका अर्थ है $\frac{\lambda - 2}{4\lambda - 2} = \frac{1}{3}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$3(\lambda - 2) = 1(4\lambda - 2)$.
$3\lambda - 6 = 4\lambda - 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3\lambda - 4\lambda = -2 + 6$.
$-\lambda = 4$.
अतः,$\lambda = -4$.

(A) दिया गया समीकरण: $\int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = {x^2} + \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt}$.
लीबनीज़ के नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = \frac{d}{dx} ({x^2}) + \frac{d}{dx} \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt}$.
$f(x) = 2x - x^2 f(x)$.
$f(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$f(x) + x^2 f(x) = 2x$.
$f(x)(1 + x^2) = 2x$.
$f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$.
$x = 1/2$ रखने पर:
$f'(1/2) = \frac{2(1 - (1/2)^2)}{(1 + (1/2)^2)^2} = \frac{2(1 - 1/4)}{(1 + 1/4)^2} = \frac{2(3/4)}{(5/4)^2} = \frac{3/2}{25/16} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{25} = \frac{24}{25}$.

(C) मान लीजिए $n$ स्वतंत्र शॉट्स की संख्या है।
एक शॉट में लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
एक शॉट में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
सभी $n$ शॉट्स में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।
कम से कम एक बार लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी में चूकने}) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\frac{5}{6}$ से अधिक होनी चाहिए:
$1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n > \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < 1 - \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < \frac{1}{6}$
अब,हम $n$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
$n = 3$ के लिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0.296 > 0.166$
$n = 4$ के लिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0.197 > 0.166$
$n = 5$ के लिए: $\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \approx 0.131 < 0.166$
अतः,आवश्यक न्यूनतम शॉट्स की संख्या $n = 5$ है।

(B) माना $I = \int x^5 e^{-4x^3} dx$.
$t = -4x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -12x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = -\frac{1}{12} dt$.
साथ ही,$x^3 = -\frac{t}{4}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int x^3 \cdot e^{-4x^3} \cdot x^2 dx = \int (-\frac{t}{4}) e^t (-\frac{1}{12} dt) = \frac{1}{48} \int t e^t dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C_1$.
अतः,$I = \frac{1}{48} (t e^t - e^t) + C = \frac{1}{48} e^t (t - 1) + C$.
$t = -4x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{48} e^{-4x^3} (-4x^3 - 1) + C$.
दिए गए रूप $\frac{1}{48} e^{-4x^3} f(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = -4x^3 - 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & b & 1 \\ b & b^2+1 & b \\ 1 & b & 2 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(A) = 2((b^2+1)(2) - b^2) - b(b(2) - b) + 1(b^2 - (b^2+1))$
$\det(A) = 2(2b^2 + 2 - b^2) - b(2b - b) + 1(b^2 - b^2 - 1)$
$\det(A) = 2(b^2 + 2) - b(b) - 1$
$\det(A) = 2b^2 + 4 - b^2 - 1 = b^2 + 3$.
अब,$b > 0$ के लिए $\frac{\det(A)}{b}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{\det(A)}{b} = \frac{b^2 + 3}{b} = b + \frac{3}{b}$.
$b > 0$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{b + \frac{3}{b}}{2} \ge \sqrt{b \cdot \frac{3}{b}}$
$b + \frac{3}{b} \ge 2\sqrt{3}$.
अतः,न्यूनतम मान $2\sqrt{3}$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(-3, -3, 4)$ और $B(3, 7, 6)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M = \left( \frac{-3+3}{2}, \frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2} \right) = (0, 2, 5)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\overrightarrow{AB} = (3 - (-3))\hat{i} + (7 - (-3))\hat{j} + (6 - 4)\hat{k} = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{M} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}) = (0\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k})$.
$6x + 10y + 2z = 0(6) + 2(10) + 5(2) = 20 + 10 = 30$.
$2$ से विभाजित करने पर,समतल का समीकरण $3x + 5y + z = 15$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(4, 1, -2)$ के लिए: $3(4) + 5(1) + (-2) = 12 + 5 - 2 = 15$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समतल बिंदु $(4, 1, -2)$ से होकर गुजरता है।