यदि रेखा y = 4 + kx,k 0,परवलय y = x - x^{2} | vedclass

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Question

(C) परवलय का समीकरण $y = x - x^{2}$ है।माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ है।$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - 2x$ द्वारा

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$\frac{5}{2}$

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(C) परवलय का समीकरण $y = x - x^{2}$ है।माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ है।$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - 2x$ द्वारा दी जाती है। $x = \alpha$ पर,ढाल $1 - 2\alpha$ है।रेखा $y = kx + 4$,$A(0, 4)$ और $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ से गुजरती है।रेखा $AP$ की ढाल $\frac{(\alpha - \alpha^{2}) - 4}{\alpha - 0} = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$ है।ढालों की तुलना करने पर: $1 - 2\alpha = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$.$\alpha(1 - 2\alpha) = \alpha - \alpha^{2} - 4$$\alpha - 2\alpha^{2} = \alpha - \alpha^{2} - 4$$\alpha^{2} = 4 \Rightarrow \alpha = \pm 2$.चूंकि $k > 0$,ढाल $1 - 2\alpha$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $1 - 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha बिंदु $P$ का मान $(-2, -2 - (-2)^{2}) = (-2, -6)$ है।परवलय $y = -(x^{2} - x) = -(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ का शीर्ष $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ है।$P(-2, -6)$ और $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $\frac{\frac{1}{4} - (-6)}{\frac{1}{2} - (-2)} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{25}{4} 	imes \frac{2}{5} = \frac{5}{2}$ है।

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$STATEMENT-1$: वक्र $y = -\frac{x^2}{2} + x + 1$,रेखा $x = 1$ के सापेक्ष सममित है। क्योंकि
$STATEMENT-2$: एक परवलय अपने अक्ष के परितः सममित होता है।

मान लीजिए $P(\alpha, \beta)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर एक बिंदु है जो वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 20y + 103 = 0$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(-1, -2)$ है और नियता रेखा $x - 2y + 3 = 0$ है।

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