यदि $(2x^3 + \frac{3}{x})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ की सभी धनात्मक सम घातों के गुणांकों का योग $5^{10} - \beta \cdot 3^9$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में दो मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर है।

${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

यदि $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक $(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ के विस्तार में $x^{-15}$ के गुणांक के बराबर है,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो प्रत्येक ऐसे क्रमित युग्म $(a, b)$ के लिए:

$(x - \frac{1}{x})^7$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक है

${\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{x}} \right)^8}$ के द्विपद विस्तार में मध्य पद $5670$ होने पर $x$ के वास्तविक मानों का योग क्या है?