JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) लिफ्ट $4, 5, 6, 7, 8, 9$ और $10$वीं मंजिल पर रुकती है।
तीन व्यक्तियों के बाहर निकलने के लिए $7$ मंजिलें उपलब्ध हैं।
चूंकि तीन व्यक्ति तीन अलग-अलग मंजिलों पर बाहर निकल सकते हैं,इसलिए हमें $7$ में से $3$ मंजिलों का चयन करना होगा और उन्हें व्यवस्थित करना होगा।
तरीकों की संख्या $^7P_3 = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ है।

(A) दिया गया पद $T_r = \frac{r}{r^4+r^2+1}$ है।
सर्वसमिका $r^4+r^2+1 = (r^2+r+1)(r^2-r+1)$ का उपयोग करने पर:
$T_r = \frac{r}{(r^2+r+1)(r^2-r+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right)$.
माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$,तब $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+1}$.
अतः,$T_r = \frac{1}{2} (f(r) - f(r+1))$.
योग $S = \sum_{r=1}^{25} T_r = \frac{1}{2} (f(1) - f(26))$.
$f(1) = 1$ और $f(26) = \frac{1}{651}$.
$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{651}) = \frac{325}{651}$.
यहाँ $p=325$ और $q=651$ है,इसलिए $p+q = 325 + 651 = 976$.

(B) माना दी गई व्यंजक $S = \frac{6}{3^{26}} + \sum_{k=0}^{24} \frac{10 \cdot 2^k}{3^{25-k}}$ है।
इसे $S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \sum_{k=0}^{24} (6)^k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \left[ \frac{6^{25} - 1}{5} \right] = \frac{6}{3^{26}} + \frac{2}{3^{25}} (6^{25} - 1)$.
$S = \frac{6}{3^{26}} + 2 \cdot 2^{25} - \frac{2}{3^{25}} = \frac{2}{3^{25}} + 2^{26} - \frac{2}{3^{25}} = 2^{26}$.

(C) समुच्चय $A$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $2 + 0i$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
समुच्चय $B$ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ $2$ और $-2$ हैं। नाभियों से दूरियों का योग $2a = 5$ है,इसलिए $a = \frac{5}{2}$ है। केंद्र मूलबिंदु $(0, 0)$ पर है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a = \frac{5}{2}$ और $c = 2$ है। चूँकि $b^2 = a^2 - c^2$,इसलिए $b^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$,अतः $b = \frac{3}{2}$ है।
$|z_1 - z_2|$ को अधिकतम करने के लिए,हम $z_1$ को $A$ की सीमा पर और $z_2$ को दीर्घवृत्त $B$ पर इस प्रकार चुनते हैं कि वे एक-दूसरे से यथासंभव दूर हों।
दीर्घवृत्त $B$ पर केंद्र $2$ से सबसे दूर स्थित बिंदु $z_2 = -\frac{5}{2}$ है।
वृत्त $A$ पर $z_2 = -\frac{5}{2}$ से सबसे दूर स्थित बिंदु $z_1 = 6$ है।
अतः,अधिकतम दूरी $|6 - (-5/2)| = |6 + 2.5| = 8.5 = \frac{17}{2}$ है।

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ है। $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(2,0)$ और $B(-2,0)$ हैं।
मान लीजिए $AQ$ और $BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h,k)$ है।
$BP$ की ढाल $m_{BP} = \tan \frac{\alpha}{2}$ है।
$AQ$ की ढाल $m_{AQ} = -\cot \frac{\beta}{2}$ है।
दिया है कि $\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$ है।
समीकरणों को हल करने पर,हमें $h^2 + k^2 - 4k - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $x^2 + y^2 - 4y - 4 = 0$ पर स्थित है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ है। यहाँ $a^{2}=144$ और $b^{2}=169$ है। चूँकि $b^{2} > a^{2}$,नाभियाँ $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
दीर्घवृत्त के लिए,$e_{E} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm 5)$ हैं।
अतिपरवलय $\frac{y^{2}}{\lambda^{2}} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ है। यहाँ $a^{2} = \lambda^{2}$ और $b^{2} = 16$ है।
नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{\lambda^{2} + 16})$ हैं।
तुलना करने पर,$\sqrt{\lambda^{2} + 16} = 5$ $\Rightarrow \lambda^{2} = 9$ $\Rightarrow \lambda = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{3}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2(16)}{3} = \frac{32}{3}$ है।
अतः,$24(e+L) = 24(\frac{5}{3} + \frac{32}{3}) = 296$।

(B) दिया गया केंद्र $C = (1, -2)$,नाभि $F_1 = (3, -2)$,और शीर्ष $A_1 = (5, -2)$ है।
चूंकि $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए मुख्य अक्ष क्षैतिज है।
केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = |5 - 1| = 4$ है।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = |3 - 1| = 2$ है।
अतः,$e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 4^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{4} = \frac{24}{4} = 6$ है।

(A) दिया गया है कि $a, 4, \alpha, b$ समांतर श्रेणी में हैं। सार्व अंतर $d$ लेने पर,$a = 4-d, \alpha = 4+d, b = 4+2d$.
$\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ का माध्य $\frac{5}{16}$ है,अतः $\frac{1}{2}(\frac{1}{4-d} + \frac{1}{4+2d}) = \frac{5}{16}$.
हल करने पर $d = -4/5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $3.2x^2 - 4.8x - 3.2 = 0$ बनता है।
मूल $x = 2$ और $x = -0.5$ प्राप्त होते हैं।

(B) परवलय $y^{2}=8x$ है,अतः $4a=8 \Rightarrow a=2$. नाभि $A$ $(2,0)$ है।
माना बिंदु $B$ और $C$ क्रमशः $(2t_{1}^{2}, 4t_{1})$ और $(2t_{2}^{2}, 4t_{2})$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{2t_{1}^{2}+2t_{2}^{2}+2}{3}, \frac{4t_{1}+4t_{2}+0}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{4}{3})$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+1) = 7 \Rightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = \frac{5}{2}$.
$4(t_{1}+t_{2}) = 4 \Rightarrow t_{1}+t_{2} = 1$.
अब,$(t_{1}-t_{2})^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 4t_{1}t_{2}$.
चूँकि $t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$,इसलिए $1 - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2t_{1}t_{2} = -\frac{3}{2}$ $\Rightarrow t_{1}t_{2} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$(t_{1}-t_{2})^{2} = 1 - 4(-\frac{3}{4}) = 1+3 = 4$.
$(BC)^{2} = (2t_{1}^{2}-2t_{2}^{2})^{2} + (4t_{1}-4t_{2})^{2} = 4(t_{1}^{2}-t_{2}^{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2}$.
$(BC)^{2} = 4(t_{1}+t_{2})^{2}(t_{1}-t_{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2} = 4(1)^{2}(4) + 16(4) = 16 + 64 = 80$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$,और $n = 1001$ पद हैं।
योग सूत्र $S = a \frac{1-r^n}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$S = (1+x)^{1000} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{1001}}{1-\frac{x}{1+x}}$
$S = (1+x)^{1001} - x^{1001}$
$x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग:
$(1+x)^{1001}$ में $x^{499}$ का गुणांक ${}^{1001}C_{499}$ है और $x^{500}$ का गुणांक ${}^{1001}C_{500}$ है।
अतः,अभीष्ट योग ${}^{1001}C_{499} + {}^{1001}C_{500} = {}^{1002}C_{500}$ है।

(B) कथन $I$: हमारे पास $25^{13} + 3^{13} + 20^{13} + 8^{13}$ है।
चूंकि $n$ विषम होने पर $a^n + b^n$,$(a + b)$ से विभाज्य होता है,इसलिए:
$25^{13} + 3^{13}$,$(25 + 3) = 28$ से विभाज्य है,जो $7$ से विभाज्य है।
$20^{13} + 8^{13}$,$(20 + 8) = 28$ से विभाज्य है,जो $7$ से विभाज्य है।
अतः,योग $7$ से विभाज्य है। कथन $I$ सही है।
कथन $II$: मान लीजिए $R = (7 + 4\sqrt{3})^{25} = I + f$,जहाँ $I$ पूर्णांक भाग है और $0 < f < 1$ है।
मान लीजिए $R' = (7 - 4\sqrt{3})^{25} = f'$,जहाँ $0 < f' < 1$ है।
चूंकि $7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1$,$R'$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है।
$R + R' = (7 + 4\sqrt{3})^{25} + (7 - 4\sqrt{3})^{25} = 2 \left[ {}^{25}C_0 7^{25} + {}^{25}C_2 7^{23}(4\sqrt{3})^2 + \dots \right]$।
यह एक सम पूर्णांक है। अतः,$I + f + f' = \text{सम पूर्णांक}$।
चूंकि $0 < f + f' < 2$,इसलिए $f + f'$ का मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$I + 1 = \text{सम पूर्णांक}$,जिसका अर्थ है कि $I$ एक विषम पूर्णांक है। कथन $II$ सही है।

(C) अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ के लिए,इसे $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8 \cos^{2} \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^{2} = 8$ और $b^{2} = 8 \cos^{2} \theta$ है।
$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}$.
$l_{1} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(8 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{8}} = 4 \sqrt{2} \cos^{2} \theta$.
दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ के लिए,इसे $\frac{x^{2}}{6 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^{2} = 6$ और $b^{2} = 6 \cos^{2} \theta$ है।
$e_{2} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta$.
$l_{2} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(6 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} \cos^{2} \theta$.
दिया गया है कि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$,इसलिए $1 + \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta (1 + \frac{1}{\cos^{2} \theta}) = \sin^{2} \theta (\frac{\cos^{2} \theta + 1}{\cos^{2} \theta}) = \tan^{2} \theta (1 + \cos^{2} \theta)$.
चूँकि $1 + \cos^{2} \theta \neq 0$,इसलिए $\tan^{2} \theta = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos^{2} \theta = \frac{1}{2}$,$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$,$l_{1} = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{2}$.
$e_{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$l_{2} = 2 \sqrt{6} (\frac{1}{2}) = \sqrt{6}$.
अतः $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta = (\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$.

(B) माना $G.P.$ के पहले तीन पद $\frac{A}{r}, A, Ar$ हैं।
उनका गुणनफल $27$ दिया गया है:
$\frac{A}{r} \cdot A \cdot Ar = 27 \implies A^3 = 27 \implies A = 3$.
पहले तीन पदों का योग $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3 \left( r + \frac{1}{r} + 1 \right)$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $r \neq 0$ के लिए,$r + \frac{1}{r} \geq 2$ या $r + \frac{1}{r} \leq -2$ होता है।
यदि $r + \frac{1}{r} \geq 2$ है,तो $S \geq 3(2 + 1) = 9$।
यदि $r + \frac{1}{r} \leq -2$ है,तो $S \leq 3(-2 + 1) = -3$।
अतः,$S$ के संभावित मानों का समुच्चय $(-\infty, -3] \cup [9, \infty)$ है,जो $\mathbb{R} - (-3, 9)$ है।
इसकी तुलना $\mathbb{R} - (a, b)$ से करने पर,हमें $a = -3$ और $b = 9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a^2 + b^2 = (-3)^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90$।

(C) माना कि दो $A.P.$ के सार्व अंतर क्रमशः $d_{1}$ और $d_{2}$ हैं।
दिया गया है कि $d_{1} = d_{2} + 13$.
$A.P.$ $b_{n}$ के लिए,$b_{31} = b_{1} + 30d_{2} = -277$ (समीकरण $1$) और $b_{43} = b_{1} + 42d_{2} = -385$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(b_{1} + 42d_{2}) - (b_{1} + 30d_{2}) = -385 - (-277)$
$12d_{2} = -108$
$d_{2} = -9$.
अतः,$d_{1} = -9 + 13 = 4$.
$A.P.$ $a_{m}$ के लिए,$a_{78} = a_{1} + 77d_{1} = 327$.
$d_{1} = 4$ रखने पर:
$a_{1} + 77(4) = 327$
$a_{1} + 308 = 327$
$a_{1} = 327 - 308 = 19$.

(A) माना दो लुप्त प्रेक्षण $a$ और $b$ हैं। $10$ प्रेक्षणों का योग $10 \times 9 = 90$ है।
दिए गए $8$ प्रेक्षणों का योग $= 2+3+5+10+11+13+15+21 = 80$ है।
अतः,$a+b = 90 - 80 = 10$ है।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 34.2$ है। प्रसरण का सूत्र $\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 34.2$ है।
$\frac{2^2+3^2+5^2+10^2+11^2+13^2+15^2+21^2+a^2+b^2}{10} - 9^2 = 34.2$ है।
$1094 + a^2 + b^2 = 1152 \Rightarrow a^2 + b^2 = 58$ है।
$a+b=10$ और $a^2+b^2=58$ को हल करने पर $a=3$ और $b=7$ प्राप्त होता है।
$10$ प्रेक्षण $2, 3, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 21$ हैं।
माध्यिका $= \frac{7+10}{2} = 8.5$ है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma |x_i - 8.5|}{10} = \frac{6.5 + 5.5 + 5.5 + 3.5 + 1.5 + 1.5 + 2.5 + 4.5 + 6.5 + 12.5}{10} = \frac{50}{10} = 5$ है।

(C) माना $L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\sec(ex)) + \ln(\sec(e^{2}x)) + ... + \ln(\sec(e^{10}x))}{e^{2} - e^{2\cos x}}$.
$\ln(\sec \theta) \approx \frac{\theta^{2}}{2}$ का उपयोग करने पर,अंश $\frac{x^{2}}{2} \sum_{k=1}^{10} e^{2k}$ हो जाता है।
हर $e^{2} - e^{2\cos x} = e^{2}(1 - e^{2\cos x - 2}) \approx 2e^{2}(1 - \cos x) \approx e^{2}x^{2}$ हो जाता है।
अतः,$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{2} \sum_{k=1}^{10} e^{2k}}{e^{2}x^{2}} = \frac{1}{2e^{2}} \sum_{k=1}^{10} (e^{2})^{k}$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर,$L = \frac{1}{2e^{2}} \cdot \frac{e^{2}(e^{20} - 1)}{e^{2} - 1} = \frac{e^{20} - 1}{2(e^{2} - 1)}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\lambda x^{2} - (\lambda + 3)x + 3 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = \frac{\lambda + 3}{\lambda}$ और $\alpha \beta = \frac{3}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{\beta - \alpha}{\alpha \beta} = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\alpha < \beta$,इसलिए $\beta - \alpha > 0$। अतः,$\beta - \alpha = \frac{\alpha \beta}{3} = \frac{3/\lambda}{3} = \frac{1}{\lambda}$।
सर्वसमिका $(\beta - \alpha)^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 4\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{1}{\lambda})^{2} = (\frac{\lambda + 3}{\lambda})^{2} - 4(\frac{3}{\lambda})$।
$\frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{\lambda^{2} + 6\lambda + 9}{\lambda^{2}} - \frac{12}{\lambda}$।
$\lambda^{2}$ से गुणा करने पर $(\lambda \neq 0)$:
$1 = \lambda^{2} + 6\lambda + 9 - 12\lambda$।
$\lambda^{2} - 6\lambda + 8 = 0$।
$(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$।
अतः,$\lambda = 2$ या $\lambda = 4$।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $2 + 4 = 6$ है।

(D) मान लीजिए $P(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ है। $P(x)$ के $x^{2} + 2$ से विभाज्य होने के लिए,हम बहुपद विभाजन करते हैं।
$x^{3} + ax^{2} + bx + c$ को $x^{2} + 2$ से विभाजित करने पर भागफल $(x + a)$ और शेषफल $(b - 2)x + (c - 2a)$ प्राप्त होता है।
बहुपद के विभाज्य होने के लिए,शेषफल शून्य होना चाहिए,इसलिए $(b - 2)x + (c - 2a) = 0$ है।
इसका अर्थ है $b - 2 = 0$ और $c - 2a = 0$ है।
अतः,$b = 2$ और $c = 2a$ है।
दिया गया है कि $a, b, c \in \mathbb{N}$ और $a, b, c \le 20$,इसलिए $b = 2$ (जो निश्चित है)।
$c = 2a$ के लिए,चूंकि $c \le 20$,इसलिए $2a \le 20$,जिसका अर्थ है $a \le 10$ है।
चूंकि $a \in \mathbb{N}$,$a$ के मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हो सकते हैं।
इसलिए,ऐसे कुल $10$ बहुपद हैं।

(C) समुच्चय $S$ में $9$ भिन्न अंक हैं।
$x$ के लिए: हम $1$ अंक को दो बार दोहराने के लिए चुनते हैं,जिसे ${}^{9}C_{1}$ तरीकों से किया जा सकता है। शेष $7$ अंकों को शेष $8$ अंकों में से ${}^{8}C_{7}$ तरीकों से चुना जाता है। व्यवस्थाओं की कुल संख्या $\frac{9!}{2!}$ है। अतः,$x = {}^{9}C_{1} \times {}^{8}C_{7} \times \frac{9!}{2!} = 36 \times 9!$.
$y$ के लिए: हम $2$ अंकों को दो बार दोहराने के लिए चुनते हैं,जिसे ${}^{9}C_{2}$ तरीकों से किया जा सकता है। शेष $5$ अंकों को शेष $7$ अंकों में से ${}^{7}C_{5}$ तरीकों से चुना जाता है। व्यवस्थाओं की कुल संख्या $\frac{9!}{2! \times 2!}$ है। अतः,$y = {}^{9}C_{2} \times {}^{7}C_{5} \times \frac{9!}{2! \times 2!} = 189 \times 9!$.
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{x}{y} = \frac{36}{189} = \frac{4}{21}$.
अतः,$21x = 4y$.

(D) एक समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र केंद्रक के साथ संपाती होता है। मान लीजिए $O(0,0)$ लंबकेंद्र है। शीर्षलंब $AD$,$O$ से होकर गुजरता है। $BC$ की ढाल $m_{BC} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ है। चूंकि $AD \perp BC$,$AD$ की ढाल $m_{AD} = 2\sqrt{2}$ है। $AD$ का समीकरण $y = 2\sqrt{2}x$ है,इसलिए $\beta = 2\sqrt{2}\alpha$ है।
$O(0,0)$ से $BC$ $(x+2\sqrt{2}y-4=0)$ की दूरी $OD = \frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$ है।
समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक शीर्षलंब को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$AO = 2OD = 2(\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}$ है। शीर्षलंब $AD$ की कुल लंबाई $AD = AO + OD = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4$ है।
शीर्ष $A$,रेखा $y = 2\sqrt{2}x$ पर रेखा $BC$ से $4$ की दूरी पर स्थित है। $A$ के निर्देशांक $(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ हैं। $A$ से $x+2\sqrt{2}y-4=0$ की दूरी $\frac{|\alpha+2\sqrt{2}(2\sqrt{2}\alpha)-4|}{\sqrt{1+8}} = \frac{|9\alpha-4|}{3} = 4$ है।
इससे $9\alpha-4 = 12$ या $9\alpha-4 = -12$ प्राप्त होता है। अतः $\alpha = \frac{16}{9}$ या $\alpha = -\frac{8}{9}$ है।
चूंकि $O(0,0)$ और $A$ को $BC$ के एक ही तरफ होना चाहिए (क्योंकि $O$ केंद्रक है),हम $(0,0)$ पर $x+2\sqrt{2}y-4$ का मान देखते हैं,जो $-4$ है। $A(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ के लिए,व्यंजक $9\alpha-4$ है। अतः $9\alpha-4 < 0$,जिसका अर्थ है $\alpha < \frac{4}{9}$। इसलिए,$\alpha = -\frac{8}{9}$ और $\beta = 2\sqrt{2}(-\frac{8}{9}) = -\frac{16\sqrt{2}}{9}$ है।
हमें $|\alpha+\sqrt{2}\beta| = |-\frac{8}{9} + \sqrt{2}(-\frac{16\sqrt{2}}{9})| = |-\frac{8}{9} - \frac{32}{9}| = |-\frac{40}{9}| = \frac{40}{9} \approx 4.44$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात करना है।
महत्तम पूर्णांक $4$ है।

(C) दिए गए समीकरण सम्मिश्र तल में दो वृत्त दर्शाते हैं:
$|z-6|=5$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{1}(6, 0)$ और त्रिज्या $r_{1}=5$ है।
$|z-(-2+6i)|=5$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{2}(-2, 6)$ और त्रिज्या $r_{2}=5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_{1}C_{2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (0 - 6)^2} = 10$ है।
चूंकि $C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2} = 10$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
बिंदु $z$ केंद्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है।
$z = (2, 3)$,अर्थात $z = 2 + 3i$.
$z = 2+3i$ के लिए $z^2 = 4z - 13$ और $z^3 = 3z - 52$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(3z - 52) + 3(4z - 13) - 15z + 141 = 50$.

(A) दिया गया है: $\frac{\tan(A-B)}{\tan A} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan A - \tan B}{\tan A(1 + \tan A \tan B)} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
माना $\tan A = x, \tan B = y, \tan C = z$।
$\sin^{2}C = \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}$ और $\sin^{2}A = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ रखने पर:
$\frac{x-y}{x(1+xy)} + \frac{z^{2}(1+x^{2})}{x^{2}(1+z^{2})} = 1$
सरल करने पर:
$z^{2} = xy$
$\therefore \tan^{2}C = \tan A \cdot \tan B$
अतः,$\tan A, \tan C, \tan B$ $G$.$P$. में हैं।

(C) जीवा $y=x$,$C_{2}$ का व्यास है। $C_{2}$ का केंद्र $A(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ है।
बिंदु $(2, 3)$ से गुजरने वाली और केंद्र $A$ से सबसे दूर स्थित जीवा,रेखाखंड $AB$ पर लंब होती है।
$AB$ की ढाल $= \frac{3 - 5/2}{2 - 5/2} = -1$ है।
अतः,अभीष्ट जीवा की ढाल $= 1$ होगी।
जीवा का समीकरण $y - 3 = 1(x - 2)$ अर्थात $x - y + 1 = 0$ है।
$x + ay + b = 0$ से तुलना करने पर,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b = -1 - 1 = -2$।

(B) हमें श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{k!}$ दी गई है।
ध्यान दें कि $\frac{k(k+1)}{k!} = \frac{k(k-1+2)}{k!} = \frac{k(k-1)}{k!} + \frac{2k}{k!} = \frac{1}{(k-2)!} + \frac{2}{(k-1)!}$ जहाँ $k \ge 2$ है।
$k=1$ के लिए,पद $(-1)^{1+1}\frac{1(2)}{1!} = 2$ है।
योग का विस्तार करने पर: $S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{k(k-1)}{k!} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2k}{k!}$.
$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-2)!} + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!}$.
पहले योग में $j = k-2$ और दूसरे योग में $m = k-1$ रखने पर:
$S = -\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} + 2 \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m!}$.
चूँकि $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$,इसलिए:
$S = -(\frac{1}{e}) + 2(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$.

(B) माना $4$ अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ है। चूँकि संख्या $5000$ और $9000$ के बीच है,इसलिए पहला अंक $d_1$ केवल $5$ हो सकता है।
अंकों का योग $S = 5 + d_2 + d_3 + d_4$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
$d_2, d_3, d_4 \in \{0, 1, 2, 5, 9\}$ के लिए कुल $42$ संख्याएँ संभव हैं।

(A) समीकरण $x|x+3|+|x-1|-2=0$ के वास्तविक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $x=-3$ और $x=1$ बिंदुओं के आधार पर तीन अंतरालों में विश्लेषण करते हैं:
$I$. स्थिति $x \ge 1$:
$x(x+3) + (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x-3=0$.
हल करने पर,$x = -2 \pm \sqrt{7}$.
चूंकि $x \ge 1$,दोनों हल अस्वीकार्य हैं।
$II$. स्थिति $-3 \le x < 1$:
$x(x+3) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+2x-1=0$.
हल करने पर,$x = -1 \pm \sqrt{2}$.
दोनों हल $-3 \le x < 1$ के बीच हैं,इसलिए ये मान्य हैं।
$III$. स्थिति $x < -3$:
$x(-(x+3)) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x+1=0$.
हल करने पर,$x = -2 \pm \sqrt{3}$.
चूंकि $x < -3$,केवल $x = -2-\sqrt{3}$ मान्य है।
अतः,कुल $3$ वास्तविक हल हैं।

(D) $10$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_9, \alpha$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 10$ है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \alpha}{10} = 10 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \alpha = 100$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 2$ है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2}{10} - (10)^2 = 2 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2 = 1020$.
जब $\alpha$ को $\beta$ से बदला जाता है,तो नया माध्य $10.1$ हो जाता है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \beta}{10} = 10.1 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \beta = 101$.
इन समीकरणों को घटाने पर,$\beta - \alpha = 1 \Rightarrow \beta = \alpha + 1$.
नया प्रसरण $1.99$ है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2}{10} - (10.1)^2 = 1.99$.
$\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2 = 1040$.
पहले प्रसरण समीकरण को घटाने पर,$\beta^2 - \alpha^2 = 20$.
चूंकि $\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = 20$ और $\beta - \alpha = 1$,इसलिए $\alpha + \beta = 20$.

(C) समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{525}{2}$ और सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = -\frac{3}{4}$ दिया गया है।
$a_n = \frac{1}{4} a_1$ को योग के सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{2}(a_1 + \frac{a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{n}{2}(\frac{5a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{5a_1 n}{8} = \frac{525}{2} \implies a_1 n = 420$.
सूत्र $a_n = a_1 + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4} a_1 = a_1 + (n-1)(-\frac{3}{4}) \implies -\frac{3}{4} a_1 = -\frac{3}{4}(n-1) \implies a_1 = n-1$.
$a_1 = n-1$ को $a_1 n = 420$ में रखने पर:
$(n-1)n = 420 \implies n^2 - n - 420 = 0 \implies (n-21)(n+20) = 0$.
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 21$ और $a_1 = 21 - 1 = 20$ प्राप्त होता है।
अब,$\sum_{i=1}^{17} a_i = \frac{17}{2}[2a_1 + (17-1)d]$ की गणना करने पर:
$= \frac{17}{2}[2(20) + 16(-\frac{3}{4})] = \frac{17}{2}[40 - 12] = \frac{17}{2}[28] = 17 \times 14 = 238$.

(C) हमारे पास $S = \sum_{r=0}^{12} \frac{1}{(2r+1)!(25-2r)!}$ है।
$26!$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} \frac{26!}{(2r+1)!(25-2r)!} = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1}$।
विषम द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1} = {}^{26}C_1 + {}^{26}C_3 + \dots + {}^{26}C_{25} = 2^{26-1} = 2^{25}$ होता है।
अतः,$S = \frac{2^{25}}{26!}$।
दिया गया है $13S = \frac{2^k}{n!}$,इसलिए $13 \times \frac{2^{25}}{26!} = \frac{13 \times 2^{25}}{26 \times 25!} = \frac{2^{25}}{2 \times 25!} = \frac{2^{24}}{25!}$।
$\frac{2^k}{n!}$ से तुलना करने पर,$k = 24$ और $n = 25$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n + k = 25 + 24 = 49$।

(D) सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $BC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(\frac{7}{3}-2)^2 + (\frac{4}{3}-(-1))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle ABC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को $AB:BC = 3:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
समद्विभाजक $B(2,-1)$ और $D(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है।
इसका ढाल $m = -3$ है।
रेखा का समीकरण $3x + y = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 3$ और $\beta = 1$ है।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 + 1^2 = 10$।

(C) दिया है $\cot x = \frac{5}{12}$ और $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$,अतः $\cos x = -\frac{5}{13}$ और $\sin x = -\frac{12}{13}$.
चूँकि $\frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$,$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ और $\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.
व्यंजक का सरलीकरण: $\cos(7x - \frac{13x}{2}) + \sin(7x - \frac{13x}{2}) = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$.
मान रखने पर: $-\frac{2}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.

(D) दिया गया है $\left|\frac{z-6i}{z-2i}\right| = 1$,जहाँ $z = x + iy$ है। इसका अर्थ है $|z-6i| = |z-2i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + (y-6)^2 = x^2 + (y-2)^2$.
$y^2 - 12y + 36 = y^2 - 4y + 4$ $\Rightarrow 8y = 32$ $\Rightarrow y = 4$.
अब,$\left|\frac{z-8+2i}{z+2i}\right| = \frac{3}{5} \Rightarrow 25|z-(8-2i)|^2 = 9|z+2i|^2$.
$25((x-8)^2 + (y+2)^2) = 9(x^2 + (y+2)^2)$.
$y=4$ रखने पर: $25((x-8)^2 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25(x^2 - 16x + 64 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25x^2 - 400x + 2500 = 9x^2 + 324$.
$16x^2 - 400x + 2176 = 0 \Rightarrow x^2 - 25x + 136 = 0$.
$(x-8)(x-17) = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ या } x = 17$.
अतः,$z_1 = 8+4i$ और $z_2 = 17+4i$.
$|z_1|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.
$|z_2|^2 = 17^2 + 4^2 = 289 + 16 = 305$.
$\sum_{z \in S} |z|^2 = 80 + 305 = 385$.

(C) माना $E = \frac{\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}}$.
अंश को सरल करने पर: $\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}$.
हर को सरल करने पर: $\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ} = \frac{1}{16}$.
अतः,$E = \frac{2\sin 40^{\circ} / (\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ})}{1/16} = \frac{4\sin 40^{\circ} / \sin 40^{\circ}}{1/16} = 4 \times 16 = 64$.

(B) $E_1$ के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8$ है। दिया गया है $e = \frac{4}{5}$,इसलिए $2a(\frac{4}{5}) = 8 \Rightarrow a = 5$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
नाभिलंब की लंबाई $\ell_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$.
$E_2$ के लिए,$A < B$,इसलिए उत्केंद्रता का सूत्र $A^2 = B^2(1 - e^2) = B^2(1 - \frac{16}{25}) = \frac{9}{25}B^2$ है,जो $A = \frac{3}{5}B$ देता है।
नाभिलंब की लंबाई $\ell_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(9/25)B^2}{B} = \frac{18}{25}B$.
दिया गया है $2\ell_1^2 = 9\ell_2$,इसलिए $2(\frac{18}{5})^2 = 9(\frac{18}{25}B) \Rightarrow 2 \times \frac{324}{25} = \frac{162}{25}B$.
$B$ के लिए हल करने पर,$B = \frac{2 \times 324}{162} = 4$.
$E_2$ की नाभियों के बीच की दूरी $2Be = 2 \times 4 \times \frac{4}{5} = \frac{32}{5}$ है।

(A) यह अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 729 = 3^6$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ है।
$P_n$ प्रथम $n$ पदों का गुणनफल है: $P_n = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} = 3^{6n} \cdot 3^{-n(n-1)} = 3^{7n - n^2}$.
अतः,$(P_n)^{\frac{1}{n}} = 3^{7-n}$.
हमें $2 \sum_{n=1}^{40} 3^{7-n}$ का मान ज्ञात करना है।
यह $40$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $A = 3^6$ और सार्व अनुपात $R = \frac{1}{3}$ है।
योग $= 2 \cdot 3^6 \left( \frac{1 - (1/3)^{40}}{1 - 1/3} \right) = \frac{3^{40}-1}{3^{33}}$.
तुलना करने पर,$\alpha = 40$ और $\beta = 33$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 40 + 33 = 73$.

(C) वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$,$A(-\sqrt{3}a, 0)$,और $B(0, -\sqrt{2}b)$ से होकर गुजरता है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है,इसका समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ के रूप का है।
$A(-\sqrt{3}a, 0)$ को समीकरण में रखने पर: $(-\sqrt{3}a)^2 + 2g(-\sqrt{3}a) = 0 \implies 3a^2 - 2g\sqrt{3}a = 0 \implies 2g = \sqrt{3}a$.
$B(0, -\sqrt{2}b)$ को समीकरण में रखने पर: $(-\sqrt{2}b)^2 + 2f(-\sqrt{2}b) = 0 \implies 2b^2 - 2f\sqrt{2}b = 0 \implies 2f = \sqrt{2}b$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + (\sqrt{3}a)x + (\sqrt{2}b)y = 0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2} = 4$ है।
अतः,$g^2 + f^2 = 16 \implies (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}b}{2})^2 = 16 \implies \frac{3a^2}{4} + \frac{2b^2}{4} = 16 \implies 3a^2 + 2b^2 = 64$.
मान लीजिए $\Delta OAB$ का केंद्रक $G(h, k)$ है।
$h = \frac{0 - \sqrt{3}a + 0}{3} = -\frac{\sqrt{3}a}{3} \implies a = -\sqrt{3}h$.
$k = \frac{0 + 0 - \sqrt{2}b}{3} = -\frac{\sqrt{2}b}{3} \implies b = -\frac{3k}{\sqrt{2}}$.
$a$ और $b$ के मानों को $3a^2 + 2b^2 = 64$ में रखने पर:
$3(-\sqrt{3}h)^2 + 2(-\frac{3k}{\sqrt{2}})^2 = 64 \implies 3(3h^2) + 2(\frac{9k^2}{2}) = 64 \implies 9h^2 + 9k^2 = 64 \implies h^2 + k^2 = \frac{64}{9}$.
बिंदुपथ $x^2 + y^2 = (\frac{8}{3})^2$ है,जो $\frac{8}{3}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan x \tan(x-50^{\circ})$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $\sin(4x + 100^{\circ}) = \sin(-40^{\circ})$ प्राप्त होता है।
व्यापक हल: $4x + 100^{\circ} = n \cdot 180^{\circ} + (-1)^n (-40^{\circ})$।
अंतराल $[0, 180^{\circ}]$ में हल $x = 30^{\circ}, 55^{\circ}, 120^{\circ}, 145^{\circ}$ हैं।
अतः,कुल $4$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) मान लीजिए $S = \{a, b, c, d, e\}$ एक समुच्चय है जिसमें $n = 5$ तत्व हैं।
किसी भी तत्व $x \in S$ के लिए,समुच्चय $A$ और $B$ में इसकी सदस्यता के लिए $4$ संभावनाएँ हैं ताकि $A \cap B = \varnothing$ हो:
$1$. $x \in A$ और $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ और $x \in B$
$3$. $x \notin A$ और $x \notin B$
($A \cap B = \varnothing$ होने के कारण $x \in A$ और $x \in B$ संभव नहीं है)
चूंकि $5$ तत्व हैं,इसलिए कुल क्रमित युग्मों $(A, B)$ की संख्या $(2^n) \times (2^n) = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 4^5$ है।
अनुकूल युग्मों $(A, B)$ की संख्या जिनमें $A \cap B = \varnothing$ है,$3^5$ है (क्योंकि प्रत्येक तत्व के पास $3$ विकल्प हैं)।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{3^5}{4^5} = \frac{3^5}{(2^2)^5} = \frac{3^5}{2^{10}}$ है।
इसे $\frac{3^p}{2^q}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 5$ और $q = 10$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$p + q = 5 + 10 = 15$।

(B) हमें दिया गया है $z = \prod_{r=1}^n (1+ri)$।
दोनों पक्षों का मापांक वर्ग लेने पर,$|z|^2 = \prod_{r=1}^n |1+ri|^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|1+ri|^2 = 1^2 + r^2 = 1+r^2$,इसलिए $|z|^2 = \prod_{r=1}^n (1+r^2) = 44200$ है।
$n=1$ के लिए: $1+1^2 = 2$।
$n=2$ के लिए: $2 \times (1+2^2) = 2 \times 5 = 10$।
$n=3$ के लिए: $10 \times (1+3^2) = 10 \times 10 = 100$।
$n=4$ के लिए: $100 \times (1+4^2) = 100 \times 17 = 1700$।
$n=5$ के लिए: $1700 \times (1+5^2) = 1700 \times 26 = 44200$।
अतः,$n=5$।

(C) मान लीजिए वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ पर स्थित बिंदु $(h, k)$ को $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया गया है।
मान लीजिए बिंदु $(x, y) = (2h + 1, 3k + 2)$ है।
$h = 2 \cos \theta$ और $k = 2 \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = 4 \cos \theta + 1$ और $y = 6 \sin \theta + 2$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\cos \theta = \frac{x - 1}{4}$ और $\sin \theta = \frac{y - 2}{6}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{x - 1}{4})^2 + (\frac{y - 2}{6})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह $a = 6$ और $b = 4$ अर्ध-अक्षों वाले एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{36} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ है।
अतः,$\frac{5}{e^2} = \frac{5}{5/9} = 9$।

(D) $x^4 - ax^2 + 9 = 0$ . . . . $(1)$
माना $x^2 = t$.
तब $t^2 - at + 9 = 0$ . . . . $(2)$
समीकरण $(1)$ के मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,समीकरण $(2)$ के मूल धनात्मक और भिन्न होने चाहिए।
$(i)$ विविक्तकर $D > 0$ $\Rightarrow a^2 - 36 > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -6) \cup (6, \infty)$.
$(ii)$ मूलों का योग $\frac{-b}{a} > 0 \Rightarrow a > 0$.
$(iii)$ मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} > 0 \Rightarrow 9 > 0$,जो सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
$(i), (ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a > 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान $7$ है।

(D) $X$ का माध्य $\bar{x} = \frac{1+19}{2} = 10$ है।
$X$ का प्रसरण $\sigma_x^2 = \frac{n^2-1}{12} = \frac{19^2-1}{12} = \frac{360}{12} = 30$ है।
दिया गया है $Y = aX + b$,इसलिए $Y$ का माध्य $\bar{y} = a\bar{x} + b = 10a + b = 30$ है।
$Y$ का प्रसरण $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2 = a^2(30) = 750$ है।
अतः,$a^2 = 25$,जिसका अर्थ है $a = 5$ या $a = -5$ है।
यदि $a = 5$ है,तो $10(5) + b = 30 \Rightarrow b = -20$ है।
यदि $a = -5$ है,तो $10(-5) + b = 30 \Rightarrow b = 80$ है।
$b$ के सभी संभावित मानों का योग $-20 + 80 = 60$ है।

(D) हमें $n$ का वह सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $40^n$,$60!$ को विभाजित करता है।
$40^n = (2^3 \times 5)^n = 2^{3n} \times 5^n$.
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,$m!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{m}{p^k} \rfloor$ है।
$p=2$ के लिए: $E_2(60!) = \lfloor \frac{60}{2} \rfloor + \lfloor \frac{60}{4} \rfloor + \lfloor \frac{60}{8} \rfloor + \lfloor \frac{60}{16} \rfloor + \lfloor \frac{60}{32} \rfloor = 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56$.
$p=5$ के लिए: $E_5(60!) = \lfloor \frac{60}{5} \rfloor + \lfloor \frac{60}{25} \rfloor = 12 + 2 = 14$.
हमें $3n \le 56$ और $n \le 14$ की आवश्यकता है।
$3n \le 56$ से,हमें $n \le \lfloor \frac{56}{3} \rfloor = 18$ प्राप्त होता है।
$n \le 14$ से,सीमित मान $n = 14$ है।

(B) "$UDAYPUR$" शब्द के अक्षर $A, D, P, R, U, U, Y$ हैं। कुल अक्षर = $7$ हैं। $U$ अक्षर $2$ बार दोहराया गया है।
वर्णानुक्रम: $A, D, P, R, U, Y$ है।
शब्द जो इनसे शुरू होते हैं:
$A$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$D$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$P$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$R$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$UA$: $5! = 120$
$UDAP$: $3! = 6$
$UDAR$: $3! = 6$
$UDAYP$: $1! = 1$
$UDAYR$: $1! = 1$
$UDAYU$: $1! = 1$
$UDAYPUR$: $1$
कुल योग: $1440 + 120 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1576$.

(A) माना $a = \frac{4}{7}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
प्रत्येक पद $\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}$ के रूप में है।
श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} = \frac{1}{a - b} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} a^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} b^{n+1} \right]$ है।
यहाँ $a - b = \frac{4}{7} - \frac{1}{3} = \frac{5}{21}$ है।
योग $= \frac{21}{5} \left[ \frac{a^2}{1 - a} - \frac{b^2}{1 - b} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16/49}{3/7} - \frac{1/9}{2/3} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16}{21} - \frac{1}{6} \right] = \frac{5}{2}$.

(C) परवलय $x^2 = 4y$ पर प्राचल बिंदु $P(2t, t^2)$ है।
रेखा $x - y - 1 = 0$ में $P$ का प्रतिबिंब $Q(h, k)$ है।
प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{h - 2t}{1} = \frac{k - t^2}{-1} = -2 \frac{2t - t^2 - 1}{2} = t^2 - 2t + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = t^2 + 1$ और $k = 2t - 1$ है।
$k = 2t - 1$ से $t = \frac{k + 1}{2}$ प्राप्त होता है।
$h = t^2 + 1$ में $t$ का मान रखने पर,$h = (\frac{k + 1}{2})^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$h - 1 = \frac{(k + 1)^2}{4} \implies (k + 1)^2 = 4(h - 1)$ है।
अतः,प्रतिबिंब परवलय का समीकरण $(y + 1)^2 = 4(x - 1)$ है।
तुलना करने पर $a = 1, b = 4, c = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a + b + c = 1 + 4 + 1 = 6$।

(A) मान लीजिए चार पद $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ हैं,जहाँ सार्व अंतर $l=2d$ है।
योग $48$ है,इसलिए $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=48$,जिससे $4a=48$ यानी $a=12$ प्राप्त होता है।
पदों का गुणनफल और $l^4$ का योग $(a^2-9d^2)(a^2-d^2)+l^4=361$ है।
$l=2d$ होने के कारण,$l^4=16d^4$. $a=12$ रखने पर:
$(144-9d^2)(144-d^2)+16d^4=361$
$25d^4 - 1440d^2 + 20375 = 0$
$5$ से भाग देने पर: $5d^4 - 288d^2 + 4075 = 0$.
$d^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $d^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः $d=5$ (क्योंकि $l=2d$ एक पूर्णांक होना चाहिए)।
पद $-3, 7, 17, 27$ हैं।
सबसे बड़ा पद $27$ है।

(C) बिंदु $P(2,3)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण बनाने वाली रेखा को प्राचलिक रूप में $(x, y) = (2 + r\cos\theta, 3 + r\sin\theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $r = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
चूंकि यह बिंदु रेखा $x+y=6$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + r\cos\theta) + (3 + r\sin\theta) = 6$
$r(\cos\theta + \sin\theta) + 5 = 6$
$\sqrt{\frac{2}{3}}(\cos\theta + \sin\theta) = 1$
$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = \frac{3}{2}$
$1 + \sin(2\theta) = \frac{3}{2}$
$\sin(2\theta) = \frac{1}{2}$
इस प्रकार,$2\theta = \frac{\pi}{6}$ या $2\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ है।
अतः,$\theta_1 = \frac{\pi}{12}$ और $\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$ है।
कोणों का योग: $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$।

(C) फलन $f(t) = -t^{2} + 2t - \frac{3}{4}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(t) = -(t-1)^{2} + \frac{1}{4}$.
अधिकतम मान $e = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $e^{2} = \frac{1}{16}$.
दीर्घवृत्त के लिए,$e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 30$ है,इसलिए $b^{2} = 15a$.
$b^{2}$ के व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{15}{16}a^{2} = 15a$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $\frac{a}{16} = 1 \Rightarrow a = 16$.
तब $b^{2} = 15(16) = 240$.
अतः,$a^{2} + b^{2} = 16^{2} + 240 = 256 + 240 = 496$.

(B) माना $P = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ और $Q = (\alpha, -5\alpha - 2)$ है।
चूंकि $x-y+1=0$ रेखा $PQ$ का लंब समद्विभाजक है,$PQ$ का मध्य बिंदु रेखा $x-y+1=0$ पर स्थित है।
मध्य बिंदु $M = (\frac{2 \cos \theta + \alpha}{2}, \frac{2 \sin \theta - 5\alpha - 2}{2})$ है।
$M$ को $x-y+1=0$ में रखने पर:
$\frac{2 \cos \theta + \alpha}{2} - \frac{2 \sin \theta - 5\alpha - 2}{2} + 1 = 0$
$\cos \theta - \sin \theta + 3\alpha + 2 = 0 \quad \dots(1)$
$PQ$ की ढाल $-1$ है।
$\frac{2 \sin \theta + 5\alpha + 2}{2 \cos \theta - \alpha} = -1$
$\sin \theta + \cos \theta + 2\alpha + 1 = 0 \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से $\alpha$ को विलोपित करने पर:
$5 \sin \theta + \cos \theta = 1$
$\cos \theta = 1$ या $\cos \theta = -\frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
$P$ के भुज का योग $= 2(1) + 2(-\frac{12}{13}) = 2 - \frac{24}{13} = \frac{2}{13}$ है।
योग का $13$ गुना $= 13 \times \frac{2}{13} = 2$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$। हम $A = I + M$ लिख सकते हैं,जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ है।
$M^2$ की गणना करने पर: $M^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-4 & -8+8 \\ 2-2 & -4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$।
चूंकि $M^2 = O$,इसलिए सभी $k \geq 2$ के लिए $M^k = O$ होगा।
आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए: $A^{100} = (I + M)^{100} = I^{100} + \binom{100}{1} I^{99} M + \binom{100}{2} I^{98} M^2 + \dots = I + 100M$।
दिया गया है कि $A^{100} = 100B + I$,इसलिए $I + 100M = 100B + I$,जिसका अर्थ है कि $B = M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$।
चूंकि $B^2 = M^2 = O$,इसलिए $B^{100} = O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
$B^{100}$ के सभी अवयवों का योग $0 + 0 + 0 + 0 = 0$ है।

(A) रेखा $\vec{r} = (4, 0, -1) + \mu(2, 0, 3)$ द्वारा दी गई है। माना बिंदु $P$ $(43, \alpha, \beta)$ है। बिंदु $P$ से गुजरने वाली और $(3, -1, 0)$ दिक-अनुपात वाली रेखा $\frac{x-43}{3} = \frac{y-\alpha}{-1} = \frac{z-\beta}{0} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P_1(43+3\lambda, \alpha-\lambda, \beta)$ है।
चूंकि $P_1$ रेखा $\vec{r} = (4+2\mu, 0, -1+3\mu)$ पर स्थित है,इसलिए:
$43+3\lambda = 4+2\mu \Rightarrow 2\mu - 3\lambda = 39$
$\alpha-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \alpha$
$\beta = -1+3\mu$
$\lambda = \alpha$ से,$2\mu - 3\alpha = 39 \Rightarrow \mu = \frac{3\alpha+39}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta = -1 + 3(\frac{3\alpha+39}{2}) = \frac{-2+9\alpha+117}{2} = \frac{9\alpha+115}{2}$।
दूरी $PP_1 = 13\sqrt{10}$ है,इसलिए $(PP_1)^2 = 1690$।
$PP_1^2 = (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + 0^2 = 10\lambda^2 = 1690 \Rightarrow \lambda^2 = 169 \Rightarrow \lambda = \pm 13$।
यदि $\lambda = 13$ है,तो $\alpha = 13$ और $\beta = \frac{9(13)+115}{2} = 116$ (संभव नहीं क्योंकि $\beta < 0$)।
यदि $\lambda = -13$ है,तो $\alpha = -13$ और $\beta = \frac{9(-13)+115}{2} = -1$।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = (-13)^2 + (-1)^2 = 169 + 1 = 170$।

(A) दिया गया है $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$.
$e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x) = -2e^{-x} - (1-2x)e^{-x} + e^{-x}f(x)$.
$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x) \Rightarrow f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$f(x)e^{-2x} = \int (2x-3)e^{-2x} dx = (2x-3)\frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$f(x) = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + Ce^{2x} = 1-x + Ce^{2x}$.
चूंकि $f(0) = 1-2(0) + 0 = 1$,इसलिए $1 = 1-0 + C \Rightarrow C=0$.
अतः,$f(x) = 1-x$.
अब,$g(x) = \int_{0}^{x} (1-t+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt = \int_{0}^{x} (3-t)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt$.
$g'(x) = (3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} = -(x-3)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17}$.
क्रांतिक बिंदुओं $-12, 3, 4$ के आसपास $g'(x)$ के चिह्न की जांच करने पर:
$x < -12$ के लिए,$g'(x) < 0$.
$-12 < x < 3$ के लिए,$g'(x) > 0$.
$3 < x < 4$ के लिए,$g'(x) < 0$.
$x > 4$ के लिए,$g'(x) < 0$.
स्थानीय निम्निष्ठ $p = -12$ पर और स्थानीय उच्चिष्ठ $q = 3$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$|p+q| = |-12+3| = |-9| = 9$.

(C) दिया गया है कि $f(x) = \int \frac{dx}{x^{2/3} + 2x^{1/2}}\text{।}$
मान लीजिए $x = t^6$,तो $dx = 6t^5 dt\text{।}$
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int \frac{6t^5 dt}{t^4 + 2t^3} = \int \frac{6t^2 dt}{t + 2} = 6 \int \frac{t^2 - 4 + 4}{t + 2} dt\text{।}$
$f(x) = 6 \int (t - 2 + \frac{4}{t + 2}) dt = 6 [\frac{t^2}{2} - 2t + 4 \log_{e}(t + 2)] + C\text{।}$
$t = x^{1/6}$ रखने पर:
$f(x) = 3x^{1/3} - 12x^{1/6} + 24 \log_{e}(x^{1/6} + 2) + C\text{।}$
दिया गया है कि $f(0) = -26 + 24 \log_{e}(2)\text{।}$
$x = 0$ पर,$f(0) = 0 - 0 + 24 \log_{e}(2) + C = 24 \log_{e}(2) + C\text{।}$
तुलना करने पर,$C = -26\text{।}$
अब,$f(1) = 3(1)^{1/3} - 12(1)^{1/6} + 24 \log_{e}(1^{1/6} + 2) - 26\text{।}$
$f(1) = 3 - 12 + 24 \log_{e}(3) - 26 = -35 + 24 \log_{e}(3)\text{।}$
दिया गया है कि $f(1) = a + b \log_{e}(3)$,इसलिए $a = -35$ और $b = 24\text{।}$
अतः,$a + b = -35 + 24 = -11\text{।}$

(C) मान लीजिए $\theta$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AP}$ के बीच का कोण है। चूंकि $P$,$AB$ और $AC$ से समान दूरी पर है,इसलिए $AP$,$\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक है। मान लीजिए $\angle BAC = 2\alpha$ है। तब $\angle BAP = \alpha$ होगा।
सबसे पहले,$\cos(2\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{(3)(1) + (1)(-1) + (-1)(3)}{\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}} = \frac{3-1-3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = -\frac{1}{11}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$ का उपयोग करते हुए,$1 - 2\sin^2(\alpha) = -\frac{1}{11}$,जिसका अर्थ है $2\sin^2(\alpha) = \frac{12}{11}$,इसलिए $\sin^2(\alpha) = \frac{6}{11}$ और $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{6}{11}}$।
$\triangle ABP$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AP}| \sin(\alpha)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{\frac{6}{11}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{\sqrt{30}}{4}$।

(C) मान लीजिए रेखा $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = r$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $N = (r+1, 2r, r+1)$ है।
$PN$ के दिक् अनुपात $(r+1-3, 2r-2, r+1-1) = (r-2, 2r-2, r)$ हैं।
चूंकि $PN$ रेखा $L_1$ (दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, 2, 1 \rangle$) के लंबवत है,इसलिए $1(r-2) + 2(2r-2) + 1(r) = 0$ है।
$r-2 + 4r-4 + r = 0 \Rightarrow 6r = 6 \Rightarrow r = 1$ है।
अतः,$N = (1+1, 2(1), 1+1) = (2, 2, 2)$ है।
चूंकि $N$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,मान लीजिए $Q = (x_q, y_q, z_q)$ है। तो $\frac{x_q+3}{2} = 2, \frac{y_q+2}{2} = 2, \frac{z_q+1}{2} = 2$ है।
$x_q = 1, y_q = 2, z_q = 3$ है। इसलिए $Q = (1, 2, 3)$ है।
अब,रेखा $L_2: \frac{x-9}{3}=\frac{y-9}{2}=\frac{z-5}{-2} = k$ से $Q(1, 2, 3)$ की दूरी ज्ञात कीजिए।
$L_2$ पर कोई भी बिंदु $M = (3k+9, 2k+9, -2k+5)$ है।
सदिश $\vec{QM} = \langle 3k+8, 2k+7, -2k+2 \rangle$ है। $L_2$ की दिशा $\vec{v_2} = \langle 3, 2, -2 \rangle$ है।
चूंकि $\vec{QM} \perp \vec{v_2}$ है,इसलिए $3(3k+8) + 2(2k+7) - 2(-2k+2) = 0$ है।
$9k+24 + 4k+14 + 4k-4 = 0 \Rightarrow 17k + 34 = 0 \Rightarrow k = -2$ है।
$k=-2$ रखने पर,$M = (3(-2)+9, 2(-2)+9, -2(-2)+5) = (3, 5, 9)$ है।
दूरी $QM = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ है।

(B) हम $x \neq \frac{n\pi}{2}$ के लिए विभिन्न चतुर्थांशों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x \in (0, \pi/2)$ के लिए,$\sin x > 0, \cos x > 0, \tan x > 0, \cot x > 0 \Rightarrow f(x) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
$2$. $x \in (\pi/2, \pi)$ के लिए,$\sin x > 0, \cos x < 0, \tan x < 0, \cot x < 0 \Rightarrow f(x) = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.
$3$. $x \in (\pi, 3\pi/2)$ के लिए,$\sin x < 0, \cos x < 0, \tan x > 0, \cot x > 0 \Rightarrow f(x) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$.
$4$. $x \in (3\pi/2, 2\pi)$ के लिए,$\sin x < 0, \cos x > 0, \tan x < 0, \cot x < 0 \Rightarrow f(x) = -1 + 1 - 1 - 1 = -2$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $\{-2, 0, 4\}$ है।
परिसर के अवयवों का योग $-2 + 0 + 4 = 2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cot x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{y}{x} = \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$,अतः $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$\frac{\pi/2}{\pi/2} = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) + C \implies 1 = \ln(1) + C \implies C = 1$.
अतः,हल $y = x(\ln(\sin x) + 1)$ है।
अब,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}(\ln(\sin \frac{\pi}{6}) + 1) = \frac{\pi}{6}(\ln(\frac{1}{2}) + 1) = \frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)$ ज्ञात करें।
$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}(\ln(\sin \frac{\pi}{4}) + 1) = \frac{\pi}{4}(\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 1) = \frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)$ ज्ञात करें।
अंत में,$6y(\frac{\pi}{6}) - 8y(\frac{\pi}{4}) = 6[\frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)] - 8[\frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)]$.
$= \pi(1 - \ln 2) - 2\pi(1 - \frac{1}{2}\ln 2) = \pi - \pi \ln 2 - 2\pi + \pi \ln 2 = -\pi$.

(B) मान लीजिए $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} dx$.
अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में $[x]$,$[\sin x]$,और $[\cos x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं।
$x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,$[\sin x] = -1$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3-2)}{3-1+0} = \frac{12}{2} = 6$ है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,$[\sin x] = -1$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3-1)}{3-1+0} = \frac{24}{2} = 12$ है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,$[\sin x] = 0$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3+0)}{3+0+0} = \frac{36}{3} = 12$ है।
$x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$[x] = 1$,$[\sin x] = 0$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3+1)}{3+0+0} = \frac{48}{3} = 16$ है।
अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} 6 dx + \int_{-1}^{0} 12 dx + \int_{0}^{1} 12 dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} 16 dx$.
$I = 6(-1 - (-\frac{\pi}{2})) + 12(0 - (-1)) + 12(1 - 0) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$.
$I = 6(-1 + \frac{\pi}{2}) + 12(1) + 12(1) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$.
$I = -6 + 3\pi + 12 + 12 + 8\pi - 16$.
$I = 11\pi + 2$.

(C) $P_{1}: y = 4x^{2}$ और $P_{2}: y = x^{2} + 27$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $4x^{2} = x^{2} + 27$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $3x^{2} = 27$,अर्थात $x = \pm 3$ मिलता है।
$P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A_{1} = \int_{-3}^{3} ((x^{2} + 27) - 4x^{2}) dx = \int_{-3}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 \int_{0}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 [27x - x^{3}]_{0}^{3} = 2(81 - 27) = 108$ वर्ग इकाई।
प्रश्न के अनुसार,$P_{1}$ और रेखा $y = \alpha x$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A_{2} = \frac{A_{1}}{6} = \frac{108}{6} = 18$ वर्ग इकाई है।
रेखा $y = \alpha x$,$P_{1}: y = 4x^{2}$ को $4x^{2} = \alpha x$ पर काटती है,जिससे $x(4x - \alpha) = 0$,अर्थात $x = 0$ और $x = \frac{\alpha}{4}$ मिलता है।
क्षेत्रफल $A_{2} = \int_{0}^{\alpha/4} (\alpha x - 4x^{2}) dx = [\frac{\alpha x^{2}}{2} - \frac{4x^{3}}{3}]_{0}^{\alpha/4} = \frac{\alpha}{2}(\frac{\alpha^{2}}{16}) - \frac{4}{3}(\frac{\alpha^{3}}{64}) = \frac{\alpha^{3}}{32} - \frac{\alpha^{3}}{48} = \frac{\alpha^{3}}{96}$।
$A_{2} = 18$ रखने पर,$\frac{\alpha^{3}}{96} = 18$,इसलिए $\alpha^{3} = 18 \times 96 = 1728$।
अतः,$\alpha = \sqrt[3]{1728} = 12$।

(B) कथन $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & x \ge 0 \\ \frac{x}{1-x}, & x < 0 \end{cases}$
$x \ge 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$.
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$.
चूंकि अवकलज हमेशा धनात्मक है,फलन निरंतर वर्धमान है और इसलिए यह एकैकी है। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II$: $f(x) = \frac{x^2+4x-30}{x^2-8x+18}$.
यह जांचने के लिए कि क्या यह बहु-एक है,हम देखते हैं कि क्या ऐसे $x_1 \neq x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$ हो।
मान लीजिए $f(x) = k$. तब $k(x^2-8x+18) = x^2+4x-30$.
$(k-1)x^2 - (8k+4)x + (18k+30) = 0$.
इसके दो अलग-अलग मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ धनात्मक होना चाहिए।
$D = (8k+4)^2 - 4(k-1)(18k+30) > 0$.
$16(2k+1)^2 - 24(k-1)(3k+5) > 0$.
$16(4k^2+4k+1) - 24(3k^2+2k-5) > 0$.
$64k^2+64k+16 - 72k^2-48k+120 > 0$.
$-8k^2+16k+136 > 0 \Rightarrow k^2-2k-17 < 0$.
चूंकि $k$ की ऐसी सीमा मौजूद है जिसके लिए दो अलग-अलग मूल प्राप्त होते हैं,इसलिए फलन बहु-एक है। अतः,कथन $II$ सही है।

(B) माना $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$ और $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ है।
तब $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{2}{3}$।
तब $\cos \phi = \frac{3}{\sqrt{10}}$,जिसका अर्थ है $\tan \phi = \frac{1}{3}$।
हमें $\tan(2\theta - 2\phi) = \frac{\tan 2\theta - \tan 2\phi}{1 + \tan 2\theta \tan 2\phi}$ ज्ञात करना है।
$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\tan 2\theta = \frac{2(2/3)}{1 - (2/3)^2} = \frac{4/3}{5/9} = \frac{12}{5}$।
$\tan 2\phi = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan(2\theta - 2\phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/\theta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/\theta)}(x-1)}$.
स्थिति $1$: $|x| < 1$. जैसे $\theta \rightarrow 0$,$x^{(2/\theta)} \rightarrow 0$. अतः,$f(x) = \cos \pi x$.
स्थिति $2$: $|x| > 1$. जैसे $\theta \rightarrow 0$,$x^{(2/\theta)} \rightarrow \infty$. अंश और हर को $x^{(2/\theta)}$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर: $LHL = \lim_{x \rightarrow 1^-} \cos \pi x = -1$. $RHL = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = -1$. चूँकि $LHL = RHL = f(1) = -1$,$f(x)$,$x=1$ पर संतत है। कथन $(I)$ असत्य है।
$x=-1$ पर: $LHL = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = \frac{-\sin(-2)}{-2} = \frac{-\sin 2}{2}$. $RHL = \lim_{x \rightarrow -1^+} \cos \pi x = \cos(-\pi) = -1$. चूँकि $LHL \neq RHL$,$f(x)$,$x=-1$ पर असंतत है। कथन $(II)$ असत्य है।
अतः,न तो $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है।

(C) दिया गया अपेक्षित मान $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{263}{15}$ है।
योग की गणना करने पर: $E(X) = (4k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{30}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{32}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{34}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (\frac{36}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{38}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{40}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (6k \cdot \frac{1}{15})$.
$E(X) = \frac{k}{105} [ 56 + 30 + 64 + 102 + 36 + 76 + 120 + 42 ] = \frac{526k}{105} = \frac{263}{15}$.
$k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{263}{15} \cdot \frac{105}{526} = \frac{7}{2}$.
$k = \frac{7}{2}$ को $X$ के मानों में प्रतिस्थापित करने पर: $X$ के मान ${14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}$ प्राप्त होते हैं।
हमें $P(X < 20) = P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) + P(X=19)$ ज्ञात करना है।
$P(X < 20) = \frac{2}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} = \frac{11}{15}$.

(B) दिया है $\overrightarrow{PQ}=-2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,इसलिए $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
दिया है $\overrightarrow{PR}=a\hat{i}+b\hat{j}-4\hat{k}$ और $|\overrightarrow{PR}|=9$,इसलिए $a^2+b^2+(-4)^2 = 9^2 \implies a^2+b^2+16=81 \implies a^2+b^2=65$ ...$(1)$।
दिया है $\overrightarrow{PS}=\hat{i}-7\hat{j}+2\hat{k}$,इसलिए $|\overrightarrow{PS}| = \sqrt{1^2+(-7)^2+2^2} = \sqrt{1+49+4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.
चूँकि $S$,$PQ$ और $PR$ से समान दूरी पर है,$PS$,$\angle QPR$ का कोण समद्विभाजक है। मान लीजिए $\angle QPS = \angle RPS = \theta$.
तब $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS}}{|\overrightarrow{PQ}| |\overrightarrow{PS}|} = \frac{(-2)(1)+(-1)(-7)+(2)(2)}{3 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{-2+7+4}{9\sqrt{6}} = \frac{9}{9\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
साथ ही,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{PS}}{|\overrightarrow{PR}| |\overrightarrow{PS}|} = \frac{(a)(1)+(b)(-7)+(-4)(2)}{9 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{a-7b-8}{27\sqrt{6}}$.
$\cos \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{a-7b-8}{27\sqrt{6}} \implies a-7b-8 = 27 \implies a-7b = 35$ ...$(2)$।
$(1)$ से,$a^2+b^2=65$। $a=35+7b$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(35+7b)^2+b^2=65 \implies 1225+490b+49b^2+b^2=65 \implies 50b^2+490b+1160=0 \implies 5b^2+49b+116=0$.
$b$ के लिए हल करने पर: $b = \frac{-49 \pm \sqrt{49^2-4(5)(116)}}{10} = \frac{-49 \pm \sqrt{2401-2320}}{10} = \frac{-49 \pm \sqrt{81}}{10} = \frac{-49 \pm 9}{10}$.
अतः $b = -4$ या $b = -5.8$। चूँकि $b \in \mathbb{Z}$,$b=-4$.
तब $a = 35+7(-4) = 35-28 = 7$.
इस प्रकार,$3a-4b = 3(7)-4(-4) = 21+16 = 37$।

(B) माना $I_r = \int_0^r x |\sin \pi x| dx$ ...$(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_r = \int_0^r (r-x) |\sin \pi (r-x)| dx = \int_0^r (r-x) |\sin \pi x| dx$ ...$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I_r = \int_0^r r |\sin \pi x| dx \Rightarrow I_r = \frac{r}{2} \int_0^r |\sin \pi x| dx$
चूंकि $\int_0^n |\sin \pi x| dx = \frac{2n}{\pi}$,इसलिए $I_r = \frac{r}{2} \cdot \frac{2r}{\pi} = \frac{r^2}{\pi}$.
अतः व्यंजक $\sum_{r=1}^{20} \sqrt{\pi \cdot \frac{r^2}{\pi}} = \sum_{r=1}^{20} r$ हो जाता है।
योग $= \frac{20(21)}{2} = 210$.

(A) माना $\alpha = \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})$ और $\beta = \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3})$ है।
तब $k = \tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \tan(\beta)$ है।
चूंकि $2\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$,इसलिए $\cos(2\alpha) = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $2\beta = \sin^{-1}(\frac{2}{3})$,इसलिए $\sin(2\beta) = \frac{2}{3}$ है।
$\tan \alpha = \sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
$\tan \beta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\beta}{1+\cos 2\beta}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर $k=3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $\sin^{-1}(3x-1) = 2\sin^{-1}x - \frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $3x-1 = -\cos(2\sin^{-1}x) = 2x^2-1$ प्राप्त होता है।
$2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x=0$ या $x=1.5$ है।
$x=1.5$ के लिए $\sin^{-1}(3.5)$ परिभाषित नहीं है।
$x=0$ के लिए समीकरण संतुष्ट होता है।
अतः,हलों की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y$.
$x\cos^{2}y$ से भाग देने पर: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{\sin(2y)}{x\cos^{2}y}=x^{2}(2-x^{3})$.
चूंकि $\sin(2y)=2\sin y\cos y$,समीकरण इस प्रकार होगा: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{2\tan y}{x}=x^{2}(2-x^{3})$.
माना $\tan y=t$,तब $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$.
यह समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है: $\frac{dt}{dx}-\frac{2}{x}t=x^{2}(2-x^{3})$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int-\frac{2}{x}dx} = e^{-2\ln x} = \frac{1}{x^{2}}$.
$I$.$F$. से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(\frac{t}{x^{2}}) = 2-x^{3}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{t}{x^{2}} = \int(2-x^{3})dx = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
$t=\tan y$ रखने पर: $\frac{\tan y}{x^{2}} = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
दिया है $y(2)=0$,अतः $\tan(0)=0$: $\frac{0}{4} = 2(2)-\frac{16}{4}+C \Rightarrow 0 = 4-4+C \Rightarrow C=0$.
अतः,$\tan y = 2x^{3}-\frac{x^{6}}{4}$.
$x=1$ के लिए,$\tan(y(1)) = 2(1)^{3}-\frac{1^{6}}{4} = 2-\frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{b}-\vec{c}|^{2}+|\vec{c}-\vec{a}|^{2}=9$
$(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}) + (|\vec{c}|^{2}+|\vec{a}|^{2}-2\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$2(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$2(1+1+1) - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$6 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a} = -\frac{3}{2}$
अब,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ पर विचार करें।
अतः,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|2\vec{a}+k(\vec{b}+\vec{c})| = 3$
$|2\vec{a}+k(-\vec{a})| = 3$
$|(2-k)\vec{a}| = 3$
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,इसलिए $|2-k| = 3$.
इससे $2-k = 3$ या $2-k = -3$ प्राप्त होता है।
$k = -1$ या $k = 5$.
$k$ का धनात्मक मान $5$ है।

(A) माना रेखा $L$ है $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$। $L$ पर कोई भी बिंदु $(k+1, 2k, k+1)$ है।
माना $A$,$L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{b} = \lambda$ के लिए,$L_1$ पर एक बिंदु $(3\lambda+1, 4\lambda+2, b\lambda+a)$ है।
चूँकि $A$,$L$ पर स्थित है,हमारे पास $\frac{3\lambda+1-1}{1} = \frac{4\lambda+2}{2} = \frac{b\lambda+a-1}{1}$ है।
$\frac{3\lambda}{1} = \frac{4\lambda+2}{2}$ से,हमें $6\lambda = 4\lambda+2 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$ प्राप्त होता है।
तब $A = (3(1)+1, 4(1)+2, b(1)+a) = (4, 6, a+b)$।
चूँकि $A$,$L$ पर स्थित है,$\frac{4-1}{1} = \frac{6}{2} = \frac{a+b-1}{1} \Rightarrow 3 = 3 = a+b-1 \Rightarrow a+b=4$।
माना $B$,$L_2$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $L_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{c} = \mu$ के लिए,$L_2$ पर एक बिंदु $(\mu+1, 4\mu+2, c\mu+a)$ है।
चूँकि $B$,$L$ पर स्थित है,$\frac{\mu+1-1}{1} = \frac{4\mu+2}{2} = \frac{c\mu+a-1}{1}$।
$\mu = \frac{4\mu+2}{2}$ से,हमें $2\mu = 4\mu+2 \Rightarrow -2\mu = 2 \Rightarrow \mu = -1$ प्राप्त होता है।
तब $B = (-1+1, 4(-1)+2, c(-1)+a) = (0, -2, a-c)$।
चूँकि $B$,$L$ पर स्थित है,$\frac{0-1}{1} = \frac{-2}{2} = \frac{a-c-1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = a-c-1 \Rightarrow a-c=0 \Rightarrow a=c$।
दिया गया है कि $PA = PB$,जहाँ $P(1, 2, a)$,$A(4, 6, a+b)$,और $B(0, -2, a-c)$ हैं।
$PA^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (a+b-a)^2 = 3^2 + 4^2 + b^2 = 9+16+b^2 = 25+b^2$।
$PB^2 = (0-1)^2 + (-2-2)^2 + (a-c-a)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-c)^2 = 1+16+c^2 = 17+c^2$।
चूँकि $PA=PB$,$25+b^2 = 17+c^2 \Rightarrow c^2 - b^2 = 8$।
चूँकि $a=c$ और $a+b=4$,हमारे पास $c+b=4$ है। तब $c-b = \frac{c^2-b^2}{c+b} = \frac{8}{4} = 2$।
$c+b=4$ और $c-b=2$ को हल करने पर,हमें $2c=6 \Rightarrow c=3$ और $b=1$ प्राप्त होता है।
तब $a=c=3$। अतः,$a+b+c = 3+1+3 = 7$।

(B) दिया गया है कि $B = (I + A)^{-1}$ और $A + C = I$ है।
$A + C = I$ से,हमें $A = I - C$ प्राप्त होता है।
इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$B = (I + (I - C))^{-1} = (2I - C)^{-1}$।
इसका अर्थ है कि $B(2I - C) = I$,इसलिए $2B - BC = I$।
इसी प्रकार,$(2I - C)B = I$,इसलिए $2B - CB = I$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$2B - BC = 2B - CB$,जो दर्शाता है कि $BC = CB$ है।
दिया गया है कि $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $CB = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
हमें $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ को हल करना है।
मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|M| = (1)(2) - (-5)(-1) = 2 - 5 = -3$ है।
व्युत्क्रम आव्यूह $M^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 24 - 30 \\ 12 - 6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -6 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,$x_1 = 2$ और $x_2 = -2$ है।
अतः,$x_1 + x_2 = 2 + (-2) = 0$।

(C) क्षेत्र $R$, $y=x^2$, $y=1$, और $xy=8$ (या $y=8/x$) द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2=1 \implies x=1$ (चूंकि $x \ge 0$)
$x^2=8/x \implies x^3=8 \implies x=2$
$8/x=1 \implies x=8$
क्षेत्रफल $A$ दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx$
पहले समाकल का मूल्यांकन:
$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$
दूसरे समाकल का मूल्यांकन:
$\int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) = 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - 6$
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{4}{3} + 16 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - \frac{14}{3} = \frac{48 \ln 2 - 14}{3} = \frac{2}{3}(24 \ln 2 - 7)$.

(B) दिया गया है कि $f(x^2+1) = x^4 + 5x^2 + 2$ है।
मान लीजिए $t = x^2 + 1$,जिसका अर्थ है $x^2 = t - 1$।
इसे $f$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t) = (t-1)^2 + 5(t-1) + 2$
$f(t) = (t^2 - 2t + 1) + 5t - 5 + 2$
$f(t) = t^2 + 3t - 2$।
अब,हम निश्चित समाकलन की गणना करते हैं:
$\int_{0}^{3} f(t) dt = \int_{0}^{3} (t^2 + 3t - 2) dt$
$= \left[ \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} - 2t \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} + \frac{3(3^2)}{2} - 2(3) \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + \frac{27}{2} - 6 \right)$
$= 9 + 13.5 - 6 = 16.5 = \frac{33}{2}$।

(B) माना $I = \int \left( \frac{1-5 \cos^{2}x}{\sin^{5}x \cos^{2}x} \right) dx = \int \left( \frac{\sec^{2}x}{\sin^{5}x} - \frac{5}{\sin^{5}x} \right) dx$.
$\int \frac{\sec^{2}x}{\sin^{5}x} dx$ पर खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का उपयोग करने पर,$u = \frac{1}{\sin^{5}x}$ और $dv = \sec^{2}x dx$ लें।
तब $du = -5 \sin^{-6}x \cos x dx$ और $v = \tan x$.
$\int \frac{\sec^{2}x}{\sin^{5}x} dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} - \int \tan x (-5 \sin^{-6}x \cos x) dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + 5 \int \frac{\sin x / \cos x \cdot \cos x}{\sin^{6}x} dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + 5 \int \frac{1}{\sin^{5}x} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left( \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + 5 \int \frac{1}{\sin^{5}x} dx \right) - 5 \int \frac{1}{\sin^{5}x} dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + C$.
अतः,$f(x) = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} = \frac{1}{\cos x \sin^{4}x}$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\cos(\pi/6) \sin^{4}(\pi/6)} = \frac{32}{\sqrt{3}}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos(\pi/4) \sin^{4}(\pi/4)} = 4\sqrt{2}$.
$f(\frac{\pi}{6}) - f(\frac{\pi}{4}) = \frac{32}{\sqrt{3}} - 4\sqrt{2} = \frac{4}{\sqrt{3}}(8 - \sqrt{6})$.

(D) माना $E$ वह घटना है कि $3$ काली गेंदें निकाली जाती हैं। माना $H_k$ वह परिकल्पना है कि थैली में $k$ लाल और $(10-k)$ काली गेंदें हैं।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(H_1 | E) = \frac{P(E | H_1) P(H_1)}{\sum_{k=0}^{7} P(E | H_k) P(H_k)}$.
यह मानते हुए कि प्रत्येक संरचना $k$ समान रूप से संभावित है,$P(H_k) = \frac{1}{11}$.
$P(E | H_k) = \frac{\binom{10-k}{3}}{\binom{10}{3}}$.
$P(H_1 | E) = \frac{\binom{9}{3}}{\sum_{k=0}^{7} \binom{10-k}{3}} = \frac{\binom{9}{3}}{\binom{11}{4}} = \frac{84}{330} = \frac{14}{55}$.

(C) दिया गया है $g(x) = 3x^{2} + 2x - 3$. सबसे पहले,$g(2)$ की गणना करें:
$g(2) = 3(2)^{2} + 2(2) - 3 = 12 + 4 - 3 = 13$.
हमें $f(g(2)) = f(13)$ ज्ञात करना है।
दिया गया है $4g(f(x)) = 3x^{2} - 32x + 72$,$g(f(x)) = 3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4[3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3] = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - 12 = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - (3x^{2} - 32x + 84) = 0$.
$f(x)$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(12)(-(3x^{2} - 32x + 84))}}{24} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 48(3x^{2} - 32x + 84)}}{24}$
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{144x^{2} - 1536x + 4096}}{24} = \frac{-8 \pm (12x - 64)}{24}$.
चूंकि $f(0) = -3$ है,$x=0$ पर चिन्हों की जांच करने पर:
यदि हम धनात्मक चिन्ह लेते हैं: $f(0) = \frac{-8 + (-64)}{24} = -3$ (सही)।
अतः,$f(x) = \frac{-8 + 12x - 64}{24} = \frac{12x - 72}{24} = \frac{x - 6}{2}$.
अंत में,$f(13) = \frac{13 - 6}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) माना $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix}_{3 \times 2}$ है।
तब $A^{T}A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 & \dots \\ \dots & b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \end{bmatrix}$ है।
विकर्ण अवयवों का योग $\text{Tr}(A^{T}A) = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 5$ है।
हमें $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ से $6$ अवयव इस प्रकार चुनने हैं कि उनके वर्गों का योग $5$ हो।
वर्गों के संभावित संयोजन:
$1) \{1, 1, 1, 1, 1, 0\}$: तरीकों की संख्या $\frac{6!}{5!} \times 2^5 = 6 \times 32 = 192$ है।
$2) \{4, 1, 0, 0, 0, 0\}$: तरीकों की संख्या $\frac{6!}{4!} \times 2^2 = 30 \times 4 = 120$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $192 + 120 = 312$।

(C) दिया गया है $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$ के लिए।
$t \in (-1, 0)$ के लिए,$f(t) = \frac{t+1}{t^2} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}$. अतः $f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} = -\frac{t+2}{t^3}$. चूँकि $t < 0$,इसलिए $t^3 < 0$,अतः $t \in (-1, 0)$ के लिए $f'(t) > 0$ है।
$t \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f(t) = \frac{-(t+1)}{t^2} = -\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}$. अतः $f'(t) = \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t^3} = \frac{t+2}{t^3}$.
$f(t)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(t) < 0$ होना चाहिए। चूँकि $t^3 < 0$,हमें $t+2 > 0$ की आवश्यकता है,अर्थात $t > -2$. अतः,$f(t)$ अंतराल $(-2, -1)$ पर निरंतर ह्रासमान है।
$(-2, -1)$ की तुलना $(2\alpha, \alpha)$ से करने पर,हमें $\alpha = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$x > 2$ के लिए $g(x) = 2\log_e(x-2) - x^2 + 4x + 1$.
$g'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + 4 = \frac{2 - 2x(x-2) + 4(x-2)}{x-2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x-2} = \frac{-2(x-3)(x-1)}{x-2}$.
$x > 2$ के लिए,$x = 3$ पर $g'(x) = 0$ है।
$x \in (2, 3)$ के लिए,$g'(x) > 0$ और $x > 3$ के लिए,$g'(x) < 0$ है। अतः,$x = 3$ पर $g(x)$ का स्थानीय उच्चतम मान प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(3) = 2\log_e(3-2) - 3^2 + 4(3) + 1 = 2\log_e(1) - 9 + 12 + 1 = 0 - 9 + 13 = 4$ है।

(B) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{d}_1 = \langle 4, 1, 1 \rangle$ और $\vec{d}_2 = \langle 1, 1, 0 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{d}_L = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \langle -1, 1, 3 \rangle$ है।
बिंदु $P(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r}(t) = \langle 1-t, 1+t, 1+3t \rangle$ है।
$yz$-समतल पर बिंदु $Q$ के लिए,$x = 0 \Rightarrow 1-t = 0 \Rightarrow t = 1$ है। अतः,$Q = (0, 2, 4)$ है।
बिंदु $S(1, 0, -1)$ से गुजरने वाली $L$ के समानांतर रेखा $\vec{r}'(u) = \langle 1-u, u, -1+3u \rangle$ है।
$yz$-समतल पर बिंदु $R$ के लिए,$x = 0 \Rightarrow 1-u = 0 \Rightarrow u = 1$ है। अतः,$R = (0, 1, 2)$ है।
समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के आसन्न सदिश $\vec{PQ} = Q - P = \langle -1, 1, 3 \rangle$ और $\vec{PS} = S - P = \langle 0, -1, -2 \rangle$ हैं।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A} = \vec{PQ} \times \vec{PS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है।
क्षेत्रफल $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{6})^2 = 6$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.
मान लीजिए $u = \frac{tx}{36}$,तब $du = \frac{x}{36} dt$,इसलिए $dt = \frac{36}{x} du$.
जब $t=0, u=0$ और जब $t=36, u=x$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_0^x f(u) \cdot \frac{36}{x} du = 4\alpha f(x)$.
$\int_0^x f(u) du = \frac{4\alpha x f(x)}{36} = \frac{\alpha x f(x)}{9}$.
लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) = \frac{\alpha}{9} [f(x) + x f'(x)]$.
$f(x) = \frac{\alpha}{9} f(x) + \frac{\alpha x}{9} f'(x)$.
$(1 - \frac{\alpha}{9}) f(x) = \frac{\alpha x}{9} f'(x) \Rightarrow (9 - \alpha) f(x) = \alpha x f'(x)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{9 - \alpha}{\alpha} \cdot \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|f(x)| = (\frac{9}{\alpha} - 1) \ln|x| + C$.
$f(x) = c x^{(\frac{9}{\alpha} - 1)}$.
चूंकि $f(x)$ एक मानक परवलय है,घातांक $2$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{9}{\alpha} - 1 = 2 \Rightarrow \frac{9}{\alpha} = 3 \Rightarrow \alpha = 3$.
अतः,$f(x) = cx^2$.
यह $(2, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $1 = c(2)^2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$.
अतः,$f(x) = \frac{x^2}{4}$.
बिंदु $(-4, \beta)$ के लिए,$\beta = \frac{(-4)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
अंत में,$\beta^{\alpha} = 4^3 = 64$.

(A) सबसे पहले,हम $A_1$ की गणना करते हैं:
$A_1 = \int_0^2 ((8-x) - (x^2+2)) dx = \int_0^2 (6-x-x^2) dx$
$A_1 = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}$
अब,हम $A_2$ की गणना करते हैं:
$A_2 = \int_0^2 (x^2+2) dx - \int_0^2 \sqrt{x} dx$
$A_2 = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 - [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^2$
$A_2 = (\frac{8}{3} + 4) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = \frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$
अंत में,$A_1 - A_2 = \frac{22}{3} - (\frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3}(1 + 2\sqrt{2})$

(D) कुल बल्ब = $100$। दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = $10$। गैर-दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = $90$।
दोषपूर्ण बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$।
गैर-दोषपूर्ण बल्ब चुनने की प्रायिकता $q = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$।
चूंकि बल्बों को प्रतिस्थापन के साथ चुना जाता है,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 8$ और $p = 0.1$।
कम से कम $7$ दोषपूर्ण बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 7) = P(X = 7) + P(X = 8)$ है।
$P(X = 7) = \binom{8}{7} \times (0.1)^7 \times (0.9)^1 = 8 \times \frac{1}{10^7} \times \frac{9}{10} = \frac{72}{10^8}$।
$P(X = 8) = \binom{8}{8} \times (0.1)^8 \times (0.9)^0 = 1 \times \frac{1}{10^8} \times 1 = \frac{1}{10^8}$।
कुल प्रायिकता = $\frac{72}{10^8} + \frac{1}{10^8} = \frac{73}{10^8}$।

(B) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए और $f'(1^-) = f'(1^+)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर सांतत्य के लिए,$f(1^-) = f(1^+)$ होगा।
$f(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2 \alpha (x^2 - 2) + 2 \beta x) = 2 \alpha (1 - 2) + 2 \beta (1) = -2 \alpha + 2 \beta$.
$f(1^+) = (\alpha + 3)(1) + (\alpha - \beta) = 2 \alpha - \beta + 3$.
दोनों को बराबर करने पर: $-2 \alpha + 2 \beta = 2 \alpha - \beta + 3 \Rightarrow 4 \alpha - 3 \beta = -3$ $\quad (1)$.
इसके बाद,अवकलनीयता के लिए,$f'(1^-) = f'(1^+)$ होगा।
$x < 1$ के लिए $f'(x) = 4 \alpha x + 2 \beta$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) = \alpha + 3$ है।
$f'(1^-) = 4 \alpha + 2 \beta$.
$f'(1^+) = \alpha + 3$.
दोनों को बराबर करने पर: $4 \alpha + 2 \beta = \alpha + 3 \Rightarrow 3 \alpha + 2 \beta = 3$ $\quad (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(2)$ से,$2 \beta = 3 - 3 \alpha \Rightarrow \beta = \frac{3 - 3 \alpha}{2}$.
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4 \alpha - 3(\frac{3 - 3 \alpha}{2}) = -3 \Rightarrow 8 \alpha - 9 + 9 \alpha = -6 \Rightarrow 17 \alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{17}$.
अतः $\beta = \frac{3 - 3(3/17)}{2} = \frac{3 - 9/17}{2} = \frac{42/17}{2} = \frac{21}{17}$.
इस प्रकार,$34(\alpha + \beta) = 34(\frac{3}{17} + \frac{21}{17}) = 34(\frac{24}{17}) = 2 \times 24 = 48$.

(C) संबंध $R$,समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3, 4\}$ पर परिभाषित है। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $4 \times 4 = 16$ है। संबंध के लिए शर्त $2a + 3b = 3c + 4d$ है,जहाँ $a, b, c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
हम सभी युग्मों $(a, b)$ के लिए $f(a, b) = 2a + 3b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(1,1) \to 5, (1,2) \to 8, (1,3) \to 11, (1,4) \to 14$
$(2,1) \to 7, (2,2) \to 10, (2,3) \to 13, (2,4) \to 16$
$(3,1) \to 9, (3,2) \to 12, (3,3) \to 15, (3,4) \to 18$
$(4,1) \to 11, (4,2) \to 14, (4,3) \to 17, (4,4) \to 20$
अब सभी युग्मों $(c, d)$ के लिए $g(c, d) = 3c + 4d$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(1,1) \to 7, (1,2) \to 11, (1,3) \to 15, (1,4) \to 19$
$(2,1) \to 10, (2,2) \to 14, (2,3) \to 18, (2,4) \to 22$
$(3,1) \to 13, (3,2) \to 17, (3,3) \to 21, (3,4) \to 25$
$(4,1) \to 16, (4,2) \to 20, (4,3) \to 24, (4,4) \to 28$
$f(a, b) = g(c, d)$ वाले मानों का मिलान करने पर:
$11: (1,3) \text{ और } (4,1), (1,2) \text{ से जुड़ते हैं}$
$14: (1,4) \text{ और } (4,2), (2,2) \text{ से जुड़ते हैं}$
$16: (2,4), (4,1) \text{ से जुड़ता है}$
$7: (2,1), (1,1) \text{ से जुड़ता है}$
$10: (2,2), (2,1) \text{ से जुड़ता है}$
$13: (2,3), (3,1) \text{ से जुड़ता है}$
$15: (3,3), (1,3) \text{ से जुड़ता है}$
$18: (3,4), (2,3) \text{ से जुड़ता है}$
$17: (4,3), (3,2) \text{ से जुड़ता है}$
$20: (4,4), (4,2) \text{ से जुड़ता है}$
इस शर्त को पूरा करने वाले युग्मों $((a,b), (c,d))$ की गणना करने पर,हमें $12$ अवयव प्राप्त होते हैं।

(A) मान लीजिए $\ln t = x$,तो $t = e^x$ और $dt = e^x dx$ होगा। समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t) = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} e^x dx = \int \frac{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} e^x dx$
$f(t) = \int \left( \frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2) \right) e^x dx$
सर्वसमिका $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $g(x) = -\cot(x/2)$ और $g'(x) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ है:
$f(t) = -e^x \cot(x/2) + C = -t \cot(\frac{\ln t}{2}) + C$
दिया गया है कि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2} \cot(\pi/4) + C = -e^{\pi/2} + C = -e^{\pi/2}$,इसलिए $C = 0$ है।
अतः,$f(t) = -t \cot(\frac{\ln t}{2})$ है।
$f(e^{\pi/4}) = -e^{\pi/4} \cot(\pi/8) = -e^{\pi/4} (\sqrt{2} + 1)$ है।
$f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = -(1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = \log_{g(x)}h(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$h(x) > 0$,$g(x) > 0$ और $g(x) \neq 1$ होना चाहिए।
चरण $1$: $h(x) = 18x^2 - 11x + 1 > 0 \implies (2x-1)(9x-1) > 0 \implies x < \frac{1}{9}$ या $x > \frac{1}{2}$।
चरण $2$: $g(x) = 10x^2 - 17x + 7 > 0 \implies (x-1)(10x-7) > 0 \implies x < \frac{7}{10}$ या $x > 1$।
चरण $3$: $g(x) \neq 1 \implies 10x^2 - 17x + 6 \neq 0 \implies (2x-1)(5x-6) \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}, x \neq \frac{6}{5}$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{7}{10}) \cup (1, \infty) - \{\frac{6}{5}\}$।
$(-\infty, a) \cup (b, c) \cup (d, \infty) - \{e\}$ से तुलना करने पर,$a = \frac{1}{9}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{7}{10}, d = 1, e = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $90(a+b+c+d+e) = 90(\frac{1}{9} + \frac{1}{2} + \frac{7}{10} + 1 + \frac{6}{5}) = 10 + 45 + 63 + 90 + 108 = 316$।

(C) सबसे पहले,$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\vec{c} \times \vec{d}| = 3$,इसलिए $|\vec{c}||\vec{d}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 3$.
$|\vec{c}| = 3$ रखने पर,$3|\vec{d}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{d}| = \sqrt{2}$.
दिया गया है कि $|\vec{d}-\vec{a}| = \sqrt{11}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{d}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9$.
मान रखने पर: $2 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$.
$11 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$,जिसे सरल करने पर $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु $R$ ज्ञात करने के लिए,हम $\vec{r}$ के व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$2\lambda+1 = 5\mu+4$,$3\lambda+2 = 2\mu+1$,$4\lambda+3 = \mu$.
इन्हें हल करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $\mu = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $R$ $(-1, -1, -1)$ है।
बिंदु $P$,$L_1$ पर स्थित है,इसलिए $P = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ है।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{PR}| = \sqrt{29}$,इसलिए $PR^2 = 29$ है।
$(2\lambda+1 - (-1))^2 + (3\lambda+2 - (-1))^2 + (4\lambda+3 - (-1))^2 = 29$.
$(2\lambda+2)^2 + (3\lambda+3)^2 + (4\lambda+4)^2 = 29$.
$29(\lambda+1)^2 = 29 \Rightarrow (\lambda+1)^2 = 1 \Rightarrow \lambda = 0$ या $\lambda = -2$.
यदि $\lambda = 0$,तो $P = (1, 2, 3)$ (प्रथम अष्टांश)। यदि $\lambda = -2$,तो $P = (-3, -4, -5)$ (प्रथम अष्टांश में नहीं)।
अतः,$P = (1, 2, 3)$ है।
बिंदु $Q$,$L_2$ पर स्थित है,इसलिए $Q = (5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$ है।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{PQ}|^2 = \frac{47}{3}$ है।
$(5\mu+4-1)^2 + (2\mu+1-2)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$(5\mu+3)^2 + (2\mu-1)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$25\mu^2 + 30\mu + 9 + 4\mu^2 - 4\mu + 1 + \mu^2 - 6\mu + 9 = \frac{47}{3}$.
$30\mu^2 + 20\mu + 19 = \frac{47}{3} \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 57 = 47 \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 10 = 0$.
$9\mu^2 + 6\mu + 1 = 0 \Rightarrow (3\mu+1)^2 = 0 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{3}$.
$Q = (5(-\frac{1}{3})+4, 2(-\frac{1}{3})+1, -\frac{1}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.
$(QR)^2 = (\frac{7}{3} - (-1))^2 + (\frac{1}{3} - (-1))^2 + (-\frac{1}{3} - (-1))^2 = (\frac{10}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{100+16+4}{9} = \frac{120}{9}$.
$27(QR)^2 = 27 \times \frac{120}{9} = 3 \times 120 = 360$.

(A) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^x + \ln(\sec x + \tan x) - x}{\tan x - x}$.
$x=0$ के निकट टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$e^{\tan x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$.
$\ln(\sec x + \tan x) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
अंश में इन मानों को रखने पर:
$N = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3}) - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + (x + \frac{x^3}{6}) - x = \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
हर $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ है।
अतः,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{3}}{\frac{x^3}{3}} = 2$.

(B) दिया गया है $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} yf(y) dy + xe^{x} \int_{0}^{1} f(y) dy$.
मान लीजिए $A = \int_{0}^{1} yf(y) dy$ और $B = \int_{0}^{1} f(y) dy$.
तब $f(x) = e^{x} + A + Bxe^{x}$.
अब,$B = \int_{0}^{1} (e^{y} + A + Bye^{y}) dy = [e^{y} + Ay + B(ye^{y} - e^{y})]_{0}^{1} = (e + A + 0) - (1 + 0 - B) = e + A - 1 + B$.
इससे $A = 1 - e$ प्राप्त होता है।
आगे,$A = \int_{0}^{1} y(e^{y} + A + Bye^{y}) dy = \int_{0}^{1} (ye^{y} + Ay + Bye^{y}) dy$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int ye^{y} dy = (y-1)e^{y}$.
अतः,$A = [(y-1)e^{y} + \frac{A}{2}y^{2} + B(y-1)e^{y}]_{0}^{1} = (0 + \frac{A}{2} + 0) - (-1 + 0 - B) = \frac{A}{2} + 1 + B$.
$A = 1 - e$ रखने पर,$1 - e = \frac{1-e}{2} + 1 + B$,जिससे $B = \frac{1-3e}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$f(0) = e^{0} + A + B(0)e^{0} = 1 + A = 1 + (1 - e) = 2 - e$.
अतः,$e + f(0) = e + 2 - e = 2$.

(C) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = a$.
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$a = \frac{1}{2}$.
$x < 0$ के लिए,$f(x) = b^2 \sin \left(\frac{\pi}{2} \left[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x\right]\right)$. जब $x \to 0^-$,तब $\cos x \to 1$ और $\sin x \to 0$. महत्तम पूर्णांक फलन के अंदर का मान $\frac{\pi}{2}(1 + 0)(1) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ हो जाता है। अतः,$[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x] = 1$.
इस प्रकार,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = b^2 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = b^2$.
सीमाओं की तुलना करने पर,$b^2 = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$a^2 + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

(C) दिया गया है $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$।
इसका अर्थ है $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(2\vec{a} + 3\vec{b})$ के समानांतर है।
मान लीजिए $\vec{c} = \lambda(2\vec{a} + 3\vec{b})$ है।
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(2\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}) + 3(\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = 7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,$\vec{c} = \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k})$ है।
दिया गया है $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = -97$।
हम जानते हैं कि $\vec{a} - \vec{b} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट में मान रखने पर: $(\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}) = -97$।
$\lambda(7 + 52 + 38) = -97 \Rightarrow 97\lambda = -97 \Rightarrow \lambda = -1$।
इस प्रकार,$\vec{c} = -7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}$ है।
अब,$\vec{c} \times \hat{k} = (-7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}) \times \hat{k} = 13\hat{i} + 7\hat{j}$ है।
अंत में,$|\vec{c} \times \hat{k}|^2 = 13^2 + 7^2 = 169 + 49 = 218$।

(C) दिया गया है $m = \sum_{i=1}^9 i^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
अतः $\frac{m}{19x} = \frac{285}{19x} = \frac{15}{x}$.
समीकरण $3f(x) + 2f\left(\frac{15}{x}\right) = 5x$ में $x$ को $\frac{15}{x}$ से बदलने पर,
$3f\left(\frac{15}{x}\right) + 2f(x) = \frac{75}{x}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर $f(x) = 3x - \frac{30}{x}$ प्राप्त होता है।
$f(5) = 3(5) - \frac{30}{5} = 9$ और $f(2) = 3(2) - \frac{30}{2} = -9$.
अतः $f(5) - f(2) = 9 - (-9) = 18$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$.
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{t \rightarrow x} \frac{2ty(x)-x^{2}y'(t)}{-1} = 3$.
$t=x$ रखने पर:
$2xy(x) - x^{2}y'(x) = -3$,जिसे सरल करने पर $x^{2}y'(x) - 2xy(x) = 3$ प्राप्त होता है।
$x^{4}$ से विभाजित करने पर ($x>0$ के लिए):
$\frac{x^{2}y'(x) - 2xy(x)}{x^{4}} = \frac{3}{x^{4}} \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{x^{2}} \right) = 3x^{-4}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{y(x)}{x^{2}} = \int 3x^{-4} dx = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C$.
अतः,$y(x) = Cx^{2} - \frac{1}{x}$.
$y(1)=2$ दिया गया है:
$2 = C(1)^{2} - \frac{1}{1} \Rightarrow 2 = C - 1 \Rightarrow C = 3$.
इस प्रकार,$y(x) = 3x^{2} - \frac{1}{x}$.
अंत में,$2y(2) = 2 \left( 3(2)^{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 12 - 0.5 \right) = 24 - 1 = 23$.

(D) फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$\log_{e} x < 0$ और $x - 1 < 0$,इसलिए $f(x) = -\log_{e} x - (-(x - 1)) = -\log_{e} x + x - 1$.
अतः $f'(x) = -\frac{1}{x} + 1 = \frac{x - 1}{x}$. चूँकि $x \in (0, 1)$,$f'(x) < 0$,इसलिए $f$ अंतराल $(0, 1)$ में ह्रासमान है। अतः,$(II)$ असत्य है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$\log_{e} x > 0$ और $x - 1 > 0$,इसलिए $f(x) = \log_{e} x - (x - 1) = \log_{e} x - x + 1$.
अतः $f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$. चूँकि $x > 1$,$f'(x) < 0$,इसलिए $f$ अंतराल $(1, \infty)$ में ह्रासमान है। अतः,$(III)$ सत्य है।
$x = 1$ पर,$f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$. $x = 1$ पर बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ और दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ है। अतः $f$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है। अतः,$(I)$ सत्य है। इसलिए केवल $(I)$ और $(III)$ सत्य हैं।

(B) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2}{x^2-2x-2}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \le \frac{2}{x^2-2x-2} \le 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\left|\frac{2}{x^2-2x-2}\right| \le 1$,जिसका मतलब है $x^2-2x-2 \ge 2$ या $x^2-2x-2 \le -2$.
स्थिति $1$: $x^2-2x-2 \ge 2 \Rightarrow x^2-2x-4 \ge 0$. मूल $1 \pm \sqrt{5}$ हैं। अतः $x \in (-\infty, 1-\sqrt{5}] \cup [1+\sqrt{5}, \infty)$.
स्थिति $2$: $x^2-2x-2 \le -2 \Rightarrow x^2-2x \le 0 \Rightarrow x(x-2) \le 0$. अतः $x \in [0, 2]$.
हर शून्य नहीं हो सकता: $x^2-2x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \pm \sqrt{3}$.
इस प्रकार,प्रांत $(-\infty, 1-\sqrt{5}] \cup [0, 1-\sqrt{3}) \cup (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}) \cup (1+\sqrt{3}, 2] \cup [1+\sqrt{5}, \infty)$ है।
दिए गए रूप $(-\infty, \alpha] \cup [\beta, \gamma] \cup [\delta, \infty)$ के अनुसार,$\alpha = 1-\sqrt{5}, \beta = 0, \gamma = 2, \delta = 1+\sqrt{5}$.
योग $= (1-\sqrt{5}) + 0 + 2 + (1+\sqrt{5}) = 4$.

(C) जब $\alpha = 0$,तो फलन $y = |0 \cdot x - 5| - |1 - 0 \cdot x| + 0 \cdot x^2 = |-5| - |1| + 0 = 5 - 1 = 4$ हो जाता है।
अतः,$f(0)$ वह क्षेत्रफल है जो $x=0, x=1, y^2=x$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध है। प्रथम चतुर्थांश में $y^2=x$ का अर्थ है $y=\sqrt{x}$,इसलिए क्षेत्रफल:
$f(0) = \int_0^1 (4 - \sqrt{x}) dx = [4x - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
जब $\alpha = 1$,तो फलन $y = |x - 5| - |1 - x| + x^2$ हो जाता है। $x \in (0, 1)$ के लिए,$x-5 < 0$ और $1-x > 0$,इसलिए $|x-5| = 5-x$ और $|1-x| = 1-x$ होगा।
अतः,$y = (5-x) - (1-x) + x^2 = 5 - x - 1 + x + x^2 = 4 + x^2$.
क्षेत्रफल $f(1)$ जो $x=0, x=1, y^2=x$ और $y=4+x^2$ द्वारा परिबद्ध है:
$f(1) = \int_0^1 ((4+x^2) - \sqrt{x}) dx = [4x + \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
अंत में,$f(0) + f(1) = \frac{10}{3} + \frac{11}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

(B) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{ |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| }$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{r_1} = (-1, 2, 4)$,$\vec{r_2} = (0, 1, 1)$,$\vec{v_1} = (\alpha, -1, -\alpha)$,और $\vec{v_2} = (\alpha, 2, 2\alpha)$ है।
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (1, -1, -3)$ है।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & -1 & -\alpha \\ \alpha & 2 & 2\alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-2\alpha + 2\alpha) - \hat{j}(2\alpha^2 + \alpha^2) + \hat{k}(2\alpha + \alpha) = (0, -3\alpha^2, 3\alpha)$ है।
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-3\alpha^2)^2 + (3\alpha)^2} = \sqrt{9\alpha^4 + 9\alpha^2} = 3|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}$ है।
$(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1)(0) + (-1)(-3\alpha^2) + (-3)(3\alpha) = 3\alpha^2 - 9\alpha$ है।
दिया गया है $d = \sqrt{2}$,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{|3\alpha^2 - 9\alpha|}{3|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{|\alpha^2 - 3\alpha|}{|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{|\alpha - 3|}{\sqrt{\alpha^2+1}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 = \frac{(\alpha-3)^2}{\alpha^2+1} \Rightarrow 2\alpha^2 + 2 = \alpha^2 - 6\alpha + 9$ है।
$\alpha^2 + 6\alpha - 7 = 0 \Rightarrow (\alpha+7)(\alpha-1) = 0$ है।
मान $\alpha = -7$ और $\alpha = 1$ हैं।
मानों का योग $-7 + 1 = -6$ है।

(B) दिया गया है $q_{ij} = 2^{(i+j-1)}p_{ij}$। आव्यूह $Q$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$Q = \begin{bmatrix} 2^1 p_{11} & 2^2 p_{12} & 2^3 p_{13} \\ 2^2 p_{21} & 2^3 p_{22} & 2^4 p_{23} \\ 2^3 p_{31} & 2^4 p_{32} & 2^5 p_{33} \end{bmatrix}$
प्रत्येक पंक्ति से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$\det(Q) = (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3) \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ 2 p_{21} & 2 p_{22} & 2 p_{23} \\ 2^2 p_{31} & 2^2 p_{32} & 2^2 p_{33} \end{vmatrix} = 2^6 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2^2) \det(P) = 2^6 \cdot 2^3 \det(P) = 2^9 \det(P)$
दिया गया है $\det(Q) = 2^{10}$,इसलिए $2^9 \det(P) = 2^{10} \implies \det(P) = 2$।
हम जानते हैं कि $\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(n-1)^2}$,जहाँ $n=3$ है।
$\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(3-1)^2} = \det(P)^4 = 2^4 = 16$।

(C) चूँकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b} = x(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}) = (2x+y)\hat{i} + (3y-x)\hat{j} - (x+y)\hat{k}$.
सदिश $\vec{c}$ पर $\vec{v}$ का प्रक्षेप $\left|\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}\right| = \frac{1}{\sqrt{14}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ ज्ञात करें।
अब,$\vec{v} \cdot \vec{c} = (2x+y)(2) + (3y-x)(1) + (-x-y)(3) = 4x + 2y + 3y - x - 3x - 3y = 2y$.
अतः,$\left|\frac{2y}{\sqrt{14}}\right| = \frac{1}{\sqrt{14}} \implies |2y| = 1 \implies y^2 = \frac{1}{4}$.
परिमाण का वर्ग $|\vec{v}|^2 = (2x+y)^2 + (3y-x)^2 + (x+y)^2 = 6x^2 + 11y^2$ है।
$y^2 = \frac{1}{4}$ रखने पर,$|\vec{v}|^2 = 6x^2 + \frac{11}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि हम $x=1$ लें,तो $|\vec{v}| = \sqrt{6 + 2.75} = \sqrt{8.75} = \sqrt{\frac{35}{4}} = \frac{\sqrt{35}}{2}$।