JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) पहली श्रेणी $A_1 = 3, 6, 9, 12, \ldots$ है जहाँ $n_1 = 78$ है। $n$-वाँ पद $a_n = 3n$ है। अंतिम पद $3 \times 78 = 234$ है।
दूसरी श्रेणी $A_2 = 5, 9, 13, 17, \ldots$ है जहाँ $n_2 = 59$ है। $n$-वाँ पद $b_n = 4n + 1$ है। अंतिम पद $4 \times 59 + 1 = 237$ है।
उभयनिष्ठ पद $3n_1 = 4n_2 + 1$ को संतुष्ट करते हैं। पहला उभयनिष्ठ पद $9$ है। सार्व अंतर $\text{lcm}(3, 4) = 12$ है।
उभयनिष्ठ श्रेणी $9, 21, 33, \ldots$ है। सामान्य पद $c_k = 12k - 3$ है।
$12k - 3 \leq 234$ के लिए,$12k \leq 237$,जिससे $k \leq 19.75$ प्राप्त होता है। अतः,$19$ उभयनिष्ठ पद हैं।
योग $S_{19} = \frac{19}{2} [2(9) + (19-1)12] = 19 \times 117 = 2223$.

(B) दिया गया समीकरण $\sin x = \cos^{2} x$ है।
सर्वसमिका $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ का उपयोग करने पर,$\sin x = 1 - \sin^{2} x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,द्विघात समीकरण $\sin^{2} x + \sin x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = \sin x$,तो $t^{2} + t - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ होगा।
अंतराल $(0, 10)$ में,$10$ रेडियन लगभग $3.18\pi$ के बराबर है।
$(0, 2\pi)$ में $2$ हल मिलते हैं और $(2\pi, 3.18\pi)$ में $2$ और हल मिलते हैं।
कुल हलों की संख्या $4$ है।

(C) पहला क्षेत्र वृत्त $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के बीच का क्षेत्रफल है। क्षेत्रफल $\pi a^{2} - \pi ab = 30\pi$ है,जो सरल होकर $a^{2} - ab = 30$ हो जाता है।
दूसरा क्षेत्र दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ और वृत्त $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ के बीच का क्षेत्रफल है। क्षेत्रफल $\pi ab - \pi b^{2} = 18\pi$ है,जो सरल होकर $ab - b^{2} = 18$ हो जाता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(a^{2} - ab) + (ab - b^{2}) = 30 + 18$,अतः $a^{2} - b^{2} = 48$।
पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर: $(a^{2} - ab) - (ab - b^{2}) = 30 - 18$,जिससे हमें $a^{2} - 2ab + b^{2} = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a - b)^{2} = 12$ है।

(C) $(2x^{1/5} - x^{-1/5})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{15}C_k (2x^{1/5})^{15-k} (-x^{-1/5})^k$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{k+1} = {}^{15}C_k \cdot 2^{15-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{(15-2k)/5}$.
$x^{-1}$ के गुणांक के लिए,$(15-2k)/5 = -1 \implies k = 10$.
अतः,$m = {}^{15}C_{10} \cdot 2^5 = {}^{15}C_5 \cdot 2^5$.
$x^{-3}$ के गुणांक के लिए,$(15-2k)/5 = -3 \implies k = 15$.
अतः,$n = {}^{15}C_{15} \cdot 2^0 \cdot (-1)^{15} = -1$.
दिया गया है कि $mn^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$,इसलिए $({}^{15}C_5 \cdot 2^5) \cdot (-1)^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
${}^{15}C_5 \cdot 2^5 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
तुलना करने पर,$r = 5$ प्राप्त होता है।

(D) माना चार अंकों की संख्या $abcd$ है,जहाँ $a, b, c$ अंतिम अंक $d$ से विभाज्य हैं।
प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए संभावनाएँ:
$d=1$: $9 \times 10 \times 10 = 900$
$d=2$: $4 \times 5 \times 5 = 100$
$d=3$: $3 \times 4 \times 4 = 48$
$d=4$: $2 \times 3 \times 3 = 18$
$d=5$: $1 \times 2 \times 2 = 4$
$d=6, 7, 8, 9$: प्रत्येक के लिए $1 \times 2 \times 2 = 4$,अर्थात $4 \times 4 = 16$
कुल योग: $900 + 100 + 48 + 18 + 4 + 16 = 1086$.

(A) दिए गए समीकरण $x^{2} + (2i - 1) = 0$ से,हमारे पास $x^{2} = 1 - 2i$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2} = 1 - 2i$ और $\beta^{2} = 1 - 2i$ है।
अतः,$\alpha^{8} = (\alpha^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ और $\beta^{8} = (\beta^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ है।
इसलिए,$\alpha^{8} = \beta^{8}$ है।
हमें $|\alpha^{8} + \beta^{8}| = |2\alpha^{8}| = 2|\alpha^{8}| = 2|\alpha^{2}|^{4}$ का मान ज्ञात करना है।
मापांक $|\alpha^{2}| = |1 - 2i| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ है।
अतः,$|\alpha^{8} + \beta^{8}| = 2(\sqrt{5})^{4} = 2(5^{2}) = 2(25) = 50$।

(C) सबसे पहले,व्यंजक $(p \vee q) \Rightarrow q$ को सरल करें:
$(p \vee q) \Rightarrow q \equiv \sim(p \vee q) \vee q$
$\equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee q$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge t \equiv \sim p \vee q$.
अब,$(p \wedge q) \Delta (\sim p \vee q)$ के लिए विकल्पों की जाँच करें।
विकल्प $C$ $(\Rightarrow)$ के लिए:
$(p \wedge q) \Rightarrow (\sim p \vee q) \equiv \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee t \equiv t$.
चूँकि परिणाम एक पुनरुक्ति है,इसलिए $\Delta$ का मान $\Rightarrow$ है।

(B) दिया गया संबंध $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=1$ है,जहाँ $a_{0}=0, a_{1}=0$ है।
शुरुआती पद: $a_{2}=1, a_{3}=3, a_{4}=6$ हैं।
सामान्य पद $a_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$ है।
माना $S=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2 \cdot 7^{n}}$ है।
श्रेणी के योग की विधि का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{7^{2}} + \frac{3}{7^{3}} + \frac{6}{7^{4}} + \dots$
$\frac{6}{7}S = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{(1-1/7)^{2}} = \frac{1}{36}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \frac{7}{216}$।

(C) माना बिंदु $A$ और $A'$ $(x, 2)$ हैं। मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और $B(2, 3)$ है।
$OB$ की ढाल $m_1 = \frac{3}{2}$ है और $OA$ की ढाल $m_2 = \frac{2}{x}$ है।
कोण $\frac{\pi}{4}$ होने के कारण,$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = 1$ है।
$\left| \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \right| = 1$ $\Rightarrow \left| \frac{3x - 4}{2x + 6} \right| = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 10$ या $x = -\frac{2}{5}$ मिलता है।
बिंदुओं के बीच की दूरी $AA' = |10 - (-\frac{2}{5})| = \frac{52}{5}$ है।

(D) बहुपद विस्तार का सामान्य पद:
$T_{r_1, r_2, r_3} = \frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (3)^{r_1} (-2)^{r_2} (5)^{r_3} x^{3r_1 + 2r_2 - 5r_3}$
अचर पद के लिए $x$ का घात $0$ होना चाहिए:
$3r_1 + 2r_2 - 5r_3 = 0$ और $r_1 + r_2 + r_3 = 10$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $(r_1, r_2, r_3) = (1, 6, 3)$ प्राप्त होता है।
अचर पद $= \frac{10!}{1! 6! 3!} (3)^1 (-2)^6 (5)^3$
$= 840 \times 3 \times 64 \times 125 = 2^9 \times (3^2 \times 5^4 \times 7^1)$
यहाँ $l = 3^2 \times 5^4 \times 7^1$ एक विषम पूर्णांक है।
अतः,$k = 9$.

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(t^{2}, 2t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ हैं।
चूंकि $PQ$,$R(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करती है,इसलिए $PR$ और $QR$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$PR$ की प्रवणता $= \frac{2t-0}{t^{2}-3} = \frac{2t}{t^{2}-3}$.
$QR$ की प्रवणता $= \frac{-2/t-0}{1/t^{2}-3} = \frac{-2/t}{(1-3t^{2})/t^{2}} = \frac{-2t}{1-3t^{2}}$.
गुणनफल $-1$ होने के कारण,$\frac{2t}{t^{2}-3} \times \frac{-2t}{1-3t^{2}} = -1$.
$\frac{-4t^{2}}{(t^{2}-3)(1-3t^{2})} = -1 \Rightarrow 4t^{2} = (t^{2}-3)(1-3t^{2}) = t^{2} - 3t^{4} - 3 + 9t^{2} = -3t^{4} + 10t^{2} - 3$.
$3t^{4} - 6t^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 3(t^{2}-1)^{2} = 0 \Rightarrow t^{2} = 1$.
अतः,$P$ बिंदु $(1, 2)$ है और $Q$ बिंदु $(1, -2)$ है।
जीवा $PQ$ की लंबाई $4$ है,जो दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है। अतः,$\frac{2b^{2}}{a} = 4 \Rightarrow b^{2} = 2a$.
दीर्घवृत्त की नाभि $(ae, 0)$ है। चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,रेखा $x=1$ को नाभि $(ae, 0)$ से गुजरना चाहिए,इसलिए $ae = 1$.
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करते हुए,$b^{2} = 2a$ और $e^{2} = \frac{1}{a^{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2a = a^{2}(1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1$.
$a^{2} - 2a - 1 = 0$. $a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a = 1+\sqrt{2}$.
तब $e^{2} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$.
अतः,$\frac{1}{e^{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$.

(C) वृत्त $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ के बिंदु $M(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(-1) + y(1) = 2$ है,जो $x - y + 2 = 0$ के रूप में सरल होता है।
मान लीजिए $O(3, 2)$ वृत्त $C_{2}$ का केंद्र है और $r = \sqrt{5}$ इसकी त्रिज्या है।
केंद्र $O(3, 2)$ से रेखा $x - y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3 - 2 + 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
मान लीजिए $P$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। $\Delta OPA$ में,$OA = r = \sqrt{5}$ और $OP = d = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
अतः $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\Delta OAN$ में,$\angle OAN = 90^{\circ}$ है। मान लीजिए $\angle AON = \theta$ है। तो $\tan \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{1/\sqrt{2}}{3/\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$.
$\Delta OAN$ में,$AN = OA \tan \theta = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
साथ ही,$ON = \sqrt{OA^{2} + AN^{2}} = \sqrt{5 + \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.
$\Delta ANB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PN$. यहाँ $PN = \frac{AN^{2}}{ON} = \frac{5/9}{5\sqrt{2}/3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AP) \cdot PN = AP \cdot PN = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) $5$ प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_{i}}{5} = \frac{24}{5}$ है,अतः $\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$ है।
प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - (\bar{x})^{2} = \frac{194}{25}$ है।
$\bar{x} = \frac{24}{5}$ रखने पर,$\frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - \frac{576}{25} = \frac{194}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$,अतः $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = 154$ है।
पहले $4$ प्रेक्षणों के लिए,माध्य $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 14$ है।
चूंकि $\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$,इसलिए $x_{5} = 24 - 14 = 10$ है।
पहले $4$ प्रेक्षणों का प्रसरण $a = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - \frac{49}{4}$ है।
अतः,$\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} = 4a + 49$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} + x_{5}^{2} = 154$ है।
मान रखने पर: $(4a + 49) + 10^{2} = 154$ है।
$4a + 49 + 100 = 154$ $\Rightarrow 4a + 149 = 154$ $\Rightarrow 4a = 5$ है।
अंत में,$4a + x_{5} = 5 + 10 = 15$ है।

(C) क्षेत्र $S$ को $|z - 2| \leq 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जो $(2, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है,और $z(1 + i) + \overline{z}(1 - i) \leq 2$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,दूसरी असमिका $2x - 2y \leq 2$ या $x - y \leq 1$ बन जाती है।
$|z - 4i|$ का मान $P(0, 4)$ से दूरी को दर्शाता है।
गणना करने पर,$5(|z_1|^2 + |z_2|^2) = 50$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 50, \beta = 0$ और $\alpha + \beta = 50$।

(A) दिया गया समीकरण: $3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10 \cos^2 \theta + 5 = 0$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}) + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 5 - 5 \cos 2\theta + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta(3 \cos 2\theta + 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\cos 2\theta = 0$
$\theta \in [-4\pi, 4\pi]$ के लिए,$2\theta \in [-8\pi, 8\pi]$.
$\cos 2\theta = 0 \implies 2\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,जहाँ $n \in \{-8, -7, \dots, 7\}$.
$[-8\pi, 8\pi]$ अंतराल में $2\theta$ के लिए $16$ मान हैं,इसलिए $\theta$ के लिए $16$ मान प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{3}$
चूँकि $-1 < -\frac{1}{3} < 1$,$2\pi$ लंबाई के प्रत्येक अंतराल में $2\theta$ के लिए $2$ हल होते हैं।
$[-8\pi, 8\pi]$ अंतराल में (लंबाई $16\pi$),कुल $8 \times 2 = 16$ हल होते हैं।
अवयवों की कुल संख्या $= 16 + 16 = 32$.

(A) दिया गया समीकरण $2 \theta - \cos^{2} \theta + \sqrt{2} = 0$ है।
इसे $\cos^{2} \theta = 2 \theta + \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ और $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$ है।
फलन $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ एक आवर्ती फलन है जिसका परिसर $[0, 1]$ है।
फलन $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल $2$ है और $y$-अंतःखंड $\sqrt{2} \approx 1.414$ है।
चूंकि $\cos^{2} \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,और $\theta > 0$ के लिए,$g(\theta) > \sqrt{2} > 1$ है,इसलिए $\theta > 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
$\theta < 0$ के लिए,रेखा $g(\theta)$ वक्र $f(\theta)$ को ग्राफ में दिखाए अनुसार केवल एक बिंदु पर काटती है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{11}}{2}$ के लिए,$e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$.
मान रखने पर,$\frac{11}{4} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{7}{4}$,इसलिए $b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$.
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $(2a)$ और संयुग्मी अक्ष की लंबाई $(2b)$ का योग $2a + 2b = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$ है।
$b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$ रखने पर,$2a + 2(\frac{\sqrt{7}}{2}a) = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$.
$2a + \sqrt{7}a = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
$a(2 + \sqrt{7}) = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
अतः,$a = 4\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $a^{2} = 32$.
$b^{2} = \frac{7}{4}a^{2} = \frac{7}{4} \times 32 = 56$.
इसलिए,$a^{2} + b^{2} = 32 + 56 = 88$.

(B) मान लीजिए $A$ वह समुच्चय है जब $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ क्रमागत हैं।
$n(A) = 97 \times 98 = 9506$ (गणना के अनुसार)।
कुल क्रमचयों की संख्या $= 18915$ है।

(C) यह व्यंजक $|z-3 \sqrt{2}| + |z-p \sqrt{2} i|$ सम्मिश्र तल में बिंदुओं $A(3 \sqrt{2}, 0)$ और $B(0, p \sqrt{2})$ से सम्मिश्र संख्या $z$ की दूरियों का योग दर्शाता है।
दो बिंदुओं से दूरियों के योग का न्यूनतम मान उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी होती है,जो रेखाखंड $AB$ की लंबाई है।
दिया गया है कि न्यूनतम मान $5 \sqrt{2}$ है,इसलिए $AB = 5 \sqrt{2}$.
$A(3 \sqrt{2}, 0)$ और $B(0, p \sqrt{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $\sqrt{(3 \sqrt{2} - 0)^2 + (0 - p \sqrt{2})^2} = 5 \sqrt{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3 \sqrt{2})^2 + (p \sqrt{2})^2 = (5 \sqrt{2})^2$.
$18 + 2p^2 = 50$.
$2p^2 = 32$.
$p^2 = 16$.
$p = \pm 4$.
अतः,$p$ का एक संभावित मान $4$ है।

(D) हमें $(11)^{1011} + (1011)^{11}$ को $9$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $11 \equiv 2 \pmod{9}$ और $1011 = 9 \times 112 + 3$,इसलिए $1011 \equiv 3 \pmod{9}$ है।
अतः,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 2^{1011} + 3^{11} \pmod{9}$ होगा।
$2^{1011} \pmod{9}$ के लिए:
$2^6 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$ है।
चूंकि $1011 = 6 \times 168 + 3$,इसलिए $2^{1011} = (2^6)^{168} \times 2^3 \equiv 1^{168} \times 8 \equiv 8 \pmod{9}$ होगा।
$3^{11} \pmod{9}$ के लिए:
$3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$,इसलिए $3^{11} = 3^2 \times 3^9 = 9 \times 3^9 \equiv 0 \pmod{9}$ होगा।
अतः,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 8 + 0 \equiv 8 \pmod{9}$ है।
शेषफल $8$ है।

(B) हम सामान्य पद को सरल बनाने के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$
अब,योगफल को इस प्रकार लिखते हैं:
$\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{21} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$
योगफल का विस्तार करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$= \frac{3}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{83} - \frac{1}{87} \right) \right]$
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,शेष बचता है:
$= \frac{3}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{87} \right)$
$= \frac{3}{4} \left( \frac{29 - 1}{87} \right) = \frac{3}{4} \times \frac{28}{87}$
$= \frac{3 \times 7}{87} = \frac{21}{87} = \frac{7}{29}$

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{8 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{2} \sin 2 x}$। यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-7(\cos x+\sin x)^{6}(-\sin x+\cos x)}{-2 \sqrt{2} \cos 2 x}$
ध्यान दें कि $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$।
यह मान रखने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-7(\cos x+\sin x)^{6}(\cos x - \sin x)}{-2 \sqrt{2} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{7(\cos x+\sin x)^{5}}{2 \sqrt{2}}$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$(\cos x + \sin x) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
$L = \frac{7(\sqrt{2})^{5}}{2 \sqrt{2}} = \frac{7 \times 4 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{28}{2} = 14$।

(D) बिंदु $P(\alpha, \beta)$ की $L_{1}: 3x - 4y + 12 = 0$ से दूरी $1$ है,इसलिए $\frac{|3\alpha - 4\beta + 12|}{5} = 1$। चूँकि $P$,$L_{1}$ के नीचे है,$3\alpha - 4\beta + 12 = -5 \implies 3\alpha - 4\beta + 17 = 0$।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ की $L_{2}: 8x + 6y + 11 = 0$ से दूरी $1$ है,इसलिए $\frac{|8\alpha + 6\beta + 11|}{10} = 1$। चूँकि $P$,$L_{2}$ के ऊपर है,$8\alpha + 6\beta + 11 = 10 \implies 8\alpha + 6\beta + 1 = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $P(\alpha, \beta)$ प्राप्त होता है,जिसके लिए $100(\alpha + \beta) = 14$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$x$-अक्ष पर रेखा $\frac{x}{7}+\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ से मिलता है। रेखा के समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $x=7$ प्राप्त होता है। अतः $a=7$.
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$y$-अक्ष पर रेखा $\frac{x}{7}-\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ से मिलता है। रेखा के समीकरण में $x=0$ रखने पर,हमें $y=-2\sqrt{6}$ प्राप्त होता है। अतः $b^{2}=(-2\sqrt{6})^{2}=24$,यानी $b=2\sqrt{6}$.
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
मान रखने पर,$e^{2}=1-\frac{24}{49} = \frac{25}{49}$.
अतः,$e=\frac{5}{7}$.

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} - 2y - 2x = 1$ है,जिसे $(y - 1)^{2} = 2(x + 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $A(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y - x - 5 = 0$ है।
बिंदु $B(1, -1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $-2y - x - 1 = 0$ है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर,$P(-3, 1)$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $PAB$ के शीर्ष $P(-3, 1)$,$A(1, 3)$ और $B(1, -1)$ हैं।
आधार $AB$ की लंबाई $|3 - (-1)| = 4$ है।
ऊंचाई $|1 - (-3)| = 4$ है।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=7$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ को $\frac{x^{2}}{(12/5)^2} - \frac{y^{2}}{(\sqrt{\alpha}/5)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{\alpha}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \frac{\sqrt{144+\alpha}}{12}$ है।
नाभियाँ $(\pm \frac{\sqrt{144+\alpha}}{5}, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$\frac{\sqrt{144+\alpha}}{5} = 3 \Rightarrow \alpha = 81$ है।
अतः,$b^2 = \frac{81}{25}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot (81/25)}{12/5} = \frac{27}{10}$ है।

(D) दी गई संख्याएँ $3, 5, 7, 2k, 12, 16, 21, 24$ हैं। प्रेक्षणों की संख्या $n = 8$ है।
चूंकि $n$ सम है,माध्यिका $M = \frac{2k + 12}{2} = k + 6$ होगी।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{n} \sum |x_i - M| = 6$ है।
मान रखने पर: $\frac{|3-(k+6)| + |5-(k+6)| + |7-(k+6)| + |2k-(k+6)| + |12-(k+6)| + |16-(k+6)| + |21-(k+6)| + |24-(k+6)|}{8} = 6$.
इसे सरल करने पर: $\frac{58 - 2k}{8} = 6 \implies 58 - 2k = 48 \implies 2k = 10 \implies k = 5$.
अतः,माध्यिका $M = k + 6 = 5 + 6 = 11$।

(B) माना $S = 2 \sin \frac{\pi}{22} \sin \frac{3 \pi}{22} \sin \frac{5 \pi}{22} \sin \frac{7 \pi}{22} \sin \frac{9 \pi}{22}$.
$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{\pi}{22} = \cos \frac{5 \pi}{11}, \sin \frac{3 \pi}{22} = \cos \frac{4 \pi}{11}, \sin \frac{5 \pi}{22} = \cos \frac{3 \pi}{11}, \sin \frac{7 \pi}{22} = \cos \frac{2 \pi}{11}, \sin \frac{9 \pi}{22} = \cos \frac{\pi}{11}$.
अतः,$S = 2 \cos \frac{\pi}{11} \cos \frac{2 \pi}{11} \cos \frac{3 \pi}{11} \cos \frac{4 \pi}{11} \cos \frac{5 \pi}{11}$.
सूत्र $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{k \pi}{2n+1} = \frac{1}{2^n}$ का उपयोग करने पर,$n=5$ के लिए,$\prod_{k=1}^{5} \cos \frac{k \pi}{11} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
अतः,$S = 2 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

(D) दिए गए कथन:
$P$: रामू बुद्धिमान है
$Q$: रामू अमीर है
$R$: रामू ईमानदार नहीं है
कथन "रामू बुद्धिमान और ईमानदार है यदि और केवल यदि रामू अमीर नहीं है" को $(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q$ के रूप में दर्शाया गया है।
कथन का निषेध $\sim[(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q]$ है।
सर्वसमिका $\sim(A \Leftrightarrow B) \equiv (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = (P \wedge \sim R)$ और $B = \sim Q$:
$= ((P \wedge \sim R) \wedge \sim(\sim Q)) \vee (\sim Q \wedge \sim(P \wedge \sim R))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee \sim(\sim R)))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee R))$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^7 = 128$ है।
हमें $n(B \cup C) = n(A) - n(B^c \cap C^c)$ ज्ञात करना है।
$B^c = \{T \subseteq A : 1 \in T \text{ और } 2 \notin T\}$।
$C^c = \{T \subseteq A : T \text{ के अवयवों का योग अभाज्य संख्या नहीं है (0 सहित)}\}$।
$B^c$ के लिए,$T = \{1\} \cup S$,जहाँ $S \subseteq \{3, 4, 5, 6, 7\}$ है।
$T$ के अवयवों का योग $1 + \text{sum}(S)$ है।
हमें $1 + \text{sum}(S)$ के अभाज्य न होने की स्थिति ज्ञात करनी है।
गणना करने पर,$n(B^c \cap C^c) = 21$ प्राप्त होता है।
अतः,$n(B \cup C) = 128 - 21 = 107$।

(A) मान लीजिए $f(x) = x^2 + bx + c$ है। चूँकि अग्रणी गुणांक $1$ है और $f(0) = p$,इसलिए $c = p$ है। अतः,$f(x) = x^2 + bx + p$ है।
दिया गया है कि $f(1) = 1 + b + p = \frac{1}{3}$,इसलिए $b = \frac{1}{3} - 1 - p = -\frac{2}{3} - p$ है।
मान लीजिए $\alpha$ समीकरण $f(x) = 0$ और $f(f(f(f(x)))) = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है। चूँकि $f(\alpha) = 0$,इसलिए $f(f(f(f(\alpha)))) = f(f(f(0))) = f(f(p)) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(p)$ को $f(x) = 0$ का मूल होना चाहिए,इसलिए $f(f(p)) = 0$ का अर्थ है कि $f(p) = \alpha$ या $f(p) = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं।
चूँकि $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$,इसलिए $f(0) = \alpha \beta = p$ है।
साथ ही,$f(1) = (1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$ है।
यदि $f(p) = \alpha$ है,तो $(p-\alpha)(p-\beta) = \alpha$ होगा। $p = \alpha \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,$(\alpha \beta - \alpha)(\alpha \beta - \beta) = \alpha$ प्राप्त होता है।
$\alpha(\beta-1) \beta(\alpha-1) = \alpha$। चूँकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $(\beta-1)(\alpha-1)\beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $(1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$,इसलिए $(\alpha-1)(\beta-1) = \frac{1}{3}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\frac{1}{3} \beta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 3$ है।
तब $(1-\alpha)(1-3) = \frac{1}{3} \Rightarrow -2(1-\alpha) = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-\alpha = -\frac{1}{6} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{6}$ है।
अतः,$f(x) = (x-\frac{7}{6})(x-3)$ है।
अंत में,$f(-3) = (-3 - \frac{7}{6})(-3 - 3) = (-\frac{25}{6})(-6) = 25$ है।

(C) वृत्त $C_1: x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0$ का केंद्र $O_1(-3, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
वृत्त $C_2: x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3})x+2(4-\sqrt{6})y = k+6\sqrt{3}+8\sqrt{6}$ का केंद्र $O_2(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{k+34}$ है।
चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = |r_2 - r_1|$ है।
$d^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 9$,इसलिए $d = 3$।
$3 = |\sqrt{k+34} - 3|$,जिससे $\sqrt{k+34} = 6$,अर्थात $k=2$।
स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$,$O_1O_2$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$\alpha = \frac{1(\sqrt{3}-3) - 2(-3)}{1-2} = -\sqrt{3}-3$।
$\beta = \frac{1(\sqrt{6}-4) - 2(-4)}{1-2} = -\sqrt{6}-4$।
अतः,$(\alpha+\sqrt{3})^{2} + (\beta+\sqrt{6})^{2} = (-3)^2 + (-4)^2 = 25$।

(B) दिया गया समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है,जिसे $x \neq 1$ के लिए $\frac{x^{5}-1}{x-1} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ इकाई के $5$ वें मूल हैं,$1$ को छोड़कर,अर्थात $\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}$ जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{5}}$ है।
चूंकि $\omega^{5} = 1$,इसलिए $\omega^{2021} = (\omega^{5})^{404} \cdot \omega = \omega$ होगा।
इसी प्रकार,$\beta^{2021} = \omega^{2}$,$\gamma^{2021} = \omega^{3}$,और $\delta^{2021} = \omega^{4}$ होगा।
अतः,योग $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021} = \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4}$ है।
समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ से,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -\frac{1}{1} = -1$ प्राप्त होता है।

(D) $S_{n}$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{1}(3, -2)$ और त्रिज्या $r_{1} = \frac{n}{4}$ है।
$T_{n}$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{2}(2, -3)$ और त्रिज्या $r_{2} = \frac{1}{n}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_{1}C_{2} = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते हैं यदि $d > r_{1} + r_{2}$ या $d < |r_{1} - r_{2}|$ हो।
स्थिति $1$: $\sqrt{2} > \frac{n}{4} + \frac{1}{n}$ को हल करने पर $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\sqrt{2} < |\frac{n}{4} - \frac{1}{n}|$ के लिए $n \ge 7$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $4$ है।

(C) हमें दिया गया है $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}-n-1}+n \alpha+\beta\right)=0$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$n$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$\sqrt{n^{2}-n-1} = n\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} = n - \frac{1}{2} + O(\frac{1}{n})$.
इस मान को सीमा में रखने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n - \frac{1}{2} + n\alpha + \beta) = 0$.
$n$ के पदों को समूहित करने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n(1+\alpha) + (\beta - \frac{1}{2})) = 0$.
अतः,$1+\alpha = 0 \implies \alpha = -1$ और $\beta - \frac{1}{2} = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$8(\alpha+\beta) = 8(-1 + \frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2}) = -4$.

(C) माना बिंदु $B$ $(x_1, y_1)$ है। चूँकि $B$,$x - y - 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = x_1 - 2$,अतः $B = (x_1, x_1 - 2)$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 2 - 3)^2} = \frac{\sqrt{29}}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 5)^2 = \frac{29}{9}$ प्राप्त होता है।
$2x_1^2 - 18x_1 + 41 = \frac{29}{9} \implies 18x_1^2 - 162x_1 + 340 = 0 \implies 9x_1^2 - 81x_1 + 170 = 0$ है।
हल करने पर: $(3x_1 - 10)(3x_1 - 17) = 0$,जिससे $x_1 = \frac{10}{3}$ या $x_1 = \frac{17}{3}$ मिलता है।
ढाल $1$ से अधिक होने के कारण,$B = (\frac{10}{3}, \frac{4}{3})$ होगा।
विकल्प $(C)$ में मान रखने पर: $x + 2y = \frac{10}{3} + 2(\frac{4}{3}) = 6$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(\alpha, \beta)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $r = \beta$ होगा।
चूँकि यह वृत्त $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ (केंद्र $(0, 1)$,त्रिज्या $1$) को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{(\alpha - 0)^{2} + (\beta - 1)^{2}} = \beta + 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^{2} + (\beta - 1)^{2} = (\beta + 1)^{2}$
$\alpha^{2} + \beta^{2} - 2\beta + 1 = \beta^{2} + 2\beta + 1$
$\alpha^{2} = 4\beta$
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $L$ परवलय $x^{2} = 4y$ है।
$x^{2} = 4y$ और $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:
$A = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{4y} \, dy = 2 \int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 4 \times \frac{2}{3} \times 8 = \frac{64}{3}$.

(C) हमें $x \in [-4 \pi, 4 \pi]$ के लिए $|\cos x| = \sin x$ को हल करना है।
चूंकि $|\cos x| \geq 0$,इसलिए $\sin x \geq 0$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $x$ प्रथम या द्वितीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\cos x = \sin x \implies \tan x = 1$। $[0, 2 \pi]$ में,यह $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ देता है। $\sin x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए केवल $x = \frac{\pi}{4}$ हल है।
स्थिति $2$: $-\cos x = \sin x \implies \tan x = -1$। $[0, 2 \pi]$ में,यह $x = \frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ देता है। $\sin x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए केवल $x = \frac{3 \pi}{4}$ हल है।
इस प्रकार,प्रत्येक $2 \pi$ लंबाई के अंतराल में $2$ हल मिलते हैं।
$[-4 \pi, 4 \pi]$ अंतराल में,जिसमें $2 \pi$ लंबाई के $4$ अंतराल हैं,हलों की कुल संख्या $2 \times 4 = 8$ है।

(A) माना $AQ = d$ है। $\triangle AQR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{QR}{AQ} = \frac{15}{d}$ है।
अतः,$d = \frac{15}{\tan 60^{\circ}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \, m$ है।
$\triangle AQP$ में,$P$ का उन्नयन कोण $60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
अतः,$\tan 75^{\circ} = \frac{PQ}{AQ} = \frac{15 + x}{5\sqrt{3}}$,जहाँ $x = PR$ है।
चूँकि $\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ है,
$15 + x = 5\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 10\sqrt{3} + 15$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 10\sqrt{3} \, m$ मिलता है।
मीनार की कुल ऊँचाई $PQ = QR + PR = 15 + 10\sqrt{3} = 5(3 + 2\sqrt{3}) \, m$ है।

(D) एक कथन पुनरुक्ति है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान $T$ हो।
विकल्प $D$ के लिए: $q \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$ पर विचार करें।
निहितार्थ नियम $A \Rightarrow B \equiv (\sim A) \vee B$ का उपयोग करने पर,यह $(\sim q) \vee ((\sim p) \vee q)$ हो जाता है।
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर,यह $(\sim q \vee q) \vee (\sim p) = T \vee (\sim p) = T$ हो जाता है।
चूंकि परिणाम हमेशा $T$ है,इसलिए विकल्प $D$ एक पुनरुक्ति है।

(A) '$MANKIND$' शब्द में अक्षर $A, D, I, K, M, N, N$ हैं। कुल अक्षर = $7$ हैं। '$N$' अक्षर $2$ बार दोहराया गया है। रैंक ज्ञात करने के लिए,हम अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $A, D, I, K, M, N, N$। गणना के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(A) $\left( t^{2} x^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (t^{2} x^{\frac{1}{5}})^{15-r} \cdot \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} t^{30-3r} x^{\frac{15-r}{5}} (1-x)^{\frac{r}{10}}$
$t$ से स्वतंत्र पद के लिए,$t$ का घातांक शून्य होना चाहिए:
$30 - 3r = 0 \implies r = 10$
$r = 10$ रखने पर,$t$ से स्वतंत्र पद:
$T_{11} = {}^{15}C_{10} x(1-x) = 3003 x(1-x)$
$f(x) = x(1-x)$ का अधिकतम मान $x = \frac{1}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{4}$ है।
अतः,$K = 3003 \times \frac{1}{4} = 750.75$
$8K = 8 \times 750.75 = 6006$

(C) समीकरण $x^{2}-8ax+2a=0$ के लिए,मूल $p$ और $r$ हैं। अतः,$p+r=8a$ और $pr=2a$ है।
तब $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{p+r}{pr} = \frac{8a}{2a} = 4$ है।
समीकरण $x^{2}+12bx+6b=0$ के लिए,मूल $q$ और $s$ हैं। अतः,$q+s=-12b$ और $qs=6b$ है।
तब $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{q+s}{qs} = \frac{-12b}{6b} = -2$ है।
मान लीजिए कि समांतर श्रेणी $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}, \frac{1}{s}$ का सार्व अंतर $d$ है।
तब $\frac{1}{q} = \frac{1}{p}+d$,$\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d$,और $\frac{1}{s} = \frac{1}{p}+3d$ है।
हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{2}{p}+2d = 4$,इसलिए $\frac{1}{p}+d = 2$ है। अतः $\frac{1}{q} = 2$ है।
हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{2}{q}+2d = -2$,इसलिए $\frac{1}{q}+d = -1$ है।
चूंकि $\frac{1}{q}=2$ है,इसलिए $2+d=-1$,यानी $d=-3$ है।
तब $\frac{1}{p} = \frac{1}{q}-d = 2-(-3) = 5$,इसलिए $p = \frac{1}{5}$ है।
चूंकि $pr=2a$ है,इसलिए $r = \frac{2a}{p} = 10a$ है।
साथ ही $\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d = 5+2(-3) = -1$,इसलिए $r = -1$ है।
अतः $10a = -1$,जिससे $a = -\frac{1}{10}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^{-1} = -10$ है।
साथ ही $\frac{1}{s} = \frac{1}{q}+2d = 2+2(-3) = -4$,इसलिए $s = -\frac{1}{4}$ है।
चूंकि $qs=6b$ है,$q = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $b = \frac{qs}{6} = \frac{(1/2)(-1/4)}{6} = -\frac{1}{48}$ है,इसलिए $b^{-1} = -48$ है।
अंत में,$a^{-1}-b^{-1} = -10 - (-48) = 38$ है।

(C) दिया गया है $a_{1}=1$ और $a_{n}=a_{n-1}+2$,यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अंतर $2$ है। अतः,$a_{n} = 2n-1$.
दिया गया है $b_{1}=1$ और $b_{n}=a_{n}+b_{n-1}$,इसलिए $b_{n} = (2n-1) + b_{n-1}$.
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर: $b_{1}=1$,$b_{2}=4$,$b_{3}=9$,$b_{4}=16$. अतः $b_{n} = n^{2}$.
हमें $\sum_{n=1}^{15} a_{n} b_{n} = \sum_{n=1}^{15} (2n^{3}-n^{2})$ की गणना करनी है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$N=15$ के लिए:
$2 \times \frac{15^{2} \times 16^{2}}{4} - \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 28800 - 1240 = 27560$.

(B) माना $LHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} [nk \cdot n + \frac{n(n+1)}{2}]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} \cdot n^2 [k + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{k-1} \cdot (k + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}) = k + \frac{1}{2}$.
माना $RHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{i=1}^{n} i^k = \int_{0}^{1} x^k dx = \frac{1}{k+1}$.
दिया है $LHS = 33 \cdot RHS$,इसलिए $k + \frac{1}{2} = 33 \cdot \frac{1}{k+1}$.
$(2k + 1)(k + 1) = 66$.
$2k^2 + 3k + 1 = 66 \implies 2k^2 + 3k - 65 = 0$.
$(2k + 13)(k - 5) = 0$.
चूंकि $k$ एक पूर्णांक मान है,इसलिए $k = 5$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(1, -f)$ है।
चूंकि व्यास केंद्र से गुजरते हैं,हम $(1, -f)$ को व्यास के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2p(1) - (-f) = 1 \implies 2p + f = 1 \implies f = 1 - 2p$.
$2(1) + p(-f) = 4p \implies 2 - pf = 4p$.
दूसरे समीकरण में $f = 1 - 2p$ रखने पर:
$2 - p(1 - 2p) = 4p \implies 2 - p + 2p^{2} = 4p \implies 2p^{2} - 5p + 2 = 0$.
$p$ के लिए हल करने पर: $(2p - 1)(p - 2) = 0$,इसलिए $p = 1/2$ या $p = 2$.
यदि $p = 1/2$,तो $f = 1 - 2(1/2) = 0$. केंद्र $(1, 0)$ है।
यदि $p = 2$,तो $f = 1 - 2(2) = -3$. केंद्र $(1, 3)$ है।
अतिपरवलय $3x^{2} - y^{2} = 3$ है,जो $x^{2} - y^{2}/3 = 1$ है। स्पर्श रेखा $y = mx + c$ के लिए $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2} = m^{2} - 3$.
स्थिति $1$: केंद्र $(1, 0)$. $0 = m(1) + c \implies c = -m$. तब $c^{2} = m^{2} = m^{2} - 3$,जो संभव नहीं है।
स्थिति $2$: केंद्र $(1, 3)$. $3 = m(1) + c \implies c = 3 - m$. तब $c^{2} = (3 - m)^{2} = m^{2} - 3$.
$9 - 6m + m^{2} = m^{2} - 3 \implies 6m = 12 \implies m = 2$.

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = \frac{64}{15}(y - \frac{3}{5})$ है।
बिंदु $P\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x - 4y = 0$ है।
परवलय को $P$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों का परिवार $(x - \frac{8}{5})^2 + (y - \frac{6}{5})^2 + \lambda(3x - 4y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 + x(3\lambda - \frac{16}{5}) + y(-4\lambda - \frac{12}{5}) + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $f^2 = c$ शर्त लागू होती है,जहाँ $f = -2\lambda - \frac{6}{5}$ और $c = 4$ है।
अतः,$(-2\lambda - \frac{6}{5})^2 = 4$,जिसका अर्थ है $|-2\lambda - \frac{6}{5}| = 2$ है।
स्थिति $1$: $\lambda = -\frac{8}{5}$ के लिए त्रिज्या $r_1 = 4$,अतः व्यास $d_1 = 8$ है।
स्थिति $2$: $\lambda = \frac{2}{5}$ के लिए त्रिज्या $r_2 = 1$,अतः व्यास $d_2 = 2$ है।
व्यासों का योग $d_1 + d_2 = 8 + 2 = 10$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $x^{2}+(3-a)x+(1-2a)=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -(3-a) = a-3$ और $\alpha\beta = 1-2a$ प्राप्त होता है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$f(a) = (a-3)^{2} - 2(1-2a)$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$f(a) = a^{2} - 6a + 9 - 2 + 4a = a^{2} - 2a + 7$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(a) = (a^{2} - 2a + 1) + 6 = (a-1)^{2} + 6$।
चूंकि $(a-1)^{2} \geq 0$,इसलिए $f(a)$ का न्यूनतम मान $6$ है जब $a=1$ हो।

(C) दिया गया है $|z| - 2 = 0$,इसलिए $|z| = 2$। इसका अर्थ है $x^2 + y^2 = 4$।
दिया गया है $|z - i| - |z + 5i| = 0$,इसलिए $|z - i| = |z + 5i|$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + (y - 1)i| = |x + (y + 5)i|$
$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y + 5)^2$
$(y - 1)^2 = (y + 5)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 10y + 25$
$-12y = 24$
$y = -2$।
$y = -2$ को $x^2 + y^2 = 4$ में रखने पर:
$x^2 + (-2)^2 = 4$
$x^2 + 4 = 4$
$x^2 = 0$,इसलिए $x = 0$।
अतः,बिंदु $(0, -2)$ है।
$(0, -2)$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$C: 0 - 2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{i=0}^{n} {}^{n}C_{i} = 2^{n}$ होता है।
दिया गया योग $\sum_{i, j=0, i \neq j}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ है।
इसे $\left( \sum_{i=0}^{n} {}^{n}C_{i} \right) \left( \sum_{j=0}^{n} {}^{n}C_{j} \right) - \sum_{i=j=0}^{n} ({}^{n}C_{i})({}^{n}C_{j})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $i=j$,दूसरा पद $\sum_{i=0}^{n} ({}^{n}C_{i})^2$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\sum_{i=0}^{n} ({}^{n}C_{i})^2 = {}^{2n}C_{n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2^{n})(2^{n}) - {}^{2n}C_{n} = 2^{2n} - {}^{2n}C_{n}$।

(B) क्षेत्र $S$,परवलय $y^{2} = 8x$ और रेखा $y = \sqrt{2}x$ द्वारा $x \geq 1$ के लिए परिबद्ध है।
सबसे पहले,$y^{2} = 8x$ और $y = \sqrt{2}x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$(\sqrt{2}x)^{2} = 8x \Rightarrow 2x^{2} = 8x \Rightarrow 2x(x - 4) = 0$.
अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि क्षेत्र $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है,इसलिए समाकलन की सीमाएं $x = 1$ से $x = 4$ तक हैं।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{1}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) \, dx$
$A = \int_{1}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) \, dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (4^{2} - 1^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (8 - 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} (16 - 1)$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (7) - \frac{\sqrt{2}}{2} (15)$
$A = \frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{56\sqrt{2} - 45\sqrt{2}}{6} = \frac{11\sqrt{2}}{6}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{dy}{dx} = x + \left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^{\frac{y}{x}}(x dy - y dx) + \frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}(x dy - y dx) = x dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर: $e^{\frac{y}{x}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) = \frac{dx}{x}$.
अवकल रूप $d(\frac{y}{x}) = \frac{x dy - y dx}{x^{2}}$ का उपयोग करने पर: $e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \int \frac{dx}{x}$.
परिणामस्वरूप: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x=1, y=0$ रखने पर: $e^{0} + \sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow 1 + 0 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
समीकरण: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x + 1$.
चूंकि यह $(2\alpha, \alpha)$ से गुजरता है,$x=2\alpha, y=\alpha$ रखने पर: $e^{\frac{\alpha}{2\alpha}} + \sin^{-1}(\frac{\alpha}{2\alpha}) = \ln(2\alpha) + 1$.
$e^{1/2} + \sin^{-1}(1/2) = \ln(2\alpha) + 1 \Rightarrow \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} = \ln(2\alpha) + 1$.
$\ln(2\alpha) = \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1$.
$2\alpha = \exp(\sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1) \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2} \exp(\frac{\pi}{6} + \sqrt{e} - 1)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ है।
$x(1-x^{2})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^{2})}y = \frac{4x^{3}}{x(1-x^{2})}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}}$ और $Q = \frac{4x^{3}}{x-x^{3}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}} dx}$ है।
माना $t = x-x^{3}$,तो $dt = (1-3x^{2})dx$,इसलिए $P dx = \frac{-(1-3x^{2})}{x-x^{3}} dx = \frac{-dt}{t}$ होगा।
अतः,$IF = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{|x-x^{3}|}$ प्राप्त होता है। $x>1$ के लिए,$x-x^{3} < 0$,इसलिए $IF = \frac{1}{x^{3}-x}$ होगा।
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{x-x^{3}} \right) = \frac{4x^{3}}{(x-x^{3})^{2}} = \frac{4x^{3}}{x^{2}(1-x^{2})^{2}} = \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{x-x^{3}} = \int \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} dx$ प्राप्त होता है। माना $u = 1-x^{2}$,$du = -2x dx$ है।
$\frac{y}{x-x^{3}} = -2 \int u^{-2} du = -2(-u^{-1}) + C = \frac{2}{1-x^{2}} + C$ होगा।
चूँकि $y(2) = -2$ दिया गया है,$\frac{-2}{2-8} = \frac{2}{1-4} + C \Rightarrow \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y}{x-x^{3}} = \frac{2}{1-x^{2}} + 1$ होगा।
$x=3$ के लिए,$\frac{y}{3-27} = \frac{2}{1-9} + 1 \Rightarrow \frac{y}{-24} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = \frac{3}{4} \times (-24) = -18$ होगा।

(B) माना $f(x) = x^{7} + 5x^{3} + 3x + 1$ है।
फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = 7x^{6} + 15x^{2} + 3$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{6} \ge 0$ और $x^{2} \ge 0$ होता है,इसलिए $7x^{6} \ge 0$ और $15x^{2} \ge 0$ होगा।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) = 7x^{6} + 15x^{2} + 3 \ge 3 > 0$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$,और जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।
चूंकि $f(x)$ एक सतत और निरंतर वर्धमान फलन है जो $-\infty$ से $\infty$ तक जाता है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,यह $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटेगा।
अतः,वास्तविक हलों की संख्या $1$ है।

(B) समतलों $-x + 2y - z = 0$ और $3x - 5y + 2z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ है।
अतः,रेखा के दिक् अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।
माना $T$ रेखा पर $P(1, -2, 3)$ का प्रक्षेप है। रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(\alpha, \alpha, \alpha)$ हैं।
सदिश $\vec{PT} = (\alpha - 1, \alpha + 2, \alpha - 3)$ है।
चूंकि $\vec{PT}$ रेखा $(1, 1, 1)$ के लंबवत है,इसलिए $1(\alpha - 1) + 1(\alpha + 2) + 1(\alpha - 3) = 0$,जिससे $3\alpha - 2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \frac{2}{3}$।
बिंदु $T$ $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ है।
$PT^2 = (\frac{2}{3} - 1)^2 + (\frac{2}{3} + 2)^2 + (\frac{2}{3} - 3)^2 = \frac{1 + 64 + 49}{9} = \frac{114}{9} = \frac{38}{3}$।
$\triangle PQT$ में,$\cos \theta = \frac{PT}{PQ} = \frac{\sqrt{38/3}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{19}{27}}$।
तब $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{19}{27}} = \sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle PQT) = PT \times (PQ \sin \theta) = \sqrt{\frac{38}{3}} \times \sqrt{18} \times \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{38}$।

(A) समतलों $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ और $8x - 7y + z - 20 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(5x + 8y + 13z - 29) + \lambda(8x - 7y + z - 20) = 0$ है।
बिंदु $(2, 1, 3)$ से गुजरने वाले समतल $P_{1}$ के लिए:
$(5(2) + 8(1) + 13(3) - 29) + \lambda(8(2) - 7(1) + 3 - 20) = 0$
$28 - 8\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{2}$.
समीकरण में $\lambda = \frac{7}{2}$ रखने पर: $2x - y + z = 6$. अभिलंब सदिश $\vec{n_{1}} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
बिंदु $(0, 1, 2)$ से गुजरने वाले समतल $P_{2}$ के लिए:
$(5(0) + 8(1) + 13(2) - 29) + \lambda(8(0) - 7(1) + 2 - 20) = 0$
$5 - 25\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$.
समीकरण में $\lambda = \frac{1}{5}$ रखने पर: $x + y + 2z = 5$. अभिलंब सदिश $\vec{n_{2}} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
समतलों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{||\vec{n_{1}}|| ||\vec{n_{2}}||} = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) दो समतलों $P_1: \vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 6 = 0$ और $P_2: \vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) - 7 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ है।
दिए गए समतलों का मान रखने पर:
$(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 6) + \lambda(\vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) - 7) = 0$
चूंकि समतल बिंदु $(2, 3, 1/2)$ से गुजरता है,$\vec{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ रखने पर:
$(2 + 9 - 1/2 - 6) + \lambda(-12 + 15 - 1/2 - 7) = 0$
$4.5 - 4.5\lambda = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ रखने पर:
$\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 8\hat{j} - 2\hat{k}) = 13$.
यहाँ $\vec{a} = -5\hat{i} + 8\hat{j} - 2\hat{k}$ और $d = 13$ है।
अतः $|\vec{a}|^2 = 25 + 64 + 4 = 93$.
अब $\frac{|13\vec{a}|^2}{d^2} = \frac{13^2 |\vec{a}|^2}{d^2} = \frac{169 \times 93}{169} = 93$.

(D) समुच्चय $S = \{1, 2, \ldots, 50\}$ है। $S$ में अभाज्य संख्याएँ $p = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ (कुल $15$ अभाज्य संख्याएँ) हैं।
$R_{1}$ के लिए,हमें $p^{n} \leq 50$ चाहिए जहाँ $n \geq 0$:
- $p=2$ के लिए: $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5} \leq 50$ ($6$ अवयव)।
- $p=3$ के लिए: $3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3} \leq 50$ ($4$ अवयव)।
- $p=5$ के लिए: $5^{0}, 5^{1}, 5^{2} \leq 50$ ($3$ अवयव)।
- $p=7$ के लिए: $7^{0}, 7^{1}, 7^{2} \leq 50$ ($3$ अवयव)।
- $p \in \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ ($11$ अभाज्य संख्याएँ) के लिए: $p^{0}, p^{1} \leq 50$ (प्रत्येक के लिए $2$ अवयव,कुल $11 \times 2 = 22$ अवयव)।
$R_{1}$ में कुल अवयव = $6 + 4 + 3 + 3 + 22 = 38$.
$R_{2}$ के लिए,$n=0$ या $n=1$ है:
- प्रत्येक $15$ अभाज्य संख्याओं के लिए,हमारे पास $(p, p^{0})$ और $(p, p^{1})$ हैं।
$R_{2}$ में कुल अवयव = $15 \times 2 = 30$.
$R_{1} - R_{2}$ में वे अवयव हैं जहाँ $n \geq 2$:
- $p=2$: $(2, 2^{2}), (2, 2^{3}), (2, 2^{4}), (2, 2^{5})$ ($4$ अवयव)।
- $p=3$: $(3, 3^{2}), (3, 3^{3})$ ($2$ अवयव)।
- $p=5$: $(5, 5^{2})$ ($1$ अवयव)।
- $p=7$: $(7, 7^{2})$ ($1$ अवयव)।
$R_{1} - R_{2}$ में कुल अवयव = $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 5 \Rightarrow 2c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 5$..........$(1)$
चूंकि $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$,इसलिए $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \Rightarrow 3c_{1} + 3c_{2} + c_{3} = 0$.............$(2)$
चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $c_{1}(1 - 9) - c_{2}(2 - 9) + c_{3}(6 - 3) = 0$
$\Rightarrow -8c_{1} + 7c_{2} + 3c_{3} = 0$ या $8c_{1} - 7c_{2} - 3c_{3} = 0$..............$(3)$
समीकरणों $(1), (2),$ और $(3)$ को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ से,$c_{3} = -3c_{1} - 3c_{2}$.
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2c_{1} + c_{2} + 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 5 \Rightarrow -7c_{1} - 8c_{2} = 5 \Rightarrow 7c_{1} + 8c_{2} = -5$.
इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $8c_{1} - 7c_{2} - 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 0 \Rightarrow 8c_{1} - 7c_{2} + 9c_{1} + 9c_{2} = 0 \Rightarrow 17c_{1} + 2c_{2} = 0 \Rightarrow c_{2} = -\frac{17}{2}c_{1}$.
$c_{2}$ का मान $7c_{1} + 8c_{2} = -5$ में रखने पर: $7c_{1} + 8(-\frac{17}{2}c_{1}) = -5 \Rightarrow 7c_{1} - 68c_{1} = -5 \Rightarrow -61c_{1} = -5 \Rightarrow c_{1} = \frac{5}{61} = \frac{10}{122}$.
तब $c_{2} = -\frac{17}{2}(\frac{10}{122}) = -\frac{85}{122}$.
तब $c_{3} = -3(\frac{10}{122}) - 3(-\frac{85}{122}) = \frac{-30 + 255}{122} = \frac{225}{122}$.
अंत में,$122(c_{1} + c_{2} + c_{3}) = 122(\frac{10 - 85 + 225}{122}) = 150$.

(A) वक्र $y=2x^2+x+2$ के किसी भी बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x+1$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 4h+1$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब रेखा $\ell$ की ढाल $m_n = -\frac{1}{4h+1}$ है।
बिंदु $P(h, k)$ से गुजरने वाली अभिलंब रेखा $\ell$ का समीकरण $y-k = -\frac{1}{4h+1}(x-h)$ है।
चूंकि $Q(6, 4)$ रेखा $\ell$ पर स्थित है,इसलिए $4-k = -\frac{1}{4h+1}(6-h)$ है।
$k = 2h^2+h+2$ प्रतिस्थापित करने पर,$4-(2h^2+h+2) = -\frac{6-h}{4h+1}$ प्राप्त होता है।
$(2-h-2h^2)(4h+1) = h-6$.
$8h+2-4h^2-h-8h^3-2h^2 = h-6$.
$-8h^3-6h^2+7h+2 = h-6$.
$8h^3+6h^2-6h-8 = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर,$4h^3+3h^2-3h-4 = 0$.
$(h-1)(4h^2+7h+4) = 0$.
चूंकि $4h^2+7h+4$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है (विविक्तकर $D = 49-64 < 0$),इसलिए $h=1$ है।
तब $k = 2(1)^2+1+2 = 5$ है। अतः $P$ बिंदु $(1, 5)$ है।
शीर्षों $O(0, 0)$,$P(1, 5)$,और $Q(6, 4)$ वाले $\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(5-4) + 1(4-0) + 6(0-5)| = \frac{1}{2} |4 - 30| = \frac{1}{2} |-26| = 13$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $\operatorname{adj} A$ ज्ञात करते हैं। एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
$B$ के लिए व्यंजक द्विपद विस्तार द्वारा दिया गया है: $B = (I - \operatorname{adj} A)^{5}$।
$I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ है। हमें $M^{5}$ ज्ञात करना है।
$M^{2} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$M^{3} = M^{2} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
$M^{4} = M^{2} \cdot M^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$M^{5} = M^{4} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $B$ के सभी अवयवों का योग $(-1) + (-5) + 0 + (-1) = -7$ है।

(C) फलन का अवकलन $f'(x) = n_{1}(x-3)^{n_{1}-1}(x-5)^{n_{2}} + n_{2}(x-3)^{n_{1}}(x-5)^{n_{2}-1}$ है।
इसे सरल करने पर,$f'(x) = (x-3)^{n_{1}-1}(x-5)^{n_{2}-1} [(n_{1}+n_{2})x - (5n_{1}+3n_{2})]$ प्राप्त होता है।
$(3, 5)$ में क्रांतिक बिंदु $x = \frac{5n_{1}+3n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$ है।
$n_{1}=3, n_{2}=5$ के लिए,$f'(x) = (x-3)^{2}(x-5)^{4} [8x - 30] = 8(x-3)^{2}(x-5)^{4} (x - 3.75)$ है।
चूंकि $(x-3)^{2}$ और $(x-5)^{4}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,$x = 3.75$ पर $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,जिसका अर्थ है कि यह एक स्थानीय निम्निष्ठ है,उच्चिष्ठ नहीं। अतः,विकल्प $C$ सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$.
समाकलन का विस्तार करने पर: $f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$.
मान लीजिए $A = \int_{0}^{1} f(t) dt$ और $B = \int_{0}^{1} t f(t) dt$.
तब $f(x) = (1 + A)x - B$. मान लीजिए $C = 1 + A$,तो $f(x) = Cx - B$.
अब,$A = \int_{0}^{1} (Ct - B) dt = [C \frac{t^2}{2} - Bt]_{0}^{1} = \frac{C}{2} - B$.
चूंकि $C = 1 + A$,हमारे पास $A = \frac{1+A}{2} - B \Rightarrow 2A = 1 + A - 2B \Rightarrow A = 1 - 2B$ है।
साथ ही,$B = \int_{0}^{1} t(Ct - B) dt = \int_{0}^{1} (Ct^2 - Bt) dt = [C \frac{t^3}{3} - B \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{C}{3} - \frac{B}{2}$.
$C = 1 + A = 1 + (1 - 2B) = 2 - 2B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{2 - 2B}{3} - \frac{B}{2} \Rightarrow B = \frac{2}{3} - \frac{2B}{3} - \frac{B}{2} = \frac{2}{3} - \frac{7B}{6}$.
$B + \frac{7B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{13B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{13}$.
तब $A = 1 - 2(\frac{4}{13}) = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$.
$C = 1 + A = 1 + \frac{5}{13} = \frac{18}{13}$.
अतः,$f(x) = \frac{18}{13}x - \frac{4}{13}$.
बिंदु $(6, 8)$ की जाँच करने पर: $f(6) = \frac{18}{13}(6) - \frac{4}{13} = \frac{108 - 4}{13} = \frac{104}{13} = 8$.
इसलिए,बिंदु $(6, 8)$ वक्र पर स्थित है।

(C) माना $LHS = \int_{0}^{2}(\sqrt{2x}-\sqrt{2x-x^{2}}) dx$.
प्रथम भाग का मूल्यांकन: $\int_{0}^{2}\sqrt{2x} dx = \sqrt{2} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{3}$.
द्वितीय भाग का मूल्यांकन: $\int_{0}^{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} dx$. माना $x-1 = \sin \theta$,तो $dx = \cos \theta d\theta$. समाकलन $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d\theta = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
अतः,$LHS = \frac{8}{3} - \frac{\pi}{2}$.
अब,$RHS$ पदों का मूल्यांकन: $\int_{0}^{1}(1-\sqrt{1-y^{2}}-\frac{y^{2}}{2}) dy = [y - \frac{1}{2}(y\sqrt{1-y^{2}} + \sin^{-1} y) - \frac{y^{3}}{6}]_{0}^{1} = 1 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} - \frac{\pi}{4}$.
$\int_{1}^{2}(2-\frac{y^{2}}{2}) dy = [2y - \frac{y^{3}}{6}]_{1}^{2} = (4 - \frac{8}{6}) - (2 - \frac{1}{6}) = 2 - \frac{7}{6} = \frac{5}{6}$.
इस प्रकार,$LHS = \frac{5}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{5}{6} + I = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{4} + I$.
$LHS$ और $RHS$ की तुलना करने पर: $\frac{8}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{4} + I$.
$I = \frac{3}{3} - \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{4} = \int_{0}^{1}(1-\sqrt{1-y^{2}}) dy$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{2e^x}{1 + (e^x)^2} dx$.
माना $u = e^x$,तब $du = e^x dx$. समाकलन करने पर:
$\tan^{-1}(y) = -2 \tan^{-1}(e^x) + C$.
$y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$\tan^{-1}(0) = -2 \tan^{-1}(e^0) + C \implies 0 = -2(\frac{\pi}{4}) + C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,हल $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^x)$ है।
$y'(0)$ ज्ञात करने के लिए,मूल अवकल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$(1 + e^0) y'(0) + 2(1 + 0^2)e^0 = 0 \implies 2y'(0) + 2 = 0 \implies y'(0) = -1$.
अब,$y(\log_e \sqrt{3})$ ज्ञात करते हैं:
$\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^{\log_e \sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$y = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः $(y(\log_e \sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.
अंत में,$6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2) = 6(-1 + \frac{1}{3}) = 6(-\frac{2}{3}) = -4$.

(B) रेखा बिंदु $(2, -1, -3)$ से होकर गुजरती है। चूँकि रेखा समतल $px - qy + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$p(2) - q(-1) + (-3) = 5 \Rightarrow 2p + q = 8$ --- $(i)$
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -2, -1)$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = (p, -q, 1)$ है। चूँकि रेखा समतल पर स्थित है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$3(p) + (-2)(-q) + (-1)(1) = 0 \Rightarrow 3p + 2q = 1$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4p + 2q = 16$
इसमें से $(ii)$ घटाने पर: $(4p + 2q) - (3p + 2q) = 16 - 1 \Rightarrow p = 15$
$p = 15$ को $(i)$ में रखने पर: $2(15) + q = 8 \Rightarrow 30 + q = 8 \Rightarrow q = -22$
समतल का समीकरण $15x + 22y + z = 5$ या $15x + 22y + z - 5 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-5|}{\sqrt{15^2 + 22^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{225 + 484 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{710}} = \sqrt{\frac{25}{710}} = \sqrt{\frac{5}{142}}$.

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $P(x_0, y_0, z_0)$ का दर्पण प्रतिबिंब $Q(x, y, z)$ इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
$P(1, 2, 1)$ और $x + 2y + 2z - 16 = 0$ के मान रखने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{2} = -2 \frac{1 + 2(2) + 2(1) - 16}{1^2 + 2^2 + 2^2} = -2 \frac{1 + 4 + 2 - 16}{9} = -2 \frac{-9}{9} = 2$.
अतः,$x-1 = 2 \Rightarrow x = 3$,$y-2 = 4 \Rightarrow y = 6$,$z-1 = 4 \Rightarrow z = 5$. इसलिए $Q = (3, 6, 5)$.
समतल $T$,$Q(3, 6, 5)$ से गुजरता है और उस रेखा को समाहित करता है जो $A(0, 0, -1)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AQ} = (3-0)\hat{i} + (6-0)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
समतल $T$ का अभिलंब $\vec{n} = \vec{AQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-6) - \hat{j}(6-6) + \hat{k}(3-6) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$.
$3$ से विभाजित करने पर,हम $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{k}$ ले सकते हैं।
समतल $T$ का समीकरण $2(x-0) + 0(y-0) - 1(z+1) = 0 \Rightarrow 2x - z = 1$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(1, 2, 1)$ के लिए,$2(1) - 1 = 1$ है। अतः,$(1, 2, 1)$ बिंदु $T$ पर स्थित है।

(A) बिंदु $A, B, C$ संरेख होते हैं यदि सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ समांतर हों।
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + (\alpha-4)\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
संरेखता के लिए,घटकों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{1}{2} = \frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$ को हल करने पर $\alpha-4 = -3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 1$.
चूंकि बिंदु $\alpha \neq 1$ के लिए असंरेख हैं,इसलिए सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $\alpha$ जिसके लिए वे असंरेख हैं,वह $\alpha = 2$ है।
अब,$BC$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें: $M = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{5}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.
माध्यिका $AM$ की लंबाई $\vec{M} - \vec{A}$ का परिमाण है: $\vec{M} - \vec{A} = \frac{3}{2}\hat{i} - 4\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}$.
$AM = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-4)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4} + 16} = \sqrt{4.5 + 16} = \sqrt{20.5} = \frac{\sqrt{82}}{2}$.

(A) माना $A = \{x, y\}$ है। समुच्चय $A \times A = \{(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)\}$ है।
$A$ पर संबंधों की कुल संख्या $2^{|A \times A|} = 2^4 = 16$ है।
एक संबंध $R$ सममित और संक्रामक होता है यदि और केवल यदि वह $A$ के किसी उपसमुच्चय $S$ पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) हो।
ऐसे संबंध जो सममित और संक्रामक दोनों हैं,वे हैं:
$1$. रिक्त संबंध: $\phi$
$2$. संबंध: $\{(x, x)\}$
$3$. संबंध: $\{(y, y)\}$
$4$. संबंध: $\{(x, x), (y, y)\}$
$5$. संबंध: $\{(x, x), (y, y), (x, y), (y, x)\}$
कुल $5$ ऐसे संबंध हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{5}{16}$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ है। हमें $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{c} = x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}))$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 14$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 2 + 3 = 2$,और $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ है,इसलिए हमें $3 = 14x + 2y$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ के दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर: $\vec{a} \times \vec{c} = x(\vec{a} \times \vec{a}) + y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और सर्वसमिका $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = 2\vec{a} - 14\vec{b}$ का उपयोग करने पर,हमें $\vec{b} = y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(2\vec{a} - 14\vec{b})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a}$,$\vec{b}$,और $(\vec{a} \times \vec{b})$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2z = 0 \implies z = 0$,$y = 1$,और $-14z = 1$ (जो एक विरोधाभास है)। अतः,मानक रूप $\vec{c} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}}{|\vec{a}|^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = 3/14, y = 1/14, z = 1/14$ प्राप्त होता है। योग $5/14$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ है।
$(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2x}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$ और $Q(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2+\frac{2}{x-1}) dx} = e^{2x+2\ln(x-1)} = e^{2x}(x-1)^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{2x}(x-1)^2 = \int \frac{1}{(x-1)^2} \cdot e^{2x}(x-1)^2 dx + C = \int e^{2x} dx + C = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
अतः,$y = \frac{e^{2x}}{2(x-1)^2 e^{2x}} + \frac{C}{(x-1)^2 e^{2x}} = \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{C}{e^{2x}(x-1)^2} = \frac{e^{2x} + 2C}{2e^{2x}(x-1)^2}$.
चूँकि $y(2) = \frac{1+e^4}{2e^4}$ दिया गया है,तो $\frac{e^4 + 2C}{2e^4(1)^2} = \frac{1+e^4}{2e^4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2C = 1$,इसलिए $C = 1/2$.
इस प्रकार,$y(x) = \frac{e^{2x}+1}{2e^{2x}(x-1)^2}$.
$x=3$ के लिए,$y(3) = \frac{e^6+1}{2e^6(3-1)^2} = \frac{e^6+1}{8e^6}$.
$\frac{e^{\alpha}+1}{\beta e^{\alpha}}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha=6$ और $\beta=8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta = 6+8 = 14$.

(C) $h(x) = f(x)g'(x)$ को परिभाषित करें। दिया गया समीकरण $h'(x) = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,$f(x) = f(-x)$। दिया गया है कि $f(\frac{1}{4}) = 0$ और $f(\frac{1}{2}) = 0$,इसलिए $f(-\frac{1}{4}) = 0$ और $f(-\frac{1}{2}) = 0$ भी होगा। इस प्रकार,$f(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $4$ शून्य हैं,जो $\pm \frac{1}{4}$ और $\pm \frac{1}{2}$ हैं।
चूंकि $g(x)$ एक सम फलन है,$g'(x)$ एक विषम फलन है। $g(\frac{3}{4}) = 0$ दिया गया है,इसलिए $g(-\frac{3}{4}) = 0$ होगा। रोले के प्रमेय के अनुसार,$g'(x)$ का $(-\frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए,जो $x = 0$ है (क्योंकि $g'(x)$ विषम है)।
अब,$h(x) = f(x)g'(x)$। $h(x)$ के शून्य में $\pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{2}$ ($f(x)$ से) और $0$ ($g'(x)$ से) शामिल हैं। इस प्रकार,$h(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $5$ शून्य हैं।
रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $h(x)$ के $5$ शून्य हैं,तो $h'(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $4$ शून्य होने चाहिए। अंतराल $(-2, 2)$ होने के कारण,हलों की न्यूनतम संख्या $4$ है।

(D) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
$M^2$ की गणना करने पर: $M^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\alpha^2 & 0 \\ 0 & -\alpha^2 \end{bmatrix} = -\alpha^2 I$.
अब,$N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k} = M^2 + M^4 + \dots + M^{98}$.
चूँकि $M^2 = -\alpha^2 I$,इसलिए $M^{2k} = (M^2)^k = (-\alpha^2)^k I$.
अतः,$N = \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k I = I \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = -\alpha^2$ और सार्व अनुपात $r = -\alpha^2$ है,जिसमें $49$ पद हैं।
$N = I \left( \frac{-\alpha^2(1 - (-\alpha^2)^{49})}{1 - (-\alpha^2)} \right) = I \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right)$.
दिया गया है कि $(I - M^2)N = -2I$.
चूँकि $M^2 = -\alpha^2 I$,इसलिए $I - M^2 = I - (-\alpha^2 I) = (1 + \alpha^2)I$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(1 + \alpha^2)I \cdot \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right) I = -2I$.
$(1 + \alpha^2) \cdot \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} = -2$.
$-\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = -2$.
$\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = 2$.
यदि $\alpha = 1$ है,तो $1^2(1 + 1^{98}) = 1(1 + 1) = 2$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,$\alpha$ का धनात्मक पूर्णांक मान $1$ है।

(A) दिया गया है कि $g(x)$ एक $1$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है।
तब $f(g(x)) = f(ax + b) = 8x^2 - 2x$ है। चूंकि $f$ का घात $2$ है,मान लीजिए $f(x) = px^2 + qx + r$ है।
$g(x)$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(ax+b)^2 + q(ax+b) + r = 8x^2 - 2x$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$pa^2 = 8$ प्राप्त होता है। चूंकि $g(f(x)) = 4x^2 + 6x + 1$ है,$g(f(x))$ का मुख्य गुणांक $a \cdot p = 4$ है।
$pa^2 = 8$ को $ap = 4$ से विभाजित करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है। तब $p(2)^2 = 8 \implies 4p = 8 \implies p = 2$ है।
अब,$f(g(x)) = 2(2x+b)^2 + q(2x+b) + r = 2(4x^2 + 4bx + b^2) + 2qx + qb + r = 8x^2 + (8b + 2q)x + (2b^2 + qb + r) = 8x^2 - 2x$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $8b + 2q = -2$ और $2b^2 + qb + r = 0$ है।
$g(f(x)) = a(px^2 + qx + r) + b = 2(2x^2 + qx + r) + b = 4x^2 + 2qx + 2r + b = 4x^2 + 6x + 1$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $2q = 6 \implies q = 3$ है। तब $8b + 2(3) = -2 \implies 8b = -8 \implies b = -1$ है।
अतः,$g(x) = 2x - 1$ और $f(x) = 2x^2 + 3x + r$ है। $2b^2 + qb + r = 0$ का उपयोग करने पर,$2(-1)^2 + 3(-1) + r = 0 \implies 2 - 3 + r = 0 \implies r = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ है।
अब,$f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$ और $g(2) = 2(2) - 1 = 3$ है।
इसलिए,$f(2) + g(2) = 15 + 3 = 18$ है।

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है। ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $10^4 = 10000$ है,क्योंकि प्रत्येक $4$ प्रविष्टियों को $10$ अभाज्य संख्याओं में से $10$ तरीकों से चुना जा सकता है।
एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक $|A| = ad - bc = 0$ हो,जिसका अर्थ है $ad = bc$।
स्थिति $1$: सभी प्रविष्टियाँ समान हैं। ऐसे $10$ आव्यूह हैं (उदाहरण के लिए,प्रत्येक अभाज्य संख्या $p$ के लिए $\begin{bmatrix} p & p \\ p & p \end{bmatrix}$)।
स्थिति $2$: प्रविष्टियाँ सभी समान नहीं हैं,लेकिन $ad = bc$ है। यदि $ad = bc = k$ है,तो हमें $a, d$ और $b, c$ के ऐसे जोड़े चुनने होंगे जिनका गुणनफल समान हो।
गणना के अनुसार,कुल अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या $190$ है।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{190}{10000} = \frac{19}{1000}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ है।
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} - v = \sqrt{v^2 + 16}$.
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + 16}} = \int \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|v + \sqrt{v^2 + 16}| = \ln|x| + \ln|C|$.
$v + \sqrt{v^2 + 16} = Cx \Rightarrow \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 16} = Cx$.
$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = Cx^2$.
$y(1) = 3$ का उपयोग करने पर: $3 + \sqrt{3^2 + 16(1)^2} = C(1)^2 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = C \Rightarrow C = 8$.
अतः,$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = 8x^2$.
$x = 2$ के लिए: $y + \sqrt{y^2 + 16(4)} = 8(4) = 32$.
$y + \sqrt{y^2 + 64} = 32 \Rightarrow \sqrt{y^2 + 64} = 32 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 + 64 = 1024 - 64y + y^2$.
$64y = 960 \Rightarrow y = 15$.

(C) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(a, b, c)$ का सूत्र $\frac{a - x_1}{A} = \frac{b - y_1}{B} = \frac{c - z_1}{C} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D)}{A^2 + B^2 + C^2}$ है।
यहाँ बिंदु $(2, 4, 7)$ और समतल $3x - y + 4z - 2 = 0$ दिया गया है,इसलिए $A=3, B=-1, C=4, D=-2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(3(2) - 1(4) + 4(7) - 2)}{3^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(6 - 4 + 28 - 2)}{9 + 1 + 16} = \frac{-2(28)}{26} = \frac{-28}{13}$.
अब $a, b, c$ का मान ज्ञात करने पर:
$a = 2 + 3(\frac{-28}{13}) = \frac{-58}{13}$.
$b = 4 - 1(\frac{-28}{13}) = \frac{80}{13}$.
$c = 7 + 4(\frac{-28}{13}) = \frac{-21}{13}$.
अंत में,$2a + b + 2c$ की गणना करने पर:
$2(\frac{-58}{13}) + \frac{80}{13} + 2(\frac{-21}{13}) = \frac{-116 + 80 - 42}{13} = \frac{-78}{13} = -6$.

(C) सबसे पहले,$g(t) = t^3 - 3t$ का विश्लेषण करें। इसका अवकलज $g'(t) = 3t^2 - 3 = 3(t-1)(t+1)$ है। $t = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान $g(-1) = 2$ है। $x \leq 2$ के लिए,$f(x) = \max_{t \leq x} \{t^3 - 3t\}$ है। $x \leq -1$ के लिए,$f(x) = x^3 - 3x$ है। $-1 < x \leq 2$ के लिए,$f(x) = 2$ है।
$2 < x < 3$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2x - 6$ है।
$3 \leq x < 4$ के लिए,$f(x) = [x-3] + 9 = 0 + 9 = 9$ है।
$4 \leq x < 5$ के लिए,$f(x) = [x-3] + 9 = 1 + 9 = 10$ है।
$x = 5$ के लिए,$f(5) = [5-3] + 9 = 11$ है।
$x > 5$ के लिए,$f(x) = 2x + 1$ है।
अवकलनीयता की जाँच:
$x = -1$ पर: $f(-1) = 2$,$f'(-1^-) = 0$,$f'(-1^+) = 0$. अवकलनीय है।
$x = 2$ पर: $f(2^-) = 2$,$f(2^+) = 2^2 + 2(2) - 6 = 2$. $f'(2^-) = 0$,$f'(2^+) = 2(2) + 2 = 6$. अवकलनीय नहीं है।
$x = 3$ पर: $f(3^-) = 3^2 + 2(3) - 6 = 9$,$f(3^+) = 9$. $f'(3^-) = 2(3) + 2 = 8$,$f'(3^+) = 0$. अवकलनीय नहीं है।
$x = 4$ पर: $f(4^-) = 9$,$f(4^+) = 10$. असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
$x = 5$ पर: $f(5^-) = 10$,$f(5^+) = 11$. असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
अतः,$m = 4$.
$I = \int_{-2}^{-1} (x^3 - 3x) dx + \int_{-1}^{2} 2 dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}]_{-2}^{-1} + [2x]_{-1}^{2} = ((\frac{1}{4} - \frac{3}{2}) - (4 - 6)) + (4 - (-2)) = (-\frac{5}{4} + 2) + 6 = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4}$.
क्रमित युग्म $(4, \frac{27}{4})$ है।

(A) $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{10}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$ की गणना करने पर।
$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ की गणना करने पर।
अतः,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow \alpha + 8 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
अब,हम $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$,घटकों की तुलना करने पर:
$2\beta - 8 = -6 \Rightarrow 2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 1 = 3$.

(C) सबसे पहले,$y^{2}=8x$ और $y=\sqrt{2}x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$(\sqrt{2}x)^{2}=8x \implies 2x^{2}=8x \implies 2x(x-4)=0$.
अतः,$x=0$ और $x=4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4\sqrt{2})$ हैं।
परवलय $y^{2}=8x$ और रेखा $y=\sqrt{2}x$ द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल है:
$A_{total} = \int_{0}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) dx = \int_{0}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) dx$
$= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{4} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 - \sqrt{2} \cdot \frac{16}{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
त्रिभुज $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ और $y=2\sqrt{2}$ द्वारा बनता है।
$x=1$ पर,रेखा $y=\sqrt{2}x$ से $y=\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(1, \sqrt{2})$ है।
क्षैतिज रेखा $y=2\sqrt{2}$,$y=\sqrt{2}x$ को $2\sqrt{2}=\sqrt{2}x \implies x=2$ पर काटती है।
ऊर्ध्वाधर रेखा $x=1$,$y=2\sqrt{2}$ को $(1, 2\sqrt{2})$ पर काटती है।
त्रिभुज के शीर्ष $(1, \sqrt{2})$,$(2, 2\sqrt{2})$ और $(1, 2\sqrt{2})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2-1) \times (2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
वांछित क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है:
$Area = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{6} = \frac{13\sqrt{2}}{6}$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह को संगति की शर्त को पूरा करना चाहिए।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर रखते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & \delta \end{vmatrix} = 0$
$2(-3\delta - 8) - 1(\delta - 2) - 1(4 + 3) = 0$
$-6\delta - 16 - \delta + 2 - 7 = 0$
$-7\delta - 21 = 0 \Rightarrow \delta = -3$
अब,निकाय के अनंत हल होने के लिए,अचर पदों के स्तंभ के साथ सारणिक का मान भी शून्य होना चाहिए:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ k & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
$7(9 - 8) - 1(-3 - 2k) - 1(4 + 3k) = 0$
$7(1) + 3 + 2k - 4 - 3k = 0$
$6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$
अतः,$\delta + k = -3 + 6 = 3$.

(A) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} = 2^{j-i}$ है।
$A = \begin{bmatrix} 2^{1-1} & 2^{2-1} & 2^{3-1} \\ 2^{1-2} & 2^{2-2} & 2^{3-2} \\ 2^{1-3} & 2^{2-3} & 2^{3-3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 12 \\ 3/2 & 3 & 6 \\ 3/4 & 3/2 & 3 \end{bmatrix} = 3A$.
चूंकि $A^2 = 3A$,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = (3A) \cdot A = 3A^2 = 3(3A) = 3^2 A$.
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = 3^{n-1} A$.
हमें $S = A^2 + A^3 + \ldots + A^{10}$ ज्ञात करना है।
$S = 3A + 3^2 A + \ldots + 3^9 A = (3 + 3^2 + \ldots + 3^9) A$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n=9$ पद हैं,प्रथम पद $a=3$ और सार्व अनुपात $r=3$ है।
योग $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 3}{2}$.
अतः,$S = \left(\frac{3^{10} - 3}{2}\right) A$.

(D) संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $(x, y) \in R$ यदि और केवल यदि $x$ और $y$ एक ही उपसमुच्चय $A_{i}$ में हैं।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in A$ के लिए,$x$ किसी $A_{i}$ में होता है। चूँकि $x \in A_{i} \iff x \in A_{i}$,इसलिए $(x, x) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $x$ और $y$ एक ही $A_{i}$ में हैं। इसका अर्थ है कि $y$ और $x$ भी एक ही $A_{i}$ में हैं,इसलिए $(y, x) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $x, y \in A_{i}$ और $y, z \in A_{j}$ है। चूँकि $i \neq j$ के लिए $A_{i} \cap A_{j} = \phi$ है,इसलिए $i = j$ होना चाहिए। अतः,$x, z \in A_{i}$,जिसका अर्थ है कि $(x, z) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $x \; m$ है। तो वर्ग के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $(22-x) \; m$ होगी।
समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $a = \frac{x}{3}$ है। इसका क्षेत्रफल $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3} x^2}{36}$ है।
वर्ग के लिए,भुजा की लंबाई $b = \frac{22-x}{4}$ है। इसका क्षेत्रफल $A_2 = b^2 = \left(\frac{22-x}{4}\right)^2 = \frac{(22-x)^2}{16}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = \frac{\sqrt{3} x^2}{36} + \frac{(22-x)^2}{16}$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{dA}{dx} = \frac{2 \sqrt{3} x}{36} + \frac{2(22-x)(-1)}{16} = 0$
$\frac{\sqrt{3} x}{18} - \frac{22-x}{8} = 0$
$\frac{\sqrt{3} x}{18} = \frac{22-x}{8}$
$8 \sqrt{3} x = 18(22-x) = 396 - 18x$
$x(8 \sqrt{3} + 18) = 396$
$x = \frac{396}{18 + 8 \sqrt{3}} = \frac{198}{9 + 4 \sqrt{3}}$
समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = \frac{x}{3} = \frac{198}{3(9 + 4 \sqrt{3})} = \frac{66}{9 + 4 \sqrt{3}} \; m$ होगी।

(D) फलन $\cos^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए।
अतः,$-1 \leq \frac{2 \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1})}{\pi} \leq 1$।
$\frac{\pi}{2}$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1}) \leq \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^{-1}(y)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,यह असमिका $[-1, 1]$ में स्थित सभी $y$ के लिए हमेशा सत्य है।
इसलिए,हमें $-1 \leq \frac{1}{4x^2-1} \leq 1$ की आवश्यकता है।
स्थिति $1$: $\frac{1}{4x^2-1} \leq 1 \implies \frac{2-4x^2}{4x^2-1} \leq 0 \implies \frac{2(1-2x^2)}{(2x-1)(2x+1)} \geq 0$।
यह $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: $\frac{1}{4x^2-1} \geq -1 \implies \frac{4x^2}{4x^2-1} \geq 0$।
यह $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty) \cup \{0\}$ के लिए सत्य है।
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,हमें $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \cup \{0\}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi x - \pi \left[\frac{x}{2}\right]\right) d x$.
हम समाकलन को उन अंतरालों पर विभाजित करते हैं जहाँ $\left[\frac{x}{2}\right]$ स्थिर है:
$x \in [0, 2)$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 0$.
$x \in [2, 4)$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 1$.
$x \in [4, 5]$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 2$.
अतः,$I = \int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x + \int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x + \int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x$.
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x = \left[\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{2} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - \pi)}{\pi}\right]_{2}^{4} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(\pi)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - 2\pi)}{\pi}\right]_{4}^{5} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(2\pi)}{\pi} = 0$.
इसलिए,$I = 0 + 0 + 0 = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sqrt{2}}{2\cos^4 x - \cos 2x}$ है।
हर का सरलीकरण करने पर: $2\cos^4 x - \cos 2x = \cos^4 x + \sin^4 x$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\int P(x) dx = \int \frac{\sqrt{2} dx}{\cos^4 x + \sin^4 x} = -\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)$।
अतः $IF = e^{-\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)}$।
हल $y \cdot IF = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ है।
$y(\pi/4) = \pi^2/32$ रखने पर $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $y = \frac{x^2}{2} e^{\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)}$।
$x = \pi/3$ के लिए,$y(\pi/3) = \frac{\pi^2}{18} e^{-\tan^{-1}(\sqrt{2/3})}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $\alpha = \sqrt{2/3}$ मिलता है,इसलिए $3\alpha^2 = 2$।

(C) बिंदु $P(1, 2, -1)$ और $Q(2, -1, 3)$ समतल $-x + y + z - 1 = 0$ के एक ही ओर स्थित हैं।
समतल से बिंदु $P$ की लंबवत दूरी $\left|\frac{-(1) + (2) + (-1) - 1}{\sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
समतल से बिंदु $Q$ की लंबवत दूरी $\left|\frac{-(2) + (-1) + (3) - 1}{\sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि लंबवत दूरियां समान हैं,इसलिए रेखाखंड $PQ$ दिए गए समतल के समानांतर है। अतः,लंबपादों $M$ और $N$ के बीच की दूरी $d$,बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच की दूरी के बराबर है।
$d = |PQ| = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-1 - 2)^{2} + (3 - (-1))^{2}}$
$d = \sqrt{1^{2} + (-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$.
अतः,$d^{2} = 26$.

(A) माना $A = 3 \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2 \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$.
चूंकि $\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \tan ^{-1} 2$,इसलिए $A = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2(\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} 2)$.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$A = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2(\frac{\pi}{2}) = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \pi$.
अतः,$\tan A = \tan(\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \pi) = \tan(\tan ^{-1} \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
अब,माना $B = \frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$. माना $\tan ^{-1}(2 \sqrt{2}) = \theta$,तो $\tan \theta = 2 \sqrt{2}$.
हमें $\tan(\frac{\theta}{2})$ ज्ञात करना है। $\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,माना $t = \tan(\theta/2)$.
$2 \sqrt{2} = \frac{2t}{1 - t^2} \implies \sqrt{2} = \frac{t}{1 - t^2} \implies \sqrt{2} - \sqrt{2} t^2 = t \implies \sqrt{2} t^2 + t - \sqrt{2} = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$.
चूंकि $\tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में है,इसलिए $t > 0$,अतः $t = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,व्यंजक का मान $50(\frac{1}{2}) + 4 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 25 + 4 = 29$ है।

(D) दिया गया है $f(x)=(c+1) x^{2}+(1-c^{2}) x+2 k$ $(1)$
दिया गया है $f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$ सभी $x, y \in R$ के लिए।
$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)-0 \Rightarrow f(0)=0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(0)=2k$,इसलिए $2k=0 \Rightarrow k=0$.
अब,$f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x+y)=f'(y)-x$ प्राप्त होता है।
$y=0$ रखने पर,$f'(x)=f'(0)-x$.
समाकलन करने पर,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x+C$.
चूँकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$.
अतः,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x$.
$(1)$ के साथ तुलना करने पर,$c+1=-\frac{1}{2} \Rightarrow c=-\frac{3}{2}$.
साथ ही,$f'(0)=1-c^{2}=1-(-\frac{3}{2})^{2}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$.
अतः,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x$.
हमें $|2 \sum_{x=1}^{20} f(x)| = |2 \sum_{x=1}^{20} (-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x)| = |-\sum_{x=1}^{20} x^{2} - \frac{5}{2} \sum_{x=1}^{20} x|$ ज्ञात करना है।
$n=20$ के लिए $\sum_{x=1}^{n} x^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{x=1}^{n} x = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{x=1}^{20} x^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870$.
$\sum_{x=1}^{20} x = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
मान $= |-(2870) - \frac{5}{2}(210)| = |-(2870 + 525)| = |-3395| = 3395$.

(B) समतल $P_{1}$ का समीकरण $2x + y - 3z = 4$ है। इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
समतल $P_{2}$ बिंदुओं $A(2, -3, 2)$,$B(2, -2, -3)$ और $C(1, -4, 2)$ से होकर गुजरता है।
समतल में सदिश $\vec{AB} = \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{AC} = -\hat{i} - \hat{j}$ हैं।
$P_{2}$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_{2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ है।
प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ -5 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 16\hat{i} + 13\hat{j} + 15\hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
तुलना करने पर,$\alpha = 13$ और $\beta = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 13 + 15 = 28$।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & \lambda^2 - |\lambda| \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:
$\Delta = 2(3(\lambda^2 - |\lambda|) - 1) + 3(1(\lambda^2 - |\lambda|) - (-3)) + 5(-1 - 9)$
$= 2(3\lambda^2 - 3|\lambda| - 1) + 3(\lambda^2 - |\lambda| + 3) + 5(-10)$
$= 6\lambda^2 - 6|\lambda| - 2 + 3\lambda^2 - 3|\lambda| + 9 - 50$
$= 9\lambda^2 - 9|\lambda| - 43$.
$\Delta = 0$ रखने पर,$9|\lambda|^2 - 9|\lambda| - 43 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = |\lambda|$। तब $9t^2 - 9t - 43 = 0$।
विविक्तकर $D = (-9)^2 - 4(9)(-43) = 81 + 1548 = 1629 > 0$।
चूंकि $D > 0$,$t$ के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। मूल $t = \frac{9 \pm \sqrt{1629}}{18}$ हैं।
चूंकि $\sqrt{1629} \approx 40.36$,एक मूल धनात्मक है और एक ऋणात्मक है।
चूंकि $t = |\lambda| \ge 0$,केवल धनात्मक मूल ही मान्य है।
अतः,$|\lambda|$ के लिए केवल $1$ मान प्राप्त होता है,जो $\lambda$ के $2$ मानों (अर्थात $\lambda = \pm t$) को दर्शाता है।

(B) प्रांत समुच्चय $A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$ में $50$ अवयव हैं। सह-प्रांत समुच्चय $B = \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ में भी $50$ अवयव हैं।
चूंकि $f$ एक आच्छादक फलन है,यह $50$ अवयवों का एक क्रमचय (permutation) है।
दी गई शर्त $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq \ldots \geq f(99)$ है।
चूंकि फलन एकैकी (one-one) है,सभी मान भिन्न होने चाहिए,इसलिए शर्त $f(3) > f(9) > f(15) > \ldots > f(99)$ हो जाती है।
अनुक्रम $3, 9, 15, \ldots, 99$ में $17$ अवयव हैं $(99 = 3 + (n-1)6 \implies n = 17)$।
इन $17$ अवयवों के लिए सह-प्रांत के $50$ मानों में से $17$ मान चुनने के तरीके $^{50}C_{17}$ हैं।
एक बार चुनने के बाद,उन्हें अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
प्रांत के शेष $50 - 17 = 33$ अवयवों को सह-प्रांत के शेष $33$ मानों के साथ $33!$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है।
अतः,ऐसे फलनों की कुल संख्या $^{50}C_{17} \times 33! = \frac{50!}{17! \times 33!} \times 33! = \frac{50!}{17!} = ^{50}P_{33}$ है।

(C) माना दिया गया सीमा $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ है।
$2^{n} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $n \rightarrow \infty$ तब $t \rightarrow \infty$ होता है।
व्यंजक $I = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{r=1}^{t-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{t}}}$ बन जाता है।
यह रीमान योग के रूप $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n})$ में है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ है।
अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ है।
$u = 1-x$ लेने पर,$du = -dx$ प्राप्त होता है। जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=0$ होता है।
$I = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2} du$ है।
$I = [2u^{1/2}]_{0}^{1} = 2(1) - 2(0) = 2$।

(B) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$ और $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$ है।
सबसे पहले,हम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{10 + 6 - 15}{30} = \frac{1}{30}$.
अब,हम $P(A \cap B')$ और $P(B \cap A')$ की गणना करते हैं:
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{10 - 1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$P(B \cap A') = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{6 - 1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
साथ ही,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ और $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$P(A \mid B') + P(B \mid A') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} + \frac{P(B \cap A')}{P(A')} = \frac{9/30}{4/5} + \frac{5/30}{2/3} = \frac{9}{30} \times \frac{5}{4} + \frac{5}{30} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$.

(B) मान लीजिए $I = \int_{-3}^{101} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.
चूंकि $[\sin(\pi x)]$ का आवर्तकाल $2$ है और $e^{[\cos(2\pi x)]}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए फलन $f(x) = [\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}$ का आवर्तकाल $2$ है।
अंतराल की लंबाई $101 - (-3) = 104$ है। आवर्तकाल $2$ होने के कारण,$104$ लंबाई के अंतराल पर समाकलन,$[0, 2]$ पर समाकलन का $52$ गुना होगा।
$I = 52 \int_{0}^{2} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.
$[\sin(\pi x)]$ के लिए: $[0, 1]$ में,$\sin(\pi x) \in [0, 1]$,इसलिए $[\sin(\pi x)] = 0$। $[1, 2]$ में,$\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,इसलिए $[\sin(\pi x)] = -1$। अतः,$\int_{0}^{2} [\sin(\pi x)] dx = \int_{1}^{2} -1 dx = -1$.
$e^{[\cos(2\pi x)]}$ के लिए: जब $x \in [0, 1/4] \cup [3/4, 5/4] \cup [7/4, 2]$ होता है,तब $\cos(2\pi x) \ge 0$,इसलिए $[\cos(2\pi x)] = 0$ और $e^0 = 1$। जब $\cos(2\pi x) < 0$ होता है,अर्थात $(1/4, 3/4) \cup (5/4, 7/4)$ में,$[\cos(2\pi x)] = -1$,इसलिए $e^{-1} = 1/e$.
$\int_{0}^{2} e^{[\cos(2\pi x)]} dx = (1/4 + 1/2 + 1/4) \times 1 + (1/2 + 1/2) \times (1/e) = 1 + 1/e$.
$I = 52 \times (-1 + 1 + 1/e) = 52/e$.

(B) स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = -k \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ आनुपातिकता का स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = -k \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln |y| = -k \ln |x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $y = C x^{-k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि वक्र $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 = C(1)^{-k} \Rightarrow C = 2$.
दिया गया है कि वक्र $(8, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $1 = 2(8)^{-k} \Rightarrow 8^k = 2 \Rightarrow (2^3)^k = 2^1 \Rightarrow 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = 2 x^{-1/3}$ है।
हमें $\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right|$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण में $x = \frac{1}{8}$ रखने पर,$y = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^{-1/3} = 2 \left( (2^{-3})^{-1/3} \right) = 2 \times 2^1 = 4$.
इसलिए,$\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right| = 4$.

(C) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ और $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ हैं।
चूंकि समतल $E$ दोनों के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ होगा।
$\vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ ले सकते हैं।
बिंदु $P(1, -1, 1)$ से गुजरने वाले समतल $E$ का समीकरण $1(x-1) + 1(y+1) + 0(z-1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y = 0$ हो जाता है।
बिंदु $Q(a, a, 2)$ की $x + y = 0$ से दूरी $\frac{|a + a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a|}{\sqrt{2}} = |a|\sqrt{2}$ है।
दिया गया है कि $|a|\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$,इसलिए $|a| = 3$,जिसका अर्थ है $a = \pm 3$.
यदि $a = 3$ है,तो $Q = (3, 3, 2)$। तब $PQ^2 = (3-1)^2 + (3+1)^2 + (2-1)^2 = 2^2 + 4^2 + 1^2 = 4 + 16 + 1 = 21$.
यदि $a = -3$ है,तो $Q = (-3, -3, 2)$। तब $PQ^2 = (-3-1)^2 + (-3+1)^2 + (2-1)^2 = (-4)^2 + (-2)^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21$.
अतः,$(PQ)^2 = 21$.

(A) पहली रेखा $L_{1}: \frac{x+7}{-6}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-0}{1}$ है।
$L_{1}$ पर एक बिंदु $\vec{a}_{1} = (-7, 6, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b}_{1} = (-6, 7, 1)$ है।
दूसरी रेखा $L_{2}: \frac{x-7}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{1}$ है।
$L_{2}$ पर एक बिंदु $\vec{a}_{2} = (7, 2, 6)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b}_{2} = (-2, 1, 1)$ है।
सदिश $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (7 - (-7), 2 - 6, 6 - 0) = (14, -4, 6)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 7 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k} = (6, 4, 8)$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(14, -4, 6) \cdot (6, 4, 8)}{2\sqrt{29}} \right| = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$।

(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{k}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
यहाँ,$|\vec{a}|^{2} = 1^{2}+(-1)^{2}+2^{2} = 6$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 2^{2}+0^{2}+(-1)^{2} = 5$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$5+3^{2} = 6 |\vec{b}|^{2} \implies 14 = 6 |\vec{b}|^{2} \implies |\vec{b}|^{2} = \frac{7}{3}$.
अब,$|\vec{a}-\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6+\frac{7}{3}-2(3) = \frac{7}{3}$.
अतः,$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{\frac{7}{3}}$.
$\vec{a}-\vec{b}$ पर $\vec{b}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{b} \cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}-\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$= \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^{2}}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{3 - \frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.