JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया व्यंजक: $(\sim(p \wedge q)) \vee q$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \vee \sim q) \vee q$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \vee (\sim q \vee q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) = t$ (पुनरुक्ति),इसलिए व्यंजक $\sim p \vee t = t$ हो जाता है।
अतः,यह व्यंजक एक पुनरुक्ति (tautology) है।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$C. p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv t \vee q \equiv t$ (पुनरुक्ति)
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $e^{2x} - 11e^{x} - 45e^{-x} + \frac{81}{2} = 0$
पूरे समीकरण को $2e^{x}$ से गुणा करने पर:
$2e^{3x} - 22e^{2x} + 81e^{x} - 90 = 0$
माना $e^{x} = t$ है। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$2t^{3} - 22t^{2} + 81t - 90 = 0$
माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ हैं,जो $e^{x_{1}}, e^{x_{2}}, e^{x_{3}}$ के संगत हैं।
त्रिघात समीकरण $at^{3} + bt^{2} + ct + d = 0$ के मूलों का गुणनफल $t_{1}t_{2}t_{3} = -\frac{d}{a}$ होता है।
यहाँ,$t_{1}t_{2}t_{3} = -\frac{-90}{2} = 45$.
$e^{x_{i}}$ का मान रखने पर:
$e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}} \cdot e^{x_{3}} = 45$
$e^{x_{1} + x_{2} + x_{3}} = 45$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = \log_{e} 45$
दिया गया है कि मूलों का योग $\log_{e} P$ है,इसलिए $\log_{e} P = \log_{e} 45$.
अतः,$P = 45$.

(A) हमारे पास $5$ लाल घन और $11$ नीले घन हैं। लाल घनों को $R$ मान लें। $5$ लाल घनों को एक पंक्ति में रखने पर $6$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ नीले घन रखे जा सकते हैं: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
मान लीजिए $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ इन $6$ स्थानों में नीले घनों की संख्या है।
हमें समीकरण मिलता है: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 11$.
शर्त के अनुसार किन्हीं भी दो लाल घनों के बीच कम से कम $2$ नीले घन होने चाहिए,इसलिए $x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 2$ और $x_1, x_6 \geq 0$.
मान लीजिए $x_2 = t_2 + 2, x_3 = t_3 + 2, x_4 = t_4 + 2, x_5 = t_5 + 2$,जहाँ $t_2, t_3, t_4, t_5 \geq 0$.
समीकरण में मान रखने पर: $x_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + x_6 = 3$.
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ है,जहाँ $n=3$ और $k=6$.
तरीकों की संख्या $= \binom{3+6-1}{6-1} = \binom{8}{5} = \binom{8}{3} = 56$.

(A) $\left(\frac{x^{1/2}}{5^{1/4}} + \frac{5^{1/2}}{x^{1/3}}\right)^{60}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{60}C_r \left(x^{1/2} \cdot 5^{-1/4}\right)^{60-r} \left(5^{1/2} \cdot x^{-1/3}\right)^r$
$x^{10}$ के गुणांक के लिए,$x$ का घातांक $10$ रखने पर:
$\frac{60-r}{2} - \frac{r}{3} = 10 \Rightarrow r = 24$
गुणांक $= {}^{60}C_{24} \cdot 5^{24/2 - 36/4} = {}^{60}C_{24} \cdot 5^3$
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,${}^{60}C_{24}$ में $5$ का घातांक $14 - (4+8) = 2$ है।
अतः,$5$ का कुल घातांक $2 + 3 = 5$ है।
इसलिए,$k = 5$।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_{n} = \frac{n}{4n^{4}+1}$ है।
हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$4n^{4}+1 = (2n^{2}+1)^{2} - (2n)^{2} = (2n^{2}+2n+1)(2n^{2}-2n+1)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$T_{n} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2n^{2}-2n+1} - \frac{1}{2n^{2}+2n+1} \right]$.
माना $f(n) = \frac{1}{2n^{2}-2n+1}$,तब $T_{n} = \frac{1}{4} [f(n) - f(n+1)]$.
प्रथम $10$ पदों का योग:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_{n} = \frac{1}{4} [f(1) - f(11)]$.
$f(1) = 1$ और $f(11) = \frac{1}{221}$.
$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{55}{221}$.
चूँकि $m = 55$ और $n = 221$ सह-अभाज्य हैं,$m + n = 55 + 221 = 276$.

(C) माना भुजा $AB$ के अंतिम बिंदु $A(1, 2)$ और $B(3, 6)$ हैं।
$AB$ की ढाल $m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - 2 = 2(x - 1)$ है,जो $2x - y = 0$ में सरल हो जाता है।
दिया गया व्यास $2x - y + 4 = 0$ है।
चूंकि ढाल समान हैं,भुजा $AB$ व्यास के समानांतर है।
समानांतर रेखाओं $2x - y = 0$ और $2x - y + 4 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|4 - 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ है।
वृत्त में अंतर्निहित आयत में व्यास भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक होता है,इसलिए व्यास से भुजा $AB$ की दूरी दूसरी भुजा $BC$ की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$\frac{BC}{2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,जिससे $BC = \frac{8}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
भुजा $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
आयत $R$ का क्षेत्रफल $= AB \times BC = (2\sqrt{5}) \times \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right) = 16$।

(D) परवलय $y^{2}=2x$ के शीर्ष और नाभि क्रमशः $V(0,0)$ और $S\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=4$ मान लीजिए।
चूँकि वृत्त $(0,0)$ से गुजरता है,$h^{2}+k^{2}=4 \dots (1)$.
चूँकि वृत्त $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ से गुजरता है,$\left(\frac{1}{2}-h\right)^{2}+k^{2}=4$,जो सरल होकर $h^{2}+k^{2}-h=\frac{15}{4} \dots (2)$ देता है।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$h=\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$h=\frac{1}{4}$ को $(1)$ में रखने पर,$k^{2}=\frac{63}{16}$ प्राप्त होता है,जिससे $k=\pm\frac{\sqrt{63}}{4}$ मिलता है।
वृत्त परवलय $y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\alpha$ को स्पर्श करता है,इसलिए $\alpha = k + 2 = \frac{\sqrt{63}}{4} + 2$ होगा।
अतः,$4\alpha - 8 = \sqrt{63}$।
इसलिए,$(4\alpha-8)^{2} = 63$।

(A) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$ है। चूँकि एक मूल $-1$ है,मान लीजिए $\alpha = -1$ है। तब $f(x) = a(x + 1)(x - \beta)$ होगा।
दिया गया है कि $f(-2) + f(3) = 0$ है।
$f(-2) = a(-2 + 1)(-2 - \beta) = a(-1)(-2 - \beta) = a(2 + \beta)$।
$f(3) = a(3 + 1)(3 - \beta) = a(4)(3 - \beta) = a(12 - 4\beta)$।
इनका योग करने पर: $a(2 + \beta + 12 - 4\beta) = 0$।
चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $14 - 3\beta = 0$ होगा,जिससे $\beta = \frac{14}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः मूल $-1$ और $\frac{14}{3}$ हैं।
मूलों का योग $-1 + \frac{14}{3} = \frac{-3 + 14}{3} = \frac{11}{3}$ है।

(D) मान लीजिए $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ बच्चों $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ द्वारा प्राप्त कैंडी की संख्या है।
हमारे पास $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 30$ है,जहाँ $x_{1}, x_{4} \ge 0$,$4 \le x_{2} \le 7$,और $2 \le x_{3} \le 6$ है।
मान लीजिए $x_{2} = 4 + y_{2}$ जहाँ $0 \le y_{2} \le 3$,और $x_{3} = 2 + y_{3}$ जहाँ $0 \le y_{3} \le 4$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $x_{1} + (4 + y_{2}) + (2 + y_{3}) + x_{4} = 30 \Rightarrow x_{1} + y_{2} + y_{3} + x_{4} = 24$ प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या $(1+x+x^{2}+x^{3})(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x+x^{2}+\dots)^{2}$ के विस्तार में $x^{24}$ का गुणांक है।
यह $(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x)^{-4} = (1-x^{4}-x^{5}+x^{9})(1-x)^{-4}$ में $x^{24}$ का गुणांक है।
$(1-x)^{-r}$ में $x^{n}$ के गुणांक के सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर:
गुणांक $= \binom{24+4-1}{4-1} - \binom{20+4-1}{4-1} - \binom{19+4-1}{4-1} + \binom{15+4-1}{4-1}$ है।
$= \binom{27}{3} - \binom{23}{3} - \binom{22}{3} + \binom{18}{3}$ है।
$= 2925 - 1771 - 1540 + 816 = 430$ है।

(B) व्यंजक $(1-x^{2}+3x^{3})(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ है।
$(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2}x^{3})^{11-r}(-\frac{1}{5x^{2}})^{r}$ है।
इसे सरल करने पर,$T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2})^{11-r}(-\frac{1}{5})^{r}x^{33-5r}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए:
$1$. $1 \times x^{0}$ का गुणांक।
$2$. $-x^{2} \times x^{-2}$ का गुणांक।
$3$. $3x^{3} \times x^{-3}$ का गुणांक।
$x^{-2}$ के लिए $33-5r = -2 \Rightarrow r = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ से स्वतंत्र पद $-1 \times [{}^{11}C_{7}(\frac{5}{2})^{4}(-\frac{1}{5})^{7}] = \frac{33}{200}$ है।

(C) माना समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_n$ हैं। सार्व अंतर $d = \frac{100 - a}{n + 1}$ है।
पहला माध्य $A_1 = a + d$ और अंतिम माध्य $A_n = 100 - d$ है।
दिया है $\frac{A_1}{A_n} = \frac{1}{7}$,अतः $\frac{a + d}{100 - d} = \frac{1}{7}$।
वज्र गुणन करने पर $7(a + d) = 100 - d$,जो $7a + 8d = 100$ में सरल होता है।
$d = \frac{100 - a}{n + 1}$ रखने पर,हमें $7a + 8\left(\frac{100 - a}{n + 1}\right) = 100$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a + n = 33$,$a = 33 - n$ को समीकरण में रखने पर:
$7(33 - n) + 8\left(\frac{67 + n}{n + 1}\right) = 100$
सरल करने पर $7n^2 - 132n - 667 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n - 23)(7n + 29) = 0$।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 23$।

(B) दिया गया है $g(x)=\int\limits_{x}^{\pi / 4}\left(f^{\prime}(t) \sec t+\tan t \sec t f(t)\right) d t$.
ध्यान दें कि समाकल्य $f(t) \sec t$ के गुणनफल का अवकलज है,अर्थात $\frac{d}{dt}(f(t) \sec t) = f^{\prime}(t) \sec t + f(t) \sec t \tan t$.
अतः,$g(x) = \int\limits_{x}^{\pi / 4} d(f(t) \sec t) = [f(t) \sec t]_{x}^{\pi / 4}$.
$g(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) - f(x) \sec x$.
दिए गए मान $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ और $\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $g(x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - f(x) \sec x = 2 - \frac{f(x)}{\cos x}$.
अब,$\lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} g(x) = \lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} \left(2 - \frac{f(x)}{\cos x}\right)$.
चूंकि $f(\pi/2) = 0$ और $\cos(\pi/2) = 0$,यह $0/0$ रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर: $\lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} \frac{f(x)}{\cos x} = \lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} \frac{f^{\prime}(x)}{-\sin x} = \frac{f^{\prime}(\pi/2)}{-\sin(\pi/2)} = \frac{1}{-1} = -1$.
इसलिए,$\lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} g(x) = 2 - (-1) = 3$.

(B) बिंदु $A$,$L_{2}: -4x + 3y = 12$ पर स्थित है। मान लीजिए $A = (\alpha, \frac{12+4\alpha}{3})$ है।
बिंदु $B$,$L_{1}: 2x + 5y = 10$ पर स्थित है। मान लीजिए $B = (\beta, \frac{10-2\beta}{5})$ है।
बिंदु $P(2, 3)$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{1 \cdot \beta + 3 \cdot \alpha}{1+3} \Rightarrow 3\alpha + \beta = 8$
$3 = \frac{1 \cdot (\frac{10-2\beta}{5}) + 3 \cdot (\frac{12+4\alpha}{3})}{1+3}$ $\Rightarrow 12 = \frac{10-2\beta}{5} + 12 + 4\alpha$ $\Rightarrow 4\alpha - \frac{2\beta}{5} = -2$ $\Rightarrow 20\alpha - 2\beta = -10$ $\Rightarrow 10\alpha - \beta = -5$.
$3\alpha + \beta = 8$ और $10\alpha - \beta = -5$ को हल करने पर,हमें $13\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{13}$ और $\beta = 8 - 3(\frac{3}{13}) = \frac{95}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (\frac{3}{13}, \frac{56}{13})$ और $B = (\frac{95}{13}, -\frac{12}{13})$ है।
शीर्ष $C$,$L_{1}$ और $L_{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $2x+5y=10$ और $-4x+3y=12$ को हल करने पर,$C = (-\frac{15}{13}, \frac{32}{13})$ प्राप्त होता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{3}{13}(-\frac{12}{13} - \frac{32}{13}) + \frac{95}{13}(\frac{32}{13} - \frac{56}{13}) - \frac{15}{13}(\frac{56}{13} + \frac{12}{13})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2 \cdot 169} |3(-44) + 95(-24) - 15(68)| = \frac{1}{338} |-132 - 2280 - 1020| = \frac{3432}{338} = \frac{132}{13}$ वर्ग इकाई।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ और $\ell=\frac{2b^{2}}{a}$ है।
दिया है $e^{2}=\frac{11}{14}\ell$,जिससे $1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{11}{14} \cdot \frac{2b^{2}}{a}$,जो सरल होकर $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=\frac{11b^{2}}{7a} \dots (1)$ देता है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ के लिए,$e^{\prime}=\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}$ और $\ell^{\prime}=\frac{2a^{2}}{b}$ है।
दिया है $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8}\ell^{\prime}$,जिससे $1+\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{11}{8} \cdot \frac{2a^{2}}{b}$,जो सरल होकर $\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}=\frac{11a^{2}}{4b} \dots (2)$ देता है।
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4b^{3}}{7a^{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$7a=4b \dots (3)$।
$(2)$ में $a=\frac{4b}{7}$ रखने पर,$b = \frac{65}{44}$ प्राप्त होता है।
अतः $a = \frac{65}{77}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$77a+44b = 77(\frac{65}{77}) + 44(\frac{65}{44}) = 65+65 = 130$।

(B) शीर्ष $(x_1, y_1)$ से नियता $Ax + By + C = 0$ की दूरी $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,शीर्ष $(2, -1)$ है और नियता $4x - 3y - 21 = 0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{|4(2) - 3(-1) - 21|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$
$a = \frac{|8 + 3 - 21|}{\sqrt{16 + 9}}$
$a = \frac{|-10|}{5} = 2$
नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 4 \times 2 = 8$.

(D) $4$ तत्वों के समुच्चय से $5$ तत्वों के समुच्चय तक कुल एकैकी फलनों की संख्या $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ है।
हमें उन फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जो $f(a) + 2f(b) = f(c) + f(d)$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $f(a), f(b), f(c), f(d)$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से भिन्न तत्व हैं।
माना मान $x_1, x_2, x_3, x_4$ क्रमशः $f(a), f(b), f(c), f(d)$ के अनुरूप हैं। हमें $x_1 + 2x_2 = x_3 + x_4$ चाहिए।
समीकरण को संतुष्ट करने वाले मानों के संभावित सेट:

$f(a)$	$f(b)$	$f(c)$	$f(d)$
$5$	$1$	$3$	$4$ ($5+2=3+4$,मान्य)
$4$	$2$	$3$	$5$ ($4+4=3+5$,मान्य)
$1$	$3$	$2$	$5$ ($1+6=2+5$,मान्य)

प्रत्येक मान्य सेट के लिए,$f(c)$ और $f(d)$ को व्यवस्थित करने के $2$ तरीके हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $n(A) = 6$ हैं।
प्रायिकता $P(A) = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$.

(C) माना $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{r^2+3r+3}\right)$.
हम पद को $\frac{(r+2)-(r+1)}{1+(r+2)(r+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$T_r = \tan^{-1}(r+2) - \tan^{-1}(r+1)$.
योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ एक टेलीस्कोपिंग योग है:
$S_n = (\tan^{-1}3 - \tan^{-1}2) + (\tan^{-1}4 - \tan^{-1}3) + \dots + (\tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}(n+1))$.
$S_n = \tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}2$.
सूत्र $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \tan^{-1}\left(\frac{(n+2)-2}{1+(n+2)(2)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{n}{2n+5}\right)$.
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} 6 \tan(S_n) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 6 \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{n}{2n+5}\right)\right)$.
$= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{2n+5} = \frac{6}{2} = 3$.

(A) दिया है $\cot \alpha = 1$. चूँकि $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (तीसरा चतुर्थांश),इसलिए $\tan \alpha = 1$.
दिया है $\sec \beta = -\frac{5}{3}$. चूँकि $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ (दूसरा चतुर्थांश),इसलिए $\cos \beta = -\frac{3}{5}$.
$\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1$ का उपयोग करने पर,$\tan^2 \beta = (-\frac{5}{3})^2 - 1 = \frac{16}{9}$.
दूसरे चतुर्थांश में $\tan \beta$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\tan \beta = -\frac{4}{3}$.
अब,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1 - 4/3}{1 + 4/3} = \frac{-1/3}{7/3} = -\frac{1}{7}$.
असमिकाओं को जोड़ने पर $\frac{3\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{5\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जो $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(D) दिया गया है,छात्रों की संख्या $n = 7$,माध्य $\bar{x} = 62$,और प्रसरण $\sigma^2 = 20$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ है।
मान रखने पर: $20 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2$.
$\sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2 = 20 \times 7 = 140$.
यदि छात्र $x_i < 50$ अंक प्राप्त करता है तो वह अनुत्तीर्ण हो जाता है। मान लीजिए $k$ छात्र अनुत्तीर्ण होते हैं। इन छात्रों के लिए,$x_i \le 49$.
यदि कोई छात्र अनुत्तीर्ण होता है,तो वर्गों के योग में न्यूनतम योगदान $(49 - 62)^2 = (-13)^2 = 169$ होगा।
चूंकि कुल योग केवल $140$ है,और $169 > 140$,इसलिए $62$ के माध्य और $20$ के प्रसरण के साथ एक भी छात्र $50$ से कम अंक प्राप्त नहीं कर सकता है।
अतः,अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया पहला वृत्त $S: x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{2} x-6 \sqrt{2} y+14=0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $C$ $(\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ है और इसकी त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} - 14} = \sqrt{2 + 18 - 14} = \sqrt{6}$ है।
दूसरा वृत्त $S_{1}: (x-2 \sqrt{2})^{2}+(y-2 \sqrt{2})^{2}=r^{2}$ है,जिसका केंद्र $O(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ है।
पहले वृत्त का व्यास दूसरे वृत्त की एक जीवा है। मान लीजिए यह जीवा $PQ$ है। दूसरे वृत्त के केंद्र $O$ से पहले वृत्त के केंद्र $C$ की दूरी $d = |OC| = \sqrt{(2\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2}-3\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (-\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+2} = 2$ है।
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $(r)$,केंद्र $O$ से जीवा की दूरी $(d=2)$,और पहले वृत्त की त्रिज्या $(r_{1}=\sqrt{6})$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $r^{2} = d^{2} + r_{1}^{2}$ है।
$r^{2} = 2^{2} + (\sqrt{6})^{2} = 4 + 6 = 10$.

(C) दिया गया है $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(3 x^{2}-4 x+1\right)-x^{2}+1}{2 x^{3}-7 x^{2}+a x+b}=-2$.
चूंकि सीमा परिमित है और अंश $x \rightarrow 1$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए हर को भी $0$ होना चाहिए।
$2(1)^3 - 7(1)^2 + a(1) + b = 0 \implies a + b - 5 = 0 \dots (1)$.
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \left(3 x^{2}-4 x+1\right)(6 x-4) - 2x}{6x^2 - 14x + a} = -2$.
सीमा के परिमित होने के लिए,हर को $x=1$ पर $0$ होना चाहिए:
$6(1)^2 - 14(1) + a = 0 \implies a - 8 = 0 \implies a = 8$.
$(1)$ में $a=8$ रखने पर:
$8 + b - 5 = 0 \implies b = -3$.
अतः,$(a - b) = 8 - (-3) = 11$.

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
यहाँ $a = n^{2}$ और $r = \frac{1}{(n+1)^{2}}$ है,इसलिए $S_{n} = \frac{n^{2}}{1 - \frac{1}{(n+1)^{2}}} = \frac{n(n+1)^{2}}{n+2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $S_{n} = n^{2} + 1 - \frac{2}{n+2}$ मिलता है।
अब योग में मान रखने पर: $\sum_{n=1}^{50} (n^{2} - n + 2(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\sum_{n=1}^{50} n^{2} - \sum_{n=1}^{50} n) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{52})$.
गणना करने पर $41650 + \frac{25}{26}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{26}$ जोड़ने पर,अंतिम उत्तर $41651$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$
माना $z = x + iy$. तब $z + \bar{z} = 2x$.
अतः,$2x = (1 + i)(x + iy)^{2} = (1 + i)(x^{2} - y^{2} + 2xyi)$.
$2x = (x^{2} - y^{2} - 2xy) + i(x^{2} - y^{2} + 2xy)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) \ 2x = x^{2} - y^{2} - 2xy$
$2) \ 0 = x^{2} - y^{2} + 2xy \Rightarrow x^{2} - y^{2} = -2xy$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2x = -2xy - 2xy = -4xy$.
$2x(1 + 2y) = 0$,अतः $x = 0$ या $y = -1/2$.
यदि $x = 0$,तो $(2)$ से,$y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0$. अतः $z = 0$,$|z|^{2} = 0$.
यदि $y = -1/2$,तो $(2)$ से,$x^{2} - (-1/2)^{2} = -2x(-1/2)$ $\Rightarrow x^{2} - 1/4 = x$ $\Rightarrow 4x^{2} - 4x - 1 = 0$.
हल $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ है।
इन मानों के लिए,$|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = x^{2} + 1/4$.
$4x^{2} - 4x - 1 = 0$ से,$x^{2} = x + 1/4$.
अतः $|z|^{2} = x + 1/4 + 1/4 = x + 1/2$.
$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{1}|^{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{2}|^{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
मापांक के वर्गों का योग: $0 + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$.

(A) मान लीजिए कि दिए गए कथन $C_1, C_2, \dots, C_9$ हैं। हम $p, q, r, s$ के लिए सत्य मानों का परीक्षण करते हैं।
यदि हम $p=F, q=F, r=T, s=F$ लेते हैं:
$C_1: F \vee T \vee F = T$
$C_2: F \vee F \vee T = T$
$C_3: F \vee T \vee F = T$
$C_4: T \vee F \vee F = T$
$C_5: T \vee F \vee T = T$
$C_6: T \vee F \vee T = T$
$C_7: F \vee T \vee T = T$
$C_8: F \vee F \vee T = T$
$C_9: T \vee T \vee T = T$
इस असाइनमेंट के लिए सभी $9$ कथन सत्य हैं।

(D) हम जानते हैं कि $\sum\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{k-1} = \binom{2n}{n-1}$.
$n=31$ के लिए पहला पद $\binom{62}{30}$ है।
$n=30$ के लिए दूसरा पद $\binom{60}{29}$ है।
अतः,$\binom{62}{30} - \binom{60}{29} = \frac{62!}{30!32!} - \frac{60!}{29!31!}$.
$\frac{60!}{29!31!}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{60!}{29!31!} \left( \frac{62 \times 61}{30 \times 32} - 1 \right) = \frac{60!}{30!31!} \left( \frac{1891}{16} \right)$.
$\alpha = \frac{1891}{16}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$16\alpha = 1891$.

(D) एक संख्या $6$ से विभाज्य होती है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हो।
$2$ से विभाज्य होने के लिए, संख्या सम होनी चाहिए। उपलब्ध सम अंक ${2, 6}$ हैं।
$3$ से विभाज्य होने के लिए, अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
सभी अंकों ${1, 2, 3, 5, 6, 7}$ का योग $24$ है।
$5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए, हमें एक अंक हटाना होगा ताकि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
यदि हम $x$ हटाते हैं, तो योग $24 - x$ होगा, जो $3$ से विभाज्य होना चाहिए, अतः $x \in {3, 6}$।
स्थिति $1$: $3$ को हटाने पर, अंक ${1, 2, 5, 6, 7}$ मिलते हैं। सम अंक ${2, 6}$ हैं।
अंतिम अंक $2$ होने पर $4! = 24$ तरीके, और $6$ होने पर $4! = 24$ तरीके। कुल $48$।
स्थिति $2$: $6$ को हटाने पर, अंक ${1, 2, 3, 5, 7}$ मिलते हैं। सम अंक ${2}$ है।
अंतिम अंक $2$ होने पर $4! = 24$ तरीके।
कुल संख्या $= 48 + 24 = 72$।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \ldots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $A_{1} A_{3} A_{5} A_{7} = \frac{1}{1296}$.
पदों को प्रतिस्थापित करने पर: $a \cdot (ar^2) \cdot (ar^4) \cdot (ar^6) = a^4 r^{12} = (ar^3)^4 = (A_{4})^4 = \frac{1}{1296}$.
अतः,$A_{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{1296}} = \frac{1}{6}$.
दिया है $A_{2} + A_{4} = \frac{7}{36}$,अतः $ar + ar^3 = \frac{7}{36}$.
चूँकि $A_{4} = ar^3 = \frac{1}{6}$,इसलिए $ar + \frac{1}{6} = \frac{7}{36}$,जिससे $ar = \frac{1}{36}$.
अब,$r^2 = \frac{ar^3}{ar} = \frac{1/6}{1/36} = 6$,अतः $r = \sqrt{6}$.
हमें $A_{6} + A_{8} + A_{10} = ar^5 + ar^7 + ar^9 = ar^5(1 + r^2 + r^4)$ का मान ज्ञात करना है।
$ar^5 = (ar) \cdot r^4 = \frac{1}{36} \cdot (6)^2 = 1$.
$A_{6} + A_{8} + A_{10} = 1 \cdot (1 + 6 + 36) = 43$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $m = 2$ है,इसलिए $c^2 = 4a^2 - b^2$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$e^2 = \frac{5}{2}$ रखने पर,$\frac{5}{2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,जिससे $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ या $b^2 = \frac{3a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2}$ है।
$b^2 = \frac{3a^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{a} \times \frac{3a^2}{2} = 6\sqrt{2}$,जो $3a = 6\sqrt{2}$ में सरल होता है,जिससे $a = 2\sqrt{2}$ मिलता है।
अतः $a^2 = 8$ और $b^2 = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ है।
अंत में,$c^2 = 4a^2 - b^2 = 4(8) - 12 = 32 - 12 = 20$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0$ है। केंद्र $C(1, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{5}$ है।
$O(0,0)$ पर स्पर्श रेखा $x+2y=0$ है।
$P(1+\sqrt{5}, 2)$ पर स्पर्श रेखा $x=1+\sqrt{5}$ है।
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(1+\sqrt{5}, -\frac{1+\sqrt{5}}{2})$ प्राप्त होते हैं।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = OQ = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$ है।
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{RL^{3}}{R^{2}+L^{2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,क्षेत्रफल $\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $= 900$.
कम से कम दो अंक विषम होने का अर्थ है कि या तो ठीक दो अंक विषम हैं या तीनों अंक विषम हैं।
तीनों अंक विषम होने के तरीके $= 5 \times 5 \times 5 = 125$.
ठीक दो अंक विषम होने के तरीके $= 350$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 125 + 350 = 475$.
प्रायिकता $= \frac{475}{900} = \frac{19}{36}$.

(C) मान लीजिए $BC = CQ = x$,$AB = h$,और $PQ = 2h$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQC$ से:
$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x}$
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{PQ}{CQ} = \frac{2h}{x}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\tan \theta}{\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)} = \frac{h/x}{2h/x} = \frac{1}{2}$
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2} \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1$ होता है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\tan^{2} \theta = \frac{1}{4}(\sqrt{2} - 1)^{2} = \frac{1}{4}(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$।

(C) दिया गया है $S_{1}: ((\sim p) \vee q) \vee ((\sim p) \vee r)$.
साहचर्य और वर्गसम नियमों का उपयोग करते हुए,$S_{1} \equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
दिया गया है $S_{2}: p \rightarrow (q \vee r)$.
प्रतिबंधात्मक नियम $p \rightarrow x \equiv \sim p \vee x$ का उपयोग करते हुए,$S_{2} \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
चूंकि $S_{1} \equiv S_{2}$,उनका सत्यता मान हमेशा समान होता है।
इसलिए,यदि $S_{2}$ असत्य है,तो $S_{1}$ भी असत्य होना चाहिए।
अतः,कथन 'यदि $S_{2}$ असत्य है,तो $S_{1}$ सत्य है' सत्य नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ से भाग देने पर:
$e^{2x} + 4e^{x} - 58 + 4e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 4(e^{x} + e^{-x}) - 58 = 0$.
माना $t = e^{x} + e^{-x}$. वास्तविक $x$ के लिए $t \geq 2$.
चूंकि $(e^{x} + e^{-x})^{2} = e^{2x} + e^{-2x} + 2$,इसलिए $e^{2x} + e^{-2x} = t^{2} - 2$.
समीकरण में मान रखने पर:
$(t^{2} - 2) + 4t - 58 = 0 \implies t^{2} + 4t - 60 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(t + 10)(t - 6) = 0$.
अतः,$t = -10$ या $t = 6$.
चूंकि $t = e^{x} + e^{-x} \geq 2$,इसलिए $t = -10$ संभव नहीं है।
अतः,$e^{x} + e^{-x} = 6$.
$e^{2x} - 6e^{x} + 1 = 0$.
माना $u = e^{x}$. तब $u^{2} - 6u + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-6)^{2} - 4(1)(1) = 32 > 0$.
मूलों का गुणनफल $1 > 0$ और योग $6 > 0$ है,इसलिए दोनों मूल $u_{1}, u_{2}$ धनात्मक हैं।
चूंकि $u = e^{x} > 0$,इसलिए दोनों मूलों के लिए $x = \ln(u)$ के वास्तविक हल प्राप्त होते हैं।
अतः,$2$ वास्तविक हल हैं।

(D) दिया गया है $n = 15$,$\text{माध्य} (\bar{x}) = 8$,और $\text{मानक विचलन} (\sigma) = 3$.
$\text{प्रसरण} = \sigma^2 = 3^2 = 9$.
सूत्र $\text{प्रसरण} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए,$9 = \frac{\sum x_i^2}{15} - 8^2$.
$\frac{\sum x_i^2}{15} = 9 + 64 = 73 \Rightarrow \sum x_i^2 = 15 \times 73 = 1095$.
साथ ही,$\sum x_i = n \times \bar{x} = 15 \times 8 = 120$.
मानों को सही करते हुए: $20$ को $5$ के रूप में गलत पढ़ा गया था,इसलिए $5$ घटाकर $20$ जोड़ेंगे।
सही $\sum x_i = 120 - 5 + 20 = 135$.
सही $\sum x_i^2 = 1095 - 5^2 + 20^2 = 1095 - 25 + 400 = 1470$.
सही $\text{माध्य} (\bar{x}_{new}) = \frac{135}{15} = 9$.
सही $\text{प्रसरण} = \frac{1470}{15} - (9)^2 = 98 - 81 = 17$.

(A) $P'(2, -3)$,$P(2, 3)$ का $x$-अक्ष $(y=0)$ पर प्रतिबिंब है।
चूंकि किरण $A$ पर परावर्तित होती है,$P', A$ और $Q$ संरेख हैं।
$P'Q$ रेखा का समीकरण: $y + 3 = \frac{4 - (-3)}{5 - 2}(x - 2) \implies 3y + 9 = 7x - 14 \implies 7x - 3y = 23$.
$A$ पर $y = 0$ है,इसलिए $7x = 23 \implies x = \frac{23}{7}$. अतः,$A = (\frac{23}{7}, 0)$.
$R, AQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $A = (\frac{23}{7}, 0)$ और $Q = (5, 4)$.
$R = (\frac{2(5) + 1(23/7)}{3}, \frac{2(4) + 1(0)}{3}) = (\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$.
$\angle PAQ$ का समद्विभाजक $A$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के लंबवत रेखा $x = \frac{23}{7}$ है।
$R(\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$ से रेखा $x = \frac{23}{7}$ पर लंब का पाद $M(\frac{23}{7}, \frac{8}{3})$ है।
अतः,$\alpha = \frac{23}{7}$ और $\beta = \frac{8}{3}$.
$7\alpha + 3\beta = 7(\frac{23}{7}) + 3(\frac{8}{3}) = 23 + 8 = 31$.

(C) मान लीजिए समुच्चय $A$ में $n = 20$ अवयव हैं। समुच्चय $A + A$ में $39$ अवयव हैं। $n$ अवयवों वाले समुच्चय के लिए,$A + A$ में अवयवों की अधिकतम संख्या $\frac{n(n+1)}{2} = 210$ होती है। अवयवों की न्यूनतम संख्या $2n - 1 = 39$ होती है।
चूंकि समुच्चय $A + A$ में ठीक $39$ अवयव हैं,इसलिए समुच्चय $A$ को एक समांतर श्रेणी $(AP)$ होना चाहिए।
यहाँ $a = 1$ और अंतिम पद $l = 77$ है,जिसमें कुल $20$ पद हैं।
सार्व अंतर $d$ के लिए,$77 = 1 + (20 - 1)d$,अतः $76 = 19d$,जिसका अर्थ है $d = 4$।
श्रेणी के पद $1, 5, 9, 13, \ldots, 77$ हैं।
$18$ पदों का योग $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{18}$ प्रथम और अंतिम पद को छोड़कर समांतर श्रेणी का योग है।
योग $= \frac{18}{2} \times (a_{1} + a_{18}) = 9 \times (5 + 73) = 9 \times 78 = 702$.

(C) $\left(2x^3 + \frac{3}{x^k}\right)^{12}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x^3)^r \left(\frac{3}{x^k}\right)^{12-r}$ है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए: $3r - k(12-r) = 0$,जिसका अर्थ है $k = \frac{3r}{12-r}$.
$r$ के मानों के लिए,$r=6$ और $r=8$ पर हमें $2^8$ का गुणांक प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के ऐसे $2$ मान संभव हैं।

(A) दी गई शर्त $1 < |z - (3 - 2i)| < 4$ है। मान लीजिए $z = a + ib$,जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$ है।
यह $(3, -2)$ केंद्र और $r_1 = 1$ तथा $r_2 = 4$ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच का क्षेत्र दर्शाता है।
असमिका $1 < (a - 3)^2 + (b + 2)^2 < 16$ है।
मान लीजिए $x = a - 3$ और $y = b + 2$ है। चूँकि $a, b \in \mathbb{Z}$,इसलिए $x, y \in \mathbb{Z}$ होगा।
हमें पूर्णांक युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $1 < x^2 + y^2 < 16$ हो।
$x^2 + y^2$ के लिए संभावित मान $2, 4, 5, 8, 9, 10, 13$ हैं।
- $x^2 + y^2 = 2$ के लिए: $(\pm 1, \pm 1)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 4$ के लिए: $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 5$ के लिए: $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 8$ के लिए: $(\pm 2, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 9$ के लिए: $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 10$ के लिए: $(\pm 1, \pm 3), (\pm 3, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 13$ के लिए: $(\pm 2, \pm 3), (\pm 3, \pm 2)$ $\rightarrow 8$ बिंदु।
बिंदुओं की कुल संख्या = $4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 = 40$।

(B) वृत्त के अभिलंबों के समीकरण:
$y+2x=\sqrt{11}+7\sqrt{7}$ $(i)$
$2y+x=2\sqrt{11}+6\sqrt{7}$ $(ii)$
केंद्र $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए इन समीकरणों को हल करने पर:
$h = \frac{8\sqrt{7}}{3}$ और $k = \sqrt{11}+\frac{5\sqrt{7}}{3}$.
त्रिज्या $r$ केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी है:
$r = 4\sqrt{\frac{7}{5}} \implies r^{2} = \frac{112}{5}$.
$(5h-8k)^{2}+5r^{2}$ की गणना करने पर:
$5h-8k = -8\sqrt{11} \implies (5h-8k)^{2} = 704$.
$5r^{2} = 112$.
कुल योग $704 + 112 = 816$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{4}+x^{2}+1=0$ है।
इसके गुणनखंड $(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=0$ हैं।
यहाँ $\alpha^{6}=1$ होता है।
$\alpha^{1011} = (\alpha^{6})^{168} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
$\alpha^{2022} = (\alpha^{6})^{337} = 1$.
$\alpha^{3033} = (\alpha^{6})^{505} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
अतः,$\alpha^{1011}+\alpha^{2022}-\alpha^{3033} = \alpha^{3} + 1 - \alpha^{3} = 1$.

(C) समीकरण $|z|=3$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित और $R=3$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
समीकरण $\arg(z-1)-\arg(z+1)=\frac{\pi}{4}$ को $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $z=1$ और $z=-1$ से गुजरने वाले एक वृत्त का चाप दर्शाता है।
मान लीजिए $z=x+iy$ है। शर्त $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ यह दर्शाती है कि बिंदु पथ $(-1,0)$ और $(1,0)$ अंत बिंदुओं वाला एक वृत्तीय चाप है।
इस वृत्त का केंद्र $(0,1)$ है और इसकी त्रिज्या $\sqrt{2}$ है।
इस वृत्त का समीकरण $x^2+(y-1)^2=2$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-2y-1=0$ हो जाता है।
हमें $x^2+y^2=9$ और $x^2+y^2-2y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना है।
दूसरे समीकरण में $x^2+y^2=9$ रखने पर: $9-2y-1=0$,जिससे $8-2y=0$ प्राप्त होता है,अतः $y=4$ है।
हालाँकि,वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ के लिए,$y$ का अधिकतम मान $1+\sqrt{2} \approx 2.414$ है।
चूँकि $4 > 1+\sqrt{2}$,वृत्त $|z|=3$ और चाप एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
इसलिए,वे कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

(C) माना $S = 1 + \frac{5}{6} + \frac{12}{6^{2}} + \frac{22}{6^{3}} + \frac{35}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{1}{6}S = \frac{1}{6} + \frac{5}{6^{2}} + \frac{12}{6^{3}} + \frac{22}{6^{4}} + \ldots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{5}{6}S = 1 + \frac{4}{6} + \frac{7}{6^{2}} + \frac{10}{6^{3}} + \frac{13}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{5}{36}S = \frac{1}{6} + \frac{4}{6^{2}} + \frac{7}{6^{3}} + \frac{10}{6^{4}} + \ldots$
पुनः घटाने पर:
$(\frac{5}{6} - \frac{5}{36})S = 1 + \frac{3}{6} + \frac{3}{6^{2}} + \frac{3}{6^{3}} + \ldots$
$\frac{25}{36}S = 1 + \frac{\frac{3}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = 1 + \frac{3}{6} \times \frac{6}{5} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
$S = \frac{8}{5} \times \frac{36}{25} = \frac{288}{125}$

(D) माना $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}$ है।
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^{4}-2x^{3}+2x-1 = (x^{4}-1) - 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1) - 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}-2x+1) = (x^{2}-1)(x-1)^{2}$।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{(x^{2}-1)(x-1)^{2}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(\pi x)}{(x-1)^{2}}$।
गुणधर्म $\sin(\pi x) = \sin(\pi - \pi x) = \sin(\pi(1-x))$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)} \cdot \pi \right)^{2} = \pi^{2} \cdot \left( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)} \right)^{2} = \pi^{2} \cdot (1)^{2} = \pi^{2}$।

(D) रेखा $y = 3x + 5$ की ढाल $m_1 = 3$ है। माना स्पर्श रेखाओं की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखाओं और रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
$\tan(\theta) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\pi}{4}) = |\frac{m - 3}{1 + 3m}| = 1$ प्राप्त होता है।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$ या $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$.
स्थिति $1$: $m - 3 = 1 + 3m \implies -2m = 4 \implies m = -2$.
स्थिति $2$: $m - 3 = -1 - 3m \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$.
चूँकि ढालों का गुणनफल $m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot (\frac{1}{2}) = -1$ है,इसलिए दोनों स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परवलय का एक गुण है कि यदि दो स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु नियता (directrix) पर स्थित होता है,और स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा नाभि $S$ से होकर गुजरती है।
अतः,किसी भी $a > 0$ के लिए $A, S$ और $B$ संरेख हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y = 0$ है।
इसे मानक रूप $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $f = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ है।
चूंकि $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$,भुजा $BC$ वृत्त का व्यास है।
अतः,$BC = 2r = 2(1) = 2$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1$।

(C) माना भुजाएँ $AB: x - 2y + 1 = 0$ और $AC: 2x - y - 1 = 0$ हैं। इन्हें हल करने पर शीर्ष $A(1, 1)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $B$ से खींचा गया शीर्षलंब $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ से गुजरता है और $AC$ के लंबवत है। $AC$ की ढाल $2$ है,इसलिए शीर्षलंब $BH$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है। $BH$ का समीकरण $x + 2y - 7 = 0$ है।
शीर्ष $B$,$AB$ और $BH$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $x - 2y = -1$ और $x + 2y = 7$ को हल करने पर $B(3, 2)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $C$ से खींचा गया शीर्षलंब $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ से गुजरता है और $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $\frac{1}{2}$ है,इसलिए शीर्षलंब $CH$ की ढाल $-2$ है। $CH$ का समीकरण $2x + y - 7 = 0$ है।
शीर्ष $C$,$AC$ और $CH$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $2x - y = 1$ और $2x + y = 7$ को हल करने पर $C(2, 3)$ प्राप्त होता है।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G$,$\left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (2, 2)$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से केंद्रक $(2, 2)$ की दूरी $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(A) दी गई जानकारी: $3, 7, 12, a, 43-a$। माध्य $\bar{x} = 13$।
अवलोकनों का योग $= 3 + 7 + 12 + a + 43 - a = 65$।
माध्य $= \frac{65}{5} = 13$ (सत्यापित)।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
$\sigma^2 = \frac{3^2 + 7^2 + 12^2 + a^2 + (43-a)^2}{5} - 13^2$।
$\sigma^2 = \frac{2a^2 - 86a + 1206}{5}$।
प्रसरण को प्राकृतिक संख्या होने के लिए,$2a^2 - 86a + 1206$ को $5$ से विभाज्य होना चाहिए।
$2a^2 - a + 1 \equiv 0 \pmod{5}$।
$a \pmod{5}$ के मानों की जाँच करने पर,किसी भी मान के लिए यह शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$a$ के मानों की संख्या $0$ है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और खंभे तथा मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{x}{h - 20} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h - 20}{x} \implies x = \sqrt{3}(h - 20)$.
$\frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(h - 20) \implies h = 3(h - 20) \implies h = 3h - 60 \implies 2h = 60 \implies h = 30$.

(C) माना कथन $S = (p \vee q) \Rightarrow ((\sim r) \vee p)$ है।
निहित नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \vee q) \vee ((\sim r) \vee p)$
$S \equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim r \vee p)$
वितरण नियम $(A \wedge B) \vee C \equiv (A \vee C) \wedge (B \vee C)$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv (\sim p \vee \sim r \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$ (तर्कवाक्य),हमारे पास है:
$S \equiv (T \vee \sim r) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
$S \equiv T \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p) \equiv \sim q \vee \sim r \vee p$
अब,$S$ का निषेध $\sim (\sim q \vee \sim r \vee p)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (A \vee B \vee C) \equiv \sim A \wedge \sim B \wedge \sim C$:
$\sim S \equiv q \wedge r \wedge \sim p$
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\sim p) \wedge q \wedge r$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास $9^{n} = (1+8)^{n} = 1 + n(8) + { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n})$ है।
अतः,$9^{n}-8n-1 = { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n}) = 64\alpha$.
इस प्रकार,$\alpha = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(8) + { }^{n}C_{4}(8^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2})$.
इसी प्रकार,$6^{n} = (1+5)^{n} = 1 + n(5) + { }^{n}C_{2}(5^{2}) + { }^{n}C_{3}(5^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n}) = 25\beta$.
इस प्रकार,$\beta = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(5) + { }^{n}C_{4}(5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n-2})$.
दोनों व्यंजकों को घटाने पर:
$\alpha - \beta = { }^{n}C_{3}(8-5) + { }^{n}C_{4}(8^{2}-5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2}-5^{n-2})$.
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया है कि $AB = I$,दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A||B| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A| = \frac{1}{8}$,इसलिए $\frac{1}{8}|B| = 1$,जिसका अर्थ है कि $|B| = 8$ है।
हमें $|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))|$ का मान ज्ञात करना है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ होगा।
अतः,$|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))| = |B \operatorname{adj}(2A)|^2 = |B|^2 |\operatorname{adj}(2A)|^2$।
चूंकि $|\operatorname{adj}(2A)| = |2A|^{3-1} = |2A|^2 = (2^3 |A|)^2 = (8 \times \frac{1}{8})^2 = 1^2 = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $|B|^2 \times (1)^2 = 8^2 \times 1 = 64$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{t^{2}-5t+4}{2+e^{t}} dt$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^{2})^{2}-5(x^{2})+4}{2+e^{x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$f'(x) = \frac{x^{4}-5x^{2}+4}{2+e^{x^{2}}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{2x(x^{2}-1)(x^{2}-4)}{2+e^{x^{2}}}$
$f'(x) = \frac{2x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{2+e^{x^{2}}}$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < -2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$-2 < x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$1 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
स्थानीय न्यूनतम बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है: $x = -2, 0, 2$ पर। अतः,$n = 3$ है।
स्थानीय उच्चतम बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है: $x = -1, 1$ पर। अतः,$m = 2$ है।
इसलिए,क्रमित युग्म $(m, n)$ का मान $(2, 3)$ है।

(D) दिया गया है $\int\limits_{\cos x}^{1} t^{2} f(t) d t = \sin^{3} x + \cos x - 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$-(\cos x)^{2} f(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3 \sin^{2} x \cos x - \sin x$.
$\sin x \cos^{2} x f(\cos x) = \sin x (3 \sin x \cos x - 1)$.
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\sin x \neq 0$,अतः $\cos^{2} x f(\cos x) = 3 \sin x \cos x - 1$.
$f(\cos x) = 3 \tan x \sec x - \sec^{2} x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3(\sec x \cdot \sec^{2} x + \tan x \cdot \sec x \tan x) - 2 \sec x \cdot \sec x \tan x$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर,$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,$\sec x = \sqrt{3}$,और $\tan x = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) = 3(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - 2(3)(\sqrt{2}) = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$.
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 6 - \frac{9}{\sqrt{2}}$।

(A) माना $I = \int_{0}^{1} 7^{-\left[\frac{1}{x}\right]} dx$. माना $n = \left[\frac{1}{x}\right]$,तो $n \le \frac{1}{x} < n+1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n+1} < x \le \frac{1}{n}$.
जैसे $x$,$0$ से $1$ तक जाता है,$n$,$\infty$ से $1$ तक जाता है।
$I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} 7^{-n} dx = \sum_{n=1}^{\infty} 7^{-n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)}$.
विस्तार $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^n}{n} = -\ln(1 - 1/7) = -\ln(6/7) = \ln(7/6)$.
दूसरे भाग के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^{n+1}}{n+1} = 7 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/7)^k}{k} = 7 [-\ln(1 - 1/7) - 1/7] = 7 [\ln(7/6) - 1/7] = 7 \ln(7/6) - 1$.
अतः,$I = \ln(7/6) - (7 \ln(7/6) - 1) = 1 - 6 \ln(7/6) = 1 + 6 \ln(6/7)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(\tan^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1 + y^2}$,जिसे $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int Q(y) \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$ है।
माना $u = \tan^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u + C$ हो जाता है।
अतः,$x e^{\tan^{-1} y} = (\tan^{-1} y - 1) e^{\tan^{-1} y} + C$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $1 \cdot e^0 = (0 - 1) e^0 + C \Rightarrow 1 = -1 + C \Rightarrow C = 2$।
वक्र का समीकरण $x e^{\tan^{-1} y} = (\tan^{-1} y - 1) e^{\tan^{-1} y} + 2$ है।
$y = \tan(1)$ के लिए,$\tan^{-1} y = 1$। समीकरण में मान रखने पर:
$x e^1 = (1 - 1) e^1 + 2 \Rightarrow x e = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{e}$।

(A) मान लीजिए रेखा $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $P = (4\lambda - 2, 2\lambda + 1, 3\lambda - 1)$ है।
मान लीजिए $A = (1, 2, 4)$ है। सदिश $\vec{AP} = (4\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 5)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि $AP \perp \text{रेखा}$,इसलिए $\vec{AP} \cdot \vec{b} = 0$ है।
$4(4\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 5) = 0$.
$16\lambda - 12 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 15 = 0$.
$29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$P$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर,$P = (2, 3, 2)$ प्राप्त होता है।
समतल $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ से $P(2, 3, 2)$ की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|3(2) + 4(3) + 12(2) + 23|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}} = \frac{|6 + 12 + 24 + 23|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|65|}{\sqrt{169}} = \frac{65}{13} = 5$.

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}$ और $L_2: \frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, 2, 1)$ और $B(-3, 6, 5)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -6\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - (-1)) - \hat{j}(6 - (-2)) + \hat{k}(2 - 6) = 10\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{100 + 64 + 16} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ है।
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})| = |(-6)(10) + (4)(-8) + (4)(-4)| = |-60 - 32 - 16| = |-108| = 108$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{108}{6\sqrt{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$ है।

(D) विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \sqrt{2}$।
दिया गया है $|\vec{a}|=1$ और $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$,हमारे पास $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
चूँकि $\theta$ न्यून है,$\cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$।
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \frac{\pi}{4} = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{b}| = 8$।
दिया गया है $\vec{c} = 2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}$।
चूँकि $(\vec{a} \times \vec{b})$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,सदिश $(2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}))$ और $(-2 \vec{b})$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$|\vec{c}|^2 = |2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b})|^2 + |-2 \vec{b}|^2 = 8(4 \sqrt{2})^2 + 4(8)^2 = 8(32) + 4(64) = 256 + 256 = 512$।
$|\vec{c}| = \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}$।
अब,$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}) = 2 \sqrt{2} (\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 2 |\vec{b}|^2 = 0 - 2(8)^2 = -128$।
मान लीजिए $\alpha$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है। तब $\cos \alpha = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{-128}{8 \cdot 16 \sqrt{2}} = \frac{-128}{128 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$।

(A) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right) = \tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y$ होता है।
दिए गए पद $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n$।
अब,योगफल पर विचार करें:
$\sum\limits_{n=1}^{50} \left(\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n\right) = (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + \dots + (\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 50)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1$।
सूत्र $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1 = \tan ^{-1} \left(\frac{51-1}{1+51 \times 1}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{50}{52}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)$।
अंत में,हमें $\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot(\tan ^{-1} x) = \frac{1}{x}$ होता है,इसलिए:
$\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right) = \frac{26}{25}$।

(D) दिया गया है $f(n) = \begin{cases} 2n, & n \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ 2n - 11, & n \in \{6, 7, 8, 9, 10\} \end{cases}$।
$f(x) = n$ को हल करके हम $f^{-1}(n)$ ज्ञात करते हैं:
यदि $n \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$,तो $2x = n \implies x = n/2$।
यदि $n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$,तो $2x - 11 = n \implies x = (n + 11)/2$।
अतः,$f^{-1}(n) = \begin{cases} n/2, & n \in \{2, 4, 6, 8, 10\} \\ (n + 11)/2, & n \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \end{cases}$।
दिया गया है $f(g(n)) = \begin{cases} n + 1, & n \text{ विषम है} \\ n - 1, & n \text{ सम है} \end{cases}$,इसलिए $g(n) = f^{-1}(f(g(n)))$।
जब $n$ विषम है,$g(n) = f^{-1}(n + 1)$। चूंकि $n+1$ सम है,$g(n) = (n + 1)/2$।
जब $n$ सम है,$g(n) = f^{-1}(n - 1)$। चूंकि $n-1$ विषम है,$g(n) = (n - 1 + 11)/2 = (n + 10)/2$।
मानों की गणना:
$g(1) = 1$,$g(2) = 6$,$g(3) = 2$,$g(4) = 7$,$g(5) = 3$,$g(10) = 10$।
अतः,$g(10) \cdot (g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + g(5)) = 10 \cdot (1 + 6 + 2 + 7 + 3) = 10 \cdot 19 = 190$।

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है। योग $S = a + b + c + d = p$,जहाँ $p \in \{3, 5, 7\}$ है।
स्थिति $(i): S = 3$। $a + b + c + d = 3$ के अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3} = 20$ है।
स्थिति $(ii): S = 5$। $a + b + c + d = 5$ के अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = 56$ है।
स्थिति $(iii): S = 7$। $a, b, c, d \le 5$ के साथ $a + b + c + d = 7$ के हलों की संख्या समावेशन-अपवर्जन द्वारा ज्ञात करने पर,कुल हल $\binom{10}{3} = 120$ हैं। कम से कम एक चर $\ge 6$ होने वाली स्थितियों को घटाने पर,$120 - 16 = 104$ प्राप्त होता है।
आव्यूहों की कुल संख्या = $20 + 56 + 104 = 180$।

(B) दिया गया फलन $f(x)=[1+x]+\frac{\alpha^{2[x]+\{x\}}+[x]-1}{2[x]+\{x\}}$ है।
$x \to 0^-$ के लिए,$[x] = -1$ और ${x} = 1+x$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 + \frac{\alpha^{-1} - 2}{-1} = 2 - \frac{1}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,सीमा $\alpha - \frac{4}{3}$ के बराबर है।
अतः,$2 - \frac{1}{\alpha} = \alpha - \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha + \frac{1}{\alpha} = \frac{10}{3}$।
हल करने पर,$\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = x^{x^x}$. दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\ln y = x^x \ln x$ प्राप्त होता है।
अवकलन करने पर,$y' = y [x^x(1 + \ln x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}]$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y = 1$ और $y' = 1$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $y''$ का मान $x = 1$ पर $4$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ का उपयोग करने पर,$\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{4}{(1)^3} = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$-4 + 20 = 16$।

(A) यह क्षेत्र एस्ट्रॉइड $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,रेखा $x + y = 0$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में घिरा हुआ है।
दिया गया है कि $y \geq 0$ और $x+y \geq 0$,इसलिए क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश और द्वितीय चतुर्थांश के एक भाग में स्थित है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{0} (1 - (-x)^{2/3})^{3/2} dx + \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$.
सममिति के कारण,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$.
माना $x = \sin^3 \theta$,तो $dx = 3 \sin^2 \theta \cos \theta d\theta$.
$A = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 \theta)^{3/2} \cdot 3 \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 \theta \cdot \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos^4 \theta d\theta$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m \theta \cos^n \theta d\theta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$.
$A = 6 \cdot \frac{(1) \cdot (3 \cdot 1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{64}$.
अतः,$\frac{256A}{\pi} = \frac{256}{\pi} \cdot \frac{9\pi}{64} = 4 \cdot 9 = 36$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{-x}{1-x^{2}}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{-x}{1-x^{2}} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^{2})} = \sqrt{1-x^{2}}$.
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (y \sqrt{1-x^{2}}) = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sqrt{1-x^{2}} = x^{3}+2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sqrt{1-x^{2}} = \int (x^{3}+2) dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C$.
चूंकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1-x^{2}} y(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x$.
हमें $k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{4}}{4} + 2x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $2x$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2x dx = 0$.
अतः,$k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{320}$.
इस प्रकार,$k^{-1} = 320$.

$P \left( A ^{\prime}\right)<\frac{1}{5}=\frac{36}{180}$

$5$ times the sum of missing number should be less than $36 .$

If $1$ digit is missing $=7$

If $2$ digit is missing $=9$

If $3$ digit is missing $=2$

If $0$ digit is missing $=1$

Alternate

$A$ is subset of $S$ hence

$A$ can have elements:

type $1:\{\}$

type $2$: $\left\{E_{1}\right\},\left\{E_{2}\right\}, \ldots \ldots .\left\{E_{8}\right\}$

type $3$: $\left\{ E _{1}, E _{2}\right\},\left\{ E _{1}, E _{3}\right\} \ldots \ldots .\left\{ E _{1}, E _{ 8 }\right\}$

.

.

.

type $6$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots E _{5}\right\}, \ldots \ldots\left\{ E _{4}, E _{5}, E _{6}, E _{7}, E _{8}\right\}$

type $7$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{6}\right\}, \ldots \ldots .\left\{ E _{3}, E _{4}, \ldots \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

type $8$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . E _{9}\right\}\left\{ E _{2}, E _{3}, \ldots \ldots \ldots . E _{8}\right\}$

type $9$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

As $P ( A ) \geq \frac{4}{5}$

Note : Type $1$ to Type $4$ elements can not be in set

$A$ as maximum probability of type $4$ elements.

$\left\{ E _{5}, E _{6}, E _{ 7 }, E _{ s }\right\}$ is $\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{7}{36}+\frac{8}{36}=\frac{13}{18}<\frac{4}{5}$

Now for Type $5$ acceptable elements let's call probability as $P _{ 5 }$

$P _{5}=\frac{ n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}}{36} \leq \frac{4}{5}$

$\Rightarrow n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5} \geq 28.8$

Hence, $2$ possible ways $\left\{ E _{9}, E _{6}, E _{\eta}, E _{\varepsilon}, E _{3}\right.$ or $\left.E _{4}\right\}$

$P _{6}= n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}+ n _{6} \geq 28.8$

$\Rightarrow 9$ possible ways

$P _{8} \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{1} \geq 288$

$\Rightarrow 7$ possible ways

$P _{ 8 } \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{ 8 } \geq 28.8$

$\Rightarrow 1$ possible way

Total $=19$

(C) रैखिक समीकरण निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \alpha & 3 & -1 \\ -\alpha & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:
$\Delta = 1(6 + 1) - 2(2\alpha - \alpha) + 1(\alpha + 3\alpha) = 7 + 2\alpha$.
असंगतता के लिए $\Delta = 0$ रखने पर:
$7 + 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{7}{2}$.
अब,$\alpha = -\frac{7}{2}$ पर $\Delta_x$ की जाँच करने पर:
$\Delta_x = 14 + 2\alpha = 14 + 2(-\frac{7}{2}) = 7 \neq 0$.
चूँकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x \neq 0$ है,इसलिए $\alpha = -\frac{7}{2}$ पर निकाय असंगत है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + g}{y + f}$ होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$b = 0$,$a = -2$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 15 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका केंद्र $C(1, 1)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
बिंदु $P(11, 6)$ से केंद्र की दूरी $CP = \sqrt{(11+1)^2 + (6-1)^2} = 13$ है।
न्यूनतम दूरी $= CP - r = 13 - 5 = 8$।

(D) माना $f(x) = x^{4}-4x+1$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^{3}-4$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $4x^{3}-4 = 0 \Rightarrow x^{3} = 1 \Rightarrow x = 1$.
चूंकि $f''(x) = 12x^{2}$,इसलिए $f''(1) = 12 > 0$,अतः $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1^{4}-4(1)+1 = 1-4+1 = -2$ है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$.
चूंकि न्यूनतम मान $-2$ है (जो $0$ से कम है) और फलन सतत है,इसलिए ग्राफ $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है: एक $(-\infty, 1)$ अंतराल में और दूसरा $(1, \infty)$ अंतराल में।
अतः,$2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 20-2x^2$,$b = 10+x^2$,और $c = 10+x^2$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(20-2x^2) + (10+x^2) + (10+x^2)}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ हेरॉन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta = \sqrt{20(20-(20-2x^2))(20-(10+x^2))(20-(10+x^2))}$
$\Delta = \sqrt{20(2x^2)(10-x^2)(10-x^2)}$
$\Delta = \sqrt{40x^2(10-x^2)^2} = 2\sqrt{10}|x(10-x^2)| = 2\sqrt{10}|10x-x^3|$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $f(x) = 10x-x^3$ को अधिकतम करते हैं (भुजाओं की लंबाई धनात्मक होने के कारण $x>0$ लेते हुए)।
$f'(x) = 10-3x^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $10-3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{10}{3}$.
अतः,$x=k$ पर,$k^2 = \frac{10}{3}$.
इसलिए,$3k^2 = 3 \times \frac{10}{3} = 10$.

(A) दिया गया है: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=5 \log _{e}\left(\frac{x}{5}\right)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}}} \cdot \frac{y^{\prime}}{2} = 5 \cdot \frac{1}{x/5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{x}$.
$\frac{-y^{\prime}}{\sqrt{4-y^{2}}} = \frac{5}{x} \implies -x y^{\prime} = 5 \sqrt{4-y^{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^{2} (y^{\prime})^{2} = 25(4-y^{2}) = 100 - 25y^{2}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^{2} \cdot 2 y^{\prime} y^{\prime \prime} + 2x (y^{\prime})^{2} = -50 y y^{\prime}$.
$2 y^{\prime}$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y^{\prime} \neq 0$):
$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -25 y$.
अतः,$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} + 25 y = 0$.

(A) हमारे पास $\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \int \frac{(x^{2}-1+2) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ है।
$= \int \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right) e^{x} d x = \int \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right) e^{x} d x$.
यह $\int (f(x) + f'(x)) e^{x} d x = f(x) e^{x} + C$ के रूप में है,जहाँ $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ है।
हम $f(x) = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - 2(x+1)^{-1}$ लिख सकते हैं।
अतः $f'(x) = 2(x+1)^{-2}$ है।
$f''(x) = -4(x+1)^{-3}$ है।
$f'''(x) = 12(x+1)^{-4} = \frac{12}{(x+1)^{4}}$ है।
$x = 1$ पर,$f'''(1) = \frac{12}{(1+1)^{4}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$।

(B) माना $f(x) = \frac{|x^{3}+x|}{e^{x|x|}+1}$.
हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) dx$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $a = 2$ है,इसलिए $\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} (f(x) + f(-x)) dx$.
चूँकि $|x^3+x| = |x(x^2+1)| = |x|(x^2+1)$,$x > 0$ के लिए,$|x^3+x| = x(x^2+1) = x^3+x$.
साथ ही,$f(-x) = \frac{|(-x)^3+(-x)|}{e^{-x|-x|}+1} = \frac{|-(x^3+x)|}{e^{-x^2}+1} = \frac{x^3+x}{e^{-x^2}+1}$.
अतः,$f(x) + f(-x) = \frac{x^3+x}{e^{x^2}+1} + \frac{x^3+x}{e^{-x^2}+1} = (x^3+x) \left( \frac{1}{e^{x^2}+1} + \frac{e^{x^2}}{1+e^{x^2}} \right) = (x^3+x) \left( \frac{1+e^{x^2}}{1+e^{x^2}} \right) = x^3+x$.
इसलिए,$\int_{0}^{2} (x^3+x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{16}{4} + \frac{4}{2} \right) - 0 = 4 + 2 = 6$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2^x \cdot 2^{-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = -\frac{2^x(2^y - 1)}{2^y(2^x - 1)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\int \frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
$u = 2^y - 1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = 2^y \ln 2 \, dy$,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\ln 2} \ln|2^y - 1| = -\frac{1}{\ln 2} \ln|2^x - 1| + C$.
$\ln 2$ से गुणा करने पर: $\ln|2^y - 1| + \ln|2^x - 1| = C_1$,जहाँ $C_1 = C \ln 2$.
यह सरल होकर $(2^y - 1)(2^x - 1) = K$ हो जाता है,जहाँ $K = e^{C_1}$.
$y(1) = 1$ दिया गया है,अतः $(2^1 - 1)(2^1 - 1) = K \implies (1)(1) = K \implies K = 1$.
अतः,$(2^y - 1)(2^x - 1) = 1$.
$x = 2$ के लिए,$(2^y - 1)(2^2 - 1) = 1 \implies (2^y - 1)(3) = 1$.
$2^y - 1 = \frac{1}{3} \implies 2^y = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
दोनों पक्षों का $\log_2$ लेने पर: $y = \log_2(\frac{4}{3}) = \log_2 4 - \log_2 3 = 2 - \log_2 3$.

(A) दिए गए दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के संबंध $l+m-n=0$ और $3l^{2}+m^{2}+cnl=0$ हैं।
पहले समीकरण से,हमें $n = l+m$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^{2}+m^{2}+cl(l+m)=0$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $3l^{2}+m^{2}+cl^{2}+clm=0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3+c)l^{2}+clm+m^{2}=0$ प्राप्त होता है।
$m^{2}$ से भाग देने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $(3+c)(\frac{l}{m})^{2}+c(\frac{l}{m})+1=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों रेखाएँ समांतर हैं,इसलिए $(\frac{l}{m})$ में इस द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac = 0$ होगा।
$c^{2}-4(3+c)(1) = 0$।
$c^{2}-4c-12=0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(c-6)(c+2)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $c=6$ या $c=-2$ प्राप्त होता है।
चूंकि हमें $c$ का धनात्मक मान चाहिए,इसलिए $c=6$ है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
हमें शर्त $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ दी गई है।
सदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,सदिश $\vec{a}$ को $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ होना चाहिए।
आइए हम अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(-3) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = -3 \neq 0$,इसलिए सदिश $\vec{a}$,$\vec{c}$ के लंबवत नहीं है।
अतः,ऐसा कोई सदिश $\vec{b}$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ हो।
इस प्रकार,ऐसे सदिशों $\vec{b}$ की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया है कि $X$ एक द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 7$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $P(X=3) = 5P(X=4)$ है:
${}^{7}C_{3} p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times {}^{7}C_{4} p^{4} (1-p)^{3}$.
चूंकि ${}^{7}C_{3} = {}^{7}C_{4} = 35$,हम समीकरण को सरल बना सकते हैं:
$35 p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times 35 p^{4} (1-p)^{3}$.
दोनों पक्षों को $35 p^{3} (1-p)^{3}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 5p$.
$1 = 6p \Rightarrow p = \frac{1}{6}$.
अतः,$q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
माध्य $= np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
प्रसरण $= npq = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$.
माध्य और प्रसरण का योग $= \frac{7}{6} + \frac{35}{36} = \frac{42 + 35}{36} = \frac{77}{36}$.

(C) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों का उपयोग करके प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ के लिए:
चूंकि $\frac{2 \pi}{3}$ मुख्य परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में नहीं है,हम लिखते हैं $\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$2$. $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)$ के लिए:
चूंकि $\frac{7 \pi}{6}$ मुख्य परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है,हम लिखते हैं $\cos \frac{7 \pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{5\pi}{6}) = \cos \frac{5 \pi}{6}$.
अतः,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}\right) = \frac{5 \pi}{6}$.
$3$. $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ के लिए:
चूंकि $\frac{3 \pi}{4}$ मुख्य परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में नहीं है,हम लिखते हैं $\tan \frac{3 \pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan(-\frac{\pi}{4})$.
अतः,$\tan ^{-1}\left(\tan(-\frac{\pi}{4})\right) = -\frac{\pi}{4}$.
इन मानों का योग करने पर:
$\frac{\pi}{3} + \frac{5 \pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 10\pi - 3\pi}{12} = \frac{11 \pi}{12}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e^{2(1-x)}}{e^{2(1-x)} + e}$ पर विचार करें।
दूसरे पद के अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2e^{2-2x} \cdot e^{2x}}{e^{2-2x} \cdot e^{2x} + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e^2}{e^2 + e^{2x+1}} = \frac{2e^2}{e^2 + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e}{e + e^{2x}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e}{e^{2x} + e} = \frac{2(e^{2x} + e)}{e^{2x} + e} = 2$.
योग $S = \sum_{k=1}^{99} f\left(\frac{k}{100}\right)$ है।
पदों को युग्मित करने पर $f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(1 - \frac{k}{100}\right) = f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(\frac{100-k}{100}\right) = 2$.
ऐसे $49$ युग्म हैं ($k=1$ से $49$ तक) और मध्य पद $f\left(\frac{50}{100}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2e^{2(1/2)}}{e^{2(1/2)} + e} = \frac{2e}{e + e} = 1$.
इसलिए,$S = 49 \times 2 + 1 = 98 + 1 = 99$.

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{n-2} A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = (|A|^{n-2})^n = |A|^{(n-1)^2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$ होगा।
अब,दिए गए आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = \begin{vmatrix} 14 & 28 & -14 \\ -14 & 14 & 28 \\ 28 & -14 & 14 \end{vmatrix} = 14^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= 14^3 [1(1 - (-2)) - 2(-1 - 4) - 1(1 - 2)] = 14^3 [1(3) - 2(-5) - 1(-1)] = 14^3 [3 + 10 + 1] = 14^3 \times 14 = 14^4$।
अतः,$|A|^4 = 14^4$।
चूँकि हमें धनात्मक मान चाहिए,इसलिए $|A| = 14$ होगा।

(A) क्षेत्र $A_{1}$ को $|x| \leq y^{2}$ और $|x|+2y \leq 8$ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूंकि दोनों असमिकाएं $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0)$ में क्षेत्रफल का $2$ गुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $x = y^{2}$ और $x = 8 - 2y$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^{2} = 8 - 2y \implies y^{2} + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$। चूंकि $y \geq 0$,इसलिए $y = 2$ प्राप्त होता है।
Area $(A_{1}) = 2 \left[ \int_{0}^{2} y^{2} dy + \int_{2}^{4} (8-2y) dy \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{y^{3}}{3} \right)_{0}^{2} + \left( 8y - y^{2} \right)_{2}^{4} \right]$
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + (32 - 16) - (16 - 4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 16 - 12 \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 4 \right] = 2 \left( \frac{20}{3} \right) = \frac{40}{3}$.
क्षेत्र $A_{2}$ का मान $|x|+|y| \leq k$ है,जो $(\pm k, 0)$ और $(0, \pm k)$ शीर्षों वाला एक वर्ग है। इस वर्ग का क्षेत्रफल $2k^{2}$ है।
दिया गया है कि $27 \times \text{Area}(A_{1}) = 5 \times \text{Area}(A_{2})$:
$27 \times \frac{40}{3} = 5 \times 2k^{2}$
$9 \times 40 = 10k^{2}$
$360 = 10k^{2} \implies k^{2} = 36 \implies k = 6$.

(D) मान लीजिए $P = (a, b, c)$ और $P' = (a - 6, \beta, \gamma)$ है। $PP'$ का मध्यबिंदु $M$ है $\left(\frac{a + a - 6}{2}, \frac{b + \beta}{2}, \frac{c + \gamma}{2}\right) = \left(a - 3, \frac{b + \beta}{2}, \frac{c + \gamma}{2}\right)$।
चूंकि $M$ समतल $3x - 4y + 12z + 19 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$3(a - 3) - 4\left(\frac{b + \beta}{2}\right) + 12\left(\frac{c + \gamma}{2}\right) + 19 = 0$
$3a - 9 - 2(b + \beta) + 6(c + \gamma) + 19 = 0$
$3a - 2b - 2\beta + 6c + 6\gamma + 10 = 0 \quad \dots(1)$
चूंकि $PP'$ समतल के अभिलंब $(3, -4, 12)$ के समानांतर है,इसलिए $PP'$ के दिक अनुपात $(3, -4, 12)$ के समानुपाती हैं:
$\frac{(a - 6) - a}{3} = \frac{\beta - b}{-4} = \frac{\gamma - c}{12} = k$
$\frac{-6}{3} = k \Rightarrow k = -2$
अतः,$\beta - b = -4(-2) = 8 \Rightarrow \beta = b + 8$
$\gamma - c = 12(-2) = -24 \Rightarrow \gamma = c - 24$
दिया गया है $a + b + c = 5$,इसलिए $b = \beta - 8$ और $c = \gamma + 24$ है। $a + b + c = 5$ में मान रखने पर:
$a + (\beta - 8) + (\gamma + 24) = 5 \Rightarrow a = -\beta - \gamma - 11$
$a, b, c$ के मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(-\beta - \gamma - 11) - 2(\beta - 8) - 2\beta + 6(\gamma + 24) + 6\gamma + 10 = 0$
$-3\beta - 3\gamma - 33 - 2\beta + 16 - 2\beta + 6\gamma + 144 + 6\gamma + 10 = 0$
$-7\beta + 9\gamma + 137 = 0$
$7\beta - 9\gamma = 137$

(B) $R_{1} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \leq 13\}$ के लिए:
$(i)$ स्वतुल्य: $|a - a| = 0 \leq 13$,इसलिए $(a, a) \in R_{1}$। यह स्वतुल्य है।
(ii) सममित: यदि $|a - b| \leq 13$ है,तो $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b| \leq 13$। इसलिए $(b, a) \in R_{1}$। यह सममित है।
(iii) संक्रामक: मान लीजिए $(1, 10) \in R_{1}$ और $(10, 20) \in R_{1}$। यहाँ $|1 - 10| = 9 \leq 13$ और $|10 - 20| = 10 \leq 13$ है। हालाँकि,$|1 - 20| = 19 \not\leq 13$ है। अतः,$(1, 20) \notin R_{1}$। $R_{1}$ संक्रामक नहीं है,इसलिए यह तुल्यता संबंध नहीं है।
$R_{2} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \neq 13\}$ के लिए:
$(i)$ स्वतुल्य: $|a - a| = 0 \neq 13$। इसलिए $(a, a) \in R_{2}$। यह स्वतुल्य है।
(ii) सममित: यदि $|a - b| \neq 13$ है,तो $|b - a| = |a - b| \neq 13$। इसलिए $(b, a) \in R_{2}$। यह सममित है।
(iii) संक्रामक: मान लीजिए $(1, 2) \in R_{2}$ और $(2, 14) \in R_{2}$। यहाँ $|1 - 2| = 1 \neq 13$ और $|2 - 14| = 12 \neq 13$ है। लेकिन $|1 - 14| = 13$,इसलिए $(1, 14) \notin R_{2}$। अतः,$R_{2}$ संक्रामक नहीं है,इसलिए यह तुल्यता संबंध नहीं है।
इसलिए,न तो $R_{1}$ और न ही $R_{2}$ एक तुल्यता संबंध है।

(B) $(f \circ g)(x)$ के लिए असततता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम उन बिंदुओं की जाँच करते हैं जहाँ $g(x)$ असतत है,जहाँ $f(u)$ असतत है (जहाँ $u = g(x)$),और जहाँ $g(x)$ का मान उस बिंदु के बराबर है जहाँ $f$ असतत है।
$1$. $g(x)$,$x=0$ पर असतत है क्योंकि $\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1$ और $g(0) = 0$. अतः,$x=0$ $(f \circ g)$ के लिए असततता का बिंदु है।
$2$. $f(u)$,$u=0$ पर असतत है।
$3$. हम $g(x) = 0$ की जाँच करते हैं। $x \geq 0$ के लिए,$(x-1)^2 - 1 = 0 \implies x=0$ या $x=2$.
$4$. $x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^+} (f \circ g)(x) = 1$ और $\lim_{x \to 2^-} (f \circ g)(x) = 0$. अतः,$x=2$ असततता का बिंदु है।
$5$. $x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} (f \circ g)(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} (f \circ g)(x) = 1$. अतः,$x=0$ असततता का बिंदु है।
इस प्रकार,फलन $x=0$ और $x=2$ पर असतत है। कुल दो बिंदु हैं।

(C) दिया गया है $f(x) + f(x + k) = n$.
$x$ को $x + k$ से बदलने पर,हमें $f(x + k) + f(x + 2k) = n$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$f(x + 2k) - f(x) = 0$,अतः $f(x + 2k) = f(x)$.
इस प्रकार,$f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 2k$ है।
$T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन के लिए,$\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$.
$I_{1} = \int_{0}^{4nk} f(x) dx = \int_{0}^{(2n)2k} f(x) dx = 2n \int_{0}^{2k} f(x) dx$.
$I_{2} = \int_{-k}^{3k} f(x) dx = \int_{0}^{4k} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2k} f(x) dx$.
अब,$\int_{0}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x) dx + \int_{k}^{2k} f(x) dx$.
चूंकि $f(x + k) = n - f(x)$,$\int_{k}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x + k) dx = \int_{0}^{k} (n - f(x)) dx = nk - \int_{0}^{k} f(x) dx$.
अतः,$\int_{0}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x) dx + nk - \int_{0}^{k} f(x) dx = nk$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$I_{1} = 2n(nk) = 2n^{2}k$ और $I_{2} = 2(nk) = 2nk$.
अंत में,$I_{1} + nI_{2} = 2n^{2}k + n(2nk) = 2n^{2}k + 2n^{2}k = 4n^{2}k$.

(C) दिया गया वक्र $y = 3 - \left|x - \frac{1}{2}\right| - |x + 1|$ है।
विभिन्न अंतरालों में फलन को परिभाषित करने पर:
$x < -1$ के लिए: $y = 2x + 7/2$। $y=0$ रखने पर,$x = -7/4$।
$-1 \leq x < 1/2$ के लिए: $y = 3/2$।
$x \geq 1/2$ के लिए: $y = 5/2 - 2x$। $y=0$ रखने पर,$x = 5/4$।
यह क्षेत्र एक समलंब चतुर्भुज (trapezoid) है।
समांतर भुजाओं की लंबाई $3$ (आधार) और $3/2$ (ऊपरी भुजा) है।
समलंब की ऊँचाई $3/2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (3 + 3/2) \times (3/2) = \frac{1}{2} \times (9/2) \times (3/2) = \frac{27}{8}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}[y d x-2 x d y]+y^{2} d y=0$ प्राप्त होता है।
$y^{3}$ से भाग देने पर,हमें $2 e^{x / y^{2}}\left[\frac{y^{2} d x-2 x y d y}{y^{4}}\right]+\frac{1}{y} d y=0$ प्राप्त होता है।
इसे $2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{1}{y} d y=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\int \frac{1}{y} d y=C$ प्राप्त होता है।
इससे $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x(1)=0$,अतः $x=0$ और $y=1$ रखने पर $2 e^{0}+\ln(1)=C$,जिससे $C=2$ प्राप्त होता है।
वक्र का समीकरण $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=2$ है।
$x(e)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $y=e$ रखने पर: $2 e^{x / e^{2}}+\ln(e)=2$.
$2 e^{x / e^{2}}+1=2 \Rightarrow 2 e^{x / e^{2}}=1$.
$e^{x / e^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{e^{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.
अतः,$x(e)=-e^{2} \log _{e}(2)$ है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2 \tan x(\cos x - y)$ है।
इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में लिखने पर: $\frac{dy}{dx} + (2 \tan x)y = 2 \sin x$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = 2 \sin x \sec^2 x = 2 \sec x \tan x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$,जिसे सरल करने पर $y = 2 \cos x + C \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(\frac{\pi}{4}, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) + C \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + C(\frac{1}{2}) = \sqrt{2} + \frac{C}{2}$.
अतः,$C = -2\sqrt{2}$,और वक्र का समीकरण $y = 2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x$ है।
अब,$\int_{0}^{\pi / 2} y \, dx = \int_{0}^{\pi / 2} (2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x) \, dx$.
$= [2 \sin x]_{0}^{\pi / 2} - 2\sqrt{2} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$.
$= 2(1 - 0) - \sqrt{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2} = 2 - \sqrt{2}(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(D) दिया गया है $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = -2 \hat{i} + \alpha \hat{j} + \hat{k}$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -1 \\ -2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + \alpha) - \hat{j}(\alpha - 2) + \hat{k}(\alpha^{2} + 4)$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(\alpha + 2)^{2} + (\alpha - 2)^{2} + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{\alpha^{2} + 4\alpha + 4 + \alpha^{2} - 4\alpha + 4 + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2}}$.
दिया गया है कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{15(\alpha^{2} + 4)}$,इसलिए $2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2} = 15(\alpha^{2} + 4)$.
$(\alpha^{2} + 4)$ से विभाजित करने पर,हमें $2 + (\alpha^{2} + 4) = 15$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha^{2} + 4 = 13$,जिसका अर्थ है $\alpha^{2} = 9$.
अब,$|\vec{a}|^{2} = \alpha^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} = \alpha^{2} + 5 = 9 + 5 = 14$.
$|\vec{b}|^{2} = (-2)^{2} + \alpha^{2} + 1^{2} = 4 + \alpha^{2} + 1 = \alpha^{2} + 5 = 14$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \alpha(-2) + 2(\alpha) + (-1)(1) = -2\alpha + 2\alpha - 1 = -1$.
अंत में,$2|\vec{a}|^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})|\vec{b}|^{2} = 2(14) + (-1)(14) = 28 - 14 = 14$.

(D) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -5 \\ 3 & 5 & -7 \end{vmatrix} = \hat{i}(-7 + 25) - \hat{j}(-14 + 15) + \hat{k}(10 - 3) = 18\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
समतल का समीकरण $18x - y + 7z = d$ है।
चूंकि समतल $(2, 3, -5)$ से गुजरता है,हमारे पास $18(2) - (3) + 7(-5) = d$ है,जो $36 - 3 - 35 = d$ देता है,इसलिए $d = -2$.
समतल का समीकरण $18x - y + 7z = -2$ या $-18x + y - 7z = 2$ है।
इसे $ax + by + cz = d$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -18, b = 1, c = -7, d = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\text{gcd}(|-18|, |1|, |-7|, 2) = 1$ और $d > 0$ है,ये मान सही हैं।
अंत में,$a + 7b + c + 20d = -18 + 7(1) + (-7) + 20(2) = -18 + 7 - 7 + 40 = 22$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \perp (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{a} \times (2 \hat{i} + \hat{k}) = 2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
सदिश त्रिक गुणन नियम $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{c} = 3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = -(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2)(3) + (0)(\frac{1}{2}) + (1)(2) = 6 + 0 + 2 = 8$.
अब,$(2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ का क्रॉस गुणनफल ज्ञात करें:
$= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -13 & -4 \\ 3 & 0.5 & 2 \end{vmatrix} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
अतः,$-8 \vec{a} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k} \implies \vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{v} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{v} = (3)(2) + (2)(2) + (-5)(1) = 5$.
$|\vec{v}| = 3$.
प्रक्षेप $= \frac{5}{3}$.

(D) मान लीजिए $M$,बिंदु $P(1, 2, 3)$ से रेखा $L$ पर डाले गए लंब का पाद है। रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $M(3\lambda+6, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ के रूप में है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{PM} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PM} \perp \vec{v}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-1) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 3 = 0$
$22\lambda + 10 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{11}$.
$\lambda$ का मान $M$ में रखने पर,$M = (\frac{51}{11}, \frac{1}{11}, \frac{7}{11})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$,रेखा में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$M = \frac{P+Q}{2} \implies Q = 2M - P = (\frac{91}{11}, -\frac{20}{11}, -\frac{19}{11})$.
$R$,$PQ$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $R = \frac{1(Q) + 3(P)}{1+3} = \frac{Q + 3P}{4}$.
$R = \frac{1}{4} ((\frac{91}{11} + 3), (-\frac{20}{11} + 6), (-\frac{19}{11} + 9)) = (\frac{31}{11}, \frac{23}{22}, \frac{20}{11})$.
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{62+23+40}{22} = \frac{125}{22}$.
$22(\alpha+\beta+\gamma) = 125$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x - 3y = \gamma + 5$ और $\alpha x + 5y = \beta + 1$ हैं।
शर्त लागू करने पर: $\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$।
$\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3}$ से,हमें $\alpha = -\frac{10}{3}$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर,$9\alpha = -30$ प्राप्त होता है।
$\frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$ से,$5(\gamma + 5) = -3(\beta + 1)$ प्राप्त होता है।
$5\gamma + 25 = -3\beta - 3$।
$3\beta + 5\gamma = -28$।
अब,हमें $|9\alpha + 3\beta + 5\gamma|$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $|-30 + (-28)| = |-58| = 58$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix}$।
$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+i)^2 - i & 1+i \\ -i(1+i) & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i - i & 1+i \\ -i+1 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix}$।
$A^4 = (A^2)^2$ की गणना करें:
$A^4 = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 + (1+i)(1-i) & i(1+i) - i(1+i) \\ i(1-i) - i(1-i) & (1-i)(1+i) + i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2 & 0 \\ 0 & 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
हमें $A^n = A$ चाहिए। चूँकि $A^4 = I$,इसलिए $A^{4k+1} = (A^4)^k \cdot A = I^k \cdot A = A$।
अतः,$n$ को $4k+1$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $k \ge 0$ है।
दिया गया है $1 \le n \le 100$,तो $1 \le 4k+1 \le 100 \Rightarrow 0 \le 4k \le 99 \Rightarrow 0 \le k \le 24.75$।
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{0, 1, 2, \ldots, 24\}$।
$k$ के ऐसे $25$ मान हैं,इसलिए समुच्चय में $25$ अवयव हैं।

(A) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4\}$ है। शर्त $f(a, b) = f(b, a) \geq a$ यह दर्शाती है कि:
$a=4$ के लिए,$f(4, b) = f(b, 4) \geq 4$. सह-प्रांत $S$ होने के कारण,सभी $b \in S$ के लिए $f(4, b) = 4$ होगा।
$a=3$ के लिए,$f(3, b) = f(b, 3) \geq 3$. अतः $f(3, 3) \in \{3, 4\}$ और $f(3, 4) = f(4, 3) = 4$.
$a=2$ के लिए,$f(2, b) = f(b, 2) \geq 2$. अतः $f(2, 2) \in \{2, 3, 4\}$,$f(2, 3) = f(3, 2) \in \{3, 4\}$,और $f(2, 4) = f(4, 2) = 4$.
$a=1$ के लिए,$f(1, b) = f(b, 1) \geq 1$. अतः $f(1, 1) \in \{1, 2, 3, 4\}$,$f(1, 2) = f(2, 1) \in \{2, 3, 4\}$,$f(1, 3) = f(3, 1) \in \{3, 4\}$,और $f(1, 4) = f(4, 1) = 4$.
फलन को आच्छादक (onto) होने के लिए,परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ होना चाहिए।
गणना करने पर,आच्छादक फलनों की कुल संख्या $37$ प्राप्त होती है।

(D) प्रांत $N$ को $n$ के रूप के आधार पर तीन अलग-अलग समुच्चयों में विभाजित किया गया है:
$1$. $n = 2k$ (सम संख्याएँ): $f(n) = 2(2k) = 4k$
$2$. $n = 4k-1$ ($4k-1$ रूप की संख्याएँ): $f(n) = (4k-1)-1 = 4k-2$
$3$. $n = 4k-3$ ($4k-3$ रूप की संख्याएँ): $f(n) = \frac{(4k-3)+1}{2} = 2k-1$
किसी भी $y \in N$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या कोई अद्वितीय $n$ मौजूद है ताकि $f(n) = y$ हो:
- यदि $y$,$4k$ के रूप का है,तो $n = 2k$ अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।
- यदि $y$,$4k-2$ के रूप का है,तो $n = 4k-1$ अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।
- यदि $y$,$2k-1$ (विषम संख्याएँ) के रूप का है,तो $n = 4k-3$ अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।
चूंकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए एक अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब $n \in N$ मौजूद है,इसलिए फलन $f$ एकैकी और आच्छादक है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$।
$D = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & |\lambda| \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(|\lambda| + 1) - 3(|\lambda| - 1) - 1(-2) = 0$
$2|\lambda| + 2 - 3|\lambda| + 3 + 2 = 0$
$-|\lambda| + 7 = 0 \Rightarrow |\lambda| = 7 \Rightarrow \lambda = \pm 7$।
अब,$\lambda = 7$ और $\lambda = -7$ के लिए संगतता की जाँच करने पर:
$\lambda = 7$ के लिए,तीसरा समीकरण $x - y + 7z = 24$ बनता है,जो संगत है।
$\lambda = -7$ के लिए,तीसरा समीकरण $x - y + 7z = -32$ बनता है। इस मान को निकाय में रखने पर यह असंगत (कोई हल नहीं) सिद्ध होता है।
अतः,$\lambda = -7$ सही शर्त है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है। $\det(A) = 2$ है।
हमें $\det(\det(A) \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\det(A) = 2$,व्यंजक $\det(2 \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ बन जाता है।
गुणधर्म $\det(kA) = k^n \det(A)$ का उपयोग करने पर,हमें $2^3 \det(\operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ प्राप्त होता है।
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=3$,हमें $8 \cdot (\det(5 \operatorname{adj}(A^3)))^2$ प्राप्त होता है।
$\det(kM) = k^n \det(M)$ का उपयोग करने पर,हमें $8 \cdot (5^3 \det(\operatorname{adj}(A^3)))^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(\operatorname{adj}(A^3)))^2$ प्राप्त होता है।
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $8 \cdot 5^6 \cdot ((\det(A^3))^2)^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(A)^3)^4$ प्राप्त होता है।
$\det(A) = 2$ रखने पर,हमें $2^3 \cdot 5^6 \cdot (2^3)^4 = 2^3 \cdot 5^6 \cdot 2^{12} = 2^{15} \cdot 5^6$ प्राप्त होता है।
$2^{15} \cdot 5^6 = 2^9 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 512 \cdot 10^6$।

(C) मान लीजिए $f(x) = -8x^2 + 6x - 1$ है। हमें उन अंतरालों को खोजने की आवश्यकता है जहाँ $f(x)$ पूर्णांक मान लेता है।
$f(x) = 0 \implies -8x^2 + 6x - 1 = 0 \implies 8x^2 - 6x + 1 = 0 \implies (2x-1)(4x-1) = 0$. अतः,$x = 1/4$ और $x = 1/2$ है।
$f(x) = -1 \implies -8x^2 + 6x - 1 = -1 \implies -8x^2 + 6x = 0 \implies -2x(4x-3) = 0$. अतः,$x = 0$ और $x = 3/4$ है।
$f(x) = -2 \implies -8x^2 + 6x - 1 = -2 \implies 8x^2 - 6x - 1 = 0$. द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(8)(-1)}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{8}$ है। चूँकि $x \in [0, 1]$,हम $x = \frac{3+\sqrt{17}}{8} \approx 0.89$ लेते हैं।
$f(x) = -3 \implies -8x^2 + 6x - 1 = -3 \implies 8x^2 - 6x - 2 = 0 \implies 4x^2 - 3x - 1 = 0 \implies (4x+1)(x-1) = 0$. अतः,$x = 1$ है।
अब,हम $[f(x)]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$x \in [0, 1/4)$ के लिए,$-1 < f(x) < 0$,इसलिए $[f(x)] = -1$ है।
$x \in [1/4, 1/2]$ के लिए,$0 \le f(x) \le 1/8$,इसलिए $[f(x)] = 0$ है।
$x \in (1/2, 3/4)$ के लिए,$-1 < f(x) < 0$,इसलिए $[f(x)] = -1$ है।
$x \in [3/4, \frac{3+\sqrt{17}}{8})$ के लिए,$-2 \le f(x) < -1$,इसलिए $[f(x)] = -2$ है।
$x \in [\frac{3+\sqrt{17}}{8}, 1]$ के लिए,$-3 \le f(x) < -2$,इसलिए $[f(x)] = -3$ है।
समाकलन $I = \int_{0}^{1/4} (-1) dx + \int_{1/4}^{1/2} (0) dx + \int_{1/2}^{3/4} (-1) dx + \int_{3/4}^{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} (-2) dx + \int_{\frac{3+\sqrt{17}}{8}}^{1} (-3) dx$
$I = -[x]_{0}^{1/4} + 0 - [x]_{1/2}^{3/4} - 2[x]_{3/4}^{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} - 3[x]_{\frac{3+\sqrt{17}}{8}}^{1}$
$I = -\frac{1}{4} - (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) - 2(\frac{3+\sqrt{17}}{8} - \frac{3}{4}) - 3(1 - \frac{3+\sqrt{17}}{8})$
$I = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2(\frac{3+\sqrt{17}-6}{8}) - 3(\frac{8-3-\sqrt{17}}{8})$
$I = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}-3}{4} - \frac{15-3\sqrt{17}}{8} = \frac{-4 - 2\sqrt{17} + 6 - 15 + 3\sqrt{17}}{8} = \frac{\sqrt{17}-13}{8}$

(B) सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ पर विचार करते हैं।
$x = 0$ पर:
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} [e^x] = 0$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $e^x < 1$ है)।
$f(0^+) = a e^0 + [0 - 1] = a - 1$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$a - 1 = 0 \implies a = 1$ होना चाहिए।
$x = 1$ पर:
$f(1^-) = a e^1 + [1 - 1] = a e + 0 = a e$.
$f(1^+) = b + [\sin(\pi)] = b + 0 = b$.
चूँकि $a = 1$ है,$f(1^-) = e \approx 2.718$ और $f(1^+) = b$ है। चूँकि $e$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $f$ किसी भी $b$ के लिए $x = 1$ पर असतत है।
$x = 2$ पर:
$f(2^-) = b + [\sin(2\pi)] = b + 0 = b$.
$f(2^+) = [e^{-2}] - c = 0 - c = -c$.
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए,$b = -c \implies b + c = 0$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$a, b, c$ के किसी भी मान के लिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर असतत है। यदि हम $a = 1$ और $b + c = 0$ लेते हैं,तो $f$ केवल $x = 1$ पर असतत रहता है। इस स्थिति में,$a + b + c = 1 + (b + c) = 1 + 0 = 1$।