$\alpha$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए समीकरण निकाय: $x+y+z=\alpha$,$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$,और $x+3 \alpha y+5 z=4$ असंगत है,है:

यदि $x+y+z=3$,$2x+2y-z=3$,और $x+y-z=1$ द्वारा दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है और यदि $(x_0, y_0, z_0)$ एक हल है,तो $2x_0+2y_0+z_0=$

मान लीजिए $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि $ad-bc \neq 0$ और $e$,$1$ के अलावा एक धनात्मक संख्या है। यदि $x^a y^b=e^m$,$x^c y^d=e^n$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll}m & b \\ n & d\end{array}\right|$,$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll}a & m \\ c & n\end{array}\right|$ और $\Delta_3=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ है,तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

मान लीजिए कि समीकरणों की प्रणाली $x+5y-z=1$,$4x+3y-3z=7$,$24x+y+\lambda z=\mu$,जहाँ $\lambda, \mu \in R$,के अनंत हल हैं। यदि $x, y, z$ पूर्णांक हैं और $7 \leq x+y+z \leq 77$ को संतुष्ट करते हैं,तो इस प्रणाली के हलों की संख्या क्या है?

$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसके अवयव $1$ या $-1$ हैं और जिसके लिए समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ के ठीक तीन भिन्न हल हैं।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 12 & 24 & 5 \\ x & 6 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ है। $x$ का वह मान जिसके लिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है,है