$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x-[x])}{x-[x]} & , x \in (-2, -1) \\ \max \{2x, 3[|x|]\} & , |x| < 1 \\ 1 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$ जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। यदि $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ संतत नहीं है और $n$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,तो क्रमित युग्म $(m, n)$ है

मान लीजिए $f:[0, \infty) \rightarrow [0, 3]$ एक फलन है जो इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \max \{\sin t : 0 \leq t \leq x\}, & 0 \leq x \leq \pi \\ 2 + \cos x, & x > \pi \end{cases}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ है,तो:

एक फलन $f(x)$ के निम्नलिखित गुण दिए गए हैं:
$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ फलन $f(x)$ के ग्राफ पर एक बिंदु है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन अन्य सभी स्थानों पर $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दी गई संख्या रेखा द्वारा दिए गए हैं:
$f'(x)$,$x < -5$ के लिए धनात्मक है,$-5 < x < 2$ के लिए ऋणात्मक है,$2 < x < 4$ के लिए धनात्मक है,और $x > 4$ के लिए ऋणात्मक है।
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ पर,हमारे पास है:

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ और अवकलन का उपयोग करके,कोसाइन के लिए योग सूत्र प्राप्त करें।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma}) & x \in (0, \frac{1}{2}) \\ 0 & x = \frac{1}{2} \\ \ln(\beta x^2 + 2) & x \in (\frac{1}{2}, 1) \end{cases}$ है। यदि $f(x)$ अपने डोमेन में सतत और अवकलनीय है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।