k के उन सभी मानों का समुच्चय जिसके लिए (tan^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $f(x) = (	an^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$. हम जानते हैं कि $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. माना $u = 	an^{-1} x$. तब $\cot^{-1

Vedclass · Accepted Answer

$[\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = (	an^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$. हम जानते हैं कि $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. माना $u = 	an^{-1} x$. तब $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$. चूंकि $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. अब,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$. पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$. चूंकि $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ का परिसर $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ है। अतः,$f(x)$ का परिसर $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ है। दिया गया है कि $f(x) = k \pi^3$,इसलिए $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$।

$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिसके लिए $(\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3 = k \pi^3$,$x \in \mathbb{R}$,अंतराल है

Similar Questions

मान लीजिए कि $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए $(sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$ का अधिकतम मान $\frac{m}{n}\pi^{2}$ है,जहाँ $\gcd(m, n) = 1$ है। तो $m+n$ का मान ........... है।

मान ज्ञात कीजिए: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3}) = $ . . . . . . .

मान ज्ञात कीजिए: ${\cot ^{ - 1}}3 + {\csc ^{ - 1}}\sqrt 5 = $

यदि $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\frac{\sin ^{-1} x}{\alpha}=\frac{\cos ^{-1} x}{\beta}$ है,तो $\sin \left(\frac{2 \pi \alpha}{\alpha+\beta}\right)$ का मान $......$ है।

सिद्ध कीजिए कि $\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module