JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है $f(n) = 2n^{2} - n - 1$. हमें $S = \{n \in \mathbb{Z} : |2n^{2} - n - 1| \leq 800\}$ ज्ञात करना है।
इसका अर्थ है $-800 \leq 2n^{2} - n - 1 \leq 800$.
$2n^{2} - n - 1 \leq 800 \implies 2n^{2} - n - 801 \leq 0$ को हल करने पर,$2n^{2} - n - 801 = 0$ के मूल $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6408}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{6409}}{4}$ हैं। चूँकि $\sqrt{6409} \approx 80.05$,मूल $\approx -19.76$ और $\approx 20.26$ हैं।
अतः,$n \in \{-19, -18, \dots, 20\}$.
साथ ही,$2n^{2} - n - 1 \geq -800 \implies 2n^{2} - n + 799 \geq 0$. विविक्तकर $D = 1 - 4(2)(799) = 1 - 6392 < 0$ है,इसलिए यह सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है।
अतः,$S = \{-19, -18, \dots, 20\}$.
हमें $\sum_{n=-19}^{20} (2n^{2} - n - 1) = 2 \sum_{n=-19}^{20} n^{2} - \sum_{n=-19}^{20} n - \sum_{n=-19}^{20} 1$ की गणना करनी है।
$\sum_{n=-19}^{20} n^{2} = (19^{2} + 18^{2} + \dots + 1^{2}) + 0^{2} + (1^{2} + 2^{2} + \dots + 20^{2}) = 2 \sum_{k=1}^{19} k^{2} + 20^{2} = 2 \frac{19(20)(39)}{6} + 400 = 2(4940) + 400 = 10280$.
$\sum_{n=-19}^{20} n = 20$.
$\sum_{n=-19}^{20} 1 = 40$.
योग $= 2(10280) - 20 - 40 = 20560 - 60 = 10620$.

(D) दिया गया समीकरण $x^{2} + 4y^{2} + 2x + 8y - \lambda = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x + 1)^{2} + 4(y + 1)^{2} = \lambda + 5$ प्राप्त होता है।
मानक रूप में,$\frac{(x + 1)^{2}}{\lambda + 5} + \frac{(y + 1)^{2}}{(\lambda + 5)/4} = 1$ है।
यहाँ $a^{2} = \lambda + 5$ और $b^{2} = \frac{\lambda + 5}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 4$ दी गई है।
मान रखने पर,$\frac{2(\lambda + 5)/4}{\sqrt{\lambda + 5}} = 4 \implies \frac{\sqrt{\lambda + 5}}{2} = 4 \implies \sqrt{\lambda + 5} = 8$।
अतः,$\lambda + 5 = 64 \implies \lambda = 59$।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $l = 2a = 2\sqrt{64} = 16$ है।
इस प्रकार,$\lambda + l = 59 + 16 = 75$।

(D) दिया गया समीकरण $z^{2} + \bar{z} = 0$ है। मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$ और $\bar{z} = x - iy$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(x^{2} - y^{2} + x) + i(2xy - y) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) x^{2} + x - y^{2} = 0$
$2) y(2x - 1) = 0$
समीकरण $(2)$ से,$y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$ है।
स्थिति $1$: यदि $y = 0$,तो $x^{2} + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$,अतः $x = 0$ या $x = -1$ है। मूल $z_{1} = 0$ और $z_{2} = -1$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{2}$,तो $(\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} - y^{2} = 0 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = y^{2} \implies y^{2} = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ है। मूल $z_{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $z_{4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
समुच्चय $S = \{0, -1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ है।
सभी $z \in S$ के लिए $(\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ का योग:
$(0 + 0) + (-1 + 0) + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$।

(D) समुच्चय $S$ के लिए: असमिका $\frac{|x+3|-1}{|x|-2} \geq 0$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = -4, -2, 2, -2$ हैं।
$[-6, 3] \setminus \{-2, 2\}$ में अंतरालों की जाँच करने पर:
$[-6, -4] \cup (-2, 2) \cup (2, 3]$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $T$ के लिए: $x^2 - 7|x| + 9 \leq 0$। मान लीजिए $y = |x|$,तो $y^2 - 7y + 9 \leq 0$।
हल $y \in [1.7, 5.3]$ है। चूँकि $x \in \mathbb{Z}$,इसलिए $|x| \in \{2, 3, 4, 5\}$,अतः $x \in \{-5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5\}$।
$S$ और $T$ का सर्वनिष्ठ: $S \cap T = \{-5, -4, 3\}$।
अवयवों की संख्या $3$ है।

(B) दिया गया है $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ और $\alpha \beta = \sqrt{6}$।
मान लीजिए $x^{2}+ax+b=0$ के मूल $y_1 = \frac{1}{\alpha^{2}}+1$ और $y_2 = \frac{1}{\beta^{2}}+1$ हैं।
मूलों का योग: $-a = y_1 + y_2 = \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 2 = \frac{1-\sqrt{6}}{3} + 2 = \frac{7-\sqrt{6}}{3}$।
मूलों का गुणनफल: $b = y_1 y_2 = (\frac{1}{\alpha^{2}}+1)(\frac{1}{\beta^{2}}+1) = \frac{1}{(\alpha \beta)^{2}} + \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 1 = \frac{1}{6} + \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 1 = \frac{1+2-2\sqrt{6}+6}{6} = \frac{9-2\sqrt{6}}{6}$।
अब,समीकरण $x^{2}-(a+b-2)x+(a+b+2)=0$ पर विचार करें।
$a+b = -\frac{7-\sqrt{6}}{3} + \frac{9-2\sqrt{6}}{6} = \frac{-14+2\sqrt{6}+9-2\sqrt{6}}{6} = -\frac{5}{6}$।
समीकरण $x^{2}-(-\frac{5}{6}-2)x+(-\frac{5}{6}+2) = 0$ बन जाता है,जो $x^{2} + \frac{17}{6}x + \frac{7}{6} = 0$ या $6x^{2}+17x+7=0$ है।
मूल $x = \frac{-17 \pm \sqrt{289 - 168}}{12} = \frac{-17 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{-17 \pm 11}{12}$ हैं।
$x_1 = -\frac{28}{12} = -\frac{7}{3}$ और $x_2 = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$।
दोनों मूल वास्तविक और ऋणात्मक हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax^{2} + bx + c$ है।
हमें $f(1) = 3$,$f(-2) = \lambda$,$f(3) = 4$ और $f(0) + f(1) + f(-2) + f(3) = 14$ दिया गया है।
योग समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0) + 3 + \lambda + 4 = 14$
$f(0) + 7 + \lambda = 14$
$f(0) = 7 - \lambda$.
चूंकि $f(0) = a(0)^{2} + b(0) + c = c$,इसलिए $c = 7 - \lambda$ है।
अब,समीकरणों की प्रणाली बनाने के लिए दिए गए मानों का उपयोग करें:
$f(1) = a + b + c = 3 \implies a + b = 3 - c = 3 - (7 - \lambda) = \lambda - 4$ (समीकरण $1$)
$f(3) = 9a + 3b + c = 4 \implies 9a + 3b = 4 - c = 4 - (7 - \lambda) = \lambda - 3$ (समीकरण $2$)
$f(-2) = 4a - 2b + c = \lambda \implies 4a - 2b = \lambda - c = \lambda - (7 - \lambda) = 2\lambda - 7$ (समीकरण $3$)
समीकरण $1$ से,$b = \lambda - 4 - a$ है। इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9a + 3(\lambda - 4 - a) = \lambda - 3$
$9a + 3\lambda - 12 - 3a = \lambda - 3$
$6a = -2\lambda + 9 \implies a = \frac{9 - 2\lambda}{6}$।
$a$ का मान समीकरण $3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(\frac{9 - 2\lambda}{6}) - 2b = 2\lambda - 7$
$2(\frac{9 - 2\lambda}{3}) - 2b = 2\lambda - 7$
$b = \frac{9 - 2\lambda}{3} - (\lambda - \frac{7}{2}) = \frac{18 - 4\lambda - 6\lambda + 21}{6} = \frac{39 - 10\lambda}{6}$।
$a + b = \lambda - 4$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{9 - 2\lambda}{6} + \frac{39 - 10\lambda}{6} = \lambda - 4$
$48 - 12\lambda = 6\lambda - 24$
$18\lambda = 72 \implies \lambda = 4$.

(B) वृत्त का समीकरण $(x-2)^{2} + y^{2} = 1$ है,जिसका केंद्र $C(2,0)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के लिए स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ के अनुसार $2x = 3$ अर्थात $x = \frac{3}{2}$ है।
केंद्र $C(2,0)$ से जीवा $AB$ की लंबवत दूरी $d = |2 - \frac{3}{2}| = \frac{1}{2}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^{2} - d^{2}} = 2\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ है।
त्रिभुज $OAB$ में आधार $AB = \sqrt{3}$ और ऊँचाई $OM = \frac{3}{2}$ है।
अतः,त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
परवलय के लिए,नाभि $(ae, 0)$ है और नियता $x = -ae$ है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $2ae$ है। परवलय के लिए यह दूरी $2p$ है,इसलिए $p = ae$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4p = 4ae$ है।
$H$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a}$ है।
दिया गया है $4ae = e \times \frac{2b^{2}}{a}$,जिससे $b^{2} = 2a^{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ $H$ पर स्थित है,$\frac{8}{a^{2}} - \frac{8}{b^{2}} = 1$ है। $b^{2} = 2a^{2}$ रखने पर,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 8$ प्राप्त होता है।
अतः $e = \sqrt{3}$ है।
परवलय का समीकरण $y^{2} = 4(ae)x = 8\sqrt{3}x$ है।
बिंदु $(3\sqrt{3}, -6\sqrt{2})$ की जाँच करने पर,$y^{2} = 72$ और $8\sqrt{3}x = 72$ प्राप्त होता है। अतः यह बिंदु परवलय पर स्थित है।

(B) माना $OP = h$ है। चूंकि $OP$ ऊर्ध्वाधर है,$\triangle OPA$,$\triangle OPB$,और $\triangle OPC$ बिंदु $O$ पर समकोण बनाते हैं।
$AB = 16$ और $C$ मध्यबिंदु है,इसलिए $AC = CB = 8$ है।
$\triangle OPA$ में,$\tan 15^{\circ} = \frac{OP}{OA} \Rightarrow OA = h \cot 15^{\circ}$ है।
$\triangle OPC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{OP}{OC} \Rightarrow OC = h$ है।
$\triangle OAC$ में,$\angle OCA = 90^{\circ}$ है,इसलिए $OA^{2} = OC^{2} + AC^{2}$ है।
मान रखने पर: $(h \cot 15^{\circ})^{2} = h^{2} + 8^{2}$ है।
$h^{2} (\cot^{2} 15^{\circ} - 1) = 64$ है।
$\cot 15^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$\cot^{2} 15^{\circ} = 7 + 4\sqrt{3}$ है।
$h^{2} (6 + 4\sqrt{3}) = 64 \Rightarrow h^{2} = \frac{32}{3 + 2\sqrt{3}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $h^{2} = \frac{32}{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए कथन हैं:
$p$: रमेश संगीत सुनता है।
$q$: रमेश अपने गाँव से बाहर है।
$r$: रविवार है।
$s$: शनिवार है।
हमें कथन "रमेश संगीत तभी सुनता है यदि वह अपने गाँव में है और रविवार या शनिवार है" का अनुवाद करना है।
$1$. "रमेश अपने गाँव में है" का अर्थ "रमेश अपने गाँव से बाहर है" का निषेध है,जो $\sim q$ है।
$2$. "रविवार या शनिवार है" का अर्थ $r \vee s$ है।
$3$. वाक्यांश "$p$ केवल यदि $A$" तार्किक रूप से $p \Rightarrow A$ के बराबर है।
अतः,कथन $p \Rightarrow ((\sim q) \wedge (r \vee s))$ बनता है।

(A) $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$ का मध्य पद $3^{rd}$ पद है: $T_{3} = {}^{4}C_{2} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2} (\beta x)^{2} = \beta^{2} x^{2}$. गुणांक $\beta^{2}$ है।
$(1-3 \beta x)^{2}$ का मध्य पद $2^{nd}$ पद है: $T_{2} = {}^{2}C_{1} (1)^{1} (-3 \beta x)^{1} = -6 \beta x$. गुणांक $-6 \beta$ है।
$\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ का मध्य पद $4^{th}$ पद है: $T_{4} = {}^{6}C_{3} (1)^{3} \left(-\frac{\beta}{2} x\right)^{3} = -\frac{5}{2} \beta^{3} x^{3}$. गुणांक $-\frac{5}{2} \beta^{3}$ है।
चूंकि ये $A.P.$ में हैं,$2(-6 \beta) = \beta^{2} - \frac{5}{2} \beta^{3}$.
$\beta > 0$ होने के कारण,$\beta = \frac{12}{5}$.
$d = -6 \beta - \beta^{2} = -\frac{504}{25}$.
$50 - \frac{2d}{\beta^{2}} = 50 + 7 = 57$.

(A) लड़कों में से $3$ लड़कों और $g$ लड़कियों में से $2$ लड़कियों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{b}C_{3} \times {}^{g}C_{2} = 168$ द्वारा दी जाती है।
संयोजन का विस्तार करने पर: $\frac{b(b-1)(b-2)}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{g(g-1)}{2 \times 1} = 168$.
$b(b-1)(b-2) \times g(g-1) = 168 \times 12 = 2016$.
$b$ और $g$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर: यदि $b=8$ है,तो ${}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.
तब ${}^{g}C_{2} = \frac{168}{56} = 3$.
${}^{g}C_{2} = 3$ के लिए,$\frac{g(g-1)}{2} = 3$,जिससे $g(g-1) = 6$ प्राप्त होता है,जो $g=3$ देता है।
अतः,$b=8$ और $g=3$.
$b + 3g = 8 + 3(3) = 8 + 9 = 17$.

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ है। यहाँ $a^{2} = 2$ और $b^{2} = 4$ है। मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{2})$ हैं। अतः $S = (0, -\sqrt{2})$.
$R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ से स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा $\frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{y(2\sqrt{2}-2)}{4} = 1$ है,जो $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y(\sqrt{2}-1)}{2} = 1$ में सरल होती है।
दीर्घवृत्त के साथ हल करने पर,$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(1, \sqrt{2})$ और $(\sqrt{2}, 0)$ प्राप्त होते हैं।
$SP^{2} = (1-0)^{2} + (\sqrt{2} + \sqrt{2})^{2} = 1 + 8 = 9$.
$SQ^{2} = (\sqrt{2}-0)^{2} + (0 + \sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$.
अतः,$SP^{2} + SQ^{2} = 9 + 4 = 13$.

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} = 2^{n}$ होता है।
अतः,$1 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49} = 2^{49}$।
इसलिए,पहला पद $(2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49}) = 1 + (1 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49}) = 1 + 2^{49}$ होगा।
दूसरे पद के लिए,हम जानते हैं कि $\sum_{k \text{ even}} {}^{n}C_{k} = 2^{n-1}$।
अतः,${}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50} = 2^{50-1} - {}^{50}C_{0} = 2^{49} - 1$।
व्यंजक $1 + (1 + 2^{49})(2^{49} - 1) = 1 + (2^{98} - 1) = 2^{98}$ हो जाता है।
$2^{98}$ की तुलना $2^{n} \cdot m$ से करने पर,हमें $n = 98$ और $m = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n + m = 98 + 1 = 99$।

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = -\frac{1}{2}x$ है।
$y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = -\frac{1}{2}$,अतः $a = -\frac{1}{8}$।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - \frac{1}{8m}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(2,0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = 2m - \frac{1}{8m}$,जिसका अर्थ है $2m = \frac{1}{8m}$,अतः $m^{2} = \frac{1}{16}$,यानी $m = \pm \frac{1}{4}$।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x - 4y - 2 = 0$ और $x + 4y - 2 = 0$ हैं।
ये रेखाएँ वृत्त $(x-5)^{2} + y^{2} = r$ को स्पर्श करती हैं। केंद्र $(5,0)$ से रेखा $x \pm 4y - 2 = 0$ की दूरी त्रिज्या $\sqrt{r}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{r} = \frac{|5 - 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r = \frac{9}{17}$।
अतः,$17r = 9$।

(D) माना $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \dots + \frac{10 \cdot 2^{10}}{3}$.
श्रेणी को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \dots + \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right)$.
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = 1$,$r = \frac{2}{3}$,और $n = 11$ पद हैं।
योग $= \frac{1(1 - (2/3)^{11})}{1 - 2/3} = 3 \left( 1 - \frac{2^{11}}{3^{11}} \right) = 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}}$.
यह मान रखने पर: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}} \right) = \frac{6}{3^{12}} + \frac{30}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{96}{3^{12}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{32}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}}$.
$2^n \cdot m$ के रूप में देखने पर,$n = 12$ और $m = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m \cdot n = 12$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta(1 + \sqrt{5} \tan 2\theta) = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \sqrt{5} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{5}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
$\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{5}$
$\tan(3\theta) = \sqrt{5}$
मान लीजिए $\tan \alpha = \sqrt{5}$,जहाँ $\alpha \in (0, \pi/2)$ है। अतः $3\theta = n\pi + \alpha$,यानी $\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\alpha}{3}$।
$\theta \in [-\pi, \pi/2)$ के लिए $n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n = -3, -2, -1, 0, 1$ के लिए $5$ हल प्राप्त होते हैं जो $S$ में स्थित हैं।

(B) दिया गया है $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$। दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$।
चूंकि $|\overline{z}| = |z|$,इसलिए $|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$।
चूंकि $b \neq 0$,इसलिए $z \neq 0$,अतः $|z| = 2^{1-|z|}$।
निरीक्षण द्वारा,$|z| = 1$ समीकरण को संतुष्ट करता है $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$।
मूल समीकरण में $|z| = 1$ रखने पर,$z^{2} = \overline{z}$।
$z$ से गुणा करने पर,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$।
अतः,$z$ इकाई का घनमूल है,अर्थात $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$,जहाँ $\omega = e^{i2\pi/3}$।
हमें $n \in N$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $z^{n} = (z + 1)^{n}$ हो।
चूंकि $1 + \omega = -\omega^{2}$,समीकरण $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ बन जाता है।
इसका अर्थ है $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,या $\omega^{n} = (-1)^{n}$।
यदि $n = 3$,तो $\omega^{3} = 1$ और $(-1)^{3} = -1$ (बराबर नहीं)।
यदि $n = 6$,तो $\omega^{6} = 1$ और $(-1)^{6} = 1$। अतः,$n = 6$ न्यूनतम प्राकृतिक संख्या है।

(B) प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
विकल्प $B$ के लिए: $* = \vee, \odot = \vee$.
व्यंजक $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q)$ बन जाता है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर: $p \vee p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
चूंकि परिणाम $T$ (पुनरुक्ति) है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $s = \sin t$ और $c = \cos t$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $(h, k)$ केंद्रक के साथ संपाती होता है।
केंद्रक $(h, k)$ का मान $h = \frac{a + s + c}{3}$ और $k = \frac{b - c + s}{3}$ है।
अतः,$3h - a = s + c$ और $3k - b = s - c$ है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - a)^2 + (3k - b)^2 = (s + c)^2 + (s - c)^2 = 2(s^2 + c^2) = 2$ प्राप्त होता है।
$9$ से भाग देने पर:
$(h - a/3)^2 + (k - b/3)^2 = 2/9$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(a/3, b/3)$ है।
वृत्त का केंद्र $(1, 1/3)$ दिया गया है,इसलिए $a/3 = 1$ और $b/3 = 1/3$ है।
अतः,$a = 3$ और $b = 1$ है।
अंत में,$a^2 - b^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$ है।

(D) मान लीजिए कि कुल उम्मीदवारों की संख्या $100$ है।
दिया गया है कि $60 \%$ महिलाएं और $40 \%$ पुरुष हैं,इसलिए $60$ महिलाएं और $40$ पुरुष हैं।
परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले कुल उम्मीदवार $= 100$ का $60 \% = 60$ हैं।
मान लीजिए कि परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले पुरुषों की संख्या $x$ है।
तो परीक्षा उत्तीर्ण करने वाली महिलाओं की संख्या $2x$ है।
चूंकि कुल उत्तीर्ण उम्मीदवार $60$ हैं,इसलिए $x + 2x = 60$,जिससे $3x = 60$ प्राप्त होता है,अतः $x = 20$ है।
इस प्रकार,उत्तीर्ण होने वाले पुरुषों की संख्या $20$ है और उत्तीर्ण होने वाली महिलाओं की संख्या $2 \times 20 = 40$ है।
$60$ उत्तीर्ण उम्मीदवारों में से एक उम्मीदवार को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।
चुने गए उम्मीदवार के महिला होने की प्रायिकता $= \frac{\text{उत्तीर्ण महिलाओं की संख्या}}{\text{कुल उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = 2x - 3$ है।
बिंदु $R(0, 1)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$y(1) = 1(x + 0) - 3 \implies y = x - 3$.
$x = y + 3$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^{2} = 2(y + 3) - 3 = 2y + 3$.
$y^{2} - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
अतः,$y = 3$ या $y = -1$.
$y = 3$ के लिए $x = 6$ और $y = -1$ के लिए $x = 2$.
अतः,बिंदु $P(2, -1)$ और $Q(6, 3)$ हैं।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3 - (-1)}{6 - 2} = 1$ है।
$PR$ की ढाल $m_{PR} = \frac{1 - (-1)}{0 - 2} = -1$ है।
चूंकि $m_{PQ} \times m_{PR} = -1$,इसलिए त्रिभुज $PQR$,$P$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $P(2, -1)$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-x+2y=\frac{11}{4}$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x-\frac{1}{2})^{2}+(y+1)^{2}=4=2^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्या $r=2$ और केंद्र $C(\frac{1}{2}, -1)$ है।
$\triangle PQR$ में,$CP=CQ=CR=r=2$.
$C$ से गुजरने वाली रेखा $CP$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए $\angle PCQ = \angle PCR = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle PCQ$ में,$CP=CQ=2$ और $\angle PCQ = \frac{\pi}{4}$.
आधार $QR = 2r \sin(\frac{\angle QCR}{2}) = 2(2) \sin(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$.
$P$ से $QR$ पर लंब $h = r \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times QR \times h = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 2$.

(C) हमें $7^{2022} + 3^{2022}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $7 \equiv 2 \pmod{5}$ और $3 \equiv -2 \pmod{5}$ है।
अतः,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + (-2)^{2022} \pmod{5}$.
चूंकि $2022$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-2)^{2022} = 2^{2022}$ होगा।
इस प्रकार,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023} \pmod{5}$.
हम जानते हैं कि $2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$ है।
इसलिए,$2^{2023} = 2^{4 \times 505 + 3} = (2^4)^{505} \times 2^3 \equiv 1^{505} \times 8 \equiv 8 \pmod{5}$.
अंत में,$8 \equiv 3 \pmod{5}$ है।
शेषफल $3$ है।

(C) दिया गया है $|z_{2}-|z_{2}+1||=|z_{2}+|z_{2}-1||$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|z_{2}-|z_{2}+1||^2 = |z_{2}+|z_{2}-1||^2$
इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है $z_{2}+\bar{z}_{2}=0$ (काल्पनिक अक्ष) या $|z_{2}-1| + |z_{2}+1| = 2$ (वास्तविक अक्ष पर $-1$ से $1$ तक का रेखाखंड)।
$S_{1}$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $3$ और त्रिज्या $\frac{1}{2}$ है।
$S_{2}$ से वृत्त के केंद्र तक की दूरी न्यूनतम दूरी है।
वृत्त के सबसे निकटतम बिंदु $z_{2}=1$ है। अतः दूरी $|3-1| - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(C) दिया गया है $a_{n+2} = \frac{2}{a_{n+1}} + a_{n}$,जिससे $a_{n+2} a_{n+1} - a_{n+1} a_{n} = 2$ प्राप्त होता है।
माना $b_{n} = a_{n} a_{n+1}$,तब $b_{n+1} - b_{n} = 2$,जो एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $b_{1} = 2$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
अतः $b_{n} = 2n$.
अब,$\frac{a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{a_{n+2}} = \frac{b_{n} + 1}{b_{n+1}} = \frac{2n + 1}{2(n+1)}$.
गुणनफल $P = \prod_{n=1}^{30} \frac{2n+1}{2(n+1)} = \frac{3 \cdot 5 \cdots 61}{2^{30} \cdot 31!} = \frac{61!}{2^{60} \cdot 31! \cdot 30!} = 2^{-60} \cdot {}^{61}C_{31}$.
अतः $\alpha = -60$.

(C) कुल उपलब्ध अक्षरों की संख्या $5 \text{ (वर्णमाला)} + 5 \text{ (संख्या)} = 10$ है।
$n$ लंबाई के पासवर्डों की संख्या $10^{n}$ है।
बिना किसी संख्या वाले (अर्थात केवल वर्णमाला वाले) $n$ लंबाई के पासवर्डों की संख्या $5^{n}$ है।
कम से कम एक संख्या वाले $n$ लंबाई के पासवर्डों की संख्या $10^{n} - 5^{n}$ है।
$6, 7$ और $8$ लंबाई के पासवर्डों के लिए,ऐसे पासवर्डों की कुल संख्या:
$(10^{6} - 5^{6}) + (10^{7} - 5^{7}) + (10^{8} - 5^{8})$
$= (10^{6} + 10^{7} + 10^{8}) - (5^{6} + 5^{7} + 5^{8})$
$= 10^{6}(1 + 10 + 100) - 5^{6}(1 + 5 + 25)$
$= 10^{6}(111) - 5^{6}(31)$
$= (2^{6} \times 5^{6}) \times 111 - 5^{6} \times 31$
$= 5^{6} \times (64 \times 111 - 31)$
$= 5^{6} \times (7104 - 31)$
$= 5^{6} \times 7073$
चूंकि यह $\alpha \times 5^{6}$ के बराबर है,इसलिए $\alpha = 7073$ प्राप्त होता है।

(A) $f(x) = (x - p)^2 - q = 0$ के मूल $x = p \pm \sqrt{q}$ हैं।
मूलों के बीच का निरपेक्ष अंतर $|(p + \sqrt{q}) - (p - \sqrt{q})| = 2\sqrt{q}$ है।
दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, a_4$ समांतर श्रेणी में हैं,अतः $a_1 = p - \frac{3d}{2}, a_2 = p - \frac{d}{2}, a_3 = p + \frac{d}{2}, a_4 = p + \frac{3d}{2}$।
$|f(a_i)| = 500$ होने के कारण,$|(a_i - p)^2 - q| = 500$ है।
$i=4$ के लिए,$|\frac{9d^2}{4} - q| = 500$ और $i=2$ के लिए,$|\frac{d^2}{4} - q| = 500$ है।
समीकरणों को हल करने पर,$2d^2 = 1000 \Rightarrow d^2 = 500$ और $q = 625$ प्राप्त होता है।
मूलों के बीच का अंतर $2\sqrt{q} = 2\sqrt{625} = 50$ है।

(D) अतिपरवलय $H: x^{2} - y^{2} = 1$ के लिए,$e_{H} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
दिया है $e_{E} = \frac{1}{e_{H}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $e_{E}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a^{2} = 2b^{2}$.
रेखा $y = mx + K$,$H: x^{2} - y^{2} = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि $K^{2} = a_{H}^{2}m^{2} - b_{H}^{2} = 1(\frac{5}{2}) - 1 = \frac{3}{2}$.
रेखा $y = mx + K$,$E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि $K^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$.
$K^{2} = \frac{3}{2} = a^{2}(\frac{5}{2}) + b^{2}$ को बराबर करने पर.
$a^{2} = 2b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3}{2} = (2b^{2})(\frac{5}{2}) + b^{2} = 5b^{2} + b^{2} = 6b^{2}$.
अतः,$b^{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ और $a^{2} = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$4(a^{2} + b^{2}) = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.

(D) पद $x_{i} = 3 \times (\frac{1}{2})^{i-1}$ हैं।
हमें माध्य $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_{i} - i)^{2}$ ज्ञात करना है।
योग का विस्तार करने पर: $\sum_{i=1}^{20} (x_{i}^{2} - 2ix_{i} + i^{2}) = \sum x_{i}^{2} - 2 \sum ix_{i} + \sum i^{2}$.
$1$. $\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 9$ और अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है। योग $= \frac{9(1 - (1/4)^{20})}{1 - 1/4} = 12(1 - \frac{1}{2^{40}})$.
$2$. $\sum_{i=1}^{20} i^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$3$. $\sum_{i=1}^{20} ix_{i} = 3(1) + 3(\frac{1}{2})(2) + 3(\frac{1}{4})(3) + \ldots + 3(\frac{1}{2^{19}})(20)$। यह एक $AGP$ है।
$AGP$ के सूत्र का उपयोग करने पर,$S = 12 - \frac{264}{2^{20}}$.
माध्य के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\bar{x} = \frac{1}{20} [12(1 - \frac{1}{2^{40}}) - 2(12 - \frac{264}{2^{20}}) + 2870] \approx 142.9$.
$\bar{x}$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक $142$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{(x+2 \cos x)^{3}+2(x+2 \cos x)^{2}+3 \sin (x+2 \cos x)}{(x+2)^{3}+2(x+2)^{2}+3 \sin (x+2)}$.
जब $x \rightarrow 0$,तब $f(x) \rightarrow \frac{2^3 + 2(2^2) + 3 \sin 2}{2^3 + 2(2^2) + 3 \sin 2} = 1$.
यह $1^{\infty}$ रूप है।
सूत्र $\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{100}{x} \left( \frac{(x+2 \cos x)^{3}+2(x+2 \cos x)^{2}+3 \sin (x+2 \cos x) - (x+2)^{3}-2(x+2)^{2}-3 \sin (x+2)}{(x+2)^{3}+2(x+2)^{2}+3 \sin (x+2)} \right)}$.
माना $h(u) = u^3 + 2u^2 + 3 \sin u$. तब $f(x) = \frac{h(x+2 \cos x)}{h(x+2)}$.
जब $x \rightarrow 0$,तब $f(x) - 1 = \frac{h(x+2 \cos x) - h(x+2)}{h(x+2)}$.
अवकलन $h'(u) = 3u^2 + 4u + 3 \cos u$ का उपयोग करने पर,सीमा $e^{100 \cdot \frac{h'(2) \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+2 \cos x) - (x+2)}{x}}{h(2)}}$ हो जाती है।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x - 2}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin x}{1} = 0$,घातांक $0$ है।
अतः,$L = e^0 = 1$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{3 x^{2}-9 x+17}{x^{2}+3 x+10}=\frac{5 x^{2}-7 x+19}{3 x^{2}+5 x+12}$
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{(x^{2}+3 x+10) + (2 x^{2}-12 x+7)}{x^{2}+3 x+10} = \frac{(3 x^{2}+5 x+12) + (2 x^{2}-12 x+7)}{3 x^{2}+5 x+12}$
$1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{x^{2}+3 x+10} = 1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{3 x^{2}+5 x+12}$
$(2 x^{2}-12 x+7) \left( \frac{1}{x^{2}+3 x+10} - \frac{1}{3 x^{2}+5 x+12} \right) = 0$
स्थिति $1$: $2 x^{2}-12 x+7 = 0$. मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -(\frac{-12}{2}) = 6$ है। विविक्तकर $D = 88 > 0$ है,अतः दोनों मूल वास्तविक हैं।
स्थिति $2$: $x^{2}+3 x+10 = 3 x^{2}+5 x+12 \implies x^{2}+x+1 = 0$. विविक्तकर $D = -3 < 0$ है,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$x$ के सभी वास्तविक मानों का योग $6$ है।

(D) माना $|z| = r$ है। त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$||z| - |1/z|| \leq |z - 1/z| \leq |z| + |1/z|$.
दिया गया है $|z - 1/z| = 2$,इसलिए $|r - 1/r| \leq 2 \leq r + 1/r$.
असमिका $|r - 1/r| \leq 2$ को लेने पर,$-2 \leq r - 1/r \leq 2$.
चूँकि $r > 0$,हम $r - 1/r \leq 2$ पर विचार करते हैं,जिससे $r^2 - 2r - 1 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $r^2 - 2r - 1 = 0$ को हल करने पर,$r = 1 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r = |z| > 0$,$r$ का परिसर $0 < r \leq 1 + \sqrt{2}$ है।
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1 + \sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया संबंध: $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_{n} + 1$ जहाँ $a_{0} = 0, a_{1} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_{n}) + 1$.
माना $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$. तब $b_{n+1} = 2b_{n} + 1$.
चूँकि $b_{0} = a_{1} - a_{0} = 0$,हमें $b_{n} = 2^{n} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} (2^{k} - 1) = (2^{n} - 1) - n$.
हमें $X = (a_{25} - 2a_{24})(a_{23} - 2a_{22})$ की गणना करनी है।
$a_{n} - 2a_{n-1} = n - 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a_{25} - 2a_{24} = 24$ और $a_{23} - 2a_{22} = 22$.
$X = 24 \times 22 = 528$.

(A) हमें योग $S = \sum_{r=1}^{20} (r^{2}+1)r!$ का मूल्यांकन करना है।
पद $(r^{2}+1)$ को $(r(r+1) - (r-1))$ के रूप में लिखें।
अतः,$(r^{2}+1)r! = r(r+1)! - (r-1)r!$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \sum_{r=1}^{20} [r(r+1)! - (r-1)r!] = 20(21!) - 0 = 20 \times 21!$।
इसे $22! - 2(21!)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) चूँकि $m_{1}, m_{2}$ वर्ग की आसन्न भुजाओं के ढाल हैं,$m_{1} m_{2} = -1$,इसलिए $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}}$.
दिया गया समीकरण $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})=220$ है,जो $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+\frac{1}{m_{1}^{2}})=220$ बन जाता है।
विकर्ण का समीकरण $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y = 10$ है। इसका ढाल $M = \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha} = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$ है।
वर्ग की भुजाएँ विकर्ण के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती हैं। अतः $m = \tan \alpha$ या $m = \cot \alpha$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$m_{1}^{2}+m_{2}^{2} = \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$.
शीर्ष से $a=10$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $a=10$ रखने पर: $100 + 110 + 3(\tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha) = 220 \Rightarrow \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha = \frac{10}{3}$.
इससे $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = \frac{5}{8}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$72(\frac{5}{8}) + 100 - 30 + 13 = 45 + 83 = 128$.

(A) दिया गया समीकरण: $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 4^{x} + 4^{-x}$
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) \leq 2$.
$R$.$H$.$S$. के लिए,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$\frac{4^{x} + 4^{-x}}{2} \geq \sqrt{4^{x} \cdot 4^{-x}} = 1$,जिसका अर्थ है $4^{x} + 4^{-x} \geq 2$.
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,दोनों पक्षों का मान $2$ होना चाहिए।
$2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 2 \implies \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 1$
$4^{x} + 4^{-x} = 2 \implies (2^{x} - 2^{-x})^{2} + 2 = 2 \implies 2^{x} = 2^{-x} \implies x = 0$.
$x = 0$ को कोसाइन भाग में रखने पर: $\cos \left(\frac{0^{2}+0}{6}\right) = \cos(0) = 1$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समुच्चय $S$ में केवल $1$ अवयव है।

(B) दिए गए शीर्ष $A(\alpha, -2)$,$B(\alpha, 6)$,और $C\left(\frac{\alpha}{4}, -2\right)$ हैं।
चूंकि $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा $(x = \alpha)$ है और $AC$ एक क्षैतिज रेखा $(y = -2)$ है,$\triangle ABC$ बिंदु $A$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्य बिंदु होता है।
$BC$ का मध्य बिंदु $= \left(\frac{\alpha + \frac{\alpha}{4}}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5\alpha}{8}, 2\right)$.
दिया गया परिकेंद्र $\left(5, \frac{\alpha}{4}\right)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{5\alpha}{8} = 5 \implies \alpha = 8$ और $\frac{\alpha}{4} = 2 \implies \alpha = 8$.
अतः,$A(8, -2)$,$B(8, 6)$,और $C(2, -2)$.
भुजाओं की लंबाई: $AB = |6 - (-2)| = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$,और $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
परिमाप $= AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$.
परित्रिज्या $R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
विकल्पों की तुलना करने पर,परिमाप $24$ है,$25$ नहीं। अतः,विकल्प $B$ गलत है।

(B) $z = x + iy$ के लिए दी गई शर्तें:
$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow 2y \geq 2x - 2 \Rightarrow y \geq x - 1$.
$2) |z + i| = |z - 1| \Rightarrow |x + i(y + 1)| = |(x - 1) + iy| \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \Rightarrow 2y = -2x \Rightarrow y = -x$.
$3) |z| < 2 \Rightarrow x^2 + y^2 < 4$.
शर्तों में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)$ से,$-x \geq x - 1 \Rightarrow 2x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
$(3)$ से,$x^2 + (-x)^2 < 4 \Rightarrow 2x^2 < 4 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
अतः,$z$ रेखाखंड $y = -x$ पर $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ के लिए स्थित है।
अब,$w = 2x + iy \in S$ किसी $y \in \mathbb{R}$ के लिए। चूँकि $z = x + iy \in S$,हमारे पास $y = -x$ है। अतः $w = 2x - ix$। मान लीजिए $w = X + iY$,जहाँ $X = 2x$ और $Y = -x$ है। तो $Y = -X/2$ है।
चूँकि $z \in S$,हमारे पास $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ है। अतः $X = 2x \in (-2\sqrt{2}, 1]$ है।
हालाँकि,$w \in S$ शर्त यह दर्शाती है कि $w$ को $z$ जैसी ही शर्तों का पालन करना चाहिए। विशेष रूप से,$w = X + iY$ को $Y = -X$ और $X^2 + Y^2 < 4$ का पालन करना चाहिए। $Y = -X$ को $X^2 + Y^2 < 4$ में रखने पर $2X^2 < 4 \Rightarrow X^2 < 2 \Rightarrow X \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$Y \geq X - 1 \Rightarrow -X \geq X - 1 \Rightarrow 2X \leq 1 \Rightarrow X \leq 1/2$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$X \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,वास्तविक भाग $X$ के लिए सही समुच्चय $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$ है।

(B) दिया गया कथन: $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$
सर्वसमिका $(p \Rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ का उपयोग करते हुए:
$= (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
$= \sim p \vee (q \vee r)$
$= p \Rightarrow (q \vee r)$
यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
अब अन्य विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(A): (p \wedge \sim r)$ $\Rightarrow q
\equiv \sim(p \wedge \sim r) \vee q
\equiv (\sim p \vee r) \vee q
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (समतुल्य है)
विकल्प $(D): (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow r
\equiv \sim(p \wedge \sim q) \vee r
\equiv (\sim p \vee q) \vee r
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (समतुल्य है)
विकल्प $(B): (\sim q)$ $\Rightarrow ((\sim r) \vee p)
\equiv \sim(\sim q) \vee (\sim r \vee p)
\equiv q \vee \sim r \vee p
\equiv p \vee q \vee \sim r$. (जो $p \Rightarrow (q \vee r)$ के समतुल्य नहीं है)।

(D) दिया गया है $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ और द्विघात समीकरण $x^{2} - x - 4 = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2} = \alpha + 4$ और $\beta^{2} = \beta + 4$ है।
$P_{n} - P_{n-1} = (\alpha^{n} - \beta^{n}) - (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}) = \alpha^{n-1}(\alpha - 1) - \beta^{n-1}(\beta - 1)$ है।
$\alpha^{2} - \alpha = 4$ होने के कारण,$\alpha - 1 = \frac{4}{\alpha}$ और $\beta - 1 = \frac{4}{\beta}$ है।
अतः,$P_{n} - P_{n-1} = 4(\alpha^{n-2} - \beta^{n-2}) = 4P_{n-2}$ है।
अब,व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(P_{15} - P_{14})(P_{16} - P_{15})}{P_{13} P_{14}}$ प्राप्त होता है।
संबंध $P_{n} - P_{n-1} = 4P_{n-2}$ का उपयोग करने पर,$P_{15} - P_{14} = 4P_{13}$ और $P_{16} - P_{15} = 4P_{14}$ मिलता है।
मान रखने पर: $\frac{(4P_{13})(4P_{14})}{P_{13} P_{14}} = 16$।

(B) एक संख्या $55$ से विभाज्य है यदि वह $5$ और $11$ दोनों से विभाज्य हो।
$5$ से विभाज्यता के लिए अंतिम अंक $5$ होना चाहिए।
$4$ अंकों की संख्याओं के लिए,$11$ की विभाज्यता की जाँच करने पर कुल $6$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
$5$ अंकों की संख्याएँ $23421$ से बड़ी होने के कारण संभव नहीं हैं।
अतः,कुल $6$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(B) हमें योग $S = \sum_{k=1}^{10} k^{2} \binom{10}{k}^{2}$ दिया गया है।
सर्वसमिका $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $k \binom{10}{k} = 10 \binom{9}{k-1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{10} (10 \binom{9}{k-1})^{2} = 100 \sum_{k=1}^{10} \binom{9}{k-1}^{2}$.
माना $j = k-1$,तब जैसे $k$,$1$ से $10$ तक जाता है,$j$,$0$ से $9$ तक जाता है:
$S = 100 \sum_{j=0}^{9} \binom{9}{j}^{2}$.
सर्वसमिका $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}^{2} = \binom{2n}{n}$ का उपयोग करने पर:
$S = 100 \binom{18}{9} = 100 \times 48620 = 4862000$.
दिया है $S = 22000 L$,अतः $22000 L = 4862000$.
$L = \frac{4862000}{22000} = \frac{4862}{22} = 221$.

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$ है।
मान लीजिए $C$ वृत्त का केंद्र है और $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। चूंकि $AB = 12$,इसलिए $AM = 6$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AMC$ में,$AC = \frac{13}{2}$ और $AM = 6$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 6^2} = \sqrt{\frac{169}{4} - 36} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ है।
मान लीजिए $\angle ACM = \theta$ है। तब $\sin \theta = \frac{AM}{AC} = \frac{12}{13}$ और $\cos \theta = \frac{CM}{AC} = \frac{5}{13}$ है।
$\triangle PAC$ में,$\angle PAC = 90^\circ$ है क्योंकि $PA$ एक स्पर्श रेखा है।
$\triangle PAC$ में,$AM$ कर्ण $PC$ पर लंब है। इसलिए,$AM^2 = PM \cdot MC$ है।
$6^2 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies 36 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies PM = \frac{72}{5}$ है।
बिंदु $P$ की जीवा $AB$ से दूरी $PM$ है।
अतः,$5(PM) = 5 \cdot \frac{72}{5} = 72$ है।

(B) समुच्चय $S$ उन बिंदुओं $(x, y)$ को दर्शाता है जहाँ $x, y \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) दीर्घवृत्त $\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{9} \leq 1$ के अंदर या उस पर स्थित हैं।
चूँकि $x, y \geq 1$,हम $x$ और $y$ के पूर्णांक मानों की जाँच करते हैं:
$x=1$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=2$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=3$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x=4$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=5$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
अब जाँचें कि इनमें से कौन से बिंदु $T: (x-7)^2 + (y-4)^2 \leq 36$ को संतुष्ट करते हैं।
$x=1$ के लिए: $(1, 4)$ ($1$ बिंदु)।
$x=2$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
$x=3$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ बिंदु)।
$x=4$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
$x=5$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
कुल बिंदु $= 1 + 6 + 7 + 6 + 6 = 26$।

(A) दिया गया है $z = 2 + 3i$,अतः $\bar{z} = 2 - 3i$ है।
हमें $z^{5} + (\bar{z})^{5} = (2 + 3i)^{5} + (2 - 3i)^{5}$ का मान ज्ञात करना है।
द्विपद विस्तार $(a+b)^{n} + (a-b)^{n} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ का उपयोग करने पर:
$z^{5} + (\bar{z})^{5} = 2 [\binom{5}{0} 2^{5} + \binom{5}{2} 2^{3} (3i)^{2} + \binom{5}{4} 2^{1} (3i)^{4}]$
$= 2 [1 \times 32 + 10 \times 8 \times (-9) + 5 \times 2 \times 81]$
$= 2 [32 - 720 + 810]$
$= 2 [122]$
$= 244$.

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{(20k-a)(20(k+1)-a)} = \frac{1}{256}$ है।
आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(20k-a)(20(k+1)-a)} = \frac{1}{20} \left( \frac{1}{20k-a} - \frac{1}{20(k+1)-a} \right)$.
$k=1$ से $9$ तक योग करने पर,हमें एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$\frac{1}{20} \left( \left( \frac{1}{20-a} - \frac{1}{40-a} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{180-a} - \frac{1}{200-a} \right) \right) = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{20} \left( \frac{1}{20-a} - \frac{1}{200-a} \right) = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{20} \left( \frac{180}{(20-a)(200-a)} \right) = \frac{1}{256}$.
$(20-a)(200-a) = 9 \times 256 = 2304$.
$a^2 - 220a + 1696 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = 212$ या $a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः $a$ का अधिकतम मान $212$ है।

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$.
चूंकि $\sin x \approx x$ है,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x^{3}}=\frac{2}{3}$ हो जाती है।
श्रेणी का विस्तार करने पर: $\alpha(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots) + \beta(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots) + \gamma(x-\frac{x^3}{6}+\dots) = \frac{2}{3}x^3$.
सीमा के अस्तित्व के लिए $x^0, x^1, x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$x^0: \alpha + \beta = 0 \implies \beta = -\alpha$.
$x^1: \alpha - \beta + \gamma = 0 \implies 2\alpha + \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha$.
$x^3$ का गुणांक $\frac{\alpha}{6} - \frac{\beta}{6} - \frac{\gamma}{6} = \frac{2}{3}$ है।
$\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = -2$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ गलत है।

(B) रेखाओं $bx + 10y - 8 = 0$ और $2x - 3y = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(bx + 10y - 8) + \lambda(2x - 3y) = 0$ है।
चूंकि रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है,$\lambda = b + 2$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $(3b + 4)x + (4 - 3b)y - 8 = 0$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{16}{17}$ के लिए,मूल बिंदु से लंबवत दूरी $\frac{4}{\sqrt{17}}$ है।
गणना करने पर $b^2 = 2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ है।

(A) माना मीनार $OP$ है,जहाँ $O$ मीनार का आधार है। बिंदु $A$,$O$ के उत्तर में है,इसलिए $\triangle OAP$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle OAP = \alpha$ है।
दिया है $AB = 9$ इकाई,जहाँ $B$,$A$ के पश्चिम में है। चूँकि $A$,$O$ के उत्तर में है,इसलिए $OA \perp AB$ है।
$\triangle OAB$ में,$\angle OAB = 90^\circ$ है। $OB = 15$ दिया है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OA^2 + AB^2 = OB^2 \implies OA^2 + 9^2 = 15^2 \implies OA^2 = 225 - 81 = 144 \implies OA = 12$ है।
माना $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$ बिंदु $B$ से उन्नयन कोण है। अतः $\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{13}}$ है।
$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ से,$\sin \beta = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$ है।
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{2}{3}$ है।
$\triangle OBP$ में,$\tan \beta = \frac{OP}{OB} = \frac{h}{15}$ है।
अतः,$\frac{h}{15} = \frac{2}{3} \implies h = 10$ है।
$\triangle OAP$ में,$\tan \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{OA} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ है।
इसलिए,$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{6}{5}$ है।

(C) दिया गया है कि $3$ से $x$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y = \frac{d}{dx} \left( \frac{y^3}{x^3} \right) = \frac{3y^2 y' x^3 - 3x^2 y^3}{x^6} = \frac{3y^2 y' x - 3y^3}{x^4}$.
$x^4$ से गुणा करने पर:
$x^4 y = 3xy^2 y' - 3y^3$.
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$x^4 = 3xy y' - 3y^2$.
मान लीजिए $t = y^2$,तो $dt/dx = 2y y'$. यह मान रखने पर:
$x^4 = \frac{3}{2} x \frac{dt}{dx} - 3t$.
रैखिक अवकल समीकरण में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - \frac{2}{x} t = \frac{2}{3} x^3$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{t}{x^2} \right) = \frac{2}{3} x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{t}{x^2} = \frac{x^2}{3} + C$.
चूंकि वक्र $(3,3)$ से गुजरता है,$x=3$ पर $t = 3^2 = 9$:
$\frac{9}{9} = \frac{9}{3} + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$.
अतः,$\frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2}{3} - 2$.
बिंदु $(\alpha, 6\sqrt{10})$ के लिए:
$\frac{(6\sqrt{10})^2}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2}{3} - 2 \implies \frac{360}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 6}{3}$.
$1080 = \alpha^4 - 6\alpha^2 \implies \alpha^4 - 6\alpha^2 - 1080 = 0$.
मान लीजिए $u = \alpha^2$: $u^2 - 6u - 1080 = 0 \implies (u - 36)(u + 30) = 0$.
चूंकि $\alpha^2 > 0$,इसलिए $u = 36$,अतः $\alpha = 6$.

(A) रेखा पर कोई भी बिंदु $A(\lambda) = (2\lambda - 1, 3\lambda - 2, 2\lambda + 1)$ मान लीजिए।
बिंदु $P(4, 2, 7)$ से दूरी $\sqrt{26}$ दी गई है,इसलिए:
$(2\lambda - 1 - 4)^2 + (3\lambda - 2 - 2)^2 + (2\lambda + 1 - 7)^2 = (\sqrt{26})^2$
$(2\lambda - 5)^2 + (3\lambda - 4)^2 + (2\lambda - 6)^2 = 26$
$(4\lambda^2 - 20\lambda + 25) + (9\lambda^2 - 24\lambda + 16) + (4\lambda^2 - 24\lambda + 36) = 26$
$17\lambda^2 - 68\lambda + 77 = 26$
$17\lambda^2 - 68\lambda + 51 = 0$
$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$
अतः,$\lambda = 1$ और $\lambda = 3$ है।
$\lambda = 1$ के लिए,$Q = (1, 1, 3)$। $\lambda = 3$ के लिए,$R = (5, 7, 7)$।
$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-3, -1, -4)$।
$\overrightarrow{PR} = R - P = (1, 5, 0)$।
$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & -4 \\ 1 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 20\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}| = \frac{1}{2} \sqrt{20^2 + (-4)^2 + (-14)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{612} = \sqrt{153}$।
क्षेत्रफल का वर्ग $= 153$।

(C) फलन $f(x) = \sin^{-1}[2x^2 - 3] + \log_2(\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5))$ को परिभाषित होने के लिए:
$1.$ $\sin^{-1}[2x^2 - 3]$ के लिए,$-1 \leq [2x^2 - 3] \leq 1$ होना चाहिए। अतः $-1 \leq 2x^2 - 3 < 2$,जिसका अर्थ है $2 \leq 2x^2 < 5$,जिससे $1 \leq x^2 < 2.5$ प्राप्त होता है।
$2.$ $\log_2(\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5))$ के लिए,$\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5) > 0$ होना चाहिए। चूँकि आधार $1/2 < 1$ है,इसलिए $0 < x^2 - 5x + 5 < 1$ होगा।
$3.$ $x^2 - 5x + 5 > 0$ को हल करने पर,$x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5+\sqrt{5}}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।
$4.$ $x^2 - 5x + 5 < 1$ को हल करने पर,$x^2 - 5x + 4 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) < 0 \Rightarrow x \in (1, 4)$ प्राप्त होता है।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,प्रांत $(1, \frac{5-\sqrt{5}}{2})$ प्राप्त होता है।

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$ होगा।
दिए गए समीकरण $A^2 + \gamma A + 18I = O$ की तुलना अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$ से करने पर।
अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $\det(A) = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,आव्यूह $A$ का सारणिक $18$ है।

(B) चूंकि $f(x)$,$x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
सीमा के अस्तित्व के लिए,इसे $\frac{0}{0}$ रूप में होना चाहिए।
अंश में $x=0$ रखने पर: $\sqrt[7]{p(729)} - 3 = 0 \implies p(3^6) = 3^7 \implies p = 3$।
अब,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[7]{3(3^6+x)}-3}{\sqrt[3]{3^6+qx}-9} = \lim_{x \to 0} \frac{3[(1+\frac{x}{3^6})^{1/7}-1]}{9[(1+\frac{qx}{3^6})^{1/3}-1]}$।
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^n-1}{u} = n$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \frac{3}{9} \times \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3^6}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{q}{3^6}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{7q} = \frac{1}{7q}$।
अतः,$7qf(0) = 1$,जिसका अर्थ है $7qf(0) - 1 = 0$।
चूंकि $p=3$,इसलिए $p^2 = 9$। समीकरण में $1 = \frac{p^2}{9}$ रखने पर:
$7qf(0) - \frac{p^2}{9} = 0 \implies 63qf(0) - p^2 = 0$।

(A) दिया गया है $f(x) = 2 + |x| - |x - 1| + |x + 1|$.
हम $f(x)$ को विभिन्न अंतरालों में परिभाषित करते हैं:
$x < -1$ के लिए: $f(x) = 2 - x - (1 - x) - (x + 1) = -x$.
$-1 \le x < 0$ के लिए: $f(x) = 2 - x - (1 - x) + (x + 1) = x + 2$.
$0 \le x < 1$ के लिए: $f(x) = 2 + x - (1 - x) + (x + 1) = 3x + 2$.
$x \ge 1$ के लिए: $f(x) = 2 + x - (x - 1) + (x + 1) = x + 4$.
$(S1)$ की जाँच करना:
$f^{\prime}(x) = -1$ ($x < -1$ के लिए),$f^{\prime}(x) = 1$ ($-1 < x < 0$ के लिए),$f^{\prime}(x) = 3$ ($0 < x < 1$ के लिए),$f^{\prime}(x) = 1$ ($x > 1$ के लिए)।
$f^{\prime}(-3/2) = -1$,$f^{\prime}(-1/2) = 1$,$f^{\prime}(1/2) = 3$,$f^{\prime}(3/2) = 1$.
योग $= -1 + 1 + 3 + 1 = 4$. अतः,$(S1)$ सही है।
$(S2)$ की जाँच करना:
$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{-1} (-x) dx + \int_{-1}^{0} (x + 2) dx + \int_{0}^{1} (3x + 2) dx + \int_{1}^{2} (x + 4) dx$
$= 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 = 12$. अतः,$(S2)$ सही है।
दोनों सही हैं।

(D) यह क्षेत्र $y = 4x^{2}$ (या $x^{2} = y/4$),$x^{2} = 9y$ और $y = 4$ द्वारा परिबद्ध है।
ग्राफ से,क्षेत्रफल $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
एक निश्चित $y$ के लिए,वक्रों के $x$-निर्देशांक $x = \pm \sqrt{y}/2$ और $x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।
$y$ ऊँचाई पर छायांकित क्षेत्र की चौड़ाई $(3\sqrt{y} - \sqrt{y}/2) + (3\sqrt{y} - \sqrt{y}/2) = 2(5\sqrt{y}/2) = 5\sqrt{y}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष $0$ से $4$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{4} 5\sqrt{y} \, dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4}$
$A = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot [4^{3/2} - 0]$
$A = \frac{10}{3} \cdot 8 = \frac{80}{3}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{2} |2x^2 - 3x| dx + \int_{0}^{2} [x - \frac{1}{2}] dx$.
चरण $1$: $I_1 = \int_{0}^{2} |2x^2 - 3x| dx$ का मूल्यांकन करें।
व्यंजक $2x^2 - 3x = x(2x - 3)$ का मान $x = 0$ और $x = \frac{3}{2}$ पर चिन्ह बदलता है।
$I_1 = \int_{0}^{3/2} (3x - 2x^2) dx + \int_{3/2}^{2} (2x^2 - 3x) dx$.
$= [\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{3/2} + [\frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}]_{3/2}^{2}$.
$= (\frac{27}{8} - \frac{9}{4}) + (-\frac{2}{3} + \frac{9}{8}) = \frac{19}{12}$.
चरण $2$: $I_2 = \int_{0}^{2} [x - \frac{1}{2}] dx$ का मूल्यांकन करें।
$t = x - \frac{1}{2}$ रखने पर,$dt = dx$. सीमाएँ $[0, 2]$ से $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ हो जाती हैं।
$I_2 = \int_{-1/2}^{3/2} [t] dt = \int_{-1/2}^{0} (-1) dt + \int_{0}^{1} (0) dt + \int_{1}^{3/2} (1) dt = -\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$.
अंतिम उत्तर: $I = \frac{19}{12} + 0 = \frac{19}{12}$.

(C) दिया गया है कि $A_{1} = 2A_{2}$ है।
ग्राफ से,$(x, y)$ निर्देशांकों द्वारा निर्मित आयत का कुल क्षेत्रफल $A_{1} + A_{2} = xy - (4 \times 2) = xy - 8$ है।
चूंकि $A_{1} = 2A_{2}$ है,हमारे पास $A_{1} + \frac{1}{2}A_{1} = xy - 8$ है,जिसका अर्थ है $\frac{3}{2}A_{1} = xy - 8$,इसलिए $A_{1} = \frac{2}{3}xy - \frac{16}{3}$।
साथ ही,$A_{1} = \int_{4}^{x} y \, dx$ है। लीबनिज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y = \frac{2}{3}(y + x \frac{dy}{dx}) \implies 3y = 2y + 2x \frac{dy}{dx} \implies y = 2x \frac{dy}{dx}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{2x} \implies \ln y = \frac{1}{2} \ln x + C \implies y^2 = cx$।
चूंकि वक्र $(4, 2)$ से होकर गुजरता है,$2^2 = c(4) \implies c = 1$। अतः,$y^2 = x$।
रेखा $2x - 12y = 15$ है,या $y = \frac{1}{6}x - \frac{15}{12}$। इसका ढाल $m = \frac{1}{6}$ है।
अभिलंब इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m_n = -6$ है।
$y^2 = x$ के लिए,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{m_n} = \frac{1}{6}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2y} = \frac{1}{6} \implies y = 3$ प्राप्त होता है। चूंकि $y^2 = x$ है,$x = 9$।
स्पर्श बिंदु $(9, 3)$ है। अभिलंब का समीकरण $y - 3 = -6(x - 9) \implies y = -6x + 57$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(10, 4)$ के लिए,$4 = -6(10) + 57 = -3$,जो गलत है। अतः,अभिलंब $(10, 4)$ से होकर नहीं गुजरता है।

(B) माना रेखा $L: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M(2\lambda-1, 3\lambda+3, -\lambda+1)$ है।
सदिश $\vec{PM} = (2\lambda-1-a, 3\lambda-1, -\lambda-1)$ है।
चूँकि $\vec{PM}$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (2, 3, -1)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$2(2\lambda-1-a) + 3(3\lambda-1) - 1(-\lambda-1) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 4 - 2a = 0 \Rightarrow a = 7\lambda - 2$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई $PM = 2\sqrt{6}$ है,इसलिए $PM^2 = 24$ होगा।
$(2\lambda-1-a)^2 + (3\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2 = 24$ में $a = 7\lambda-2$ रखने पर:
$(-5\lambda+1)^2 + (3\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2 = 24$।
$35\lambda^2 - 14\lambda - 21 = 0 \Rightarrow 5\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$।
$(5\lambda+3)(\lambda-1) = 0$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $\lambda = 1$ होगा।
अतः $a = 5$ और $M = (1, 6, 0)$ होगा।
$M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{a+\alpha_1}{2} = 1, \frac{4+\alpha_2}{2} = 6, \frac{2+\alpha_3}{2} = 0$ होगा।
$\alpha_1 = -3, \alpha_2 = 8, \alpha_3 = -2$।
$a + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 5 - 3 + 8 - 2 = 8$।

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{n_2} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & 0 \\ a & b & c \end{vmatrix} = (bc)\hat{i} - (ac)\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $(b, -a, 0)$ के समानुपाती हैं।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\sin \theta = \left| \frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,रेखा के दिक्-अनुपात $(b, -a, 0)$ हैं और समतल $y - z + 2 = 0$ का अभिलंब $\vec{N} = (0, 1, -1)$ है।
दिया गया है $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = \left| \frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{2}} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{a^2}{2(a^2+b^2)} \Rightarrow a^2+b^2 = 2a^2 \Rightarrow b^2 = a^2 \Rightarrow b = \pm a$।
यदि $b = a$ है,तो दिक्-अनुपात $(a, -a, 0)$ हैं,इसलिए दिक्-कोसाइन $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ हैं।
यदि $b = -a$ है,तो दिक्-अनुपात $(-a, -a, 0)$ हैं,इसलिए दिक्-कोसाइन $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ हैं।
अतः,दिक्-कोसाइन $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ या $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ हैं,जो विकल्प $A$ और $B$ के अनुरूप हैं।

(B) मान लीजिए $\mu = np$ माध्य है और $\sigma^2 = npq$ द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ का प्रसरण है।
दिया गया है कि $\mu + \sigma^2 = 24$ और $\mu \sigma^2 = 128$ है।
मान लीजिए $x = \mu$ और $y = \sigma^2$ है। तो $x + y = 24$ और $xy = 128$ है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 24t + 128 = 0$ के मूल $t = 16$ और $t = 8$ हैं।
चूंकि $\mu > \sigma^2$ (क्योंकि $q < 1$),इसलिए $\mu = 16$ और $\sigma^2 = 8$ है।
अतः,$np = 16$ और $npq = 8$ है। इनका भाग देने पर $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ है।
अतः $n \times \frac{1}{2} = 16$,जिससे $n = 32$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X > n - 3) = P(X > 29) = P(X = 30) + P(X = 31) + P(X = 32)$ ज्ञात करना है।
$P(X = r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r} = {}^{32}C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{32-r} = \frac{{}^{32}C_r}{2^{32}}$ है।
अतः,$P(X > 29) = \frac{{}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32}}{2^{32}} = \frac{k}{2^{32}}$ है।
इस प्रकार,$k = {}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32} = {}^{32}C_2 + {}^{32}C_1 + {}^{32}C_0$ है।
$k = \frac{32 \times 31}{2} + 32 + 1 = 496 + 32 + 1 = 529$ है।

(D) मान लीजिए $P(\text{अभाज्य}) = 2k$,$P(\text{भाज्य}) = k$,और $P(1) = 3k$।
दी गई शर्त के अनुसार: $3(2k) = 6(k) = 2(3k) = 6k$।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है: $3(2k) + 2(k) + 3k = 1 \Rightarrow 11k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{11}$।
पूर्ण वर्ग संख्याएँ ${1, 4}$ हैं।
$P(\text{सफलता}) = P(1) + P(4) = 3k + k = 4k = \frac{4}{11}$।
द्विपद वितरण के लिए माध्य $np = 2 \times \frac{4}{11} = \frac{8}{11}$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{1}$ लागू करने पर,$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma \end{vmatrix}$.
$R_{3}$ से $(\alpha+\beta+\gamma)$ उभयनिष्ठ लेने पर,$|A| = (\alpha+\beta+\gamma) \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|A| = -(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$.
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))| = |A|^{(n-1)^4} = |A|^{16}$ होता है,जहाँ $n=3$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{|A|^{16}}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}} = 2^{32} \times 3^{16}$.
इसका सरलीकरण $(\alpha+\beta+\gamma)^{16} = (2^2 \times 3)^{16} = 12^{16}$ होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 12$.
चूँकि $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{12-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ है।
हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ भिन्न नहीं हैं। यदि $\alpha=\beta=\gamma$ है,तो $3\alpha=12 \Rightarrow \alpha=4$,जो $1$ स्थिति $(4,4,4)$ है।
यदि दो संख्याएँ समान हैं,जैसे $\alpha=\beta$,तो $2\alpha+\gamma=12$. $\alpha$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 5$ हैं (क्योंकि $\alpha=4$ पर $\gamma=4$ होता है)। प्रत्येक क्रमचय के लिए $4$ युग्म मिलते हैं,इस प्रकार कुल $4 \times 3 = 12$ स्थितियाँ होती हैं।
कुल भिन्न टुपल्स = $55 - 1 - 12 = 42$.

(A) सबसे पहले,असमिका $x^{2}-10x+9 \leq 0$ को हल करके समुच्चय $A$ ज्ञात करें।
$(x-1)(x-9) \leq 0$,इसलिए $x \in [1, 9]$। चूँकि $x \in N$,$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
अब,$f(x) \in B = \{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots\}$ के लिए $f(x) \leq (x-3)^{2}+1$ को संतुष्ट करने वाले विकल्पों की संख्या निर्धारित करें:
$x=1$ के लिए: $f(1) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ विकल्प)।
$x=2$ के लिए: $f(2) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ विकल्प)।
$x=3$ के लिए: $f(3) \leq 1 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ विकल्प)।
$x=4$ के लिए: $f(4) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ विकल्प)।
$x=5$ के लिए: $f(5) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ विकल्प)।
$x=6$ के लिए: $f(6) \leq 10 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}$ ($3$ विकल्प)।
$x=7$ के लिए: $f(7) \leq 17 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}$ ($4$ विकल्प)।
$x=8$ के लिए: $f(8) \leq 26 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$ ($5$ विकल्प)।
$x=9$ के लिए: $f(9) \leq 37 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}$ ($6$ विकल्प)।
कुल फलनों की संख्या = $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 1440$।

(C) माना पानी की गहराई $h$ है,पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है और अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ है। दिया गया है $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{3}{4}$,इसलिए $r = \frac{3}{4}h$.
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4}h\right)^2 h = \frac{3 \pi}{16} h^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{3 \pi}{16} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9 \pi}{16} h^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dV}{dt} = 6 \text{ m}^3/\text{hr}$। जब $h = 4 \text{ m}$ है,तब $6 = \frac{9 \pi}{16} (4)^2 \frac{dh}{dt} = 9 \pi \frac{dh}{dt}$,इसलिए $\frac{dh}{dt} = \frac{6}{9 \pi} = \frac{2}{3 \pi} \text{ m/hr}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक ऊँचाई $\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(\frac{3}{4}h)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{9}{16}h^2 + h^2} = \sqrt{\frac{25}{16}h^2} = \frac{5}{4}h$ है।
वक्र सतह का क्षेत्रफल $S = \pi r \ell = \pi (\frac{3}{4}h) (\frac{5}{4}h) = \frac{15 \pi}{16} h^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{16} \cdot 2h \frac{dh}{dt} = \frac{15 \pi}{8} h \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
$h = 4$ और $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{3 \pi}$ रखने पर,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{8} (4) (\frac{2}{3 \pi}) = \frac{15 \pi}{8} \cdot \frac{8}{3 \pi} = 5 \text{ m}^2/\text{hr}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $C: (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ है।
चूँकि $(\alpha, \alpha)$ वक्र $C$ पर स्थित है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\alpha^{2}+\alpha^{2}-3)+(\alpha^{2}-\alpha^{2}-1)^{5}=0$
$(2\alpha^{2}-3)+(-1)^{5}=0$
$2\alpha^{2}-3-1=0 \Rightarrow 2\alpha^{2}=4 \Rightarrow \alpha^{2}=2$. चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = \sqrt{2}$।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2yy^{\prime} + 5(x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2x - 2yy^{\prime}) = 0$.
बिंदु $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर:
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 5(-1)^{4}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime}) = 0$
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime} = 0$
$12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}y^{\prime} = 0 \Rightarrow y^{\prime} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$।
पुनः अवकलन करने पर:
$2 + 2(y^{\prime})^{2} + 2yy^{\prime\prime} + 5[4(x^{2}-y^{2}-1)^{3}(2x-2yy^{\prime})^{2} + (x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2-2(y^{\prime})^{2}-2yy^{\prime\prime})] = 0$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $y^{\prime} = \frac{3}{2}$ पर:
$2 + 2(\frac{9}{4}) + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[4(-1)^{3}(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}(\frac{3}{2}))^{2} + (-1)^{4}(2-2(\frac{9}{4})-2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$2 + \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-4(-\sqrt{2})^{2} + (2 - \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-8 - \frac{5}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime}] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} - 40 - \frac{25}{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 0$
$-8\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 40 + \frac{25-13}{2} = 40 + 6 = 46 \Rightarrow y^{\prime\prime} = -\frac{46}{8\sqrt{2}} = -\frac{23}{4\sqrt{2}}$।
अब,$3y^{\prime} - y^{3}y^{\prime\prime} = 3(\frac{3}{2}) - (\sqrt{2})^{3}(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} - (2\sqrt{2})(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} + \frac{23}{2} = \frac{32}{2} = 16$।

(B) दिया गया है $f(x) = \min \{[x-1], [x-2], \ldots, [x-10]\}$.
चूंकि $[x-n] = [x]-n$,इसलिए $f(x) = \min \{[x]-1, [x]-2, \ldots, [x]-10\} = [x]-10$.
जब $x \in [n, n+1)$,तब $[x] = n$,इसलिए $f(x) = n-10$ जहाँ $n = 0, 1, \ldots, 9$.
$\int_{0}^{10} f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} (n-10) \, dx = \sum_{n=0}^{9} (n-10) = (-10) + (-9) + \ldots + (-1) = -\frac{10 \times 11}{2} = -55$.
$\int_{0}^{10} (f(x))^2 \, dx = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} (n-10)^2 \, dx = \sum_{n=0}^{9} (n-10)^2 = (-10)^2 + (-9)^2 + \ldots + (-1)^2 = 10^2 + 9^2 + \ldots + 1^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
$\int_{0}^{10} |f(x)| \, dx = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} |n-10| \, dx = \sum_{n=0}^{9} |n-10| = 10 + 9 + \ldots + 1 = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
अतः,योग $-55 + 385 + 55 = 385$ है।

(B) मान लीजिए $t = \frac{\lambda^{2} x}{3}$। तब $dt = \frac{2\lambda x}{3} d\lambda$,जिसका अर्थ है $d\lambda = \frac{3}{2\lambda x} dt = \frac{3}{2\sqrt{3tx/3} x} dt = \frac{3}{2x\sqrt{tx/3}} dt = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{x} f(t) \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$।
अतः,$\sqrt{x} f(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} f(x) + \sqrt{x} f'(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$।
$2\sqrt{x}$ से गुणा करने पर:
$f(x) + 2x f'(x) = 2f(x) \implies 2x f'(x) = f(x)$।
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|f(x)| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \implies f(x) = k\sqrt{x}$।
दिया गया है $f(1) = \sqrt{3}$,इसलिए $k\sqrt{1} = \sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}$।
अतः,$f(x) = \sqrt{3x}$।
चूंकि $f(\alpha) = 6$,इसलिए $\sqrt{3\alpha} = 6 \implies 3\alpha = 36 \implies \alpha = 12$।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = 4\vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = 9\vec{a}$,और $\vec{c} \times \vec{a} = \alpha\vec{b}$ है।
पहले समीकरण का परिमाण लेने पर: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |4\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = 4|\vec{c}|$.
इसी प्रकार,$|\vec{b}||\vec{c}| = 9|\vec{a}|$ और $|\vec{c}||\vec{a}| = \alpha|\vec{b}|$ है।
इन तीनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|)^2 = 36\alpha |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| = 36\alpha$ प्राप्त होता है।
समीकरणों को हल करने पर $|\vec{a}| = 2\sqrt{\alpha}, |\vec{b}| = 6, |\vec{c}| = 3\sqrt{\alpha}$ प्राप्त होता है।
योग $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 36$ में मान रखने पर: $2\sqrt{\alpha} + 6 + 3\sqrt{\alpha} = 36 \implies 5\sqrt{\alpha} = 30 \implies \sqrt{\alpha} = 6 \implies \alpha = 36$।

(D) $R_{1}$ के लिए: $a R_{1} b \iff ab \geq 0$.
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $a \cdot a = a^{2} \geq 0$ होता है। अतः,$R_{1}$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $ab \geq 0$ है,तो $ba \geq 0$ होगा। अतः,$R_{1}$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $a=2, b=0, c=-2$ है। तो $ab = 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$ और $bc = 0 \cdot (-2) = 0 \geq 0$ है। लेकिन $ac = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$ है। अतः,$R_{1}$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R_{1}$ एक तुल्यता संबंध नहीं है।
$R_{2}$ के लिए: $a R_{2} b \iff a \geq b$.
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $a \geq a$ सत्य है। अतः,$R_{2}$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $a \geq b$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $b \geq a$ (उदाहरण के लिए,$2 \geq 1$ लेकिन $1 \ngeq 2$)। अतः,$R_{2}$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $a \geq b$ और $b \geq c$ है,तो $a \geq c$ होगा। अतः,$R_{2}$ संक्रामक है।
चूंकि $R_{2}$ सममित नहीं है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।
अतः,न तो $R_{1}$ और न ही $R_{2}$ एक तुल्यता संबंध है।

(D) दिया गया है $f(a) = \alpha$,जहाँ $\alpha$ अभाज्य संख्या $p$ की वह अधिकतम घात है जो $a$ को विभाजित करती है।
मान लीजिए $h(a) = (f + g)(a) = f(a) + a + 1$.
कुछ $a \in N - \{1\}$ के लिए मानों की गणना करें:
$h(2) = f(2) + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$
$h(3) = f(3) + 3 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$
$h(4) = f(4) + 4 + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$
$h(5) = f(5) + 5 + 1 = 1 + 5 + 1 = 7$
यहाँ $h(4) = h(5) = 7$ है,जहाँ $4 \neq 5$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
इसके अलावा,$h(a)$ का परिसर $1, 2, 3, 6, \dots$ को शामिल नहीं करता है (उदाहरण के लिए,$a \ge 2$ के लिए $h(a) \ge 4$),इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -2 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1 - \lambda)(-5 - \lambda) - (2)(-2) = 0$
$-5 - \lambda + 5\lambda + \lambda^{2} + 4 = 0$
$\lambda^{2} + 4\lambda - 1 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^{2} + 4A - I = 0$,जिसका अर्थ है कि $A^{2} + 4A = I$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2A^{2} + 8A = 2I$ प्राप्त होता है।
हमें $\alpha A^{2} + \beta A = 2I$ दिया गया है।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$।

(B) सीमा $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = a \sin \left(\frac{\pi(-1)}{2}\right) + [2 - (-1^+)] = a \sin(-\pi/2) + [3^-] = -a + 2$.
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = a \sin \left(\frac{\pi(-2)}{2}\right) + [2 - (-1^-)] = a \sin(-\pi) + [3^+] = 0 + 3 = 3$.
दोनों को बराबर करने पर: $-a + 2 = 3 \implies a = -1$.
अब,$a = -1$ के साथ $\int_{0}^{4} f(x) dx$ की गणना करते हैं,इसलिए $f(x) = -\sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$.
$\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx + \int_{3}^{4} f(x) dx$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,$[2-x] = 1 \implies f(x) = 1$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,$[2-x] = 0 \implies f(x) = -\sin(\pi/2) + 0 = -1$.
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,$[2-x] = -1 \implies f(x) = -\sin(\pi) - 1 = -1$.
$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,$[2-x] = -2 \implies f(x) = -\sin(3\pi/2) - 2 = 1 - 2 = -1$.
समाकलन = $\int_{0}^{1} (1) dx + \int_{1}^{2} (-1) dx + \int_{2}^{3} (-1) dx + \int_{3}^{4} (-1) dx = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.

(C) माना $f(x) = 8 \sin x - \sin 2x$.
हम अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ पर समाकल्य $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ की सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$f(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 4\sqrt{2} - 1 \approx 4.656$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f(\frac{\pi}{3}) = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6.062$.
चूंकि इस अंतराल पर $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,$g(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{f(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{16\sqrt{2}-4}{\pi} \approx 5.93$ है।
अधिकतम मान $\frac{f(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} \approx 5.79$ है।
अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{12}$ है,इसलिए समाकलन $I$,$\frac{\pi}{12} \times \min(g(x))$ और $\frac{\pi}{12} \times \max(g(x))$ के बीच स्थित है।
गणना करने पर,$I$ का मान $\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ के बीच प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वक्र $y^{2}=8x+4$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}+4\sqrt{3}x-4=0$ (वृत्त) हैं।
सबसे पहले,हम वृत्त के समीकरण में $y^{2}=8x+4$ प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^{2}+(8x+4)+4\sqrt{3}x-4=0$
$x^{2}+8x+4\sqrt{3}x=0$
$x(x+8+4\sqrt{3})=0$
अतः,$x=0$ या $x=-(8+4\sqrt{3})$ है।
$x=0$ के लिए,$y^{2}=4 \implies y=\pm 2$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 2)$ और $(0, -2)$ हैं।
वृत्त के समीकरण को $(x+2\sqrt{3})^{2}+y^{2}=16$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो केंद्र $(-2\sqrt{3}, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाला एक वृत्त है।
चूंकि क्षेत्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{2} (x_{circle} - x_{parabola}) dy$ होगा।
वृत्त से: $x = -2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}$.
परवलय से: $x = \frac{y^{2}-4}{8}$.
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} ((-2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}) - (\frac{y^{2}-4}{8})) dy$
$= 2 [ -2\sqrt{3}y + \frac{y}{2}\sqrt{16-y^{2}} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{y}{4}) - \frac{y^{3}}{24} + \frac{y}{2} ]_{0}^{2}$
$= 2 [ (-4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 8(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3} + 1) ]$
$= 2 [ -2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3} + \frac{2}{3} ] = \frac{1}{3} (4 - 12\sqrt{3} + 8\pi)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = x$ एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यापक हल $y = -x - 1 + C e^{x}$ है।
$y_{1}(0) = 0$ के लिए,$0 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 1$। अतः,$y_{1}(x) = e^{x} - x - 1$ है।
$y_{2}(0) = 1$ के लिए,$1 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 2$। अतः,$y_{2}(x) = 2e^{x} - x - 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y_{1}(x) = y_{2}(x)$ रखें:
$e^{x} - x - 1 = 2e^{x} - x - 1$।
इसे सरल करने पर $e^{x} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\hat{j}+\beta \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}$।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 1 & \beta \\ 3 & -5 & 4 \end{vmatrix} = (4+5\beta)\hat{i} + (3\beta-4\alpha)\hat{j} + (-5\alpha-3)\hat{k}$ है।
इसे $-\hat{i}+9\hat{j}+12\hat{k}$ के साथ तुलना करने पर:
$4+5\beta = -1 \Rightarrow 5\beta = -5 \Rightarrow \beta = -1$।
$-5\alpha-3 = 12 \Rightarrow -5\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = -3$।
जाँच: $3\beta-4\alpha = 3(-1)-4(-3) = -3+12 = 9$ (सही है)।
अतः,$\vec{a} = -3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 4\hat{k}$।
अब $\vec{b}-2\vec{a} = (3 - 2(-3))\hat{i} + (-5 - 2(1))\hat{j} + (4 - 2(-1))\hat{k} = 9\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$।
और $\vec{b}+\vec{a} = (3-3)\hat{i} + (-5+1)\hat{j} + (4-1)\hat{k} = -4\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\vec{v}_1 = \vec{b}-2\vec{a}$ का $\vec{v}_2 = \vec{b}+\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_2|}$ है।
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (9)(0) + (-7)(-4) + (6)(3) = 0 + 28 + 18 = 46$।
$|\vec{v}_2| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$।
प्रक्षेप = $\frac{46}{5}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$((\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i}) \cdot \hat{k} = ((\vec{a} \cdot \hat{i})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i})\vec{a}) \cdot \hat{k} = \frac{23}{2}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \hat{i} = 2$ और $\vec{b} \cdot \hat{i} = \alpha$ है,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(2\vec{b} - \alpha\vec{a}) \cdot \hat{k} = 2(\vec{b} \cdot \hat{k}) - \alpha(\vec{a} \cdot \hat{k}) = \frac{23}{2}$.
दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \hat{k} = 2$ और $\vec{a} \cdot \hat{k} = 5$,इसलिए:
$2(2) - \alpha(5) = \frac{23}{2} \implies 4 - 5\alpha = \frac{23}{2} \implies 5\alpha = 4 - \frac{23}{2} = -\frac{15}{2} \implies \alpha = -\frac{3}{2}$.
अब,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(\vec{b} \times \hat{j})$ की गणना करते हैं:
$\vec{b} \times \hat{j} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 2 \hat{k}) \times \hat{j} = \alpha(\hat{i} \times \hat{j}) + \beta(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{j}) = \alpha \hat{k} - 2 \hat{i}$.
अतः,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(-\alpha \hat{k} + 2 \hat{i}) = 4\hat{i} - 2\alpha \hat{k}$.
$|\vec{b} \times 2\hat{j}| = \sqrt{4^2 + (-2\alpha)^2} = \sqrt{16 + 4\alpha^2} = \sqrt{16 + 4(-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(D) दो दिए गए समतल परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य है:
$2(3k) + k(-k) + (-5)(1) = 0$
$6k - k^2 - 5 = 0 \Rightarrow k^2 - 6k + 5 = 0$
$(k - 1)(k - 5) = 0 \Rightarrow k = 1$ या $k = 5$.
दिया गया है कि $k < 3$,इसलिए हम $k = 1$ लेते हैं।
दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$(2x + y - 5z - 1) + \lambda(3x - y + z - 5) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + \lambda)z = 1 + 5\lambda$.
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $1$ है,इसलिए $y = 0$ और $z = 0$ रखने पर:
$\frac{1 + 5\lambda}{2 + 3\lambda} = 1 \Rightarrow 1 + 5\lambda = 2 + 3\lambda \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$y$-अक्ष पर अंतःखंड प्राप्त करने के लिए $x = 0$ और $z = 0$ रखने पर:
$(1 - \lambda)y = 1 + 5\lambda \Rightarrow y = \frac{1 + 5(1/2)}{1 - 1/2} = \frac{1 + 2.5}{0.5} = \frac{3.5}{0.5} = 7$.

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=4$ पर सतत है,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = f(4)$.
$16+4b = \int_{0}^{4}(5-|t-3|) d t = \int_{0}^{3}(5-(3-t)) d t + \int_{3}^{4}(5-(t-3)) d t = \int_{0}^{3}(2+t) d t + \int_{3}^{4}(8-t) d t$.
समाकलन करने पर: $[2t + \frac{t^2}{2}]_0^3 + [8t - \frac{t^2}{2}]_3^4 = (6 + 4.5) + ((32-8) - (24-4.5)) = 10.5 + (24 - 19.5) = 10.5 + 4.5 = 15$.
अतः,$16+4b = 15 \implies 4b = -1 \implies b = -\frac{1}{4}$.
अब,$x < 4$ के लिए $f'(x) = 2x - \frac{1}{4}$ और $x > 4$ के लिए $f'(x) = 5-|x-3| = 8-x$.
$LHD = f'(4^-) = 2(4) - 0.25 = 7.75 = \frac{31}{4}$.
$RHD = f'(4^+) = 8-4 = 4$. चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f$ बिंदु $x=4$ पर अवकलनीय नहीं है। विकल्प $(A)$ सत्य है।
$f'(3) = 2(3) - 0.25 = 5.75 = \frac{23}{4}$. $f'(5) = 8-5 = 3$. $f'(3)+f'(5) = 5.75 + 3 = 8.75 = \frac{35}{4}$. विकल्प $(B)$ सत्य है।
$x < 4$ के लिए,$f'(x) = 2x - 0.25$. $x > \frac{1}{8}$ के लिए $f'(x) > 0$. अतः $f$ अंतराल $(-\infty, \frac{1}{8})$ में ह्रासमान है और $(\frac{1}{8}, 4)$ में वर्धमान है। विकल्प $(C)$ सत्य नहीं है।

(C) माना $f(x) = \cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right) = k$.
सबसे पहले,$\cos(\sin^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
तब,$\tan^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \theta \implies \tan \theta = \sqrt{1-x^2} \implies \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos(\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})) = k$ प्राप्त होता है।
माना $\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) = \phi \implies \sin \phi = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \implies \cos \phi = \sqrt{1 - \frac{x^2}{1-x^2}} = \sqrt{\frac{1-2x^2}{1-x^2}}$.
अतः,$\sqrt{\frac{1-2x^2}{1-x^2}} = k \implies \frac{1-2x^2}{1-x^2} = k^2 \implies 1-2x^2 = k^2 - k^2x^2 \implies x^2(k^2-2) = k^2-1 \implies x^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2}$.
चूंकि $x^2 = \alpha^2 = \beta^2$,हमारे पास $\alpha^2 = \beta^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2}$ है।
दिया गया है कि $x^2 - bx - 5 = 0$ के मूल $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ और $\frac{\alpha}{\beta}$ हैं।
ध्यान दें कि $\frac{\alpha}{\beta}$ का मान $1$ या $-1$ हो सकता है। यदि $\alpha = \beta$ है,तो $\frac{\alpha}{\beta} = 1$,लेकिन समीकरण $x^2-bx-5=0$ के मूल $\frac{2}{\alpha^2}$ और $1$ होंगे। गुणनफल $= \frac{2}{\alpha^2} = -5$,जो असंभव है क्योंकि $\alpha^2 > 0$ है। अतः $\alpha = -\beta$,इसलिए $\frac{\alpha}{\beta} = -1$.
मूल $\frac{2}{\alpha^2}$ और $-1$ हैं। गुणनफल: $\frac{2}{\alpha^2}(-1) = -5 \implies \frac{2}{\alpha^2} = 5 \implies \alpha^2 = \frac{2}{5}$.
मूलों का योग: $\frac{2}{\alpha^2} - 1 = b \implies 5 - 1 = 4 = b$.
$\alpha^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2} = \frac{2}{5}$ से $\implies 5k^2 - 5 = 2k^2 - 4 \implies 3k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{3}$.
अंत में,$\frac{b}{k^2} = \frac{4}{1/3} = 12$.

(C) समतल रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो $(4, -1, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है।
समतल $4ax-y+5z-7a=0$ और $2x-5y-z-3=0$ द्वारा परिभाषित रेखा को भी समाहित करता है।
इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार $(4ax-y+5z-7a) + \lambda(2x-5y-z-3) = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(4, -1, 0)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $(16a+1-7a) + \lambda(8+5-3) = 0$,जो $9a + 10\lambda + 1 = 0$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 4a+2\lambda, -1-5\lambda, 5-\lambda \rangle$ है। चूंकि रेखा $\vec{v_1}$ समतल में स्थित है,$\vec{n} \cdot \vec{v_1} = 0$,इसलिए $(4a+2\lambda) - 2(-1-5\lambda) + (5-\lambda) = 0$,जो $4a + 11\lambda + 7 = 0$ (समीकरण $2$) में सरल होता है।
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर $a=1$ और $\lambda=-1$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण: $(4x-y+5z-7) - (2x-5y-z-3) = 0$,अर्थात $2x+4y+6z-4=0$ या $x+2y+3z-2=0$ है।
रेखा $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-4}=t$ पर कोई भी बिंदु $(7t+3, -t+2, -4t+3)$ है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $(7t+3) + 2(-t+2) + 3(-4t+3) - 2 = 0$,जो $7t+3-2t+4-12t+9-2=0$ देता है,इसलिए $-7t+14=0$,जिसका अर्थ है $t=2$।
बिंदु $P$ $(17, 0, -5)$ है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 17+0-5 = 12$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin(2x^2) \ln(\tan x^2) dy + (4xy - 4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})) dx = 0$ है।
इसे $d(y \ln(\tan x^2))$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $d(y \ln(\tan x^2)) = \frac{4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})}{\sin(2x^2)} dx$ प्राप्त होता है।
$\sin(x^2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x^2 - \cos x^2)$ और $\sin(2x^2) = 2 \sin x^2 \cos x^2$ का उपयोग करने पर,दायां पक्ष $2x(\sec x^2 - \csc x^2) dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \ln(\tan x^2) = \int 2x(\sec x^2 - \csc x^2) dx = \ln|\tan(x^2/2)| + C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 1)$ का उपयोग करके $C$ का मान ज्ञात करने और फिर $x^2 = \frac{\pi}{3}$ के लिए हल करने पर,हमें $|y| = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^{5}-9xy+2x=0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$5y^{4}\frac{dy}{dx} - 9(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(5y^{4} - 9x) = 9y - 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 2}{5y^{4} - 9x}$.
स्पर्शरेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $9y - 2 = 0$,इसलिए $y = \frac{2}{9}$.
मूल समीकरण में $y = \frac{2}{9}$ रखने पर:
$(\frac{2}{9})^{5} - 9x(\frac{2}{9}) + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} - 2x + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} = 0$,जो असंभव है।
अतः,ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं जहाँ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के समानांतर हो,इसलिए $M = 0$.
स्पर्शरेखा के $y$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,हर $5y^{4} - 9x = 0$,इसलिए $x = \frac{5y^{4}}{9}$.
इसे मूल समीकरण में रखने पर:
$y^{5} - 9y(\frac{5y^{4}}{9}) + 2(\frac{5y^{4}}{9}) = 0
\Rightarrow y^{5} - 5y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow -4y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow y^{4}(-4y + \frac{10}{9}) = 0$.
इससे $y = 0$ या $y = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ प्राप्त होता है।
यदि $y = 0$,तो $x = 0$. यदि $y = \frac{5}{18}$,तो $x = \frac{5}{9}(\frac{5}{18})^{4}$.
अतः,$2$ बिंदु हैं जहाँ स्पर्शरेखा $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $N = 2$.
इसलिए,$M + N = 0 + 2 = 2$.

(A) मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।
$A^{T}A$ के विकर्ण अवयवों का योग $A^{T}A$ का ट्रेस है,जिसे $\operatorname{Tr}(A^{T}A)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = 6$,इसलिए $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 6$ है।
चूँकि $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,इसलिए $a_{ij}^{2}$ केवल $0$ या $1$ हो सकता है।
ऐसे नौ वर्गों का योग $6$ होने के लिए,ठीक $6$ अवयव $\pm 1$ होने चाहिए और $3$ अवयव $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $9$ में से $3$ स्थानों को $0$ के रूप में चुनते हैं,जिसे $\binom{9}{3}$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $6$ स्थानों के लिए,प्रत्येक $1$ या $-1$ हो सकता है,जो $2^{6}$ संभावनाएँ देता है।
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $\binom{9}{3} \times 2^{6} = 84 \times 64 = 5376$ है।

(C) दिया गया है कि $A^{T} = A$ और $B^{T} = -B$.
विकल्प $A$ के लिए: मान लीजिए $C = A^{4} - B^{4}$.
$C^{T} = (A^{4} - B^{4})^{T} = (A^{T})^{4} - (B^{T})^{4} = A^{4} - (-B)^{4} = A^{4} - B^{4} = C$. अतः,$A^{4} - B^{4}$ सममित है।
विकल्प $B$ के लिए: मान लीजिए $C = AB - BA$.
$C^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = (-B)(A) - (A)(-B) = -BA + AB = AB - BA = C$. अतः,$AB - BA$ सममित है।
विकल्प $C$ के लिए: मान लीजिए $C = B^{5} - A^{5}$.
$C^{T} = (B^{5} - A^{5})^{T} = (B^{T})^{5} - (A^{T})^{5} = (-B)^{5} - A^{5} = -B^{5} - A^{5} = -(B^{5} + A^{5})$. यह $-C = -(B^{5} - A^{5})$ के बराबर नहीं है। अतः,यह कथन सत्य नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: मान लीजिए $C = AB + BA$.
$C^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = (-B)(A) + (A)(-B) = -BA - AB = -(AB + BA) = -C$. अतः,$AB + BA$ विषम-सममित है।
इसलिए,विकल्प $C$ सत्य नहीं है।

(B) $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम सीमा $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}$ का मूल्यांकन करते हैं।
स्थिति $1$: $|x| < 1$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$x^{2n} \rightarrow 0$ और $x^{2n+1} \rightarrow 0$. अतः,$f(x) = \cos(2 \pi x)$.
स्थिति $2$: $x = 1$. $f(1) = \frac{1 - 0}{1 + 1 - 1} = 1$.
स्थिति $3$: $x = -1$. $f(-1) = \frac{1 - \sin(-2)}{1 - 1 - 1} = -(1 + \sin 2)$.
स्थिति $4$: $|x| > 1$. अंश और हर को $x^{2n}$ से विभाजित करने पर,$f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर सांतत्यता: $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = -1$. अतः $x=1$ पर असतत है।
$x=-1$ पर सांतत्यता: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = -\frac{\sin 2}{2}$ और $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = 1$. अतः $x=-1$ पर असतत है।
इस प्रकार,$f(x)$ सभी $x \in R - \{-1, 1\}$ के लिए सतत है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{x-x^2}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$
$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$-e^{x-x^2} (2x+1)(x-1) > 0$
$(2x+1)(x-1) < 0$.
यहाँ मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 1$ हैं। यह असमिका $x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x - \cos x)$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x - \cos x)^2} \cdot (\cos x + \sin x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\cos x + \sin x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x = -1$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,एकमात्र हल $x = \frac{3\pi}{4}$ है।
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल $[0, \pi]$ के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = 0$ पर: $f(0) = \tan^{-1}(\sin 0 - \cos 0) = \tan^{-1}(0 - 1) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $x = \frac{3\pi}{4}$ पर: $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})\right) = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.
$3$. $x = \pi$ पर: $f(\pi) = \tan^{-1}(\sin \pi - \cos \pi) = \tan^{-1}(0 - (-1)) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
इन मानों की तुलना करने पर:
निरपेक्ष अधिकतम मान = $\tan^{-1}(\sqrt{2})$.
निरपेक्ष न्यूनतम मान = $-\frac{\pi}{4}$.
अतः,निरपेक्ष अधिकतम और निरपेक्ष न्यूनतम मानों का योग $\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया गया है $x = 2 \sqrt{2} \cos t \sqrt{\sin 2t}$ और $y = 2 \sqrt{2} \sin t \sqrt{\sin 2t}$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2 \sqrt{2} [-\sin t \sqrt{\sin 2t} + \cos t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin 2t}} \cdot 2 \cos 2t] = \frac{2 \sqrt{2} \cos 3t}{\sqrt{\sin 2t}}$.
इसी प्रकार,$\frac{dy}{dt} = \frac{2 \sqrt{2} \sin 3t}{\sqrt{\sin 2t}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \tan 3t$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\tan 3t) \cdot \frac{dt}{dx} = 3 \sec^2 3t \cdot \frac{\sqrt{\sin 2t}}{2 \sqrt{2} \cos 3t} = \frac{3 \sec^3 3t \sqrt{\sin 2t}}{2 \sqrt{2}}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec 3t = -\sqrt{2}$,इसलिए $\sec^3 3t = -2 \sqrt{2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(-2 \sqrt{2}) \sqrt{1}}{2 \sqrt{2}} = -3$.
अंत में,$\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2} = \frac{1 + (-1)^2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

(A) दिया गया है $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (t^{2}+5)^{-n}$ और $dv = dt$ लें। तब $du = -n(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$ और $v = t$ प्राप्त होता है।
$I_{n}(x) = \left[ \frac{t}{(t^{2}+5)^{n}} \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} t \cdot (-n)(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{(t^{2}+5)-5}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n I_{n}(x) - 10n I_{n+1}(x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $10n I_{n+1}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + (2n-1) I_{n}(x)$ प्राप्त होता है।
$n=5$ के लिए,$50 I_{6}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{5}} + 9 I_{5}(x)$.
ध्यान दें कि $I_{5}^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{5}} dt = \frac{1}{(x^{2}+5)^{5}}$.
अतः,$50 I_{6}(x) = x I_{5}^{\prime}(x) + 9 I_{5}(x)$,जिसका अर्थ है कि $50 I_{6} - 9 I_{5} = x I_{5}^{\prime}$.

(B) वक्र $y=\ln(x+e^{2})$ और $y=2e^{-x}$ हैं।
$y=\ln(x+e^{2})$ के लिए,$y=1$ पर,$1=\ln(x+e^{2}) \implies x+e^{2}=e \implies x=e-e^{2}$.
$y=2e^{-x}$ के लिए,$y=1$ पर,$1=2e^{-x} \implies e^{x}=2 \implies x=\ln 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$\ln(x+e^{2})=2e^{-x}$। निरीक्षण करने पर,$x=0$ पर,$y=\ln(e^{2})=2$ और $y=2e^{0}=2$। अतः वे $(0, 2)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल वक्रों द्वारा ऊपर से और $y=1$ द्वारा नीचे से घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= \int_{e-e^{2}}^{0} (\ln(x+e^{2})-1) dx + \int_{0}^{\ln 2} (2e^{-x}-1) dx$.
पहले समाकलन के लिए,$u=x+e^{2}$ लें,$du=dx$। जब $x=e-e^{2}$,$u=e$। जब $x=0$,$u=e^{2}$।
$\int_{e}^{e^{2}} (\ln u - 1) du = [u \ln u - u - u]_{e}^{e^{2}} = [u \ln u - 2u]_{e}^{e^{2}} = (e^{2} \cdot 2 - 2e^{2}) - (e \cdot 1 - 2e) = 0 - (-e) = e$.
दूसरे समाकलन के लिए,$\int_{0}^{\ln 2} (2e^{-x}-1) dx = [-2e^{-x}-x]_{0}^{\ln 2} = (-2e^{-\ln 2} - \ln 2) - (-2e^{0} - 0) = (-2(1/2) - \ln 2) + 2 = -1 - \ln 2 + 2 = 1 - \ln 2$.
कुल क्षेत्रफल $= e + 1 - \ln 2$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x^2-1}$ और $Q(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|} = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} dx = \int \frac{x-1}{x+1} dx$.
$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( 1 - \frac{2}{x+1} \right) dx = x - 2 \log_{e} |x+1| + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $\left(2, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ से गुजरता है,हम $x=2$ और $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{2-1}{2+1} \right)^{1/2} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{3} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C$.
$C = \frac{1}{3} - 2 + 2 \log_{e} 3 = 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.
अब,$x=8$ के लिए:
$y(8) \left( \frac{8-1}{8+1} \right)^{1/2} = 8 - 2 \log_{e} 9 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.
$y(8) \left( \frac{7}{9} \right)^{1/2} = 8 - 4 \log_{e} 3 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3} = \frac{19}{3} - 2 \log_{e} 3$.
$y(8) \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{19 - 6 \log_{e} 3}{3}$.
$\sqrt{7} y(8) = 19 - 6 \log_{e} 3$.

(A) $(0, 2)$ और $(0, -2)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि ये बिंदु वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $4 + 4f + c = 0$ और $4 - 4f + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = 0$ और $c = -4$।
अतः,वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 4 + 2gx = 0$ है।
$x$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} + 2g = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} \right) = 0$ प्राप्त होता है।
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$\frac{x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) - (x^{2} + y^{2} - 4)(1)}{x^{2}} = 0$।
इसे सरल करने पर $2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2xy \frac{dy}{dx} + x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$L_1$ पर बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $L_2$ पर बिंदु $B(-26, -18, -28)$ दिए गए हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-27, -20, -31)$ है।
समतलीयता की शर्त $\begin{vmatrix} -27 & -20 & -31 \\ \lambda & 1 & 2 \\ -2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $-27(\lambda - 6) + 20(\lambda^2 + 4) - 31(3\lambda + 2) = 0$.
$-27\lambda + 162 + 20\lambda^2 + 80 - 93\lambda - 62 = 0 \Rightarrow 20\lambda^2 - 120\lambda + 180 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)^2 = 0$.
अतः,$\lambda = 3$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (3, 1, 2)$ और $\vec{v_2} = (-2, 3, 3)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 13\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-3(x-1) - 13(y-2) + 11(z-3) = 0 \Rightarrow 3x + 13y - 11z + 4 = 0$ है।
बिंदुओं की जाँच करने पर:
$(0, 4, 5)$ के लिए: $3(0) + 13(4) - 11(5) + 4 = 52 - 55 + 4 = 1 \neq 0$ है।
अतः,बिंदु $(0, 4, 5)$ समतल $P$ पर स्थित नहीं है।

(B) समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिक्-अनुपातों का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n} = (-2, 1, -3) \times (-1, 2, -2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
बिंदु $(2, 2, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(4, -1, -3)$ वाले समतल का समीकरण:
$4(x - 2) - 1(y - 2) - 3(z + 2) = 0$
$4x - y - 3z = 12$.
अंतःखंड प्राप्त करने के लिए,$12$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-12} + \frac{z}{-4} = 1$.
अतः,$\alpha = 3, \beta = -12, \gamma = -4$.
$p = \alpha + \beta + \gamma = 3 - 12 - 4 = -13$.
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |\alpha \beta \gamma| = \frac{1}{6} |3 \times (-12) \times (-4)| = 24$.
इसलिए,क्रमित युग्म $(V, p) = (24, -13)$ है।

(B) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$।
दिया गया है $\vec{u} = a(\log_{e} b) \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{v} = (\log_{e} b) \hat{i} + 2 \hat{j} + 2a(\log_{e} b) \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{u} \cdot \vec{v} = a(\log_{e} b)^2 - 12 + 6a(\log_{e} b) > 0$।
मान लीजिए $t = \log_{e} b$। चूंकि $b > 1$,इसलिए $t > 0$ है।
असमिका $at^2 + 6at - 12 > 0$ बन जाती है,सभी $t > 0$ के लिए।
यदि $a \le 0$ है,तो बड़े $t$ के लिए $at^2 + 6at - 12$ ऋणात्मक होगा,इसलिए $a$ धनात्मक होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $f(t) = at^2 + 6at - 12$ के सभी $t > 0$ के लिए धनात्मक होने के लिए,इसका शीर्ष $t = -\frac{6a}{2a} = -3$ पर होना चाहिए। चूंकि शीर्ष $t = -3$ पर है (जो $t > 0$ के डोमेन के बाहर है) और परवलय ऊपर की ओर खुलता है $(a > 0)$,इसलिए $t > 0$ के लिए न्यूनतम मान $t \to 0^+$ के रूप में प्राप्त होता है।
जैसे $t \to 0^+$,$f(t) \to -12$,जो $0$ से बड़ा नहीं है।
अतः,$a$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो सभी $t > 0$ के लिए शर्त को पूरा करे।
इसलिए,$S = \phi$।

(A) दिया गया है कि $P(B \mid A) = \frac{2}{5}$,$P(A \mid B) = \frac{1}{7}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$ है।
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{7}$ से,हमें $P(B) = 7 \times P(A \cap B) = 7 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$ प्राप्त होता है।
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{5}$ से,हमें $P(A) = \frac{5}{2} \times P(A \cap B) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{18}$ प्राप्त होता है।
$(S1)$ के लिए: $P(A' \cup B) = P(A') + P(B) - P(A' \cap B) = (1 - P(A)) + P(B) - (P(B) - P(A \cap B)) = 1 - P(A) + P(A \cap B) = 1 - \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = 1 - \frac{5}{18} + \frac{2}{18} = 1 - \frac{3}{18} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$। अतः,$(S1)$ सत्य है।
$(S2)$ के लिए: $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{6}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{12}{18}) = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$। अतः,$(S2)$ सत्य है।
इसलिए,$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सत्य हैं।

(C) कुल गेंदों की संख्या $4 + 6 = 10$ है। तीन गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
मान लीजिए $X$ सफेद गेंदों की संख्या है। $X$ के मान $0, 1, 2, 3$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(6,3)}{120} = \frac{1 \times 20}{120} = \frac{1}{6}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(6,2)}{120} = \frac{4 \times 15}{120} = \frac{1}{2}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(6,1)}{120} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{3}{10}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(6,0)}{120} = \frac{4 \times 1}{120} = \frac{1}{30}$.
माध्य $E(X) = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 1.2$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 2.0$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56$.
अतः,$100 \sigma^2 = 100 \times 0.56 = 56$.