JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $G$ शीर्ष $(1,3), (3,1)$ और $(2,4)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक है।
$G = \left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{3+1+4}{3}\right) = \left(2, \frac{8}{3}\right)$.
मान लीजिए $(\alpha, \beta)$ रेखा $x+2y-2=0$ के सापेक्ष $G$ का प्रतिबिंब है।
रेखा $ax+by+c=0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x', y')$ का सूत्र $\frac{x'-x_0}{a} = \frac{y'-y_0}{b} = -2\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{2+2(8/3)-2}{1^2+2^2}$.
$\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{16/3}{5} = -\frac{32}{15}$.
अतः,$\alpha = 2 - \frac{32}{15} = -\frac{2}{15}$ और $\beta = \frac{8}{3} - \frac{64}{15} = \frac{40-64}{15} = -\frac{24}{15}$.
अंत में,$15(\alpha-\beta) = 15\left(-\frac{2}{15} - (-\frac{24}{15})\right) = 15\left(\frac{22}{15}\right) = 22$.

(D) दिया गया है $z_1 = e^{-i\pi/4}, z_2 = 1, z_3 = e^{i\pi/4}$.
चूँकि $|z|=1$,इसलिए $\bar{z} = 1/z$.
$z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1 = e^{-i\pi/4}(1) + 1(e^{-i\pi/4}) + e^{i\pi/4}(e^{i\pi/4}) = 2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2}$.
$2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2} = 2(\cos(\pi/4) - i\sin(\pi/4)) + i = 2(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) + i = \sqrt{2} - i\sqrt{2} + i = \sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})$.
इसका वर्ग मापांक $|\sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})|^2 = (\sqrt{2})^2 + (1 - \sqrt{2})^2 = 2 + (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 5 - 2\sqrt{2}$.
$\alpha + \beta \sqrt{2}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 5$ और $\beta = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.

(C) मान लीजिए $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5, \ldots$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $a_1 a_5 = 28$ $\Rightarrow a(ar^4) = 28$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 28$ $\Rightarrow (ar^2)^2 = 28$ $\Rightarrow ar^2 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
दिया है $a_2 + a_4 = 29$ $\Rightarrow ar + ar^3 = 29$ $\Rightarrow ar(1 + r^2) = 29$.
चूँकि $ar^2 = \sqrt{28}$,हमारे पास $a = \frac{\sqrt{28}}{r^2}$ है।
दूसरे समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $\frac{\sqrt{28}}{r^2} \cdot r(1 + r^2) = 29 \Rightarrow \frac{\sqrt{28}(1 + r^2)}{r} = 29$.
मान लीजिए $x = r + \frac{1}{r}$,तो $r^2 + 1 = xr$.
समीकरण $\sqrt{28} \cdot x = 29 \Rightarrow x = \frac{29}{\sqrt{28}}$ बन जाता है।
$r + \frac{1}{r} = \frac{29}{\sqrt{28}}$ को हल करने पर,$r^2 - \frac{29}{\sqrt{28}}r + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \sqrt{28}$ (बढ़ते पदों के लिए $r > 1$).
अतः $a = \frac{\sqrt{28}}{28} = \frac{1}{\sqrt{28}}$.
अंत में,$a_6 = ar^5 = \frac{1}{\sqrt{28}} \cdot (\sqrt{28})^5 = 28^2 = 784$.

(A) दिया गया समीकरण: $e^{5(\ln x)^2+3} = x^8$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(e^{5(\ln x)^2+3}) = \ln(x^8)$
$5(\ln x)^2 + 3 = 8 \ln x$
माना $t = \ln x$ है। समीकरण इस प्रकार होगा:
$5t^2 - 8t + 3 = 0$
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है। माना इसके मूल $t_1$ और $t_2$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = -(-8)/5 = 8/5$ है।
चूंकि $t = \ln x$ है,इसलिए $\ln x_1 + \ln x_2 = 8/5$ प्राप्त होता है।
$\ln x_1 + \ln x_2 = \ln(x_1 x_2)$ गुण का उपयोग करने पर:
$\ln(x_1 x_2) = 8/5$
अतः,हलों का गुणनफल $x_1 x_2 = e^{8/5}$ है।

(C) दिया गया है $S_{n} = \sum_{r=1}^{n} T_{r} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}{64}$.
$T_{n} = S_{n} - S_{n-1} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5) - (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{64}$.
$T_{n} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3) [ (2n+5) - (2n-3) ]}{64} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3) \times 8}{64} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{8}$.
अतः,$\frac{1}{T_{r}} = \frac{8}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} - \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right)$.
इसलिए,$\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{T_{r}} = 8 \times \frac{1}{4} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} - \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right) = 2 \left( \frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \right)$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,दूसरा पद शून्य हो जाएगा।
परिणाम $= 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) कुल $26$ अंग्रेजी वर्णमालाएँ हैं। हमें $5$ अक्षर चुनने हैं और उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करना है ताकि मध्य अक्षर $M$ हो।
चूँकि अक्षरों को वर्णानुक्रम में होना चाहिए,एक बार जब हम $5$ अक्षर चुन लेते हैं,तो उन्हें व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका होता है।
मध्य अक्षर $M$ होने के लिए,हमें $M$ से पहले आने वाले $12$ अक्षरों ($A$ से $L$) में से $2$ अक्षर और $M$ के बाद आने वाले $13$ अक्षरों ($N$ से $Z$) में से $2$ अक्षर चुनने होंगे।
$12$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ हैं।
$13$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ हैं।
कुल तरीकों की संख्या $^{12}C_2 \times ^{13}C_2 = 66 \times 78 = 5148$ है।

(B) परवलय $y=x^2+px-3$ दिया गया है।
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $P, Q$ और $R$ हैं।
$y$-अंतःखंड के लिए $x=0$ रखने पर,$y=-3$ प्राप्त होता है। अतः,$R=(0,-3)$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए $y=0$ रखने पर,$x^2+px-3=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $P=(\alpha, 0)$ और $Q=(\beta, 0)$ हैं।
$(-1,-1)$ केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x+1)^2+(y+1)^2=r^2$ है।
चूंकि वृत्त $R(0,-3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $(0+1)^2+(-3+1)^2=r^2$,जिससे $1^2+(-2)^2=r^2$ अर्थात $r^2=5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ है।
वृत्त के $x$-अंतःखंड के लिए $y=0$ रखने पर: $(x+1)^2+(0+1)^2=5 \implies (x+1)^2=4 \implies x+1=\pm 2$।
अतः,$x=1$ या $x=-3$ है। यानी $P=(1,0)$ और $Q=(-3,0)$ हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(1,0), (-3,0)$ और $(0,-3)$ हैं,$\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा प्राप्त होता है।
आधार $PQ = |1 - (-3)| = 4$ है।
ऊंचाई ($x$-अक्ष से $R$ की दूरी) $= |-3| = 3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$।

(A) वृत्त $C$ दूसरे चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(-2, 2)$ और त्रिज्या $R = 2$ है।
वृत्त $C$ का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ है।
दूसरे वृत्त का केंद्र $(2, 5)$ और त्रिज्या $r$ है। इसका समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = r^2$ है।
केंद्रों $(-2, 2)$ और $(2, 5)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ को $|R - r| < d < R + r$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
मान रखने पर,$|2 - r| < 5 < 2 + r$ प्राप्त होता है।
$5 < 2 + r$ से,$r > 3$ प्राप्त होता है।
$|2 - r| < 5$ से,$-5 < 2 - r < 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-3 < r < 7$।
इन दोनों को मिलाने पर,$3 < r < 7$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $(\alpha, \beta)$ $(3, 7)$ है,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = 7$ है।
$3 \beta - 2 \alpha = 3(7) - 2(3) = 21 - 6 = 15$।

(A) हमें $A = \{1, 2, \ldots, 10\}$ और $B = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in A, m < n, \gcd(m, n) = 1\right\}$ दिया गया है।
$n(B)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक $n \in \{2, 3, \ldots, 10\}$ के लिए उन भिन्नों $\frac{m}{n}$ की गणना करते हैं जहाँ $m < n$ और $\gcd(m, n) = 1$ है।
$n=2$ के लिए: $m \in \{1\}$,$\gcd(1, 2) = 1$. संख्या = $1$.
$n=3$ के लिए: $m \in \{1, 2\}$,$\gcd(1, 3) = 1, \gcd(2, 3) = 1$. संख्या = $2$.
$n=4$ के लिए: $m \in \{1, 3\}$,$\gcd(1, 4) = 1, \gcd(3, 4) = 1$. संख्या = $2$.
$n=5$ के लिए: $m \in \{1, 2, 3, 4\}$,सभी $5$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $4$.
$n=6$ के लिए: $m \in \{1, 5\}$,$\gcd(1, 6) = 1, \gcd(5, 6) = 1$. संख्या = $2$.
$n=7$ के लिए: $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,सभी $7$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $6$.
$n=8$ के लिए: $m \in \{1, 3, 5, 7\}$,सभी $8$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $4$.
$n=9$ के लिए: $m \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$,सभी $9$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $6$.
$n=10$ के लिए: $m \in \{1, 3, 7, 9\}$,सभी $10$ के साथ सह-अभाज्य हैं। संख्या = $4$.
इन सभी संख्याओं का योग: $1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 + 4 + 6 + 4 = 31$.
अतः,$n(B) = 31$.

(C) नाभियाँ $F_1 = (1, 14)$ और $F_2 = (1, -12)$ हैं। अतिपरवलय का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{1+1}{2}, \frac{14-12}{2}) = (1, 1)$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(1-1)^2 + (14 - (-12))^2} = 26$,इसलिए $ae = 13$.
अतिपरवलय बिंदु $(1, 6)$ से गुजरता है। चूँकि अनुप्रस्थ अक्ष ऊर्ध्वाधर है,अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $P$ के लिए $|PF_1 - PF_2| = 2a$.
$PF_1 = 8$ और $PF_2 = 18$.
$2a = |8 - 18| = 10$,इसलिए $a = 5$.
$ae = 13$ होने के कारण,$5e = 13$,अर्थात $e = \frac{13}{5}$.
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
अतः,$b^2 = 144$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 144}{5} = \frac{288}{5}$.

(B) $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}^{11}C_k x^k$ का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_0^1 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k}{k+1} = \frac{2^{12}-1}{12}$ प्राप्त होता है।
$-1$ से $0$ तक समाकलन करने पर,$\int_{-1}^0 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (-1)^k}{k+1} = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।
दोनों परिणामों को घटाने पर: $\sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (1 - (-1)^k)}{k+1} = \frac{2^{12}-2}{12} = \frac{2^{11}-1}{6}$।
इस योग में केवल विषम $k$ वाले पद ही बचेंगे,अर्थात $k = 2r+1$।
अतः,$2 \sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2^{11}-1}{6}$,जिसका अर्थ है कि $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2047}{12}$।
यहाँ $m = 2047$ और $n = 12$ है। इसलिए $m - n = 2047 - 12 = 2035$।

(A) मान लीजिए $y = \sqrt{x^3-1}$ है। व्यंजक $(x+y)^5 + (x-y)^5$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^5 + (x-y)^5 = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{4}xy^4]$।
$y^2 = x^3-1$ और $y^4 = (x^3-1)^2 = x^6 - 2x^3 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2[1 \cdot x^5 + 10 \cdot x^3(x^3-1) + 5 \cdot x(x^6 - 2x^3 + 1)]$।
$= 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$।
$= 10x^7 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\alpha = 10, \beta = 2, \gamma = -20, \delta = 10$।
दिए गए समीकरण: $10u + 2v = 18$ और $-20u + 10v = 20$।
पहले समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $5u + v = 9$।
दूसरे समीकरण को $10$ से विभाजित करने पर: $-2u + v = 2$।
समीकरणों को घटाने पर: $(5u + v) - (-2u + v) = 9 - 2$ $\Rightarrow 7u = 7$ $\Rightarrow u = 1$।
$u=1$ को $5u+v=9$ में रखने पर $v=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$u+v = 1+4 = 5$।

(A) चरण $1$: $3$ लड़कियों के समूह को एक इकाई और $4$ लड़कों के समूह को एक इकाई के रूप में मानें। इन $2$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $2! = 2$ हैं।
चरण $2$: लड़कियों की इकाई के भीतर,$3$ लड़कियों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
चरण $3$: लड़कों की इकाई के भीतर,$4$ लड़कों को $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। सभी लड़कियों के एक साथ और सभी लड़कों के एक साथ होने की कुल व्यवस्था $2 \times 6 \times 24 = 288$ है।
चरण $4$: अब,उन व्यवस्थाओं की गणना करें जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न (adjacent) हैं। $(B_1, B_2)$ को एक इकाई के रूप में मानें। $4$ लड़कों को $3! \times 2! = 12$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। लड़कियों के एक साथ,लड़कों के एक साथ और $B_1, B_2$ के आसन्न होने की कुल व्यवस्था $2 \times 6 \times 12 = 144$ है।
चरण $5$: उन तरीकों की संख्या जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न नहीं हैं,$288 - 144 = 144$ है।

(C) दिया गया है कि $P(4, 4\sqrt{3})$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है।
$P$ के निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर: $(4\sqrt{3})^2 = 4a(4) \Rightarrow 48 = 16a \Rightarrow a = 3$.
परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है। नाभि $S$ के निर्देशांक $(3, 0)$ हैं।
मान लीजिए $P$ का प्राचल $t_1$ है। $P = (at_1^2, 2at_1) = (3t_1^2, 6t_1) = (4, 4\sqrt{3})$,इसलिए $6t_1 = 4\sqrt{3} \Rightarrow t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,$t_1 t_2 = -1$,इसलिए $t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (3(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2, 2(3)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = (\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ हैं।
नियता का समीकरण $x = -3$ है।
$P(4, 4\sqrt{3})$ से $x = -3$ की लंबवत दूरी $PM = 4 - (-3) = 7$ है।
$Q(\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ से $x = -3$ की लंबवत दूरी $QN = \frac{9}{4} - (-3) = \frac{21}{4}$ है।
चतुर्भुज $PQMN$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समांतर भुजाएँ $PM$ और $QN$ हैं और ऊँचाई $MN$ है। $MN$ की लंबाई $y$-निर्देशांकों का अंतर है: $MN = |4\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})| = 7\sqrt{3}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (PM + QN) \times MN = \frac{1}{2} \times (7 + \frac{21}{4}) \times 7\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \frac{49}{4} \times 7\sqrt{3} = \frac{343\sqrt{3}}{8}$।

(A) मान लीजिए $A.P.$ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2k}$ है।
विषम स्थानों वाले पदों का योग: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r-1} = 40$.
सम स्थानों वाले पदों का योग: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r} = 55$.
सम और विषम पदों के योग का अंतर: $\sum_{r=1}^{k} (a_{2r} - a_{2r-1}) = 55 - 40 = 15$.
चूँकि $a_{2r} - a_{2r-1} = d$,इसलिए $k \times d = 15$,यानी $d = \frac{15}{k}$।
अंतिम पद $a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$ है। दिया गया है कि $a_{2k} - a_1 = 27$,इसलिए $(2k-1)d = 27$।
$d = \frac{15}{k}$ को समीकरण में रखने पर: $(2k-1) \frac{15}{k} = 27$।
$15(2k-1) = 27k \Rightarrow 30k - 15 = 27k$।
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$।

(A) दिया गया है $\alpha = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \left( \frac{e}{1-e} \right) \left( \frac{1}{e} - \frac{x}{1+x} \right) \right)^x$,जो $1^{\infty}$ रूप में है।
हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)(f(x)-1)}$।
माना $L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \left( \frac{e}{1-e} \right) \left( \frac{1}{e} - \frac{x}{1+x} \right) - 1 \right)$।
सीमा के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\left( \frac{e}{1-e} \right) \left( \frac{1}{e} - \frac{x}{1+x} \right) = \frac{1}{1-e} - \frac{ex}{(1-e)(1+x)} = \frac{1+x-ex}{(1-e)(1+x)}$।
अब,$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{1+x-ex}{(1-e)(1+x)} - 1 \right) = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{1+x-ex - (1-e)(1+x)}{(1-e)(1+x)} \right)$।
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{1+x-ex - (1+x-e-ex)}{(1-e)(1+x)} \right) = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{e}{(1-e)(1+x)} \right) = \frac{e}{1-e}$।
अतः,$\alpha = e^{\frac{e}{1-e}}$,इसलिए $\log _e \alpha = \frac{e}{1-e}$।
अभीष्ट मान $\frac{\log _e \alpha}{1+\log _e \alpha} = \frac{\frac{e}{1-e}}{1 + \frac{e}{1-e}} = \frac{e}{1-e+e} = e$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + (\cos \theta)x - 1 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha_\theta + \beta_\theta = -\frac{\cos \theta}{2}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha_\theta \beta_\theta = -\frac{1}{2}$ है।
हमें $\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2)^2 - 2(\alpha_\theta \beta_\theta)^2$ ज्ञात करना है।
चूँकि $\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2 = (\alpha_\theta + \beta_\theta)^2 - 2\alpha_\theta \beta_\theta = \frac{\cos^2 \theta}{4} + 1$ है।
अतः,$\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - 2(-\frac{1}{2})^2 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$।
माना $u = \cos^2 \theta$,जहाँ $u \in [0, 1]$ है।
$f(u) = (\frac{u}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$ लेने पर।
$u = 0$ के लिए,$f(0) = (1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = m$।
$u = 1$ के लिए,$f(1) = (\frac{1}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{25}{16} - \frac{8}{16} = \frac{17}{16} = M$।
इसलिए,$16(M + m) = 16(\frac{17}{16} + \frac{1}{2}) = 25$।

(C) दीर्घवृत्त $E$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{3} \Rightarrow ae = \sqrt{3}$ है।
अतिपरवलय $H$ के लिए,नाभियाँ $(\pm Ae', 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2Ae' = 2\sqrt{3} \Rightarrow Ae' = \sqrt{3}$ है।
अतः,$ae = Ae' \Rightarrow \frac{e}{e'} = \frac{A}{a}$ है।
दिया है $\frac{e}{e'} = \frac{1}{3}$,तो $\frac{A}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3A$ है।
दिया है $a - A = 2$,$a = 3A$ प्रतिस्थापित करने पर $3A - A = 2$ $\Rightarrow 2A = 2$ $\Rightarrow A = 1$ और $a = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $ae = \sqrt{3}$,$3e = \sqrt{3} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। तब $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{3}) = 9(\frac{2}{3}) = 6$ है।
चूंकि $Ae' = \sqrt{3}$,$1 \cdot e' = \sqrt{3} \Rightarrow e' = \sqrt{3}$ है। तब $B^2 = A^2((e')^2 - 1) = 1(3 - 1) = 2$ है।
$E$ के नाभिलंब की लंबाई $L_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(6)}{3} = 4$ है।
$H$ के नाभिलंब की लंबाई $L_H = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{1} = 4$ है।
उनके नाभिलंबों की लंबाइयों का योग $4 + 4 = 8$ है।

(D) दिए गए समीकरण $2 \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ और $2 \cos^2 \theta = 3 \sin \theta$ हैं।
पहले समीकरण से: $2 \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
दूसरे समीकरण से: $2(1 - \sin^2 \theta) = 3 \sin \theta \implies 2 - 2 \sin^2 \theta = 3 \sin \theta \implies 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$.
चूंकि $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,सामान्य हल $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
इन मानों का योग $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi$ है।

(A) मान लीजिए $z=x+iy$. वक्र के समीकरण में यह मान रखने पर:
$(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i)=4$
$x+ix+iy-y+x-ix-iy-y=4$
$2x-2y=4 \implies x-y=2$.
क्षेत्र $|z-3| \leq 1$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r=1$ है,जो $(x-3)^2+y^2 \leq 1$ है।
रेखा $x-y=2$ वृत्त को $(2,0)$ और $(3,1)$ बिंदुओं पर काटती है।
केंद्र $(3,0)$ से रेखा $x-y-2=0$ की दूरी $d = \frac{|3-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल $A_{segment} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ है।
छोटा क्षेत्रफल $\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ और बड़ा क्षेत्रफल $\beta = \pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}$ है।
अतः $|\alpha-\beta| = \frac{\pi}{2} + 1$.

(B) शीर्ष $A(6, 8)$,$B(10 \cos \alpha, -10 \sin \alpha)$,और $C(-10 \sin \alpha, 10 \cos \alpha)$ सभी वृत्त $x^2 + y^2 = 100$ पर स्थित हैं। अतः परिकेंद्र $O$ $(0, 0)$ है।
किसी भी त्रिभुज में,लंबकेंद्र $L$,केंद्रक $G$,और परिकेंद्र $O$ संरेख होते हैं,और $G$,$OL$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G(h, k) = \left(\frac{a}{3}, 3\right)$।
अतः,$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$ और $k = 3$।
केंद्रक $G(h, k) = \left(\frac{6 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}, \frac{8 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}\right)$।
चूंकि $k = 3$,हमें $10(\cos \alpha - \sin \alpha) = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$100(1 - \sin 2\alpha) = 1 \Rightarrow 100 \sin 2\alpha = 99$।
$h = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$5a - 3h + 6k + 100 \sin 2\alpha = 12h + 18 + 99 = 12(\frac{7}{3}) + 117 = 28 + 117 = 145$।

(C) मान लीजिए कि समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $5$ है। बिंदु $P$ एक रेखा से $1$ की दूरी पर और दूसरी रेखा से $4$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो $PR$ उस रेखा के साथ बनाता है जो $P$ से $4$ की दूरी पर है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,$PR = \frac{4}{\sin \theta} = 4 \operatorname{cosec} \theta$.
इसी प्रकार,$PQ = \frac{1}{\sin(90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ}))} = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
चूंकि $\triangle PQR$ समबाहु है,$PR = PQ = d$.
अतः,$4 \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
$4 \cos(\theta + 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\cos \theta \cos 30^{\circ} - \sin \theta \sin 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta = 3 \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
तब $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4/3}{1 + 4/3} = \frac{4/3}{7/3} = \frac{4}{7}$.
$d^2 = PR^2 = (4 \operatorname{cosec} \theta)^2 = 16 \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 \times \frac{1}{\sin^2 \theta} = 16 \times \frac{7}{4} = 28$.

(D) हमारे पास व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ है।
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,पद $r(31-r) {}^{30}C_r$ बन जाता है।
चूंकि $r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$,योग $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ है।
$k = r-1$ लेने पर,$r = k+1$. जब $r$,$1$ से $30$ तक जाता है,तो $k$,$0$ से $29$ तक जाता है।
$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.
$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.
अतः,$\alpha = 465$.

(D) दी गई रेखा $3x - 2y + 12 = 0$ है और परवलय $4y = 3x^2$ है।
रेखा के समीकरण से,$2y = 3x + 12$.
इसे परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(3x + 12) = 3x^2$.
$3x^2 - 6x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
$(x - 4)(x + 2) = 0$,अतः $x = 4$ या $x = -2$.
यदि $x = 4$,तो $4y = 3(16) = 48 \Rightarrow y = 12$. बिंदु $B = (4, 12)$.
यदि $x = -2$,तो $4y = 3(4) = 12 \Rightarrow y = 3$. बिंदु $A = (-2, 3)$.
परवलय $4y = 3x^2$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{3 - 0}{-2 - 0} = -\frac{3}{2}$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{12 - 0}{4 - 0} = 3$ है।
शीर्ष $O$ पर $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-3/2)}{1 + (3)(-3/2)} \right| = \left| \frac{9/2}{1 - 9/2} \right| = \left| \frac{9/2}{-7/2} \right| = \frac{9}{7}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{7}\right)$।

(B) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 3$ है।
मान लीजिए $d$ सार्व अंतर है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
प्रथम चार पदों का योग $S_4 = \frac{4}{2}[2(3) + (4-1)d] = 2(6 + 3d) = 12 + 6d$ है।
अगले चार पदों का योग $S_8 - S_4$ है।
प्रश्न के अनुसार,$S_4 = \frac{1}{5}(S_8 - S_4)$ है।
$5S_4 = S_8 - S_4 \Rightarrow 6S_4 = S_8$।
$6 \times [2(6 + 3d)] = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d]$।
$12(6 + 3d) = 4(6 + 7d)$।
$3(6 + 3d) = 6 + 7d$।
$18 + 9d = 6 + 7d$।
$2d = -12 \Rightarrow d = -6$।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (20-1)(-6)]$ है।
$S_{20} = 10[6 + 19(-6)] = 10[6 - 114] = 10(-108) = -1080$।

(A) दिया गया है $\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}$.
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर: $\left|\frac{\bar{z}-i}{2(\bar{z}+i/2)}\right|=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow \left|\frac{\bar{z}-i}{\bar{z}+i/2}\right|=\frac{2}{3}$.
मान लीजिए $z = x+iy$,तो $\bar{z} = x-iy$. इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$3|x-iy-i| = 2|x-iy+i/2|$
$9(x^2 + (-y-1)^2) = 4(x^2 + (-y+1/2)^2)$
$9(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(x^2 + y^2 - y + 1/4)$
$9x^2 + 9y^2 + 18y + 9 = 4x^2 + 4y^2 - 4y + 1$
$5x^2 + 5y^2 + 22y + 8 = 0$
$x^2 + y^2 + \frac{22}{5}y + \frac{8}{5} = 0$.
केंद्र $C$ $(0, -11/5)$ है।
$(0,0)$,$(0, -11/5)$ और $(\alpha, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 11$ है।
$\frac{1}{2} |0(-11/5 - 0) + 0(0 - 0) + \alpha(0 - (-11/5))| = 11$.
$\frac{1}{2} |\alpha \cdot \frac{11}{5}| = 11$.
$|\alpha| = 10$.
अतः,$\alpha^2 = 100$.

(C) शब्द $\text{DAUGHTER}$ में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, A, U, G, H, T, E, R$।
इसमें $3$ स्वर हैं: $A, U, E$ और $5$ व्यंजन हैं: $D, G, H, T, R$।
कुल शब्दों की संख्या $= 8! = 40320$।
उन शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें सभी स्वर एक साथ न आएं,हम कुल शब्दों में से उन शब्दों को घटाते हैं जिनमें सभी स्वर एक साथ होते हैं।
$3$ स्वरों $(A, U, E)$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ व्यंजन $+ 1$ इकाई $= 6$ इकाइयाँ हैं।
इन $6$ इकाइयों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर के $3$ स्वरों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
वे शब्द जिनमें स्वर एक साथ हैं $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$।
वे शब्द जिनमें स्वर कभी एक साथ नहीं आते $= 8! - (6! \times 3!) = 40320 - 4320 = 36000$।

(B) $QR$ रेखा का समीकरण $5x + 2y + 2 = 0$ है।
$PR$ रेखा का समीकरण $10x - 3y - 38 = 0$ है।
अतः,बिंदु $R(2, -6)$ प्राप्त होता है।
केंद्रक $= \left(\frac{5-2+2}{3}, \frac{4+4-6}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
$c + 2d = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3$.

(A) माना $E = \sin 70^{\circ} (\cot 10^{\circ} \cot 70^{\circ} - 1)$ है।
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} - 1 \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ} - \sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos(10^{\circ} + 70^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
चूँकि $\cos 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 10^{\circ}$ है:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right) = 1$।

(B) समूहीकृत डेटा की माध्यिका का सूत्र $\text{Median} = \ell + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$ है।
दिया गया है: $\text{Median} = 14$,$\ell = 12$,$h = 6$,$f = 12$,और $F = 18$।
सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$14 = 12 + \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{12} \right) \times 6$
$14 - 12 = \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{2} \right)$
$2 = \frac{\frac{N}{2} - 18}{2}$
$4 = \frac{N}{2} - 18$
$22 = \frac{N}{2}$
$N = 44$।
अतः,छात्रों की कुल संख्या $44$ है।

(B) $(1+2^{1/3}+3^{1/2})^6$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{6!}{r_1! r_2! r_3!} (1)^{r_1} (2^{1/3})^{r_2} (3^{1/2})^{r_3}$ है,जहाँ $r_1+r_2+r_3=6$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$r_2$ को $3$ का गुणज और $r_3$ को $2$ का गुणज होना चाहिए।
$(r_1, r_2, r_3)$ के लिए संभावित मान:
$1$. $(6, 0, 0) \implies 1$
$2$. $(4, 0, 2) \implies 45$
$3$. $(2, 0, 4) \implies 135$
$4$. $(0, 0, 6) \implies 27$
$5$. $(3, 3, 0) \implies 40$
$6$. $(1, 3, 2) \implies 360$
$7$. $(0, 6, 0) \implies 4$
योग $= 1 + 45 + 135 + 27 + 40 + 360 + 4 = 612$.

(C) माना वृत्त $C$ का केंद्र $(\alpha, 0)$ है जहाँ $\alpha > 0$ है। चूँकि वृत्त रेखा $x - y + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r$ केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी है:
$r = \left| \frac{\alpha - 0 + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{\alpha + 1}{\sqrt{2}}$
अतः,$r^2 = \frac{(\alpha + 1)^2}{2} \quad \dots(1)$
वृत्त रेखा $3x - 2y + 1 = 0$ पर $L = \frac{4}{\sqrt{13}}$ लंबाई की जीवा काटता है। केंद्र $(\alpha, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \left| \frac{3\alpha - 2(0) + 1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} \right| = \frac{3\alpha + 1}{\sqrt{13}}$
संबंध $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ का उपयोग करने पर:
$r^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2}{13} + \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13} \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{(\alpha + 1)^2}{2} = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13}$
$13(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 2(9\alpha^2 + 6\alpha + 1 + 4)$
$13\alpha^2 + 26\alpha + 13 = 18\alpha^2 + 12\alpha + 10$
$5\alpha^2 - 14\alpha - 3 = 0$
$(5\alpha + 1)(\alpha - 3) = 0$
चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = 3$ है। तब $r^2 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = 8$,अतः $r = 2\sqrt{2}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभि $(\alpha, 0) = (3, 0)$ है,इसलिए $ae = 3$ है। अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2r = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{2}$ और $a^2 = 8$ है।
चूँकि $a^2e^2 = 9$ है,इसलिए $8e^2 = 9$,जिससे $e^2 = \frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 8(\frac{9}{8} - 1) = 8(\frac{1}{8}) = 1$ है।
इस प्रकार,$2a^2 + 3b^2 = 2(8) + 3(1) = 16 + 3 = 19$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ है।
गुणांकों का योग $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0$ है।
अतः,$x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
चूँकि मूल समान हैं,इसलिए दोनों मूल $1$ होंगे।
मूलों का गुणनफल $\frac{c(a-b)}{a(b-c)} = 1 \times 1 = 1$ है।
अतः,$c(a-b) = a(b-c) \Rightarrow 2ac = b(a+c)$।
$a+c = 15$ और $b = \frac{36}{5}$ रखने पर,$2ac = \frac{36}{5} \times 15 = 108$ प्राप्त होता है।
अतः $ac = 54$।
$a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac = (15)^2 - 108 = 225 - 108 = 117$।

(C) विस्तार $(1+x)^p(1-x)^q = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \dots)$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ का गुणांक $p - q = 1$ है।
$x^2$ का गुणांक $\frac{q(q-1)}{2} - pq + \frac{p(p-1)}{2} = -2$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $q^2 - q - 2pq + p^2 - p = -4$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(p^2 - 2pq + q^2) - (p + q) = -4$।
$(p - q)^2 - (p + q) = -4$।
चूंकि $p - q = 1$,हमारे पास $1^2 - (p + q) = -4$ है,जिसका अर्थ है $p + q = 5$।
$p - q = 1$ और $p + q = 5$ को हल करने पर,हमें $2p = 6 \implies p = 3$ और $q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^2 + q^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$।

(D) हमें समुच्चय $A = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x + y| \geq 3\}$ और $B = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x| + |y| \leq 3\}$ दिए गए हैं।
हमें समुच्चय $C = \{(x, y) \in A \cap B : x = 0 \text{ या } y = 0\}$ ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $(0, y) \in A \cap B$.
$B$ से,$|0| + |y| \leq 3 \implies |y| \leq 3 \implies -3 \leq y \leq 3$.
$A$ से,$|0 + y| \geq 3 \implies |y| \geq 3$.
इन दोनों को मिलाने पर,$|y| = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 3$ या $y = -3$ है। अतः,$(0, 3)$ और $(0, -3)$ समुच्चय $C$ में हैं।
स्थिति $2$: यदि $y = 0$ है,तो $(x, 0) \in A \cap B$.
$B$ से,$|x| + |0| \leq 3 \implies |x| \leq 3 \implies -3 \leq x \leq 3$.
$A$ से,$|x + 0| \geq 3 \implies |x| \geq 3$.
इन दोनों को मिलाने पर,$|x| = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 3$ या $x = -3$ है। अतः,$(3, 0)$ और $(-3, 0)$ समुच्चय $C$ में हैं।
इसलिए,$C = \{(3, 0), (-3, 0), (0, 3), (0, -3)\}$.
अब,हम $\sum_{(x, y) \in C} |x + y| = |3 + 0| + |-3 + 0| + |0 + 3| + |0 - 3| = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ की गणना करते हैं।

(B) माना $A$ के निर्देशांक $(a, a+2)$ और $B$ के निर्देशांक $(b, -2)$ हैं।
बिंदु $P(h, k)$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $h = \frac{2b+a}{3}$ और $k = \frac{2(-2)+1(a+2)}{3} = \frac{a-2}{3}$.
$k = \frac{a-2}{3}$ से,$a = 3k+2$ प्राप्त होता है।
$h = \frac{2b+a}{3}$ से,$2b = 3h-a = 3h-3k-2$,इसलिए $b = \frac{3h-3k-2}{2}$.
छड़ की लंबाई $AB = 8$ है,इसलिए $AB^2 = 64$.
$(b-a)^2 + (-2-(a+2))^2 = 64$
$(\frac{3h-3k-2}{2} - (3k+2))^2 + (-4-a)^2 = 64$
$(\frac{3h-9k-6}{2})^2 + (-4-(3k+2))^2 = 64$
$\frac{9(h-3k-2)^2}{4} + (3k+6)^2 = 64$
$9(h^2+9k^2+4-6hk-4h+12k) + 4(9k^2+36k+36) = 256$
$9(h^2+9k^2-6hk-4h+12k+4+4k^2+16k+16) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k+20) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) + 180 = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) - 76 = 0$.
$9(x^2+\alpha y^2+\beta xy+\gamma x+28y)-76=0$ से तुलना करने पर,$\alpha=13$,$\beta=-6$,$\gamma=-4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha-\beta-\gamma = 13 - (-6) - (-4) = 13+6+4 = 23$.

(A) $16$ में से किन्हीं दो वर्गों को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ हैं।
यदि दो वर्ग क्षैतिज या लंबवत रूप से आसन्न हैं,तो उनकी एक सामान्य भुजा होती है।
$4 \times 4$ ग्रिड में,क्षैतिज आसन्न जोड़ों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
लंबवत आसन्न जोड़ों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
सामान्य भुजा वाले जोड़ों की कुल संख्या = $12 + 12 = 24$ है।
दो चुने गए वर्गों की सामान्य भुजा होने की प्रायिकता $P(\text{common side}) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ है।
उनके बीच कोई सामान्य भुजा न होने की प्रायिकता $1 - P(\text{common side}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(A) सर्वसमिका $\cos \theta \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) \cos(\frac{\pi}{3} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 6 + 16 \left(\frac{1}{4} \cos 3x\right) \sin 3x \cdot \cos 6x$
$f(x) = 6 + 4 \cos 3x \sin 3x \cos 6x$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$4 \cos 3x \sin 3x = 2 \sin 6x$ प्राप्त होता है:
$f(x) = 6 + 2 \sin 6x \cos 6x$
पुनः $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 6 + \sin 12x$
चूंकि $-1 \le \sin 12x \le 1$,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[5, 7]$ है।
अतः,$\alpha = 5$ और $\beta = 7$ है।
बिंदु $(5, 7)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|3(5) + 4(7) + 12|}{\sqrt{25}} = \frac{55}{5} = 11$.

(A) परवलय $y^2 = 4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $S(1, 0)$ है।
मान लीजिए $P(t^2, 2t)$ परवलय पर एक बिंदु है। $P$ पर अभिलंब $y + tx = 2t + t^3$ है।
अभिलंब $(a, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 + t(a) = 2t + t^3$,जिससे $a = 2 + t^2$ प्राप्त होता है।
दूरी $PR = 4$,जहाँ $R = (a, 0) = (2+t^2, 0)$ है।
$PR^2 = (t^2-a)^2 + (2t)^2 = (t^2 - (2+t^2))^2 + 4t^2 = 4 + 4t^2 = 16$.
$4t^2 = 12 \Rightarrow t^2 = 3$.
अतः $a = 2 + 3 = 5$। बिंदु $(5, 0)$ है।
वृत्त $(5, 0)$ और नाभि $(1, 0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $x$-अक्ष पर है।
व्यास के अंतिम बिंदु $(1, 0)$ और $(5, 0)$ हैं।
समीकरण: $(x-1)(x-5) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$.

(A) मध्य-बिंदु $(h, k) = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{x(1)}{4} + \frac{y(1/2)}{2} = \frac{1^2}{4} + \frac{(1/2)^2}{2}$
$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \frac{3}{8} \implies x+y = \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2} - x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$6x^2 - 12x + 1 = 0$
$|x_2 - x_1| = \sqrt{\frac{10}{3}}$
जीवा की लंबाई = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{\frac{10}{3} + \frac{10}{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$.

(D) $|z|=1$ दिया गया है,हम $z = e^{i\theta}$ लिख सकते हैं जहाँ $\theta \in [0, 2\pi)$.
तब $\bar{z} = e^{-i\theta}$.
अतः,$\frac{z}{\bar{z}} = e^{i2\theta}$ और $\frac{\bar{z}}{z} = e^{-i2\theta}$.
दिया गया समीकरण $\left|e^{i2\theta} + e^{-i2\theta}\right| = 1$ है।
ऑयलर के सूत्र का उपयोग करने पर,$e^{i2\theta} + e^{-i2\theta} = 2\cos(2\theta)$.
अतः,$|2\cos(2\theta)| = 1$,जिसका अर्थ है $|\cos(2\theta)| = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\cos(2\theta) = \pm \frac{1}{2}$.
$\theta \in [0, 2\pi)$ के लिए,$2\theta \in [0, 4\pi)$.
यदि $\cos(2\theta) = \frac{1}{2}$ है,तो $2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.
यदि $\cos(2\theta) = -\frac{1}{2}$ है,तो $2\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.
$\theta$ के लिए $8$ अलग-अलग मान मिलते हैं,इसलिए ऐसी $8$ सम्मिश्र संख्याएँ $z$ संभव हैं।

(D) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2x^2-3x+5)(3x-1)^{x/2}}{(3x^2+5x+4)(3x+2)^{x/2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2(2-3/x+5/x^2)}{x^2(3+5/x+4/x^2)} \cdot \left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)^{x/2}$
$= \frac{2}{3} \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1-1/(3x)}{1+2/(3x)} \right)^{x/2}$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{\lim _{x \rightarrow \infty} (1-1/(3x))^{x/2}}{\lim _{x \rightarrow \infty} (1+2/(3x))^{x/2}}$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{e^{\lim _{x \rightarrow \infty} (x/2)(-1/(3x))}}{e^{\lim _{x \rightarrow \infty} (x/2)(2/(3x)))}}$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{e^{-1/6}}{e^{1/3}} = \frac{2}{3} e^{-1/6 - 1/3} = \frac{2}{3} e^{-1/2} = \frac{2}{3\sqrt{e}}$

(A) स्थिति $1$: सभी $5$ लड़के एक साथ बैठें। $5$ लड़कों को $1$ इकाई मान लें। हमारे पास $1$ लड़कों की इकाई और $4$ लड़कियाँ हैं,कुल $5$ इकाइयाँ। इन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $5$ लड़के आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं। कुल तरीके $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
स्थिति $2$: कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें। पहले,$4$ लड़कियों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। यह $5$ रिक्त स्थान बनाता है (सिरों सहित) जहाँ $5$ लड़के बैठ सकते हैं: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ लड़कों को $5$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $P(5, 5) = 5!$ हैं। कुल तरीके $= 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$.
चूंकि ये दोनों स्थितियाँ परस्पर अपवर्जी हैं,कुल तरीके $= 14400 + 2880 = 17280$.

(B) दिए गए समीकरण $x^2-ax-b=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta$ संबंध $\alpha+\beta=a$ और $\alpha\beta=-b$ को संतुष्ट करते हैं।
चूंकि $P_n = \alpha^n - \beta^n$ है,इसलिए हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध $P_n = aP_{n-1} + bP_{n-2}$ है।
$P_6 = aP_5 + bP_4$ का उपयोग करने पर,हमें $45\sqrt{7}i = a(11\sqrt{7}i) + b(-3\sqrt{7}i)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $11a - 3b = 45$ बनता है।
$P_5 = aP_4 + bP_3$ का उपयोग करने पर,हमें $11\sqrt{7}i = a(-3\sqrt{7}i) + b(-5\sqrt{7}i)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-3a - 5b = 11$ बनता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=3$ और $b=-4$ प्राप्त होता है।
हमें $|\alpha^4+\beta^4|$ ज्ञात करना है। ध्यान दें कि $(\alpha^4+\beta^4)^2 = (\alpha^4-\beta^4)^2 + 4\alpha^4\beta^4 = P_4^2 + 4(\alpha\beta)^4$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$P_4^2 = (-3\sqrt{7}i)^2 = 9 \times 7 \times (-1) = -63$ है।
साथ ही,$4(\alpha\beta)^4 = 4(-b)^4 = 4(-(-4))^4 = 4(256) = 1024$ है।
अतः,$(\alpha^4+\beta^4)^2 = -63 + 1024 = 961$ है।
इसलिए,$|\alpha^4+\beta^4| = \sqrt{961} = 31$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 4(x + 4)$ है। यहाँ नाभि $(-3, 0)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + 3)^2 + y^2 = 25$ है।
रेखाओं $3x - y = 0$ और $x + \lambda y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{4}{1 + 3\lambda}, \frac{12}{1 + 3\lambda})$ है।
इस बिंदु को वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $6\lambda^2 + \lambda - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\lambda_1 = -7/6$ और $\lambda_2 = 1$ प्राप्त होते हैं।
$12\lambda_1 + 29\lambda_2 = 12(-7/6) + 29(1) = -14 + 29 = 15$.

(D) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 13$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$-वाँ पद $a_n = a + (n-1)d = 320$ है।
$8 + (n-1)13 = 320 \implies 13(n-1) = 312 \implies n-1 = 24 \implies n = 25$.
माध्य $\bar{x} = \frac{8 + 320}{2} = \frac{328}{2} = 164$.
$n$ पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{(25^2 - 1) \times 13^2}{12} = \frac{(625 - 1) \times 169}{12} = \frac{624 \times 169}{12}$.
$\sigma^2 = 52 \times 169 = 8788$.

(A) दिया गया है कि प्रथम $11$ पदों का योग $S_{11} = 88$ और सार्व अंतर $d = \frac{3}{2}$ है।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ का उपयोग करने पर:
$88 = \frac{11}{2}(2a + 10 \times \frac{3}{2})$
$8 = \frac{1}{2}(2a + 15) \implies 16 = 2a + 15 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
$10$ वां और $11$ वां पद:
$T_{10} = a + 9d = \frac{1}{2} + 9(\frac{3}{2}) = 14$.
$T_{11} = a + 10d = \frac{1}{2} + 10(\frac{3}{2}) = \frac{31}{2}$.
द्विघात समीकरण $3x^2 - px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $\frac{p}{3} = T_{10} + T_{11} = 14 + \frac{31}{2} = \frac{59}{2} \implies p = \frac{177}{2}$.
मूलों का गुणनफल $\frac{q}{3} = T_{10} \times T_{11} = 14 \times \frac{31}{2} = 217 \implies q = 651$.
$q - 2p = 651 - 2(\frac{177}{2}) = 651 - 177 = 474$.

(C) दिया गया समीकरण: $f(x) - 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{35}{3x} - \frac{5}{2} \quad (1)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर:
$f\left(\frac{1}{x}\right) - 6f(x) = \frac{35x}{3} - \frac{5}{2} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$6f\left(\frac{1}{x}\right) - 36f(x) = 70x - 15 \quad (3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$-35f(x) = \frac{35}{3x} - \frac{35}{2} + 70x$
$f(x) = -\frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}$
$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{\alpha x} - \frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}\right) = \beta$
यहाँ $\alpha = 3$ और $\beta = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta = 3 + 2(1/2) = 4$.

(A) $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
$S_{2025} = \frac{2025}{2026}$.
$\sqrt{2026 \cdot S_{2025}} = \sqrt{2026 \cdot \frac{2025}{2026}} = \sqrt{2025} = 45$.
$-p$ प्रथम पद और $p$ सार्व अंतर वाली $A.P.$ के लिए,प्रथम $6$ पदों का योग $S_{6} = \frac{6}{2} [2(-p) + (6-1)p] = 3[-2p + 5p] = 3(3p) = 9p$ है।
दिया गया है $9p = 45$,इसलिए $p = 5$.
$n$ वाँ पद $A_{n} = a + (n-1)d = -p + (n-1)p = (n-2)p$ है।
$20$ वें और $15$ वें पद के बीच का निरपेक्ष अंतर $|A_{20} - A_{15}| = |(20-2)p - (15-2)p| = |18p - 13p| = |5p|$ है।
$p = 5$ रखने पर,हमें $|5 \times 5| = 25$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $2z^2 - 3z - 2i = 0$ है।
$z$ से भाग देने पर,हमें $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,या $z - \frac{i}{z} = \frac{3}{2}$।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha - \frac{i}{\alpha} = \frac{3}{2}$ और $\beta - \frac{i}{\beta} = \frac{3}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha - \frac{i}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{i^2}{\alpha^2} - 2i = \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} - 2i = \frac{9}{4}$।
अतः,$\alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{9}{4} + 2i$। इसी प्रकार,$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} = \frac{9}{4} + 2i$।
व्यंजक $E = \frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{\alpha^{15}(\alpha^4 + \alpha^{-4}) + \beta^{15}(\beta^4 + \beta^{-4})}{\alpha^{15} + \beta^{15}}$ पर विचार करें।
ध्यान दें कि $(\alpha^2 - \alpha^{-2})^2 = \alpha^4 + \alpha^{-4} - 2 = (\frac{9}{4} + 2i)^2 = \frac{81}{16} - 4 + 9i = \frac{17}{16} + 9i$।
इसलिए,$\alpha^4 + \alpha^{-4} = \frac{17}{16} + 9i + 2 = \frac{49}{16} + 9i$।
इसे $E$ में प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{(\alpha^{15} + \beta^{15})(\frac{49}{16} + 9i)}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{49}{16} + 9i$।
अतः $\operatorname{Re}(E) = \frac{49}{16}$ और $\operatorname{Im}(E) = 9$।
अभीष्ट मान $16 \cdot \operatorname{Re}(E) \cdot \operatorname{Im}(E) = 16 \cdot \frac{49}{16} \cdot 9 = 49 \cdot 9 = 441$ है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध समुच्चय $A$ के विभाजन के अनुरूप होता है। $n$ अवयवों वाले समुच्चय पर तुल्यता संबंधों की संख्या बेल संख्या $B_n$ द्वारा दी जाती है।
समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ के लिए,अवयवों की संख्या $n = 3$ है।
$\{1, 2, 3\}$ के विभाजन इस प्रकार हैं:
$1$. $\{\{1\}, \{2\}, \{3\}\}$ (तत्समक संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ के अनुरूप)
$2$. $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ (संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ के अनुरूप)
$3$. $\{\{1, 3\}, \{2\}\}$ (संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,1)\}$ के अनुरूप)
$4$. $\{\{2, 3\}, \{1\}\}$ (संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ के अनुरूप)
$5$. $\{\{1, 2, 3\}\}$ (सार्वत्रिक संबंध $R = A \times A$ के अनुरूप)
अतः,कुल $5$ संभावित तुल्यता संबंध हैं। चूंकि ये सभी अरिक्त हैं,इसलिए कुल संख्या $5$ है।

(C) दिया गया है $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$। यह फलन समीकरण $f(x) = e^{\lambda x}$ को दर्शाता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) = \lambda e^{\lambda x}$,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lambda = 4a$ है।
अतः,$f(x) = e^{4ax}$।
अब,$f(x) = e^{4ax}$ को अवकल समीकरण $f^{\prime \prime}(x) - 3a f^{\prime}(x) - f(x) = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(x) = 4a e^{4ax}$ और $f^{\prime \prime}(x) = 16a^2 e^{4ax}$।
समीकरण में मान रखने पर: $16a^2 e^{4ax} - 3a(4a e^{4ax}) - e^{4ax} = 0$।
$e^{4ax}$ से भाग देने पर: $16a^2 - 12a^2 - 1 = 0$।
$4a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{4}$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
अब,$f(ax) = f(\frac{1}{2} x) = e^{4(\frac{1}{2})x} = e^{2x}$।
क्षेत्रफल = $\int_{0}^{2} e^{2x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{e^4 - 1}{2}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $C$ है।

(D) माना $f(x) = 16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ के लिए $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $a = \sec^{-1} x$ है। तब $\operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - a$ होगा।
$\sec^{-1} x$ का प्रांत $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है $f(a) = 16(a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2) = 16(a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2) = 16(2a^2 - \pi a + \frac{\pi^2}{4}) = 32a^2 - 16\pi a + 4\pi^2$।
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है जो ऊपर की ओर खुलता है। इसका शीर्ष $a = \frac{-(-16\pi)}{2(32)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूंकि $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$, न्यूनतम मान $a = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
$\text{न्यूनतम} = f(\frac{\pi}{4}) = 32(\frac{\pi^2}{16}) - 16\pi(\frac{\pi}{4}) + 4\pi^2 = 2\pi^2 - 4\pi^2 + 4\pi^2 = 2\pi^2$।
अधिकतम मान अंतराल $[0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ की सीमाओं पर प्राप्त होता है, जो $a=0$ या $a=\pi$ हैं।
$f(0) = 16(0^2 + (\frac{\pi}{2} - 0)^2) = 16(\frac{\pi^2}{4}) = 4\pi^2$।
$f(\pi) = 16(\pi^2 + (\frac{\pi}{2} - \pi)^2) = 16(\pi^2 + \frac{\pi^2}{4}) = 16(\frac{5\pi^2}{4}) = 20\pi^2$।
अतः, अधिकतम मान $20\pi^2$ है और न्यूनतम मान $2\pi^2$ है।
योग $20\pi^2 + 2\pi^2 = 22\pi^2$ है।

(B) तीन बार सिक्का उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $X$ चित के बाद पट आने की संख्या है (अर्थात $HT$ पैटर्न)।
$HHH \rightarrow 0$
$HHT \rightarrow 1$
$HTH \rightarrow 1$
$HTT \rightarrow 1$
$THH \rightarrow 0$
$THT \rightarrow 1$
$TTH \rightarrow 0$
$TTT \rightarrow 0$
$X$ के मान $0$ और $1$ हैं।
$P(X=0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
माध्य $\mu = E[X] = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = (0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$64(\mu + \sigma^2) = 64(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.

(D) मान लीजिए $P(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है और $Q(3\mu+2, 4\mu+4, 5\mu+5)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है।
$PQ$ के दिक अनुपात $(3\mu-2\lambda+1, 4\mu-3\lambda+2, 5\mu-4\lambda+2)$ हैं।
चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,इसलिए $PQ \perp L_1$ और $PQ \perp L_2$ है।
$PQ \perp L_1$ के लिए: $2(3\mu-2\lambda+1) + 3(4\mu-3\lambda+2) + 4(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 38\mu - 29\lambda + 16 = 0$.
$PQ \perp L_2$ के लिए: $3(3\mu-2\lambda+1) + 4(4\mu-3\lambda+2) + 5(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 50\mu - 38\lambda + 21 = 0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{1}{3}$ और $\mu = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \left(\frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}\right)$ और $Q = \left(\frac{3}{2}, \frac{10}{3}, \frac{25}{6}\right)$ प्राप्त होते हैं।
$P$ से गुजरने वाली और $\vec{PQ} = Q-P = \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{6}\right)$ (या $(1, -2, 1)$) के समानुपाती दिक अनुपात वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-5/3}{1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-13/3}{1}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $\left(\frac{14}{3}, -3, \frac{22}{3}\right)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है: $\frac{14/3 - 5/3}{1} = 3$,$\frac{-3-3}{-2} = 3$,$\frac{22/3 - 13/3}{1} = 3$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int y^{-2} dy} = e^{-1/y}$ है।
हल $x \cdot e^{-1/y} = \int Q(y) \cdot e^{-1/y} dy + C$ है।
माना $t = -1/y$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$।
$x \cdot e^{-1/y} = \int (-t) e^t dt + C = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$।
$t = -1/y$ रखने पर,$x \cdot e^{-1/y} = e^{-1/y}(1 + \frac{1}{y}) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x(1) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C$,इसलिए $e^{-1} = 2e^{-1} + C$,जिसका अर्थ है $C = -e^{-1}$।
अतः,$x = 1 + \frac{1}{y} - e^{1/y} \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{y} - e^{(1/y) - 1}$।
$y = 1/2$ के लिए,$x = 1 + \frac{1}{1/2} - e^{(1/(1/2)) - 1} = 1 + 2 - e^{2-1} = 3 - e$।

(C) दिया गया है $f(x) = (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\tan^2 x + 1) = (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\sec^2 x)$.
$I_1 = \int_0^{\pi/4} (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\sec^2 x) \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$. जब $x \to 0, t \to 0$ और जब $x \to \pi/4, t \to 1$.
$I_1 = \int_0^1 (7t^6 - 3t^2) \, dt = [t^7 - t^3]_0^1 = 1 - 1 = 0$.
अब,$I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx = \int_0^{\pi/4} x \frac{d}{dx} (\tan^7 x - \tan^3 x) \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $I_2 = [x(\tan^7 x - \tan^3 x)]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} (\tan^7 x - \tan^3 x) \, dx$.
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$,इसलिए सीमा पद $0 - 0 = 0$ होगा।
$I_2 = - \int_0^{\pi/4} \tan^3 x (\tan^4 x - 1) \, dx = - \int_0^{\pi/4} \tan^3 x (\tan^2 x - 1)(\tan^2 x + 1) \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
$I_2 = - \int_0^1 t^3(t^2 - 1) \, dt = - \int_0^1 (t^5 - t^3) \, dt = - [\frac{t^6}{6} - \frac{t^4}{4}]_0^1 = - (\frac{1}{6} - \frac{1}{4}) = - (\frac{2-3}{12}) = \frac{1}{12}$.
अतः,$7 I_1 + 12 I_2 = 7(0) + 12(\frac{1}{12}) = 1$.

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1=2f'(0)$,इसलिए $f'(0)=\frac{1}{2}$.
मूल समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ प्राप्त होता है.
$f(0)=1$ और $f'(0)=\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ मिलता है,जो सरल होकर $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ हो जाता है.
यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ प्राप्त होता है.
चूंकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1)=0+C$,जिससे $C=0$.
अतः,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है $f(x)=e^{x/2}$.
अब,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

(C) दिए गए समीकरण वृत्त $(x-2 \sqrt{3})^2+y^2=12$ (केंद्र $(2 \sqrt{3}, 0)$ और त्रिज्या $r=2 \sqrt{3}$) और परवलय $y^2=2 \sqrt{3} x$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$(x-2 \sqrt{3})^2 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 4 \sqrt{3} x + 12 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 2 \sqrt{3} x = 0$
$x(x - 2 \sqrt{3}) = 0$
अतः,$x=0$ या $x=2 \sqrt{3}$.
$x=2 \sqrt{3}$ पर,$y^2 = 2 \sqrt{3}(2 \sqrt{3}) = 12$,इसलिए $y = \pm 2 \sqrt{3}$.
आवश्यक क्षेत्रफल वृत्त का क्षेत्रफल माइनस परवलय और वृत्त की जीवा द्वारा घिरा क्षेत्रफल है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (2 \sqrt{3})^2 = 12 \pi$ है।
परवलय $y^2 = 2 \sqrt{3} x$ द्वारा $x=0$ से $x=2 \sqrt{3}$ तक घिरा क्षेत्रफल $2 \int_0^{2 \sqrt{3}} \sqrt{2 \sqrt{3} x} dx = 16$ है।
वृत्त के आधे भाग से परवलय का क्षेत्रफल घटाने पर,हमें $6 \pi - 16$ प्राप्त होता है।

(A) माना $B_1$ पहली गेंद के काली होने की घटना है और $B_2$ दूसरी गेंद के काली होने की घटना है। हमें $P(B_1 | B_2)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(B_1 | B_2) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$.
गेंदों की कुल संख्या $4 + 6 = 10$ है।
$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(W_1 \cap B_2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{30}{90} + \frac{24}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$.
अतः,$P(B_1 | B_2) = \frac{30/90}{54/90} = \frac{30}{54} = \frac{5}{9}$.
यहाँ,$m = 5$ और $n = 9$ है। चूँकि $\operatorname{gcd}(5, 9) = 1$,इसलिए $m + n = 5 + 9 = 14$.

(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे सतत होना चाहिए और बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ समान होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 1^-} (-3ax^2 - 2) = \lim_{x \to 1^+} (a^2 + bx) \implies -3a - 2 = a^2 + b$.
$x = 1$ पर अवकलनीयता: $\frac{d}{dx}(-3ax^2 - 2)|_{x=1} = \frac{d}{dx}(a^2 + bx)|_{x=1} \implies -6a = b$.
सांतत्य समीकरण में $b = -6a$ रखने पर: $-3a - 2 = a^2 - 6a \implies a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a - 1)(a - 2) = 0$.
चूँकि $a > 1$,इसलिए $a = 2$ है। तब $b = -6(2) = -12$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -6x^2 - 2, & x < 1 \\ 4 - 12x, & x \geq 1 \end{cases}$.
क्षेत्र $y = f(x)$ और $y = -20$ द्वारा परिबद्ध है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$x < 1$ के लिए: $-6x^2 - 2 = -20 \implies 6x^2 = 18 \implies x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3}$ (चूँकि $x < 1$).
$x \geq 1$ के लिए: $4 - 12x = -20 \implies 12x = 24 \implies x = 2$.
क्षेत्रफल $A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (f(x) - (-20)) dx + \int_{1}^{2} (f(x) - (-20)) dx$.
$A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (-6x^2 + 18) dx + \int_{1}^{2} (24 - 12x) dx$.
$A = [-2x^3 + 18x]_{-\sqrt{3}}^{1} + [24x - 6x^2]_{1}^{2}$.
$A = (-2 + 18) - (2(3\sqrt{3}) - 18\sqrt{3}) + (48 - 24) - (24 - 6) = 22 + 12\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta \sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 22, \beta = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 22 + 12 = 34$.

(C) दिया गया है $|A| = -2$ और आव्यूह का क्रम $n = 3$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(k A) = k^n \operatorname{det}(A)$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = (\operatorname{det}(B))^{n-1}$ होता है।
सबसे पहले,$\operatorname{det}(3A) = 3^3 \operatorname{det}(A) = 27(-2) = -54$।
इसके बाद,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(3A)) = (-54)^{3-1} = (-54)^2 = 54^2 = (2 \cdot 3^3)^2 = 2^2 \cdot 3^6$।
अब,$\operatorname{det}(-6 \operatorname{adj}(3A)) = (-6)^3 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(3A)) = (-2^3 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 3^6) = -2^5 \cdot 3^9$।
अतः,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = (-2^5 \cdot 3^9)^{3-1} = (-2^5 \cdot 3^9)^2 = 2^{10} \cdot 3^{18}$।
अंत में,$\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = 3^3 \cdot \operatorname{det}(\operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = 3^3 \cdot 2^{10} \cdot 3^{18} = 2^{10} \cdot 3^{21}$।
$2^{m+n} \cdot 3^{mn}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m+n = 10$ और $mn = 21$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m > n$ है,इसलिए $m = 7$ और $n = 3$ है।
अतः,$4m + 2n = 4(7) + 2(3) = 28 + 6 = 34$।

(D) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बिंदु $B$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए:
$(3\lambda+1, -\lambda+1, -1) = (2\mu+2, 0, \alpha\mu-4)$.
$y$-निर्देशांक से,$-\lambda+1 = 0 \implies \lambda = 1$.
$x$-निर्देशांक में $\lambda=1$ रखने पर: $3(1)+1 = 2\mu+2 \implies 4 = 2\mu+2 \implies \mu = 1$.
$z$-निर्देशांक में $\mu=1$ रखने पर: $-1 = \alpha(1)-4 \implies \alpha = 3$.
अतः,बिंदु $B = (4, 0, -1)$.
रेखा $L_2$ है $\frac{x-2}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z+4}{3} = \delta$.
अतः,$L_2$ पर कोई भी बिंदु $P = (2\delta+2, 0, 3\delta-4)$ है।
$AP$ का दिशा सदिश $\vec{AP} = (2\delta+1, -1, 3\delta-3)$ है।
चूंकि $AP \perp L_2$,$\vec{AP}$ और $L_2$ के दिशा सदिश $(2, 0, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\delta+1) + 0(-1) + 3(3\delta-3) = 0
\implies 4\delta+2 + 9\delta-9 = 0
\implies 13\delta = 7 \implies \delta = \frac{7}{13}$.
बिंदु $P = (2(\frac{7}{13})+2, 0, 3(\frac{7}{13})-4) = (\frac{40}{13}, 0, -\frac{31}{13})$.
$PB^2 = (4-\frac{40}{13})^2 + (0-0)^2 + (-1+\frac{31}{13})^2 = (\frac{12}{13})^2 + (\frac{18}{13})^2 = \frac{144+324}{169} = \frac{468}{169}$.
अंत में,$26\alpha(PB)^2 = 26 \times 3 \times \frac{468}{169} = 78 \times \frac{36}{13} = 6 \times 36 = 216$.

(A) सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (\lambda \hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \lambda + 8$.
अतः,$\vec{c} = \frac{\lambda + 8}{9} (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.
दिया गया है $|\vec{a} + \vec{c}| = 7$। चूंकि $\vec{c}, \vec{a}$ के समांतर है,मान लीजिए $\vec{c} = k\vec{a}$,जहाँ $k = \frac{\lambda + 8}{9}$ है।
तब $|\vec{a} + k\vec{a}| = |(1+k)\vec{a}| = |1+k| |\vec{a}| = |1+k| \cdot 3 = 7$.
$|1+k| = \frac{7}{3} \Rightarrow 1+k = \frac{7}{3}$ (चूंकि $\lambda > 0, k > 0$)।
$k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\lambda + 8}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 8 = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
अब,$\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{k}$ और $\vec{c} = \frac{4}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}$.
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{b} \times \vec{c}|$ है।
चूंकि $\vec{c}, \vec{a}$ पर $\vec{b}$ का प्रक्षेप है,$\vec{c} = k\vec{a}$।
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b} \times k\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{a}|$.
$\vec{b} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(8-0) = -8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{b} \times \vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12$.
क्षेत्रफल $= |k| \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(X)) = |X|^{n-2} X$ होता है।
यहाँ $X = 2A$ है,इसलिए $B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = |2A|^{3-2} (2A) = |2A|(2A)$।
चूँकि $|kA| = k^n |A|$,इसलिए $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ होगा।
अतः,$B = 4(2A) = 8A$।
अब,$|B| = |8A| = 8^3 |A| = 512 \times \frac{1}{2} = 256$।
साथ ही,$\text{trace}(B) = \text{trace}(8A) = 8 \times \text{trace}(A) = 8 \times 3 = 24$।
इसलिए,$|B| + \text{trace}(B) = 256 + 24 = 280$।

(A) रेखा $P(-2, -1, 3)$ से होकर गुजरती है और $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के समानांतर है। अतः,$Q$ के निर्देशांक $Q(3\lambda - 2, 2\lambda - 1, 2\lambda + 3)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं,जहाँ $\lambda \neq 0$.
दूरी $QR = 5$ दी गई है,इसलिए $\sqrt{(3\lambda - 2 - 1)^2 + (2\lambda - 1 - 3)^2 + (2\lambda + 3 - 3)^2} = 5$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 4)^2 + (2\lambda)^2 = 25$.
$9(\lambda - 1)^2 + 4(\lambda - 2)^2 + 4\lambda^2 = 25$.
$9(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 4\lambda^2 = 25$.
$17\lambda^2 - 34\lambda + 25 = 25 \Rightarrow 17\lambda(\lambda - 2) = 0$.
चूँकि $Q, P$ से भिन्न है,$\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda = 2$.
अतः,$Q = (3(2) - 2, 2(2) - 1, 2(2) + 3) = (4, 3, 7)$.
अब,$\vec{PQ} = Q - P = (4 - (-2), 3 - (-1), 7 - 3) = (6, 4, 4)$.
$\vec{PR} = R - P = (1 - (-2), 3 - (-1), 3 - 3) = (3, 4, 0)$.
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ है।
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 16) - \hat{j}(0 - 12) + \hat{k}(24 - 12) = -16\hat{i} + 12\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-16)^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144 + 144} = \sqrt{544}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{544} = \sqrt{\frac{544}{4}} = \sqrt{136}$.
अतः,क्षेत्रफल का वर्ग $136$ है।

(A) लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 8(x^2) + 15}{e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = \frac{x^4 - 8x^2 + 15}{e^{x^2}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{(x^2 - 3)(x^2 - 5)(2x)}{e^{x^2}}$
$f'(x) = \frac{2x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{e^{x^2}}$
क्रांतिक बिंदु $x = -\sqrt{5}, -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ हैं।
चिह्न परिवर्तन की जाँच करने पर:
$x < -\sqrt{5}$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
$-\sqrt{5} < x < -\sqrt{3}$ के लिए $f'(x) > 0$ है। ($-\sqrt{5}$ पर स्थानीय निम्नतम)
$-\sqrt{3} < x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है। ($-\sqrt{3}$ पर स्थानीय उच्चतम)
$0 < x < \sqrt{3}$ के लिए $f'(x) > 0$ है। ($0$ पर स्थानीय निम्नतम)
$\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ के लिए $f'(x) < 0$ है। ($\sqrt{3}$ पर स्थानीय उच्चतम)
$x > \sqrt{5}$ के लिए $f'(x) > 0$ है। ($\sqrt{5}$ पर स्थानीय निम्नतम)
अतः,$2$ स्थानीय उच्चतम और $3$ स्थानीय निम्नतम बिंदु हैं।

(C) माना कि दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{2}=\lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $A$,$(2\lambda+1, -\lambda-2, 2\lambda-3)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{PA} = (2\lambda+1-2, -\lambda-2-(-10), 2\lambda-3-1) = (2\lambda-1, -\lambda+8, 2\lambda-4)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चूंकि $PA$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PA} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$(2\lambda-1)(2) + (-\lambda+8)(-1) + (2\lambda-4)(2) = 0$.
$4\lambda - 2 + \lambda - 8 + 4\lambda - 8 = 0$.
$9\lambda - 18 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$A$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर,हमें $A(2(2)+1, -2-2, 2(2)-3) = A(5, -4, 1)$ प्राप्त होता है।
लंबवत दूरी $AP$,बिंदु $P(2, -10, 1)$ और $A(5, -4, 1)$ के बीच की दूरी है।
$AP = \sqrt{(5-2)^2 + (-4 - (-10))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}-x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ है।
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy = \int \frac{2 e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy$.
माना $t = \tan ^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int 2 e^{2t} dt = e^{2t} + C = e^{2 \tan ^{-1} y} + C$.
दिया गया है कि $f(0)=1$,अर्थात $y=0$ पर $x=1$:
$1 \cdot e^{\tan ^{-1} 0} = e^{2 \tan ^{-1} 0} + C \implies 1 \cdot 1 = 1 + C \implies C = 0$.
अतः,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} \implies x = e^{\tan ^{-1} y}$.
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$x = e^{\tan ^{-1}(1/\sqrt{3})} = e^{\pi / 6}$.

(C) हम जानते हैं कि $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$.
माना $f(x) = \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
तब $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x \sin^{-1} x) - x \sin^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})}{1-x^2}$
$= \frac{\sqrt{1-x^2} \left( \sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) - x \sin^{-1} x \left( \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right)}{1-x^2}$
$= \frac{\sqrt{1-x^2} \sin^{-1} x + x + \frac{x^2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{(1-x^2) \sin^{-1} x + x \sqrt{1-x^2} + x^2 \sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{\sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}} + \frac{x}{1-x^2}$.
अतः,समाकलन $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C = e^x \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + C$ है।
इसलिए,$g(x) = \frac{x e^x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर मान रखने पर: $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2} e^{1/2} \sin^{-1}(1/2)}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{e} \cdot \frac{\pi}{6}}{\sqrt{3/4}} = \frac{\frac{\pi \sqrt{e}}{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi \sqrt{e}}{6 \sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{e}{3}}$.

(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|} = 4^4 = 256$ है।
एकैकी (one-one) फलनों की संख्या $4! = 24$ है।
अनेक-एक (many-one) फलनों की संख्या $\text{कुल} - \text{एकैकी} = 256 - 24 = 232$ है।
अब,हमें उन अनेक-एक फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $1 \in f(A)$ हो।
यह संख्या = $(\text{कुल अनेक-एक फलन}) - (\text{वे अनेक-एक फलन जिनमें } 1 \notin f(A))$ के बराबर है।
यदि $1 \notin f(A)$ है,तो फलन का परिसर $\{4, 9, 16\}$ का उपसमुच्चय होगा।
$A$ से $\{4, 9, 16\}$ तक कुल फलनों की संख्या $3^4 = 81$ है।
इन $81$ फलनों में एकैकी फलनों की संख्या $0$ है (क्योंकि $|A| > |\{4, 9, 16\}|$)।
अतः,ये सभी $81$ फलन अनेक-एक हैं।
इसलिए,$1 \in f(A)$ वाले अनेक-एक फलनों की संख्या $232 - 81 = 151$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1 = 0$ होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & a \\ -1 & -3 & b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow 2a + b - 6 = 0$ (समीकरण $1$).
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & a+1 \\ -1 & -3 & 2b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow a + b - 8 = 0$ (समीकरण $2$).
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(2a + b - 6) - (a + b - 8) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$a = -2$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर: $-2 + b = 8 \Rightarrow b = 10$.
अतः,$7a + 3b = 7(-2) + 3(10) = -14 + 30 = 16$.

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = 1$ और $|\overrightarrow{b}| = 1$ है।
उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सदिश $(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b})$ और $(3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b})$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $0$ होगा:
$(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b}) = 0$
$3\lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}) - \lambda^2 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 6 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2\lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$
चूंकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 1$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ है,इसलिए:
$3\lambda - \lambda^2(\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2}) - 2\lambda = 0$
$3\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 - 2\lambda = 0$
$\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर,$\lambda^2 - 2\lambda - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
हल $\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ है।
चूंकि $\sqrt{7} \approx 2.64$ है,इसलिए मान $\lambda_1 = 1 + 2.64 = 3.64$ और $\lambda_2 = 1 - 2.64 = -1.64$ हैं।
इनमें से कोई भी मान अंतराल $[-1, 3]$ में नहीं आता है।
अतः,$[-1, 3]$ में $\lambda$ के मानों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $12x^2 - 7x + 1 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \Rightarrow (4x - 1)(3x - 1) = 0$.
अतः,मूल $x = \frac{1}{3}$ और $x = \frac{1}{4}$ हैं।
माना $P(A \mid B) = \frac{1}{3}$ और $P(B \mid A) = \frac{1}{4}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.1}{P(B)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(B) = 0.3$.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.1}{P(A)} = \frac{1}{4} \Rightarrow P(A) = 0.4$.
अब,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$.
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.1 = 0.9$.
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
अतः,$\frac{P(\overline{A} \cup \overline{B})}{P(\overline{A} \cap \overline{B})} = \frac{0.9}{0.4} = \frac{9}{4}$.

(A) दिए गए वक्र $y = (x-2)^2$ और $y^2 = -8(x-2)$ हैं।
माना $X = x-2$ और $Y = y$ है। तब समीकरण $Y = X^2$ और $Y^2 = -8X$ हो जाते हैं।
ये मानक परवलय $Y = X^2$ और $Y^2 = 4aX$ हैं जहाँ $4a = -8$,इसलिए $a = -2$ (परिमाण $|a| = 2$)।
परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4by$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\frac{16}{3} |a| |b|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Y = X^2$ (अर्थात $X^2 = 1Y$,इसलिए $4b = 1 \implies b = \frac{1}{4}$) और $Y^2 = -8X$ (अर्थात $4a = -8 \implies a = -2$)।
क्षेत्रफल $= \frac{16}{3} \times |\frac{1}{4}| \times |-2| = \frac{16}{3} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ (चूंकि $-1 < x < 1$,इसलिए $x^2-1 < 0$,अतः $|x^2-1| = 1-x^2$)।
हल $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^6+4x) dx = \frac{x^7}{7} + 2x^2 + C$ है।
$f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C \Rightarrow C=0$।
अतः,$f(x) = \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$।
हमें $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{x^7/7}{\sqrt{1-x^2}}$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-1/2, 1/2]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा।
अतः,व्यंजक $6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = 24 \int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ बन जाता है।
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $dx = \cos \theta d\theta$। जब $x=0, \theta=0$; जब $x=1/2, \theta=\pi/6$।
समाकलन = $24 \int_0^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 24 \int_0^{\pi/6} \sin^2 \theta d\theta = 24 \int_0^{\pi/6} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta = 12 [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/6} = 12(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2\pi - 3\sqrt{3}$।
$2\pi - \alpha$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$।

(A) मान लीजिए $R$,$A = \{1, 2, 3\}$ पर एक संबंध है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य है,इसलिए $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
दिया गया है कि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$,संक्रामकता के नियम से $(1, 3) \in R$ होगा।
अतः,$R$ में कम से कम समुच्चय $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ होना चाहिए।
यह समुच्चय $S$ पहले से ही स्वतुल्य और संक्रामक है। यह सममित नहीं है क्योंकि $(1, 2) \in S$ लेकिन $(2, 1) \notin S$ है।
हम $A \times A \setminus S = \{(2, 1), (3, 2), (3, 1)\}$ से अन्य अवयव जोड़ सकते हैं।
संक्रामकता बनाए रखते हुए और यह सुनिश्चित करते हुए कि संबंध सममित न हो,हमें कुल $3$ ऐसे संबंध प्राप्त होते हैं।

(C) माना $I = \int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ है।
$\ln x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = e^2$,तब $t = 2$ और जब $x = e^4$,तब $t = 4$ है।
अतः,$I = \int_{2}^{4} \frac{e^{(t^2+1)^{-1}}}{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}} dt$।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{2}^{4} \frac{e^{((6-t)^2+1)^{-1}}}{e^{((6-t)^2+1)^{-1}} + e^{(t^2+1)^{-1}}} dt$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{2}^{4} \frac{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}}{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}} dt = \int_{2}^{4} 1 dt = [t]_{2}^{4} = 4 - 2 = 2$।
अतः,$I = 1$।

(B) दिया गया है $I(x) = \int \frac{dx}{(x-11)^{\frac{11}{13}}(x+15)^{\frac{15}{13}}}$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I(x) = \int \left( \frac{x-11}{x+15} \right)^{-\frac{11}{13}} \cdot \frac{1}{(x+15)^2} dx$.
माना $t = \frac{x-11}{x+15}$. तब $dt = \frac{(x+15) - (x-11)}{(x+15)^2} dx = \frac{26}{(x+15)^2} dx$.
अतः,$I(x) = \frac{1}{26} \int t^{-\frac{11}{13}} dt = \frac{1}{26} \cdot \frac{t^{\frac{2}{13}}}{\frac{2}{13}} + C = \frac{1}{4} \left( \frac{x-11}{x+15} \right)^{\frac{2}{13}} + C$.
अब,$I(37) - I(24) = \frac{1}{4} \left( \frac{37-11}{37+15} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{24-11}{24+15} \right)^{\frac{2}{13}}$.
$= \frac{1}{4} \left( \frac{26}{52} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{13}{39} \right)^{\frac{2}{13}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2}{13}}$.
$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4^{\frac{1}{13}}} - \frac{1}{9^{\frac{1}{13}}} \right)$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$b = 4$ और $c = 9$.
इसलिए,$3(b+c) = 3(4+9) = 3(13) = 39$.

(D) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 4$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2}{x} \{\sin(k_1+1)x + \sin(k_2-1)x\} = 4$।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ का उपयोग करते हुए,हमें $2(k_1+1) + 2(k_2-1) = 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2k_1 + 2k_2 = 4$ या $k_1 + k_2 = 2$ हो जाता है।
अब,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x} \ln \left(\frac{2+k_1x}{2+k_2x}\right) = 4$।
इसे $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x} \{\ln(1 + \frac{k_1x}{2}) - \ln(1 + \frac{k_2x}{2})\} = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = a$ का उपयोग करते हुए,हमें $2(\frac{k_1}{2} - \frac{k_2}{2}) = 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $k_1 - k_2 = 4$ हो जाता है।
समीकरणों $k_1 + k_2 = 2$ और $k_1 - k_2 = 4$ को हल करने पर,दोनों को जोड़ने पर $2k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 3$ प्राप्त होता है।
$k_1 = 3$ को $k_1 + k_2 = 2$ में रखने पर,$3 + k_2 = 2 \Rightarrow k_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अंत में,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2(3+y) e^{2x} dx = (7+e^{2x}) dy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3+y) e^{2x}}{7+e^{2x}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{3+y} = \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{3+y} = \int \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
मान लीजिए $u = 7+e^{2x}$,तो $du = 2e^{2x} dx$.
अतः,$\ln|3+y| = \ln|7+e^{2x}| + C$.
इसे $3+y = C(7+e^{2x})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(0,5)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=5$ रखने पर: $3+5 = C(7+e^0) \Rightarrow 8 = 8C \Rightarrow C=1$.
इस प्रकार,वक्र का समीकरण $3+y = 7+e^{2x}$ है,जिसे सरल करने पर $y = e^{2x} + 4$ प्राप्त होता है।
अब,बिंदु $(\log_e 2, k)$ के लिए,$x = \log_e 2$ रखने पर: $k = e^{2 \log_e 2} + 4 = e^{\log_e 4} + 4 = 4 + 4 = 8$.

(A) $f \circ g$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $x$,$g$ के प्रांत में है और $g(x)$,$f$ के प्रांत में है।
दिया गया है $f(x) = \log_e x$,जिसका प्रांत $(0, \infty)$ है,इसलिए हमें $g(x) > 0$ की आवश्यकता है।
दिया गया है $g(x) = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{2x^2 - 2x + 1}$।
सबसे पहले,हर (denominator) की जाँच करें: $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$,जो सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अब,अंश (numerator) का विश्लेषण करें: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1)^2 + (2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}) + 1$।
चूँकि $x^2(x - 1)^2 \ge 0$,$2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$,और $1 > 0$,इसलिए अंश सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $g(x) > 0$ है।
इसलिए,$f \circ g$ का प्रांत $R$ है।

(A) माना $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,और $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ है। चूँकि $A, B, C$ वृत्त पर स्थित हैं,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है।
चाप $AC$ केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
चाप की लंबाई का अनुपात $AB:BC = 1:5$ है,इसलिए $\angle AOB = \frac{1}{6} \times 90^{\circ} = 15^{\circ}$ और $\angle BOC = \frac{5}{6} \times 90^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
$\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ है।
$\vec{a}$ के साथ डॉट गुणन करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha |\vec{a}|^2 + \beta \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 0 = \alpha + \beta \cos 15^{\circ} \Rightarrow \alpha = -\beta \cos 15^{\circ} \dots (1)$.
$\vec{b}$ के साथ डॉट गुणन करने पर: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \beta |\vec{b}|^2 \Rightarrow \cos 75^{\circ} = \alpha \cos 15^{\circ} + \beta \dots (2)$.
$(1)$ को $(2)$ में रखने पर: $\cos 75^{\circ} = -\beta \cos^2 15^{\circ} + \beta = \beta \sin^2 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = \frac{\cos 75^{\circ}}{\sin^2 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ है।
$(1)$ से,$\alpha = -\beta \cos 15^{\circ} = -(2+\sqrt{3})$ है।
अब $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta = -(2+\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -(2+\sqrt{3}) + 4 = 2-\sqrt{3}$ है।

(D) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2} = \lambda$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(7\lambda+3, -\lambda+2, -2\lambda-1)$ है।
चूंकि $P$,बिंदु $Q(10,-3,-1)$ से रेखा पर लंब का पाद है,सदिश $\vec{QP}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 7\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{QP} = (7\lambda+3-10)\hat{i} + (-\lambda+2+3)\hat{j} + (-2\lambda-1+1)\hat{k} = (7\lambda-7)\hat{i} + (-\lambda+5)\hat{j} - 2\lambda\hat{k}$.
चूंकि $\vec{QP} \cdot \vec{v} = 0$,हमें मिलता है $7(7\lambda-7) - 1(-\lambda+5) - 2(-2\lambda) = 0$.
$49\lambda - 49 + \lambda - 5 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 54\lambda - 54 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$P = (7(1)+3, -1+2, -2(1)-1) = (10, 1, -3)$.
अब,$\vec{PQ} = (10-10)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (-1-(-3))\hat{k} = -4\hat{j} + 2\hat{k}$.
और $\vec{PR} = (3-10)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -4 & 2 \\ -7 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - (-6)) - \hat{j}(0 - (-14)) + \hat{k}(0 - 28) = -10\hat{i} - 14\hat{j} - 28\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-10)^2 + (-14)^2 + (-28)^2} = \sqrt{100 + 196 + 784} = \sqrt{1080} = \sqrt{36 \times 30} = 6\sqrt{30}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6\sqrt{30} = 3\sqrt{30}$.

(D) किसी समुच्चय $A$ पर संबंध $R$ को तुल्यता संबंध होने के लिए उसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $R = \{(1,2), (2,3), (3,3)\}$.
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूंकि $(3,3)$ पहले से मौजूद है,हमें $(1,1), (2,2), (4,4)$ जोड़ने होंगे।
$2$. सममितता: चूंकि $(1,2) \in R$,हमें $(2,1)$ जोड़ना होगा। चूंकि $(2,3) \in R$,हमें $(3,2)$ जोड़ना होगा।
$3$. संक्रामकता: चूंकि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R$,इसलिए $(1,3) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(1,3) \in R$,सममितता के लिए हमें $(3,1)$ जोड़ना होगा।
अब,जोड़े गए तत्वों के साथ संक्रामकता की जांच करने पर: $(2,1) \in R$ और $(1,3) \in R \implies (2,3) \in R$ (पहले से मौजूद है)। $(3,2) \in R$ और $(2,1) \in R \implies (3,1) \in R$ (पहले से जोड़ा जा चुका है)। $(1,2) \in R$ और $(2,1) \in R \implies (1,1) \in R$ (पहले से जोड़ा जा चुका है)।
अतः,जोड़े गए कुल तत्व $(1,1), (2,2), (4,4), (2,1), (3,2), (1,3), (3,1)$ हैं।
कुल जोड़े गए तत्वों की संख्या = $7$.

(B) माना $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ और $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ है। तब $\tan \alpha = \frac{5}{12}$,अर्थात $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ है।
दिया गया व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$ है।
सर्वसमिका $\cos(x - \alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos(x - \alpha))$ हो जाता है।
चूंकि $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$ और $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12} \approx 22.6^\circ$ है,इसलिए $x - \alpha \in [\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{3 \pi}{4} - \alpha]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \leq x - \alpha \leq \pi$ है,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण $x - \alpha$ होता है।
$\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x - \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ प्राप्त होता है।

(D) स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{C} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = 0\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -5\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
चतुष्फलक का आयतन = $\frac{1}{3} \times \text{Area}(ABC) \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{35}}{2} \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}} \implies h = \sqrt{\frac{23}{2}}$.
$\triangle ADE$ में,$AD^2 = AE^2 + DE^2$. $AD = \frac{\sqrt{110}}{3} \implies AD^2 = \frac{110}{9}$.
$AE^2 = \frac{110}{9} - \frac{23}{2} = \frac{13}{18}$.
$F$ भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है,$F = \frac{3\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}}{2}$.
$\vec{AF} = F-A = \frac{1}{2}(\hat{i}-5\hat{k})$.
$\vec{AE} = AE \cdot \frac{\vec{AF}}{|AF|} = \sqrt{\frac{13}{18}} \cdot \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{\sqrt{26}} = \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{6}$.
$E$ का स्थिति सदिश = $\vec{A} + \vec{AE} = (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) + \frac{1}{6}(\hat{i}-5\hat{k}) = \frac{7\hat{i}+12\hat{j}+\hat{k}}{6}$.

(C) हमें $X = A(\operatorname{adj}(A^{-1})+\operatorname{adj}(B^{-1}))^{-1}B$ का प्रतिलोम ज्ञात करना है।
गुणधर्म $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$X^{-1} = B^{-1}(\operatorname{adj}(A^{-1})+\operatorname{adj}(B^{-1}))A^{-1}$
$X^{-1} = B^{-1}\operatorname{adj}(A^{-1})A^{-1} + B^{-1}\operatorname{adj}(B^{-1})A^{-1}$
गुणधर्म $\operatorname{adj}(M^{-1}) = |M^{-1}|M = \frac{1}{|M|}M$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\operatorname{adj}(A^{-1}) = |A^{-1}|A = \frac{1}{|A|}A$ और $\operatorname{adj}(B^{-1}) = |B^{-1}|B = \frac{1}{|B|}B$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$X^{-1} = B^{-1}(\frac{1}{|A|}A)A^{-1} + B^{-1}(\frac{1}{|B|}B)A^{-1}$
$X^{-1} = \frac{1}{|A|}B^{-1}(AA^{-1}) + \frac{1}{|B|}(B^{-1}B)A^{-1}$
$X^{-1} = \frac{1}{|A|}B^{-1}I + \frac{1}{|B|}IA^{-1}$
$X^{-1} = \frac{B^{-1}}{|A|} + \frac{A^{-1}}{|B|}$
चूंकि $B^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(B)}{|B|}$ और $A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A|}$,इसलिए:
$X^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(B)}{|B||A|} + \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A||B|} = \frac{1}{|AB|}(\operatorname{adj}(B) + \operatorname{adj}(A))$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_x = D_y = D_z = 0$ होना चाहिए।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} \lambda-1 & \lambda-4 & \lambda \\ \lambda & \lambda-1 & \lambda-4 \\ \lambda+1 & \lambda+2 & -(\lambda+2) \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने या सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $(\lambda-3)(2\lambda+1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = -1/2$.
$\lambda = 3$ के लिए $D_x = 0$ की संगतता की जाँच करने पर:
$D_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 5 & -5 \end{vmatrix} = 5(-10+5) + 1(-35+9) + 3(35-18) = 5(-5) - 26 + 3(17) = -25 - 26 + 51 = 0$.
चूंकि $\lambda = 3$ पर $D_x = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।
अतः,$\lambda^2 + \lambda = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.

(A) माना $D_1$ पहला पासा है और $D_2$ दूसरा पासा है। $D_1$ के परिणाम ${1, 1, 2, 2, 3, 4}$ हैं और $D_2$ के परिणाम ${1, 2, 2, 3, 3, 4}$ हैं। कुल परिणाम $= 6 \times 6 = 36$.
हम योग $S = 4$ या $S = 5$ प्राप्त करना चाहते हैं।
$S = 4$ के लिए,संभावित जोड़े $(D_1, D_2)$ हैं $(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1)$.
आवृत्ति की गणना: $(1, 3)$ $2 \times 2 = 4$ बार,$(2, 2)$ $2 \times 2 = 4$ बार,$(3, 1)$ $1 \times 1 = 1$ बार आता है। $S=4$ के लिए कुल $4+4+1 = 9$ है।
$S = 5$ के लिए,संभावित जोड़े $(D_1, D_2)$ हैं $(1, 4), (2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1)$.
आवृत्ति की गणना: $(1, 4)$ $2 \times 1 = 2$ बार,$(2, 3)$ $2 \times 2 = 4$ बार,$(3, 2)$ $1 \times 2 = 2$ बार,$(4, 1)$ $1 \times 1 = 1$ बार आता है। $S=5$ के लिए कुल $2+4+2+1 = 9$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 9 + 9 = 18$.
प्रायिकता $= \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(A) वक्र $x^2+y^2=25$ ($5$ त्रिज्या वाला वृत्त) और $y=|x-1|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x-1$ के लिए,$x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0 \Rightarrow (x-4)(x+3)=0$. चूँकि $y \ge 0$,हम $x=4, y=3$ लेते हैं।
$y=-(x-1)$ के लिए,$x^2+(-x+1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x=-3, y=4$.
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_s = \int_{-3}^4 (\sqrt{25-x^2} - |x-1|) dx$.
बड़े क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_L = \text{कुल क्षेत्रफल} - A_s = 25\pi - A_s$.
$\int_{-3}^4 \sqrt{25-x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{5})]_{-3}^4 = 12 + \frac{25\pi}{4}$.
$\int_{-3}^4 |x-1| dx = \int_{-3}^1 (1-x) dx + \int_{1}^4 (x-1) dx = 8 + 4.5 = 12.5 = \frac{25}{2}$.
$A_s = 12 + \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25\pi}{4} - 0.5$.
$A_L = 25\pi - (\frac{25\pi}{4} - 0.5) = \frac{75\pi}{4} + 0.5 = \frac{75\pi+2}{4} = \frac{1}{4}(75\pi+2)$.
अतः,$b=75, c=2$.
$b+c = 75+2 = 77$.

(D) माना $f(x) = 5x^3 - 15x$ है। समीकरण $5x^3 - 15x - a = 0$ को $f(x) = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तीन भिन्न वास्तविक मूल प्राप्त करने के लिए,क्षैतिज रेखा $y = a$ को $f(x)$ के ग्राफ को तीन भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।
सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें:
$f'(x) = 15x^2 - 15 = 15(x^2 - 1) = 15(x - 1)(x + 1)$।
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
स्थानीय अधिकतम मान $f(-1) = 5(-1)^3 - 15(-1) = -5 + 15 = 10$ है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(1) = 5(1)^3 - 15(1) = 5 - 15 = -10$ है।
समीकरण $f(x) = a$ के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,$a$ को स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम मानों के बीच होना चाहिए:
$-10 < a < 10$।
अतः,अंतराल $(\alpha, \beta)$ $(-10, 10)$ है,इसलिए $\alpha = -10$ और $\beta = 10$ है।
हमें $\beta - 2\alpha$ की गणना करनी है:
$\beta - 2\alpha = 10 - 2(-10) = 10 + 20 = 30$।

(A) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 25) - 1(\lambda - 5) + 1(5 - 2) = 2\lambda - 25 - \lambda + 5 + 3 = \lambda - 17$ की गणना करें।
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 17$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 1(2\mu - 45) - 1(\mu - 9) + 6(5 - 2) = 2\mu - 45 - \mu + 9 + 18 = \mu - 18$ की गणना करें।
कोई हल न होने के लिए,$D = 0$ और $D_z \neq 0$ होना चाहिए।
अतः,$\lambda = 17$ और $\mu \neq 18$।

(A) खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. मान लीजिए $u = x^3$ और $dv = \sin x \, dx$. तब $du = 3x^2 \, dx$ और $v = -\cos x$.
$\int x^3 \sin x \, dx = -x^3 \cos x + \int 3x^2 \cos x \, dx$.
$\int 3x^2 \cos x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन करने पर: $u = 3x^2, dv = \cos x \, dx \implies du = 6x \, dx, v = \sin x$.
$= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x - \int 6x \sin x \, dx$.
$\int 6x \sin x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर: $u = 6x, dv = \sin x \, dx \implies du = 6 \, dx, v = -\cos x$.
$= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x - (6x(-\cos x) - \int -6 \cos x \, dx) = -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C$.
अतः,$g(x) = -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x$.
$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 6\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \frac{3\pi^2}{4} + 0 - 6 = \frac{3\pi^2}{4} - 6$.
चूँकि $g(x) = \int x^3 \sin x \, dx$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$g^{\prime}(x) = x^3 \sin x$.
$g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^3}{8}$.
$8\left(g\left(\frac{\pi}{2}\right) + g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = 8\left(\frac{3\pi^2}{4} - 6 + \frac{\pi^3}{8}\right) = 6\pi^2 - 48 + \pi^3 = 1\pi^3 + 6\pi^2 - 48$.
$\alpha \pi^3 + \beta \pi^2 + \gamma$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1, \beta = 6, \gamma = -48$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta - \gamma = 1 + 6 - (-48) = 7 + 48 = 55$.

(B) माना रेखा $L_1$ है $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{4} = k$। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $(2k+2, 3k+6, 4k+3)$ है।
माना बिंदु $(1,4,0)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ है $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-0}{3} = t$। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $(t+1, 2t+4, 3t)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$2k+2 = t+1 \Rightarrow t = 2k+1$
$3k+6 = 2t+4 \Rightarrow 3k+6 = 2(2k+1)+4 = 4k+6 \Rightarrow k=0$।
$k=0$ को $L_1$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (2,6,3)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1,4,0)$ से $(2,6,3)$ तक की दूरी $\sqrt{(2-1)^2 + (6-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ है।

(D) बिंदु $A$,रेखाखंड $PQ$ को $r:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$A$ के निर्देशांक हैं:
$A = \left( \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{10r + 2}{r + 1} \right)$
दिया गया समीकरण $(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}) - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 10\left( \frac{10r + 2}{r + 1} \right) = \frac{150r + 10}{r + 1} = \frac{10(15r + 1)}{r + 1}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{OP} = (-1, -1, 2)$ और $\overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1}(5r-1, 5r-1, 10r+2)$
$\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1} (-20r, 15r+1, 0)$
$|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2}$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{10(15r + 1)}{r + 1} - \frac{1}{5} \left( \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2} \right) = 10$
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $r = 7$ प्राप्त होता है।

(D) क्षेत्र $-1 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $|x| = -x$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $|x| = x$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^0 (a + e^{-x} - e^{-x}) dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^0 a dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
क्षेत्रफल $= a[x]_{-1}^0 + [ax + e^x + e^{-x}]_0^1$
क्षेत्रफल $= a(0 - (-1)) + (a(1) + e^1 + e^{-1}) - (a(0) + e^0 + e^0)$
क्षेत्रफल $= a + a + e + \frac{1}{e} - 2 = 2a + e + \frac{1}{e} - 2$
दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{e^2 + 8e + 1}{e} = e + 8 + \frac{1}{e}$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2a + e + \frac{1}{e} - 2 = e + 8 + \frac{1}{e}$
$2a - 2 = 8$
$2a = 10 \Rightarrow a = 5$

(D) माना $r$ चॉकलेट बॉल की त्रिज्या है और $x$ आइसक्रीम परत की मोटाई है। गोले की कुल त्रिज्या (चॉकलेट + आइसक्रीम) $R = r + x$ है।
दिया गया है $x = 1 \ cm$, गोले का कुल आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चॉकलेट बॉल स्थिर है, $\frac{dR}{dt} = \frac{dx}{dt}$ होगा।
हमें $\frac{dV}{dt} = -81 \ cm^3/min$ (पिघलने के कारण) और $\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{4\pi} \ cm/min$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-81 = 4\pi R^2 \left(-\frac{1}{4\pi}\right)$.
$-81 = -R^2 \implies R^2 = 81 \implies R = 9 \ cm$.
चूंकि $R = r + x$ और $x = 1 \ cm$, इसलिए $r = 9 - 1 = 8 \ cm$ है।
चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2 = 4\pi(8)^2 = 4\pi(64) = 256\pi \ cm^2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy = (x dy - y dx) \sin(x/y)$.
$y^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{x dy - y dx}{y^2} \sin(x/y)$.
हम जानते हैं कि $d(x/y) = \frac{y dx - x dy}{y^2}$,इसलिए $\frac{x dy - y dx}{y^2} = -d(x/y)$.
अतः,$\frac{dy}{y} = -\sin(x/y) d(x/y)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = -\int \sin(x/y) d(x/y)$.
$\ln y = \cos(x/y) + C$.
शर्त $x(1) = \pi/2$ का उपयोग करने पर: $\ln(1) = \cos(\frac{\pi/2}{1}) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
इसलिए,$\ln y = \cos(x/y)$.
$y = 2$ के लिए,$\ln 2 = \cos(x/2)$.
हमें $\cos(x(2))$ ज्ञात करना है। $\cos(x) = 2 \cos^2(x/2) - 1$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos(x(2)) = 2(\ln 2)^2 - 1$.

(B) कथन-$I$:
स्वतुल्य: $(a_1, b_1) R (a_1, b_1) \Rightarrow b_1 = b_1$,जो सत्य है।
सममित: यदि $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$,तो $b_1 = b_2$,जिसका अर्थ है $b_2 = b_1$,इसलिए $(a_2, b_2) R (a_1, b_1)$ सत्य है।
संक्रामक: यदि $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ और $(a_2, b_2) R (a_3, b_3)$,तो $b_1 = b_2$ और $b_2 = b_3$,जिसका अर्थ है $b_1 = b_3$,इसलिए $(a_1, b_1) R (a_3, b_3)$ सत्य है।
चूंकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। अतः,कथन-$I$ सही है।
कथन-$II$: समुच्चय $S = \{(x, y) \in X : (x, y) R (a, b)\} = \{(x, y) \in X : y = b\}$। यह एक क्षैतिज रेखा $y = b$ को दर्शाता है,जो $x$-अक्ष के समांतर है,न कि रेखा $y = x$ के। अतः,कथन-$II$ गलत है।