मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक है। यदि $\alpha, \beta \in R$ है और $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ पदों तक) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ पदों तक) $)$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,तो $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में परिमेय पदों की संख्या $K$ है। यदि $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ के विस्तार में $x^{P} \quad(P \in N)$ का गुणांक $\alpha_{P}$ है,तो $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$

अऋण पूर्णांकों $s$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{यदि } r \leq s \\ 0 & \text{यदि } r > s \end{cases}$. धनात्मक पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए,मान लीजिए $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,जहाँ किसी भी अऋण पूर्णांक $p$ के लिए,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए

यदि $(1+x)^{p}(1-x)^{q}$ के विस्तार में,जहाँ $p, q \leq 15$,$x$ और $x^{2}$ के गुणांक क्रमशः $-3$ और $-5$ हैं,तो $x^{3}$ का गुणांक $............$ के बराबर है।

यदि द्विपद $[\sqrt{2^{\log(10 - 3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x - 2)\log 3}}]^m$ के विस्तार में $6^{th}$ पद $21$ के बराबर है और यह ज्ञात है कि विस्तार में $2^{nd}$,$3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद का प्रतिनिधित्व करते हैं (यहाँ $\log$ का अर्थ $10$ के आधार पर लघुगणक है),तो $x = $