JEE Main 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $t = \sqrt{x}$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $2|t - 3| + t(t - 6) + 6 = 0$ हो जाता है।
स्थिति $I$: $0 \le t < 3$ (अर्थात $0 \le x < 9$)
$2(3 - t) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
$(t - 6)(t - 2) = 0$
$t = 6$ या $t = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 \le t < 3$ है,इसलिए $t = 2$,जिसका अर्थ है $x = 4$ है।
स्थिति $II$: $t \ge 3$ (अर्थात $x \ge 9$)
$2(t - 3) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
$t = 0$ या $t = 4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t \ge 3$ है,इसलिए $t = 4$,जिसका अर्थ है $x = 16$ है।
अतः,$S = \{4, 16\}$,जिसमें ठीक दो अवयव हैं।

(D) माना टावर की ऊँचाई $MN = h$ है।
$\Delta QMN$ में,$\tan 30^o = \frac{MN}{QM}$ है।
$\therefore QM = \frac{h}{\tan 30^o} = h\sqrt{3}$। चूँकि $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QM = MR = h\sqrt{3}$।
$\Delta MNP$ में,टावर के शीर्ष का $P$ पर उन्नयन कोण $45^o$ है,इसलिए $\tan 45^o = \frac{MN}{PM}$ है।
$\therefore PM = \frac{h}{\tan 45^o} = h$।
$\Delta PMQ$ में,चूँकि $PM \perp MQ$ है,इसलिए $PQ^2 = PM^2 + QM^2$ होगा।
मान रखने पर: $(200)^2 = h^2 + (h\sqrt{3})^2$।
$40000 = h^2 + 3h^2$।
$40000 = 4h^2$।
$h^2 = 10000$।
$h = 100 \ m$।

(A) दिया गया समीकरण: $8 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right) - \frac{1}{2} \right\} = 1$
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos(2x) - 1 \right\} = 1$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$:
$4 \cos x \left\{ \frac{1}{2} + \cos 2x - 1 \right\} = 1$
$4 \cos x \left\{ \cos 2x - \frac{1}{2} \right\} = 1$
$8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$
$2 \cos 3x = 1 \Rightarrow \cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$3x \in [0, 3\pi]$।
$3x$ के हल: $3x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$।
अतः,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$।
हलों का योग $= \frac{13\pi}{9}$।
अतः,$k = \frac{13}{9}$।

(B) समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ के मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
ये मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^2$.
तब $\alpha^{101} + \beta^{107} = (-\omega)^{101} + (-\omega^2)^{107} = -\omega^{101} - \omega^{214}$.
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{101} = \omega^2$ और $\omega^{214} = \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(\omega^2 + \omega)$.
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
अतः,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(-1) = 1$.

(C) चरण $1$: $6$ अलग-अलग उपन्यासों में से $4$ उपन्यासों का चयन $^6C_4$ तरीकों से किया जाता है।
$^6C_4 = 15$ तरीके।
चरण $2$: $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $1$ शब्दकोश का चयन $^3C_1$ तरीकों से किया जाता है।
$^3C_1 = 3$ तरीके।
चरण $3$: $4$ चयनित उपन्यासों और $1$ शब्दकोश को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे।
चूंकि शब्दकोश बीच में स्थिर है,हमें केवल शेष $4$ स्थानों में $4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करना है।
$4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $^6C_4 \times ^3C_1 \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(C) माना $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^5 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^5$.
द्विपद विस्तार सूत्र $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \dots]$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3(\sqrt{x^3-1})^2 + \binom{5}{4}x(\sqrt{x^3-1})^4]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^3(x^3-1) + 5x(x^3-1)^2]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x(x^6 - 2x^3 + 1)]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$
$f(x) = 10x^7 + 20x^6 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$.
विषम घात वाले पद $10x^7$,$2x^5$,$-20x^3$,और $10x$ हैं।
इन पदों के गुणांकों का योग $10 + 2 - 20 + 10 = 2$ है।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = n^2$ यदि $n$ विषम है,और $a_n = 2n^2$ यदि $n$ सम है।
$B - 2A = \sum_{n=1}^{40} a_n - 2\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=21}^{40} a_n - \sum_{n=1}^{20} a_n$.
$k=1$ से $20$ तक गणना करने पर,$B - 2A = 24800$ प्राप्त होता है।
अतः $100\lambda = 24800$,जिसका अर्थ है $\lambda = 248$.

(B) दिया गया है $\sum_{k = 0}^{12} {a_{4k + 1}} = 416$। यह $A.P.$ में $13$ पदों का योग है,जिसका प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $4d$ है।
$\frac{13}{2} [2a_1 + (13-1)4d] = 416$ $\Rightarrow \frac{13}{2} [2a_1 + 48d] = 416$ $\Rightarrow a_1 + 24d = 32 \dots (1)$
दिया गया है ${a_9} + {a_{43}} = 66$ $\Rightarrow (a_1 + 8d) + (a_1 + 42d) = 66$ $\Rightarrow 2a_1 + 50d = 66$ $\Rightarrow a_1 + 25d = 33 \dots (2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$d = 1$ प्राप्त होता है। $(1)$ में $d=1$ रखने पर,$a_1 + 24 = 32 \Rightarrow a_1 = 8$।
अब,$\sum_{r = 1}^{17} a_r^2 = \sum_{r = 1}^{17} [8 + (r-1)1]^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r+7)^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r^2 + 14r + 49) = 140m$।
योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $n=17$ के लिए,$\frac{17 \times 18 \times 35}{6} + 14 \times \frac{17 \times 18}{2} + 49 \times 17 = 1785 + 2142 + 833 = 4760$।
$140m = 4760 \Rightarrow m = \frac{4760}{140} = 34$।

(B) दिया गया है कि लंबकेंद्र $A(-3, 5)$ है और केंद्रक $B(3, 3)$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
केंद्रक $B$,लंबकेंद्र $A$ और परिकेंद्र $C$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $AB:BC = 2:1$.
इसका अर्थ है $AB = \frac{2}{3}AC$,या $AC = \frac{3}{2}AB$.
$AB$ का मान रखने पर,$AC = \frac{3}{2}(2\sqrt{10}) = 3\sqrt{10}$.
$AC$ को व्यास मानकर वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ होगी।
इसे $r = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) मान लीजिए कि $P$ के निर्देशांक $(h, 0)$ और $Q$ के निर्देशांक $(0, k)$ हैं।
चूंकि आयत $OPRQ$ पूरा हो गया है,इसलिए $R$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
$P(h, 0)$ और $Q(0, k)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में इस प्रकार है:
$\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$
चूंकि यह रेखा निश्चित बिंदु $(2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{2}{h} + \frac{3}{k} = 1$
$R(h, k)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम $h$ को $x$ से और $k$ को $y$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$
दोनों पक्षों को $xy$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y + 3x = xy$
अतः,$R$ का बिंदुपथ $3x + 2y = xy$ है।

(C) वक्र का समीकरण $x^2 = y - 6$ है,जिसे $y = x^2 + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
बिंदु $(1, 7)$ पर ढाल $m = 2(1) = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 7 = 2(x - 1)$ है,जो $2x - y + 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
इस रेखा के वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(-8, -6)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{64 + 36 - c} = \sqrt{100 - c}$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी $\frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ है।
अतः,$\sqrt{5} = \sqrt{100 - c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5 = 100 - c$,जिससे $c = 95$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $PQ$,$T(0, 3)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा (chord of contact) है।
$(x_1, y_1)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ होता है।
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$a^2 = 9$,और $b^2 = 36$ रखने पर:
$\frac{x(0)}{9} - \frac{y(3)}{36} = 1$
$\Rightarrow -\frac{y}{12} = 1$
$\Rightarrow y = -12$.
$P$ और $Q$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,$y = -12$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$4x^2 - (-12)^2 = 36$
$4x^2 - 144 = 36$
$4x^2 = 180$
$x^2 = 45$
$x = \pm 3\sqrt{5}$.
अतः,बिंदु $P(3\sqrt{5}, -12)$ और $Q(-3\sqrt{5}, -12)$ हैं।
आधार $PQ$ की लंबाई $= |3\sqrt{5} - (-3\sqrt{5})| = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PTQ$ की ऊंचाई $T(0, 3)$ से रेखा $y = -12$ तक की लंबवत दूरी है,जो $h = |3 - (-12)| = 15$ है।
$\Delta PTQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 15 = 45\sqrt{5}$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय का समीकरण ${y^2} = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$.
बिंदु $P(16, 16)$ के लिए,$y_1^2 = 16x_1$ है,जो संतुष्ट होता है।
$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है,इसलिए $16y = 8(x + 16)$,जो सरल होकर $2y = x + 16$ हो जाता है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = -16$ मिलता है,इसलिए $A = (-16, 0)$.
$P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ है,इसलिए $y - 16 = -\frac{16}{8}(x - 16)$,जो सरल होकर $y - 16 = -2(x - 16)$ या $y = -2x + 48$ हो जाता है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$2x = 48$,इसलिए $x = 24$ मिलता है,अतः $B = (24, 0)$.
वृत्त $A(-16, 0)$,$B(24, 0)$ और $P(16, 16)$ से गुजरता है। चूंकि $A$ और $B$ $x$-अक्ष पर हैं,केंद्र $C$ का $x$-निर्देशांक $\frac{-16 + 24}{2} = 4$ होगा।
मान लीजिए $C = (4, k)$ है। चूंकि $CA = CP$,हमारे पास $(4 - (-16))^2 + (k - 0)^2 = (4 - 16)^2 + (k - 16)^2$ है।
$20^2 + k^2 = (-12)^2 + (k - 16)^2 \Rightarrow 400 + k^2 = 144 + k^2 - 32k + 256$.
$400 = 400 - 32k \Rightarrow k = 0$। अतः,$C = (4, 0)$।
$PC$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$।
$PB$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 24} = \frac{16}{-8} = -2$।
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{4}{3} - (-2)}{1 + (\frac{4}{3})(-2)} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{1 - \frac{8}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{-\frac{5}{3}} \right| = |-2| = 2$.

(A) समुच्चय $A$ को $|a - 5| < 1$ और $|b - 5| < 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $x = a - 5$ और $y = b - 5$ है। तो $A$ एक वर्ग के आंतरिक भाग को दर्शाता है जिसका केंद्र $(5, 5)$ है और भुजा की लंबाई $2$ है,अर्थात $|x| < 1$ और $|y| < 1$ है।
समुच्चय $B$ को $4(a - 6)^2 + 9(b - 5)^2 \le 36$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $x = a - 5$ और $y = b - 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4(x - 1)^2 + 9y^2 \le 36$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ हो जाता है। यह $(x, y)$ समतल में $(1, 0)$ पर केंद्रित दीर्घवृत्त के आंतरिक भाग और सीमा को दर्शाता है।
$(x, y)$ समतल में वर्ग $A$ के शीर्ष $(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)$ हैं।
यह जाँचने पर कि क्या ये बिंदु दीर्घवृत्त की असमिका $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ को संतुष्ट करते हैं:
$(1, 1)$ के लिए: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (सत्य)
$(-1, 1)$ के लिए: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (सत्य)
$(-1, -1)$ के लिए: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (सत्य)
$(1, -1)$ के लिए: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (सत्य)
चूँकि वर्ग के सभी शीर्ष दीर्घवृत्त के भीतर स्थित हैं,इसलिए $A \subset B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $[t] = t - \{t\}$,जहाँ $\{t\}$ का $t$ का भिन्नात्मक भाग है।
अतः,व्यंजक $\lim_{x \to 0^+} x \sum_{r=1}^{15} [\frac{r}{x}] = \lim_{x \to 0^+} x \sum_{r=1}^{15} (\frac{r}{x} - \{\frac{r}{x}\})$.
$= \lim_{x \to 0^+} (\sum_{r=1}^{15} r - x \sum_{r=1}^{15} \{\frac{r}{x}\})$.
चूंकि $0 \le \{\frac{r}{x}\} < 1$,इसलिए $0 \le x \{\frac{r}{x}\} < x$.
जैसे $x \to 0^+$,स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$x \{\frac{r}{x}\} \to 0$.
इसलिए,सीमा $\sum_{r=1}^{15} r = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ है।

(B) माना $y_i = x_i - 5$ है। तब $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ और $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$ है।
अवलोकनों के एक समूह का प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है। इसलिए,$x_i$ का मानक विचलन $y_i$ के मानक विचलन के समान ही होता है।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{45}{9} - \left( \frac{9}{9} \right)^2$
$\sigma^2 = 5 - 1 = 4$
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{4} = 2$.

(D) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति):
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$।

(B) से होकर जाने वाली माध्यिका $x = 4$ है। चूँकि $C$ इस माध्यिका पर स्थित है,मान लीजिए $C = (4, y)$ है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $D = (\frac{1+4}{2}, \frac{2+y}{2}) = (2.5, \frac{2+y}{2})$ है।
चूँकि $D$,$B$ से होकर जाने वाली माध्यिका $(x + y = 5)$ पर स्थित है,इसलिए $2.5 + \frac{2+y}{2} = 5$ होगा।
$2.5 + 1 + \frac{y}{2} = 5$ $\Rightarrow \frac{y}{2} = 1.5$ $\Rightarrow y = 3$. अतः,$C = (4, 3)$ है।
केंद्रक $G$ माध्यिकाओं $x = 4$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $x = 4$ को $x + y = 5$ में रखने पर,$4 + y = 5$,जिससे $y = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$G = (4, 1)$ है।
$B$ ज्ञात करने के लिए,केंद्रक सूत्र $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ का उपयोग करते हैं:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5 + x_B$ $\Rightarrow x_B = 7$.
$1 = \frac{2+y_B+3}{3}$ $\Rightarrow 3 = 5 + y_B$ $\Rightarrow y_B = -2$. अतः,$B = (7, -2)$ है।
शीर्षों $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,और $C(4, 3)$ वाले $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(-2 - 3) + 7(3 - 2) + 4(2 - (-2))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$ वर्ग इकाई।

(C) माना प्रथम पद $b$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
अनंत $G.P.$ के लिए,योग $S = \frac{b}{1 - r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
दिया गया है $S = 5$,इसलिए $\frac{b}{1 - r} = 5$ है।
इसका अर्थ है $b = 5(1 - r)$।
चूंकि $-1 < r < 1$ है,इसलिए $b$ का अंतराल इस प्रकार होगा:
यदि $r \to 1$,तो $b \to 5(1 - 1) = 0$ होगा।
यदि $r \to -1$,तो $b \to 5(1 - (-1)) = 5(2) = 10$ होगा।
अतः,$-1 < r < 1$ के लिए,$b$ का मान $(0, 10)$ अंतराल में स्थित है।

(B) माना समीकरण $x^{2} + (2 - \lambda)x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = \lambda - 2$ और $\alpha\beta = 10 - \lambda$ है।
मूलों के घनों का योग $S = \alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ है।
मान रखने पर,$S = (\lambda - 2)^{3} - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2)$.
$S = (\lambda - 2)[(\lambda - 2)^{2} - 3(10 - \lambda)] = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - \lambda - 26)$.
$S = \lambda^{3} - 3\lambda^{2} - 24\lambda + 52$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^{2} - 6\lambda - 24 = 0$ रखें।
$3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम के लिए,$\frac{d^{2}S}{d\lambda^{2}} = 6\lambda - 6$ है। $\lambda = 4$ पर,$18 > 0$,अतः यह न्यूनतम है।
मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\lambda - 2)^{2} - 4(10 - \lambda)}$ है।
$\lambda = 4$ के लिए,$|\alpha - \beta| = \sqrt{(4 - 2)^{2} - 4(10 - 4)} = \sqrt{4 - 24} = \sqrt{-20}$ है।
अंतर का परिमाण $|\sqrt{-20}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $k - 4h + 3 = 0$,या $k = 4h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से बिंदुओं $(2, 3)$ और $(4, 5)$ की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होनी चाहिए।
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \Rightarrow h + k = 7$।
$h + k = 7$ में $k = 4h - 3$ रखने पर:
$h + (4h - 3) = 7$ $\Rightarrow 5h = 10$ $\Rightarrow h = 2$।
अतः $k = 4(2) - 3 = 5$।
केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या $r$,$(2, 5)$ और $(2, 3)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $4y^2 - x^2 = 1$ है।
स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ मानिए। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4yy_1 - xx_1 = 1$ है।
यह स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A$ पर काटती है जहाँ $y=0$,अतः $-xx_1 = 1 \Rightarrow x = -1/x_1$। इस प्रकार,$A = (-1/x_1, 0)$।
यह स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $B$ पर काटती है जहाँ $x=0$,अतः $4yy_1 = 1 \Rightarrow y = 1/(4y_1)$। इस प्रकार,$B = (0, 1/(4y_1))$।
माना $AB$ का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
तब $h = -1/(2x_1) \Rightarrow x_1 = -1/(2h)$ और $k = 1/(8y_1) \Rightarrow y_1 = 1/(8k)$।
चूँकि $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $4y_1^2 - x_1^2 = 1$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$4(1/(8k))^2 - (-1/(2h))^2 = 1$
$4/(64k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$1/(16k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$16h^2k^2$ से गुणा करने पर:
$h^2 - 4k^2 = 16h^2k^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 - 4y^2 - 16x^2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A.P.$ $x_1, x_2, \dots, x_n$ का सार्व अंतर $d_1$ है।
चूंकि $x_8 - x_3 = 5d_1 = 20 - 8 = 12$,इसलिए $d_1 = \frac{12}{5} = 2.4$ है।
अतः $x_5 = x_3 + 2d_1 = 8 + 2(2.4) = 12.8$ है।
माना $A.P.$ $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ का सार्व अंतर $d_2$ है।
चूंकि $\frac{1}{h_7} - \frac{1}{h_2} = 5d_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = -\frac{3}{40}$,इसलिए $d_2 = -\frac{3}{200}$ है।
अब,$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_7} + 3d_2 = \frac{1}{20} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$ है,जिससे $h_{10} = 200$ प्राप्त होता है।
अतः $x_5 \cdot h_{10} = 12.8 \times 200 = 2560$ है।

(B) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{30}$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} x_i = 75$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को $\lambda$ से गुणा किया जाता है और $25$ घटाया जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_i = \lambda x_i - 25$ होते हैं।
नया माध्य $\bar{y} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} (\lambda x_i - 25) = 75\lambda - 25$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,माध्य समान रहता है,इसलिए $75\lambda - 25 = 75$ है।
$75\lambda = 100$.
$\lambda = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$.

(D) माना $P(x) = \left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}+\left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}$.
पदों का परिमेयकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(x) = \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8} + \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8}$.
$P(x) = \frac{1}{2^8} \left[ (\sqrt{5x^3+1} + \sqrt{5x^3-1})^8 + (\sqrt{5x^3+1} - \sqrt{5x^3-1})^8 \right]$.
$(a+b)^8 + (a-b)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} a^{8-k} b^k$ का उपयोग करने पर:
$P(x) = \frac{2}{2^8} \left[ \binom{8}{0} (5x^3+1)^4 + \binom{8}{2} (5x^3+1)^3(5x^3-1) + \binom{8}{4} (5x^3+1)^2(5x^3-1)^2 + \binom{8}{6} (5x^3+1)(5x^3-1)^3 + \binom{8}{8} (5x^3-1)^4 \right]$.
$x$ की अधिकतम घात $x^{3 \times 4} = x^{12}$ है,इसलिए $n = 12$.
$x^{12}$ का गुणांक $\frac{2}{2^8} \times 5^4 \times \left[ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} \right]$ है।
चूंकि $\sum_{k \text{ even}} \binom{8}{k} = 2^{8-1} = 2^7$,इसलिए
$m = \frac{2}{2^8} \times 5^4 \times 2^7 = \frac{2^8}{2^8} \times 5^4 \times 2^3 = 8 \times 10^4$.
अतः,$(n, m) = (12, 8(10)^4)$.

(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 - 10x - 25 = 0$ है जिसके मूल $\tan A$ और $\tan B$ हैं।
मूलों के गुणधर्म से,$\tan A + \tan B = \frac{10}{3}$ और $\tan A \tan B = -\frac{25}{3}$.
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan (A + B) = \frac{10/3}{1 - (-25/3)} = \frac{10/3}{28/3} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
माना $S = 3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$.
पूरे व्यंजक को $\cos^2 (A + B)$ से विभाजित करने पर:
$S = \cos^2 (A + B) [3 \tan^2 (A + B) - 10 \tan (A + B) - 25]$.
चूंकि $\tan (A + B) = 5/14$ समीकरण $3x^2 - 10x - 25 = 0$ का एक मूल है,इसलिए कोष्ठक में दिया गया मान $0$ होगा।
अतः,$S = 0$.

(C) चूंकि मूल बिंदु उभयनिष्ठ शीर्ष है,इसलिए दो परवलयों के समीकरण $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4by$ मानिए।
नाभिलंब की लंबाई $3$ दी गई है,इसलिए $4a = 3$ और $4b = 3$,अर्थात $a = b = \frac{3}{4}$।
परवलयों के समीकरण $y^2 = 3x$ और $x^2 = 3y$ हैं।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y = mx + c$ है।
$y^2 = 3x$ के लिए,$y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर $(mx + c)^2 = 3x$,या $m^2x^2 + (2mc - 3)x + c^2 = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा होने के कारण विविक्तकर शून्य होगा: $(2mc - 3)^2 - 4m^2c^2 = 0$,जो सरल होकर $9 - 12mc = 0$ देता है,अर्थात $c = \frac{3}{4m}$।
$x^2 = 3y$ के लिए,$y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर $x^2 = 3(mx + c)$,या $x^2 - 3mx - 3c = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर को शून्य रखने पर: $(-3m)^2 - 4(1)(-3c) = 0$,जो $9m^2 + 12c = 0$ देता है,इसलिए $c = -\frac{3m^2}{4}$।
$c$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{3}{4m} = -\frac{3m^2}{4}$ $\Rightarrow m^3 = -1$ $\Rightarrow m = -1$।
अतः $c = \frac{3}{4(-1)} = -\frac{3}{4}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -x - \frac{3}{4}$ है,जिसे सरल करने पर $4(x + y) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 3y^2 = 9$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{x}$ है।
बिंदु $P_1 = (3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m_1 = \frac{3(\sqrt{3} \sin \theta)}{3 \cos \theta} = \sqrt{3} \tan \theta$ है।
बिंदु $P_2 = (-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m_2 = \frac{3(\sqrt{3} \cos \theta)}{-3 \sin \theta} = -\sqrt{3} \cot \theta$ है।
अभिलंबों के बीच का कोण $\beta$ के लिए $\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \beta = \left| \frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{-2} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} (\tan \theta + \cot \theta)$।
चूंकि $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$।
अतः,$\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sin 2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$।
इसलिए,$\frac{1}{\cot \beta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$,जिसका अर्थ है $\frac{\cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है $w = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z}$. चूँकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,$w + \bar{w} = 0$.
$w + \bar{w} = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z} + \frac{1 + (1 - 8\alpha)\bar{z}}{1 - \bar{z}} = 0$
$\Rightarrow (1 + (1 - 8\alpha)z)(1 - \bar{z}) + (1 + (1 - 8\alpha)\bar{z})(1 - z) = 0$
चूँकि $|z| = 1$,इसलिए $z\bar{z} = 1$.
सरल करने पर,$-8\alpha(z + \bar{z} - 2) = 0$.
चूँकि $\text{Re}(z) \neq 1$,इसलिए $z + \bar{z} \neq 2$,अतः $-8\alpha = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 0$.

(D) माना हवाई जहाज की ऊँचाई $h = \sqrt{3} \ km$ है। माना $O$ जमीन पर प्रेक्षण बिंदु है।
माना $A$ हवाई जहाज की पहली स्थिति है और $B$ $5 \ \text{सेकंड}$ के बाद दूसरी स्थिति है।
$\Delta OA A_1$ में,जहाँ $A A_1 = \sqrt{3} \ km$ और $\angle A O A_1 = 60^\circ$ है:
$O A_1 = \frac{A A_1}{\tan 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \ km$.
$\Delta OB B_1$ में,जहाँ $B B_1 = \sqrt{3} \ km$ और $\angle B O B_1 = 30^\circ$ है:
$O B_1 = \frac{B B_1}{\tan 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 \ km$.
हवाई जहाज द्वारा तय की गई दूरी $AB = A_1 B_1 = O B_1 - O A_1 = 3 - 1 = 2 \ km$ है।
लिया गया समय $5 \ \text{सेकंड }= \frac{5}{3600} \ \text{घंटे}$ है।
गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2}{5/3600} = \frac{2 \times 3600}{5} = 1440 \ km/hr$.

(D) $n$-अंकीय संख्या के प्रत्येक स्थान को $3$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंकों $2, 5$ या $7$ का उपयोग करके)।
अतः,कुल भिन्न $n$-अंकीय संख्याएँ $3^n$ हैं।
हमें $n$ का वह न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात करना है जिसके लिए $3^n \geq 900$ हो।
$3$ की घातों की गणना करने पर:
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
चूँकि $3^6 = 729 < 900$ और $3^7 = 2187 \geq 900$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(A) हमारे पास $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$ है।
$(1+x^2)^3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6$ है।
$(1+x^3)^4 = 1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^{12}$ है।
$x^{10}$ प्राप्त करने के लिए संभावित संयोजन:
$(2x) \cdot (1) \cdot (4x^9) = 8x^{10}$
$(x^2) \cdot (3x^2) \cdot (6x^6) = 18x^{10}$
$(1) \cdot (3x^4) \cdot (6x^6) = 18x^{10}$
$(2x) \cdot (x^6) \cdot (4x^3) = 8x^{10}$
कुल योग: $8 + 18 + 18 + 8 = 52$।

(D) माना द्विघात व्यंजक $f(x) = k(x - r_1)(x - r_2)$ है।
दिया गया है कि $-1$ एक मूल है,माना $r_1 = -1$ है। माना दूसरा मूल $a$ है।
अतः,$f(x) = k(x + 1)(x - a) = k(x^2 + (1 - a)x - a)$ है।
हमें दिया गया है कि $f(1) + f(2) = 0$ है।
$f(1) = k(1 + 1)(1 - a) = 2k(1 - a) = 2k - 2ka$ है।
$f(2) = k(2 + 1)(2 - a) = 3k(2 - a) = 6k - 3ka$ है।
योग करने पर: $f(1) + f(2) = (2k - 2ka) + (6k - 3ka) = 8k - 5ka$ है।
योग को शून्य के बराबर रखने पर: $8k - 5ka = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक द्विघात व्यंजक है,$k \neq 0$,इसलिए हम $k$ से विभाजित कर सकते हैं।
$8 - 5a = 0 \Rightarrow 5a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{5}$ है।
अतः,दूसरा मूल $\frac{8}{5}$ है।

(D) $BARRACK$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, B, C, K$। भिन्न अक्षर ${A, R, B, C, K}$ हैं।
हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: ${A, R, B, C, K}$ में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^5C_4 = 5$। प्रत्येक को व्यवस्थित करने के तरीके $= 4! = 24$। कुल $= 5 \times 24 = 120$।
(ii) $2$ समान अक्षरों के जोड़े: जोड़े ${A, A}$ और ${R, R}$ हैं। दोनों जोड़े चुनने के तरीके $= ^2C_2 = 1$। व्यवस्था के तरीके $= \frac{4!}{2!2!} = 6$।
(iii) $2$ समान और $2$ भिन्न अक्षर: ${A, A}$ या ${R, R}$ में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $= ^2C_1 = 2$। शेष $4$ अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_2 = 6$। प्रत्येक चयन के लिए व्यवस्था के तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$। कुल $= 2 \times 6 \times 12 = 144$।
कुल $4$ अक्षरों वाले शब्द $= 120 + 6 + 144 = 270$।

(D) दिया गया है $\sin 3x = \cos 2x$.
हम इसे $\sin 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\sin A = \sin B$ के लिए व्यापक हल $A = n\pi + (-1)^n B$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
इसे लागू करने पर,$3x = n\pi + (-1)^n \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$.
स्थिति $1$: यदि $n$ सम है,मान लीजिए $n = 2k$. तो $3x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} - 2x$ $\Rightarrow 5x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{2k\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{(4k+1)\pi}{10}$.
$k=1$ के लिए,$x = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (अंतराल में नहीं है)।
$k=2$ के लिए,$x = \frac{9\pi}{10}$ (अंतराल में है)।
स्थिति $2$: यदि $n$ विषम है,मान लीजिए $n = 2k+1$. तो $3x = (2k+1)\pi - \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{2} + 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} + 2x$ $\Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.
$k=0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ (अंतराल में नहीं है)।
$k=1$ के लिए,$x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$ (अंतराल में नहीं है)।
अतः,अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में केवल एक ही हल $x = \frac{9\pi}{10}$ है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।

(A) कथन $p$ के लिए: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $2\sin 120^\circ = \sqrt{3}$.
दाहिनी ओर $\theta = 240^\circ$ रखने पर: $\sqrt{1 + \sin 240^\circ} - \sqrt{1 - \sin 240^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = -1 \neq \sqrt{3}$. अतः,कथन $p$ असत्य है।
कथन $q$ के लिए: किसी भी चतुर्भुज $ABCD$ में,$A + B + C + D = 360^\circ$,इसलिए $\frac{A+C}{2} + \frac{B+D}{2} = 180^\circ = \pi$.
मान लीजिए $\alpha = \frac{A+C}{2}$,तो $\frac{B+D}{2} = \pi - \alpha$.
अतः,$\cos(\alpha) + \cos(\pi - \alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) = 0$. अतः,कथन $q$ सत्य है।
इसलिए,सत्यता मान $F, T$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $|z - (3 - 2i)| \leq 4$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(3, -2)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
$|z|$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से बिंदु $z$ की दूरी को दर्शाता है।
मूल बिंदु से वृत्त तक की अधिकतम और न्यूनतम दूरी उस रेखा पर होती है जो मूल बिंदु और केंद्र $C$ से होकर गुजरती है।
मूल बिंदु से केंद्र $C(3, -2)$ की दूरी $OC = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ है।
$|z|$ की न्यूनतम दूरी $|OC - R| = |\sqrt{13} - 4|$ है। चूंकि $\sqrt{13} < 4$,इसलिए न्यूनतम दूरी $4 - \sqrt{13}$ है।
$|z|$ की अधिकतम दूरी $OC + R = \sqrt{13} + 4$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच का अंतर $(4 + \sqrt{13}) - (4 - \sqrt{13}) = 2\sqrt{13}$ है।

(A) रेखा $3x + y = \lambda$ के समीकरण को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\lambda/3} + \frac{y}{\lambda} = 1$ लिखा जा सकता है।
अतः,$A$ के निर्देशांक $(\frac{\lambda}{3}, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, \lambda)$ हैं।
मूलबिंदु $(0,0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब का पाद $P$ $(\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$3x + y - \lambda = 0$,इसलिए $a=3, b=1, c=-\lambda$.
$P = (\frac{-3(-\lambda)}{3^2+1^2}, \frac{-1(-\lambda)}{3^2+1^2}) = (\frac{3\lambda}{10}, \frac{\lambda}{10})$.
अब,दूरियों $BP$ और $PA$ की गणना करते हैं:
$BP^2 = (\frac{3\lambda}{10} - 0)^2 + (\frac{\lambda}{10} - \lambda)^2 = \frac{9\lambda^2}{100} + \frac{81\lambda^2}{100} = \frac{90\lambda^2}{100} = \frac{9\lambda^2}{10}$.
$PA^2 = (\frac{\lambda}{3} - \frac{3\lambda}{10})^2 + (0 - \frac{\lambda}{10})^2 = (\frac{10\lambda - 9\lambda}{30})^2 + \frac{\lambda^2}{100} = \frac{\lambda^2}{900} + \frac{9\lambda^2}{900} = \frac{10\lambda^2}{900} = \frac{\lambda^2}{90}$.
इसलिए,$\frac{BP^2}{PA^2} = \frac{9\lambda^2/10}{\lambda^2/90} = \frac{9}{10} \times 90 = 81$.
अतः,$\frac{BP}{PA} = \sqrt{81} = 9$.
इसलिए,अनुपात $BP : PA$ $9 : 1$ है।

(B) $A_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{3}{4}$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{3}{4}$ है।
$n$ पदों का योग $A_n = \frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right]$ है।
$B_n > A_n$ के लिए $1 - A_n > A_n \implies A_n < \frac{1}{2}$ होना चाहिए।
$\frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right] < \frac{1}{2} \implies \left( \frac{3}{4} \right)^n < \frac{1}{6}$ (जब $n$ विषम है)।
लघुगणक लेने पर,$n > 6.23$ प्राप्त होता है।
अतः,सबसे छोटी विषम प्राकृतिक संख्या $p = 7$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है,अतः समीकरण $\frac{9x}{x_0} + \frac{4y}{y_0} = 13$ है।
यह अभिलंब $x$-अक्ष को $A(\frac{13x_0}{9}, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, \frac{13y_0}{4})$ पर मिलता है।
चूंकि $OABP$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P(x, y) = A + B = (\frac{13x_0}{9}, \frac{13y_0}{4})$ है।
अतः,$x_0 = \frac{9x}{13}$ और $y_0 = \frac{4y}{13}$ है।
चूंकि $(x_0, y_0)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$4(\frac{9x}{13})^2 - 9(\frac{4y}{13})^2 = 36$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$9x^2 - 4y^2 = 169$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - (x + x_1) - 1 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$2x + y - (x + 2) - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x + y - 3 = 0$ हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $C_2$ (केंद्र $(3, -2)$) के लिए जीवा का कार्य करती है।
केंद्र $(3, -2)$ से रेखा $x + y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3 - 2 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
जीवा की लंबाई $l = 4$ है,इसलिए जीवा की आधी लंबाई $\frac{l}{2} = 2$ है।
वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $r = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + d^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$।

(D) माना $T_1$ और $T_2$ के बीच की दूरी $x$ है।
आकृति से,$EA = 60 \, m$ $(T_1)$ और $DB = 80 \, m$ $(T_2)$।
माना $C$,$T_2$ पर एक बिंदु है ताकि $EC$ क्षैतिज हो। अतः $EC = AB = x$।
$DC = DB - CB = 80 - 60 = 20 \, m$।
दिया है कि $\angle DEC = \theta$ ($T_2$ के शीर्ष का उन्नयन कोण) और $\angle BEC = 2\theta$ ($T_2$ के पाद का अवनमन कोण)।
$\Delta DEC$ में,$\tan \theta = \frac{DC}{EC} = \frac{20}{x}$।
$\Delta BEC$ में,$\tan 2\theta = \frac{BC}{EC} = \frac{60}{x}$।
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{60}{x} = \frac{2(\frac{20}{x})}{1 - (\frac{20}{x})^2}$।
$\frac{60}{x} = \frac{40/x}{1 - 400/x^2} = \frac{40x}{x^2 - 400}$।
$60(x^2 - 400) = 40x^2$।
$60x^2 - 24000 = 40x^2$।
$20x^2 = 24000$।
$x^2 = 1200$।
$x = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \, m$।

(D) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(0, c)$ हैं।
भुजाओं के समांतर रेखाओं के समीकरण $x - y + 2 = 0$ और $7x - y + 3 = 0$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण भुजाओं वाली रेखाओं के कोण समद्विभाजक होते हैं।
कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - y + 2}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\frac{x - y + 2}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{5\sqrt{2}}$.
$5x - 5y + 10 = \pm (7x - y + 3)$.
स्थिति $1$: $5x - 5y + 10 = 7x - y + 3 \Rightarrow 2x + 4y - 7 = 0$. ढाल $m_1 = -\frac{1}{2}$ है।
स्थिति $2$: $5x - 5y + 10 = -7x + y - 3 \Rightarrow 12x - 6y + 13 = 0$. ढाल $m_2 = 2$ है।
विकर्ण $P(1, 2)$ और $A(0, c)$ से होकर गुजरते हैं। रेखा $AP$ की ढाल $\frac{2 - c}{1 - 0} = 2 - c$ है।
यदि $2 - c = 2$ है,तो $c = 0$ प्राप्त होता है,जो मूलबिंदु है (जो संभव नहीं है)।
यदि $2 - c = -\frac{1}{2}$ है,तो $c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\tan 2x - 2x\tan x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}$.
$\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$ और $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} \right) - 2x\tan x}}{{{{\left( {2\sin^2 x} \right)}^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan x - 2x\tan x(1 - {{\tan }^2}x)}}{{(1 - {{\tan }^2}x) \cdot 4\sin^4 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan^3 x}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,हमें प्राप्त होता है:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{4\sin x \cdot \cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{2\sin x} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1(1 - 0)} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $a+c = 2b$.
$a+b+c = \frac{3}{4}$ दिया है,$a+c=2b$ रखने पर $3b = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $b = \frac{1}{4}$.
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $(b^2)^2 = a^2 c^2$,जिसका अर्थ है $ac = \pm b^2 = \pm \frac{1}{16}$.
चूंकि $a < b < c$,इसलिए $ac$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $ac = -\frac{1}{16}$.
हमें $a+c = 2b = \frac{1}{2}$ और $ac = -\frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
$a$ और $c$ के लिए द्विघात समीकरण $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ है,अर्थात $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
$16$ से गुणा करने पर,$16x^2 - 8x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{32} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
चूंकि $a < b$,हम छोटा मान चुनेंगे: $a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिसका अर्थ है $a = 2$। नाभि $F$ $(2, 0)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (-8, 0)$ के लिए स्पर्श जीवा $PQ$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $y(0) = 2(2)(x - 8)$ प्राप्त होता है,जो $0 = 4(x - 8)$ में सरल हो जाता है,इसलिए $x = 8$।
$x = 8$ के लिए,$y^2 = 8(8) = 64$,इसलिए $y = \pm 8$। अतः,बिंदु $P(8, 8)$ और $Q(8, -8)$ हैं।
त्रिभुज $PFQ$ के शीर्ष $P(8, 8)$,$F(2, 0)$ और $Q(8, -8)$ हैं।
आधार $PQ$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा खंड है जिसकी लंबाई $|8 - (-8)| = 16$ है।
$F(2, 0)$ से रेखा $x = 8$ तक त्रिभुज की ऊंचाई $|8 - 2| = 6$ है।
$\triangle PFQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ वर्ग इकाई।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का आधार $D$ है। कार की स्थितियाँ $B$ और $A$ हैं जहाँ अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं।
$\Delta ODA$ में,$\angle OAD = 45^\circ$। अतः,$\tan(45^\circ) = \frac{h}{DA} \Rightarrow DA = h$।
$\Delta ODB$ में,$\angle OBD = 30^\circ$। अतः,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{DB} \Rightarrow DB = h\sqrt{3}$।
$18 \text{ min}$ में कार द्वारा तय की गई दूरी $BA = DB - DA = h(\sqrt{3} - 1)$ है।
कार की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{h(\sqrt{3} - 1)}{18}$।
$DA$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{DA}{v} = \frac{h}{h(\sqrt{3} - 1) / 18} = \frac{18}{\sqrt{3} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $t = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{2} = 9(\sqrt{3} + 1) \text{ min}$।

(C) दिया गया है कि $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ $A.P.$ में हैं।
मान लीजिए $a = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{4}$ और $d$ सार्व अंतर है।
हमें $\frac{1}{x_{21}} = \frac{1}{20}$ दिया गया है।
$A.P.$ के सूत्र से $\frac{1}{x_{21}} = a + 20d$,इसलिए $\frac{1}{20} = \frac{1}{4} + 20d$।
$20d = \frac{1}{20} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{5}$,अतः $d = -\frac{1}{100}$।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $\frac{1}{x_n} = a + (n-1)d = \frac{1}{4} - \frac{n-1}{100} = \frac{26 - n}{100}$ है।
इसलिए $x_n = \frac{100}{26 - n}$।
चूंकि $x_n > 50$,इसलिए $\frac{100}{26 - n} > 50$,जिसका अर्थ है $n > 24$।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n = 25$ है।
अब,$\sum_{i=1}^{25} \frac{1}{x_i} = \frac{25}{2} \left[ 2a + (25-1)d \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{24}{100} \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{6}{25} \right] = \frac{13}{4}$.

(A) दी गई रेखाएँ:
$L_1: \sqrt{2}x - y + 4\sqrt{2}k = 0 \Rightarrow y = \sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k \quad (i)$
$L_2: \sqrt{2}kx + ky - 4\sqrt{2} = 0 \quad (ii)$
$(i)$ से $y$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\sqrt{2}kx + k(\sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k) - 4\sqrt{2} = 0$
$2\sqrt{2}kx = 4\sqrt{2}(1 - k^2) \Rightarrow x = \frac{2(1 - k^2)}{k}$
इसी प्रकार,$y = \frac{2\sqrt{2}(1 + k^2)}{k}$
अतः,$(\frac{y}{4\sqrt{2}})^2 - (\frac{x}{4})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है,जिसमें अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ है।

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या स्वयं $3$ से विभाज्य होती है।
हजार के स्थान पर $2, 3$ या $4$ आ सकते हैं क्योंकि संख्या $2,000$ और $5,000$ के बीच है।
स्थिति $1$: हजार के स्थान पर $2$ हो।
शेष $3$ अंकों को ${0, 1, 3, 4}$ से इस प्रकार चुनना है कि योग $3$ से विभाज्य हो:
- ${0, 1, 3}$ (योग $= 6$)
- ${0, 3, 4}$ (योग $= 9$)
प्रत्येक समूह को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। कुल $= 2 \times 6 = 12$.
स्थिति $2$: हजार के स्थान पर $3$ हो।
शेष $3$ अंकों को ${0, 1, 2, 4}$ से चुनना है:
- ${0, 1, 2}$ (योग $= 6$)
- ${0, 2, 4}$ (योग $= 9$)
कुल $= 2 \times 6 = 12$.
स्थिति $3$: हजार के स्थान पर $4$ हो।
शेष $3$ अंकों को ${0, 1, 2, 3}$ से चुनना है:
- ${0, 2, 3}$ (योग $= 9$)
कुल $= 1 \times 6 = 6$.
कुल संख्याएँ $= 12 + 12 + 6 = 30$.

(A) प्रथम दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$(2x - 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z + 1) = 0$
$x(\lambda + 2) - y(\lambda + 2) + z(\lambda + 3) + (\lambda - 2) = 0 \quad \dots(1)$
चूंकि यह समतल ${L_2}$ को समाहित करता है,इसलिए:
$\begin{vmatrix} \lambda + 2 & -(\lambda + 2) & \lambda + 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(\lambda + 2) + 5(\lambda + 2) - 7(\lambda + 3) = 0$
$8\lambda + 16 - 7\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$
समीकरण $(1)$ में $\lambda = 5$ रखने पर:
$7x - 7y + 8z + 3 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|3|}{\sqrt{7^2 + (-7)^2 + 8^2}} = \frac{3}{\sqrt{162}} = \frac{3}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.

(C) माना बिंदु $A(4, -1, 3)$ और $B(5, -1, 4)$ हैं। सदिश $\overrightarrow{AB} = (5-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$ है।
समतल $x + y + z = 7$ का अभिलंब $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब $\vec{n}$ पर $\overrightarrow{AB}$ का प्रक्षेप $d = |\overrightarrow{AB} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i} + \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}}| = \frac{1+0+1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
समतल पर रेखाखंड $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 - d^2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2$ है।
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $= \sqrt{2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{6-4}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(-x)}{1 + 2^{-x}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + \frac{1}{2^x}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2^x \sin^2 x}{2^x + 1} dx$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + 2^x \sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x dx$
चूंकि $\sin^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x - \pi)(6x - \pi) = 0$।
अतः,मूल $\alpha = \frac{\pi}{6}$ और $\beta = \frac{\pi}{3}$ हैं (चूंकि $\alpha < \beta$)।
अब,संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \cos((\sqrt{x})^2) = \cos(x)$ है।
वक्र $y = \cos(x)$,रेखाओं $x = \frac{\pi}{6}$,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(x) \, dx$।
समाकलन करने पर: $A = [\sin(x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6})$।
मान रखने पर: $A = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{matrix} x - 4 & 2x & 2x \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$ है।
संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 5x - 4 & 5x - 4 & 5x - 4 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2x & -x - 4 & 0 \\ 2x & 0 & -x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4)(-x - 4)^2 = (5x - 4)(x + 4)^2$.
इसे $(A + Bx)(x - A)^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $(A + Bx)(x - A)^2 = (5x - 4)(x - (-4))^2$.
अतः,$A = -4$ और $B = 5$ है।
इसलिए,क्रमित युग्म $(A, B) = (-4, 5)$ है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय के शून्येतर हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-3k + 8) - k(-9 + 4) + 3(12 - 2k) = 0$
$-3k + 8 + 5k + 36 - 6k = 0$
$-4k + 44 = 0 \Rightarrow k = 11$
$k = 11$ को समीकरणों में रखने पर:
$x + 11y + 3z = 0$ $(1)$
$3x + 11y - 2z = 0$ $(2)$
$2x + 4y - 3z = 0$ $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(3x - x) + (11y - 11y) + (-2z - 3z) = 0 \Rightarrow 2x - 5z = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}z$
$x = \frac{5}{2}z$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{5}{2}z + 11y + 3z = 0 \Rightarrow 11y = -\frac{11}{2}z \Rightarrow y = -\frac{1}{2}z$
अब,$\frac{xz}{y^2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{xz}{y^2} = \frac{(\frac{5}{2}z)(z)}{(-\frac{1}{2}z)^2} = \frac{\frac{5}{2}z^2}{\frac{1}{4}z^2} = \frac{5}{2} \times 4 = 10$

(C) दिया गया है $h(x) = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}}$.
अंश को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$h(x) = \frac{(x - \frac{1}{x})^2 + 2}{x - \frac{1}{x}} = (x - \frac{1}{x}) + \frac{2}{x - \frac{1}{x}}$.
मान लीजिए $t = x - \frac{1}{x}$ है। चूंकि $x \in R - \{-1, 1, 0\}$,$t$ का मान $0$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
तब $h(t) = t + \frac{2}{t}$ है।
जब $t > 0$ हो,तो $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$t + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$ है।
समानता तब प्राप्त होती है जब $t = \frac{2}{t}$,अर्थात $t^2 = 2$,इसलिए $t = \sqrt{2}$ ($t > 0$ होने के कारण)।
जब $t < 0$ हो,तो $u = -t$ मानिए,जहाँ $u > 0$ है। तब $h(t) = -u - \frac{2}{u} = -(u + \frac{2}{u}) \le -2\sqrt{2}$ है।
अतः,$h(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $2\sqrt{2}$ है।

(D) फलन $f(x) = |x-\pi|(e^{|x|}-1)\sin|x|$ दिया गया है।
हम $x=0$ और $x=\pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x=\pi$ पर:
$f(\pi) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|\pi+h-\pi|(e^{|\pi+h|}-1)\sin|\pi+h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(e^{\pi+h}-1)\sin(\pi+h)}{h} = (e^{\pi}-1)\sin(\pi) = 0$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|\pi-h-\pi|(e^{|\pi-h|}-1)\sin|\pi-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(e^{\pi-h}-1)\sin(\pi-h)}{-h} = -(e^{\pi}-1)\sin(\pi) = 0$.
चूँकि $RHD = LHD = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=\pi$ पर अवकलनीय है।
$x=0$ पर:
$f(0) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h-\pi|(e^{|h|}-1)\sin|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h-\pi|(e^h-1)\sin(h)}{h} = |-\pi| \cdot (1) \cdot (0) = 0$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h-\pi|(e^{|-h|}-1)\sin|-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h-\pi|(e^h-1)\sin(h)}{-h} = |-\pi| \cdot (1) \cdot (0) = 0$.
चूँकि $RHD = LHD = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।
अतः,$f(x)$ सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है,इसलिए समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय है,अर्थात $S = \emptyset$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^5 x + \cos^3 x \sin^2 x + \sin^3 x \cos^2 x + \cos^5 x)^2} dx$.
हर का गुणनखंड करने पर:
$\sin^5 x + \cos^3 x \sin^2 x + \sin^3 x \cos^2 x + \cos^5 x = \sin^2 x(\sin^3 x + \cos^3 x) + \cos^2 x(\sin^3 x + \cos^3 x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^3 x + \cos^3 x) = (\sin^3 x + \cos^3 x)$.
अतः,$I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^3 x + \cos^3 x)^2} dx$.
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(\tan^3 x + 1)^2} dx$.
माना $t = 1 + \tan^3 x$,तब $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x dx$,इसलिए $\tan^2 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} (-t^{-1}) + C = \frac{-1}{3(1 + \tan^3 x)} + C$.

(A) माना $R_1$ पहले ड्रा में लाल गेंद निकालने की घटना है और $B_1$ पहले ड्रा में काली गेंद निकालने की घटना है।
माना $R_2$ दूसरे ड्रा में लाल गेंद निकालने की घटना है।
प्रारंभ में,थैले में $4$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं,कुल $10$ गेंदें हैं।
$P(R_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ और $P(B_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
यदि पहली बार लाल गेंद निकाली जाती है,तो उसे $2$ अतिरिक्त लाल गेंदों के साथ वापस डाल दिया जाता है। अब थैले में $4 + 2 = 6$ लाल गेंदें और $6$ काली गेंदें हैं,कुल $12$ गेंदें हैं।
अतः,$P(R_2 | R_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$।
यदि पहली बार काली गेंद निकाली जाती है,तो उसे $2$ अतिरिक्त काली गेंदों के साथ वापस डाल दिया जाता है। अब थैले में $4$ लाल गेंदें और $6 + 2 = 8$ काली गेंदें हैं,कुल $12$ गेंदें हैं।
अतः,$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता है:
$P(R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) + P(B_1) \times P(R_2 | B_1)$
$P(R_2) = (\frac{4}{10} \times \frac{6}{12}) + (\frac{6}{10} \times \frac{4}{12})$
$P(R_2) = \frac{24}{120} + \frac{24}{120} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$।

(D) चूंकि $\vec{u}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,हम लिख सकते हैं $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
दिया गया है $\vec{u} \perp \vec{a}$,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \implies x|\vec{a}|^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + 3^2 + (-1)^2 = 14$ की गणना करें।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (3)(1) + (-1)(1) = 2$ की गणना करें।
अतः,$14x + 2y = 0 \implies y = -7x$.
इस प्रकार,$\vec{u} = x\vec{a} - 7x\vec{b} = x(\vec{a} - 7\vec{b})$.
$\vec{a} - 7\vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 7(\hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.
दिया गया है $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$,इसलिए $x(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = 24$.
$(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - 7|\vec{b}|^2 = 2 - 7(2) = -12$.
अतः,$x(-12) = 24 \implies x = -2$.
इसलिए,$\vec{u} = -2(2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}) = -4\hat{i} + 8\hat{j} + 16\hat{k}$.
$|\vec{u}|^2 = (-4)^2 + 8^2 + 16^2 = 16 + 64 + 256 = 336$.

(C) मान लीजिए कि चर समतल के $x, y,$ और $z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a, b,$ और $c$ हैं।
समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल निश्चित बिंदु $(3, 2, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ है।
$A(a, 0, 0)$ से होकर $yz$-समतल के समानांतर समतल $x = a$ है।
$B(0, b, 0)$ से होकर $zx$-समतल के समानांतर समतल $y = b$ है।
$C(0, 0, c)$ से होकर $xy$-समतल के समानांतर समतल $z = c$ है।
इन तीन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b, c)$ है।
मान लीजिए कि प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y, z)$ है। तब $x = a, y = b,$ और $z = c$ है।
इन मानों को समीकरण $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ में रखने पर,हमें बिंदुपथ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = \frac{x - 4}{x + 2}$.
तब $x - 4 = y(x + 2) \Rightarrow x - 4 = xy + 2y$.
$x(1 - y) = 2y + 4 \Rightarrow x = \frac{2y + 4}{1 - y}$.
$x$ का मान $f(y) = 2x + 1$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(y) = 2\left( \frac{2y + 4}{1 - y} \right) + 1$.
$f(y) = \frac{4y + 8 + 1 - y}{1 - y} = \frac{3y + 9}{1 - y}$.
अतः,$f(x) = \frac{3x + 9}{1 - x} = \frac{3(x - 1 + 4)}{1 - x} = \frac{3(x - 1)}{1 - x} + \frac{12}{1 - x} = -3 + \frac{12}{1 - x}$.
अब,$\int f(x) \,dx = \int \left( -3 + \frac{12}{1 - x} \right) \,dx$.
$= -3x + 12 \int \frac{1}{1 - x} \,dx$.
$= -3x + 12 \left( \frac{\log_e |1 - x|}{-1} \right) + C$.
$= -12 \log_e |1 - x| - 3x + C$.

(A) सबसे पहले,सममितता की जाँच करें:
$R_1$ के लिए: $(c, a) \in R_1$ और $(a, c) \in R_1$ है। हालाँकि,$(b, c) \in R_1$ है लेकिन $(c, b) \notin R_1$ है। अतः,$R_1$ सममित नहीं है।
$R_2$ के लिए: $(a, b) \in R_2$ और $(b, a) \in R_2$ है। $(a, c) \in R_2$ और $(c, a) \in R_2$ है। $(c, a) \in R_2$ और $(a, c) \in R_2$ है। अतः,$R_2$ सममित है।
इसके बाद,संक्रामकता की जाँच करें:
$R_1$ के लिए: $(b, c) \in R_1$ और $(c, a) \in R_1$ है,लेकिन $(b, a) \notin R_1$ है। अतः,$R_1$ संक्रामक नहीं है।
$R_2$ के लिए: $(b, a) \in R_2$ और $(a, c) \in R_2$ है,लेकिन $(b, c) \notin R_2$ है। अतः,$R_2$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R_2$ सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है,और $R_1$ न तो सममित है और न ही संक्रामक है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 + y^2 + \sin y = 4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} + \cos y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y + \cos y}$.
बिंदु $(-2, 0)$ पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(-2)}{2(0) + \cos 0} = \frac{4}{1} = 4$.
अब,$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$2 + 2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} - \sin y (\frac{dy}{dx})^2 + \cos y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = -2, y = 0$ और $\frac{dy}{dx} = 4$ रखने पर:
$2 + 2(4)^2 + 2(0) \frac{d^2y}{dx^2} - \sin(0)(4)^2 + \cos(0) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$2 + 32 + 0 - 0 + 1 \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$34 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = -34$.

(D) दिया गया है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह है। मान लीजिए यह अदिश आव्यूह $K = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ है।
तब $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$ होगा।
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -2k/3 \\ 0 & k/3 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $|3A| = 108$ है। चूंकि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,इसलिए $|3A| = 3^2 |A| = 9|A|$ होगा।
अतः,$9|A| = 108 \Rightarrow |A| = 12$ होगा।
हमारे व्यंजक से $|A|$ की गणना करने पर: $|A| = (k)(k/3) - 0 = k^2/3$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर: $k^2/3 = 12 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$ प्राप्त होता है।
$k = 6$ के लिए,$A = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ होगा।
$k = -6$ के लिए,$A = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ होगा।
दोनों स्थितियों में,$A^2 = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2\sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2\sin x - 2x\tan x) + 1(2x\sin x - x^2\tan x)$
$f(x) = -x^2\cos x - 2x\sin x + 2x^2\tan x + 2x\sin x - x^2\tan x$
$f(x) = x^2\tan x - x^2\cos x = x^2(\tan x - \cos x)$.
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2x(\tan x - \cos x) + x^2(\sec^2 x + \sin x)$.
हमें $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ ज्ञात करना है:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x(\tan x - \cos x) + x^2(\sec^2 x + \sin x)}{x}$
$= \lim_{x \to 0} [2(\tan x - \cos x) + x(\sec^2 x + \sin x)]$
$= 2(0 - 1) + 0(1 + 0) = -2$.
अतः,सीमा का अस्तित्व है और यह $-2$ के बराबर है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$x + y + z = 2$
$2x + y - z = 3$
$3x + 2y + kz = 4$
रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य न हो।
मान लीजिए $D$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(1 \cdot k - (-1) \cdot 2) - 1(2 \cdot k - (-1) \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$D = 1(k + 2) - 1(2k + 3) + 1(4 - 3)$
$D = k + 2 - 2k - 3 + 1$
$D = -k$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$,जिसका अर्थ है $-k \neq 0$,या $k \neq 0$.
अतः,$S = R - \{0\}$.

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) + \sin^4(-x) \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin(-x)}{2 - \sin(-x)} \right) \right) \right] dx$.
चूंकि $\sin(-x) = -\sin x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left[ 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) + 1 + \log \left( \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x} \right) \right] dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left[ 2 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \cdot \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x} \right) \right] dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x [ 2 + \log(1) ] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^4 x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जब $n$ सम हो):
$I = 2 \cdot \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$.

(D) समतलों $3x + 4y + z - 1 = 0$ और $5x + 8y + 2z + 14 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा की दिशा सदिश $\vec{v}$,उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (3, 4, 1)$ और $\vec{n_2} = (5, 8, 2)$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(6-5) + \hat{k}(24-20) = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल $x + y + z = 5$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
रेखा (दिशा सदिश $\vec{v}$) और समतल (अभिलंब सदिश $\vec{n}$) के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(1) + (4)(1) = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{51}} = \sqrt{\frac{3}{17}}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{17}}\right)$.

(A) माना गोले की त्रिज्या $R = 3 \, cm$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $h$ और आधार की त्रिज्या $b$ है।
गोले की ज्यामिति के अनुसार,$h, b,$ और $R$ के बीच संबंध $(h-R)^2 + b^2 = R^2$ है।
अतः,$b^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi b^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2) = 0$ ज्ञात करते हैं।
इससे $h(4R - 3h) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3} = \frac{4(3)}{3} = 4 \, cm$ है।
अब,$b^2 = 2(4)(3) - (4)^2 = 24 - 16 = 8$,इसलिए $b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi b l = \pi (2\sqrt{2}) (2\sqrt{6}) = 4\pi \sqrt{12} = 4\pi (2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \pi \, cm^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = f(x)$ है।
स्थिति $1$: $x \in [0, 1]$ के लिए,$f(x) = 1$ है।
$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$। समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।
हल $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ है।
अतः,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$ है।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,$x \in [0, 1]$ के लिए $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ है।
$x = 1$ पर,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$ है।
स्थिति $2$: $x > 1$ के लिए,$f(x) = 0$ है।
$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर $y(x)$ की निरंतरता का उपयोग करने पर,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$ है।
$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$ है।
अतः,$x > 1$ के लिए $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ है।
$x = \frac{3}{2}$ के लिए,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$ है।

(B) दिया गया क्षेत्र $y = \sqrt{x}$,$y = x - 2$,$x = 0$,और $y = 0$ द्वारा घिरा हुआ है।
$y = \sqrt{x}$ और $y = x - 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{x} = x - 2$ रखते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 5x + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x - 4)(x - 1) = 0$ मिलता है,अतः $x = 4$ या $x = 1$ है।
चूंकि $y = \sqrt{x}$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2)$ है।
क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है।
$0 \le x \le 2$ के लिए,क्षेत्र $y = \sqrt{x}$ और $y = 0$ द्वारा घिरा है। क्षेत्रफल $A_1 = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ है।
$2 \le x \le 4$ के लिए,क्षेत्र $y = \sqrt{x}$ और $y = x - 2$ द्वारा घिरा है। क्षेत्रफल $A_2 = \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{2}^{4}$ है।
$A_2 = (\frac{16}{3}) - (\frac{4\sqrt{2}}{3} + 2) = \frac{10}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$ है।
कुल क्षेत्रफल = $A_1 + A_2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{10}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{10}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया है: $\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} = \vec{0}$ और $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\vec{a} + 2\vec{c} = -2\vec{b}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\vec{a} + 2\vec{c}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{c}) = (-2\vec{b}) \cdot (-2\vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4|\vec{b}|^2$.
परिमाणों का मान रखने पर: $1 + 4(1) + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4(1)$.
$5 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4 \Rightarrow 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = -1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{4}$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = (1)(1) - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
अतः,$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(A) दिया गया है $f(t) = (\|\lambda\|e^{\|t\|} - \mu) \sin(2\|t\|)$.
चूंकि $\|t\|$ शामिल है,हम $t > 0$ और $t < 0$ के लिए $f(t)$ का विश्लेषण करते हैं।
$t > 0$ के लिए,$f(t) = (\|\lambda\|e^t - \mu) \sin(2t)$.
$t < 0$ के लिए,$f(t) = (\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \sin(-2t) = -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \sin(2t)$.
$f(t)$ को $t=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $t=0$ पर सतत होना चाहिए।
$f(0) = (\|\lambda\| - \mu) \sin(0) = 0$.
अब,$LHD = RHD$ का उपयोग करके $t=0$ पर अवकलज $f'(t)$ की जाँच करते हैं।
$RHD = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} (\|\lambda\|e^t - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = (\|\lambda\| - \mu) \times 2 = 2(\|\lambda\| - \mu)$.
$LHD = \lim_{t \to 0^-} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = -(\|\lambda\| - \mu) \times 2 = -2(\|\lambda\| - \mu)$.
अवकलनीयता के लिए,$LHD = RHD \implies 2(\|\lambda\| - \mu) = -2(\|\lambda\| - \mu)$.
$4(\|\lambda\| - \mu) = 0 \implies \|\lambda\| = \mu$.
चूंकि $\|\lambda\| \ge 0$,इसलिए $\mu \ge 0$ होना चाहिए।
अतः,$S = \{(\lambda, \mu) : \mu = \|\lambda\|, \mu \ge 0, \lambda \in R\}$.
यह समुच्चय $S$,$R \times [0, \infty)$ का एक उपसमुच्चय है।

(A) माना $E$ एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की घटना है। $H_A$ और $H_B$ क्रमशः बॉक्स $A$ और बॉक्स $B$ चुनने की घटनाएँ हैं। $P(H_A) = P(H_B) = \frac{1}{2}$ है।
बॉक्स $A$ से एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|H_A) = \frac{^2C_1 \times ^3C_1}{^7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ है।
बॉक्स $B$ से एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|H_B) = \frac{^4C_1 \times ^2C_1}{^9C_2} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,बॉक्स $B$ से गेंदें निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(H_B|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{9}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9}} = \frac{7}{16}$.

(D) यह जांचने के लिए कि फलन व्युत्क्रमणीय है या नहीं,हमें यह दिखाना होगा कि यह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों है।
$1$. एकैकी: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_2 - 1}{x_2 - 2}$
$(x_1 - 1)(x_2 - 2) = (x_2 - 1)(x_1 - 2)$
$x_1x_2 - 2x_1 - x_2 + 2 = x_1x_2 - 2x_2 - x_1 + 2$
$-2x_1 - x_2 = -2x_2 - x_1$
$x_2 = x_1$. अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक: मान लीजिए $y = \frac{x - 1}{x - 2}$.
$y(x - 2) = x - 1$
$yx - 2y = x - 1$
$yx - x = 2y - 1$
$x(y - 1) = 2y - 1$
$x = \frac{2y - 1}{y - 1}$.
चूंकि प्रत्येक $y \in R - \{1\}$ के लिए,एक $x \in R - \{2\}$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 1}$ है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 1(6 - 10) - a(3 - 2) + 1(5 - 2) = -4 - a + 3 = -a - 1$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $-a - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = -1$.
अब,$\Delta_2$ की गणना करें (दूसरे स्तंभ को स्थिरांक $3, 6, b$ से बदलने पर):
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & b & 3 \end{vmatrix} = 1(18 - 2b) - 3(3 - 2) + 1(b - 6) = 18 - 2b - 3 + b - 6 = 9 - b$.
निकाय का कोई हल न होने के लिए,$\Delta_2 \neq 0$ होना चाहिए,इसलिए $9 - b \neq 0$,जिसका अर्थ है $b \neq 9$.
अतः,शर्त $a = -1$ और $b \neq 9$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह एक समघात अवकल समीकरण है,हम $y = ux$ रखते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$।
$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$।
$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$।
$u = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$।
अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 2x$ है,जिसे $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(A) माना $P(X)$ खिलाड़ी $X$ के जीतने की प्रायिकता है और $P(Y)$ खिलाड़ी $Y$ के जीतने की प्रायिकता है।
खिलाड़ी $X$ एक पक्षपाती सिक्के का उपयोग करता है जिसमें $P(H) = p$ और $P(T) = 1-p$ है। खिलाड़ी $Y$ एक निष्पक्ष सिक्के का उपयोग करता है जिसमें $P(H) = 1/2$ और $P(T) = 1/2$ है।
$X$ जीतता है यदि $X$ पहले प्रयास में $H$ प्राप्त करता है,या $X$ $T$ प्राप्त करता है,$Y$ $T$ प्राप्त करता है,और $X$ तीसरे प्रयास में $H$ प्राप्त करता है,इत्यादि।
$P(X) = p + (1-p)(1/2)p + (1-p)^2(1/2)^2p + \dots = p \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-p}{2})^n = \frac{p}{1 - \frac{1-p}{2}} = \frac{2p}{1+p}$.
चूंकि कुल प्रायिकता $1$ है,$P(Y) = 1 - P(X) = 1 - \frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
दिया गया है कि $P(X) = P(Y)$,इसलिए $\frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
$2p = 1 - p \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{2x + 5}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के रूप में व्यक्त करते हैं।
मान लीजिए $f(x) = 7 - 6x - x^2$. तब $f'(x) = -6 - 2x$.
हम $2x + 5 = -( -2x - 6 ) - 1$ लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$.
पहले समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = 7 - 6x - x^2$,तो $du = (-6 - 2x) dx$. तब $\int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.
अतः,$-\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.
दूसरे समाकलन के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हुए: $7 - 6x - x^2 = 16 - (x^2 + 6x + 9) = 4^2 - (x + 3)^2$.
अतः,$\int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x + 3)^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right)$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$I = -2\sqrt{7 - 6x - x^2} - \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$.
$A\sqrt{7 - 6x - x^2} + B\sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -2$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(-3, 4, 5)$ हैं।
चूंकि समतल रेखाखंड $AB$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,इसलिए यह $AB$ के मध्यबिंदु $M$ से होकर गुजरता है।
$M = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (-1, 3, 4)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{AB} = (-3-1, 4-2, 5-3) = (-4, 2, 2)$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = (-2, 1, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
समतल का समीकरण $-2(x - (-1)) + 1(y - 3) + 1(z - 4) = 0$ है।
$-2x - 2 + y - 3 + z - 4 = 0 \Rightarrow -2x + y + z = 9$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$(-3, 2, 1)$ के लिए: $-2(-3) + 2 + 1 = 6 + 2 + 1 = 9$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समतल बिंदु $(-3, 2, 1)$ से होकर गुजरता है।

(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को संलग्न भुजाओं के अनुपात $AB:AC$ में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3$.
अनुपात $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
$BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{b}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3}$.
$\vec{D} = \frac{6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k})$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1 + (3^x)^2}\right)$.
मान लीजिए $3^x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(3^x)$.
$f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(3^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (3^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = \frac{2}{1 + 9^x} \cdot 3^x \ln 3$.
अब,$x = -\frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(-\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 3^{-1/2}}{1 + 9^{-1/2}} \ln 3 = \frac{2 / \sqrt{3}}{1 + 1/3} \ln 3 = \frac{2 / \sqrt{3}}{4/3} \ln 3 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} \ln 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \ln 3$.
चूंकि $\ln 3 = 2 \ln \sqrt{3}$,इसलिए $f'(-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \ln \sqrt{3} = \sqrt{3} \ln \sqrt{3}$.

(D) माना कि $f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E$ घात $4$ का एक बहुपद है।
दिया गया है कि $\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} + 1 \right) = 3$,इसलिए $\lim_{x \to 0} \left( \frac{Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \to 0} \left( Ax^2 + Bx + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
सीमा का मान निश्चित होने के लिए,$D = 0$ और $E = 0$ होना चाहिए। अतः,$C + 1 = 3$,जिससे $C = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x) = Ax^4 + Bx^3 + 2x^2$. अवकलन करने पर $f'(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 4x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x = 1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4A + 3B + 4 = 0 \implies 4A + 3B = -4$ (समीकरण $1$).
$f'(2) = 4A(8) + 3B(4) + 4(2) = 32A + 12B + 8 = 0 \implies 8A + 3B = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8A + 3B) - (4A + 3B) = -2 - (-4) \implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$.
$A = \frac{1}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $4(\frac{1}{2}) + 3B = -4 \implies 2 + 3B = -4 \implies 3B = -6 \implies B = -2$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
अंत में,$f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2 = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{9}{2}$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$l + 3m + 5n = 0$ ....$(1)$
$5lm - 2mn + 6nl = 0$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ से,$l = -3m - 5n$ प्राप्त होता है।
$l$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$5(-3m - 5n)m - 2mn + 6n(-3m - 5n) = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ से विभाजित करने पर:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m + n)(m + 2n) = 0$
अतः,$m = -n$ या $m = -2n$ है।
स्थिति $1$: यदि $m = -n$,तो $l = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$। दिक्-अनुपात $(-2n, -n, n)$ हैं,जिन्हें $(-2, -1, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m = -2n$,तो $l = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$। दिक्-अनुपात $(n, -2n, n)$ हैं,जिन्हें $(1, -2, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना दिक्-अनुपात $\vec{a} = (-2, -1, 1)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-2)(1) + (-1)(-2) + (1)(1)|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(A) दिया गया समीकरण $(A - 3I)(A - 5I) = O$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 8A + 15I = O$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ नॉन-सिंगुलर है,हम दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}O$
$A - 8I + 15A^{-1} = O$
$A + 15A^{-1} = 8I$
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ के रूप में लाने के लिए,हम पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{15}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\pi-x}{1+\sin(\pi-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\pi-x}{1+\sin x} dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x + \pi - x}{1+\sin x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx$।
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$2I = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$।
समाकलन करने पर:
$2I = \pi [\tan x - \sec x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$2I = \pi [(\tan \frac{3\pi}{4} - \sec \frac{3\pi}{4}) - (\tan \frac{\pi}{4} - \sec \frac{\pi}{4})]$।
$2I = \pi [(-1 - (-\sqrt{2})) - (1 - \sqrt{2})] = \pi [\sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2}] = \pi [2\sqrt{2} - 2]$।
$I = \pi(\sqrt{2}-1)$।

(D) $x \in (0, 1)$ के लिए,हमारे पास $x^3 < x^2 < x$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-x^3 > -x^2 > -x$ प्राप्त होता है।
चूंकि चरघातांकी फलन $f(t) = e^t$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $e^{-x^3} > e^{-x^2} > e^{-x}$ होता है।
अब,समाकल्यों (integrands) पर विचार करें:
$I_3$ के लिए,समाकल्य $f_3(x) = e^{-x^3}$ है।
$I_2$ के लिए,समाकल्य $f_2(x) = e^{-x^2} \cos^2 x$ है। चूंकि $0 \le \cos^2 x \le 1$,इसलिए $e^{-x^2} \cos^2 x \le e^{-x^2}$ होता है।
$I_1$ के लिए,समाकल्य $f_1(x) = e^{-x} \cos^2 x$ है। चूंकि $0 \le \cos^2 x \le 1$,इसलिए $e^{-x} \cos^2 x \le e^{-x}$ होता है।
$(0, 1)$ अंतराल पर फलनों की तुलना करने पर:
$e^{-x^3} > e^{-x^2} \ge e^{-x^2} \cos^2 x$ इंगित करता है कि $I_3 > I_2$ है।
साथ ही,$e^{-x^2} > e^{-x}$ होने के कारण $e^{-x^2} \cos^2 x > e^{-x} \cos^2 x$ होता है।
अतः,$I_3 > I_2 > I_1$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि $f(x)$,$x = 2$ पर संतत है,इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ होगा।
$\lim_{x \to 2} (x - 1)^{\frac{1}{2 - x}} = k$। यह $1^{\infty}$ रूप है।
सूत्र $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} (g(x) - 1)h(x)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = e^{\lim_{x \to 2} (x - 1 - 1) \cdot \frac{1}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{-(2 - x)}{2 - x}}$
$k = e^{-1}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 10 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
पैटर्न का अवलोकन करने पर,$A^n$ के लिए,पहले स्तंभ के तत्व $1$,$n$,और $\frac{n(n+1)}{2}$ हैं।
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{bmatrix}$.
$n = 20$ के लिए:
$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ \frac{20(21)}{2} & 20 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ 210 & 20 & 1 \end{bmatrix}$.
पहले स्तंभ के तत्वों का योग $1 + 20 + 210 = 231$ है।

(B) दिया गया है कि $x = \sqrt{2^{\csc^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{2^{\sec^{-1} t}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 2^{\csc^{-1} t}$ और $y^2 = 2^{\sec^{-1} t}$ प्राप्त होता है।
दोनों का गुणनफल करने पर,$x^2 y^2 = 2^{\csc^{-1} t + \sec^{-1} t}$।
हम जानते हैं कि $|t| \ge 1$ के लिए $\csc^{-1} t + \sec^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $x^2 y^2 = 2^{\pi/2}$,जो एक अचर है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(2^{\pi/2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2xy(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
चूँकि $x, y \neq 0$,इसलिए $y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$
बिंदुओं $(-2, -2, 2)$,$(1, -1, 2)$,और $(1, 1, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x + 2 & y + 2 & z - 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x + 2)(-1 - 0) - (y + 2)(-3 - 0) + (z - 2)(9 - 3) = 0$
$-x - 2 + 3y + 6 + 6z - 12 = 0$
$-x + 3y + 6z - 8 = 0$
$x - 3y - 6z = -8$
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ प्राप्त करने के लिए $-8$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{-8} + \frac{y}{8/3} + \frac{z}{8/6} = 1$
अंतःखंड $a = -8$,$b = 8/3$,और $c = 4/3$ हैं।
अंतःखंडों का योग $= -8 + \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = -8 + \frac{12}{3} = -8 + 4 = -4$.

(D) मूलबिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि दीर्घवृत्त $(0,3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{9} y' = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x}{a^2} + \frac{y y'}{9} = 0$ या $\frac{1}{a^2} = -\frac{y y'}{9x}$ मिलता है।
$\frac{1}{a^2}$ का मान $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ में रखने पर,$x^2(-\frac{y y'}{9x}) + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर,$-x y y' + y^2 = 9$ या $x y y' - y^2 + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) हमें $P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C]$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)}{P(C)}$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.
अतः,$\bar{A} \cap \bar{B} \cap C = C \setminus ((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
इसलिए,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
चूंकि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं,$P(A \cap C) = P(A)P(C)$ और $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.
दिया गया है कि $P(A \cap B \cap C) = 0$,इसलिए $P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - 0 = P(C)(P(A) + P(B))$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P(C)(P(A) + P(B)) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$.
अंततः,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$.
चूंकि $1 - P(A) = P(\bar{A})$,इसलिए यह व्यंजक $P(\bar{A}) - P(B)$ हो जाता है।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण निकाय है:
$(k + 2)x + 10y = k$
$kx + (k + 3)y = k - 1$
रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
माना $A = \begin{bmatrix} k + 2 & 10 \\ k & k + 3 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$(k + 2)(k + 3) - 10k = 0$
$k^2 + 5k + 6 - 10k = 0$
$k^2 - 5k + 6 = 0$
$(k - 2)(k - 3) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = 3$ है।
स्थिति $1$: यदि $k = 2$ है,तो समीकरण $4x + 10y = 2$ और $2x + 5y = 1$ हो जाते हैं। पहले समीकरण को $2$ से भाग देने पर $2x + 5y = 1$ प्राप्त होता है,जो दूसरे समीकरण के समान है। अतः,यहाँ अनंत हल हैं।
स्थिति $2$: यदि $k = 3$ है,तो समीकरण $5x + 10y = 3$ और $3x + 6y = 2$ हो जाते हैं। पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर $15x + 30y = 9$ और $15x + 30y = 10$ प्राप्त होता है। चूँकि $9 \neq 10$,इसलिए निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान ऐसा है जिसके लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(D) पहली रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (2, 2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{-(x - 5)}{-2} = \frac{7(y - 2)}{p} = \frac{z - 3}{4}$ है,जिसे $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{p/7} = \frac{z - 3}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_2} = (2, p/7, 4)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर।
दिया गया है $\cos \theta = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{|2(2) + 2(p/7) + 1(4)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (p/7)^2 + 4^2}}$.
$\frac{2}{3} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{4 + p^2/49 + 16}} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{20 + p^2/49}}$.
हर से $3$ को हटाने पर,$\frac{2}{1} = \frac{|8 + 2p/7|}{\sqrt{20 + p^2/49}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{(8 + 2p/7)^2}{20 + p^2/49} = \frac{64 + 32p/7 + 4p^2/49}{20 + p^2/49}$.
$80 + 4p^2/49 = 64 + 32p/7 + 4p^2/49$.
$80 = 64 + 32p/7 \Rightarrow 16 = 32p/7 \Rightarrow p = \frac{16 \times 7}{32} = \frac{7}{2}$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
हमारे पास $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ है। दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}|$।
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{c}|$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{2} \quad \dots (1)$
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$।
$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3 \Rightarrow \sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta = 3 \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta)^2 + (\sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2$
$3 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 + 9$
$3 |\vec{b}|^2 = 11$
$|\vec{b}|^2 = \frac{11}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{\frac{11}{3}}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_0^x t(\sin x - \sin t) dt = \sin x \int_0^x t dt - \int_0^x t \sin t dt$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर $\int t \sin t dt = -t \cos t + \sin t$.
अतः,$f(x) = \sin x (\frac{x^2}{2}) - [-t \cos t + \sin t]_0^x = \frac{x^2}{2} \sin x + x \cos x - \sin x$.
अब,अवकलन ज्ञात करने पर:
$f'(x) = x \sin x + \frac{x^2}{2} \cos x + \cos x - x \sin x - \cos x = \frac{x^2}{2} \cos x$.
$f''(x) = x \cos x - \frac{x^2}{2} \sin x$.
$f'''(x) = \cos x - x \sin x - x \sin x - \frac{x^2}{2} \cos x = \cos x - 2x \sin x - \frac{x^2}{2} \cos x$.
$f'''(x) + f'(x)$ की जाँच करने पर:
$f'''(x) + f'(x) = (\cos x - 2x \sin x - \frac{x^2}{2} \cos x) + (\frac{x^2}{2} \cos x) = \cos x - 2x \sin x$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$ है।
स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18$ की जाँच करते हैं।
$x = 1$ पर,$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय उच्चतम है।
$M = f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = 10$.
$x = 2$ पर,$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$,इसलिए $x = 2$ स्थानीय न्यूनतम है।
$m = f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = 9$.
अतः,$M - m = 10 - 9 = 1$.